Universidade do Estado do Rio de Janeiro

Instituto de Física Armando Dias Tavares

Departamento de Física Aplicada e Termodinâmica

Oficina de Física

Espelhos Esféricos

Pedro Henrique Neves Vieira

Rio de Janeiro

14/06/2008, finalizado em 17/06 as 1:11h

Espelhos Esféricos

Um plano, ao cortar uma

superfície esférica, divide-a em

duas partes denominadas calotas

esféricas.

Toda superfície refletora

com a forma de uma calota

esférica é um espelho esférico.

Os espelhos esféricos têm grande utilidade na prática. Eles atuam

como lentes, podendo aumentar ou diminuir o tamanho das imagens.

Quanto à classificação, temos dois tipos de espelhos esféricos:

côncavo e convexo.

Espelho Côncavo

O espelho côncavo é o

espelho esférico cuja face interna

da calota é a superfície refletora.

Espelho Convexo

O espelho convexo é o espelho esférico cuja face externa da calota é a superfície refletora.

Os elementos geométricos que caracterizam um espelho esférico são:

Centro de curvatura (C): é o centro da esfera que deu origem ao espelho.

Raio de curvatura (R): é o raio da esfera que deu origem ao espelho.

Vértice do espelho (V): é o ponto mais externo da calota esférica.

Foco principal (F): é o ponto médio localizado entre o centro de curvatura

e o vértice do espelho.

Eixo principal do espelho: é a reta definida pelo centro de curvatura e

pelo vértice.

Elementos dos Espelhos Esféricos

Eixo secundário do espelho: é qualquer reta que passa pelo centro de

curvatura, mas não pelo vértice.

Ângulo de abertura do espelho (α): é o ângulo determinado pelos eixos

secundários que passam por pontos diametralmente opostos do contorno do

espelho.

Plano frontal: é qualquer plano perpendicular ao eixo principal.

Plano meridiano: é qualquer plano que contém o eixo principal.

Representação dos Elementos em um Espelho Côncavo

Representação dos Elementos em um Espelho Convexo

Espelhos Esféricos de GaussJohann Carl Friedrich

Gauss, astrônomo, matemático e

físico alemão (1777-1855).

Foi reconhecido como

um dos maiores matemáticos de

todos os tempos. Em Física

ocupou-se da otica, de

eletricidade e principalmente de

magnetismo, cuja teoria

matemática formulou em 1839.

Os espelhos esféricos apresentam, em geral, imagens sem nitidez (imagens

de pontos apresentam-se como pequenas manchas) e deformadas (imagens de

objetos planos apresentam curvatura).

Por meio de experiências, Gauss observou que para as imagens obtidas

serem mais nítidas e sem deformações apreciáveis, era necessário que os raios

luminosos incidentes sobre o espelho obedecessem a certas condições.

As condições de nitidez de Gauss são as seguintes:

Os raios incidentes sobre o espelho devem ser paralelos ou pouco inclinados em

relação ao eixo principal e próximos dele. Assim, para se ter nitidez na imagem, o

ângulo de abertura do espelho tem que ser inferior a 10 graus.

Foco de um Espelho Esférico de Gauss

Quando um feixe de raios paralelos incide sobre um espelho

esférico de Gauss, paralelamente ao eixo principal, origina um feixe

refletido convergente, nos espelhos côncavos, e um feixe refletido

divergente nos espelhos convexos. Esses raios refletidos ou seus

prolongamentos se encontrarão em um ponto chamado foco principal.

Propriedades dos Espelhos Esféricos de Gauss

Todo raio de luz que incide

numa direção que passa pelo

centro de curvatura reflete-se

sobre si mesmo.

Todo raio de luz que incide

paralelamente ao eixo

principal, reflete-se passando

pelo foco e vice-versa.

Todo o raio de luz que incide

sobre o vértice do espelho

reflete-se simetricamente em

relação ao eixo principal.

Características das Imagens

a) Imagem real : imagem na frente do espelho (formada pelos próprios raios

refletidos).

b) Imagem virtual: imagem atrás do espelho (formada pelo prolongamento dos

raios refletidos).

c) Imagem direita: objeto e imagem têm o mesmo sentido.

d) Imagem invertida: objeto e imagem têm o sentido oposto.

e) Imagem igual, maior ou menor que o objeto: quando comparada com

o objeto, a imagem pode apresentar essas comparações.

Construção Geométrica de Imagens

Para os espelhos convexos :

1. Temos a imagem sempre direita, menor e virtual.

Para os espelhos côncavos temos :

1. Se objeto estiver além do centro de curvatura:

A imagem é invertida, menor e real.

2. Para o objeto sobre o centro de curvatura:

A imagem é invertida, de mesmo tamanho e real.

3. Para o objeto entre o foco e o centro de curvatura:

A imagem é invertida, maior e real.

4. Para o objeto sobre o foco:

A imagem é imprópria.

5. Para o objeto entre o foco e o vértice:

A imagem é direita, maior e virtual.

Referencial de Gauss

Para que possamos determinar analiticamente as características da

imagem formada pelo espelho esférico, é necessária a adoção de um

sistema de eixos, em relação ao qual serão definidas as posições do

objeto e da imagem conjugada.

1. Origem: vértice do espelho;

2. Eixo das abscissas: direção do eixo principal e sentido contrário ao

da luz incidente;

3. Eixo das ordenadas: direção da perpendicular ao eixo principal e

sentido ascendente.

Em relação a esse sistema de coordenadas, objetos e imagens reais,

situando-se na “frente” do espelho, terão abscissas positivas.

As imagens virtuais, situando-se “atrás” do espelho, terão abscissas

negativas.

Começaremos a indicar por p e por p’, respectivamente, as

abscissas do objeto e da imagem.

Então temos:

Objeto real: p > 0

Imagem real: p’ > 0

Imagem virtual: p’ < 0

Assim, as abscissas f do foco F e R do centro de curvatura C

são sempre positivas para espelhos côncavos e negativas para espelhos

convexos.

Espelho côncavo: f > 0; R > 0

Espelho convexo: f < 0 ; R < 0

A abscissa f do foco F é denominada distância focal do

espelho.

Estudo Analítico

p = distância do objeto ao espelho

p’ = distância da imagem ao espelho

f = distância focal

2f = raio de curvatura

o = altura do objeto

i = altura da imagem

i e o possuem o mesmo sinal

quando a imagem é direita em

relação ao objeto, já que ambos

estão no mesmo no mesmo sentido.

i e o possuem sinais contrários

quando a imagem é invertida em

relação ao objeto, já que ambos

possuem sentidos opostos.

Equação dos Pontos Conjugados

É a equação que relaciona a abscissa do objeto (p), a abscissa da

imagem (p’) e a distância focal do espelho (f).

Aumento Linear Transversal

O aumento linear transversal é representado pela seguinte relação:

Daí, temos:

Quando A > 0: i e o têm mesmo sinal: imagem direita

p e p’ têm sinais opostos: sendo o objeto real (p > 0),

e imagem é virtual (p’ < 0)

Quando A < 0 : i e o têm sinais opostos: imagem invertida

p e p’ têm mesmo sinal: sendo o objeto real (p > 0), e

imagm é real (p’ > 0)

Em geral, quando desejamos ampliar a imagem, fazemos uso dos

espelhos côncavos, e quando desejamos diminuir a imagem, aumentando o

campo de visão, usamos espelhos convexos.

Os espelhos côncavos são utilizados, por exemplo, pelos dentistas

para observação, através de uma imagem ampliada e direita dos dentes.

São também utilizados na projeção de imagens ampliadas.

Os espelhos convexos são utilizados, por exemplo, em

supermercados, para que se obtenha uma imagem ampla do recinto; portas

de garagem, para que se obtenha uma visão geral da rua; e também como

retrovisor direito (o esquerdo é plano) dos automóveis, possibilitando uma

ótima visão das laterais e traseira do carro.

Referências RAMALHO, F.; NICOLAU, G.; TOLEDO, P. Os Fundamentos da

Física: Termologia, Óptica e Ondas. 6.ed. São Paulo: Moderna, 1993.

Sala de Física. Disponível em <http://br.geocities.

com/saladefisica8/optica/construcao.htm>

Acesso em 3 dez 2007.

Física na Veia. Disponível em <http://fisicamoderna.blog.uol.com.

br/arch2006-12-24_2006-12-30.html>

Acesso em 4 dez 2007.