Eletromagnetismo - Capítulo 7 - Web Version - Copyright Eduardo Fontana 2011

22/09/12 Eletromagnetismo - Capítulo 7 - Web Version - Copyright Eduardo Fontana 2011

1/63www.ufpe.br/fontana/Eletromagnetismo2/EletromagnetismoWebParte02/mag2cap7.htm#mozTocId7…

Eletromagnetismo - Parte II

Eduardo Fontana, PhDProfessor Titular

Departamento de Eletrônica e Sistemas

Universidade Federal de Pernambuco

1a. Edição - Versão 1.0 = 29/03/2011

Versão atual - 1.6 - 14/04//2011

Recife, 2011

Eletromagnetismo - Parte II

Capítulo 7 - Ondas Eletromagnéticas

7.1 Onda plana uniforme7.1.1 Equação da Onda7.1.2 Solução da Eq. da Onda em coordenadas cartesianas

7.1.3 Onda plana uniforme7.2 Eqs. de Maxwell para campos harmônicos

7.3 Teorema de Poynting para campos harmônicos

7.4 Onda plana no regime harmônico

7.4.1 Equação de Helmholtz

7.4.2 Solução da Eq. de Helmholtz em coordenadas cartesianas

7.4.3 Onda harmônica plana uniforme

A. Obtenção do campo elétrico

B. Obtenção do campo magnético

C. Características da solução para os campos

D. Potência e energia

7.4 Modelo do oscilador harmônico para a resposta em frequência de meios materiais7.4.1 Introdução

7.4.2 Modelo do oscilador harmônico

A. Equação de movimento para o vetor posição

B. Determinação da permissividade elétrica

C. Propriedades da função permissividade

D. Função condutividade



7.5 Teorema de Poynting no regime harmônico para meios lineares7.6 Propagação eletromagnética em meios lineares

7.6.1 Propagação em um meio sem perdas

7.6.2 Propagação em um meio com perdas

7.6.3 Propagação em um meio dispersivo

A. Espectro de uma função real

B. Velocidade de fase e velocidade de grupo

7.7 Espectro eletromagnético

7.7.1 Ondas de rádio

7.7.2 Micro-ondas e ondas milimétricas7.7.3 Infravermelho e visível

7.7.4 Ultravioleta e Raios-X

Problemas

Capítulo 7 - Ondas Eletromagnéticas O acoplamento entre grandezas elétricas e magnéticas previsto nas Eqs. de Maxwell implica

que o campo eletromagnético se manifesta como uma perturbação que pode se propagar no espaço naforma de uma onda. Ou seja, se em algum ponto do espaço é criada uma flutuação no tempo da carga,

o campo eletromagnético dessa flutuação se propaga no espaço e seu efeito pode ser sentidoremotamente. Isso, em essência, permite o intercâmbio de informação entre pontos remotamentelocalizados. Diferentemente de outros tipos de onda de matéria, como o som, por exemplo, essa

propagação pode se dar inclusive no vácuo. As características principais da manifestação ondulatóriado campo eletromagnético são exploradas a seguir.

7.1 Onda plana uniforme

7.1.1 Equação da Onda

Considere-se que exista campo eletromagnético no vácuo. Esse campo talvez tenha sidocriado, por exemplo, por uma flutuação de carga em algum ponto exterior à região de interesse, esta

limitada pela superfície , conforme ilustrado na Fig.7.1. Flutuações de carga podem ser produzidasde várias formas. Por exemplo, com o emprego de uma antena alimentada por um circuito em que acorrente elétrica flutua no tempo. Pode-se ter, nesse caso, a geração de ondas de rádio-freqüência.

Alternativamente, os elétrons em um átomo ou molécula, que é parte de um gás em um recipiente,podem estar realizando transições entre níveis de energia sob alguma influência externa, como em uma

lâmpada ou em um laser, por exemplo. Nesse caso, a perturbação eletromagnética pode se manifestarna forma de luz. Outra possibilidade de se produzir flutuação de carga é colidir um feixe de elétrons

em um anteparo. Como resultado da forte desaceleração (flutuação da densidade de carga), há



emissão de radiação eletromagnética na forma de raios X. Todos esses fenômenos, oriundos de umalarga gama de alternativas de produção de flutuações de carga, são governados pelas mesmas

equações, i.e., as Eqs. de Maxwell (i) a (iv).

Copyright by Eduardo Fontana 2011

Fig.7.1 – Ilustração do efeito eletromagnético de uma flutuação de carga.

Voltando à discussão para a análise do campo eletromagnético e suas características, a região

de interesse onde está sendo observado o fenômeno é livre de cargas. Uma vez que a região de

interesse está no vácuo, as relações constitutivas dadas pelas por (v) e (vi) assumem, respectivamente,as formas

, (7.1)

. (7.2)

Além disso, uma vez que no interior de tem-se e , (i) a (iv), com o emprego de (7.1) e

(7.2), podem ser expressas apenas em função de e , i.e,

, (7.3)

, (7.4)

, (7.5)

. (7.6)

Observe-se que, na ausência de fontes, as Eqs. de Maxwell, se tornam equações homogêneas,

i.e., as soluções para os campos assumem formas bem definidas em cada sistema de coordenadas.

Para perceber isso melhor, seja a aplicação da operação em (7.1), i.e.,

. (7.7)



Usando a identidade vetorial (1.44),

no primeiro membro em (7.7) e notando de (7.4) que o primeiro termo do segundo membro destaexpressão é nulo, (7.7) assume a forma

. (7.8)

com

. (7.9)

Procedimento semelhante aplicado a (7.7), com o emprego de (7.5) fornece

. (7.10)

É importante observar, neste ponto, que o parâmetro c definido em (7.9) tem dimensão de

velocidade, e no sistema SI, tem o valor de , que é o valor da velocidade da luz no

vácuo. O significado do parâmetro c, ficará mais claro oportunamente neste Capítulo.

Para analisar as características da solução de (7.10) considere-se o caso em que os campos

são representados em coordenadas cartesianas. Na representação matricial dos campos, em que estes

assumem a forma de matriz coluna, pode-se escrever

, (7.11)

. (7.12)

Definindo a quantidade

, (7.13)

ou equivalentemente, Copyright by Eduardo Fontana 2011

, (7.14)

(7.8) e (7.10) assumem a forma da Eq. da onda homogênea

, (7.15)



em que .

A equação (7.15) representa seis equações escalares homogêneas tendo a forma geral da Eq.

da onda escalar

. (7.16)

Ou seja, cada componente dos campos ou satisfaz à Eq. da onda (7.16).

7.1.2 Solução da Eq. da Onda em coordenadas cartesianas

Para elucidar as propriedades da solução da Eq. da onda, note-se que em coordenadas

cartesianas a função , pode ser parametrizada na forma

, (7.17)

com o argumento w sendo função das quatro variáveis, i.e.,

. (7.18)


Calcula-se inicialmente o termo que contém o laplaciano em (7.16). Este é obtido de (1.34)do Capítulo 1, i.e.,

. (7.19)

A derivada parcial com respeito à variável x da função pode ser obtida da regra da cadeia,

. (7.20)

Seja

. (7.21)

Inserindo (7.21) em (7.20) tem-se

. (7.22)

Uma segunda diferenciação com respeito a x dessa expressão, fornece



,


ou equivalentemente com o emprego de (7.22)

,

(7.23)

De forma semelhante, obtém-se

, (7.24)

. (7.25)

Assim, o laplaciano da função é a soma dessas últimas expressões, i.e.,

. (7.26)


De forma semelhante aos cálculos anteriores, a segunda derivada com respeito à variável t fornece

expressão semelhante a (7.23)-(7.25), i.e.,

, (7.27)

Inserindo (7.26) e (7.27) em (7.16), obtém-se

o que resulta em



. (7.28)


Algumas possibilidades de solução de (7.28) e suas implicações são discutidas a seguir.

Caso 1: f = constante

Para esse caso, e e (7.28) é satisfeita. Isso implica em uma função

. Qualquer função constante é de fato solução da equação diferencial pois esta envolve derivadas

de segunda ordem. A função constante não tem comportamento ondulatório nem é fisicamente

realizável. Implicaria em última análise em campos constantes em todo o espaço.

Caso 2: f = aw + b

Nesse caso e . A segunda condição implica que para satisfazer (7.28),

a função w tem de satisfazer a equação da onda. Ora, isso apenas implica que a função satisfaz à Eq. da onda, algo que é assumido verdadeiro desde o início. Ou seja, não há informação

adicional com respeito ao formato específico procurado de .

É importante observar que há uma classe de funções do tipo

(7.29)

i.e., uma classe de funções em que cada termo é no máximo linear na variável correspondente. Essa

função satisfaz à Eq. da onda. Nesse caso pode-se utilizar

,

com

.

Tem-se e w satisfazendo à Eq. da onda. Por exemplo, a função , que é um dos

termos de (7.29) satisfaz à Eq. da onda. No entanto, novamente, essa solução não é fisicamente

realizável, uma vez que a amplitude cresce indefinitamente no tempo e longe da origem.



Caso 3: e

Para uma função f de formato arbitrário mas de argumento w específico, a forma mais simples

de resolver (7.28) é impor que w satisfaça à Eq. da onda, i.e.,

, (7.30)

e que o coeficiente de em (7.28) seja nulo, i.e.,

. (7.31)


Observe-se que (7.31) fornece uma restrição adicional ao formato do argumento w de f,independente da forma de f. Ou seja, além de w ter de satisfazer à Eq. da onda, tem de satisfazer

também uma equação diferencial que envolve os quadrados das derivadas primeiras. Para tentar obter

o tipo de solução, admita-se por um momento que w satisfaz (7.31) e tenta-se com isso obter uma

solução. Obtida essa solução, verifica-se se (7.30) de fato é satisfeita.

Uma inspeção em (7.31) indica, por exemplo, que se cada termo for constante, é possível

satisfazer essa equação. Note-se também que a função de onda é uma função fisicamente realizável eportanto os termos que a representam são todos reais. Dessa forma, todos os termos de (7.31) são

considerados positivos. Ou seja, impõem-se às derivadas valores constantes reais, i.e.,

, (7.32)

, (7.33)

, (7.34)

. (7.35)

A solução de (7.32) é da forma

, (7.36)

com g1 a ser determinada. Inserindo (7.36) em (7.35), tem-se



,

donde

. (7.37)

A expressão (7.37) é inserida em (7.36) para determinação de g2, o que fornece

, (7.38)

e finalmente, inserindo (7.38) em (7.37) obtém-se

. (7.39)

Usando-se (7.37)-(7.39) em (7.38) obtém-se finalmente a forma geral de w, i.e.,

. (7.40)

A constante E é arbitrária, mas as constantes A, B, C e D têm de ser escolhidas de forma a

satisfazer (7.31). Utilizando-se (7.32)-(7.34) em (7.31) obtém-se

. (7.41)

Assim, com essa escolha de constantes, a forma de w dada por (7.40) satisfaz (7.31). Resta

mostrar que a forma de w dada por (7.40) também satisfaz à Eq. da onda (7.30). Note-se que (7.30)se enquadra na forma geral (7.29) que satisfaz à Eq. da onda. Outra forma de se verificar isso é o fato

de w ser uma função linear em seus argumentos e portanto todas as derivadas de segunda ordem são

nulas, satisfazendo assim à Eq. da onda. Ou seja, a forma (7.40) de fato satisfaz (7.31).

Mostrou-se assim que a Eq. da onda tem uma solução que apesar de não estar explicitamente

especificada, tem argumento que é linear nas coordenadas de espaço e tempo, na forma

. (7.43)

Na próxima seção esse formato de solução é analisado.


7.1.3 Onda plana uniforme

Para elucidar o significado da forma da função dada por (7.43), seja a escolha de

constantes tal que tipo E = 0 e as mudanças de sinal . A equação (7.43) assume

então a forma específica



. (7.44)


em que o subscrito (+) é atribuído em função da escolha dos sinais das constantes. Definindo os

parâmetros

, (7.45)

, (7.46)

, (7.47)

e fazendo Dc =1 em (7.44), esta assume a forma

. (7.48)

com

. (7.49)

Para interpretar (7.48) sejam as expressões para o vetor posição

, (7.50)

e para o vetor unitário

, (7.51)

esta em vista da propriedade dada por (7.49). Com essas definições, a função em (7.48) pode ser



escrita na forma

. (7.52)

Para interpretar a forma de (7.52), considere-se a Fig.7.2 em que há uma orientação específica

para o vetor unitário û. No instante de tempo , o lugar geométrico dos pontos em que

com K sendo constante pode ser obtido da condição

,

ou equivalentemente

. (7.53)

Esta última é a equação de um plano perpendicular a , conforme ilustrado na Fig.7.2

Fig.7.2 Disposição geométrica dos parâmetros de uma onda plana.

No tempo , o lugar geométrico dos pontos em que a função de onda permanece com amesma amplitude tem de satisfazer à condição

. (7.54)

A igualdade entre (7.53) e (7.54) resulta em

. (7.55)



Se e são escolhidos tal que , então

, (7.56)

representa a distância mínima entre planos, conforme ilustrado na Fig.7.2, e de (7.55)

tem-se

,

ou equivalentemente

, (7.57)

Em resumo:

· O conjunto de pontos em que é um plano perpendicular ao vetor û.

· Esse plano move-se com uma velocidade c, de forma a manter a amplitude da onda

inalterada. A velocidade da luz é a velocidade de fase da perturbação

eletromagnética no vácuo.

· Fazendo-se , obtém-se uma segunda solução independente

, (7.58)

que representa uma frente de onda se propagando no sentido oposto àquele de .

· A forma da função de onda em coordenadas cartesianas recebe a denominação de ondaplana uniforme, pois a frente de onda corresponde a um plano perpendicular à direção depropagação, e nesse plano a função de onda tem amplitude constante (uniforme).

7.2 Eqs. de Maxwell para campos harmônicos

Em muitas situações práticas a fonte do campo eletromagnético é altamente coerente e asvariações no tempo produzidas pela fonte ocorrem em uma estreita faixa de freqüências em torno deuma freqüência central (ou harmônico) bem definida. Isso implica que a variação no tempo das

grandezas eletromagnéticas pode ser especificada a priori. Em outras situações, em que a perturbaçãoeletromagnética não é exatamente composta de um único harmônico, no regime linear, pode-se sempre

decompor o espectro da função temporal em componentes harmônicas, que podem ser tratadasindividualmente. As propriedades da perturbação após passagem por um meio linear podem então ser



obtidas por superposição das componentes harmônicas do sinal. Em todos esses casos torna-seconveniente analisar o comportamento de campos eletromagnéticos harmônicos, i.e., camposeletromagnéticos em que a variação no tempo ocorra em uma freqüência angular temporal de

rad/s. A freqüência angular temporal é relacionada à freqüência temporal f em ciclos por segundo(Hz) pela relação

, (7.59)

e esta última ao período da variação do sinal T por

, (7.60)

conforme ilustrado para o caso da função senoidal da Fig.7.3. Copyright by Eduardo Fontana 2011

Assim, a partir desta secção as Eqs. de Maxwell são analisadas para campos harmônicos.Neste caso é conveniente a introdução de fasores complexos relacionados às grandezas físicas

presentes nas equações de Maxwell, definidas de forma genérica por

,

ou equivalentemente

, (7.61)

em que

, (7.62)

com representando o número imaginário puro. De (7.63) pode-se também utilizar (7.62) paramostrar que

(7.63)

(7.64)

Da mesma forma, para grandezas escalares, a grandeza física pode ser obtida da relação

. (7.65)




Fig.7.3 – Parâmetros de uma função senoidal no domínio do tempo.

Ou seja, as grandezas eletromagnéticas serão representadas nas formas

, (7.66)

em que cc representa o complexo conjugado da primeira quantidade entre colchetes. Os camposrestantes são portanto

, (7.67)

, (7.68)

, (7.69)

, (7.70)

, (7.71)

. (7.72)



. (7.73)

Para analisar como as Eqs. de Maxwell ficam modificadas, considere-se o emprego das formas

dadas em (7.66) e (7.68) na Eq. de Maxwell (i), i.e.,

,

ou equivalentemente

.

Essa última expressão é satisfeita simplesmente impondo-se

. (i’)

Ou seja, na prática, a mudança para o regime harmônico nas Eqs. de Maxwell é obtida fazendo-se as

substituições

, (7.74)

, (7.75)

, (7.76)

e as equações de Maxwell no regime senoidal são representadas apenas pelos fasores complexos quedependem apenas das coordenadas espaciais. Assim, as Eqs. de Maxwell no regime senoidal e as

relações constitutivas se tornam


, (i’)

, (ii’)

, (iii’)



, (iv’)

com as relações constitutivas

, (v’)

. (vi’)

Nessas expressões, todas as grandezas envolvidas dependem apenas das coordenadas

espaciais e são complexas, com vetores complexos tendo forma geral

(7.77) (2.9)

Note-se que para vetores complexos, o módulo de um vetor é dado por


. (7.78)

Outra operação relevante ao lidar-se com vetores complexos é o valor médio no tempo do

produto de duas grandezas ou do produto escalar ou vetorial de duas grandezas vetoriais. Considere-

se por exemplo o valor médio do produto escalar entre as grandezas e , definido como

a média em um período , i.e.

(7.79)

Utilizando (7.61) nessa expressão, vem

.



Uma vez que a média de cada função do tempo no segundo membro é nula, obtém-se

(7.80)

Assim, a parte real da grandeza complexa

fornece o valor médio do produto escalar entre as duas grandezas físicas. Em particular o valor médiodo módulo quadrático de um vetor, obtido de (7.80) é

(7.81)

Definições semelhantes se aplicam para o produto vetorial entre duas grandezas ou o produto

de dois escalares, ou seja


, (7.82)

. (7.83)

7.3 Teorema de Poynting para campos harmônicos De acordo com o que foi discutido na seção anterior, o vetor de Poynting

tem valor médio dado por

(7.84)

A expressão (7.84) permite definir o vetor de Poynting complexo da relação

. (7.85)



Com essa definição, a parte real do vetor de Poynting representa o valor médio em um ciclo do

vetor densidade de fluxo de potência ativa. É oportuno neste ponto, determinar a forma do teoremade Poynting no regime permanente senoidal. Para isso, calcula-se inicialmente


e com base na identidade vetorial (6.69)

.

Utilizando-se (i’) e (iv’) na última expressão fornece

ou equivalentemente

, (7.86)

que é a forma diferencial do teorema de Poynting para campos harmônicos.

Note-se que no regime permanente senoidal, (7.80) permite identificar o valor médio de cada

densidade de energia, i.e.,

, (7.87)

, (7.88)

o que permite definir as respectivas densidades de energia (complexas) das relações

, (7.89)

, (7.90)

e assim

(7.91)



e

. (7.92)

A forma integral do teorema de Poynting é obtida por integração direta de ambos os membrosde (7.86) em um volume V limitado por uma superfície , conforme ilustrado na Fig.7.4. Com aaplicação do teorema de Gauss na integração de volume do primeiro membro de (7.86) obtém-se

, (7.93)

em que é o vetor área diferencial em e que aponta para o exterior de V, conforme mostrado naFig.7.4 e com

(7.94)

e

(7.95)

representando, respectivamente as energias (complexas) elétrica e magnética em V, com wE e wM,

dadas por (7.91) e (7.92), respectivamente.

Em (7.93), o primeiro membro representa a potência (ativa e reativa) que flui para o interior de

V. O primeiro termo do segundo membro está associado à porção dessa potência associada àinteração do campo elétrico com o sistema de cargas livres no interior de V. O último termo entre

parêntesis, é a diferença entre energias elétrica e magnética. Parte da potencia complexa que flui para ointerior de V é alocada a esse termo. Uma melhor interpretação do significado físico dessa equação de

balanço de energia será feita em no final deste Capítulo, após a discussão da interação de campos commeios materiais.



Fig.7.4 – Regiões de integração para o teorema de Poynting


7.4 Onda plana no regime harmônico

7.4.1 Equação de Helmholtz

Considere-se a situação em que a região de interesse ainda seja o vácuo. Admite-se que os

campos sejam harmônicos na freqüência , e que as fontes do campo ( , ) sejam exteriores a essaregião. Com o emprego das Eqs.(7.1) e (7.2), as Eqs. (i’) a (iv’) agora assumem a forma,

, (7.96)

, (7.97)

, (7.98)

. (7.99)

Seguindo o procedimento adotado na Seção 7.1, a aplicação do operador em (7.96) ou

(7.99), com o emprego de (7.97) e (7.99) e com o uso da identidade vetorial (1.44) obtém para uma equação diferencial da forma

, (7.100)

Procedimento semelhante aplicado em (7.99) leva à mesma equação para , i.e.,

, (7.101)

As equações diferenciais (7.100) ou (7.101) têm a forma da equação de Hemholtz. O

parâmetro que aparece na Eq. de Hemholtz é o numero de onda no vácuo, dado por

. (7.102)

O significado desse parâmetro ficará mais evidente quando da interpretação da solução da Eq. deHelmholtz.

Considere-se a solução da Eq. de Helmholtz em coordenadas cartesianas. Sendo uma das

componentes cartesianas de ou , essa componente escalar satisfaz à Eq. de Helmholtz escalar

. (7.103)




7.4.2 Solução da Eq. de Helmholtz em coordenadas cartesianas

Em coordenadas cartesianas (7.91) assume a forma

. (7.104)

Seguindo metodologia semelhante àquela adotada no Capítulo 3, em que as soluções de

equações diferenciais parciais podem, na maioria dos casos, ser decompostas como produtos defunções de uma variável, o que produz os modos normais ou harmônicos da solução geral, essahipótese é repetida neste Capítulo. Seja portanto a fatoração da função

na forma

. (7.105)

Utilizando essa expressão em em (7.104) vem

,

ou equivalentemente

.

Note que cada derivada na última expressão é total e não parcial. Dividindo essa última expressão peloproduto fgh, obtém-se

. (7.106)

Seja

, (7.107)



. (7.108) A equação (7.93) implica em

. (7.109)

Essa condição não pode ser verificar para valores arbitrários das coordenadas, a menos que asfunções definidas em (7.107) e (7.108) sejam ambas constantes, i.e.,


, (7.110)

com C representando uma constante de separação auxiliar. De (7.108), com a condição (7.110),pode-se escrever

, (7.111)

em que kz é uma das constantes de separação tendo mesma dimensão física de k0. O significado das

constantes de separação finais nessa formulação ficará logo aparente. Utilizando (7.110) em (7.107),

com a definição (7.111) vem

, (7.112) ou equivalentemente

(7.113)

com

, (7.114)

. (7.115)

Pelo mesmo argumento utilizado anteriormente, a condição (7.113) só pode ser satisfeita se ambos os

membros forem constantes, ou seja

, (7.116)



com o sinal da constante de separação kx tendo sido escolhido por conveniência. Usando essa relação

em (7.114) fornece

, (7.117)

e em (7.115),


, ou equivalentemente

, o que fornece

(7.118)

com a última constante de separação ky tendo sido definida tal que

. (7.119)

As expressões (7.117), (7.118) e (7.111) correspondem, respectivamente, às equações diferenciais

, (7.120)

, (7.121)

. (7.122)


Até este ponto, não se fez nenhuma hipótese a respeito das características dos parâmetros kx,

ky, kz, que aparecem em (7.120)-(7.122). Os valores desses parâmetros são restritos à condição

(7.129), ou seja, a soma dos quadrados é sempre positiva definida. Há situações em que os campos



harmônicos cruzam a interface entre meios materiais ou em guias de onda, ou mesmo quando penetramem metais, em que um ou outro desses parâmetros pode ser um número complexo. Essas situações

serão discutidas oportunamente. Para o momento, considere-se a situação restrita em que os parâmetro kx, ky, kz são números

reais. Sob essas condições, (7.120)-(7.122) fornecem combinações lineares das duas soluções

independentes, que são funções periódicas do tipo

, (7.123)

, (7.124)

. (7.125) Nessas expressões está se denotando simbolicamente a combinação linear de termos dosegundo membro com o símbolo (~). Facilita a manipulação algébrica das expressões a escolha de

combinações dessas funções que resultem nas duas funções exponenciais complexas independentes

, ou seja, pode-se sempre representar as soluções de (7.120)-(7.122) nas formas

, (7.126)

, (7.127)

, (7.128) e de (7.105)

. (7.129) 7.4.3 Onda harmônica plana uniforme

A. Obtenção do campo elétrico Seja a escolha

(7.130)

com F sendo um valor constante. Definindo o vetor de onda



, (7.131)

e utilizando a definição usual do vetor posição

, a solução pode ser expressa na forma,

. (7.132)


Com essa escolha cada componente de campo tem um formato desse tipo, i.e, mesmadependência com as coordenadas e uma constante distinta para cada componente. O vetor campo

elétrico, por exemplo, pode então ser posto na forma

, ou equivalentemente

, (7.133)com

(7.134)

representando um vetor constante.

Para interpretar o significado de (7.133), considere-se por simplicidade puramente real.Nesse caso, o campo físico obtido de (7.61) é dado por

. (7.135)

Note-se, de (7.119), que

, (7.136)com k0 dado por (7.102). Seja o vetor unitário paralelo ao vetor de onda, obtido de

.

Escolhendo o vetor posição alinhado ao longo do vetor de onda, i.e., , (7.135) reduz-se à forma



, (7.136)

em que . A expressão (7.136) mostra que para cada instante de tempo t, a dependência com Xé uma função periódica com periodicidade


, (7.137)

conforme ilustrado na Fig.7.5. O parâmetro é o comprimento de onda no vácuo. De formasimilar à relação entre período e freqüência angular, dada por (7.60), o número de onda no espaço

livre k0 em (7.137) representa o número de radianos por metro associado ao comprimento de onda

espacial, ou seja, a freqüência angular espacial. A freqüência espacial em ciclos/metro,análoga à freqüência temporal f é definida com base em (7.60), i.e.,

. (7.138)

Utilizando (7/102) em (7.137) obtém-se a bem conhecida relação entre freqüência temporal f ecomprimento de onda, i.e.,

. (7.139) A expressão (7.139) implica que uma alta freqüência temporal está associada a um pequenocomprimento de onda ou seja, uma alta freqüência espacial.

Fig. 7.5 – Parâmetros de uma função senoidal no domínio espacial.

A fase de (7.136) é a fase da função cosseno e mantém-se constante na condição

. (7.140) Diferenciando ambos os membro de (7.140) em relação ao tempo obtém-se

. (7.141)




Ou seja, a fase da onda, para mantém-se constante desde que o vetor posição ao longo de varie com uma velocidade igual a velocidade da luz.

B. Obtenção do campo magnético Para elucidar ainda mais as propriedades ondulatórias do campo harmônico seja a

determinação do campo de (7.96), i.e.,

(7.142)

O rotacional em (7.142), requer a determinação do gradiente da função exponencial que será obtido

para o caso mais geral com . É fácil mostrar com aplicação direta da regra da

cadeia que

. (7.143) Para o caso específico

, (7.144) é também fácil mostrar que

. (7.145)

Assim, de (7.143)

. (7.146)

A relação (7.146) será usada em algumas situações importantes no texto. Para o cálculo de (7.142) utiliza-se a identidade vetorial (1.32) escrita na forma

.

Utilizando-se essa relação com constante, e com base em (7.146), (7.142) pode serescrita na forma

,ou equivalentemente



. (7.147)


Com , essa relação pode também ser posta na forma

(7.148)

com

(7.149)

.

C. Características da solução para os campos Das expressões (7.133) e (7.147) conclui-se que os campos elétrico e magnético têm a mesma

fase. Alem disso, (7.147) implica em . Assim, ambas as grandezas oscilam no espaço, em umdado instante de tempo, na forma ilustrada na Fig.7.6. De (7.97)

,

o que implica em . Além disso, de acordo com (7.148), o sentido de é o do produto vetorial

entre e . Para um dado instante de tempo, a fase de cada campo se mantém constante nacondição

que representa um conjunto de planos paralelos, ortogonais ao vetor de onda. Ou seja, a frente de

onda, em que a fase é constante é um plano ortogonal ao vetor de onda. O plano de fase se move comvelocidade igual à velocidade da luz, de acordo com (7.141). A Fig. 7.7 mostra a disposição relativados vetores, juntamente com o plano de fase constante. A amplitude do campo elétrico para um dadovalor de z, está representada no eixo vertical como função de x e y.

definida como a impedância de onda no vácuo. Inserindo-se os valores SI da permissividade elétrica e permeabilidade magnética do vácuo em (7.149) obtém-se



Fig.7.6 – Ilustração da variação com as coordenadas espaciais das amplitudes dos campos elétrico e magnético.

Fig.7.7 – Ilustração da dependência com as coordenadas da amplitude do campo elétrico e orientação relativa entrevetores de um onda plana harmônica.

A Fig. 7.8 ilustra a variação de amplitude ao longo da direção do vetor , inclinado em relação

ao vetor de onda . Ao longo dessa nova direção a variação de amplitude também é senoidal, mas

com periodicidade maior. No exemplo da Fig. 7.8 o vetor forma um ângulo de em relação à

direção do vetor . Conforme ilustrado na Fig.7.9, o comprimento de onda nessa direção é vezes

maior do que aquele obtido na direção de . Isso também equivale dizer que ao longo de direçõesinclinadas em relação àquela do vetor de onda, as velocidades de fase correspondentes são maiores doque a velocidade da luz no vácuo. Equivalentemente, nessas direções o número de onda, ou freqüência

angular espacial é maior do que aquela medida ao longo de .




Fig.7.8 – Ilustração da variação de amplitude do campo em uma direção arbitrária.

Fig.7.9 – Relação entre variações de amplitude ao longo de direções distintas.

D. Potência e energia

Da definição do vetor de Poynting complexo dada por (7.85) tem-se

. Da relação vetorial

,

com , e , obtém-se

. (7.150)


o que mostra que o vetor de Poynting é puramente real e sendo paralelo ao vetor de onda, aponta no

sentido de propagação do plano de fase.

Vale observar que no vácuo as relações constitutivas (v’) e (vi’) tornam-se, respectivamente

, e as densidades de energia obtidas de (7.89) e (7.90) são assim dadas,respectivamente, por

, (7.151)



. (7.152)

,e de (7.151),

. (7.153) Dessa relação, a densidade de energia eletromagnética

, (7.154) é simplesmente

(7.155)

Uma conexão com a densidade de potência eletromagnética pode ser obtida calculando-se a

quantidade . De (7.151), (7.155) e (7.149)

,

ou seja

. (7.156)

ou seja, a densidade de potência eletromagnética está diretamente relacionada à velocidade depropagação c da densidade de energia wEM. Isso pode ser deduzido da Fig. (7.10) que ilustra um

volume diferencial de comprimento e área frontal , orientada ortogonalmente à direção û. Em

um tempo a energia contida no volume atravessa a área . A energia no volume é simplesmente

. (7.157)

A taxa com que essa energia flui através de é

, (7.158)

em que v representa a velocidade com que cada face do volume ortogonal a se desloca noespaço. A relação (7.158) permite identificar no termo entre parêntesis do segundo membro adensidade de potência

. (7.159)

De (7.148), essa última relação pode ser re-escrita na forma



Uma comparação entre (7.156) e (7.159) permite identificar que a energia se propaga no espaço comuma velocidade v = c.


Fig.7.10 – Geometria para determinação da relação entre densidades de potência e de energia eletromagnética.

7.4 Modelo do oscilador harmônico para a resposta em frequência de meios materiais

7.4.1 Introdução A discussão desenvolvida até então considerou apenas a propagação de ondaseletromagnéticas no vácuo. Do ponto de vista clássico, quando uma onda eletromagnética se propaga

em um meio material, os campos elétrico e magnético da onda interagem com as cargas livres, com osdipolos elétricos e com os dipolos magnéticos do meio, dando origem a flutuações de densidade decarga livre ou ligada (dipolos elétricos e/ou magnéticos). Isso dá origem a flutuações de densidade de

corrente, de polarização e de magnetização. Os campos dessas ondas materiais, i.e., os vetores ,

e devem então ser relacionados aos respectivos campos aplicados para que se possa resolver asEqs. de Maxwell e assim incluir o efeito que o meio material tem sobre a passagem do campoeletromagnético.

Nesta seção será analisado o modelo do oscilador harmônico clássico que serve paradescrever semi-quantitativamente e de forma unificada, tanto a função permissividade de meiosdielétricos como a função condutividade de meios condutores, no regime linear. Os princípios básicosdecorrentes dessa análise servem para se descrever qualitativamente a resposta magnética de meioslineares. Uma vez que materiais magnéticos são em geral altamente não lineares, uma discussão mais

detalhada a respeito da interação do campo magnético com os dipolos magnéticos nesses materiais ficatransferida para tratados mais avançados no tema. 7.4.2 Modelo do oscilador harmônico

Considere-se que o material submetido ao campo eletromagnético seja constituído de dipolosatômicos com uma de densidade N dipolos/volume, com cada dipolo representando a ligação internaentre um núcleo positivo e um elétron, conforme ilustrado na Fig.7.11. Admite-se, por simplicidade ummodelo unidimensional, o que permite, para um meio isotrópico, generalizar o resultado em qualquer

direção. As características do resultado a ser obtido podem também ser utilizadas para um meioanisotrópico com as devidas adaptações. Um campo elétrico atua sobre o dipolo, causando flutuaçõesnas posições tanto do núcleo quanto do elétron. Admite-se que o núcleo tendo massa bem maior que ado elétron possa, nessa análise simplificada, ser considerado estacionário na origem do sistema decoordenadas. Ao final dessa análise, as implicações dessa hipótese são discutidas. Assim, o foco fica

totalmente dirigido às flutuações da posição do elétron e o objetivo é determinar esse parâmetro comofunção do campo aplicado. Uma vez obtida essa relação, obtém-se o parâmetro que representa aresposta do material, seja essa resposta a permissividade ou a condutividade elétrica (ou ambas). Ou



seja, essencialmente quer-se determinar a dependência da densidade de fluxo elétrico e/ou densidade

de corrente com o campo aplicado. O procedimento de obtenção da densidade de fluxo elétrico domaterial consiste em:

· obter a partir do deslocamento do elétron o momento de dipolo induzido;

· do momento de dipolo induzido, para N dipolos por unidade de volume e na hipótese do sistemaser linear, obter o vetor polarização;

· da polarização, utilizar a relação constitutiva e obter a densidade de fluxo elétrico como função docampo aplicado e obter a solução das Eqs. de Maxwell.

Como será mostrado, esse procedimento por si só é suficiente também para modelar o meio se este forcondutor.


Fig.7.11 – Modelo simplificado de um dipolo elétrico sob a ação de um campo elétrico.

A. Equação de movimento para o vetor posição

A análise da dinâmica de movimento do elétron livre ou ligado sob a ação do campo aplicado,conforme ilustrado na Fig.7.11, é feita considerando-se o balanço de forças que atuam sobre o

elétron. Sobre o elétron há uma força de atração do núcleo positivo , que para pequenas excursõesem torno da posição de equilíbrio, pode ser considerada linear com respeito ao deslocamento doelétron, i.e.

, (7.160)

em que representa o vetor deslocamento do elétron em relação à origem do sistema de

coordenadas, e com m representando a massa do elétron e a freqüência natural de oscilação. O sinal negativo indica que a força é atrativa. É importante observar que, no caso de condutores, por

exemplo, os elétrons são praticamente livres de se moverem no material e portanto não sofrem a forçaatrativa (7.160). Assim, para meios condutores, basta atribuir o valor nulo à freqüência natural deoscilação.



Um segundo termo importante, leva em conta a possibilidade de o elétron estar sujeito a umaforça de fricção do tipo atrito viscoso, que se opõe ao movimento. Como discutido no Capítulo 4 essa

é aquela força em (4.11) proporcional à velocidade e que se opõe a esta, dada por

, (7.161)

com o parâmetro

(7.162) definido como a freqüência de colisão, inversamente proporcional ao tempo de colisão que apareceem (4.11). Além dessas forças, atua também sobre o elétron o campo elétrico, com uma força elétrica

, (7.163)

com representando a carga do elétron. Assim, a força total que atua sobre o elétron é dada por

. A aplicação da segunda lei de Newton nessa expressão, com o emprego de (7.160), (7.161) e(7.163) fornece

, (7.164)

ou equivalentemente

. (7.165) Observe-se que (7.165) representa três equações diferenciais. Admitindo-se que o campoexterno seja dirigido ao longo da direção x, i.e.,

, (7.166)

com

(7.167) a equação (7.166) pode ser decomposta na forma




, (7.168)

, (7.169)

. (7.170)

Para o caso as coordenadas y e z variam no tempo na forma

, (7.171)

com

, (7.172)

e representando uma fase que depende da condição inicial.

No regime de pequenas perdas, i.e., , tem-se de (7.172) a aproximação . As

soluções (7.170) e (7.171) amortecem para valores de equilíbrio para tempos ,independentemente da condição inicial. Esse resultado é esperado, uma vez que não há componente decampo nas direções y e z para sustentar flutuações no tempo dessas coordenadas

B. Determinação da permissividade elétrica Admite-se que o campo aplicado tenha freqüência angular . Após transcorrido o regimetransitório, que é da ordem de alguns tempos de colisão, o vetor posição atinge o regime permanente.Definindo, nesse regime

, (7.173)

e a coordenada x do vetor posição

, (7.174)

obtém-se a seguinte relação entre fasores



, (7.175)

ou equivalentemente


. (7.176)

O momento de dipolo, definido de acordo com a seção 2.5.1 do Capítulo 2, para a geometriada Fig.7.11, é dado por

. (7.177) Considerando a existência de N dipolos/volume, a polarização, no regime permanente, definida de

, (7.178)

é dada por

, (7.179) e de (7.176) e (7.177)

(7.180)

Da relação constitutiva (vi’), no regime permanente, tem-se

. (7.181)

Inserindo (7.180) em (7.181) obtém-se a função permissividade

, (7.182)

e no regime permanente

com o parâmetro



(7.183) Copyright by Eduardo Fontana 2011

definido como a freqüência de plasma.

C. Propriedades da função permissividade É importante observar algumas características importantes inerentes à função permissividadeobtida no presente modelo.

1. Natureza complexa No regime permanente senoidal, a permissividade elétrica é uma função complexa da

freqüência. Isso se deve essencialmente ao fato de o sistema ter uma freqüência de colisão não nula, representativa do amortecimento viscoso do sistema. 2. Condição de ressonância

A condição de ressonância é aquela em que a freqüência do campo aplicado é igual àfreqüência natural de oscilação, i.e.

. (7.184)

A expressão (7.184) indica que nessa condição, a polarização está defasada de em relação aocampo elétrico.

3. Comportamento longe da condição de ressonância

No regime em que , se , o que implica em uma freqüência aplicada afastada

da freqüência de ressonância do material, (7.182) fornece

. (7.185) Copyright by Eduardo Fontana 2011

Ou seja, a permissividade é praticamente um número real. Nesse modelo simples para e

com o parâmetro

Nessa condição a polarização obtida de (7.180) reduz-se a



para . Esta última condição define a região de dispersão anômala do meio. 4. Aproximação Lorentziana

A aproximação lorentziana pode ser obtida no regime , e na condição . Paraobter essa aproximação (7.182) é re-escrita na forma

,ou equivalentemente

. (7.186)

De (7.186) pode-se escrever

, (7.187) com

, (7.188)

(7.189)

Vale observar de (7.187) e (7.189) que e que para .


5. Características da função permissividade na aproximação lorentziana A Fig.7.12 seguinte mostra o comportamento das partes real e imaginária da funçãopermissividade na aproximação lorentziana, onde se pode observar:

· Para ,

· Para ,

·



· . Ou seja, a largura completa a meia altura da função é

Fig. 7.12 – Dependência espectral das partes real e imaginária da função permissividade.

6. Função permissividade generalizada O que se pode extrair do modelo simplificado do oscilador harmônico é que, do ponto de vista

clássico, há regiões espectrais em que o meio responde mais fortemente a um estímulo eletromagnético.O que se obteve nesse modelo foi a previsão de existência de linhas espectrais, as mesmas estudas noescopo dos níveis de energia de átomos ou moléculas. Em geral, os mateirais dielétricos ou magnéticosexibem ressonâncias em várias regiões do espectro eletromagnético. Essencialmente há um aumento na

parte real da permissividade quando a frequência de excitação se aproxima de uma dada ressonância euma queda nesse parâmetro (dispersão anômala) após passagem pela ressonância. Obviamente o valorda parte real da permissividade na região próxima a uma dada ressonância é o resultado daconstribuição dos efeitos das várias linhas que compõem o espectro do material. Correspondentemente, próximo a uma dada ressonância, a parte imaginária da permissividade se torna

mais intensa. A Fig.7.13 ilustra qualitativamente a dependência espectral da função permissividade incluindocontribuições de várias regiões de ressonância do material. Esse seria mais ou menos o aspecto da

função permissividade de um material dielétrico em geral. Comportamento semelhante seria observadopara a função permeabilidade, que em geral é uma função complexa, exibindo ressonâncias do tipoilustrado na Fig.7.13.




Fig. 7.13 – Dependência espectral das partes real e imaginária da função permissividade de um meio material tendovárias regiões de absorção.

D. Função condutividade Conforme discutido anteriormente, a equação de movimento (7.165) pode ser utilizada paradeterminar as propriedades de transporte de meios condutores. Para meios condutores constituídos,

por exemplo, de elétrons livres, a modificação necessária no modelo é retirar a força restauradora ,

ou equivalentemente fazer . No regime fasorial tem-se, nessa condição, de (7.176)

. (7.190)

A densidade de corrente no material para N elétrons por unidade de volume, no domínio dotempo, é dada por

. (7.191) No regime permanente

,

o que permite escrever, de (7.191)

, (7.192) ou equivalentemente

. (7.193) Inserindo (7.190) em (7.193) fornece



, (7.194) o que permite identificar a condutividade elétrica, com base em (4.19), como o coeficiente quemultiplica o campo elétrico no segundo membro de (7.194), i.e.,

. (7.195)

Note-se que no regime estacionário em que , essa expressão reduz-se para

, (7.196) que corresponde ao resultado (4.21) obtido no Capítulo 4.


Uma segunda alternativa de análise é atribuir as propriedades de condução do meio à função

permissividade, admitindo-se a condição . Nesse contexto, torna-se desnecessário o cálculo dadensidade de corrente. A permissividade relativa nessa condição, obtida de (7.182) é dada por

, (7.197)

Usando (7.183), a permissividade elétrica assume a forma

(7.198)

No regime de baixas freqüências, o segundo termo do denominador é dominante em relaçãoao primeiro e portanto,

ou equivalentemente

(7.199)

com a condutividade a baixas freqüências dada por (7.196). Ou seja, para se levar em conta acondutividade de um material através da função permissividade, no limite de baixas freqüências, bastaatribuir à parte imaginária da permissividade o valor



. (7.200) Alternativamente, independentemente da região espectral, a condução elétrica do material pode serlevada em conta diretamente na permissividade elétrica com o emprego de (7.198).

7.5 Teorema de Poynting no regime harmônico para meios lineares Em vista da discussão conduzida nas seções anteriores, é conveniente analisar de que forma seobtém o balanço de energia em meios lineares cujas propriedades materiais são representadas pelosparâmetros , e . A condutividade será, por simplicidade, considerada real, e a permissividade e

a permeabilidade serão assumidas complexas, com a primeira descrita pela relação (7.187) e asegunda por uma relação semelhante, i.e.,

. (7.201) Algumas situações específicas são discutidas a seguir.

Caso 1: Meio não-condutor, com e reais


Nessa situação , , , e de (7.94) e (7.95), com as definições (7.89) e (7.90)

, (7.202)

. (7.203)

De (7.93), com ,

, (7.204)

. (7.205)

Ou seja, o sistema é não dissipativo, uma vez que toda potência ativa eletromagnética atravessa

o volume sem absorção. A potência reativa, por outro lado é não nula. Se WE > WM, a potência

reativa é negativa, e o sistema é capacitivo, i.e., a energia armazenada é predominantemente elétrica.

Se WM > WE a potência reativa é positiva e o sistema é predominantemente indutivo. A potência

reativa é nula quando WE = WM.

Caso 2: Meio condutor satisfazendo à lei de Ohm, com , e reais



Nessa situação , , . De (7.93), com e reais

(7.206)


Ou seja, há potência ativa positiva fluindo para o volume V e o campo realiza trabalho para

produzir o movimento de cargas livres. Devido a eventos de colisão, a potência é dissipada em formade calor no regime permanente. A potência reativa é dada por (7.205) com a mesma interpretação

dada anteriormente.

Caso 3. Meio condutor satisfazendo à lei de Ohm, com real e e complexos

Nessa situação, admitindo, com e expressos nas formas (7.187) e (7.201) as definições

(7.89) e (7.90) fornecem

, (7.207)

, (7.208)

e portanto


Note-se que as partes imaginárias da permissividade e da permeabilidade contribuem agora

para a potência ativa. Para meios passivos, essas contribuições são positivas e os parâmetros e

definidos em (7.187) e (7.201) são positivos, de forma que a função permissividade e a funçãopermeabilidade devem ambas, ter as respectivas partes imaginárias negativas. Da expressão acima,

nota-se que a parte imaginária da permissividade contribui com uma condutividade adicional , e o

volume exibe uma condutividade efetiva

. (7.210)

A parte imaginária da permeabilidade magnética é responsável por perdas de natureza

magnética no volume.



A potência reativa é da forma

com

, (7.211)

, (7.212)

e tem a mesma interpretação fornecida anteriormente.


7.6 Propagação eletromagnética em meios lineares

As modificações nas Eqs. de Maxwell em meios lineares podem ser obtidas com o emprego

dos parâmetros representativos da condutividade, permissividade e permeabilidade. Admite-se que o

meio de propagação seja linear, homogêneo e isotrópico. Na análise, as propriedades de conduçãoserão incorporadas na parte imaginária da função permissividade. Assim, para todos os efeitos, o meio

de propagação é descrito pelos parâmetros e . As Eqs. de Maxwell (i’) a (iv’) se

tornam

, (7.213)

, (7.214)

, (7.215)

. (7.216)

As únicas alterações nas Eqs. de Maxwell em relação ao caso de propagação no vácuo são as

substituições , . Com isso a Eq. de Hemholtz para é da forma

, (7.217)

com o número de onda dado por

, (7.218)

em que o índice de refração complexo que aparece em (7.218) é definido por



. (7.219)

O índice de refração complexo pode ser escrito na forma

, (7.220)

com n denominado de índice de refração do material e (a letra grega kapa) denominada de

coeficiente de extinção. Alguns efeitos importantes inerentes à propagação em um meio material sãodiscutidos a seguir.


7.6.1 Propagação em um meio sem perdas

, (7.221)

com

. (7.222)

De (7.222) obtém-se o comprimento de onda

. (7.223)

Ou seja em um meio de índice de refração n, na região de dispersão regular ( ), o comprimento de

onda fica reduzido de um fator n. A velocidade de fase, por sua vez, é obtida de

,

ou seja,

(7.224)

O campo magnético assume a forma

, (7.225)

com a impedância de onda no meio dada por

A análise da seção 7.5 indica que um meio sem perdas é caracterizado por condutividade nulae por valores reais de permissividade e permeabilidade. Equivalentemente, o índice de refração

complexo em um meio sem perdas torna-se puramente real, i.e., . Nessas condições, as

expressões para os campos e os parâmetros correspondentes são simplesmente




(7.226)

7.6.2 Propagação em um meio com perdas

O efeito produzido sobre uma onda eletromagnética que se propaga em um meio com perdas,pode ser obtido com base em uma análise semi-quantitativa dirigida apenas à variação espacial do

campo. Considere-se por exemplo a situação ilustrada na Fig. 7.14 em que uma onda eletromagnética

penetra em um meio caracterizado por um índice de refração complexo . A onda se propaga nosentido +z. Admitindo que o campo elétrico seja E0 na entrada, uma vez que o meio é linear, o campo

observado em um ponto do meio de coordenada z é obtido de (7.221), com o vetor de onda, obtido

de (7.218) dado por

. (7.227)

Fig.7.14 – Ilustração da propagação de uma onda eletromagnética em um meio de índice de refração complexo


Admitindo que o campo esteja dirigido ao longo da direção x, (7.221) fornece

. (7.228)

Uma vez que

, (7.229)

o argumento da exponencial complexa é da forma

.

Definindo a constante de propagação

, (7.230)



e a constante de atenuação da potência eletromagnética

, (7.231)

A expressão (7.228) para o campo no meio reduz-se a

. (7.232)

Uma vez que o vetor de Poynting é proporcional ao quadrado do campo, sua componente

pode ser expressa na forma

. (7.233)

É importante observar que o vetor de Poynting é complexo, algo a ser verificado em um dos problemasao final do Capítulo. A expressão (7.233) mostra que para um meio passivo, i.e., um meio

satisfazendo à condição , a densidade de potência decai exponencialmente com a constante de

atenuação (a amplitude do campo também decai exponencialmente com a constante , conforme(7.232)). Obviamente essa queda exponencial ocorre as custas da transferência de energia para o

meio que a dissipa em forma de calor. É importante observar que pode-se tornar o meio ativo, com oemprego de artifícios externos, de forma a se poder obter uma mudança de sinal no coeficiente de

extinção. Se isso puder ser obtido, ocorre amplificação do campo eletromagnético. Em um Laser, por

exemplo, essa condição pode ser obtida pela técnica de inversão de população.

Para o caso de meios passivos, assumindo o regime de pequenas perdas, i.e., , aseguinte aproximação em primeira ordem pode ser obtida


, (7.234)

. (7.235)

7.6.3 Propagação em um meio dispersivo

Uma segunda questão importante a se considerar quando ser considera a propagação de uma

onda eletromagnética em um meio material é o efeito da dependência em freqüência da velocidade defase. No vácuo, o número de onda é linearmente relacionado com a freqüência angular pela relação

.



Essa relação implica que a velocidade de fase c é independente da freqüência e qualquer sinal que

contenha várias componentes de frequência se propaga sem distorção, uma vez que todas as

componentes se propagam com a mesma velocidade de fase. Em um meio material, no entanto, aconstante de propagação (número de onda) é da forma

. (7.236)

e cada componente de freqüência do sinal transmitido pelo meio, se propaga com velocidade de fase,

, (7.237)

e o sinal sofre distorção ao ser recomposto na saída do meio de propagação. Um meio em que arelação entre freqüência e constante de propagação é linear é denominado de um meio sem dispersão.

Rigorosamente, apenas o vácuo teria essa propriedade.

Se o meio tem baixas perdas e o sinal transmitido apresenta um espectro estreito de

freqüências, essa distorção é pequena e pode-se definir o conceito de velocidade de propagação daenergia ou da informação introduzindo-se a velocidade de grupo, conforme descrito a seguir.

A. Espectro de uma função real

Considere-se que o sinal na entrada de um meio dispersivo seja expresso na forma

, (7.238)

com representando um sinal modulador ou mesmo uma função que leva em conta a cromaticidadeimperfeita da fonte de radiação eletromagnética. A Fig.7.14 ilustra qualitativamente a forma da função

associada a um pulso de duração finita. O espectro de é definido pela função


, (7.239)

em que e representam o módulo e a fase de F.

Admite-se que varia muito lentamente relativamente às variações de amplitude da

componente central de freqüência . Isso corresponde a afirmar que a função em (7.239) é

limitada a uma faixa estreita de freqüências , conforme ilustrado na Fig.(7.15).



Fig.7.14 – Aspecto qualitativo de um sinal modulado.

Fig.7.15 – Dependência espectral do módulo de F.

As relações entre as grandezas no domínio do tempo e no domínio da freqüência são o par detransformadas de Fourier

(7.240)

e

. (7.241)

O espectro de , definido pela grandeza , é obtido de (7.241), i.e.,


(7.242)

De (7.238) a função pode ser escrita na forma

, (7.243)

que inserida em (7.242) fornece



.

Com o emprego de (7.240) essa última relação pode ser posta na forma

(7.244)

Admitindo que , os dois termos em (7.244) não se superpõem como função da

freqüência, ou seja, os respectivos módulos dos dois termos estão totalmente separados no domínio da

freqüência. Em situações práticas e a condição é automaticamente satisfeita. Nessas

situações, o espectro da função tem o aspecto indicado na Fig.7.16.

Com puramente real, tem-se

(7.245)

o que fornece

Fig.7.16 – Dependência espectral do módulo de S0.


ou ainda

A unicidade da integral de Fourier, implica que a igualdade entre integrais só pode ser satisfeita pela

igualdade dos integrandos. Assim, igualando termo a termo a primeira e terceira integrais fornece

, (7.246)



e de (7.239)

, (7.247)

. (7.248)

Ou seja, para uma função f puramente real:

· O módulo da amplitude de Fourier é uma função par da freqüência.

· A fase da amplitude de Fourier é uma função ímpar da freqüência.

Propriedades semelhantes se aplicam a . Isso pode ser demonstrado de (7.244), umavez que dessa relação tem-se

,

ou com base em (7.239)

.

Utilizando as propriedades (7.247) e (7.248) para tem-se

,

e de (7.239)


.

Essa relação, com o emprego de (7.244) fornece a propriedade, semelhante a (7.246), i.e.,

, (7.249)

o que implica em

, (7.250)

. (7.251)



Os aspectos dos módulos de F e S0 mostrados nas Figs. 7.15 e 7.16 estão de acordo com as

propriedades (7.247) e (7.250) e estão mostrados juntamente com as respectivas fases na Fig.7.17,estas traçadas de forma a satisfazer (7.248) e (7.251).

Fig.7.17 – Dependência espectral do módulo e fase das amplitudes de Fourier F e S0.


B. Velocidade de fase e velocidade de grupo

Admitindo que o meio de transmissão representado na Fig.7.14 seja sem perdas, após

propagação em um comprimento L ao longo do meio, cada componente de Fourier do sinal, querepresenta uma onda eletromagnética harmônica na freqüência angular sofre um defasamento

determinado pela constante de propagação no meio, . Denominando de a amplitude de

Fourier do sinal após propagação em um comprimento L, tem-se portanto

, (7.252)

e o sinal na saída, obtido da transformada inversa que tem a forma (7.240), é dado por

. (7.253)

Utilizando-se (7.244) e (7.252) em (7.253) fornece

Pode-se escrever



(7.254)


Antes de prosseguir com o cálculo de (7.254) é importante analisar a paridade da constante de

propagação . Uma vez que nessa análise, a construção matemática de funções no domínio do tempo

requer o emprego também da região espectral de freqüências negativas, como deve se comportar a

constante de fase para uma mudança de sinal da freqüência? Para uma onda que se propaga no sentido+z, cada componente de Fourier tem de representar uma onda se propagando no mesmo sentido. Uma

vez que propagação no sentido +z implica em um fator de fase dado pela diferença dos fatores detempo e de espaço, i.e.,

, (7.255)

se for produzida uma reversão de sinal na freqüência, i.e., se for feita a mudança , a nova fase

tem de permanecer sendo representada pela diferença entre os fatores de espaço e tempo. Com essamudança, tem-se

. (7.256)

Se a função for par, a mudança em (7.255) resultaria em uma onda se propagando no

sentido de –z, uma vez que de (7.256) se obteria

, se ,

o que não corresponde ao sentido de propagação original. Consequentemente, a função tem de

ser ímpar, de forma que as componentes de freqüência negativa do espectro também se propaguem nosentido +z. Ou seja,

, (7.257)

o que em (7.256) fornece

, (7.258)

que contém a diferença entre os fatores de espaço e tempo. Portanto,

(7.259)

que é a propriedade fundamental de fase de cada componente de Fourier de funções reais, como já



discutido anteriormente.


Uma vez que de (7.230)

,

a propriedade (7.257) inserida nessa expressão fornece

, (7.260)

e o índice de refração é uma função par da freqüência.

Uma vez obtidas essas propriedades, considere-se o cálculo de (7.254). Fazendo a mudança

de variáveis na primeira integral dessa expressão, vem


em que foi feito uso das propriedades (7.246) e (7.257) e na última passagem foi feita a mudança de

variáveis . Ou seja, a primeira integral em (7.254) é o complexo conjugado da segunda, e

portanto

o que fornece




A integral em (7.261) requer o conhecimento da dependência em freqüência da constante de

propagação. Um resultado pode ser obtido no regime . Nesse caso pode-se adotar uma

aproximação em primeira ordem para a função b do tipo

. (7.262)

Definindo os parâmetros

, (7.263)

que representa a constante de propagação calculada na freqüência da portadora e

, (7.264)

que tem dimensão de velocidade e é denominado de velocidade de grupo, um termo cujo significado

se tornará aparente ao final da análise, (7.261) pode ser posta na forma


Fazendo a mudança de variáveis, nessa última expressão, obtém-se


Fazendo a mudança de variáveis , a última expressão se torna



.

A integral no segundo membro dessa expressão pode ser identificada com base em (7.240), o que

fornece

. (7.265)

A expressão acima pode ainda ser posta na forma

, (7.266)

com

, (7.267)

representando a velocidade de fase na freqüência da portadora.

Da análise e da expressão (7.266) pode-se extrair as seguintes observações:

· Se o sinal de entrada tem um estreito espectro de freqüências em torno da freqüência central,

se pode definir uma velocidade de grupo, , calculada aproximadamente na freqüênciacentral, diretamente associada à velocidade do transporte de informação.

· O sinal de saída é uma réplica do sinal de entrada e a informação contida em se propaga

co,m uma velocidade igual à velocidade de grupo .

· A velocidade associada ao defasamento da portadora entre a entrada e a saída é a velocidadede fase vc, calculada de forma aproximada na freqüência central, conforme definido em

(7.267).

Os parâmetros de desempenho de um meio material quanto à passagem de um sinal

eletromagnético podem ser inferidos com base na análise do diagrama de dispersão , ilustrado

qualitativamente na Fig.7.18. A velocidade de fase, é a razão entre freqüência e constante depropagação, conforme ilustrado na figura. A velocidade de grupo é a declividade da curva no ponto de

operação. Note-se que a velocidade de grupo é variável em princípio e mesmo para um estreito

espectro de freqüências em torno da freqüência central, ocorre distorção do sinal. Devido a isso, umpulso eletromagnético tende a se dispersar, à medida que se propaga no meio, i.e., sua largura

temporal aumenta e sua amplitude diminui. Isso impõe limitações à capacidade de transmissão de

informações do meio. Se trens de pulsos são transmitidos, por exemplo, o meio de propagação



sempre exibe uma capacidade máxima de transmissão de informação em pulsos/segundo, para umdado comprimento L. Acima desse limiar, pulsos que na entrada do meio estão totalmente separados

no domínio do tempo, começam a se sobrepor, impossibilitando a recuperação da informação nasaída. O conhecimento preciso do diagrama de dispersão permite assim determinar, entre outras

coisas, as limitações de transmissão de informação no meio de propagação.


Fig.7.18 Diagrama de dispersão.

7.7 Espectro eletromagnético

A Fig.7.19 ilustra a denomimação usual adotada nas várias regiões de freqüência do espectroeletromagnético. Os comprimentos de onda correspondentes no vácuo estão também indicados. Uma

breve descrição das tecnologias empregadas em algumas das faixas espectrais aí mostradas é feita a

seguir.

Fig.7.19 – Diagrama representativo do espectro eletromagnético.

7.7.1 Ondas de rádio


Essa região espectral engloba todo o espectro eletromagnético tendo comprimentos de onda

superiores a aproximadamente 1 m. Ondas longas seriam aquelas de comprimentos de onda maiores



do que aproximadamente 1 km, ou seja, com freqüências inferiores a 300 kHz. Tecnologias que

operam nessa faixa de freqüências incluem os sistemas de geração, transmissão e distribuição de

energia em 50 ou 60 Hz, i.e., . Na faixa de ondas médias de 300 kHz a 3 MHz tem-se, porexemplo, toda a tecnologia de telecomunicações empregada nos sistemas de radiodifusão AM (sigla

inglesa para o termo modulação de amplitude) na faixa de 535 kHz a 1.7 MHz .

A faixa de ondas curtas de 3 a 30 MHz é utilizada geralmente por radio amadores, na comunicaçãoentre navios e aviões. A faixa de VHF (sigla inglesa para freqüência muito alta) entre 30 e 300 MHz

é ocupada para telecomunicações de sistemas de radio FM (sigla inglesa para modulação em

freqüência) e de televisão, entre outros. Sistemas de imagem baseados em ressonância nuclearmagnética operam também nessa faixa de freqüências em torno de 60 MHz. A região UHF (sigla

inglesa para ultra alta freqüência) entre 300 MHz e 3 GHz é ocupada por

sistemas de TV a cabo, sistemas de comunicações móveis de telefonia celular, sistemas de transmissãode dados via satélite, entre outros.

7.7.2 Micro-ondas e ondas milimétricas

Micro-ondas é o termo utilizado para a faixa de freqüências entre 1 GHz e 100

GHz . Nessa faixa de freqüências o transporte de informação em distâncias moderadas em

circuitos internos é feito com o emprego de guias de onda, uma vez que à medida que a freqüência

aumenta, há uma tendência de aumento da resistência elétrica de condutores, o que os torna inviáveispara condução de sinais de mais alta freqüência. Há aplicações nessa faixa espectral desde o popular

forno de microondas, que opera em 2,4 GHz, passando pelo radar para rastreamento de objetos, porsistemas de comunicação por satélite chegando a tecnologias de aceleração de elétrons por micro-

ondas em aceleradores lineares. A faixa de ondas milimétricas entre 100 GHz e 1 THz

permite a obtenção de feixes de radiação eletromagnética confinados, de dimensões reduzidas, com

aplicações importantes em sistemas de radar de alta resolução.

7.7.3 Infravermelho e visível

O termo infravermelho distante recebe essa denominação em relação à sua separação em

relação à região visível do espectro, pois entre essas duas se localiza o infravermelho (ou infravermelhopróximo). No infravermelho é mais palpável o emprego da escala de comprimentos de onda em

substituição à escala de freqüências. A região do infravermelho distante entre 30 e 300 é muitousada para caracterização do espectro rotacional de moléculas em uma substância gasosa, para

identificação de estruturas moleculares, etc. A região do infravermelho para comprimentos de onda

inferiores a é utilizada em espectroscopia para identificação de moléculas em uma mistura. Aregião do infravermelho próximo entre 0,8 e 1,7 é ocupada pelos sistemas de comunicações

ópticas em que fibras ópticas são utilizadas no transporte de informação e lasers semicondutores para a

emissão da radiação eletromagnética coerente. Materiais semicondutores são também utilizados paradetecção nessa faixa espectral. A região visível começa aproximadamente em 700 nm (vermelho) indo

até o comprimento de onda de 400 nm (violeta). Essa região é utilizada em espectroscopia, nadeterminação de níveis de energia eletrônicos, em sensoriamento de substâncias liquidas ou gasosas,

entre outras aplicações e fontes coerentes nessa região espectral são os lasers a gás e alguns de estado

sólido.




7.7.4 Ultravioleta e Raios-X

Na região ultravioleta, entre 10 e 300 nm, os fótons têm energia suficiente para produzir

ionização de átomos e moléculas. Isso é muito utilizado em sistemas de esterilização na área medica,

em sistemas de purificação de água, etc. Espectroscopia no ultravioleta permite o desenvolvimento detestes para identificação de substâncias em análises químicas e biológicas. Raios X ocorrem na faixa

espectral entre 10 pm e 10 nm e são geralmente produzidos quando um feixe de elétrons aceleradoatinge um anteparo metálico. Devido à alta energia de cada fóton, raios X podem penetrar

praticamente em qualquer substância e por isso são muito utilizados para obtenção de imagens internas

de animais e seres humanos, além de serem exaustivamente empregados no tratamento de tumores.Difração de raios X altamente coerentes e colimados permite a determinação e orientação dos eixos

principais de um cristal, além de facilitar o desenvolvimento de microscópios de alta resolução. Nessafaixa de freqüências de tão alta energia com comprimentos de onda extremamente curtos, os fótons

adquirem propriedades mais próximas de partículas e o tratamento matemático dos fenômenos

inerentes a essa região espectral tem de levar em conta simultaneamente as propriedades ondulatória ecorpuscular do fóton.

Problemas

7.1 Mostre que havendo uma distribuição de cargas e uma distribuição de corrente no vácuo,

obtêm-se as seguintes equações diferenciais para os campos e :

,

.

7.2 Considere a equação da onda escalar unidimensional

,

aplicável para uma função que dependa apenas de uma variável . Confirme que a forma

satisfaz de fato à equação da onda, por substituição direta dessa forma na Eq. da onda.

7.3 Verifique se a função , com n representando um número inteiro positivo, satisfaz à

equação da onda unidimensional. Caso positivo, analise se essa solução poderia ser fisicamente

realizável e justifique.

7.4 Considere a função , com A representando a amplitude e L um comprimento



efetivo. Faça um esboço dessa função para . Confirme que essa função satisfaz à

equação da onda. Essa função poderia ser fisicamente realizável? Justifique.

7.5 Verifique que a função (7.29) satisfaz à equação da onda (7.16)

7.6 Escreva a forma geral da função de onda , representando uma das componentes de campo, para

uma onda plana cuja frente de onda é paralela ao plano .

7.7 Determine a velocidade de fase para a questão anterior, ao longo da direção definida pelo vetor

unitário .

7.8 Uma onda plana harmônica se propaga no vácuo no sentido do vetor , com o

campo elétrico representado pelo fasor Copyright by Eduardo Fontana 2011

(V/m)

i) Determine o vetor de onda em função de k0

ii) Determine os vetores e

iii) Determine os vetores e

iv) Determine a energia total eletromagnética armazenada em um volume V do espaço

v) Determine a potencia eletromagnética que atravessa uma área de 1 m2 ortogonal ao vetor

v) Determine como função de o comprimento de onda na direção do vetor

vi) Determine a velocidade de fase, como função de c na direção do vetor dado no item anterior.

7.9) Considere ondas planas se propagando no sentido +z, com fasor campo elétrico tendo a forma

geral .

i) Determine ii) Calcule a trajetória traçada pelos vetores do item (i) como função do tempo e interprete.

7.10) Considere dois vetores harmônicos representados no domínio do tempo na forma

Mostre que esses vetores são ortogonais, i.e., , em qualquer instante de tempo se e somente se

e




7.11) Resolva (7.168) ou (7.169) e obtenha a solução geral para y ou z no regime

i)

ii) . Confirme nesse caso a definição (7.172)

7.12) Obtenha a solução para x(t) em (7.168), admitindo que o campo aplicado seja dado por

, com e , no regime . Confirme que x adquire a mesma

freqüência de oscilação do campo aplicado após decorrido o regime transitório, i.e., no regime

.

7.13) Admita que um campo elétrico da forma seja aplicado em um meio material depermissividade dada por

.

i) Determine a dependência no tempo da polarização elétrica e da densidade de fluxo elétrico para

.

ii) Determine o defasamento entre campo elétrico e polarização elétrica na ressonância.iii) É possível interpretar o resultado (i)?

7.14) As expressões (7.234) e (7.235) foram obtidas no regime de pequenas perdas. Mostre que nocaso geral, obtém-se

,

.

7.15) Mostre que as expressões obtidas na questão anterior se reduzem a (7.234) e (7.235) no regime

de pequenas perdas.

7.16) Na seção 7.6.2, admita o regime de pequenas perdas, com n e dados por (7.234) e (7.235),

e . Admita também que o meio é infinitamente longo na direção z.

i) Mostre que

ii) Determine o vetor campo magnético

ii) Determine o vetor de Poyntingiii) Utilize o vetor de Poynting para determinar a potência ativa dissipada no meio de propagação, em

um volume de comprimento infinito ao longo da direção de propagação, que se estende desde aentrada do meio, tendo como base um retângulo de área A ortogonal à direção de propagação.

iv) Determina o fluxo de potencia reativa para dentro do volume

vi) Calcule essas potências com base no segundo membro de (7.209) e compare com os resultados



obtidos em (iii) e (iv).

7.17) Considere que um condutor tem permissividade real e condutividade . Admita que

. De acordo com a discussão na seção 7.4.2.D o material pode ser considerado como tendouma permissividade relativa complexa dada por

.

i) Para um bom condutor como ouro, cobre, etc., calcule o valor mínimo do parâmetro parauma freqüência máxima de 100 GHz, admitindo que a condutividade se mantém inalterada nessa faixa

espectral.

ii) Para , e levando em conta a ordem de grandeza obtida no item anterior, mostre que

iii) Mostre que a profundidade de penetração do campo definida como o comprimento dentro docondutor em que a amplitude do campo decai para 1/e de seu valor na entrada é dada por

.

em que f é a freqüência em Hz.

iv) Calcule a profundidade de penetração para o cobre para f = 1 KHz, 100 kHz, 10 MHz e 1GHz.

7.18) Um meio de permeabilidade tem uma relação de dispersão dada por

,

em que é uma freqüência característica do material e c é a velocidade da luz no vácuo.

i) Determine a dependência para

ii) Faça um esboço da função para

iii) Determine a velocidade de fase como função de . Qual o valor limite para ?

iv) Determine a velocidade de grupo como função de . Qual é a velociade de grupo para ? E

para ?




Documents

Eletromagnetismo - Capítulo 7 - Web Version - Copyright Eduardo Fontana 2011