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Estatıstica (MAD231)
Turma: IGA
Perıodo: 2018/2
Aula #01 de Probabilidade: 28/09/2018
1
Probabilidade: como medir e gerenciar a
incerteza?
Introducao
Os jornais informaram que ha uma chance de
60% de chover no proximo fim de semana no
Rio. Talvez seja melhor programar um cinema
em vez de programar uma ida a praia.
O noticiario da TV informou que a partir do
inıcio de setembro havera uma mudanca no
transito do Rio devido as obras do novo acesso
ao Centro. Como eu passo pelo local da obra
diariamente, talvez seja melhor sair de casa
um pouco mais cedo para evitar grandes en-
garrafamentos decorrentes da nova mudanca
acarretando em atraso.
2
A nossa vida e cercada de incerteza: uma pe-
quena chance disso, uma grande chance daqui-
lo, etc.
Os conceitos de probabilidade, esperanca (valor
esperado), retorno e possibilidade nao sao ape-
nas para jogadores, sao ferramentas praticas
que podemos usar para avaliar riscos, determi-
nar opcoes preferidas e avaliar potenciais im-
pactos de certas decisoes.
3
PROBABILIDADE
Ja vimos como analisar um conjunto de dados
por meio de tecnicas graficas e numericas.
O resultado da analise nos permite ter uma boa
ideia da distribuicao desse conjunto de dados,
em outras palavras, de propriedades estruturais
de comportamento desses dados.
Em particular, a distribuicao de frequencias
e um instrumento importante para avaliar a
variabilidade das observacoes de um fenomeno
aleatorio.
As frequencias relativas observadas podem ser
olhadas como estimativas de probabilidades.
4
Com suposicoes adequadas e a partir da ob-
servacao do fenomeno aleatorio de interesse,
podemos propor um modelo teorico que re-
produza de maneira razoavel a distribuicao de
frequencias.
Modelos Probabilısticos
Tais modelos devem
1. identificar o conjunto de resultados possı-
veis do fenomeno aleatorio, que costumamos
chamar de espaco amostral, em geral de-
notado por Ω e
2. designar chances de ocorrrencia - probabi-
lidades - aos resultados possıveis.
5
O conceito de probabilidade nos auxilia na
quantificacao da incerteza associada aos feno-
menos aleatorios, ou seja aos fenomenos cujos
resultados nao sao conhecidos previamente a
sua realizacao.
Na primeira aula de hoje
- discutiremos conceitos relacionados a incerteza,
- apresentaremos uma definicao matematica
de probabilidade e,
- estudaremos algumas propriedades fundamen-
tais no calculo de probabilidades, por exemplo,
como calcular probabilidades de eventos com-
postos: eventos que resultam da operacao en-
tre eventos (uniao, intersecao, etc.)
6
Chamamos evento a qualquer subconjunto doespaco amostral (Ω - conjunto que compreendetodos os resultados possıveis). Os eventos saogeralmente denotados por letras maiusculas A,B, etc.
Escrevemos A ⊂ Ω para dizer que o evento A
e um subconjunto do espaco amostral Ω.
Evento impossıvel: e o conjunto vazio (∅).Esse evento nunca ocorrera.
Evento certo: e o espaco amostral (Ω). Esseevento sempre ocorre.
Para o evento impossıvel designamos uma pro-babilidade nula e para o evento certo desig-namos uma probabilidade igual a 1.
Vamos comecar a discussao com um exem-plo classico: o lancamento de uma moeda.Tem-se dois resultados possıveis: cara ou coroa.Mas, nao sabemos qual deles ira ocorrer.
7
A probabilidade, de obter cara pode ser pen-sada como a mesma de obter coroa, se a moedafor balanceada e, desse modo podemos atribuirprobabilidades iguais a 1
2(= 0,5) a cada re-sultado possıvel. Interpretacao classica daprobabilidade.
Por outro lado podemos desconfiar da hones-tidade da moeda. Uma maneira de designar aprobabilidade de cara e, por exemplo, realizarum grande numero de repeticoes do lancamen-to da moeda e ir atualizando a frequencia re-lativa de ocorrencia do numero de caras. De-pois de muitas realizacoes, podemos atribuira probabilidade de “ocorrer cara” a frequenciarelativa final. Interpretacao frequentista daprobabilidade.
Veja nos graficos a seguir simulacoes desseexperimento com 100 lancamentos e 10 millancamentos da moeda. O grafico vai atua-lizando a frequencia relativa da ocorrencia decara a medida que a moeda e lancada.
8
9
10
Interpretacoes da probabilidade
1) Classica.
Baseia-se em espacos amostrais finitos e equi-provaveis.
Problemas com esta interpretacao:
Nem todos os espacos amostrais sao finitos.
Ha espacos amostrais finitos que nao sao equi-provaveis.
Baseia-se na ideia de probabilidade (equipro-vavel) para definir probabilidade.
Essa interpretacao no entanto e muito util emdeterminados experimentos aleatorios tais co-mo lancamentos de moedas equilibradas, lanca-mento de dados equilibrados, o sorteio de umacarta de baralho, etc.
11
Exemplo: Voce esta pensando em apostar no
numero 13 no proximo giro de roleta. Qual e
a probabilidade de que voce perca?
Solucao:
Uma roleta tem 38 fendas, das quais somente
uma tem o numero 13. A roleta e construıda
de tal modo que as 38 fendas sejam igualmente
provaveis. Dentre as 38 fendas, ha 37 que
resultam em uma perda. Logo, a probabili-
dade de perder nesse caso e, sendo A o evento
“perder”
P (A) =37
38
12
2) Frequentista
Para avaliar a probabilidade de um determi-
nado evento de interesse, o experimento e real-
izado um grande numero de vezes, sob as mes-
mas condicoes. A cada realizacao vamos cal-
culando a frequencia relativa de ocorrencia do
evento A em relacao ao numero de repeticoes,
como fizemos no exemplo anterior “Cara ou
Coroa?”. Associamos como a probabilidade do
evento A, a frequencia relativa de ocorrencia
do evento A apos muitas repeticoes.
No exemplo “Cara ou Coroa?”, o grafico com
as frequencias relativas ao longo das repeticoes
indica que a frequencia relativa de ocorrencia
de cara tende para o valor 0,5, de modo que a
probabilidade de ocorrer cara, sob essa inter-
pretacao, sera 0,5.
13
Problemas com a interpretacao frequentista:
Nao define com clareza o que e um grandenumero de vezes, nem o que significa “sob asmesmas condicoes”.
Nem todo fenomeno aleatorio pode ser obser-vado mais de uma vez.
Exemplo: Calcule a probabilidade de que umapessoa adulta escolhida ao acaso tenha voadoem um aviao comercial.
Uma solucao:
O espaco amostral, considerando a observacaode cada adulto, pode ser olhado como binariocom os resultados “sucesso” e “fracasso” emque sucesso representa que a pessoa voou emaviao comercial e fracasso que nao voou. Ob-serve que esses eventos nao sao necessaria-mente igualmente provaveis.
14
Aqui podemos usar a interpretacao frequen-
tista baseando-nos em alguma pesquisa.
Suponha que uma pesquisa observou que en-
tre 900 adultos escolhidos ao acaso, 750 con-
firmaram ter voado em aviao comercial. Nesse
caso, nossa resposta, baseada na frequencia
relativa, para o evento A: “ter voado em aviao
comercial” e
750
900' 0,833.
Assim, atribuımos 0,833 como a probabilidade
de que uma pessoa adulta escolhida ao acaso
tenha voado em um aviao comercial.
A interpretacao frequentista de probabilidade
e usada na Inferencia Estatıstica Classica cu-
jas conclusoes sao baseadas a partir dos dados
observados.
3) Subjetiva. O indivıduo, baseado na sua ex-
periencia e outras informacoes a respeito do
evento em questao, faz uma designacao para
a probabilidade desse evento.
O ingrediente basico quando se designam pro-
babilidades e coerencia. Se um indivıduo jul-
gar que um evento A e mais provavel que o
seu complementar, entao ele devera designar
a esse evento uma probabilidade maior do que
50% ao evento A.
Problemas com essa interpretacao: Pesquisa-
dores diferentes podem designar probabilidades
diferentes para um mesmo evento.
15
A Inferencia Bayesiana toma como uma de
suas bases o fato de que todas as probabili-
dades sao subjetivas.
Exemplo: Qual e a probabilidade de que seu
carro seja atingido por um meteorito em ou-
tubro de 2018?
Uma solucao:
Na ausencia de dados historicos sobre meteo-
ritos colidindo com carros, nao podemos usar
a interpretacao frequentista. Observe que ha
dois resultados possıveis nesse problema:
colidir,nao colidir,
mas eles nao sao igualmente provaveis de modo
que nao podemos usar a interpretacao classica
de probabilidade.
16
Observe que nesse exemplo podemos fazer uso
da interpretacao subjetiva.
Sabemos que a probabilidade em questao e
muito pequena. Nao existem registros da ocorr en-
cia desse tipo de evento em toda a era crista,
de modo que, uma estimativa razoavel, se-
ria, considerando aproximadamente o triplo da
quantidade de anos passados (6000):
1
6000
Esta estimativa subjetiva esta baseada em nosso
conhecimento sobre esse evento: acreditamos
que esse evento e altamente improvavel.
17
18
Definicao Axiomatica da Probabilidade
A Axiomatizacao da Probabilidade e devida aomatematico russo Kolmogorov e ocorreu noinıcio do Seculo XX.
Independentemente da interpretacao de pro-babilidade adotada, a probabilidade e uma fun-cao P (.) que mede chances de eventos. Afuncao probabilidade esta definida na colecaode eventos e assume valores entre 0 e 1, sa-tisfazendo os seguintes axiomas:
A1 : P (A) ≥ 0 para todo evento A na colecaode eventos. A probabilidade de um eventoqualquer e sempre um numero nao-negativo.
A2 : P (Ω) = 1. A probabilidade do eventocerto e igual a 1.
A3 : Se A ∩B = ∅, entao P (A ∪B) = P (A) + P (B).
Se os eventos A e B sao disjuntos, entao a probabilidadeda uniao dos dois (de pelo menos um deles ocorrer) e asoma de suas probabilidades.
19
Propriedades da probabilidade
A partir dos axiomas, diversas propriedades daprobabilidade podem ser deduzidas.
P1 : P (∅) = 0
P2 : Se A ⊂ B, entao P (A) ≤ P (B).
P3 : 0 ≤ P (A) ≤ 1, para todo evento A.
P4 : Propriedade do evento complementar deA: Ac
Ac = Ω \A = ω ∈ Ω|ω 6∈ A
P (Ac) = 1− P (A)
20
Eventos Uniao e Intersecao de dois eventos
Considere um experimento aleatorio e sejam
A e B dois eventos associados a esse experi-
mento.
O evento uniao de A e B, denotado por
A ∪ B, corresponde ao evento “ocorrencia de
pelo menos um dos dois A ou B”
O evento intersecao de A e B, denotado por
A ∩ B, corresponde ao evento “ocorrencia si-
multanea de A e B”.
21
Esses dois eventos, chamados de eventos com-
postos, pois sao obtidos por meio de operacoes
entre dois ou mais eventos, sao diferentes. En-
quanto o evento uniao de A e B representa a
ocorrencia de pelo menos um, o que significa
que podera ter ocorrido somente A, somente
B ou os dois simultaneamente; o evento in-
tersecao corresponde a ocorrencia dos dois si-
multaneamente.
Observe que como A ∩B ⊂ A ∪B segue que
P (A ∩B) ≤ P (A ∪B).
A igualdade e possıvel? Sob que condicao?
22
Veremos a seguir uma propriedade util para
calcular a probabilidade da uniao de dois even-
tos.
P5 : P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B).
Um caso particular ocorre quando A ∩ B = ∅,pois nesse caso P (A ∩B) = 0 e
P (A ∪B) = P (A) + P (B) Axioma 3
Mas lembre-se que essa ultima equacao so vale
se a intersecao entre os eventos A e B for
vazia.
23
Exercıcios recomendados ate agora do Capıtulo
5: 1 ao 14.
24
Estatıstica (MAD231)
Turma: IGA
Perıodo: 2018/2
Aula Teorica #02 de Probabilidade: 28/09/2018
25
Serao trabalhados nessa segunda aula de 28/09/2018:
- o conceito de probabilidade condicional,
- a regra da multiplicacao, resultante da de-
finicao de probabilidade condicional,
- uma ferramenta simples, a arvore de pro-
babilidade, muito util para resolver problemas
de calculo de probabilidades de eventos com-
postos,
- o conceito de eventos independentes e
- o Teorema de Bayes, que pode ser chamado
de uma formula de atualizacao de probabili-
dades, no contexto da Inferencia Bayesiana.
26
Probabilidade Condicional
Suponha que num dado problema de mode-
lagem probabilıstica, embora voce nao conheca
o resultado do fenomeno sob estudo, seja pos-
sıvel ter informacoes acerca do resultado. Por
exemplo, ao lancar um dado, embora o valor
da face obtida seja desconhecido, voce receba
a informacao de que esse valor e um numero
ımpar.
Como ficam as probabilidades associadas a um
evento de interesse nesse caso? Suponha por
exemplo que o evento de interesse seja obter
face “6”.
Dado que nos temos informacoes sobre o re-
sultado faz sentido atualizarmos as nossas in-
certezas a cerca do evento de interesse.
27
Probabilidade Condicional: Definicao
A probabilidade condicional de ocorrer um e-
vento A, dado que sabemos que ocorreu um
evento B, P (B) > 0 e definida por
P (A|B) =P (A ∩B)
P (B).
Essa definicao e util para designar uma forma
de obter probabilidades de eventos intersecao
de dois eventos, a saber,
P (A ∩B) = P (A|B)× P (B)
→ regra da multiplicacao ←
28
Exemplo 1: Num grupo de 20 funcionariosde um departamento, 15 votam no candidatoa diretor “A” e 5 votam no outro candidato,“B”. Duas pessoas desse departamento seraosorteadas ao acaso, e sem reposicao, de modoa formar uma comissao de representantes dodepartamento. Pede-se calcular a probabil-idade de que ambos votem no mesmo can-didato.
Solucao: Vamos chamar de evento Ai o evento‘oa i-esimo funcionario sorteado vota no can-didato A”, i = 1,2, pois sao apenas dois sorteios.
O evento desejado, vamos chamar de eventoE, ambos votam no mesmo candidato, e umevento composto:
E = (A1 ∩A2)︸ ︷︷ ︸ambos em A
ou︷︸︸︷∪ (Ac
1 ∩Ac2)︸ ︷︷ ︸
ambos em B
29
Como A1 ∩ A2 e Ac1 ∩ Ac
2 sao disjuntos, segue
que P (E) = P (A1 ∩A2) + P (Ac1 ∩Ac
2).
Usando a regra da multiplicacao temos
P (A1 ∩A2) =
= P (A1)︸ ︷︷ ︸prob. prim. votar em A
×prob. seg. votar em A se prim. vota em A︷ ︸︸ ︷
P (A2|A1)
=15
20×
14
19=
21
38
Observe que P (A2|A1) = 1419, pois dado que ja
foi sorteada um que vota em A, restam 14 que
votam em A num total de 19 pessoas.
P (Ac1∩A
c2) = P (Ac
1)×P (Ac2|A
c1) =
5
20×
4
19=
2
38
30
Observe que P (Ac2|A
c1) = 4
19, pois dado que ja
foi sorteado um que vota em B, restam 4 que
votam em B num total de 19 pessoas.
Logo,
P (E) =21
38+
2
38=
23
38' 0,605
Arvore de Probabilidades
31
Observe que no exemplo anterior os sorteios
foram realizados sem reposicao de tal modo
que ao sortearmos a segunda pessoa o uni-
verso passou a ser de 19 funcionarios, pois o
primeiro funcionario sorteado nao estava entre
as possibilidades do segundo sorteio.
Como fica a solucao do mesmo problema se
agora o sorteio e feito com reposicao?
Suponha agora que existem dois premios a se-
rem distribuıdos ao acaso e sem restricoes de
tal maneira que o primeiro sorteado tambem
possa receber o segundo premio.
Calcule a probabilidade de que os premios te-
nham sido recebidos por pessoas que votam
no mesmo candidato: apenas funcionarios que
votam em A foram premiados ou apenas fun-
cionarios que votam em B foram premiados.
32
Arvore de Probabilidades
1520 = 3
4 e 520 = 1
4.
P (E) =(
3
4
)2+(
1
4
)2=
5
8= 0,625
Podemos ver que as respostas sao ligeiramente diferentes. Umresultado util e que quando o tamanho da populacao amostradatende a ser muito maior que o tamanho da amostra, as diferencasnas probabilidades resultantes passam a ser desprezıveis tal que asprobabilidaddes no sorteio sem reposicao podem ser aproximadaspelas probabilidades, mais simples, do sorteio com reposicao.
33
Eventos independentes
Dizemos que os eventos A e B sao indepen-
dentes, se a ocorrencia de um deles, por exem-
plo de B, nao interfere no nosso conhecimento
sobre a incerteza do outro (nesse caso A).
A e B sao eventos independentes se
P (A|B) = P (A).
Nesse caso, observe que vale a seguinte pro-
priedade
P (A ∩B) = P (A)× P (B),
para A e B eventos independentes.
Cuidado: essa ultima expressao nao e uma re-
gra geral. E uma propriedade que vale para
eventos independentes.
34
Voltando ao exemplo anterior observe que os
eventos A1 e A2 nao sao independentes no caso
do sorteio sem reposicao, pois
P (A1 ∩A2) 6= P (A1)P (A2).
De fato, P (A1 ∩A2) = 2138 e
P (A1) = P (A2) = 1520 tal que P (A1)P (A2) = 9
16
No entanto, no caso do sorteio com reposicao,
podemos verificar que os eventos A1 e A2 sao
independentes, pois vale
P (A1 ∩A2)︸ ︷︷ ︸9
16
= P (A1)︸ ︷︷ ︸34
P (A2)︸ ︷︷ ︸34
.
35
Um propriedade importante para eventos inde-
pendentes e a seguinte.
Se A e B sao eventos independentes, entao,
1. A e Bc sao eventos independentes;
2. Ac e B sao eventos independentes;
3. Ac e Bc sao eventos independentes.
36
Eventos independentes versus Eventos disjun-
tos
Cuidado: E comum ocorrer confusao com o
que chamamos em probabilidade de eventos
independentes com eventos disjuntos.
Sao situacoes bem diferentes.
Se dois eventos A e B sao disjuntos com
P (A) > 0 e P (B) > 0, entao A e B NAO po-
dem ser independentes!
Por que?
Lembre: dois eventos sao independentes em
probabilidade se a ocorrencia de um nao inter-
fere na probabilidade de ocorrencia do outro.
37
Lei dos Grandes Numeros (Bernoulli-seculo XVIII)
A medida que um experimento e repetido mui-tas vezes, a probabilidade dada pela frequenciarelativa de um evento tende a se aproximar daverdadeira probabilidade desse evento.
A lei dos grandes numeros nos diz que as esti-mativas de probabilidades dadas pelas frequen-cias relativas tendem a ficar melhores com maisobservacoes: uma estimativa de probabilidadebaseada em poucas tentativas pode estar bemafastada do verdadeiro valor da probabilidade,mas com um numero maior de tentativas, aestimativa tende a ser mais precisa.
Uma pesquisa de opiniao sobre a preferencia pela marcaX de sabao em po com apenas 12 donas de casa esco-lhidas ao acaso pode facilmente resultar em estimativasmuito afastadas da verdadeira proporcao de donas decasa que preferem a marca X. No entanto, se entrevis-tarmos 1200 donas de casa escolhidas ao acaso, nossaestimativa devera estar mais proxima da verdadeira pro-porcao. Veremos adiante como dimensionar o tamanhoda amostra, especificando margem de erro aceitavel enıvel de confianca.
38
Teorema de Bayes
Da definicao de probabilidade condicional, temos
que P (A|B) = P (A∩B)P (B) .
Da regra da multiplicacao, podemos escrever
P (A ∩B) = P (A).P (B|A).
Assim, juntando essas duas relacoes, temos
uma versao simplificada do Teorema de Bayes,
a saber,
P (A|B) =P (A).P (B|A)
P (B)
39
Particao do Espaco Amostral
E uma colecao de eventos A1, A2, ..., An tais
que
Ai ∩Aj = ∅ (vazio) sempre que i 6= j e
A1 ∪A2 ∪ ... ∪An = Ω
40
Considere uma particao A1, A2, ..., An de Ω e
seja B um evento qualquer B ⊂ Ω.
Observe que podemos escrever
B = (A1 ∩B) ∪ (A2 ∩B) ∪ ... ∪ (An ∩B)
e
P (B) = P (A1)P (B|A1)+P (A2)P (B|A2)+...+P (An)P (B|An)
41
Teorema de Bayes
Sejam A1, A2, ..., An particao de Ω e B ⊂ Ω.
Entao
P (Ak|B) =
P (Ak∩B)︷ ︸︸ ︷P (Ak).P (B|Ak)n∑
i=1
P (Ai).P (B|Ai)︸ ︷︷ ︸P (B)
k = 1,2, ...n
42
Exemplo 2: Para selecionar seus funcionarios,
uma empresa oferece aos seus candidatos um
curso de treinamento durante uma semana.
No final do curso, eles sao submetidos a uma
prova e
25% sao classificados como bons (B),
50% como medios (M) e,
os restantes 25% como fracos (F ).
Para facilitar a selecao, a empresa pretende
substituir o treinamento por um teste contendo
questoes referentes a conhecimentos gerais e
especıficos. Para isso, gostaria de conhecer
qual a probabilidade de um indivıduo aprovado
no teste ser considerado fraco, caso fizesse o
curso.
43
Assim, neste ano, antes do inıcio do curso,
os candidatos foram submetidos ao teste e re-
ceberam o conceito A (aprovado) ou R (re-
provado).
No final do curso obtiveram-se as seguintes
probabilidades condicionais:
P (A|B) = 0,80
P (A|M) = 0,50
P (A|F ) = 0,20
Deseja-se calcular a probabilidade do candidato
ser classificado como fraco, dado que foi apro-
vado no teste, a saber, P (F |A).
Observe que o ideal e que essa probabilidade
seja pequena, pois caso contrario a mudanca
nao sera boa.44
Observe que B, M e F formam uma particao
do espaco amostral com
P (B) = 0,25, P (M) = 0,50 e P (F ) = 0,25.
Usando a formula de Bayes temos
P (F |A) =P (F ).P (A|F )
P (B).P (A|B) + P (M).P (A|M) + P (F ).P (A|F )
=0,25× 0,20
0,25× 0,80 + 0,50× 0,50 + 0,25× 0,20= 0,10
Portanto, apenas 10% dos aprovados e que seriam clas-sificados como fracos durante o curso.
45
Podemos tambem calcular P (B|A) = 0,40 e
P (M |A) = 0,50.
Essas probabilidades revisadas podem fornecer
subsıdios para ajudar na decisao de substituir
o treinamento pelo teste.
Observe que nesse particular exemplo, vemos
que a probabilidade condicional de ser clas-
sificado como medio dado que foi aprovado
no teste e a mesma de ser classificado como
medio se nao aplicarmos o teste. No entanto,
tambem vemos que a probabilidade de ser clas-
sificado como bom dado que foi aprovado no
teste (0,40) e maior do que a probabilidade de
ser classificado como bom sem o teste (0,25).
46
Exercıcios sugeridos do capıtulo 5 (lista atual-
izada):
1 a 18, 21, 23, 24, 26 a 40.
47
48
Estatıstica (MAD231)
Turma: IGA
Perıodo: 2017/2
Aula Teorica #02 de Probabilidade: 02/10/2017
49
Na aula de hoje veremos
- o conceito de probabilidade condicional,
- a regra da multiplicacao, resultante da de-
finicao de probabilidade condicional,
- uma ferramenta simples, a arvore de pro-
babilidade, muito util para resolver problemas
de calculo de probabilidades de eventos com-
postos,
- o conceito de eventos independentes e
- o Teorema de Bayes, que pode ser chamado
de uma formula de atualizacao de probabili-
dades, no contexto da Inferencia Bayesiana.
50
Probabilidade Condicional
Suponha que num dado problema de mode-
lagem probabilıstica, embora voce nao conheca
o resultado do fenomeno sob estudo, seja pos-
sıvel ter informacoes acerca do resultado. Por
exemplo, ao lancar um dado, embora o valor
da face obtida seja desconhecido, voce receba
a informacao de que esse valor e um numero
ımpar.
Como ficam as probabilidades associadas a um
evento de interesse nesse caso? Suponha por
exemplo que o evento de interesse seja obter
face “6”.
Dado que nos temos informacoes sobre o re-
sultado faz sentido atualizarmos as nossas in-
certezas a cerca do evento de interesse.
51
Probabilidade Condicional: Definicao
A probabilidade condicional de ocorrer um e-
vento A, dado que sabemos que ocorreu um
evento B, P (B) > 0 e definida por
P (A|B) =P (A ∩B)
P (B).
Essa definicao e util para designar uma forma
de obter probabilidades de eventos intersecao
de dois eventos, a saber,
P (A ∩B) = P (A|B)× P (B)
→ regra da multiplicacao ←
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Exemplo 1: Num grupo de 20 funcionariosde um departamento, 15 votam no candidatoa diretor “A” e 5 votam no outro candidato,“B”. Duas pessoas desse departamento seraosorteadas ao acaso, e sem reposicao, de modoa formar uma comissao de representantes dodepartamento. Pede-se calcular a probabil-idade de que ambos votem no mesmo can-didato.
Solucao: Vamos chamar de evento Ai o evento‘oa i-esimo funcionario sorteado vota no can-didato A”, i = 1,2, pois sao apenas dois sorteios.
O evento desejado, vamos chamar de eventoE, ambos votam no mesmo candidato, e umevento composto:
E = (A1 ∩A2)︸ ︷︷ ︸ambos em A
ou︷︸︸︷∪ (Ac
1 ∩Ac2)︸ ︷︷ ︸
ambos em B
53
Como A1 ∩ A2 e Ac1 ∩ Ac
2 sao disjuntos, segue
que P (E) = P (A1 ∩A2) + P (Ac1 ∩Ac
2).
Usando a regra da multiplicacao temos
P (A1 ∩A2) =
= P (A1)︸ ︷︷ ︸prob. prim. votar em A
×prob. seg. votar em A se prim. vota em A︷ ︸︸ ︷
P (A2|A1)
=15
20×
14
19=
21
38
Observe que P (A2|A1) = 1419, pois dado que ja
foi sorteada um que vota em A, restam 14 que
votam em A num total de 19 pessoas.
P (Ac1∩A
c2) = P (Ac
1)×P (Ac2|A
c1) =
5
20×
4
19=
2
38
54
Observe que P (Ac2|A
c1) = 4
19, pois dado que ja
foi sorteado um que vota em B, restam 4 que
votam em B num total de 19 pessoas.
Logo,
P (E) =21
38+
2
38=
23
38' 0,605
Arvore de Probabilidades
55
Observe que no exemplo anterior os sorteios
foram realizados sem reposicao de tal modo
que ao sortearmos a segunda pessoa o uni-
verso passou a ser de 19 funcionarios, pois o
primeiro funcionario sorteado nao estava entre
as possibilidades do segundo sorteio.
Como fica a solucao do mesmo problema se
agora o sorteio e feito com reposicao?
Suponha agora que existem dois premios a se-
rem distribuıdos ao acaso e sem restricoes de
tal maneira que o primeiro sorteado tambem
possa receber o segundo premio.
Calcule a probabilidade de que os premios te-
nham sido recebidos por pessoas que votam
no mesmo candidato: apenas funcionarios que
votam em A foram premiados ou apenas fun-
cionarios que votam em B foram premiados.
56
Arvore de Probabilidades
1520 = 3
4 e 520 = 1
4.
P (E) =(
3
4
)2+(
1
4
)2=
5
8= 0,625
Podemos ver que as respostas sao ligeiramente diferentes. Umresultado util e que quando o tamanho da populacao amostradatende a ser muito maior que o tamanho da amostra, as diferencasnas probabilidades resultantes passam a ser desprezıveis tal que asprobabilidaddes no sorteio sem reposicao podem ser aproximadaspelas probabilidades, mais simples, do sorteio com reposicao.
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Eventos independentes
Dizemos que os eventos A e B sao indepen-
dentes, se a ocorrencia de um deles, por exem-
plo de B, nao interfere no nosso conhecimento
sobre a incerteza do outro (nesse caso A).
A e B sao eventos independentes se
P (A|B) = P (A).
Nesse caso, observe que vale a seguinte pro-
priedade
P (A ∩B) = P (A)× P (B),
para A e B eventos independentes.
Cuidado: essa ultima expressao nao e uma re-
gra geral. E uma propriedade que vale para
eventos independentes.
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Voltando ao exemplo anterior observe que os
eventos A1 e A2 nao sao independentes no caso
do sorteio sem reposicao, pois
P (A1 ∩A2) 6= P (A1)P (A2).
De fato, P (A1 ∩A2) = 2138 e
P (A1) = P (A2) = 1520 tal que P (A1)P (A2) = 9
16
No entanto, no caso do sorteio com reposicao,
podemos verificar que os eventos A1 e A2 sao
independentes, pois vale
P (A1 ∩A2)︸ ︷︷ ︸9
16
= P (A1)︸ ︷︷ ︸34
P (A2)︸ ︷︷ ︸34
.
59
Um propriedade importante para eventos inde-
pendentes e a seguinte.
Se A e B sao eventos independentes, entao,
1. A e Bc sao eventos independentes;
2. Ac e B sao eventos independentes;
3. Ac e Bc sao eventos independentes.
60
Eventos independentes versus Eventos disjun-
tos
Cuidado: E comum ocorrer confusao com o
que chamamos em probabilidade de eventos
independentes com eventos disjuntos.
Sao situacoes bem diferentes.
Se dois eventos A e B sao disjuntos com
P (A) > 0 e P (B) > 0, entao A e B NAO po-
dem ser independentes!
Por que?
Lembre: dois eventos sao independentes em
probabilidade se a ocorrencia de um nao inter-
fere na probabilidade de ocorrencia do outro.
61
Lei dos Grandes Numeros (Bernoulli-seculo XVIII)
A medida que um experimento e repetido mui-tas vezes, a probabilidade dada pela frequenciarelativa de um evento tende a se aproximar daverdadeira probabilidade desse evento.
A lei dos grandes numeros nos diz que as esti-mativas de probabilidades dadas pelas frequen-cias relativas tendem a ficar melhores com maisobservacoes: uma estimativa de probabilidadebaseada em poucas tentativas pode estar bemafastada do verdadeiro valor da probabilidade,mas com um numero maior de tentativas, aestimativa tende a ser mais precisa.
Uma pesquisa de opiniao sobre a preferencia pela marcaX de sabao em po com apenas 12 donas de casa esco-lhidas ao acaso pode facilmente resultar em estimativasmuito afastadas da verdadeira proporcao de donas decasa que preferem a marca X. No entanto, se entrevis-tarmos 1200 donas de casa escolhidas ao acaso, nossaestimativa devera estar mais proxima da verdadeira pro-porcao. Veremos adiante como dimensionar o tamanhoda amostra, especificando margem de erro aceitavel enıvel de confianca.
62
Teorema de Bayes
Da definicao de probabilidade condicional, temos
que P (A|B) = P (A∩B)P (B) .
Da regra da multiplicacao, podemos escrever
P (A ∩B) = P (A).P (B|A).
Assim, juntando essas duas relacoes, temos
uma versao simplificada do Teorema de Bayes,
a saber,
P (A|B) =P (A).P (B|A)
P (B)
63
Particao do Espaco Amostral
E uma colecao de eventos A1, A2, ..., An tais
que
Ai ∩Aj = ∅ (vazio) sempre que i 6= j e
A1 ∪A2 ∪ ... ∪An = Ω
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Considere uma particao A1, A2, ..., An de Ω e
seja B um evento qualquer B ⊂ Ω.
Observe que podemos escrever
B = (A1 ∩B) ∪ (A2 ∩B) ∪ ... ∪ (An ∩B)
e
P (B) = P (A1)P (B|A1)+P (A2)P (B|A2)+...+P (An)P (B|An)
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Teorema de Bayes
Sejam A1, A2, ..., An particao de Ω e B ⊂ Ω.
Entao
P (Ak|B) =
P (Ak∩B)︷ ︸︸ ︷P (Ak).P (B|Ak)n∑
i=1
P (Ai).P (B|Ai)︸ ︷︷ ︸P (B)
k = 1,2, ...n
66
Exemplo 2: Para selecionar seus funcionarios,
uma empresa oferece aos seus candidatos um
curso de treinamento durante uma semana.
No final do curso, eles sao submetidos a uma
prova e
25% sao classificados como bons (B),
50% como medios (M) e,
os restantes 25% como fracos (F ).
Para facilitar a selecao, a empresa pretende
substituir o treinamento por um teste contendo
questoes referentes a conhecimentos gerais e
especıficos. Para isso, gostaria de conhecer
qual a probabilidade de um indivıduo aprovado
no teste ser considerado fraco, caso fizesse o
curso.
67
Assim, neste ano, antes do inıcio do curso,
os candidatos foram submetidos ao teste e re-
ceberam o conceito A (aprovado) ou R (re-
provado).
No final do curso obtiveram-se as seguintes
probabilidades condicionais:
P (A|B) = 0,80
P (A|M) = 0,50
P (A|F ) = 0,20
Deseja-se calcular a probabilidade do candidato
ser classificado como fraco, dado que foi apro-
vado no teste, a saber, P (F |A).
Observe que o ideal e que essa probabilidade
seja pequena, pois caso contrario a mudanca
nao sera boa.68
Observe que B, M e F formam uma particao
do espaco amostral com
P (B) = 0,25, P (M) = 0,50 e P (F ) = 0,25.
Usando a formula de Bayes temos
P (F |A) =P (F ).P (A|F )
P (B).P (A|B) + P (M).P (A|M) + P (F ).P (A|F )
=0,25× 0,20
0,25× 0,80 + 0,50× 0,50 + 0,25× 0,20= 0,10
Portanto, apenas 10% dos aprovados e que seriam clas-sificados como fracos durante o curso.
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Podemos tambem calcular P (B|A) = 0,40 e
P (M |A) = 0,50.
Essas probabilidades revisadas podem fornecer
subsıdios para ajudar na decisao de substituir
o treinamento pelo teste.
Observe que nesse particular exemplo, vemos
que a probabilidade condicional de ser clas-
sificado como medio dado que foi aprovado
no teste e a mesma de ser classificado como
medio se nao aplicarmos o teste. No entanto,
tambem vemos que a probabilidade de ser clas-
sificado como bom dado que foi aprovado no
teste (0,40) e maior do que a probabilidade de
ser classificado como bom sem o teste (0,25).
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Exercıcios sugeridos do capıtulo 5 (lista atua-
lizada):
1 a 18, 21, 23, 24, 26 a 40.
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