U.E PROF EDGAR TITO

ESTATÍSTICA

PROF. RANILDO LOPEShttp://ueedgartito.wordpress.com

Medidas centrais são valores que resumem um conjunto de dados a um único valor que, de alguma forma, seja representativo do conjunto. As mais importantes medidas de tendência central são: a média aritmética, a mediana e a moda. Também são usados a média aritmética para dados agrupados, a média aritmética ponderada, a média geométrica, a média harmônica. Se os dados provêm de uma amostra, a média, a mediana e as demais medidas de tendência central são dados estatísticos e, se os dados provêm da população, eles são parâmetros.

Medidas de tendência central

Definição: A média (valor esperado, ou valor médio) de um conjunto de n observações é, simplesmente, a soma dos valores das observações dividida pelo número de observações.

Média Aritmética (MA)

Por exemplo: A idade de 6 pessoas de uma determinada residência são: 5, 20, 34, 30, 62, 67 usando os dados de idades de 6 pessoas, se obtém como valor médio anos.

Notação: Se x1, x2, ...., xn denota uma amostra de n observações, então a média da amostra denota-se por (MA) e é calculado como:

5 20 34 30 62 6736,3

6

1 1 2 .........

n

ii n

xx x x

MAn n

Média

Média

Media aritmética de n valores, é o valor que se obtém, dividindo por n, a soma desses valores.

11 13 15 1714

4x

Quando há dados agrupados, o cálculo da média faz-se em relação ao valor central das classes.

Exemplo: um casal tem quatro filhos com as idades: 11, 13, 15 e 17 anos.

A média aritmética é:

A média das idades é 14 anos.

Média Ponderada(MP) – Seja x uma variável quantitativa que assume valores x1, x2, ...., xn, com frequências absolutas respectivamente

iguais a n1, n2,...nkA média Aritmética Ponderada é definida como:

50 2 62 2 65 3 91 369, 2

2 2 3 3

x x x xMP

1 1 1 2 2 3 3

1 2 3

1

.. . . .... .

...

n

i ii n n

nn

ii

x px p x p x p x p

MPp p p p

p

Ex:As notas bimestrais de Adriana em Matemática foram respectivamente: 50; 62; 65; 91 e seus pesos são respectivamente 2,2,3,3. Qual foi a MP de Adriana?

Um feirante possuía 50kg de maçã para vender em uma manhã. Começou a vender frutas por R$ 2,50 o quilo e, com o passar das horas, reduziu o preço em duas ocasiões para não haver sobras. A tabela seguinte informa a quantidade de maçãs vendidas em cada período, bem como os diferentes preços cobrados pelo feirante.

2,50.32 2,00.13 1,40.5 1132,26 reais

32 13 5 50MP

32 13 5

2,50 2,50 ... 2,50 + 2,0 ...2,0 1,40 1, 40 ... 1, 40

32 13 5

vezes vezes vezes

MP

Ou seja, R$ 2,26 é o preço médio do quilo da maçã vendido.

Naquela manhã por quanto foi vendido, em média, o quilo da maçã?

Moda (Mo)Definição: Define-se moda de um conjunto de observações de uma amostra como sendo o

valor que surge com mais freqüência se os dados são discretos, ou, classemodal ao intervalo de classe com maior freqüência, se os dados sãocontínuos.

Exs:- No caso em que {0,0,0,0,0,1,2,3,4,4,4,4,5}, a moda é 0 e, neste caso, verifica-se

que nem sempre a moda é uma medida de tendência central.

- Por outro lado, tem-se que o conjunto {0,1,2,4,5,8} não tem moda

- A moda também pode ser determinada para variáveis qualitativas, como porexemplo: flamengo, flamengo, flamengo, flamengo, flamengo, vasco, vasco,fluminense, fluminense, fluminense, botafogo, américa. A moda é flamengo.

- A moda dos valores {0,0,0,1,1,2,2,2,3,4} são duas: 0 e 2. O conjunto é ditobimodal;

0

1

2

3

4

4

10

7

3

1

Número de filhos

Frequência absoluta

Moda

Moda é o valor mais frequente da variável estatística.

Exemplo: A seguinte tabela estatística foi construída com base no número de filhos dos 25 casais que constituem a família Sr. Alberto.

Pode concluir-se que, neste caso, a moda é ter 1 filho.

Bimodal – existem duas modas diferentes.

Plurimodal – existem mais de duas modas diferentes.

Amodal – não se consegue determinar nenhum valor para a moda, pois todos os elementos se

repetem igual número de vezes.

A mediana é uma medida de localização do centro da distribuição dos dados, definida do seguinte modo:

Definição: Ordenados os elementos da amostra, do menor para o maior, a mediana de n observações é o valor (pertencente ou não à amostra) que a divide ao meio, isto é, 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais à mediana e os outros 50% são maiores ou iguais à mediana.

Para a sua determinação utiliza-se a seguinte regra, depois que a amostra de n elementos é ordenada:

Se n é ímpar, a mediana é o elemento médio. Se n é par, a mediana é a semi-soma dos dois elementos médios

(centrais).

Mediana(Me)

Observação: A mediana é resistente, isto é, não sofre com as alterações modificações efetuadas com as trocas nos valores extremos da amostra.

A moda é uma medida especialmente útil para reduzir a informação de um conjunto de dados qualitativos apresentados sob a forma de nomes ou categorias, para os quais não se pode calcular a média e por vezes

a mediana.Como n é par, a mediana será

Notas organizadas em ordem crescente

Número de faltas durante um periodo de 15 dias.0, 0, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 7, 7

Como n é ímpar 50% dos valores são maiores ou iguais a mediana e 50% dos valores são menores ou iguais a mediana.

Mediana

1ª Situação 2ª Situação

7,3 7,47,35

2

Vamos calcular a média e a mediana de um dos exemplos anteriores e fazer algumas observações:

267,96,7

40MA

7,35Me

Mediana

5 86 , 5

2

Mediana é o valor central da variável estatística, de tal modo que exista igual número de observações inferiores e superiores a esse valor.

Exemplo 2: Outro casal tem seis filhos, com as idades:

(n.° par de observações)

Mediana

Exemplo 1: Um casal tem cinco filhos, com as idades:

(n.° ímpar de observações)

Mediana 8x

2

3, 5, 8,10,152

1, 3, 5, 8,10,152

2

Medindo Variações:

Considere 2 (dois) conjuntos de dados que têm a mesma média, a mesma mediana e a mesma moda. Naturalmente, eles diferem na variabilidade. Os valores do primeiro conjunto de dados estão mais concentrados ao redor de 60, como a seguir:

Lista 1: 55, 56, 57, 58, 59, 60, 60, 60, 61, 62, 63 64, 65

Média = mediana = moda = 60

Lista 2: 35, 40, 45, 50, 55, 60, 60, 60, 65, 70, 75, 80, 85

Média = mediana = moda = 60

XX

XXXXXXXXXXX35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85

XX

X X X X X X X X X X35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85

Medidas de dispersão

Um aspecto importante no estudo descritivo de um conjunto de dados é o da determinação da variabilidade ou dispersão desses dados relativamente à medida de localização do centro da amostra.

Supondo ser a média a medida de localização mais importante, será relativamente a ela que se define a principal medida de dispersão: a variância, que será definida a seguir.

Variância

Definição: Define-se a variância(V) como sendo a medida que se obtém somando os quadrados dos desvios das observações da amostra, relativamente à sua média, e dividindo pelo número de observações da amostra. Assim, se as n observações de uma variável X são x1, x2, ..., xn, a variância é

22 2 2

1 1 2

( )( ) ( ) ... ( )

n

ii n

x MAx MA x MA x MA

Vn n

onde é a média aritmética das observações

Observação: A variância de uma amostra é mais comumente definida como acima, mas substituindo o denominador por n-1 (isto é feito para que ela seja um estimador não enviesado da verdadeira variância da população). Para amostras grandes, ambas as expressões dão praticamente o mesmo resultado.

1 2 ... nx x xM A

n

Definição: Uma vez que a variância envolve a soma de quadrados, a unidade em que se exprime não é a mesma que a dos dados. Assim, para obter uma medida da variabilidade ou dispersão com as mesmas unidades que os dados, tomamos a raiz quadrada da variância e obtemos o desvio padrão. Assim, o desvio padrão de uma variável X cujos valores são x1, x2, ..., xn, é dada por

O desvio padrão é uma medida que só pode assumir valores não negativos e quanto maior for seu valor maior será a dispersão dos dados da amostra.Exemplo:

2 2 21 2( ) ( ) ... ( )nx MA x MA x MA

DP Vn

Desvio-padrão

Prof: RANILDO LOPES

FIM