Estatística e Probabilidade ... 2... · Aprendemos que uma distribuição discreta de probabilidade pode ser representada graficamente com um histograma (substituindo o gráfico

Estatística e Probabilidade

Distribuição Normal de Probabilidade – Rev1

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Prof. Ricardo Tadeu Ferracioli

1. Introdução às distribuições normais e à distribuição normal padrão

Aprendemos que uma variável aleatória continua tem um número infinito de

valores possíveis que podem ser representados por um intervalo em uma reta

numérica. Sua distribuição de probabilidade é chamada de distribuição contínua

de probabilidade. Agora vamos estudar as distribuições continuas da estatística,

chamada de distribuição normal.

Distribuições normais podem ser usadas para modelar muitos conjuntos de

medidas na natureza, na indústria e nos negócios. Por exemplo, a pressão

sanguínea sistólica dos humanos, a vida útil de televisões de plasma e até

mesmo custos domésticos, podem ser variáveis aleatórias normalmente

distribuídas.

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Aprendemos que uma distribuição discreta de probabilidade pode ser

representada graficamente com um histograma (substituindo o gráfico da função

de probabilidade). Para uma distribuição continua de probabilidade, voce pode

usar uma função densidade de probabilidade (fdp).

Uma função densidade de probabilidade deve satisfazer duas condições:

1) a área total sob a curva deve ser igual a 1;

2) a função nunca pode ser negativa.






Uma curva normal com média 𝜇 e desvio padrão 𝜎 pode ser representada

graficamente usando a função densidade de probabilidade normal.

Uma distribuição normal pode ter qualquer média e qualquer desvio padrão

positivo. Esses dois parâmetros, 𝜇 e 𝜎, determinam o formato da curva normal.

A média da a localização da linha de simetria e o desvio padrão descreve o

quanto os dados estão dispersos (veja a Figura 1.1).

Figura 1.1: Formatos de curva normal para combinações de duas médias e dois

desvios padrão.

Note que as curvas A e B tem a mesma média, e as curvas B e C tem o mesmo

desvio padrão. A área total sob cada curva é 1. Também, um dos pontos de

inflexão encontra-se a um desvio padrão a esquerda da média e o outro a um

desvio padrão a direita da média.

EXEMPLO:

Entendendo a média e o desvio padrão.

1) De acordo com o gráfico da Figura 1.2, qual curva normal tem média

maior?






2) Ainda considerando a Figura 1.2, qual curva normal tem desvio padrão

maior?

Figura 1.2: Comparando médias e desvios padrão em duas curvas normais.

Solução

1) A linha de simetria da curva A ocorre em x = 15. A linha de simetria da

curva B ocorre em x = 12. Portanto, a curva A tem uma média maior.

2) A curva B e mais dispersa do que a curva A; portanto, a curva B tem um

desvio padrão maior.

Interpretando gráficos de distribuições normais.

As notas padronizadas do teste de matemática do 8o ano do estado de Nova

York são normalmente distribuídas. A curva normal, mostrada na Figura 1.3,

representa essa distribuição. Qual é a nota média? Estime o desvio padrão

dessa distribuição normal. (Adaptado de: New York State Education

Department.)






Figura 1.3: Distribuição das notas padronizadas do teste de matemática do 8°

ano.

Solução

Estimando a média e o desvio padrão graficamente.

SOLUÇÃO:

Interpretação: As notas padronizadas do teste de matemática do 8° ano do

estado de Nova York são normalmente distribuídas com média de

aproximadamente 675 e um desvio padrão de cerca de 35.






Distribuição normal padrão

Existe uma infinidade de distribuições normais, cada uma com sua própria média

e desvio padrão. A distribuição normal com média 0 e desvio padrão 1 é

chamada de distribuição normal padrão. A escala horizontal do gráfico da

distribuição normal padrão corresponde ao escore-z. O escore-z é uma medida

de posição que indica o número de desvios padrão em que um valor se encontra

a partir da média.

Lembre-se de que você pode transformar um valor x em escore-z usando

a formula:

Figura 1.4

Quando cada valor de uma variável aleatória x distribuída normalmente e

transformado em um escore-z, a distribuição de z será uma distribuição normal

padrão. Após essa transformação, a área que recai no intervalo (x1; x2) sob a






curva normal não padrão e a mesma que aquela sob a curva normal padrão no

correspondente intervalo (z1; z2).

Depois de usar a formula acima para transformar um valor x em um escore-

z, você poderá usar a tabela normal padrão (tabela B4). A tabela lista a área

acumulada sob a curva normal padrão a esquerda de z para escores-z de -3,49

a 3,49. Ao examinar a tabela, note as propriedades a seguir.

Exemplo:

Usando a tabela normal padrão

1. Encontre a área acumulada que corresponde a um escore-z de 1,15.

2. Encontre a área acumulada que corresponde a um escore-z de -0,24.

Solução

1. Utilizando a Tabela, encontre a área que corresponde a z = 1,15 buscando

1,1 na coluna à esquerda e depois, seguindo a linha até a coluna sob 0,05.

O número naquela linha e coluna e 0,8749. Então, a área a esquerda de

z = 1,15 é 0,8749, conforme a Figura 5.10.

Tabela com valores z e respectivas áreas acumuladas até z.






Curva normal e a representação da área até o valor z = 1,15.

2. Utilizando a Tabela abaixo, encontre a área que corresponde a z = -0,24

buscando -0,2 na coluna à esquerda e, depois, seguindo a linha até a

coluna sob 0,04. O número naquela linha e coluna é 0,4052. Então, a área

a esquerda de z = -0,24 é 0,4052.

Tabela com valores z e respectivas áreas acumuladas até z.

Curva normal e a representação da área até o valor z = -0,24.











EXERCÍCIO 1:

Suponha que o tempo necessário para atendimento de clientes na fila de um

banco seja normalmente distribuído com média igual a 8 min. E desvio padrão

de 2 min.

Qual a probabilidade de que um atendimento dure:

a) Menos que 5 min?

b) Mais do que 10 min?

c) Entre 7 e 9 min?

d) 75% dos atendimentos requerem no mínimo quanto tempo de

atendimento?

𝑧 =𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 − 𝑚é𝑑𝑖𝑎

𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 ⇒ 𝑧 =

𝑥 − 𝜇

𝜎

a) menos do que 5 min

𝑧 =𝑥 − 𝜇

𝜎 ⇒ 𝑧 =

5 − 8

2 ⇒ 𝒛 = −𝟏, 𝟓

𝑇𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 𝑧 = −1,5 é 0,0668 ⇒ 𝑃(𝑥 < 5) = 6,68%






b) mais do que 10 min

𝑧 =𝑥 − 𝜇

𝜎 ⇒ 𝑧 =

10 − 8

2 ⇒ 𝒛 = 𝟏

𝑃𝑒𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 𝑧 = 1 é 0,8413

𝑃(𝑥 > 10) = 1 − 0,8413

𝑃(𝑥 > 10) = 0,1587 ⇒ 𝑃(𝑥 > 10) = 15,87%






c) 7< x < 9

𝑧 =𝑥 − 𝜇

𝜎 ⇒ 𝑧 =

7 − 8

2 ⇒ 𝒛 = −𝟎, 𝟓

𝑧 =𝑥 − 𝜇

𝜎 ⇒ 𝑧 =

9 − 8

2 ⇒ 𝒛 = 𝟎, 𝟓

𝑃(𝑥 < 7) = 0,3085 𝑒 𝑃(𝑥 > 9) = 0,3085

𝑃(𝑥 < 7) + 𝑃(𝑥 > 9) = 0,3085 + 0,3085 ⟹ 𝑃(𝑥 < 7) + 𝑃(𝑥 > 9) = 0,617

𝑃(7 < 𝑥 < 9) = 1 − [𝑃(𝑥 < 7) + 𝑃(𝑥 > 9)] ⟹ 𝑃(7 < 𝑥 < 9) = 1 − 0,617

𝑷(𝟕 < 𝒙 < 𝟗) = 𝟎, 𝟑𝟖𝟑 = 𝟑𝟖, 𝟑%






d) 75% dos atendimentos requerem no mínimo quanto tempo de atendimento?

P(25%) = 0,25

Z = -0,67

𝑧 =𝑥 − 𝜇

𝜎 ⇒ −0,67 =

𝑥 − 8

2

𝒙 = 𝟔, 𝟔𝟔 𝒎𝒊𝒏

(𝑷𝒂𝒓𝒂 𝟕𝟓% 𝒅𝒐𝒔 𝒂𝒕𝒆𝒏𝒅𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒓𝒆𝒒𝒖𝒆𝒓𝒆𝒎 𝒏𝒐 𝒎í𝒏𝒊𝒏𝒐 𝟔, 𝟔𝟔 𝒎𝒊𝒏)






EXERCÍCIO 2:

Encontre a área sob a curva normal padrão entre z = –1,5 e z = 1,25.

EXERCÍCIO 3:

Uma pesquisa indica que as pessoas mantem seus telefones celulares, em

média, 1,5 ano antes de comprar um novo. O desvio padrão e 0,25 ano. Um

usuário de telefone celular e selecionado aleatoriamente.

Calcule a probabilidade de que o usuário manterá seu telefone atual por menos

de 1 ano antes de comprar um novo. Considere que as durações de tempo que

as pessoas mantem seus telefones são normalmente distribuídas e são

representadas pela variável x.

EXERCÍCIO 4:

Uma pesquisa indica que, para cada ida ao supermercado, um consumidor

permanece na loja em média 45 minutos, com desvio padrão de 12 minutos. A

duração dos tempos gastos na loja é normalmente distribuída, e representada

pela variável x. Um consumidor entra na loja.

a) Calcule a probabilidade de que ele ficará na loja, para cada intervalo de

tempo listado a seguir.

b) Interprete sua resposta quando 200 consumidores entrarem na loja.

Quantos consumidores você esperaria que estivessem na loja para cada

intervalo de tempo listado a seguir?

1) Entre 24 e 54 minutos.

2) Mais que 39 minutos.












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