EQUACOES_DIFERENCIAIS.pdf

7/26/2019 EQUACOES_DIFERENCIAIS.pdf

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Marlia Brasil XavierREITORA

Prof. Rubens Vilhena FonsecaCOORDENADOR GERAL DOS CURSOS DE MATEMTICA


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MATERIAL DIDTICO

EDITORAO ELETRONICA

Odivaldo Teixeira Lopes

ARTE FINAL DA CAPA

Odivaldo Teixeira Lopes

REALIZAO

Dados Internacionais de Catalogao na Publicao (CIP)

F676e Fonseca, Rubens VilhenaEquaes diferenciais elementares / Rubens Vilhena

FonsecaBelm: UEPA / Centro de Cincias Sociais eEducao, 2011.

48 p.; iI.

ISBN: 978-85-88375-61-1

1.Equaes diferenciais. I. Universidade Estadual doPar. II. Ttulo.

CDU: 517.9CDD: 515.35

ndice para catlogo sistemtico1. Equaes diferenciais: 517.9

Belm - Par - Brasil

- 2011 -


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SUMRIO

EQUAES DIFERENCIAIS ........................................................................................... ................................ 7

INTRODUO ......................................................................................................... ........................................... 7DEFINIES .............................................. .............................................................. ........................................... 7

Equao Diferencial Ordinria............................................................................................... ..................... 7

Equao Diferencial de Derivadas Parciais.................................................... ........................................ 8

Ordem da Equao Diferencial ................................................................................... ................................ 8

SOLUO DE UMA EQUAO DIFERENCIAL ...................................................................................... 8

CAMPO DE DIREES ................................................................................. ................................................ 10

1. EQUAES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM........................................................................ 11

1.1 SOLUO POR INTEGRAO DIRETA........................................................................................... 11

1.2 EQUAES SEPARVEIS ....................................................................................................................... 12

1.2.1. EQUAES DIFERENCIAIS REDUTVEIS SEPARVEIS...................... ............ 16

1.3 EQUAES DIFERENCIAIS EXATAS................................................................................................ 18

1.4 EQUAES DIFERENCIAIS LINEARES.......................................................................................... 20

1.4.1 MTODOS DE RESOLUO ................................................................................................. 20

1.4.2 EQUAO DE BERNOULLI ................................................................................................... 24

EXERCCIOS ............................................................ .............................................................. .................. 27

2. EQUAES DIFERENCIAIS DE SEGUNDA ORDEM......................................................................... 30

2.1 EQUAES HOMOGNEAS - DEPENDNCIA E INDEPENDNCIA LINEARDAS SOLUES ........................................................................................................................................... 30

2.1.1 EQUAES HOMOGNEAS COM COEFICIENTES CONSTAN-TES ............... 32

2.1.2 ESTUDO DA EQUAO CARACTERSTICA ........................................................... 33

2.2 MTODO DA VARIAO DOS PARMETROS PARA UMA EQUAODIFERENCIAL NO HOMOGNEA DE COEFICIENTES CONSTANTES...................... . 36

2.3 REDUO DE ORDEM ............................................................................................................................ 41

EXERCCIOS .......................................................... .............................................................. ............................. 44


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Universidade Estadual do ParCentro de Cincias Sociais e Educao

7

EQUAES DIFERENCIAIS

INTRODUO

Nossa proposta principal neste trabalho adquirir habilidades tcnicas na

soluo de alguns tipos-padro de equaes diferenciais para os quais existem mtodos

de rotina que permitem encontrar a soluo. No iremos considerar questes como

continuidade, demonstraes de teoremas, diferenciabilidade, a possvel eliminao de

divisores, etc. Os mtodos aqui desenvolvidos requerem considervel experincia com

tcnicas de integrao.

DEFINIES

Uma equao que envolve uma funo desconhecida e uma ou mais de suas

derivadas camada de Equao Diferencial.

E

xemplos:

1) 2)

3) 4)

5)

Equao Diferencial Ordinria

Quando existe apenas uma varivel independente. Exemplos: de 1 a 4 acima;

onde y a varivel dependente e x a independente ( uma s varivel dependente).


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Departamento de Matemtica, Estatstica e InformticaLicenciatura em Matemtica Modalidade a Distncia

8

Equao Diferencial de Derivadas Parciais

Quando h mais de uma varivel livre. Exemplo: 5 acima; y varivel dependente,

x e t independente.

Ordem da Equao Diferencial

a ordem da derivada de mais alta ordem na equao. Exemplo: 1 equao

diferencial ordinria de 1 ordem (derivada 1). Exemplos: 2, 4, 5 so de 2 ordem.

Exemplo 3 de 3 ordem (derivada 3).

SOLUO DE UMA EQUAO DIFERENCIAL

Uma soluo ou Integral de uma equao diferencial uma funo que

substituda na equao a verifica, isto , transforma-a numa identidade.

E

xemplo:

(I)

Soluo:

A funo a soluo da equao diferencial dada. Veja que

derivando a soluo e substituindo em na equao diferencial, verifica-se a equao.

A soluo geral a soluo da equao que contm tantas constantes arbitrarias

quantas forem as unidades da ordem da equao.

E

xemplo:Equao diferencial de 1 ordem: 1 (uma) constante

Equao diferencial de 2 ordem: 2 (duas) constantes


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9

A soluo que contm a constante arbitraria c chamada de soluo geral da

equao diferencial. Atribuindo-se valores particulares a constante c, temos a soluo

particular.

E

xemplo: soluo geral da equao (I)

Dada uma condio inicial: para , ou seja, , temos: ,

donde . Portanto soluo particular para a condio dada.

A soluo geral geometricamenterepresenta uma famlia de curvas dependentes

do parmetro c, chamadas curvas integrais.

No exemplo anterior uma famlia de parbolas

A soluo particular uma curva da famlia das curvas integrais, dependendo do

valor do parmetro c.

Soluo singular a soluo da equao que no pode ser deduzida da soluo

geral. Apenas alguns tipos de equaes apresentam essa soluo.


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10

CAMPO DE DIREES

Seja formar a equao diferencial de 1 ordem da famlia de curvas:

1( 1)

3

xy x e C. Derivando, vem1

13

xdy edx

a equao diferencial.

Ao derivar achamos a direo da reta tangente a curva no ponto como

temos uma famlia de curvas, podemos dizer que a equao diferencial,

geometricamente, define campos de direes que o lugar geomtrico dos pontos para

os quais as tangentes as curvas da famlia conservam a mesma direo.

Na figura abaixo, temos o campo de direes da equao1

13

xdy edx

e uma

soluo particular que passa pelo ponto 2(0, )3


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11

1.

EQUAES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM

A forma padro de uma equao diferencial de primeira ordem na funo

incgnitay(x)' ( , )y f x y ou ( , )

dyf x y

dx

1.1 SOLUO POR INTEGRAO DIRETA

A equao diferencial de primeira ordem ' ( , )y f x y toma uma forma

particularmente simples se a funoffor independente da varivel dependente y:

( )

dy

f xdx (1.1)

Neste caso especial, s precisamos integrar ambos os lados da equao (1.1)

( )dy f x dx (1.2)

Para obter

( )y f x dx C (1.3)

Isto uma soluo geral da Eq. (1), significando que envolve uma constante

(nmero real) C, e para cada escolha de C temos uma soluo particular da equao

diferencial. Se G(x) for uma antiderivada particular de f(x) ( isto , se G(x)=f(x) ) ento

( ) ( )y x G x C (1.4)

Para satisfazer uma condio inicial 0 0( )y x y , s precisamos substituir 0x x e 0y y

na Eq. (1.4) para obter 0 0( )y G x C, de modo que 0 0( )C y G x . Com esta escolha de C

obtemos a soluo particular de (1) satisfazendo o problema de valor inicial


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12

( )dy

f xdx

,0 0

( )y x y

E

xemplo: Resolva o problema de valor inicial

2 1dy

xdx

, (1) 5y

Fazendo (2 1)dy x dx e integrando (2 1)dy x dx , temos 2y x x C(soluo

geral). Substituindo os valores x=1 e y=5, obtemos C=3, logo 2 3y x x (soluo

particular).

1.2 EQUAES SEPARVEIS

A soluo de uma equao diferencial de primeira ordem separvel

( ) ( ) 0M x dx N y dy

.

onde C representa uma constante arbitrria.

E

xemplos:Dar a soluo geral das equaes abaixo.

1. , y(0) = 2:

, integrando

4 3 2 1 1 2 3

4

2

2

4

6

8


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13

Em se tratando de equao de 1 ordem, a soluo geral tem apenas uma

constante, ento:

ou

Soluo particular para x= 0 e y = 2: Substituindo na soluo geral, temos C = 2.

2. , y(3) =12

ou

Integrando: , temos

,

usamos ao invs de C para facilitar a simplificao da soluo:

ou

Substituindo os valores x=3 e y = 12 na soluo geral, temos C = 4.

Assim,

4 3 2 1 1 2 3

5

5


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14

3. 2(1 ) 0y

xx ydy dx

e, (0) 0y

(I) (II)

I. , por partes ,

, temos:

II. Fazendo substituio de varivel, temos: ,

A soluo geral : +C.

Substituindo x= 0 e y = 0 na soluo geral, temos C = -1.

Assim, - 1.

4 3 2 1 1 2 3

5

5


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15

4. , (1)2

y

Substituindo 1x e2

y , temos(21 4)

12C

(21 4)

12

15 10 5 5 10 15

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

1.0 0.5 0.5 1.0

0.4

0.2

0.2

0.4


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16

1.2.1. EQUAES DIFERENCIAIS REDUTVEIS SEPARVEIS

toda equao do tipo:

(Equaes Homogneas)

, entre outras.

O mtodo consiste em efetuar uma mudana de varivel:

ou ou

fazendo , troca-se, ento, a varivelypor u, e a equao fica

reduzida a forma separvel.

E

xemplos:

1. Dar a soluo geral da equao:

Solues

Fazendo: ou

Levando, na equao:

ou

Separando variveis e integrando:

ou ;

substituindo upor x+yvir:


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17

2. Dar a soluo geral de:

Soluo:Para se ter a equao do tipo , dividimos a

frao do 2 membro por :

(*)

Fazendo: ou

, levando em (*)

Vir:

ou

Separando as variveis e integrando, vir:

ou , substituindo u, vir:

6 4 2 2 4 6

4

2

2

4


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18

1.3 EQUAES DIFERENCIAIS EXATAS

Uma equao diferencial na forma onde Me Nso

funes contnuas que apresentam derivadas parciais de primeira ordem contnuas, ser

exata se e somente se

M N

y x

E

xemplo:

A equao:

tem e , logo:

e

Observe que M multiplicada por na equao e derivada em relao aye N

multiplicado por e derivada em relao a x.

Se a equao exata, ento, existe uma funo

, primitiva, cujo diferencial o primeiro membro da equao dada, isto :

(I), logo ento (constante).

A resoluo da equao consiste em determinar a funo f, cujo diferencial total

o primeiro membro da equao dada.

Ora pela definio de diferencial total, temos: (II)

Comparando (I) com (II), temos:

e

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

1

2

3

4

5

6

7


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19

Para determinar fbasta integrar,umadas derivadas e determinar a constante que

ser uma funo de x ou de y dependendo da escolha.

E

xemplo:

Dar a soluo geral da equao:

Verificao se a equao exata:

Soluo:

e . (*)

Partindo da derivada de fem relao a xvir:

A constante uma funo dey, pois ao integrarmos em relao a x, qualquer funo dey

constante.

Ento, temos:

(**)

Para determinarmos derivamos (**) em relao ay:

e, igualamos a (*)

ou

Levando em (**) temos a soluo da equao:

, como ftambm constante:

ou


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20

1.4 EQUAES DIFERENCIAIS LINEARES

Considere uma equao diferencial na forma padro ' ( , )y f x y . Se ( , )f x y

puder ser escrita como ( , ) ( ) ( )f x y P x y Q x , ento a equao diferencial linear

' ( ) ( )y P x y Q x . (5.1)

Equaes diferenciais de primeira ordem podem sempre ser expressas como em (5.1).

1.4.1 MTODOS DE RESOLUO

1 Caso:Se a equao homognea isto , , logo:.

Mtodo:A resoluo se faz com a separao de varivel:

Ex.: ; separando e integrando:

ou e .

2 Caso:A equao no homognea .1 Mtodo:Variao dos Parmetros

3 2 1 0 1 2 3

4

2

0

2

4


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21

A soluo y da equao dada pelo produto:

. Sendo a soluo da equao homognea correspondente e

o parmetro obtido substituindo e sua derivada na equao

linear dada.

Exemplo: Dar a soluo geral da equao linear:

.

Soluo

i. Clculo de (toma-se a equao homognea correspondente isto :

(recamos no 1 caso, aplica-se a separao e integra)

ou donde

ii. Clculo de u(a soluo geral ou )

Substitui na equao e , isto : e ;

Levando na equao dada vir:

ou ,

ento:

Finalmente, a soluo geral

. 2

6 4 2 2 4 6

20

10

10

20


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22

2 Mtodo: Uso do Fator Integrante

Vamos resolver a equao

( ) ( )dy

P x y Q xdx

( 1 )

Multiplicando os dois lados por uma funo positiva ( )x que

transforma o lado esquerdo na derivada do produto ( ).x y . Logo mais,

mostraremos como determinar , mas, primeiro, queremos mostrar que

uma vez que esteja determinada, como ela fornece a soluo que

procuramos.

Veremos por que multiplicar por ( )x d certo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )dy

x P x x y x Q xdx

( ( ). ) ( ) ( )d

x y x Q xdx

( ). ( ) ( )x y x Q x dx

1( ) ( )

( )y x Q x dx

x ( 2 )

A equao ( 2 ) expressa a soluo da equao ( 1 ) em termos dasfunes ( )x e ( )Q x . A funo ( )x chamada fator integrante para a

equao ( 1), pois sua presena faz que a equao seja integrvel.

Por que a frmula para ( )P x no aparece tambm na soluo? Ela

aparece sim, mas indiretamente, na construo da funo positiva ( )x .

Temos que

( )d dy

y Pydx dx

( condio imposta sobre )

dy d dyy Py

dx dx dx( regra do produto para derivada )

dy Py

dx

A ltima equao ser vlida se

dP

dx

dPdx


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23

dPdx

ln Pdx

( )P x dxe ( 3 )

Portanto, uma frmula para a soluo geral da Equao ( 1 ) dada pela

equao ( 2 ), onde ( )x dada pela Equao ( 3 ). Entretanto, em vez de

decorar a frmula, lembre-se apenas de como encontrar o fator

integrante quando voc tem a forma-padro na qual ( )P x identificada

corretamente.

Para resolver a equao linear ' ( ) ( )y P x y Q x , multiplique os dois

lados pelo fator integrante( )

( ) P x dx

x e e integre os dois lados.

Nesse procedimento, quando voc integra o produto no lado esquerdo,

sempre obtm o produto ( )x y do fator integrante pela funo soluo

y , devido definio de

A Equao ( 2 ) pode ser resumida da seguinte forma

( )h hy e e Q x dx c , onde ( )h P x dx

E

xemplo:

Dar a soluo geral da equao linear, usando o fator integrante:

; p e q

Soluo:Calculando o fator integrante, temos:

Escrevendo a equao linear na forma de diferencial:

; multiplicando a equao por

Multiplicando pelo fator integrante a equao se transforma em exata:


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24

Resolvendo:

(*)

donde ou voltando em (*), sabendo-se

que e substituindo , vir:

.

1.4.2 EQUAO DE BERNOULLI

toda a equao da forma onde p e q

so funes de x e numa constante qualquer diferente de zero.

Dividindo por , vem:

(*)

Fazendo uma mudana de varivel:

, onde: ,

Levando em (*), teremos uma equao linear; em z:

E

xemplo:

0.5 1.0 1.5 2.0

5

5


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25

Resolver a equao

esta equao pode tambm ser escrita.

dividindo por o que equivale a multiplicar por , vem:

,

fazendo-se

substituindo na equao:

, dividindo por

que uma equao linear em z,

cuja soluo

donde, finalmente:

6 4 2 2 4 6

1

1

2

3


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Nota Histrica 1. A histria das Equaes Diferenciais comea com os inventores do clculo,Fermat, Newton, e Leibniz. A partir do momento que estes matemticos brilhantes tiveramentendimento suficiente e notao para aderivada,esta logo apareceu em equaes e o assuntonasceu. Contudo, logo descobriram que as solues para estas equaes no eram to fceis. As

manipulaes simblicas e simplificaes algbricas ajudaram apenas um pouco. A integral(antiderivada) e seu papel terico noTeorema Fundamental do Clculo ofereceu ajuda diretaapenas quando as variveis eram separadas, em circunstncias muito especiais. O mtodo deseparao de variveis foi desenvolvido porJakob Bernoulli e generalizado porLeibniz.Assimestes pesquisadores iniciais do sculo 17 focalizaram estes casos especiais e deixaram umdesenvolvimento mais geral das teorias e tcnicas para aqueles que os seguiram.

Ao redor do incio do sculo 18, a prxima onda de pesquisadores de equaes diferenciaiscomeou a aplicar estes tipos de equaes a problemas em astronomia e cincias fsicas. JakobBernoulli estudou cuidadosamente e escreveu equaes diferenciais para o movimentoplanetrio, usando os princpios de gravidade e momento desenvolvidos por Newton. O trabalhode Bernoulli incluiu o desenvolvimento da catenria e o uso de coordenadas polares. Nesta

poca, as equaes diferenciais estavam interagindo com outros tipos de matemtica e cinciaspara resolver problemas aplicados significativos. Halley usou os mesmos princpios paraanalisar a trajetria de um cometa que hoje leva seu nome. O irmo de Jakob, Johann Bernoulli,foi provavelmente o primeiro matemtico a entender o clculo de Leibniz e os princpios demecnica para modelar matematicamente fenmenos fsicos usando equaes diferenciais e aencontrar suas solues. Ricatti (1676--1754) comeou um estudo srio de uma equao emparticular, mas foi limitado pelas teorias do seu tempo para casos especiais da equao que levahoje seu nome. Os Bernoullis, Jakob, Johann, e Daniel, todos estudaram os casos da equao deRicatti tambm. Na poca, Taylor usou sries para "resolver" equaes diferenciais, outrosdesenvolveram e usaram estas sries para vrios propsitos. Contudo, o desenvolvimento deTaylor de diferenas finitas comeou um novo ramo da matemtica intimamente relacionado ao

desenvolvimento das equaes diferenciais. No incio do sculo 18, este e muitos outrosmatemticos tinham acumulado uma crescente variedade de tcnicas para analisar e resolvermuitas variedades de equaes diferenciais. Contudo, muitas equaes ainda eramdesconhecidas em termos de propriedades ou mtodos de resoluo. Cinqenta anos deequaes diferenciais trouxeram progresso considervel, mas no uma teoria geral.

http://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/topics/diffeq.htm
http://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/bios/fermat.htmhttp://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/bios/newton.htmhttp://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/bios/leibniz.htmhttp://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/topics/derivatives.htmhttp://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/topics/calculus.htmhttp://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/topics/fundamental.htmhttp://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/bios/bernoullijakob.htmhttp://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/bios/leibniz.htmhttp://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/bios/bernoullijakob.htmhttp://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/bios/bernoullijakob.htmhttp://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/bios/bernoullijohann.htmhttp://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/bios/taylor.htmhttp://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/topics/diffeq.htmhttp://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/topics/diffeq.htmhttp://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/topics/diffeq.htmhttp://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/topics/diffeq.htmhttp://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/topics/diffeq.htmhttp://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/bios/taylor.htmhttp://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/bios/bernoullijohann.htmhttp://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/bios/bernoullijakob.htmhttp://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/bios/bernoullijakob.htmhttp://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/bios/bernoullijakob.htmhttp://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/bios/leibniz.htmhttp://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/bios/bernoullijakob.htmhttp://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/topics/fundamental.htmhttp://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/topics/calculus.htmhttp://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/topics/calculus.htmhttp://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/topics/derivatives.htmhttp://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/bios/leibniz.htmhttp://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/bios/newton.htmhttp://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/bios/fermat.htm


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EXERCCIOS

Em cada um dos problemas 1-10 verifique

primeiro que ( )y x satisfaz a equao

diferencial dada. Determine ento o valor da

constante C de modo que ( )y x satisfaa a

condio inicial.

1. ' 0; ( ) , (0) 2xy y y x Ce y

2.

2' 2; ( ) , (0) 3xy y x Ce y

3. ' 1; ( ) 1, (0) 5x

y y y x Ce y

4. ' ; ( ) 1, (0) 10xy x y y x Ce x y

5.

32' 3 0; ( ) , (0) 7xy x y y x Ce y

6. ' 1; In( ), (0) 0ye y y x C y

7.

5 5 314

3 2 ; ( ) , (2) 1dy

x y x y x x Cx ydx

8.

3 3' 3 ; ( ) ( In ), (0) 17xy y x y x x C x y

9.

10. ' tan cos ; ( ) ( ) cos , ( ) 0y y x x y x x C x y

Em cada um dos problemas 1-10 ache uma

funo ( )y f x que satisfaa a equao

diferencial e a condio inicial prescrita.

1. 2 1; (0) 3dy

x ydx

2.

3( 2) ; (2) 1dy

x ydx

3.

1 2 ; (4) 0dy

x ydx

4.

2

1 ; (1) 5x

dyy

dx

5.

1 2( 2) ; (2) 1dy

x ydx

6.

2 12( 9) ; ( 4) 0dy

x x ydx

7.

2

10; (0) 0

1

dyy

dx x

8. cos2 ; (0) 1dy

x ydx

9.

2 1 2(1 ) ; (0) 0dy

x ydx

2 2 3' 3 ( 1); ( ) tan( ), (0) 1y x y y x x C y


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28

10. ; (0) 1xdy

xe ydx

Encontre solues gerais implcitas, se

necessrio; explcitas, se conveniente) das

equaes diferenciais nos problemas 1-18.

denota a derivada de yem relao ax)

1. ' 2 0y xy

2.

2' 2 0y xy

3.

'y y senx

4. (1 ) ' 4x y y

5.

22 1

dyx y

dx

6. 3dy

xydx

7.

1 3(64 )

dyxy

dx

8. 2 secdy

x ydx

9.

2(1 ) 2dy

x ydx

10.

2 2(1 ) (1 )dy

x ydx

11.

3dy xydx

12.

2( 1)dy

y x ydx

13.

3 4( 1) cosdy

y y xdx

14.

1

1

dy x

dx y

15.

5

2 3

( 1)

(2 )

dy x y

dx x y y

16.

1

1

dy x

dx y

17.

1

dy

x y xydx

18. 2 2 2 2 2' 1x y x y x y

Encontre solues particulares explcitas dos

problemas de valor inicial nos problemas 19-

26.

19. ; (0) 2xdy

ye y e

dx

20.

2 23 ( 1); (0) 1dy

x y ydx

21.

2 1 22 ( 16) ; (5) 2dy

y x x ydx

22.

34 ; (1) 3dy

x y y ydx

23. 1 2 ; (1) 1dy

y ydx

24. ' tan ;2 2

y g y y

25.

22 ; (1) 1dy

x y x y ydx

26.

2 2 22 3 ; (1) 1dy

xy x y ydx

Em cada um os problemas 1-12, verifique

que a equao diferencial dada exata e

ento a resolva.

1. (2 3 ) (3 2 ) 0x y dx x y dy

2. (4 ) (6 ) 0x y dx y x dy

3.

2 2 2(3 2 ) (4 6 ) 0x y dx xy y dy

4.

2 2 2 3

(2 3 ) (2 4 ) 0xy x dx x y y dy


29/51


29

5.

3 2( In ) 0x

x dx y x dyy

6. (1 ) (2 ) 0xy xyye dx y xe dy

7.

(cos In ) 0yx

x y dx e dyy

8.

1

2( tan ) 0

1

x yx y dx dy

y

9.

2 3 4 3 2 3(3 ) (3 4 4 ) 0x y y dx x y y xy dy

10.

2( tan ) ( cos sec ) 0x xe seny y dx e y x y dy

11.

2 2

4 3 2 1 2

2 3 2 10

x y y xdx dyy x x y y

12.52 5 3 5 3 5 2

5 2 2 3 3 2 5 3

2 3 3 20

2 3

x y y xdx dy

x y x y

Encontre solues gerais para as equaes

diferenciais nos problemas 1-30. Observe

que y denot deriv d com rel o x.

1. ( ) 'x y y x y

2.

2 22 ' 2xyy x y

3.

1 2' 2( )xy y xy

4. ( ) 'x y y x y

5. ( ) ' ( )x x y y y x y

6. ( 2 ) 'x y y y

7.

2 3 3'xy y x y

8.

2 2' y xx y xy x e

9.

2 2'x y xy y

10.

2 2' 3xyy x y

11.

2 2( ) ' 2x y y xy

12.

2 2 2 1 2' (4 )xyy y x x y

13.

2 2 1 2' ( )xy y x y

14.

2 2 1 2' ( )yy x x y

15. ( ) ' (3 ) 0x x y y y x y

16.

1 2' ( 1)y x y

17.

2' (4 )y x y

18. ( ) ' 1x y y

19.

2 3' 2 5x y xy y

20.

2 3' 2 6y y xy x

21.

3'y y y

22.

2 4' 2 5x y xy y

23.

4 3' 6 3xy y xy

24.

3 22 ' 2xxy y e xy

25.

2 4 12( ' )(1 )y xy y x x

26.

2 33 '

xy y y e

27.

2 4 33 ' 3xy y x y

28.

4 3' 3

yxe y x y

29.

2 2(2 cos ) ' 4 3x sen y y y x sen y

30. ( ) ' 1y yx e y xe


30/51


30

2.

EQUAES DIFERENCIAIS DE SEGUNDA ORDEM

Seja a equao diferencial linear de segunda ordem

( ) '' ( ) ' ( ) ( )A x y B x y C x y F x (2.1.1)

onde as funes coeficientes A, B, C e F so contnuas no intervalo aberto I. Iremos

admitir que ( ) 0A x em cada ponto de I, de forma que podemos dividir cada termo em

(2.1.1) por A(x) e escrev-lo na forma

'' ( ) ( ) ( )y p x y q x y f x (2.1.2)

Se e so constantes, ento temos a equao diferencial de coeficientes

constantes.

Se , temos a equao homognea.

Pelo fato de que, uma vez resolvida a equao homognea, sempre possvel

resolver a equao no-homognea correspondente ou, pelo menos expressar sua

soluo em funo de uma integral, o problema de resolver a equao homognea o

mais fundamental

2.1 EQUAES HOMOGNEAS - DEPENDNCIA E INDEPENDNCIA LINEAR DAS

SOLUES

Duas funes linearmente dependentes (LD) ou linearmente

independentes (LI) se, dadas as duas funes e ,tivermos:

(LD)


31/51


31

(LI)

E

xemplo:

1) (LD)

2) (LI)

Proposio:Se duas funes e so LD, ento o determinante

.

Verificao: Se e so LD ento e donde:

=

Este determinante chamado de WRONSKIANO

Teorema 1-Princpio de Superposio: Sejam e duas solues daequao diferencial homognea '' ( ) ( ) 0y p x y q x y no intervalo I. Se c1e c2

so constantes, ento a combinao linear y =c1y1 + c2y2 tambm uma

soluo da equao.

E

xemplo:

Se e so solues particulares da equao

ento , tambm soluo da equao.

Observe que (LI).

Teorema 2-Wronskiano de Solues: Suponha que y1e y2so duas solues da

equao '' ( ) ( ) 0y p x y q x y num intervalo aberto I no qual p e q so

contnuas.

(a) Se y1e y2so LD, ento W(y1, y2) = 0 em I;

(b) Se y1e y2so LI, ento W(y1, y2) 0 em cada ponto de I.


32/51


32

Teorema 3-Solues Gerais: Sejam e duas solues LI da equao

homognea '' ( ) ( ) 0y p x y q x y com p e q so contnuas no intervalo aberto

I. Se Y qualquer soluo da equao, ento existem nmeros c1 e c2 tais que

Y(x) =c1y1(x) + c2y2(x) para todo x em I.

Em resumo, o que o Teorema 3 nos diz que quando encontramos duas

solues LI da equao homognea, ento encontramos todasas suas solues.

2.1.1 EQUAES HOMOGNEAS COM COEFICIENTES CONSTAN-TES

Consideremos a equao diferencial linear de segunda ordem

homognea

'' 0ay by cy (2.2.1.1)

com os coeficientes a, b e c constantes e 0a . Procuraremos

inicialmente uma nica soluo desta equao e comeamos com a

observao de que

'( )rx rxe re e '' 2( )rx rxe r e

assim qualquer derivada derx

e um mltipo constante derx

e .Portanto, se substitussemos y = rxe na equao (2.2.1.1), cada termos

seria um mltiplo constante de rxe , com os coeficientes constantes

dependentes de r e dos coeficientes a, b e c . Isto sugere que tentemos

encontrar um valor de r de modo que esses mltiplos de rxe tenham

soma nula. Se isso for possvel, ento y = rxe ser uma soluo de

(2.2.1.1).

Tomando a equao diferencial a , e fazendo assubstituies:

Como , conclumos que y(x)= rxe satisfar a equao

diferencial (2.2.1.1) precisamente quando r uma raiz da equao

algbrica


33/51


33

.

Esta equao quadrtica denominada equao caracterstica da

equao diferencial linear homognea

'' 0ay by cy .

2.1.2 ESTUDO DA EQUAO CARACTERSTICA

1 Caso: , razes reais e distintas as solues

particulares sero

e ,

que so LI,

Portanto, a soluo geral ser dada por:

E

xemplo:

, e

logo

Condies iniciais: y(0) =1 e y(0)=4Temos: e

Fazendo substituies, temos: c1 =-1 e c2= 2.

Soluo particular:

1.0 0.5 0.5 1.0

2

2

4

6

8

10


34/51


34

2 Caso: , isto , razes complexas

conjugadas.

Logo as solues particulares so

Como so LI a soluo geral :

ou

Empregando a frmula de Euler:

Substituindo na soluo geral :

ou

Fazendo e ,

E

xemplo:

Dar a soluo geral da equao diferencial:

, y(0) = 1 e y(0) = 2

e

donde:

Fazendo as substituies das condies iniciais, temos:

C1= 1 e C2= 3/2.

Soluo particular: .


35/51


35

3 Caso: , razes repetidas.

As solues particulares so:

e

Noso LI porque

Portanto, temos uma nica soluo particular que . O

problema neste caso produzir a segunda soluo, da equao

diferencial. O teorema a seguir nos mostra a soluo para este caso.

Teorema 4 Razes Repetidas: Se a equao caracterstica tem razes

reais iguais r1=r2, ento1

1 2( ) r xy c c x e

uma soluo geral da equao homognea.

Exemplo:Dar a soluo geral de , y(0)= 1 e

y(0) = -1

Soluo: ,

Fazendo as substituies dos valores iniciais, temos:

c1= 1 e c2= -3

6 4 2 2

150

100

50

50

100

150


36/51


36

Soluo particular:

2.2 MTODO DA VARIAO DOS PARMETROS PARA UMA EQUAO

DIFERENCIAL NO HOMOGNEA DE COEFICIENTES CONSTANTES

Vamos considerar a equao nohomognea

(2.2.1)

Vamos supor que conhecemos a soluo geral da equao

homognea associada .

A idia principal substituir as constantes e por funes e ,

respectivamente, logo

(2.2.2)

Podemos, ento, tentar determinar e de modo queyseja soluo

da equao no homognea.

Impondo condies a e podemos ter y como soluo da equao dada.

Derivamosypara substituir na Eq. (2.2.1),

Impondo a condio:

(I)

Derivando mais uma vez, obtemos

Substituindo y, y e y na Eq. (2.2.1) e rearrumando os termos da equao

resultante, temos

3 2 1 1

4

2

2

4


37/51


37

'' ' '' ' ' ' ' '

1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( )u y by cy u y by cy u y u y g x (2.2.3)

Cada uma das expresses entre parnteses na Eq. (2.4.3) nula, pois ambas

as funesy1ey2so solues da equao homognea. Portanto a equao se

reduz a

(II)

As equaes (I) e (II) formam um sistema de duas equaes lineares algbricas

para as derivadas e das funes desconhecidas.

Formando o sistema com as equaes, podemos determinar e .

Aplicando a regra de CRAMERvir

' 21

1 2

( )

( , )

y g xu

W y y e ' 12

1 2

( )

( , )

y g xu

W y y

O sistema sempre ter soluo, pois o wronskiano ,

visto que e so LI

Integrando, encontramos as funes desejadas, isto ,

21 1

1 2

( )

( , )

y g xu dx k

W y y e1

2 2

1 2

( )

( , )

y g xu dx k

W y y

E

xemplo:

1) Dar a soluo geral da equao: , y(0) =-1 e

y(0)=1

Soluo:

a) Soluo da homognea associadaEquao caracterstica

b) Clculo do ; variando os parmetros:

, derivando para substituir na eq. diferencial.

Impondo a condio: (I)


38/51


38

Substituindo na eq. dada, vir:

Evidenciando e vir:

(II)

Formando um sistema com (I) e (II):

Resolvendo o sistema por Cramer, vir:

A soluo particular :

E a soluo geral:

Fazendo as substituies, obtemos: c1 =-4 e c2=5/2.

Soluo particular:


39/51


39

2) Dar a soluo geral: , y(0) = 1 e y(0) = 1

Soluo:

a) Soluo da homognea associada

b) Soluo particular

(I)

Substituindo na equao diferencial dada:

(II)

Formando o sistema com as equaes vir:

Resolvendo o sistema por CRAMER vir:

5 4 3 2 1 1 2

2

2

4

6

8


40/51


40

Logo, ser igual a

A soluo geral :

Substituindo, temos: c1=1 e c2= 2.

Soluo particular:

3 2 1 1 2 3

3

2

1

1

2

3


41/51


41

2.3 REDUO DE ORDEM

Suponha que conhecemos uma soluoy1no identicamente nula, de

'' ' 0y py qy (2.2.1)

Para encontrar uma segunda soluo, seja

1y vy (2.2.2)

ento

'

1 1' 'y v y vy

e

' ''

1 1 1'' '' 2 'y v y v y vy

Substituindo essas expresses para y, y e y na Eq. (2.3.1) e arrumando ostermos, encontramos

' '' '

1 1 1 1 1 1'' (2 ) ' ( ) 0y v y py v y py qy v (2.2.3)

Comoy1 uma soluo da Eq. (2.3.1), o coeficiente d e vna Eq. (2.3.3) zero,

logo a Eq. (2.3.3) fica

'

1 1 1'' (2 ) ' 0y v y py v (2.2.4)

A Eq.(2.2.4) uma equao diferencial de primeira ordem para a funo v.

Uma vez encontrada v, v obtida por integrao. A soluoy determinada

da Eq. (2.3.2).

Esse procedimento chamado de mtodo de reduo de ordem, j que o passo

fundamental a resoluo de uma equao diferencial de primeira ordem para

v, em vez da equao de segunda ordem original paray.

O teorema seguinte formula este mtodo.

Teorema 5: Reduo de Ordem

Se 1( )y x uma soluo da equao '' ( ) ' ( ) 0y p x y q x y , num intervalo I onde

pe qso contnuas e 1( )y x uma soluo no nula, ento uma segunda soluo

linearmente independente de '' ( ) ' ( ) 0y p x y q x y em I dada por

( )

2 1 2

1

( ) ( )[ ( )]

p x dxe

y x y x dxy x

(2.2.5)


42/51


42

E

xemplo:

Dado que y1=t-1 uma soluo de 2t2y +3ty y = 0( t>0) encontre uma

segunda soluo linearmente independente, onde y(1)=0 e y(1)=1

Soluo: Vamos resolver sem fazer uso de (2.2.5), fazendo y = vt-1;ento

y=vt-1vt-2, y = vt-12vt-2+ 2vt-1

Substituindoy, y e y na equao dada e arrumando os termos, obtemos

2tv v +(4t-13t-1t-1)v = 0 e 2tv v= 0

Separando as variveis e resolvendo para v encontramos

1

2'v ct , ento

3

2

2

3v ct k . Segue que

1

121 2y c t c t . Substituindo, temos c1

=2/3 e c2=-2/3. Soluo particular:1

122 2

3 3y t t

1 1 2 3

3

2

1

1

2

3


43/51


43

Nota Histrica 2.O desenvolvimento das equaes diferenciais precisava de um mestre paraconsolidar e generalizar os mtodos existentes e criar novas e mais poderosas tcnicas paraatacar grandes famlias de equaes. Muitas equaes pareciam amigveis, mas tornaram-seterrivelmente difceis. Em muitos casos, tcnicas de solues iludiram perseguidores por cerca

de 50 anos, quando Leonhard Euler chegou cena das equaes diferenciais. Euler teve obenefcio dos trabalhos anteriores, mas a chave para seu entendimento era seu conhecimento epercepo de funes. Euler entendeu o papel e a estrutura de funes, estudou suaspropriedades e definies. Rapidamente achou que funes eram a chave para entenderequaes diferenciais e desenvolver mtodos para suas resolues. Usando seu conhecimento defunes, desenvolveu procedimentos para solues de muitos tipos de equaes. Foi o primeiroa entender as propriedades e os papis das funes exponenciais, logartmicas, trigonomtricase muitas outras funes elementares. Euler tambm desenvolveu vrias funes novas baseadasem solues em sries de tipos especiais de equaes diferenciais. Suas tcnicas de conjecturar eencontrar os coeficientes indeterminados foram etapas fundamentais para desenvolver esteassunto. Em 1739, desenvolveu o mtodo de variao de parmetros. Seu trabalho tambmincluiu o uso de aproximaes numricas e o desenvolvimento de mtodos numricos, os quais

proveram "solues" aproximadas para quase todas as equaes. Euler ento continuouaplicando o trabalho em mecnica que levou a modelos de equaes diferenciais e solues. Eleera um mestre que este assunto necessitava para se desenvolver alm de seu incio primitivo,tornando-se um assunto coeso e central ao desenvolvimento da matemtica aplicada moderna.

Depois de Euler vieram muitos especialistas que refinaram ou estenderam muitas das idias deEuler. Em 1728,Daniel Bernoulli usou os mtodos de Euler para ajud-lo a estudar oscilaes eas equaes diferenciais que produzem estes tipos de solues. O trabalho de D'Alembert emfsica matemtica envolveu equaes diferenciais parciais e exploraes por solues das formasmais elementares destas equaes.Lagrange seguiu de perto os passos de Euler, desenvolvendomais teoria e estendendo resultados em mecnica, especialmente equaes de movimento

(problema dos trs corpos) e energia potencial. As maiores contribuies de Lagrange foramprovavelmente na definio de funo e propriedades, o que manteve o interesse em generalizarmtodos e analisar novas famlias de equaes diferenciais. Lagrange foi provavelmente oprimeiro matemtico com conhecimento terico e ferramentas suficientes para ser umverdadeiro analista de equaes diferenciais. Em 1788, ele introduziu equaes gerais demovimento para sistemas dinmicos, hoje conhecidas como equaes de Lagrange. O trabalho deLaplace sobre a estabilidade do sistema solar levou a mais avanos, incluindo tcnicas numricasmelhores e um melhor entendimento de integrao. Em 1799, introduziu as idias de umlaplaciano de uma funo. Laplace claramente reconheceu as razes de seu trabalho quandoescreveu "Leia Euler, leia Euler, ele nosso mestre". O trabalho de Legendre sobre equaesdiferenciais foi motivado pelo movimento de projteis, pela primeira vez levando em contanovos fatores tais como resistncia do ar e velocidades iniciais.Lacroix foi o prximo a deixar

sua marca. Trabalhou em avanos nas equaes diferenciais parciais e incorporou muitos dosavanos desde os tempos de Euler ao seu livro. A contribuio principal de Lacroix foi resumirmuitos dos resultados de Euler, Lagrange, Laplace, e Legendre. O prximo na ordem foiFourier.Sua pesquisa matemtica fez contribuies ao estudo e clculos da difuso de calor e soluode equaes diferenciais. Muito deste trabalho aparece em The Analytical Theory of Heat (ATeoria Analtica do Calor,1822) de Fourier, no qual ele fez uso extensivo dasrie que leva seunome. Este resultado foi uma ferramenta importante para o estudo de oscilaes. Fourier,contudo, pouco contribuiu para a teoria matemtica desta srie, a qual era bem conhecidaanteriormente por Euler, Daniel Bernoulli, e Lagrange. As contribuies de Charles Babbagevieram por uma rota diferente. Ele desenvolveu uma mquina de calcular chamada de Mquinade Diferena que usava diferenas finitas para aproximar solues de equaes.
http://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/bios/bernoullidaniel.htmhttp://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/bios/alembert.htmhttp://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/bios/lagrange.htmhttp://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/bios/laplace.htmhttp://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/topics/calculus.htmhttp://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/bios/lacroix.htmhttp://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/bios/fourier.htmhttp://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/topics/sequences.htmhttp://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/bios/babbage.htmhttp://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/bios/babbage.htmhttp://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/topics/sequences.htmhttp://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/bios/fourier.htmhttp://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/bios/lacroix.htmhttp://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/topics/calculus.htmhttp://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/bios/laplace.htmhttp://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/bios/lagrange.htmhttp://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/bios/alembert.htmhttp://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/bios/bernoullidaniel.htmhttp://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/bios/euler.htm


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44

EXERCCIOS DE APLICAES

1.

Considere um tanque usado em determinado experimentos hidrodinmicos. Aps

um experimento, o tanque contm 200 litros de uma soluo a uma concentrao de

1 g/l. Para preparar para o prximo experimento, o tanque tem que ser lavado com

gua fresca entrando a uma taxa de 2 litros por minuto, a soluo bem misturada

saindo mesma taxa. Encontre o tempo necessrio para que a concentrao de tinta

no tanque atinja 1% de seu valor original.

2.

Um tanque contm, inicialmente, 120 litros de gua pura. Uma mistura contendo

uma concentrao de g l de sal entra no tanque a uma taxa de 2 l/min e a soluo,

bem misturada, sai do tanque mesma taxa. Encontre uma frmula,, em funo de ,

para a quantidade de sal no tanque em qualquer instante t. Encontre, tambm, a

quantidade de limite de sal no tanque quando .t

3.

Um tanque contm, originalmente, 100 gales (cerca de 455 litros) de gua fresca.

despejada, ento, gua no tanque contendo lb (cerca de 227 g) de sal por galo a

uma taxa de 2 gales por minuto e a mistura sai do tanque mesma taxa. Aps 10

minutos, o processo preparado e despejada gua fresca no tanque a uma taxa de 2

gales por min, com a mistura saindo, novamente, mesma taxa. Encontre a

quantidade de sal no tanque aps mais 10 minutos.

4.

Um tanque, com uma capacidade de 500 gales, contm, originalmente, 200 gales

(cerca de 910 litros) de uma soluo com gua com 100 lb (cerca de 45,4 kg) de sal.

Uma soluo de gua contendo 1 lb de sal por galo entra a uma taxa de 3 gales por

minuto e permite-se que a mistura saia a uma taxa de 2 gales por minuto. Encontre

a quantidade de sal no tanque em qualquer instante anterior ao instante em que o

tanque comea a trasbordar. Encontre a concentrao (em libras por galo) de sal no

tanque quando ele est a ponto de transbordar. Compare essa concentrao com o

limite terico de concentrao se o tanque tivesse capacidade finita.

5.

Um tanque contm 100 gales (cerca de 455 litros) de gua e 50 onas (cerca de

1,42 kg) de sal. gua contendo uma concentrao de sal de (1+1/2 sen t) oz/gal


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45

entra no tanque a uma taxa de 2 gales por minuto e a mistura no tanque sai

mesma taxa.

a) Encontre a quantidade de sal no tanque em qualquer instante.

b) Desenhe a soluo para um perodo de tempo suficientemente grande de modo

que voc possa ver o comportamento limite da soluo.

c) O comportamento limite da soluo uma oscilao em torno de um

determinado nvel constante. Qual esse nvel? Qual a amplitude da oscilao?

6. Suponha que investida uma quantia 0S a uma taxa de rendimento anual rcomposto

continuamente.

a) Encontre o tempo Tnecessrio, em funo de r, para a quantia determine original

dobrar de valor.

b) Determine Tse r= 7%.

c) Encontre a taxa de rendimento que tem quer usada para que o investimento

inicial dobre em 8 anos.

7.

Um jovem, sem capital inicial, investe k reais por ano a uma taxa anual de

rendimento r. suponha que os investimentos so feitos continuamente.

a) Determine a quantia S(t) acumulada em qualquer instante t.

b) Se r = 7,5%, determine k de modo que esteja disponvel R$1 milho para a

aposentadoria aps 40 anos.

c) Se k= R$2000/ano, determine a taxa de rendimento rque precisa ser aplicada

para se ter R$ 1 milho aps 40 anos.

8.

Uma pessoa, ao se formar na faculdade, pega R$8000 emprestados para comprar um

carro. A financeira cobra taxa de juros anuais de 10%. Supondo que os juros so

compostos continuamente e que a pessoa faz pagamentos contnuos a uma taxa

constante anual k, determine, tambm, o total de juros pagos durante o perodo de 3

anos.

9.

Um comprador de imvel no pode pagar mais que R$800/ms para o

financiamento de sua


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46

casa prpria. Suponha que a taxa de juros de 9% ao ano e que o financiamento de

20 anos. Suponha que os juros so compostos continuamente e que os pagamentos

tambm so feitos continuamente.

a) Determine o emprstimo mximo que esse comprador pode pedir.

b) Determine os juros totais pagos durante todo o emprstimo.

10.

Uma pessoa recm-chegada obteve um emprstimo de R$100.000 a uma taxa de 9%

ao ano para comprar um apartamento. Antecipando aumentos regulares de salrio, o

comprador espera efetuar pagamentos, a uma taxa mensal de 800(1 +t/120), onde t

o numero de meses desde que o emprstimo foi feito.

a) Supondo que essa programao possa ser mantida, quando o emprstimo estar

liquidado?

b) Supondo o mesmo programa de pagamento, qual o emprstimo mximo que

pode ser liquidado em exatamente 20 anos?

11.Uma ferramenta importante em pesquisa arqueolgica a datao por carbono

radioativo desenvolvido pelo qumico americano Willard F. Libby. Essa uma

maneira de determinar a idade de restos de certas madeiras e plantas, assim como

de ossos, humanos ou de animais, ou de artefatos enterrados nos mesmos nveis. A

datao por carbono radioativo baseada no fato de que algumas madeiras ou

plantas contm quantidades residuais de carbono-14, um istopo radioativo do

carbono. Esse istopo acumulado durante a vida da planta e comea a decair na sua

morte. Como a meia-vida do carbono longa (aproximadamente 5730 anos), podem

ser medidas quantidades remanescentes de carbono-14 aps muitos milhares de

anos. Mesmo que a frao da quantidade original de carbono-14 ainda presente seja

muito pequena, atravs de medidas adequadas feitas em laboratrio, a proporoda

quantidade original de carbono-14 que permanece pode ser determinada

precisamente. Em outras palavras, se Q(t) a quantidade de carbono-14 no instante

t e se a quantidade0Q a quantidade original, ento a razo 0tQ Q pode ser

determinada, pelo menos se essa quantidade no for pequena demais. Tcnicas

atuais de medida permitem a utilizao desse mtodo para perodos de tempo at

em torno de 50.000 anos ou mais.


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a) Supondo que Qsatisfaz a equao diferencial ' .Q rQ determine a constante de

decaimento rpara o carbono-14.

b) Encontre uma expresso para Q(t) em qualquer instante tse 00 .Q Q

c) Suponha que so descobertos certos restos de plantas nos quais a quantidade

residual atual de carbono-14 20% da quantidade original. Determine a idade

desses restos.

12.

A populao de mosquitos em determina rea cresce a uma taxa proporcional

populao atual e, na ausncia de outros fatores, a populao dobra a cada semana.

Existem, inicialmente, 200.000 mosquitos na rea e os predadores (pssaros,

morcegos, etc) comem 20.000 mosquitos/dia. Determine a populao de mosquitos

na rea em qualquer instante t.

13.

Suponha que uma determinada populao tem uma taxa de crescimento que varia

com o tempo e que essa populao satisfaz a equao diferencial

0,5 sen 5.dy dt t y

a) Se y(0) = 1, encontre (ou estime) o instante no qual a populao dobra.Escolha outra condio inicial e determine se o tempo em que ela dobra

depende da populao inicial.

b) Suponha que a taxa de crescimento substituda pelo seu valor mdio 1/10.

Determine o tempo nesse caso.

c) Suponha que a parcela sen tna equao diferencial substituda por sen 2 ,

isto , a variao na taxa de crescimento tem uma frequncia substancialmente

maior. Qual o efeito disto sobre o tempo em que a populao dobra?

14.Suponha que uma determinada populao satisfaz o problema de valor inicial

( ) ,dy dt r t y k 0,(0)y y

Onde a taxa de crescimento ( )r t dada por ( ) (1 sen ) 5r t t e krepresenta a taxa

predatria.

a) Suponha que k= 1/5. Faa o grfico de yem funo de tpara diversos valores de

0y entre 1/2 e 1.


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b) Estime a populao inicial crtica cy abaixo da qual a populao se torna extinta.

c) Escolha outros valores para k e encontre o cy correspondente para cada um

deles.

15.A lei do resfriamento de Newton diz que a temperatura de um objeto muda a uma

taxa proporcional diferena entre sua temperatura e a do ambiente que o rodeia.

Suponha que a temperatura de uma xcara de caf obedece lei do resfriamento de

Newton. Se o caf estava a uma temperatura de 200 F, determine quando o caf

atinge a temperatura de 150F.

16.

Considere um lago de volume constante Vcontendo, no instante t, uma quantidade

Q(t) de poluentes, distribudos uniformemente no lago, com uma concentrao c(t),

onde c(t) = Q(t)/V. Suponha que entra no lago gua contendo uma concentrao k

de poluentes a uma taxa re que a gua deixa o lago mesma taxa. Suponha que os

poluentes so, tambm, adicionados diretamente ao lago a uma constante P. Note

que as hipteses feitas negligenciam uma serie de fatores que podem ser

importantes em alguns casos por exemplo, a gua adicionada ou perdida por

precipitao, absoro ou evaporao; o efeito estratificador de diferenas de

temperaturas em um lago profundo; a tendncia de irregularidades na costa

produzirem baas, protegidas; e o fato de que os poluentes no so depositados

uniformemente no lago, mas (em geral) em pontos isolados de sua periferia. Os

resultados a seguir tm quer interpretados levando-se em considerao que fatores

desse tipo foram desprezados.

a) Se, no instante t= 0, a concentrao de poluentes 0

c encontre uma frmula

para a concentrao c t em qualquer instante t. Qual a concentrao limite

quando t ?

b) Se termina a adio de poluentes ao lago (k= 0 e P= 0 para t > 0), determine

o intervalo de tempo Tnecessrio para que a concentrao de poluentes seja

reduzida a 50% de seu valor original; e a 10% de seu valor original.

c) A tabela 2.3.2 contm dados para diversos lagos na regio dos grandes lagos

americanos. Usando esses dados, determine, do item (b), o tempo Tnecessrio


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para reduzir a contaminao de CAD um desse lagos a 10% de seu valor

original.

TABELA 2.3.2 Dados sobre volume e Fluxo nos grandes lagos Americanos

Lago3 3

10V km 3 /anor km

Superior 12,2 65,2

Michigan 4,9 158

Erie 0,46 175

Ontrio 1,6 209

17.

Uma bola de massa 0,15 kg atirada para cima com velocidade inicial de 20 m/s doteto de um edifcio com 30 m de altura .

Despreze a resistncia do ar.

a) Encontre a altura mxima, acima do cho, atingida pela bola.

b) Supondo que a bola no bate no prdio ao descer, encontre o instante em que

ela atinge o solo.

c) Desenhe os grficos da velocidade e da posio em funo do tempo.


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