1CAPTULO 1 PROBABILIDADE 1.1 Conceito O conceito de probabilidade est sempre presente em nosso dia a dia: qual a probabilidade de que o meu time seja campeo? Qual a probabilidade de que eu passe naquela disciplina? Qual a probabilidade de que eu ganhe na loteria? Probabilidadeumaespciedemedidaassociadaaumevento.Nocasoespecficoda primeiraperguntadopargrafoanterioroeventoemquestomeutimesercampeo.Seeste evento impossvel de ocorrer, dizemos que a sua probabilidade zero. Se, entretanto, ele ocorrer com certeza, a sua probabilidade igual a um (ou cem por cento). Chamando este evento simplesmente de A, ento dizemos que: Se A impossvel de ocorrer, ento P(A) = 0. Se A ocorre com certeza, ento P(A) = 1. OndeaexpressoP(A)lidacomoprobabilidadedeAocorrer,ousimplesmente probabilidade de A. Aprobabilidadedeumevento A qualquer podeser definida, de umamaneira simplificada1 como: P(A) = ocorrem eventos os todos que em vezes de nmeroocorre Aque em vezes de nmero Estadefiniodesseservistacomressalvas:nosetratadonmerodevezesquedefato ocorreriamemumexperimento,massuaproporoterica.Assim,sejogssemosumamoeda comum trs vezes e nas trs ela desse cara, isto no significa que a probabilidade de dar cara igual a 1, o que nos levaria a concluir que com certeza esta moeda dar cara sempre, o que um absurdo. Oconjuntodetodososeventospossveisdesteexperimento(conjuntoestequechamamos de espao amostral) composto de dois possveis resultados: cara ou coroa. Considerando que estes dois eventos tm a mesma chance de ocorrer (o que vale dizer que a moeda no est viciada), teremos: P(cara) = ocorrem eventos os todos que em vezes de nmerocara" " ocorre que em vezes de nmero = 21 = 0,5 Todososeventos,nestecaso,sodois:caraoucoroa.Destesdois,umdeleso evento em questo (cara). Portanto a probabilidade de dar cara igual a 0,5 (ou 50%). E, de maneira idntica, temos para o evento coroa: P(coroa) = ocorrem eventos os todos que em vezes de nmerocoroa" " ocorre que em vezes de nmero = 21 = 0,5 1 No apndice 1.B deste captulo dada uma definio formal de probabilidade. 2Repare que a soma das duas probabilidades igual a 1. E tinha que ser mesmo. A soma das probabilidades (neste caso especfico) representa a probabilidade do evento dar cara ou coroa, ou generalizando ocorrer qualquer evento possvel, que algo que ocorrer com certeza. Se mudarmos o jogo, de cara ou coroa para dados, se jogarmos o dado uma nica vez, temos seispossibilidades,quecorrespondemaosnmerosinteirosde1a6.Aprobabilidadedecairum nmero qualquer (digamos, o 3) ser dada por: P(cair 3) = ocorrem eventos os todos que em vezes de nmero"3" ocorre que em vezes de nmero= 61 Umaoutramaneiradeencontrarmosestasprobabilidadesseriasefizssemosum experimento(porexemplo,jogaramoeda)umnmeromuitograndedevezes(naverdade, deveriamserinfinitasvezes)eencontrssemosaproporo entre caras e coroas. Esteexperimento foi feito2 e os resultados so mostrados na tabela abaixo: no de jogadasno de carasno de coroasproporo de carasproporo de coroas 10640,60000,4000 10047530,47000,5300 10005094010,50900,4010 10000495750430,49570,5043 2500012486125140,49940,5006 Oexperimentoevidenciaque,medidaqueonmerodejogadasaumenta,aproporode caras e de coroas se aproxima do valor 0,5. Chamandodenonmerodevezesqueoexperimentofeito,umamaneiradedefinir probabilidade : P(A) =limn nocorre Aque em vezes de nmero Quechamadadedefiniodeprobabilidadepelafreqncia relativa ou ainda, definio freqentista de probabilidade. Exemplo 1.1.1 Qual a probabilidade de, jogando um nico carto, acertar a sena (seis dezenas em um total de 60)? Oacertoexatodasseisdezenasumanicapossibilidadeentretodasascombinaes possveis (combinaes mesmo3, j que a ordem em que os nmeros so sorteados no relevante): P(ganhar na sena) = 60,6C1= ! 6 ! 54! 601=860 . 063 . 501 0,00000002 2 Na verdade a moeda no foi realmente jogada 25000 vezes, mas os resultados foram obtidos atravs de uma simulao por computador.3 Para uma reviso de anlise combinatria veja o apndice 1.A. 3Portanto, a probabilidade de acertar a sena com apenas um carto de uma para cada 50.063.860 ou aproximadamente 0,000002%. Exemplo 1.1.2 Sendo o conjunto X definido por X = {x | 0 < x < 2}, qual a probabilidade de, ao sortearmos um nmeroqualquerdesteconjuntoestenmeropertenaaointervalo[0,5;1,5]?Equala probabilidade deste nmero ser exatamente igual a 1? OconjuntoXumconjuntocontnuo,jquecontmtodososnmerosreaisquesejam maiores do que 0 e menores do que 2. Tem, por exemplo, o nmero 1; o nmero 0,5; o nmero 0,4; mas tambm tem o 0,45; o 0,475; o 0,46. Dados dois elementos deste conjunto, sempre possvel encontrarumnmeroqueestejaentreestesdois.Nohsaltosouburacos,daaidiade continuidade. Ao contrrio do dado em que os valores possveis so 1, 2, 3, 4, 5 e 6 (no existe 1,5 ou 2,1), que um conjunto discreto4. Neste caso, a probabilidade de sortearmos qualquer nmero entre 0,5 e 1,5 (inclusive), que um intervalo de comprimento igual a 1 (= 1,5 0,5), de um intervalo possvel que tem comprimento igual a 2 (= 2 0) ser dada por: P(0,5 x 1,5) = 21 E a probabilidade de ser exatamente 1? Ou seja, de sortear um nico nmero entre um total de nmeros presente no conjunto X de... infinitos! A probabilidade ser dada, ento por: P(x = 1) = limnn1= 0 Portanto,emborasejapossveldeocorrer,aprobabilidadedeseriguala1(ouiguala qualquernmero)igualazero,seestivermosfalandodeumconjunto contnuo. A probabilidade s ser diferente de zero se estivermos falando de um intervalo contido neste conjunto. Comoconseqnciadisso,nofardiferenaseointervaloparaoqualencontramos inicialmenteaprobabilidade(entre0,5e1,5)fossefechadoouaberto(isto,inclusseounoos extremos),poisaprobabilidadedeserexatamente0,5ou1,5zero.Portanto,comoXum conjunto contnuo: P(0,5 x 1,5) = P(0,5 < x < 1,5) = 21 1.2 Probabilidade subjetiva Nos casos exemplificados acima, assumindo que os dados e as moedas utilizadas no sejam viciados, as probabilidades calculadas so exatas. Nem sempre isto possvel. Imagineoeventomeutimesercampeo.Nopossvelrepetiresteexperimento(o campeonato)umnmeromuitograndedevezes.Naverdade,estecampeonato,comestestimes, com os mesmos jogadores nas mesmas condies s jogado uma nica vez. Entretanto, possvel atribuir um valor que represente as chances do time ganhar o campeonato mas, evidentemente, este 4 No h necessidade de que um conjunto discreto seja composto apenas por nmeros inteiros, entretanto. Uma prova com20questesdemltiplaescolha,cadaumadelasvalendomeiopontoternotasvariandonesteintervalo,isto, poder haver nota 7,0 ou 7,5, mas nunca 7,2 ou 7,3. um conjunto discreto, portanto. 4valor ser diferente para cada pessoa que opinar a respeito: um torcedor fantico tender atribuir um valor maior do que um analista frio e imparcial (se que isto existe). Qualquer que seja este valor, entretanto, deve seguir as mesmas regras que a probabilidade objetiva, isto , tem que estar entre 0 e 1, sendo 0 correspondendo impossibilidade e 1 certeza de que o time ser campeo. E assim vale para uma srie de situaes: a probabilidade de que o governo mude a poltica econmica ( certamente maior em perodos de crise); a probabilidade de chover ou no ( maior ou menorquandoaprevisodotempoafirmaquevaichover?);aprobabilidadedeserassaltado quando se passa por determinada rua, etc. Exemplo 1.2.1 Qual a probabilidade de se acertar os treze pontos na loteria esportiva? A maiscomplicado porque depende da avaliao subjetivaquese faz dos times em cada umdosjogos.deseimaginarqueumtestedaloteriaesportivaemquepredominemjogos equilibrados ser mais difcil de acertar e tender a ter menos acertadores do que um teste que tenha mais barbadas. Por exemplo, Flamengo x Olaria (um jogo teoricamente fcil): P(Flamengo) = 70% P(empate) = 20% P(Olaria) = 10% J Corinthians x So Paulo (jogo equilibrado): P(Corinthians) = 30% P(empate) = 40% P(So Paulo) = 30% Todosestes nmeros,evidentemente, sujeitos discusso. Esta avaliao teria que ser feita jogo a jogo para se computar a probabilidade de ganhar na loteria esportiva. 1.3 Probabilidade do e e do ou Noinciodocaptulochamamosdeespaoamostraloconjuntodetodososeventos possveis. O uso do termo conjunto, no foi por acaso. De fato, h uma associao muito grande entre a teoria dos conjuntos (e a sua linguagem) e a de probabilidade. ChamandodeSoespaoamostral(queequivaleatodososeventos,portantoP(S)=1)e sendoAumeventodesteespaoamostral(isto,AumsubconjuntodeS),umarepresentao grfica da probabilidade de A mostrada na figura abaixo: 5 EmquearegioemqueoconjuntoAestrepresentadorepresenta a sua probabilidade em relaoaoespaoamostralS.Estarepresentaogrficadeprobabilidadeconhecidacomo Diagrama de Venn. Um caso particular importante um evento que no est em S (impossvel de ocorrer), como o dado cair no nmero 7 ou a moeda no dar nem cara, nem coroa, representado pelo conjunto vazio (), em que, evidentemente5 P() = 0. Pelo diagrama de Venn podemos verificar uma relao importante: a probabilidade de no-A, ou seja, o complementar de A, representado6 porA. O conjuntoA representado por todos os pontosquepertencemaS,masnopertencemaA,oquenoDiagramadeVennabaixo representado pela regio sombreada: A probabilidade deA ser dada ento por: P( A) = P(S) P(A) Mas como P(S) = 1, ento: P( A) = 1 P(A) Ou: 5 A recproca no verdadeira. Pelo exemplo 1.1.2, vimos que P(A) pode ser igual a zero mesmo que A no seja um conjuntovazio.NoexemploP(x=1) =0 noporquexnopudesseseriguala1, mas porfazerparte de um conjunto contnuo. 6 H quem prefira a notao AC. 6 P(A) + P( A) = 1 Isto , a soma da probabilidade de um evento com a do seu complementar sempre igual a 1. SuponhamosagoradoiseventosquaisquerdeS,AeB.ArepresentaonoDiagramade Venn ser: DadosdoiseventospoderemosteraprobabilidadedeocorrerAeB,isto,ocorrerAe tambmB.Porexemplo,jogardoisdadosedar6noprimeiroe1nosegundo;seraprovadoem Estatstica e em Clculo. Em linguagem de conjuntos, a ocorrncia de um evento e tambm outro representadapelaintersecodosdoisconjuntos(AB).NoDiagramadeVennrepresentada pela rea sombreada abaixo: P(A e B) = P(AB) HaindaaprobabilidadedeocorrnciadeAouB.IstoequivaleaocorrerA,ouB,ou ambos7. Em linguagem de conjuntos equivale a unio de A e B (AB), representada abaixo: 7 No confundir com o chamado ou exclusivo, em que ocorre A, ocorre B, mas no ambos. 7 P(A ou B) = P(AB) Podemos verificar que, se somarmos as probabilidades de A e B, a regio comum a ambos (a interseco)sersomadaduasvezes.Pararetirarmosesteefeito,bastasubtrairmosainterseco (uma vez). Portanto: P(A ou B) = P(AB) = P(A) + P(B) P(AB) UmcasoparticulardestaregraaqueleemqueAeBjamaisocorremjuntos,soeventos ditosmutuamenteexclusivos(ocorrerumimplicaemnoocorreroutro).Osconjuntosnotero pontosemcomum,portanto(aintersecooconjuntovazio)eAeBentosoditosdisjuntos, como mostrado abaixo: Neste caso, no h dvida: P(A ou B) = P(AB) = P(A) + P(B) Portanto, a chamada regra do ou pode ser resumida assim: Se A e B so eventos quaisquer: P(AB) = P(A) + P(B) P(AB) Se A e B so eventos mutuamente exclusivos (disjuntos): P(AB) = P(A) + P(B) 8 Exemplo 1.3.1 Qual a probabilidade de, ao jogar um dado, obter-se um nmero maior que 4? Nmero maior do que 4 no dado temos o 5 e o 6, portanto: P(maior que 4) = P(5 ou 6) Que so eventos disjuntos, j que, se der 5, impossvel dar 6 e vice-versa. P(5 ou 6) = P(5) + P(6) = 61+61 = 31 Exemplo 1.3.2 (desespero dos pais de gmeos) Duascrianasgmeastmoseguintecomportamento:umadelas(amaischorona)chora65%do dia; a outra chora 45% do dia e ambas choram, ao mesmo tempo, 30% do dia. Qual a probabilidade (qualopercentualdodia)dequepelomenosumachore?Equalaprobabilidadede que nenhuma chore? A probabilidade de que pelo menos uma chore a probabilidade de que a primeira chore ou asegundachore.ChamandodeC1oeventoaprimeiracrianachoraeC2asegundacriana chora, temos: P (C1 ou C2) = P(C1) + P(C2) P(C1 e C2) = 0,65 + 0,45 0,3 = 0,8 Portanto,pelomenosumacrianaestarchorando80%dotempo.Nenhumadascrianas chora o evento complementar: P(nenhuma chora) = 1 P(C1 ou C2) = 1 0,8 = 0,2 Assim sendo, os pais destas crianas tero paz em apenas 20% do tempo. 1.4 Probabilidade Condicional Qual a probabilidade de que o Banco Central aumente a taxa de juros? Qual a probabilidade de que ele aumente a taxa sabendo-se que ocorreu uma crise que pode ter impacto sobre a inflao? Qual a probabilidade do seu time ganhar o prximo jogo? E se j sabido que o adversrio jogar desfalcado de seu principal jogador? Qual a probabilidade de, jogando dois dados em seqncia, obter-se um total superior a 7? E se, na primeira jogada,j se tirou um 6? Voc acorda de manh e o cu est azul e sem nuvens. Voc pega o guarda-chuva ou no? claro que, de posse dessa informao, a probabilidade estimada para o evento chover diminui. Eassimvaleparaostrsexemplosanteriores.Oacontecimentodeumeventoafetaa probabilidade de ocorrncia do outro. Umcasalquetemtrsfilhoshomensvaiparaoquartofilho.Qualaprobabilidadedeser (afinal!)umamenina?Infelizmenteparaocasal,nodiferentedaquelaqueseriacasofosseo primeiro.Nofaamosconfuso:claroque,paraumcasalquevaiterquatrofilhos,a 9probabilidade de serem quatro meninas pequena. Mas se ele j teve trs meninas, isto no afeta a probabilidade do prximo filho ser menino ou menina (afinal, os pobres espermatozides no tm a menor idia do histrico familiar). Aperguntaquesefaz,sejaemumcasoouemoutro:qualaprobabilidadedeumevento sabendo-se que um outro evento j ocorreu (ou vai ocorrer)? Qual probabilidade de A dado que B j um fato da vida. No Diagrama de Venn acima, B j ocorreu! A probabilidade de A ocorrer ento s pode ser naquelepedaoemqueAeBtmemcomum(ainterseco).Masaprobabilidadedeveser calculada no mais em relao a S, mas em relao a B, j que os pontos fora de B sabidamente no podem acontecer (j que B ocorreu).Portanto, a probabilidade de Atendoemvista que B ocorreu (ou ocorrer), representada por P(A|B) (l-se probabilidade de A dado B), ser dada por: P(A|B) = P(B)P(AeB)(1.4.1) A regra do e, j apresentada na seo anterior, ganha uma nova forma: P(A e B)= P(A|B)P(B)ou P(A e B)= P(B|A)PA) Se o evento B no tiver qualquer efeito sobre a probabilidade do evento A, ento teremos: P(A|B) = P(A)e P(B|A) = P(B) EAeBsoditoseventosindependentes(aprobabilidadecondicionaligualno condicional). Sero eventos dependentes em caso contrrio, isto : P(A|B) P(A)e P(B|A) P(B) Ento, se A e B forem eventos independentes, vale: P(A e B) = P(A)P(B) 10Noconfunda:ofatodedoiseventosseremindependentesnoquerdizerqueelessejam mutuamenteexclusivos.Pelocontrrio:sedoiseventos(novazios)somutuamenteexclusivos (disjuntos)elesso,necessariamente,dependentes,jqueaocorrnciadeumimplicaano ocorrncia de outro. Resumindo: para dois eventos independentes temos: P(A e B) = P(A)P(B) P(A ou B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B) Para dois eventos disjuntos (mutuamente exclusivos): P(A e B) = 0 P(A ou B) = P(A) + P(B) Para dois eventos quaisquer: P(A e B) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B) P(A ou B) = P(A) + P(B) P(A e B) Exemplo 1.4.1 Qualaprobabilidadedeque,jogandodoisdadosemseqncia,obtenhamos exatamente7?Ese na primeira jogada j obtivemos um 6? Para obtermos um total de 7 temos os seguintes resultados possveis: 1 e 6, 2 e 5, 3 e 4, 4 e 3, 5 e 2, 6 e 1. O resultado de cada dado independente do resultado do outro, de modo que: P(1 e 6) = P(2 e 5) = P(3 e 4) = P(4 e 3) = P(5 e 2) = P(6 e 1) = 6161= 361 Aprobabilidadedequeocorraqualquerumdessesresultados,tendoemvistaqueelesso mutuamente exclusivos : P[(1 e 6) ou (2 e 5) ou (3 e 4) ou (4 e 3) ou (5 e 2) ou (6 e 1)] = 361+361+361+361+361+361= 61 Se j deu 6 no primeiro dado o nico resultado possvel para somar 7 que d 1 no segundo dado. A probabilidade 61, portanto. De fato, usando a definio 3.4.1: P(soma=7|1odado=6) = 6) dado P(1o6) dado 1o e 7 P(soma== ==6) dado P(1o6) dado 1o e 1 dado P(2o== = =61361=61 Note que: P(soma=7|1odado=6) = P(soma=7) 11Portanto os eventos a soma dar exatamente 7 e o resultado8 do 1o dado so independentes. Exemplo 1.4.2 Noexemplo1.3.2oseventos so independentes? Caso no sejam, qual aprobabilidade de que a primeira criana chore dado que a segunda chora? E qual a probabilidade de que a segunda criana chore dado que a primeira chora? Os eventos C1 e C2 no so independentes (so dependentes) dado que: P(C1)P(C2) = 0,650,45 = 0, 2925 diferente de: P(C1 e C2) = 0,3 Para calcularmos as probabilidades condicionais, temos: P(C1 e C2) = P(C1) P(C2|C1) 0,3 = 0,65 P(C2|C1) P(C2|C1) = 65 , 03 , 0 0,4615P(C1 e C2) = P(C2) P(C1|C2) 0,3 = 0,45 P(C1|C2) P(C1|C2) = 65 , 045 , 0 0,6923 Portanto,seaprimeiracrianachorar,humaprobabilidadede46,15%dequeasegunda crianachoree,seasegundacrianachorar,aprobabilidadequeaprimeirachorede69,23%. Como as probabilidades incondicionais eram de 45% e 65%, respectivamente, percebe-se que o fato de uma criana chorar aumenta a chance da outra chorar tambm. Exemplo 1.4.3 AtravsdoDiagramadeVennabaixo(ondeosvaloresmarcadoscorrespondemsprobabilidades das reas delimitadas), verifique que, apesar de que P(ABC) = P(A)P(B)P(C), A e B e C no so eventos independentes. Do diagrama, temos: 8 Verifique que a concluso vlida para qualquer resultado no 1o dado. 12 P(A) = 0,1 + 0,15 + 0,1 + 0,05 = 0,4 P(B) = 0,25 + 0,05 + 0,1 + 0,1 = 0,5 P(C) = 0,15 + 0,15 + 0,1 +0,1 = 0,5 P(AB) = 0,1 + 0,05 = 0,15 P(AC) = 0,1 + 0,15 = 0,25 P(BC) = 0,1 + 0,1= 0,2 P(ABC) = 0,1 De fato, P(ABC) = P(A)P(B)P(C), mas: P(AB) P(A)P(B) P(BC) P(B)P(C) P(AC) P(A)P(C) Portanto, A, B e C so dependentes. Exemplo 1.4.4 Foi feita uma pesquisa com 100 pessoas sobre as preferncias a respeito de programas na televiso. Os resultados obtidos foram os seguintes: homensmulherestotal futebol 402060 novela53540 total4555100 Entre o grupo de entrevistados, qual a probabilidade de preferir novela? E futebol? P(novela) = 10040= 0,4 = 40% P(futebol) = 10060 = 0,6 = 60% Qual a probabilidade de ser mulher e preferir futebol? P(mulher e futebol) = 10020= 0,2 = 20% Qual a probabilidade de, em sendo homem, preferir futebol? Podemos resolver diretamente j que, pela tabela, dos 45 homens, 40 preferem futebol: P(futebol | homem) = 4540= 0,888... 88,8% Ou pela definio de probabilidade condicional: P(futebol | homem) = P(homem)futebol) e P(homem=1004510040= 0,888... 88,8% Qual a probabilidade de que, se preferir novela, for mulher? Denovopossvelresolverdiretamentepelatabela,tendoemvistaque,dos40que preferem novela, 35 so mulheres: P(mulher | novela) = 4035= 0,875 = 87,5% Ou pela definio de probabilidade condicional: 13P(mulher | novela) = P(novela)novela) e P(mulher =1004010035= 0,875 = 87,5% Notequeaprefernciaporumtipodeprogramaououtroeosexonosoeventos independentes, j que: P(mulher | novela) P(mulher) P(futebol | homem) P(futebol) 1.5 Regra de Bayes Exenplo 1.5.1 Suponhaque,numaeleioparagovernadoremumestadonorteamericano,temosumcandidato democrataeumrepublicano.Entreoseleitoresbrancos,30%votamnodemocrata,estaproporo sobe para 60% entre os eleitores negros e de 50% entre os eleitores de outras etnias. Sabendo-se queh70%deeleitoresbrancos,20%denegrose10%deoutrasetnias,seumvotodemocrata retirado ao acaso, qual a probabilidade de que ele tenha sido dado por um eleitor negro? Utilizaremos as seguintes abreviaes: B- brancoD- democrata N- negroR- republicano O- outras etnias Pelo enunciado sabemos que: P(B) = 0,7 P(N) = 0,2 P(O) = 0,1 P(D|N) = 0,6 P(D|B) = 0,3 P(D|O) = 0,5 Epede-sequalprobabilidadedovotoserdeumeleitornegrodadoqueovotoparao candidato democrata, isto : P(N|D) = ? P(N|D) = P(D)D) e P(N A probabilidade de ser negro e democrata dada por: P(N e D) = P(N)P(D|N) = 0,20,6 = 0,12 Eaprobabilidadedeserdemocrataserdadapelasomadosvotosbrancosedemocratas, negros e democratas e outras e democratas: P(D) = P(D e B) + P(D e N) + P(D e O) = 0,70,3 + 0,20,6 + 0,10,5 = 0,38 Assim sendo: P(N|D) = 38 , 012 , 0 0,3158 = 31,58% 14Portanto, 31,58% dos votos democratas so de eleitores negros. Oexemploanteriorpartiudeprobabilidadescondicionaisparacalcularumaprobabilidade comacondioinvertida.AgeneralizaodoresultadoobtidoconhecidacomoRegrade Bayes, que enunciada abaixo: Se temos as probabilidades condicionais de um evento B dados todos os eventos do tipo Ai, (i = 1, 2,..., n) e queremos encontrar a probabilidade condicional de um certo evento Aj dado B, esta ser dada por9: P(Aj|B) = =n1 ii ij j) P(A ) A | P(B) P(A ) A | P(B 9 Evidentemente esta expresso no precisa ser memorizada se for repetido o raciocnio do exemplo 1.5.1. 15Exerccios 1.Emumacaixah7lmpadas,sendo4boase3queimadas.Retirandotrslmpadasaoacaso, sem reposio, qual a probabilidade de que: a)todas sejam boas. b)todas estejam queimadas. c)exatamente 2 sejam boas. d)pelo menos 2 sejam boas. 2. Calcule a probabilidade de que, no lanamento de um dado, o nmero que der seja: a)mpar b)primo c)no mnimo 4. d)no mximo 5. 3. Ao lanar dois dados em seqncia, quer-se atingir um total de 11 pontos. a)Qual a probabilidade que isto ocorra? b)Qual a probabilidade que isto ocorra supondo que o primeiro dado deu 4? c)Qual a probabilidade que isto ocorra supondo que o primeiro dado deu 6? d)O evento total de 11 pontos independente do resultado do primeiro dado? Justifique. 4. Um apostador aposta no lanamento de um dado em um nico nmero. Qual a probabilidade de: a)em trs jogadas, ganhar as trs b)em quatro jogadas, ganhar exatamente as duas primeiras. c)em quatro jogadas, ganhar exatamente duas (quaisquer). d)em quatro jogadas, ganhar pelo menos duas. e)em quatro jogadas, ganhar duas seguidas. 5. Na primeira loteria de nmeros lanada no pas, o apostador deveria acertar cinco dezenas em um total de 100 possveis, apostando para isso em 5, 6, 7, 8, 9 ou 10 dezenas. a)Qual a probabilidade de acertar as 5 dezenas em cada uma das situaes? b)Seaapostaem5dezenascustasse$1,00,qualdeveriaseropreodosdemaistiposde apostas levando-se em considerao a probabilidade de acerto? 6. Considerando que, em jogos de futebol, a probabilidade de cada resultado (vitria de um time, de outroouempate)igual,qualaprobabilidadedefazerostrezepontosnaloterianosseguintes casos: a)sem duplos ou triplos. b)com um nico duplo. c)com um nico triplo. d)com dois duplos e trs triplos. 7. Represente no diagrama de Venn: a)AB b)AB c)AB d)AB 8. Verifique que a probabilidade do ou exclusivo dada por: P (A ou exclusivo B) = P[( AB)(AB)] (Sugesto: utilize o diagrama de Venn) 16 9. Foram selecionados 200 pronturios de motoristas e o resultado foi o seguinte: homensmulherestotal com multa 6550115 sem multa454085 Total11090200 a)Qual a probabilidade de que um motorista deste grupo tenha sido multado? b)Qual a probabilidade de que um motorista (homem) deste grupo tenha sido multado? c)Qual a probabilidade de que uma motorista deste grupo tenha sido multada? d)Qual a probabilidade de que, sendo o motorista homem, ele tenha sido multado? e)Qual a probabilidade de que, sendo mulher, a motorista tenha sido multada? f)Qual a probabilidade de, em sendo multado, o motorista seja homem? g)A probabilidade de ser multado independente do sexo? Justifique. 10.Perguntou-separa300estudantesoquefariamapsafaculdade:procurariamempregoou cursariam ps-graduao (ou ambos). As respostas foram: homensmulheres Emprego11090 ps-grad.9080 Total160140 Calcule a probabilidade de um estudante, escolhido ao acaso: a)ser homem e procurar emprego. b)ser mulher e continuar estudando. c)ser homem e no continuar estudando. d)ser mulher ou no procurar emprego. e)em sendo homem, querer continuar apenas estudando. f)se quer apenas trabalhar, ser mulher. 11. Um cubo de madeira pintado e a seguir dividido em 512 cubinhos de mesmo tamanho. Qual a probabilidade de que, se pegarmos um destes cubinhos aos acaso, ele: a)tenha apenas uma face pintada. b)tenha duas faces pintadas. c)tenha pelo menos duas faces pintadas. d)tenha trs faces pintadas. 12. Dado um conjunto X = {x | 0 < x < 8}, onde representa o conjunto dos nmeros naturais. Se escolhermos ao acaso um nmero deste intervalo, calcule as probabilidades pedidas: a)P(x = 2) b)P(x > 2) c)P(x < 5) d)P(x = 8) 13. Dado um conjunto X = {x | 0 < x < 8}, onde representa o conjunto dos nmeros reais. Se escolhermos ao acaso um nmero deste intervalo, calcule as probabilidades pedidas: a)P(x = 2) b)P(x > 2) c)P(x < 5) d)P(0 x 8) 1714. Em um colgio de ensino mdio h 120 alunos no 1o ano, 100 no 2o ano e 80 no 3o ano. Se dois alunossoescolhidosaoacasoeoprimeiroestmaisadiantadodoqueosegundo,quala probabilidade de que ele esteja no 3o ano? 15. Verifique se so verdadeiras ou falsas as afirmaes abaixo e justifique. a)Sendo S o espao amostral, ento P(S) = 1. b)Se P(A) = 1 ento A = S. c)Se P(A) = 0 ento A = . d)Se A e B so mutuamente exclusivos, ento P(AB) = 0 e)Se P(AB) = 0, ento A e B so disjuntos. f)Se A e B so independentes, ento P(AB) = P(A) + P(B). g)Se P(AB) = 0, ento A e B so independentes. h)Se P(AB) = 1, ento A = B = S. i)Se P(AB) = 1, ento A = S ou B = S. j)Se A, B e C so independentes, ento P(ABC) = P(A).P(B).P(C). k)Se P(ABC) = P(A).P(B).P(C), ento A, B e C so independentes. l)Se P( A) = 1 ento A = . m)Se A e B so independentes, entoA eB so independentes. 16. H 60% de probabilidade que haja desvalorizao cambial. Se a desvalorizao ocorrer, h 70% de chances do governo lanar um pacote emergencial de medidas. Se no ocorrer, as chances deste pacote ser lanado caem para 40%. Se o pacote foi lanado, qual a probabilidade que tenha ocorrido desvalorizao cambial? 17. Num jogo de domin uma pea com dois valores iguais tirada. Qual a probabilidade de que a pea seguinte se encaixe? 18. Num jogo de pquercada jogador tem cincocartas. Considerando que seja utilizado o baralho completo, qual a probabilidade do jogador obter: a)um par. b)uma trinca. c)dois pares. d)um par e uma trinca (full house). e)uma quadra. f)todas as cartas do mesmo naipe, mas no em seqncia (flush). g)uma seqncia (por exemplo: 7, 8, 9, 10 e J), mas no do mesmo naipe. h)uma seqncia (exceto a maior) com o mesmo naipe (straight flush). i)a maior seqncia (10, J, Q, K e A) com o mesmo naipe (royal straight flush). 19. Num dado viciado a probabilidade de cair um certo nmero proporcional a este nmero. a)Qual a probabilidade de cada nmero? b)Qual a probabilidade de, em uma jogada, o nmero ser no mnimo 4? c)Qual a probabilidade de, em duas jogadas, a soma ser no mximo 9? 20. Considere que a probabilidade de um recm nascido ser menino igual a de ser menina. Neste caso, qual a probabilidade de um casal com quatro filhos: a)ter exatamente 2 meninas. b)ter, no mximo, 2 meninos. c)ter pelo menos 1 menina. d)o mais velho ser um menino. 1821.Emummilhodenascimentosforamregistrados509.718meninase490.282meninos. Considerando esta proporo (aproximadamente) uma estimativa mais realista para a probabilidade de nascimento de meninas e meninos, refaa os clculos do exerccio anterior. 22.Entreasmulheressolteirasdeumacidade,70%somorenase30%loiras.Entreasmorenas, 60% tm olhos castanhos, 30% tm olhos verdes e 10% tm olhos azuis. J entre as loiras, 40% tm olhos castanhos, 30% verdes e 30% azuis. Para um homem que vai num encontro s escuras, qual a probabilidade de que a pessoa que vai encontrar: a)tenha olhos azuis. b)seja loira de olhos verdes. c)seja morena de olhos castanhos. d)caso tenha olhos castanhos, seja loira. e)caso tenha olhos verdes, seja morena. 23. Dado um espao amostral definido num plano cartesiano: S = {(x,y) 2 | -1 x 3; 2 y 4} e dado o conjunto A: A = {(x,y) 2 | 1 x < 2; 3< y < 4} Calcule P(A). (Sugesto: encontre graficamente S e A). 24. Dados os conjuntos A, B e C no vazios cujas probabilidades so dadas por P(A), P(B) e P(C). Determine P(ABC). (Sugesto: use um diagrama semelhante ao do exemplo 1.4.3) 25.Segundoaspesquisaseleitorais,ocandidatoAtem30%dasprefernciasdoseleitores. Admitindo que este valor esteja correto, se tomarmos 5 eleitores ao acaso, qual a probabilidade de: a)exatamente 3 deles votarem no candidato A. b)no mximo 2 deles votarem no candidato A. c)pelo menos um deles votar no candidato A. 26.Emumaurnah6bolasquepodemserbrancasoupretas.Se3bolasretiradasaoacaso,com reposio, so brancas, qual a probabilidade de no haver bolas pretas? 27. A probabilidade que um jogador de basquete acerte um arremessop. Determine o valor de p para que a probabilidade de fazer pelo menos uma cesta a cada dois arremessos seja de 80%. 28. Mostre que, se vlida a expresso: P(A|B) = P(A| B), ento A e B so independentes. 19APNDICE 1.A Reviso de Anlise Combinatria 1.A.1 Fatorial Define-se como o fatorial de um nmero n (n!), sendo este nmero um inteiro maior do que 1: n! = n(n-1)... 1 Assim sendo: 2! = 21 = 2 3! = 321 = 6 4! = 4321 = 24 5! = 54321 = 120 6! = 654321 = 720 E assim sucessivamente. Note que: 3! = 32! 4! = 43! 5! = 54! 6! = 65! Ou, generalizando: n! = n(n-1)!, n>2 Se estendermos esta propriedade para n=2: 2! = 21! 1! = 2! 2= 1 Ento, convenientemente definimos: 1! =1 Se continuarmos para n=1: 1! = 10! 0! = 1! 1 = 1 Portanto, temos: n! = n(n-1)... 1,n>1 1! = 1 0! = 1 1.A.2 Permutaes Quantos anagramas so possveis a partir da palavra amor? AMORMAOROAMRRAMO 20AMROMAROOARMRAOM ARMOMORAOMRARMOA AROMMOAROMARRMAO AOMRMRAOORAMROAM AORMMROAORMAROMA Portanto, so possveis 24 anagramas. Os anagramas so as permutaes (trocas de lugar) das letras da palavra. Temos ento, no caso P4 (l-se permutaes de 4 elementos) anagramas. Seapalavrafossecastelo,oexerccioacimaseriamuitomaistrabalhoso.Comofazer, ento? Na palavra amor temos 4 espaos onde podemos colocar as 4 letras. No1oespaopodemoscolocarqualquerumadas4letras.Paracadaletracolocadano1o espao, sobram 3 letras para preencher o 2o espao; uma vez preenchido este espao, sobram apenas 2 para o 3o; finalmente, sobrar uma ltima letra no 4o espao. Assim P4 = 4321 = 4! = 24 Generalizando: Pn = n! Portanto, o total de anagramas da palavra castelo : P7 = 7! = 5040 1.A.3 Arranjos Utiliza-se um arranjo quando se quer formar grupos a partir de um conjunto maior em que a ordemimportante.Porexemplo,deumgrupode5pessoas,deseja-semontarumachapapara uma eleio composta por um presidente, um vice e um tesoureiro. H3vagas.Paraavagadepresidente,temos5opes;escolhidoopresidente,temos4 opes para vice, sobrando 3 opes para tesoureiro. Ento o nmero total de chapas ser dado por A5,3 (l-se arranjos de 5 elementos, 3 a 3) calculado assim: A5,3 = 543 = 60 Seriam 60 chapas possveis, portanto. Faltaria, para completar o 5!, multiplicar por 2 e por 1. Multiplicando e dividindo, temos: A5,3 = 1 21 2 3 4 5 = ! 2! 5 Generalizando, temos An,k = k)! - (nn! 1.A.4 Combinaes 21Quandofalamosemcombinaes,comoemarranjos,estamosquerendoformargruposa partir de um conjunto de elementos, a diferena que a ordem no importa. Suponhamosque,noexemploanterior,achapanotenhacargos(umachapaparaum conselho, por exemplo), ento no importa quem escolhido primeiro. O total de chapas possveis serdadopelonmerodearranjos,descontando-seumavezescolhidaachapa,trocando-seas posiesnamesma(isto,fazendopermutaes)teremosumachapaidntica.Portanto,onmero de chapas ser dado por C5,3 (l-se combinaes de 5 elementos, 3 a 3) calculado por: C5,3 = 35,3PA= ! 3 ! 2! 5= 10 Generalizando: Cn,k = k)! - (n k!n! 1.A.5 Tringulo de Pascal Uma maneira simples de calcular combinaes atravs do Tringulo de Pascal: 01 11 1 21 2 1 31 3 31 41 4 641 51 51010 51 61 6152015 6 1 71 72135352171 AconstruodoTringulosimples.Cadalinhacomeaeterminacom1.Osoutros nmeros de cada linha so obtidos atravs da soma do nmero acima com o nmero sua esquerda. Porexemplo,o3onmerodalinhacorrespondenteaonmero5(que10)podeserobtidopela somado2oedo3onmerosdalinhaacima(4+6).Eassimpodeserfeitocomqualquernmero apresentado no Tringulo, inclusive para linhas que no foram mostradas (8,9, 10, etc.). As combinaes podem ser obtidas imediatamente. Poe exemplo, se quisermos combinaes de 6 elementos, devemos utilizar os nmeros da linha correspondente, que so 1, 6, 15, 21, 15, 6 e 1. Temos que (verifique!): C6,0 = 1 C6,1 = 6 C6,2 = 15 C6,3 = 21 C6,4 = 15 C6,5 = 6 C6,6 = 1 E assim podemos obter quaisquer combinaes que quisermos diretamente do Tringulo. Adicionalmente,umaoutrapropriedade(entremuitas)quepodeserobtidadoTringulo que a soma dos nmeros de uma linha exatamente a potncia de 2 do nmero correspondente. Por exemplo, se tomarmos a mesma linha, correspondente ao nmero 6: 22 1 + 6 + 15 +21 + 15 + 6 + 1 = 64 = 26 23APNDICE 1.B Definio Axiomtica de Probabilidade A idia de se definir probabilidade atravs de axiomas vem do desejo de tratar o assunto de uma maneira mais rigorosa. Estabeleceraxiomassignificaestabelecerumconjuntoderegras.Estasregrasdevemser nomenornmeropossvel.Oconjuntodeaxiomas,entretanto,devesercompleto,nosentidode quequalquerafirmaoenvolvendoprobabilidadespossaserdemonstradautilizandoapenasestes axiomas. Faamos antes algumas definies: OconjuntoSdetodososresultadospossveisdeumexperimentoaleatriochamadode espao amostral. Chamemos um conjunto de subconjuntos de S, para o qual a probabilidade ser definida. A este conjunto denominamos espao de eventos. AdefiniodequesubconjuntosdeSfaropartedoespaodeeventossimplesseSfor discreto,pois,nestecaso,bastaquedefinamoscomooconjuntodetodosossubconjuntos possveis de S (incluindo o prprio S e o vazio). No caso de um conjunto S contnuo, ou mesmo no caso de um S muito grande devemos nos contentar com uma definio mais restrita para . O espao de eventos dever ter as seguintes propriedades10: I ) S II )Se A , entoA . III)Se A e B , ento AB . IV)Se A1, A2, ... , ento =1 iAi . A probabilidade ento uma funo que associa um elemento de a um nmero real, isto : P: Obedecendo aos seguintes axiomas: Axioma 1: Para qualquer A , P(A) 0 Axioma 2 P(S) = 1 Axioma 3 Dados A1, A2, ..., An , disjuntos dois a dois, temos: P(n1 i= Ai) = =n1 ii) P(AIsto,aprobabilidadedauniodoseventos,emsendodisjuntos,asomadas probabilidades de cada um deles. 10 Se segue estas propriedades dito um field (sigma field). 24Oespaodeprobabilidadeseraterna(S,,P)ondeSoconjuntouniverso(espao amostral),umconjuntodesubconjuntosdeSePumafuno que associaas probabilidadesaos elementos de . Todasaspropriedadesdeprobabilidadepodemserestabelecidasapartirdostrsaxiomas estabelecidos acima11. Vejamos algumas delas: Teorema 1.B.1Se A , ento P(A) = 1 - P( A) Demonstrao: Pela prpria definio de complementar, temos: AA= S Pelo axioma 2: P(S) = P(AA) = 1 E como A eA so disjuntos, temos, pelo axioma 3: P(AA) = P(A) + P( A ) = 1 Portanto: P(A) = 1 - P( A) Teorema 1.B.2 P() = 0 Demonstrao: SeA=,entoA =S.Lembrandoque,P(S)=1peloaxioma2eutilizandooteorema 1.B.1: P() = 1 P(S) = 1 1 = 0 Teorema 1.B.3 Se A, B , ento P(A) = P(AB) + P(AB) Demonstrao: AS = A Pela definio de complementar: A(BB) = A Como a interseco tem a propriedade distributiva: (AB)(AB) = A E sendo os conjuntos AB e AB disjuntos temos, pelo axioma 3: P(A) = P[(AB)(AB)] = P(AB) + P(AB) Teorema 1.B.4 Se A, B , ento P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB) Demonstrao: 11 Estes axiomas foram estabelecidos por Andrei Kolmogorov, matemtico russo considerado o pai da moderna teoria de probabilidade, em 1933. Antes de Kolmogorov, o axioma 3 era limitado ao caso de dois conjuntos, isto : se A e B so disjuntos, ento P(AB) = P(A) + P(B).25Temos que: (AB)S = AB Pela definio de complementar: (AB)(BB)= AB Como a unio tambm tem a propriedade distributiva, colocando B em evidncia: B(AB) = AB Os eventos B e AB so disjuntos, pelo axioma 3 temos: P[B(AB)] = P(B) + P(AB) E, pelo teorema 1.B.3 temos: P(A) = P(AB) + P(AB) P(AB) = P(A) P(AB) Logo: P(AB)=P[B(AB)]=P(B)+P(A)P(AB)2627CAPTULO 2 - MEDIDAS DE POSIO E DISPERSO 2.1 Varivel aleatria Varivel aleatria (v.a.) uma varivel que est associada a uma distribuio12 de probabilidade. Portanto, uma varivel que no tem um valor fixo, pode assumir vrios valores. O valor que cai ao se jogar um dado, por exemplo, pode ser 1, 2, 3, 4, 5 ou 6, com probabilidade igual a 61 para cada um dos valores (se o dado no estiver viciado). , portanto, uma varivel aleatria. Assim como so variveis aleatrias: o valor de uma ao ao final do dia de amanh; o nmero de pontos de um time num campeonato que est comeando esta semana; a quantidade de chuva que vai cair no ms que vem; a altura de uma criana em fase de crescimento daqui a seis meses; a taxa de inflao no ms que vem. Todas estas variveis podem assumir diferentes valores e estes por sua vez esto associados a probabilidades E no so variveis aleatrias: o valor de uma ao no final do prego de ontem; o nmero de pontos de um time num campeonato que j acabou; a altura de uma pessoa na faixa dos 30 anos de idade daqui a seis meses; a rea til de um apartamento; a velocidade de processamento de um computador. Todas estas variveis tm valores fixos. 2.2. Medidas de posio central 2.2.1 Mdia H diferentes tipos de mdia: a mdia aritmtica, a mais comum, a soma dos elementos de um conjunto dividido pelo nmero de elementos. Assim, um grupo de 5 pessoas, com idades de 21, 23, 25, 28 e 31, ter mdia (aritmtica) de idade dada por: X=21+ 23 + 25 + 28 + 315 =25,6 anos De um modo geral, a mdia aritmtica ser dada por: X=X + X +...+Xn1 2 n Ou, escrevendo de uma maneira mais resumida: X= 1nXii=1n A mdia aritmtica tambm pode ser ponderada isto no um tipo diferente de mdia ponderar significa atribuir pesos. Ter um peso maior significa simplesmente que aquele valor entrar mais vezes na mdia. Digamos, por exemplo, que em trs provas um aluno tenha tirado 4, 6 e 8. Se a mdia no for ponderada, bvio que ser 6. Se, no entanto, a mdia for ponderada da seguinte forma: a primeira prova com peso 1, a segunda com 2 e a terceira 3. A mdia ser calculada como se as provas com maior peso tivessem ocorrido mais vezes, ou seja X= 4 6 6 8 8 86+ + + + + 12 Voltaremos ao conceito de distribuio de probabilidade no prximo captulo. 28Ou, simplesmente: X= 4 1 6 2 8 36 + + 6,7 Os pesos podem ser o nmero de vezes que um valor aparece. Suponhamos que numa classe de 20 alunos haja 8 com idade de 22 anos, 7 de 23, 3 de 25, um de 28 e um de 30. A quantidade que cada nmero aparece no conjunto chamada de freqncia (freqncia absoluta neste caso, pois se trata da quantidade de alunos com determinada idade). A mdia de idade ento ser dada por: X=22 8 23 7 25 3 28 1 30 120 + + + + = 23,5 anos A freqncia tambm pode ser expressa em propores, sendo chamada neste caso de freqncia relativa. No exemplo anterior, h 8 alunos com 22 anos de idade em um total de 20, portanto nesta classe h 820 = 0,4 = 40% dos alunos com esta idade. Da mesma forma, temos 35% com 23, 15% com 25 e 5% com 28 e 30, respectivamente. A mdia de idade pode ser calculada da seguinte forma: X= 220,4 + 230,35 + 250,15 + 280,05 + 300,05 = 23,5 Repare que o segundo jeito de calcular (usando a freqncia relativa) nada mais do que o primeiro (usando a freqncia absoluta) simplificando-se a frao (dividindo o valor dos pesos pelo nmero total). Um outro tipo de mdia a mdia geomtrica. A mdia geomtrica para o aluno que tirou notas 4, 6 e 8 ser: G =4 6 83 5,8 Ou, genericamente: G =X X Xnn1 2 ...Ou ainda, de uma maneira mais resumida: G =Xii=1n1n|\

|.| Repare que a mdia geomtrica zera se um dos elementos for zero.Amdia geomtrica tambm pode ser ponderada: se os pesos das provas forem 1, 2 e 3, ela ser dada por: G =4 6 81 2 3 6 6,5 H ainda um terceiro tipo de mdia, a mdia harmnica. No exemplo das notas, ela ser dada por: H = 11416183+ += 3141618+ + 5,5 De um modo geral: H = nX X X1 n1 1 12+ + + .... 29Ou ainda: H = n1Xii=1n Tambm possvel que a mdia harmnica seja ponderada. Repetindo o exemplo anterior: H = 6141162183 + + 6,3 Foi possvel notar, tanto para as mdias simples (sem pesos) como para as ponderadas que, em geral, a mdia aritmtica maior do que a mdia geomtrica e esta por sua vez maior do que a harmnica. Isto verdade, exceto, obviamente, quando os valores so todos iguais. Temos ento que: X G H Exemplo 2.2.1.1 Um aluno tira as seguintes notas bimestrais: 3; 4,5; 7 e 8,5. Determine qual seria sua mdia final se esta fosse calculada dos trs modos (aritmtica, geomtrica e harmnica), em cada um dos casos: a) as notas dos bimestres tm os mesmos pesos Neste caso, a mdia aritmtica final seria: X =45 , 8 7 5 , 4 3 + + += 423 X = 5,75 A mdia geomtrica seria: G = 45 , 8 7 5 , 4 3 =425 , 803G 5,32 E a harmnica seria: H = 5 , 81715 , 41314+ + +

H 4,90 b) Supondo que os pesos para as notas bimestrais sejam 1, 2, 3 e 4. Agora os pesos dos quatro bimestres totalizam 10, portanto a mdia aritmtica final ser: X= 105 , 8 4 7 3 5 , 4 2 3 1 + + + =1067 X= 6,7 A geomtrica ser: G =104 3 2 15 , 8 7 5 , 4 3 G 6,36 E a harmnica: 30H = 5 , 84735 , 423110+ + + H 5,96 c) Supondo que os pesos sejam, respectivamente, 30%, 25%, 25% e 20%. Agora os pesos so dados em termos relativos (percentuais) e somam, portanto, 1. O clculo da mdia aritmtica ser, ento: X = 0,33 + 0,254,5 + 0,257+ 0,28 X = 5,475 O da mdia geomtrica ser: G = 30,34,50,2570,258,50,2 G 5,05 E a harmnica: H = 2 , 05 , 8125 , 07125 , 05 , 413 , 0311 + + + H 4,66 Exemplo 2.2.1.2 (dados agrupados) Foram medidas as alturas de 30 pessoas que esto mostradas na tabela abaixo (as medidas so em centmetros). 159168172175181 161168173176183 162169173177185 164170174178190 166171174179194 167171174180201 Agrupe estas pessoas em classes de 10cm e faa o histograma correspondente. Para agrupar em classes de 10cm, o mais lgico (mas no obrigatrio) seria agrupar em: de 150 a 160; de 160 a 170, e assim sucessivamente. O problema , onde incluir aqueles que tm, por exemplo, exatamente 170 cm? Na classe de 160 a 170 ou nade 170 a 180? H que se escolher uma, mas esta escolha completamente arbitrria. Vamos optar por incluir sempre o limite inferior, por exemplo, a classe de 170 a 180 inclui todas as pessoas com 170 cm (inclusive) at 180 cm (exclusive)13, para o que utilizaremos a notao [170; 180[. Ento, para os valores da tabela acima, teremos: [150; 160[1 [160; 170[8 [170; 180[14 [180; 190[4 [190; 200[2 13 Em linguagem de conjuntos equivaleria a dizer que o conjunto fechado em 170 e aberto em 180. 31[200; 210[1 Um histograma uma maneira grfica de representar este agrupamento, utilizando-se de retngulos cuja altura proporcional ao nmero de elementos em cada classe. O histograma para o agrupamento realizado mostrado na figura abaixo: 0246810121416150 160170180 190 200210 Exemplo 2.2.1.3 A partir dos dados agrupados do exemplo anterior, calcule a mdia14. Utilizaremos como dados os agrupamentos, como se (e freqentemente isso acontece) no tivssemos conhecimento dos dados que originaram este agrupamento. J que a nossa nica informao o agrupamento (seja pela tabela, seja pelo histograma), no possvel saber como os dados se distribuem pelo agrupamento, ento a melhor coisa que podemos fazer (na falta de outra opo) supormos que os dados se distribuem igualmente por cada agrupamento, de modo que, por exemplo, no agrupamento que vai de 170 a 180 como se tivssemos 14 pessoas com altura de 175 cm. Em outras palavras, tomaremos a mdia de cada classe para o clculo da mdia total. Obviamente, a no ser por uma grande coincidncia, este no ser o valor correto da mdia, mas uma aproximao e, de novo, o melhor que se pode fazer dada a limitao da informao. Ento, temos: X= 301 205 2 195 4 185 14 175 8 165 1 155 + + + + + X 175,33 cm Repare que, o valor correto da mdia, tomando-se os 30 dados originais, de 174,5 cm. 2.2.2 Moda Moda o elemento de maior freqncia, ou seja, que aparece o maior nmero de vezes15. No exemplo das idades na classe com 20 alunos, a moda 22 anos, que a idade mais freqente neste conjunto. Pode haver, entretanto, mais de uma moda em um conjunto de valores. Se houver apenas uma moda, a distribuio chamada de unimodal. Se houver duas, bimodal. 14 Quando se fala mdia, sem especificar, supe-se estar se tratando da mdia aritmtica. 15 Assim como na linguagem cotidiana dizemos que uma roupa est na moda quando ela usada pela maioria das pessoas. 32 2.2.3 Mediana Mediana o valor que divide um conjunto ao meio. Por exemplo, num grupo de 5 pessoas com alturas de 1,60m, 1,65m, 1,68m, 1,70m e 1,73m, a mediana 1,68m, pois h o mesmo nmero de pessoas mais altas e mais baixas (duas).A mediana apresenta uma vantagem em relao mdia: no grupo acima, a mdia 1,672m, ento, neste caso, tanto a mdia como a mediana nos do uma idia razovel do grupo de pessoas que estamos considerando. Se, no entanto, retirarmos a pessoa de 1,73m, substituindo-a por outra de 2,10m, a mdia passar a ser 1,746m. Neste caso, a mdia no seria muito representativa de um grupo que, afinal de contas, tem apenas uma pessoa acima de 1,70m. A mediana, entretanto, fica inalterada.A mediana, ao contrrio da mdia, no sensvel a valores extremos. Seguindo a mesma lgica, os quartis so os elementos que dividem o conjunto em quatro partes iguais. Assim, o primeiro quartil aquele elemento que maior do que 41 dos elementos e, portanto, menor do que 43dos mesmos; o segundo quartil (que coincide com a mediana) aquele que divide, 42 para cima 42 para baixo; finalmente o terceiro quartil aquele elemento que tem 43abaixo e 41 acima. Da mesma forma, se dividirmos em 8 pedaos iguais, teremos os octis, decis se dividirmos em 10, e, mais genericamente os percentis: o percentil de ordem 20 aquele que tem abaixo de si 20% dos elementos, e 80% acima. Exemplo 2.2.3.1 A partir da tabela apresentada no exemplo 2.2.1.1, determine: a) a moda O elemento que aparece mais vezes (3) 174 cm, portanto: Mo = 174 cm E s h uma moda, o que no necessrio que ocorra. No caso deste exemplo, bastaria que houvesse mais uma pessoa com 168 cm de altura para que esta distribuio se tornasse bimodal. b) a mediana H 30 dados. Do menor para o maior, o 15o dado , pela ordem, 173 cm, enquanto o 16o 174 cm. Como a mediana deve ter 15 elementos abaixo e 15 acima, tomaremos o ponto mdio entre o 15o e o 16o dado: Md = 2174 173 + Md = 173,5 cm c) o 1o e 2o quartis. Devemos dividir o total de elementos por 4, o que d 7,5. Como o 7o e o 8o elemento, indo do menor para o maior, so iguais, temos: 1o quartil = 168 cm 33 O 2o quartil coincide com a mediana: 2o quartil = Md = 173,5 cm 2.3. Medidas de disperso muito comum ouvirmos: em estatstica, quando uma pessoa come dois frangos enquanto outra passa fome, na mdia ambas comem um frango e esto, portanto, bem alimentadas; ou, se uma pessoa est com os ps em um forno e a cabea em um freezer, na mdia, experimenta uma temperatura agradvel. claro que estas situaes tem que ser percebidas (e so!) pela estatstica. Para isso que servem as medidas de disperso, isto , medidas de como os dados esto agrupados: mais ou menos prximos entre si (menos ou mais dispersos). 2.3.1 Varincia Uma das medidas mais comuns de disperso a varincia. Tomemos o exemplo dos frangos para trs indivduos. Na situao 1 h uma diviso eqitativa enquanto na situao 2, um indivduo come demais e outro passa fome.Situao 1Situao 2 indivduo1 12 indivduo211 indivduo310 claro que, em ambas as situaes, a mdia 1 frango por indivduo. Para encontrar uma maneira de distinguir numericamente as duas situaes, uma tentativa poderia ser subtrair a mdia de cada valor: Situao 1Situao 2 indivduo1 1 - 1 = 02 1 = 1 indivduo21 - 1 = 01 1 = 0 indivduo31 - 1 = 00 - 1 = -1 MDIA00 O que no resolveu muito, pois a mdia dos desvios em relao mdia16 (valor menos a mdia) continua igual. Mais precisamente, ambas so zero. Isto ocorre porque, na situao 2, os valores abaixo da mdia (que ficam negativos) compensam os que ficam acima da mdia (positivos). Para se livrar deste inconveniente dos sinais podemos elevar todos os valores encontrados ao quadrado. Situao 1Situao 2 indivduo1 (1 - 1)2 = 0(2 - 1)2 = 1 indivduo2(1 - 1)2 = 0(1 - 1)2 = 0 16 Alis, valeria a pena lembrar que sempre a soma dos desvios em relao mdia zero. 34indivduo3(1 - 1)2 = 0(0 - 1)2 = 1 MDIA02/3 E, desta forma, conseguimos encontrar uma medida que distingue a disperso entre as duas situaes. Na situao 1, no h disperso todos os dados so iguais a varincia zero. Na situao 2, a disperso (obviamente) maior encontramos uma varincia de 2/3 0,67. Basicamente, encontramos a varincia subtraindo todos os elementos do conjunto pela mdia, elevamos o resultado ao quadrado e tiramos a mdia dos valores encontrados. Portanto, a varincia de um conjunto de valores X, que chamaremos de var(X) ou 2X ser dada por: var(X) 2X = (X - X) + (X - X) +...+(X - X)n1222n2 Ou ainda: var(X) = 1n(X - X)i2i=1n Varincia , portanto, uma medida de disperso, que lembra quadrados. Este ltimo aspecto, alis, pode ser um problema na utilizao da varincia. Na situao 2 do exemplo anterior (que tratava de frangos), encontramos uma varincia de 0,67... frangos ao quadrado? Sim, porque elevamos, por exemplo, 1 frango ao quadrado. Da mesma forma que, na geometria, um quadrado de lado 2m tem rea de (2m)2 = 4m2, temos que (1 frango)2 = 1 frango2! E assim tambm valeria para outras variveis: renda medida em reais ou dlares teria varincia medida em reais ao quadrado ou dlares ao quadrado. Alm da estranheza que isto poderia causar, dificulta, por exemplo uma comparao com a mdia. Para eliminar este efeito, utiliza-se uma outra medida de disperso que , na verdade, uma pequena alterao da varincia. Exemplo 2.3.1.1 (varincia a partir de dados agrupados) Utilizando o agrupamento do exemplo 2.2.1.2, determine a varincia. A varincia calculada com o mesmo princpio utilizado para a mdia, ou seja, tomando-se o valor mdio de cada classe como representativo da mesma. Assim: var(X) =301[(155-175,33)21+(165-175,33)28+(175-175,33)214+(185-175,33)24+(195-175,33)22+(205-175,33)21] var(X) 108,89Mais uma vez, uma aproximao. Verifique que o valor correto da varincia (utilizando os dados iniciais) de 86,92. 2.3.2. Desvio padro 35Para eliminar o efeito dos quadrados existente na varincia basta extrairmos a raiz quadrada. Chamaremos de desvio padro da varivel X (dp(X) ou X): dp(X) X =var(X)Portanto, o desvio padro na situao 2 do exemplo dos frangos ser dado por: dp(X) =0 67 , 0,8 frangos Estando na mesma unidade dos dados (e da mdia), no caso especfico, frangos, possvel comparar o desvio padro com a mdia: neste caso, o desvio padro 80%17 da mdia. Note-se que, se o objetivo a comparao entre dois conjuntos de dados, tanto faz usar a varincia ou o desvio padro. Se a varincia maior, o desvio padro tambm maior (e vice-versa) necessariamente. 2.3.3. Outra maneira de calcular a varincia Se, a partir da definio de varincia, desenvolvermos algebricamente, obteremos: var(X) = 1n(X - X)i2i=1n var (X) = 1n(X -2X X+ Xi2i2i=1n) var(X) = 1nXi2i=1n- 1n2X X ii=1n + 1nX2i=1n var(X) = 1nXi2i=1n-2X1nXii=1n+ 1nnX2 var(X) = 1nXi2i=1n-22X +X2 var(X) = 1nXi2i=1n- X2 Ou, em outras palavras: var(X) = mdia dos quadrados - quadrado da mdia Utilizando este mtodo para calcular a varincia da situao 2 do exemplo dos frangos: Situao 2ao quadrado indivduo1 24 indivduo211 indivduo300 MDIA15/3 var(X) = mdia dos quadrados - quadrado da mdia = 5/3 - 12 = 2/3 17 Esta proporo, que obtida atravs da diviso do desvio padro pela mdia, tambm chamada de coeficiente de variao. 36Encontramos o mesmo valor. Tomemos agora o exemplo de um aluno muito fraco, que tem as seguintes notas em trs disciplinas: aluno Anotasao quadrado economia 39 contabilidade24 administrao416 matemtica11 MDIA2,57,5 Para este aluno, temos:X = 2,5 var(X) = 7,5 - 2,52 = 1,25 dp(X) = 1,12 Suponha agora um aluno B, mais estudioso, cujas notas so exatamente o dobro: aluno Bnotasao quadrado economia 636 contabilidade416 administrao864 matemtica24 MDIA530 Para o aluno B, os valores so: X = 5 Isto , se os valores dobram, a mdia dobra. var(X) = 30 - 52 = 5 = 41,25 Ou seja, se os valores dobram, a varincia quadruplica. Isto porque varincia lembra quadrados. Em outras palavras, vale a relao18: var(aX) = a2var(X) (2.3.3.1)dp(X) = 2,24 Isto , o desvio padro dobra, assim como a mdia. Vale, portanto, a relao: dp(aX) = a.dp(X)(2.3.3.2) Agora tomemos um aluno C, ainda mais estudioso, que tira 5 pontos a mais do que o aluno A em todas as matrias: aluno Cnotasao quadrado 18 Veja demonstrao no apndice 37economia 864 contabilidade749 administrao981 matemtica636 MDIA7,557,5 Para este aluno teremos: X = 7,5 Se o aluno tira 5 pontos a mais em cada disciplina, a mdia tambm ser de 5 pontos a mais var(X) = 57,5 - 7,52 = 1,25 dp(X) = 1,12 A varincia e o desvio padro so os mesmos do aluno A. Isto porque so medidas de disperso se somarmos o mesmo valor a todas as notas de A elas continuaro dispersas, espalhadas da mesma forma, apenas mudaro de posio. Valem portanto as relaes19: var(X+a) = var(X)(2.3.3.3) dp(X+a) = dp(X)(2.3.3.4) 2.3.4. Relaes entre variveis covarincia A covarincia pode ser entendida como uma varincia conjunta entre duas variveis. Enquanto a varincia sai de quadrados (da varivel menos a mdia), a covarincia definida atravs de produtos: cov(X,Y) =1n(X - X)(Y - Y)i ii=1n Que, assim como a varincia, pode ser calculada de outra forma: cov(X,Y) = mdia dos produtos - produto da mdia (2.3.4.1) Vejamos um exemplo do consumo e da taxa de juros de um pas: Anoconsumo (X)taxa de juros (Y)produto (XY) 1800108000 2700117700 3600137800 4500147000 MDIA650127625 cov(X,Y) = 7625 - 650x12 = -175 E agora entre o consumo e a renda: 19 Cujas demonstraes tambm podem ser vistas no apndice. 38 39tabela 2.3.4.1 Anoconsumo (X)renda (Y)produto (XY) 16001.000600.000 27001.100770.000 38001.3001.040.000 49001.4001.260.000 MDIA7501.200917.500 cov(X,Y) = 917.500 - 750x1.200 = 17.500 A primeira diferena que se nota entre os dois ltimos exemplos o sinal da covarincia em cada um deles. A covarincia negativa entre o consumo e a taxa de juros e positiva entre o consumo e a renda. Isto porque consumo e renda caminham na mesma direo (quando aumenta um, aumenta outro e vice-versa) e quando isto ocorre o sinal da covarincia positivo. J o consumo e a taxa de juros se movem em direes opostas (quando aumenta um, cai outro e vice-versa), assim sendo, o sinal da covarincia negativo. A covarincia entre duas variveis influenciada pela importncia que uma varivel tem sobre a outra, de tal modo que duas variveis independentes tm covarincia zero20. Entretanto, no possvel concluir, pelos valores obtidos, que a renda mais importante do que a taxa de juros para a determinao do consumo s porque o valor da covarincia entre o consumo e a renda bem maior do que o entre o consumo e a taxa de juros. Isto porque a covarincia tambm afetada pelos valores das variveis. A covarincia entre consumo e renda maior tambm porque os valores da renda so bem maiores que os da taxa de juros. 2.3.5 Coeficiente de correlao O coeficiente de correlao obtido retirando-se o efeito dos valores de cada uma das variveis da covarincia. Isto feito dividindo-se esta ltima pelos desvios padro das variveis. O coeficiente de correlao dado, ento, por: corr(X,Y) XY = ) dp(X).dp(YY) cov(X,

No exemplo do consumo e da renda os desvios padro so, respectivamente 111,8 e 158,1 (verifique!). O coeficiente de correlao ser dado por: XY = 17 5001118 158 1., , = 0,99 O sinal do coeficiente de correlao o mesmo da covarincia (e deve ser interpretado da mesma forma). 20 Mas a recproca no verdadeira. 40Os seus valores variam apenas no intervalo de -1 a 1 e podem sem interpretados como um percentual21. Portanto, um valor de 0,99 (quase 1) indica que a renda muito importante para a determinao do consumo. O valor de 1 (ou -1) para o coeficiente de correlao s encontrado para duas variveis que tenham uma relao exata e dada por uma funo do 1o grau. Por exemplo, o nmero de cadeiras e de assentos em uma sala de aula; o nmero de pessoas e dedos da mo (supondo que no haja indivduos polidctilos, acidentados ou com defeitos congnitos entre estas pessoas); a rea til e a rea total em apartamentos de um mesmo edifcio. Valores muito pequenos (em mdulo) indicam que a varivel tem pouca influncia uma sobre a outra. 2.3.6. Outras propriedades. No exemplo do consumo e da taxa de juros, multipliquemos o consumo por 3 e a taxa de juros por 2: ano 3X 2Yproduto 124002048000 221002246200 318002646800 415002842000 MDIA19502445750 A nova covarincia ser dada por: cov(3X,2Y) = 45750 - 1950x24 = -1050 = 6(-175) Ou seja, o sxtuplo da covarincia entre as variveis originais. A propriedade apresentada aqui pode ser assim resumida: cov(aX,bY) = a.b.cov(X,Y)(2.3.6.1) 21 Com ressalvas, pois ele calculado sem considerar a influncia de outras variveis. 41Tomemos agora duas variveis X e Y: XYX2Y2XY 10 1100110 12 3144936 18 2324436 20 2400440 MDIA15 22424,530,5 Podemos calcular: var(X) = 242-152 = 17 var(Y) = 4,5 -22 = 0,5 cov(X,Y) = 30,5 - 15x2 = 0,5 Vamos inventar duas novas variveis: X+Y e X-Y X+YX-Y(X+Y)2(X-Y)2 11912181 15922581 2016400256 2218484324 MDIA1713307,5185,5 Ento temos: var(X+Y) = 307,5 - 172 = 18,5 var(X-Y) = 185,5 - 132 = 16,5 Note que poderamos obt-las dos valores anteriores da seguinte forma: var(X+Y) = 17 + 0,5 + 20,5 =18,5 var(X-Y) = 17 + 0,5 - 20,5 = 16,5 Generalizando, vem22: var(X+Y) = var(X) + var(Y) + 2cov(X,Y)(2.3.6.2) var(X-Y) = var(X) + var(Y) - 2cov(X,Y)(2.3.6.3) 22 Note que muito semelhante forma do produto notvel (a+b)2 = a2 + b2 + 2ab, fazendo a varincia anloga ao quadrado e a covarincia anloga ao produto. 42 Exerccios 1. Num sistema de avaliao h duas provas (com notas variando de 0 a 10) e, para ser aprovado, o aluno deve ter mdia final 5. Qual a nota mnima que preciso tirar na primeira prova para ter chance de ser aprovado, supondo: a)mdia aritmtica ponderada, com a primeira prova tendo peso 2 e a segunda 1. b)mdia geomtrica (simples). c)mdia harmnica (simples). 2. Dados o conjunto {2; 3; 5; 8; 12}, calcule as mdias aritmtica, geomtrica e harmnica, supondo: a)pesos iguais. b)pesos 9, 7, 5, 3 e 1 c)pesos 10%, 20%, 30%, 25%, 15%

3. A partir dos dados do exemplo 2.2.1.2: a)agrupe os dados em classes de 5 cm. b)calcule a mdia e a varincia. c)comente os resultados obtidos no item anterior. d)trace o histograma correspondente. 4. Com base nos histogramas abaixo, calcule a mdia, a varincia e o desvio padro. a) 0102030405010 12 14 1618202224 b) 0246810121420 2530 35 4045 5. Calcule o coeficiente de correlao entre o consumo e a taxa de juros da tabela 2.3.4.1 6. Para os dados das tabelas abaixo, calcule: 43i) a varincia e o desvio-padro de X. ii) a varincia e o desvio-padro de Y. iii) a covarincia entre X e Y. iv) o coeficiente de correlao entre X e Y. a) XY 2012 3013 4014 4513 3615 2711 b) XY 11455 11261 10977 12366 11181 9995 12175 11377 9890 10387 7. Considere duas variveis aleatrias independentes, X e Y, cujas mdias so 10 e 12, respectivamente e suas varincias so 25 e 16. Usando as abreviaes abaixo: m(X) = mdia aritmtica de X. var(X) = varincia de X. dp(X) = desvio-padro de X. Determine: a) m(X + 5) b) m(5Y) c) m(3X 4Y + 7) d) var(2X) e) var(Y + 6) f) var(4X) - var(2Y + 12) g) dp(5X) + dp(6Y) h) dp(3X - 5) - dp(4Y - 8) 8. Dadas as variveis aleatrias X, Y e Z, sendo: var(X) = 4cov(Y,Z) = -3 var(Y) = 9X e Y so independentes var(Z) = 1X e Z so independentes Calcule: a) var(X+Y)b) var(X-Y)c) var(2X+3Y)d) var(Y+Z)44e) var(2Y-3Z+5) f) var(4X-2) g) corr(Z,Y) h) cov(4Z,5Y) i) cov(2Z,-2Y) j) corr(1,5Z; 2Y) 9. O coeficiente de correlao entre X e Y 0,6. Se W = 3 + 4X e Z = 2 2Y, determine o coeficiente de correlao entre W e Z. 10. O coeficiente de correlao entre X e Y . Se W = a + bX e Z = c + dY, determine o coeficiente de correlao entre W e Z 45Apndice 2.B - Demonstraes 2.B.1 Demonstrao da expresso 2.3.3.1 var(aX) = a2var(X) var(aX) = 1n n1 = i2i) X - X ( a avar(aX) = 1n| |n1 = i2i) X - (X avar(aX) = 1n n1 = i2i2) X - (X avar(aX) = a21n(X - X)i2i=1n var(aX) = a2var(X) (c.q.d) 2.B.2 Demonstrao da expresso 2.3.3.2 dp(aX) = a.dp(X) dp(aX) =X) var(adp(aX) =var(X)2adp(aX) =var(X) adp(aX) = a.dp(X) (c.q.d.) 2.B.3 Demonstrao da expresso 2.3.3.3 var(X+a) = var(X) var(X+a) = 1n| |+n1 = i2i) X ( - + X a avar(X+a) = 1n| |n1 = i2i) - X - + X a avar(X+a) = 1n(X - X)i2i=1n var(X+a) = var(X) (c.q.d.) 2.B.4 Demonstrao da expresso 2.3.3.4 dp(X+a) = dp(X) dp(X+a) =) + var(X adp(X+a) =var(X)46dp(X+a) = dp(X)(c.q.d.) 2.B.5 Demonstrao da expresso 2.3.4.1 cov(X,Y) = mdia dos produtos - produto da mdia cov(X,Y) =1n(X - X)(Y - Y)i ii=1n cov(X,Y) =1n(X Y - X Y- XY + XY)i i i ii=1n cov(X,Y) =1nX Yi ii=1n-1nX Yii=1n-1nXYii=1n+1nXYi=1n cov(X,Y) =1nX Yi ii=1n- Y1nXii=1n- X1nYii=1n+1nn XY cov(X,Y) =1nX Yi ii=1n- XY- XY+XY cov(X,Y) =1nX Yi ii=1n- XY cov(X,Y) = mdia dos produtos - produto da mdia (c.q.d.) 2.B.6 Demonstrao da expresso 2.3.6.1 cov(aX,bY) = a.b.cov(X,Y) cov(aX,bY) =1n n1 = ii i) Y - Y )( X - X ( b b a acov(aX,bY) =1n n1 = ii i) Y - (Y ) X - (X b acov(aX,bY) =a.b.1n(X - X)(Y - Y)i ii=1n cov(aX,bY) = a.b.cov(X,Y) 2.B.7 Demonstrao da expresso 2.3.6.2 var(X+Y) = var(X) + var(Y) + 2cov(X,Y) var(X+Y) =1n(X Y )i i2i=1n+- ( ) X Y +2 var(X+Y) =1n(X Y + 2X Y )i i2i ii=1n2+- ( ) X Y XY2 22 + +var(X+Y) =(1nXii=1n2-X2) + (1nYi2i=1n- Y2) + 2(1nX Yi ii=1n- XY) 47var(X+Y) = var(X) + var(Y) + 2cov(X,Y)(c.q.d.) 2.B.8 Demonstrao da expresso 2.3.6.3 var(X-Y) = var(X) + var(Y) - 2cov(X,Y) var(X-Y) = var[X+(-Y)] var(X-Y) = var(X) + var(-Y) + 2cov(X,-Y) var(X-Y) = var(X) + var(Y) - 2cov(X,Y) (c.q.d.)4849CAPTULO 3 DISTIBUIO DE PROBABILIDADE Suponha que voc compra uma ao de uma companhia ao preo de R$ 20 e que, aps um ms,pretendevend-la.Suponhaaindaque,poralgummotivoqualquer,aofinaldeumms,esta ao s pode estar valendo os mesmos R$ 20, com probabilidade de 50%; ter cado para R$ 15, com probabilidadede30%;ouainda,tersubidoparaR$25,comprobabilidadede20%.Sestestrs valores so possveis, tendo em vista que as respectivas probabilidades somam exatamente 100%. Temos a uma distribuio de probabilidade associada ao preo da ao, isto , cada um dos valorespossveisdestaao(s3,nestecaso)temumaprobabilidadecorrespondente.Como definimos no captulo anterior, isto caracteriza o preo da ao como uma varivel aleatria.

E,comooconjuntodevaloresdopreodaaoumconjuntodiscreto,estauma distribuiodeprobabilidadediscretaou,emoutraspalavras,umadistribuiodeprobabilidade deumavarivelaleatriadiscreta.Poderamosterumadistribuiocontnua(oque,alis, provavelmenteseriamaisadequadoconsiderando-sequesetratadopreodeumaao),masisto fica para mais adiante no captulo. Por enquanto trataremos de distribuies discretas. 3.1 Esperana Matemtica Umapessoaquecompreaaocitadaacimapodesairganhando,podeperderouatficar na mesma, dependendo do que acontea com o preo da ao. Ento, na mdia, d na mesma, certo? Errado!Aprobabilidadedequeaaocaiamaiordoqueaaosuba.Ovalormdio do preo da ao : 150,3 + 200,5 + 250,2 = R$ 19,50 O valor mdio 50 centavos abaixo do preo inicial da ao, o que significa que, em mdia, quem comprar esta ao sair perdendo. Mas este um valor mdio esperado. uma mdia do que pode acontecer com a varivel, baseadonasuadistribuiodeprobabilidade.oquechamamosdeEsperanaMatemticaou, simplesmente, Esperana. A Esperana de uma varivel aleatria discreta X, E(X), pode ser definida, ento, como: E(X) = X1P(X1) + X2P(X2) +...+XnP(Xn) = =n1 ii i) P(X X Aprobabilidadeaquitemomesmopapeldafreqnciarelativadocaptuloanterior.A diferena que, quando falamos em freqncia relativa usualmente nos referimos a uma quantidade obtida,enquantoprobabilidadeserefere,obviamente,aproporesqueavarivelpodeassumir determinado valor23. 23 A diferena ficar mais clara no captulo 5 quando falarmos em valores amostrais e populacionais. Podemos imaginar afreqnciarelativacomosendoovaloramostral,enquantoaprobabilidadeovalorpopulacional.Ouainda, lembrando o captulo 1, pela abordagem freqentista, a probabilidade o limite da freqncia relativa quando temos um nmero muito grande de experimentos. 50Alis,podemospensaremP(X)comoumafunoqueassociaovalordeXsua probabilidade, que chamada de funo de probabilidade. Uma outra funo importante que pode ser associada s probabilidades a funo que, dado ovalordeX,nosforneceaprobabilidadeacumulada,equechamamosfunodedistribuio acumulada, ou simplesmente, funo de distribuio, que representamos por F(X). SeXforopreodaaoquefalamosnoinciodocaptulo,entoXspodeassumir3 valores, isto , 15, 20 e 25. F(15) seria a probabilidade do preo da ao ser, no mximo, 15, o que exatamente 30%. F(20) a probabilidade de ser at 20 que, neste caso, equivale probabilidade de ser 15 ou 20, que 80%. Finalmente, F(25) a probabilidade de ser, no mximo, 25, isto , de ser 15,20,ou25que,obviamente100%.Estaumacaractersticadasfunesdedistribuio,o ltimo valor24 da funo 1 (100%). 0%10%20%30%40%50%60%152025P(X) Funo de probabilidade 0%20%40%60%80%100%120%152025F(X) Funo distribuio acumulada Nos grficos acima o formato de histograma foi utilizado para uma melhor visualizao, no sendo, evidentemente, obrigatrio, embora seja adequado para uma varivel aleatria discreta. Exemplo 3.1.1 Numsorteiodenmerosinteirosde1a5,aprobabilidadedeumnmerosersorteado proporcionalaestenmero(isto,aprobabilidadedonmero5sersorteadocincovezesa probabilidade do nmero 1 ser sorteado). Qual a probabilidade de cada nmero ser sorteado. 24 Ou o limite para quando X tende ao infinito. 51 Sechamarmosaprobabilidadedonmero1sersorteado(P(1))deumaconstante desconhecida A, temos que: P(2) = 2A P(3) = 3A P(4) = 4A P(5) = 5A Ora,sabemosqueasomadetodasasprobabilidades,sendooseventosmutuamente exclusivos, tem que ser igual a 1: P(1) +P(2) + P(3) + P(4) + P(5) = 1 A + 2A + 3A + 4A + 5A= 1 15 A = 1 A = 151 Portanto: P(1) = 1/15 P(2) = 2/15 P(3) = 3/15 = 1/5 P(4) = 4/15 P(5) = 5/15 = 1/3 VoltandoEsperana,elaumamdiaponderadapelasprobabilidades.Valemportanto, para a Esperana, as mesmas propriedades da mdia: E(aX + b) = aE(X) + b E(X + Y) = E(X) + E(Y) Podemos,inclusive,escreveravarinciaemtermosdaEsperana.Comoavarincia definida como a mdia dos quadrados dos desvios em relao mdia, temos que: var(X) = E[X E(X)]2 Ouainda,podemoscalcularavarinciacomosendoamdiadosquadradosmenoso quadrado da mdia, portanto: var(X) = E(X2) [E(X)]2

Da mesma forma, a covarincia entre duas variveis pode ser escrita utilizando a esperana: cov(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y)] = E(XY) E(X)E(Y) Exemplo 3.1.2 UmaaocompradaporR$10podeassumir,aps30dias,osseguintesvalores:R$5,com probabilidade20%;R$ 10, com probabilidade30%; R$ 16,comprobabilidade 25% e R$20, com probabilidade 25%. Determine o valor esperado da ao e a sua varincia. O valor esperado (esperana) da ao ser dado por: 52E(X) = 50,2 + 100,3 + 160,25 + 200,25 E(X) = 2,5 + 3 + 4 + 5 = 14,5 Como o preo da ao foi de R$ 10, o lucro mdio (esperado) desta ao R$ 4,50. Quanto varincia: E(X2) = 520,2 + 1020,3 + 1620,25 + 2020,25 E(X2) = 250,2 + 1000,3 + 2560,25 + 4000,25 E(X2) = 12,5 + 30 + 64 + 100 = 206,5 var(X) = E(X2) [E(X)]2 var(X) = 206,5 14,52 var(X) = 210,25 Repare que a varincia, ao medir a disperso dos possveis valores da ao, uma medida do risco da ao. 3.2 Algumas distribuies discretas especiais H distribuies que, por sua importncia, merecem um destaque especial e at um nome. Trataremos de algumas delas agora. 3.2.1 Distribuio uniforme discreta A distribuio uniforme aquela em que todos os elementos tm a mesma probabilidade de ocorrer. Imagine, por exemplo o marcador das horas em um relgio digital Qual a probabilidade de que,aoolharparaelenummomentoqualquerdodia,eleestejamostrandoumparticularnmero? Obviamente, 1/12 para qualquer nmero, considerando um mostrador de doze horas, ou 1/24 para um mostrador de vinte e quatro horas. Tambmigualaprobabilidadedeocorrnciadeumnmeroqualqueremumdadono viciado,1/6. Tambm se trata de uma distribuio uniforme. O grfico da funo de probabilidade para o caso do dado mostrado abaixo (de novo, em forma de histograma): 1 234 56P(X)1/6 Exemplo 3.2.1.1 Joga-se um dado uma nica vez. Qual o valor esperado do nmero obtido? E a sua varincia? O valor esperado (esperana) ser dado por: 53E(X) = 161 + 261+ 361 + 461+ 561 + 661 = 621 = 3,5 Repare que, no por coincidncia: E(X) = 3,5 = 26 1+ Ou seja, no caso de uma distribuio uniforme discreta, a mdia a prpria mdia aritmtica dos valores extremos (desde que, claro, estes valores cresam num intervalo constante). E a varincia ser: E(X2) = 1261 + 2261+ 3261 + 4261+ 5261 + 6261

E(X2) = 161 + 461+ 961 + 1661+ 2561 + 3661 = 691 var(X) = E(X2) [E(X)]2 var(X) = 691 2621|.|

\|=36105 2,92 3.2.2 Distribuio de Bernouilli AdistribuiodeBernouillisecaracterizapelaexistnciadeapenasdoiseventos, mutuamenteexclusivos,quedenominaremosdesucessoefracasso,numexperimentoque realizadoumanicavez.Seaprobabilidadedesucessop,aprobabilidadedefracasso, evidentemente25, 1 p. uma distribuio deste tipo o lanamento de uma moeda uma nica vez. Se apostamos na cara,sendoestaentoosucessotemosqueaprobabilidadedesucessop=1/2ea probabilidade de fracasso (coroa) 1 p = 1/2. Damesmaformase,numlanamentodeumadadoapostamosnumnmero,digamos,o3, esteserosucesso,sendoqualquerumdosoutroscinconmerosfracasso.Nestecaso,a probabilidade de sucesso p = 1/6 e a probabilidade de fracasso 1 p = 5/6. Houtrosexemplos:digamosqueaintenodevotoparaumcandidato30%.Se,ao escolhermosumeleitoraoacasoedefinimoscomosucessoseesteeleitorpretendevotarno referido candidato, a probabilidade de sucesso ser p = 0,3 e a probabilidade de fracassoser 1 p= 0,7; da mesma forma,se h 5% de peas defeituosas em um lote, definindo como sucesso escolher,aoacaso,umapeaquenosejadefeituosa,aprobabilidadeserp=0,95,enquantoa probabilidade de fracassoser 1 p = 0,05. Exemplo 3.2.2.1 No caso da cara ou coroa, atribuindo o valor 1 para o sucesso e 0 para o fracasso, determine a mdia e a varincia do resultado aps uma jogada. A mdia ser dada por: 25 J que s existem estes dois eventos e eles so mutuamente exclusivos. 54 E(X) = 121 + 021 = 21 = 0,5 E a varincia: E(X2) = 1221 + 0221 = 21 = 0,5 var(X) = E(X2) [E(X)]2 = 0,5 0,52 = 0,25 Exemplo 3.2.2.2 No caso do dado, em que se aposta em um nico nmero, atribuindo o valor 1 para o sucesso e 0 para o fracasso, determine a mdia e a varincia do resultado aps uma jogada. A mdia ser dada por: E(X) = 161 + 065 = 61

E a varincia: E(X2) = 1261 + 0265 = 61

var(X) = E(X2) [E(X)]2 = 61 261|.|

\|= 365 Pelos dois exemplos acima, podemos verificar que26, numa distribuio de Bernouilli: E(X) = p var(X) = p(1 p) Assim, podemos utilizar o resultado para o caso do candidato que tem 30% das intenes de voto. Temos que (verifique!): E(X) = p = 0,3var(X) = p(1 p) = 0,30,7 = 0,21 Emesmoparaocasodaspeasdefeituosasouparaqualquersituaoqueseenquadreem uma distribuio de Bernouilli. Especificamentenocasodocandidato,possvel,comoveremosadiante27,atravsda varincia, montar as chamadas margens de erro das pesquisas eleitorais. 3.2.3 Distribuio Binomial 26 A demonstrao dada no apndice 3.B 27 No captulo 6. 55AdistribuioBinomialnadamaisdoqueageneralizaodadistribuiodeBernouilli. H um sucesso, com probabilidade p e um fracasso, com probabilidade 1p, mas o nmero de experimentos (de jogadas) pode ser qualquer. Tomemosoexemplomaissimples,queodacaraoucoroa,comtrsjogadas,que representamos na rvore abaixo: 3 caras 2 caras 1 cara2ca 1co 1ca 1co 1 coroa1ca 2co 2 coroas 3 coroas J conhecemos o resultado da primeira jogada: P(1 cara) = p = 21

P(1 coroa) = 1 p =21 Paraasegundajogada,observandoarvore,verificamosque,daorigem,h4caminhos possveise,nestecaso,todoscomamesmaprobabilidade.Destes4,em1deleschegaramosa2 carasou2coroas.Entretanto,para1carae1coroah2caminhospossveis.Portanto,paraduas jogadas temos: P(2 caras) = 41 P(1 cara e 1 coroa) = 42 P(2 coroas) = 41 Repare que: P(2 caras) = pp P(1 cara e 1 coroa) = 2p(1p) P(2 coroas) = (1p)(1p) Onmero2queaparecepara1carae1coroasedeveaofatodequeesteresultado possvel de ocorrer de duas maneiras, isto , dando cara na primeira jogada ou dando coroa logo na primeira. Para3jogadas,h8caminhospossveis(verifique!).Destes8,emapenas1ocorrems caras ou s coroas. Em 3 deles ocorrem 2 caras e 1 coroa e em outros 3, 2 coroas e 1 cara. 56P(3 caras) = 81 P(2 caras e 1 coroa) = 83 P(1 cara e 2 coroas) = 83 P(3 coroas) = 81 Temos agora que: P(3 caras) = ppp P(2 caras e 1 coroa) = 3pp(1p) P(1 cara e 2 coroas) = 3p(1p)(1p) P(3 coroas) = (1p)(1p)(1p) E agora aparece o nmero 3 para 2 caras e 1 coroa (ou 1 cara e 2 coroas). De onde? Bom, h realmente3possibilidades:1acara,2acarae3acoroa;ou,1acara,2acoroae3acara;ouainda,1a coroa,2acara,3acara.Podemoscombinarasposiesdas2carasde3maneirasdiferentes.O nmero 3, na verdade, a quantidade de combinaes28 de 3 elementos em grupos de 2. Portanto: P(3 caras) = C3,3ppp P(2 caras e 1 coroa) = C3,2pp(1p) P(1 cara e 2 coroas) = C3,1p(1p)(1p) P(3 coroas) = C3,0(1p)(1p)(1p) Nota: as combinaes de n elementos em grupos de k tambm podem ser escritas como: Cn,k = ||.|

\|kn Queselbinomialden,k(porrazesqueagorasobvias).Portanto,asprobabilidades para 3 jogadas podem ser escritas assim: P(3 caras) = ||.|

\|33ppp P(2 caras e 1 coroa) = ||.|

\|23pp(1p) P(1 cara e 2 coroas) = ||.|

\|13p(1p)(1p) P(3 coroas) = ||.|

\|03(1p)(1p)(1p) Podemos generalizar, para um experimento qualquer, onde a probabilidade de sucesso p e a probabilidade de fracasso 1p, a probabilidade de que, em n jogadas, ocorram k sucessos : 28 Veja apndice 1.A. 57P(x = k) = ||.|

\|knpk(1p)n-k Exemplo 3.2.3.1 Suponha um jogo de dados em que se aposta em um nico nmero. Determine a probabilidade de: a) em 3 jogadas, ganhar 2 uma distribuio binomial onde p = 1/6, temos 3 jogadas e o sucesso ocorre em 2 delas: P(x = 2) = ||.|

\|23261|.|

\| 165|.|

\| P(x = 2) = 336165

P(x = 2) = 21615

b) em 4 jogadas, ganhar 2. P(x = 2) = ||.|

\|24261|.|

\| 265|.|

\| P(x = 2) = 63613625

P(x = 2) = 1296150 c) em 5 jogadas, ganhar 3. P(x = 3) = ||.|

\|35361|.|

\| 265|.|

\| P(x = 3) = 1021613625

P(x = 3) = 7776250 Exemplo 3.2.3.2 Calcule a mdia e a varincia no jogo de cara ou coroa, atribuindo valor 1 para cara e 0 para coroa, considerando 1, 2 e 3 jogadas. Para1jogada,ficamosreduzidosaocasoparticulardadistribuiodeBernouilli,cujo resultado j conhecemos: E(x) = p = 21 var(x) = p(1p) = 41 Faamos ento, o clculo para 2 e 3 jogadas. Para 2 jogadas, temos: 58E(x) = 241 + 142 + 041= 44 = 1 E(x2) = 2241 + 1242 + 0241= 46 = 1,5 var(x) = 1,5 12 = 0,5 E, para 3 jogadas, temos: E(x) = 381 + 283 + 183 + 081= 812 = 1,5 E(x2) = 3281 + 2283 + 1283 + 0281= 824 = 3 var(x) = 3 1,52 = 0,75 Note que vlido que: E(x) = np var(x) = np(1p) 3.2.4. Distribuio Geomtrica Adistribuiogeomtricatambmserefereasucessosefracassosmas,diferenteda binomialaprobabilidadedequeo sucesso ocorra (exatamente) na k-sima jogada.Por exemplo, nacaraoucoroa,qualaprobabilidadedequeacarasocorranaterceirajogada?Ou,quala probabilidade de que o dado s d o nmero desejado na quarta jogada. Assim sendo, a forma geral da distribuio geomtrica ser dada por: P(x = k) = (1p)k-1p Ouseja,umaseqnciadefracassosnask-1primeirasjogadas,culminandocom sucesso apenas na k-sima jogada. Exemplo 3.2.4.1 Um time de basquete no est muito bem nesta temporada, de tal forma que a probabilidade de que ganhe um jogo qualquer 20%. Qual a probabilidade de que a primeira vitria ocorra: a) na primeira partida? A imediato: P(x = 1) = 0,2 = 20% b) na segunda partida? P(x = 2) = 0,80,2 = 0,16 = 16% c) na quinta partida? P(x = 5) = 0,840,2 = 0,08192 8,2% Exemplo 3.2.4.2 Qual a partida esperada em que ocorrer a primeira vitria? 59O valor esperado da k-sima partida em que ocorrer a to sonhada vitria : E(x) = 10,2 + 20,80,2 + 30,820,2 + 40,830,2 + ... E(x) = 0,2[1 + 20,8 + 30,82 + 40,83 + ...] A expresso entre colchetes quase uma progresso geomtrica, exceto pelos nmeros 1, 2, 3, 4, etc. Na verdade, uma soma de progresses geomtricas como podemos ver abaixo: 1+ 0,8+ 0,82+ 0,83 + ... 0,8+ 0,82+ 0,83 + ... 0,82+0,83 + ...0,83 + ...1 + 20,8 + 30,82 + 40,83 + ... Relembrandoqueasomadeumaprogressogeomtricainfinitacujoprimeirotermoa cuja razo (q) menor do que 1, em mdulo, dada por29: S = q 1a Temos ento que: E(x) = 0,2( 8 , 0 11+8 , 0 18 , 02+8 , 0 18 , 03+ ...) E(x) = 8 , 0 12 , 0( 1 +0,8 + 0,82+ 0,83 + ...) Otermoentreparntesestambmumaprogressogeomtrica,enquantootermo multiplicando exatamente 1: E(x) = 8 , 0 11 = 2 , 01= 5 Portanto, o esperado que a vitria ocorra na quinta partida. Repare que o resultado obtido pode ser generalizado para: E(x) = p1 Que a mdia de uma distribuio geomtrica. 3.2.5 Distribuio Hipergeomtrica A distribuio Hipergeomtrica se refere a probabilidade de ao retirarmos, sem reposio, n elementosemumconjuntodeN,kelementoscomoatributosucesso,sendoque,dototaldeN elementos, s possuem este atributo e, portanto, N s possuem o atributo fracasso. Fica claro que, da maneira como definimos p anteriormente: 29 O que mostrado no apndice 3.A 60 p = Ns A pergunta aqui, ento, : qual a probabilidade de que, retirando-se n elementos, k possuam o atributo sucesso e n-k o atributo fracasso. Do total de N elementos, podemos tirar ||.|

\|nNgrupos de n elementos. Dos s que possuem o atributosucesso,h ||.|

\|ksgruposdekelementosquepoderiamsairnestaextrao.Finalmente, dosN-rquepossuemoatributofracasso,h ||.|

\|k - ns - Ngruposden-kelementos.Ento,a probabilidade de encontrarmos k elementos com o atributo sucesso : P(x = k) = ||.|

\|||.|

\|||.|

\|nNk - ns - Nks Exemplo 3.2.5.1 Sabe-sequeh10%depeasdefeituosasemumlotede50.Aoretirar8peasdestelote,sem reposio, qual a probabilidade de que 2 delas sejam defeituosas? Comoso10%depeasdefeituosasemumtotalde50,h5peasdefeituosas.Pede-sea probabilidadederetirar2(dototalde5)peasdefeituosase6(deumtotalde45)peasembom estado. Esta probabilidade calculada como se segue: P(x = 2) = ||.|

\|||.|

\|||.|

\|85064525 0,1517 = 15,17% 3.2.6 Distribuio de Poisson Voccapazdedizerquantasvezes,emmdia,tocaotelefonepordianasuacasaouno seu escritrio? Provavelmente, sim. Mas quantas vezes no toca o telefone? Esta pergunta muito difcildeseresponder.Quandoumavarivelaleatriatemumcomportamentoparecidocomeste, dizemos que ela segue uma distribuio de Poisson. Seconsiderarmosquesucessotocarotelefone,muitodifcilcalcularop,a probabilidade disso ocorrer, j que no temos como calcular a no ocorrncia do evento. Asoluoimaginarqueopmuitopequeno,jqueotoquedotelefoneduraapenas algunssegundosemumdiade24horas.Portanto,onmerodevezesqueesteexperimento realizado (telefone toca ou no toca), que o n da distribuio Binomial, realizado muitas vezes. 61 Assimquemodelamosestetipodedistribuio:partindodeumadistribuioBinomial, considerando que p muito pequeno (tende a zero) e n muito grande (tende a infinito). p 0 n Mas de tal modo que o produto np um nmero finito diferente de zero. np = Masoquesignificaestenovoparmetro?ComopartimosdeumadistribuioBinomial, temos que: E(x) = np = Portanto,exatamenteonmeromdiodevezesqueoeventoocorre.Noexemplodo telefone, o nmero de vezes que o telefone toca por dia. Ainda possvel calcular a varincia partindo de uma distribuio Binomial: var(x) = np(1p) Mas, como p tende a zero, 1p tende a 1. Portanto: var(x) = np = AdistribuiodePoissonsecaracteriza,destaforma,portermdiaigualavarincia.Para calcularmosaprobabilidadedeumavarivelcomoesta,partimosdadistribuioBinomiale fazemos p 0 e n . Fazendo isto30, chegamos a: P(x = k) = k!ek - Exemplo 3.2.6.1 Suponha que, em mdia, o telefone toque 4 vezes ao dia em uma casa. Qual a probabilidade de que, num certo dia, ele toque, no mximo, 2 vezes? uma distribuio de Poisson, cujo parmetro = 4. A probabilidade de tocar no mximo 2 vezes equivalente probabilidade de tocar 0, 1 ou 2 vezes. P(x = 0) = 0!4 e0 4 -= e-4 P(x = 1) = 1!4 e1 4 - = 4e-4 P(x = 2) = 2!4 e2 4 - = 8e-4 30 Veja a demonstrao no apndice 3.B.62Portanto: P(x 2) = 13e-4 0,2381 = 23,81% AdistribuiodePoissontambmpodesertilcomoumaaproximaodabinomial quando,emboranosejaimpossvel,ovalordepsejatopequenodemodoqueosclculosse tornem um tanto quanto trabalhosos, como no exemplo abaixo. Exemplo 3.2.6.2 Um candidato tem apenas 2% das intenes de voto. Qual a probabilidade de que, em 100 eleitores escolhidos ao acaso, encontremos 5 que desejem votar neste candidato? Usando a binomial pura e simplesmente, temos: P(x = 5) = ||.|

\|51000,0250,9895 0,0353 = 3,53% Podemos,entretanto,usaradistribuiodePoissoncomoaproximao,tendocomo parmetro = np = 1000,02 = 2 P(x = 5) = 5!2 e5 2 - 0,0361 = 3,61% Que um valor bem prximo do encontrado atravs da binomial. Exerccios 1. Calcule a mdia, a varincia e o desvio padro das seguintes variveis aleatrias discretas: a) valor de uma ao: $ 50 com probabilidade 35% $ 40 com probabilidade 30% $ 30 com probabilidade 20% $ 20 com probabilidade 15% b) pontos de um time ao final do campeonato: 40 com probabilidade de 5% 36 com probabilidade de 10% 32 com probabilidade de 25% 28 com probabilidade de 25% 24 com probabilidade de 20% 20 com probabilidade de 15% c) o valor em uma jogada de um dado no viciado. d)ovaloremumajogadadeumdadoviciadoemqueaprobabilidadeinversamente proporcional a cada nmero (isto , a probabilidade de dar 1 seis vezes maior do que dar 6). e) ganhos em jogo de cara ou coroa (com uma moeda no viciada) onde, aps 4 jogadas: 63ganhando 4, seguidas: prmio de $ 60 ganhando 3, seguidas: prmio de $ 30 ganhando 3, alternadas: prmio de $ 20 ganhando 2, seguidas: prmio de $ 10 ganhando 2, alternadas: prmio de $ 0 ganhando 1: penalidade de $ 20 perdendo todas: penalidade de $50 f) ganhos em jogo de dados tetradricos (apostando em um nico nmero) onde, aps 3 jogadas: ganhando 3 : prmio de $ 20 ganhando 2, seguidas: prmio de $ 10 ganhando 2, alternadas: prmio de $ 0 ganhando 1: penalidade de $ 10 perdendo todas: penalidade de $ 20 g) Z = 1, 2, 3, 4 P(Z=k) = 0,48k 2. Dada uma v.a. X, onde X um nmero inteiro positivo cuja probabilidade P(X = k) = A(0,8)k. Determine o valor de A. 3. A probabilidade de que um aluno atrase a mensalidade 10%. Qual a probabilidade de que, em 10 alunos, no mximo 2 atrasem a mensalidade? 4.Umcandidatotem20%dasintenesdevoto.Qualaprobabilidadedeque,em15eleitores escolhidos ao acaso, 7 tenham a inteno de votar neste candidato? 5.Numgrupode20pessoas,12socasadas.Qualaprobabilidadede,numgrupode5pessoas escolhidas ao acaso, 2 sejam solteiras? 6.Umapessoaestinteressadaemvenderumimvelefoiinformadadeque,aprobabilidadede encontrarumcompradordispostoapagaropreopedidoemqualquerdia30%.Quala probabilidade de que ela consiga vender o imvel em at 3 dias? 7. Numa grande cidade brasileira ocorrem, em mdia, 5 enchentes por ano. Qual a probabilidade de que num determinado ano ocorram no mximo 3 enchentes? 8.Umaaluna,quandoassisteaulasemsalascomarcondicionado,espirra,emmdia,3vezespor hora. Qual a probabilidade de que, em 3 horas, ela espirre 10 vezes? 9. Calcule a probabilidade pedida usando a binomial e a respectiva aproximao pela Poisson: a) em um lote de 1000 peas, 1% so defeituosas. Qual a probabilidade de que um lote de 20 peas no apresente nenhuma defeituosa. b)umcandidatotem30%dasintenesdevoto.Qualaprobabilidadedeque,entrevistados100 eleitores, 35 afirmem que vo votar neste candidato. 64APNDICE 3.A Progresso geomtrica ChamamosdeProgressoGeomtrica(ou,simplesmente,PG)umaseqnciadenmeros emque,dadoumnmerodasrie,onmeroseguinteserencontradomultiplicando-seporum valor fixo. Por exemplo, a seqncia de nmeros abaixo: {2, 6, 18, 54, 162} umaPG,poispartindodo2,multiplicando-opor3,temos23=6,queonmero seguinte;paraacharmosoprximo,fazemos63 = 18, eassim sucessivamente para encontrarmos os seguintes. EstaumaPGde5termos;onmero3,queaquelequesemultiplicaparaencontraro prximo nmero da seqncia chamado de razo da PG. NossoprincipalinteresseasomadostermosdeumaPG.Nocasoespecfico,porm,ela pode ser facilmente encontrada, pois so poucos termos: S = 2 + 6 + 18 + 54 + 162(3.A.1) S = 242 Hqueseencontrar,noentanto,umafrmulageralparaquepossaseraplicadaaqualquer PG, no importa seu tamanho. Para isto, multipliquemos a equao (3.A.1) por 3, que a razo da PG. 3S = 6 + 18 + 54 + 162 + 486(3.A.2) Note que todos os termos se repetiram, exceto o primeiro. Subtraiamos a equao (3.A.1) da equao (3.A.2): 3S =6 + 18 + 54 + 162 + 486 -(S = 2 + 6 + 18 + 54 + 162 ) 2S = 486 -2 2S = 484 S = 4842= 242 Destaforma,podemosrepetiroprocedimentoparaumaPGqualquerdentermos,com1o termo denominado a e razo q. A soma desta PG ser dada por: S = a + aq + aq2 + aq3 + ... + aqn-1 (3.A.3) Multiplicando a equao (3.A.3) por q, vem: qS=aq + aq2 + aq3 + ... + aqn-1 + aqn (3.A.4) Subtraindo (3.A.3) de (3.A.4), temos: qS= aq + aq2 + aq3 + ... + aqn-1 + aqn

-(S = a + aq + aq2 + aq3 + ... + aqn-1 )65qS-S= aqn - a S(q-1) = a (qn -1) S = 1 - q) 1 (qn a Assim,conseguimosencontrarumtermogeralparacalcularasomadeumaPG.Paraisso, devemos identificar o primeiro termo da srie (o ada frmula), a razo (q) e o nmero de termos (n). EseaPGforinfinita?possvelqueasomasejafinita?Arespostasim.Tomemos,por exemplo,umapessoaquecomeumchocolateseguindoumaregra:emcadamordida,elacome exatamentemetadedoquefalta.Quantoschocolateselaircomeraofinaldeinfinitasmordidas? Obviamente,1chocolate.Masistosaconteceporqueemcadamordidaelacomesempreuma frao do que falta. Isto , necessrio que a razo seja (em mdulo) menor do que 1. A soma que representa as mordidas do chocolate dada por: S = 21 + 41 + 81 + 161 + ... = 1 QueumaPGcominfinitostermo,cujoprimeiro 21earazotambm 21eque, sabemos, igual a 1. Neste caso temos uma PG infinita, portanto: S = a + aq + aq2 + aq3 + ...(3.A.5) Que, se multiplicarmos por q e subtrairmos, temos: S = a + aq + aq2 + aq3 + ... -(qS= aq + aq2 + aq3 + ... ) S - qS=a (1- q)S = a S = q 1a APNDICE 3.B Tpicos adicionais em distribuies de probabilidade discretas 3.B.1 Mdia e varincia de uma distribuio de Bernouilli E(X) = 1p + 0(1 p)E(X) = p E(X2) = 12p + 02(1 p)E(X2) = p var(X) = E(X2) [E(X)]2 var(X) = p p2 66var(X) = p(1 p) 3.B.2 Da Binomial Poisson A probabilidade em uma distribuio Binomial dada por: P(x = k) = ||.|

\|knpk(1p)n-k Pela definio de binomial (combinaes): P(x = k) = k! k)! - (nn!pk(1p)n-k P(x = k) = k! k)! - (nk)! - 1)(n k - 2)...(n - 1)(n - n(n +pk(1p)n-k P(x = k) = k!1) k - 2)...(n - 1)(n - n(n +pk(1p)n-k Nonumeradordafraoacimatemoskfatores.Colocandonemevidnciaemcadaum deles: P(x = k) = k!1nk[(1-n1)(1-n2)...(1-n1 - k)]pk(1p)n-k Como n tende ao infinito, n1, n2, etc. tendem a zero. P(x = k) = k!1nk pk(1p)n-k Como, por definio, = np, temos que p = n. P(x = k) = k!1nkknk (1n)n-k Do clculo diferencial, sabemos que: limn(1n)n-k = e- E assim chegamos a: P(x = k) = k!ek - 3.B.3 Quadro resumindo as principais distribuies discretasDistribuioForma Geral P(X = k) MdiaVarincia Binomial ||.|

\|knpk(1p)n-k npnp(1p) Geomtrica(1p)k-1p p1 2pp 1 67Hipergeomtrica ||.|

\|||.|

\|||.|

\|nNk - ns - Nks np = nNsnNsNs - N1 - Nn - N Poisson k!ek - np = 68CAPTULO 4 -DISTRIBUIES CONTNUAS E TEOREMA DE TCHEBICHEV 4.1. Distribuies contnuas Imagine o marcador das horas de um relgio digital. Agora, pense no ponteiro das horas de umrelgioanalgico.Humadiferenasignificativa,almdatecnologiaempregada.Enquantoo ponteiropassaporqualquerposiodomarcador,seatribuirmosestasua posio a um valor, este ser exatamente 2 quando for pontualmente duas horas, valer 2,5 quando forem duas horas e trinta minutos,3,25strsequinzeeassimsucessivamente.Oquesequerdizeraquiqueovalor atribudo posio do ponteiro das horas pode ser qualquer um entre 0 (exclusive) e 12 (inclusive). J no relgio digital, o mostrador s assume, obviamente, valores inteiros. Esta diferena pode ser vista graficamente. Primeiro, num grfico para o relgio digital: AvarivelXovalorassumidopelomarcadordashorasdorelgiodigital.Seolharmos paraelenumahoraqualquerdodiaaprobabilidadedequeelatenhaumdos12valoresacima exatamente 121. No h a possibilidade de que ela assuma outros valores. Adiferenanogrficoparaorelgioanalgicoqueeleassume,emprincpio,qualquer valor, portanto devemos preencher a linha que une os doze pontos. A varivel x pode assumir, portanto, infinitos valores. Como vimos no captulo 1, embora o ponteiro das horas passe pelo 2, a probabilidade de que x seja exatamente igual a 2 zero, j que um valor entre infinitos possveis. Como calcular a probabilidade de que x assuma um valor entre, digamos, 2 e 3? Do captulo 1, j sabemos a resposta, que o mesmo 121, j que o intervalo de 2 a 3 121dointervalototal(etodososintervalosdomesmotamanhotemamesmaprobabilidadede ocorrer). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P(X) 121X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12f(x) 121x 69Uma outra maneira de chegar a este clculo se retomarmos o grfico para o relgio digital, mas desta vez em forma de histograma: Umamaneiradeinterpretarmosaprobabilidadedomostradorestarindicandoduashoras, isto , P(X = 2) a rea do retngulo correspondente a X = 2. A base deste retngulo 1 e a altura 121. A rea , portanto, 1121 = 121. Paraumadistribuiocontnua,usaremosumraciocnioanlogo,isto,paradeterminara probabilidade de x estar entre 2 e 3, calcularemos a rea definida pela funo neste intervalo. A rea , de novo, de um retngulo, cuja base 1 e a altura 121. Portanto: P(2 < x < 3) = 1121 = 121 Repareque,comoaprobabilidadedeumpontoigualazero,tantofaz,nestecaso,se utilizamos os smbolos de menor ou menor ou igual, pois a probabilidade ser a mesma: P(2 < x < 3) = P(2 x < 3) = P(2 < x 3) = P(2 x 3)= 121 Uma distribuio como essa do relgio analgico uniforme (contnua). Note uma coisa importante: A funo f(x) no fornece diretamente a probabilidade de x, at porque esta zero, j que se trata de uma distribuio contnua. Ela chamada de funo densidade de probabilidade (f.d.p.) e as probabilidades so obtidas atravs das reas definidas por esta funo. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12P(X) 121X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12f(x) 121x 70Asprobabilidadesdeprobabilidade,entretanto,devemsermantidasparaquef(x)sejauma f.d.p. A soma das probabilidades tem que ser igual a 1, o que vale dizer que a rea total tem que ser igual31 a 1. De fato, a rea total definida por f(x) 12121 = 1. Alm disso, a probabilidade no pode ser negativa. Portanto, f(x) tem que ser no negativo, isto , maior ou igual a zero. Exemplo 4.1.1 Uma varivel aleatria (v.a.) contnua, com distribuio uniforme, pode assumir qualquer valor real