Elementos de Maquinas I (Apostila 2008-01)

UNIVERSIDADE DO OESTE DE SANTA CATARINA

CAMPUS DE JOAABA

VICE-REITORIA DE GRADUAO

REA DAS CINCIAS EXATAS E DA TERRA

CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUO MECNICA

ELEMENTOS DE

MQUINAS I

Prof. Douglas Roberto Zaions, MSc.

Joaaba, 09 de Fevereiro de 2008

Elementos de Mquinas I ii Prof. Douglas Roberto Zaions

UNIVERSIDADE DO OESTE DE SANTA CATARINA

CAMPUS DE JOAABA

VICE-REITORIA DE GRADUAO

REA DAS CINCIAS EXATAS E DA TERRA

CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUO MECNICA

Disciplina de:

ELEMENTOS

DE

MQUINAS I

Prof. Douglas Roberto Zaions, MSc.

Joaaba, 09 de Fevereiro de 2008

Este material foi elaborado para a disciplina de Elementos de Mquinas I do curso de

Engenharia de Produo Mecnica oferecido pela Universidade do Oeste de Santa Catarina

Campus de Joaaba

O trabalho apresenta citaes dos autores pesquisados e referncias bibliogrficas, constituindo-

se em uma tima fonte para aprofundamento do conhecimento sobre os elementos de mquinas.

No mesmo so tratados assuntos como: analise de tenses, solicitaes estticas, solicitaes

dinmicas, eixos e rvores, parafusos de fixao e movimento, ligaes entre cubo e eixo,

lubrificao industrial, mancais de deslizamento e mancais de rolamento.

Tem a finalidade de proporcionar aos acadmicos o contedo bsico da disciplina, com o intuito

de melhorar o aproveitamento dos mesmos.

Qualquer sugesto com referncia ao presente trabalho, sero aguardadas, pois assim pode-se

melhor-lo com futuras modificaes.

Prof. Eng. Douglas Roberto Zaions, MSc.

Elementos de Mquinas I iv Prof. Douglas Roberto Zaions

DOUGLAS ROBERTO ZAIONS

Engenheiro Mecnico formado pela Universidade Federal de Santa Maria em 1993. Em 1994 iniciou

o curso de especializao em Engenharia Mecnica na Universidade Federal de Santa Catarina obtendo o

grau de Especialista em Engenharia Mecnica. Em 2003 concluiu o curso de Mestrado em Engenharia de

Produo na Universidade Federal do Rio Grande do Sul na rea de concentrao de Gerncia,

desenvolvendo o trabalho intitulado Consolidao da Metodologia da Manuteno Centrada em

Confiabilidade em uma Planta de Celulose e Papel. Atualmente doutorando do curso de Engenharia

Mecnica da Universidade Federal de Santa Catarina na rea de concentrao de Projeto de Sistemas

Mecnicos.

Foi Coordenador do Curso de Engenharia de Produo Mecnica de maro/2000 at maro/2006 e do

Curso de Tecnologia em Processos Industriais Modalidade Eletromecnica de maro/2000 at

Junho/2002 da UNOESC Joaaba.

Conselheiro Estadual e membro da Cmara Especializada de Engenharia Industrial do Conselho

Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia do Estado de Santa Catarina, CREA SC no perodo

de janeiro de 2001 at dezembro de 2003. Tambm foi Diretor do CREA SC no perodo de janeiro de

2002 at dezembro de 2002.

Doze anos de docncia em cursos tcnicos, tecnolgicos, engenharia e especializao na rea

mecnica.

Professor de vrias disciplinas da rea de projetos nos cursos Tcnico em Mecnica e Eletromecnica

do SENAI CET Joaaba.

Professor do curso de Engenharia de Produo Mecnica da UNOESC Joaaba onde atua nas

disciplinas de Resistncia dos Materiais, Elementos de Mquinas, Mecanismos, Processos de Usinagem e

Comando Numrico, Pesquisa Operacional, Projeto de Mquinas e Manuteno Mecnica. tambm

pesquisador nas reas de Projeto e Manuteno Industrial.

Professor dos cursos de Especializao em Engenharia de Manuteno Industrial e Gesto da

Produo da Universidade do Oeste de Santa Catarina ministrando respectivamente a disciplina de

Manuteno de Elementos de Mquinas e Gesto da Manuteno. No curso de Especializao em

Projetos de Sistemas Mecnicos atua nas disciplinas de Metodologia de Projeto de Sistemas Mecnicos e

Projeto para a Confiabilidade e Mantenabilidade.

perito tcnico judicial, desenvolvendo trabalhos nas reas automotiva e industrial na busca de causa

raiz de falhas.

Contato: Universidade do Oeste de Santa Catarina Campus de Joaaba e-mail: [email protected]

Fone/Fax: (49) 3551 - 2035

NDICE

1 ANLISE DE TENSES ............................................................................................................................................ 11

1.1 PRINCIPAIS VARIVEIS UTILIZADAS NESTE CAPTULO ........................................................................................... 11

1.2 INTRODUO ......................................................................................................................................................... 11

1.3 DEFINIES ........................................................................................................................................................... 12

1.3.1 Tenso ......................................................................................................................................................... 12

1.3.2 Diagrama Tenso-Deformao .................................................................................................................. 13

1.3.3 Ductilidade .................................................................................................................................................. 17

1.3.4 Maleabilidade ............................................................................................................................................. 18

1.3.5 Dureza ......................................................................................................................................................... 18

1.3.6 Resilincia ................................................................................................................................................... 18

1.3.7 Tenacidade .................................................................................................................................................. 18

1.4 TENSES ............................................................................................................................................................... 19

1.4.1 Tenso Normal de Trao ou Compresso ................................................................................................. 19

1.4.2 Tenso de Corte devido ao Cisalhamento Simples ..................................................................................... 19

1.4.3 Tenso Normal na Flexo ........................................................................................................................... 21

1.4.4 Tenso de Cisalhamento na Toro ............................................................................................................ 21

1.4.5 Tenso de Cisalhamento na Flexo ............................................................................................................ 22

1.5 ANLISE DE TENSES ........................................................................................................................................... 23

1.5.1 Tenses Principais ...................................................................................................................................... 25

1.5.2 Crculo de Mohr .......................................................................................................................................... 28

1.6 EXERCCIOS ........................................................................................................................................................... 30

2 SOLICITAES ESTTICAS .................................................................................................................................. 33


2.2 INTRODUO ......................................................................................................................................................... 33

2.3 TEORIAS PARA FALHAS ESTTICAS ........................................................................................................................ 34

2.3.1 Teoria da Tenso Normal Mxima ............................................................................................................. 35

2.3.2 Teoria da Tenso Mxima de Cisalhamento ............................................................................................... 37

2.3.3 Teoria de Huber-von Mises - Hencky ou da Mxima Energia de Distoro .............................................. 41

2.3.4 Comparao entre as trs teorias aplicadas a materiais Dcteis .............................................................. 43

2.3.5 Teoria de Coulomb Mohr ............................................................................................................................ 43

2.3.6 Teoria de Mohr Modificada ........................................................................................................................ 44

2.4 CONCENTRAO DE TENSES ............................................................................................................................... 46

2.4.1 Efeito da Concentrao de Tenses em materiais dcteis .......................................................................... 48

2.4.2 Efeito da Concentrao de Tenses em materiais frgeis .......................................................................... 48

2.5 EXERCCIOS ........................................................................................................................................................... 55

3 SOLICITAES DINMICAS ................................................................................................................................. 57


Elementos de Mquinas I vi Prof. Douglas Roberto Zaions

3.2 INTRODUO ......................................................................................................................................................... 58

3.3 TIPOS DE CARGA DINMICAS ................................................................................................................................. 58

3.3.1 Carga Repetida ........................................................................................................................................... 58

3.3.2 Carga Alternante ........................................................................................................................................ 59

3.3.3 Carga Flutuante .......................................................................................................................................... 60

3.4 MECANISMO DA FALHA POR FADIGA ..................................................................................................................... 61

3.5 MEDIO DAS FALHAS POR FADIGA ...................................................................................................................... 62

3.5.1 Ensaio de flexo alternante - Tenses totalmente reversas ........................................................................ 62

3.5.2 Tenso limite de Resistncia a Fadiga ........................................................................................................ 65

3.5.3 Ensaio com fora axial alternante .............................................................................................................. 65

3.5.4 Ensaio de flexo em viga engastada ........................................................................................................... 67

3.5.5 Ensaio de Fadiga Torcional ....................................................................................................................... 67

3.5.6 Fatores de correo da Resistncia a Fadiga ............................................................................................ 68

3.5.7 Valores tericos de Se e Sf ........................................................................................................................ 69

3.5.8 Fator de correo do tipo de carga ............................................................................................................ 69

3.5.9 Fator de correo do tamanho da pea ...................................................................................................... 69

3.5.10 Fator de correo do Acabamento Superficial da Pea ............................................................................. 71

3.5.11 Fator de correo da temperatura .............................................................................................................. 72

3.5.12 Fator de correo da Confiabilidade ......................................................................................................... 72

3.6 INFLUNCIA DA COMBINAO DE TENSES MDIAS E ALTERNANTES .................................................................... 73

3.7 ENTALHES E CONCENTRAO DE TENSES ........................................................................................................... 76

3.7.1 Fator de Concentrao de Tenses aplicado a tenses mdias e Alternantes ............................................ 79

3.8 CONSTRUO DO DIAGRAMA TENSO X VIDA ..................................................................................................... 79

3.9 CONSTRUO DO DIAGRAMA MODIFICADO DE GOODMAN ................................................................................... 81

3.10 TEORIAS DE FALHA DINMICA ............................................................................................................................. 82

3.10.1 Cargas totalmente Alternantes com tenses Unidirecionais....................................................................... 84

3.10.2 Cargas Flutuantes com Tenso Unidirecional ........................................................................................... 85

3.10.3 Projetando para tenses multiaxiais na fadiga ........................................................................................... 89

3.10.4 Cargas totalmente alternantes com tenses multiaxiais ............................................................................. 89

3.10.5 Cargas Flutuantes com Tenses multiaxiais ............................................................................................... 90

3.11 EXERCCIOS ........................................................................................................................................................... 93

4 EIXOS E RVORES ................................................................................................................................................... 95

4.1 INTRODUO ......................................................................................................................................................... 95

4.2 DEFINIES ........................................................................................................................................................... 95

4.3 MATERIAIS PARA CONSTRUO DE EIXOS ............................................................................................................. 96

4.4 TENSES EM EIXOS E RVORES ............................................................................................................................ 96

4.5 FALHA DE EIXOS COM TENSES COMBINADAS ..................................................................................................... 98

4.6 PROJETO DE EIXOS ................................................................................................................................................. 99

4.6.1 Regras Gerais para o projeto de eixos ....................................................................................................... 99

4.6.2 Projeto de rvores combinando Flexo alternante e Toro Constante .................................................. 100

4.7 PROJETO DE EIXOS COMBINADO FLEXO FLUTUANTE E TORO FLUTUANTE ................................................... 103

4.8 VELOCIDADE CRTICA DE EIXOS E RVORE ........................................................................................................ 104

4.8.1 Vibrao lateral forada ........................................................................................................................... 105

4.8.2 Vibraes auto-excitadas .......................................................................................................................... 106

4.9 EXERCCIOS ......................................................................................................................................................... 108

5 PARAFUSOS DE FIXAO.................................................................................................................................... 114

5.1 INTRODUO ....................................................................................................................................................... 114

5.2 VANTAGEM E DESVANTAGEM DAS UNIES PARAFUSADAS................................................................................. 115

5.3 TERMINOLOGIA DE ROSCAS ................................................................................................................................ 117

5.3.1 Rosca Whiworth ........................................................................................................................................ 118

5.3.2 Rosca Sellers ............................................................................................................................................. 118

5.3.3 Rosca Mtrica ........................................................................................................................................... 118

5.3.4 Padronizao ............................................................................................................................................ 119

5.4 ERROS QUE PODEM OCORRER NOS AJUSTES ROSCADOS ...................................................................................... 121

5.4.1 Erro de Passo ............................................................................................................................................ 121

5.4.2 Erro no ngulo de Flancos .................................................................................................................... 1215.4.3 Erro do dimetro de Flancos(efetivo) ....................................................................................................... 122

5.5 TIPOS DE PARAFUSOS .......................................................................................................................................... 123

5.5.1 Parafuso passante normal ........................................................................................................................ 123

5.5.2 Parafuso com Cabea ............................................................................................................................... 123

5.5.3 Parafuso Prisioneiro ................................................................................................................................. 124

5.5.4 Parafuso com porca nas duas extremidades ............................................................................................. 125

5.5.5 Parafuso com cabea de embutir .............................................................................................................. 125

5.5.6 Parafusos com fenda na cabea ................................................................................................................ 126

5.5.7 Parafusos de Alta Resilincia ................................................................................................................... 126

5.5.8 Parafusos Chumbadores ........................................................................................................................... 126

5.5.9 Parafusos para Metais Leves .................................................................................................................... 127

5.5.10 Parafusos de Anel ..................................................................................................................................... 127

5.5.11 Parafusos para madeira............................................................................................................................ 128

5.5.12 Parafusos auto-atarraxantes ..................................................................................................................... 128

5.5.13 Parafusos diferenciais .............................................................................................................................. 128

5.6 PROCESSOS DE FABRICAO DE ROSCAS ............................................................................................................. 129

5.7 MATERIAIS DAS ROSCAS DOS PARAFUSOS ........................................................................................................... 129

5.8 RESISTNCIA DOS PARAFUSOS DE FIXAO ........................................................................................................ 130

5.9 REA RESISTENTE A TRAO ............................................................................................................................. 133

5.10 PR-CARGA EM PARAFUSOS SUBMETIDOS A TRAO .......................................................................................... 134

5.11 PR-CARGA EM PARAFUSOS SUBMETIDOS A CARGAS ESTTICAS ......................................................................... 137

5.12 PR-CARGA EM PARAFUSOS SUBMETIDOS A CARGAS DINMICAS ........................................................................ 141

5.13 DETERMINAO DA CONSTANTE ELSTICA DO MATERIAL .................................................................................. 143

5.14 TORQUE DE APERTO ............................................................................................................................................ 144

5.15 SEGURANA CONTRA AFROUXAMENTO ............................................................................................................... 145

5.15.1 Segurana de fora ................................................................................................................................... 145

Elementos de Mquinas I viii Prof. Douglas Roberto Zaions

5.15.2 Segurana de Forma ................................................................................................................................. 147

5.15.3 Recomendao prtica para parafusos prisioneiros ou sem cabea ........................................................ 149

5.15.4 Ligaes por mltiplos parafusos ............................................................................................................. 149

5.16 AUMENTO DA RESISTNCIA FADIGA EM LIGAES PARAFUSADAS ................................................................... 150

5.16.1 Alvio do primeiro filete carregado ........................................................................................................... 150

5.16.2 Arredondamento da unio da cabea com haste ...................................................................................... 151

5.16.3 Angulo de sada da rosca .......................................................................................................................... 151

5.16.4 Reduo das pontas de tenso na raiz da rosca ....................................................................................... 151

5.16.5 laminao da rosca; ................................................................................................................................. 152

5.16.6 Comprimento livre da rosca ..................................................................................................................... 152

5.16.7 Passo ......................................................................................................................................................... 152

5.16.8 Acabamento superficial ............................................................................................................................ 152

5.16.9 Fator de mola ............................................................................................................................................ 152

5.16.10 Pr-carga .................................................................................................................................................. 152

5.16.11 Nmero de parafusos ................................................................................................................................ 152

6 PARAFUSOS DE MOVIMENTO ............................................................................................................................ 153

6.1 INTRODUO ....................................................................................................................................................... 153

6.2 ANLISE DE FORA, TORQUE E POTNCIA PARA ACIONAMENTO DOS PARAFUSOS DE MOVIMENTO .................... 154

6.2.1 Rosca Quadrada ....................................................................................................................................... 154

6.2.2 Rosca trapezoidal ou ACME ..................................................................................................................... 157

6.3 CONDIO DE AUTO-TRAVAMENTO DA ROSCA .................................................................................................... 158

6.4 EFICINCIA DO PARAFUSO ................................................................................................................................... 158

7 LIGAO ENTRE CUBO E EIXO......................................................................................................................... 159

7.1 INTRODUO ....................................................................................................................................................... 159

7.2 CHAVETAS .......................................................................................................................................................... 159

7.2.1 Tipos de Chavetas ..................................................................................................................................... 159

7.2.2 Tenses nas Chavetas ............................................................................................................................... 161

7.3 EIXOS RANHURADOS ........................................................................................................................................... 165

7.3.1 Compresso no cubo ................................................................................................................................. 165

7.4 LIGAO POR AJUSTE PRENSADO CILNDRICO ..................................................................................................... 166

7.4.1 Determinao da Presso Mxima ........................................................................................................... 167

7.4.2 Prensagem ou Martelamento .................................................................................................................... 174

7.4.3 Ajuste Prensado por Aquecimento/Esfriamento ....................................................................................... 175

7.5 AJUSTE PRENSADO CNICO ................................................................................................................................. 176

7.5.1 Determinao das Interferncias. ............................................................................................................. 176

7.5.2 Fora Axial de Montagem - Pa.................................................................................................................. 177

7.5.3 Conicidade Recomendada ......................................................................................................................... 179

7.5.4 Deslocamento Axial .................................................................................................................................. 179

7.6 EXERCCIOS ......................................................................................................................................................... 182

8 LUBRIFICAO INDUSTRIAL ............................................................................................................................ 184

8.1 LUBRIFICAO .................................................................................................................................................... 184

8.1.1 Tipos de Lubrificao ............................................................................................................................... 184

8.2 SUBSTNCIAS LUBRIFICANTES ............................................................................................................................ 187

8.2.1 Lubrificantes lquidos ............................................................................................................................... 188

8.2.2 Lubrificantes Pastosos .............................................................................................................................. 188

8.2.3 Lubrificantes Slidos ................................................................................................................................ 189

8.3 LUBRIFICANTES LQUIDOS .................................................................................................................................. 189

8.3.1 leos Minerais .......................................................................................................................................... 189

8.3.2 leos Graxos ............................................................................................................................................ 191

8.3.3 leos Sintticos ......................................................................................................................................... 192

8.3.4 Pastas Lubrificantes .................................................................................................................................. 193

8.3.5 Ceras Lubrificantes ................................................................................................................................... 194

8.4 PROPRIEDADES DOS LUBRIFICANTES ................................................................................................................... 195

8.4.1 Propriedades Fsicas ................................................................................................................................ 195

8.4.2 Propriedades Qumicas ............................................................................................................................ 198

8.4.3 Propriedades Prticas .............................................................................................................................. 199

8.4.4 Propriedades especficas das Graxas Lubrificantes ................................................................................. 201

8.5 LUBRIFICANTES DO SETOR ALIMENTCIO ............................................................................................................ 204

8.5.1 Leis de Regulamentao ........................................................................................................................... 204

8.5.2 Consideraes sobre a lubrificao no setor alimentcio ......................................................................... 206

8.5.3 Lubrificantes de alto rendimento do setor alimentcio ............................................................................. 210

8.5.4 Qualidade atravs de GMP e HACCP ...................................................................................................... 212

8.6 ORGANIZAO DA LUBRIFICAO ...................................................................................................................... 214

8.6.1 Fase da Implantao ................................................................................................................................. 214

8.6.2 Controle .................................................................................................................................................... 219

8.6.3 Manuseio e Armazenagem de Lubrificantes ............................................................................................. 221

8.6.4 Reciclagem dos leos Usados .................................................................................................................. 224

9 MANCAIS DE DESLIZAMENTO .......................................................................................................................... 226

9.1 TIPOS DE MANCAIS .............................................................................................................................................. 227

9.1.1 Mancais Radiais........................................................................................................................................ 227

9.1.2 Mancais Axiais ou de Escora .................................................................................................................... 228

9.2 COEFICIENTE DE ATRITO ..................................................................................................................................... 230

9.3 MECNISMO DE FORMAO DA PELCULA ......................................................................................................... 232

9.4 TEORIA HIDRODINMICA ..................................................................................................................................... 235

9.5 MDULO DO MANCAL ......................................................................................................................................... 237

9.6 CONSIDERAES SOBRE A TEMPERATURA ........................................................................................................... 239

9.7 EQUILBRIO TRMICO .......................................................................................................................................... 241

9.8 MATERIAIS .......................................................................................................................................................... 242

9.9 PROJETO DE MANCAL.......................................................................................................................................... 244

9.10 TABELAS E BACOS PARA UTILIZAO EM MANCAIS DE DESLIZAMENTO ......................................................... 248

9.11 EXERCCIOS ......................................................................................................................................................... 254

Elementos de Mquinas I x Prof. Douglas Roberto Zaions

10 MANCAIS DE ROLAMENTO ............................................................................................................................ 255

10.1 TIPOS DE MANCAIS DE ROLAMENTO ................................................................................................................... 256

10.2 ATRITO NOS MANCAIS DE ROLAMENTO .............................................................................................................. 259

10.3 SELEO DE ROLAMENTOS SEGUNDO A ISO ....................................................................................................... 260

10.3.1 Carga Dinmica Equivalente .................................................................................................................... 264

10.4 SELEO DO TAMANHO DO ROLAMENTO UTILIZANDO-SE A CAPACIDADE DE CARGA ESTTICA .......................... 265

10.4.1 Carga esttica equivalente ........................................................................................................................ 266

10.4.2 Capacidade de carga esttica requerida .................................................................................................. 267

10.5 PLANOS DE DIMENSES ...................................................................................................................................... 268

10.6 FOLGA INTERNA .................................................................................................................................................. 269

10.7 LUBRIFICAO .................................................................................................................................................... 270

10.8 VEDAO ............................................................................................................................................................ 271

10.8.1 Vedadores integrados ............................................................................................................................... 271

10.8.2 Vedadores externos ................................................................................................................................... 272

10.9 APLICAO DE ROLAMENTOS ............................................................................................................................. 274

10.9.1 Arranjo de rolamentos .............................................................................................................................. 274

10.9.2 Fixao radial dos rolamentos ................................................................................................................. 275

10.9.3 Fixao axial dos rolamentos ................................................................................................................... 275

10.9.4 Mtodos de Fixao .................................................................................................................................. 275

10.9.5 Seleo do lubrificante ............................................................................................................................. 277

10.9.6 Lubrificao com Graxa ........................................................................................................................... 278

10.9.7 Mtodos de lubrificao com graxa .......................................................................................................... 283

10.9.8 Caractersticas dos leos .......................................................................................................................... 286

10.10 LEOS E GRAXAS PARA LUBRIFICAO DE ROLAMENTOS ............................................................................. 294

10.11 EXERCCIOS .................................................................................................................................................... 297

11 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ................................................................................................................ 298

UNOESC Curso de Engenharia de Produo Mecnica 11 Prof. Douglas Roberto Zaions

1 ANLISE DE TENSES

1.1 PRINCIPAIS VARIVEIS UTILIZADAS NESTE CAPTULO

Smbolo Descrio da varivel Unidade Descrio da varivel em ingls A rea m2 Area E Mdulo de elasticidade longitudinal Pa Youngs modulus G Mdulo de elasticidade transversal Pa Shear modulus HB Dureza Brinell - Brinell hardness HRB Dureza Rockwell B - Rockell B hardness HRC Dureza Rockwell C - Rockell C hardness HV Dureza Vickers - Vickers hardness Sel Limite de resistncia elstica Pa Strenght at elastic limit Sus Limite de resistncia ao cisalhamento Pa Ultimate shear strenght Sut Limite de resistncia a trao Pa Ultimate tensile strenght Sy Resistncia ao escoamento a trao Pa Tensile yield strenght Sys Resistncia ao escoamento ao cisalhamento Pa Shear yield strenght Deformao percentual Strain Tenso normal Pa Tensile stress Tenso de corte, cisalhamento ou tangencial Pa Shear stress Deflexo angular Pa Angular deflection Coeficiente de Poisson Poissons ratio Momento Toror N.m Torque Momento Fletor N.m Moment P Carga N Force

1.2 INTRODUO

Segundo Baud em mquinas e estruturas, a manifestao das foras apresenta-se sob aspectos muito

diferentes. Podem ser exteriores ou estar, pelo contrrio, no interior dos elementos e por outro lado, so

suscetveis de se exercer sob muitos modos: podem ser estticas, quer dizer, fixas e sem movimento, ou

dinmicas (ou seja animadas) e produzir assim efeitos bem diferentes.

A apario das foras ou das solicitaes se deve a diversas fontes dentre as quais: (i) A gravitao

gera a fora peso em mquinas e equipamentos; e (ii) O vento, os efeitos trmicos (Dilatao) e qumicos

podem tambm gerar foras cujos efeitos desenvolvem as solicitaes nos equipamentos.

Quaisquer que sejam as fontes que produzam solicitaes, estas determinam esforos nos materiais.

Estes esforos, verificados pelos clculos da esttica, servem para prever as caractersticas dos materiais

que devem ser empregados ou para dar a estes as dimenses adequadas.

Quando um elemento mal dimensionado, e no mesmo aplicada uma carga, este poder sofrer uma

deformao permanente e em muitos casos chegar a ruptura.

Elementos de Mquinas I 12 Prof. Douglas Roberto Zaions

Na construo de mquina, deve-se sempre evitar as deformaes plsticas nas peas, o que

ocasionar variao na geometria das mesmas e normalmente modificao na relao funcional. As falhas

mais correntes em engenharia so quebras e desintegraes. Ex.: corroso, desgaste, trincas, etc., mas

estes exemplos so praticamente inevitveis em um maior ou menor espao de tempo, pois todos os

materiais so passveis de deteriorao.

Assim, h a necessidade de determinar o nvel de tenses atuantes em peas e componentes mecnicos

para dimensiona-los.

Este captulo trata especificamente sobre tenses, onde sero descritos os tipos de tenses.

1.3 DEFINIES

1.3.1 Tenso

Tenso a quociente entre uma fora e uma rea. Pode ser entendida pela frmula e ilustrao na

Figura 1.1, onde F a fora agindo em uma pea e A a rea de sua seo.

Tensao ForcaArea

=

As unidades da tenso podem ser: Nm

kgfcm

kgfmm2 2 2

; ;

No Sistema Internacional de Unidades utiliza-se o2m

N

F

FF

rea da SeoTransversal

Pea Tracionada

Figura 1.1 - Tenso Normal devida ao esforo de trao


Em funo do tipo de solicitao (Trao, Compresso, Flexo, Cisalhamento, Toro) aplicada em

um elemento mecnico, podero surgir dois tipos de tenses(Figura 1.2): (i) Tenso normal

(Representada por sigma); e (ii) Tenso tangencial, de corte ou cisalhante (Representada por Tau).

Superfcie

Figura 1.2 - Tipos de Tenses: -Tenso Normal; - Tenso Tangencial

1.3.2 Diagrama Tenso-Deformao

Quando um corpo de prova submetido a um ensaio de trao a mquina de ensaio fornece um

grfico (Figura 1.3) que mostra as relaes entre a fora aplicada e as deformaes ocorridas durante o

ensaio.

Para determinar as propriedades do material o que interessa a relao entre tenso e deformao.

Figura 1.3 - Diagrama Tenso x Deformao


No grfico tenso x deformao, os valores de deformao esto representados pela letra grega no eixo das abscissas (x) e os valores de tenso ou fora indicados no eixo das ordenadas (y).

A curva de Tenso x Deformao de um dado material obtida, submetendo corpos de prova (Figura

1.4) padronizados deste material a um ensaio de trao em uma mquina de ensaio (Figura 1.5), que

possui um sistema de processamento o qual por meio de sensores/transdutores mede a fora aplicada no

corpo de prova e a respectiva deformao, processa essas informaes e emite um grfico Tenso x

Deformao.

Figura 1.4 - Corpo de prova

Figura 1.5 - Mquina de Ensaio de Trao

A curva resultante apresenta certos pontos caractersticas que so comuns a diversos tipos de materiais

usados na rea engenharia mecnica(Figura 1.6).


A

A

B

Limite de Elasticidade

Limite de Proporcionalidade

Limite de Resistncia

Escoamento

Limite de Ruptura

Fase Elstica Fase Plstica

Sut

Sy

Tenso

Deformao

C

Figura 1.6 - Diagrama Tenso x Deformao

Os pontos comuns ilustrados na Figura 1.6 so:

Limite de Proporcionalidade:

A lei de Hooke s vale at um determinado valor de Tenso, denominado Limite de

Proporcionalidade, que o ponto representado na figura 6 pela letra A, a partir do qual a deformao

deixa de ser proporcional carga aplicada.

Exemplo: Se aplicarmos uma tenso de 10 MPa e a pea se alongar 0,1%, quando aplicamos uma

tenso de 100 MPa, a pea se deformar 1%.

Limite de Elasticidade:

O limite elstico representado no diagrama acima pela letra A. Este ponto representa a tenso

mxima que pode ser aplicado a uma barra sem que apaream deformaes residuais, ou permanentes,

aps a retirada integral da carga externa. Para muitos materiais, os valores dos limites de elasticidade e

proporcionalidade so praticamente iguais e esses termos so ento empregados como sinnimos. Nos

casos em que so diferentes, em geral o limite de elasticidade maior do que o de proporcionalidade.


Fase Elstica:

O trecho da curva tenso-deformao, compreendido entre a origem e o limite de elasticidade recebe o

nome de fase elstica ou regio elstica.

Fase Plstica:

Chama-se de fase plstica ou regio plstica o trecho do diagrama compreendido entre o limite de

elasticidade e o ponto correspondente ruptura do material.

Resistncia ao Escoamento:

Terminada a fase elstica, tem incio a fase plstica, na qual ocorre uma deformao permanente no

material, mesmo que se retire a fora de trao.

Em um ponto pouco acima do limite de elasticidade, aumentam as deformaes sem que se altere,

praticamente o valor da tenso. Quando se atinge o limite de escoamento, diz-se que o material passa a

escoar. Durante o escoamento, a carga ou a tenso oscila entre valores muito prximos uns dos outros.

Este ponto do grfico simbolizado por Sy e chamado Resistncia ao Escoamento por trao, quando

o respectivo ensaio o de trao.

Sy Strength (Resistncia)

Yield ( Escoamento) Limite de Resistncia:

Aps o escoamento ocorre um encruamento que um endurecimento causado pela quebra dos gros

que compem o material quando deformado a frio. O material resiste cada vez mais a trao externa,

exigindo uma tenso cada vez maior para se deformar.

Nessa fase, a tenso recomea a subir, at atingir um valor mximo num ponto chamado de limite de

resistncia caracterizado no grfico pelo ponto B.

Este ponto do grfico simbolizado por Sut e chamado Limite de Resistncia a Trao, quando o

respectivo ensaio o de trao.

SutStrength (Resistncia)

Ultimate Tensile ( Limite de Trao)


Limite de ruptura

Continuando a trao, chega-se ruptura do material, que ocorreu num ponto chamado de Limite de

ruptura caracterizado no grfico pelo ponto C.

Note que a tenso no limite e ruptura menor que no limite de resistncia, devido diminuio da

rea que ocorre no corpo de prova depois que se atinge a carga mxima.

Estrico:

a reduo percentual da rea da seo transversal do corpo de prova na regio onde vai se localizar a

ruptura.

A estrico determina a ductilidade do material. Quanto maior for a percentagem de estrico, mais

dctil ser o material.

Mdulo de Elasticidade:

Na fase elstica, se dividirmos a tenso pela deformao, em qualquer ponto obteremos sempre um

valor constante.

Este valor constante chamado mdulo de elasticidade. Quando relacionado com tenses normais,

chamado de mdulo de elasticidade longitudinal e simbolizado pela letra E. Quando relacionado com

tenses tangenciais, chamado mdulo de elasticidade transversal e simbolizado pela letra G.

O mdulo de elasticidade a medida da rigidez do material. Quanto maior for o mdulo, menor ser a

deformao elstica resultante da aplicao de uma fora ou tenso e mais rgido ser o material.

1.3.3 Ductilidade

Ductilidade a propriedade que apresentam certos materiais de absorverem sobrecargas por um tempo

maior que o normal, a custa de uma maior deformao plstica, antes de haver ruptura.

A ductilidade medida pela percentagem de elongao (deformao) que o material apresenta no

momento da ruptura.

Materiais so ditos frgeis para elongao at 5%.

Materiais so ditos dcteis para elongao maior que 5%.


Esta propriedade muito importante nos casos em que trabalhamos o material a frio (Trefilao,

Forjamento, etc..).

T

Deformao

T

Deformao

(a) Frgil (b) Dctil

Fratura Fratura

Figura 1.7 - Exemplo de materiais de mesma dureza e resistncia

1.3.4 Maleabilidade

Quando a ductilidade referida em funo da carga de compresso, passa a ser chamada de

maleabilidade.

1.3.5 Dureza

Quando o material resistente ao desgaste, a eroso, a deformao plstica dito duro. Os testes de

dureza mais usados so: BRINELL, ROCKWELL, VICKERS e SHORE.

1.3.6 Resilincia

A resilincia de um material sua capacidade de absorver energia no campo elstico das

deformaes, ou seja, a energia armazenada por um corpo solicitado at o seu limite elstico.

1.3.7 Tenacidade

Tenacidade a habilidade de um material de absorver energia no campo plstico. A maioria das

autoridade no assunto esto de acordo com esta definio, mas h muito desacordo a respeito de como se

pode medir a tenacidade. Alguns dizem que a resistncia ao impacto do material a melhor medida,

outros preferem usar o diagrama tenso - deformao de vrias maneiras. O diagrama, contudo uma

avaliao das propriedades estticas, enquanto tenacidade uma propriedade desejvel em peas sujeitas

a choques e impactos, o que implicaria em ser ela medida dinamicamente.


1.4 TENSES

Nesta seo, analisaremos as tenses desenvolvidas em um elemento mecnico sujeito a cargas

externas e as tenses principais originadas em outros planos devido as tenses aplicadas.

1.4.1 Tenso Normal de Trao ou Compresso

A tenso Normal originada pela aplicao de uma carga normal P de trao ou compresso. A

direo dos vetores da tenso normal so perpendiculares a superfcie da pea sujeita ao esforo de trao

ou compresso. A distribuio da tenso ao longo seo da pea uniformemente distribuda.(Figura 1.8)

A tenso normal desenvolvida para o caso de tenso axial simples pode ser calculada por:

Equao 1.1 AP

x = Onde: P Fora aplicada (Trao ou Compresso); A rea da seo transversal;

Este tipo de solicitao pode ser encontrado em diversos elementos mecnicos tais como: parafusos,

rebites, elementos estruturais, trelias, eixos, cabos de ao, etc...

z

y

x

Figura 1.8 - Distribuio da Tenso normal

1.4.2 Tenso de Corte devido ao Cisalhamento Simples

Este tipo de tenso ocorre principalmente em pinos, parafusos ou rebites. Tambm conhecida

simplesmente por tenso de cisalhamento.

A tenso de corte devido ao cisalhamento simples ocorre em situaes onde no h flexo presente. A

Figura 1.9 ilustra duas situaes: (a) Cisalhamento Simples e (b) Cisalhamento com Flexo.


P x

P

P

P(a) (b)

A

Figura 1.9 - Comparao entre o cisalhamento simples e com flexo

A tenso de cisalhamento do tipo tangencial, pois os vetores que representam tenso so tangentes

a superfcie da pea. As tenses tangenciais originadas com os esforos de Cisalhamento so

uniformemente distribudas pela rea e so representadas conforme Erro! Fonte de referncia no

encontrada. .

z

y

x

Figura 1.10 - Distribuio das Tenses Tangenciais devido ao Cisalhamento Puro

A tenso cisalhante desenvolvida pode ser calculada por:

Equao 1.2 Corte

xy AP=

Onde: P Fora aplicada; ACorte rea de corte;


1.4.3 Tenso Normal na Flexo

A tenso desenvolvida na Flexo tambm do tipo Normal, porm, sua distribuio no uniforme

ou seja: A tenso mxima ocorre na periferia da pea, enquanto sobre a linha neutra, a tenso

nula.(Figura 1.11)

z

y

x

Figura 1.11 - Distribuio de Tenses devido a Flexo

A tenso normal devido ao momento fletor calculada a partir da equao:

Equao 1.3 IcM =

onde: M Momento Fletor; c Distncia da Fibra Neutra a fibra que se deseja calcular a tenso; I Momento de inrcia;

1.4.4 Tenso de Cisalhamento na Toro

A tenso desenvolvida na toro do tipo tangencial ou cisalhante e apresenta uma distribuio no

uniforme (Figura 1.12). Esta tenso tambm, assim como a de cisalhamento tangente seo da pea.


z

y

Figura 1.12 - Distribuio da Tenso de Cisalhamento na Toro

A tenso Cisalhante devido ao momento toror calculada a partir da equao:

Equao 1.4 JrT =

onde: T Momento toror; r Raio de girao; J Momento de inrcia polar;

1.4.5 Tenso de Cisalhamento na Flexo

Quando a fora cortante e uma viga no for zero, desenvolve-se uma tenso cisalhante cuja

intensidade mxima depende da forma geomtrica de sua seo transversal. A tenso cisalhante mxima

devido a flexo ocorre em pontos onde a tenso normal devido a flexo nula.

A Figura 1.13 ilustra a distribuio de tenses cisalhantes na flexo para uma seo transversal

circular. Observe que a mxima tenso cisalhante ocorre no eixo x (linha neutra).


z

y

x

Figura 1.13 - Distribuio de tenses cisalhantes na flexo para seo circular.

Para uma seo retangular, a tenso cisalhante mxima na flexo calculada a partir da Erro! Fonte

de referncia no encontrada..

Equao 1.5 AV

=

23

max

Para uma seo circular, a tenso cisalhante mxima na flexo calculada a partir da Erro! Fonte de

referncia no encontrada..

Equao 1.6 AV

=

34

max

Para uma seo circular oca, a tenso cisalhante mxima na flexo calculada a partir da Erro! Fonte

de referncia no encontrada..

Equao 1.7 AV= 2max

Onde:

V Esforo de Corte; A rea da seo transversal;

1.5 ANLISE DE TENSES

Conforme j definido, tenso fora por rea. Qualquer elemento infinitesimal de um material pode

estar submetido a diversos tipos de tenses ao mesmo tempo. Este elemento infinitesimal, geralmente

modelado como paraleleppedo, conforme ilustrado na Figura 1.14.


x

y y

y

xy

x x

xx

yz

z

z z

z

yz

Figura 1.14 - Paraleppedo elementar, suas superfcies e componentes de tenso

Para o estado plano de tenses, considera-se o retngulo ilustrado na Figura 1.15.

x

y

y

y

xy

xy

x

x

x

x

y

y

Figura 1.15 - Componentes de tenso no estado biaxial

Considera-se que as tenses agem nas faces destes cubos, de duas maneiras:

1. Tenses Normais: Agem perpendicularmente as faces. Tendem a puxar o elemento ( tenso

normal de trao) ou a empurr-lo (tenso normal de compresso).

2. Tenses Cisalhantes: Agem paralelamente as faces do cubo aos pares e em faces opostas. As

tenses cisalhantes so positivas, se atuam no sentido positivo de um eixo de referncia estas

tenses tendem a distorcer o cubo na forma rombodrica.

O primeiro ndice representa a coordenada normal face do paraleppedo. O segundo ndice indica o

eixo paralelo a tenso representada.

Muitos elementos de mquinas esto sujeitos ao estado tridimensional de tenso, porm outros casos

podem ser tratados como estado de tenses bidimensional ou estado plano de tenses.


1.5.1 Tenses Principais

Para qualquer combinao de tenses aplicadas no paraleleppedo elementar (Figura 1.16), haver

sempre uma distribuio de tenses ao redor deste ponto. As tenses normais e cisalhantes iro variar.

Haver planos onde a tenso cisalhante ser nula. As tenses normais agindo nestes planos so chamadas

tenses principais (Figura 1.17) e os planos so chamados de planos principais. O eixo normal ao plano

principal chamado de eixo principal. H outro conjunto de eixos ortogonais no qual a tenso cisalhante

ser mxima. A tenso principal de cisalhamento ocorre em um plano a 45o do plano principal.

y

y

xy

xy

x

x

x

x

y

y

Figura 1.16 - Combinao de tenses normais e tangenciais em um cubo elementar

1

1

2

2

Figura 1.17 - Tenses Principais e Planos Principais

21

21

12

12

Figura 1.18 - Tenses Principais de Cisalhamento


Do ponto de vista da engenharia, procuraremos sempre projetar os elementos de mquinas de modo a

no falharem. Para isto, sempre necessitaremos calcular a maior tenso, seja ela normal ou tangencial, nos

pontos mais crticos da pea que faz parte da mquina.

A expresso que relaciona as tenses aplicadas com as tenses principais para o estado tridimensional

:

Equao 1.8 0CCC 012

23 =

onde:

Equao 1.9 zyx ++=2C Equao 1.10 xzzyyxzxyzxy ++= 2221C Equao 1.11

2220 2C xyzzxyyzxzxyzxyzyx +=

As trs tenses normais principais 1, 2 e 3, so as trs razes deste polinmio (Figura 1.8) de terceiro grau. As razes deste polinmio so sempre reais de modo que 1>2>3.

As tenses principais de cisalhamento podem ser encontradas a partir das tenses principais normais

usando:

Equao 1.12 231

13

=

Equao 1.13 212

21

=

Equao 1.14 223

32

= As direes dos vetores das tenses principais podem ser encontrados substituindo cada uma das

razes na matriz abaixo (Equao 1.15) e resolvendo nx, ny e nz. A direo das trs tenses principal so

mutuamente ortogonais.


Equao 1.15 0=

z

y

x

zzyzx

yzyyx

xzxyx

nnn

onde:

- Intensidade das tenses principais;

nx, ny, nz - Coseno da direo do vetor unitrio n o qual normal ao plano principal.

Equao 1.16 1 =nn Equao 1.17 knjninn zyx ++=

Da Resistncia dos Materiais, temos do mesmo modo as equaes bsicas para determinar as tenses

principais e seus planos:

Equao 1.18 = + + x y x y xy2 2 2 2cos sen

Equao 1.19 = + x y xy2 2 2sen cos sendo: xy=-yx

A variao de 2 ser:

00 2 3600

O ngulo variar ento de:

00 1800

Para localizarmos as tenses mxima e mnima, devemos determinar o valor do ngulo 2, que dado pelas seguintes expresses:

Equao 1.20 tg x yxy

22

=


Simplificando as equaes acima chega-se a:

Equao 1.21 1 22

2

2 2, = +

+

x y x yxy

Equao 1.22 max min x y xy, = +2

22

Equao 1.23 max min, =

1 2

2

1.5.2 Crculo de Mohr

Tomando-se um eixo de coordenadas cartesianas, toma-se a tenso normal sobre o eixo das abcissas e

as tenses de corte ou cisalhamento sobre o eixo das ordenadas. A determinao dos pontos feita atravs

de suas coordenadas que tem para valores,x, y, xy e .

So dados os seguintes valores: Ponto D (x, xy) e Ponto E (y, yx)

Sendo x e y tenses normais e ortogonais entre si e xy=-yx

min

max

2B F

G

D

yx

xy

0

E

2y

1

x

Figura 1.19 - Crculo de Mohr

A Tabela 1.1 indica a propriedades mecnicas de alguns aos comuns utilizados em projetos

mecnicos.


Tabela 1.1 - Propriedades Mecnicas dos Aos Comuns

Classificao SAE/ANSI

Estado Limite de Resistncia Trao Sut MPa

Resistncia ao Escoamento Sy MPa

Alongamento em 50,0 mm (%)

Estrico (%)

Dureza Brinell HB

1015 Laminado 420,6 313,7 39,0 61,0 126 Normalizado 424,0 324,1 37,0 69,6 121 Recozido 386,1 284,4 37,0 69,7 111


1030 Laminado 551,6 344,7 32.,0 57,0 179 Normalizado 520,6 344,7 32,0 60,8 149 Recozido 463,7 341,3 31,2 57,9 126





3140 Normalizado 891,5 599,8 19,7 57,3 262 Recozido 689,8 422,6 24,5 50,8 197









1.6 EXERCCIOS

1 Para o elemento de mquina mostrado na figura abaixo, considerando que a = 0,25 m, d = 0,020 m e

F = 2000 N calcular as tenses principais e esboar as tenses desenvolvidas no engaste (pontos A e B).

EPMUNOESC - Joaaba

a d

A

B

F


P = 2500 N calcular as tenses principais e esboar as tenses desenvolvidas no engaste (pontos A e B).

EPMUNOESC - Joaaba

Pa d

A

B


T = 250 N.m calcular as tenses principais e esboar as tenses desenvolvidas no engaste (pontos A e B).

EPMUNOESC - Joaaba

a d

A

B

T


4 Para o elemento de mquina mostrado na figura abaixo, considerando que a = 0,25 m, d = 0,020 m, P

= 2500 N e T = 250 N.m calcular as tenses principais e esboar as tenses desenvolvidas no engaste

(pontos A e B).

EPMUNOESC - Joaaba

Pa d

A

B

T

5 Para o elemento de mquina mostrado na figura abaixo, considerando que a = 0,25 m, d = 0,020 m, F

= 2000 N e T = 250 N.m calcular as tenses principais e esboar as tenses desenvolvidas no engaste

(pontos A e B).

EPMUNOESC - Joaaba

a d

A

B

TF


= 2500 N, F = 2000 N e T = 250 N.m calcular as tenses principais e esboar as tenses desenvolvidas no

engaste (pontos A e B).

EPMUNOESC - Joaaba

a dP

A

B

TF



= 2500 N e F = 2000 N calcular as tenses principais e esboar as tenses desenvolvidas no engaste

(pontos A e B).

EPMUNOESC - Joaaba

a dP

A

B

F


2 SOLICITAES ESTTICAS

2.1 PRINCIPAIS VARIVEIS UTILIZADAS NESTE CAPTULO

Smbolo Descrio da varivel Unidade Descrio da varivel em ingls ~ Tenso efetiva de Mohr modificada Pa Modified-Mohr efective stress Kt Fator de concentrao de tenses aplicado a

tenso normal - Geometric stress concentration

factor normal stress Kts Fator de concentrao de tenses aplicado a

tenso cisalhante - Geometric stress concentration

factor shear stress Suc Limite de resistncia a compresso Pa Ultimate compressive strenght Sus Limite de resistncia ao cisalhamento Pa Ultimate shear strenght Sut Limite de resistncia a trao Pa Ultimate tensile strenght Sy Resistncia ao escoamento a trao Pa Tensile yield strenght Sys Resistncia ao escoamento ao cisalhamento Pa Shear yield strenght Coeficiente de Segurana - Safety factor Tenso normal Pa Normal stress Tenso efetiva de von-Misses Pa Von Mises effective stress 1 2, 3 Tenses principais Pa Principal stresses max Tenso normal mxima aplicada Pa Maximum applied normal stress min Tenso normal mnima aplicada Pa Minimum applied normal stress x Tenso normal na direo x Pa y Tenso normal na direo y Pa Tenso tangencial ou cisalhante Pa Shear stress max Tenso de corte mxima aplicada Pa xy Tenso cisalhante aplicada no plano x e na

direo y Pa Shear stresses that act on the x

face and whose direction of action are paralel to the y axes

yx Tenso cisalhante aplicada no plano y e na direo x

Pa Shear stresses that act on the y face and whose direction of action are paralel to the x axes

2.2 INTRODUO

Porque as peas falham?

Essa uma pergunta que tem instigado o estudo de cientistas e engenheiros a sculos. Atualmente se

possui muito mais conhecimento para responder a esta pergunta do que algumas dcadas atrs. Isso se

deve ao grande nmero de ensaios em materiais que se desenvolveu at o momento e tambm devido ao

melhoramento nas tcnicas de medio.


Se voc respondesse a pergunta acima provavelmente diria que a pea falhou porque a tenso aplicada

ultrapassou o limite de resistncia da pea e certamente voc no estaria errado porm, devido a qual tipo

de tenso? Compresso? Trao? Cisalhamento? A resposta para esta pergunta o tradicional depende.

A falha depende do material em questo e de sua resistncia a compresso, a trao, ao cisalhamento.

Depende tambm das caractersticas do carregamento (esttico ou dinmico) e certamente da presena ou

ausncia de trincas ou fissuras no material.

Neste captulo estaremos preocupados em estudar as solicitaes estticas, especificamente as teorias

usadas no dimensionamento de peas mecnicas sujeitas a carregamentos estticos. Tambm daremos

ateno a concentrao de tenses.

A solicitao esttica aquela caracterizada pelo valor constante da tenso ao longo do tempo, ou

ento com variao to lenta ao longo do tempo que o efeito de massa ou inrcia desprezvel. No caso

de haver variao, a mesma chega a um mximo e ento permanece constante conforme ilustrado na

Figura 2.1.

Tempo

Tens

o Nvel de Tenso constante no

tempo

Figura 2.1 - Solicitao Esttica

Este tipo de solicitao geralmente ocorre em estruturas de sustentao de mquinas e equipamentos.

2.3 TEORIAS PARA FALHAS ESTTICAS

Durante os ltimos 300 anos, inmeros cientistas, engenheiros e pesquisadores tentaram explicar os

fenmenos das falhas estticas. Aps muito trabalho, foram determinadas algumas teorias que so at o

momento muito utilizadas no dimensionamento de elementos mecnicos. As teorias so divididas para

materiais dcteis e frgeis, uma vez que os mecanismos que originam a falha so diferentes.

Apresentaremos aqui, as teorias para materiais dcteis e para materiais frgeis.


2.3.1 Teoria da Tenso Normal Mxima

Esta teoria, estabelece que a falha ocorre sempre que a maior tenso principal se iguala ao limite de

escoamento ou resistncia a ruptura do material.

Se estabelecermos que 1 a maior das tenses principais, esta teoria estabelece que a falha por escoamento ocorrer sempre que 1 = e e a falha por ruptura ocorrer sempre que 1 = r.

Esta teoria estabelece que somente a maior tenso principal conduz falha e deve-se desprezar as

demais.

Devido a este fato, esta teoria importante somente para fins de comparao. Suas previses no

concordam com a experincia e ela pode conduzir a resultados inseguros.

Elaborando-se um grfico com as tenses e t e e c e marcando-se as tenses 1 e 2, num sistema de eixos ortogonais, esta teoria estabelece que a falha ocorrer sempre que um ponto cujas coordenadas

sejam 1 e 2 cai sobre ou fora do grfico. Os pontos situados no primeiro e terceiro quadrantes esto na regio segura, enquanto que os pontos nos demais quadrantes esto numa regio insegura.

Neste critrio, nota-se que s se obtm um verdadeiro ponto de teste onde o diagrama corta o eixo

+ 1 1

2

+ 2

+ Sy

+ Sy Sy

Sy

Sut

Sut

Suc

Suc

Critrio de escoamento

Critrio de ruptura

Figura 2.2 - Grfico da Teoria da Tenso Normal Mxima

Conforme o critrio de falha escolhido (escoamento ou ruptura), a teoria da tenso norma mxima

estabelece que a falha ocorrer quando:


Equao 2.1 1 = Sy ou 1 = -Sy e 1 = Sut ou 1 = Suc Se o critrio de falha for o escoamento, o fator de segurana N pode ser determinado por:

NSy=1 ou N

Sy=1

Se o critrio de falha for a ruptura, o fator de segurana N pode ser determinado por:

Equao 2.2 NSut=1 ou N

Suc=1 Exemplo 1 - Um certo componente mecnico fabricado com um ao SAE 1015 onde sua resistncia

a trao Sut= 400 MPa e seu limite de escoamento a trao y=300 MPa. Suponha que a pea esteja submetida a um nvel de tenso 1=300 MPa e 2=200 MPa. Calcular o coeficiente de segurana usando o critrio da ruptura, utilizando a teoria da mxima tenso normal.

Soluo:

Inicialmente deve-se montar o grfico com as tenses Sut e Suc Lembre-se que para os aos, Sut = -Suc

. Neste grfico, as tenses principais 1 so plotadas no eixo x e as tenses principais 2 so plotadas no eixo y.

2

1

Sut = 400 MPa

Suc = -400 MPa Sut

= 4

00 M

Pa S

uc =

-400

MPa

1 =

300

2 = 200 N P

Determine o ponto P com as coordenadas 1 e 2. Trace uma reta a partir da origem, passando pelo ponto P at interceptar a curva envelope do diagrama da tenso normal. Assim, usando a Equao 2.2

temos que:

1utSN = ou seja,

300400=N 3333,1=N


2.3.2 Teoria da Tenso Mxima de Cisalhamento

Esta teoria se aplica somente a materiais dcteis. Ela estabelece que o escoamento comea sempre que

a tenso cisalhante mxima em uma pea for igual a tenso cisalhante mxima do corpo de prova quando

este inicia o escoamento. Assim, o escoamento inicia quando2max

yS= .

Para um estado duplo de tenses, sabe-se que a mxima tenso de corte :

Equao 2.3 231

max =

IMPORTANTE: Nesta teoria 1>2>3 Aqui importante lembrar que no estado duplo de tenses, a menor tenso 3 = 0;

Equao 2.4 22

max 2 xyyx +

=

Deve-se notar que esta teoria prev que o limite de escoamento ao cisalhamento seja a metade do

limite de escoamento trao, isto 2

yys

SS =

Assim, se igualarmos as equaes acima e aplicarmos um coeficiente de segurana N, obteremos a

seguinte expresso:

Equao 2.5 22

22 xyyxy

NS +

= ou

22

22 xy

yx

ySN

+

=

A Figura 2.3 ilustra o grfico da teoria da tenso cisalhante mxima para tenses biaxiais. Nota-se que

o grfico o mesmo da teoria da tenso normal mxima, quando as duas tenses principais tem o mesmo

sinal.


1

3 + Sy

+ Sy Sy

Sy

Figura 2.3 - Grfico da Teoria da Tenso Cisalhante Mxima.

Exemplo 2 - Um certo componente mecnico fabricado com um ao SAE 1015 onde sua resistncia

a trao Sut = 400 MPa e seu limite de escoamento a trao Sy=300 MPa. Calcular o coeficiente de segurana, utilizando a teoria da mxima tenso de cisalhamento para as dois casos seguintes:

Quando : 1=200 MPa e 2=150 MPa e 3=0 MPa Quando : 1=100 MPa e 3=-100 MPa. E 2=0 MPa Soluo:

Inicialmente deve-se construir a curva envolvente do diagrama da tenso mxima de cisalhamento

com Sy =300 MPa e -Sy = -300 MPa.

a) Determine o ponto P1 com as coordenadas 1 e 3. Trace uma reta a partir da origem, passando pelo ponto P1 at interceptar a curva envolvente do diagrama da tenso mxima de cisalhamento.

3

1

Sy =300 MPa

-Sy= -300 MPa

S y =

300

MPa

-Sy =

-300

MPa

N1 P1 = A

1

x


O coeficiente de segurana N1 a razo entre a componente x do ponto A com a componente 1 do ponto P1 ou seja:

11

xN =

Neste caso, nota-se que a componente x = Sy = 300 MPa. Como a componente 1=200 MPa tem-se que:

MPaMPaN

200300

1 =

Assim, tem-se que:

5,11 =N

b) Determine o ponto P2 com as coordenadas 1 e 3 (Neste exemplo a menor tenso continua sendo 3). Trace uma reta a partir da origem, passando pelo ponto P2 at interceptar a curva envolvente do diagrama

da tenso mxima de cisalhamento.

3

1

Sy =300 MPa

-Sy = -300 MPa

S y =

300

MPa

-Sy =

-300

MPa

N2

B

P2

N2

x

y

1 2

O coeficiente de segurana N2 a razo entre a componente x do ponto B com a componente 1 do ponto P2 ou a razo entre a componente y do ponto B com a componente 3 do ponto P2 ou seja:


12

xN = ou 3

2 yN =

Neste caso, a coordenada x no pode ser determinada diretamente pela observao do grfico. Aqui

o ponto x s pode ser determinado pela interseo de duas retas: uma que passa pela origem e pelo

ponto P2 outra que passa pelas coordenadas (300,0) e (0,-300).

A equao de uma reta que passa pela origem calculada a partir de:

bxay +=

Onde a o coeficiente angular da reta e vale:

1

3

=a 100

100=a

Assim, temos que a equao da reta que passa pela origem :

xy =100100 ou xy = 1 (1)

A equao da curva envolvente no ponto B calculada a partir da equao da reta que passa por

dois pontos:

( )112

121 xxxx

yyyy =

(x2 , y2 ) (0, -300)

(x1 , y1)(300, 0 )

Ponto 1

Ponto 2 Substituindo as coordenadas (x1 , y1) e (x2 , y2) na equao acima tem-se:


( )3003000

03000 = xy

( )300300300

= xy ou ( )3001 = xy 300= xy (2)

Substituindo a equao 1 na equao 2 e resolvendo-as simultaneamente tem-se:

3001 = xx ou 3002 = x

2300

=x ou 150=x

Assim, tem-se que:

12

xN = 100150

2 =N 5,12 =N

Assim, conclui-se que o coeficiente de segurana N2 = 1,5 considerando a teoria da mxima tenso

cisalhante

2.3.3 Teoria de Huber-von Mises - Hencky ou da Mxima Energia de Distoro

Esta teoria tambm conhecida por teoria da energia de distoro. Esta teoria um pouco mais difcil

de ser aplicada do que a teoria da tenso mxima de cisalhamento, e melhor no emprego para materiais

dcteis. empregada para definir o incio do escoamento, tal como a teoria da tenso mxima de

cisalhamento.

Huber-von Mises-Hencky postularam que o escoamento no era um simples fenmeno de trao ou

compresso, mas, ao contrrio, era relacionado de algum modo distoro angular do elemento

tensionado.

Esta teoria surgiu a partir da Teoria da mxima energia de deformao que previa que o escoamento

comearia sempre que a energia total de deformao armazenada no elemento tensionado se tornasse

igual energia total de deformao de um elemento de um corpo de prova submetido a um teste de

trao, na ocasio do escoamento.

A teoria da mxima energia de distoro no mais usada, porm e a precursora da teoria de von

Mises-Hencky. Assim pensou-se em subtrair da energia total de deformao a energia usada para

provocar uma variao de volume, resultando na energia da distoro.


Aqui abordaremos somente as equaes finais, ficando ao aluno encarregado de pesquisar suas

dedues.

Para fins de anlise e projeto, importante definir uma tenso de von Mises (tenso efetiva) dada pela

equao abaixo:

Equao 2.6 , = +12 1 2 22

teoria de von Mises prev que a falha por escoamento ocorre sempre que:

Equao 2.7 yS=, Assim, se igualarmos as equaes acima e aplicarmos um coeficiente de segurana N, obteremos a

seguinte expresso:

Equao 2.8 2221

21 +=N

S y ou 2

22121 +

= ySN

Na Figura 2.4 podemos observar o grfico das tenses de von-Mises.

1

2 + Sy

+ Sy Sy

Sy

Figura 2.4 - Grafico da Teoria da energia de distoro

Conforme estudos desenvolvidos, relatado por Shigley (1984), a teoria da energia de distoro prev o

escoamento com maior preciso em todos os quadrantes. Considerando ento esta teoria como a mais

correta, nota-se pela figura abaixo que a teoria da tenso cisalhante mxima sempre conduzir a

resultados do lado da segurana (grfico esta contido dentro do grfico da teoria da energia de distoro).

Por outro lado, nota-se que a teoria da tenso normal mxima conduz a resultados seguros somente se o


sinal das duas tenses principais for igual. Para a toro pura utiliza-se a teoria da energia de distoro ou

a teoria da tenso cisalhante mxima.

2.3.4 Comparao entre as trs teorias aplicadas a materiais Dcteis

1

2 + Sy

+ Sy Sy

Sy

Teoria de von-Mises Teoria da tenso cisalhante mxima Teoria da tenso normal mxima

Figura 2.5 - Comparao das trs teorias de falhas estticas para materiais dcteis e tenses biaxiais

2.3.5 Teoria de Coulomb Mohr

A teoria de Coulomb Mohr deve ser usada como critrio de falhas quando o material frgil, as

cargas aplicadas so estticas e principalmente quando as tenses de resistncia a trao forem iguais as

de compresso, isto : ucut SS =

Conforme Shigley (1984), a teoria de

Coulomb-Mohr s vezes denominada de teoria

do atrito interno e baseia-se nos resultados de

dois testes, o de trao e o de compresso.

Esta teoria mais conservadora

principalmente no quarto quadrante.

A Figura 2.6 ilustra a teoria de Coulomb-

Mohr com seus pontos caractersticos

1

2

Sut

Sut Suc

Suc

Figura 2.6 Grfico da Teoria de Coulomb-

Mohr


2.3.6 Teoria de Mohr Modificada

As observaes deixadas pela teoria de Mohr modificada para materiais frgeis so uma adaptao da

teoria da mxima tenso normal. Conforme Juvinall (1983), esta teoria representa resultados mais

confiveis do que a teoria da mxima tenso normal.

Esta teoria usada preferencialmente quando o material frgil no apresenta as tenses de resistncia

a trao e compresso iguais ou seja prefervel quando ucut SS

Algumas caractersticas dos materiais frgeis segundo Shigley (1984) so: (i) O diagrama tenso x

deformao uma linha contnua at o ponto de falha; a falha ocorre por fratura; estes materiais no

possuem limite de escoamento; (ii) A resistncia a compresso geralmente, muitas vezes maior que a

resistncia trao; (iii) O limite de ruptura toro aproximadamente o mesmo que o limite de

resistncia a trao;

A Figura 2.7 ilustra um caso de tenses biaxial no qual esto indicados dois eixos ortogonais, 1 e 2.

1

2

Sut

(Sut, -Sut)

Suc

Suc

(-Sut, Sut)

11

2 =

Figura 2.7 - Grfico representativo da teoria de Mohr modificada para materiais frgei

A teoria de Mohr modificada melhor explicada atravs de uma abordagem grfica.


S

S

S

ut

ut

uc

+

-

-

-

A A

BB

C

C

o

Figura 2.8 - Grfico representativo da teoria de Mohr modificada para materiais frgeis no 1o e 4o quadrantes

Considerando trs casos de estado plano de tenses, chamados A, B, C, conforme indicado na Figura

2.8 e utilizando-se um coeficiente de segurana N as tenses e resistncias relacionam-se conforme os

casos abaixo(Norton, 1997):

a) Para o ponto A, onde o prolongamento da reta OB intercepta a curva envelope no ponto A'

teremos:

Equao 2.9 1utSN =

b) Para o ponto

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Elementos de Maquinas I (Apostila 2008-01)