CTU-Estruturas, Concreto Protendido. Exemplo de dimensionamento à força cortante no

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UEL-CTU Depto de Estruturas

Exemplo de dimensionamento ELU-Força cortante de viga protendida em pós-

tração

1. Introdução

O exemplo dado a seguir procura aproximar a solução da plasticidade, em que

é livre a escolha de ���� no intervalo (2,14; 1), com a solução do método I da

NBR 6118. O exemplo está resolvido com a escolha ���� = 2 na página 196 do

livro “Concreto protendido: tração axial, flexão simples e força cortante”.

2. Dados da viga:

Figura 1: Seção transversal e posição dos cabos nos apoios.

Figura 2: Vão e carga da viga.

=h

cabo 2

cabos 1 e 3

800 mm

Seção do Vão

3

50=

mm

φb

1000

50

( )a

1

φ

450

150x 6

32

512, inf

100

150

mm

150

500

200

Vista Lateral

150

b( )

75

775

150

200

= 16�

�� = 56��/�

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Características geométricas da seção da peça (i.e., sem computar armadura, e/ou furos de bainhas): Á���:�� = 322500�� !"#�â%�"�&�'(à*��&�"%+��"��:,� = 541,67�� !"#�â%�"��%����#'(#&�.�ç��&�����&0��:,�1 = 541,67 − 75 = 466,67��

3���%��&�"%é��"�:5� = 40,61 × 107��8 3ó&0 �#&���#"#�ê%�"�"%+. �#0.. :<�, = 74,97 × 10>��?,<�,@= −88,60 × 10>��? !"#�â%�"�#%0� ����# inf � #0..:� = 274,73��, �@ = 232,47��

Concreto: MPafck 30= , MPaffckctm 90,230,0

3/2 == , MPafcd 22,112 =

Aços: CA-50, MPaf ywk 500= , MPaff ywdyd 435==

CP175 RB 7,9: MPaf

fs

ptkpyd 1370

15,1

17509,09,0 ===

γ, 85,6=pydε ‰

MPaE p3

10200×=

3 cabos com 9,712φ , área de 1 cabo 28,4484,3712 mm=×=

diâmetro da bainha: mmb 50=φ

A tensão e o alongamento de neutralização são estimados com %5 de perdas imediatas (atrito), %15 de perdas progressivas, e %5 de majoração da tensão de protensão para atingir o estado de neutralização (para um cálculo mais preciso, aplicar a Equação (7.16) do livro, após calcular as perdas por atrito, cf. item 6.2):

MPaff ptkptkpnppnd 935534,0)05,185,095,07,0(9,0 ==×××== σγσ

67,410200

935

3=

×==

p

pndpnd

E

σε ‰

Força de neutralização de 1 cabo:

kNAP pndpondo 420109358,4483 =××== −σ

3. Diagrama da força cortante efetiva EF�,GH = EF� − EI�

Da força cortante solicitante EF�, resultante da carga de cálculo �� = 56��/�,

e de valor máximo no apoio igual a �F� J = 56 × 8=448 kN, deve-se subtrair a

força cortante resistente proveniente da curvatura do cabo 2, �I,KLMN = OP�� QHJR =

420 × Q×�,SST@>R = 10,17��/�, cujo valor máximo no apoio é �I� J

= 10,17 × 8 =

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81,375��. Logo, a força cortante efetiva no apoio é EF�,GH = 448 − 81,375 =366,6��. Ver a Figura 3.

4. Cálculo de ����

O ângulo das diagonais comprimidas pode ser obtido pela expressão:

efSd

cdcr

V

V

,

1

1cotcot

−

= θθ

Onde

EK� = EK�(1 + VWVXYZ[\) ≤ 2EK�

sendo

EK� = 0,6+K^�*_,GH& = 0,6 × `�, ×?�Ra

@,8 b (150 − 0,5 × 50) × 925 × 10c? = 95,7�� e

(Notar a redução da largura da alma por efeito da bainha do cabo 2).

3� é o momento fletor que anula, no centro do vão, a tensão normal na fibra 2

(inferior) devida exclusivamente à protensão, com seu valor de cálculo (i.e.,

multiplicada por d1 = 0,9). Este valor, considerados os três cabos com força

total igual a 3 × OP�� = 3 × 420 = 1260��, vale:

3� = −<�, e−3OP���� − 3OP�� × ,�1<f, g = 3OP��h�@ + ,�1i

3� = 1260 × (0,232 + 0,467) = 880,3���

Além disso,

3F�jkl = 56 × 16 8 = 1792���

Logo,

EK� = EK� m1 + VWVXYZ[\n = 95,7 × m1 + QQ�,?

@S7 n = 1,497 × 95,7 = 142,7�� ≤ 2EK� e

���� = 1 × 11 − 142,7366,7

= 1,637

Nesta expressão, adotou-se ����KM = 1 (inclinação da fissura diagonal igual a 45º) e

EF�,GH igual ao valor máximo (no apoio). Notar que � = 31,4º.

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5. Verificação do concreto da alma

A tensão normal máxima na alma fissurada da viga é:

pK_� = ��qEF�,GH*_,GH, r���� + 1����s ≤ +K� = 0,7 × (1 − +Kt250) × 0,85+K�

pK_� = 366,7 × 10?125 × 800 r1,637 + 1

1,637s = 8,243O� ≤ +K� = 11,223O�

Logo, o concreto da alma tem segurança adequada contra o esmagamento.

6. Cálculo da armadura transversal mínima efetiva

r�u_# s�"% = 0,2 +K^j+v_t *_ = 0,2 × 2,90500 × 150 = 0,174��

�� = 174�� �

Adota-se estribo de 2 ramos e diâmetro ∅^ = 6,3, donde o espaçamento:

# = 2 × 31,5174 = 0,362�

Mas o espaçamento na região de armadura mínima é limitado ao menor dos valores

(300��, 0,6& = 555��) = 300��. Logo, a armadura transversal mínima efetiva é

igual a:

(�u_# )jxP,GH = 2 × 31,50,3 = 210��

�

7. Cálculo da armadura transversal superior á mínima

A viga é subdividida em segmentos 1,2,3, etc., de comprimento ,���� = 0,8 × 1,637 =1,31�, e sendo a carga direta (i.e., aplicada no topo da viga), toma-se em cada

segmento o menor valor da força cortante. Ver a Figura 3.

Figura 3: Diagrama da força cortante efetiva.

366,7

306,6

246,6

186,5

1

2

3

8m

EF�GH(��)

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A armadura transversal é dada por:

r�u_# s = EF�,GH(,����) × +v_� =EF�,GH1,31 × 435

Trecho r�u_# s Armadura dotada

1 ?�>,>×@�a@,?@×8?T =538

jjRj y∅6,3��&�10��

2 432jjRj y∅6,3��&�15��

3 327jjRj y∅6,3��&�20��

Fim do 3 ao centro da viga

222 ≅210jjRj y∅6,3��&�30��

Para completar o dimensionamento, é preciso garantir as forças no banzo tracionado,

o que no caso se verifica imediatamente, pois há dois cabos retos no vão todo da viga.

Para maiores informações, ver o livro mencionado. Chama-se a atenção para o fato de

ser possível a escolha livre de ���� (igual a 2, nesse livro), pois a um aumento desse

valor, diminui-se a armadura transversal, mas aumenta-se a longitudinal, bem como a

tensão de compressão no concreto da alma.

Além disso, deve-se dimensionar o estribo do talão inferior, bem como a ligação da

alma com o flange. Ver a propósito o livro mencionado.