Eletrotécnica Geral Eletrônica

ELETROTCNICA GERAL

Unidade Operacional (CENTRO DE FORMAO PROFISSIONAL JOSE IGNACIO PEIXOTO)

Presidente da FIEMG Robson Braga de Andrade

Gestor do SENAI Petrnio Machado Zica

Diretor Regional do SENAI e Superintendente de Conhecimento e Tecnologia Alexandre Magno Leo dos Santos

Gerente de Educao e Tecnologia Edmar Fernando de Alcntara

Elaborao RICARDO FACCHINI GARCIA

Unidade Operacional

CENTRO DE FORMAO PROFISSIONAL JOSE IGNACIO PEIXOTO

Sumrio

PRESIDENTE DA FIEMG....................................................................................................................2

APRESENTAO ..............................................................................................................................5

INTRODUO....................................................................................................................................6

GRANDEZAS ELTRICAS................................................................................................................7

CARGA E MATRIA.............................................................................................................................7 CARGA ELTRICA ..............................................................................................................................8 CORRENTE ELTRICA ........................................................................................................................8 TENSO ELTRICA.............................................................................................................................9 CONDUTORES, SEMICONDUTORES E ISOLANTES................................................................................11 RESISTNCIA ELTRICA ...................................................................................................................12 TIPOS DE RESISTORES.....................................................................................................................14

CIRCUITO ELTRICO......................................................................................................................19

LEI DE OHM ....................................................................................................................................19 POTNCIA ELTRICA E ENERGIA .......................................................................................................21

ANLISE DE CIRCUITOS - APLICAES DAS LEIS DE KIRCHHOFF ......................................23 LEIS DE KIRCHHOFF ........................................................................................................................23 CIRCUITO SRIE ..............................................................................................................................25 CIRCUITO PARALELO .......................................................................................................................27 DIVISORES DE TENSO E CORRENTE ................................................................................................30 CIRCUITO MISTO..............................................................................................................................31 FONTE DE TENSO ..........................................................................................................................34 FONTE DE CORRENTES ....................................................................................................................35 DIFERENA DE POTENCIAL E NOMENCLATURA DE DUPLO NDICE.........................................................37

TCNICAS DE ANLISE DE CIRCUITOS......................................................................................39

ANLISE DE MALHAS........................................................................................................................39 ANLISE NODAL...............................................................................................................................42 TEOREMA DA SUPERPOSIO ..........................................................................................................44 TEOREMA DE THVENIN...................................................................................................................47 TEOREMA DE NORTON.....................................................................................................................50 TRANSFORMAO ESTRELA (Y) E TRINGULO () .............................................................................53

CAPACITNCIA...............................................................................................................................57

CAMPO ELETROSTTICO ..................................................................................................................57

MATERIAIS DIELTRICOS..................................................................................................................58 CAPACITNCIA ................................................................................................................................59 TIPOS DE CAPACITORES...................................................................................................................62 ASSOCIAO DE CAPACITORES ........................................................................................................63 TRANSITRIO RC EM CORRENTE CONTNUA......................................................................................67

ELETROMAGNETISMO...................................................................................................................72

MAGNETISMO..................................................................................................................................72 CAMPO MAGNTICO.........................................................................................................................73 TEORIA DE WEBER-ERWING OU TEORIA DOS MS ELEMENTARES ......................................................77 TEORIA DOS DOMNIOS MAGNTICOS ................................................................................................77 M.................................................................................................................................................79 ELETROMAGNETISMO ......................................................................................................................81 GRANDEZAS MAGNTICAS FUNDAMENTAIS........................................................................................84 LEI DE LENZ ....................................................................................................................................91 INDUTNCIA - L ...............................................................................................................................92 AUTO-INDUO ...............................................................................................................................93 INDUO MTUA - M........................................................................................................................94 INDUTORES.....................................................................................................................................96 ASSOCIAO DE INDUTORES............................................................................................................98 CORRENTES DE FOUCAULT............................................................................................................102 MAGNETIZAO E HISTERESE MAGNTICA ......................................................................................103 TRANSITRIO EM INDUTOR.............................................................................................................105

ANLISE DE CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA...........................................................112

TENSO ALTERNADA......................................................................................................................112 CONCEITOS FUNDAMENTAIS DE UMA FORMA DE ONDA SENOIDAL......................................................116 CIRCUITO RESISTIVO PURO ............................................................................................................118 CIRCUITO INDUTIVO PURO..............................................................................................................119 POTNCIA EM CIRCUITO RL E RC SRIE .........................................................................................136 CIRCUITO RC PARALELO ...............................................................................................................142 CIRCUITO RLC PARALELO .............................................................................................................143 TRINGULO DAS POTNCIAS ..........................................................................................................149

CIRCUITOS TRIFSICOS..............................................................................................................150 IDENTIFICAO DAS FASES DO GERADOR TRIFSICO........................................................................150 CONEXO DO GERADOR EM ESTRELA (Y)........................................................................................152 DIAGRAMA FASORIAL .....................................................................................................................153

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ..............................................................................................168

Eletrotcnica geral ____________________________________________________________

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Curso Tcnico em Eletrnica 5/165

AApprreesseennttaaoo

Muda a forma de trabalhar, agir, sentir, pensar na chamada sociedade do conhecimento.

Peter Drucker

O ingresso na sociedade da informao exige mudanas profundas em todos os perfis profissionais, especialmente naqueles diretamente envolvidos na produo, coleta, disseminao e uso da informao.

O SENAI, maior rede privada de educao profissional do pas, sabe disso, e, consciente do seu papel formativo, educa o trabalhador sob a gide do conceito da competncia: formar o profissional com responsabilidade no processo produtivo, com iniciativa na resoluo de problemas, com conhecimentos tcnicos aprofundados, flexibilidade e criatividade, empreendedorismo e conscincia da necessidade de educao continuada.

Vivemos numa sociedade da informao. O conhecimento, na sua rea tecnolgica, amplia-se e se multiplica a cada dia. Uma constante atualizao se faz necessria. Para o SENAI, cuidar do seu acervo bibliogrfico, da sua infovia, da conexo de suas escolas rede mundial de informaes - internet - to importante quanto zelar pela produo de material didtico.

Isto porque, nos embates dirios, instrutores e alunos, nas diversas oficinas e laboratrios do SENAI, fazem com que as informaes, contidas nos materiais didticos, tomem sentido e se concretizem em mltiplos conhecimentos.

O SENAI deseja, por meio dos diversos materiais didticos, aguar a sua curiosidade, responder s suas demandas de informaes e construir links entre os diversos conhecimentos, to importantes para sua formao continuada !

Gerncia de Educao e Tecnologia


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IInnttrroodduuoo O objetivo deste material atender, de forma abrangente, disciplina Eletrotcnica Geral em nvel dos cursos tcnicos realizados no SENAI. Adapta-se bem aos planos de curso da disciplina, seja nos nossos cursos tcnicos de Eletrnica e Informtica, seja para qualquer outro curso tcnico ligado rea ou programas de aperfeioamento e qualificao dentro do Sistema FIEMG ou de outras entidades de ensino. Temos a convico que ser de grande utilidade para todos que necessitam dos conhecimentos bsicos na rea de anlise de corrente contnua, magnetismo e anlise de corrente alternada.

Tentamos ser objetivos, com explicaes detalhadas, exemplos e ilustraes. Nossa preocupao apresentar resoluo de circuitos eltricos com tcnicas de fcil compreenso e realiz-los de forma mais clara possvel, sem abusar de artifcios matemticos complicados.

Deve-se ressaltar que este material visa dar embasamento necessrio para outras disciplinas, podendo ser facilmente entendido por alunos que estejam se iniciando nessa rea de conhecimento.


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GGrraannddeezzaass eellttrriiccaass

Carga e matria Trs espcies de partculas elementares constituem a matria, que tudo

aquilo que tem massa e ocupa lugar no espao. Estas partculas elementares denominam-se, prtons, eltrons e nutrons, cujas cargas e massas esto relacionadas a seguir.

Partcula Carga Massa Prton (p) Eltrons (e-) Nutron (n)

+e (1.60210 x 10-19 C) -e (1 .60210 x 10-19 C) 0

1.67252 x 10-27 kg 9.1091 x 10-31 kg 1.67482 x 10-27 kg

A matria, no estado natural, tem o nmero de prtons igual ao de eltrons sendo eletricamente neutra. A disposio das partculas subatmicas no tomo, de acordo com o modelo de Bohr, pode ser vista na figura 1.1.

Fig. 1.1

Assim, o tomo apresenta um ncleo contendo prtons e nutrons e uma eletrosfera contendo os eltrons.

Os eltrons, na eletrosfera, so dispostos em rbitas conforme a energia dos mesmos, de forma que a eletrosfera dividida em camadas (ou rbitas) denominadas pelas letras K, L, M, N, O, P e O, a partir da camada mais interna.


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No caso do cobre, as camadas apresentam as seguintes quantidades de eltrons:

Camadas Quantidade de eltrons

K L M N

2 8

18 1

Observa-se que o tomo do cobre possui 29 eltrons em sua eletrosfera.

A camada mais externa da eletrosfera onde se realizam as reaes qumicas e eltricas; denominada camada de valncia, pode possuir at 8 eltrons.

Carga eltrica Um corpo que, por qualquer processo, venha a perder eltrons da ltima

camada, fica eletricamente positivo. Quando ganha eltrons fica eletricamente negativo. Este processo chama-se eletrizao.

O termo carga foi introduzido para significar a quantidade de eltrons ganhos ou pedidos na eletrizao.

A unidade de carga no sistema MKS o coulombs [C]. A Carga eltrica do eltron e do prton tem o mesmo valor (1,6 . 10-19 C), porm, sinais contrrios.

As experincias deixaram as seguintes afirmaes:

quando a eletrizao provocada, cargas positivas e negativas iguais so produzidas simultaneamente;

cargas de sinais contrrios se atraem e cargas de mesmo sinal se repelem.

Corrente eltrica Quando as extremidades de um fio longo so ligadas aos terminais de uma

bateria, um fato conhecido o aparecimento de uma corrente eltrica (smbolo i) no fio. Esta corrente pode ser visualizada como sendo um fluxo de carga. (Fig. 1.2)

Fig 1.2


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O movimento dos eltrons direcionado no sentido do plo positivo; O fluxo de eltrons ou cargas que atravessam a seco transversal do

material por um intervalo de tempo definido como corrente eltrica. O fluxo de eltrons pode ser contnuo ou alternado. O fluxo contnuo o

que se movimenta somente em um sentido, e o fluxo alternado o que ora se movimenta em um sentido ora em sentido contrrio.

No sistema MKS a unidade de corrente eltrica o ampre (smbolo A). Dois sentidos so definidos para a corrente eltrica: o sentido de

movimento dos eltrons, e o sentido convencional, sentido das cargas positivas, contrrias ao movimento dos eltrons.

O sentido do movimento dos eltrons o fluxo do negativo para o positivo da bateria. O sentido convencional o sentido historicamente conhecido como sendo o fluxo do plo positivo para negativo, ou seja, o sentido contrrio ao fluxo dos eltrons e que o mais adotado em anlise de circuitos.

O Coulomb a quantidade de carga que atravessa, em um segundo, a seo reta de um fio percorrido por uma corrente constante de um ampre.

q = i x t

onde q dado em coulomb, i em ampre e t em segundo.

A carga transportada por 6,24 x 1018 eltrons equivale a 1 coulomb.

Tenso eltrica Uma carga puntiforme (corpo eletrizado cujas dimenses so muito

menores do que as dos outros corpos eletrizados analisados) positiva aproximada, de um corpo eletrizado negativamente ou positivamente, ser atrada ou repetida por este corpo, respectivamente. A energia para efetuar este trabalho denominada energia potencial eltrica. Quanto maior a eletrizao do corpo, maior a fora de atrao ou repulso.

Dois corpos com diferentes foras sobre a carga puntiforme apresentam diferentes energias potenciais eltricas. Esta diferena de energia chamada diferena de potencial (ddp) e tambm conhecida como tenso eltrica.

A unidade da tenso eltrica no sistema MKS o Volt, representado pela letra V, e simbolizado pelas letras V ou E.

Fonte de tenso

Fontes de tenso so dispositivos que convertem outra forma de energia em energia potencial eltrica; so conhecidas como fontes de fora eletromotriz (fem).

As tenses medidas nessas fontes de fem so geralmente simbolizadas pela letra E.


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Alguns tipos de dispositivos que convertem outras energias em energia eltrica (potencial eltrica) esto listadas na tabela abaixo.

Fontes de fem

Fontes de energia

Dispositivo tpico

Qumica Mecnica Trmica Fotoeltrica (luz) Piezoeltrica (presso)

Clula combustvel, bateria (clula voltaica), pilha Gerador, alternador Termo acoplador Clula solar, fotoclula Cristal

A clula qumica ou voltaica a unidade bsica para converter energia qumica em energia eltrica. Ela consiste em um par de metais diferentes imersos em um lquido ou pasta de soluo de material inico chamado eletrlito. O eletrlito ionizado ou dissociado na soluo. Os ons positivos entram em reao qumica com um condutor metlico, ou eletrodo, e os ons negativos com o outro eletrodo. Os eletrodos ento adquirem carga lquida, positiva, e o outro, negativa. Novos compostos se formam na superfcie do eletrodo, quando os ons do eletrlito se combinam quimicamente com os materiais do eletrodo, e esses novos compostos eventualmente retardam a nova ao qumica. (Fig. 1.3)

Dependendo do material da clula em uso, fems da ordem de 1 a 2 V podem ser geradas. Alguns exemplos so dados na tabela a seguir.

Eletrodos Eletrlitos (V) fem nominal (V) Zinco e cobre cido sulfrico 1,0 Nquel e cdmio Hidrxido de potssio 1,2

Zinco e dixido de mangans Cloreto de amnia 1,5(clula de luz de flash) Magnsio e dixido de mangans Brometo de magnsio 1,5(clula de magnsio) Zinco e dixido de mangans Hidrxido de potssio 1,5 (clula alcalina) Chumbo e perxido de chumbo cido sulfrico 2,0 (clula automotiva)


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Clulas semelhantes so associadas para aumentar a capacidade de fem. Essas associaes so chamadas baterias.

O gerador converte energia mecnica em energia eltrica pelo movimento de um condutor em um campo magntico.

Um tipo de dispositivo que converte energia trmica em energia eltrica o termo acoplador mostrado na figura 1.4. Formado por duas junes metlicas, e se t1 mantida fria enquanto t2 aquecida, uma pequena fem da ordem de (10-4) V desenvolvida para cada 1 C de diferena de temperatura entre as junes. Como a fem gerada muito pequena, estas so comumente usados para medio de temperatura.

Fig.1.4

Um tipo de gerao fotoeltrica de fem baseado no princpio de que, quando raios de luz atingem uma juno semicondutora, o nmero de eltrons livres e lacunas na juno aumenta.

Quando certos materiais cristalinos (como um cristal de quartzo) so submetidos a um esforo mecnico, uma fem aparece nas extremidades do cristal.

Condutores, semicondutores e isolantes Condutores - So materiais que, com uma pequena diferena de potencial,deixam passar uma pequena corrente. Esta caracterstica do material resulta da concentrao de eltrons livres (eltrons na camada de conduo) por cm3, que para materiais tais como cobre, prata e a maioria dos metais, est em cerca de 1023 eltrons por cm3.

Isolantes - Os materiais considerados isolantes so aqueles que, para serem percorridos por uma pequena corrente, necessitam de uma grande diferena de potencial. Possuem cerca de 106 eltrons livres por cm3, tais como o ar, o teflon, a porcelana etc.

Semicondutores - Os materiais que se encontram entre estes so denominados semicondutores e possuem cerca de 1012 eltrons livres. Os materiais semicondutores possuem quatro eltrons na camada de valncia e necessitam de quatro tomos para completar uma combinao de subnveis, tais como o carbono, silcio e germnio.


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Resistncia eltrica Resistncia eltrica a oposio que um material apresenta passagem

da corrente eltrica. Esta caracterstica depende da estrutura atmica do material. Os materiais que apresentam muitos eltrons livres tm baixa resistncia eltrica (condutores), e os que tm poucos eltrons livres apresentam uma alta resistncia eltrica (isolantes).

A unidade de resistncia eltrica o ohm, representada por e simbolizada pela letra R.

Um componente especificamente designado para possuir a resistncia eltrica chamado resistor. Dependendo do material utilizado, e de suas caractersticas fsicas e construtivas, os resistores podem ser de carbono, de filme, de fio ou de semicondutores.

O inverso da resistncia a condutncia, que pode ser definida como a facilidade que o corpo apresenta passagem da corrente eltrica, identificada pela letra S. A unidade da condutncia o siemens, representada pela letra S, ou mho, representada pelo smbolo -1.

)s(R1G =

Resistividade

No apenas o tipo de material (caracterstica atmica) determina a resistncia de um condutor; mas tambm o comprimento, a rea da seo transversal e a temperatura. Desconsiderando o efeito da temperatura, a resistncia encontrada em uma relao direta do comprimento do condutor, e inversamente proporcional rea da seo transversal do condutor, isto :

AR

Onde

R - resistncia eltrica - o comprimento do condutor A - rea da seo transversal

A equao a seguir relaciona a equao anterior com o tipo de material do condutor.

AR =


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Onde

- em metros (m) A - em metros quadrados (m2) R - em ohms ()

A constante de proporcionalidade na equao chamada de resistividade e tem o smbolo (letra grega r). A resistividade depende do tipo de material condutor e definida como resistncia por unidade de comprimento e rea da seo transversal do material.

Sendo a unidade de comprimento em metros e de rea da seo transversal metros quadrados e de resistncia ohm, a resistividade a resistncia da face de um cubo do material condutor de 1 metro de lado.

A resoluo da equao acima fornece a unidade para a resistividade:

metroohmmm

m

LAR

.

2

====

A unidade da resistividade tambm encontrada em ohm.milmetro quadrado / metro.

A unidade de resistividade definida para uma temperatura de 20C, pois, medida que a temperatura aumenta, os tomos de um material tendem a se afastar, o que dificulta a passagem dos eltrons de um tomo para outro, na maioria dos condutores.

A resistividade de alguns materiais condutores mais comuns pode ser vista na tabela a seguir.

Tabela de resistividade

Materiais condutores Resistividade (. m) Alumnio 2,38 . 10-8

Lato 7. 10-8 Cobre recozido 1,72. 10-8

Cobre duro 1,78. 10-8 Ouro 2,45. 10-8

Platina 10. 10-8 Prata 1,64. 10-8

Estanho 11,50. 10-8 Zinco 6,23.10-8

O inverso da resistividade a condutividade, que pode ser definida como a "facilidade" que o cubo de 1 m de lado de um corpo apresenta passagem da corrente eltrica, representada pela letra S. A unidade da condutividade o (siemens. metro)-1, 1/(S.m) ou o 1/(mho.m).


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( )]./1[1 mmho

=

onde mho = -1

Tipos de resistores

Os tipos de resistores so classificados conforme o material utilizado e o aspecto construtivo. Alguns tipos de resistores so apresentados a seguir:

resistores de carbono; resistores de fio; resistores de filme.

Resistores de carbono

So resistores constitudos de uma mistura de carbono e ligas aplicados como uma capa em tubo de vidro ou moldada em uma estrutura densa, como mostra a figura 1.5.

Os valores so apresentados em cdigo de cores, que ser abordado mais frente.

Resistores de fio

So resistores constitudos de fio de rea transversal desejada, enrolados em um tubo de cermica e protegidos contra problemas mecnicos por uma capa de silicone ou esmalte. So usados geralmente para dissipar grandes quantidades de potncia (watts), o que ser abordado mais tarde.

Resistores de filme

So resistores constitudos de um ncleo cilndrico de cermica ou epxi, sendo depositada sobre este, por meio de um processo qumico, uma camada de filme de carbono ou filme metlico. So feitos cortes helicoidais nos filmes, cujo ngulo determina o valor de sua resistncia. A cobertura de esmalte para proteo de problemas mecnicos. O valor da resistncia apresentado em cdigo de cores, aplicado sobre a tinta de proteo. A figura 1.6 exemplifica os resistores de filme.


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Fig. 1.6

Cdigo de cores

Valores das cores

Conforme mencionado nos itens anteriores, o cdigo de cores para fornecer o valor da resistncia do resistor. So colocadas no resistor listas com cores, em que cada lista representa um valor numrico, conforme tabela.

Valor numrico

Cores Valor numrico

Cores

0 Preta 5 Verde 1 Marrom 6 Azul 2 Vermelha 7 Violeta 3 Laranja 8 Cinza 4 Amarela 9 Branca

Tolerncia

O cdigo pode ser de 4 ou 5 cores, conforme o valor da tolerncia do valor da resistncia do resistor.

A tolerncia do resistor determina a faixa de valores que a sua resistncia pode assumir. determinada em percentual do valor nominal do resistor, que pode ser de 20,10 ou 5%, para resistores considerados comuns, e 1 ou 2% para os considerados de preciso.

O valor nominal do resistor o determinado pelo cdigo de cores impresso no seu corpo.

A tolerncia apresenta as seguintes cores, conforme tabela: Tolerncia% Cores

20 10 5 2 1

Sem cor Prata Ouro

Vermelha Marrom


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Disposio das cores no resistor

As cores so dispostas no corpo do resistor indicando os algarismos significativos e a potncia de dez, sendo este um fator multiplicativo.

Para resistores com 4 cores a disposio a seguinte: (Fig. 1.7)

Observe que o primeiro algarismo est mais ao extremo do corpo do resistor.

Exemplo

Suponha que um resistor tenha as seguintes cores: marrom, preta, vermelha e ouro. O valor da resistncia desse resistor ser:

1 cor (marrom) - equivale a 1; 2 cor (preta) - equivale a O; 3 cor (vermelha) - equivale a 2.

Logo, o valor nominal da resistncia ser: 10.102 = 1000 = 1 K

A cor da tolerncia ouro, que equivale a 5%; ento, o valor da resistncia est entre:

1 K 5% = 1 K 50 , ou seja, o valor da resistncia est entre 950 e 1050 . Para resistores com 5 cores, a disposio a seguinte: (Fig. 1.8)


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O valor da resistncia obtido de forma idntica anterior.

Exemplo

Suponha que um resistor tenha as seguintes cores: vermelha, violeta, vermelha, vermelha e marrom.

O valor da resistncia desse resistor ser:

1 cor (vermelha) equivale a 2; 2 cor (violeta) - equivale a 7; 3 cor (vermelha) - equivale a 2; 4 cor (vermelha) - equivale a 2.

Logo, o valor nominal da resistncia ser: 272.102 = 27200 = 27,2 K .

A cor da tolerncia marrom, que equivale a 1%; ento, o valor da resistncia est entre:

27200 + 1% = 27200 + 272 e 27200 - 1% = 27200 - 272

ou seja, o valor da resistncia est entre 269280 e 274720.

Observao

Para valores de resistncia menores que 10 o valor da potncia de 10 deve ser menor do que 1; ento para este caso, so encontrados os valores :

ouro, que equivale a -1, e prata, que equivale a -2.

Exemplo

Suponha que um resistor tenha as seguintes cores: vermelha, violeta, ouro e ouro.


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O valor da resistncia desse resistor ser:

1 cor (vermelha) - equivale a 2; 2 cor (violeta) - equivale a 7; 3 cor (ouro) - equivale a-1.

Logo, o valor nominal da resistncia ser: 27x10-1 = 2,7

A 4 cor da tolerncia ouro, que equivale a 5%; ento, o valor da resistncia est entre:

2,7 - 5% = 2,7 + 0,135 e 2,7 - 5% = 2,7 - 0,135 , ou seja, o valor da resistncia est entre 2,565 e 2,835 .


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CCiirrccuuiittoo eellttrriiccoo

formado quando se tem um caminho fechado por onde circula uma corrente eltrica. Para que seja possvel esta circulao so necessrios uma fonte de tenso, uma resistncia e um caminho fechado, que formado por condutores. A figura 2.1 exemplifica um circuito eltrico.

A fonte de tenso representada por uma bateria, a resistncia por uma lmpada e o caminho fechado por fios condutores. Na presena de um interruptor, haver circulao de corrente somente quando o interruptor estiver fechado, ou seja, seus contatos estiverem fechados.

Note que a corrente eltrica percorre todos os condutores do circuito; se em algum ponto o condutor partir a corrente ser interrompida.

A figura 2.1 representada em eletricidade conforme a figura 2.2.

Lei de Ohm A Lei de Ohm a lei bsica da eletricidade e eletrnica, fundamental para

o estudo e compreenso dos circuitos eltricos.

Nos meados de 1800, Georg Simon Ohm pesquisou a relao entre a


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tenso existente sobre um simples circuito eltrico e a corrente atravs do circuito. Ele descobriu que, em circuito onde a resistncia no variava com a temperatura, medida que aumentava a tenso, a corrente aumentava na proporo direta.

A constante de proporcionalidade conhecida como resistncia eltrica. Esta relao pode ser escrita como:

V = R. I (Lei de Ohm)

Onde V - tenso eltrica em volts (V) R - resistncia eltrica em ohms () I - corrente eltrica em ampres (A)

Esboando um grfico da tenso em funo da corrente, observa-se uma relao linear, onde o coeficiente angular o valor da resistncia. (Grf. 1)

Grf. 1

Resistncias lineares e no lineares

As resistncias que acompanham a lei de Ohm para qualquer valor de tenso so chamadas resistncias lineares ou resistncias hmicas; ou seja, o valor da resistncia sempre constante, independente da tenso.

As resistncias que no acompanham a lei de Ohm so chamadas resistncias no lineares. So resistncias cujo valor varia em funo da tenso aplicada em seus terminais. A curva a seguir exemplifica uma relao tenso x corrente para uma resistncia no linear comparada com uma resistncia linear. (Grf. 2)


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As relaes entre as tenses na resistncia no linear 2

2

IV

e 1

1

IV

so

diferentes para cada valor de tenso V2 e V1; ou seja, o valor da resistncia varia conforme a tenso aplicada.

Para pequenas variaes da tenso e da corrente possvel determinar o valor da resistncia dinmica dada em ohms por:

12

12

IIVVR

=

Potncia eltrica e energia a capacidade de realizao de trabalho por unidade de tempo, ou seja, a

transformao da energia eltrica em outro tipo de energia, como energia calorfica (forno), energia mecnica (motor), energia luminosa (lmpada) etc.

Em um resistor, quanto maior a tenso eltrica aplicada, mais o resistor tende a se aquecer, pois pela Lei de Ohm ser maior a corrente que circular por ele.

A potncia proporcional tenso e corrente aplicada a um resistor; logo, pode-se escrever que:

Potncia = tenso . corrente

A unidade da potncia no sistema MKS joules por segundo ou watts. Na forma matemtica, tem-se:

P = V . I

Onde P - potncia em watts (W) V - tenso eltrica em volts (V) I - corrente eltrica em ampre (A)


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A partir da Lei de Ohm podemos escrever: a potncia em funo da resistncia e corrente:

P = R . I2

a potncia em funo da resistncia e tenso

RVP

2

=

sendo a unidade da resistncia dada em ohms ().

A potncia eltrica determina a energia dissipada por um resistor em um determinado tempo. Para se calcular a energia gasta durante este intervalo de tempo basta multiplicar a potncia dissipada durante este tempo pelo intervalo de tempo.

Energia = potncia . tempo

Onde

energia - dada em joule; potncia - dada em watts; tempo - em segundos.

Como esta unidade de energia muito pequena, a unidade mais utilizada na prtica o quilowatt - hora (kWh); note que a unidade de potncia dada em quilowatt e o tempo em hora.


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AAnnlliissee ddee cciirrccuuiittooss -- aapplliiccaaeess ddaass lleeiiss ddee KKiirrcchhhhooffff

Leis de Kirchhoff As leis de Kirchhoff estabelecem regras para anlise de circuitos. Entre

elas, a lei da conservao da energia, define que toda energia eltrica entregue ao circuito deve ser transformada em corrente nos resistores do circuito.

1 lei de Kirchhoff

Em um circuito eltrico tpico a corrente tem vrios caminhos a percorrer.

A juno de dois ou mais condutores em um circuito chamado de n.

O enunciado da 1 lei de Kirchhoff :

A soma das correntes que entram em um n igual soma das correntes que saem deste mesmo n.

Expressando matematicamente: I = 0

Compreende-se que as correntes que entram no n foram consideradas positivas, e as correntes que saem do n so consideradas negativas.

A figura 3.1 exemplifica esta lei. Observe que o ponto marcado no circuito um n, pois o ponto onde a corrente encontra dois caminhos.

Aplicando a lei de Kirchhoff tem-se:

I I1 I2 = 0

logo

I = I1 + I2


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2 lei de Kirchhoff

O circuito mais simples o que contm uma fonte de fora eletromotriz conectada a uma resistncia.

A energia gerada pela fonte igual energia consumida pela resistncia.

A idia foi desenvolvida pelo fsico alemo Gustav Robert Kirchhoff, e formalmente escrita como:

Em uma malha ou caminho eltrico fechado, a soma das quedas de tenso deve ser igual soma das elevaes de tenso.

Uma malha um caminho fechado para circular corrente. Escrita matematicamente: V = 0.

Compreende-se que uma soma algbrica: se as elevaes forem consideradas positivas, as quedas sero consideradas negativas.

Seja o circuito da figura 3.2, composto de uma malha:

Observao

A fem E da fonte a elevao de tenso.

A tenso V no resistor R a queda de tenso.

Considerando a malha M no sentido horrio positivo, as tenses que esto no mesmo sentido da malha so positivas, e no sentido contrrio, anti-horrio, negativas.

Observao

Na elevao de tenso a corrente sai pelo plo positivo da diferena de potencial.

Na queda de tenso a corrente sai pelo plo negativo da diferena de potencial.

Aplicando a 2a lei de Kirchhoff, tem-se:

+ E V = O


____________________________________________________________


logo

E = V

Circuito srie Um circuito srie uma associao de resistores ligados em sequncia, de

tal forma que a corrente que circula por um dos resistores a mesma que circula em todos os resistores da associao.

Para que isto ocorra necessrio que se forme somente um caminho para a corrente do circuito.

Desta forma, os resistores devem ser ligados com o um terminal do resistor ao terminal do outro, e assim sucessivamente. A figura 3.3 apresenta uma ligao de circuito ligado em srie.

No circuito da fig. 3.3 h somente um caminho para circular corrente, de forma que:

I = I1 = I2 = I3

A corrente que circula por R1, R2 e R3 a mesma corrente que circula pela fonte E. Aplicando a 2 lei de Kirchhoff, tem-se:

+ E - V1 - V2 V3 = O

logo

E = V1 + V2 + V3

multiplicando a equao acima por I, vem:

E . I = V1 . I + V2 . I + V3 . I


____________________________________________________________


Mas tenso x corrente igual potncia, da:

Pfonte = PR1 + PR2 + PR3

Onde

Pfonte - potncia fornecida pela fonte PR1 - potncia dissipada por R1 PR2 - potncia dissipada por R2 PR3 - potncia dissipada por R3

A potncia fornecida pela fonte igual soma das potncias dissipadas pelos resistores do circuito, o que satisfaz a lei da conservao da energia.

Resistncia equivalente de associao srie

Resistncia equivalente de um circuito de associao srie o valor da resistncia que, ligada mesma diferena de potencial que a associao, circular mesma corrente que circula na associao.

Ou seja, tomando a equao deduzida anteriormente, tem-se:

E = V1 +V2 +V3

aplicando a lei de Ohm, onde:

V1 = R1 . I1 V2 = R2 . I2 V3 = R3 . I3

e sabendo que: I = I1 = I2 = I3, vem,

E = R1 . I1 + R2. I2 + R3 . I3

ou:

E = (R1 + R2 + R3) . I

Dividindo por I, vem:

321 RRRIE

++=

Note que o valor de E dividido por I o de uma de resistncia, que relaciona a tenso da fonte com a corrente total do circuito srie.

Logo, uma resistncia cujo valor seja a soma das resistncias associadas em srie no circuito ser percorrida por uma corrente de mesmo valor que a


____________________________________________________________


associao. Esta a resistncia equivalente Rs do circuito srie.

Rs = R1 + R2 + R3

A idia pode ser estendida para qualquer quantidade de resistores. No caso de uma associao de n resistores a resistncia equivalente :

Rs = R1 + R2 + .... + Rn-2 +Rn-1 + Rn

Observao

O valor da resistncia equivalente srie Rs ser sempre maior que o valor da maior da resistncia da associao.

Circuito paralelo Um circuito paralelo uma associao de resistores ligados de tal forma

que a tenso eltrica sobre um dos resistores a mesma em todos os resistores da associao.

Para que isto ocorra necessrio que se conecte os terminais dos resistores ao mesmo potencial.

A figura 3.4 apresenta uma ligao de circuito ligado em paralelo.

No circuito da figura 3.4 os resistores esto ligados mesma diferena de potencial. Logo:

E = V1 = V2 = V3

Ou seja, a tenso eltrica em Ri, Ra e a mesma tenso da fonte E. Aplicando a lei de Kirchhoff, tem-se:

No n A: +IA I1 IB = 0

No n B: +IB I2 I3 = 0

IB = I2 + I3


____________________________________________________________


Substituindo no n A: +IA I1 I2 I3 = 0

Fazendo IA = I, que a corrente na fonte, tem:

I I1 I2 I3 = 0 ou:

I = I1 + I2 + I3

Note que a soma das correntes que circulam pelos resistores igual corrente da fonte.

Multiplicando a equao acima por E, vem:

E . I = I1 . E + I2 . E + I3 . E

Mas, tenso x corrente igual a potncia, da:

Pfonte = PR1 + PR2 + PR3

Onde Pfonte - potncia fornecida pela fonte

PR1 - potncia dissipada por R1 PR2 - potncia dissipada por R2 PR3 - potncia dissipada por R3

A potncia fornecida pela fonte igual soma das potncias dissipadas pelos resistores do circuito, o que satisfaz a lei da conservao da energia.

Resistncia equivalente de associao paralela

Resistncia equivalente de um circuito de associao paralelo o valor da resistncia que, ligada mesma diferena de potencial que a associao, circular mesma corrente que circula na associao.

Ou seja, tomando a equao deduzida anteriormente, tem-se:

I = I1 + I2 + I3

aplicando a Lei de Ohm, onde:

I1 = V1 / R1 I2 = V2 / R2 I3 = V3 / R3

Vem I = V1 / R1 + V2 / R2 + V3 / R3

mas


____________________________________________________________


E = V1 = V2 = V3

ento

321 RE

RE

REI ++=

Passando E para o primeiro membro da equao, tem-se:

321

111RRRE

I++=

Note que o valor de I dividido por E a soma do inverso das resistncias, a condutncia, que relaciona a corrente total do circuito paralelo e a tenso da fonte.

Esta a condutncia equivalente do circuito paralelo. Para determinar a resistncia equivalente Rp do circuito paralelo basta calcular o inverso da condutncia equivalente.

321p R1

R1

R1

R1G ++==

Logo uma condutncia cujo valor igual soma das condutncias associadas em paralelo em um circuito ser percorrida por uma corrente de mesmo valor da corrente da associao.

A resistncia equivalente Rp do circuito paralelo, ser:

A idia pode ser estendida para qualquer quantidade de resistores. No caso de uma associao de n resistores, a resistncia equivalente :

321

p

R1

R1

R1

1R++

=

Casos particulares

Associao paralela de resistores de mesmo valor - No caso de associao paralela de resistores com resistncia de mesmo valor, o valor da resistncia equivalente Rp da associao ser o valor de uma das resistncias dividido pelo nmero de resistores da associao, ou seja, o valor da resistncia equivalente Rp de uma associao de n resistores de valor R ser:

n

RRp =


____________________________________________________________


Associao paralela de dois resistores - O valor da resistncia equivalente Rp de uma associao paralela de dois resistores igual ao produto dos valores dos resistores dividido pela soma dos valores dos resistores. Esta forma conhecida como produto pela soma.

Em associao paralela com R1 e R2, a associao equivalente Rp ser:

21

21p RR

R.RR+

=

Observao

O valor da resistncia equivalente Rp de uma associao paralela deve ser sempre menor que o valor da menor resistncia da associao.

Divisores de tenso e corrente

Divisores de tenso

Seja o circuito da figura 3.5:

O valor da tenso V2, ser: V2 = R2 . I

Mas: 21 RR

EI+

=

Logo

21

22 RR

ERV+

=

Note que:

a tenso sobre um resistor em uma associao srie igual ao valor da resistncia, dividido pela resistncia equivalente da associao, multiplicado pela tenso total da associao. Note que o valor de E a tenso nos terminais da associao srie;

o valor da tenso E pode ser dividido por um fator K, manipulando os valores das resistncias da associao;

a frmula acima, denominada divisor de tenso, pode ser estendida para associao srie de n resistores.

Divisor de corrente


____________________________________________________________


Seja o circuito da figura 3.6.

O valor da corrente I2 ser:

22I R

E=

Mas: Tp IRE = e 21

21p RR

R.RR+

=

ento: 21

21 ..

RRIRRE T

+=

Dai, I2 fica: 221

212

1..

.

RI

RRRRI T+

=

Simplificando:

TIRRRI .

21

12 +

=

Note que:

a corrente sobre um resistor, em uma associao paralela, igual ao valor da outra resistncia, dividido pela soma do valor das resistncias da associao, multiplicado pela corrente total da associao. Note que o valor de Ir a corrente nos terminais da associao paralela;

o valor da corrente Ir pode ser dividido por um fator K, manipulando os valores das resistncias da associao;

a frmula acima utilizada em associao paralela de dois resistores.

Circuito misto E o circuito mais comumente encontrado, porque tem os dois tipos de

associaes, srie e paralela. Para determinar a resistncia equivalente de um circuito misto, deve-se identificar os tipos de associaes e resolver em partes at obter o valor de somente urna resistncia, que, ligada mesma fonte do circuito misto, fornecer a mesma corrente que circula no circuito.


____________________________________________________________



Os resistores R2 e R3 esto em paralelo, pois os terminais desses resistores esto ligados juntos, de forma que se tem a mesma diferena de potencial.

Ento, pode-se calcular uma resistncia Rp, que equivale a esta associao, e substitui-la no circuito. Tem-se o seguinte circuito equivalente ao anterior (Fig. 3.8):

Onde

Rp igual a R2 paralelo com R3

O novo circuito apresenta uma associao srie com R1 e Rp. Calcula-se o valor de uma resistncia equivalente desta associao, que ser o valor da resistncia equivalente RM de todo o circuito.

O circuito equivalente do circuito total ser: (Fig. 3.9)

O valor de RM : RM = R1 + Rp


____________________________________________________________


Observao

Este circuito apresenta uma associao paralela (R2 e R3) e uma associao srie (R1 + Rp), logo denomina-se circuito misto.

Exemplo

Calcular o valor da resistncia equivalente para o circuito da figura 3.10.

Dados: R1 = 270 ; R2 = 470 ; R3 = 330

Soluo

Fazendo o paralelo entre R2 e R3, tem-se:

=+

= 9,193330470330.470Rp

O circuito fica: (Figura 3.11)

Tem-se uma associao srie com R1 e Rp calculando a resistncia equivalente dessa associao:

RM = 270 + 193,9 = 463,9

O circuito equivalente fica: (Figura 3.12)


____________________________________________________________


Onde

RM o valor da resistncia equivalente do circuito misto.

Fontes de energia

As fontes de energia apresentadas anteriormente so fontes de energia ideal. Na prtica, as fontes de energia consomem parte da energia gerada em circuitos internos tais como, contatos, circuitos internos etc.

Esta energia consumida pelas fontes pode ser representada por uma resistncia Ri, denominada resistncia interna da fonte.

Fonte de tenso

Em uma fonte de tenso ideal, a tenso em seus terminais se mantm constante, independente da corrente solicitada a esta fonte. Em uma fonte real, medida que se solicita mais corrente a tenso em seus terminais tende a diminuir.

Uma fonte real representada por uma fonte ideal em srie com uma resistncia interna, conforme a figura 3.13:

Onde

E - tenso gerada IF - corrente solicitada da fonte Ri - resistncia interna Rext - resistncia externa fonte Eext - tenso nos terminais da fonte

medida que a resistncia Rext diminui, a corrente IF que circula pelo circuito aumenta, logo, a queda de tenso em Ri aumenta, diminuindo a queda de tenso Eext sobre a resistncia externa.

Em uma fonte ideal a resistncia Ri igual a zero. Ento, para qualquer de valor de Rext a tenso Eext ser sempre igual a E.


____________________________________________________________


Pode-se, ento, escrever:

Eext = E - Ri x IF

que a equao geral da fonte de tenso, quanto menor a resistncia Ri, menores as perdas de energia pela fonte.

Fonte de tenso real x fonte de tenso ideal - A seguir apresentado um grfico tenso x corrente comparativo das duas fontes. (Grf. 3)

Grf. 3

O grfico apresentado tem um comportamento linear, equao do tipo y = Ax + B onde A o coeficiente angular (tangente do ngulo de inclinao da reta) e B o coeficiente escalar (o valor da ordenada para X= O).

Comparando com a equao da fonte de tenso notamos que: Ri determina a inclinao da reta, sendo, portanto o coeficiente angular tg e B o valor E.

Para fonte ideal Ri igual a zero, visto que no h inclinao da reta: Eext = E, e para a fonte real:

IE

corrente da variaotenso da variaoR i

==

Fonte de correntes

Em uma fonte de corrente ideal, a corrente em seus terminais se mantm constante, independente da tenso solicitada a esta fonte. Em uma fonte real, medida que se solicita mais tenso em seus terminais a corrente fornecida pela fonte tende a diminuir.

Uma fonte real representada por uma fonte ideal em paralelo com uma resistncia interna. A figura 3.14 apresenta o smbolo de uma fonte de corrente para uma fonte ideal e uma fonte real.


____________________________________________________________


SMBOLO DE FONTE DE CORRENTE

FONTE DE CORRENTE REAL COM CARGA

Fig. 3.14

Onde

I - corrente gerada pela fonte Ri - resistncia interna Rext - resistncia externa fonte Iext - corrente nos terminais da fonte

medida que a resistncia Rext diminui, a corrente Iext que circula pelo circuito aumenta; logo, a corrente em Ri diminui. medida que a Rext aumenta, a corrente Iext diminui; logo, a corrente sobre a resistncia interna aumenta, alterando assim a tenso sobre a resistncia externa Rext.

Em uma fonte ideal a resistncia Ri igual a infinito. Ento, para qualquer valor de Rext a corrente Iext ser sempre igual a 1.

Pode-se, ento escrever:

iext R

VII 1.=

que a equao geral da fonte de corrente. Quanto maior o valor da resistncia Ri, menores as perdas de energia pela fonte.

Fonte de corrente real x fonte de corrente ideal - A seguir apresentado um grfico corrente x tenso comparativo das duas fontes. (Grf. 4)

O grfico apresentado tem um comportamento linear, equao do tipo y = Ax + B, onde A o coeficiente angular (tangente do ngulo de inclinao da reta) e B o coeficiente escalar (o valor da ordenada para X= O).


____________________________________________________________


Comparando com a equao da fonte de corrente notamos que: 1/Ri determina a inclinao da reta, sendo, portanto o coeficiente angular tg , e B o valor I.

Para fonte ideal Ri igual a infinito, visto que no h inclinao da reta: Iext = I , e para a fonte real:

VI

==

tensoda variaocorrenteda variao

R1

i

Diferena de potencial e nomenclatura de duplo ndice A diferena de potencial, como o prprio nome diz, uma subtrao do

valor de potencial eltrico entre dois pontos no circuito. Seja o circuito da figura 3.15:

A tenso V1 a tenso sobre o resistor R1; no circuito observa-se que a tenso V1 a tenso entre os pontos a e o ponto b. Para medir a tenso V1, deve-se colocar os terminais do voltmetro nesses pontos. Nota-se que a tenso no ponto a maior que a tenso no ponto b, pois V1 uma queda de tenso. De forma que a diferena de potencial V1 o potencial em a menos o potencial em b, ou seja:

V1 = Va Vb = Vab

Onde

Vab a nomenclatura de duplo ndice, sendo o a o primeiro ndice e o b o segundo ndice, neste caso.

Assim: V2 = Vb Vc = Vbc V3 = Vc Vd = Vcd

A soma das tenses V1 e V2, : V1 + V2 = Va - Vb + Vb - Vc = Va - Vc = Vac


____________________________________________________________


A soma total das quedas de tenses do circuito V1, V2 e V3, :

V1 + V2 + V3 = (V1 + V2) + V3 = Va - Vc + Vc - Vd = Va - Vd = Vab

Pela lei de Kirchhoff, a soma das quedas igual soma das elevaes das tenses; ento, a soma de V1, V2 e V3 igual tenso E. Assim E = Vad, observa-se que os terminais da fonte so os pontos a e d.

Sendo a diferena de potencial uma subtrao de potencial nos pontos, o valor da diferena ser positivo se o subtraendo for maior que o subtrator e vice-versa. No caso da queda de tenso Vab, positivo pois o potencial em a maior que o potencial em b.

Os terminais do voltmetro so um terminal positivo e o outro negativo; ento, a diferena de potencial ser positiva se colocar o terminal positivo no potencial maior e, consequentemente, o terminal negativo no potencial menor. Caso contrrio, negativo.

Se invertermos a posio dos terminais teremos uma medida de diferena de potencial negativa.

Ou seja, no circuito, se medirmos a tenso V1 sobre o resistor R1 com os terminais invertidos, a leitura ser negativa. Pois medir-se-:

- V1 = Vb - Va = Vba = - (Va Vb) = - Vab

Logo

Vab = - Vba

Pois o potencial no ponto a maior que o potencial no ponto b. A diferena de potencial indicada no circuito por flechas onde a seta

aponta para o potencial que leva o primeiro ndice e o fim do segundo ndice. Observa-se no circuito que as tenses indicadas nele so Vab, Vbc e Vcd; como so quedas tornam-se positivos.


____________________________________________________________


TTccnniiccaass ddee aannlliissee ddee cciirrccuuiittooss

So tcnicas utilizadas para anlise do comportamento das grandezas eltricas em um circuito eltrico com mais de uma fonte de corrente e com mais de um caminho fechado para corrente. Pelo princpio de conservao de energia, num circuito, a energia que se transforma em energia eltrica no gerador ser igual energia trmica que dever aparecer nas resistncias.

Anlise de malhas uma tcnica de anlise baseada na Lei de Kirchhoff das tenses, onde

se quer determinar o valor das correntes desconhecidas no circuito. O mtodo se baseia em equacionar as grandezas eltricas das malhas do circuito.

As etapas para aplicar a anlise por malhas em um circuito so descritas abaixo:

1. Determinar o sentido das correntes nas malhas, adotar um sentido horrio ou anti-horrio aleatrio.

2. Indicar as quedas e elevaes das tenses nas malhas, conforme o sentido da corrente adotado.

3. Equacionar as tenses nas malhas aplicando a lei de Kirchhoff das malhas. Para n malhas tm-se n equaes.

4. Resolver as equaes determinando os valores das correntes. Se o valor de uma corrente for negativo, significa que o sentido da corrente no circuito ao contrrio do sentido adotado.

A seguir apresenta-se um exemplo de aplicao de anlise de circuitos por malhas.

Seja o circuito da figura 4.1:

Soluo

Adotou-se o sentido horrio para as correntes nas duas malhas. Os sinais + e - no circuito indicam as quedas e elevaes das tenses

nas malhas. Observa-se que as fontes de tenso tm o sentido determinado. Na malha 1 (M1) as tenses em R1 e R3 so quedas devido a I1, e a fonte E1 uma elevao, mas deve-se levar em considerao a queda de tenso devido


____________________________________________________________


corrente IF na resistncia R3. Assim, tem-se:

Para a malha M1:

+ E1 - R1 I1 R3 I1 R3 I2 = 0 + E1 (R1 + R3) I1 + R3 I2 = 0 (equao 1)

Na malha 2 (M2) as tenses em R2 e R3 so quedas devido a I2, e a fonte E2 uma elevao, mas deve-se levar em considerao a queda de tenso devido corrente I1 na resistncia R3. Assim, tem-se:

Para malha M2:

E2 R2 I2 R3 I2 + R3 I1 = 0 (-1) + E2 + R2 I2 + R3 I2 R3 I1 = 0 + E2 R3 I1 (R2 R3) I2 = 0 (equao 2)

Tem-se duas equaes com as incgnitas I1 e I2; portanto, h soluo para o sistema.

Isolando os termos independentes, fica:

(R1 + R3 ) x I1 R3 I2 = E1

R3 I1 (R2 + R3) I1 = E2

Resolvendo o sistema por matriz, tem:

)()]()[()()(

333231323

331 RRRRRRRRR

RRRDet ++=

+

+=

)()]([)( 3232132231

1 RERREDetRRE

RE

I +=+

=

DetERERR

DetERERR

I )(])[()(

1323123

131

2+

=

+

=

Observao

A corrente em R3 ser igual a I3 = I1 I2, tomando I1 como referncia. Se I3 for positivo, ter o sentido de I1; caso negativo, ter o sentido contrrio.


____________________________________________________________


Exemplo

Para o circuito da figura 4.2, calcule a corrente em cada resistor:

Soluo

Os passos 1 e 2 esto mostrados no circuito.

3. Para equacionar as malhas do circuito, substituir os valores dos resistores nas equaes dadas.

(R1 + R3 ) x I1 R3 I2 = E1 Malha M1 10 I1 5 I2 = 20

R3 I1 (R2 + R3) I2 = E2 Malha M2 5 I1 6 I2 = 3

4. Aplicando matriz para resolver o sistema.

35256065510

=+=

=Det

AI 335

1512035

63520

1 =

+=

=

AI 23510030

35352010

2 =

=

=

5. Clculo da corrente no resistor de 5 (no meio do circuito) I3 :

I3 = I1 I2 = 3 2 = 1 A


____________________________________________________________


Anlise nodal

O mtodo de anlise nodal baseado nas leis de Kirchhoff para correntes, onde os potenciais nos ns so tomados como incgnita e equacionados. Um circuito tem n ns principais, sendo um deles tomado como referncia e atribudo o potencial zero volt. Aos demais so atribudos ento diferentes potenciais simblicos referenciados ao potencial a que atribumos o valor zero volt.

Os passos a serem tomados para soluo de um circuito por anlise nodal so mostrados a seguir

1. Identifique os ns do circuito. 2. Selecione um n principal, que ser tomado como referncia, e atribua

aos demais ns (n-1) potenciais valores literais como incgnitas. 3. Atribua sentido das correntes nos ramos (escolha arbitrria). 4. Determine as quedas e elevaes das tenses, conforme o sentido da

corrente atribudo no tem anterior. 5. Escreva as equaes das correntes nos ns para cada n-1 ns

desconhecidos. 6. Escreva a expresses de cada corrente no ramo usando a diferena de

potencial entre os resistores. 7. Substitua as expresses das correntes nas equaes nodais das

correntes, as quais se tornaro um conjunto simultneo de equaes para as tenses nodais desconhecidas.

8. Encontre as tenses desconhecidas e finalmente as correntes nos ramos.

Na escolha do n de referncia, s vezes conveniente escolher o n com o maior nmero de ramos a ele conectados. Este n pode ser identificado pela conexo de um smbolo de terra para indicar o n de referncia.

Quando se expressam as correntes nos ramos em termos dos potenciais desconhecidos, deve-se contar que a corrente flui do potencial maior para o menor nos resistores.

Considerando a parte do circuito mostrado na figura 4.3, os ns a e b tm os respectivos potenciais Va e Vb em relao ao n de referncia. Se for assumido que uma corrente flui de a para b, ento considera-se que o potencial em a maior que o potencial em b.


____________________________________________________________


Ento, a expresso matemtica da corrente I ser:

RVVI BA =

Exemplo

Para o circuito da figura 4.4, encontre as correntes nos ramos.

Soluo

Identificaram-se os ns a e b. Adotou-se o n b como referncia, atribuiu-se ao n a o valor de potencial

Va. Atribuiu-se os sentidos das correntes nos ramos, conforme mostra a

figura 4.4(b). As quedas das tenses conforme as correntes mostradas na figura 4.4

(b).

Equao da corrente no n a,

I = I1 + I2 + I3

Expresses das correntes nos ramos

50

,

13

,

520

321

=

=

=aaa VIVIVI

Substituindo nas equaes dos ns

513

520 aaa VVV

=

+

Resolvendo a equao, encontra-se: VVa 5=


____________________________________________________________


Logo:

AI 35

5201 =

=

AI 21

532 =

=

AI 155

3 ==

Observao

A corrente I2 ficou negativa, logo o sentido da corrente contrrio ao adotado. O resultado est de acordo com o calculado pela anlise das correntes nas malhas.

Teorema da superposio

A corrente em qualquer circuito, ou a tenso atravs de qualquer elemento em um circuito, a soma algbrica das correntes ou tenses produzidas separadamente por cada fonte.

Como o efeito de cada fonte considerado separadamente, as outras fontes so retiradas do circuito mantendo suas resistncias internas. Para se determinar o efeito de uma fonte as outras devem ser zeradas.

fonte de tenso deve ser trocada por um curto-circuito; fonte de corrente deve ser trocada por um circuito aberto.

Depois de considerado o efeito de cada fonte, esses efeitos so somados algebricamente. O resultado dessa soma o efeito produzido em cada elemento por todas juntas.

Exemplo

Calcular a tenso e corrente em cada elemento do circuito da figura 4.5, utilizando o mtodo da superposio.



____________________________________________________________


Soluo Considerando a fonte de 20 V e retirando a fonte de 3 V, tem-se (Fig. 4.6):

Clculo das correntes e tenses em cada elemento do circuito.

1. Clculo da resistncia total:

32

321

.

RRRRRRT +

+=

=+= 83,5)5//1(5TR

2. Clculo das correntes:

TRVI =1

AI 43,383,5

201 ==

AIIRR

RI 86,243,3.65

. 2132

32 ==+

=

AI 57,043,3.61

3 ==

3. Clculo das tenses

VIRVR 15,1743,3.5. 111 === VIRVR 86,286,2.1. 222 === VIRVR 85,257,5.5. 333 ===

Observao

Estes valores so devidos fonte de 20 V

4. Considerando a fonte de 3 V e retirando a fonte de 20 V, tem-se


____________________________________________________________


(Fig. 4.7):

5. Calcular as correntes e tenses em cada elemento do circuito.

a) Clculo da resistncia total.

12

212

.

RRRRRRT +

+=

=+= 50,3)5//5(1TR

b) Clculo das correntes.

=== 86,050,33

22 IRVI

T

AIIRR

RI 43,086,0.10

5. 12

21

21 =

=+

=

AIIRR

RI 43,086,0.10

5. 32

21

13 =

=+

=

Observao

Os sinais nos clculos aparecem, visto que as correntes, devido fonte de 3V, esto no sentido contrrio ao indicado na figura.

6. Clculo das tenses. VIRVR 14,2)43,0(.5. 111 === VIRVR 86,0)86,0(.1. 222 === VIRVR 14,2)43,0(.5. 333 +=+==

Observao

Estes valores so devidos fonte de 3 V.


____________________________________________________________


7. Fazendo a soma algbrica dos resultados obtidos para cada fonte, tem-se o resultado devido s duas fontes, no caso, agindo simultaneamente no circuito.

Ento

VR1 = VR1 (- F3V ) + VR1 (- F20V ) VR1 = 17,15 2,14 = 15,01 V VR2 = VR2 (- F3V ) + VR2 (- F20V ) VR2 = -0,86 + 2,85 = 1,99 V VR3 = VR3 (- F3V ) + VR3 (- F20V ) VR1 = 2,14 + 2,85 = 4,99 V

E as correntes:

I1 = 3,43 0,43 = 3,00 A I2 = 2,86 0,86 = 2,00 A I3 = 0,57 + 0,43 = 1,00 A

Ou ainda:

AI 00,3501,15

1 ==

AI 00,2199,1

2 ==

AI 00,1599,4

3 ==

Observao

Os resultados conferem com os calculados anteriormente.

Teorema de Thvenin

O teorema de Thvenin diz que qualquer rede de dois terminais contendo fontes de tenso e/ou corrente pode ser representada por um circuito equivalente, consistindo de uma fonte de tenso, de valor igual tenso de circuito aberto do circuito original, em srie, com uma resistncia medida entre os terminais do circuito aberto, com as fontes desligadas.

Considerando um ramo do circuito como carga, o ramo que se deseja calcular as grandezas eltricas, sendo o restante considerado como a rede que se quer o equivalente de Thvenin. (Fig. 4.8)


____________________________________________________________


Os passos para determinar o circuito equivalente de Thvenin so os seguintes:

1. Retira-se a carga do circuito, ou seja, o ramo considerado como carga, e identifica-se a sua polaridade.

2. Calcula-se a tenso nos terminais que ficaram abertos, de onde foi retirada a carga. Usando qualquer mtodo estudado anteriormente.

3. Retira-se as fontes do circuito. Fontes de tenso so substitudas por um curto e as fontes de corrente por um circuito aberto.

4. Calcula-se a resistncia equivalente neste circuito nos terminais que ficaram abertos.

5. Monta-se o circuito equivalente de Thvenin.

Exemplo

Seja o circuito da figura 4.9, calcular usando o Teorema de Thvenin o valor da tenso e da corrente no resistor RL para:

a) RL = 10 . b) RL = 50 .

Soluo, seguindo os passos:

1. Retira-se a carga do circuito, ou seja, o ramo considerado como carga, e identifica-se a sua polaridade. (Fig. 4.10)


____________________________________________________________


2. Calcula-se a tenso nos terminais que ficaram abertos de onde se tirou a carga, usando qualquer mtodo estudado anteriormente.

Observe que a tenso Vth a tenso sobre o resistor de 20 , pois no resistor de 15 no circula corrente. Por divisor de tenso tem-se:

VVth 67,610.201020

=

+=

3. Retira-se as fontes do circuito, fontes de tenso so substitudas por um curto e as fontes de corrente por um circuito aberto. (Fig. 4.11)


=+= 67,21)20//10(15thR

5. Monta-se o circuito equivalente de Thvenin. (Fig. 4.12)

6. Substituindo o valor de RL no circuito equivalente de Thvenin calcula-se a corrente e a tenso. Estes valores so os mesmos para o circuito completo, visto que este um circuito equivalente.

a) Para RL = 10 , tem-se:

VVRL 1,267,6.67,211010

=

+=


____________________________________________________________


mAI RL 21167,211067,6

=

+=

b) Para RL = 50 , tem-se;

VVRL 7,467,6.67,215050

=

+=

mAI RL 9367,215067,6

=

+=

Teorema de Norton

O teorema de Norton diz que qualquer rede de dois terminais contendo fontes de tenso e/ou corrente pode ser representada por um circuito equivalente, consistindo de uma fonte de corrente, de valor igual corrente de um curto-circuito do circuito original, em paralelo com uma resistncia medida entre os terminais do circuito aberto, com as fontes desligadas.

Considerando um ramo do circuito como carga, o ramo que se deseja calcular as grandezas eltricas, sendo o restante visto como a rede que se quer o equivalente de Norton. (Fig. 4.13)

Os passos para determinar o circuito equivalente de Norton so os seguintes:

1. Retira-se a carga do circuito, ou seja, o ramo considerado como carga identifica-se a sua polaridade.

2. Calcula-se a corrente em um curto-circuito nos terminais que ficaram abertos de onde foi tirada a carga, usando qualquer mtodo estudado anteriormente.

3. Retiram-se as fontes do circuito, fontes de tenso so substitudas por um curto e as fontes de corrente por um circuito aberto.



____________________________________________________________


5. Monta-se o circuito equivalente de Norton.

Exemplo

Seja o circuito da figura 4.14, calcular usando o Teorema de Norton o valor da tenso e da corrente no resistor RL para:

a) RL = 10 . b) RL = 50 .

Soluo, seguindo os passos:

1. Retira-se a carga do circuito, ou seja, o ramo considerado como carga, e identifica-se a sua polaridade. (Fig. 4.15)

2. Calcular-se a corrente nos terminais que ficaram abertos de onde foi tirada a carga, por meio de um curto-circuito. Usar de qualquer mtodo estudado anteriormente.

Observe a corrente IN a corrente atravs do resistor de 15 tem-se:

=+= 57,18)20//15(10TR

== 46,53857,18

10TI

da, por divisor de corrente:

mAI N 69,30746,538.152020

=

+=

3. Retiram-se as fontes do circuito, fontes de tenso so substitudas por


____________________________________________________________


um curto e as fontes de corrente por um circuito aberto, da mesma forma que se calcula Rth. (Fig. 4.16)


RN = 15 + (10 // 20) = 21,67

5. Monta-se o circuito equivalente de Norton. (Fig. 4.17)

6. Substituindo o valor de RL no circuito equivalente de Norton, calcula-se a corrente e a tenso. Estes valores so os mesmos para o circuito completo, visto que este um circuito equivalente.

a) Para RL = 1O , tem-se:

mAI RL 21169,307.67,211067,21

=

+=

VVRL 1,210.17,211 ==

b) Para RL = 50 , tem-se:

mAI RL 9369,307.67,215067,21

=

+=

VVRL 6,450.93 ==

As respostas esto de acordo com o exemplo anterior do equivalente de


____________________________________________________________


Thvenin.

Transformao estrela (Y) e tringulo ()

Uma associao de resistores em forma de estrela, tambm conhecida como Ypsilon, pode ser transformada em uma associao tringulo, tambm conhecida como delta, para facilitar anlise de circuitos. As associaes enunciadas so mostradas na figura 4.18.

A seguir ser apresentada a relao entre as associaes estrela e tringulo. (Fig. 4.19)

Para transformar uma associao tringulo em estrela tem-se as seguintes relaes entre as resistncias:

Cba

ba

RRRRRR++

=1

Cba

cb

RRRRRR++

=2

Cba

ac

RRRRRR++

=3


____________________________________________________________


Observando a figura nota-se que o resistor da associao estrela equivale ao produto das resistncias adjacentes, dividido pela soma das resistncias, em tringulo.

Para transformar uma associao estrela em tringulo tm-se as seguintes relaes entre as resistncias:

2

313221

RRRRRRRRa

++=

3

313221

RRRRRRRRb

++=

1

313221

RRRRRRRRc

++=

Observando afigura, nota-se que o resistor da associao tringulo equivale soma do produto das resistncias tomadas duas a duas, dividida pela resistncia oposta em estrela.

Exemplo

Calcule a corrente I do circuito dado na figura 4.20.

Soluo

1. Tomando os resistores entre os pontos a, b e c, nota-se que uma associao tringulo. Transformando esta associao em estrela, conforme a figura, consegue-se simplificar o circuito.

Ento, calculando a transformao (Fig. 4.21)


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=++

= 5,2201010

10.101R

=++

= 0,5201010

20.102R

=++

= 0,5201010

20.103R

2. Calculando a resistncia total do circuito RT

RT = (10 + R1) // (15 + R2) + R3 = (10 + 2,5) // (15 + 5) + 5 = 12,69

Da: AI 79,069,12

10==

Ponte de Wheatstone

um circuito que, dentre outras aplicaes, pode ser usado por medidores de resistncias. Tem a configurao da figura 4.22.

A ponte de Wheatstone estar em equilbrio quando a corrente I que circula pelo galvanmetro G for igual a zero. Esta condio ser satisfeita quando se tiver


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a seguinte igualdade:

R1 . R2 = R3 . R4

Tornando a resistncia R4 como Rx, uma resistncia desconhecida, e manipulando a igualdade, tem-se:

13

2. R

RRRx =

Observe

- o fator R2/R3 um fator multiplicativo de um medidor de resistncias; - o resistor R1 uma dcada resistiva, que pode ser ajustado para se ter o

equilbrio da ponte; - quando a ponte se equilibrar pode-se determinar o valor da resistncia

desconhecida Rx.


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CCaappaacciittnncciiaa a propriedade de um componente que determina a capacidade de

armazenar energia, ou tambm a oposio variao da tenso. A energia armazenada em forma de campo eltrico. O capacitor o elemento que contm a capacitncia.

Campo eletrosttico Campo eletrosttico ou campo eltrico aparece devido presena de

cargas eltricas. A regio do espao vizinha a um corpo eletrizado afetada pela presena deste corpo. Diremos ento existir um campo eltrico nesta regio.

Uma carga puntiforme q colocada prxima de uma carga Q sofrer a ao de uma fora denominada fora eltrica. O espao em que esta fora se apresenta denominado campo eltrico. A fora eltrica expressa da seguinte forma:

22 ..41

r

QqKr

QqF ==pi

onde

F - a fora eltrica entre as duas cargas (newtons) K - constante que depende do meio, para o ar ou espao livre entre as

cargas K = 9. 109 N.m2 / C2 Q e q - carga (coulombs)

- a permissividade do meio capacidade de conduzir o campo eltrico

A intensidade do campo eltrico dada por:

m

Vou

CN

r

qKQFE === 2

A figura 5.1 exemplifica o campo eltrico:


____________________________________________________________


O campo eltrico representado por linhas de fora, que na figura esto mostradas por setas, indicando que o campo eltrico sai da carga positiva e se dirige para carga negativa. As linhas de campo apresentam, alm desta, as seguintes caractersticas: (Fig. 5.2)

nunca se cruzam; saem de um ponto e sempre chegam a outro ponto; saem perpendiculares superfcie da carga.

Materiais dieltricos

So materiais com a capacidade de permitir o estabelecimento de campo eltrico. Esta propriedade pode ser medida pela permissividade do meio ().

A permissividade relaciona a quantidade de linhas de campo em um meio devido ao campo eltrico que age sobre este.

A permissividade do vcuo a constante 0, dada por:

mF /10.85,810.36

1 1290

==

pi

A permissividade relativa (r) a relao entre a permissividade de um material e a permissividade do vcuo, e ento definida como:

0

=r adimensional

A permissividade relativa, algumas vezes, chamada de constante dieltrica. A constante dieltrica para o ar 1,0006, sendo que a permissividade absoluta para o ar geralmente tomada como 0. Outras constantes dieltricas esto relacionadas na tabela a seguir.


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Dieltrico Constante dieltrica (r) Ar Baquelite Vidro Mica leo Papel Borracha Teflon

1,0006 5 6 5 4

2,5 3 2

Capacitncia Considere duas placas separadas por um dieltrico, ligadas conforme a

figura 5.3.

Enquanto a chave ch estiver aberta, as placas no tm carga. Uma vez que no tm carga, a diferena de potencial entre elas zero. Quando a chave ch se fecha, a fonte de tenso E retira eltrons da placa superior, deixando com carga positiva +q e colocando-os na placa inferior, deixando-a com carga negativa -q. Apresenta-se, assim, uma diferena de potencial entre as placas. Quando o fluxo de eltrons cessar, a diferena de potencial nas placas ser igual diferena de potencial da fonte, visto que fluxo de eltrons igual a zero indica corrente igual a zero.

Se a tenso da fonte E for aumentada, mais carga ser tirada das placas; de forma que a carga nas placas ser proporcional tenso aplicada nas mesmas.

A constante de proporcionalidade entre a tenso aplicada nas placas e a carga retirada das mesmas definida como capacitncia.

A capacitncia a capacidade das placas em armazenar carga, dada da seguinte forma:

Q=C V


____________________________________________________________


Onde

Q - carga armazenada nas placas (coulomb) V - diferena de potencial aplicada nas placas (volts) C - capacitncia apresentada pelas placas (C/V ou F = farad)

Observao A unidade da capacitncia o farad em homenagem ao fsico Michael Faraday.

A unidade farad muito grande, de forma que usual encontrar submltiplos como mF (milifarad), F (microfarad).

A capacidade de armazenar energia (capacitncia) depende dos aspectos fsicos das placas, tais como: rea, distncia das placas e o material entre elas. Pode-se calcular a capacitncia da seguinte forma:

dAC .=

Onde

C - capacitncia apresentada pelas placas (F) - permissividade do meio dieltrico entre as placas (F/m) A - rea das placas (metro ao quadrado = m2) d - distncia entre as placas (metro = m)

Observao Quanto maior a rea das placas, maior a capacitncia. Quanto menor a distncia entre as placas, maior a capacitncia. O valor da capacitncia depende do meio que se encontra entre as placas.

Os componentes que apresentam capacitncia so chamados capacitores. Os smbolos dos capacitores so apresentados na figura 5.4.

A figura 5.4 (a) representa os capacitores de valores fixos, a (b) os capacitores onde a placa representada pela curva deve ter um potencial menor, e a (c) os capacitores cujo valor da capacitncia pode ser varivel.


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Tipos de capacitores

Os capacitores so especificados atravs do material do seu dieltrico. Alguns tipos de capacitores mais usados em circuitos eletrnicos so descritos a seguir.

Capacitores eletrolticos

So capacitores formados por placas de alumnio, xido de alumnio como dieltrico e um eletrlito. O contato do eletrlito, que fica em um papel, com o alumnio forma o xido de alumnio, que funciona como dieltrico. A vantagem deste tipo de capacitor que se consegue um dieltrico estreito com reas de alumnio grande, formando capacitores de valores grandes (at a faixa de 1000 microfarads), muito utilizados em fontes de alimentao em circuitos em que os valores DC sejam maiores que os valores AC, visto que estes capacitores contm polaridade. A desvantagem que tem uma tolerncia alta, podendo chegar at 50%.

Estes capacitores so encapsulados em canecas de metal, as quais so usadas como uma das placas do capacitor.

Outros capacitores eletrolticos so os capacitores de tntalo, em que o dieltrico formado com xido de tntalo. Sua vantagem que so capacitores de pequena tolerncia, muito utilizados em circuitos de temporizao, mas tm pequenas tenses de ruptura do dieltrico.

Existem capacitores eletrolticos de alumnio que no apresentam polaridade.

Capacitores filme plstico

Tm como material dieltrico o plstico: polister, poliestileno, poliestireno etc. A vantagem destes capacitores que tm alta tenso de ruptura, chegam na faixa de at 500V ou mais. So encapsulados em plstico ou metal.

Capacitor de cermica

Capacitores de cermica consistem em um tubo ou disco de cermica de constante dieltrica na faixa de 10 a 10000. Uma fina camada de prata aplicada a cada lado do dieltrico, terminais so conectados e uma capa isolante aplicada. Os capacitores de cermica so caracterizados por baixas perdas, pequeno tamanho e uma conhecida caracterstica de variao da capacitncia com a temperatura.


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Cdigo de capacitores

Como os resistores, os capacitores tambm apresentam o cdigo de cores. Mas os capacitores, alm dos valores e tolerncia, apresentam uma faixa que representa a tenso de ruptura do capacitor. (Fig. 5.5)

Onde as cores tm os seguintes significados:

Cores 1 cor / 2 cor / 3 cor 4 cor 5 cor Preto 0 20% Marrom 1 100 V Vermelho 2 30% 200 V Laranja 3 Amarelo 4 40% 400 V Verde 5 5% Azul 6 600 V Violeta 7 Cinza 8 Branco 9 10%

Associao de capacitores

Tal como os resistores, os capacitores podem ser associados em srie, paralelo e associao mista.

Associao srie de capacitores

O circuito da figura 5.6 apresenta uma associao srie de capacitores.


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Na figura 5.6 (a) vemos uma associao srie de capacitores ligados a uma fonte de tenso V. Devido fonte, aparecer nos capacitores desta associao uma diferena de potencial. Por Kirchhoff pode-se escrever que:

V = V1 + V2 + V3 + ... +Vn

A carga em cada capacitor ser igual carga dos demais, visto que o potencial positivo da fonte atrair uma carga do capacitor C1, na placa ligada fonte, e uma carga negativa na outra placa do capaci

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