Eletromagnetismo – Licenciatura: 21ª Aula (22/05/2014) Prof. Alvaro Vannucci

Vimos na última aula:

Experiência da Fenda dupla de Thomas Young:

Diferença de percurso: 2 1r r dsen

Diferença de fase das ondas no ponto P do anteparo:

2 2( ) sink r r k d

Condição de Interferência Construtiva no anteparo:

sin ; 0, 1, 2,...dsen mm d m

Condição de interferência Destrutiva: ; 0, 1, 2( ,.1

)2

..md sen m

Posição dos pontos de máximo e mínimo no anteparo:

min

; 0, 1, 2,...1

( )2

máx

Ly m

dm

Ly m

d

Vejamos agora como determinar a Intensidade da radiação

em cada ponto do anteparo.

Pelo que vimos na aula passada, se a diferença de fase das

ondas for (e as ondas tiverem a mesma amplitude), os

campos elétricos destas ondas serão:

1 0

2 0

cos( )

cos( )

E E kr t

E E kr t

De forma que o campo resultante Er no ponto P do anteparo será a soma dos campos

destas ondas que emergem das fendas 1 e 2.

A maneira mais conveniente de efetuarmos a soma destas ondas na região do

anteparo, sempre lembrando que depende da diferença de percurso de cada onda,

é utilizando um “Diagrama de Fasores”.

Procedimento: em um diagrama são representadas as

amplitudes do campo elétrico de cada onda (fasores), de

acordo com a diferença de fase ( ) existente, e impor que

todo o conjunto está girando no sentido anti-horário com

velocidade angular ω. A amplitude resultante será a soma

(como no caso de vetores) dos dois fasores.

No triângulo da figura, aplicando a lei dos cossenos:

2 2 2 2 2

0 0 0 0

cos ( )

( ) 2 cos( ) 2 (1 cos )RE P E E E E

(1)

Lembrando que cos( ) cos cos sin sinA B A B A B ; e supondo2

A B

:

2 2 2 2 2

2 2 2( ) cos( ) cos sin cos 1 cos cos 2cos 1

2 2 2 2cos

(2)

Substituindo (2) em (1): 2 2 2

0( ) 2 (1 2cos 1)2

RE P E

(extraindo a raiz)

2 2

0( ) 2 (cos )2

RE P E

Agora, como 2

0( ) 4 cos ( )2

²I S E I P I

Finalmente substituindo 2

sin sinkd d

:

2

0( ) 4 cos ( sin )d

I P I

Desta expressão vemos que os pontos de maior brilho serão aquelas para os quais o

2cos ( sin ) 1d

; e a intensidade da radiação nestes pontos será 4 I0; sendo I0 a

intensidade da onda que emerge de cada fenda.

Note que do resultado:

2cos ( sin ) 1 cos( sin ) 1 sind d d

m

sin ; 0; 1; 2,...d m m

Utilizando agora a aproximação (L>>d): sinθ ~ tgθ = y\L :

2 2

00

' '0 0( ) 4 cos ( ) ( ) cos ( ) 4;

d y d yI P I I P I

L LI I

Gráfico correspondente:

Ou seja, as intensidades máximas (picos) de cada franja teriam o mesmo valor

(amplitude 4 I0); mas não é isso que se verifica experimentalmente! Discutiremos isto

posteriormente.

É importante observar que os resultados acima foram obtidos considerando-se o meio

de propagação das ondas eletromagnéticas como sendo o vácuo.

Porém, na situação em que propagam-se em um meio transparente (vidro, água, etc.)

com índice de refraçãoc

nv

; sendo v a velocidade da onda neste meio, então o

comprimento de onda correspondente será:

; 'vácuomeiomeio

v cou

f nn f n

E será este comprimento de onda (’) que deveremos considerar na verificação da

interferência (nos pontos do anteparo) ser construtiva ou destrutiva.

Ex 5 - lista 6: Luz monocromática e coerente, de comprimento

de onda , incide sobre um sistema de fenda dupla em que uma

das fendas é coberta por uma lâmina de material transparente de

índice de refração n e espessura z. A abertura das fendas é igual

e não há absorção de radiação no material. a) Quais os possíveis

valores de z para que ocorra um máximo de intensidade, a zero

graus, em um anteparo distante? b) sendo d a separação entre as

fendas, e sabendo que a amplitude da onda que penetra cada

fenda é E0, calcule as posições (ângulos) onda há máximos de

interferência, em função de z.

a) Para = 0° (máximo principal), a interferência será construtiva se as ondas saírem

das fendas em fase; e para que saiam em fase, devem chegar nas fendas em fase,

após atravessarem as regiões correspondentes de espessura z do meio (onda 1

com comprimento de onda λ)

Assim, podemos representar os campos destas duas ondas:

1 0

2 0

cos( )

cos ( )

meio

ar

E E k z t

E E k z t

diferença de fase

meiok z t ark z t

E como2 2 1 22 2 ( ) ( 1)

'

n zk z z z n

Finalmente, para estarem em fase e provocar interferência construtiva:

2 ; 0,1,2,...m m 2

( 1) 21

possíveis

z mn m z

n

b) Para determinarmos o padrão de interferência nos diversos pontos do anteparo

distante, temos que contabilizar a diferença de fase provocada pelo material

transparente (de espessura z, em frente à fenda 1) e a diferença de fase

decorrente da diferença de percurso de cada onda que emerge de cada fenda (e

atinge um ponto P qualquer do anteparo).

Ou seja, a diferença de fase total 1 2 ; sendo que 1 é a diferença de fase entre

as ondas que percorrem a distância z no meio transparente e no ar (já calculada no

item a); e 2 é a diferença de fase que decorre da diferença de percurso de cada onda

até o ponto P.

Nesta última situação, como já vimos, 2 sink d

Finalmente, como se deseja interferência construtiva:

1 2

2 22 ( 1) sin 2

zm n d m

sin ( 1)d z n m

Ex: Considere duas antenas de rádio, separadas por d = 10m,

irradiando ondas em fase com frequência f = 60MHz,

uniformemente, conforme a figura. Sabendo-se que no ponto O

a L = 700m de altura a intensidade do sinal é I = 0,02 W\m² ,

determine (considerando o arranjo com o de uma fenda dupla

onde L >> d):

a) A intensidade do sinal em um ponto próximo a O e que esteja na direção de 4°.

b) E em que direção existe um outro ponto, próximo a O, no qual a intensidade do

sinal reduz-se a I\2?

c) Para quais pontos próximos a O tem-se interferência totalmente destrutiva?

a) Como vimos: 2'0( ) cos ( sin )

dI O I

; sendo:

0,02 \ ²

700

10

I W m

L m

d m

;

e estes dados correspondem à direção = 0°, de forma que: '0 0,02

²

WI I

m

Em um ponto P1, próximo de O e na direção = 4°, teremos, lembrando ainda que

c

f :

62 2

1 1 180,07

6,28

\ ²(3,14)(10)(60 10 )

0,02cos sin 4 0,02 cos (0,438 ) 0,023 10 rad

W mI I rad I

b) '

'00 2 2

1 1 2cos ²(3,28sin ) cos(6,28sin )

2 2 22

II

2 2

26,28sin arccos ( ) 0,785 sin 0,125

2rad

2 arcsin0,125 ~ 0,125 7,2rad

c) Condição de mínimos:

1 1 1 1sin ( ) ( ) sin ( ) 0,5( )

2 2 2 2

c cd m m m m

f df

0

1

2

10 : sin (0,5)( ) 0,25 14,52

1: sin (0,5)(1,5) 0,75 48,6

0 : sin (0,5)(2,5) 1,25

m

m

m

( )1!!