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7/24/2019 elem_finito_aulas.pdf

1/14

ELEMENTOS FINITOS

uma tcnica utilizada para construir uma soluoaproximada de problemas com valores de fronteira.

A Tcnica dos Elementos Finitos (TEF):

baseada na construo de solues aproximadas de

equaes diferenciais, para problemas restritos a espaoslimitados.

Implica em dividir o domnio da soluo em nmerosfinitos de simples domnio (elementos), os quais podem serde diferentes geometrias.

Utilizando-se de conceitos variacionais constroi-se umaaproximao da soluo com base na coleo deinformaes de cada elemento.

Problemas com Valores de Fronteira

Um problema com valores de fronteira pode ser definido

por uma equao diferencial em um domnio :

L u = f

L operador diferencialu a quantidade (campo) a ser determinadaf a funo excitadora ou fonte.


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Soluo Aproximada da Equao Diferencial

L u = f

Podemos definir;

(((( )))) (((( ))))u r r ui ii

n

========

!!!! 1

(1)

Substituindo na equao diferencial obtemos,

(((( ))))L u r f R ====

u = c1

(Problema

de Dirichlet

(Problema deNeumann )

u = c2


3/14

Mtodo Residual de Galerkin

Consiste em determinar uma funo peso ( wj ), tal que o

produto interno dessa funo com a funo erro ( R ) resulteem zero.

(((( ))))=>=>=w R w L u r f j j, , 0

ou seja,

(((( ))))(((( ))))w L u r f j ====""""

dr 0 . (2)

Substituindo 1em 2, obtemos,

(((( ))))w L r u w f drj i ii

n

j

dr""""!!!! """"====

====1

ou seja,

w L u w L u qj j n n i

1 1dr dr"""" """"####

$$$$%%%%

&&&&

''''(((( ++++ ++++

####

$$$$%%%%

&&&&

''''(((( ====!


4/14

II. PROBLEMAS EM UMA DIMENSO (1-D)

A) Problema de Valor de Fronteira - 1D

Seja um problema de valor de fronteira definido pela seguinteequao diferencial:

####

$$$$%%%% &&&&

''''(((( ++++ ====

d

dx

du

dxf u

Onde:

u funo desconhecidaa ser determinada, parmetros (conhecidos) associados com as propriedadesfsicas do domnio.

f funo excitadora ou fonte (conhecida).

Condies de Fronteira:

1. Condio de Dirichlet

u(x=0) =p

2. Condio de Neumann

du

dxq

x L

++++))))****++++

,,,,----....

========

u

p, , q parmetros conhecidos.


5/14

B) Discretizao e Interpolao

Etapa 1: Dividir o domnio da soluo (0, L)em pequenossubdomnios (e = 1, 2, 3, . . ., M).

M SubdomniosN Ns

Etapa 2: Selecionar a funo interpoladora.

1. Elementos Lineares

ue(x) = ae+ bex (1)

aee beso constantes a serem determinadas.

Para cada elemento temos dois ns associados: xe1 e xe

2 .

Calculando u(x)em cada n, temos;

u1= ae+ bex e1

u2= ae+ bex e2

Calculando ae

e be

e substituindo em 1, obtemos:(((( )))) (((( ))))u x N x

eje

j

j

========

!!!! u1

2

(((( ))))N xx x

x

ee

e12====

e (((( ))))N x

x x

x

ee

e21====

x x xe e e

==== 2 1

1 2 3

4

N-2 N-1 N x. . .

1 2 3 M-1 M

x=0

1 2

e


6/14

2. Elementos Quadrticos

ue(x) = ae+ bex + cex2

Calculando u(x)em cada n, temos;u1= a

e+ bexe1 + c

e(((( ))))xe12

u2= ae+ bex

e2 + c

e(((( ))))xe22

u3= ae+ bexe3 + c

e(((( ))))xe32

Calculandoae, be, ce, obtemos: (((( )))) (((( ))))u x N xe je

j

j

========

!!!! u1

3

(((( )))) (((( ))))(((( ))))(((( ))))(((( ))))

N xx x x x

x x x x

e

e e

e e e e1

2 3

1 2 1 3

====

(((( ))))

(((( ))))(((( ))))(((( ))))(((( ))))

N xx x x x

x x x x

e

e e

e e e e2

1 3

2 1 2 3

====

(((( )))) (((( ))))(((( ))))(((( ))))(((( ))))

N xx x x x

x x x x

e

e e

e e e e3

1 2

3 1 3 2

====

3. Elementos Cbicos

ue(x) = ae+ bex + cex2+ dex3

Calculando u(x)em cada n, temos;

u1= ae+ bex

e1 + c

e(((( ))))xe12

+ de(((( ))))xe13

u2= ae+ bex

e2 + c

e(((( ))))xe22

+ de(((( ))))xe23

u3= ae+ bex

e3 + c

e(((( ))))xe32

+ de(((( ))))xe33

u4= ae+ bexe4 + ce(((( ))))xe4 2+ de(((( ))))xe4 3

Calculandoae, be, ce, de, obtemos: (((( )))) (((( ))))u x N xe je

j

j

========

!!!! u1

4

(((( )))) (((( ))))(((( ))))(((( ))))(((( ))))(((( ))))(((( ))))

N xx x x x x x

x x x x x x

e

e e e

e e e e e e1

2 3 4

1 2 1 3 1 4

====

(((( ))))

(((( ))))(((( ))))(((( ))))(((( ))))(((( ))))(((( ))))

N xx x x x x x

x x x x x x

e

e e e

e e e e e e2

1 3 4

2 1 2 3 2 4

====

(((( )))) (((( ))))(((( ))))(((( ))))

(((( ))))(((( ))))(((( ))))N x

x x x x x x

x x x x x x

e

e e e

e e e e e e3

1 2 4

3 1 3 2 3 4

====

(((( )))) (((( ))))(((( ))))(((( ))))

(((( ))))(((( ))))(((( ))))N x

x x x x x x

x x x x x x

e

e e e

e e e e e e4

1 2 3

4 1 4 2 4 3

====

1

e

2 3 4

1 3

e

2


7/14

C) Soluo Aproximada Utilizando Mtodo Residual deGalerkin

Utilizando elementos lineares e substituindo

(((( )))) (((( )))) (((( ))))u x u x N xe

je

j

j

====

====!!!! u

1

2

na equao diferencial, obtemos;

rd

dx

du

dxf

ee

==== ####

$$$$%%%%

&&&&

''''(((( ++++ u

Em cada Elemento:

R N r dxie ie

x

x

e

e

====""""

1

2

Nie funo peso

R Nd

dx

du

dxNi

eie

ee

x

x

ie

x

x

e

e

e

e

==== ####

$$$$%%%%

&&&&

''''(((( ++++

))))

****++++

,,,,

----.... """" """" u dx f dx

1

2

1

2

Integrando por parte, obtemos;

R dN

dx

du

dxN du

dxie i

e e

ie e

x

x

ie

x

x

ie e

x

x

e

e

e

e

e

e

==== ++++####$$$$%%%% &&&&

''''(((( """" """" N u dx f dx N

1

2

1

2

1

2

Substituindo (((( )))) (((( ))))u x N xe je

j

j

====

====

!!!! u1

2

R udN

dx

dN

dx

Ndu

dx

ie

jie

je

ie

je

x

x

j

ie

x

x

ie

e

x

x

e

e

e

e

e

e

==== ++++####

$$$$

%%%% &&&&

''''

(((( """"!!!! """"====

N N dx f dx N

1

2

1

2

1

2

1

2

{{{{ }}}} [[[[ ]]]]{{{{ }}}} {{{{ }}}} {{{{ }}}}R k ge e e==== u - be

kdN

dx

dN

dxij

ie

je

ie

je

x

x

e

e

==== ++++####

$$$$%%%%

&&&&

''''(((("""" N N dx

1

2

b Ni ie

x

x

e

e

==== """" f dx1

2

gdu

dx

du

dxi i

ee

x

x e

x

x

e

e

e

e

==== ==== N1

2

1

2

"


8/14

Como {{{{ }}}} {{{{ }}}} {{{{ }}}}R Ree

M

====

====

!!!!1

= 0 //// [[[[ ]]]]{{{{ }}}} {{{{ }}}} {{{{ }}}}(((( )))) {{{{ }}}}k ge ee

M

u - be ====

====

!!!!1

0

[[[[ ]]]]{{{{ }}}} {{{{ }}}} {{{{ }}}}K Ge eu = Be ++++

PROCESSO PARA DETERMINAR [KE], {BE}, {GE}

Seja um domnio dividido em 03 subdomnios:

[[[[ ]]]]K

K K

K K1

111

121

211

221

0 0

0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

====

))))

****

++++++++++++++++

,,,,

----

....

....

....

....

[[[[ ]]]]KK K

K K

2 222

232

322

332

0 0 0 0

0 0

0 0

0 0 0 0

====

))))

****

++++++++++++++++

,,,,

----

....

....

....

....

[[[[ ]]]]KK K

K K

3

333

343

433

443

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0

0 0

====

))))

****

++++++++++++++++

,,,,

----

....

....

....

....

[[[[ ]]]]{{{{ }}}} [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]](((( )))){{{{ }}}}k k k k uee

u

====

!!!! ==== ++++ ++++1

3

1 2 3

====

))))

****

++++++++++++++++

,,,,

----

........

....

....

++++

))))

****

++++++++++++++++

,,,,

----

........

....

....

++++

))))

****

++++++++++++++++

,,,,

----

........

....

....

####

$$$$

%%%%%%%%%%%%%%%%

&&&&

''''

((((((((((((((((

####

$$$$

%%%%%%%%%%%%%%%%

&&&&

''''

((((((((((((((((

K K

K K K K

K K K K

K K

u

u

u

u

111

121

211

221

222

232

322

332

333

343

433

443

1

2

3

4

0 0

0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0

0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0

0 0

====++++

++++

))))

****

++++++++

++++++++

,,,,

----

....

....

........

####

$$$$

%%%%%%%%

%%%%%%%%

&&&&

''''

((((((((

((((((((

K K

K K K K

K K K KK K

u

u

uu

111

121

211

221

222

232

322

332

333

343

433

443

1

2

3

4

0 0

0

00 0

x1 2 3

4

1 2 3


9/14

Pelo mesmo raciocnio;

{{{{ }}}}bee

bb b

b b

b====

!!!! ====++++

++++

####

$$$$

%%%%%%%%%%%%%%%%

&&&&

''''

((((((((((((((((1

31

1

21

12

22

13

23

e {{{{ }}}}g

e

e

e

x x

e

x x

gg g

g g

g

du

dx

du

dx

e

e

====

====

====

!!!! ====++++

++++

####

$$$$

%%%%%%%%%%%%%%%%

&&&&

''''

((((((((((((((((

====

####

$$$$

%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

&&&&

''''

((((

((((((((((((((((((((((((

1

31

1

21

12

22

13

23

1

4

0

0

e = M (nmero total deelementos)?

F I M

e = e +1

Para i , j=1, 2, ...,N

Clculo deKije e bi

e

Para i , j=1, 2, ..., NKij= 0

bi= 0

e = 1

Acumula para i , j=1, 2, ...,NK K Kij ij ij

e==== ++++

b b bi i ie

==== ++++


10/14

D) Incorporando as Condies de Fronteira no Sistema deEquaes.

1. Condio de fronteira de Dirichlet u(x=0) =p

u pb p

K

g

ij1

1

1

1

0

0

==== ////

====

====

====

====

0000

1111

22222222

3333

22222222

K

j = 2, 3, . . . , M

11

Exemplo:

1 0 0 0 0

0

0

21 22 23 24

31 32 32 34

41 42 43 44

1

2

3

4

2

3

4 4

K K K K

K K K K

K K K K

u

u

u

u

p

b

b

b g

))))

****

++++++++++++++++

,,,,

----

........

....

....

))))

****

++++++++++++++++

,,,,

----

........

....

....

====

))))

****

++++++++++++++++

,,,,

----

........

....

....

++++

))))

****

++++++++++++++++

,,,,

----

........

....

....

1 0 0 0

0

0

0

0

0

0

0

22 23 24

32 32 34

42 43 44

1

2

3

4

2

3

4 4

21

31

41

K K K

K K K

K K K

u

u

u

u

p

b

b

b g

K

K

K

))))

****

++++++++++++

++++

,,,,

----

....

....

....

....

))))

****

++++++++++++

++++

,,,,

----

....

....

....

....

====

))))

****

++++++++++++

++++

,,,,

----

....

....

....

....

++++

))))

****

++++++++++++

++++

,,,,

----

....

....

....

....

))))

****

++++++++++++

++++

,,,,

----

....

....

....

....

p

p

p

2. Condio de fronteira de Neumann

du

dxq

x L

++++))))****++++

,,,,----....

========

u

gdu

dxq

x x l4

4

==== ==== ==== ====

u4

1 0 0 0

0

0

0

22 23 24

32 32 34

42 43 44

1

2

3

4

2 21

3 31

4 41

K K K

K K K

K K K

u

u

u

u

p

b K

b K

b q K++++

))))

****

++++++++++++++++

,,,,

----

....

....

....

....

))))

****

++++++++++++++++

,,,,

----

....

....

....

....

====

++++

))))

****

++++++++++++++++

,,,,

----

....

....

....

....

p

p

p

K K K

K K K

K K K

u

u

u

b K

b K

b q K

22 23 24

32 33 34

42 43 44

2

3

4

2 21

3 31

4 41++++

))))

****

++++

++++++++

,,,,

----

....

........

))))

****

++++

++++++++

,,,,

----

....

........

====

++++

))))

****

++++

++++++++

,,,,

----

....

........

p

p

p


11/14

III. PROBLEMAS EM DUAS DIMENSES (2-D)

A) Problema de Valor de Fronteira - 2D

Seja um problema de valor de fronteira definido pela seguinteequao diferencial:

####

$$$$%%%%

&&&&''''((((

####$$$$%%%%

&&&&''''(((( ++++ ====

d

dx

du

dx

d

dz

du

dzfx z u (x, z)

Onde:

u(x, y) funo desconhecidaa ser determinadax,z, parmetros (conhecidos) associados com as

propriedades fsicas do domnio.f funo excitadora ou fonte (conhecida).

CONDIES DE FRONTEIRA:

1. Condio de Dirichlet

u=p u1

2. Condio de Neumann

x zdu

dxx

du

dzz n q++++####

$$$$%%%% &&&&

''''(((( ++++ ====u u2

p, , q parmetros conhecidos.

( =2+2) contorno da fronteira


12/14

B) Discretizao e Interpolao

Etapa 1: Dividir o domnio da soluo em pequenos subdomnios(e= 1, 2, 3, . . ., M).

Etapa 2: Selecionar a funo interpoladora.

1. Elementos Triangulares

ue(x) = ae+ bex + cez (1)

ae, beeceso constantes a serem determinadas.

Para cada elemento temos trs ns associados: (x e1 ,ze1 ), (x e2 ,ze2 )e (x e3 , z

e3 ).

Calculando u(x)em cada n, temos;u1= a

e+ bexe1 + c

eze1

u2= ae+ bex

e2 + c

eze

2

u3= ae+ bex

e3 + c

eze

3 Calculandoae, beecee substituindo em 1, obtemos:

(((( )))) (((( ))))u x z N x z

e

j

e

jj

, ,========!!!!

u1

3

(((( )))) (((( ))))N x z x zje e je

je

je, ==== ++++ ++++

1

j=1, 2, 3

(((( ))))e

e e

e e

e e

e e e e

x z

x zx z

==== ==== ====

1

11

1

2

1 1

2 2

3 3

1 2 2 1 rea do elemento

1 2

3

e


13/14

C) Soluo Aproximada Utilizando Mtodo Residual de Galerkin

Utilizando elementos lineares e substituindo

(((( )))) (((( )))) (((( ))))u x z u x z N x ze

j

e

jj

, , , ========!!!! u1

3

na equao diferencial,

rd

dx

du

dx

d

dz

du

dzfx z====

####$$$$%%%%

&&&&''''((((

####$$$$%%%%

&&&&''''(((( ++++ u

Em cada Elemento:

R N r dxie

ie

e==== """""""" dz Ni

efuno peso

R N ddx

dudx

ddz

dudz

f dxdzie ie x ze==== ####$$$$%%%% &&&&''''(((( ####$$$$%%%% &&&&''''(((( ++++ ))))****++++ ,,,,----

...."""""""" u Integrando por parte, obtemos;

RdN

dx

du

dx

dN

dz

du

dz

N fdxdz N D n d

ie

xie e

zie e

ie e

ie

ie e

e

e

==== ++++ ++++####

$$$$%%%%

&&&&

''''((((

""""""""

"""""""" """"

N u dxdz

- -

Ddu

dxx

du

dzzx z==== ++++

####$$$$%%%%

&&&&''''((((

Substituindo (((( )))) (((( ))))u x z N x ze je

j

j

, ,========

!!!! u1

3

RdN

dx

dN

dx

dN

dz

dN

dzdxdz

N fdxdz N D n d

ie

xie

je

zie

je

ie

je

ie

ie e

e

e

==== ++++ ++++####

$$$$%%%%

&&&&

''''((((

""""""""!!!!

"""""""" """"

N N u

- -

j

j =1

3

{{{{ }}}} [[[[ ]]]]{{{{ }}}} {{{{ }}}} {{{{ }}}}R k ge e e==== u - be

Como {{{{ }}}} {{{{ }}}} {{{{ }}}}R Ree

M

====

====

!!!!1

= 0 //// [[[[ ]]]]{{{{ }}}} {{{{ }}}} {{{{ }}}}(((( )))) {{{{ }}}}k ge ee

M

u - be ====

====

!!!!1

0

[[[[ ]]]]{{{{ }}}} {{{{ }}}} {{{{ }}}}K Ge eu = Be ++++


14/14

PROCESSO PARA DETERMINAR [Ke]Seja um domnio dividido em 04 subdomnios:

[[[[ ]]]]k

k k k

k k k

k k k

1

11

1

12

1

14

1

21

1

22

1

24

1

41

1

42

1

44

1

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

====

))))

****

++++++++++++++++++++++++++++

,,,,

----

........

....

....

....

....

....

[[[[ ]]]]k

k k k

k k k

k k k

2

11

2

13

2

14

2

31

2

33

2

34

2

41

2

43

2

44

2

0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

====

))))

****

++++++++++++++++++++++++++++

,,,,

----

........

....

....

....

....

....

[[[[ ]]]]kk k k

k k k

k k k

3 33

3

34

3

36

3

43

3

44

3

46

3

63

3

64

3

66

3

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0

====

))))

****

++++++++++++++++++++++++++++

,,,,

----

........

....

....

....

....

....

[[[[ ]]]]kk k k

k k k

k k k

4 33

4

35

4

36

4

53

4

55

4

56

4

63

4

65

4

66

4

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0

0 0 0

====

))))

****

++++++++++++++++++++++++++++

,,,,

----

........

....

....

....

....

....

[[[[ ]]]]{{{{ }}}} [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]](((( )))){{{{ }}}}k k k k k ue

e u====!!!! ==== ++++ ++++ ++++1

41 2 3 4

====

++++ ++++

++++ ++++ ++++ ++++

++++ ++++ ++++ ++++

++++ ++++

))))

****

++++++++++++++++++++++++

++++

,,,,

----

....

....

....

....

....

....

....

####

$$$$

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

&&&&

''''

((((((((((((

k k k k k k

k k k

k k k k k k k k k

k k k k k k k k k

k k k

k k k k k k

u

u

u

u

u

u

11

1

11

2

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