Módulo: CFER Rendas 28/01/10

Curso EFA/NS Técnico/a de ContabilidadeElaborado por: Sónia Pais Nr.º 17

Índice

Conteúdo

Índice...........................................................................................................2Exercício:.....................................................................................................2Noções de Aritmética e Geometria..............................................................3

Aritmética..................................................................................................3Geometria..................................................................................................5

Tabelas Financeiras.....................................................................................7Valor Actual..............................................................................................7Valor Futuro..............................................................................................9

Rendas Financeiras....................................................................................11

Exercício:Apliquei um valor de 865€, á taxa de juro de 7% mês a 10 anos.

Vou receber no valor Actual 439,42Cálculo:

865 X 0,508

Fórmula: 1/(1+V)t

  1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9%1 0,990 0,980 0,971 0,962 0,952 0,943 0,935 0,926 0,9172 0,980 0,961 0,943 0,925 0,907 0,890 0,873 0,857 0,8423 0,971 0,942 0,915 0,889 0,864 0,840 0,816 0,794 0,7724 0,961 0,924 0,888 0,855 0,823 0,792 0,763 0,735 0,7085 0,951 0,906 0,863 0,822 0,784 0,747 0,713 0,681 0,6506 0,942 0,888 0,837 0,790 0,746 0,705 0,666 0,630 0,5967 0,933 0,871 0,813 0,760 0,711 0,665 0,623 0,583 0,5478 0,923 0,853 0,789 0,731 0,677 0,627 0,582 0,540 0,5029 0,914 0,837 0,766 0,703 0,645 0,592 0,544 0,500 0,460

10 0,905 0,820 0,744 0,676 0,614 0,558 0,508 0,463 0,42211 0,896 0,804 0,722 0,650 0,585 0,527 0,475 0,429 0,38812 0,887 0,788 0,701 0,625 0,557 0,497 0,444 0,397 0,35613 0,879 0,773 0,681 0,601 0,530 0,469 0,415 0,368 0,326

Vou receber no valor Futuro 1701,455

Cálculo:

865 X 1,967

Fórmula: (1+V)t

  1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9%1 1,010 1,020 1,030 1,040 1,050 1,060 1,070 1,080 1,0902 1,020 1,040 1,061 1,082 1,103 1,124 1,145 1,166 1,1883 1,030 1,061 1,093 1,125 1,158 1,191 1,225 1,260 1,2954 1,041 1,082 1,126 1,170 1,216 1,262 1,311 1,360 1,4125 1,051 1,104 1,159 1,217 1,276 1,338 1,403 1,469 1,5396 1,062 1,126 1,194 1,265 1,340 1,419 1,501 1,587 1,6777 1,072 1,149 1,230 1,316 1,407 1,504 1,606 1,714 1,8288 1,083 1,172 1,267 1,369 1,477 1,594 1,718 1,851 1,9939 1,094 1,195 1,305 1,423 1,551 1,689 1,838 1,999 2,172

10 1,105 1,219 1,344 1,480 1,629 1,791 1,967 2,159 2,36711 1,116 1,243 1,384 1,539 1,710 1,898 2,105 2,332 2,58012 1,127 1,268 1,426 1,601 1,796 2,012 2,252 2,518 2,81313 1,138 1,294 1,469 1,665 1,886 2,133 2,410 2,720 3,06614 1,149 1,319 1,513 1,732 1,980 2,261 2,579 2,937 3,342

Noções de Aritmética e Geometria

AritméticaA aritmética é o ramo da matemática que lida com números e com as operações possíveis entre eles.As operações aritméticas tradicionais são a adição, a subtracção, a multiplicação e a divisão, embora

operações mais avançadas (tais como as manipulações de percentagens, raiz quadrada, exponenciação e funções logarítmicas) também sejam por vezes incluídas neste ramo. A aritmética desenrola-se em obediência a uma ordem de operações.

A aritmética abrange o estudo de algoritmos manuais para a realização de operações com os números naturais, inteiros, racionais (na forma de fracções) e reais. Tais operações, no entanto, podem ser realizadas com o uso de ferramentas como calculadoras, computadores ou o ábaco, o que não lhes tira o carácter aritmético.

O termo aritmética também é usado em referência à teoria dos números. Isto inclui as propriedades dos inteiros relacionados com a primalidade, a divisibilidade e a solução de equações em inteiros, bem como a pesquisa moderna que tem surgido deste estudo. É neste contexto que se pode encontrar coisas como o teorema fundamental da aritmética e funções aritméticas.

O termo 'aritmética' (português) provém do grego 'arithmós', que se refere aos números, enquanto o prefixo 'ar_' implica reunir, isto é, aritmética é a ciência que reúne - soma, subtrai, multiplica, divide - números. Trata-se, portanto, da parte da matemática que estuda as operações numéricas e, por extensão de sentido, significa tudo que pressupõe um cálculo qualquer.1

Há dois tipos de média aritmética - simples ou ponderada.

Média aritmética simples 

A média aritmética simples é a mais utilizada no nosso dia-a-dia. É obtida dividindo-se a soma das observações pelo número delas. É um quociente geralmente representado pelo símbolo . Se tivermos uma série de n valores de uma variável x, a média aritmética simples será determinada pela expressão:

Média aritmética ponderada 

Consideremos uma coleção formada por n números: , de forma que cada um esteja sujeito a um peso [Nota: "peso" é sinónimo de "ponderação"], respectivamente, indicado por: . A média aritmética ponderada desses n números é a soma dos produtos de cada um multiplicados por seus respectivos pesos, dividida pela soma dos pesos, isto é:

Obviamente, a média aritmética e a média ponderada podem ser generalizadas para estruturas algébricas mais complexas; a única restrição é que a soma dos pesos seja um número invertível (em particular, não pode ser zero).

Exemplos:

Um aluno tirou as notas 5, 7, 9 e 10 em quatro provas. A sua média será (5 + 7 + 9 + 10) / 4 = 7.75 

Um aluno fez um teste (peso 1) e uma prova (peso 2), tirando 10 no teste e 4 na prova. A sua média (ponderada) será (10 x 1 + 4 x 2) / (1 + 2). Teríamos então: (10 + 8) / 3. Logo, o resultado da média aritmética ponderada para este exemplo é: 6. Se o teste e a prova tivessem mesmo peso (e não importa qual o valor do peso, importa apenas a relação entre os pesos), a média ponderada aritmética seria sempre 7. Isto é, se o aluno fizesse um teste (peso 3) e uma prova (peso 3) obtendo respectivamente a mesma pontuação anterior (10 e 4), teríamos: (10 x 3 + 4 x 3) / (3 + 3). Continuando: (30 + 12) / 6. O resultado para pesos iguais será sempre: "7". Veja: (30 + 12) / 6 = 7. 

Um triângulo no plano tem vértices dados pelas coordenadas cartesianas (2, 1), (4, -1) e (3, 6). O seu baricentro é a média dos vértices, ou seja (3, 2). 2

GeometriaA geometria é a parte da matemática cujo objecto é o estudo do espaço e das figuras que podem ocupá-

lo. Está apoiada sobre alguns axiomas, postulados, definições, teoremas e corolários, sendo que essas afirmações e definições são usadas para demonstrar a validade de cada teorema.

A geometria permite-nos o uso dos conceitos elementares para construir outros objectos mais complexos como: pontos especiais, rectas especiais, planos dos mais variados tipos, ângulos, médias, centros de gravidade de objectos, etc.3

A média geométrica de um conjunto de números positivos é definida como o produto de todos os membros do conjunto elevado ao inverso do número de membros.

Cálculo:Em uma fórmula: a média geométrica de a1, a2, ..., an é

. 

A média geométrica de um conjunto de números é sempre menor ou igual à média aritmética dos membros desse conjunto (as duas médias são iguais se e somente se todos os membros do conjunto são iguais). Isso permite a definição da média aritmética-geométrica, uma mistura das duas que sempre tem um valor intermediário às duas.

A média geométrica é também a média aritmética harmônica no sentido que, se duas sequências (an) e (hn) são definidas:

e

então an e hn convergem para a média geométrica de x e y.

Exemplo:Se um investimento rende 10% no primeiro ano e 20% no segundo ano, qual o rendimento médio desse

investimento?Seja M o montante aplicado inicialmente, após esses dois anos o montante será igual a M * 1,10 * 1,20 = 1,32 * M. Se tomarmos a média aritmética teríamos 15% como média, porém, ao calcular o montante ao final dos dois anos obteríamos M * 1,15 * 1,15 = 1,3225 * M, que é diferente de 1,32 * M.

Por outro lado, a média geométrica entre 10% e 20% é igual a (aproximadamente igual a 1,1489). Aplicando essa média ao montante, temos que

, que é exactamente igual ao valor obtido quando aplicamos os rendimentos originais.4

1 http://pt.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A9tica

2 http://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9dia_aritm%C3%A9tica

3 http://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria

4 http://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9dia_geom%C3%A9trica

Tabelas Financeiras

Valor ActualValor actual de 1 (unidade monetária a ser recebida daqui a T a = 1/(1+V)t

Exemplo: Se a taxa de juro é 10 % ao ano, o valor actual de uma unidade monetária a ser recebido ao fim de 5 anos é 0,621.

  1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14% 15%1 0,990 0,980 0,971 0,962 0,952 0,943 0,935 0,926 0,917 0,909 0,901 0,893 0,885 0,877 0,8702 0,980 0,961 0,943 0,925 0,907 0,890 0,873 0,857 0,842 0,826 0,812 0,797 0,783 0,769 0,7563 0,971 0,942 0,915 0,889 0,864 0,840 0,816 0,794 0,772 0,751 0,731 0,712 0,693 0,675 0,6584 0,961 0,924 0,888 0,855 0,823 0,792 0,763 0,735 0,708 0,683 0,659 0,636 0,613 0,592 0,5725 0,951 0,906 0,863 0,822 0,784 0,747 0,713 0,681 0,650 0,621 0,593 0,567 0,543 0,519 0,4976 0,942 0,888 0,837 0,790 0,746 0,705 0,666 0,630 0,596 0,564 0,535 0,507 0,480 0,456 0,4327 0,933 0,871 0,813 0,760 0,711 0,665 0,623 0,583 0,547 0,513 0,482 0,452 0,425 0,400 0,3768 0,923 0,853 0,789 0,731 0,677 0,627 0,582 0,540 0,502 0,467 0,434 0,404 0,376 0,351 0,3279 0,914 0,837 0,766 0,703 0,645 0,592 0,544 0,500 0,460 0,424 0,391 0,361 0,333 0,308 0,284

10 0,905 0,820 0,744 0,676 0,614 0,558 0,508 0,463 0,422 0,386 0,352 0,322 0,295 0,270 0,24711 0,896 0,804 0,722 0,650 0,585 0,527 0,475 0,429 0,388 0,350 0,317 0,287 0,261 0,237 0,21512 0,887 0,788 0,701 0,625 0,557 0,497 0,444 0,397 0,356 0,319 0,286 0,257 0,231 0,208 0,18713 0,879 0,773 0,681 0,601 0,530 0,469 0,415 0,368 0,326 0,290 0,258 0,229 0,204 0,182 0,16314 0,870 0,758 0,661 0,577 0,505 0,442 0,388 0,340 0,299 0,263 0,232 0,205 0,181 0,160 0,14115 0,861 0,743 0,642 0,555 0,481 0,417 0,362 0,315 0,275 0,239 0,209 0,183 0,160 0,140 0,12316 0,853 0,728 0,623 0,534 0,458 0,394 0,339 0,292 0,252 0,218 0,188 0,163 0,141 0,123 0,10717 0,844 0,714 0,605 0,513 0,436 0,371 0,317 0,270 0,231 0,198 0,170 0,146 0,125 0,108 0,09318 0,836 0,700 0,587 0,494 0,416 0,350 0,296 0,250 0,212 0,180 0,153 0,130 0,111 0,095 0,08119 0,828 0,686 0,570 0,475 0,396 0,331 0,277 0,232 0,194 0,164 0,138 0,116 0,098 0,083 0,07020 0,820 0,673 0,554 0,456 0,377 0,312 0,258 0,215 0,178 0,149 0,124 0,104 0,087 0,073 0,061

  16% 17% 18% 19% 20% 21% 22% 23% 24% 25% 26% 27% 28% 29% 30%1 0,862 0,855 0,847 0,840 0,833 0,826 0,820 0,813 0,806 0,800 0,794 0,787 0,781 0,775 0,7692 0,743 0,731 0,718 0,706 0,694 0,683 0,672 0,661 0,650 0,640 0,630 0,620 0,610 0,601 0,5923 0,641 0,624 0,609 0,593 0,579 0,564 0,551 0,537 0,524 0,512 0,500 0,488 0,477 0,466 0,4554 0,552 0,534 0,516 0,499 0,482 0,467 0,451 0,437 0,423 0,410 0,397 0,384 0,373 0,361 0,3505 0,476 0,456 0,437 0,419 0,402 0,386 0,370 0,355 0,341 0,328 0,315 0,303 0,291 0,280 0,2696 0,410 0,390 0,370 0,352 0,335 0,319 0,303 0,289 0,275 0,262 0,250 0,238 0,227 0,217 0,2077 0,354 0,333 0,314 0,296 0,279 0,263 0,249 0,235 0,222 0,210 0,198 0,188 0,178 0,168 0,1598 0,305 0,285 0,266 0,249 0,233 0,218 0,204 0,191 0,179 0,168 0,157 0,148 0,139 0,130 0,1239 0,263 0,243 0,225 0,209 0,194 0,180 0,167 0,155 0,144 0,134 0,125 0,116 0,108 0,101 0,094

10 0,227 0,208 0,191 0,176 0,162 0,149 0,137 0,126 0,116 0,107 0,099 0,092 0,085 0,078 0,07311 0,195 0,178 0,162 0,148 0,135 0,123 0,112 0,103 0,094 0,086 0,079 0,072 0,066 0,061 0,05612 0,168 0,152 0,137 0,124 0,112 0,102 0,092 0,083 0,076 0,069 0,062 0,057 0,052 0,047 0,04313 0,145 0,130 0,116 0,104 0,093 0,084 0,075 0,068 0,061 0,055 0,050 0,045 0,040 0,037 0,03314 0,125 0,111 0,099 0,088 0,078 0,069 0,062 0,055 0,049 0,044 0,039 0,035 0,032 0,028 0,02515 0,108 0,095 0,084 0,074 0,065 0,057 0,051 0,045 0,040 0,035 0,031 0,028 0,025 0,022 0,02016 0,093 0,081 0,071 0,062 0,054 0,047 0,042 0,036 0,032 0,028 0,025 0,022 0,019 0,017 0,01517 0,080 0,069 0,060 0,052 0,045 0,039 0,034 0,030 0,026 0,023 0,020 0,017 0,015 0,013 0,01218 0,069 0,059 0,051 0,044 0,038 0,032 0,028 0,024 0,021 0,018 0,016 0,014 0,012 0,010 0,00919 0,060 0,051 0,043 0,037 0,031 0,027 0,023 0,020 0,017 0,014 0,012 0,011 0,009 0,008 0,00720 0,051 0,043 0,037 0,031 0,026 0,022 0,019 0,016 0,014 0,012 0,010 0,008 0,007 0,006 0,005

Valor FuturoValor Futuro de 1 (unidade monetária a ser recebida daqui a T a = (1+V)t

  1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14% 15%1 1,010 1,020 1,030 1,040 1,050 1,060 1,070 1,080 1,090 1,100 1,110 1,120 1,130 1,140 1,1502 1,020 1,040 1,061 1,082 1,103 1,124 1,145 1,166 1,188 1,210 1,232 1,254 1,277 1,300 1,3233 1,030 1,061 1,093 1,125 1,158 1,191 1,225 1,260 1,295 1,331 1,368 1,405 1,443 1,482 1,5214 1,041 1,082 1,126 1,170 1,216 1,262 1,311 1,360 1,412 1,464 1,518 1,574 1,630 1,689 1,7495 1,051 1,104 1,159 1,217 1,276 1,338 1,403 1,469 1,539 1,611 1,685 1,762 1,842 1,925 2,0116 1,062 1,126 1,194 1,265 1,340 1,419 1,501 1,587 1,677 1,772 1,870 1,974 2,082 2,195 2,3137 1,072 1,149 1,230 1,316 1,407 1,504 1,606 1,714 1,828 1,949 2,076 2,211 2,353 2,502 2,6608 1,083 1,172 1,267 1,369 1,477 1,594 1,718 1,851 1,993 2,144 2,305 2,476 2,658 2,853 3,0599 1,094 1,195 1,305 1,423 1,551 1,689 1,838 1,999 2,172 2,358 2,558 2,773 3,004 3,252 3,518

10 1,105 1,219 1,344 1,480 1,629 1,791 1,967 2,159 2,367 2,594 2,839 3,106 3,395 3,707 4,04611 1,116 1,243 1,384 1,539 1,710 1,898 2,105 2,332 2,580 2,853 3,152 3,479 3,836 4,226 4,65212 1,127 1,268 1,426 1,601 1,796 2,012 2,252 2,518 2,813 3,138 3,498 3,896 4,335 4,818 5,35013 1,138 1,294 1,469 1,665 1,886 2,133 2,410 2,720 3,066 3,452 3,883 4,363 4,898 5,492 6,15314 1,149 1,319 1,513 1,732 1,980 2,261 2,579 2,937 3,342 3,797 4,310 4,887 5,535 6,261 7,07615 1,161 1,346 1,558 1,801 2,079 2,397 2,759 3,172 3,642 4,177 4,785 5,474 6,254 7,138 8,13716 1,173 1,373 1,605 1,873 2,183 2,540 2,952 3,426 3,970 4,595 5,311 6,130 7,067 8,137 9,35817 1,184 1,400 1,653 1,948 2,292 2,693 3,159 3,700 4,328 5,054 5,895 6,866 7,986 9,276 10,76118 1,196 1,428 1,702 2,026 2,407 2,854 3,380 3,996 4,717 5,560 6,544 7,690 9,024 10,575 12,37519 1,208 1,457 1,754 2,107 2,527 3,026 3,617 4,316 5,142 6,116 7,263 8,613 10,197 12,056 14,23220 1,220 1,486 1,806 2,191 2,653 3,207 3,870 4,661 5,604 6,727 8,062 9,646 11,523 13,743 16,367

  16% 17% 18% 19% 20% 21% 22% 23% 24% 25% 26% 27% 28% 29% 30%1 1,160 1,170 1,180 1,190 1,200 1,210 1,220 1,230 1,240 1,250 1,260 1,270 1,280 1,290 1,3002 1,346 1,235 1,392 1,416 1,440 1,464 1,488 1,513 1,538 1,563 1,588 1,613 1,638 1,664 1,6903 1,561 1,278 1,643 1,685 1,728 1,772 1,816 1,861 1,907 1,953 2,000 2,048 2,097 2,147 2,1974 1,811 1,329 1,939 2,005 2,074 2,144 2,215 2,289 2,364 2,441 2,520 2,601 2,684 2,769 2,8565 2,100 1,391 2,288 2,386 2,488 2,594 2,703 2,815 2,932 3,052 3,176 3,304 3,436 3,572 3,7136 2,436 1,466 2,700 2,840 2,986 3,138 3,297 3,463 3,635 3,815 4,002 4,196 4,398 4,608 4,8277 2,826 1,559 3,185 3,379 3,583 3,797 4,023 4,259 4,508 4,768 5,042 5,329 5,629 5,945 6,2758 3,278 1,673 3,759 4,021 4,300 4,595 4,908 5,239 5,590 5,960 6,353 6,768 7,206 7,669 8,1579 3,803 1,817 4,435 4,785 5,160 5,560 5,987 6,444 6,931 7,451 8,005 8,595 9,223 9,893 10,604

10 4,411 1,999 5,234 5,695 6,192 6,727 7,305 7,926 8,594 9,313 10,086 10,915 11,806 12,761 13,78611 5,117 2,233 6,176 6,777 7,430 8,140 8,912 9,749 10,657 11,642 12,708 13,862 15,112 16,462 17,92212 5,936 2,540 7,288 8,064 8,916 9,850 10,872 11,991 13,215 14,552 16,012 17,605 19,343 21,236 23,29813 6,886 2,948 8,599 9,596 10,699 11,918 13,264 14,749 16,386 18,190 20,175 22,359 24,759 27,395 30,28814 7,988 3,505 10,147 11,420 12,839 14,421 16,182 18,141 20,319 22,737 25,421 28,396 31,691 35,339 39,37415 9,266 4,283 11,974 13,590 15,407 17,449 19,742 22,314 25,196 28,422 32,030 36,062 40,565 45,587 51,18616 10,748 5,406 14,129 16,172 18,488 21,114 24,086 27,446 31,243 35,527 40,358 45,799 51,923 58,808 66,54217 12,468 7,081 16,672 19,244 22,186 25,548 29,384 33,759 38,741 44,409 50,851 58,165 66,461 75,862 86,50418 14,463 9,686 19,673 22,901 26,623 30,913 35,849 41,523 48,039 55,511 64,072 73,870 85,071 97,862 112,45519 16,777 13,929 23,214 27,252 31,948 37,404 43,736 51,074 59,568 69,389 80,731 93,815 108,890 126,242 146,19220 19,461 21,230 27,393 32,429 38,338 45,259 53,358 62,821 73,864 86,736 101,721 119,145 139,380 162,852 190,050

Rendas FinanceirasRENDAS

VIEMOS A CONSIDERAR A ACTUALIZAÇÃO OU CAPITALIZAÇÃO A JUROS COMPOSTOS DE

UM ÚNICO CAPITAL, EFECTUADAS ATRAVÉS DO FACTOR DE ACTUALIZAÇÃO (l+i)-n E DO

FACTOR DE CAPITALIZAÇÃO (1+i)n, RESPECTIVAMENTE IREMOS ASSUMIR NÃO UM CAPITAL

ÚNICO, MAS UM CONJUNTO DE CAPITAIS A OCORRER A INTERVALOS DE TEMPO IGUAIS

RENDA SERÁ UM CONJUNTO DE CAPITAIS NESTAS CONDIÇÕES TERMO DA RENDA CADA

UM DESSES CAPITAIS OS TERMOS PODEM OU NÃO SER CONSTANTES

PERÍODO DA RENDAESPAÇO DE TEMPO QUE MEDEIA ENTRE DOIS TERMOS CONSECUTIVOS

O PERÍODO PODE SER QUALQUER UM, TEM NO ENTANTO DE SER CONSTANTE

PARA SE DEFINIR UMA RENDA, É NECESSÁRIO SABER:

O MOMENTO DE REFERÊNCIA (I.É. O MOMENTO EM QUE A RENDA SE INICIA);

O MOMENTO DO VENCIMENTO DO PRIMEIRO TERMO (I.É., O MOMENTO EM QUE ELE

OCORRE)

O NÚMERO DE TERMOS (QUE REPRESENTAREMOS POR n)

O VALOR DE CADA TERMO (QUE REPRESENTAREMOS POR t1, t2,…,tn)

O PERÍODO (INTERVALO DE TEMPO – CONSTANTE - QUE MEDEIA

ENTRE DOIS TERMOS CONSECUTIVOS)

ORIGEMMOMENTO QUE SE SITUA UM PERÍODO ANTES DO VENCIMENTO DO PRIMEIRO TERMO A

ORIGEM DA RENDA PODE COINCIDIR OU NÃO COM O MOMENTO DE REFERÊNCIA DA

RENDA OS TERMOS DE UMA RENDA PODEM SER TODOS IGUAIS (RENDA TERMOS

CONSTANTES) OU DIFERENTES (RENDA TERMOS VARIÁVEIS)

SENDO VARIÁVEIS PODEM APRESENTAR UM PADRÃO DE EVOLUÇÃO:

POR PROGRESSÃO ARITMÉTICA

POR PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

PODEM AS RENDAS AINDA SER TEMPORÁRIAS OU PERPÉTUAS, CONSOANTE O NÚMERO

DE TERMOS SEJA LIMITADO OU ILIMITADO.

VALOR ACUMULADO DE UMA RENDA

SOMA DOS VALORES DE TODOS OS SEUS TERMOS CAPITALIZADOS A UMA DADA TAXA DE

JURO PARA O MOMENTO EM QUE OCORRE O ÚLTIMO TERMO.

O ÚLTIMO TERMO FAZ PARTE DO VALOR ACUMULADO DA RENDA, MAS NÃO É OBJECTO DE

CAPITALIZAÇÃO.

O VALOR ACUMULADO DE UMA RENDA DE n TERMOS É DADA POR:

O VALOR ACTUAL DE UMA RENDA DE n TERMOS É DADA POR:

SOMA DOS VALORES DE TODOS OS SEUS TERMOS ACTUALIZADOS À TAXA DE JURO, PARA A ORIGEM

RENDAS SEGUNDO:

CRITÉRIOS DE CLASSIFICAÇÃO;

DESIGNAÇÃO DAS RENDAS;

CARACTERISTICAS.

1. QUANTO AO PRAZO DE VIGÊNCIA:

1.1. RENDAS TEMPORÁRIAS;

1.1.1. NÚMERO DE TERMOS É LIMITADO

1.2. RENDAS PERPÉTUAS;

1.2.1. NÚMERO DE TERMOS É (PODE SER CONSIDERADO) ILIMITADO

2. QUANTO AO PERÍODO DA RENDA

2.1. RENDAS INTEIRAS

2.1.1. O PERÍODO DAQ RENDA COINCIDE COM O PERÍODO A QUE SE REPORTA A

TAXA DE JURO

2.2. RENDAS FRACCIONADAS

2.2.1. O PERÍODO DA RENDA É DIFERENTE DO PERÍODO A QUE ESTÁ REPORTADA A

TAXA DE JURO

3. QUANTO AO VALOR DOS SEUS TERMOS

3.1. RENDAS (DE TERMOS) CONSTANTES

3.1.1. OS TERMOS SÃO TODOS DO MESMO VALOR

3.2. RENDAS (DE TERMOS) VARIÁVEIS

3.2.1. OS TERMOS SÃO DE DIFERENTES VALORES

4. QUANTO AO MOMENTO DE REFERÊNCIA

4.1. RENDAS IMEDIATAS

4.1.1. O MOMENTO DE REFERÊNCIA DA RENDA COINCIDE COM A SUA ORIGEM

4.2. RENDAS DIFERIDAS

4.2.1. O MOMENTO DE REFERÊNCIA DA RENDA É ANTERIOR À SUA ORIGEM

5. QUANTO AO VENCIMENTO DOS TERMOS

5.1. RENDAS POSTECIPADAS (OU NORMAIS OU DE TERMOS NORMAIS)

5.1.1. OS TERMOS VENCEM NO FINAL DE CADA PERÍODO

5.2. RENDAS ANTECIPADAS (OU DE TERMOS ANTECIPADOS)

5.2.1. OS TERMOS VENCEM NO INÍCIO DE CADA PERÍODO

A. RENDAS TEMPORÁRIAS

A.1. RENDAS TEMPORÁRIAS DE TERMOS CONSTANTES

A.1.1. VALOR ACUMULADO

A.1.1.1. CALCULO DO VALOR ACUMULADO DE UMA RENDA TEMPORÁRIA, INTEIRA,

IMEDIATA, DE TERMOS NORMAIS E CONSTANTES RENDA COMPOSTA POR n TERMOS

ANUAIS DE t EUROS CADA, AOS QUAIS ASSOCIAMOS JUROS COMPOSTOS À TAXA ANUAL i.

O PRIMEIRO TERMO OCORRE NO FINAL DO PRIMEIRO PERÍODO.

1º TERMO t

Nº TERMOS n

RAZÃO (1 + i)

A SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA COM n TERMOS, SENDO O

PRIMEIRO DELES NO VALOR DE t1 E DE RAZÃO r É DADA POR:

O VALOR [( 1 + i)n - 1] / i ESTÁ TABELADO PARA VÁRIOS VALORES DE n E DE i ESTÁ

DEFINIDO COMO:

ESTUDO DA FUNÇÃO

DEPENDE APENAS DAS VARIÁVEIS i E n

1º TERMO t ( 1 + n) -n

Nº TERMOS n

RAZÃO (1 + i)

A SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA COM n TERMOS, SENDO O

PRIMEIRO DELES NO VALOR DE t1 E DE RAZÃO r É DADA POR:

O VALOR [ 1 - ( 1 + i)-n ] / i ESTÁ TABELADO PARA VÁRIOS VALORESDE n E DE i ;

ESTÁ DEFINIDO COMO:

A CAPITALIZAÇÃO DE An] RESULTA EM Sn]

A ACTUALIZAÇÃO DE Sn] RESULTA EM An]

ESTUDO DA FUNÇÃO

1º. EM FUNÇÃO DO i

(ASSUMINDO n CONSTANTE)

É UMA FUNÇÃO DECRESCENTE

QUANTO MAIOR FOR A TAXA, PARA UM n CONSTANTE, MENOR SERÁ A SOMA DOS

VALORES ACTUAIS DOS TERMOS

ESTUDO DA FUNÇÃO

1º. EM FUNÇÃO DO n

(ASSUMINDO i CONSTANTE)

É UMA FUNÇÃO CRESCENTE

QUANTO MAIOR FOR n, DADA UMA TAXA CONSTANTE, MAIOR SERÁ A SOMA DOS VALORES

ACTUAIS DOS TERMOS

CÁLCULO DO VALOR ACTUAL DE UMA RENDA TEMPORÁRIA, INTEIRA, IMEDIATA, DE

TERMOS NORMAIS E CONSTANTES, d ANOS ANTES DA ORIGEM

O VALOR OBTIDO REPRESENTA-SE POR

B) RENDAS TEMPORÁRIAS DE TERMOS VARIÁVEIS

QUANDO OS TERMOS DE UMA RENDA SÃO VARIÁVEIS A ÚNICA FORMA DE CALCULAR OS

SEUS VALORES ACUMULADO E ACTUAL CONSISTE EM CAPITALIZAR E ACTUALIZAR TODOS

E CADA UM DOS SEUS TERMOS, UM A UM, PARA O MOMENTO DESEJADO.

QUANDO OS TERMOS VARIAM DE ACORDO COM DETERMINADO PADRÃO – PROGRESSÃO

ARITMÉTICA OU GEOMÉTRICA – É POSSÍVEL CALCULAR OS SEUS VALORES ACUMULADO E

ACTUAL DE FORMA MAIS SIMPLIFICADA.

RENDAS TEMPORÁRIAS DE TERMOS VARIÁVEIS EM PROGRESSÃO ARITMÉTICA

OS n TERMOS DE UMA RENDA VARIANDO EM PROGRESSÃO ARITMÉTICA DE RAZÃO r, SENDO O PRIMEIRO DELES NO VALOR DE t EUROS, SÃO:

CÁLCULO DO VALOR ACUMULADO DE UMA RENDA:

TEMPORÁRIA;

INTEIRA;

IMEDIATA;

TERMOS NORMAIS;

VARIANDO EM PROGRESSÃO ARITMÉTICA.

QUANDO r <0 EXISTE UM LIMITE DE APLICABILIDADE PRÁTICA PARA ESTE TIPO DE

RENDAS, POIS NÃO É ACEITÁVEL QUE EXISTAM TERMOS DE VALOR NULO OU NEGATIVO.

NESTA SITUAÇÃO SÓ TEM SENTIDO CALCULAR A RENDA ATÉ AO MOMENTO EM QUE

OCORRER O ÚLTIMO TERMO DE VALOR POSITIVO, ESTE É DE ORDEM n TAL QUE n = t / |r|,

EM QUE t É O PRIMEIRO TERMO DA RENDA NO CASO DE t/ |r| SER UM VALOR NÃO INTEIRO,

O ÚLTIMO TERMO DA RENDA COM VALOR POSITIVO É O QUE CORRESPONDE AO INTEIRO

IMEDIATAMENTE SUPERIOR.

POR EXEMPLO:3,0303 SIGNIFICA QUE A RENDA TEM 4 TERMOS COM VALOR SIGNIFICATIVO

CÁLCULO DO VALOR ACUMULADO DE UMA RENDA: TEMPORÁRIA;

INTEIRA;

IMEDIATA;

TERMOS NORMAIS;

VARIANDO EM PROGRESSÃO ARITMÉTICA.

d PERÍODOS APÓS ÚLTIMO TERMO

SE PRETENDERMOS CALCULAR O VALOR DESTE TIPO DE RENDA EM DETERMINADO

MOMENTO APÓS A OCORRÊNCIA DO ÚLTIMO TERMO

(d PERÍODOS DEPOIS), APENAS TEMOS DE CAPITALIZAR O RESPECTIVO VALOR

ACUMULADO DURANTE ESSES d PERÍODOS.

DONDE:

CÁLCULO DO VALOR ACTUAL DE UMA RENDA: TEMPORÁRIA; INTEIRA

IMEDIATA;

TERMOS NORMAIS;

VARIANDO EM PROGRESSÃO ARITMÉTICA.

DONDE:

RENDAS TEMPORÁRIAS DE TERMOS VARIÁVEIS EM PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

OS n TERMOS DE UMA RENDA VARIANDO EM PROGRESSÃO GEOMÉTRICA DE RAZÃO r,

SENDO O PRIMEIRO DELES NO VALOR DE t EUROS, SÃO:

t, tr, tr 2,………,tr (n-2), tr (n-1)

CÁLCULO DO VALOR ACUMULADO DE UMA RENDA: TEMPORÁRIA;

INTEIRA;

IMEDIATA;

TERMOS NORMAIS;

VARIANDO EM PROGRESSÃO GEOMÉTRICA.

CÁLCULO DO VALOR ACUMULADO DE UMA RENDA: TEMPORÁRIA;

INTEIRA;

IMEDIATA;

TERMOS NORMAIS;

VARIANDO EM PROGRESSÃO GEOMÉTRICA.

d PERÍODOS APÓS ÚLTIMO TERMO

DONDE:

CÁLCULO DO VALOR ACTUAL DE UMA RENDA: TEMPORÁRIA;

INTEIRA;

IMEDIATA;

TERMOS NORMAIS;

VARIANDO EM PROGRESSÃO GEOMÉTRICA.

CÁLCULO DO VALOR ACTUAL DE UMA RENDA: TEMPORÁRIA;

INTEIRA;

IMEDIATA;

TERMOS NORMAIS;

VARIANDO EM PROGRESSÃO GEOMÉTRICA;

d PERÍODO ANTES DA ORIGEM