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Estabilidade de Sistemas de Controle Digital Estabilidade de Sistemas de Controle Digital O conceito de estabilidade de sistemas j foi introduzido no curso de controle linear, portanto, agora iremos directamente s ferramentas matemticas teis para a determinao da estabilidade de Sistemas de Controle Digital. Definio: Um sistema possui a propriedade de estabilidade externa se toda sequncia de entrada limitada produz uma sequncia de sada limitada.

Esta a estabilidade BIBO (Bounded Input Bounded Output) Critrio BIBOUm sistema linear, discreto e invariante no tempo, com resposta impulsiva g(k) BIBO estvel se e somente se:

Exemplo

Determine se o sistema ou no estvel:

Para determinar g(k), utilizaremos a diviso longa:

Logo, a resposta impulsiva g(k) dada por:

Tem-se:

Portanto, o sistema instvel. Relaes entre o Plano S e o Plano ZNa primeira classe de sistemas discretos foi demonstrado que a transformada Z de um sinal amostrado a transformada de Laplace de uma seqncia discreta, com a substituio da varivel

Isto implica que todos os pontos no plano S tem seu ponto correspondente no plano Z.

Um ponto genrico no plano S dadoAtravs do mapeamento

no plano Z teremos o seguinte ponto:

Logo,

NO plano SNO plano Z

eixo imaginrio

NO plano S

parte esquerda do eixo imaginrio

NO plano Z

dentro do circulo de radio unidade

NO plano S

parte direita do eixo imaginrioNO plano Zfora do circulo de radio unidade

Resumindo

Um sistema estvel se asrazes da equao caractersticaesto na metade esquerda do plano SUm sistema estvel se as razes da equao caracterstica esto dentro do crculo de rdio unidade no plano ZUm sistema linear, discreto e invariante no tempo, com funode transferncia G(z) BIBO estvel se e somente se os plosde G(z) tm modulo menor do que 1. Teorema:Determine se o sistema abaixo estvel. Exemplo

Os plos de G(z) so as razes do denominador, ou seja:

Logo

Portanto, as razes tm mdulo menor que 1, logo o sistema BIBO estvel. (as razes esto dentro do circulo unitrio) Critrio de Jury A aplicao do teorema anterior em sistemas que possuem ordem maior que 2 torna-se difcil, uma vez que ser necessrio utilizar mtodos computacionais para se determinar todas as razes. O critrio de Jury estuda a estabilidade de sistemas discretos sem a necessidade de determinar os plos. 1 Passo: Para uma funo de transferncia

o polinmio caracterstico D(z). Genericamente teremos:

Construa a seguinte tabela

A linha 1 formada pelos coeficientes de D(z). As linhas pares so formadas pela inverso dos coeficientes da linha anterior As linhas impares so determinadas fazendo:

2 Passo: Aplique o critrio de Jury: O sistema estvel se e somente se

Se a tabela termina ou se ocorre diviso por zero, em o sistema instvel

Determine se a funo de transferncia abaixo representa um sistema estvel ou instvel. Exemplo