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ESTRUTURAS MULTIPLICATIVAS (Multiplicative Structures, 1883)

Gerrard Vergnaud(1)

A história nos ensina que a ciência e a tecnologia têm se desenvolvido com o objetivo de

resolver problemas. Um dos pontos mais desafiadores na Educação é, provavelmente, dar significado

aos problemas possibilitando que o conhecimento, tanto teórico quanto prático, possa ser visto pelos

estudantes como uma verdadeira ajuda na resolução de problemas reais. Contudo, essa condição de

que o conhecimento seja tanto operacional quanto interessante dificilmente é satisfeita.

Piaget demonstrou que o conhecimento e a inteligência se desenvolvem num longo período de

tempo, mas ele fez isso para analisar o desenvolvimento das crianças em termos de capacidades gerais

de inteligência, principalmente a lógica, sem dar suficiente atenção aos conteúdos específicos doconhecimento e às habilidades, em relação à situações e problemas. Isto me levou a introduzir a

estrutura de campos conceituais. Um campo conceitual é um conjunto de problemas e situações para o

tratamento necessário de conceitos, procedimentos e representações de diferentes tipos, mas que tem

uma interconexão muito próxima.

Por que tal estrutura é necessária?

1. É difícil, e algumas vezes absurdo, estudar a aquisição de conceitos separadamente. No caso de

estruturas multiplicativas, como nós vamos ver neste capítulo, seria um erro estudarmosseparadamente multiplicação, divisão, fração, razão, números racionais, função linear e não-linear, análise dimensional e espaço vetorial; eles não são matematicamente independente umdos outros e eles estão todos simultaneamente presentes nos primeiros problemas que os alunosse deparam.

2. Fica também muito vasto, numa abordagem psicogenética de idéias específicas, delinear tãoamplo domínio do conhecimento, cobrindo uma grande diversidade de situações e diferentestipos e níveis de análise. O campo conceitual nos permite estudar o desenvolvimento dessasestruturas na mente do aluno ao longo de um período de tempo.

3. Finalmente, normalmente estão envolvidos diferentes procedimentos e concepções, além dediferentes representações simbólicas quando os estudantes estão se apropriando de uma mesmaclasse de problemas. Embora algumas dessas concepções e representações sejam fracas ou

parcialmente errôneas, elas podem ser valiosas para a solução de subclasses de problemaselementares e para o aparecimento posterior de soluções mais fortes e próximas da universal.

A estrutura de campo conceitual nos possibilita estudar a organização dessas idéias

interconectadas, dessas conceitualizações e representações por um período de tempo suficientemente

extenso que permite fazer uma abordagem psicogenética significativa.

(1) Capítulo 5 do livro Acquisition of Mathematics Concepts and Processes, em Lesh & Landau. Academic Press Inc., pp. 127-174 1983



Primeira versão da tradução feita por Sandra Magina ([email protected]): NÃO CITAR

2

Eu tenho me interessado por dois campos conceituais importantes, os das estruturas aditivas e

das estruturas multiplicativas, vendo-as como um conjunto de problemas que envolvem operações

aritméticas e noções do tipo aditivo (tais como adição, subtração, diferença intervalo e translação) ou

do tipo multiplicativo (tais como multiplicação, divisão, fração, razão e similaridade). Certamente as

estruturas multiplicativas se apóiam em parte nas estruturas aditivas, mas elas também têm sua própriaorganização intrínseca, a qual não fica resumida aos aspectos aditivos. Ver Vergnaud, 1981; Vergnaud,

1982; Vergnaud 1983 sobre estruturas aditivas.

ANÁLISE PRELIMINAR

Olhando para as estruturas multiplicativas como um conjunto de problemas, eu identifico três

subtipos diferentes: (a) isomorfismo de medidas, (b) produtos de medidas, e (c) outro produto de

medidas.

Isomorfismo de medidas

O isomorfismo de medidas é uma estrutura que consiste de uma proporção de medidas simples

entre duas medidas espaciais M1 e M2. Ela descreve um grande número de situações da vida comum e

técnica. Essas incluem: partição em partes iguais (pessoas e objetos), preço constante (mercadorias e

custo), velocidade uniforme ou média de velocidade constante (duração e distância), densidade

constante numa linha (árvores e distâncias), numa superfície ou num volume. As quatro subclasses

principais de problemas estão identificadas a seguir:

1. MULTIPLICAÇÃOO esquema 5.1 ilustra o isomorfismo de medidas para multiplicação

M1 M2

1 a b x

ESQUEMA 5.1

Exemplo 1. Ricardo compra 4 bolos a 15 centavos cada. Quanto ele tem que pagar?a = 15, b = 4, M1 = [no de bolos] M2 = [custo]

Exemplo 2. Uma fazenda de 45.8 ha. Produz 6850 kg de milho por ha. Qual será sua produção total?a = 6850, b = 45,8, M1 = [área] M2 = [peso do milho]

Os problemas de multiplicação não consistem de uma relação de três termos, mas de quatro de

onde a criança tem que extrair uma relação de três termos. Eles podem fazer isso extraindo a lei




3

binária de composição ou a operação unária. Cada um dos métodos implica em operações diferentes de

pensamento, como mostraremos a seguir.

Lei binária de composição

A partir do esquema 5.1 podemos extrair a ! b = x. No exemplo 1, a criança reconhece a

situação a ser multiplicada e, portanto, multiplica 4 ! 15 ou 15 ! 4 para encontrar a resposta.

Essa composição binária está correta se a e b forem vistos como números. Mas se eles forem vistos

como magnitude, não fica claro porquê 4 bolos ! 15 centavos produz centavos por bolos.

Operação Unária

É muito provável que as crianças, especialmente as mais novas, extraiam uma operação unária

ao invés de uma lei binária de composição. Isso pode ser feito de duas maneiras diferentes. As

crianças podem (a) usar um operador escalar (a x b X) que consiste de transportar para M2, partindo

de a para x, o operador que liga 1 à b em M 1

M1 M2

1 a

! b ! b

b x

ESQUEMA 5.2

No esquema 5.2, o ! b é um operador escalar porque ele não tem dimensão, sendo a razão de

duas magnitudes do mesmo tipo; b bolos é b vezes mais que 1 bolo, e o custo de b bolos é

também b vezes mais que o custo de 1 bolo. Ou (b) as crianças podem usar um operador de função

(a x b x ), que consiste de transportar para a linha mais baixa, partindo de b para x, o operadorque liga 1 à a na linha de cima.

M1 M2

1 a

b x

ESQUEMA 5.3

No esquema 5.3, x a é um operador de função porque ele representa o coeficiente da função

linear de M 1 para M 2. Sua dimensão é o coeficiente de duas outras dimensões. (Isto é, centavos por

bolo, kg por hectare).1

1 Outro procedimento para resolver problemas de multiplicação consiste de somar a + a + a ..(b vezes), mas isso não éum procedimento multiplicativo. Ele apenas mostra que o procedimento escalar se apóia na interação de adição.

Ninguém encontra o procedimento sistemático b + b + b....(a vezes) em crianças pequenas, porque ele não ésignificativo.

x a

x a




4

2. DIVISÃO DO PRIMEIRO TIPO

O esquema 5.4 ilustra a divisão do primeiro tipo, o qual serve para encontrar a unidade de valor ƒ (1).

M1 M2

1 x = ƒ (1)

a b = ƒ (a)

ESQUEMA 5.4

Exemplo 3. Cláudia quer dividir seus doces com Joana e Susana. Sua mãe lhe deu 12 doces. Quantos

doces cada uma receberá?

a = 3, b = 12, M1 = [No de crianças] M2 = [N

o de doces]

Exemplo 4. A Sra. Ana comprou algumas pêras grandes. Nove pêras pesam kg. Em média quanto pesa

cada perra?

a = 9, b = 2, M1 = [No de pêras] M2 = [pesos]

Essa classe de problemas podem ser resolvidos aplicando o operador escalar /b para a

magnitude c (ver o esquema abaixo).

M1 M2

1 x / b / b

b c

ESQUEMA 5.5

Devido a dificuldade de se fazer a inversão mental da relação x b para / b, algumas crianças

preferem tentar encontrar o x tal que x ! b = c (por tentativa e erro). Esse procedimento do valor

desconhecido, que é parecido com o procedimento do ADDEND desconhecido nos problemas de

subtração, evita a dificuldade conceptual que surge da inversão. Mas isso funciona apenas para

números pequenos de valores pequenos. Os adultos esse procedimento do valor desconhecido quando,

por exemplo, b e c fazem parte dos números familiares da tabuada. Porém, se eles estão aptos a

substituir esse procedimento pelo procedimento canônico c / b quando necessário, as crianças

normalmente não estão.

Outro procedimento usado no caso de partição de objetos é o de entregá-los um a um aos participantes ou a diferente lugares do espaço. Isso também pode ser feito mentalmente, mesmo em

outros casos (por analogia), mas esse é um procedimento ineficiente e não tem caráter multiplicativo.




5

3. DIVISÃO DO SEGUNDO TIPO

O esquema 5.6 ilustra a divisão do segundo tipo, o qual serve para encontrar o x conhecendo

ƒ (x) e ƒ (1).

M1 M2

1 a = ƒ (1)

x b = ƒ (x)

ESQUEMA 5.6

Exemplo 5. Pedro tem R$ 15 para gastar e ele gostaria de comprar carrinhos de miniatura. Eles

custam R$ 3 cada. Quantos carrinhos ele pode comprar?

a = 3, b = 12, M1 = [No de carros] M2 = [custos]

Exemplo 6. Papai dirige a 90 km por hora na estrada. Quanto tempo levará para ele chegar na casa de

sua mãe, a qual fica a 680 km de distância?

a = 90, b = 680, M1 = [durações] M2 = [distâncias]

Essa classe de problemas é normalmente resolvida invertendo o operador da função direta e

aplicando-o em b, como mostra o esquema 5.7.

M1 M2/a

1 a/a

b x

ESQUEMA 5.7

Esse é um procedimento difícil para as crianças, não apenas por causa do problema da inversão,

mas também porque o operador inverso tem uma dimensão (inversa) que não é comum e que fica mais

difícil de ser concebida ( isto é, carros por Real, horas por km). É freqüente, principalmente quando os

números não são números inteiros pequenos, as crianças preferirem descobrir quantas vezes a cabe

dentro de b, achar o operador escalar e transpô-lo para M1. Isso evita o raciocínio de dimensões de

coeficientes inversos.

As crianças também tentam o procedimento aditivo a + a + a....até elas chegarem a b, então

contam o número de vezes que elas somaram a.

4. PROBLEMAS DE REGRA-DE-TRÊS: CASO GERAL




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O esquema 5.8 ilustra problemas de regra-de-três no caso geral.

M1 M2

a b

c x

ESQUEMA 5.8

Exemplo 7 . O consumo do meu carro é de 7,5 litros de gasolina por 100 Km. Quantos litros de

gasolina eu usarei para numa viagem de 6580 km?

a = 100, b = 7,5, c = 6580, M1 = [distância], M2 = [consumo de gasolina]

Exemplo 8. Quando vovó faz geleia de morango ela usa 3,5 kg de açúcar para 5 kg de morangos.

Quanto de açúcar ela precisa para 8kg de morangos?

a = 5, b = 3,5, c = 8, M1 = [peso dos morangos], M2 = [peso de açúcar]

Essa classe de problemas pode ser resolvida por diferentes procedimentos, usando diferentes

propriedades da relação de quatro termos. Será examinado, posteriormente neste capítulo, os

procedimentos para problemas de regra-de-três encontrados nas pesquisas.

Já deveria estar claro que os problemas de multiplicação e divisão são casos simples de uma

classe de problemas mais geral que é a regra-de-três, na qual quatro termos estão envolvidos e na qual

um dos termos é igual a 1. Na resolução de problemas dessa estrutura, os alunos usam naturalmente as

propriedades isomórficas da função linear:

ƒ (x + x’) = ƒ (x) + ƒ (x’)

ƒ (x - x’) = ƒ (x) - ƒ (x’)

ƒ (" r) = " ƒ (x)

ƒ (" r + "’r’) = " ƒ (x) + "’ ƒ (x’)

Para as crianças é menos natural usar as propriedades padrão do coeficiente de proporção:

ƒ (x) = a x

x = 1/a ƒ (x)

Uma vez que as propriedades de isomorfismo parecem ser mais natural que as propriedades do

coeficiente proporcional, a expressão medidas de isomorfismo é usada para nomear e descrever a

estrutura de proporção direta simples. Esse termo nos permite distinguir muito claramente essa

estrutura das estruturas produto de medidas e proporção múltiplas. Se as estruturas produto demedida e proporção múltiplas envolvem três (ou mais) variáveis e um modelo de função bilinear (ou n-

linear), o isomorfismo de medidas envolve apenas duas variáveis e é modelada pela função linear.




7

Produtos de medidas

O produto de medidas é uma estrutura que consiste de uma composição Cartesiana de duas

medidas espaciais, M 1 e M 2, dentro de uma terceira, M 3. Ele descreve os problemas referentes a área,

volume, produto Cartesiano, trabalho e muitos outros conceitos físicos.

Essa estrutura não pode ser representada por uma simples tabela de correspondência como a

que é usada pela estrutura do isomorfismo de medidas porque existem (pelo menos) três variáveis

envolvidas. Ela é representada por uma tabela de dupla correspondência. Por exemplo, no caso da

área de um retângulo:

comprimento

1 2 3 a

1 2 6

largura

b x área

ESQUEMA 5.9

O esquema 5.9 reflete a proporção dupla da área para o comprimento e largura

independentemente. Existe uma relação similar na próxima estrutura (proporção múltiplas), mas a

escolha e expressão das unidades não obedecem as mesmas regras. No produto de medida, existe um

modo canônico de escolher as unidades. É ela, ƒ (1,1) = 1; ou no caso para se encontrar a área do

quadrado,

(1 unidade de comprimento) ! (1 unidade de comprimento) = (1 unidade de área)

As unidades do produto são expressas como produtos de unidades elementares; por exemplo,

centímetros quadrados, centímetros cúbicos, ou, como no exemplo 9:

ƒ (1 menino ! 1 menina) = 1 casal

Na proporção múltipla (descrita na sessão a seguir), as unidades geralmente não têm

propriedades.

Exemplo 9. Quatro moças e 3 rapazes foram a uma danceteria. Cada um dos rapazes queria dançar

com cada uma das moças, e cada uma das moças também queria dançar com cada um dos rapazes.

Quantos casais diferentes de moça-rapaz puderam ser formados?

Os diferentes casais possíveis de formar podem ser facilmente generalizados e classificados

através de uma tabela de dupla entrada, e a proporção do número de casais para o número

independentemente de rapazes e moças pode se tornar visível através de uma tabela de dupla




8

correspondência: o número de casais é proporcional ao número de rapazes quando o número de moças

se mantêm constante (coluna paralela), e para o número de moças quando o número de rapazes (linhas

paralelas) (ver o esquema 5.10 abaixo).

Moças Número de moças

L M N O 1 2 3 4 5 ..... n A AL AM AN AO 1 1 3

R APAZES B BL BM BN BO NÚMERO 2 2 4 6 8 10 2n

C CL CM CN CO DE 3 9

Casais (ex. 9) RAPAZES m 3m mn Número de casais

O produto cartesiano é tão simpático que tem sido freqüentemente usado (pelo menos na

França) para introduzir multiplicação nas terceiras e quartas séries da escola fundamental. Mas muitas

crianças não entendem multiplicação quando ela é introduzida dessa forma. A estrutura aritmética do produto cartesiano, como um produto de medidas, é igualmente muito difícil e realmente não pode ser

dominado até que ele seja analisado como uma proporção dupla. A proporção simples deveria vir

primeiro.

Duas classes de problemas podem ser identificados, multiplicação e divisão, a primeira das

quais está ilustrada no esquema 5.11. Dado o valor das medidas elementares, encontrar o valor da

medida-produto.

M2 a

M1

b x

M3

ESQUEMA 5.11

Exemplo 10. Qual é a área de uma sala retangular que tem 7 m de tamanho e 4,4 m de largura?

a = 7, b = 4,4, M1 = [larguras], M2 = [comprimento] M3 = [áreas]

Exemplo 11. Qual é o volume de um cano que tem 120 cm de tamanho e tem uma área cros-

seccionada de 15 cm?

a = 120, b = 15, M1 = [secção de áreas] M2 = [comprimentos] M3 = [volume]

A solução a ! b = x não é fácil de ser analisada em termos de operadores de função e

escalar. Ela é um produto de duas medidas que envolvem os aspectos dimensionais e numéricos:

área (m2) = comprimento (m) ! largura (m)




9

volume (cm3) = altura (cm) ! secção de área (cm2).

Na primeira estrutura (i.e., produtos de medidas), nós não podíamos explicar porquê

multiplicando centavos por bolos chegávamos a resposta em centavos e não em bolos. Isso só podia

ser explicado através ou do operador escalar (centavos centavos) ou do operador de função

(bolos centavos/bolos centavos).

Na segunda estrutura (i.e., produtos de medidas), o cenário era diferente e multiplicando metro

por metro o resultado foi metros quadrados; multiplicando moças-dançarinas por rapazes-dançarinos o

resultado foi casais misturados de dançarinos.

A segunda classe de problemas, divisão, está ilustrada no esquema 5.12. Dado o valor da

medida do produto e o valor de uma medida elementar, encontre o valor da outra medida.

M2 a

M1 x b

M3

ESQUEMA 5.12

Exemplo 12. A área de uma piscina é 150 m2. Ela requer 320 m2 de água para ficar cheia. Qual é o

altura médio da água?

Aqui, novamente, o procedimento da divisão não pode ser facilmente descrito pelo operador

escalar ou de função. A dimensão da quantidade a ser encontrada é o coeficiente da dimensão do

produto pela dimensão da outra “medida elementar”.

volume (m3) / área (m2) = altura (m)

Um modo de explicar a estrutura do produto é vê-la como um isomorfismo duplo ou um dupla

proporção. Peguemos o exemplo do volume dos prismas retos.

Se o altura for multiplicado por 2,3 ou ", o volume é multiplicado por 2,3 ou " (a área básica

fornecida mantém-se constante) (ver esquema 5.13).

Similarmente, se a área básica for multiplicada por 2,3 ou ", o volume é multiplicado por 2,3

ou " (o altura fornecido fica constante). Se alguém somar as áreas básicas de prismas diferentes, os

volumes também são constantes (o altura fornecido sendo o mesmo).

Altura# " h "h

área básica a ah "ah




10

(constante)volume

ESQUEMA 5.13

Essas propriedades resultam diretamente das propriedades isomórficas da função linear

(aspectos escalar e aditivos). Quando o altura mantém-se constante, (! h) pode ser visto como um

operador de função, ligando a área básica ao volume (ver esquema 5.14).

Altura h

área básicaa v

! hESQUEMA 5.14

O mesmo pode ser dito para a área básica quando esta mantém-se constante. Embora essa

análise seja um pouco sofisticada, ela mostra que apesar do produto não ser um isomorfismo ele

também pode ser considerado como um isomorfismo duplo.

Segue que se o altura for multiplicado por " e a área básica por "’, o volume será multiplicado

por ""’.

Reciprocamente, o isomorfismo pode ser visto como um produto. Por exemplo:tempo ! velocidade = distância

volume ! massa volúmica = massaEssas relações são bem ilustradas pelo operador de função (ver esquema 5.15).

Tempo Distância Volume Massa

! velocidade ! massa volúmica

ESQUEMA 5.15

Ainda, alguém poderia notar que a velocidade e a massa volúmica estão sendo consideradas

como constantes e não como variáveis, enquanto que no produto (volume, por exemplo) as duas

medidas elementares (área básica e altura no caso do volume) são variáveis. Alguém também pode

estar lembrado que na estrutura de isomorfismo, o cociente das dimensões é uma magnitude derivada e

não elementar. Se tempo ! velocidade = distância, é porque velocidade = distância / tempo. Se

volume ! massa volúmica = massa, é porque massa volúmica = massa / volume. Contudo, na

estrutura de produto, pelo menos no significado dado pelas crianças dos níveis primário e secundário

para produto (isto é, área, volume, produto cartesiano), as medidas elementares são realmente

elementares e não cocientes.

Proporção Múltipla




11

A proporção múltipla é uma estrutura muito parecida ao produto do ponto de vista das relações

aritméticas: uma medida espacial M3 é proporcional a duas medidas espaciais, M1 e M2, diferentes e

independentes. Por exemplo:

1. A produção de leite de uma fazenda é (sob certas condições) proporcional ao número de vacas e

ao número de dias do período considerado.2. O consumo de cereal num acampamento de escoteiro é proporcional ao número de pessoas e aonúmero de dias.

O tempo muitas vezes está envolvido em tais estruturas, porque ele intervém em muitos

fenômenos como um fator direto de proporcionalidade (isto é, consumo, produção, gasto, resultado).

Mas há outros fatores; por exemplo, na Física encontramos:

p = kRI2 (forca, resistência, intensidade)

Se na Física os fenômenos de proporção múltiplas podem ser interpretados muitas vezes como

produtos, isto nem sempre é possível em problemas de proporção múltiplas. Muitas vezes a escolha

natural da unidade não leva a ƒ (1,1) = 1. Por exemplo, não existe uma razão de porquê uma vaca

deveria produzir 1 litro de leite por dia, nem do porquê uma pessoa deveria comer 1kg de cereal por

dia ou por semana. Normalmente existe um coeficiente que não é igual a 1; ƒ (1,1) = k.

Na proporção múltipla, as magnitudes envolvidas têm seus próprios significados intrínsecos e

nenhum deles pode ser reduzido ao produto de outros. Não há razão para interpretar a dupla

proporcionalidade do consumo de cereal para o número de pessoas e para o número de semanas como

uma operação dimensionada

(Isto é, cereal = pessoas ! semanas).

Novamente aqui, podemos identificar várias classes de problemas. Eu apresentarei apenas os

exemplos, já que a análise é similar ao que já foi explicado anteriormente.

MULTIPLICAÇÃO

Exemplo 13. Uma família de 4 pessoas quer passar 13 dias num hotel. O custo por pessoa é de R$ 35

por dia. Quanto a família gastará?

DIVISÃO DO PRIMEIRO TIPO

A divisão do primeiro tipo envolve encontrar o valor de unidade ƒ (1,1) = 1.

Exemplo 14. Um fazendeiro tenta calcular a média de produção de leite de suas vacas durante os 180

melhores dias do ano. Com 17 vacas ele teve a produção de 70.340 litros de leite durante esse período.

Qual a produção média diária de leite por vaca? (Ver esquema 5.16).

tempo

1 1801 #

vacas




12

17 70.340 de leite

ESQUEMA 5.16

Com exceção do sistema métrico, normalmente não existe divisão no produto de medidas

porque ƒ (1,1) = 1.

DIVISÃO DO SEGUNDO TIPO

A divisão do segundo tipo envolve encontrar #, sabendo que ƒ (#,a) = b e ƒ (1,1).

Exemplo 15. Um acampamento de escoteiro recebeu apenas 500kg de cereal. A distribuição de cereal

permitida é de 0,6kg semanais por pessoa. Há 236 pessoas no acampamento. Esse cereal recebido dará

para quanto tempo? (Ver esquema 5.17).

tempo

1 #

1 0,6 pessoas

a=236 b + 500 de cereal

ESQUEMA 5.17

A função bilinear é um modelo adequado tanto para o produto de medidas quanto para a

proporção múltipla. Uma hipótese é que isso implica em operações mais complexas de pensamento

que o usado na função linear. Outra hipótese é que o produto de medidas apresente dificuldades

próprias que não estão reduzidas àquelas existentes na proporção múltipla.

A seguir eu relatarei alguns experimentos cujos problemas podem ser analisados segundo essas

estruturas. Algumas vezes os problemas apresentam combinações de diferentes estruturas. A análise

acima serve como uma primeira abordagem para esses tipos de problemas. No entanto, farei uma

análise complementar. Os valores das magnitudes, o conceito de média e a referência ao contexto

também são características importantes dos problemas.

EXPERIMENTOS

Esta sessão descreverá vários experimentos realizados nos últimos 4 ou 5 anos, mostrando ora

os resultados sob a ótica comparativa da complexidade dos problemas e dos procedimento, ora a

evolução na sala de aula das conceitualizações e procedimentos numa relação dialética das situações.

Isomorfismo de produto e proporção múltipla

O primeiro experimento realizado pelo nosso grupo de pesquisa (Vergnaud, Ricco, Rouchier,Marthe e Metregiste, 1978) objetivou comparar a dificuldade entre diferentes problemas e fazer uma




13

avaliação da estabilidade dos procedimentos usados pelos alunos. A pesquisa consistiu de aplicar

diferentes versões de três estruturas de problemas diferentes:

1. Volume: o cálculo do volume de um paralelepípedo reto: # = a ! b ! c.

2. Proporção direta: o cálculo de , entre três medidas espaciais sabendo que

f 0 g (#) = c # = c / (a ! b) (Ver esquema 5.18)M1 M2 M3

1 a

1 b

x c

ƒ g

ESQUEMA 5.18

3. Proporção dupla: o cálculo de uma magnitude proporcional ao tempo e a outra magnitude (Veresquema 5.19

tempo

1 c

1 a

outra b #

magnitude

ESQUEMA 5.19

A primeira versão dessas estruturas era um problema complexo (com várias questões), escolhidas de

livros-textos para estudantes de 11-12 anos e que envolvia todas três estruturas.

“Um aquecedor central foi instalado numa casa; ele tinha a seguinte dimensão:comprimento = 18 m., largura = 6 m; altura = 4 m.

1. Um radiador é feito de 8 elementos. Cada elemento pode esquentar 6m3. Quantosradiadores são preciso?

2. A média de consumo é de 4 kg de carvão diários por radiador. O período de aquecimentovai de 1 de outubro à 15 de abril. Quanto de carvão será usado?

As outras versões eram questões simples, construída ad hoc para possibilitar a comparação:

Volume: “Qual é o volume da água usada para encher uma piscina retangular que tem 17 m decomprimento, 8 m de largura e 3 m de profundidade?”

Proporção direta: “Um trem luxuoso deveria conter 432 assentos na primeira classe. Cada carro tem8 compartimentos e cada compartimento tem 6 assentos. Quantos carros serão preciso?” Uma outraversão também foi usada




14

Proporção dupla: “um fazendeiro tem 5 vacas. Elas produzem em média 23 litros de leite por dia nos

melhores 180 dias do ano. Quanto de leite o fazendeiro produz durante esse período?

Em 84 estudantes (de 11 e 12 anos), nós encontramos a seguinte hierarquia:

Os problemas mais fáceis foram os de proporção direta e de proporção dupla, embora os problemas de proporção direta precisassem ora de duas divisão, ora de uma divisão e uma

multiplicação. Esses dois tipos de problemas foram resolvidos por 2/3 dos estudantes na versão

simples e por 1/3 na versão complexa.

O problema mais difícil envolveu volume, tanto na versão simples como na complexa (o

sucesso foi 38/84 e 28/94 respectivamente), embora os cálculos fossem os mais simples.

Nós analisamos os diferentes procedimentos usados e os categorizamos para podermoscompararmos a estabilidade dessas categorias nas duas (ou três) versões que tinham a mesma estrutura

de problema. Muitos estudantes tinham uma representação perimétrica do volume, somando os

comprimentos e tentando levar em consideração tantos lados quanto possível (seja multiplicando 2, 3,

ou 4 vezes a soma L + W H, seja somando 1, 2 ou 4 vezes a altura do perímetro da base, ou ainda

fazendo uma outra combinação qualquer). Alguns estudantes também tinham uma representação de

superfície (somando áreas) ou uma representação mista (por exemplo, multiplicando perímetro pela

altura). Nós encontramos uma estabilidade na classe dos procedimentos de apenas 50%, o que está

longe de ser uma coincidência randômica, mas por outro lado ainda muito fraca.

Na proporção direta nós ainda encontramos diferentes classes de procedimentos. Muitos dos

erros envoviam procedimentos parcialmente corretos que não eram utilizados na solução. Houve uma

estabilidade em um dos procedimentos corretos, o qual tinha o significado físico mais fácil e era,

comparativamente, mais fraco que os outros.

Quanto a proporção dupla, nós encontramos um melhor desempenho quando o fator tempo

estava envolvido. Tanso consumo de carvão quanto produção de leite eram concebidos como proporcional ao tempo, mesmo que o outro fator envolvido (número de radiadores, número de vacas)

não parecesse ser difícil.

Outro achado desse experimento foi que a maioria dos procedimentos usados pelos estudantes,

mesmo quando estavam errados, tinham um significado físico. Só muito raramente nós encontramos

cálculos desprovidos de significado.

Uma variedade de procedimentos para os problemas de regra-de-três




15

O próximo experimento (Vergnaud, Rouchier, Ricco, Marthe, Metregiste e Giacobbe, 1979;

Vergnaud 1980) foi desenhado para testar a hipótese do melhor procedimento escalar disponível

comparado com os procedimentos de função. Também nos permitiu fazer uma descrição exaustiva

dos procedimentos (corretos e incorretos) usados pelos estudantes. O problema foi o seguinte:

“Em a horas o aquecimento central consome b litros de óleo. Qual é o consumo em c

horas?” (Ver esquema 5.20)

M1 M2

tempo consumo

a b

c #

ESQUEMA 5.20

Escolhendo valores adequados para a, b e c, é possível simplificar a razão escalar (c a), a

razão da função (b a), ou ambos, ou nenhum.

Para testar a hipótese de que os procedimentos escalar seriam mais fácil e freqüentemente

usados que os procedimentos de função, nós usamos problemas com uma razão escalar simples (3 ou

4) e uma razão de função complexa (12, 13) e problemas com razão de função simples e razão escalar

complexa. Isso era feito por multiplicação e divisão e resultou, ao todo, em quatro casos. (Ver

esquema 5.21 )

S1 S2

n1 n2 n1 "n1

Multiplicação ! "

"n1 # n1 #

! "

S3 S4

"n1 n2 "n1 n1

Divisão / "

n1 # n2 #

! "

ESQUEMA 5.21

Nós usamos um total de 16 problemas. Os exemplos estão apresentados a seguir. (Ver o

esquema 5.22)




16

9 108 7 21 18 78 32 8

36 84 6 104

S1 S2 S3 S4

ESQUEMA 5.22

Nós apresentamos os quatro problemas em ordem invertida para cada um dos estudantes.

Participaram do experimento quatro grupos de 25 estudantes cada (um grupo para cada série do

primeiro grau maior, de 11-12 anos à 14-15 anos).

De acordo com nossa hipótese, nós esperávamos que S1 fosse mais fácil que S2, e que S3 fosse

mais fácil que S4. Nós também esperávamos encontrar diferenças nos possíveis procedimentos. Nós

ainda pensávamos em descrever a evolução a variação de sucesso e procedimentos entre as quatro

séries

A tabela 5.1 mostra claramente que não existe diferença entre os problemas e S2. Os resultados

contradizem nossa hipótese de que uma razão escalar fácil levaria as crianças a resolverem os

problemas S1 mais facilmente que os problemas S2 (razão de função fácil).

A situação é diferente para S3 e S4. Enquanto os problemas são dominados quase tão bem

quanto S1 e S2, existe uma grande queda no número de sucesso para S4. Infelizmente, essa queda pode

ter sido devido à dois fatores diferentes: por um lado a dificuldade na divisão escalar, e por outro o fato

de que S4 é a única situação onde ƒ (#) < # (como mostra os exemplos numéricos acima).

Tabela 5.1Variação de sucesso para problemas de regra-de-três (%)

Problemas

S1 S2 S3 S4

n1

n2

n1

"n1

"n1

n2

"n1

n1

Graus "n1 n2 n1 n2

5a série (11-12 anos) 39 39 29 166a série (12-13 anos) 64 55 59 367a série (13-14 anos) 65 69 69 358a série (14-15 anos) 82/63 85/63 74/58 56/36

Um resultado interessante foi a regularidade que apresenta a evolução dos estudantes que vai

no sentido dos novos para os mais velhos. Isso mostra que a abordagem psico-genético auxilia no

estudo da aquisição de habilidades matemáticas no nível do primeiro grau maior. Mesmo quandoessas habilidades são ensinadas, o desenvolvimento é lento e leva alguns anos para que os estudantes

tenham sucesso ao lidar com os diferentes casos numéricos. Alguns estudantes, mesmo no final do




17

primeiro grau, ainda falham ao manipular com as situações mais simples, mas a maioria de seus

progressos são regulares. O caso mais difícil que utilizamos, e que não foi o mais difícil que

encontramos, mesmo usando números inteiros, só foi dominado pelos alunos que estavam no começo

da última série de primeiro grau maior (entre 14 e 15 anos).

Procedimentos

Foi muito interessante observar a variedade de procedimentos utilizados pelos estudantes (mais

de 25 tipos). Nós classificamos os procedimentos corretos em cinco subcategorias; tentamos também

classificar os procedimentos incorretos em categorias significativas, mas nem sempre foi possível.

Na descrição que se segue usaremos as letras a, b, c e #; a e c são medidas de tempo,

enquanto b e # são medidas de consumo, tal como mostra o esquema 5.23

M1 M2

tempo consumo

a bc #

ESQUEMA 5.23

Procedimentos corretosS Escalar: O aluno calcula (c / a = ") (em S1 e S2) ou (c / a = ") (em S3). Esse cálculo pode

ser feito explicitamente seja por divisão ou usando o procedimento do fator desconhecido (veresquema 5.23). Também pode ser feito mentalmente. Depois o estudante calcula # = " ! b ou # = b ! " (em S1 e S2) ou b / " (em S3).

F Função: O aluno calcula (b / a = ") (em S1 e S2) ou (a / b = ") (em S4), seja mental ouexplicitamente e então calcula # = " ! c (em S1 e S2) ou c / " (em S4).

U Valor de unidade: O aluno realiza o mesmo cálculo como em F, mas ele explica que (b / a) é a

unidade de valor ƒ (1). Esse procedimento é escalar em essência, embora os cálculos sejam osmesmos que em F. (Ver esquema 5.24).

M1 M2

1 ƒ (1)/ a / a

a b! c ! c

c #

ESQUEMA 5.24




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R Regra-de-três: O aluno calcula (b ! c) / a ou (c ! b) / a (multiplicação primeiro). Essealgoritmo tão conhecido é usado muito raramente. Nós explicaremos o porquê mais adiante.

SD Decomposição escalar: O aluno tenta decompor a magnitude c como se fosse uma combinaçãolinear com outra magnitude diferente: múltiplos de a ou fração de a.

Exemplo: a = 32, b = 8, c = 104 (procedimento de um garoto de 14 anos)

Protocolo Comentário32 ! 3 = 96 + 8 = 104 104 = (3 ! 32) + (1/4 ! 32)

86 = 24 litros + 8/4 # = (3 ! 8) + (1/4 ! 8)= 26 litros = 24 + 2

Embora as equações no protocolo estejam todas erradas, o procedimento é eficiente e mostra o usode um teorema poderoso (ver comentário)

( ƒ( a + "’ a) = " ƒ(a) + "’ ƒ(a)

Esse procedimento é frequentemente usado por estudantes (mesmo no nível de primenro graumenor) quando eles não conseguem pensar em operador de função. A decomposição também

pode ser multiplicativa:( ƒ(""’ a) = ""’ ( ƒ(a)

As propriedades dos números certamente são muito importantes no surgimento desses tipos de

procedimentos, mas é importante notar ainda que esses procedimentos não são explicados

puramente pelas propriedades numéricas. Os números são magnitudes. Na verdade, se os números

não representassem magnitudes qualitativas de diferentes tipos de quantidades, então alguém

poderia também encontrar os procedimentos de decomposição de função ( b = "a + "’a). E issso

não é o caso; b não pode ser concebido como uma combinação linear de magnitudes de um tipo

diferente.

Procedimentos incorretos

Muitos procedimentos incorretos estão baseados em alguns aspectos da situação real indicada. Nós

achamos que poderia ser interessante classificar esses procedimentos incorretos com a finalidade dever quais os tipos de características que são mais salientados.

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Estr_Mult_1983_traducao.pdf