Estratégia - Questões CETRO

RACIOCÍNIO LÓGICO P/ ANA TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS

Prof. Arthur Lima – Aula 04

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AULA 04: LÓGICA DE PROPOSIÇÕES

SUMÁRIO PÁGINA

1. Teoria 01

2. Resolução de questões 39

3. Lista das questões apresentadas na aula 100

4. Gabarito 122

Olá!

Hoje trataremos dos conceitos de lógica proposicional, que podem auxiliá-lo a

resolver diversas questões de raciocínio lógico.

Uma boa aula para todos nós.

1. TEORIA

1.1 Introdução

Para começar este assunto, você precisa saber que uma proposição é uma frase

que admita um valor lógico (V – verdadeiro ou F – falso). Ex.: A bola é azul. Veja que não

existe meio termo: ou a bola é realmente de cor azul, tornando a proposição verdadeira, ou

a bola é de outra cor, sendo a proposição falsa. Observe que nem toda frase pode ser

considerada uma proposição. Por exemplo, a exclamação “Bom dia!” não pode ser

classificada como verdadeira ou falsa. O mesmo ocorre com as frases “Qual o seu nome?”

ou “Vá dormir”, que também não têm um valor lógico (V ou F). No estudo de lógica de

argumentação, usamos letras (principalmente p, q e r) para simbolizar uma proposição.

Observe a questão a seguir:

1. CESPE – BANCO DO BRASIL – 2007) Na lógica sentencial, denomina-se proposição

uma frase que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não, como ambas.

Assim, frases como “Como está o tempo hoje?” e “Esta frase é falsa” não são proposições

porque a primeira é pergunta e a segunda não pode ser nem V nem F. As proposições são

representadas simbolicamente por letras maiúsculas do alfabeto — A, B, C etc. Uma

proposição da forma “A ou B” é F se A e B forem F, caso contrário é V; e uma proposição

da forma “Se A então B” é F se A for V e B for F, caso contrário é V. Um raciocínio lógico

considerado correto é formado por uma seqüência de proposições tais que a última




proposição é verdadeira sempre que as proposições anteriores na seqüência forem

verdadeiras. Considerando as informações contidas no texto acima, julgue o item

subseqüente.

( ) Na lista de frases apresentadas a seguir, há exatamente três proposições.

“A frase dentro destas aspas é uma mentira.”

A expressão X + Y é positiva.

O valor de 4 3 7+ = .

Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira.

O que é isto?

RESOLUÇÃO:

“A frase dentro destas aspas é uma mentira.” � não é uma proposição, pois não pode ser

nem F nem V (veja que ela é similar à frase “Esta frase é falsa”, do enunciado). Este tipo de

frase não é considerado proposição pois seu conteúdo contradiz a ela mesma.

A expressão X + Y é positiva. � temos uma sentença aberta, como veremos mais à frente

na aula de hoje. Para podermos julgá-la como F ou V, precisariam ser determinados os

valores de X e Y. Como isso não é feito, não temos uma proposição.

O valor de 4 3 7+ = . � aqui temos uma proposição. Pode ser V ou F.

Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira. � outra proposição.

O que é isto? � não é proposição, pois é uma pergunta.

Assim, temos apenas 2 proposições. Item ERRADO.

Resposta: E

É importante também conhecer alguns princípios relativos às proposições. O

princípio da não-contradição diz que uma proposição não pode ser, ao mesmo tempo,

Verdadeira e Falsa. Ou uma coisa ou outra. Já o princípio da exclusão do terceiro termo diz

que não há um meio termo entre Verdadeiro ou Falso. Portanto, se temos uma proposição p

(exemplo: “2 mais 2 não é igual a 7”), sabemos que:

- se essa frase é verdadeira, então ela não pode ser falsa, e vice-versa (não-contradição), e




- não é possível que essa frase seja “meio verdadeira” ou “meio falsa”, ela deve ser

somente Verdadeira ou somente Falsa (exclusão do terceiro termo).

Uma observação importante: não se preocupe tanto com o conteúdo da proposição.

Quem nos dirá se a proposição é verdadeira ou falsa é o enunciado do exercício. Ao

resolver exercícios você verá que, a princípio, consideramos todas as proposições

fornecidas como sendo verdadeiras, a menos que o exercício diga o contrário. Se um

exercício disser que a proposição “2 + 2 = 7” é Verdadeira, você deve aceitar isso, ainda

que saiba que o conteúdo dela não é realmente correto. Isto porque estamos trabalhando

com Lógica formal.

Vejamos duas proposições exemplificativas:

p: Chove amanhã.

q: Eu vou à escola.

Note que, de fato, p e q são duas proposições, pois cada uma delas pode ser

Verdadeira ou Falsa.

Duas ou mais proposições podem ser combinadas, criando proposições compostas,

utilizando para isso os operadores lógicos. Vamos conhecê-los estudando as principais

formas de proposições compostas. Para isso, usaremos como exemplo as duas

proposições que já vimos acima. Vejamos como podemos combiná-las:

a) Conjunção (“e”): trata-se de uma combinação de proposições usando o operador

lógico “e”, ou seja, do tipo “p e q”. Por exemplo: “Chove amanhã e eu vou à escola”.

Utilizamos o símbolo ^ para representar este operador. Ou seja, ao invés de escrever “p

e q”, podemos escrever “ p q∧ ”.

Veja que, ao dizer que “Chove amanhã e eu vou à escola”, estou afirmando que as

duas coisas acontecem (chover e ir à escola). Em outras palavras, esta proposição

composta só pode ser Verdadeira se as duas proposições simples que a compõem forem

verdadeiras, isto é, acontecerem. Se chover e, mesmo assim, eu não for à escola, significa

que a conjunção acima é Falsa. Da mesma forma, se não chover e mesmo assim eu for à

escola, a expressão acima também é Falsa.

Portanto, para analisar se a proposição composta é Verdadeira ou Falsa, devemos

olhar cada uma das proposições que a compõem. Já vimos que se p acontece (p é

Verdadeira) e q acontece (q é Verdadeira), a expressão p e q é Verdadeira. Esta é a

primeira linha da tabela abaixo. Já se p acontece (V), isto é, se chove, e q não acontece

(F), ou seja, eu não vou à escola, a expressão inteira torna-se falsa. Isto também ocorre se

p não acontece (F) e q acontece (V). Estas são as duas linhas seguintes da tabela abaixo.




Finalmente, se nem p nem q acontecem (ambas são Falsas), a expressão inteira também

será falsa. Veja esta tabela:

Valor lógico de p

(“Chove amanhã”)

Valor lógico de q

(“Eu vou à escola”)

Valor lógico de p e q

( p q∧ )

V V V

V F F

F V F

F F F

A tabela acima é chamada de tabela-verdade da proposição combinada “p e q”. Nesta

tabela podemos visualizar que a única forma de tornar a proposição verdadeira ocorre

quando tanto p quanto q são verdadeiras. E que, para desmenti-la (tornar toda a

proposição falsa), basta provar que pelo menos uma das proposições que a compõem é

falsa.

b) Disjunção (“ou”) : esta é uma combinação usando o operador “ou”, isto é, “p ou q”

(também podemos escrever p q∨ ). Ex.: “Chove amanhã ou eu vou à escola”.

Veja que, ao dizer esta frase, estou afirmando que pelo menos uma das coisas vai

acontecer: chover amanhã ou eu ir à escola. Se uma delas ocorrer, já estou dizendo a

verdade, independentemente da outra ocorrer ou não. Agora, se nenhuma delas acontecer

(não chover e, além disso, eu não for à escola), a minha frase estará falsa. A tabela abaixo

resume estas possibilidades:

Valor lógico de p


Valor lógico de q


Valor lógico de p ou q

( p q∨ )

V V V

V F V

F V V

F F F

Como você pode ver na coluna da direita, a única possibilidade de uma Disjunção do

tipo p ou q ser falsa ocorre quando tanto p quanto q não acontecem, isto é, são falsas.

Talvez você tenha estranhado a primeira linha da tabela. Na língua portuguesa, “ou”

é utilizado para representar alternativas excludentes entre si (isto é, só uma coisa poderia

acontecer: chover ou então eu ir à escola). Assim, talvez você esperasse que, caso p fosse

verdadeira e q também fosse verdadeira, a frase inteira seria falsa. Veja que isto não ocorre

aqui. Veremos isso no próximo item, ao estudar a disjunção exclusiva.




c) Disjunção exclusiva (Ou exclusivo): esta é uma combinação do tipo “ou p ou q”

(simbolizada por p q⊕ ). Ex.: “Ou chove amanhã ou eu vou à escola”.

Aqui, ao contrário da Disjunção que vimos acima, a proposição composta só é

verdadeira se uma das proposições for verdadeira e a outra for falsa. Isto é, se eu digo “Ou

chove amanhã ou eu vou à escola”, porém as duas coisas ocorrem (amanhã chove e, além

disso, eu vou à escola), a frase será falsa como um todo. Veja abaixo a tabela-verdade

deste operador lógico, chamado muitas vezes de “Ou exclusivo”, em oposição ao “ou”

alternativo que vimos acima:

Valor lógico de p


Valor lógico de q


Valor lógico de Ou p ou q

( p q⊕ )

V V F

V F V

F V V

F F F

Marquei em vermelho a única mudança que temos em relação ao caso anterior.

d) Condicional (implicação) : uma condicional é uma combinação do tipo “se p, então q”

(simbolizada por p q→ ). Usando o nosso exemplo, podemos montar a proposição

composta “Se chove amanhã, eu vou à escola”.

Esta é a proposição composta mais comum em provas de concurso. Chamamos este

caso de Condicional porque temos uma condição (“se chove amanhã”) que, caso venha a

ocorrer, faz com que automaticamente a sua consequência (“eu vou à escola”) tenha que

acontecer. Isto é, se p for Verdadeira, isto obriga q a ser também Verdadeira.

Se a condição p (“se chove amanhã”) não ocorre (é Falsa), q pode ocorrer (V) ou não

(F), e ainda assim a frase é Verdadeira. Porém se a condição ocorre (p é V) e o resultado

não ocorre (q é F), estamos diante de uma proposição composta que é Falsa como um

todo. Tudo o que dissemos acima leva a esta tabela:

Valor lógico de p


Valor lógico de q


Valor lógico de Se p, então

q ( p q→ )

V V V

V F F

F V V

F F V




e) Bicondicional (“se e somente se”) : uma bicondicional é uma combinação do tipo “p

se e somente se q” (simbolizada por p q↔ ). Ex.: “Chove amanhã se e somente se eu

vou à escola”.

Quando alguém nos diz a frase acima, ela quer dizer que, necessariamente, as duas

coisas acontecem juntas (ou então nenhuma delas acontece). Assim, sabendo que amanhã

chove, já sabemos que a pessoa vai à escola. Da mesma forma, sabendo que a pessoa foi

à escola, então sabemos que choveu. Por outro lado, sabendo que não choveu, sabemos

automaticamente que a pessoa não foi à escola.

Note, portanto, que a expressão p q↔ só é verdadeira quando tanto p quanto q

acontecem (são Verdadeiras), ou então quando ambas não acontecem (são Falsas). Se

ocorrer outro caso (chover e a pessoa não for à escola, por exemplo), a expressão p q↔ é

Falsa. Isso está resumido na tabela abaixo:

Valor lógico de p


Valor lógico de q


Valor lógico de p se e

somente se q ( p q↔ )

V V V

V F F

F V F

F F V

Novamente, marquei em vermelho a única coisa que mudou em relação à

condicional p q→ .

IMPORTANTE: Saiba que “e”, “ou”, “ou, ... ou...”, “se..., então...”, “se e somente se”

são as formas básicas dos conectivos conjunção, disjunção, disjunção exclusiva,

condicional e bicondicional. Entretanto, várias questões exploram formas “alternativas” de

se expressar cada uma dessas proposições compostas. Ao longo das questões que

resolvermos nessa aula, você aprenderá a lidar com estas alternativas. Veja os casos que

considero mais importantes:

- Conectivo “mas” com idéia de conjunção (“e”). Ex.: Chove, mas vou à escola. Observe

que quem diz esta frase está afirmando que duas coisas acontecem: 1 = chove, e 2 = vou à

escola. No estudo da lógica, isto é o mesmo que dizer “Chove e vou à escola”. Portanto, o

“mas” está sendo usado para formar uma conjunção.

- Conectivo “ou” precedido por vírgula, com idéia de “ou exclusivo”. Ex.: Chove, ou

vou à escola. Aqui a pausa criada pela vírgula nos permite depreender que apenas uma




coisa ocorre: ou chove, ou vou à escola. Assim, temos uma forma alternativa de representar

o “ou ..., ou...” que estudamos na disjunção exclusiva.

- Condicional utilizando “Quando...” ou “Toda vez que...”. Exemplos:

1)Quando chove, vou à escola.

2) Toda vez que chove vou à escola.

Veja que nos dois casos acima temos formas alternativas de apresentar uma

condição (“chove”) que leva a uma consequência (“vou à escola”). Portanto, estas são

formas alternativas ao clássico “se ..., então ...” da condicional.

- Uso do “...ou..., mas não ambos” com idéia de disjunção exclusiva. Ex.: “Jogo bola ou

corro, mas não ambos”. Repare que a primeira parte dessa frase é uma disjunção comum

(inclusiva), mas a expressão “mas não ambos” exclui o caso onde “jogo bola” é V e “corro”

também é V. Isto é, passamos a ter uma disjunção exclusiva. Alguns autores entendem que

só temos disjunção exclusiva se a expressão “mas não ambos” estiver presente (ainda que

tenhamos “ou..., ou ...”), mas isso não pode ser considerado uma verdade absoluta.

Trabalharemos esse problema ao longo das questões.

Sobre proposições compostas, veja uma questão introdutória:

2. FCC – ICMS/SP – 2006) Considere a proposição “Paula estuda, mas não passa no

concurso”. Nessa proposição, o conectivo lógico é:

a) condicional

b) bicondicional

c) disjunção inclusiva

d) conjunção

e) disjunção exclusiva

RESOLUÇÃO:

Vimos logo acima que o “mas” pode ser utilizado para representar o conectivo

conjunção (“e”). Do ponto de vista lógico, a frase “Paula estuda e não passa no concurso”

tem o mesmo valor da frase do enunciado. Isto porque o autor da frase quer dizer,

basicamente, que duas coisas são verdadeiras:

- Paula estuda

- Paula não passa no concurso

Portanto, temos uma conjunção (letra D).

Ao estudar Português, você verá que o “mas” tem função adversativa. Isto é, o autor

da frase não quer dizer apenas que as duas coisas são verdadeiras. Ele usa o “mas” para




ressaltar o fato de que essas coisas são, em tese, opostas entre si (espera-se que quem

estuda seja aprovado). Por mais importante que seja este detalhe semântico naquela

disciplina, aqui na Lógica Proposicional devemos tratar estas proposições como sendo

equivalentes.

Resposta: D

1.2 Negação de proposições simples

Representamos a negação de uma proposição simples “p” pelo símbolo “~p” (leia

não-p).Também podemos usar a notação p¬ , que é menos usual. Sabemos que o valor

lógico de “p” e “~p” são opostos, isto é, se p é uma proposição verdadeira, ~p será falsa, e

vice-versa.

Quando temos uma proposição simples (por ex.: “Chove agora”, “Todos os

nordestinos são fortes”, “Algum brasileiro é mineiro”), podemos negar essa proposição

simplesmente inserindo “Não é verdade que...” em seu início. Veja:

- Não é verdade que chove agora

- Não é verdade que todos os nordestinos são fortes

- Não é verdade que algum brasileiro é mineiro

Entretanto, na maioria dos exercícios serão solicitadas outras formas de negar uma

proposição. Para descobrir a negação, basta você se perguntar: o que eu precisaria fazer

para provar que quem disse essa frase está mentindo? Se você for capaz de desmenti-lo,

você será capaz de negá-lo.

Se João nos disse que “Chove agora”, bastaria confirmar que não está chovendo

agora para desmenti-lo. Portanto, a negação seria simplesmente “Não chove agora”.

Entretanto, caso João nos diga que “Todos os nordestinos são fortes”, bastaria

encontrarmos um único nordestino que não fosse forte para desmenti-lo. Portanto, a

negação desta afirmação pode ser, entre outras possibilidades:

- “Pelo menos um nordestino não é forte”

- “Algum nordestino não é forte”

- “Existe nordestino que não é forte”

Já se João nos dissesse que “Algum nordestino é forte”, basta que um único

nordestino seja realmente forte para que a frase dele seja verdadeira. Portanto, aqui é mais

difícil desmenti-lo, pois precisaríamos analisar todos os nordestinos e mostrar que nenhum

deles é forte. Assim, a negação seria, entre outras possibilidades:

- “Nenhum nordestino é forte”

- “Não existe nordestino forte”




A tabela abaixo resume as principais formas de negação de proposições simples.

Veja que, assim como você pode usar as da coluna da direita para negar frases com as

expressões da coluna da esquerda, você também pode fazer o contrário.

Proposição “p” Proposição “~p”

Meu gato é preto Meu gato não é preto

Todos gatos são pretos Algum/pelo menos um/existe gato (que) não é

preto

Nenhum gato é preto Algum/pelo menos um/existe gato (que) é preto

Note ainda que ~(~p) = p, isto é, a negação da negação de p é a própria proposição

p. Isto é, negar duas vezes é igual a falar a verdade. Ex.: “Não é verdade que meu gato não

é preto” � esta frase é equivalente a “Meu gato é preto”.

Veja abaixo uma questão inicial sobre negação de proposições simples.

3. FCC – Banco do Brasil – 2011) Um jornal publicou a seguinte manchete:

“Toda Agência do Banco do Brasil tem déficit de funcionários.”

Diante de tal inverdade, o jornal se viu obrigado a retratar-se, publicando uma negação de

tal manchete. Das sentenças seguintes, aquela que expressaria de maneira correta a

negação da manchete publicada é:

a) Qualquer Agência do Banco do Brasil não têm déficit de funcionários

b) Nenhuma Agência do Banco do Brasil tem déficit de funcionários

c) Alguma Agência do Banco do Brasil não tem déficit de funcionários

d) Existem Agências com déficit de funcionários que não pertencem ao Banco do Brasil

e) O quadro de funcionários do Banco do Brasil está completo

RESOLUÇÃO:

Olhando a manchete publicada pelo jornal, bastaria que um leitor constatasse que

em pelo menos uma agência do BB não há déficit e ele já teria argumento suficiente para

desmentir o jornal, afinal o jornal tinha dito que todas as agências possuem déficit. Uma

forma desse leitor expressar-se seria dizendo:

“Pelo menos uma agência do BB não tem déficit de funcionários”.

Uma outra forma de dizer esta mesma frase seria:

“Alguma agência do BB não tem déficit de funcionários”.

Portanto, essa foi a frase que o jornal precisou usar para a retratação (negação) da

anterior.

Resposta: C




1.3 Negação de proposições compostas

Quando temos alguma das proposições compostas (conjunção, disjunção, disjunção

exclusiva, condicional ou bicondicional), podemos utilizar o mesmo truque para obter a sua

negação: buscar uma forma de desmentir quem estivesse falando aquela frase. Vejamos

alguns exemplos:

a) Conjunção: “Chove hoje e vou à praia”. Se João nos diz essa frase, ele está afirmando

que as duas coisas devem ocorrer (se tiver dúvida, retorne à tabela-verdade da conjunção).

Isto é, para desmenti-lo, bastaria provar que pelo menos uma delas não ocorre. Isto é, a

primeira coisa não ocorre ou a segunda coisa não ocorre (ou mesmo as duas não ocorrem).

Veja que para isso podemos usar uma disjunção, negando as duas proposições simples

como aprendemos no item anterior: “Não chove hoje ou não vou à praia”. Da mesma forma,

se João tivesse dito “Todo nordestino é forte e nenhum gato é preto”, poderíamos negar

utilizando uma disjunção, negando as duas proposições simples: “Algum nordestino não é

forte ou algum gato é preto”.

b) Disjunção: “Chove hoje ou vou à praia”. Essa afirmação é verdadeira se pelo menos uma

das proposições simples for verdadeira. Portanto, para desmentir quem a disse,

precisamos provar que as duas coisas não acontecem, isto é, as duas proposições são

falsas. Assim, a negação seria uma conjunção: “Não chove hoje e não vou à praia”. Já a

negação de “Todo nordestino é forte ou nenhum gato é preto” seria “Algum nordestino não é

forte e algum gato é preto”.

c) Disjunção exclusiva: “Ou chove hoje ou vou à praia”. Recorrendo à tabela-verdade, você

verá que a disjunção exclusiva só é verdadeira se uma, e apenas uma das proposições é

verdadeira, sendo a outra falsa. Assim, se mostrássemos que ambas são verdadeiras, ou

que ambas são falsas, estaríamos desmentindo o autor da frase. Para isso, podemos usar

uma bicondicional: “Chove hoje se e somente se eu vou à praia”. Veja que esta frase indica

que ou acontecem as duas coisas (chover e ir à praia) ou não acontece nenhuma delas.

d) Condicional: “Se chove hoje, então vou à praia”. Lembra-se que a condicional só é falsa

caso a condição (p) seja verdadeira e o resultado (q) seja falso? Portanto, é justamente isso

que deveríamos provar se quiséssemos desmentir o autor da frase. A seguinte conjunção

nos permite negar a condicional: “Chove hoje e não vou à praia”.

e) Bicondicional: “Chove hoje se e somente se vou à praia”. O autor da frase está afirmando

que as duas coisas (chover e ir à praia) devem ocorrer juntas, ou então nenhuma delas




pode ocorrer. Podemos desmenti-lo provando que uma das coisas ocorre (é verdadeira)

enquanto a outra não (é falsa). A disjunção exclusiva nos permite fazer isso: “Ou chove

hoje, ou vou à praia”.

Veja na tabela abaixo as principais formas de negação de proposições compostas:

Proposição composta Negação

Conjunção ( p q∧ )

Ex.: Chove hoje e vou à praia

Disjunção ( ~ ~p q∨ )

Ex.: Não chove hoje ou não vou à praia

Disjunção ( p q∨ )

Ex.: Chove hoje ou vou à praia

Conjunção ( ~ ~p q∧ )

Ex.: Não chove hoje e não vou à praia

Disjunção exclusiva ( p q⊕ )

Ex.: Ou chove hoje ou vou à praia

Bicondicional ( p q↔ )

Ex.: Chove hoje se e somente se vou à praia

Condicional ( p q→ )

Ex.: Se chove hoje, então vou à praia

Conjunção ( ~p q∧ )

Ex.: Chove hoje e não vou à praia

Bicondicional ( p q↔ )

Ex.: Chove hoje se e somente se vou à praia.

Disjunção exclusiva ( p q⊕ )

Ex.: Ou chove hoje ou vou à praia

Comece a exercitar a negação de proposições compostas a partir da questão

abaixo:

4. CESPE – TRT/17ª – 2009) A negação da proposição “O juiz determinou a libertação de

um estelionatário e de um ladrão” é expressa na forma “O juiz não determinou a libertação

de um estelionatário nem de um ladrão”.

RESOLUÇÃO:

Observe que a primeira frase pode ser escrita na forma “O juiz determinou a

libertação de um estelionatário E o juiz determinou a libertação de um ladrão”. Isto é, temos

uma proposição do tipo “p e q” onde:

p: O juiz determinou a libertação de um estelionatário

q: O juiz determinou a libertação de um ladrão

Sabemos que uma proposição do tipo “p e q” só é verdadeira se ambos p e q forem

verdadeiros. Portanto, basta que um dos dois (p ou q), ou ambos, sejam falsos para que a

proposição inteira seja falsa. Com isso, sabemos que para negá-la basta dizer que o juiz

não determinou a libertação de um estelionatário OU o juiz não determinou a libertação de

um ladrão. Reescrevendo: “O juiz não determinou a libertação de um estelionatário ou de

um ladrão”.




Lembrando da teoria que vimos acima, a negação de p q∧ é ~ ~p q∨ , o que leva

ao resultado que obtivemos. Item ERRADO.

Resposta: E.

1.4 Construção da tabela-verdade de proposições comp ostas

Alguns exercícios podem exigir que você saiba construir a tabela-verdade de

proposições compostas. Para exemplificar, veja a proposição [(~ ) ]A B C∨ ∧ . A primeira

coisa que você precisa saber é que a tabela-verdade desta proposição terá sempre 2n

linhas, onde n é o número de proposições simples envolvidas. Como só temos 3

proposições simples (A, B e C), esta tabela terá 23, ou seja, 8 linhas.

Para montar a tabela verdade de uma expressão como [(~ ) ]A B C∨ ∧ , devemos

começar criando uma coluna para cada proposição e, a seguir, colocar todas as

possibilidades de combinações de valores lógicos (V ou F) entre elas:

Valor lógico

de A

Valor lógico de

B

Valor lógico de

C

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

Agora, note que em [(~ ) ]A B C∨ ∧ temos o termo ~B entre parênteses. Devemos,

portanto, criar uma nova coluna na nossa tabela, inserindo os valores de ~B. Lembre-se

que os valores de não-B são opostos aos valores de B (compare as colunas em amarelo):

Valor lógico

de A

Valor lógico de

B

Valor lógico de

C

Valor lógico de

~B

V V V F

V V F F

V F V V

V F F V

F V V F

F V F F




F F V V

F F F V

Agora que já temos os valores lógicos de ~B, e também temos os de C, podemos

criar os valores lógicos da expressão entre colchetes: [(~ ) ]B C∧ . Observe que se trata de

uma conjunção (“e”), que só tem valor lógico V quando ambos os membros (no caso, ~B e

C) são V:

Valor lógico

de A

Valor lógico de

B

Valor lógico de

C

Valor lógico de

~B

Valor lógico de

[(~ ) ]B C∧

V V V F F

V V F F F

V F V V V

V F F V F

F V V F F

F V F F F

F F V V V

F F F V F

Agora que já temos os valores lógicos de A e também os valores lógicos de

[(~ ) ]B C∧ , podemos analisar os valores lógicos da disjunção [(~ ) ]A B C∨ ∧ . Lembre-se

que uma disjunção só é F quando ambos os seus membros são F (marquei esses casos em

amarelo):

Valor

lógico de

A

Valor lógico

de B

Valor lógico

de C

Valor lógico

de ~B

Valor lógico

de

[(~ ) ]B C∧

Valor lógico

de

[(~ ) ]A B C∨ ∧

V V V F F V

V V F F F V

V F V V V V

V F F V F V

F V V F F F

F V F F F F

F F V V V V

F F F V F F




Assim, podemos omitir a 4ª e 5ª coluna, de modo que a tabela-verdade da

expressão [(~ ) ]A B C∨ ∧ é:

Valor

lógico de

A

Valor lógico

de B

Valor lógico

de C

Valor lógico

de

[(~ ) ]A B C∨ ∧

V V V V

V V F V

V F V V

V F F V

F V V F

F V F F

F F V V

F F F F

Veja que essa tabela nos dá os valores lógicos da expressão [(~ ) ]A B C∨ ∧ para

todos os possíveis valores das proposições simples que a compõem (A, B e C).

1.5 Tautologia e contradição

Ao construir tabelas-verdade para expressões, como fizemos acima, podemos

verificar que uma determinada expressão sempre é verdadeira, independente dos valores

lógicos das proposições simples que a compõem. Trata-se de uma tautologia. Por outro

lado, algumas expressões podem ser sempre falsas, independente dos valores das

proposições que a compõem. Neste caso, estaremos diante de uma contradição. Vejamos

alguns exemplos:

a) Veja abaixo a tabela-verdade de ~p p∧ (ex.: Sou bonito e não sou bonito). Pela simples

análise desse exemplo, já vemos uma contradição (não dá para ser bonito e não ser ao

mesmo tempo). Olhando na coluna da direita dessa tabela, vemos que ela é falsa para todo

valor lógico de p:

Valor lógico de p Valor lógico de ~p Valor lógico de

~p p∧

V F F

F V F

Obs.: notou que essa tabela-verdade possui apenas duas linhas? Isso porque temos

apenas 1 proposição simples (p), e 21 = 2.




b) Veja abaixo a tabela-verdade de ~p p∨ (ex.: Sou bonito ou não sou bonito). Pela

simples análise desse exemplo, já vemos uma tautologia (essa frase sempre será

verdadeira, independente da minha beleza). Olhando na coluna da direita dessa tabela,

vemos que ela é verdadeira para todo valor lógico de p:

Valor lógico de p Valor lógico de ~p Valor lógico de

~p p∨

V F V

F V V

Pratique o que discutimos até aqui através da questão a seguir.

5. FCC – ICMS/SP – 2006) Considere as afirmações abaixo.

I. O número de linhas de uma tabela-verdade é sempre um número par.

II. A proposição “ (10 10) (8 3 6)< ↔ − = ” é falsa.

III. Se p e q são proposições, então a proposição “ ( ) (~ )p q q→ ∨ ” é uma tautologia.

É verdade o que se afirma APENAS em:

a) I e II

b) I e III

c) I

d) II

e) III

RESOLUÇÃO:


O número de linhas de uma tabela verdade é 2n, onde n é o número de proposições

simples. Isto é, 2x2x2...x2, n vezes. Este número certamente é divisível por 2, isto é, é par.

Item VERDADEIRO.


Temos uma bicondicional onde a primeira parte é falsa (pois 10 é maior que a raiz

quadrada de 10), e a segunda parte também é falsa (pois 8 – 3 = 5). Na tabela-verdade da

bicondicional, veja que esta proposição composta é verdadeira quando temos F ↔ F. Item

FALSO.





Para avaliar se temos uma tautologia, vamos construir a tabela verdade desta

proposição. Repare que temos 2 proposições simples (p e q), de modo que a tabela-

verdade da proposição composta terá 22 = 4 linhas. A tabela, construída da esquerda para a

direita, fica assim:

Valor lógi co

de p

Valor lógico de

q

Valor lógico

de ~q

Valor lógico de

( )p q→

Valor lógico de

( ) (~ )p q q→ ∨

V V F V V

V F V F V

F V F V V

F F V V V

De fato a proposição ( ) (~ )p q q→ ∨ possui valor lógico V para qualquer valor das

proposições simples p e q. Isto é, temos uma tautologia. Item VERDADEIRO.

Resposta: B

1.6 Equivalência de proposições lógicas

Dizemos que duas proposições lógicas são equivalentes quando elas possuem a

mesma tabela-verdade. Como exemplo, vamos verificar se as proposições p q→ e

~ ~q p→ são equivalentes.

Faremos isso calculando a tabela verdade das duas, para poder compará-las. Mas

intuitivamente você já poderia ver que elas são equivalentes. Imagine que p q→ é “Se

chove, então vou à praia”. Sabemos que se a condição (chove) ocorre, necessariamente o

resultado (vou à praia) ocorre. Portanto, se soubermos que o resultado não ocorreu (não

vou à praia), isso implica que a condição não pode ter ocorrido (não chove). Isto é,

podemos dizer que “Se não vou à praia, então não chove”. Ou seja, ~ ~q p→ .

A tabela-verdade de p q→ encontra-se abaixo. Calcule-a sozinho, para exercitar:

Valor

lógico de p

Valor lógico

de q

Valor lógico

de p q→

V V V

V F F

F V V

F F V

Já a tabela-verdade de ~ ~q p→ foi obtida abaixo:




Valor

lógico de p

Valor lógico

de q

Valor lógico

de ~q

Valor lógico

de ~p

Valor l ógico

de ~ ~q p→

V V F F V

V F V F F

F V F V V

F F V V V

Repare na coluna da direita de cada tabela. Percebeu que são iguais? Isso nos

permite afirmar que ambas as proposições compostas são equivalentes.

Veja ainda a tabela verdade de ~p ou q:

Valor lógico

de p

Valor lógico

de q

Valor lógico

de ~p

Valor lógico

de ~p ou q

V V F V

V F F F

F V V V

F F V V

Perceba que a tabela-verdade de ~p ou q é igual às duas anteriores (p�q e

~q�~p). Assim, essas 3 proposições são equivalentes.

Não usei este exemplo à toa. Ele cai bastante em concursos, portanto é bom você

gravar: ( p q→ ), ( ~ ~q p→ ) e (~p ou q) são proposições equivalentes!!!

Veja as questões abaixo para começar a treinar as equivalências lógicas:

6. FCC – ALESP – 2010) Durante uma sessão no plenário da Assembléia Legislativa, o

presidente da mesa fez a seguinte declaração, dirigindo-se às galerias da casa:

“Se as manifestações desrespeitosas não forem interrompidas, então eu não darei

início à votação”.

Esta declaração é logicamente equivalente à afirmação:

a) se o presidente da mesa deu início à votação, então as manifestações desrespeitosas

foram interrompidas

b) se o presidente da mesa não deu início à votação, então as manifestações

desrespeitosas não foram interrompidas

c) se as manifestações desrespeitosas forem interrompidas, então o presidente da mesa

dará início à votação

d) se as manifestações desrespeitosas continuarem, então o presidente da mesa começará

a votação




e) se as manifestações desrespeitosas não continuarem, então o presidente da mesa não

começará a votação.

RESOLUÇÃO:

Observe que temos uma condicional ( p q→ ), onde:

p = As manifestações desrespeitosas não forem interrompidas

q = Eu não darei início à votação

Esta é uma proposição “manjada”, pois sabemos que ela é equivalente a ~ ~q p→

e também a ~p ou q. Como ~q é “eu darei início à votação” e ~p é “as manifestações

desrespeitosas foram interrompidas”, temos:

~ ~q p→ : “Se eu dei início à votação, então as manifestações desrespeitosas foram

interrompidas”.

~p ou q: “As manifestações desrepeitosas foram interrompidas ou eu não dei início à

votação”.

Repare que a alternativa A é similar à expressão ~ ~q p→ que escrevemos acima,

sendo este o gabarito.

Resposta: A

7. ESAF – ATRFB – 2009) A afirmação: “João não chegou ou Maria está atrasada” equivale

logicamente a:

a) Se João não chegou, Maria está atrasada.

b) João chegou e Maria não está atrasada.

c) Se João chegou, Maria não está atrasada.

d) Se João chegou, Maria está atrasada.

e) João chegou ou Maria não está atrasada.

RESOLUÇÃO:

A frase do enunciado pode ser escrita como “~p ou q”, onde:

p = João chegou

q = Maria está atrasada

Novamente estamos diante de uma proposição “manjada”, pois sabemos que ~p ou

q é equivalente a p�q e também a ~q�~p. Essas duas últimas frases são,

respectivamente:

- Se João chegou, então Maria está atrasada.




- Se Maria não está atrasada, então João não chegou.

Veja que a primeira das duas frases acima é similar à alternativa D, sendo este o

gabarito.

Resposta: D

1.7 Condição necessária e condição suficiente

Quando temos uma condicional p�q, sabemos que se a condição p acontecer, com

certeza o resultado q deve acontecer (para que p�q seja uma proposição verdadeira).

Portanto, podemos dizer que p acontecer é suficiente para afirmarmos que q acontece. Em

outras palavras, p é uma condição suficiente para q.

Por exemplo, se dissermos “Se chove, então o chão fica molhado”, é suficiente

saber que chove para afirmarmos que o chão fica molhado. Chover é uma condição

suficiente para que o chão fique molhado. Por outro lado, podemos dizer que sempre que

chove, o chão fica molhado. É necessário que o chão fique molhado para podermos afirmar

chove. Portanto, “o chão fica molhado” é uma condição necessária para podermos dizer que

chove (se o chão estivesse seco, teríamos certeza de que não chove). Ou seja, q é uma

condição necessária para p.

Resumidamente, quando temos uma condicional p�q, podemos afirmar que p é

suficiente para q, e, por outro lado, q é necessária para p.

Por outro lado, quando temos uma bicondicional p q↔ , podemos dizer que p é

necessária e suficiente para q, e vice-versa. Para a proposição “Chove se e somente se o

chão fica molhado” ser verdadeira, podemos dizer que é preciso (necessário) que chova

para que o chão fique molhado. Não é dada outra possibilidade. E é suficiente saber que

chove para poder afirmar que o chão fica molhado. Da mesma forma, é suficiente saber que

o chão ficou molhado para afirmar que choveu; e a única possibilidade de ter chovido é se o

chão tiver ficado molhado, isto é, o chão ter ficado molhado é necessário para que tenha

chovido.

1.8 Proposições abertas

Proposições abertas são proposições que possuem uma ou mais variáveis, como o

exemplo abaixo (do tipo p�q):

“Se 2X é divisível por 5, então X é divisível por 5”

Temos a variável X nessa frase, que pode assumir diferentes valores. Se X for igual

a 10, teremos:

“Se 20 é divisível por 5, então 10 é divisível por 5”




Esta frase é verdadeira, pois p é V e q é V.

Se X = 11, teremos:

“Se 22 é divisível por 5, então 11 é divisível por 5”

Esta frase é verdadeira, pois p é F e q também é F.

Já se X = 12.5, teremos:

“Se 25 é divisível por 5, então 12.5 é divisível por 5”

Agora a frase é falsa, pois p é V e q é F!

Portanto, quando temos uma proposição aberta, não podemos afirmar de antemão

que ela é verdadeira ou falsa, pois isso dependerá do valor que as variáveis assumirem.

Trabalhe o conceito de proposições abertas na questão a seguir.

8. FCC – ICMS/SP – 2006) Considere as seguintes frases:

I. Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005.

II. (x+y)/5 é um número inteiro.

III. João da Silva foi o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em 2000.

É verdade que APENAS:

a) I é uma sentença aberta

b) II é uma sentença aberta

c) I e II são sentenças abertas

d) I e III são sentenças abertas

e) II e III são sentenças abertas

RESOLUÇÃO:

Uma sentença aberta é aquela que possui uma variável cujo valor pode tornar a

proposição V ou F. O caso clássico é aquele presente na alternativa II. Dependendo dos

valores atribuídos às variáveis x e y, a proposição pode ser V ou F. Entretanto, a alternativa

I também é uma sentença aberta. Isto porque, dependendo de quem for “Ele”, a proposição

pode ser V ou F. Precisamos saber quem é a pessoa referida pelo autor da frase para

atribuir um valor lógico.

Resposta: C

1.9 Argumentos

Veja o exemplo abaixo:

a: Todo nordestino é loiro

b: José é nordestino

Conclusão: Logo, José é loiro.

Temos premissas (a e b) e uma conclusão que é derivada daquelas premissas. Isso

é um argumento: um conjunto de premissas que leva a uma conclusão.




Dizemos que um argumento é válido se, aceitando que as premissas são

verdadeiras, a conclusão é NECESSARIAMENTE verdadeira. Veja que não nos interessa

aqui questionar a realidade das premissas. Todos nós sabemos que dizer que “todo

nordestino é loiro” é uma inverdade. Mas o que importa é que, se assumirmos que todos os

nordestinos são loiros, e também assumirmos que José é nordestino, a conclusão lógica é

que José deve NECESSARIAMENTE ser loiro.

Várias questões nos apresentam um argumento formado por algumas premissas e

uma conclusão, e pergunta se este argumento é válido. A “receita de bolo” para resolução

dessas questões é muito simples, e consiste em:

- tentar forçar o argumento a ser inválido (buscar um caso onde todas as premissas são V

e, mesmo assim, a conclusão é F);

- se conseguirmos, o argumento é inválido. Se não conseguirmos, é válido.

Veja isso na questão a seguir:

9. CESPE – TSE – 2006) Assinale a opção que apresenta um argumento válido:

a) Quando chove, as árvores ficam verdinhas. As árvores estão verdinhas, logo choveu.

b) Se estudo, obtenho boas notas. Se me alimento bem, me sinto disposto. Ontem estudei e

não me senti disposto, logo obterei boas notas mas não me alimentei bem.

c) Se ontem choveu e estamos em junho, então hoje fará frio. Ontem choveu e hoje fez frio.

Logo estamos em junho.

d) Choveu ontem ou segunda-feira é feriado. Como não choveu ontem, logo segunda-feira

não será feriado.

RESOLUÇÃO:

Um argumento é válido quando, ao considerarmos as suas premissas verdadeiras, a

conclusão é verdadeira. Vamos analisar cada alternativa, buscando verificar se existe

alguma forma de ter as premissas verdadeiras e a conclusão falsa, o que tornaria o

argumento inválido:


Temos a seguinte premissa: p�q. E, a seguir, a conclusão: q�p. Veja que, se p for

Falsa e q for Verdadeira, a primeira estrutura é verdadeira (p�q), porém a segunda (q�p)

é Falsa. Assim, encontramos uma forma da premissa ser verdadeira e a conclusão falsa.

Portanto, esse argumento não é válido.






A primeira frase é p�q. A segunda é r�s, que podemos substituir pela proposição

equivalente ~s�~r. Portanto, (p e ~s) � (q e ~r) é uma conclusão válida.

Tente visualizar assim: se A acontece, B acontece. Se D não acontece, C não

acontece. Portanto, se A acontece e D não acontece, então B acontece e C não acontece.



Temos a premissa (p e q) � r. Observe que se p for V e q for F, r pode ser V ou F

para tornar essa premissa verdadeira. Imaginemos que r é V.

A seguir temos a conclusão: (p e r) � q. Porém assumimos p Verdadeiro, r

Verdadeiro e q Falso. Isto torna essa conclusão falsa. Portanto, não temos um argumento

válido.


não será feriado.

Na premissa temos: p ou q. E, na conclusão: ~p�~q. Observe que se p for F e q for

V, a premissa é atendida (isto é, é verdadeira). Entretanto, ~p seria V e ~q seria F, e com

isso a conclusão ~p�~q não seria atendida (pois seria falsa). Assim, esse argumento é

inválido.

Resposta: B.

Chamamos de silogismo o argumento formado por exatamente 2 premissas e 1

conclusão, como:

P1: todo nordestino é loiro (premissa maior – mais geral);

P2: José é nordestino (premissa menor – mais específica)

Conclusão: Logo, José é loiro.

Sofisma ou falácia é um raciocínio errado com aparência de verdadeiro. Consiste em

chegar a uma conclusão inválida a partir de premissas válidas, ou mesmo a partir de

premissas contraditórias entre si. Por exemplo:

Premissa 1: A maioria dos políticos é corrupta.

Premissa 2: João é político.

Conclusão: Logo, João é corrupto.

Veja que o erro aqui foi a generalização. Uma coisa é dizer que a maioria dos

políticos é corrupta, outra é dizer que todos os políticos são corruptos. Não é possível




concluir que João é corrupto, já que ele pode fazer parte da minoria, isto é, do grupo dos

políticos que não são corruptos.

Observe esta outra falácia:

Premissa 1: Se faz sol no domingo, então vou à praia.

Premissa 2: Fui à praia no último domingo.

Conclusão: Logo, fez sol no último domingo.

A primeira premissa é do tipo condicional, sendo formada por uma condição (se faz

sol...) e um resultado (então vou à praia). Com base nela, podemos assumir que se a

condição ocorre (isto é, se efetivamente faz sol), o resultado obrigatoriamente tem de

acontecer. Mas não podemos assumir o contrário, isto é, que caso o resultado ocorra (ir à

praia), a condição ocorreu. Isto é, eu posso ter ido à praia mesmo que não tenha feito sol no

último domingo.

Vejamos mais algumas variações de questões sobre Argumentação Lógica. Nelas

são dadas apenas as premissas do argumento, e são solicitadas as conclusões. Preste

bastante atenção, pois essas questões são muito recorrentes em concursos.

10. FCC – TRT/22ª – 2010) Considere um argumento composto pelas seguintes premissas:

- se a inflação não é controlada, então não há projetos de desenvolvimento

- se a inflação é controlada, então o povo vive melhor

- o povo não vive melhor

Considerando que todas as três premissas são verdadeiras, então, uma conclusão que

tornaria o argumento válido é:

a) a inflação é controlada

b) não há projetos de desenvolvimento

c) a inflação é controlada ou há projetos de desenvolvimento

d) o povo vive melhor e a inflação não é controlada

e) se a inflação não é controlada e não há projetos de desenvolvimento, então o povo vive

melhor.

RESOLUÇÃO:

Veja que as 2 primeiras premissas são proposições compostas, enquanto a 3ª é

uma proposição simples. Para obtermos a conclusão, devemos considerar que todas as

premissas são verdadeiras. Nestes casos, é melhor partirmos da proposição simples (3ª

premissa), cuja análise é sempre mais fácil:

- o povo não vive melhor � para esta premissa ser V, é preciso que de fato o povo não viva

melhor.

Visto isso, podemos analisar a 2ª premissa, que também trata do mesmo assunto:




- se a inflação é controlada, então o povo vive melhor � já vimos que “o povo não vive

melhor” precisa ser V, de modo que “o povo vive melhor” é F. Assim, para que esta 2ª

premissa seja Verdadeira, é preciso que “a inflação é controlada” seja F também, pois F�F

é uma condicional com valor lógico V (veja a tabela-verdade da condicional).

Agora podemos avaliar a 1ª premissa:

- se a inflação não é controlada, então não há projetos de desenvolvimento � vimos que “a

inflação é controlada” é F, portanto “a inflação não é controlada” é V. Desta forma, “não há

projetos de desenvolvimento” precisa ser V também, para que esta 1ª premissa seja

Verdadeira.

Assim, vimos que:

- o povo não vive melhor (mas isso por si só não é uma conclusão, e sim uma premissa,

pois está no enunciado!)

- a inflação não é controlada

- não há projetos de desenvolvimento.

Analisando as possibilidades de resposta, vemos que a letra B reproduz esta última

frase.

Resposta: B .

11. ESAF – AFT – 2003) Se não durmo, bebo. Se estou furioso, durmo. Se durmo, não

estou furioso. Se não estou furioso, não bebo. Logo,

a) não durmo, estou furioso e não bebo

b) durmo, estou furioso e não bebo

c) não durmo, estou furioso e bebo

d) durmo, não estou furioso e não bebo

e) não durmo, não estou furioso e bebo

RESOLUÇÃO:

Observe que o enunciado nos apresenta as premissas de um argumento, e solicita

as conclusões do mesmo. Repare que todas as premissas são proposições compostas.

Aqui o método de resolução consiste em:

- “chutar” o valor lógico (V ou F) de alguma das proposições simples;

- verificar quais seriam os valores lógicos das demais proposições, de modo a tornar todas

as premissas Verdadeiras;

- se houver alguma falha lógica, voltar ao primeiro passo e “chutar” outro valor lógico para

uma proposição simples.




Exemplificando, vamos começar chutando que “não durmo” é V (e, portanto, “durmo”

é F). Com isso, vejamos o que é preciso fazer para forçar as premissas a serem

verdadeiras:

- Se não durmo, bebo � como “não durmo” é V, é necessário que “bebo” seja V para que

esta condicional seja verdadeira. Consequentemente, “não bebo” é F;

- Se estou furioso, durmo � como “durmo” é F, é preciso que “estou furioso” seja F para

que esta condicional seja verdadeira. Consequentemente, “não estou furioso” é V;

- Se durmo, não estou furioso � veja que “não estou furioso” é V e “durmo” é F. Assim,

essa condicional é verdadeira.

- Se não estou furioso, não bebo � aqui vemos que “não estou furioso” é V e “não bebo” é

F, tornando essa condicional Falsa!!

Veja que não foi possível tornar todas as premissas verdadeiras. Esta falha ocorreu

porque o nosso chute (“não durmo” é V) estava errado. Vamos chutar, então, que “não

durmo” é F, e que “durmo” é V. Agora devemos verificar se todas as premissas podem ser

tornadas verdadeiras:

- Se durmo, não estou furioso � como “durmo” é V, então “não estou furioso” deve ser V

para esta premissa ser verdadeira. Consequentemente, “estou furioso” é F;

- Se não estou furioso, não bebo � como “não estou furioso” é V, então “não bebo” deve

ser V, e assim “bebo” é F;

- Se estou furioso, durmo � “estou furioso” é F, de modo que esta premissa é Verdadeira.

- Se não durmo, bebo � “não durmo” é F, de modo que esta premissa é Verdadeira.

Agora sim foi possível tornar todas as premissas verdadeiras. Para isso, temos que

“durmo”, “não estou furioso” e “não bebo” são proposições Verdadeiras, sendo estas as

nossas conclusões deste argumento. Temos isto na letra D:


Resposta: D

12. FCC – SEFAZ/SP – 2009) Considere as seguintes afirmações:

I. Se ocorrer uma crise econômica, então o dólar não subirá.

II. Ou o dólar subirá, ou os salários serão reajustados, mas não ambos.

III. Os salários serão reajustados se, e somente se, não ocorrer uma crise econômica.

Sabendo que as três afirmações são verdadeiras, é correto concluir que, necessariamente,

a) o dólar não subirá, os salários não serão reajustados e não ocorrerá uma crise

econômica.

b) o dólar subirá, os salários não serão reajustados e ocorrerá uma crise econômica.




c) o dólar não subirá, os salários serão reajustados e ocorrerá uma crise econômica.

d) o dólar subirá, os salários serão reajustados e não ocorrerá uma crise econômica.

e) o dólar não subirá, os salários serão reajustados e não ocorrerá uma crise econômica.

RESOLUÇÃO:

Resumindo as premissas, temos:

I. Crise � dólar não sobe

II. Ou dólar sobe ou salários reajustados

III. Salários reajustados ↔ não crise

Vamos chutar que ocorreu uma crise, isto é, a primeira proposição simples do item I

é Verdadeira.

Como o item I é uma condicional (p�q), caso a condição “p” seja V, a conseqüência

“q” deve ser V também. Portanto, o dólar não sobe.

Sabendo disso, podemos partir para o item II. Note que a primeira parte do item II é

F (pois o dólar não sobe). Isso obriga a segunda parte ser V (isto é, os salários são

reajustados), para que a afirmação II seja verdadeira.

Vejamos agora o item III. Note que a primeira parte é V (salários reajustados), mas

a segunda é F (pois assumimos que ocorreu a crise). Isto é um absurdo, pois torna a

afirmação III falsa, e sabemos que ela é verdadeira. Onde está o erro? Na hipótese que

chutamos!

Devemos então chutar o oposto, isto é, que não ocorreu uma crise. Assim, a

primeira parte do item I é F, de modo que a segunda parte (dólar não sobe) pode ser V ou F

e ainda assim a afirmação I continua verdadeira.

Por outro lado, a segunda parte do item III é V (não crise), o que obriga a primeira

parte a ser V (salários reajustados) para que a afirmação III seja verdadeira.

Com isso, vemos que a segunda parte do item II é V (salários reajustados), o que

obriga a primeira parte a ser F (portanto, o dólar não sobe) para que a afirmação II seja

verdadeira. Sabendo disso, podemos voltar no item I e verificar que a sua segunda parte é

V, o que mantém a afirmação I verdadeira.

Repare que agora conseguimos fazer com que as 3 afirmações fossem verdadeiras,

como disse o enunciado. Portanto, não ocorreu uma crise, os salários são reajustados e o

dólar não sobe.

Resposta: E

Recapitulando, as informações mais importantes sobre Argumentos Lógicos são:

- para descobrir se um argumento é VÁLIDO, devemos tentar forçá-lo a ser inválido. Isto é,

buscar uma combinação de valores lógicos que tornem todas as premissas verdadeiras e,

ao mesmo tempo, a conclusão falsa. Se não conseguirmos, o argumento é VÁLIDO;




- para obter as CONCLUSÕES de um argumento, devemos considerar que todas as

premissas são verdadeiras e, com isso, descobrir os valores lógicos das proposições

simples.

Preste muita atenção na diferença de resolução entre as questões 10 e 11. Na

questão 10, uma das premissas era uma proposição simples, o que simplifica muito a

resolução. Basta partirmos da proposição simples e desvendar os valores lógicos das

demais proposições. Na questão 11, todas as premissas são proposições compostas, o que

nos obriga a usar o método do “chute”. Estes são os dois métodos mais comuns de

resolução de questões de argumentação onde é pedida a conclusão. No tópico 1.11

veremos mais um método específico (e mais complexo), cobrado em poucas questões.

1.10 Diagramas lógicos

Vamos começar fazendo uma revisão conceitual a respeito da teoria dos Conjuntos

para, a seguir, tratar sobre diagramas lógicos.

Um conjunto é um agrupamento de indivíduos ou elementos que possuem uma

característica em comum. Em uma escola, podemos criar, por exemplo, o conjunto dos

alunos que só tem notas acima de 9. Ou o conjunto dos alunos que possuem pai e mãe

vivos. E o conjunto dos que moram com os avós. Note que um mesmo aluno pode participar

dos três conjuntos, isto é, ele pode tirar apenas notas acima de 9, possuir o pai e a mãe

vivos, e morar com os avós. Da mesma forma, alguns alunos podem fazer parte de apenas

2 desses conjuntos, outros podem pertencer a apenas 1 deles, e, por fim, podem haver

alunos que não integram nenhum dos conjuntos. Um aluno que tire algumas notas abaixo

de 9, tenha apenas a mãe e não more com os avós não faria parte de nenhum desses

conjuntos.

Uma outra forma de se representar um conjunto é enumerar os seus elementos

entre chaves. Costumamos usar letras maiúsculas para representar os nomes de conjuntos,

e minúsculas para representar elementos. Ex.: A = {1, 3, 5, 7}; B = {a, b, c, d} etc.

Graficamente, costumamos representar um conjunto assim:

No interior deste círculo encontram-se todos os elementos que compõem o conjunto

A. Já na parte exterior do círculo estão os elementos que não fazem parte de A.




Portanto, no gráfico acima podemos dizer que o elemento “a” pertence ao conjunto

A. Matematicamente, usamos o símbolo ∈ para indicar essa relação de pertinência. Isto é:

a ∈ A. Já o elemento “b” não pertence ao conjunto A. Matematicamente: b∉A.

Quando temos 2 conjuntos (chamemos de A e B), devemos representá-los, em

regra, da seguinte maneira:

Observe que o elemento “a” está numa região que faz parte apenas do conjunto A.

Portanto, trata-se de um elemento do conjunto A que não é elemento do conjunto B. Já o

elemento “b” faz parte apenas do conjunto B.

O elemento “c” é comum aos conjuntos A e B. Isto é, ele faz parte da intersecção

entre os conjuntos A e B. Já o elemento “d” não faz parte de nenhum dos dois conjuntos,

fazendo parte do complemento dos conjuntos A e B (complemento ou Conjunto

Complementar é a diferença entre um conjunto e o conjunto Universo, isto é, todo o

universo de elementos possíveis).

Apesar de representarmos os conjuntos A e B entrelaçados, como vimos acima, não

temos certeza de que existe algum elemento na intersecção entre eles. Só saberemos isso

ao longo dos exercícios. Em alguns casos vamos descobrir que não há nenhum elemento

nessa intersecção, isto é, os conjuntos A e B são disjuntos. Assim, serão representados da

seguinte maneira:

Observe agora o esquema abaixo:




Neste diagrama, chamamos A – B de diferença entre o conjunto A e o conjunto B,

sendo esta região formada pelos elementos de A que não fazem parte do conjunto B. Já B

– A é a região formada pelos elementos de B que não fazem parte de A. A união dos

conjuntos A – B e B – A é chamada de diferença simétrica entre A e B, e geralmente é

simbolizada por A∆B. Além disso, a região A B∩ é a intersecção entre os conjuntos A e B,

isto é, possui os elementos em comum entre os dois conjuntos. Exemplificando, sejam:

A = {1, 2, 3, 4, 5}

B = {2, 4, 6, 8, 9}

Repare que:

A B∩ = {2, 4}

A – B = {1, 3, 5}

B – A = {6, 8, 9}

A∆B = { 1, 3, 5, 6, 8, 9}

Designamos por n(X) o número de elementos do conjunto X. No exemplo acima,

n(A) = n(B) = 5. É importante você saber que:

- o número de elementos da União entre os conjuntos A e B (designada por A B∪ ) é dado

pelo número de elementos de A somado ao número de elementos de B, subtraído do

número de elementos da intersecção ( A B∩ ), ou seja:

( ) ( ) ( ) ( )n A B n A n B n A B∪ = + − ∩

Nessa fórmula é preciso subtrair ( )n A B∩ , pois ao somar n(A) com n(B) a

intersecção é contada 2 vezes. Utilizando os conjuntos A e B do exemplo acima, temos que:

∪ = + − =( ) 5 5 2 8n A B

(repare que ∪A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9} )

- se dois conjuntos são disjuntos (não possuem elementos em comum), então:

( ) 0n A B∩ =




Em alguns casos, a intersecção entre os conjuntos A e B pode ser todo o conjunto

B, por exemplo. Isso acontece quando todos os elementos de B são também elementos de

A. Veja isso no gráfico abaixo:

Veja que, de fato, A B B∩ = . Quando isso ocorre, dizemos que o conjunto B está

contido no conjunto A, isto é, B A⊂ , ou que A contém B ( A B⊃ ). Repare que sempre a

“boca” ( ⊂ ou ⊃ ) fica voltada para o conjunto maior. Podemos dizer ainda que B faz parte

de A, ou que B é um subconjunto de A.

Ainda podemos utilizar notações matemáticas para representar os conjuntos. Se

queremos representar o conjunto dos números inteiros positivos, podemos dizer:

= ∀ ∈ ≥{ | 0}Y x Z x

(leia: Y é o conjunto formado por todo x pertencente aos Inteiros, tal que x é maior ou igual

a zero)

Note que o símbolo ∀ significa “todo”, e o símbolo | significa “tal que”. É bom você

também lembrar do símbolo ∃ , que significa “existe”.

Uma aplicação muito comum para os conjuntos é a resolução de questões que

envolvam proposições categóricas. As proposições que recebem esse nome são as

seguintes:

- Todo A é B

- Nenhum A é B

- Algum A é B

- Algum A não é B

Vejamos como interpretá-las, extraindo a informação que nos auxiliará a resolver os

exercícios.

- Todo A é B: você pode interpretar essa proposição como “todos os elementos do conjunto

A são também elementos do conjunto B”, isto é, o conjunto A está contido no conjunto B.

Graficamente, temos o seguinte:




Note que, de fato, A B⊂ .

- Nenhum A é B: nenhum elemento de A é também elemento de B, isto é, os dois conjuntos

são totalmente distintos (disjuntos), não possuindo intersecção. Veja isso a seguir:

- Algum A é B: esta afirmação nos permite concluir que algum (ou alguns) elemento de A é

também elemento de B, ou seja, existe uma intersecção entre os 2 conjuntos:

- Algum A não é B: esta afirmação permite concluir que existem elementos de A que não

são elementos de B, ou seja, que não estão na intersecção entre os dois conjuntos.

Exemplificando, podem existir os elementos “a” ou “b” no diagrama abaixo:




Em exercícios de Diagramas Lógicos, o mais importante é conseguir reconhecer, no

enunciado, quais são os conjuntos de interesse. Uma questão que diga, por exemplo, que

“todos os gatos são pretos” e que “algum cão não é preto”, possui 3 conjuntos que nos

interessam: Gatos, Cães e Animais Pretos.

Para começar a resolver a questão, você deve desenhar (ou imaginar) os 3

conjuntos:

cães gatos

Animais pretos

Note que, propositalmente, desenhei uma intersecção entre os conjuntos. Ainda não

sabemos se, de fato, existem elementos nessas intersecções. A primeira afirmação (“todos

os gatos são pretos”) deixa claro que todos os elementos do conjunto dos Gatos são

também elementos do conjunto dos Animais Pretos, ou seja, Gatos ⊂ Animais Pretos.

Corrigindo essa informação no desenho, temos:

cães

gatos

Animais pretos

Já a segunda afirmação (“algum cão não é preto”) nos indica que existem elementos

no conjunto dos cães que não fazem parte do conjunto dos animais pretos, isto é, existem

elementos na região “1” marcada no gráfico abaixo. Coloquei números nas outras regiões

do gráfico para interpretarmos o que cada uma delas significa:

cães

gatos

Animais pretos

1

2 3 4

5

6




- região 2: é a intersecção entre Cães e Animais Pretos. Ali estariam os cães que são pretos

(se houverem, pois nada foi afirmado a esse respeito).

- região 3: é a intersecção entre cães, gatos e animais pretos. Ali estariam os cães que são

gatos e que são pretos (por mais absurdo que isso possa parecer).

- região 4: ali estariam os gatos que são pretos, mas não são cães

- região 5: ali estariam os animais pretos que não são gatos e nem são cães

- região 6: ali estariam os animais que não são pretos e não são cães nem gatos (ou seja,

todo o restante).

1.11 Comentários adicionais para a resolução de exercícios

Como você deve ter percebido, a maioria das questões de lógica proposicional são

resolvidas das seguintes formas:

- encontrando-se a negação de proposições simples ou compostas;

- encontrando-se proposições equivalentes entre si, em particular a condicional p�q e

suas equivalentes (~q�~p e “~p ou q”);

- construindo-se a tabela-verdade de uma ou mais proposições compostas, para

identificar a ocorrência de tautologias, contradições, equivalências etc.

Observe que conhecer as negações permite encontrar algumas equivalências.

Exemplo: sabemos que a negação de (p e q) é (~p ou ~q). Logo, podemos afirmar que

~(p e q) é equivalente a (~p ou ~q), concorda? Da mesma forma, podemos afirmar que

~(p�q) é equivalente a (p e ~q), certo?

Nas questões específicas sobre argumentação, podemos ter:

- premissas e conclusão, sendo perguntado se a conclusão é válida (ou se

argumento é válido). Neste caso, devemos verificar se é possível que a conclusão

seja F e, ao mesmo tempo, as premissas sejam todas V. Se isto ocorrer, a

conclusão não é correta, e o argumento é inválido. Caso isso não seja possível,

podemos aceitar a conclusão e considerar o argumento válido.

- um conjunto de premissas, solicitando a conclusão. Neste caso, basta assumir que

todas as premissas são verdadeiras e efetuar a análise dos valores lógicos das

proposições simples. Se uma das premissas for proposição simples, devemos

começar por ela. Se todas forem proposições compostas, devemos chutar o valor

lógico de uma proposição simples e avaliar todas as premissas, verificando se há

alguma falha lógica;




Existe uma variação deste último caso que aparece raramente em questões de

concurso. Trata-se do caso onde são apresentadas várias premissas, todas proposições

compostas, e pede-se a conclusão. Porém as alternativas de resposta são todas

proposições compostas também! Neste caso, pode ser necessário recorrer a uma solução

um pouco diferente, sobre a qual trataremos agora, com base no exercício abaixo:

13. ESAF – ANEEL – 2004) Se não leio, não compreendo. Se jogo, não leio. Se não

desisto, compreendo. Se é feriado, não desisto. Então,

a) se jogo, não é feriado.

b) se não jogo, é feriado.

c) se é feriado, não leio.

d) se não é feriado, leio.

e) se é feriado, jogo.

RESOLUÇÃO:

Nesta questão todas as premissas são proposições compostas (condicionais). E

todas as alternativas de resposta também são condicionais. Aqui é “perigoso” resolver

utilizando o método de chutar o valor lógico de uma proposição simples (você pode até

chegar ao resultado certo, por coincidência, em algumas questões).

Para resolver, devemos lembrar do conceito de conclusão, que pode ser resumido

assim:

“Conclusão de um argumento é uma frase que nunca seja F quando todas as premissas forem V.”

O que nos resta é analisar as alternativas uma a uma, aplicando o conceito de

Conclusão visto acima. Repare que todas as alternativas são condicionais p�q, que só são

falsas quando p é V e q é F. Portanto, o que vamos fazer é:

- tentar "forçar" a ocorrência de p Verdadeira e q Falsa em cada alternativa (com isto,

estamos forçando a conclusão a ser F)

- a seguir, vamos verificar se é possível completar todas as premissas, tornando-as

Verdadeiras.

- Se for possível tornar todas as premissas V quando a conclusão é F, podemos

descartar a alternativa, pois não se trata de uma conclusão válida.

Vamos lá?

a) Se jogo, não é feriado




Devemos forçar esta conclusão a ser F, dizendo que “jogo” é V e “não é feriado” é F

(e, portanto, “é feriado” é V).

Com isso, podemos ver na premissa “Se jogo, não leio” que “não leio” precisa ser V

também, pois “jogo” é V.

Da mesma forma, na premissa “Se não leio, não compreendo” vemos que “não

compreendo” precisa ser V. E com isso “compreendo” é F.

Portanto, na premissa “Se não desisto, compreendo”, a proposição “não desisto”

também deve ser F.

Por fim, em “Se é feriado, não desisto”, já definimos que “é feriado” é V, e que “não

desisto” é F. Isto torna esta premissa Falsa! Isto nos mostra que é impossível tornar todas

as premissas V quando a conclusão é F. Isto é, quando as premissas forem V,

necessariamente a conclusão será V. Assim, podemos dizer que esta é, de fato, uma

conclusão válida para o argumento.

Este é o gabarito. Vejamos as demais alternativas, em nome da didática.

b) Se não jogo, é feriado

Devemos assumir que "não jogo" é V e “é feriado” é F, para que esta conclusão

tenha valor Falso (“jogo” é F e “não é feriado” é V).

Em “Se jogo, não leio”, como “jogo” é F, “não leio” pode ser V ou F e ainda assim

esta premissa é Verdadeira. Da mesma forma, em “Se é feriado, não desisto”, sendo “é

feriado” F, então “não desisto” pode ser V ou F e ainda assim esta premissa é Verdadeira.

Em “Se não leio, não compreendo”, basta que “não leio” seja F e a frase já pode ser

dada como Verdadeira, independente do valor de “não compreendo”. Da mesma forma, em

“Se não desisto, compreendo”, basta que “não desisto” seja F e a frase já é Verdadeira.

Veja que é possível tornar todas as premissas V, e, ao mesmo tempo, a conclusão

F. Portanto, esta não é uma conclusão válida, devendo ser descartada.

c) Se é feriado, não leio

Assumindo que “é feriado” é V e que “não leio” é F (“leio” é V), para que a conclusão

seja falsa, vejamos se é possível tornar todas as premissas Verdadeiras.

Em “Se é feriado, não desisto”, vemos que “não desisto” precisa ser V (pois “é

feriado” é V).




Em “Se jogo, não leio”, vemos que “jogo” precisa ser F (pois “não leio” é F).

Em “Se não desisto, compreendo”, como “não desisto” é V, então “compreendo”

precisa ser V.

Em “Se não leio, não compreendo”, vemos que esta premissa já é V pois “não leio” é

F.

Portanto, é possível ter todas as premissas V e a conclusão F, simultaneamente.

Demonstramos que esta conclusão é inválida.

d)Se não é feriado, leio

Rapidamente: “não é feriado” é V e “leio” é F (“não leio” é V).

Em “Se é feriado, não desisto” já temos uma premissa V, pois “é feriado” é F.

Em “Se não leio, não compreendo”, vemos que “não compreendo” precisa ser V

(“compreendo” é F).

Em “Se não desisto, compreendo”, vemos que “não desisto” deve ser F.

Em “Se jogo, não leio”, como “não leio” é V, a frase já é Verdadeira.

Conseguimos tornar todas as premissas V e a conclusão F, sendo esta conclusão

inválida.

e) Se é feriado, jogo

“É feriado” é V; “jogo” é F (“não jogo” é V).

“Se jogo, não leio” já é V, pois “jogo” é F. “Não leio” pode ser V ou F.

“Se é feriado, não desisto” � “não desisto” precisa ser V.

“Se não desisto, compreendo” � “compreendo” precisa ser V.

“Se não leio, não compreendo” � “não leio” deve ser F, pois “não compreendo” é F.

Novamente foi possível ter todas as premissas V e a conclusão F. Conclusão

inválida.

Resposta: A

Certifique-se que você entendeu este método de resolução, baseado no conceito de

“Conclusão”, resolvendo a questão a seguir ANTES de ler os meus comentários!




14. FCC – TCE-PR – 2011) Considere que as seguintes premissas são verdadeiras:

I. Se um homem é prudente, então ele é competente.

II. Se um homem não é prudente, então ele é ignorante.

III. Se um homem é ignorante, então ele não tem esperanças.

IV. Se um homem é competente, então ele não é violento.

Para que se obtenha um argumento válido, é correto concluir que se um homem:

(A) não é violento, então ele é prudente.

(B) não é competente, então ele é violento.

(C) é violento, então ele não tem esperanças.

(D) não é prudente, então ele é violento.

(E) não é violento, então ele não é competente.

RESOLUÇÃO:

Estamos novamente diante de um caso onde temos várias proposições compostas

como premissas, e várias conclusões também formadas por proposições compostas. Assim,

devemos testar cada alternativa de resposta, verificando se temos ou não uma conclusão

válida.

Temos, resumidamente, o seguinte conjunto de premissas:

I. prudente � competente

II. não prudente � ignorante

III. ignorante � não esperança

IV. competente � não violento

Uma condicional só é falsa quando a condição (p) é V e o resultado (q) é F. Ao

analisar cada alternativa, vamos assumir que p é V e que q é F, e verificar se há a

possibilidade de tornar todas as premissas Verdadeiras. Se isso ocorrer, estamos diante de

uma conclusão inválida, certo?

a) não violento � prudente

Assumindo que “não violento” é V e “prudente” é F (“não prudente” é V), temos:

I. prudente � competente: já é V, pois “prudente” é F.

IV. competente � não violento: já é V, pois “não violento” é V.

II. não prudente � ignorante: “ignorante” deve ser V, pois “não prudente” é V.

III. ignorante � não esperança: “não esperança” deve ser V, pois “ignorante” é V.




Foi possível tornar as 4 premissas V, enquanto a conclusão era F. Assim, a

conclusão é inválida.

b) não competente � violento

“Não competente” é V e “violento” é F. Assim:

I. prudente � competente: “prudente” deve ser F, pois “competente” é F.

II. não prudente � ignorante: “ignorante” deve ser V, pois “não prudente” é V.

III. ignorante � não esperança: “não esperança” deve ser V, pois “ignorante” é V.

IV. competente � não violento: já é V, pois “competente” é F.



c) violento � não esperança

Sendo “violento” V e “não esperança” F:

III. ignorante � não esperança: “ignorante” deve ser F, pois “não esperança” é F.

IV. competente � não violento: “competente” deve ser F, pois “não violento” é F.

I. prudente � competente: “prudente” deve ser F, pois “competente” é F.

II. não prudente � ignorante: já definimos que “não prudente” é V, e “ignorante” é F. Isto

deixa esta premissa Falsa.

Não conseguimos tornar todas as premissas V quando a conclusão era F. Portanto,

essa conclusão é sempre V quando as premissas são V, o que torna esta conclusão válida.

d) não prudente � violento

“Não prudente” é V e “violento” é F. Logo:

I. prudente � competente: já é V, pois “prudente” é F.

II. não prudente � ignorante: “ignorante” é V, pois “não prudente” é V.

III. ignorante � não esperança: “não esperança” é V, pois “ignorante” é V.

IV. competente � não violento: já é V, pois “não violento” é V.



e) não violento � não competente

“Não violento” é V e “não competente” é F. Assim:

I. prudente � competente: já é V, pois “competente” é V.

IV. competente � não violento: “não violento” é V, pois “competente” é V.




II. não prudente � ignorante: se, por exemplo, “não prudente” for F, esta sentença já é V

(veja que a sentença I não impede que “não prudente” seja F).

III. ignorante � não esperança: se “ignorante” for F, esta sentença já é V (a sentença II não

impede que “ignorante” seja F).



Resposta: C

Entendido? Espero que sim. Veja a seguir uma bateria de questões sobre lógica

proposicional. Note que ao final está uma seqüência de questões do CETRO!

2. RESOLUÇÃO DE QUESTÕES

15. FCC – TJ/SE – 2009) Considere as seguintes premissas:

p : Trabalhar é saudável

q : O cigarro mata.

A afirmação “Trabalhar não é saudável" ou "o cigarro mata” é FALSA se

a) p é falsa e ~q é falsa.

b) p é falsa e q é falsa.

c) p e q são verdadeiras.

d) p é verdadeira e q é falsa.

e) ~p é verdadeira e q é falsa.

RESOLUÇÃO:

Veja que “Trabalhar não é saudável” é a negação da proposição p, isto é, ~p. Já “o

cigarro mata” é a própria proposição q. Portanto, o exercício nos deu uma proposição ~p ou

q.

Vimos que uma disjunção (“ou”) só é falsa se ambas as proposições que a

constituem sejam falsas. Portanto, vemos que a disjunção do enunciado será falsa quando

~p for falsa e q for falsa. Entretanto, para que ~p seja falsa, o seu oposto (isto é, p) deve ser

verdadeira.

Assim, “Trabalhar não é saudável ou o cigarro mata” será falsa quando p for

verdadeira e q for falsa.

Resposta: D

16. FCC - TRT/2ª – 2008) Dadas as proposições simples p e q, tais que p é verdadeira e q é

falsa, considere as seguintes proposições compostas:

(1) p q∧ ; (2) ~ p q→ ; (3) ~ ( ~ )p q∨ ; (4) ~ ( )p q↔




Quantas dessas proposições compostas são verdadeiras?

a) nenhuma

b) apenas uma

c) apenas duas

d) apenas três

e) quatro.

RESOLUÇÃO:

Vou resolver essa questão de duas formas: mais lentamente, usando a lógica

propriamente dita em cima de um exemplo, e mais rapidamente usando a tabela verdade

em cima de proposições abstratas “p” e “q”.

Vamos começar pela mais lenta. Vamos analisar as 4 proposições compostas do

enunciado através do exemplo:

p: Chove amanhã

q: Eu vou à escola

O exercício disse que p é verdadeira (portanto, efetivamente chove amanhã), e q é

falsa (isto é, eu não vou à escola).

(1) p q∧ (p e q) será: “Chove amanhã e eu vou à escola”. Sabemos que, neste caso

(operador lógico “e”), a frase inteira só será verdadeira se ambas as proposições que a

compõem forem verdadeiras. Como o exercício disse que q é Falsa (isto é, eu não vou à

escola), essa proposição composta é falsa. Ou seja: p q∧ é F.

(2) ~ p q→ (não-p implica q) será: “Se não chove amanhã, então eu vou à escola”. Como

sabemos que p é verdadeira (chove amanhã), isto significa que ~ p (não chove amanhã) é

Falsa. Por outro lado, sabemos que q é falsa (não vou à escola). Ora, sabemos que este

operador lógico ( → ) só será falso em um caso: quando a condição (~ p ) for verdadeira e a

conseqüência (q) não ocorrer, isto é, for falsa. Como a condição é falsa, podemos dizer que

esta proposição ~ p q→ tem valor lógico Verdadeiro.

(3) ~ ( ~ )p q∨ , isto é, não (p ou não-q). Aqui precisamos ir por etapas. Veja primeiro o que

está entre parênteses: “Chove amanhã ou eu não vou à escola”. O “não” que se encontra

de fora do parênteses é a negação desta frase. Sabemos que para negar uma proposição

composta com “ou”, nenhuma das proposições simples que a compõem deve ocorrer. Isto

é, “Não chove amanhã e eu vou à escola”. Esta é a frase representada por ~ ( ~ )p q∨ .




Como se trata de uma conjunção (“e”), ela só será verdadeira se ambos os lados forem

verdadeiros. Entretanto, veja que o lado esquerdo é falso (pois, de fato, chove amanhã), e o

lado direito também é falso (pois sabemos que eu não vou à escola). Logo, a proposição

composta é Falsa.

(4) ~ ( )p q↔ , isto é, não (p se e somente q). O que está dentro dos parênteses é “Chove

amanhã se e somente se eu vou à escola”. Para negar essa bicondicional, devemos dizer

apenas um lado dela acontece. Fazemos isso com um “ou exclusivo”, isto é, “Ou chove

amanhã ou eu vou à escola”. Isto é ~ ( )p q↔ . Esta proposição composta é verdadeira se

um de seus lados for verdadeiro e o outro for falso. Sabemos que chove amanhã, portanto o

primeiro lado é verdadeiro, e também sabemos que eu não vou à escola, portanto o lado

direito é falso, o que torna a proposição composta Verdadeira.

Assim, são verdadeiras as proposições 2 e 4.

Resposta: C.

Vejamos a solução mais rápida, através da tabela verdade. Do enunciado, sabemos

que p é V e q é F.

(1) p q∧ é V apenas se p e q são V. Como q é F, então p q∧ é Falsa.

(2) ~ p q→ é F apenas se ~ p é V e q é F. Porém, como p é V, então ~ p é F. Com isso,

a implicação ~ p q→ é Verdadeira.

(3) ~ ( ~ )p q∨ . Veja que a negação da disjunção ~p q∨ é a conjunção ~ p q∧ . Essa

conjunção só é V se ambos os lados são V. Como q é F, então essa expressão é Falsa.

(4) ~ ( )p q↔ . A negação da bicondicional p q↔ é o ou exclusivo p q⊕ . Esta

proposição é V se uma das proposições simples é V e a outra é F. Como p é V e q é F,

podemos afirmar que p q⊕ é verdadeiro.

17. FCC – SEFAZ/SP – 2010) Considere as seguintes premissas:

p: Estudar é fundamental para crescer profissionalmente.

q: O trabalho enobrece.

A afirmação “Se o trabalho não enobrece, então estudar não é fundamental para crescer

profissionalmente” é, com certeza, FALSA quando:

a) p é falsa e q é falsa.

b) p é verdadeira e q é verdadeira.

c) p é falsa e q é verdadeira.





e) p é falsa ou q é falsa.

RESOLUÇÃO:

Veja que a afirmação dada pelo enunciado é: “Se não-q, então não-p”. Só há 1

forma dessa condicional ser FALSA: se a condição (não-q) for Verdadeira, porém o

resultado (não-p) for Falso.

Para que não-q seja Verdadeira, a sua negação (q) deve ser Falsa. E para que não-

p seja Falsa, a sua negação (p) deve ser Verdadeira.

Assim, p deve ser Verdadeira e q deve ser Falsa.

Resposta: D

18. ESAF – SEFAZ/SP – 2009 ) Assinale a opção verdadeira.

a) 3 = 4 e 3 + 4 = 9

b) Se 3 = 3, então 3 + 4 = 9

c) Se 3 = 4, então 3 + 4 = 9

d) 3 = 4 ou 3 + 4 = 9

e) 3 = 3 se e somente se 3 + 4 = 9

RESOLUÇÃO:

Vejamos cada alternativa:

a) 3 = 4 e 3 + 4 = 9

Temos uma conjunção (p e q) onde p é F e q é F. Proposição FALSA.

b) Se 3 = 3, então 3 + 4 = 9

Temos uma condicional (p�q) onde p é V e q é F. Proposição FALSA.

c) Se 3 = 4, então 3 + 4 = 9

Temos uma condicional (p�q) onde p é F e q é F. Proposição VERDADEIRA.

d) 3 = 4 ou 3 + 4 = 9

Temos uma disjunção (p ou q) onde p e q são F. Proposição FALSA.

e) 3 = 3 se e somente se 3 + 4 = 9

Temos uma bicondicional (p se e somente se q) onde p é V e q é F. Proposição

FALSA.

Resposta: C

19. ESAF – SEFAZ/SP – 2009) A negação de: Milão é a capital da Itália ou Paris é a capital

da Inglaterra é:

a) Milão não é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra.

b) Paris não é a capital da Inglaterra.

c) Milão não é a capital da Itália ou Paris não é a capital da Inglaterra.

d) Milão não é a capital da Itália.




e) Milão é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra.

RESOLUÇÃO:

Para desmentir o autor dessa frase, precisamos mostrar que nenhuma das

informações é verdadeira: Milão não é a capital da Itália E Paris não é a capital da

Inglaterra. Esta é a negação.

Resposta: A.

20. FGV - CODESP/SP - 2010) A negação da sentença “Se tenho dinheiro, então sou feliz”

é:

a) Se não tenho dinheiro, então não sou feliz

b) Se não sou feliz, então não tenho dinheiro

c) Não tenho dinheiro e sou feliz

d) Não tenho dinheiro ou sou feliz

e) Tenho dinheiro, e não sou feliz

RESOLUÇÃO:

Para desmentir o autor dessa frase, seria preciso mostrar que, mesmo tendo

dinheiro, determinada pessoa não é feliz. Letra E.

Trata-se de uma condicional p�q, cuja negação é p e ~q.

Resposta: E.

21. FCC – METRÔ/SP – 2010) Considere as proposições simples:

p: Maly é usuária do Metrô; e q: Maly gosta de dirigir automóvel

A negação da proposição composta ~p q∧ é:

a) Maly não é usuária do Metrô ou gosta de dirigir automóvel

b) Maly não é usuária do Metrô e não gosta de dirigir automóvel

c) Não é verdade que Maly não é usuária do Metrô e não gosta de dirigir automóvel

d) Não é verdade que, se Maly não é usuária do Metrô, então ela gosta de dirigir automóvel

e) Se Maly não é usuária do Metrô, então ela não gosta de dirigir automóvel.

RESOLUÇÃO:

Primeiramente, veja que ~q (negação de q) pode ser escrita como: Maly não gosta

de dirigir automóvel.

Assim, a proposição p e não-q ( ~p q∧ ) é:

“Maly é usuária do Metrô e Maly não gosta de dirigir automóvel”

Quem diz essa frase, está afirmando que as duas informações são verdadeiras, isto

é, que Maly é usuária do Metrô e, também, que Maly não gosta de dirigir automóvel. Isto




porque esta proposição composta é uma conjunção (“e”), que só é verdadeira quando

ambos os lados são verdadeiros.

Se quiséssemos desmentir (ou negar) o autor da frase, bastaria mostrar que um dos

lados não é verdadeiro. Isto é, bastaria provar que Maly não é usuária do Metrô, ou então

provar que Maly gosta de dirigir automóvel. Portanto, a negação da frase acima é:

“Maly não é usuária do Metrô ou Maly gosta de dirigir automóvel” (letra A)

Resposta: A.

De uma maneira mais rápida, bastaria você lembrar que a negação de ~p q∧ é

~ ~ (~ )p q∨ , isto é, ~ p q∨ .

22. FCC – ISS/SP – 2007) Considere a seguinte proposição:

“Se um Auditor-Fiscal Tributário não participa de projetos de aperfeiçoamento, então ele

não progride na carreira.”

Essa proposição é tautologicamente equivalente à proposição:

(A) Não é verdade que, ou um Auditor-Fiscal Tributário não progride na carreira ou ele

participa de projetos de aperfeiçoamento.

(B) Se um Auditor-Fiscal Tributário participa de projetos de aperfeiçoamento, então ele

progride na carreira.

(C) Não é verdade que, um Auditor-Fiscal Tributário não participa de projetos de

aperfeiçoamento e não progride na carreira.

(D) Ou um Auditor-Fiscal Tributário não progride na carreira ou ele participa de projetos de

aperfeiçoamento.

(E) Um Auditor-Fiscal Tributário participa de projetos de aperfeiçoamento e progride na

carreira.

RESOLUÇÃO:

Considere as duas proposições simples abaixo:

p = Auditor-Fiscal Tributário não participa de projetos de aperfeiçoamento

q = Auditor-Fiscal Tributário não progride na carreira.

Sendo assim, a frase do enunciado é a condicional p�q. Esse é o caso mais

“manjado”, e você deve lembrar que as proposições ~ ~q p→ e ~p ou q são equivalentes

a ela. Vamos escrever, portanto, essas duas últimas. Antes disso, precisamos saber as

negações simples ~p e ~q:

~p � Auditor-Fiscal Tributário participa de projetos de aperfeiçoamento

~q � Auditor-Fiscal Tributário progride na carreira

Desse modo, temos:




~ ~q p→ � Se um Auditor-Fiscal Tributário progride na carreira, então ele participa de

projetos de aperfeiçoamento.

~p ou q � Um Auditor-Fiscal Tributário participa de projetos de aperfeiçoamento ou não


Analisando as alternativas, veja que a letra D se aproxima da frase que escrevemos

acima:


aperfeiçoamento.

Aqui você poderia dizer: a letra D tem uma disjunção exclusiva, e não a disjunção

inclusiva (~p ou q) que vimos acima. Muito cuidado com a disjunção exclusiva .

Analisando as demais alternativas de resposta, você não encontraria nenhuma parecida

com ~ ~q p→ ou com (~p ou q). Assim, só resta “aceitar” que a FCC está considerando

que a expressão “ou..., ou...” da letra D refere-se a uma disjunção inclusiva, e não à

bicondicional.

Resposta: D

23. FCC – SEFAZ-SP – 2006) Se p e q são proposições, então a proposição ~p q∧ é

equivalente a:

a) ~ ( ~ )q p→

b) ~ ( )p q∨

c) ~ ( ~ )p q→

d) ~ ( )p q→

e) ~ ~q p→

RESOLUÇÃO:

Aqui você poderia se lembrar que a negação de p�q é justamente ~p q∧ .

Portanto, a expressão equivalente a ~p q∧ seria ~(p�q). Letra D.

Se você não percebesse isso rapidamente, precisaria escrever a tabela-verdade de

~p q∧ e, a seguir, escrever a tabela-verdade de cada alternativa de resposta, procurando

aquela que fosse igual à primeira.

Resposta: D

24. CESPE – Polícia Federal – 2009) As proposições [ (~ )] (~ )A B A∨ → e

[(~ ) ] (~ )A B A∧ ∨ são equivalentes.

RESOLUÇÃO:




Duas proposições são equivalentes quando possuem a mesma tabela-verdade.

Portanto, devemos construir a tabela verdade de cada uma delas.

Inicialmente, veja que ambas possuem apenas 2 proposições simples (A e B). O

número de linhas da tabela-verdade é igual a 2n, onde n é o número de proposições simples

(neste caso, n = 2). Portanto, teremos 4 linhas em cada tabela.

Vamos começar montando a tabela para [ (~ )] (~ )A B A∨ → . Devemos seguir os

passos abaixo:

1. Escrever todas as possíveis combinações de valores lógicos (V ou F) para A e B:

Valor lógico

de A

Valor lógico de

B

V V

V F

F V

F F

2. Inserir mais 1 coluna, colocando os valores lógicos de ~B (será o oposto do valor lógico

de B):

Valor lógico

de A

Valor lógico de

B

Valor lógico de

~B

V V F

V F V

F V F

F F V

3. Inserir mais 1 coluna, colocando os valores lógicos de (~ )A B∨ . Como trata-se de uma

disjunção (“ou”), ela só é falsa quando A e (~B) são ambos falsos:

Valor lógico

de A

Valor lógico de

B

Valor lógico de

~B

Valor

de (~ )A B∨

V V F V

V F V V

F V F F

F F V V

4. Inserir mais 1 coluna, colocando os valores lógicos de ~A (serão o oposto de A):




Valor lógico

de A

Valor lógico de

B

Valor lógico de

~B

Valor

de (~ )A B∨

Valor lógico de

~A

V V F V F

V F V V F

F V F F V

F F V V V

5. Inserir a última coluna, colocando os valores lógicos de [ (~ )] (~ )A B A∨ → . Por se tratar

de uma condicional, ela só será falsa quando a condição ([ (~ )]A B∨ ) for falsa e o

resultado (~ )A verdadeiro:

Valor

lógico de

A

Valor

lógico de

B

Valor

lógico de

~B

Valor

de (~ )A B∨

Valor

lógico de

~A

[ (~ )] (~ )A B A∨ →

V V F V F F

V F V V F F

F V F F V V

F F V V V V

Podemos obter a tabela verdade de [(~ ) ] (~ )A B A∧ ∨ seguindo os mesmos

passos. Tente montá-la. O resultado será a tabela abaixo:

Valor

lógico de

A

Valor

lógico de B

Valor

lógico de

~A

Valor de

(~ )A B∧

Valor

lógico de

~A

Valor de

[(~ ) ] (~ )A B A∧ ∨

V V F F F F

V F F F F F

F V V V V V

F F V F V V

Note que as tabelas-verdade de [ (~ )] (~ )A B A∨ → é igual à de

[(~ ) ] (~ )A B A∧ ∨ . Portanto, essas proposições são equivalentes.

Resposta: C.

25. ESAF – ISS/RJ – 2010) A proposição “um número inteiro é par se e somente se o seu

quadrado for par” equivale logicamente à proposição:




a) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se um número inteiro não for

par, então o seu quadrado não é par.

b) se um número inteiro for ímpar, então o seu quadrado é ímpar.

c) se o quadrado de um número inteiro for ímpar, então o número é ímpar.

d) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se o quadrado de um

número inteiro não for par, então o número não é par.

e) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par.

RESOLUÇÃO:

Temos no enunciado a bicondicional p q↔ , onde p = “um número inteiro é par” e q

= “o quadrado do número é par”.

O autor de uma bicondicional como esta quer dizer que ou as duas coisas

acontecem (são V), ou nenhuma das duas acontece (são F). Isto é, quer dizer que:

- se p acontece, então q acontece; e

-se p não acontece, então q não acontece.

Temos isto na alternativa A:

se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se um número inteiro não for

par, então o seu quadrado não é par

Veja que resolvemos apenas com base no significado. Uma resolução mais

tradicional envolveria escrever a tabela-verdade da alternativa A, isto é, de

( ) ( )p q q p→ ∧ → ; bem como a tabela-verdade de p q↔ , para confirmar que ambas são

iguais.

Resposta: A

26. FCC – ICMS/SP – 2006)Se p e q são proposições, então a proposição (~ )p q∧ é

equivalente a:

RESOLUÇÃO:

Observe que (~ )p q∧ é justamente a negação da condicional p�q. Isto é, podemos

dizer que (~ )p q∧ é equivalente a ~(p�q). Assim, já podemos marcar a alternativa D.




Que tal praticarmos a resolução mais tradicional? Basta escrever a tabela-verdade

das proposições. Teremos apenas 22 = 4 linhas, pois só temos 2 proposições simples:

P Q ~p ~q (~ )p q∧ ~ ( ~ )q p→ ~ ( )p q∨ ~ ( ~ )p q→ ~ ( )p q→ ~ ~q p→

V V F F F V F V F V

V F F V V F F F V F

F V V F F F F F F V

F F V V F F V F F V

Repare que apenas a coluna de ~ ( )p q→ é igual à de (~ )p q∧ .

Resposta: D

27. FCC – ICMS/SP – 2006) Dentre as alternativas abaixo, assinale a correta.

a) A proposição “Se está quente, ele usa camiseta” é logicamente equivalente à proposição

“Não está quente e ele usa camiseta”.

b) A proposição “Se a Terra é quadrada, então a Lua é triangular” é falsa.

c) As proposições ~ ( )p q∧ e (~ ~ )p q∨ não são logicamente equivalentes

d) A negação da proposição “Ele faz caminhada se, e somente se, o tempo está bom”, é a

proposição “Ele não faz caminhada se, e somente se, o tempo não está bom”.

e) A proposição ~ [ ~ ( )]p p q∨ ∧ é logicamente falsa.

RESOLUÇÃO:

Vamos avaliar cada alternativa:



Sendo p = “está quente” e q = “usa camiseta”, temos:

p�q

~p e q

Sabemos que p�q é equivalente a “~p ou q”, mas não a “~p e q”. Veja que se

tivermos p e q Verdadeiras, teríamos p�q com valor lógico V e “~p e q” com valor lógico F.

Item FALSO.


Aqui devemos apelar aos nossos conhecimentos para afirmar que “Terra é

quadrada” e “Lua é triangular” são duas informações incorretas, isto é, Falsas. Mas, em

uma condicional, F�F tem valor lógico verdadeiro, ao contrário do que afirma este item.

Item FALSO.





Sabemos que a negação da conjunção p q∧ , isto é, ~ ( )p q∧ , é justamente a

disjunção (~ ~ )p q∨ . Portanto, é correto falar que ~ ( )p q∧ é equivalente a (~ ~ )p q∨ , ao

contrário do que o item afirma. Item FALSO.



Sabemos que a negação de uma bicondicional (“se e somente se”) é feita com um

“ou exclusivo” (“ou..., ou...”). Item FALSO.


Vejamos a tabela-verdade desta proposição:

p q p q∧ ~ ( )p q∧ ~ ( )p p q∨ ∧ ~ [ ~ ( )]p p q∨ ∧

V V V F V F

V F F V V F

F V F V V F

F F F V V F

De fato temos uma contradição, isto é, uma proposição que somente possui valor

lógico F. Item VERDADEIRO.

Resposta: E

28. FCC – ICMS/SP – 2006) Seja a sentença ~ {[( ) ] [ (~ )]}p q r q p r→ ∨ ↔ → ∨ .

Se considerarmos que p é falsa, então é verdade que:

a) nas linhas da tabela-verdade em que p é F, a sentença é F.

b) faltou informar o valor lógico de q e de r

c) essa sentença é uma tautologia

d) o valor lógico dessa sentença é sempre F

e) nas linhas tabela-verdade em que p é F, a sentença é V.

RESOLUÇÃO:

Observe que, se p for F, podemos afirmar que a condicional p�q é V. Com isto, a

disjunção ( )p q r→ ∨ certamente é V. Por outro lado, ~p será V. Com isso, a disjunção

~ p r∨ certamente é V, de modo que a condicional (~ )q p r→ ∨ também é V.

Pelo que vimos acima, a bicondicional [( ) ] [ (~ )]p q r q p r→ ∨ ↔ → ∨ é V pois ela

tem os valores lógicos V V↔ . E a negação desta bicondicional, isto é,




~ {[( ) ] [ (~ )]}p q r q p r→ ∨ ↔ → ∨ , é Falsa.

Isto nos permite afirmar que, quando p é F, a sentença é F. Temos isto na letra A.

Resposta: A

29. FCC – ICMS/SP – 2006) Dada a sentença [ ] ~ (~ )p q r→ ∧ ∧ , complete o espaço [ ]

com uma e uma só das sentenças simples p, q, r ou a sua negação ~p, ~q ou ~r para que a

sentença dada seja uma tautologia. Assinale a opção que responde a essa condição.

a) Somente uma das três: ~p, q ou r

b) Somente uma das três: p, ~q ou ~r

c) Somente q

d) Somente p

e) Somente uma das duas: q ou r

RESOLUÇÃO:

Como se trata de uma condicional, devemos focar a análise no caso onde o

resultado ~ (~ )p q r∧ ∧ é F, pois se ocorrer de a condição [ ] ser V, a condicional será

falsa, deixando de ser uma tautologia.

Para ~ (~ )p q r∧ ∧ ser F, (~ )p q r∧ ∧ precisa ser V. E para a conjunção

(~ )p q r∧ ∧ ser V, é preciso que tanto ~p, q e r sejam V.

Neste caso, p, ~q e ~r seriam todas F. Se qualquer uma dessas três estivesse no

lugar de [ ] , teríamos uma tautologia, pois F�F tem valor lógico Verdadeiro:

~ (~ )p p q r→ ∧ ∧

~ ~ (~ )q p q r→ ∧ ∧

~ ~ (~ )r p q r→ ∧ ∧

Resposta: B

30. FCC – ICMS/SP – 2006)Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições.

A proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação é:




RESOLUÇÃO:

Observe que a proposição composta que buscamos só é verdadeira quando p é V e

q é F. Lembrando que p�q só é falsa neste mesmo caso, fica claro que a proposição que

buscamos é a negação de p�q, ou seja:

~(p�q)

Temos isto na alternativa E.

Resposta: E

31. FCC – ISS/SP – 2007) Considere o argumento seguinte:

Se o controle de tributos é eficiente e é exercida a repressão à sonegação fiscal, então a

arrecadação aumenta. Ouas penalidades aos sonegadores não são aplicadas ou o controle

de tributos é ineficiente. É exercida a repressão à sonegação fiscal. Logo, se as

penalidades aos sonegadores são aplicadas, então a arrecadação aumenta.

Se para verificar a validade desse argumento for usada uma tabela-verdade, qual deverá

ser o seu número de linhas?

(A) 4

(B) 8

(C) 16

(D) 32

(E) 64

RESOLUÇÃO:

Temos o seguinte argumento:

PREMISSAS:

- Se o controle de tributos é eficiente e é exercida a repressão à sonegação fiscal, então a

arrecadação aumenta.

- Ou as penalidades aos sonegadores não são aplicadas ou o controle de tributos é

ineficiente.

- É exercida a repressão à sonegação fiscal.

CONCLUSÃO:




Logo, se as penalidades aos sonegadores são aplicadas, então a arrecadação aumenta.

Podemos reescrever este argumento utilizando as seguintes proposições simples:

P = O controle de tributos é eficiente

Q = É exercida a repressão à sonegação fiscal

R = A arrecadação aumenta

S = As penalidades aos sonegadores não são aplicadas

~P = O controle de tributos é ineficiente

~S = As penalidades aos sonegadores são aplicadas

Veja que só precisamos de 4 proposições simples: P, Q, R e S (não devemos contar

as negações ~P e ~S). Logo, o número de linhas da tabela verdade, que é dado pela

fórmula 2n, será 24 = 16.

Resposta: C

32. FCC – ICMS/SP – 2006) No argumento: “Se estudo, passo no concurso. Se não estudo,

trabalho. Logo, se não passo o concurso, trabalho”, considere as proposições:

p: “estudo”

q: “passo no concurso”, e

r: “trabalho”

É verdade que:

a) A validade do argumento depende dos valores lógicos e do conteúdo das proposições

usadas no argumento

b) o argumento é válido, porque a proposição [( ) (~ )] (~ )p q p r q r→ ∧ → → → é uma

tautologia.

c) p, q, ~p e r são premissas e ~q�r é a conclusão.

d) a forma simbólica do argumento é

e) a validade do argumento é verificada por uma tabela-verdade com 16 linhas.

RESOLUÇÃO:

Temos um argumento com duas premissas e uma conclusão, que pode ser

representado assim:

PREMISSAS:

p�q (Se estudo, passo no concurso)

~p�r (Se não estudo, trabalho)

CONCLUSÃO:

~q�r (se não passo o concurso, trabalho)




Podemos, portanto, resumir este argumento assim:

[( ) (~ )] (~ )p q p r q r→ ∧ → → →

Veja que uni as duas premissas com uma conjunção (“e”), pois queremos avaliar o

caso onde uma E a outra premissa são verdadeiras.

Já podemos descartar a alternativa D, que apresenta uma forma diferente para

simbolizar o argumento. O mesmo vale para a alternativa C, que apresenta outras

premissas e conclusões.

Também podemos descartar E, pois temos 3 proposições simples (p, q e r), de modo

que precisamos de uma tabela-verdade com 23 = 8 linhas apenas. Já a alternativa A

apresenta um erro conceitual, pois a validade de um argumento NÃO depende dos valores

lógicos e do conteúdo das proposições, mas sim do fato de, quando as premissas forem V,

a conclusão nunca possa ser F. Sobra apenas a alternativa B, que é o gabarito. Vamos

entendê-la melhor.

Ela diz que o argumento [( ) (~ )] (~ )p q p r q r→ ∧ → → → é uma tautologia.

Vamos confirmar? Segue abaixo a tabela-verdade, onde preenchi as colunas da esquerda

para a direita:

p q r ~p ~q p�q ~p�r [( ) (~ )]p q p r→ ∧ → ~q�r [( ) (~ )] (~ )p q p r q r→ ∧ → → →

V V V F F V V V V V

V V F F F V V V V V

V F V F V F V F V V

V F F F V F V F F V

F V V V F V V V V V

F V F V F V F F V V

F F V V V V V V V V

F F F V V V F F F V

Você sabe que o argumento [( ) (~ )] (~ )p q p r q r→ ∧ → → → só é válido se, para

todos os casos onde as premissas [( ) (~ )]p q p r→ ∧ → são V, a conclusão (~ )q r→

também for V. Veja que, de fato, isso acontece (marquei em amarelo), o que torna o

argumento válido.

O enunciado quis complicar um pouco e disse que o argumento é válido porque

[( ) (~ )] (~ )p q p r q r→ ∧ → → → é uma tautologia, isto é, é sempre V. Na essência ele

disse o mesmo que eu falei no parágrafo acima. Se o argumento não fosse uma tautologia,




haveria obrigatoriamente um caso onde [( ) (~ )]p q p r→ ∧ → é V e (~ )q r→ é F,

tornando a expressão [( ) (~ )] (~ )p q p r q r→ ∧ → → → Falsa, e o argumento Inválido.

Resposta: B

33. FCC - ICMS/SP – 2006) Seja a sentença aberta A: [ ](~ )p p∨ ↔ e a sentença aberta

B: “Se o espaço [ ] for ocupado por uma ...(I)..., a sentença A será uma ...(II)...”. A

sentença B se tornará verdadeira se I e II forem substituídos, respectivamente, por:

a) contingência e contradição

b) tautologia e contradição

c) tautologia e contingência

d) contingência e contingência

e) contradição e tautologia

RESOLUÇÃO:

Inicialmente, observe que (~ )p p∨ é uma tautologia. Para qualquer valor lógico de

p (V ou F), esta disjunção é V. Assim, sabemos que na bicondicional [ ](~ )p p∨ ↔ , o

lado esquerdo é sempre V.

Se o lado direito também for ocupado por uma sentença que seja sempre V (uma

tautologia), a frase inteira será uma tautologia.

Já se o lado direito for ocupado por uma sentença que seja sempre F (uma

contradição), a frase inteira será uma contradição.

Por fim, se o lado direito for ocupado por uma sentença que possa ser V ou F (uma

contingência), a frase inteira será uma contingência.

Temos apenas este último caso na alternativa D.

Resposta: D

34. CESPE – Polícia Federal – 2009) Independentemente dos valores lógicos atribuídos às

proposições A e B, a proposição [( ) (~ )] (~ )A B B A→ ∧ → tem somente o valor lógico F.

RESOLUÇÃO:

Uma proposição que é Falsa em todos os casos é chamada de contradição. Para

descobrir se a proposição do enunciado é uma contradição, devemos montar a sua tabela-

verdade. Vamos novamente seguir os passos:

1. Escrever todas as possíveis combinações de valores lógicos (V ou F) para A e B:




Valor lógico

de A

Valor lógico de

B

V V

V F

F V

F F

2. Inserir mais 1 coluna, colocando os valores lógicos de A B→ (que só é falso quando A

é V e B é F):

Valor lógico

de A

Valor lógico de

B

Valor lógico de

A B→

V V V

V F F

F V V

F F V

3. Inserir mais 1 coluna, colocando os valores lógicos de~ B (que é o oposto do valor lógico

de B):

Valor lógico

de A

Valor lógico de

B

Valor lógico de

A B→

Valor lógico de

~B

V V V F

V F F V

F V V F

F F V V

4. Inserir mais 1 coluna, colocando os valores lógicos de [( ) (~ )]A B B→ ∧ , que é uma

conjunção (“e”), sendo verdadeira apenas quando ambos os membros são verdadeiros:

Valor lógico

de A

Valor lógico de

B

Valor lógico de

A B→

Valor lógico de

~B

Valor lógico de

[( ) (~ )]A B B→ ∧

V V V F F

V F F V F

F V V F F

F F V V V

5. Inserir mais 1 coluna, colocando os valores lógicos de (oposto dos valores de A):




Valor

lógico de

A

Valor

lógico de B

Valor lógico

de A B→

Valor lógico

de ~B

Valor lógico de

[( ) (~ )]A B B→ ∧

Valor

lógico de

~A

V V V F F F

V F F V F F

F V V F F V

F F V V V V

6. Inserir uma última coluna com os valores lógicos de [( ) (~ )] (~ )A B B A→ ∧ → , que é

uma condicional, portanto só é falsa quando o primeiro membro é V e o segundo é F:

Valor

lógico

de A

Valor

lógico

de B

Valor

lógico

de

A B→

Valor

lógico

de ~B

Valor lógico de

[( ) (~ )]A B B→ ∧

Valor

lógico

de ~A

Valor lógico de

[( ) (~ )] (~ )A B B A→ ∧ →

V V V F F F V

V F F V F F V

F V V F F V V

F F V V V V V

Observe que a expressão [( ) (~ )] (~ )A B B A→ ∧ → possui valor Verdadeiro para

qualquer valor lógico de A e de B. Portanto, não se trata de uma contradição, mas sim de

uma tautologia. Item ERRADO.

Resposta: E

35. FCC – TCE-PI – 2005) O manual de garantia da qualidade de uma empresa diz que, se

um cliente faz uma reclamação formal, então é aberto um processo interno e o

departamento de qualidade é acionado. De acordo com essa afirmação, é correto concluir

que

(A) a existência de uma reclamação formal de um cliente é uma condição necessária para

que o departamento de qualidade seja acionado.

(B)) a existência de uma reclamação formal de um cliente é uma condição suficiente para


(C) a abertura de um processo interno é uma condição necessária e suficiente para que o

departamento de qualidade seja acionado.

(D) se um processo interno foi aberto, então um cliente fez uma reclamação formal.




(E) não existindo qualquer reclamação formal feita por um cliente, nenhum processo interno

poderá ser aberto.

RESOLUÇÃO:

Resumindo a frase do enunciado, temos a seguinte condicional:

cliente reclama � (abre processo e departamento acionado)

Em uma condicional p�q,sabemos que p é condição suficiente para q, e q é

condição necessária para p. Ou seja, o cliente reclamar é condição suficiente para se abrir

processo e se acionar o departamento. Isso é dito na letra B.

Além disso, a abertura de processo e o acionamento do departamento são

condições necessárias à existência de reclamação de cliente.

Não há que se falar aqui em condição necessária e suficiente, pois não temos uma

bicondicional.

Ainda, vale mencionar que a letra D está errada, pois, na condicional p�q, o fato de

q ser V não obriga p a ser V também. E a letra E está errada, pois o fato de p ser F não

obriga q a ser F também.

Resposta: B

36. FCC – SEFAZ/SP – 2009) Considere a afirmação:

Pelo menos um ministro participará da reunião ou nenhuma decisão será tomada.

Para que essa afirmação seja FALSA:

a) é suficiente que nenhum ministro tenha participado da reunião e duas decisões tenham

sido tomadas.

b) é suficiente que dois ministros tenham participado da reunião e alguma decisão tenha

sido tomada.

c) é necessário e suficiente que alguma decisão tenha sido tomada, independentemente da

participação de ministros na reunião.

d) é necessário que nenhum ministro tenha participado da reunião e duas decisões tenham

sido tomadas.

e) é necessário que dois ministros tenham participado da reunião e nenhuma decisão tenha

sido tomada.

RESOLUÇÃO:

Essa afirmação do enunciado é uma disjunção (“ou”). Ela só será falsa se ambas as

proposições que a compõem sejam falsas. Vamos, portanto, obter a negação de cada uma

delas separadamente:

p: Pelo menos um ministro participará da reunião




Como negar uma proposição com “Pelo menos um”? Basta usar “Nenhum”. Assim,

temos: Nenhum ministro participará da reunião.

q: nenhuma decisão será tomada.

Podemos negar essa proposição dizendo: “Pelo menos uma decisão será tomada”.

Como queremos que ambas as proposições sejam falsas, basta que a conjunção

abaixo seja verdadeira:

“Nenhum ministro participará da reunião e pelo menos uma decisão será tomada”.

Portanto, se sabemos que nenhum ministro participou da reunião e, mesmo assim, 1

ou mais decisões foram tomadas, isto é suficiente para podermos afirmar que a afirmação é

FALSA. A alternativa A cita o caso em que sabemos que nenhum ministro participou e,

ainda assim, 2 decisões foram tomadas, o que é suficiente para desmentir a afirmação do

enunciado.

Resposta: A

37. FGV - MEC - 2008) Com relação à naturalidade dos cidadãos brasileiros, assinale a

alternativa logicamente correta:

a) Ser brasileiro é condição necessária e suficiente para ser paulista.

b) Ser brasileiro é condição suficiente, mas não necessária para ser paranaense.

c) Ser carioca é condição necessária e suficiente para ser brasileiro.

d) Ser baiano é condição suficiente, mas não necessária para ser brasileiro.

e) Ser maranhense é condição necessária, mas não suficiente para ser brasileiro.

RESOLUÇÃO:

Vamos analisar cada alternativa, para você fixar bem os conceitos de condição

necessária , condição suficiente e condição necessária e suficiente.


Falso. Observe que é necessário a pessoa ser brasileira para ser paulista. Não

existem paulistas que não são brasileiros. Porém não basta ser brasileiro para ser paulista,

isto é, não é suficiente saber que alguém é brasileiro para concluir que esse alguém é

paulista. Portanto, ser brasileiro é condição necessária para ser paulista, mas não é

suficiente.

Uma forma rápida de ver é montando a condicional: “Se você é paulista, então você

é brasileiro”. Numa condicional p�q como esta, p é condição suficiente para q, e q é

condição necessária para p. Portanto, ser paulista é condição suficiente para ser brasileiro,

e ser brasileiro é condição necessária para ser paulista.





Falso. Não há como ser paranaense sem ser brasileiro, isto é, é necessário que

alguém seja brasileiro para que seja paranaense. Mas não basta saber que alguém é

brasileiro para concluir que esse alguém é paranaense, isto é, ser brasileiro não é condição

suficiente para ser paranaense.


Falso. De fato é suficiente saber que alguém é carioca para afirmar que essa

pessoa é brasileira. Mas não é necessário ser carioca para ser brasileiro.


Verdadeiro. Assim como na letra C, sabemos que é suficiente saber que alguém é

baiano para afirmar que esse alguém é brasileiro, porém não é necessário ser baiano para

ser brasileiro.


Falso. Ser maranhense é condição suficiente, mas não necessária para ser

brasileiro.

Resposta: D

38. FCC – BAHIAGÁS – 2010) “Se a soma dos dígitos de um número inteiro n é divisível

por 6, então n é divisível por 6”. Um valor de n que mostra ser falsa a frase acima é:

a) 30

b) 33

c) 40

d) 42

e) 60

RESOLUÇÃO: Estamos diante de uma proposição aberta, pois temos uma variável (n) que,

dependendo de seu valor, pode tornar a proposição falsa ou verdadeira.

Observe que a proposição do enunciado é uma condicional, isto é, uma frase do tipo

p � q. Sabemos que só há uma forma da condicional ser falsa: se a condição (p) for

verdadeira, mas ainda assim o resultado (q) for falso (se ficou em dúvida, volte na tabela-

verdade da condicional). Com isso, vamos analisar as alternativas:

� n = 30: a soma de seus dígitos não é divisível por 6 (3 + 0 = 3), o que torna a

condição p Falsa. Como a condição é falsa, o resultado (q) pode ser verdadeiro ou




falso que a frase continua verdadeira. A título de curiosidade, note que neste caso q

é Verdadeira (pois 30 é divisível por 6).

� n = 33: a soma dos seus dígitos é divisível por 6 (3+3=6), ou seja, p é Verdadeira.

Entretanto, o resultado q é Falso, pois 33 não é divisível por 6. Portanto, n = 33 torna

a proposição composta Falsa. Este é o gabarito.

� n = 40: neste caso, p é Falsa e q é Falsa. Com isso, a frase é Verdadeira (para

espanto daqueles não acostumados com o estudo da Lógica)

� n = 42: neste caso, p e q são Verdadeiras, tornando p�q Verdadeira

� n = 60: idem ao anterior.

Resposta: B.

39. FCC – BACEN – 2006) Um argumento é composto pelas seguintes premissas:

– Se as metas de inflação não são reais, então a crise econômica não demorará a ser

superada.

– Se as metas de inflação são reais, então os superávits primários não serão fantasiosos.

– Os superávits serão fantasiosos.

Para que o argumento seja válido, a conclusão deve ser:

a) A crise econômica não demorará a ser superada.

b) As metas de inflação são irreais ou os superávits são fantasiosos.

c) As metas de inflação são irreais e os superávits são fantasiosos.

d) Os superávits econômicos serão fantasiosos.

e) As metas de inflação não são irreais e a crise econômica não demorará a ser superada.

RESOLUÇÃO:

Novamente temos 2 condicionais (p�q) e uma proposição simples (“Os superávits

serão fantasiosos”) funcionando como premissas de um argumento. Devemos assumir que

todas as premissas são verdadeiras para obter a conclusão. Tendo em mente a informação

dada pela proposição simples, vamos analisar as condicionais:


Sabemos que “os superávits primários não serão fantasiosos” é F, pois a proposição

simples nos disse que “os superávits serão fantasiosos”). Assim, “as metas de inflação são

reais” precisa ser F para que a condicional p�q continue verdadeira. Portanto, descobrimos

que as metas de inflação não são reais.


superada.




Sabemos que a condição (“se as metas de inflação não são reais”) é V, pois foi isso

que descobrimos logo acima. Assim, o resultado (“a crise econômica não demorará a ser

superada”) precisa ser V. Assim, de fato a crise econômica não demorará a ser superada.

Com isso, podemos concluir que:

- as metas de inflação não são reais

- a crise econômica não demorará a ser superada � letra A, que é o gabarito.

Atenção: não podemos concluir que “os superávits primários serão fantasiosos”, pois

isso é uma premissa do argumento, dada pelo enunciado. Por esse motivo as letras B, C e

D são erradas!

Resposta: A

40. UFF – ANCINE – 2008) Namoro ou estudo. Passeio e não estudo. Acampo ou não

estudo. Ocorre que não acampo. Logo:

a) Estudo e passeio

b) Não passeio e namoro

c) Não acampo e não passeio

d) Passeio e namoro

e) Estudo e não passeio

RESOLUÇÃO:

Novamente temos várias proposições compostas e 1 proposição simples (“não

acampo”) como premissas. Devemos assumir que todas são verdadeiras. Vamos analisar

as proposições compostas:

Acampo ou não estudo.

Sabemos que a primeira parte dessa proposição é Falsa (pois “não acampo” é V).

Assim, a segunda parte precisa ser V para que a disjunção (“ou”) seja Verdadeira. Com

isso, descobrimos que não estudo.

Passeio e não estudo.

Aqui as duas proposições simples precisam ser Verdadeiras para que a conjunção

(“e”) seja Verdadeira. Já sabemos que a segunda parte é verdadeira. Acabamos de ver que

a primeira também é, ou seja, passeio.

Namoro ou estudo.




Aqui sabemos que a segunda parte da disjunção é falsa, pois eu não estudo.

Portanto, a primeira parte precisa ser verdadeira para que a disjunção seja verdadeira.

Portanto, namoro.

Resposta: D.

41. ESAF – ANEEL – 2004) Surfo ou estudo. Fumo ou não surfo. Velejo ou não estudo.

Ora, não velejo. Assim,

a) estudo e fumo.

b) não fumo e surfo.

c) não velejo e não fumo.

d) estudo e não fumo.

e) fumo e surfo.

RESOLUÇÃO:

Sabendo que “não velejo” é verdade, podemos voltar analisando as demais

premissas do argumento:

Velejo ou não estudo.

A primeira parte desta proposição (“velejo”) é falsa. Portanto, a segunda parte

precisa ser verdadeira (“não estudo”), para que esta disjunção seja verdadeira. Portanto, de

fato eu não estudo.

Surfo ou estudo.

A segunda parte desta proposição (“estudo”) é falsa, pois já vimos que não estudo.

Assim, a primeira parte precisa ser verdadeira, para que a disjunção seja verdadeira. Ou

seja, surfo.

Fumo ou não surfo.

Novamente, a segunda parte dessa disjunção é falsa. A primeira precisa ser

verdadeira. Isto é, fumo.

Com isto, vemos que:

- não estudo

- surfo

- fumo

Resposta: E.




42. FCC – TCE/SP – 2009) Certo dia, cinco Agentes de um mesmo setor do Tribunal de

Contas do Estado de São Paulo − Amarilis, Benivaldo, Corifeu, Divino e Esmeralda − foram

convocados para uma reunião em que se discutiria a implantação de um novo serviço de

telefonia. Após a realização dessa reunião, alguns funcionários do setor fizeram os

seguintes comentários:

– “Se Divino participou da reunião, então Esmeralda também participou”;

– “Se Divino não participou da reunião, então Corifeu participou”;

– “Se Benivaldo ou Corifeu participaram, então Amarilis não participou”;

– “Esmeralda não participou da reunião”.

Considerando que as afirmações contidas nos quatro comentários eram verdadeiras, pode-

se concluir com certeza que, além de Esmeralda, não participaram de tal reunião

a) Amarilis e Benivaldo.

b) Amarilis e Divino.

c) Benivaldo e Corifeu.

d) Benivaldo e Divino.

e) Corifeu e Divino.

RESOLUÇÃO:

Repare que o exercício nos repassou 4 afirmações verdadeiras (premissas). Destas,

1 é uma proposição simples (“Esmeralda não participou da reunião”), enquanto as outras

são condicionais, isto é, proposições compostas do tipo “se..., então ...”. Para resolver,

partimos da proposição simples, pois ela já nos dá uma informação por si só: Esmeralda

faltou à reunião.

A seguir, vamos analisar a primeira frase, pois ela envolve Esmeralda (e já sabemos

que ela faltou):

- Se Divino participou da reunião, então Esmeralda também participou.

Como sabemos que “Esmeralda também participou” é F, então “Divino participou”

deve ser F também para essa condicional ser Verdadeira. Portanto, “Divino não participou”

é V.

Sabendo que Divino também não participou, podemos analisar a 2ª frase:

- Se Divino não participou da reunião, então Corifeu participou.

Como sabemos que “Divino não participou” é V, então “Corifeu participou” precisa

ser V também.

Partindo para a última frase:




- Se Benivaldo ou Corifeu participaram, então Amarilis não participou.

Como “Corifeu participou” é V, então “Benivaldo ou Corifeu participaram” é

obrigatoriamente V. Dessa forma, “Amarílis não participou” precisa ser V também para que

a condicional acima seja verdadeira.

Assim, temos certeza que Esmeralda, Amarilis e Divino não participaram.

Resposta: B.

43. DOM CINTRA – ISS/BH – 2012) Observe os seguintes argumentos:

Pode-se afirmar corretamente que os argumentos I, II e III são considerados,

respectivamente, como:

A) válido, válido e válido.

B) inválido, válido e válido.

C) válido, inválido e inválido.

D) inválido, válido e inválido.

E) válido, inválido e válido.

RESOLUÇÃO:

Vamos tentar “forçar” cada argumento a ser inválido. Para isso, vamos verificar se é

possível ter todas as premissas V, e, ao mesmo tempo, a conclusão F, o que tornaria o

argumento inválido.




B precisa ser V para que a Premissa 2 seja verdadeira. Com isso, ~B é F, e A

precisa ser F para que A�~B seja V. Portanto, a conclusão ~A é necessariamente V,

tornando o argumento válido.

Aqui a abordagem precisa ser ligeiramente diferente, pois todas as premissas e a

conclusão são proposições compostas. Repare que, para a conclusão ser Falsa, só há uma

possibilidade: ~R ser V (R ser F) e T ser F. Vejamos se, com estes valores lógicos de R e T,

conseguimos tornar todas as premissas V.

Na Premissa 2, como R é V, ~P precisa ser V (P é F). Na premissa 1, como P é F,

então Q precisa ser F (~Q é V). Na premissa 3, como ~Q é V, S precisa ser V. E, na

premissa 4, temos que T é F, o que já a torna V independente do valor de ~S.

Portanto, foi possível deixar todas as premissas V e, ao mesmo tempo, a conclusão

F. Assim, este argumento é Inválido.

Para a conclusão ser F, precisamos que ~H e/ou E seja F. Vejamos se é possível ter

todas as premissas V.

Para a premissa 2 ser V, é preciso que G e ~D sejam V (D seja F).

Neste caso, é preciso que E seja V, pois assim a bicondicional E ↔ D terá valor

lógico F, e a sua negação terá valor lógico V, tornando a premissa 3 verdadeira.

Sendo G e E verdadeiras, a disjunção (~ ~ )G E∨ é falsa. Se ~H for F, H é V, e

com isso a premissa 1 fica Falsa.

Não é possível ter as 3 premissas V e a conclusão F ao mesmo tempo. Logo, o

argumento é válido.




Resposta: E

44. ESAF – AFRFB – 2009) Se 3 eα = , então 3 eβ = . Se 3eα = , então β ou δ são

iguais a 3 e . Se 3eδ = , então 3eβ = . Se 3 eδ = , então 3 eα = . Considerando que as

afirmações são verdadeiras, segue-se, portanto, que:

RESOLUÇÃO:

Podemos resolver chutando que 3 eα = é V, e tentando preencher o valor lógico

das demais proposições simples, de modo a manter todas as frases verdadeiras. Vejamos:

- Se 3 eα = , então 3 eβ = � como 3 eα = é V, podemos dizer que 3 eβ = precisa ser

V.

- Se 3eδ = , então 3eβ = � como 3eβ = é F, podemos dizer que 3eδ = precisa ser F.

- Se 3 eδ = , então 3 eα = � como 3 eα = é V, esta condicional é verdadeira

independente do valor lógico de 3 eδ = .

- Se 3eα = , então β ou δ são iguais a 3 e � Como 3eα = é F, esta frase é verdadeira

independente do valor lógico de β ou δ .

Analisando as alternativas, vemos que 3 eα β δ= = = é uma combinação que

mantém todas as frases verdadeiras, sem falha lógica.

Resposta: D

45. FDC - MAPA - 2010) Considere as afirmações: Se Paula é uma boa amiga, então

Vagner diz a verdade. Se Vagner diz a verdade, então Helen não é uma boa aluna. Se




Helen não é uma boa aluna, então Paula é uma boa amiga. A análise do encadeamento

lógico da argumentação contida nessas três afirmações permite concluir que elas:

A) implicam necessariamente que Paula é uma boa amiga;

B) são consistentes entre si, quer Paula seja uma boa amiga, quer Paula não seja uma boa

amiga;

C) implicam necessariamente que Vagner diz a verdade e que Helen não é uma boa aluna;

D) são equivalentes a dizer que Paula não é uma boa amiga;

E) acarretam necessariamente que Helen é uma boa aluna.

RESOLUÇÃO:

Temos a seguinte estrutura:

Premissa 1: Se Paula é uma boa amiga, então Vagner diz a verdade.

Premissa 2: Se Vagner diz a verdade, então Helen não é uma boa aluna.

Premissa 3: Se Helen não é uma boa aluna, então Paula é uma boa amiga.

Vamos chutar que “Paula é uma boa amiga” é Verdadeiro. Com isso, “Vagner diz a

verdade” também é V.

Analisando a segunda premissa, como “Vagner diz a verdade” é V, “Helen não é

uma boa aluna” é V também.

Na terceira premissa, “Helen não é uma boa aluna” é V. Isso faz com que “Paula é

uma boa amiga” seja V também, confirmando o que já havíamos “chutado”. Veja que não

encontramos nenhuma falha na argumentação lógica.

E se tivéssemos chutado que “Paula é uma boa amiga” é F? Nesse caso, seria

melhor começar analisando a terceira premissa:

Premissa 3: Se Helen não é uma boa aluna, então Paula é uma boa amiga.

Como a segunda parte dessa condicional é F, a primeira parte precisa ser F.

Portanto, Helen é uma boa aluna. Portanto, a segunda parte da segunda premissa seria

Falsa:

Premissa 2: Se Vagner diz a verdade, então Helen não é uma boa aluna.

Isso obriga a primeira parte a ser Falsa também, ou seja, Vagner não diz a verdade.

Voltando na primeira premissa, vemos que a sua segunda parte é F:

Premissa 1: Se Paula é uma boa amiga, então Vagner diz a verdade.

Portanto, a primeira parte deve ser F também, o que confirma o nosso chute, sem

nenhuma falha na argumentação lógica.

Ou seja, a argumentação é consistente tanto no caso de Paula ser uma boa amiga,

como no caso de Paula não ser uma boa amiga.

Resposta: B




46. FGV - CODESP/SP - 2010) Se A não é azul, então B é amarelo. Se B não é amarelo,

então C é verde. Se A é azul, então C não é verde. Logo, tem-se obrigatoriamente que:

a) A é azul

b) B é amarelo

c) C é verde

d) A não é azul

e) B não é amarelo

RESOLUÇÃO

Para resolver esse exercício, vamos chutar que “A não é azul” (início da primeira

proposição) é falsa, isto é, “A é azul” é verdadeira. Feito isso, vamos analisar as

condicionais.

Ainda sobre a primeira sentença, se a proposição p (“A não é azul”) da condicional é

falsa, a proposição q pode ser verdadeira ou falsa e mesmo assim a condicional será

verdadeira. Portanto, ainda não podemos afirmar se “B é amarelo” é V ou F. Vejamos a

terceira frase:

“Se A é azul, então C não é verde”

Nessa terceira frase, sabemos que “A é azul” é verdadeira (pois definimos que “A

não é azul” é falsa). Portanto, “C não é verde” tem de ser verdadeira também. Com isso em

mãos, vamos verificar a segunda sentença:

Se B não é amarelo, então C é verde.

Sabemos que “C é verde” é falso. Assim, “B não é amarelo” precisa ser falsa

também para garantir que a condicional seja verdadeira. Portanto, “B é amarelo” seria

verdadeira.

Em resumo, quando chutamos que “A não é azul” é falsa, obtivemos:

- A é azul

- B é amarelo

- C não é verde.

E se tivéssemos assumido que “A não é azul” é verdadeira? Analisando a primeira

condicional novamente, isso obrigaria “B é amarelo” a ser verdadeira também, sob pena de

tornar a condicional p�q falsa.

Isto é, chutando “A não é azul” verdadeira ou falsa, chegamos à mesma conclusão

em relação a B. Assim, podemos garantir que B é realmente amarelo, como afirma a letra B.

Resposta: B




47. FCC – ICMS/SP – 2006) Considere os argumentos abaixo:

Indicando-se os argumentos legítimos por L e os ilegítimos por I, obtêm-se, na ordem dada,

a) L, L, I, L

b) L, L, L, L

c) L, I, L, I

d) I, L, I, L

e) I, I, I, I

RESOLUÇÃO:

Veja a análise de cada argumento, lembrando que devemos forçar as premissas a

serem V e verificar se a conclusão é necessariamente V (tornando o argumento válido /

legítimo) ou se ela pode ser F (tornando o argumento inválido / ilegítimo):

I. Na primeira premissa (“a”), vemos que “a” precisa ser V. Na segunda (a�b), como “a” é

V, então “b” precisa ser V para a premissa ser V. Logo, podemos concluir que “b” é V.

Argumento válido/legítimo.

II. Na primeira premissa vemos que “~a” é V, logo “a” é F. Na segunda, como “a” é F, “b”

pode ser V ou F que a premissa continua verdadeira. Não podemos concluir que ~b é V ou

F. Argumento inválido/ilegítimo.

III. Na primeira premissa vemos que “~b” é V, logo “b” é F. Na segunda, como “b” é F, então

“a” precisa ser F para que a premissa seja verdadeira. Portanto, podemos concluir que “~a”

é V. Argumento válido/legítimo.

IV. Na primeira premissa vemos que “b” é V. Na segunda, como “b” é V, “a” pode ser V ou F

e a premissa continua verdadeira. Não podemos concluir o valor lógico de “a”. Argumento

inválido/ilegítimo.

Resposta: C




48. FCC – TRT/1ª – 2011) Admita que todo A é B, algum B é C, e algum C não é A. Caio,

Ana e Léo fizeram as seguintes afirmações:

Caio → se houver C que é A, então ele não será B.

Ana → se B for A, então não será C.

Léo → pode haver A que seja B e C.

Está inequivocamente correto APENAS o que é afirmado por

a) Caio.

b) Ana.

c) Léo.

d) Caio e Ana.

e) Caio e Léo.

RESOLUÇÃO:

O exercício menciona 3 conjuntos: A, B e C. Ao dizer que “todo A é B”, ele quer dizer

que todo elemento do conjunto A é também elemento do conjunto B. Isto significa que o

conjunto A está dentro, isto é, está contido no conjunto B. Veja o desenho abaixo:

Percebeu que temos 2 conjuntos, A e B, de forma que B é constituído por todos os

elementos de A e pode ter mais alguns elementos que não fazem parte de A? É isto que a

expressão “todo A é B” nos diz. Vejamos a próxima.

Ao dizer que “algum B é C”, o exercício quer dizer que “alguns elementos de B

fazem também parte do conjunto C”. Isto é, existe uma intersecção entre estes dois

conjuntos. Veja o diagrama abaixo:

B

A




Note que a área hachurada é comum aos conjuntos B e C. Isto é, naquela área

estão localizados os elementos de B que também fazem parte de C. Não temos certeza se

algum elemento de A também faz parte de C, apesar de eu já ter desenhado uma

intersecção entre os conjuntos A e C.

A terceira informação diz que “algum C não é A”. Isto é, “alguns elementos do

conjunto C não fazem parte do conjunto A”. De fato, se você olhar novamente a última

figura desenhada, verá que existe uma intersecção entre A e C, onde estão os elementos

comuns aos dois conjuntos, e existem alguns elementos do conjunto C fora deste espaço,

isto é, são elementos que fazem parte de C e não fazem parte de A. Temos, portanto,

nosso diagrama completo. Podemos, com isso, analisar as afirmações feitas por Caio, Ana

e Léo.


Caio disse que se houver um elemento de C que também seja de A (isto é, um

elemento na intersecção entre C e A, então ele não fará parte do conjunto B. Esta afirmação

é falsa, pois como todo o conjunto A está dentro do B, a intersecção entre C e A também

estará dentro de B. Veja isto na figura abaixo:


B

A

C

B

A

C




Ana disse que, se um elemento de B for também elemento de A, então não será

elemento de C. Isto não é verdade, pois o exercício não afirmou que não existem elementos

de C que também sejam elementos de A. Veja a bolinha azul na figura:

Este ponto destacado atende a primeira parte da afirmação de Ana (pois é um

elemento de B que também é de A). Entretanto, este ponto pode também fazer parte do

conjunto C, uma vez que o exercício não afirmou que não há intersecção entre A e C, isto é,

que “nenhum C é A”. Portanto, não podemos afirmar que Ana está correta.


Leo afirma que pode haver um elemento do conjunto A que também seja do

conjunto B e do conjunto C, isto é, pode haver um elemento na intersecção entre A, B e C.

A afirmação de Leo pode ser visualizada em nosso diagrama anterior, que repito abaixo.

Veja a bolinha azul:

Ela representa um elemento de A que também faz parte de B (afinal, todos os

elementos de A fazem parte de B) e pode também ser um elemento de C, uma vez que

talvez C tenha elementos em comum com A (afinal, o exercício não afirmou o contrário).

Portanto, é possível que algum elemento de A seja também de B e de C ao mesmo tempo

(mas não podemos afirmar isso com certeza absoluta). Leo está correto, pois disse “pode

haver A que seja B e C”, e não “há A que é B e C”.

Portanto, Leo foi o único que fez uma afirmação verdadeira.

Resposta: C.

B

A

C

B

A

C




49. FCC – TRT/8ª – 2010) Em certo planeta, todos os Aleves são Bleves, todos os Cleves

são Bleves, todos os Dleves são Aleves, e todos os Cleves são Dleves. Sobre os habitantes

desse planeta, é correto afirmar que:

a) Todos os Dleves são Bleves e são Cleves.

b) Todos os Bleves são Cleves e são Dleves.

c) Todos os Aleves são Cleves e são Dleves.

d) Todos os Cleves são Aleves e são Bleves.

e) Todos os Aleves são Dleves e alguns Aleves podem não ser Cleves.

RESOLUÇÃO:

As letras A, B, C e D vão simbolizar os Aleves, Bleves, Cleves e Dleves

respectivamente. Vejamos as informações fornecidas pelo enunciado:

- todos os A são B:

Portanto, o conjunto B está contido no conjunto A. Veja isto no esquema abaixo, e

note que podem existir elementos em B que não estão em A:

- Todos os C são B.

Ou seja, todos os elementos de C são também de B, estando o conjunto C dentro do

conjunto B. Veja isso no desenho abaixo. Note que desenhei C de forma que ele tivesse

uma intersecção com A, mas ainda não temos certeza se essa intersecção realmente

existe.

- Todos os D são A.

B

A

B

A

C




Portanto, o conjunto D está contido no conjunto A. Veja isso na figura abaixo.

Novamente, desenhei D numa posição onde ele tivesse intersecção com C, apesar de ainda

não termos certeza disso:

-Todo C é D.

Já sabíamos que A estava dentro de B, e que D estava dentro de A. Agora vemos

que C está dentro de D, pois todos os elementos de C são também de D. Devemos fazer

esta alteração no desenho acima, chegando à seguinte configuração:

Analisando as possibilidades de resposta, vemos que todo C é A e é B, isto é, “todos

os Cleves são Aleves e são Bleves” (letra D).

Resposta: D.

50. CESPE – Polícia Civi/ES – 2011) Um argumento constituído por uma sequência de três

proposições — P1, P2 e P3, em que P1 e P2 são as premissas e P3 é a conclusão — é

considerado válido se, a partir das premissas P1 e P2, assumidas como verdadeiras,

obtém-se a conclusão P3, também verdadeira por consequência lógica das premissas. A

respeito das formas válidas de argumentos, julgue os próximos itens.

B

A

C D

B

A C

D




( ) Se as premissas P1 e P2 de um argumento forem dadas, respectivamente, por “Todos

os leões são pardos” e “Existem gatos que são pardos”, e a sua conclusão P3 for dada por

“Existem gatos que são leões”, então essa sequência de proposições constituirá um

argumento válido.

RESOLUÇÃO:

Usando os conjuntos dos Leões, dos Animais Pardos e dos Gatos, a P1 nos diz:

Já P2 nos diz que existe intersecção entre o conjunto dos animais pardos e dos

gatos:

Veja que desenhei, propositalmente, a intersecção entre o conjunto dos gatos e dos

leões. Sabemos que existem elementos na região 1 e/ou 2 (existem gatos pardos), mas não

podemos garantir que só existem elementos em 1, ou só em 2, ou em ambos.

Pardos

Leões

Pardos

Leões

Gatos

2

1




A conclusão P3 (existem gatos que são leões) seria verdadeira se tivéssemos

certeza de que existem elementos em 1. Como não temos essa certeza (a intersecção entre

Gatos e Pardos pode ser apenas a região 2), essa conclusão é ERRADA.

Resposta: E

51. FDC – MAPA – 2010) Considere a proposição: “Todo brasileiro é religioso”. Admitindo

que ela seja verdadeira, pode-se inferir que:

a) se André é religioso, então é brasileiro;

b) se Beto não é religioso, então pode ser brasileiro;

c) se Carlos não é religioso, então não pode ser brasileiro;

d) pode existir brasileiro que não seja religioso;

e) se Ivan não é brasileiro, então não pode ser religioso.

RESOLUÇÃO:

Na sentença “Todo brasileiro é religioso”, vemos 2 grupos de pessoas: os brasileiros

e os religiosos. Neste caso, a frase nos diz que todos os elementos do conjunto dos

brasileiros é também um elemento do conjunto dos religiosos. Portanto, o conjunto dos

brasileiros está contido no conjunto dos religiosos:

Repare que um elemento na região 1 faz parte dos dois conjuntos: é brasileiro, e é

religioso. Já um elemento na região 2 faz parte apenas do conjunto dos religiosos: ele não é

brasileiro, porém é religioso.

Com isso em mãos, fica fácil analisar as alternativas.


Falso. Se André estiver na região 2, ele é religioso mas não é brasileiro.


Falso. Se Beto for brasileiro, ele está na região 1. Nesta região ele necessariamente

precisa ser religioso. O grupo dos não religiosos pode ser desenhado ao lado, sem

intersecção:





Verdadeiro. Se Carlos está na região 3 acima, não pode estar na região 1.


Falso. Não há intersecção entre o conjunto dos brasileiros e o conjunto dos não

religiosos.


Falso. Se Ivan estiver na região 2, ele não é brasileiro, porém é religioso.

Resposta: C

52. FCC – IPEA – 2005)Considerando “toda prova de Lógica é difícil” uma proposição

verdadeira, é correto inferir que

(A) “nenhuma prova de Lógica é difícil” é uma proposição necessariamente verdadeira.

(B))“alguma prova de Lógica é difícil” é uma proposição necessariamente verdadeira.

(C) “alguma prova de Lógica é difícil” é uma proposição verdadeira ou falsa.

(D) “algum prova de Lógica não é difícil” é uma proposição necessariamente verdadeira.

(E) alguma prova de Lógica não é difícil” é uma proposição verdadeira ou falsa.

RESOLUÇÃO:

Imagine que temos 2 conjuntos: o conjunto das Provas de Lógica, e o conjunto das

Provas Difíceis. A expressão “toda prova de lógica é difícil” nos diz que todos os elementos

do conjunto Provas de Lógica também é um elemento do conjunto das Provas Difíceis. No

diagrama, temos:




Note que, se todas as provas de lógica são difíceis, então, com certeza, alguma

(qualquer uma) prova de lógica também é difícil. Isto é, algum elemento na posição 1 do

diagrama necessariamente faz parte do conjunto das provas difíceis.

A proposição “alguma prova de lógica é difícil” sempre será verdadeira, pois não há

nenhuma prova de lógica fora do conjunto das provas difíceis.

Resposta: B

53. FCC – ISS/SP – 2007) Considerando os Auditores-Fiscais que, certo mês, estiveram

envolvidos no planejamento das atividades de fiscalização de contribuintes, arrecadação e

cobrança de impostos, observou-se que:

− todos os que planejaram a arrecadação de impostos também planejaram a fiscalização de

contribuintes;

− alguns, que planejaram a cobrança de impostos, também planejaram a fiscalização de

contribuintes.

Com base nas observações feitas, é correto afirmar que, com certeza,

(A) todo Auditor-fiscal que planejou a fiscalização de contribuintes esteve envolvido no

planejamento da arrecadação de impostos.

(B) se algum Auditor-fiscal esteve envolvido nos planejamentos da arrecadação e da

cobrança de impostos, então ele também planejou a fiscalização de contribuintes.

(C) existe um Auditor-fiscal que esteve envolvido tanto no planejamento da arrecadação de

impostos como no da cobrança dos mesmos.

(D) existem Auditores-fiscais que estiveram envolvidos no planejamento da arrecadação de

impostos e não no da fiscalização de contribuintes.

(E) pelo menos um Auditor-fiscal que esteve envolvido no planejamento da cobrança de

impostos também planejou a arrecadação dos mesmos.

RESOLUÇÃO:

Podemos definir 3 grupos de Auditores-fiscais: Arrecadação, Fiscalização e

Cobrança. Com o auxílio destes conjuntos, vamos interpretar as informações dadas:


contribuintes;

Esta informação nos diz que todos os membros do conjunto Arrecadação também

são membros do conjunto Fiscalização, isto é, Arrecadação está contido em Fiscalização:





contribuintes.

Aqui vemos que existem elementos na intersecção entre o conjunto Cobrança e o

conjunto Fiscalização:

Atenção para um detalhe: temos certeza que existem elementos nas regiões 1 ou 2

acima (pois há fiscais que planejaram cobrança e fiscalização). Mas não temos certeza se

estes elementos estão apenas na região 1, apenas em 2 ou em 1 e 2. Nada foi dito sobre a

intersecção entre Arrecadação e Cobrança.

Com este diagrama em mãos, vamos analisar as alternativas:



Falso. Arrecadação está contido em Fiscalização, e não o contrário.



Verdadeiro. Este Auditor-fiscal estaria na região 2 do gráfico acima (intersecção

entre Arrecadação e Cobrança), e consequentemente estaria dentro do conjunto

Fiscalização.






Falso. Não temos elementos para afirmar que existem elementos na região 2

(Arrecadação e Cobrança), como vimos acima.



Falso. Arrecadação está contido em Fiscalização.



Falso. Pode ser que a intersecção entre Cobrança e Fiscalização encontre-se toda

na região 1, não havendo elementos na região 2 (que seria a intersecção com

Arrecadação).

Resposta: B

54. CESPE – Polícia Civil/ES – 2011) Acerca de operações com conjuntos, julgue o item

subsequente.

( ) Considere que os conjuntos A, B e C tenham o mesmo número de elementos, que A e B

sejam disjuntos, que a união dos três possuia 150 elementos e que a interseção entre B e C

possuía o dobro de elementos da interseção entre A e C. Nesse caso, se a interseção entre

B e C possui 20 elementos, então B tem menos de 60 elementos.

RESOLUÇÃO:

Essa é uma questão de teoria dos conjuntos, e não de diagramas lógicos

propriamente ditos, mas ela permite que você exercite os conceitos de conjuntos que

auxiliam a resolução de questões de Diagramas.

Se A e B são disjuntos, então a intersecção entre eles é vazia, ou seja,

( ) 0n A B∩ = . Ou seja, temos o diagrama abaixo:




O enunciado diz ainda que:

- ( ) 150n A B C∪ ∪ =

- ( ) 20n B C∩ =

- ( ) 2 ( ). Portanto, ( ) 10n B C n A C n A C∩ = × ∩ ∩ =

Vamos colocar essas informações no diagrama:

Sabemos ainda que todos os conjuntos tem o mesmo número (X) de elementos.

Portanto, se na intersecção entre A e C temos 10 elementos, sobram X – 10 elementos na

região de A que não intercepta o conjunto C. Da mesma forma, existem X – 20 elementos

na região de B que não intercepta C. E existem X – 30 elementos na região de C que não

intercepta nem A nem B:

O número total de elementos é igual a 150. Portanto,

( 10) 10 ( 30) 20 ( 20) 150X X X− + + − + + − =

3 30 150X − =

60X =




Ou seja, cada conjunto tem exatamente 60 elementos. É, portanto, ERRADO dizer

que B tem menos de 60 elementos.

Resposta: E

55. DOM CINTRA - PREF. PETRÓPOLIS - 2008) Um levantamento sócio-econômico, numa

fábrica de produtos de limpeza, revelou que, do total de funcionários, 17% têm casa própria,

22% têm automóvel, sendo que 8% têm casa própria e automóvel. Qual o percentual que

representa os funcionários que não têm casa própria nem automóvel?

a) 60%;

b) 69%;

c) 53%;

d) 50%;

e) 39%.

RESOLUÇÃO:

Uma forma de facilitar o cálculo é pensando em um grupo de 100 funcionários.

Desse grupo, 17 tem casa própria, 22 tem automóvel, 8 tem casa própria e automóvel.

Imaginemos os seguintes conjuntos: funcionários com casa própria e funcionários com

automóvel. Assim, temos:

Veja que já coloquei no diagrama os 8 funcionários que tem casa própria e

automóvel, isto é, a intersecção entre os dois conjuntos. Como 17 tem casa própria, falta

colocar 9 (17 – 8) elementos no conjunto “Tem casa própria”. E como 22 tem automóvel,

falta colocar 14 elementos (22 – 8) funcionários no conjunto “Tem automóvel”. Fazendo

isso, temos:




Até aqui, já distribuímos 9 + 8 + 14 = 31 funcionários. Falta distribuir 69, isto é,

podemos dizer que 69 não tem casa própria nem automóvel. Em termos percentuais, o que

dissemos aqui está refletido na letra B (69%).

Resposta: B.

Obs.: você também poderia ter resolvido utilizando a fórmula

( ) ( ) ( ) ( )n A B n A n B n A B∪ = + − ∩ . Sendo A o conjunto dos que tem casa própria e B o

dos que tem automóvel, sabemos que n(A) = 17 , n(B) = 22 e ( ) 8n A B∩ = . Portanto,

( ) ( ) ( ) ( )

( ) 17 22 8 31

n A B n A n B n A B

n A B

∪ = + − ∩∪ = + − =

Dessa forma, como o conjunto universo (U) tem 100 elementos, podemos dizer que:

( ) ( ) 100 31 69n U n A B− ∪ = − =

56. FCC – ICMS/SP – 2006) O sangue humano admite uma dupla classificação:

- fator RH:

RH+ se tiver o antígeno RH

RH- se não tiver o antígeno RH

- Grupo sanguíneo:

A se tiver o antígeno A e não tiver o B

B se tiver o antígeno B e não tiver o A

AB se tiver ambos os antígenos, A e B

O se não tiver o antígeno A nem o B

Sejam os conjuntos:

(Se X e Y são conjuntos, X é o complementar de X e X∆Y é a diferença simétrica entre X e

Y)

Os conjuntos M e N são os conjuntos dos X tais que X é uma pessoa com sangue:




RESOLUÇÃO:

Inicialmente é bom lembrarmos que a diferença simétrica entre os conjuntos A e B,

ou seja, A B∆ , é a união entre os conjuntos A – B e B – A. Por sua vez, repare que neste

caso não há intersecção entre os conjuntos A e B, isto é, eles não possuem elementos em

comum. Portanto, A – B é o próprio conjunto A, e B – A é o próprio conjunto B. Desta forma,

( ) ( )A B A B B A A B∆ = − ∪ − = ∪

Assim, temos que ( )M H A B= ∩ ∆ . Isto é, M é a intersecção entre os conjuntos:

- H, isto é, dos que tem RH+

- A B∆ , que provamos ser igual a A B∪ , ou seja, é o conjunto dos que possuem sangue

do grupo A ou B.

Portanto, o conjunto M é formado pelos que possuem sangue do grupo A ou do

grupo B, com RH+.

Quanto a N, vemos que este conjunto é a intersecção entre:

- H , isto é, o complementar de H

- A B∆ , isto é, o complementar de A B∆ . Como provamos que A B∆ = A B∪ , então temos o

complementar de A B∪ .

Dado que H é o conjunto dos que possuem RH+, então o seu complemento é

formado pelos que não possuem RH+, isto é, aqueles que são RH-. Em síntese, H =

conjunto dos que possuem RH-.

E como A B∪ é a união dos que possuem sangue do grupo A ou do grupo B, então

o seu complemento é formado pelos que não possuem estes tipos sanguíneos, restando

apenas os grupos AB e O. Logo, A B∆ = conjunto dos que possuem sangue do grupo AB

ou do grupo O.

Assim, N é o conjunto dos que possuem sangue do grupo AB ou do grupo O, e

possuem RH-.

O que foi dito aqui é apresentado na alternativa E.




Resposta: E

**********************

Agora que você já está bem afiado, vejamos uma bater ia de questões do

CETRO sobre lógica proposicional:

57. CETRO – PREF. CAMPINAS – 2012) Dada a proposição: “Todo administrador é feliz” e

considerando-a como uma proposição verdadeira, é correto inferir que

(A) “Algum administrador é feliz” é uma proposição necessariamente verdadeira.

(B) “Algum administrador é feliz” é uma proposição verdadeira ou falsa.

(C) “Algum administrador não é feliz” é uma proposição necessariamente verdadeira.

(D) “Algum administrador não é feliz” é uma proposição verdadeira ou falsa.

RESOLUÇÃO:

Se todo administrador é feliz, ou seja, qualquer administrador é feliz, podemos dizer

com certeza que algum administrador é feliz. Você poderia visualizar isso através dos

conjuntos dos Felizes e dos Administradores:

Resposta: A

Obs.: Note que se soubéssemos apenas que “Algum administrador é feliz”, não

poderíamos afirmar que “Todo administrador é feliz”.

58. CETRO – PREF. CAMPINAS – 2012) Jogo futebol ou jogo baralho. Canto ou não jogo

futebol. Não jogo baralho ou durmo. Ora, não durmo. Assim,

(A) não jogo futebol e não jogo baralho.

(B) não jogo baralho e não canto.

(C) canto e jogo futebol.

(D) não durmo e não jogo futebol.

RESOLUÇÃO:

Temos as seguintes premissas de um argumento:

P1: Jogo futebol ou jogo baralho.

P2: Canto ou não jogo futebol.




P3: Não jogo baralho ou durmo.

P4: Ora, não durmo.

Vamos começar a análise a partir da proposição simples (P4). Sabemos que “não

durmo” é V, portanto “durmo” é F.

Por isto, é preciso que “Não jogo baralho” seja V para que a premissa P3 seja

verdadeira. Assim, o seu oposto (“jogo baralho”) deve ser F.

Como “jogo baralho” é F, é preciso que “jogo futebol” seja V para que a premissa P1

seja verdadeira. Portanto, “não jogo futebol” é F.

Como “não jogo futebol” é F, é preciso que “canto” seja V para que a premissa P2

seja verdadeira. Com isso, descobrimos que são conclusões possíveis deste argumento:

- não jogo baralho

- jogo futebol

- canto

Isto nos permite marcar a letra C.

Resposta: C

59. CETRO – PREF. CAMPINAS – 2012) Foram entrevistadas 100 pessoas acerca de seus

hábitos alimentares. O resultado da pesquisa revelou que 43 pessoas consomem massas e

carne vermelha. 77 consomem massa e 66 consomem carne vermelha. Uma pessoa que

respondeu a essa pesquisa foi sorteada ao acaso. Sendo assim, a probabilidade de ela

consumir exclusivamente carne vermelha é de

(A) 23%.

(B) 34%.

(C) 38%.

(D) 61%.

RESOLUÇÃO:

Podemos desenhar os conjuntos dos que comem CARNE e dos que comem

MASSA:

Foi dito que 43 pessoas consomem massas E carne. Assim, devemos colocar este

número na intersecção:




Como 77 consomem massa, e 43 já estão representados acima, então falta colocar

77 – 43 = 34 pessoas no conjunto MASSA. Da mesma forma, como 66 consomem carne

vermelha, e já representamos 43 acima, falta colocar 66 – 43 = 23 pessoas no conjunto

CARNE. Assim, temos:

Assim, 23 das 100 pessoas comem exclusivamente carne vermelha. A chance

(probabilidade) de escolher uma dessas pessoas é 23 em 100, ou seja, 23%.

Resposta: A

60. CETRO – PREF. MANAUS – 2012) Considerando a proposição “Todo analista é

bacharel” como verdadeira, é correto afirmar que

(A) “Nenhum analista é bacharel” é uma proposição necessariamente verdadeira.

(B) “Algum analista não é bacharel” é uma proposição verdadeira ou falsa.

(C) “Algum analista é bacharel” é uma proposição necessariamente verdadeira.

(D) “Algum analista é bacharel” é uma proposição verdadeira ou falsa.

(E) “Algum analista não é bacharel” é uma proposição necessariamente verdadeira.

RESOLUÇÃO:

Imaginando os conjuntos dos Analistas e dos Bacharéis, sabemos que todos os

elementos do conjunto dos Analistas faz parte também do conjunto dos Bacharéis:

Vejamos as alternativas:





� ERRADO. Como vemos, TODOS os analistas são bacharéis.


� ERRADO. Novamente, sabemos que todos os analistas são bacharéis, portanto

esta frase é sempre falsa.


� CORRETO. Se sabemos que todos os analistas são bacharéis, então certamente

algum dos analistas é considerado bacharel.


� ERRADO. Como vimos, esta proposição é sempre verdadeira.


� ERRADO. Todos os analistas são bacharéis. Esta frase é sempre falsa.

Resposta: C

61. CETRO – PREF. MANAUS – 2012) Se é verdade que “Nenhum SUMP é LAMP” e que

“Alguns GRIMP são LAMP”, então é, necessariamente, verdade que

(A) algum GRIMP não é SUMP.

(B) algum GRIMP é SUMP.

(C) nenhum GRIMP é SUMP.

(D) algum SUMP é GRIMP.

(E) nenhum SUMP é GRIMP.

RESOLUÇÃO:

Temos os conjuntos dos SUMP, dos LAMP e dos GRIMP. Como nenhum SUMP é

LAMP, podemos dizer que não há intersecção entre esses dois conjuntos (eles são

disjuntos):

E como alguns GRIMP são LAMP, existe intersecção entre esses 2 conjuntos. Não

temos certeza se existem ou não elementos em comum entre os GRIMP e os SUMP. Isto é,




não sabemos se há elementos na região “a” marcada abaixo (mas temos certeza que há

elementos na região “b”):

Analisando as alternativas:


� CORRETO. Algum GRIMP que pertença à região “b” marcada acima não faz

parte do conjunto dos SUMP.


� ERRADO. Não temos certeza se existem elementos na região “a” acima.


� ERRADO. Pode ser que existam elementos na região “a”. Não temos certeza

disso.


� ERRADO. Pode ser que não existam elementos na região “a”.


� ERRADO. Se houver elementos na região “a”, ele será SUMP e também GRIMP.

Resposta: A

62. CETRO – PREF. MANAUS – 2012) Considere a afirmação A: “C ou D”, sendo C e D,

por sua vez:

C: “Lucas é analista da área administrativa”.

D: “Se João é analista da área econômica, então Paulo é analista da área contábil”.

Sabe-se que a afirmação A é falsa, desse modo, é correto afirmar que

(A) Lucas não é analista da área administrativa; João não é analista da área econômica;

Paulo não é analista da área contábil.

(B) Lucas é analista da área administrativa; João não é analista da área econômica; Paulo

não é analista da área contábil.




(C) Lucas não é analista da área administrativa; João é analista da área econômica; Paulo


(D) Lucas é analista da área administrativa; João é analista da área econômica; Paulo não é

analista da área contábil.

(E) Lucas não é analista da área administrativa; João é analista da área econômica; Paulo é


RESOLUÇÃO:

Para que a afirmação “C ou D” seja falsa, é preciso que a sua negação seja

verdadeira. A negação, neste caso, é “~C e ~D”. Escrevendo as proposições simples ~C e

~D, temos:

~C = “Lucas NÃO é analista da área administrativa”.

~D = “João é analista da área econômica E Paulo NÃO é analista da área contábil”.

Portanto, sabemos que:

Lucas não é analista da área administrativa E João é analista da área econômica E Paulo


Temos isto na alternativa C.

Resposta: C

63. CETRO – PREF. MANAUS – 2012) Analise a seguinte afirmação: “Silvia é magra, ou

Tatiana não é magra, ou Úrsula é ruiva” é falsa. Desse modo, é correto afirmar que

(A) se Silvia é magra, Tatiana é magra, e se Tatiana é magra, Úrsula é ruiva.

(B) se Silvia é magra, Tatiana é magra, e se Tatiana não é magra, Úrsula não é ruiva.

(C) se Tatiana é magra, Silvia é magra, e se Tatiana não é magra, Úrsula não é ruiva.

(D) se Tatiana não é magra, Silvia é magra, e se Tatiana é magra, Úrsula é ruiva.

(E) se Silvia não é magra, Tatiana não é magra, e se Úrsula é ruiva, Tatiana não é magra.

RESOLUÇÃO:

Temos uma frase formada por duas disjunções exclusivas. Veja que, ao invés de

usar o formato “ou... ou...”, o enunciado preferiu usar o formado do “ou” precedido por

vírgula. Podemos escrever:

“Ou Silvia é magra ou Tatiana não é magra ou Úrsula é ruiva”

Na disjunção exclusiva, apenas 1 das proposições simples é verdadeira. Essa

disjunção exclusiva possui 3 proposições simples:




1ª: “Silvia é magra”

2ª: “Tatiana não é magra”

3ª: “Úrsula é ruiva”

Assim, se a 1ª é verdadeira (“Silvia é magra”), as outras tem que ser falsas.

Portanto, é preciso que “Tatiana é magra” seja V. Obviamente, é preciso que “Úrsula não é

ruiva” seja V também.

Já se a 2ª é verdadeira (“Tatiana não é magra”), é preciso que as outras duas sejam

falsas. Assim, precisamos que “Úrsula não é ruiva” seja V (da mesma forma que

precisamos que “Silvia não é magra” seja V).

Resumindo, podemos dizer que se “Silvia é magra” é V, então “Tatiana é magra” é

V. Já se “Tatiana não é magra” é V, então “Úrsula não é ruiva” é V também. Temos isto na

alternativa B:


Resposta: B

64. CETRO – PREF. MANAUS – 2012) “Vou à praia ou vou ao sítio. Corro ou não vou à

praia. Descanso ou não vou ao sítio. Ora, não descanso”. Sendo assim, pode-se afirmar

que

(A) vou à praia e corro.

(B) não corro e vou à praia.

(C) não descanso e não corro.

(D) vou ao sítio e não corro.

(E) corro e vou à praia.

RESOLUÇÃO:

Temos o argumento formado pelas seguintes premissas:

P1: Vou à praia ou vou ao sítio.

P2: Corro ou não vou à praia.

P3: Descanso ou não vou ao sítio.

P4: Ora, não descanso

Como P4 é uma proposição simples, já sabemos que “não descanso” é V. Assim,

em P3 sabemos que “descanso” é , de modo que “não vou ao sítio” precisa ser V. Assim,

em P1 sabemos que “vou ao sítio” é F, de modo que “vou à praia” precisa ser V. Por fim, em

P2 sabemos que “não vou à praia” é F, obrigando “Corro” a ser V. Temos, portanto, as

seguintes conclusões:

- não vou ao sítio

- vou à praia

- corro.




Na alternativa E temos 2 dessas conclusões.

Resposta: E

65. CETRO – PREF. MANAUS – 2012) A lâmpada pisca ou o vaga-lume pisca. Se o vaga-

lume pisca, então, a estrela não pisca. A estrela pisca se e somente se o olho não pisca.

Ora, o olho não pisca. Logo, pode-se afirmar que

(A) o vaga-lume e a estrela piscam.

(B) a lâmpada e a estrela piscam.

(C) a lâmpada e o vaga-lume piscam.

(D) a estrela e o olho não piscam.

(E) a lâmpada e o olho não piscam.

RESOLUÇÃO:

Temos as premissas:

P1: A lâmpada pisca ou o vaga-lume pisca.

P2: Se o vaga-lume pisca, então, a estrela não pisca.

P3: A estrela pisca se e somente se o olho não pisca.

P4: Ora, o olho não pisca.

P4 nos diz que “o olho não pisca” é V. Assim, em P3, vemos que “a estrela pisca”

deve ser V, pois em uma bicondicional (se e somente se) os dois lados precisam ser V ou F

simultaneamente.

Como “a estrela não pisca” é F, em P2 é preciso que “o vaga-lume pisca” seja F

também. Assim, em P1 é preciso que “a lâmpada pisca” seja V.

Chegamos às seguintes conclusões:

- a estrela pisca

- o vaga-lume não pisca

- a lâmpada pisca

A alternativa B reproduz duas dessas conclusões.

Resposta: B

66. CETRO – PREF. MANAUS – 2012) Felipe viajar é condição necessária para Daniela

chorar, e é condição suficiente para Rachel descansar. Por outro lado, Luís sair com Rose é

condição necessária e suficiente para Beatriz sorrir e é condição necessária para Rachel

descansar. Beatriz não sorriu. Sendo assim, é correto afirmar que

(A) Rachel descansou ou Luís saiu com Rose.

(B) se Daniela não chorou, então Luís saiu com Rose.

(C) Daniela chorou e Felipe não viajou.

(D) Felipe viajou e Rachel não descansou.




(E) Felipe não viajou e Luís não saiu com Rose.

RESOLUÇÃO:

Em uma condicional p�q, sabemos que p é suficiente para q, e que q é necessária

para p. Em uma bicondicional p q↔ , sabemos que p é necessária e suficiente para q, da

mesma forma que q é necessária e suficiente para p.

Assim, se “Felipe viajar é condição necessária para Daniela chorar”, podemos dizer

que “Se Daniela chora, então Felipe viaja”.

Já se “Felipe viajar é condição suficiente para Rachel descansar”, podemos dizer

que “Se Felipe viaja, então Rachel descansa”.

Como Luís sair com Rose é condição necessária e suficiente para Beatriz sorrir,

podemos dizer que “Luis sai com Rose se e somente se Beatriz sorri”.

Por fim, como Luis sair com Rose é condição necessária para Rachel descansar,

podemos dizer que “Se Rachel descansa, então Luis sai com Rose”. Sabemos ainda que

“Beatriz não sorriu”.

Assim, temos as seguintes premissas:

P1: “Se Daniela chora, então Felipe viaja”

P2: “Se Felipe viaja, então Rachel descansa”

P3: “Luis sai com Rose se e somente se Beatriz sorri”.

P4: “Se Rachel descansa, então Luis sai com Rose”

P5: “Beatriz não sorriu”

A P5 nos diz que “Beatriz não sorriu” é V. Portanto, “Beatriz sorri” é F, de modo que,

em P3, precisamos que “Luis sai com Rose” seja F também. Com isso, em P4 é preciso que

“Rachel descansa” seja F. Já esta informação faz com que, em P2, “Felipe viaja” precise ser

F também. Por fim, esta informação faz com que, em P1, “Daniela chora” seja F.

Portanto, as conclusões que chegamos são:

- Luis NÃO sai com Rose

- Rachel NÃO descansa

- Felipe NÃO viaja

- Daniela NÃO chora

A alternativa E nos apresenta 2 dessas conclusões.

Resposta: E

67. CETRO – PREF. MANAUS – 2012) “Se não abro a porta, abro a janela. Se estou

insatisfeito, abro a porta. Se abro a porta, não estou insatisfeito. Se não estou insatisfeito,

não abro a janela”. Logo, pode-se afirmar que

(A) não abro a porta, estou insatisfeito e não abro a janela.




(B) abro a porta, estou insatisfeito e não abro a janela.

(C) não abro a porta, estou satisfeito e não abro a janela.

(D) abro a porta, não estou insatisfeito e não abro a janela.

(E) não abro a porta, não estou insatisfeito e abro a janela.

RESOLUÇÃO:

Temos as premissas:

P1: Se não abro a porta, abro a janela.

P2: Se estou insatisfeito, abro a porta.

P3: Se abro a porta, não estou insatisfeito.

P4: Se não estou insatisfeito, não abro a janela.

Como todas as premissas são proposições compostas (e as alternativas de resposta

não são condicionais), devemos começar “chutando” o valor lógico de alguma das

proposições simples.

Chutando que “não abro a porta” é V, é preciso que “abro a janela” também seja V

(em P1). Assim, “não abro a janela” é F, o que obriga “não estou insatisfeito” a ser F

também, em P4. Isso faz com que “abro a porta” tenha que ser F em P3.

Assim, “estou insatisfeito” é V, e “abro a porta” é F. Isto torna a premissa P2 falsa!

Portanto, o nosso chute estava errado. Vamos, portanto, alterar nosso chute.

Agora, vamos considerar que “abro a janela” é F. Com isso, “não abro a porta”

precisa ser F também para que P1 seja atendida. Assim, “abro a porta” é V. Isso faz com

que, em P3, “não estou insatisfeito” seja V também. Já esta informação faz com que, em

P4, “não abro a janela” seja V (o que é coerente com o fato de “abro a janela” ser F). Por

fim, P2 também é atendida perfeitamente, pois “estou insatisfeito” é F e “abro a porta” é V.

Assim, podemos dizer que são verdadeiras:

- não abro a janela

- abro a porta

- não estou insatisfeito

- não abro a janela

A alternativa D reproduz 3 destas conclusões.

Resposta: D

68. CETRO – SEMSA/Manaus – 2012) Quem não pergunta fica com dúvidas. Nenhum

adolescente pergunta. Logo,

(A) todo adolescente fica com dúvidas.

(B) nenhum adolescente fica com dúvidas.

(C) quem pergunta não fica com dúvidas.




(D) quem fica com dúvidas é adolescente.

(E) algum adolescente não fica com dúvidas.

RESOLUÇÃO:

A primeira frase pode ser lida como sendo a condicional “Se não pergunta, então

fica com dúvidas”. Como todos os adolescentes não perguntam, então para eles a primeira

parte da condicional (não pergunta) é V. Isto obriga a segunda parte da condicional a ser V

também, ou seja: todos os adolescentes ficam com dúvidas.

Resposta: A

69. CETRO – SEMSA/Manaus – 2012) Se Lourdes é mãe de Bruna, então Fátima é irmã

de Bruna. Fátima não é irmã de Bruna. Se Lourdes não é irmã de Bruna, então Lourdes é

mãe de Bruna. Logo,

(A) Lourdes é irmã de Fátima e é mãe de Bruna.

(B) Lourdes não é mãe de Bruna ou não é irmã de Fátima.

(C) Lourdes é mãe de Bruna ou não é irmã de Bruna.

(D) Lourdes é mãe de Fátima e é mãe de Bruna.

(E) Lourdes é mãe de Bruna e não é irmã de Fátima.

RESOLUÇÃO:

Temos as seguintes premissas:

P1: Se Lourdes é mãe de Bruna, então Fátima é irmã de Bruna.

P2: Fátima não é irmã de Bruna.

P3: Se Lourdes não é irmã de Bruna, então Lourdes é mãe de Bruna.

P2 é uma proposição simples, então começamos nossa análise por ela. Vemos que

“Fátima não é irmã de Bruna” é V, de modo que “Fátima é irmã de Bruna” é F. Isto faz com

que, em P1, “Lourdes é mãe de Bruna” seja F também. Assim, em P3 é preciso que

“Lourdes não é irmã de Bruna” seja F.

Com isto, podemos concluir que:

- Fátima não é irmã de Bruna

- Lourdes não é mãe de Bruna

- Lourdes é irmã de Bruna

A alternativa B está correta, pois “Lourdes não é mãe de Bruna” é V, o que torna a

conjunção “Lourdes não é mãe de Bruna ou não é irmã de Fátima” verdadeira.

Resposta: B

70. CETRO – SEMSA/Manaus – 2012) Dizer que não é verdade que a melancia é vermelha

e o tomate é verde é logicamente equivalente a dizer que é verdade que

(A) se a melancia não é vermelha, então o tomate não é verde.




(B) a melancia não é vermelha ou o tomate não é verde.

(C) a melancia não é vermelha e o tomate não é verde.

(D) se a melancia não é vermelha, então o tomate é verde.

(E) a melancia é vermelha ou o tomate não é verde.

RESOLUÇÃO:

Vamos usar as proposições simples:

A = “melancia é vermelha”

B = “tomate é verde”

A frase do enunciado é ~(A e B). Sabemos que a negação de (A e B) é (~A ou ~B),

que pode ser escrita assim:

A melancia NÃO é vermelha OU o tomate NÃO é verde

Temos isto na alternativa B.

Resposta: B

71. CETRO – CONFEF – 2012) Admitindo que p e q são falsas e r é verdadeira, marque V

para verdadeiro ou F para falso e, em seguida, assinale a alternativa que apresenta a

sequência correta.

(A) V/ F/ F/ V

(B) F/ V/ F/ F

(C) V/ F/ V/ V

(D) F/ V/ V/ V

(E) V/ F/ F/ F

RESOLUÇÃO:

Sendo p e q falsas e r verdadeiras, podemos dizer que:

p�q é verdadeira, pois a condicional tem este valor lógico quando temos F�F.

p “se e somente se” r é falsa, pois a bicondicional só é verdadeira quando os seus dois

lados tem o mesmo valor lógico.

(pvr) � q é falsa, pois pvr é V e q é F, de modo que temos V�F.




~p�q é falsa, pois temos V�F.

Resposta: E

72. CETRO – SEMSA/Manaus – 2012) Considere a seguinte proposição: “Na família Silva,

o genro torce para o time A ou não torce para o time A”. Do ponto de vista lógico, a

afirmação da proposição caracteriza

(A) um silogismo.

(B) uma equivalência.

(C) uma contingência.

(D) uma tautologia.

(E) uma contradição.

RESOLUÇÃO:

Temos a disjunção: “torce para A ou não torce para A”. Note que sempre um lado

dessa disjunção será verdadeiro, pois só existem dois casos possíveis: ou a pessoa torce

para A, ou ela não torce para A.

Portanto, essa disjunção sempre terá valor lógico verdadeiro, sendo uma

TAUTOLOGIA.

Resposta: D

73. CETRO – SEMSA/Manaus – 2012) Todo gato é egoísta. Algum gato é branco. Logo,

(A) algum branco é egoísta.

(B) todo branco é egoísta.

(C) todo branco é gato.

(D) todo egoísta é gato.

(E) nenhum branco é egoísta.

RESOLUÇÃO:

“Todo gato é egoísta” pode ser representado assim:




Se algum gato é branco, deve haver intersecção entre o conjunto dos GATOS e o

conjunto dos BRANCOS, ou seja:

Portanto, os gatos brancos são egoístas (assim como todos os gatos o são). Isto nos

permite dizer que algum branco é egoísta.

Resposta: A

***************************

Pessoal, por hoje é isso. Até a próxima aula, quando veremos um resumo dos

principais conceitos para auxilia-lo a resolver exercícios. Sugiro que você já vá preparando

o seu próprio resumo!

Abraço,

Arthur Lima ([email protected])




3. LISTA DAS QUESTÕES APRESENTADAS NA AULA

1. CESPE – BANCO DO BRASIL – 2007) Na lógica sentencial, denomina-se proposição

uma frase que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não, como ambas.

Assim, frases como “Como está o tempo hoje?” e “Esta frase é falsa” não são proposições

porque a primeira é pergunta e a segunda não pode ser nem V nem F. As proposições são

representadas simbolicamente por letras maiúsculas do alfabeto — A, B, C etc. Uma

proposição da forma “A ou B” é F se A e B forem F, caso contrário é V; e uma proposição

da forma “Se A então B” é F se A for V e B for F, caso contrário é V. Um raciocínio lógico

considerado correto é formado por uma seqüência de proposições tais que a última

proposição é verdadeira sempre que as proposições anteriores na seqüência forem

verdadeiras. Considerando as informações contidas no texto acima, julgue o item

subseqüente.

( ) Na lista de frases apresentadas a seguir, há exatamente três proposições.

“A frase dentro destas aspas é uma mentira.”

A expressão X + Y é positiva.

O valor de 4 3 7+ = .

Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira.

O que é isto?

2. FCC – ICMS/SP – 2006) Considere a proposição “Paula estuda, mas não passa no

concurso”. Nessa proposição, o conectivo lógico é:

a) condicional

b) bicondicional

c) disjunção inclusiva

d) conjunção

e) disjunção exclusiva

3. FCC – Banco do Brasil – 2011) Um jornal publicou a seguinte manchete:

“Toda Agência do Banco do Brasil tem déficit de funcionários.”

Diante de tal inverdade, o jornal se viu obrigado a retratar-se, publicando uma negação de

tal manchete. Das sentenças seguintes, aquela que expressaria de maneira correta a

negação da manchete publicada é:

a) Qualquer Agência do Banco do Brasil não têm déficit de funcionários

b) Nenhuma Agência do Banco do Brasil tem déficit de funcionários

c) Alguma Agência do Banco do Brasil não tem déficit de funcionários

d) Existem Agências com déficit de funcionários que não pertencem ao Banco do Brasil




e) O quadro de funcionários do Banco do Brasil está completo

4. CESPE – TRT/17ª – 2009) A negação da proposição “O juiz determinou a libertação de

um estelionatário e de um ladrão” é expressa na forma “O juiz não determinou a libertação

de um estelionatário nem de um ladrão”.

5. FCC – ICMS/SP – 2006) Considere as afirmações abaixo.




É verdade o que se afirma APENAS em:

a) I e II

b) I e III

c) I

d) II

e) III

6. FCC – ALESP – 2010) Durante uma sessão no plenário da Assembléia Legislativa, o

presidente da mesa fez a seguinte declaração, dirigindo-se às galerias da casa:

“Se as manifestações desrespeitosas não forem interrompidas, então eu não darei

início à votação”.

Esta declaração é logicamente equivalente à afirmação:

a) se o presidente da mesa deu início à votação, então as manifestações desrespeitosas

foram interrompidas

b) se o presidente da mesa não deu início à votação, então as manifestações

desrespeitosas não foram interrompidas

c) se as manifestações desrespeitosas forem interrompidas, então o presidente da mesa

dará início à votação

d) se as manifestações desrespeitosas continuarem, então o presidente da mesa começará

a votação

e) se as manifestações desrespeitosas não continuarem, então o presidente da mesa não

começará a votação.

7. ESAF – ATRFB – 2009) A afirmação: “João não chegou ou Maria está atrasada” equivale

logicamente a:

a) Se João não chegou, Maria está atrasada.

b) João chegou e Maria não está atrasada.




c) Se João chegou, Maria não está atrasada.

d) Se João chegou, Maria está atrasada.

e) João chegou ou Maria não está atrasada.

8. FCC – ICMS/SP – 2006) Considere as seguintes frases:

I. Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005.

II. (x+y)/5 é um número inteiro.

III. João da Silva foi o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em 2000.

É verdade que APENAS:

a) I é uma sentença aberta

b) II é uma sentença aberta

c) I e II são sentenças abertas

d) I e III são sentenças abertas

e) II e III são sentenças abertas

9. CESPE – TSE – 2006) Assinale a opção que apresenta um argumento válido:







não será feriado.

10. FCC – TRT/22ª – 2010) Considere um argumento composto pelas seguintes premissas:

- se a inflação não é controlada, então não há projetos de desenvolvimento

- se a inflação é controlada, então o povo vive melhor

- o povo não vive melhor

Considerando que todas as três premissas são verdadeiras, então, uma conclusão que

tornaria o argumento válido é:

a) a inflação é controlada

b) não há projetos de desenvolvimento

c) a inflação é controlada ou há projetos de desenvolvimento

d) o povo vive melhor e a inflação não é controlada

e) se a inflação não é controlada e não há projetos de desenvolvimento, então o povo vive

melhor.




11. ESAF – AFT – 2003) Se não durmo, bebo. Se estou furioso, durmo. Se durmo, não

estou furioso. Se não estou furioso, não bebo. Logo,

a) não durmo, estou furioso e não bebo

b) durmo, estou furioso e não bebo

c) não durmo, estou furioso e bebo


e) não durmo, não estou furioso e bebo

12. FCC – SEFAZ/SP – 2009) Considere as seguintes afirmações:

I. Se ocorrer uma crise econômica, então o dólar não subirá.

II. Ou o dólar subirá, ou os salários serão reajustados, mas não ambos.

III. Os salários serão reajustados se, e somente se, não ocorrer uma crise econômica.

Sabendo que as três afirmações são verdadeiras, é correto concluir que, necessariamente,

a) o dólar não subirá, os salários não serão reajustados e não ocorrerá uma crise

econômica.

b) o dólar subirá, os salários não serão reajustados e ocorrerá uma crise econômica.

c) o dólar não subirá, os salários serão reajustados e ocorrerá uma crise econômica.

d) o dólar subirá, os salários serão reajustados e não ocorrerá uma crise econômica.

e) o dólar não subirá, os salários serão reajustados e não ocorrerá uma crise econômica.

13. ESAF – ANEEL – 2004) Se não leio, não compreendo. Se jogo, não leio. Se não

desisto, compreendo. Se é feriado, não desisto. Então,

a) se jogo, não é feriado.

b) se não jogo, é feriado.

c) se é feriado, não leio.

d) se não é feriado, leio.

e) se é feriado, jogo.

14. FCC – TCE-PR – 2011) Considere que as seguintes premissas são verdadeiras:

I. Se um homem é prudente, então ele é competente.

II. Se um homem não é prudente, então ele é ignorante.

III. Se um homem é ignorante, então ele não tem esperanças.

IV. Se um homem é competente, então ele não é violento.

Para que se obtenha um argumento válido, é correto concluir que se um homem:

(A) não é violento, então ele é prudente.

(B) não é competente, então ele é violento.




(C) é violento, então ele não tem esperanças.

(D) não é prudente, então ele é violento.

(E) não é violento, então ele não é competente.

15. FCC – TJ/SE – 2009) Considere as seguintes premissas:

p : Trabalhar é saudável

q : O cigarro mata.

A afirmação “Trabalhar não é saudável" ou "o cigarro mata” é FALSA se

a) p é falsa e ~q é falsa.

b) p é falsa e q é falsa.

c) p e q são verdadeiras.


e) ~p é verdadeira e q é falsa.

16. FCC - TRT/2ª – 2008) Dadas as proposições simples p e q, tais que p é verdadeira e q é

falsa, considere as seguintes proposições compostas:

(2) p q∧ ; (2) ~ p q→ ; (3) ~ ( ~ )p q∨ ; (4) ~ ( )p q↔

Quantas dessas proposições compostas são verdadeiras?

a) nenhuma

b) apenas uma

c) apenas duas

d) apenas três

e) quatro.

17. FCC – SEFAZ/SP – 2010) Considere as seguintes premissas:

p: Estudar é fundamental para crescer profissionalmente.

q: O trabalho enobrece.

A afirmação “Se o trabalho não enobrece, então estudar não é fundamental para crescer

profissionalmente” é, com certeza, FALSA quando:

a) p é falsa e q é falsa.

b) p é verdadeira e q é verdadeira.

c) p é falsa e q é verdadeira.


e) p é falsa ou q é falsa.




18. ESAF – SEFAZ/SP – 2009 ) Assinale a opção verdadeira.

a) 3 = 4 e 3 + 4 = 9

b) Se 3 = 3, então 3 + 4 = 9

c) Se 3 = 4, então 3 + 4 = 9

d) 3 = 4 ou 3 + 4 = 9

e) 3 = 3 se e somente se 3 + 4 = 9

19. ESAF – SEFAZ/SP – 2009) A negação de: Milão é a capital da Itália ou Paris é a capital

da Inglaterra é:

a) Milão não é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra.

b) Paris não é a capital da Inglaterra.

c) Milão não é a capital da Itália ou Paris não é a capital da Inglaterra.

d) Milão não é a capital da Itália.

e) Milão é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra.

20. FGV - CODESP/SP - 2010) A negação da sentença “Se tenho dinheiro, então sou feliz”

é:

a) Se não tenho dinheiro, então não sou feliz

b) Se não sou feliz, então não tenho dinheiro

c) Não tenho dinheiro e sou feliz

d) Não tenho dinheiro ou sou feliz

e) Tenho dinheiro, e não sou feliz

21. FCC – METRÔ/SP – 2010) Considere as proposições simples:

p: Maly é usuária do Metrô; e q: Maly gosta de dirigir automóvel

A negação da proposição composta ~p q∧ é:

a) Maly não é usuária do Metrô ou gosta de dirigir automóvel

b) Maly não é usuária do Metrô e não gosta de dirigir automóvel

c) Não é verdade que Maly não é usuária do Metrô e não gosta de dirigir automóvel

d) Não é verdade que, se Maly não é usuária do Metrô, então ela gosta de dirigir automóvel

e) Se Maly não é usuária do Metrô, então ela não gosta de dirigir automóvel.

22. FCC – ISS/SP – 2007) Considere a seguinte proposição:




“Se um Auditor-Fiscal Tributário não participa de projetos de aperfeiçoamento, então ele

não progride na carreira.”

Essa proposição é tautologicamente equivalente à proposição:

(A) Não é verdade que, ou um Auditor-Fiscal Tributário não progride na carreira ou ele

participa de projetos de aperfeiçoamento.

(B) Se um Auditor-Fiscal Tributário participa de projetos de aperfeiçoamento, então ele


(C) Não é verdade que, um Auditor-Fiscal Tributário não participa de projetos de

aperfeiçoamento e não progride na carreira.


aperfeiçoamento.

(E) Um Auditor-Fiscal Tributário participa de projetos de aperfeiçoamento e progride na

carreira.

23. FCC – SEFAZ-SP – 2006) Se p e q são proposições, então a proposição ~p q∧ é

equivalente a:

a) ~ ( ~ )q p→

b) ~ ( )p q∨

c) ~ ( ~ )p q→

d) ~ ( )p q→

e) ~ ~q p→

24. CESPE – Polícia Federal – 2009) As proposições [ (~ )] (~ )A B A∨ → e

[(~ ) ] (~ )A B A∧ ∨ são equivalentes.

25. ESAF – ISS/RJ – 2010) A proposição “um número inteiro é par se e somente se o seu

quadrado for par” equivale logicamente à proposição:

a) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se um número inteiro não for

par, então o seu quadrado não é par.

b) se um número inteiro for ímpar, então o seu quadrado é ímpar.

c) se o quadrado de um número inteiro for ímpar, então o número é ímpar.

d) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se o quadrado de um

número inteiro não for par, então o número não é par.

e) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par.




26. FCC – ICMS/SP – 2006)Se p e q são proposições, então a proposição (~ )p q∧ é

equivalente a:

27. FCC – ICMS/SP – 2006) Dentre as alternativas abaixo, assinale a correta.








28. FCC – ICMS/SP – 2006) Seja a sentença ~ {[( ) ] [ (~ )]}p q r q p r→ ∨ ↔ → ∨ .

Se considerarmos que p é falsa, então é verdade que:

a) nas linhas da tabela-verdade em que p é F, a sentença é F.

b) faltou informar o valor lógico de q e de r

c) essa sentença é uma tautologia

d) o valor lógico dessa sentença é sempre F

e) nas linhas tabela-verdade em que p é F, a sentença é V.

29. FCC – ICMS/SP – 2006) Dada a sentença [ ] ~ (~ )p q r→ ∧ ∧ , complete o espaço [ ]

com uma e uma só das sentenças simples p, q, r ou a sua negação ~p, ~q ou ~r para que a

sentença dada seja uma tautologia. Assinale a opção que responde a essa condição.

a) Somente uma das três: ~p, q ou r

b) Somente uma das três: p, ~q ou ~r

c) Somente q

d) Somente p

e) Somente uma das duas: q ou r




30. FCC – ICMS/SP – 2006)Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições.

A proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação é:

31. FCC – ISS/SP – 2007) Considere o argumento seguinte:

Se o controle de tributos é eficiente e é exercida a repressão à sonegação fiscal, então a

arrecadação aumenta. Ouas penalidades aos sonegadores não são aplicadas ou o controle

de tributos é ineficiente. É exercida a repressão à sonegação fiscal. Logo, se as

penalidades aos sonegadores são aplicadas, então a arrecadação aumenta.

Se para verificar a validade desse argumento for usada uma tabela-verdade, qual deverá

ser o seu número de linhas?

(A) 4

(B) 8

(C) 16

(D) 32

(E) 64

32. FCC – ICMS/SP – 2006) No argumento: “Se estudo, passo no concurso. Se não estudo,

trabalho. Logo, se não passo o concurso, trabalho”, considere as proposições:

p: “estudo”

q: “passo no concurso”, e

r: “trabalho”




É verdade que:

a) A validade do argumento depende dos valores lógicos e do conteúdo das proposições

usadas no argumento

b) o argumento é válido, porque a proposição [( ) (~ )] (~ )p q p r q r→ ∧ → → → é uma

tautologia.

c) p, q, ~p e r são premissas e ~q�r é a conclusão.

d) a forma simbólica do argumento é

e) a validade do argumento é verificada por uma tabela-verdade com 16 linhas.

33. FCC - ICMS/SP – 2006) Seja a sentença aberta A: [ ](~ )p p∨ ↔ e a sentença aberta

B: “Se o espaço [ ] for ocupado por uma ...(I)..., a sentença A será uma ...(II)...”. A

sentença B se tornará verdadeira se I e II forem substituídos, respectivamente, por:

a) contingência e contradição

b) tautologia e contradição

c) tautologia e contingência

d) contingência e contingência

e) contradição e tautologia

34. CESPE – Polícia Federal – 2009) Independentemente dos valores lógicos atribuídos às

proposições A e B, a proposição [( ) (~ )] (~ )A B B A→ ∧ → tem somente o valor lógico F.

35. FCC – TCE-PI – 2005) O manual de garantia da qualidade de uma empresa diz que, se

um cliente faz uma reclamação formal, então é aberto um processo interno e o

departamento de qualidade é acionado. De acordo com essa afirmação, é correto concluir

que

(A) a existência de uma reclamação formal de um cliente é uma condição necessária para


(B)) a existência de uma reclamação formal de um cliente é uma condição suficiente para


(C) a abertura de um processo interno é uma condição necessária e suficiente para que o

departamento de qualidade seja acionado.

(D) se um processo interno foi aberto, então um cliente fez uma reclamação formal.

(E) não existindo qualquer reclamação formal feita por um cliente, nenhum processo interno

poderá ser aberto.




36. FCC – SEFAZ/SP – 2009) Considere a afirmação:

Pelo menos um ministro participará da reunião ou nenhuma decisão será tomada.

Para que essa afirmação seja FALSA:

a) é suficiente que nenhum ministro tenha participado da reunião e duas decisões tenham

sido tomadas.

b) é suficiente que dois ministros tenham participado da reunião e alguma decisão tenha

sido tomada.

c) é necessário e suficiente que alguma decisão tenha sido tomada, independentemente da

participação de ministros na reunião.

d) é necessário que nenhum ministro tenha participado da reunião e duas decisões tenham

sido tomadas.

e) é necessário que dois ministros tenham participado da reunião e nenhuma decisão tenha

sido tomada.

37. FGV - MEC - 2008) Com relação à naturalidade dos cidadãos brasileiros, assinale a

alternativa logicamente correta:






38. FCC – BAHIAGÁS – 2010) “Se a soma dos dígitos de um número inteiro n é divisível

por 6, então n é divisível por 6”. Um valor de n que mostra ser falsa a frase acima é:

a) 30

b) 33

c) 40

d) 42

e) 60

39. FCC – BACEN – 2006) Um argumento é composto pelas seguintes premissas:


superada.


– Os superávits serão fantasiosos.

Para que o argumento seja válido, a conclusão deve ser:




a) A crise econômica não demorará a ser superada.

b) As metas de inflação são irreais ou os superávits são fantasiosos.

c) As metas de inflação são irreais e os superávits são fantasiosos.

d) Os superávits econômicos serão fantasiosos.

e) As metas de inflação não são irreais e a crise econômica não demorará a ser superada.

40. UFF – ANCINE – 2008) Namoro ou estudo. Passeio e não estudo. Acampo ou não

estudo. Ocorre que não acampo. Logo:

a) Estudo e passeio

b) Não passeio e namoro

c) Não acampo e não passeio

d) Passeio e namoro

e) Estudo e não passeio

41. ESAF – ANEEL – 2004) Surfo ou estudo. Fumo ou não surfo. Velejo ou não estudo.

Ora, não velejo. Assim,

a) estudo e fumo.

b) não fumo e surfo.

c) não velejo e não fumo.

d) estudo e não fumo.

e) fumo e surfo.

42. FCC – TCE/SP – 2009) Certo dia, cinco Agentes de um mesmo setor do Tribunal de

Contas do Estado de São Paulo − Amarilis, Benivaldo, Corifeu, Divino e Esmeralda − foram

convocados para uma reunião em que se discutiria a implantação de um novo serviço de

telefonia. Após a realização dessa reunião, alguns funcionários do setor fizeram os

seguintes comentários:

– “Se Divino participou da reunião, então Esmeralda também participou”;

– “Se Divino não participou da reunião, então Corifeu participou”;

– “Se Benivaldo ou Corifeu participaram, então Amarilis não participou”;

– “Esmeralda não participou da reunião”.

Considerando que as afirmações contidas nos quatro comentários eram verdadeiras, pode-

se concluir com certeza que, além de Esmeralda, não participaram de tal reunião

a) Amarilis e Benivaldo.

b) Amarilis e Divino.

c) Benivaldo e Corifeu.




d) Benivaldo e Divino.

e) Corifeu e Divino.

43. DOM CINTRA – ISS/BH – 2012) Observe os seguintes argumentos:

Pode-se afirmar corretamente que os argumentos I, II e III são considerados,

respectivamente, como:

A) válido, válido e válido.

B) inválido, válido e válido.

C) válido, inválido e inválido.

D) inválido, válido e inválido.

E) válido, inválido e válido.

44. ESAF – AFRFB – 2009) Se 3 eα = , então 3 eβ = . Se 3eα = , então β ou δ são

iguais a 3 e . Se 3eδ = , então 3eβ = . Se 3 eδ = , então 3 eα = . Considerando que as

afirmações são verdadeiras, segue-se, portanto, que:




45. FDC - MAPA - 2010) Considere as afirmações: Se Paula é uma boa amiga, então

Vagner diz a verdade. Se Vagner diz a verdade, então Helen não é uma boa aluna. Se

Helen não é uma boa aluna, então Paula é uma boa amiga. A análise do encadeamento

lógico da argumentação contida nessas três afirmações permite concluir que elas:

A) implicam necessariamente que Paula é uma boa amiga;

B) são consistentes entre si, quer Paula seja uma boa amiga, quer Paula não seja uma boa

amiga;

C) implicam necessariamente que Vagner diz a verdade e que Helen não é uma boa aluna;

D) são equivalentes a dizer que Paula não é uma boa amiga;

E) acarretam necessariamente que Helen é uma boa aluna.

46. FGV - CODESP/SP - 2010) Se A não é azul, então B é amarelo. Se B não é amarelo,

então C é verde. Se A é azul, então C não é verde. Logo, tem-se obrigatoriamente que:

a) A é azul

b) B é amarelo

c) C é verde

d) A não é azul

e) B não é amarelo

47. FCC – ICMS/SP – 2006) Considere os argumentos abaixo:




Indicando-se os argumentos legítimos por L e os ilegítimos por I, obtêm-se, na ordem dada,

a) L, L, I, L

b) L, L, L, L

c) L, I, L, I

d) I, L, I, L

e) I, I, I, I

48. FCC – TRT/1ª – 2011) Admita que todo A é B, algum B é C, e algum C não é A. Caio,

Ana e Léo fizeram as seguintes afirmações:




Está inequivocamente correto APENAS o que é afirmado por

a) Caio.

b) Ana.

c) Léo.

d) Caio e Ana.

e) Caio e Léo.

49. FCC – TRT/8ª – 2010) Em certo planeta, todos os Aleves são Bleves, todos os Cleves

são Bleves, todos os Dleves são Aleves, e todos os Cleves são Dleves. Sobre os habitantes

desse planeta, é correto afirmar que:

a) Todos os Dleves são Bleves e são Cleves.

b) Todos os Bleves são Cleves e são Dleves.

c) Todos os Aleves são Cleves e são Dleves.

d) Todos os Cleves são Aleves e são Bleves.

e) Todos os Aleves são Dleves e alguns Aleves podem não ser Cleves.




50. CESPE – Polícia Civi/ES – 2011) Um argumento constituído por uma sequência de três

proposições — P1, P2 e P3, em que P1 e P2 são as premissas e P3 é a conclusão — é

considerado válido se, a partir das premissas P1 e P2, assumidas como verdadeiras,

obtém-se a conclusão P3, também verdadeira por consequência lógica das premissas. A

respeito das formas válidas de argumentos, julgue os próximos itens.

( ) Se as premissas P1 e P2 de um argumento forem dadas, respectivamente, por “Todos

os leões são pardos” e “Existem gatos que são pardos”, e a sua conclusão P3 for dada por

“Existem gatos que são leões”, então essa sequência de proposições constituirá um

argumento válido.

51. FDC – MAPA – 2010) Considere a proposição: “Todo brasileiro é religioso”. Admitindo

que ela seja verdadeira, pode-se inferir que:






52. FCC – IPEA – 2005)Considerando “toda prova de Lógica é difícil” uma proposição

verdadeira, é correto inferir que

(A) “nenhuma prova de Lógica é difícil” é uma proposição necessariamente verdadeira.

(B))“alguma prova de Lógica é difícil” é uma proposição necessariamente verdadeira.

(C) “alguma prova de Lógica é difícil” é uma proposição verdadeira ou falsa.

(D) “algum prova de Lógica não é difícil” é uma proposição necessariamente verdadeira.

(E) alguma prova de Lógica não é difícil” é uma proposição verdadeira ou falsa.

53. FCC – ISS/SP – 2007) Considerando os Auditores-Fiscais que, certo mês, estiveram

envolvidos no planejamento das atividades de fiscalização de contribuintes, arrecadação e

cobrança de impostos, observou-se que:


contribuintes;


contribuintes.

Com base nas observações feitas, é correto afirmar que, com certeza,














54. CESPE – Polícia Civil/ES – 2011) Acerca de operações com conjuntos, julgue o item

subsequente.

( ) Considere que os conjuntos A, B e C tenham o mesmo número de elementos, que A e B

sejam disjuntos, que a união dos três possuia 150 elementos e que a interseção entre B e C

possuía o dobro de elementos da interseção entre A e C. Nesse caso, se a interseção entre

B e C possui 20 elementos, então B tem menos de 60 elementos.

55. DOM CINTRA - PREF. PETRÓPOLIS - 2008) Um levantamento sócio-econômico, numa

fábrica de produtos de limpeza, revelou que, do total de funcionários, 17% têm casa própria,

22% têm automóvel, sendo que 8% têm casa própria e automóvel. Qual o percentual que

representa os funcionários que não têm casa própria nem automóvel?

a) 60%;

b) 69%;

c) 53%;

d) 50%;

e) 39%.

56. FCC – ICMS/SP – 2006) O sangue humano admite uma dupla classificação:

- fator RH:

RH+ se tiver o antígeno RH

RH- se não tiver o antígeno RH

- Grupo sanguíneo:

A se tiver o antígeno A e não tiver o B

B se tiver o antígeno B e não tiver o A

AB se tiver ambos os antígenos, A e B




O se não tiver o antígeno A nem o B

Sejam os conjuntos:

(Se X e Y são conjuntos, X é o complementar de X e X∆Y é a diferença simétrica entre X e

Y)

Os conjuntos M e N são os conjuntos dos X tais que X é uma pessoa com sangue:

57. CETRO – PREF. CAMPINAS – 2012) Dada a proposição: “Todo administrador é feliz” e

considerando-a como uma proposição verdadeira, é correto inferir que

(A) “Algum administrador é feliz” é uma proposição necessariamente verdadeira.

(B) “Algum administrador é feliz” é uma proposição verdadeira ou falsa.

(C) “Algum administrador não é feliz” é uma proposição necessariamente verdadeira.

(D) “Algum administrador não é feliz” é uma proposição verdadeira ou falsa.

58. CETRO – PREF. CAMPINAS – 2012) Jogo futebol ou jogo baralho. Canto ou não jogo

futebol. Não jogo baralho ou durmo. Ora, não durmo. Assim,

(A) não jogo futebol e não jogo baralho.

(B) não jogo baralho e não canto.

(C) canto e jogo futebol.

(D) não durmo e não jogo futebol.

59. CETRO – PREF. CAMPINAS – 2012) Foram entrevistadas 100 pessoas acerca de seus

hábitos alimentares. O resultado da pesquisa revelou que 43 pessoas consomem massas e




carne vermelha. 77 consomem massa e 66 consomem carne vermelha. Uma pessoa que

respondeu a essa pesquisa foi sorteada ao acaso. Sendo assim, a probabilidade de ela

consumir exclusivamente carne vermelha é de

(A) 23%.

(B) 34%.

(C) 38%.

(D) 61%.

60. CETRO – PREF. MANAUS – 2012) Considerando a proposição “Todo analista é

bacharel” como verdadeira, é correto afirmar que






61. CETRO – PREF. MANAUS – 2012) Se é verdade que “Nenhum SUMP é LAMP” e que

“Alguns GRIMP são LAMP”, então é, necessariamente, verdade

que






62. CETRO – PREF. MANAUS – 2012) Considere a afirmação A: “C ou D”, sendo C e D,

por sua vez:

C: “Lucas é analista da área administrativa”.

D: “Se João é analista da área econômica, então Paulo é analista da área contábil”.

Sabe-se que a afirmação A é falsa, desse modo, é correto afirmar que

(A) Lucas não é analista da área administrativa; João não é analista da área econômica;

Paulo não é analista da área contábil.

(B) Lucas é analista da área administrativa; João não é analista da área econômica; Paulo


(C) Lucas não é analista da área administrativa; João é analista da área econômica; Paulo





(D) Lucas é analista da área administrativa; João é analista da área econômica; Paulo não é


(E) Lucas não é analista da área administrativa; João é analista da área econômica; Paulo é


63. CETRO – PREF. MANAUS – 2012) Analise a seguinte afirmação: “Silvia é magra, ou

Tatiana não é magra, ou Úrsula é ruiva” é falsa. Desse modo, é correto afirmar que

(A) se Silvia é magra, Tatiana é magra, e se Tatiana é magra, Úrsula é ruiva.


(C) se Tatiana é magra, Silvia é magra, e se Tatiana não é magra, Úrsula não é ruiva.

(D) se Tatiana não é magra, Silvia é magra, e se Tatiana é magra, Úrsula é ruiva.

(E) se Silvia não é magra, Tatiana não é magra, e se Úrsula é ruiva, Tatiana não é magra.

64. CETRO – PREF. MANAUS – 2012) “Vou à praia ou vou ao sítio. Corro ou não vou à

praia. Descanso ou não vou ao sítio. Ora, não descanso”. Sendo assim, pode-se afirmar

que

(A) vou à praia e corro.

(B) não corro e vou à praia.

(C) não descanso e não corro.

(D) vou ao sítio e não corro.

(E) corro e vou à praia.

65. CETRO – PREF. MANAUS – 2012) A lâmpada pisca ou o vaga-lume pisca. Se o vaga-

lume pisca, então, a estrela não pisca. A estrela pisca se e somente se o olho não pisca.

Ora, o olho não pisca. Logo, pode-se afirmar que

(A) o vaga-lume e a estrela piscam.

(B) a lâmpada e a estrela piscam.

(C) a lâmpada e o vaga-lume piscam.

(D) a estrela e o olho não piscam.

(E) a lâmpada e o olho não piscam.

66. CETRO – PREF. MANAUS – 2012) Felipe viajar é condição necessária para Daniela

chorar, e é condição suficiente para Rachel descansar. Por outro lado, Luís sair com Rose é

condição necessária e suficiente para Beatriz sorrir e é condição necessária para Rachel

descansar. Beatriz não sorriu. Sendo assim, é correto afirmar que

(A) Rachel descansou ou Luís saiu com Rose.

(B) se Daniela não chorou, então Luís saiu com Rose.




(C) Daniela chorou e Felipe não viajou.

(D) Felipe viajou e Rachel não descansou.

(E) Felipe não viajou e Luís não saiu com Rose.

67. CETRO – PREF. MANAUS – 2012) “Se não abro a porta, abro a janela. Se estou

insatisfeito, abro a porta. Se abro a porta, não estou insatisfeito. Se não estou insatisfeito,

não abro a janela”. Logo, pode-se afirmar que

(A) não abro a porta, estou insatisfeito e não abro a janela.

(B) abro a porta, estou insatisfeito e não abro a janela.

(C) não abro a porta, estou satisfeito e não abro a janela.

(D) abro a porta, não estou insatisfeito e não abro a janela.

(E) não abro a porta, não estou insatisfeito e abro a janela.

68. CETRO – SEMSA/Manaus – 2012) Quem não pergunta fica com dúvidas. Nenhum

adolescente pergunta. Logo,

(A) todo adolescente fica com dúvidas.

(B) nenhum adolescente fica com dúvidas.

(C) quem pergunta não fica com dúvidas.

(D) quem fica com dúvidas é adolescente.

(E) algum adolescente não fica com dúvidas.

69. CETRO – SEMSA/Manaus – 2012) Se Lourdes é mãe de Bruna, então Fátima é irmã

de Bruna. Fátima não é irmã de Bruna. Se Lourdes não é irmã de Bruna, então Lourdes é

mãe de Bruna. Logo,

(A) Lourdes é irmã de Fátima e é mãe de Bruna.

(B) Lourdes não é mãe de Bruna ou não é irmã de Fátima.

(C) Lourdes é mãe de Bruna ou não é irmã de Bruna.

(D) Lourdes é mãe de Fátima e é mãe de Bruna.

(E) Lourdes é mãe de Bruna e não é irmã de Fátima.

70. CETRO – SEMSA/Manaus – 2012) Dizer que não é verdade que a melancia é vermelha

e o tomate é verde é logicamente equivalente a dizer que é verdade que

(A) se a melancia não é vermelha, então o tomate não é verde.

(B) a melancia não é vermelha ou o tomate não é verde.

(C) a melancia não é vermelha e o tomate não é verde.

(D) se a melancia não é vermelha, então o tomate é verde.

(E) a melancia é vermelha ou o tomate não é verde.




71. CETRO – CONFEF – 2012) Admitindo que p e q são falsas e r é verdadeira, marque V

para verdadeiro ou F para falso e, em seguida, assinale a alternativa que apresenta a

sequência correta.

(A) V/ F/ F/ V

(B) F/ V/ F/ F

(C) V/ F/ V/ V

(D) F/ V/ V/ V

(E) V/ F/ F/ F

72. CETRO – SEMSA/Manaus – 2012) Considere a seguinte proposição: “Na família Silva,

o genro torce para o time A ou não torce para o time A”. Do ponto de vista lógico, a

afirmação da proposição caracteriza

(A) um silogismo.

(B) uma equivalência.

(C) uma contingência.

(D) uma tautologia.

(E) uma contradição.

73. CETRO – SEMSA/Manaus – 2012) Todo gato é egoísta. Algum gato é branco. Logo,

(A) algum branco é egoísta.

(B) todo branco é egoísta.

(C) todo branco é gato.

(D) todo egoísta é gato.

(E) nenhum branco é egoísta.




4. GABARITO

01 E 02 D 03 C 04 E 05 B 06 A 07 D

08 C 09 B 10 B 11 D 12 E 13 A 14 C

15 D 16 C 17 D 18 C 19 A 20 E 21 A

22 D 23 D 24 C 25 A 26 D 27 E 28 A

29 B 30 A 31 C 32 B 33 D 34 E 35 B

36 A 37 D 38 B 39 A 40 D 41 E 42 B

43 E 44 D 45 B 46 B 47 C 48 C 49 D

50 E 51 C 52 B 53 B 54 E 55 B 56 E

57 A 58 C 59 A 60 C 61 A 62 C 63 B

64 E 65 B 66 E 67 D 68 A 69 B 70 B

71 E 72 D 73 A

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Estratégia - Questões CETRO