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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
Escola de Engenharia de Lorena – EEL
Área I
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CEP 12600-970 - Lorena - SP
Tel. (12) 3159-5007/3153-3209
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“PPE6408 – Tópicos Especiais de Física“
Prof. Dr. Durval Rodrigues Junior
Departamento de Engenharia de Materiais (DEMAR)
Escola de Engenharia de Lorena (EEL)
Universidade de São Paulo (USP)
Polo Urbo-Industrial, Gleba AI-6 - Lorena, SP 12600-970
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UNIDADE 9 -
Mais Ondas de
Matéria
O átomo na “Antiga” Mecânica Quântica
• Por volta de 1910 acumularam-se inúmeras evidências
experimentais de que os átomos continham elétrons (aquelas
partículas que compunham os raios catódicos e conduziam a
eletricidade).
Mas os átomos eram neutros. Portanto, deviam possuir uma
quantidade igual de carga positiva.
Modelo de Thomson (1910)
Os átomos seriam compostos
por elétrons pontuais,
distribuídos numa massa de
carga positiva uniforme:
Modelo do “pudim de passas”.
Modelo de Thomson: previa uma
deflexão pequena das partículas a
Exemplo histórico: estrutura do átomo
• Ernest Rutherford (1911): descobriu a estrutura nuclear
do átomo. Primeiro experimento de colisão de partículas
sub-atômicas.
Rutherford observou grandes deflexões,
sugerindo um núcleo duro e pequeno
• Rutherford então propôs um modelo no qual toda a carga positiva
dos átomos, que comportaria praticamente toda a sua massa, estaria
concentrada numa pequena região do seu centro: o núcleo.
Os elétrons, então, ficariam orbitando em torno deste núcleo:
Modelo “planetário”.
Entretanto, estes elétrons em
órbita estariam acelerados
(aceleração centrípeta). Assim,
segundo o eletromagnetismo,
deveriam emitir energia na forma
de radiação eletromagnética, até
colapsarem para o núcleo!
O átomo na “Antiga” Mecânica Quântica
Experimentos de espectroscopia
de átomos de H apresentavam
raias espectrais discretas :
Série de Balmer 656 486 434 410 (Å)
22
1
2
11
nRH
RH =109,677 cm-1
n=3, 4, 5, ...
O modelo atômico de Bohr (1913)
Motivação experimental:
Baseado na idéia da “quantização” e da existência dos fótons,
Bohr introduziu o seu modelo para o átomo de hidrogênio,
baseado em 4 postulados:
1) Um elétron se move em uma órbita circular em torno do
núcleo sob influência da atração coulombiana do núcleo,
(mecânica clássica).
2) O elétron só pode se mover em órbitas que apresentem
momentos angulares L “quantizados”:
,....,,nnL 321
O modelo atômico de Bohr (1913)
3) O elétron fica em órbitas “estacionárias” e não emite
radiação eletromagnética. Portanto, a sua energia total E
permanece constante.
4) Radiação é emitida se um elétron, que se move inicialmente
numa órbita de energia Ei , muda para uma órbita de
energia Ef menor que Ei. A freqüência da radiação emitida
é dada por:
Em outras palavras, o átomo emite um fóton.
h
EE fi
O modelo atômico de Bohr (1913)
Considerando o núcleo em repouso, a força
elétrica no elétron é dada por
v
-e, m
+e 2
0
2 1
4 r
eF
r
vm
r
e 2
2
0
2 1
4
Para uma órbita circular:
nL
rmvL
rm
nv
2
2
0
2
nme
hr
n
Quantização das órbitas!
O modelo atômico de Bohr (1913)
Se
e
Assim, a energia das diferentes órbitas serão dadas por:
Portanto, Bohr prevê que as órbitas têm raios:
eVnnh
meE
n 2222
0
4 6,131
8
2
2
0
2
nme
hr
n
2
0
2
0me
hr
2
0nrrn
com
ou
529100 ,r Å
O modelo atômico de Bohr (1913)
ou
Mas: r
e
r
emvUKE
0
2
0
22
842
As freqüências emitidas nas transições seriam:
Portanto, Bohr prevê que:
sendo um êxito para a sua teoria!
1
32
0
4
74,1098
cmch
meRH
2232
0
4
''
1
'
1
8 nnh
me
h
EE nnnn
O modelo atômico de Bohr (1913)
22H2232
0
4'nn
'nn 'n
1
n
1R
n
1
'n
1
ch8
me
c
1
O sistema pode passar de um estado n para um n’, de energia
menor, emitindo um fóton de frequência:
O estado de energia mais baixa é
chamado de estado fundamental.
'nn EEEh
Pode também
transicionar
para um estado
de energia
maior
absorvendo um
fóton. E1 1
E2 2
E3 3
E4 4
E
E1 1
E2 2
E3 3
E4 4
E
O modelo de Bohr explicou as raias espectrais, conhecidas
para o átomo de hidrogênio, e mostrou que deveriam existir
outras, fora do espectro visível.
r
erU
1
4 0
2
O poço de potencial onde o elétron está confinado tem a forma
A equação de Schrödinger nesse potencial é
)r(E)r()r(U)r(m
2
2
2
A equação de Schrödinger e o átomo de H
FPrr ,,
l
número
quântico
orbital
n
número
quântico
principal
m
número
quântico
magnético
símbolo valores
n 1,2,3,
l 0,..,n-1
m -l,..,l
Como o potencial só depende de r, a função de onda pode ser
separada (em coordenadas esféricas)
Isto produz 3 equações separadas, para as
coordenadas eletrônicas do átomo de H !
A equação de Schrödinger e o átomo de H
O número quântico orbital l corresponde aos estados:
(1,0,0)
(2,0,0) (2,1,0) (2,1,1) (2,1,-1)
l = 0, 1, 2, 3, 4
s, p, d, f, g
0E
4/0
E
9/0
E
(3,1,0) (3,0,0) (3,1,-1) (3,1,1) (3,2,1) (3,2,0) (3,2,2) (3,2,-1) (3,2,-2)
)(rnlm
(n,l,m) 1s
2s 2p
3s 3p 3d
A equação de Schrödinger e o átomo de H
)r(E)r()r(Udr
)r(d
rdr
)r(d
m
2
2 2
22
Para o estado fundamental (n = 1, l = 0, m = 0) temos e equação radial
0
23
0
100
1 rr
er
r
é o raio de Bohr 0; r
A função de onda radial do estado fundamental (1,0,0):
A equação de Schrödinger e o átomo de H
A densidade de probabilidade associada à função de onda:
Probabilidade de medir
no volume dV
à distância r
densidade de probabilidade
|(r)|2
à distância r
x dV =
0
3
22
0
4 rr
err
rP
drrrdVrdrrP 2224
onde
A equação de Schrödinger e o átomo de H
Estado 1s
n=1 l=0 m=0
Estado 2s
n=2 l=0 m=0
Estado 2p
n=2 l=1 m=0
Estado 2p
n=2 l=1 m=1
Densidade de probabilidade do H
