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FENMENOS DE TRANSPORTE EMPUXO SOBRE SUPERFCIES PLANAS LEI DE ARQUIMEDES EMPUXO: fora de resistncia oferecida pela superfcie ao de um fluido ao qual est imersa ou parcialmente imersa. EQUAO GERAL DO EMPUXO Seja uma superfcie plana A, de contorno qualquer, mergulhada em um lquido em equilbrio, conforme figura abaixo:

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Cada face da superfcie est sujeita presso unitria p, provocando o esforo elementar dE, dado por:

dE = p.dAPela equao fundamental da Fluidosttica, temos que:

p = .hEnto:

dE = .h.dAPela fig. anterior tem-se que:

h = y.sen Tem-se, ento, que:

dE = . y . sen . dAFinalmente, integrando a equao acima em considerando e sen como constantes, tem-se que: dA,

E = dE = . sen . y.dAA APela Mecnica Geral, tem-se que:

y.dA = y .Ao A

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Assim, substituindo na equao do empuxo tem-se:

E = . A . yo . sen Na fig. anterior tem-se que:

ho = yo . sen Finalmente, a equao geral do empuxo dada por:

E = . A . hoonde: E = empuxo total sobre A A = rea da superfcie ho = profundidade do centro de gravidade (ou baricentro) da superfcie A Concluso fundamental sobre a equao geral do empuxo: O empuxo igual ao peso de uma coluna lquida que tem por base a rea da superfcie e por altura a profundidade do seu centro de gravidade. PROFUNDIDADE DO CENTRO DE PRESSES O centro de presses C o ponto de ao da fora de empuxo E. Por isto, de fundamental importncia sua determinao. Consideremos a equao do elemento diferencial de empuxo dE:

dE = . y . sen . dA

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Multiplica-se esta equao por y (o que est-se fazendo para y pode-se fazer tambm para x):

dE . y = . y2 . sen . dAIntegrando em dA temos:

y.dE = . sen . y 2 .dA A A

Seja yC a distncia do centro de empuxo C ao eixo OX, conforme a fig. anterior. De acrdo com a Mecnica Geral tem-se que:

y C .E = y.dEA

De onde resulta que:

yC =

. sen . y 2 .dAA

E

Mas pela equao geral do empuxo tem-se que:

yC =

y 2 .dA A

A. y o

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Da Mecnica Geral, define-se momento de inrcia Ix como sendo:

I X = y 2 .dAA

O que resulta que:

IX yC = A. y oPela fig. anterior tem-se que:

hC = yC . sen Lembrando que:

ho yo = sen Resulta, ento, que:

I X . sen 2 hC = A.hoComo o que se interessa a referenciar est no baricentro da superfcie A, tem-se que transladar o efeito do momento de inrcia Ix ao centro de gravidade G da superfcie A, aplicando o teorema dos eixos paralelos (ou teorema de Huyghens), que permite escrever que:

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Ix = IG + A . yo2Resultando que a coordenada y do centro de presses pode ser dada pela equao:

IG yC = yo + A. y oPara a profundidade do centro de presses hC tem-se que considerar, pela figura anterior, que:

hC = ho + GC. sen Mas:

GC = y c y oComo:

IG yc yo = A. y oEnto, finalmente, a expresso da profundidade do centro de presses pode ser dada por:

I G . sen 2 hC = ho + A.ho

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Casos particulares: I) se = 90o plano da superfcie vertical. Logo: yC = hC a profundidade do centro de empuxo igual coordenada y do mesmo. II) se = 0o a superfcie mergulhada est no plano horizontal. Logo: hC = ho a profundidade do centro de empuxo igual profundidade do centro de gravidade da superfcie. III) se 0 90o a superfcie est inclinada de ngulo qualquer. Logo: sen2 > 0 IG > 0 A>0 ho > 0 hC > ho em geral, a profundidade do centro de presses maior que a profundidade do centro de gravidade da superfcie.