Ensino Superior

Cálculo 1

2- Derivada- A Linguagem do Movimento

Amintas Paiva Afonso

A derivada expressa o ritmo da mudança instantânea em qualquer fenômeno que envolva funções.

Galileu, ao descrever pela primeira vez uma função que relacionava o espaço com o tempo na queda dos corpos, deixou em aberto a necessidade do Cálculo Diferencial, o cálculo com derivadas derivadas.

Derivada, a linguagem

do movimento

Mas, quando se trata de corpos em movimento, esta interpretação é especialmente precisa e interessante. De fato, historicamente, foi o que deu origem ao estudo das derivadas.

LEI DA QUEDA DOS CORPOS

A tentativa de Galileu de demonstrar que todos os corpos caem com a mesma aceleração esbarrou na falta de um instrumento matemático

- as derivadas.

Quem foi capaz de completar a tarefa de Galileu?...

Isaac Newton e W.G. Leibniz, ambos separadamente e quase ao mesmo tempo, o que originou uma forte disputa entre eles.

Newton

(Woolsthorpe, 4 de Janeiro de 1643 — Londres, 31 de Março de 1727)

Leibniz

(Leipzig, 1 de julho de 1646 — Hanôver, 14 de Novembro de 1716)

Derivada, a linguagem

do movimento

() O despeito de Newton (1642 – 1727) devido a algumas críticas desfavoráveis levou-o a manter em segredo durante 30 anos, sem publicá-las, as suas descobertas relativas ao Cálculo Diferencial e Integral. Na correspondência com Leibniz (1646 – 1716) deu-lhe alguns indícios e este foi capaz de por si só desenvolver o Cálculo com uma notação melhor. Quando o publicou, foi acusado de plágio. Leibniz recorreu à British Royal Society, presidida pelo próprio Newton; o que foi a sua perdição. Desacreditado pela opinião dominante, neste caso nada imparcial, a historia terminou amargamente para ele. Newton gabava-se de “ter desfeito o coração de Leibniz”.

Derivada, a linguagem

do movimento

Newton e Leibniz iniciaram o Cálculo Diferencial e, ao medir o ritmo de

mudança dos fenómenos físicos, naturais e inclusivamente sociais,

abriram as portas ao espectacular desenvolvimento científico e

tecnológico que transformou o mundo em 3 séculos tanto ou mais que em

toda a história anterior. Parecia que por fim se tinha cumprido o sonho

pitagórico: explicar o mundo com a Matemática.

a

f(b)

x

y

O b

f(a)

f(b) - f(a)

b - a

Derivada, a linguagem

do movimento

Se uma função é representada graficamente por uma reta (função

afim) facilmente sabemos com que velocidade varia essa função.

Corresponde, é claro, ao declive da reta representativa da função.

Introdução

yx

f b f a

b am

yy

xx

tmv = tg =tmv = tg =

taxa média de variaçãotaxa média de variação

O que o Matemáticos se lembraram foi de “substituir localmente” a curva por uma reta e calcular o declive dessa(s) reta(s) e… o resto é História e o estudo das Derivadas…

a

f(b)

b

f(a) b - a

f(b) - f(a)

x O

y

E...  se o gráfico da função não for uma reta?

Com que velocidade (rapidez) varia essa função?

Derivada, a linguagem

do movimento

yx

f b f a

b am

yy

xx

tmv =tmv =

Aplicação da Derivada na Geometria Analítica

Aplicação da Derivada na Geometria Analítica

O

ZOOM IN

x-x0

x0

f(x)

x

f(x0)

f(x) - f(x0)

x O

y

Vamos, então, estudar Derivadas!

Mas, vamos perceber melhor tudo isto com o estudo que vamos fazer a seguir.

E também isto!

E… quando tomamos o limite.

)).((')(

)()(

)('

)()(limlim)('

00

00

0

0

0

00

0

xxxfxfy

xxmxfy

mtgxf

xx

xfxf

y

yxf

xxx

Exemplos

Exemplo 1 – Determinar a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = x2, no ponto de abscissa 1/2.

4

1

2

1

2

1 :

2

1.

2

1'

2

1

)).((')(

2

00

fonde

xffy

xxxfxfyy(ºC)

x0 = 1 2

y

y

x(h)

1/4

x

01-4y-4x 2

1.1

4

1:tan

12

1.2

2

1' 2)('

2

1'

xy

toPor

fxxf

fdeCálculo

Exemplos

Exemplo 2 – Determinar a equação da reta normal ao gráfico de f(x) = x2 + 1, no ponto de abscissa 1.

2 .1 2 m

: teremos(1),f'm e2x 02x (x)f'

como m, scalcularmo para Assim,

(2) m

1-m 1.m

: temos tangente,daangular ecoeficient o m de chamando tangente,

reta àlar perpendicu é normal reta a Como

:m em Cálculo

2111 :

(1) )1.()1(

:é equação sua n, normal reta daangular ecoeficient o m de Chamando

11

1

2

1

1

m

fonde

xmfy

y

x0 = 1

f(1) = 2

x0

0 5-2y x

)1(2

12

:(1) em m de valor este Levando

2

1-

:(2) em valor este doSubstituin

1

1

xy

m

Exemplo 3 - Suponhamos que a temperatura de uma sala seja f(x) = x2.

y(ºC)

x0=1

y

f(3)=9

x(h)

f(1)=1

x=3

x

– Então temos que:

• A partir de x0 = 1h, a variável x aumentou de 2 unidades (horas) e passou para x = 3h.

x = x – x0 = 3 – 1 = 2

• A temperatura y = f(x) também sofre variação: passou de f(1) = 1ºC para f(3) = 9ºC, aumentando 8 unidades (ºC).

y = f(x) – f(x0) = 9 – 1 = 8

A razão y/x = 4ºC/h, significa que, entre 1h e 3h, a temperatura aumentou 4ºC por hora, em média.

Outros Exemplos

Temperatura de uma sala• Noção Intuitiva

– Suponhamos que desejamos conhecer a temperatura num instante bem próximo de x0 = 1h.

x x f(x) x y y/ x

1h30min 1,5 2,25 0,5 1,25 2,5

1h12min 1,2 1,44 0,2 0,44 2,2

1h06min 1,1 1,21 0,1 0,21 2,1

1h1seg 1,000277 1,00055 0,000277 0,00055 2,000360

y(ºC)

x0=1

y

f(3)=9

x(h)

f(1)=1

x=3

x

À medida que x se aproxima de zero, y/x se aproxima de 2.

x x f(x) x y y/ x

1h30min 1,5 2,25 0,5 1,25 2,5

1h12min 1,2 1,44 0,2 0,44 2,2

1h06min 1,1 1,21 0,1 0,21 2,1

1h1seg1,000277

71,00055

50,000277

70,00055

52,000360

1

y(ºC)

x0=1

y

f(3)=9

x(h)

f(1)=1

x=3

x

Temperatura de uma sala

• Noção Intuitiva – Suponhamos que desejamos conhecer a temperatura num instante bem próximo de

x0 = 1h.

O limite da razão y/x, quando x 0, exprime que, quando x aumenta de 1 unidade de tempo a partir de x0 = 1h, a temperatura y aumentará de aproximadamente 2ºC.

(aproximadamente, pois se trata de limites)

hCxx

xx

x

xxxx

/º2)1(lim1

)1)(1(lim

1

1lim

11

2

1

0

0

00

)()(limlim')('

0 xx

xfxf

x

yyxf

xxx

y(ºC)

x0=1

y

f(3)=9

x(h)

f(1)=1

x=3

x

Temperatura de uma sala

Temperatura de uma sala

x

xfxxf

xxx

xfxxfxf

xx

)()(lim

)()(lim)(' 00

000

00

0

0

0

00

)()(limlim')('

0 xx

xfxf

x

yyxf

xxx

a) Se x x0, então x 0.

b) Se x = x - x0, então x = x + x0

c) f(x) = f(x + x0)

y(ºC)

x0=1

y

f(3)=9

x(h)

f(1)=1

x=3

x

Exemplo 4 – Determinar a derivada da função f(x) = 2x2 no ponto x0 = 3, ou seja, f’(3).

0

0

00

)()(limlim')('

0 xx

xfxf

x

yyxf

xxx

3

)3)(3(2lim

3

)9(2lim

3

182lim)3('

1

2

1

2

3

x

xx

x

x

x

xf

xxx

Temos: x0 = 3; f(x0) = f(3) = 2.32 = 18

12)3(2lim)3('3

xfx

Exemplo 5 – Determinar a derivada da função f(x) = x2 - 6x no ponto x0 = 2, ou seja, f’(2).

0

0

00

)()(limlim')('

0 xx

xfxf

x

yyxf

xxx

2)4(lim2

)4)(2(lim

2

86lim)2('

22

2

2

x

x

xx

x

xxf

xxx

Temos: x0 = 2; f(x0) = f(2) = 22 – 6.2 = -8

Exemplo 6 – Determinar a derivada da função f(x) = x no ponto x0 = 0, ou seja, f’(0).

0

0

00

)()(limlim')('

0 xx

xfxf

x

yyxf

xxx

xx

x

x

xf

xxx

1limlim

0

0lim)0('

000

Temos: x0 = 0; f(x0) = f(0) = 0 = 0

Nesse caso, dizemos que f(x) = x não tem derivada no ponto x0 = 0.

Exemplo 7 – Uma fábrica produz, mensalmente, x unidades de motores, sendo o custo mensal de produção dado por:

C(x) = 1500 + 220x (em reais).

a) Determine a derivada no ponto x0 = 100 motores.

b) Interprete o resultado obtido.

b) O resultado f’(x0) = 11, significa que a cada aumento de unidade de motor, há um aumento de 11 reais no custo mensal, a partir de 100 motores.

0

0

00

)()(limlim')('

0 xx

xfxf

x

yyxf

xxx

11)10)(10(

)10(220lim

100

37002201500lim)('

1001000

xx

x

x

xxf

xx

a) f(x0) = f(100) = 1500 + 220100 = 3700

Exemplo 8 - Consideremos a função C(x) = custo da produção de x sapatos, em reais.

Suponhamos que para uma produção x0 = 2000 sapatos, tenhamos a derivada C’(x0) = 20 reais por sapato.

O que significa isso?

Significa que, se aumentarmos a produção de 1 unidade e produzirmos x = 2001 sapatos, o aumento no custo será de 20 reais, aproximadamente.