ESTR·UTURA

CASCAS CILÍNDRICAS ESTRUTURAS METÂLICAS FUNÇÕES DE BESSEL

' LAJES COGUMELOS SEGURANÇA DAS CONSTRUÇÕES CASOS ESPECIAIS DE LAJES RETANGULARES QUADROS ASSOCIADOS HORIZONTALMENTE OUTUBRO .· 1957

' ,.

ENG NHEIROS ARQUITETOS UNIVERS ITÁ IOS

Livros indispensáveis ao desenvolvimento de sua cultura têcnico - científica.

Editados em língua portuguêsa

O "AO LTVTIO 'l'í;CNTCO LTDA." com o objcti'o de facilitar a aquisi~fio do livro didático de nível superior, vem publ ic::tndo obras técnicas de grande intcrêsse nos cam­pos da engenharia, arquitetura, rn:item:itica, física, química e desenho.

Certos de que os meios técnicos brasileiros saberão compreender o esfôrço que re­presenta o lançamento de l ivros dcss:i naturez:i, acreditamos· que não nos faltará o estímulo neccss:irio ao prosseguimento de nosso programa editorial.

AO LIVTIO TÉCNICO LTDA.

OBRAS À VENDA NAS BOAS LIVRARIAS:

AGG - Construçã'.) de fütradas e Paviment;!ÇÕes ::: ... ... . ...... : . . . . . . . . . . Cr$ CARVALHO - Higiene das Con:trwções * .... . ... . ..... .... .. ..... ..... . . CARVALHO - Per:p2ctiva •:• . . .. . ...... . .... . .. ..... ... . . ... . .... . ...... . DA Y - Inst::!lações Hidráulico-Sanitárias •:• .. . . ... .. . ... . . . . . . ... .... . .. ... . KING - Hidráulica * ........... : . .. .. .. .. . .... .. ... ... ... ..... . ... . ... . MAGALDI - Noções de Eletrotécnica•::::: .... . ... ...... . .... . . ....... .. . .. . NORONHA - Método dos Pontos Fixos::: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ') NORONHA - Mé!oclo do:; Pontos Fixos:::::: ... . . .. ....... . .... . .. . ... . . . . . PHILLIPS - Equ::ções Diferenciais •:• .. . .. . . .... . . . . ... ......... . .. .. . . . . RICHTER - Técnica das In:takções Elétricas * .... .......... ........... . SCHAUM - Química - Problem:is ** ........ ... .. ... ..... . ... .... . .. . SEAR3 - Física - l/II/111/ ::: (c::da) .. ... . .. .. .. ... . ............ . . .. . . . SEARS - Física - IV •:•* . . ..... . ... . ........ . . ... . . . .... . . . . . . .. . ..... . SMITH-GALE NEELLEY - Geometria Ano~ítica * ... .. .. . .. ...... .... .... . TIMOSHENKO - Re:;frtência dos Materiais - 1 •:: ... .. .. . . . . ..... . .. . ... . TIMOSHENKO - Resistência dos Materiais - II * .. ..... ........ ... .. .. . TíMOSHENKO - Mecânica Técnica •:• .. . ......... . ..... . .. . . . ... . .. .. . . . TIMOSHENKO - Teoria das Estruturas * .... .... ..... . : ..... .. .. .... .. .

•:• - Encadernado :::::: - Drochado

PRôXIMOS LANÇAMENTOS:

ADEMAR FONSJ;CA - Curso d2 Mecânica - Estática -- II. Vol. A YRES - Cálculo Di:erenci:il e Integral (Colcç:ã.'.) Schaúm) - Problemas LIWSCHITZ GARIK-WHIPPLE - Máquinas (~e . Corrente Contínua MOTTA REZENDE - Eletrotécnica Gcr:tl - I Vol SCHAUM - Física (Coleção Schaum) - Probl~mas.

AO LIVRO TBCNICO LTDA. AV. RIO DRJ\N .O, 120 - OBR.ELO]A

. lll Dl! JANE ll~

,.

450,CO

450,00

220,00

450,00

300,00

350,00

220,00

180,CO

180,00

350,00

180,00

3C0,00

80,00

300,00

350,00

400,00

400,00

400,00

~

UMA REVISTA PARA DEZ MIL I-'EI'TORES

O lançamento de uma revista técnica de grande tiragem no

Brasil estava sendo reclamado desde longa data. Esta tarefa, pmém,

não é daquelas que se podem realizar sàmente pelo desejo de fazê­

lo. Exige esfôrço enorme de uma equipe dedicada e inspirada no

, mais sadío propósito de enfrentar quaisquer dificuldades, sem me­

dir sacrifícios, com tenacidade e perm:inente labor.

Vamos concret'izar .uma aspiração que sempre esteve presente

em tôda nossa vida, profissional, de magistério e de escritor, quase

como uma idéia fixa: .divulgar para o Brasil ·inteiro,, para a Amé­

rica do Sul e para todo o mundo, o que no Brasil se esc1'eve, se

projeta e se realiza no setor da construção e, em particular, da téc­

nica estrutu1:az.

Não bastaria o nosso obstinado idealismo m;sse sentido, não

fôsse o agrupamento de uma equipe valoro.sa, de prestígio incon­

testável e de devota~ento excepcional que r~solveu conosco for­

mar poderoso contingente técnico, constituindo o corpo redacional

desta revista.

Nossos colegas da Escola Nacional de Engenharia Antônio

Alues de Noronha e Sydney Gomes dos Santos, redatores dos assun­los estruturas metálicas e de madeira e estruturas de concreto ar-

. mado, respectivamente, juntamente com os professôi·es e enge­

nheiros Felipe dos Santos Reis, Mário Bra'.1di Pereira, Adolpho Po­!i/.lo, Icarahy da Silveira, José Luiz Cardozo, Osmany Coelho e Sil­''ª foram os que, inicialmente, no Rio de Janeiro , se alistaram para ri grande luta. ,

N ns Estados, os Professôres T elemaco van Langendonck,,

/>1'1/ro ,'fa1 1i11c1,, Scmmel Chamecki, Carlos Simas, Meyer Mesel, Cân­rli ln l lolr111dc1 l.,,;111t1, Dc111ilo Smith , L. Paulo Felizardo foram convi­,/,1 !01 ,1 r/iril!,ir .1elore.\ q11e hão de conslitúit' verdadeiros manan-11111 1 11 11 ' /'1 '11/ /'t11111/h11do.1, r1 fi111 rle f o'l'mc1r c:st 1f111/ástica torrente: 11 ;11 111 /11 1111,,~ ,1111 1 1 1;111· 1r1rr111 ·1í 1/111 /11í.~i1111.I' ti" l!S'/'J?U'/' lJ l?A.

N 1 I

1 .í11111 1J/l/J1J 1 / 1r11/1 • 11 11/'<'I " 11:111i1111 i/11.1/res e Jêío sendo con-1•11111tln1, 1111 ll/\i1 •1• rll' !Jm•110.1 / /ires, ;\1(r)ll/e1Jidéo, Suíça, etc., de 1110,/n tjllt ' le1•11re111 0.1 110.r.ro cc1111 po de ação além das nossas fron-11•i /'ri\' ,

!!111 rele1çêío era progrtt?na a ser realizado por ESTRUTURA, 1~ . 1 /i' .i'l' tt /11-.:111eiro mímero é apenaf' o comêço de suas múltiplas ati-1•i lrrrles.

/ lsJi111 é que diversas secções e vários cursos técnicos estão sen­lo orgc111izc1dos para início nos próximos números. Entre êles, secção le crrtigos condensados de revistas estrangeiras, curso de funda-

(Õe.r, cm.ro de pontes, cálculo das placas, e muitos outros assuntos, r~! gm1.r já prontos, serão objeto das nossas próximas publicações.

Sob o ponto de vista de sua organização financeira, uma re­. 11istct técnica pode seguir dois caminhos:

O primeiro consiste em cuidar essencialmente da receita de c1111íncios" o que leva muitas revistas a diminuit· sua tiragem, a fim e/ ·redttzir as despesas e manter-se com a verba de publicidade. lJ.rte sistema acarreta cada vez maior descuido na confecção da f!ttrle 7Ítil, que é a matéria redacional da revista.

O segundo caminho, adotado por ESTRUTURA, consiste em depe11der quase exclusivamente da venda da revista, contando ape­neis com os anúncios dos interessados, que hão de contribuir para . /111111'0.\' w elhoramentos da revista.

IJS'J 'RUTURA começa com uma tiragem récorde, em matéria de re11i.rtc1 Jécnica entre nós - 6.500 exemplares de 128 páginas, ct .rer c111111e11tc1da até atingir sua meta inicial: UMA REVISTA PARA

DEZ M 1 L L EITORES.

li11 cr1rrega111 os nossos colegas, engenheiros de todo o Brasil, ri '.i'/c1 lme/ c1, pois ct inclusão de seus nomes como assinantes desta r1111is11 to rt1r1 po.rsí1 1el realizar tão grandiosa e patriótica missão!

Aorrn ON MOREIRA DA ROCHA,

/ IS 7'i?/17'111,' 1

/

NI

~

OUTUBRO

19 5 7 ANOI • VOL. 1

1rnDAÇÃO

AV , l\ltA:>MO BRAGA, 227

S/ 1 '\ 10 - 'l'd cfonc: 22-57 10 111 () 1) 1•: .1A N I•: 1 H (l - H RA S 1 1,

l)fH ln'()J{ RESPONSA VEL:

Ad ·rson M rc: ira. da Rocha

l)JHJ\'J'OR .ECRETARIO:

Ad 11 ho Poli!Jo

Gl\HliNTE:

Arlhur a lgado

1 >IS'J'IU Bl JJ ÇÃO NO INTE­RJOR :

11 1 l 'I'< l( A CIEN TfFI A -

AV . l ~ l ( A S M O HRACA, 299 H" .11 11 1. Hio lc Janeiro.

N t tMEHO AVULSO:

1<111 .i ., l1111t•iro : C r$ 100,00

Nu h 1 ido ~ ,. "" Ext ·-oli1 1 C: r'.$ 110,00

I N 11 l l(r\ I'( )1( Ili N11 f\ 11 1( ll.~

!11>1 olt J1il\l llll (I li '1110 ,011

N11 ,,,J,, , 11 11 1 11 11111 e 1 1 111111 ,1111

ESTRUTURA revista técnica

das construções

REDATORES:

CONCRETO ARMADO Sydney M. G. dos Santos

E'STRUTURAS METÁLICAS E DE MADEIRA Antônio Alves de Noronha

FUNDAÇÕES

Icarahy da Silveira

REPORTAGENS INTERNACIONAIS

Felippe dos Santos Reis Osmany Coelho e Silva

CONCRETO PROTENDIDO

José Luiz Cardozo

HIPERESTÁTICA

Adolpho Polillo

REDATORES-CORRESPONDENTES:

SÃO PAULO

Prof. Telemaco van Langendonck Prof. Pedro B. J. Gravina

CURITIBA

Prof. Samuel Cha1m:'Cki

M INAS GERAIS

Prof. Cândido Holanda Lima

BAHIA

Prof. Carlos Simas

PERNAMBUCO

Prof. M eyer M ese l

IU O (; RA NDE DO SU L

1 anil o inilh · l . ui ~. Paulo Fvliza rd

A V IM> : <.> 11" lq11 1•1 " '' ih 11 ~(1 l\'n\ v1 d o1 q11 1111d o (i1·111 :1• do 1•• 111 ( 11 •11 111 1 1111 11111 dn •• 1 111'1u1 t · ~ Pt 1 d111 ~ o·i f 11 :t ( ' 1 p 11

f'1 il ll! 1!111 1111 1 1111 111 \'Il i ! 1 111~ ! 1 d íll 1\1•111 di p 1 1 ~ tllllt lll U 011

1 l1>q111 11 11 111111 1111 1 11 ,, 1111111 ol1 .. 1 l l(!l l llHA H1 1 1 1 1 1 1 1111 1 d 1 1 111 I 111 H 111

)

·f

NOSSOS COLABORADORES

ADERSON MOREIRA DA ROCHA:

Catedrático ela cadeira "Estabilidade das Construções" ela Escola Na­cional de EngEmha ·ia e catedrático ela cadeira Concreto Armado da Fa· culclade Nacional ele Arquitetura ela Universidade do Brasil. Dire~or Pre­sidente ela r evista Estrutura . Chef e elo Escritório técnico de concreto al'maclo A . M. Rocha ..

ADOLPHO POLILLO:

Prnf. Regente elas disciplinas ela cadeim "Estabilidade elas Construções" ela Escola Nacional ele Engenharia, Ass is tente da cadeira Concreto Ar­mado ela Faculdade Nacional ele Arquitetura da U. B. Diretor secre· tário ela revista Estrutura. Engenheiro do escritório técnico A. M. Rocha.

AN'l'ôNrn ALVES DE NOlWNHA:

Doutol' honoris causa pela Universidade de Zurich. Catedrático da cadeira de Pontes e Grandes Estruturas da Escola Nacional ele Enge­nharia ela U . B.. Prof. ela E scola T écnica do Exército e da E . P . U . C.

DARCY BOVE DE AZEVEDO :

Livre llocente e assistente ela cadeira ele sombras e perspectiva - este­r cotomia, da :F'. N. A. da U. B.. Arquiteto do M. ela Agricultura ( Supe­l'intendente de Obras da Comissão de construção C . N. E . P. A.). Urba­nista clipl. pela F .N.A. da U . B.

ENlUQUE FLlESS :

Chefe do departamento Técnico elo " Instituto del Cemento Portland Argentino" . .Professor titular ele Estabilidade ela Faculdade ele Enge­nharia - UniverHiclac1e rl c Buenos Aires.

SAMUEL CHAMECKI :

Prnfessor catedrático de Estabilidade elas C011struções ela Escola ele En­genhal'ia ela · Univers idade do Paraná. Professor de Resistência elos, Ma­teriais ela .rE scola. de úficia is Especialistas e Infantaria de Guarda da Aernnáu ti'ca.

SYDNEY M. G. DOS f'lAN'l'OS :

Professor cat cclrático ele Resistência elos Matel'iais da Escola Nacio­nal ele Engenharia ela U . B.. Prof. ele Estabilidade ela Escola 'l'écnica elo Exército - Engenheiro Chefe na P refeitura do D. Federal. Chefe el o E. T. E. L. Liv_rc cloce ntr el a cacleira Concreto Armado da Faculdade Nftc io11:1 l el e A rqui totura.

l iSTJ~[fT{/f?/\ N

, UM/\l{lü

l l 11111 1t 'l' iHl1t p111·11 tl1 •y 1• i l l1 •ilo 1'<'K .... ...... ..................... .. " , ..... . 1

0 1111 H

11:HI 1·11l111'11 H p1 '<• 111 old 1ttla s de g ra nd1· 1•orh.! .... ........ .. ... .. . . ..... . . .... .. . 8

IH: l '() l ~' l ' A(J l•:NK 'l'(".CN IUAS IJ11 1 1~ r11111 l n 1t 11 lon 16vd co.11. ver~ivl'l de coucl'eto animdo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 <lolH•l'i.ttnL tl1 • 11 1a i8 lo 300 m de vão livre em concreto premoldado . . . . . . . . . . . . 13 AH \1 11 jorn:id as d• }.: 11 gcnharia Estrut ural ... . ... . . ... ........ ... .. ... . ... . ( :oltl'l'I 11 m 1•11 1 cm;<;as 0 i lí11 (h·icas m últipla sem vigas de refôrço nos bordos . . . .

\ l i , (~ lJ l ' I' 1•: 11• U li.A

O pnl (u-i o rt's id1•11C'i rtl do l ' r csiclente ela Repúbl ica em Brasília ..... . ...... . .. .

\ 11!1 ' 1 <IOH '1'(.:CN 1 'OS ~·

O 111otll'r110 eo 11 cc· i!.o de segurança nas eonstruções - Samuel Charuecki < l(d"'" º " 1,, roLnn• de losas hongo - Enrique Fliess . . . . .... .. .. ... . l•:sL 1·11 L111·1t>< •·nt qu11d 1·os associados horizontalmen te - Aclolpho Polillo ....... . \pi irn1;Õí'K elas fn nçõcs ele Bessel no cálculo estrutural - Syclney M. G. elos Santos

13 14

15

17 28 57 79

UnH<'.ILH e ilí 11 dricas - A clerson Moreira ela Rocha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ( '1°tl!' 11l 11 <'OlllJ >,kLo da estrutura d.e um edifício .... . ..... . ... . .... .. . ....... , . < '1t l1 ·11l o d 1LK la.i"s r0tangulares para casos especiais de apoios e carregamentos

,\dí'1·s o11 M orl' i ra da l~ocha .. ...... . ... . . .. . . ...... . .............. ... . .

< ' IJ ll HOH

<J1 11·so ti o 1·s lr11lum metáli cas - Antônio Alves de Noronha .. ............. . .C 111'H O du (•,0 11 c r·PL0 protondido _.__ José Luiz Cardozo ......... .. .... .. ...... . U11 1·Ho d11 pl'rn pet·tiva - Darcy Bove de Azevedo ............ . ...... . . .. . . . .

O'I' 1< ' 1 i\ H 1>1 \1 1•: H.H A,'

,\ HH 1lt'i11.1;11.11 lll'!ls il('i1·n. de Pontes e Estru turas .. .. ... . . ....... .. .... ... . .... . . < )H tit'Hn.l111 1t 1C'l1l.os cl 1• obras de concre to a rmado no Rio ele Janeiro .... . .. . . .. . l'oHH 11 tl 11. nova din·lo1· ia do Instituto de Arquitetm a elo Brasil (Departamento

tl11 11.io ) ........ ... . . . .... . ................ . ... .. . . ........... . ..... . • l/1 •1111i111 1H do<:. Jt. J•: . . \ . µar:t exame das causas elos Tecentes desabamentos no Rio "" .l 11 111 d1·11 ·I• Co ng rl'HHO Inte rnacional ele Mecânica cl'os Solos e Engenharia

110

93

66 89 90

116

116

118

till H J <' 1111d 11.~Ôl 'H . ... . .. . . .. . . ................. , . . . . ........ . , .. . , .. . . . , , 118 111 , l•' ,.,tl1111111tl Hc· l1lt •i<" l11•r 'I' ....... ..... . ........ .'.... .. . ................ . .. 119 "" H,111 1po1< i1 1111 tl 11 l•:s J r11i111'11 H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

lll<>H

ll• •l111 •JIH" ll 'H lllll(I tlttH J1·11 l>11 lh os llp l' l'Ht 'll i.:lilos ilH V I r jornnllas sulamericanas de 1•t1 1.( lll tl 11 11 i11 <' Hi 1·11! 111 ·11 I 121

l " i ' /1'// /'/ 11,· 1 N

UM MJ\ H.Y

.Jl[() f)fl,'f~N CONC J!)P1' OF S A FETY IN

CONSTR UC1'I ON - Smnuel Chameclci.

'l'he author deals with t he problem of

safe ty in cons truction work, based ou the

s tatistic theory of probabilities of b.uilcling

f a ilures. He d oes not inclucle. t he cases due t o in ·

competency of professionals involved, bu t

studies those in which the .crashing is due to

incont rolable reasons, considered as ort hodox

in present day enginecring.

H e shows the stat istic curve of variating;

el ements, taken as constant in usual calcula­

t ions, such as t he dcad weight , accidental

loads, wind action, etc. 'l'hen also, he makes

a· .comparison . between t he frequency . curves

of acting stress .and t hat of real resistance

of the structure, . showing the · correlation

between the probability of failure and the

foreseen m argin of saf.ety for t he . building .

He makes considerations . about t he .fixa­

t ion of a factor of safety for constructions,

having in view the t otal _ cost of _sarne, in

which it is included t he loss due t o cra­

shing, multiplied by tlte probability of fai­

lure l) dopted. i inally, he presents . conclusions and

points out the manner t o follow .in order to

fix the factor of safety for const ructions.

TllE ORY OF LIMIT DE SIGN FOR FLA T

SL A B A ND TESTS WITII MODELS

OF REDUCED SIZE - Enrique Fliess.

'l'he tests made with models of flat

slabs having nine panels with 20 cm. on the

sides and 1,5 cm. thick, of plain concrete,

are analysed ; t he aim is to det ermine ex­

perimentally, the configuration o.f t he ruptu­

re lines and the t ot al charge for t he point

of failure. 'l'he experimental results a re com­

pared with the theoretical ones taken out

of the theo:i'y developed for t he problem,

and it is found out that they a ree satis­

factorily .

6

CY LINDRI C SH ELLS - Aderson Moreira

da Roe/ui.

A study of cylindTic shells is presented

in seria is, starting with the development of

t he t heory of membranes and, following it,

he will study tlte hyperestatic cylindric

shells, based on the general theory of flexion.

'l'he theme will be developed in a di- \

dact ic fo rm, with the presen tation of con­

clusions a nd prac tical examples.

CONTI N UOUS PORTA L F R AMES

A dolpho Polillo.

In this article the _author chooses the

method he thinks best fo r the case u;uder

study, ,aftor present ing the dif ferent man­

ners how to calculate structures in cont i­

nuous frames, by the . general methods of

force and dislocation, according t~ t he orien­

tation in only one step or two steps of cal­

culations by different processes. 'l'hat is, the

method of dislocation in t wo steps of cal­

culation, thus falling under Clapeyron equa· '

tions, · which he suggests to b e solved by

"alterna t ed iterat ion" (process similar t o one

presented by Dasek, which was genera!ized

for any method by Aderson Moreira da Ro­

cha in his book "General Plane Hyperest a· _

t ic" ) since tha t , besides the rapidity and

facility, there does not even r equire itera­

tion in certain cases.

Complet e calculations fo r a continuous

frame follow as an illustrat iori, in accor ­

dance with the sequence p1·oposed by the

author.

COURSE I N METALLIC STRUCT URES -

Antônio Alves de Noronha.

A complete course in metallic structures

with all details. The lessons a re t o he p ollo­

. wed · in seinals.

ESTRUTURA ~ N• 1

, 1•1· 1, 11 1, /

1/(1 ,\i'/ ()"' /l /1'88 /1' / '8 /1' / 1\ ('

'!' l ll N.'-1 I N l ' !i'li /1/, /1,',l/ 8 li /i' S 'I ' IU ' I "1'11

i-i,111 / 11 1 y 111 . O. dl!N 8 11 11/m.

'l' ho 1L 11l ho1· l r it 'H lo Hhow 1.11 1• i111porla11-

<'l1 o f' lll•HH!' l'H l•\ 111 c l. io11 H jn Hl.rud u1·al ('a l ­

<Htl a l io11 H. J. 'o r l l1 :ü p111·_posc J1 0 11 iviuod t hc

wo rk .i 11 two pa rl·s. J n th c f jrst !te chosc

1' 0111· enscs jn wl1icl1 t li osc :fuct ions a re applieel,

!·hus: tl'm1svcrsal buckling of beams, vibra ·

l. ion. of olas ti c mcmbranes, buckling of co·

lun1n s w it lt variating section anel circular

fOLmcl ation pla tes. For each one of these pro­

blems ho fonnulateel an appropria te equa ·

t ion, leaving for P art Il a stuely about t heir

s olution.

In Part II he p1·esents B essel's differen·

t ial equation anel shows ho\Y othor apparen­

t ly different types, can bc r ecluced t o t he

fu;1damen tal form of t ha t equation. 'l'hus,

h e p resents Bessel 's f unct ions, fir~t and se·

e ond cathegory, as well as a general solu­

t ion of the equation which is obtained there­

with.

'l'he p roblems formulated in the be­

g inning are again t aken up in the final pa rt

a nd the solution of each appropi'iate equa­

t ion is g iven, with the previous t ransforma ·

t ions required by each one. 'l'here a re refo-

1·ences and tables to be usecl, and a short bi­

b liography as an introduction to tltat study.

T echnical rcports about pre-moleled cons­

t ruction work of large size in France, giving

a descript ion of a proj ect for a Stadium in

Argentina anel also various other news; a

1·esume of works presented at the VII South

Nossa C' n1m apresenta uma estrutura de

<'º" 'l ''(l l.o :11·rnado pr cmoldada pelo sist em'.l.

' l'0Hc l1i . A foi.o Jo i colhida de documenta­

"n" J:.( l' 11 1. il11 H' 11l n cocliél a pelo Professor ele

f1I L f'l ll,i tL l'f llt'O n ig- no]i tliTCtOl' ela firma

'' ( \0 11 Hl.n1t 0P i o 11 111-1 '"11 o:·w hi 'l l n o~ ,', ." 11a. Ar­

~ 1 1 11 l . i 11 11 .

N ' I

\ 11111111 1 11 11 ( '0 11g 1t1HM cll ' H l 11 11 •l 111 11I fil t 1 ~11 1 1 1 11111 111 ~·

l11 •ld i11 l l1 1tt11 11H 1\ 11 ' 1 '~ i11 l i' 11 ; \Ili illl tH 11 Jh1 11

IH '\\ ~ .

PERS.!'HC1'1 // J!J JJBA W1NGS PRL1 C1'ICA L

LESSON S - Darcy Bove de Azevedo.

'.l'he author presen ts practical l essons

about persp ective drawings, with application

ln architect ural elesigns.

R EC1'ANGUL AR SLAB ON DIFFERENT

KIN D OF S UPPORTS AND UN DE R

SPECIA L LOA DS - Aderscm Moreira da

R ocha.

A series of a r ticles is sta rted, about

calculation of rect angular slabs, under action

of,.concentrated loaels and unifo rmly dist ri­

buted in part . Examples of slabs with 4, 3

and 2 supports, as they appear in structures

of builelings and bridges, a re analysed.

The a u thor p romis "s, in continuation, to

study hyperestatic of slabs as a new science,

thrnugh which continuous slabs subject to

concentrat ed loads, are treat eel without the

use of apprnximate hypothesis.

COMPLE TE EXA1YIPLE OF CALCUL A­

TIO FOR A B UILDING STRUCT URE.

To be followed by those who have ini­

tia ted in calcula tion of buileling structures,

a complet e design of a building structure is presented, with all calculations and det ails,

CAPA

7

J

h,S'rH.UrrUI(i\S PH.EMOLDADAS GRANDE PORTE

DE

As estrutnras de concreto armado premoldadas têm sido usada:!! com o fim de se cons.eguir o emprêgo de pe­ças de secções muito reduzidas, sem a inconveniência da moldagem no local, muitas vêzes incômoda, pela localiza-.. ção das peças e em virtude ele suas diminutas secções trans.versais.

Para as estruturas premoldadas ele grande porte, surgem problemas sé~ rios no que se refere ao transporte dos trechos premoldados e ao tipo ele emenda elas peças premoldaclas para a sua posterior solíclariz~ção.

Apresentaremos, neste número, uma descrição sucinta, acompanhada de do­aumentação fotográfica, de algumas obras de grande porte executadas com aoncreto premolclado na França.

1 - HANGAR DE lVIARIGNANE

Arcos de dupla curvatura (tipo cas­ca) , cobrindo um conjunto de galpões

Fig. 1 - Hangal' de Marignane

com vãos de 60 m X 100 m, fo ram cons­truídos com · os encontros apoiados no solo, no local da própl'ia construção. Posteriormente, foi a cobertura total transportada para sua posição d:efini­tiva por meio de um movimento que

8

realizou um deslocamento vertical de 10 metros . A figura 1 mostra um dos galpões após a concretagem ainda no :!lolo e outro já em sua. posição defi­nitiva, a 10 metros do solo.

2 _ ___: PONTES D 'ESBLY E SAINT-lVIAURICE

FIG. 2 - Ponte D'Esbly

As pontes D'Esbly e Saint lVIaurice foram construídas em partes premol­dadas. e transportadas ao local.

\\ .

Na JPonte d 'Esbly, as partes pre-moldadas foram executadas próximo

Frv. 3 - Ponte Saint-Maurice

ES.TRUTUR.A ~ N• 1

··'

F ia. 4 - Hangar em Nassandre

ao local e transportadas p,or guin­daste, como mostra a figura 2, cnquan-to que na Ponte cl lJ Saint-1\faurice, os pedaços prcmolclados foram doristruí­dos l_onge do local e transportados por YJa marítima, como se Yê na figura 3.

( '11 HI "'" 1 I (1g 11 11, p1 ·1 •111 1o'ld111l o

/o,',"f' l,'11 '1'11 Nl \

..

Com.po1:;ta por uma infr·a cstr1rLurn

construída de muros laterais, dotados ele consolos moldados no local, sendo as placas intermediárias premoldadas.

1 r

Frn. 7 - Transporte de urna laj e premol­c1ac1a para consbi" ção ele edifício.

P ia. 6 - Detalho rlo castelo dágua da figu­ru. :;, v< ' 111l o-s1· ª" plneas p rnmolcladas que

l"on11n1 11 n" 1m 1"(•dl'" tl o l' C~ <' 'l'vatório

9

Estas placas tinham a altura de 6 metros. Por sôbre o muro, fói exe­cutada uma super-estrutura construí­da por vários arcos. Êstes foram divi­didos em duas metades, cada uma pre­moldada e transportada ao local por meio de guindaste móvel. A emenda no fêcho se realizou por meio de con­cretagem na chave, como se pode per­ceber do exame da figura 4.

4 - OUTRAS OBRAS PRE­MOLDADAS

Apresentamos, a seguir, fotografias de outras obras premoldadas, realiza­das na França e que despertam maior interêsse do ponto de vista da con­cepção do sistema de premoldagem.

Nas figuras 5 e 6, vemos um castelo dágua, onde foram usadas paredes pre­moldadas, em forma de casca cilíndri­ca, com a concavidade para o exterior da caixa, de modo a entrar em com­pressão com a ação do empuxo da água. Vê-se na figura 6 uma destas cascas premoldadas, antes de ser con­duzida ao local.

,1

· .. ·

/ I FIG. 9 - Transpor te de um quadro ríg ido

p1·rm oldftdo

10

Vemos, também, na figura 7, o trans­porte de uma grande laje premolda­da, destinada à execução de piso de edifício.

Na figura 8, apreciamos o trans­porte de um lance total de escada pre­moldada.

Nas figuras 9 e 10, vemos quadros associados premoldados · transportados (Fig. 9) e já colocados no local (fig.· 10).

FIG. 8 .a.... Transporte de um lance de escada premoldada. • ·

l' l.G . 10 (~ 11:1.droH rí g idoH pn•111oli111tloH il 11 l'i g u1·a !l _j {1 11 0 l1w11l d11 "'111."l 1·111;111 1,

!\, ' 'l 'NI 1·1·1 /N 1\ N

REPORl'AGENS TÉCNICAS

ºFi g. 1 - Vista do estádio de natação projetado para o Bôca Júnior vendo-se os arcos metálicos giratórios.

UM GRANDE AUTOJYióVEL CON­VERSíVTJL DE CbNCRETO

ARMADO

Nas VII Jornadas Sulamericanas d o l•Jn gcnharia Estrutural, o engenhei­l'O ,José L. Delpini professor da cadei­rn < ;onc1·cto Armado da Faculdade de: l~n ·cnharia da Universidade de J{ u1' 11 0 .· · Ayrcs descreveu um projeto tl c• 1-nia autoria para cobrir uma parte ' lo c·arn po lo esportes do Club Bôca . J1111ion.; mi, qual se inclui urna piscina <1 11 c·o 1ic1·r l o armado e grandes arqui­l 11 111 c·11il m;.

( :0 111 o obje ti vo de dotar o estádio ti l' 1111111 t'o lll'rLu1·n lot.al para as épo-t ' ll H d1 • i11 v1q ·11 n 011 dim1 d huva qu llllii l'H/'\I' Hl' I' 1·1·111o vid11, 1101' dim; Cill ' ll· 11 1•, 11 1•11 •'1•11li1dro . lrn-1 1 klp i11i q11 0 111111 d1'lllll ll { 1'111111 111 ·in·i11 il itl 11iJ11 1' •1·1111

1 ·' " / ' l .'/.l l 'l li,' ' N 1

de equilíbrio em suas concepções es­truturais, imaginou dotar o seu proje­to de unía cobertura de forma idêntica

, àf':~ capotas dos automóveis conversí­veis.

No seu conjunto, como se vê nas figuras aqui apresentadas, o projeto nos dá realmente uma idéia perfeita de mna capota de carro convertível.

Mas não se ·trata de um automó­vel · conversível de passeio Chevrolet ou Cadillac e sim de uma notável con­cepção arquitetônica pois que se utili­za de um sistema usado nas viaturas para projetar uma capota conversível de 100 metros de vão livre.

Os problemas a enfrentar foram o ' rn ai8 completos e todof': êles foram rnsolvidos com m::i cst1oia. 'l'odos os dc­ln. llH'N d r:-; !n jll'Ojc•!o f"C)l'(Lfl1 dC'8<Wito. 11 11, ('Olil'!'l'f. IH' ill. l[lll' O 1\ 11 101' l '(' IJli 11011 llli

li

sessão inaugural das VII jornadas Sul­americanas de Engenharia Estrutural.

Um dos problem:J.s mais sérios foi a concepção elo maquinismo que auto­màticamente sem depender da habili­dade humana movimentasse os arcos que teriam que girar com velocidades diferentes. Êstes arcos, projetados com secção de aço, teriam que partir de sua posição horizontal quando a ca­pota estivesse aberta e atingir a po­sição jndicada na figura 2, cada arco

vimentasse com velocidades diferentes, numa maravilha de concepção mecâni­ca de grandes proporções.

A parte que cobre as arquiban­cãdas é constituída por uma casca de concreto armado e a parte móvel ( ca­pota) foi proj etada em are-Os metáli­cos com uma cobertura de matéria plás­tica.

A piscina tinha 20 m x 50 m e a capacidade das arquibancadas era de 14. 000 espectadores.

Fig. 2 - Corte do estádio (natação) do Bôca Júnior vendo-se na metade diI'eita as arqui­bancadas e o corte da casca de cimento armado e à direita a capota móvel.

,. percorrendo para isso uma trajetória de percurso diferente. Para a perfeita sincronização .dos movimentos foi pre­ciso dotar a engrenàgem de transmis­sões do tipo das usadas nos diferen­ciais dos automóveis, fazendo com que os m·eo.· :oh um comando {mico s mo-

Maiores detalhes dêste projeto se­rão ainda apresentados por ESTRU­TURA que publicará uma sensacio­nal entrevista com o engenheiro Jo •é L. Delpini a qnal ."er{t aeornpanhacln. de ap1·cs nta<,:}io de 1r{i l'ios p 1·oj1•I OH "

ohrnH clr~S(' 110IÍ! v 11 I (' ll g'<' IJii( •iJ'O .

/ •', " l'l,'l /'! '/ I N N I

•

COI' 1m 'l' l l{.A 1\ 1 r<;'!'B, J)l~

ON JRETO

DJ~ MAJS 1m 300 VÃ O J1IVlm EM PRE::.vl:OLDADO

Na i· Yda Saturday Evening Post e. tá anunciado um sistema de eon 'trur:ífo de arcos premoldados que, segundo a firma Universal Atlas Ce­rncnt Company, poderá atingir um quinto dl' mi lha de vão li:vre, cêrca de ;~20 metrns que constituirão o récorde mun iial de estrutura dêste tipo.

Trata-se de arcos de concreto ar­mado com dupla curvatura (cascas) que são premoldadas e associadas em série de modo a cobrir qualquer vão.

Apresenta como de maior inte­l'êsse o fato de se tratar de cascas com dupla. curvatura constituída. de uma. s'ü e de partes premoldadas o que re­presenta urna interessante concepção sob o ponto de vista de economià do rn a teria l.

ESTRUTURA ENTREVISTA

A partir do proximo número, ESTRUTURA irá iniciar a sua sec­ção ESTRUTURA ENTREVIS­TA, com ·a apresentação, em cada mímero, de uma ,entrévista com um t · n.ioo estrutural, brasileiro ou es­trangeiro, de notório prestígio.

f á se acham programadas entre­fli sta om dois engenheiros e profes­.~õr s strang iras, mundialmente a[ a-111 1cl s: Professor f o·sé L. Delpini, d · litr 11 , Air s, e o Pzio{essor Fritz ,t.,' tii ss i. ele uí a.

l!.nf)C nli ir José L. Delpini é • 11f'< •drMic do ad Ít '.a Concreto Ar-111.1clo . e/ 1 f?11c11/dad de E ngenharia ./1 · /1111 ·110.\ !\i1·cs. 1Tsp nsáu / por wn , , .,,, 11111111 · ro clc obras de urrlt , clro1,

"''" ' 1• .111.11!0 ~ li1 o .~ 1· cl<' ("( 11 <'<'/;rocs as ///.ti ,,, ,., ,,,.ft \

N t

O Professor tii • i Presidente da A s.sociação I nternadon,al de Pon­tes e Estruturas, com sede em Zurique, professor catedrático de Estática das Pontes e Grandes E struturas em Aço e Madeira, da "Technischen Hoch­shule", de Zurioue, .e também autor de obras notávei~.

Nas entrevistas que ESTRUTU­RA realizará com engenheiros estran­geiros e brasileiros, será apresentado um fichário contendo o currículo do entr~vistado e, .em anexo, as caracte­rísticas técnicas, com documentacão fotográfica de suas obras mais i~te­ressantes.

A documentação das obr:as e pro­jetos apresentados nesta Slecção for­mará no futuro, um volumoso fichá­rio de obras, oue poderá servir oomo objeto de cons-ulta: pois ESTRUTU­RA publicará, periódicamente, o índi­ce de tôdas as obras fichadas.

AS VII JORNADAS DE ENGE­

NHARIA ESTRUTURAL

"No período de 22 a 29 de Julho do corrente ano realizaram-se em Bue­nos Ayres as VII Jornadas de Enge­nharia Estrutural às quais compare­ceram representantes do Brasil, Ar-

, gentina, Uruguai e Chile.

As Jornadas Estruturais congre­gam, de dois em dois anos, os enge­nheiros da América do Sul, a fim de debater os problemas que se relacio­nam com as estruturas de um modo geral.

As duas jornadas anteriores, as V e VI Jornadas se realizaram em Mon-1 ('1·idéo e Brasil, respectivamente .

l•'o l'n 111 ap1·e. C'ntados cêrca de 40 1 rnhnllio:-; li do:-; e drlrnt iclo.· i10 on-11·1·1• :-;1-111 1• do:-1 q1111i 1-1 l•;S'l'H,(J'l' IJ IU\ r. -

11

' traiu os resumos que apresenta neste número.

Além dos trabalhos dos engenhei-, r·os sulamericanos dos países r epresen­tados nas Jornadas, foram lidas comu­nicações de engenheiros europeus en­tre os quais os engenheiros Georg An­ger da Alemanha e Ernst Bittner e Wilhelm Valentim da Austria.

Alguns dos trabalhos dos enge­nheiros da Europa, cujos resumos es­tão apresentados neste número, serão publicados na íntegra nesta revista, em números próximos.

O Brasil se fêz representar pelos professôres : Aderson Moreira da Ro­

. cha (3 trabalhos) e Antonio Alves de Noronha ( 1 trabalho), ambos do Rio de Janeiro; Pedro J. B. Gravina (1 trabalho) de São Paulo; Danilo Smith e Eladio Petruéci ( 1 trabalho) do Rio Grande do Sul.

Ficou decidido que as próximas Jornadas serão realizadas em 1959 no Chile. Caso êste país não possa, por qualquer motivo, patrocinar as VIII Jornadas, foi escolhido o Brasil para país substituto. Neste caso serão as Jornadas realizadas provàvelmente em São Paulo ou Curitiba.

li

! 1. j '~ .

COBER'l'URA EM CASCAS CILÍN­DRICAS 1VléLTIPLAS SEJ1 VIGAS DE REFôRCO NOS BORDOS . LÁTERAIS .

Projetado pelo Professor F. Sar­mento Correia de Araújo, da Faculda­de de Eng·enharia do Pôrto, em Portu­gal, foi c;nstruído o hangar de ~e.dra~ Rubras, cuja principal caractenstica e o fato de se tratar de cascas cilíndri­cas múltiplas sem viga de bordo, em­bora as tangentes nos bordos extremos não sejam verticais .

Conforme diz o autor do projeto, em uma publicaGão separata da revis­ta portuguêsa ENGENHARIA, de fe­vereiro de 1950, da qual extraímos esta notícia, só havia até então um único exemplo de cascas dêste tipo e, mesmo ass.im, com vão pequeno ( cêrca de 10 metros).

O hangar de Pedras Rubras, cujo aspecto se vê no clichê abaixo, tem 25 m x 30 m em planta, com uma. entrada ampla de 30 metros de largura por 6,5 m metros de altura. É · composto de 3 cascas associadas, tendo cada uma 30 m de comprimento por 8 m de cor­da e 2,5 m de flecha . A espessura da casca foi de · 8 cm, tendo sido adotado 3 sistemas de fusos metálicos, ligando entre si os bordos laterais, com o fim de diminuir a flexibilidade horizontal.

(._ · 1

11,•,"J' /,'ll / ' /l I,' ' N 1

•

'

O PALACIO RESIDENCI.itL PRESIDENTE DA REPUBLICA

BRASIL IA

DO EM

A Arquitetura Moderna e a Estrutura

A. cham ada Arquitetura Moderna L<• ni cindo l ug~r à criação dos mais ou­snclo1-1 u orig in ais, por vêzes. excêntricos, 1 i po1-1 d« 01-11.nituras.

N111> foll\' ponto de vista, tem surgi­do cll'l>nl< 'H <k opiniõ s, nem sempre 1111il'11r 1111 ·1-1, do c• ngcnhciros e arquitetos, 11 11 s 1·11 111 apt'<'<·in(:Õcs sob o ponto de 1 i1-1 111 <'H l 1·11l 11nd , oul. 1·0, sob o aspecto cl li 1\ l'Cj 11i1t•l111·11 . l

l•J 11l 1·1· 11 1-1 q111• 1-1 IÕ<'H HÔ l>ru as quais cli-11'1 ' 11'11 1 11 1-1 p1 ·o l'iH 1-1 i1111ai >; eiLaclos., uma d11 H 1111tiH i111p1 1rl.1111l oH HC' l'CH lllllC lHt in­d11 111•111 1 <) 111111 :11 1111 •111 0 <li' 1111H1. eons­l 11t1 •111 1 cl1 • l•HI il11 111rnl 1• 1·1111 cl1 w1: H<' t' d l'­p1 •11 1J1 •11l1 • il11 l'11111 •i1111 111111 •11l11 <'H i.Íilic·o t1 11 1· 1111 1111·11 , 1111 11 111 ·0.H11 i111 1·i;1 r 11 L1 1 IH d11 11• 11 d 11 pl 11 1· l ' 11/'I 111 /IÍ H li11·1•1-1 1'0 11 I] I" Ili ' 111 ljll 11' 1111111 •11 1

11 11 1'11111 1111 "~ 111 1 11 ~ 1•111l11'11i de • 11 11 1 1iJ11 11 11 q 11 P d 1 I "11d1 •111 11 1•l'l 'oi1111li11111

da · Estática sôbre a Arquitetura e ou­tras correntes de arquitetos que pug­nam poi' uma Arquitetura moderna in­teiramente livrn da influência da es­trutura.

, 2 - O futuro Palácio Residencial do Presidente da República

Entre os projetos modernos s.e des­taca como 'de grande interêsse, no mo­mento, não só pela significação do seu destino, como pelo arrôjo de suas for­mas, o Palácio Residencial do Presi­d('ntc da República, em Brasília, do a rquit<-1 o brasileiro de renome mun­d ici I Ocwa 1· í\i('m ayc·1" <:njas gravuras 11q11i 11p1'l'Sl' llla<laN no:; <l ~o uma idéia d1· c·o11j1 11!1 0.

1•: 111 n· OH j)OlllOH 1·1·1·o l111 ·io111ír ioH ci o lll 'll,j1·l11 1•Íl11d11 l'HllÍ 11 1'111 ·11111, d11cl11, llOH pillli'I '' l' l1 ,i11 ll '1 jli 'l' l11 ~ 1 · 111 •1111 i111lil'llcl11 1111 1111 111 ·11 ,,

fa. Chadas do Palácio R esidencial elo Presidente Vista ele uma ela~ ela R.epública em Brasília

3 __ Debates de opiniões

Com o fim de tornar conh~cidas ~s opiniões de engenheiros e arqmtetos so­bre tão palpitante assunto, EST~U­TURA lança, para serem respondidas por seus leitores, as seguintes pergun­tas:

1) Como interpreta a interdepen-dência entre a Ar quitetura Moderna e a Estática das construções~ .

2 ) Que acha do projet~ r:s1den­cial da Presidência da Republica em Brasília, sob o ponto de vist~ da sua estrutura, Ínclusive da nova forma da­da aos pilares?

Para explicar a concepção do proje­to aqui focalizado, ESTRUTURA ou­vir á a palavra do Arquite;o 0.scar Niemayer que, por certo, sera . ans10sa­mente esperada pelos nossos leito:..::·

,.. · Cl b de Engenharia Conferencia no u

No dia 6 ele agôsto prox1mo passado rea -

lizou-se no auditório elo Clube de Engenharia

perante uma seleta e interessada .ªs.sis:ênc~a uma conferência do Prof. Fritz Stuss1 CUJO tema foi "Considerações sôbre uma teoria da Resistência à Fadiga". N esta ocasião o con­ferencista teve oportunidade ele apresentar alguns estudos inteiramente originais.

Como se sabe o ilu ~tn• v is itante al ém <k vrnf. ela U nivcrs iclarle rl o Zuri ch , 6 pn•Ri1l !' ll ·

l n d:~ AHH OC"in<;íl o l 11Ll' l' ll Jl('iOllltl d (' l'onll'H ('

11:1"t t r11\t 11'll l't ~ 1 v11 111 dt • 1·111 •11J1PI' li \d1do dP do11 \111 · i1 11 opt11'11'l i•11wo 1" p1d 11 \ l n \·111 1d11 d1• dq

1 1 1 11 ~ 1 1

~l l 1'111 11 111• 111 11 \ 11 i • 1111 1 l'\111• 11111 111 dn 11 11 11

IH \! JI P \11' q11 J 11d 11 1

e o N e E 1 T o M o D E R N o D J1.1

SEGURANÇA DAS CONSTRUÇÕES (1)

SAMUEL Cr-IAMECKI

É crença, generalizada entre os lei­gos de que as soluções de nossos pro­blemas são exatas.

Nós engenheiros sabemos o quanto é falso êsse julgamento mas, até pou­co tempo atrás, não nos dávamos con­ta de quanto era falsa a nossa crença, também.

Analisemos o caso da engenharia es­Lrutural através do nosso procedimen­to no cálculo de uma estruturai.

IDm primeiro lugar damos forma à <'NL rntura obedecendo a r azões cons.tru-

'./. ,

q = _E_ s

(f

s Cí - _B_ <r. (o) R" s

<JR> 1 s = q

p lq ~R 1

o

R

(C)

4

, · ..

99'}'0 1

Valores 1 1 1

>CT - IR

tivas, econômicas, etc. Em seguida ob­temos os esforços externos. ativos ou cargas e calculamos os esforços exter­nos reativos e os internos solicitantes e resistentes ou t ensões. Finalmente, baseados nas propriedades mecânicas dos materiais empregados, dimensiona­mos os elementos estruturais para que, com uma margem de segurança, supor­tem os aludidos esforços sem sofrer ruptura ou deformações excessivas in­compatíveis com a finalidade da es­trutura.

R (b) s = p->l

1 p = ~ l

E

(d)

s 1>1 - imperfeito avaliação de P ,

s2

> l · teorias, imperfeitos 1 e te .

sn > l - consequências do rui no

\ s = s1 x s2 • ..... • sn 1

R \jR m (e l

) 1'10. J

11

1 ll1• 1111"l111•\111 cl 11 ( '11111'" 1' 111 •111 i 11 11 11 g 111'1il d11 H ll' ~ .lorn11<ln H Hul111l1 C'l' ic•.n,nn,R de l•~ng -1111111 111 1: 11 111111 111 1 p111111111l' l11cl11 1 111-lo 11 1il"1', <' 111 j 11lli t1 do • l!I GG, 11 1L 1•:H<'n l11 N111· io111d d o 1 11 11 111 11 11 111 11111 ,i., ,111 11 11 1111 ,

I , 1 1 '111'111,' \ 17

Conscientes da inexatidã0 de ·nossas soluções, resguardamo-nos com o uso do tradicional coeficiente de segiiran­ça e vamos dormir tranqüilos porque estamos na falsa crença de que, assim procedendo, as soluções de nossos pro­blemas são perfeitamente seguras.

2 - Evoluç~o do conceito de coe­ficiente de segurança.

São conhecidos, da Resistência dos Materiais, os denominados critérios de 1·esistência que relacionam os esforços internos resistentes (tensões), em um ponto qualquer da estrutura, com a desagregação elo material (ruptura ) ou com a deformação que ultrapassa num certo limite (escoamento) . A condição de ruptura é usada para os materiais frágeis que rompem sem escoar, isto é, sem grandes deformações corno, por exemplo, o concreto simples; a condi­ção de deformação limite é usada para os materiais dúcteis que escoam antes dai ruptura como, por exemplo, -o aço doce. Em qualquer dêsses casos, porém, tem-se a condição de estabilidade elo material em um ponto ela estrutura.

Partindo elo caso mais simples e bem definido que é o do fio muito fino que deve suportar uma carga suspensa P

e rompe com uma carga R (fig. la), generalizou-se o conceito de que para estar satisfeita a condição de estabi­lidade de uma estrutura, é necessário que esta condição esteja satisfeita em todos os seus pontos. Isto equivale a dizer 'que, não estando satisfeita a condição ele estabilidade em um ponto ela estrutura, esta não é estável.

E, assim, o significac10 tradicional ele coeficiente de segurcinça é forne-cido pela relação : (,

<TR tensão limite obtida em ensáio normal 8 = -o; · ~ tensão admissível adotada no cálculo

:N" o caso elos materiais frágeis 0~1de o critério ele estabilidade em um pon­to é a ruptura, há conciclência da de" sagregação elo material com a ruptura ela estrutura. No caso, porém, dos ma­teriais dúcteis onde o critério de esta­bilidade é um limite de deformação (escoamento), demonstrou-se qu a es­trutura não deixa ele ser estável em coincidência com o escoamento do ma­terial em um ponto.

Admitamos que o cliagraifia tensão­cleformação, de um material dúctil, se­ja composto de duas retas: a primeira inclinada ele acôrdo com a lei de Hooke e ~ outra paralela ao eixo das defor­mações, correspondendo ao limite de escoamento u. elo material (fig. 1-b).

/ •,','' /' /,'/ /'l '/ I/,' ' N 1

Se, em um pórtico bi-engastaclo (fig. 1-c) e solicitado por uma carga cres­c~nte, uma das secções tornar-se plás­tica, esta continuará a se deformar (trecho horizontal elo diagrama (}' _ i:) sem receber os esforços adicionais que outras secções passarão a suportar até que, por sua vez, entrem em escoa­mento. Quando o número ele secções em escoamento (rótulas plásticas ) ul­t~apassar em uma unidade o grau de lir;_)erestaticidade ela estrutura, esta es­bttá transformada em um mecanismo ( a.deia com um grau de liberdade)

<l entrará em ruptura. O valor da car-ra, nêsse momento, representará a

carga limite.

, l ~ ssa concepção das rótulas plásticas d a l.ugar a um método ele cálculo elas «'N \. 1'.11 tm:as hiperestáticas que €1.if_ere, !'l i,( l 1ealmcntc, elo método geral clássico 1>11.s<:ad.o nas propriedades elásticas elos n111 i(1 1·iais.

1·11ptura ele uma laje de · concreto 1L1'11111.do (fig. 1-cl) dar-se-á no limite cl P 11n1 carregamento crescente, no mo-1111 •111 0 <'m que se completar a forma-1•1 10 dp finhns plásticcis cóm uma con-

figuração tal que separe a laj om par• tes insustentáveis pelos vínculoi> <' ternos (1

).

Nessas condições, é assim traduzido o significa.elo moderno ele coeficiente de segurança :

0 _ ll _ carregamento que rompe a llstrutura

' - P - carregamento real ou admissivel

Evoluindo, também, o critério para a fixação elo valor a ser adotado :para um coeficiente de segiirança, usa-se, modernamente, decompô-lo em fatôres (coeficientes parciais) devidos prin" cipalmente à:

19 ) - imperfeita avaliação elas cargas;

2°) - variabilidade elas caracterís­ticas dos materiais· .. ~:) -:-- imperfeiçÔes elo cálculo ( cle­

hciencias elas concepções teóricas)· . 49 ) - imperfeição na execução das pes~s na obra ( clefe~t?s ele montagem) ;

u · ) - responsabilidade elas conse­qüênci.as ela. ruina que aumenta quan­do existe risco ele vidas humanas e maiores prejuízos materiais.

Êsses itens são amplamente exami­nados, em cada caso; estabelecendo-se·

111 t111 1111d 1 1 l111111 ~t 1P l t 1 , ",<_ '(tl 1•11l11 , 11.0 1·11g i 111P d1 ~ rupl.ur·n, dn:-t ta ,·1PH tl o OtH•, rct.o ar-11111111 ' " " •' Il i " I• 1 ( 1 1 1 1 ' •• 11 ;11 1 11•11 110 •" . l 111111i1·0. t•: t1i 1;11o 11\ 111ili w d11, o ampl in<la elo l 1 1lu1 \1 1,, 1•111 11,11 1'11d 11 1111 \111 Ili d 11 t•:N1 ' !( ' ! ,()l' 1·! l >I/\ ' l' 101( JN I<'\ l l N JVl •: ll HAL d r ~ t•:di· 1 111 f l 1111 111 l '11 1l 11 \ ljlJ t p 1

N / 11

um coeficiente parcial para cada um a·êies:'::: , . s1, s2, s3, ... •• . . . , Sn· . O valor do coeficirm te de segurança global r esulta do ·produto:

S = S1 X S2 X ... . . ..... X Sn

'-·Quando é possível um tratamento estatístico- tem sido reduzido à uni­dade o fator relativo à variabilidade das cara.cterísticas dos materiais, sele­cionando~se valores, para as t ensões limites, inferiores a, por exemplo, 99 % dos valores prováveis (fig. 1-e) .

3 - Ruinas inevitáveis.

Apesar da evolução do conceito de coeficiente de segiirança e de se uti­lizarem, no cálculo estrutural, valores comprovadamente bons, não é rara a verificação de ruínas catastróficas (ruptura) ou ruínas por deformaição (excessiva, incompatíveis com a fina­lidad.e) das estrutmas.

Excluindo, evidentemente, os casos devidos à incompetência ou descuido dos profissionais envolvidos, referimo­nos àqueles em que a ruína se veri-

fica por motivos incontroláveis pelos procedimentos tidos como ortodoxos na engenharia estrutural. As causas mais comuns são as devidas à: atua­ção de carga excepcional e imprevista, deficiência dos métodos de cálculo, fa­lhas não visíveis nos materiais o:u con­dições que alterann as suas proprie­dades mecânicas ou, aiuda, coincidên­cia de causas de favoráveis menores que se somam.

Vejamos alguns exemplos de ruínas de estruturas motivadas por causas in­controláveis pelo calculista. ·

Na figura 2 vemos uma ponte de • concreto armado (construída sôbre o Rheno) destruída, quando o despren­dimento de terras de um mono late­ral depositou sôbre a mesma uma pe­dra de 100 m3 de volume.

Trata-se de uma carga excepcional que, podendo ser imaginada ou pre­vista, não é considerada no cálculo, por razões óbvias.

Da mesma natureza é a causa que destruiu a ponte sôbre o Rio Shellrock (Phymouth, Iowa) vista na figura 3. Uma manobra infeliz do caminhão que

1•' 10. ~ H11i11n di · 11111 11 po 11l P

/ •',1/'l ' l ,' l / '( l ll,' ,\ N I

FIG. 5 - Ponte de Tacoma durante a ação do vendaval

11 111 pu1Tava o automóvel avariado, que n p 11.1 ·t'CC no 2 9 plano, atirou-o contra 11111 11. diagonal da ponte, causand~ a tm ruín a, após sessenta e quatro anos

dt1 t•x ístência.

N'u. l'í gnrn 4 vemos um caso de rui-1111 d t• 11m a ponte, conl'truída na Rús-

111, d t•v ida, às deficiências .dos métodos dl' 1·1í lrnlo pm·a previsão da rigidez la-

t eral dos banzos superiores comprimi­dos.

A investigação teórica posterior, foi um dos notáveis trabalhos de F. S. Ja­sinsky.

Caso de urna ruina devido a defi­ciente concepção teórica do problema, que consiste em admitir como carga es­tática o que é necessário considerar co-

/ ;--/ / / , .

I /

.. ~/\'/! ,., \ _ _.><.. ~ ~

1 141 11

I 111 111,• i Nl

FIG. 7 - Ruina de uma ponte de concreto armado

FIG. 8 - Rui'na d , um edifício por dei' ilo d<' fonclàção

22

FIG. 9 - Ruina ele um conjunto ele silos

mo efeito dinâmico, é o da célebre ponte pensil de Tacoma (U •. S. A.). Projetada para resistir à ação estâtica de um vento de 245 kg/ m2

, foi destruí­da em 7 de novembro dê 1940 p~lo rei­terado efeito c11nâmico de um venda­val de 25 kg/ m2 ele pressão e de cêrca de 60 kg/ h de velocidade, isto é, por uma sobrecarga dez vêzes ·menor que a prevista.' Na figura 5 vemos a pon­te durante a oscilação torcional que precedeu a ruína. O momento do des-

l•'i(I. l ll

prendimento do taboleiro pode ser apreciado na figura 6.

Na figura 7 vemos o que foi uma ponte em arco de concreto armado.

Constatou-se ter sido a causa da r uína a Íná qualidade de materiais constituintes. e que não participaram, acidentalmente, das amostras pesqui-M dM. .

Dentre as ruinas devidas a condi­ções especiais que alteram as proprie­dades mec.ânieas dos mat-eriais resis-

2

uma grande probabilidade de ruína das e::;truturas.

}faior do que se poderia julgar, sem uma análise mais atenta da questão, é o número de ruínas por deformação excessiva.

Na figura 11 vemos um caso típico, bastante comum, de ruína por defor­mação causada em· prédio existente, de­vida a fortes rec.a:lques diferenciais

. provocados por uma edificação nova, FIG. 11 - Huina de um edifício por

fluência de recalque do vizinho in- ·vizinha, que inclui, no seu adensa-

tentes, ·estão inúmeros casos de aci­dentes em fundacões.

Nas figuras 8, 'g e 10 vemos dois ca­sos de ruínas - um edifício e um con­junto de silos - devido à formação de superfície de escorregamento ao ser vencida a resistência ao cizalhamento do solo subjacente.

Nas regiões sujeitas a abalos sísmi­cos, por maior margem de segurança que adote o calculista, resta sempre

1mento, uma faixa ele terreno ao se~ r redor.

1 Dentro das limitações econômicas em

que se eleve cingir o estruturista, difil-1 mente poderia precaver-se contra êsse ! risco de ruína. i Digno de nossa atenção é o caso de· ruína de estrutura isolada que faz par­te de um conjunto de estruturas iguais, executadas em série, e que trabalham, aparentemente, em idênticas condições. · Ruína dêsse tipo podemos ver na figura 12, onde uma tôrre de teleco-

H11i11 11 dt1 1111111 l t'11 · 1·1· 11wt (1li 1• 11

municação aparece tombada pür fü~ racão.

E, assim, após um largo período de amargas experiências, chegamos à de­soladora conclusão de que é falsa a crença de serem seguras as nossas so­luções.

Parece ser impossível eliminar total-

mente O rÍSCO de ruína de nossas (IOll H fruções.

Ê necessário, pois, fazermos uma revisão em nossos conhecimentos e, o caminho a seguir, é o estudo acurado da natureza das grandezas que inter­vêm no cálculo estrutural. É o que faremos a segueu.

4 - Natureza das grandezas que intervêm no cálculo estrutural.

70r------------,.------.,------ ----,

65,__ _ __ _ _ _ __ ___,

{J() f--- - - - -----;

55 ~-------1

50 ,__ _______ _ ___,

~ ~45 ,__ ________ _

(J

~40 >----------·--<

~ ~J5 r------~----; - ~

_() JO ,__ ______ _ ___, (J

·~ <:i 25 ~ !------ - - - --; q)

i(zo ______ _ ___,

!5 1-- ------l

'º 1----- ----1

.5 1---

o i-- PeJXJ e:;~c/lico 2000 2 /00 2200 2300 2400 2500 2600 2?00 Z(JOO k9/rn:J

Oisér>ibuição do pêso espeC/Vco do concret"o Result a do de l/?í?O cp. de várias p/'ocedênàas

(i..Nf.C - Lls.6óa- 195.J)

Fm 13

\ 1111111H ()l1H1•1·1•111 · d1 · i111 1' ili;il.o q1w, 11 ií 11 1·x is1<' 111 1'1lio1·1•s ri xOS para as g rnn ­dt' l'.l lH. 1111 1 1111 1 111 11 l '/ IHll lll l ll H iH ' ltl dt'i'i11idoi-;,

I " /'/1'/l i 'l//1111 N I

Na realidade utilizamos, no cálculo estrutural, valores médios em tôrno dos quais, com freqüência geralmente decrescente, oscilam valores dispersos dessas grandezas, com maior ou me­nor amplitude:

para pêso específico do concreto = = 2 .400 kg/ m3

; no entanto, na figura 13, vemos a distribuição dêsse valor, como r esultado de 1. 220 corpos de pro­va de várias procedências (L. N. E . C.) - Lisbôa, 1953 (1

).

As normas técnicas mandam adotar Distribuição semelhante obser vamos

.__

.__

f--,

J ~ ode //e/o cio'.

o~~~~~wm~w~~~oo~=~/horo

!Peqüéncias ch:s PO_joalos máximos dt0->1as Resultado ~ J.5.95 dias de ve/>tficoçào en7

Lisbôa (LN.E.e- Lisbóct- 194t a 1950)

FIG. 14

na variação involuntária das dimen­sões das peças, na obra, em tôrno das especificadas pelo cálculo.

apresentou como um dado bem defini­do do problema, aparece como uma variáYel, r egida pelo acaso.

Assim, a carga devida ao pêso pró­prio da estrutura, que sempre se nos

O mesmo se verifica para a ação do vento, vendo-se, na fig. 14, as freqüên-

~

~20 -----------------,

~ ~15 ~ ,__ _ _ ~ ti 10 1-------1 ·0 ·S -~ 5

~ R 1

s istênc10 ~ o [__~=:L_L_l_l__L__J__L__L_L_.!---"=~~7-7 75 95 115 135 155 175 195 215 2:35 255 2?5 295 Jl.5 335 J5S J?S /c.91ÓJ?2

Conbole de conct>eéo Resistência à cornoressâo

FIG.' 15

C') Gráficos de frC'qür 11 cia n 1laLiva vf>r págH. 190 o I Hl dt ~ H11 111111-I (1\i11111n(· I i 11 <1

111 ',M 11

(l c• f·:Htát i<':-1 d:\:< C:o 11 Hlrt1 r;õ1•:.;" Vo l . 1 J•:d . ('i1• 11l íl' i1 ·11 l!io d1· .l 11111•irn l llfill ,

6 / IS 'l ' l.' I 1'1'1111''' N ' I

FIG. 16

cias das rajadas máximas diárias, como resultado de 3. 595 dias dé verificação (L.N.E.C.) - Lisbôa - de 1941 a 1950).

O mesmo acontece em relação às pl'Opriedades mecânicas dos materiais. Na figura 15 vemos a; distribuição elas resistência~ à compressão de 1 • 332 corpos de prova de concreto ( T . :N-. T. - Rio de Janeiro ) .

Com. distribuição semelhante (Fig. IG) , a.p 1·0sentam-se, ainda, os fatôrcs q 11 e a f'etam os resultados dos cálculos <' q 11 0 lH·ovém dos erros devidos às apro­xi 11 H1~:õ0s numéricas, das hipóteses sim­TJ I i l'i c<11lon1.:; e drfiriências utras dos p 1·0<.,<'HHON it'ôl'icos de cálculo e dos de-1'! • i 1 oN , i<' ·1110111.ag0m nas obras. R.eferi-11111 noN, ('1·id entrme11tc, aos erros ca­N11 11i N, itt('Olll l'oliivris.. Os grosseiros e HiNl(•111 1í l i(·ON 11 ~0 pod(' lll ser levado:;; cm C'll lil 11 f• l1 •N pod(•ll) (' cl <'V(' lll sei· cvi­l 11il llfl,

, 111 11 , p11 r•l11 11l11 , 11. •1 ·111 rcl1• zm1 q111· i11 -

l111 •11 '111 111 1 1• 1ii l' lli 11 l 'H I 1·111111 ·1 11 , d 1• 11 11,/ 11

/>,'1' l ' l. 'I // '/ //1' 1 N 1

FIG. 17

reza alecdória, regidas pelas leis do acaso.

Situações, porém, se apresentam em ' que, apesar da aparente aleatoriedade

do fenômeno, pode haver a interven­cão de outro fator como, por exemplo, ~ vontade humana, que lhe altera com­pletamente a natureza. Isto deve ser çonsiderado para a fixação das sobre­cargas nas estruturas . Na figura 17 vemos o resultado de um tratamento estatístico, fornecendo as freqüências de ocorrência de j caminhoes em gru­pos de n veículos que percorrem certa ponte rodoviária, em estudo.

Ao invés de adotarmos, para o cál­culo, a sobrecarga máxima provável re­sultante dêsse estudo, devemos lem­brar que, por determinação de uma 1wssoa pode s.er envia.do, através da :pon i0, um rom bôio como o que se ve-1·í1 IHI i'ig'. 1 i'\.

{1 ·011li111rn 110 111·ó.ri1110 i11Ím11·ro )

7

CALCULO A LA ROTURA LOSAS- HONGOS

DE

Experiencias con modelos de tamaíio reducido

INTRODUCCION:

La aplicación del concepto de plas­ticidad al cálculo de estructuras, ha suministrado al proyectista un ele­mento de trabajo que le permite ana­lizar el comportamiento efectivo de las estructuras en el período de rotura, y establecer en consecuencia, la seguri­dad real con que puede contarse para las mismas.

Dentro de este campo r es.ulta suma­mente inter essante la aplicación de los conceptos de rotura a las placas planas, por cuanto las soluciones ,i

que conduce son sumamente sencill as, aún para placas de contornos irregu­lares sometidas a estado. dr carga com­plrjos, que de apli carsr inu a su 1·N;o­lu r ión - cl rnüo dei pr1·íodo <' IÍ1sl i<'o , f\ (' ('0111Jll'l' IHJ1 ' ln i<'Ol 'Í ll lillli<'ll ifd i1•11

ENRIQU E FLIESS

ele elasticidad, conduciría a planteos sumamente complejos y la mayoría de las veces, solubles únicamente por mé­todos aproximados.

La teoría ele las líneas de rotura para placas planas, se debe a K. W . Johansen quien en numerosas publi­caciones ha abordado, aparte clel de­sarrollo de las premisas fundamenta­les de la teoria, la solución de gran número de casos particulares.

El presente trabajo constituye la exposición de una. serie de ensayos realizados con modelos de losa&-hongos, que deben considerarse como ensayos­piloto de un programa de mayor alien­to, y destinados ha ir precisando la técnica operativa.

Se há desarrollado también un esbo­zo de teor ía para interpretar los r esul­tados experimentales obtenidos, cuya coincidencia, dentro del margen ele exactitud que puede admitirse dadas las condiciones en que se r ealizaron las experiencias, puede considcrarse como satisfactoria.

I - El Problema.

El objeto es cstableccr la car ga de rotura de una losa-h ongo, apoyada m columnas sin capitE'lcs, cligiéncl osc para ell o una con shtnída po1: 11u<'1·e pafí.os iµ;na l1's e1rndrndm; (:3 X :n , apoyacl a so ln«' <·11 ;11 rn ('o l1 111111 ;1s y <·011 los hord1's s i111pl<•1111·11l c• 11poy11d o1-1. 1,11, 1·arµ;a d 1· li! los11 111 1·11 11 sl i l 11 y1·11 1·1 11 · •'ll H l'Oll l'l' lli l'lliill H 1'11 1•1l 'l'lli1 '11 tl1 • loH jl llllllH.

/l,',' '/'11'11 '1'1 / I,' \ N I

Con el objeto de comprobar los re­sultados teóricos del problema de es­tablecer la carga de rotura, se efec­tuaron ensayos sobre modelos à escala r eelucida.

II - Los Modelos.

Se adoptó un modelo de 60 X 60 cm, constituído por nueve pafios iguales de 20 cm de lado, y 1,5 cm de espesor.

Los apoyos centrales ( 4) los consti­tuían colunrnas de 22 mm de diámetro, y 15 cm de longitud, formadas por canos de bronce de 2 mm de espesor de pared, rellenados en cada caso con el mismo material de la losa, que en unos casos fué yeso y en otros morte­ro de cemento y arena. Se decidió efec­tuar las experiencias con las losas sin armadura, por razones de simplicidad

QUADRO I

Dosificación Edad Resistência (kg/cm2) • Los a Material (p. en peso) (dias) Compresión Flexión

1 yeso ( agua- 1 10 59 10 l yeso - 1

2 mortero ( ( cemento - 1 i i arena -4 6 77,5 18

3 mortero l l agua -0,69 5 88 18,3

4 yeso ( agua -1 4 - 9,0 l yeso - 1

r cemento - 1 lí m orL<·ro 1 arena - 4 4 - 13

l agua - 0,69

{ ccnw11 Lo - ·1 o 111111'1.11 1·0 11 1'1'11 /t () 3 - lG,8

JJ,jJ; ll lL - 0,75

) C/

de ejecución y dado el carácter explo­ratorio de los ensayos.

Solamente se dispuso en el plano me­dio de la losa una malla constituída por alambres de 2 mm de diámetro separados de 5 cm. Las columnas se vincularon a la losa mediante cuatro alambres de empalme, empotrados en el núcleo de aquellas. En la fig . 1 pueden observarse los detalles del mo­delo. Se utilizaron seis losas, cuatro de mortero y dos de yeso1 preparán­dose en caso probetas destinadas a co­nocer , en el momento del ensayo, la r esistencia a la compresión y el mó­dulo de rotura por flexión d el material. En el cuadro I adjunto se consignan las características de los m ateriales de las seis losas ensayadas.

Ello, debido la violencia del impacto, y porque la placa tocó a la Josa en los án gulos levantados por deformación, condujo a la aparición d e, una serie de grietas ajenas a la figura d e rotura propiamente dicha.

Esta situación se evitó en la losa 6, donde se dispusieron topes especia­les para limitar el . descenso d e la placa a pocos milím etro. , elimin ando a í f' C'c­tos sccundai·ios C'n la 1'01·m ;wi ó11 el e f'i ­s 1 ll'H.S.

III - Los Ensayos.

Las losas se apoyaron en sus cuatro columnas, y por los bordes, sobre un marco rígido d e madera en un ancho de 1 cm.

Las losas 2, 3, 4 y 6 fueron carga­das con cargas concentradas en el cen­tro de los pafíos, por intermedio de tacos de madera dura de 2 cm de lado, sobre los que apoyaba una placa rígida de hormigón que transmitía la carga propiamente dicha, constituída por blo­ques d e hormigón y cajones con arena vertida en forma gradual.

En todos los casos la rotura se pro­dujo en forma brusca, descendiendo el conjunto de la carga hasta que la placa de hormigón tocaba a la losa.

No obstante ello, al ensayar la losa 6, un def ecto en la aplicación de la carga condujo a una gran concentra­ción de cargas en los tres pafíos de un costado, lo que clió origen a que se produjera la rotura de dichos p a:fío quedando los 6 r est antes ·in presen­tar fenóm enos de l'Otura . T~a C011 , Cll Cll ­

cia f n é nn li gc' 1·0 lw sc ulamil'nto d1 ' ln. pl a<'a SO j)Ol'I C' <11 ' la ('Hl'g' il , q11 n t.cH·6 pOI'

1111 i>ol'cl1' los lopPS cl1 ' 1·011t.1•111 •ió11 , ( '1111 t Ílllllldll 111 (' Ili' 1·11 , SI' JJ1 ""ll 11. 111 1'111111'11

1".i 'l'l,'ll 'l'l/I.' ' N I

con un valor que no condice con el real.

Todas las losas rompieron por fle­xión.

En las figuras 2 y · 3 puede observar­se el conjunto de fisuras correspon­dientes a las losas 3 y 6.

Las losas 1 y 4 se ensayaron con carga uniforme, constituída para la

o C\J

o C\J

o C\J

I ·

+ +

20

primera de ellas en tacos de 11111d1 • 1 · 1~ de 2 cm de lado, di, tribuídos unil'ol' memente sobre la placa, y sep a1·ados entre sí de 2 cm. Sobre los tacos apoyaba una placa d e hormigón que transmitía la carga. Para la losa 4 se dispuso un caJon sin fondo, que apoyaba sobre el p erímetro de la losa, por lo que puede admitirse que esta t enía sus bordes ext eriores empotra-

+ ·>;

_ _._

20 1 20

FIG. 1 - L osas de Ensayo

do8 . RI. ca.1on de 30 cm de altura se l ll'n Í> ele an:na hasta enrasarlo y s.obre la. 8111wrf'icic ele est a se aplicó una pl;H'. ll. <p lll 11«rm,; rnitía, ]a, ca1:ga a la n1·1·11n . 1'11 l'a n 111hm; losm: Pll la 1·otuni Nl' ol>Sl'l '\/ll (•I Jlllll ZllJllÍ(' llLO ('11 Jm; <'0-ltlll lll ll l'l .\' 111111, l'Í Nl\l 'JI, fH ' l'Ílll (' (l'lli , ('01110 p111 1d1 1 ol1Hl'l' l'l ll ' HI' 1•11 111. l'i "lll 'l l ·I, q111 • <' lll ' l'l' "1 Jll llld1 • li 111 l11Kll (

J ,'o 'l 't,'ll l'/I /,' j N I

No fué posible, en ninguno de los dos casos, establecer si el punzonado de las columnas fué previo a la aparición de la fisura p erimetral o viceversa o si ocurrierori: simultáneamente.

Por otra p a1tc, en .la losa 4, ad emás dn la fi s1m1, pos i1 iva mencion ada, ocu r-1·10 ql1 ·n, 11pg·11ti v11 , .i11nln 11 1C' ll1.c a filo 1lt•I hol'il <' il1 •I 1·11 .ii'111 , lo ,j11s lil'i c• 111·i n. la

li

hipótesis de considerar a esta losa co­mo empotrada.

En el cuadro II se consignan las cargas totales de rotura, las condicio­nes de apoyo y la disposición de los vértices de las distintas losas.

IV - Análisis teórico para cargas concentradas.

Efectuaremos el análisis aplicando a los tres tipos de panos de que cons-

Los a 1 Tipo de Borde·

carga

ta la losa, central, de borde o lateral y de esquina, la teoría de las líneas de rotura de J ohansen, a efectos de esta­blecer la configuración posible de es­tas y en base a ellas, por simple apli­caciÓll, sea de las condiciones de equi­líbrio estático o del principio de los trabajos virtuales, las relaciones cor­respondientes entre la carga de rotu­ra y los momentos unitarios de rotura a lo largo de dichas líneas, que como es sabido, son los valores máximos de

Angnlos 1

Carga t.otal Causa ele la

1 rot ura (kg) rot ura

1 Distribuída Apoyado Libres 172 Punzonaclo 2 Concentrada " " 354 Flexión 3

., " Anelados 493 "

4 " " (cios anelados,! los opustos li- f 170 " bres). J

5 Distribuída " Anelados 428 Punzonado 6 Concentrada Empotrado Igual que 5 240 Flexión

los momentos. Si la losa fuese arma­da en dos direcciones octogonales con igual cuantía de armadura para mo­mentos positivos, se comportaría como isóntropa, es decir que el momento de rotura unitario m sería el mismo en cualquier dirección.

Si lo mismo ocurriera para la arma­dura negativa, se tendría m' etc. tam­bién para cuelquier dirección. En caso que ambas cuantías fueran iguales, re­sultaría m = m'.

En el caso de las losas '&studiadas, sin armadura, resulta evidentemente m = m' y el valor de los mismos vie­ne dado por m = m' = u1 W donde Vv es el módulo resistente de la losa por unidad de ancho ( 1 cm ), y u1 cl módulo de rotura por flc­xión . Si C'ndo cl cspcsor fo la l osa l inüm10 para 1 o<lni> l;m (' ll l·rny11 cl 11s

(d = 1,5) resulta : m = m' = 0,375 X X <r11 kgcm/cm.

a) - Pano Central.

En el caso que analizamos se trata de un pafio con simetría de figura, de sustentación y de carga, estando esta constituída por una única carga concentrada que llameremos Pl.

De acuerdo a la teoría de J ahansen, del punto de aplicación de P parten líneas de rotura positivas, las que de­ben concurrir a la intersección de los ejes de rotación de las partes de losa que separan. Como los ejes de rota­ción deben pasar por los 'ejes de las columnas y dado que n ecesariamcnte deben de existir líneas de rotura ne­gativas que también deben pasar por las columnas, por x igcmeim; de btfl Condicion es de s ÍllH'Ll'ÍH ln ('0 11 !"i •·111·11

ción poHihl< ('H ln q11 111111 •s,t 1·1 1, 111 l'i ' I 11 ·11, fí.

N t

Tomando momentos respecto al eje de rotación se tiene

Pi ':_ v2 = (m + m') vii 4 2 2 y por ser m = m', simplificando

· ' Pi O Ir P m=m=s=, oi

b) - Pano de Esquina.

Analizaremos dos casos: vértice an­elado y vértice libre :

1) - Vértice Anelado.

Del punto de aplicación de la car­ga concentrada que llamaremos P 2, de­be partir una línea de rotura que ter-

mine en el vértice A, punLo d( i11ti•r sección de los bordes apoyaclo1-1 d1 ln losa, que a su vez son evidcntern n to los ejes de rotación de las dos part !I de la misma en que queda dividida por la línea de rotura mencionada.

Por el eje de la columna debe pasar otro eje de rotación, que por razones de simetría debe formar un ángulo de 45Q con los lados de la losa concur­rentes en A, a los que corta en los puntos D, distantes 2 l de A . Uniendo dichos puntos con el de aplicación de P2 quedan definidas dos nuevas líneas de rotura que terminan sobre los lados en a una distante x = l/3 del punto B, y adonde concurren una línea negativa que pasa por la columna y normal al

Fm. 2 - Losa 3 - Lineas de rotura

hordo, er:i cl c'ir, coincidente con el lado d( 1 pnlio - que a su vez es continua­<'ion d ln Vinca negativa del pafio cen­t.1·11 I y 111m Jínca positiva del pafí.o l11t,11r11I .

M11t "' H y <J 110 pu <l xiHlir lin a d1 rnt11 1·n por c•1111 nt o 1111-1 p111·(,<'S cl los 11111111 11 l 1•1 1111 0H y 111 1.(lnil vc•c·i11m1, qu 11p11 1111 ltl11 ·11 11u11i11 101>1·1 oi hol'll( d ln

losa tienen por eje de giro a este, y n consecuencia, no pueden originarse rotaciones relativas entre ambas, que es a lo que conduciria la existencia de una línea- de rotura entre los dos campos.

fin eon fi gm·ación ele líncas de rotu­rn clrHc ri pLn, puocl obs rvars n la fi­•1 1 l'IL fi.

n

Aparte de las líneas mencionadas, en las que actuan los momentos m y m', debemos tener en cuenta la exis­tencia de fuerzas concentradas en A Y c.

En el vértice A, en cada uno de los campos a de losa, actúan :fuerzas con­centradas dirigidas hacia abajo, igua­les a m cotgy, siendo y el ángulo de la línea de rotura con el borde libre,

que en el caso analizado es de _!!___ 4

teniéndose en consecuencia

7r Qª = m cotg 4 = m

En el punto C, para el campo, la :fuer­za concentrada dirigida hacia abajo

vale Qc = (m + m') cotg <p

donde cp es el ángulo entre las líneas de rotura positiva y negativa que con­curren a C. · Por simples relaciones trigonornétri-

1 . cas, resulta cotg cp = - , y siendo

3

' t• Q 2 m = m se iene cfJ = + - m 3

Por razones de equilíbrio, en el mis­mo punto y para el campo a resulta:

2 Qca = - -m (hacia arriba)

3 2~~-·~~~~~~~~~~~~~~~

FIG. 3 - Losa 6 - Lineas de rotura

Llamando a P2, y f3 P2, respectivamente 11 las componentes de P2 que inciden en cada uno de los campos y tornando momentos respecto a fos correspon­dientes ejes de rotacióh se tiene :

Campos a:

< 2 l m.ACcosAC-AB= - - m- +

3 , 3

<t: pero AC . coa AC - AB - AU

4 22 de donde aP2 = 2m +-m = - m

9 9

- l Campo /3 : (m + m') CC = (3 P 2 - X

2

X vi2 + 2_ m 2 2_ l v'2 3 3 2

y m = m' CC = ~ l yz 3 2

10 /1 J>.. - Ili

ll

li8'1'Ull 'l'I li' \ N' I

y m = m' = 0,150P2

2) - V értice sin Anelar.

Al no estar anelado, el vértice A t iende a levantarse, bifurcándose la línea de rotura que parte del punto

de aplicación de la cn, 1·µ;11. m111 t•t11 tl 1·11d11 , que llameremos P 2 • Se ori gi111111 nHI do11

líneas de rotura, que intcrcc1lLm1 loH bordes correspondientes en los p u 11 LOl'I B, que de:finen el eje de rotación do la "báscula" originada por el levanta­miento del vértice A. Las restantes líneas de roturas que se originan, son similares a las del caso 1) anterior.

Los puntos III y el de aplicación P2 (centro del pafio) se encuentran ubi­cados sobre una circun:ferencia, tan-

FIG. 4 - Losa 1 - Rotura por pungonado

11·011 Lc a los bordes de la losa y cuyo t'fHlio, para cl caso analizado vale :

1 I' m:: -- l

~ vi 2 _ = o 293 z + yl 2 '

l<lu los p 1111 Los li-[, aparecen fuerzas con­t•n11 1. m d1ts, qno valcn, para los cam­JI OH 1~

0,207 m O,õOO = 0,4.14 m

M11 l 1 l' i \ 111 '11 7, Ho hit co 11 H i f' I H~clo la t 11111' 11 lll'llt ' IO ll d t• intl J ll t 'll H d t• l'Ol lll 'll

1 111 1'1' p 1111 d 11•11 I (\ li 1•11 !,1 t'll li) ,

I . ' l 'l li l '/11 ' \ N I

Estableciendo el equilibrio de mo­mentos de cada campo respecto a BU

correspondiente eje de rotación se tiene

m vi 2 z P z ~- ~, _!_1. 2 ª 2 2- - 3 "" 3

2 - l -2m 3 zv12=f3 P 2'z-v2 +

2 ' 2 l --+ 3- m3 2 v 2

l 1

o sea:

a P2' = m [ v2 +:] = 1,858 m

/:, p' 16 JJ 2 = 9 m = 1,778 m

'Y P2' = 0,586 v2 m = 0,829 m luego

Pl = 2aP2' + f3P2' + 'Y P/ = 6,33 m

m = m' == 0,158 P/

c) - Pano Lateral.

Del punto de aplicación de la carga concentrada en el centro del pafio de­ben partir líneas de rotura positivas que lógicamente deben concurrir a los puntos C, que es donde se encuentran la línea de rotura negativa que se­para el pafio del de esquina y la línea positiva de este (fig. 8?. El eje de ro­tación del campo a coincide con el borde de apoyo BB, y los correspon-

.B.illS.~ ~-

''? 1

I ~

1 ;o

i~ n

I·~-'~ . --·-·+ Frn. 5 - Lineas de r.otura. Pano ail!traI

füentes a los campos f3 pasan por las columnas y por simetría deben estar a 459 de la línea de rotura negativa.

Ambos ejes se cortan s.obre una lí­nea normal al borde equidistante de las columnas, y el punto , de intersec­e'ión pasa una línea positíva de rotura gue concurre al centro del pafio. Fi­nalmente debe existir una línea nega­t iva de rotura que pasa p0r ambas columnas.

Estableciendo las ecuaciones de equi­líbrio para cada campo se tiene

. l 4 l ml=aP3 - - - m -

2 3 3

36

26 aPf3=-m

9

, - <( l -2 m CC' cos CC' -NN ={3 Pa 2V 2 +

2 2 2-+ -m-l L 3 3 2

y siendo

<(

CC' cos CC' - NN = NN =

= .!:_ V 2_ 1- 2 (Y2 7 I - I ., 2 2 3 2 l ~ V

1 S'l' 1 •r rrr 11 N• I

Frn. 6 - Sineas de rotura Pano de esquina anlhado

1·csulta

l tH' O

fJ l 'a 1'1· 4 17

rn -- m =- m (i !) 9

,Y l'i 11 111 IU () ll bo

/' IV / ' ft 1 :.! (') /• ~

' () l Ili

( 2(i + ~~ ) X o !)

V - Comparación de los r esulta­dos experimentales, con los valores teóricos, para cargas concentradas.

Si en los nueve panos de las losas ensayadas se alcanzará simultáneamen­te la rotura, la carga tot al, según fue­ran las condiciones de los vértices,

sería:

a) - V értices sin Anelar.

h ) - V rti es A nelados .

l ' 1 OI ,33 m

7

e) - Dos Vértices Anelados y dos Libres.

p t = p 1 + 2 p 2 + 2 p 2' + 4 p 3 =

= 60,65 m

Como puede observarse, la contri­bución del anclaje de los vértices es ínfima, siendo del 2,2% de P t para los cuatro vértices anclaqos.

En las experiencias realizadas, po-

demos admitir que la carga total apli­cada se repartía por igual en las car­gas concentradas en los centros de pa­:fios. De ser así, la rotura no ocurriria simultáneamente para todos los pa:fios, sino que romperían primero los más débiles, es decir, los de esquina sin an­elar.

Producida la rotura de estos, auto­máticamente se transferiría la carga a los restantes panos, produciéndo;se de inmediato el colapso total.

/

.e +

E 1

-tml_. + -m c("-"-;1"""-~"""-~;...,._""""~

B

~ --· ..... J . .__ __ i r -----

/ /

FIG. 7 - Linea's de rotura. Paiio de Esquina :Sin anelar

En tal caso, la carga total de rotura sería igual a nueve veces la carga de rotura del pa:fio de esquina, es decir:

Pt = 9 P2' = 57 m

Debemos admitir en consecuencia, que los valores de la car a total d r ttn·ft oxp rim<'ntnl clohrn q11nd11r c•ornp1·N1

8

didos entre los límites 57 m y 61,33 m. En el cuadro III seguiente, hemos

resumido los valores de las cargas to­tales de rotura teóricos y cxp rim n­tales correspondicntcs a las distintns losas cns.ayadns y qn ompi ron frn11 -

1tm nl TlOl' l'lcxi6n. Ri MO Li( 11( •11 1111 crrnnln lnH lrrrpNl'1 •1

I S'l'l 1/ l'l'IJ I N I

8

+m 0 @ +m /

+m ® 2 e - 3 m...,.. +-m

e -m

/

FIG. 8 - Lineas de rotura. Paiio lateral

-m

+m -m +m -m

+m +m Pi

+m +m ~

-m +m -m

-m -m

+m

'""' 111 ~ l l 11• li "· ~ '11111111

"' 111 111"

QUADRO III

Cargas de rotura Pteór.

1 Los a kg/cm2 kgcm/cm Teóricas para Pt/m

Exper. 57 60

--- ---2 18 6,75 385 405

3 18,3 6,80 388 408 . --4 9,0 3,30 192 203 --6 16,8 6,25 356 375 --

ciones de que adolecieron los ensayos, como ser apoyo imperfecto de los bor­des de la losa, posible desigualdad de los valores de las cargas concentradas, falta de homogeneidad del material de las losas y probables diferenciais entre los módulos de rotura por fle­xión en la losa y en las probetas, la concordancia de los resultados expe­rimentales con los teóricos es acepta­ble. Por otra parte, la disposición de las líneas de rotura de la losa, obte­nidas experimentalmente, y cuyo di­seíío puede observarse en figs. 2 y 3, con la disposición teórica de fig. 9, concuerdan sensiblemente.

En las fotografias de figura 10 pue­den o bservarse las líneas de rotura ' obtenidas en los distintos ensayos.

VI - Ensayos con Carga Distribmda.

Como se expressa antes, en los dos ensayos efectuados con cargas distri­buídas, la rotura obedeció al punzo­nado de la losa sobre las columnas, produciéndose la rotura pór tensiones principales. La superfície de fratura fué en ambos casos, un tronco de cono con la base menor en concidencia con · la lnión entre columna y losa, y la base mayor de unos 7 - 7)5 cm de diámetro se encontraba en la cara

60,65 61,33 Ks Pexp.

410 414 354 1,085 - -414 418 493 1,210 -205 208 171 1,120 --380 383 (240)

(360(1)

0,990

superior. Corresponde hacer notar que las cargas totales coincidieron sensi­blemente en cada caso con las de las lo­sas rotas por flexión.

No entraremos a analizar estos en­sayos, pues los elementos de juicio de que se dispone no permitem deducir conclusiones.

Hacemos notar que, con posteriori­dad a la realización de los ensayos llegó a nuestro poder la publicación de J ohansen: "Pladeformler', en idio­ma danés, donde, en el capítulo rela­tivo a losas hongo con carga distribuí­da, se indica para el pafio de esquina una figura de rotura que parecería no responder a las observadas por no­sotros en las dos losas ensayadas con carga distribuída. Pero repetimos, re­sulta prematuro emitir una opinión al respecto, por cuanto carecemos de los elementos de juicio necesarios.

VII - Conclusiones.

Dada la naturaleza de los ensayos realizados y lo limitado de los mismos, la única conclusión a que estimamos se puede llegar, es que para el caso de cargas concentradas y rn = rn', cxifl­te una estrecha corrclación cntl'c los r esultados experimcntalcs y los vnlo­res teóricos, que con fi rn111,1·ían IH vc­lidéz d las hipót SiH 1t<l rn i Lidas.

(1) Toni 'ndo n cum t,n qu e oi pr·oooHO el e onrr,11 no f11(1 11nrm11,I p111·11 11H l 11, loH11., 11111• 111 1 r11.v.on H i11dic11daH 11nl.c1H, Hn 1111 H11p11 nM l,c1 q11 0 111 CllU'f;(I\ do r•ol.urn i111•idl11, Ho lir11 H p111111H, 1111111\11 dnw() 1>11n1 c·o11qH1m11i1'>11 O/H d1 111 1·C111. I.

H> 1 ,'i"l'/ 11/ 'l'I li'· N I

I

CASCAS CILINDRICAS ADERSON MOREIRA DA ROCHA

CAPITULO I

DEFINIÇÕES E CLASSIFICAÇÃO

A denominação de casca é dada às estruturas espaciais de pequena espessura em relação às dimensões e que possuem super­fície ~média curva. .A casca cilíndrica é aquela que possui super­fície média cilíndrica.

A casca cilíndrica é, em geral, apoiada ou engastada nos ex­tremos ou apoiada em vanos planos normais às geratrizes como mostram as figuras la e lb.

Fig. 1

A figura la representa uma casca apoiada nos extremos en­q uan t a figura lb mostra uma casca contínua apoiada em qua­Lro plan s.

OH olornontos geométricos de uma casca cilíndrica são: as dire-1.riv.oi; (d) o nH ~ ratrizes (g) da superfície médi,.a. ; os tímpanos que : o 01-1 t'lc me nLmi <lo np >Í das cascas nas cabeceiras; os bordos la­

l.11ru.i dotndoH 011 111Lo do vip;~tli d i· fôrç (viga V da fig. 1a); a llllllll t'il'tl, (n) IJlll (o IL µ;o ru.l ,ri:t: C() ITllH IHllld( 1\(,( ILO v6rLico dA. c.lir -l.11 •1, l'i ln).

,.,.., / l '//11' ' 11

12

Chamaremos de a a semi-largura da casca ou seja a semi-corda da diretriz (fig. la) e l o comprimento das geratrizes entre os apoios.

As cascas cilíndricas se classificam, de acôrdo com a forma da diretriz, em: elípticas, circulares, cicloidais, etc.

No plano da diretriz, a casca pode ser simples, quando contem uma diretriz formada por uma curva única ou mútipla quando fo!­mada por uma associação de várias curvas como aquelas indicadas na figura 2.

Apoio

Apoio

Fig. 2

As cascas cilíndricas múltiplas, continuas ou não, com gera­trizes horizontais ou inclinadas, servem para execução de cober­turas de vários tipos.

Apoio

,'

Apolo

Fig. 3

Na figura 3, vemos cascas u Lili7;adas para x cuçfío d cob r~ tural:l Lipo l:lh tlH 1Ht fiµ;11m '1 •ob rl,unt doLndn dt <:l\.H<:HH <:ilfndric·uH

1 .'l 'l'N/ 1'1'11 U - N'

de geratrizes inclinadas (eixo inclinado) chamada cobertura tipo dente de serra.(1) Também se usam cascas em balanço para projetos de grandes marquizes de estádio como a representada na figura 5.

O fato das cascas se apoiarem nas cabeceiras, não necessitando de apoios verticais nos bordos laterais, e a circunstância dêsse tipo de cobertura atingir grandes comprimentos e larguras com pequenas espessuras têm conduzido a seu emprêgo em grande escala na cons­trução de hangares como aquêle representado na figura 6.

Denominam-se cascas auto-portantes aquelas que podem ser calculadas como submetidas apenas à fôrças normais e tangenciais sem a consideração dos momentos fletores.

Fig. 4

Tais cascas são, em geral, apoiadas somente nos tímpanos não possuindo vigas de refôrço nos bordos laterais.

É o caso das cascas isoladas apoiadas em 4 pilares, os qu~~ servem de apoio aos tímpanos. Como veremos mais adiante, o cál­culo das cascas como sujeitas somente às fôrças normais e tangen­ciais (segundo a teoria denominada de membranas) só poderá ser aceito quando a casca, além de não possuir vigas de refôrço nos bordos laterais, têm diretriz com tangente vertical nestes bordos.

Isto exige a esêolha de diretrizes de forma cicloidal ou elíptica t ndo como caso particular o semi-circulo.

Outros tipos de diretrizes como a circular, parabólica etc., sem l,1t11µ;en to vertical nos bordos, podem ser calculados pela teoria de 111< rnl>ntnii, poróm exigem cálculos adicionais para levar em conta n IL<" .o dclH rnorncn Lof:I do fl xã e de torsão e por isto não são consi­dnrnd11 11 como au Lo-porl,an Lc H.

(1) A ltp;111·11 H ·I 1 H rnprod11v.i11t 1 d1 H1mn1pi1111to 1 11~ l111 v111 l11u 111 1•1 1111 f' il 11d1 <'ll ,

l'l'tf /'Ili' N t 1 J

Entre os exemplos de emprego de cascas cilíndricas múltiplas cita-se o hangar de Pedras Rubras em Portugal (1). Neste

Fig. 5

hangar, foram adotadas cascas cilíndricas múltiplas sem vigas de ref ôrço nos bordos laterais.

Quanto ao funcionamento e cálculo das cascas cilíndricas, estu­daremos inicialmente a teoria chamada membranal e a teoria apro­ximada de cálculo chamada de teoria de 'Viga. Em seguida, trata­remos a casca pela teoria exata da flexão.

A teoria membranal só satisfaz, como dissemos, no caso das cha­madas cascas auto-portantes, que além de terem pequena espes­sura em relação às dimensões do projeto, possuem diretrizes com

Fig. 6

(1) Projeto do onp;. S. Srtrm n to Co,.,.oi1i' díl Ar1111j o1 puhlion.do noH nl'irrw1·0H 11 íl l 2 d1i roviHlll por l,11µ.11(11m " 1 1: n f~11 11li 111'ia" .

11.·1·1·m r1·1 n,· 1

tangente vertical nos bordos (diretrizes elípticas, cicloidais, ou em semi-círculo, por exemplo). Estas cascas não devem possuir vigas nos bordos laterais, a fim de não prejudicar o seu funcionamento como membrana.

Na reaiidade, o cálculo das cascas não pode ser feito prescin­dindo-se dos efeitos de flexão e, a êste respeito, basta citar os casos das cascas projetadas para Godoy Cruz e Villa Mercedés na Argen­tina que desabaram em virtude de os cálculos terem sido feitos sem levar em conta os esforços de flexão (1).

Na apresentação da teoria geral da flexão de cascas cilíndricas, aproveita-se o estudo feito pela teoria da membrana, acrescentan­do-se, em segunda etapa, os efeitos devidos à flexão. Neste caso,a a casca funcionando como membrana constituirá um sistema prin­cipal da casca · fletida e os efeitos devidos à flexão e provenientes das condições de bordos serão introduzidos, como se faz na' Hiperes­tática, através de incógnitas Xk. Estas constituirão as constantes de integração das equações de derivadas parciais, como veremos no correr dêste trabalho. •

As cascas cilíndricas mais comuns possuem espessura variando entre 5 e 8 cm, sendo aconselhável, para as cascas auto-portantes, adotar como espessura mínima 6 cm.

A fim de evitar os efeitos nerigosos da flambagem, o compri­~~to máximo das cascas varia entre 40 e 70 m, isto dependendo do tipo file casca e ela espessura adotada.

Para cascas muito largas, o comprimento máximo permitido, para evitar esforços excessivos devidos a flambagem, é ainda menor podendo em certos casos ser limitado em 20 metros.

N este trabalho, consideraremos de preferência a aplicação das cascas às coberturas nos seus mais variados aspectos.

NI

1(1

CAPITULO II

TEORIA MEMBRANAL PARA O CÁLCULO DAS CASCAS CILÍNDRICAS

1- Os esforços da teoria membranal.

Consideremos uma casca cilíndrica de tímpanos AB e CD e bordos laterais A.C e BD representada na figura 7a.

Um ponto qualquer P da superfície média da casca é represen­tado pelas coordenadas x e cp, sendo x a distância ao tímpano na direção das geratrizes e cp o ângulo que a tangente a diretriz no ponto P forma com a horizontal (êste ângulo é o mesmo que a nor­mal à tangente forma com a vertical como mostra a fig. 7b).

D

Vert.

A

Fig. 7

A área elementar . da superfície da casca em tôrno de P é:

1) dQ = dx X rdcp

onde r é o raio de curvatura e rdcp é o arco elementar da diretriz em tôrno do ponto P (ver fig. 7a):

2) rdcp=ds

Vammi supor ai; fôrçn.t> aplicadafi i\, <'IHlCI\. clocompoP1l.nH mn Hiii ('.<Hli pon <111 (,m1:

l. '1'1 ll'l'lll A N• I

X -- segundo a geratriz. Y - segundo a tangente à diretriz. Z -- segundo a normal da curva diretriz.

z

/ \ /

\ I \r / \ I \ I

(O} \ I \ I \ I \ I

\ I \/

1 1 / 1 / \ I

1 / Ir I

(b) \ /

l''!g. 8

\ d• I ----"' \ / \ I

dx

Tais componentes são tomadas por unidade de área. da super­lfoic d1t casca e estão representadas na figura Sa ..

N

( )om1idorcmos os três eixos coordenados:

.I'

li ()li cp

- segundo a geratriz

· i;cgundo a tangente a diretriz

- segundo a normal à tangente da curva diretriz, si­tuada no plano da mesma (fig. Sb).

OH HonLiuos positivos dêstes eixos estã.o dados na figura .Sb.

<Jham mos do:

o <1Hf()1·ço normal na direção x que solicita o plano yz da din Lri:i; e ó consicl ntdo por nnidad de arco da diretriz.

o <'HÍ 1'(,)o 1wr11111l H< 1µ;1111<lo n t . 1~11µ;(111(, c i\ dirc•t riy, o qunl :;oli ­"' t.11, o pl11110 ,.

N• I

N "''P - o esfôrço tangencial no plano normal a0 eixo x e dirigido segundo o eixo tangente a diretriz (y).

N 'P:t: - o esfôrço tangencial no plano normal à tangente à diretriz e dirigido segundo o eixo x.

Para os esforços N ,,, N ip, N z<p e N ipz empregamos as seguintes convenções:

N ,, e N 'P são positivos quando:-correspondem a uma tração. N,,'P e N ipz são positivos quando são dirigidos de tal modo

que tendem a provocar um aumento do ângulo formado pelos eixos x e y.

Na figura Sa, estão indicados os esforços para um elemento de casca de área unitária isto é para ds = 1 e dx = 1 do que resulta

dQ = 1.

Na figura Sb, estão~ representados os esforços para um elemento infinitesimal dQ = ds X dx.

2-Equações de equilíbrio. Solução geral do Problema Isos­tático.

O equilíbrio entre os esforços que atuam no elemento infini.­tesimal da casca representado na figura Sb : é estabelecido como

se segue.

Consideram-se os acréscimos dos esforços com a variação de x igual a diferença entre os esforços nas duas faces normais ao eixo x e equidistantes de dx. Os esforços nas faces normais ao eixo x são N,, ds e N,,'P ds e seus acréscimo( com a variação de x serão:

éJN,, d d -- X 8 àx e éJN,,<p d d -- X 8

àx

Por unidade de ~tea dü, estes acréscimos são:

éJN,, a;- e

éJN,,<p a;-

Do mesmo modo, considera-se os acréscimos dos esforços com a variação do ângulo <P igual à diferença entre os esforços nas fo.cos normais a tang nte à dir triz para ltH q uniA OH lt11g11loH H o: <p 1 cp 1 1lcp. ÜH <'HforçoH nnH f1te•1 H nor rnniH i\ Ln11v,1• 11 t,1 H ,o N V' d.r e

11,'i'l'l 1/ /'/'/ 11'

N <pz dx (Fig. 8b) Seus acréscimos com a variação de cp serão:

~e éJNip,, d d -- cp X àcp

)

Por unidade de área dQ estas variações são:

1 éJN <pz

:-:;: a:p p@is:

dQ = d xX ds = r dx X dcp

Teremos então para equilíbrio nas direções de x e de y:

;aN,, + 1 éiJNip,,·'+ X_ O -- --- L -àx r àcp •

\ Nf +dNf l d:c

Fig. 9

1·,~m o Pqui llbrio 111\ dircç o do ix0 z, toremos que considerar pc• 111t t 11r1 f rc;u 7J e N V' 11 o normniH i\ z, como m l.iLra a figura 9.

.11•111'11/i'

50

3)

Desprezando dN 'P em presença de N tp, temos pela figura 9:

( 2 N 'P sen d:: ) dx + Zd íl = O

dip dip Aproximadamente, fazendo sen - - = temos:

2 2'

Dividindo por díl, vem:

1 - Ntp+Z = O r

Assim, as três condições de equilibrio são:

dNx + _!_ iJN tpx +X = o <Jx r dip

<JNxtp + _!_ iJNtp + y =O <Jx r <Jrp -

l -Ntp+ Z=O r

Adotando para as derivadas em relação a x e 'P as notações:

<JN -N' <Jx -

<JN . . º'P = N t

podemos escrever as equações de equilibrio sob o aspecto:

4) IN I + 1 N" Xtp - tp+Y=O r

No cálculo como membrana, Jaz-HCI N "'"' N "'"' 1 n1t ~H 11tL 1·011 lidade êsses esforços são difon 111L<'H, Pndwm 1LH t,<111 H >< 'H dn 1• iz11llt11

li.'''l 'l '/ /'l'l l I ' N J

mento T cpx e T xcp sejam iguais, como veremos depois no cálculo exato pela teoria da flexão.

Essa diferença entre N <px e N xcp no cálculo exato provém do fato de que tais esforços são integrais das tensões de cizalhamento que atuam nas áreas elementares, as quais são diferentes para N <px e Nxcp· (Veja-se na figura 8a que a área em que atua Ncpx é re­tangular e igual a 1 X d e a área sôbre a qual atua N xcp é trape­zoidal e menor que 1 X d. Considerando pequena a espessura d

da casca, teremos aproximadamente N cpx = Nxtp· As equações de equilibrio 3 resolvem o problema das cascas

cilindricas pela teoria membranal.

De fato, a última equação dá o valor de N 'P em função de Z; a 2.ª equação permite calcular N x<p por meio de uma integração, uma vez conhecidos N 'P e Y; a 1. ª permite calcular N,, em função de N <px e de X, depois de efetuada a integração.

Para a solução completa do prnblema, é preciso conhecer as componentes das cargas X, Y, Z em função de x e <P e integrar as duas primeiras equações de equilibrio em relação a x.

D esta integração, surgem duas constantes que são, na reali­dade, funções de 'P·

A pesquisa dessas funções se faz com o estabelecimento das condições particulares de contôrno da casca, isto é, das condições do apoio nos timpanos e nos bordos laterais.

Verifica-se, inicialmente, que o valor de N 'P tirado da última •q uação de equiílbrio não depende das condições de bordo. Então

l •O (b)

J.'i µ;. 10

1• 111 p 111 1 \11111111 ·011Ln1· J)lll 'IL N"' vnlorri; i11 compatívois com as con-d11,1 1 tl1 • li111·tl 11 ( lt ·1 1, 110 l101'tloH lnLt •mi i; H<'lll vi µ;n de rof6rço,

, I l '/ / I l //1' 1 N I 11

devemos ter N"' = O, pois êste bordo está inteiramente livre. Então tal condição de bordo só podl.3 ser possível quando Z = O.

Como o pêso pórprio é vertical isso só pode ser possível quando a tangente à casca no bordo lateral é vertical como indica a figura lüa.

Concluímos que o cálculo como membrana só é certo como cál­culo definitivo quando a tangente ao bordo iateral é vertical ou para a ação de cargas cuja componente Z no bordo lateral seja nula.

A integração das duas primeiras equações de equilíbrio conduz aos seguintes result ados:

5) N x ip = ~ f ( Y + ~ ªa:"' ) dx + C 1

f ( 1 aN"'x) e Nx = - X + -;~ dx + 2

onde C1 e C2 são funções somente de cp.

Nas cascas cilíndricas, o raio r também é independente de x:

r = f(cp)

Para a det erminação das constantes C 1 e C 2, utiilzamos as con­dições de limites dos tímpanos. Tais condições, para cascas simples­mente apoiadas nos extremos, estabelecem que nos tímpanos não .há fôrça normal na direção das geratrizes (fig. lüb).

Assim, teremos as seguintes condições de limite nos tímpanos para cascas simplesmente aJ!loiadas nos extremos (fig. lüb):

6) .

Nesta concliçãü' de limite, se supõe que o tímpano é flexível na direção das geratrizes e rígido no plano da diretriz.

Se a casca é simétrica com carregamento também simétrico, poder-se-á utilizar a condição de simetria no plano da diret riz con Lra.1 .

6a) [N<P,,] = O .. 1)

l "S'l'UI l'l 'f f U N f

No caso de cascas em balanço, as condições de limite no tim­pano são as que estabelecem a nulidade dos esforços N., e N "'"' no bordo livre. Assim:

7) [N.,] = O. x=Z.

[ N"',,] = O . :e =li

onde l 1 é o comprimento do balanço.

Conhecida as expressões de N x e N "'"' pela integração das fór­mulas 5 e impondo a estas expressões as condições de limite 6 ou 7, calculamos as constantes e 1 e e 2 e fica resolvido o problema das cascas isostáticas pela teoria de membrana.

3- Caso particular de carga constante ao longo das geratrizes.

Sendo os elementos geométricos da casca cilíndrica constantes ao longo das geratrizes, as cargas comumente não ~variam ao longo d© eixo x.

Neste caso particular, teremos X, Y e Z independentes de x. N"' não varia com a abscissa x e podemos integrar a 1.ª das fór­mulas 5 (r não depende também de x). Efetuada esta integração, obteremos:

( 1 aN"') -0 N =- Y+--·- x + 1

X i{J r acp -

chamando a expressão entre parêntesis de F que é uma função apenas do cp scrcvemos:

Nx"' = - Fx + C1

Derivando em relação a cp vem:

111111 vrn~ qtt< (J , ind p ndo do x.

A c1xpm~H o d( N f//J d 1t fórmula ·5 ficará :

N ./ '( .\ 1

N I

<1 /!' .!'

/' j)"' a ) 1 rL.~ 1 e~

r í)t(!

51

Integrando vem:

1 aF x 2 1 ac1 Nx = - Xx+--- - --- x + C2 r a'P 2 r a'P

As expressões finais dos esforços serão:

Ncp = - Zr

8) Nxcp = - Fx + C1

. 1 aF x 2 1 aC1 N = -Xx+--- - ---x+C2

"' r a'P 2 r a'P

Impostas as condições limites nestas expressões, determinaremos as constantes e 1 e e 2 que são funções de <p.

No caso muito comum de ausência de carga tangencial na di­reção das geratrizes temos X = O o que simplifica a 3.ª das fór­mulas 8.

Para a determinação das constantes C1 e C2 temos que impor às fórmulas 8 a~ condições de limites 6, 6a ou 7, as quais depen­dendem das condições particulares de apoios nos tímpanos.

Determinemos as constantes para a casca simplesmente apoia­da nos extremos.

Em face da simetria na direção x, podemos mais fàcilmente det erminar a constante C1 estabelecendo a condição 6a:

Fazendo x = O na 2.ª das fórmulas 8, obte:remos o valor de C1•

Assim: O= - F X O+ C1 Donde C1 =O

De acôrdo com a condição 6, temos para x = {- introduzido na

3.ª das fórmulas 8:

Donde

1 aF z2

0= ---+ C2 r a'P 8

11,•:'l'/N l'l'/I U N• I

Substituindo C1 e C2 por seus valores nas fórmulas gerais 8, vem:

Nx = - Zr

9) Nxcp = - Fx

N = __ !_ aF (l2 - 4x 2

)

"' r a'P 8 ·

Podemos simplificar estas fórmulas chamando de M 1 e Q1 o momento fletor e fôrça cortante em uma peça simplesmente apoiada nos extremos com vão l e carga q = l.

Temos, neste caso:

l2 - 4 x2

M1= ---8

As fórmulas gerais ficam:

10)

F azendo

Nx = - Zr

Nxcp = FQ1

1 aF Nx=---M1

r ª"' aF _ Fº ª"' -

a (iJ t íma das fórmulas 10 se escreve:

Nx= F" -Mi r

l•)1:1 Lns fórmulas permitem as seguintes conclusões em relação 11.011 111f01·90FJ N "'' N .,"' e Nx nas cascas pela teoria de membranas:

N : 6 fun ção apenas da carga normal à casca e do raio de curva­f, 11 "'~ ou A ja da forma da diretriz.

N · ~ vnri n no lo11 go do x como a fôrça cortante-sob a ação de uma 1•11, 1 ·,.,;i~ 1111il, (i, ri 1~ HM kl - F o fo.tox que distribui esta fôrça 1•nr·t.11i1ll,1 1~0 1011 11;0 dn dirotri z.

'/1/'// t'/11.''

56

N,,, - varia ao longo de' 'x como o momento 1 fletor sob a · ação de

carga unitária sendo - p· o fator de distribuição ao longo r

da diretriz.

As fórmulas 10 podem ser generalizadas~para qualquer dispo­sição dos apoios em forma de timpanos dispostos normalmente às geratrizes.

De fato, para a casca em balanço, teriamos para x'J = l 1, de acôrdo com as condições 7 e fórmulas 8 :

N z<p = O = - Fl1 + C i

F' li 2

C2=-­r 2

Substituindo nas fórmulas gerais de N,,,rp e~N,,,, (fórmulas 8) vem:

As expressões entre parênteses são a fôrça 0ortante e o mo­mento fletor para carga unitária em balanço em uma secção dis­t ant e x do engaste.

Generalizando, podemos escrever para qualquer tipo de apoio inclusive as cascas hiperestáticas:

11)

Nrp = - Zr

Nxrp = FQ1

F' Nx = - -Mi

r

De fato, podemos ··escrever para uma viga qualquer sob carga unitária:

/

1

Q1 = - f 1 X dx

Integrando ""e chamando de a e b duas~constantes, temos:

1'::'l'W1'1'111,' 1 N I

ESTRUTURAS EM QUADROS ASSO­CIADOS HORIZONTALMENTE

ADOLPHO PoLILLO

No quadro abaixo, apresentamos as 17 principais maneiras de resolver uma estrutura em quadros associados horizontalmente do tipo da figura l.

l I I 1 Fig. 1

(

Em um só passo de / cálculo com matriz 1 l não clapeironeana {

( Matriz resolvida pelo algorítmo de Gauss (1) Método dos { Matriz resolvida pela iteração direta (2) esforços l Matriz resolvida pela iteração salteada (3)

1 1 1

Método dos ( Gauss (4) deslo- { Iteração indireta (5)

mentos l Iteração salteada (6)

l Processo de Cross (7)

( Em 2 passos de cál-1 culo recaindo em 1 1. 0 passo equações clapeironea- 1 resolvido nas no 1.0 passo ei por aplicando os métodos 1 gorais dos esforços ou I doa cloalocamentos 1

l

( Gauss (8) e (9) (*)

\ Algorítmo do prof. Aderson M. Rocha (10) e (11) ("*) 1 { Pontos fixos (12) e (13) 11 Processo de Cross (14 e 15) i l Iteração salteada (16) e (17)

a) Resolu ção em um só passo de cálculo

A"'·] .11 orientação que se pode tomar é resolver a estrutura em 1 só passo d1 o(Lio 11l o.

Aq1 1< loH quo preferem o método dos esforços recairão num sistema"'.:.de 'q1111<,i llH 11 o c l ~ipoironeanas que poderão resolver pelo algoritmo de Gauss (1), p111 i l.1 1·nc,1fi,o (2), iLoração salteada (3) ou qualquer outro método de resolução d1 11hd, t 11 111.H d t oquaçõos.

< >1 11,dt1pl,0H do m6Lodo dos deslocament os recairão 1!,Um sistema de equações 1p11 p1u l11 r ,o ni nd n. r<Ho l vor polo algoritmo de Gauss (4) ou por iteração indi-

( ) < l 1 '' do11 11 ."H rt•f11rn Ht 110 J)rocc1AAO q 11 n,ndo mprcgndo o método dos~,esforços e"'o 2.0

ljll•Htol .. llH11 d11 li UI t.odo t! oH d 11Hlot111111t111Lo H.

(. ) Ad11 pt 111,1 o do 11l v,01•l t.11 10 d1 ( 1,1l lHll 1\,11 l\C] l lrl(, l\t'H (• lrqH i r () ll (\1\11/ta ROg1111clo OH(ltlCllnfl 1111111 11 1111 l1li111 111 l11ltd11 11 11 H/\ 111 1 11 pl'c'ip1· 111 Ml,r11i.11 r11 {ll ip1w11H l.1\l,lrn l'lrum Clora l ~." vol1111 111) .

!'/,'/ // '/ 11,1 ' N~ I

reta (õ). Neste último caso, em virtude da existência Ha deslocabilidade, a convergência do sistema de equações torna-se bastante lenta, o que nos leva muitas vêzes a rejeitar êste processo. Para eliminar êste inconveniente da lentidão da convergência, pode-se lançar mão da iteração salteada (6) trans­pondo o obstáculo cômodamente, isto é, saltando pela deslocabilidade, obten­do-se novos coeficientes de transmissão bem menores que os primitivos tor­nando a iteração bastante rápida.

Esta maneira de resolver a estrutura nos parece interessante e é aplicável com grande vantagem não só no caso em estudo, como também: quando se trata de quadros associados de vários andares; portanto, com alto grau de inde­terminação.

A iteração salteada saltando pela deslocabilidade, está detalhadamente exposta na obra do prof. Aderson Moreira da Rocha "Hiperestática Plana Ge­ral" - 2. 0 vol.

Se resolvermos a estrutura pelo processo de Cross (7) em um só passo de cálculo, encontramos os mesmos inconvenientes apontados para iteração indi­reta.

b) Resolução em dois p<i!ssos de cálculo

A 2.ª orientação que se pode seguir é resolver a estrutura em 2 passos de cálculo.

Quando estamos no método dos deslocamentos o sistema principal do 1.0

passo é hipergeométrico e é obtido fixando a estrutura dada por meio da intro­dução de um apôio adicional ou seja de um novo vínculo.

Para se obter o diagrama de momentos fletores para as cargas e para Xa = 1 no sistema principal, se faz mister resolver duas vêzes êste sistema hipergeomé­trico.

Sendo a estrutura fixa e a sua matriz clapeironeana, a sua resolução é feita de maneira vantajosa aplicando os seguintes processos: Algoritmo do prof. Aderson (11). Método dos pontos fixos aplicado ao método dos deslocamen­tos (13), Cross (15) e iteração salteada (17).

c) Escolhá da maneira mais conveniente

De um modo geral, diante da estrutura a resolver, podemos com uma aná­lise destas 17 maneiras, escolher a que nos pareça a mais conveniente parn. solução da estrutura.

Tomemos o caso, por exemplo, do quadro associado da fi gura ,.,, Quanto às 2 orientações a seguir 80 cm J ou 2 !HtfiHOH d ~ c(d c: 11 lo1 vN1-

fica-se desde logo a vantf\,gom de He rnHolvor c•m 2 p1 HHOH, 11111n VPY. que drni l,n

58 N 1

forma recairemos na resolução do 1.0 passo em equações do tipo clap ·irn111•n1111 e além disso para o 2.0 passo, teremos apenas uma equação a uma incógniLn.

Será preferível escolher para método geral, o dos deslocamentos, uma v íl

que o método citado conduz a um número menor de incógnitas.

l 1 1 1 Fig. 2

Quanto à maneira de resolver a matriz do 1.0 passo, nos pare.ce no caso presente, mais indicada, . ~ iteração salteada, devendo-se ressaltar que até 3 incógnitas nem existe propriamente iteração, obtendo-se os valores das incóg­nitas quasi que màgicamente. Até 5 incógnitas a iteração é feita utilizando-se apenas 2. No caso de 7 incógnitas, a iteração é feita com 3 e assim por diante.

A título de ilustração, vamos resolver a estrutura da figura 3 da maneira que acabamos de expor, isto é, pelo método dos deslocamentos, em 2 passos de cálculo resolvendo o Sistema Principal do 2.º passo (estrutura previamente fixada) p~ra aplicação das cargas do sistema dado e de X a = 1 pela iteração salteada.

EXEMPLO DE CÁLCULO

Seja resolver a estrutura da figura 3 a com o carregamento da figura 3 b.

20x40 :

6,00(6,00) ©1

5,20 (5,20)

Fig. 3 a

~---2-,-,-m----~lt/m 4tr:i:J

(b) 1 n~ Ἴ 5,20 --1

(1' i .. . :\ Ir

1·1·11 nm. N 1

Os valores dos comprimentos elásticos estão escritos entre parênteses

( 2 X 5ª) Jb= 12 .

Para o cálculo dos fatôres de forma e de carga de 2.ª espécie, utilizamos as tabelas contidas no final do 1.0 volume da Hiperestática Plana Geral do professor Aderson.

Assim, para haste 12, por exemplo, teríamos os seguintes argumentos de entrada, para obtenção dos fatôres de forma:

À= 1'5º =o 25

6,00 '

5ª n = 123 = 0,072

entrando na tabela 26 e fazendo uma interpolação aproximada (linear), obteríamos os coeficientes ki = 11,01 e k2 = 7,95.

Os valores dos fatôres seriam:

11,01 6,00

b12 = ~'~~ = 1,32 '

1,84

Os demais fatôres são calculados de modo análogo e são apresentados no croquis da figura 4, onde também estão escritos entre parênteses os coeficientes e dos pilare~ .

~ CTífJ 1 5,301 1,84 1,84 2,53 2,5 3

00~ 1,32 ãi,.._ 1,88 ~,.._ ;rJ (X)I'- l.ll.,.._" ~C\Í ~N -s,.._ - 001'- - s,.._ -~~ ~~ âg;

Fig. 4

Para cálculo dos fatôres de carga, para haste 2-31 por exemplo, teremos: Carga uniformemente distribuída (tab. 31).

para À = 0,29 o n = 0,072 /c~l,277

60 J1S'l'W /'1'111'1\ N 1

teremos então:

qt2 5 202

- ?na2 = k 12

= 1,277 X --12 = 2,88.

Cargas concentradas:

Para

a. tabela 35 fornece

À = 0,29 n = 0,072 e N X 4

, . ki = 0,0226 e k2 = 0,068

os valores dos momentos de engastamento serão:

m2a = - ma2 = 0,226 X 4 X 5,20 + 0,068 X 4 X 5,20 = 6,12

Na figura 5 é apresentado o croquis dos fatôres de carga.

Fig. 5

Na figura 6, vemos o sistema principal do 1.0 passo de cálculo, obtido:com a introdução de um apôio adicional na estrutura dada.

Fig. 6

Vamos fazer atuar neste sistema primeiramente as cargas do sistema dado. ()i.1 vaJ r s dos coeficientes da matriz são calculados pelas expressões:

oH wi rM< i roH HO ncbam dentro de ret ângulos na fig. 4. < >11 vnlorrn; doa tôrm s do carga (para a ação das cargas) são dados pela

p11 1 ,o:

111111 d11H 111 111111 111,rn d< 11 11 µ;1t1d .11 111 1 n f,o 1 m t.l\rn o do nó !e.

J , I 1.'111'1 li,' <1 I

Assim para o nó 2 por exemplo:

020 = 7,530 - 9,00 = - 1,47

Estes valores se acham dentro de retângulos na fig. 5.

Vamos resolver esta matriz por iteração indireta salteada feita na própria estrutura.

Começamos por determinar os coeficientes de transmissão da iteração indireta, isto é, dados pela expressão:

Para T12 por exemplo, temos (fig. 4):

Tu= 1

•32

= - 0,286 4,61

Estes coeficientes estão escritos na fig. 7.

1 -0,286 -0,263

-0,185 -0,355

Fig. 7

Vamos usar a iteração salteada saltando pelas incógnitas X 1 e X3. Como resta apenas a incógnita 2, não haverá necessidade de iteração. Portant o é suficiente neste caso calcular apenas o valor de E~ (1), não sendo necessário <>

cálculo de novos coeficient es de transmissão.

Teremos:

E12 = T 12 X T'21 = 0,286 X 0,185 = 0,053

E23 = 0,263 X 0,355 = 0,093

-= 1 ~171

E2

· 0,053 + 0,093 '

(*) Prevemos n este artigo que o leitor já conheça n ã.o aó o mHoclo doH d <•Hlm·1111w11 i•11 como t ambt\m o conceito de iternçiio 8alteacla de um modo w1rr11.

62 llS'l"U/ /'/'/ I U A

Na figura 8 está feita a determinação das incógnitas, proc <lendo Ht 1 do seguinte modo:

-7,53 - -0,286 -1,47 -O.~ +9,00 +0,54 - +2,15 ~ i +0,77

l-6,991~3• 19 ~+9,ÚI · 'q1&5

l - 2.s1Jx1,!72= fa?:-<o"' •-2,94

Fig. 8

Começamos por transmitir os valores de 0 10 e 030 para X 2 ,multiplicando 010 por T12 e 030 por T32, dando as parcelas + 2,16 e - 3,19 que estão escritas debaixo do valor de 020. Somando estas 2 parcelas com 020, obtivemos o valor de 020* que multiplicado por Ê2 fornece o valor de Y 20 = - 2,94.

Para obter os valores de Y10 e Y30 basta transmitir Y 20 para 1 e para 3 multiplicando pelos coeficientes T 21 e T 23 dando as parcelas + 0,54 e 0,77 que somadas respectivamente a o1o e 030 fornecem os valores das incógnitas:

Y10 = - 6,99 e Y30 = + 9,77

Os momentos finais para o quadro fixo sujeitos à atuação das cargas podem ser calculados utilizando as incógnitas Y ko e fazendo a distribuição dos momen­tos usando os coeficientes de distribuição e de transmissão de haste do processo de Cross ou utilizando a superposição dos efeitos aplicando a fórmula que dá o momento na extremidade k de uma haste ki:

para o que se faz mister passar das incógnitas Y para X o que se faz ime­di1~Lu.mcnte dividindo Y k por o kk isto é, aplicando a expressão:

4,20 5,10

1,14

~70 0,46 - 2,06

Fi g. 9

N11 11 11 nt li v Ht 1L l inha d1 Í<'oh 1L 1111 nl.o obtid a doi; l.a rn ~w ira para a li rl11 1111 !UI lltl MÍf11.t• lll lL cl 1L fi11, . fl.

11,·111·111. ,, 1

Procederemos de forma análoga para X a = 1. Sendo dado um desloca­mento igual à altura dos pilares (3,00) os têrmos de carga são~ os valores de e, escritos entre parênteses nos topos dos pilares (fig. 4). A iteração es.tá feita

=1

Fig. 10

na figura ll, utilizando os mesmos coeficientes de transmissão ~o- caso anterior (u~a vez que a matriz é a mesma, mudando apenas os termos mdependentes).

+3,8. 8 _ -0,286 +3,88 . ,Q~ +3,BB -0,30 - -1,11 ~ /' -0,43 [+3,581~1,38 .--- ~j+3,46l

'qt&s l + 1,40\ X 1,127/o'J.-'0-:1,63

Fig. 11

Na fig1,ua 12~está traçada a linha de fechamento para o quadro da figura 6, sujeita à' ação de um deslocamento. Â3= 3,00.

1,22 1,83

Fig. 12 ~

Para resolução do ~·.0 passo de cálculo devemos determinar os valores de ~ .... e ºªº respectivamente, trabalho virtual dos esforços provenientes do ~eslo­cn.mer{to( X a = _1 para os deslocamentos da cadeia Xa = 1 e trabalho virtual dos esfo;ços p~ovenientes . das cargas no quadro fixo para os deslocamentos da. cadeia Xa = 1. Teremos:

ºªª = 1,n + 1,22 + 3,25 + 1,83 + 2,01 + 1,36 == 11,.rn ºªº = 3 x 3,oo:+ 4,20 + 1,1'1. - r,,10 1 1,10 1 o,,w ' ,00 \) 1:\·I

61 I 8'/'IU 1'1'11U1\

Podemos escrever

ºªª Xa + ºªº = O

donde: Xa = - 0ªº = - 9134' - O 814 ºªª 11,46 - - '

Os momentos finais são obtidos somando ao diagrama das cargas (fig. 9) o diagrama de Xa = 1 multiplicado por Xa.

Na figura 13 está traçado o diagrama final.

9,00

0,71 ~03

Fig. 13 3,17

'omo vimos, a aplicação do processo de iteração salteada permitiu chegar 1·1 pidnm nte ao diagrama de momentos sem que fôsse necessário empregar ·~ 1 l,or11,ç tO propriamente dita.

O procoHso de iteração salteada tal qual foi apresentado é uma generali-111; o 1 , q1mlqu r método da Hiperestática do processo apresentado por Dasek

1111111, 1il w tH cn1:1os particulares. 1L11 rn.1; o Haltcada é um recurso admirável não só porque acelera a con-

111>111. oo mo diminui o número de incógnitas. V nll 11 1'(111 10H o. apresentar nesta revista, mais detalhes e outras aplicações

do pn1111•H o do iL ração salteada.

1 IVROS TÉCNICOS DE ENGENHARIA

EDITÔRA CIENTÍFICA Av. 1 r1 1srn Brc í]d 999 - 8.º e nd . Rio de Jc n iro

J ,'.' /'/ '11 J'/ l lt ,, 1

66

CURSO DE ESTRUTURAS METÁLICAS

AN'fONIO ALVES DE NORONHA

1 - O aço como material de construção.

Os aços usados em construção são de vários tipos, quanto a sua composição química.

Entretanto, no que interessa ao construtor, os vários tipos di­

ferem muito pouco entre si, de modo que podem ser r:isnmidos nos dois principais:

PA 37 PA 50

De um modo geral, são aços maleáveis, que devem ter uma zona

plástica muito grande, a qual se res.ponsabiliza pelos excessos de

solicitação como veremos dentro em pouco.

Desde os estudos de Resistência dos Materiais, sabemos que um material empregado em construções pode estar sujeito a soli­citações:

estáticas contínuas - quando a fôrça atuante parte de um valor

inicial nulo e cresce progressiva e ininterruptamente até a ru­tura da peça;

estáticas repetidas ou intermitentes - quando a fôrÇa atuante par­

tindo de um valor inicial pequeno atinge a um determinado va­

lor maior de mesmo sentido para voltar novamente ao valor

pequeno e crescer em seguida até êsse mesmo determinado

valor maior, e assim, por diante, intermitentemente, oscilando

de um valor pequeno a um determinado valor sempre do mcfl­

mo sinal;

estáticas alterad(JJS ou oscil:amtes - quand o n l'ôr<:1t ng Hôh rt 1L p111:n

ora no s nt ido positivo, orn no flo ntido 11<1 •nt,ivo, pod1 111do Hllr qun.lq11 r a fr< qiifn<'in de vn riac;íi.o.

1 ... '1'11'// / '///i' \ N I

Deve-se desde logo deixar bem claro que, mesmo as soliciLaçõ 'H

repetidas e alternadas, são do tipo de solicitações estáticas, isto é, não produzem nas estruturas qualquer efeito de natureza dinâmica,

como a vibração por exemplo.

Não há, portanto, impacto a considerar nesses tipos de soli­

citação.

1. 1. 1. Propriedades

Neste item, vamos examinar como s.e comporta o aço em

face de cada um dêsses tipos de solicitação.

Examinemos, primeiro, o que se passa com uma barra de aço

solicitada à tração (solicitação estática).

O diagrama "tensão-deformação" apresenta o aspecto da fig. 1.

No t recho OA, o aço obedece à lei de Hooke, as deformações

são proporcionais às tensões; cr Pé o limite de proporcionalidade; coincidindo pràticamente com cr p, temos cr E o limite de elasticidade.

Se a t ensão não ultrapassa cr E, retirando-se a solicitação, a deformação é r estituída quase que integralmente. A deformação

residual é desprezível. As normas alemãs consideram desprezíveis

as deformações residuais menores que 1/30 000 da deformação total.

<r Q"'r K íi) cr º 11M Q"' QI

'º e r

IJ) 1 1 1 e I 1 1 Q) I 1 1 :t::. I 1 1

I 1 1 I 1

I 1

I 1

I 1 1

J 1 J 1 E

o B F o' N M' K' €r (de armações) Fig. 1

Nn n1ítq11ina c1' ntiaio, êf>te :fato é perfeitamente comprovado:

1·11ti 1·11 dn n <•111·g-n1 o <'HL i loto elo 11 in n1rn rc•lho gi;aCo-t· g is.trador, volta,

p111 ·1·0 1·1·p11do . 1 O " nt i 11 g·i 11d o p 1·11 1 i<•1111 H1 n t,o o ponto O, clcmonstran­

do d1 0,1 l1 1 ll llll lo q111 1 llH d1•1'01·1n 1ir:1H'H d<1Hll jHll '( 1{'(' lll p1·1).t iC\ll lll('ll t,( 1101"

1•11 111pl1 l11 1 fll l q111 1111 d1d'11 1·111111•111•H p111 ·l'1• il11111 <• 11t 1 11J 1>; fÍ1 •11 H.

I •, J'/ '1111 //,' 1 N ,,

Daí chamarmos de zona elástica o trecho retilín~ OA do dia­grama.

Mas, prosseguindo no ensaio, o diagrama se encurva n'ltidamen­te atingindo a tensão o valor O'.° limite de escoamento siiperior.

Neste ponto, pode-se notar nitidamente que a aguiha do qua­drante registrador dos esforços voltou para traz bruscamente. No diagrama essa queda brusca está representada :i.10 trecho (o-.º - C).

O'/ é um ponto que oscila muito, conforme a solicitação seja mais lenta ou mais rápida. Ao construtor é um ponto que não inte­ressa muito.

Sem modificar o ensaio, isto é continuando a máquina, a sua marcha normal e uniforme, teremos um trecho (e - (Í eu ) mais ou menos paralelo ao eixo horizontal.

Neste t recho, as deformações começam a se acentuar cada vez mais, sem exigirem, para ist('.), esforços correlativos comparáveis aos que ser iam necessários para produzir a mesma deformação na fase elástica. As deformações são maiores para um certf> acréscimo de tensã@ no trecho (A - <Te° ) do que seriam para o mesmo acréscimo no trecho OA, e chegam mesmo a crescer sem, pràticamente, acrés­cimo de tensão no trecho (e . - <1' eu ) •

u.u - é o limite de escoamento inferior; é constante qualquer que seja o mod0 por que se processa o ensaio.

Sempre q'lle nos referimos a limite de escoamento será <T. u.

Se o ensaio fôr interr6mpiGl0 neste pont0, o stilete percorrerá de volta a linha DF, notando-se portanto uma deformação resi­dual ou permanente OF, enquant0 eima parte D'F da deformação total foi restituída, i.sto é, desapareceu.

Comprova-se que a deformação que desaparece é dada pela mesma lei de pr0pcircionalidade que rege a fase inicial do ensaio, isto é, a fase que corresponde ao t recho O A do diagrama.

O trecho AD é chamado de zona plástica.

Reiniciado o ensaio, o estilete percorrerá a linha FJ) como N<

o material estivesse numa nova zona clftstica, nn qnnl 11 lPi d(\ wroporcionalidadc é a mesma da zo111t lfv.;Lic~n inicinl, como dhHw 1110:~;

i11Lo r;ignif'iea quo no din~rurnn, f)ff' (! p11.1·1dc 1l11 11 OA. i~Hl11 1'1110 H1

l '"'l 'IU f 'l '/ I 11' 1

repete no decorrer do ensaio até a ruptura. Assim, MN é também

paralela a OA. Prosseguindo no ensaio, o diagrama, a partir do ponto D, con­

tinúa em curva ascendente, crescendo as deformações sempre mais ràpidamente que as tensões.

Mas o fato é que o material, que de C até D, nenhuma resis­tência vinha oferecendo às deformações, passa novamente a ofere­cer resistência exigindo um acréscimo de tensão para se deformar.

E assim atinge o ponto u, , onde a resistência oferecida pelo material passa por um máximo.

u, é o limite de resistência estática, e neste ponto ou a barra se rompe ou as deformações se localizam em um pequeno trecho que se adelgaça ràpidamente ( estrição), para romper-se logo a seguir com uma tensão <1'1

r < <T r.

u' r é a tensão de ruptura, e as deformações entre JJ1. e 0'1 r são inteiramente plásticas, isto é, são permanentes em sua totalidade. Se parássemos o ensaio no ponto K, o estilete desceria na vertical

KK'.

Para alguns aços duros os pontos <T r e <I' r se confundem, não havendo estricção.

A ruptura se dá bruscamente e a tensão de ruptura é a resis­tência estática do material.

Verificou-se que, atingido o ponto D no diagrama de ensaio, os cristais na estrutura interna do aço se orientam de forma dife­rente da observada no início do ensaio, havendo por isto, um re­vigoramento do material.

Daí a designação de zona de revigoramento para o trecho DM <lo diagr·ama.

Um d iagrama semelhante ao da fig. 1 seria obtido para a com­pn1fi8ito, cizalhamento ou torção .

A {lt·oa ontJ·c o diagrama e o eixo dos E, representa o trabalho (IN1><wíl'i<10 do dcfor·nrn<;iio da r>cçn. Na zona elástica 6 um trabalho nl 1MI ic•o.

A f1r11n ,.mh o di111-(1·111t1n pow·o d il'<11·0 da 6 t'l'll. do 1·1'tfi ng 11l o (u, , ,) , t po1· l11Lo i•oHI 1111111 1-1t1 trn 11fl. 111. c·o1110 111 (1did11. do 11·nh11ilio.

f ,', l 'l,'111'1 li'

70

Um aço de construção é tanto melhor quanto maior fôr o prn­duto u r Er pois isto :significa que tem maior capacidade de tra­balho.

Para o aço OA-37 temos:

<Teu = 2 400 kg/cm2 <Fr = 3 700 kg/cm2

Um bom aço de construção deve ter uma grande zona plástica, como dissemos antes, para evitar que um excesso de solicitação lo­cal ocasione a ruptura da peça.

Assim, por exemplo, se numa peça rebitada (fig .. 2), ocorre um excesso de tensão local no rebite, o furo respectivo se alargará, as fibras adjacentes se deformarão de modo a permit ir a distri­buição do excesso de solicitação pelos outros rebites, e o conjunto resistirá.

Ora, isto só pode se passar dêste modo porque o aço dispôs da zona plástica para se deformar (fib. 2-b) sem romper.

Na zona elástica, para a tração e compressão, o fator de pro-

porcionalidade entre as tensões e as deformações é ~ e assim:

(1-1.1.1)

o o o

o o o

(O) (b) €

Fig. 2 Fig. 3

P ara os aços de construção, E varia de 2 X 10° a 2,2 X JOº k:g/cm2

, sendo usual tomar-se um valor médio 2,1 X J0° kg/cm2•

Para a tot'çuo cizalham nto o fatol' 6: -b- e as1iim

1 (/ 'T ( ' ~ 1.1.1 )

, .'il'l'l/ '1'111'

sendo:

mE G = 2 (m + 1)

(3-1.1.1)

onde: 10

m = 3 para os aços.

O aço, com uma zona plástica muito grande tem uma fratura do tipo que podemos chamar "fratura de revigoramento".

Os materiais quebradiços, para os quais m ~ 12, têm a ruptu­ra por separação.

Para tais materiais, o diagrama "tensão-deformação" tem o aspecto da fig. 3.

Os mateíl'iais com m entre 4 e 12 (concreto, por exemplo, m = 6) têm a ruptura por deslizamento.

Vejamos agora como se comporta o aço sujeito a solicitações altern;:tda e repetidas.

A experiência demonstrou que neste caso o aço pode se rom­per com uma tensão menor que o <Fr da fig. 1. Êste fenômeno é chamado de fadiga do material, e já o conhecemos do curso de Re­sistência dos Materiais.

Na prática, êle ocorre freqüentemente, sobretudo nas pontes me­tálicas, que são solicitadas por ocasião da passagem das cargas mó­veis, descarregadas e novamente solicitadas à passagem de novos veículos.

As primeiras observações a respeito dêstes tipos de solicitação são devidas a ·w oehler, cujos ensaios foram, entretanto, apenas de natureza qualitativa. Woehler limitou-se a enunciar as suas obser­vações, sem entretanto procurar a expressão matemática da lei que rege t ais fenômenos.

Assim, observou W oehler que, solicitado repetidamente uma po<;n de aço (solicitação crescendo de um valor pequeno a um deter­rn i nndo valol' superior, voltando àquele valor pequeno, e crescen­do 11 ovnmont até êsse determinado valor superior, para voltar de 11 ovo n 11ni vn.! 01· 11oqu no assim por diantel, a peça pode se rom­(H ll' <·0111 11111 11, L<' ll fliLo rn enor q11 <Fr o qnc ssa t nsíio s rá t anto menor q111111L11 1111dor 1'<1r n dil\ 1«111 !'n ( 11Lr·c nH Hofo:iLn •ÕüH cx l,1·crn nA, iato 6, <•11! 1•1 11 H11i l1•i l111 •1 10 prn p1 (1 11 n <I i p rul 1 Ho li<•iL11<;no HllJHll' i o 1·.

I , ."l 'l 'l l'l '/11,'. 1 '/ I

7

No caso da solicitação r epetida, em que um dos extremos é baixo, podemos concluir, portanto, que a peça se rompe com uma tensão tanto menor que u, quanto maior fôr a solicitação extrema superior.

Se a maior solicitação não ultrapr~ssar o limite de elasticidade u E a peça pode ser solicitada uma infinidade de vêzes, repetida ou alternadamente sem se romper por fadiga.

Se a maior solicitação ultrapassar <7E, mas ficar abaixo deu.", limite de escoamento, verifica-se que o limite de elasticidade cres­ce, chegando mesmo a passar do ponto de solicitação. Dêste ponto em diante, o aço passa a se comportar numa nova zona elástica, e desta forma pode-se continuar indefinidamente sem romper a peça. Efetivamente é como se a estivéssemos solicitando repetidamente na sua nova "zona elástica', abaixo de seu novo limite de elasticidade (fig. 4) .

Se, porém, a solicitação ultrapassar u.u, desaparece o limite de elasticidade, e a deformação permanente vai crescendo até a rup­tura (fig. 5).

e Fig. 4 Fig. 5

Suponhamos agora que a barra está sujeita a solicitação alter­nada.

Já vimos que, se a tensão ficar abaixo do limite de elasticidade, a barra não se rompe nunca, por mais que a solicitemos alterna­damente.

Mas se a tensão ultrapassar o limite de elasticidade, quando na fas e de tração, acontece que o limite de elasticidade à om pr s­são d saparece.

Dn 11muna l'ornrn, c1 HH fHtrNl o lirnit< cl rl11At.iclidadt1 il. t.1 ·11 <'ii.o q1111.11do n l.<1llHÍÍO d< llOlll(ll'OHAii.o 11ll.1·n pll AHl ll' () li111it.1 d1 t1l11Ht.i < id11dt cJ1 1'0 111( ll't 'HHl lO .

/ IS'l'l 'll 'l 'I fl1' ' N I

Num e noutro caso o limite de elasticidade reaparece quando se repete a solicitação alternada com u < u E

Bauschinger dedicou-se também à pesquiza das solicitações re­petidas e alternadas tendo confirmado in-totum as observações de vVoehler, as quais êle resumiu, assim, no caso de solicitações repe­tidas:

1) O limite do escoamento cresce, sempre, até o carregamen­to que fêz escoar o aço e, isso, imediatamente, após o en­saio. Com o decorrer do tempo, o limite de escoamento ul­trapassa aquele carregamento máximo. Isto já se obser­va após alguns dias do ensaio. O crescimento do limite de escoamento dura, porém, meses e, até mesmo, anos.

2) O limite de elasticidade, pelo escoamento, diminui, che­gando, mesmo, a zero, de modo que o aço ensaiado, nova­mente, imediatamente após o primeiro ensaio, não assi­nala nenhum limite de elasticidade. Com o decorrer do tempo, porém, após o primeiro ensaio, aparece um limite de elasticidade que começa a crescer, atingindo, no fim de alguns dias, o carregamento com que foi escoado o aço, o qual será ultrapassado no fim de alguns anos.

3) O módulo de elasticidade, como o limite de elasticidade, reduz-se com o escoamento. Levanta-se, porém, com o de­correr do tempo após o ensaio, sendo que seu crescimento é mais vagaroso que o do limite de escoamento. No fim de alguns anos, êle terá um valor superior ao inicial.

4) Com carregamento superior ao limite de elasticidade, mas inferior ao limite de escoamento, levanta-se o limite de elasticidade e, tanto mais, quanto maior fôr o carrega­mento. Se êste estiver próximo ao limite de escoamento, o limite de elasticidade atinge a um máximo, o qual bai­xará se fôr ultrapassado o limite de escoamento, de acôrdo com o item 2.

5) Se na solicitação repetida à tração, com tensão inferior nnla e t nsão superior próxima do limite de elasticidade, 1·1 prLi 1·-H o ensaio d 5 ató 16 m ilJ1 õoR do vêzes, a peça não l'O 111 pr dL.

(i) 1'(1 111. 1 olil'il11 •110 r'tl (I< 1 idn de :'.<' l'O 11!.(1 11111 1t L<'llHÍÍO Httporior· 111·11 i11m 1111 11111 fH111 c•o HllPl' l'i111· 110 li111il n d11 1• lm ii ÍPid11d11

I ,'il'W l'l'/ 11,' l N 7 1

' inicial, êste limite crescerá até ou, mesmo, além do valor da tensão máxima de solicitação e, tanto mais, quanto maior fôr o número de solicitações sem, contudo, poder ultrapassar um determinado valor.

7) Solicitações repetidas de zero até um limite superior que faça crescer o limite de elasticidade primitivo não pro­duzem ruptura. Se, porém, aquele limite superior fôr tão alto que não faça mais subir o limite de elasticidade, a rup­tura se dará no fim de um número limitado de solici­tações.

8) A resistência à tração não diminui com a solicitação re­petida milhões de vêzes, antes, cresce, desde que a peça depois daquela solicitação seja rompida com um carrega­mento estático.

9) Solicitações repetidas milhões de vêzes não produzem ne­nhuma modificação na estrutura de aço. Os traços carac­terísticos que são visíveis na ruptura por solicitação repe­tida traduzem uma modificação da estrutura do aço loca­lizada, apenas, nas proximidades da superfície da ruptura.

No caso de solicitações alternadas, as observações de Bauschin­ger, são as seguintes:

1) Pelo carregamento à tração ou compressão além do limite de elasticidade, o limite de elasticidade à compressão ou à tração baixa consideràvelmente, e, tanto mais quanto maior fôr aquele carregamento acima do limite de elasticidade primitivo, sendo que uma solicitação relativàmente pouco superior ao limite de elasticidade primitivo pode baixar o limite de elasticidade da solicitação de sentido contrário até zero. Se o limite de elasticidade, reduzido dêste modo, tiver que ser recuperado por carregamento de mesmo sen­tido e, mesmo; ultrapassado, o limite de elasticidade da solicitação de sentido contrário reduz-se a zero ou quase zero. O tempo não tem ou quase não tem nenhuma in­fluência neste fenômeno, isto é, o limite de elasticidade à compressão ou tração reduzido por uma solicitaçílo à tração OU compressfLO não S levanta no cl COlT r d lr '\li

ou quatro dias ap61'> o <'llH1tio o N.<)tnc'nl( 11111 po11<•,o no d<'· corr 1· do n lg u111 1tH H<'lllllll ltH.

/l,'i'/ '/.'I /'/ 1///1'<

2) Na solicitação alternada à tração e compressfw, o .limiL de elasticidade na solicitação num sentido só será rcdn­zido se a solicitação no outro sentido ultrapassar o limite de elasticidade primitiva.

3) Se o limite de elasticidade à tração ou compressão fôr re­duzido por solicitação à compressão ou tração além do li­mite de elasticidade primitivo, êle pode ser recuperado por uma solicitação alternada crescente, gradualmente, à tração e compressão, mas somente, até um valor aquém do limite de elasticidade primitivo. ~ste valor coincide com o limite de elasticidade natural, isto é, o limite de elas­ticidade que não foi majorado por solicitação repetida. do mesmo sinal.

Launhardt e ·weyra.uch, prosseguindo nos estudos de ·woehler, procuraram traduzir em expressões os fenômenos apenas enuncia­dos . Assim, estabeleceram experimentalmnte para as solicitações re­petidas e alternadas, a fórmula que nos dá a tensão de rupfora em Virabalko:

2 ( 1 Umin ) <Ta = -- <T r 1 ± -- --3 2 <J"max

onde:

<T mi" e <T max são as tensões extremas em valor absoluto;

o sinal ( +) para as solicitações repetidas;

o sinal ( - ) para as solicitações alternadas.

Nesta expressão tem-se:

para solicitação estática, comum:

(J min = (J max e (J a (J r

para a solicitação repetida ( <T min = O ) :

2 <Ta=3<lr

valor êstc confirmado pela experiência.

para n solicitação alternada :

u" a º'

/ ,• 'l'J•lf 'l '/11,'

(4-1.1.1)

(5-1.1.1)

(0- 1.1 . t)

76

mas a experiencia demonstrou que êste valor é muito pequeno; neste caso a expressão que dá resultados coincidentes com a rea­lidade observada é:

e para 1 <Tmin 1

<Ta= ~ <T, ( 1

1 <Tmax 1: 4

<Ta= g<Tr

(7-1.1.1)

(8-1.1.1)

Note-se que para a solicitação repetida continúa valendo a expressão 4-1.1.1 com o sinal positivo.

Tudo o que acabamos de estudar assume capital importâ:rlcia nos projetos de pontes.

E xaminemos em seguida como se compor ta o aço sujeito a soli­citação repetida, com def armação impedida.

Se, de qualquer forma ou por um meio qualquer, a peça não se pode deformar além de e1 (fig. 7), uma vez atingida essa de­formação se descarregarmos a peça, o diagrama desce segundo a linha A A 1B; carregando em seguida, o diagrama sobe segundo BA'A; repetindo sucessivamente a operação de carga e descarga, o diagrama percorre sempre as linhas interrompidas no sentido indi­cado pelas setas (fig. 7) e a peça não se rompe, enquanto que, se não houvesse o impedimento, o diagrama seria o da fig. 5, até a ruptura.

Ocorre, assim, o que chamamos uma histeresis fechada; o tra. balho aí realizado se transforma principalmente em calor.

e

F ig. 6 F ig. 7

I sto nos leva a seguinte conclusão, de grande importftncia: uma peça de aço pode ser solicitada r p tidamen Lo além do li­mite de escoam nto, sem perigo l r11pt, u1·n, doNd< q1H n i;111t d< l'or­n :v:íl.o f:IO,j n i rn p d i <ln.

/ •',',"l 'l 'l l 'l ' / I /,'.'

i 1

Na prática, a deformação impedida pode ocorrer, por x rnplo, no nó de uma treliça, onde as peças concorrentes foram rebitadas (fig. 8), e forma-se um nó rijo. A treliça é calculada supondo a articulação perfeita. O conjunto dos nós pode produzir tensões adi­cionais que ultrapassem o limite de escoamento.

No cálculo, supõem-se todos os rebites recebendo a mesma par­cela de esfôrço; na realidade porém, e principalmente se os rebites são colocados em uma só linha, os rebites centrais quase não traba­lham se são numerosos.

Isto acarreta um excesso de tensão para os rebites mais próxi­mos dos extremos, com o que será ultrapassada a tensão de trabalho T. por exemplo prevista no cálculo.

O material em tôrno dos rebites sobrecarregados tenderia a se escoar, mas a zona vizinha vem em socorro, restringindo, impe­dindo a deformação (fig. 9). Não haverá ruptura mesmo no caso de solicitações repetidas.

É também o caso de uma peça dimensionada para a tração, sem rijeza apreciável à flexão, mas que por qualquer motivo fica su­j~ita à flexão.

Na fig. 10 temos os diagramas de solicitação em uma secção da peça nos casos de t ração, flexão e o diagrama final.

~ ~s Deformação Deformação

livre Impedida pe•

~=i~,c~~

Fig. 8 Fig. 9 Fig. 10

]']ste último nos permite apreciar o grande acréscimo de soli­citação nas fibras t racionadas, fazendo, assim, com que seja ultra­pas ada a tensão de cálculo ( a., suponhamos).

'l' ambém nest e caso, as fibras vizinhas, em conseqüência da de­fo1·mação das fibras mais solicitadas, entram em t rabalho, impedin­do qu as mais solicitadas continuem a se deformar .

Como acabamos de ver, mesmo com solicitações repetidas, não 11 6. JH r·i "º do r·11 ptt11·n l i esses casos de tens.ões locais muito grandes.

11 111 l.11.l 1'C'H11 l l.11do fio clovc il. :1.01111 pl úHLi a doa aços. 1'01• iHN0 1 lroj1 r l'lllrli ll ll dirtll'llHiOllll.1' H< O lt 'O clo11l,1•() do r cgim

pl fr t l1•0, 111!' ll i lll Jl lll 'll HoliPi l11C'Ol\M l'(' Jll 1 id11i; , (111nt1''lll1t1 1111 11111,1,,11111 •1111111r111)

, 1 l'l'li'/ l 'l' l I /,' ' N~ 1 77

APLICAÇÕES DAS FUNÇÕES DE ,

BESSEL NO Ci\LCULO ESTRUTURAL (1)

SYDNEY M. G. DOS SANTOS

Trataremos quatro grupos de assuntos estruturais, em que as funções de Bessel constituem o principal instrumento analítico de resolução:

a) flambagem de vigas; b) flambagem de colunas; e) vibração de membranas elásticas; d) teoria das placas circulares.

Examinando êsses assuntos, dividiremos êste trabalho em duas partes:

I - Formulação das equações; II - Resolução.

Parte I - Formulação das equações.

Grupo (a): flambagem de vigas.

Escolheremos um exemplo simples.

Seja determinar a carga critica de flambagem transyersal para o consolo da fig. 1.

Para P = Pk igual à carga crítica, a peça, que havia fletido no plano da figura, poderá assumir configurações de equilíbrio com o eixo fora dêsse plano. É o que se admitiu nas figs. 1, f, b, g, d e h.

78

Chamemos:

M - momento fletor T - momento de torção D - momento fletor transversal y - flecha verticai cp - flecha horizontal X' = l - X

~~ = 'Y - ângulo que a projeção horizontal <la tangcnt forma com

o eixo dos xx.

I 'i'fHll'l'l/I{

Q)

")

e}

d)

e)

li 1 1

e - ângulo que a projeção Vertical da tangente ÍOl"lt!H 00111 O C 1 C1

dos xx.

Wo - flecha horizontal máxima.

w' = Wo - w

E - módulo de elasticidade

J' - momento de inércia da secção transversal em relação ao eixo baricêntrico vertical.

J 1 - momento de inércia de torção.

G - módulo de elasticidade transversal

R, = GJ1

~· .... ""}

',~1

f)

,' :~p Rir ~)

1 (}

~Jº

1 r w

~o ")

.P,~l l) M r

Fig. 1

S' Pw•

s" Px':M

Pm1q11i:t.( moH l\H Ao li ciLaçõc:s na 1:1 cção S, devidas à carga P.

p

p

H11d1rni11do q ttiH I,< mi\ mcl<'llnico conHl,iLufdo pela fôrça P (íig. 1 h) ao ponto t111 e 1110 :

1· 1 ·, /' J"'

l , .'l'l'/I /"/IH 7CJ

Reduzindo o sistema de fôrça P e momento Px' aplicado em S" ao ponto S', teremos finalmente:

--P, P x', Pw'

teremos, assim, uma fôrça P e dois momentos Px' e Pw' ortogonais.

Projetemos os dois~momentos sôbre a tangente; encontraremos o momento de torção:

dw T = Px'-v - Pw' = Px' -- - Pw'

I dx'

Por outro lado, para a flexão transversal devida ao momento D = P x'q;

(fig. 1 i) teremos a equação da curvatura:

1) D Px' cp

EJ' =~

Porém, o ângulo de torção cp relaciona-se com o momento T pela fórmula:

2)

Logo:

3)

Combinando 1 e 3, achamos:

a equação:

4)

dcp = _!'___ dx' Re

é uma equação de Riccati, cuj a resolução recai numa equação de Bessel, como veremos.

Grupo (b) : flambagem de -colunas.

MO

O exemplo a H<'guir, idt 1.amhl'm r ·nir nu mn u 1wt~1 o d< B< HHI 1.

H11jn ndmr 1t rnqi;tt C'rl!,irnt dn t:n lt11 1n l,rrn1<1 11im clu. fiµ; . '1 •

I ,•,'J'W 1'1'11 /i' N I

Com os elementos da figura e mais os seguintes:

Jx - momento de inércia na secção distante de x do vértice virt,unl.

Jb - momento de inércia na base. rb - raio da secção da base rx - raio na secção de abscissa x.

teremos:

rx X -== -

No instante da flambagem, podemos escrever:

Pw Pw EJx

5)

Donde:

5') d2w Pb4

x4 dx2 + EJ b w = O

Fazéndo:

teremos:

6)

Caso particular da equação de Bessel, conforme será mostrado na Parte II.

X

w--

8 1

Grupo (e): vibração de membranas elásticas.

Consideremos a membrana circular da figura 3. Chamando:

<r - tensão na membrana. cr. - componente vertical de cr.

crh - componente horizontal de cr.

~ - flecha num ponto qualquer. ~º -- flecha no centro.

s. - fôrça vertical resultante de cr . num contôrno circular.

P - massa da membrana por unidade de área. w - pulsação.

Fig. 3

Podemos escrever:

7)

de que resulta:

8)

9)

d~ cr v = <Ih tg a = crh -

dx

d~ Sv = - 2 7f X CTh -dx

dS. = - 2 7f x cr,, ( d~ rlx

e, portanto:

d 2~) +:1; d:i· l/:1· i

d"( qu oq1 1ililmin'L a 1·1Ld11. i111-1 Ln11tp 11. 11,1 · o di 111i111i<·n '' Jr ,1· 11 / · ' ri/'' 1 ,1 •

8) I ,•, '/'/1'111'/ l I' 1 N I

Podemos, pois, escrever:

10) ( d2~ d~ ) p d2~

- x - +- + -x-=0 dx 2 dx <Th dt2

Admitindo que o movimento segue a lei senoidal~ = ~º eiwt , t eremos:

levando essas expressões na equação (10), virá finalmente:

11) ~li + .t + k 2~ = o X

em que:

Equação de Bessel de ordem zero, como veremos na Parte II.

Grupo ed): teoria das placas circulares.

Em coordenadas polares a equação geral das placas t em o conhecido as­

pecto:

12)

em que :

a2 1 a2 1 a 'i72 = - + - - - + - -a r2 r 2 dcp2 r a r

fJ - carga unitária vert ical de cima para baixo.

p - carga unitária vertical de baixo para cima .

N = E J rigidez da placa. 1 - v2

rJ av n<lo simetria cilíndrica, a equação (12) se simplifica e toma o aspecto:

1 :1) d'1w 2 dªw 1 d2w l dw q-p

+ - --- +-- = dr~ r dr8 r 2 dr 2 r 3 dr N

Íll l'.1'111 1 o :

ri' 1 d \7,'

rir' (r rir

1 •'l l'/,'/ 11'/ li,' ' N• I

podemos escrever (13):

14) - q-p V,2 Vr2 w - N

Apliquemos esta equação às placas de fundação.

portanto:

14'

Façamos:

Notando que:

resulta:

q =o p = lcw

· kw l"7 2 l"72 w + - = o Vr V ,. N

r ~ = - em que:

l ~4 N

l= -k

levando na equação (14'), virá:

Temos para êste caso:

"2"2w+ ~= !_"2"2 +~-o V T V T l4 l4 V ~ V~ W /4 -

-O.onde:

15)

F açam os uma mudança de variável, pondo:

V 1 X I· -V. 1 1:

81 n "l'1~1r111•

Result a para a derivação:

d2 -~ d2 d~2 = ( - 1) 4 dx2

Levando estas expressões na equação (15), teremos, notando que

16)

Esta última equação pode ser escrita:

r '\l x2 ('\lx2 W + w) - (Vx2 w+ w) =o 1

17) i ou:

l '1x2 ('\lx2W - w) + ('\lx2

W - w) =O

logo a equação (16) é satisfeita, quer para:

18) d 2w l dw

V 2 w + w = - - + - - + w =O x dx2 x dx

quer para:

18') d 2w 1. dw

v 2w - w = - + -- -- w = O d 2 X dX

I , "l'Ull'l'/111

Parte II - Resolução das equações.

A equação do tipo

19) x2 y11 + xy' + (x 2 - v2) y = O

é dita equação de Bessel de ordem v.

São também chamadas de Bessel, por extensão, vários outros recaem no anterior por transformações muito simples.

Tomemos o exemplo seguinte:

20) x 2 y" + xy' + (k 2 x 2 - v2) y = O

Ponhamos ~ = kx, resulta:

dy dy d~ ! y' = - = - - = ky~

dx d~ dx li d2y k li

y = dx2 = · Y~

e com êsses valores a equação (20) fornece:

20') Y( ~2 + y~'~ + (~2 - v2) y = O

idêntica a (19).

Outro exemplo:

21)

sendo a e b constantes.

a y 11 + - y' + by = o

X

Fazendo: y = xv z, resulta:

y ' = v xv-1 z + x" z'

y" = v (v - 1) xv-2 z + 2 v xv-1 z' + xv z"

Introduzindo em (21):

xv z11 + z' (a + 2 v) xv-1 + z { bx" + xv- 2 (va + 11 2 - v) } = O

pondo: a+2v=l ou: 1 - a - 2-= V

esta última equação transforma-se em

21') z' ( v2 ) z11 + + b - - 2 z X X

o

qu <! do Lipo (20), r d11 (,fy 1 1 fo1·m11, d• 1101-11-1•11 ( 1 l .

tipos que

I ,'l'l'l'lf l 'f//'t\

Outro exemplo:

22)

Ponhamos: x = tª ; resulta: dx = a tª-1 dt e, portanto:

1 - dy !!:!_ - ,_1_ y - dt dx - Yt atª-1

substituindo em (22):

22') d ( dy 1 ) - tªm --- + ctªny = o dx dt ata- 1

ou:

22") 1 d ( 1 ) -- - -- tam-a+1 yt' + ctªn y =o atª-1 dt a

e, efetuando a derivação em (22"):

23) am - a + 1 yt'' + yt' + e a2 ta(n-m+2)-2 y = o

t

fazendo: a (n - m + 2) - 2 = O,

2 sendo pois: resulta: a=-----n - m+2'

24) ,, + a (m - 1) + 1 , 2 0 Yt t Yt + ca y =

análoga ao tipo 21).

Resolução

A solução da equação (19) foi obtida por Bessel quando estudava as ano­malias nas órbitas dos planetas.

Obteve uma série, que passou a chamar-se função de Bessel de pnmena espécie, com o aspecto seguinte, e cujos termos satisfazem àquela equação (s ndo v = n ~ O):

4a) k="' xn+2k

.J n (x) = {;0 ( - l)k 2n+21c k / (n + 1) (n + 2) . .. (n + k)

pol' 1-11il>1-1Lil,uição dir La na equação

• f>) • '2 11 11 -1 . v' + (. ·~ - n~) ?/ .. o ""' ific111. 1 CIHHI nfit' llllL~· , (1 ,

I .'1''l'N/ f'l 'I //' 7

Não bastando uma função para conhecimento da solução geral, Bessel procurou uma outra, que passou a chamar-se função de Bessel de segunda es­pécie, com o seguinte aspecto:

n-1 x-n (n - k-1)! 25a) Yn (x) =Jn (x) logx - '>l-n L 221c k

1 t 21c -.., o .

xn lc=oo (- l)lc [ (X )2k] - 2Hn lc~O (n+ k)! lei (Ü1c + Ü1c+n) 2

em que Ü1c e Ü1c+n são constantes.

Nessas condições a solução geral da equação (25), pode ser escrita:

26)

em que c1 e c2 são constantes a determinar. Essa solução é geral, e aplica-se quer n seja inteiro, quer fracionário. No caso de n fracionário, usa-se a letra v em seu lugar, e demonstra-se que

tanto J n (x) como J -n (x) são soluções da equação, de modo que para êsse caso (v fracionário ), podemos escrever:

26')

Para equação de ordem zero, teremos:

26") y = C1 Jo (x) + C2 Yo (x)

As funções J e Y acham-se tabeladas para uma série de valores de v e n, de modo que, malgrado a apresentação rebarbativa que elas têm, seu emprêgo não oferece maiores dificuldades.

Posto isso, passaremos a resolver cada um dos problemas formulados na Parte .I.

88

(continua no próximo n'IÍ!mero)

Façam uma visita à redação de ESTRUTURA

e verifiquem as vantagens que oferecemos a nossos

assinantes na aquisição de inumeros livros de en­

genharia.

I .'1'1'11'/l 'l '/ fl,• .\

CURSO DE CONCRE1 O PROTENDIDO

J osÉ Luiz CARDozo

APRESENTAÇÃO:

ESTRUTURA apresentará a partir do próximo número wm curso t,eórico-prático de concreto protendido pelo engenheiro e pro­fessor José Luiz Cardozo.

Desnecessário será encarecer a importância dêste assiinto, tal o emprêgo cada vez em maior escala das estruturas em concreto pro­tendido não só no projeto de pontes como em estrutura dos mais va­riados tipos, principalmente as de grande part.e e as prernoldada.s.

No presente número, é apresentado o roteiro do curso que será desenvolvido a partir do próximo número de ESTRUTURA.

A REDAÇÃO

!-Orientação

Apresentamos abaixo a orientação, que procuraremos seguir na exposição do curso teórico-prático sôbre concreto protendido.

1 - Generalidades. Princípios gerais de protensão.

2 - Processos práticos de protensão: póst-tensão e pré-tensão.

3 - Estudo dos materiais: concreto e aço. Fenômenos de retra-ção e deformação lenta.

4 - Perdas de protensão.

5 - Estudo da tração simples. Tirantes tipo Freyssinet e tipo Hoyer. Projeto de um tirante.

6

7

H

Estudo da flexão simples. Tensões devidas à carga perma­nente, às sobrecargas e à protensão. Problema de verificação de tensões e de dimensionamento. Problema do, levantamen­to de cabos. Estudo da zona de apoio.

(Jis,n lhnm 11to - 'ronsões principais.

Pl'oj o to do u11111. ponte cm viga Hi1np'lcs.

l '1'nl 1•11 s 110 lll)H HiHI ('lllll H li i f)( ' l' l'HI (d Í<'OH.

10 1'1•11,jiilo d1 • 1111111 p1111l1• 11J11 vi ·11 <•oi1L 111111, .

1 ,'o' '/'/ •U 1'11 /,• . \ N •' 1

'1(}

CURSO DE PERSPECTIVA DARCY BovE DE AZEVEDO

1 - ln trodução

No presente Curso, tendo em vista o caráter prático do mesmo, não nos deteremos em demonstrações teóricas e as definições neces­sárias serão apresentadas no decorrer da exposição da matéria.

Sendo um curso prático, poderá ser perfeitamente acompa­nhado por todo aquêle que possuir conhecimentos básicos de dese­nho projetivo.

V

Fig. 1 Fig. 2

2 - Definições elementares (Fig. 1)

2 .1 Ponto de vista V - é o ponto em que consideramos loca­lizado o observador (fig. 1). Na perspectiva cônica, é um centro de projeções.

2. 2 - Quadro - é a superfície na qual representamos a perspec­tiva do objeto. Em geral, consideramos o quadro como

uma superfície vertical plana, porém, pode ser uma su· perfície curva (ex. perspectiva em abóbadas) ou inclina-

2.3 2.4

2.5

2.6

2.7 2.8

da (perspectiva com o quadro inclinado) . - Plano geometral - é o plano horizontal de referência. - Traço do quadro, q - é a reta de interseção do quadro com

o plano geometral. - Plano do horizonte - é o plano horizontal que passa pelo

ponto de vista. - Linha do horizonte, h - é a reta de interseção do plano

do horizonte com o plane do quadro. V.isuais - sã.o as ret.nfi tr.aça.ílas p 'lo po11to do vi1-1t,fl. Ponto pri11cipnl , P (i o p <ln p 1·1H' nd imd11 I' tm •11,dn do ponto d< viH tn V HÔh r·< o q 1111d1•0 .

HS'l'W l'l'l l/,'A N• I

2. 9 - Plano visual principal - é o plano perpendiculnr no pl11

no geometral e ao plano do quadro e que contém o ponto de vista V.

2 .10 - Ponto de distância - é o rebatimento do ponto de vista V, sôbre a linha do horizonte, tendo como raio do reba­timento a distância VP.

O ponto de distância será da direita ou da esquerda, con­forme o rebatimento fôr para a direita ou para a esquerda e a notação correspondente será respectivamente Dd e De. A interseção do plano visual principal com o plano do horizonte é a visual principal VP.

Na prática, para se marcar os pontos de distância é su­ficiente tomar sôbre a linha do horizonte, simetricamente ao ponto principal P, para a direita e para a esquerda, a distância visual principal.

3 - Perspectiva de um ponto

É o traço A com o quadro, de uma visual V A 1 , represen­tada em projeção horizontal na fig. 1.

4 - Ponto de fuga

4 .1 - Definição: ponto de fuga F de uma reta é a perspectiva de um ponto infinito dessa reta.

l(,,"/'/'11'1'111.''

Na fig. 2 temos a reta que forma um ângulo a com o traço do quadro q e o ponto de vista V.

A pespectiva do ponta A1 da reta dada é a interesecção da visual V A1 com o quadro e determinada portanto em A . Da mesma maneira, os pontos B 1 e 0 1 , da reta dada, terão as suas perspectivas respectivamente determinadas em B e O. Se considerarmos um ponto infinito da reta, a perspectiva dêsse ponto será determinada traçando-se por V, uma vi­sual dirigida ao ponto infinito. Essa visual será portanto uma pa;ralela à reta ou direção considerada e o seu traço F com o quadro determinará a perspectiva do pOnto. O ponto F será então a perspectiva do ponto infinito da r·< tn. o s l 'Ít. o s u ponto de fuga, para onde convergirá a l'ntn <1rn prrnpcct i va bom como tôd_fts as retas à ela para­h1lnl'!,

( !om<id1lf•<11110H n ·0 1·n, 1111, li'ig. :1, d111tH 1·otnH 17, o I>, l'ormn,n-do 11 111 11 1110 q111ilqu1 r (1 .

'' I

4.2

plano do hor1zo11t~ l

plano geometral

q

Os pontos de fuga das duas retas ou direções serão deter­minados traçando-se por V, ponto de vista, as visuais pa­ralelas às retas dadas. Êsses pontos de fuga serão respectivamente Fa e Fb, tra­ços das visuais com o plano do quadro.

4 . 3 - O ponto P, pé da perpendicular traçada de V sôbre o qua­dro, denomina-se Ponto principal. É o ponto de fuga das retas perpendiculares ao quadro. A visual VP, denomina-se de visual principµl ou distân­cia principal, é a distância do ponto de vista ao plano do quadro. Em geral, diz-se que a distância VP é a distância do pon­to de vista ao objeto, pois consideramos o quadro tangen­ciando o objeto dado.

V

4 . 4 - Pontos de fuga de retas horizontais a 459 com o plano do quadro. Êsses pontos de fuga são os denominados pontos d distân­cia e podem ser obtidos pelo r batim nto do ponto de viHLn V, sôhr a linl1 a do hori Y.onLr. h, C\0111'01·11H moHt.rnm HH l'i· g 11 t'llH 1 <' •L

(11111111111111 /I li /111111 1111> 111 111 1111)

,..,., 'l' /,'11'1'/// ',,

CÁLCULO GULARES

DE LAJES RET AN­PA R A CASOS ESPE­

CIAIS DE APOl()S E CARRE-GAtVlENTOS

Aplicação às lajes especiais de edificios e às lajes de pontes

ADERSON MOREIRA DA ROCHA

l - Introdução.

Neste trabalho, vamos apresentar a solução, tanto quanto possível exata, de vários problemas que surgem no cálculo de estru­turas de edifícios e de pontes e que, muitas vêzes, é obtida através <le métodos aproximados que nem sempre são satisfatórios.

Entre os casos que serão estudados inicialmente, citam-se: o de lajes apoiadas em 3 ou 4 lados sob ação de carregamentos concen­trados em pontos; o de lajes contendo balanços como mostra a fi­gura 1; o de lajes sôbre 4 apoios sob a ação de momentos aplicados nas arestas (fig. 2); o de lajes armadas numa direção sob a ação de cargas concentradas (fig. 3); o de lajes sob a ação de cargas parcial­mente distribuídas como as lajes dos tabuleiros das pontes (fig. 4) sob a ação de cargas móveis.

Fig. 1 Fig. 2

l1JHL1 H <:HHOH pod riam l'l denominar de isostáticos, pois, embora tL 111 111 1; ,o 1~11ja dndn co m roc 111·i;o à. 'I oori a da JClas Li ci <ladc, ~los se 111 1111 1111 11n l1 1<·i n11 11.d oH p or nwio d o Lal >1 1lnH, H<' m H< r< <:o rr r UH O(Ju a ç õ El

d1 1• 111il.i111 iid ncl t1 d1 d11 l'or 11 11Lt; llH IJll( Hiii' (1111 ll OH npoiOH dnH laj oH r oi ll 111 111 ,

('/ '/11'/ li ' 1) 1

A seguir, serão estudados os casos que denominaremos de hiper­estáticos que são aqueles em que se considera o efeito da continui­dade, determinando-se, pelos processos da Hiperestática, os momen­tos nos apoios e nos centros das lajes contínuas de vãos desiguais.

t •P p

-. ....... ---.............. -_ -----_-_-_-:_-:::-- ---

Fig. 3

A fim de estudar as lajes contínuas com vãos desiguais sob a ação de cargas concentri!das ou uniformemente distribuídas parcial­mente, contendo tipos de apoios diversos, com ou sem balanço nos extremos, será introduzida neste trabalho a Hiperestática das lajes que permitirá resolver os mais variados problemas sem recurso a processos aproximados, às vêzes grosseiros, como aquêle de se con­siderar, como momento negativo de lajes de vãos muito diferentes, a média dos obtidos para cada laje ou 0,8 do maior dos dois mo­mentos.

Aplicando a Hiperestática das laj es, os momentos negativos serão calculados com seu valor próprio e sua influência sôbre os momentos positivos será . avaliada de forma mais exata, pois que

•P

li li .,

• ., •• •• ,, ., •• 1 d

Vi ' li

I ' /' / '11 1' / l/,'A N• I

tais momentos positivos são obtidos no cálculo hiperestático om função dos momentos nos apoios.

O caso da figura 5 com carga concentrada no ponto P e uma carga distribuída segundo as linhas tracejadas (carga da parede) com vãos desiguais e um balanço será calculado de maneira exata, levando-se em conta a continuidade e o funcionamento das lajes como placa com a inclusão da influência da torção.

A solução dos casos de lajes engastadas nas arestas e de lajes continuas será obtida de maneira prática com a introdução de tabelas que dão as rotaçõés nas arestas das lajes simplesmente apoiadas devidas à ação de cargas e à ação de momentos unitários e aplicando-se os conceitos da Hiperestática plana conforme a uni­ficação que fizemos usando os fatôres de forma e de carga quer de l.ª como de 2.ª espécie. Estes fatôres a, {3, µ, a, b e m serão usados na solução das lajes contínuas da mesma maneira como se se tratasse de vigas comuns empregando-se um dos dois métodos gerais, dos esforços ou dos deslocamentos.

Com os fatôres . de forma e de carga que apresentaremos neste trabalho tabelados. nodemos aplicar às lajes contínuas armadas em cruz os processos dos pontos fixos, de iteração e de Cross, pois que t ais processos, apresentados como meio de resolução das matrizes, t êm um campo de ação generalizado a qualquer problema elástico que seja resolvido com equações lineares.

Para a confecção das tabelas de esforços e deslocamentos em lajes retangulares, utilizamos os trabalhos de Bittner, Pucher e J. Hahn ( 1) baseados na Teoria da Elasticidade, apresentando-os 1:>ob forma prática, coerente com os conceitos da Hiperestática moderna (2).

A solu ção final, para casos aparentemente complexos, se apre­so1ll,n com aspecto excessivamente prático em que se empregam Holll('ll Lc conceitos conhecidos da Heperestática e tabelas simples.

O probl ema, por exemplo, de cálculo das lajes de jpontes deve Hiii' co 11 i;idoruclo r solvido, sob o ponto de vista da t eoria e da prá-1 ic·n, polo rnóLoclo que iremos sist emati zar sem se recorrer aos pro-

( 1) l\ill111"· M n111rnd,<111t.n l'<' ln 1111d Vi11fl11 HH fllic·hC'n f111· k1·r uzweisc bcwchrte l1:l111111hPL1111pl 11.l.Lt1 11 : Hpl'i11 p;p1·1 Vi<1nn., 11):18. ' l '1 11 1ii11J ' 11:i 11fl11 MH fc• ld 11 f' Pl11H t.i!lil1 •1• Pl 1~ 1 . l . < 111 k 1H·i11 J.(!' l' , Vi< •1rn., 10/í l. 11111!11 l>111 Plil 11,11l'l l'/ ,141•1· 111111111! •11 111111 l' lul,t.11 r W!'l'11 <•1· ll111 'HH<•ldol'f, 10/iO.

(' l ll1pPn•M lt 111•11 1'11111 11 !ii•rnl I," ''.", 1 a. 11 v11li1111 11H l•:d il./'1 1·11 C'it •111ffi p1 1 l!io d1 .111 11 1 ""

l/tl/11//,' \ N 1) ,

l/(1

cessos aproximados que alguns autores aconselham para o cálculo dêste tipo de lajes (1).

Segundo Bittner, consideraremos as lajes de taboleiro das pontes como continuas ligadas às lajes vizinhas e à laje vertical formada pelas vigas (transversinas ou longarinas). Esta última constitui, como veremos, laje sôbre 3 apoios e fornece engastamento elástico às lajes do taboleiro que será avaliado no cálculo hiperestático.

2 ·-Cálculo dos momentos para carregamentos vários em lajes isoladas.

Neste item, vamos estudar as lajes retangulares sob o ponto de vista de cálculo dos momentos positivos para carregamentos uni­formemente distribuídos total ou parcial, para carregamentos con­centrados e para momentos aplicados nos extremos.

Focalizaremos o caso das lajes isoladas em 4, 3 e 2 apoios com ca.rregamentos mais usuais.

2.1 - Lajes sobre 4 apoios.

2.1.1 - Cargas verticais

Para carga uniformemente distribuída atuando em lajes retan­gulares sôbre 4 apoios, já são conhecidas as tabelas práticas que permitem o cálculo dos momentos positivos M,, e My (2).

No caso de carga concentrada P em um ponto e no caso de carga distribuida ao longo de uma linha paralela ao eixo dos x (P :J ou paralela ao eixo dos y (P y) a tabela n.º 1 dá os momentos fletores no centro da laje usando-si as fórmulas:

M,, = Mx X K1 My = MY X K2

onde Mx e MY são os momentos calculados para carga uniforme­mente distribuida igual à carga total dividida pela área da laj e e K 1 e K 2 os coeficientes dados na tabela 1.

A figura 6 mostra os casos de carregamentos previstos na ta­bela 1, a saber: carga concentrada (P); carga numa faixa paral Ju, ao eixo x (Px); carga numa fai.xa paralela ao eixo y (P 11 ) . OH d niH últimos tipos de carregamento podem se aplicar ao MHO de pnrc d oH de pequena espessura atuando s6b1 o laj oH.

(1) 'l'aiH como OH procnHHOH do Ll\H11r, Ml'la n, 0(,1 ; (2) C u1·Ho 1'1·Jt (,i po d11 ( '0111·r1d,o Arn 11 1d11 do n11(,or ' l'11l11• l1111 H li du 1 " v11l u 111 11 ,

J ,1/'l'W / '/'/ 11,• '

n X ri---p---:

y !p à Ã

fx

}

~jj!JljjjjJJUIUjJ!ljl Px l Py A • ~

Fig. 6

A tabela 1 designa por l,, o menor vão e os coeficientes K 1 e K 2

são obtidos em função das relações:

X

l,, '

y

Z:' onde x e y são as coordenadas da carga concentrada. A tabela prevê

X y para as relações T; e T; valores entre O e 0,5, de modo que, parava-

lores maiores que 0,5, usa-se a posição simétrica da carga em relação ao centro da laje.

Para cargas uniformemente distribuídas parcialmente, as ta­belas n. º 2 resolvem o caso de cargas retangulares centradas, tal como acontece nas pontes, em virtude da colocação da roda dian'­toira do rolo compressor no centro da laje.

Para isto, entra-se com as reltitções:

1 ol>l,(!m-H s coeficientes K1 e K2 da tabela 2 (tabelas 2A e 2B) qw Horv rn para o cálculo dos momentos no centro da laje pelas Mrnllil1t,.; :

M 1 [>

1111d1 /' IL rnLrl(JL l,ol,1d 111L itrc JL /, X 111 < /\ 1 < /\' , <>H co1 fi1 irn1L<1H da 1.11. l1 11 l11, ..

" l 'l,'li 1'1111' N~ I 7

'IH

A figura 7 mostra a disposição da carga prevista na tabela 2.

fy

1. . 1

Fig. 7

Na direção x , o momento máximo da laj e se dá no centro:

M xm = 11,r[ xmax

Para a direção y o momento máximo se dará em um ponto um pouco afastado do centro como indica a figura do tôpo da tabela 2.

Para o cálculo do momento máximo na direção y, usa-se a ta­bela 2 C que dá os coeficientes K3 para cálculo de M yma x pela fór­mula:

Mymax = KaP

y A tabela 2 C dá também os valores de - que serve para a deter­

Z,,, minação da distância y do ponto de momento máximo na direção y, como indica a figura do tôpo da tabela 2.

EXEMPLO DE APLICAÇÃO

Seja calcular uma laj e de ponte simplesment e apoiada no con­tôrno com vãos l,,, = 4,60 m e lv = 6,09 m e suj eita às seguintes cargas (fig. 8):

1) Carga permanente para espessura d = 20 cm e camada do pavimentação de 15 cm de espessura média.

2) Mu!Lidít d 500 kg/m2•

3) H.olo comp re l:!H OI' 1,ipo ' de 2 1 (, .

() 1011fi«i<111 (,t' d< i11qmt1(,o d11, 1•11,1· 11.1'1 1t.<•id111l.11i H e d~ d1 11 I,

N I

Carga permanente

Para a carga permanente usaremos as tabelas usuais (tabela 1 do Curso Prático de Concreto Armado, do autor).

A carga total permanente por m 2 será:

pêso próprio: 0,20 X 2 400 = 480 kg/m 2

revestimento: 0,15 X 2 000 = 300 kg/m 2

Total: 780 kg/m 2

Os momentos serão, para l /l - 6,90 - 1 50 (1)· y "' - 4 60 - ' .

' M _ 780 X 4,602

"' - 13,9 780 X 4,602

1,19 tm My = 31 3

= 0,53 tm '

Multidão

Para a carga de multidão, calcularemos os momentos supondo esta carga uniformemente distribuída em tôda a laje e depois dedu­ziremos os momentos para cargas parcialmente distribuídas na área ocupada pelo compressor, pois nesta área não atua a carga de mul­tidão.

Para lajes pequenas, não haverá influência da carga de mul­tidão pois o rôlo compressor ocupará pràticamente tôda a laje. N o caso porém de lajes grandes, a dedução da carga de multidão se fará para as áreas 8 1, 82 e 83 indicadas na figura 8.

Para a roda da frente, deve-se deduzir a carga de multidão na área parcial central 8 1 da figura 8, igual a 2,50 X 3,00.

Para as rodas trazeiras, deduzimos a~ cargas correspondentes às áreas 8 2 e 8a da figura 8.

A redução da carga de multidão referente à roda dianteira se' fará deduzindo os momentos correspondentes à carga de multidão plu·cialmonto distribuída na área central 8 1 usando a tabela 2.

Pi1rn as rodas trazeiras, o cálculo dos moment os transmitidos po r < HLHH rodns 6 feito considerando a carga como concent rada por H< (,ru.(,11,r do cnrga xcôntrica em que a influência devida a repar­t.ic,: o dt <:11.q~n. HO fn.z a nLír pon o no Á,lc11lo dos moment os no 1rn1l,rn cl 11, lu.j1. N<H(,c citHo, n cl< duç:o cl cnrp;n, d vidft i1 mlll­t.id ,o f1 Í l,H dirni 1111 i11cl o, do p(\Ho cio OOlll p l'OHliOI' t.r11.rlH1t1iLido pohtH

( 1) ( '"º "" 1•,. 1 1111 do C'110 11•011 l11 Ao 11111cl11

1'1'11t1 li' 1)1)

100

rodas, a carga de multidão ·correspondente às áreas S 2 e S3 da fi­gura 8.

Para a carga de multidão total, teremos:

p = 500 X 1,4 = 700 kg/m2

M _ 700 X 4,60 2 _ l O

., - 13,9 - ' 6 tm

M = 700 X 4,602 = O 47

Y 313 ' tm '

As deduções correspondentes às cargas das áreas não carregadas pela multidão serão feitas após o cálculo dos momentos devidos à carga do rôlo compressor.

Rôlo compressor

· Para a roda dianteira, teremos a carga de 10 t (norma brasi­léfra NB-1), distribuida na área (NB-1 art. 12 e NB-2 art. 19):

t., = 1,00 + 2 X 0,35 = 1,70 m tu = 0,10 X 2 X 0,35 = 0,80 m

: ,. ·

Com o valor: ;1 1

ly 6,90 e = - --=-=15

l., 4,60 '

e com:

t., - 1,70 = o 37 .!L = 0,80 = o 87 l., 4,60 ' i • 1 ' l., - 4,60 '

encontramos, na tabela 2, os coeficientes:

Ki = ô,120 K2 = 0,050

A carga total será:

P = 1,4 X 10 = 14 t

Portanto:

M., • 0,1 20 X 14

M" o,or;o x 1

1,0 (,lll

0, 70 (,111

J ,'l'l'l'/1'1'111'

Deyemos subtrair dêstes valores os. momentos devidos à ,mul­tidão na área de 2,50 X 3,00 indicada ~a figura .8 . .

Teremos:

P = 700 X 2,50 X 3,00 = 5,25 t

~ = 2,50 = o 54 l., 4,60 '

.!L = 3,00 = o 65 l., 4,60 '

Utilizando a tabela 2, teremos os momentos:

r-1 1 '° 1 C\J 1-1 r--1 1 IO 1 C\J ,-1 L-

l. 1,50 · I ·

M,, = 0,113 X 5,25 = 0,59 tm M u = 0,061 X 5,25 = 0,32 tm

r1 = 6,9o 1,95 • I

·I · 1,50 1,50 1.,50 ·I Fig. 8

o 1()

N"

o ID .j" .. H

Para as rodas dianteiras, tomamos como carga concentrada nestas rodas a carga do compressor menos a carga de multidão c0rr spondcnte às áreas S2 e S3 da figura 8.

T r mos:

PôHo d ~t rod~t (NB-6): 1,4 X 6 = 9,8 t ( 'ri rp;rt cl c mult,id ~o (fi p;. 8)

l ,2õ X 1, lló X 700

l ,.'/'J.'l /.'l'/1 1.'1

1,7 (,

H, 1 (,

J() J

10

Considerando esta carga como concentrada na posição indicada na figura 8, temos

X

l,, 0,45 =o 10 4,60 '

.JL l,,

1,50 4 60 '."'" 0,33 '

Entrando na tabela 1, calcularemos os momentos fletores no centro da laje.

Supondo a carga 8,1 t como uniformemente distribuída, obte­remos os momentos:

8,1 0,552 q=

4,60 X 6,90

0,552 X 4,602

13,9 0,840 - 0,552 X 4,602

MY = 313 0,373 '

Entrando na tabela 1, teremos:

K1 = 0,29 K2 = 0,65

Portanto:

M,,, 0,29 X 0,840 = 0,244

M y 0,65 X 0,373 = 0,242

os momentos centrais finais serão:

M,,, = 1,19 + 1,06 + 1,86 - 0,59 + 0,24 = 3,58 tm

M 11 = 0,53 + 0,47 + 0,70 - 0,32 + 0,24 = 1,62 tm

(continua no próximo número)

ACABA DE SAIR

HIPEREST ÁTICA PLANA GERAL 3.º VOLUME

...

A venda na red çõo de ESTRUTURA

/f,',''I NI /'/'/ I l.'11

E JL. lx

0,1 0,2

1 0,3 0,4 0,5 --C.def. -- --

0,15 0,25

l,l 0,35 0,45 0,55 --C.def. -- --

0,1 0,2 0,3

1,2 0,4 0,5 0,6 --c. def.

-- --0,15 0,25 0,35

1,3 0,45 0,55 0,65 --C.do f. -- --

0,1 0.2 0,8

J,4 0,1 o,r, 0,6 0,7 -e • <11 r. 0, 1 0,!111 li , 11.

l, Nf O, h 11,11 11,l

1 , oli1

TABELA N.• 1

MOMENTOS NO CENTRO PARA CARGA CONCENTRADA

r-i •P

+M, M, 1

'· Coeficientes k1

X: l,,

0,1 f

0,2 1

0,3 1

0,4

0,15 0,34 0,58 0,81 0,26 0,60 1,09 1,62 0,30 0,72 1.41 2,31 0,27 0,68 1,41 2,90 0,25 0,62 1,27 2,61 --------

0,22 0,53 1,02 1,80 --------

0,22 0,48 0,775 1,05 0,32 0,71 1,22 1,76 0,35 0,81 1,50 2,44 0,325 0,765 1,49 2,88 0,305 0,705 1,36 2,62 --------

0,26 0,59 1,07 1,78 --------

0,15 0,31 0,475 0,61 0,28 0,595 0,935 1,24 0,365 0,80 1,33 1,86 0,39 0,885 1,58 2,46 0,365 0,83 1,56 2,90 0,345 0,78 1,43 2,62 --------

0,29 0,63 1,12 1,75 --------

0,216 0,435 0,645 0,815 0,331 0,685 1,06 1,37 0,40 0,863 1,41 1,95 0,423 0,935 1,63 1,52 0,396 0,883 1,61 2,89 0,376 0,830 1,48 2,65 --------

0,32 0,68 1,16 1,72 --------

0,130 0,272 0,393 0,485 0,266 0,533 0,785 0,975 0,370 0,762 1,160 1,49 0,438 0,925 1,485 2,02 0,448 0,985 1,710 2,56 0,420 0,03 1,655 2,92 0,4.00 0,875 1,53 2,67 - ------(), :\4 0,7 1 J, 10 1,(1!) -- - -o, · r1~ 0,11lH 0,710 (),llfl 11,107 O,H~H 1,' 411 1,llf) o,.111•j o ,111n 1,n !.l, lfl ll ,•17:1 1,11' n 1,7 1 11,0 1 11, 111 11,11 1111 1,711 ·•,t i 11,1':1 11,\11 ~ l J,H ',7 1

ll ,1lh ll ,'T I f ,'' 1,1111

j

1, E = .!x_ l,,

· onde: M,, e M y são os momentos para a carga P suposta uniformemente distribuída em toda a lage.

Coeficientes k2

Carga X: lx

Carga y de

lx de

0,5 faixa.

0,1 1

0,2 1

0,3 1

0,4 j 0,5 faixa

0,92 0,47 0,1 0,15 0,26 0,30 0,27 0,25 0,22 1,88 0,90 0.2 0,34 0,60 0,72 0,68 0,62 0,53 3,01 1.27 0,3 0,58 1,09 1,41 1,41 1,27 1,02 4,66 1,52 0,4 0,81 1,62 2,39 2,90 2,61 1,80

"' 1,61 0,5 0,92 1,88 3,01 4,66 "' 2,82 -- -------------- --

2,82 C.def. 0,47 0,90 1,27 1,52 1,61 -- -------------- --

1,17 0,64 0,15 0,18 0,305 0,34 0,30 0,27 0,26 2,01 1,02 0,25 0,55 0,65 0,77 0,70 0,63 0,57 3,02 1,33 0,35 0,63 1,18 1,53 l,51 1,34 1,11 4,50 1,54 0,45 0,88 1,78 2,63 3,12 2,86 1,97

"' 1,62 0,55 1,00 2,06 3,32 5,16 "' 3,10 -- ------------ - ---2,61 C.def. 0,47 0,91 1,28 1,51 1,59 -- --,_ ---------- ---

0,665 0,39 0,1 0,07 0,12 0,115 0,09 0,07 0,09 1,36 0,89 0,2 0,19 0,32 0,34 0,28 0 ,24 • 0,25 2,11 1,09 0,3 0,39 0,(39 0,80 0,71 0,62 0,58 3,02 1,38 0,4 0,68 l,28 1,65 1,61 l,41 1,19 4,39 1,57 0,5 0,97 1,95 2,90 3,50 3,13 2,18

"' 1,63 0,6 1,10 2,28 3,68 5,76 "' 3,46 -- ------------,_ --

2,46 C.def. 0,48 0,91 1,28 1,51 1,59 -- --,_ ---------- ---

0,882 0,53 0.15 0,072 0,104 0,084 0,036 0,013 0,01 1,50 0,85 0,25 0,192 0,308 0,308 0,224 0,172 0,23 2,18 1,15 0,35 0,415 0,72 0,815 0,695 0,586 - 0,59 3,04 1,41 0,-15 0,74 1,385 1,78 1,72 1,485 1,28 4,34 1,59 0,55 1,07 2,14 3,20 3,86 3,44 2,40

"' 1,65 0,65 1,21 2,52 4,10 6,45 "' 3,88 -- ------------,_ --

2,36 C.def. 0,48 0,92 1,28 1,51 1,58 ,_ -------------- --0,52 0,28 0,1 0,005 -0,005 -0,037 -0,074 -0,093 -0,03 1,05 0,63 0,2 0,056 0 ,065 0,014 -0,055 -0,102 0,01 1,62 0,93 0,3 0,185 0,282 0,255 0,134 0,065 0,18 2,27 1,21 0,4 0,44 0,755 0,835 0,670 0,540 0,60 3 ,07 1,-!5 0,5 0,815 1,52 1,95 1,85 1,58 1,39 4,32 l,fi2 0,6 1,195 2,40 3,59 4,35 3 ,84 2,70

"' 1,67 0,7 1,36 2,83 4,63 7,35 "' 4,40 -- -- ---------- --

2,28 'C.dof. 0,48 0,92 1,28 1 ,51 1,58 -- ------------- - --

O,IM/i o.no 0, 2 - 0,0,lt -o.ooo - 0,110 - 0, 230 - 0,208 -o, 2 1,7:1 ll,\)I) 0,:15 0, 17 1 0, 2,1() (), 177 0,0111 - 0,070 'f" 0,12 :.i ,:in l ,'0 u, .1n 0,1111/í 0,71W 0,Hlíi O,M ll, 40 0,110 a, I ' 1,41) 11,M O,llH~ 1,llH ', I li :1,111 1,1111 1,n· ,1,:tt 1,11'1 0 ,1111 1,Hi ",70 '1,11 4,\10 4 ,:ti) ':1,1)!1

"' 1,70 11,7 I Jl:t :t,' o r,1" 1 H,:111 ... 1\,00 -= . ' 1° oli f li, IH 11,11 ' 1, 1 M l ,h l 1,n7 '

TABELA N. 0 2

MOMENTOS PARA CARGA DISTRIBUIDA PARCIAL NO CENTRO.IDE LAJES SIMPLESMENTE APOIADAS

Coeficientes ki, k2 e ka dados nas tabelas A, B e C, respectivamente.

ty l.,

1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 04 0,3 0,2 0 ,1 0,05

I OI

ly

~--------

Caso: ly = l.,

A, B e c. MOMENTOS CENTRAIS M.,m = Mym (coeficientes ki = k2 = ka)

t.,: l.,

1,0 1

0,9 1

0,8 1

0,7 1

0,6 1

0,5 1

0,4 J

0,3 1

0,2 1

0.1 1

0,0368 0,0407 0,0451 0,5000 0,0556 0,0620 0,0693 0,0777 0,0871 0,0978 0,0405 0,0447 0,0495 0,0594 0,0611 0,0683 0,0764 0,0855 0,0959 0,1077 0,0439 0,0485 0,0536 0,0595 0,0664 0,0741 0,0831 0,0933 0,1049 0,1181 0,0471 0,0520 0,0576 0,0641 0,0715 0,0800 0,0897 0,1011 0.1141 0,1290 0,0500 0,0554 0,0614 0,0682 0,0762 0,0854 0,0962 0,1089 0,1236 0,1107 0,0527 0,0582 0,0646 0,0719 0,0805 0,0906 0,1025 0,1166 0,1334 0 ,1532 0,0549 0,0608 0,0675 0,0753 0,0843 0,0952 0,1083 0,1241 0,1444 0,1()71 0,0567 0,0628 0,0697 0,0779 0,0875 0,0992 0,1134 0,1312 0,1536 0,1846 0,0581 0 ,0643 0,0715 0,0799 0,0900 0,1023 0,1178 0,1372 0,1634 0 ,2001 0,0589 0,0652 0,0725 0,0811 o 0915 0,1042 0,1203 0,1415 0,1713 0,2186 0,0591 0,0655 0,0728 0,0814 0,0919 0,1047 0,1211 0,1427 0,1737 0,2260

11s·1·1•11 •t1 n,•,,

0,05

0,1036 0,1142 0,1253 0,1372 0,1501 0,1644 0,1807 0,2000 0, 221 1 0, 2550 0,2737

ty l.,

1,0 1

0,9 1

1,1 0,0406 0,0449 1,0 0,0443 0,0489 0,9 0,0478 0,0528 0,8 0,0511 0,0564 0,7 0,0542 0,0599 0,6 0,0570 0,0630 0,5 0,0596 0,0658 0,4 0,0617 0,0682 0,3 0,0635 0,0702 0,2 0,0648 0,0716 0,1 0,0656 0,0725 0,05 0,0658 0,0728

tu T;

1,0 1

0,9 1

1,1 0,0326 0,0358 1,0 0,0358 0,0393 0,9 0,0394 0,0432 0,8 0,0435 0,0477 0,7 0,0482 0,0529 0,6 0,0536 0,0590 0,5 0,0599 0,0659 0,4 0,0672 0,0739 0,3 0,0755 0,0830 0,2 0,0849 0,0935 0,1 0,0955 1,1053 0,05 0,1013 0,1117

~![ JL

TABELA N.0 2, (continuação) Caso: l 11 "" 1,1 l .,

A. MOMENTOS CENTRAIS M.,m (coeficientes ki)

t., : l.,

0,8 1

0,7 1

0,6 1

0,5 1

0,4 1

0,3 1

0,2 1

0,1 1

0,0495 0,0546 0,0604 0,0667 0,0739 0,0819 0,0908 0,1007 0,0540 0,0596 0,0658 0,0728 0,0806 0,0894 0,0991 0,1100 0,0582 0,0643 0,0'711 0,0787 0,0873 0,0969 0,1076 0,1196 0,0632 0,0688 0,0762 0,0845 0,0938 0,1044 0,1163 0,1297 0,0661 0,0732 0,0811 0,0901 0,1003 0,1120 0,1253 0,1403 0,0697 0,0771 0,0857 0,0954 0,1066 0.1196 0,1346 0,1518 0,0728 0,0808 0,0899 0,1004 0,1126 0,1272 0,1442 0,1642 0,0756 0,0839 0,0936 0,1049 0,1181 0,1345 0,1541 0,1779 0,0778 0,0865 0,1)967 0,1088 0,1234 0,1415 0,1642 0,1932 0,0794 0,0885 0,0991 0,1118 0,1275 0,1475 0,1739 0,2106 0,0805 0,0896 0,1005 0,1137 0,1302 0,1517 0,1817 0,2291 0,0807 0,0900 0,1009 0,1142 0,1309 0,1529 0,1841 0,2366

B. MOMENTOS CENTRAIS M ym (coeficientes k2)

t.,: l.,

0,8 l 0,7 1

0,6 1

0,5 l 0,4 l 0,3 1

0,2 1

0,1 1

0,0388 0,0417 0,0442 0,0465 0,0485 0,0500 0,0511 0,0518 0,0426 0,0457 0,0485 0,0510 0,0532 0,0549 0,0561 0,0569 0,0469 0,0503 0,0535 0.0562 0,0586 0,0605 0,0620 0,0628 0,0518 0,0556 0,0591 0,0623 0,0650 0,0672 0,0688 0,0697 0,0575 0,0617 0,0657 0,0694 0,0725 0,0751 0,0770 0,0782 0,0640 0.0689 0,0735 0,0777 0,0814 0,0845 0,0869 0,0883 0,0717 0,0773 0,0826 0,0876 0,0921 0,0960 0,0990 0,1019 0,0805 0,0870 0,0933 0,0994 0,1051 0,1101 0,1142 0,1169 0,0906 0,0982 0,1059 0,1134 0,1208 0,1277 0,1337 0,1380 0,1022 0,1112 0,1205 0,1301 0,1401 0,1501 0,1598 0,1677 0,1154 0,1261 0,1375 0,1500 0,1637 0,1790 0,1964 0,2150 0 ,1226 0,1343 0,1470 0,1611 0,1773 0,1965 0,2205 0,2520

c. MOMENTOS MÁXIMOS M ymax (coeficientes k3)

0,05

0,1060 0,1158 O, 1261 0,1369 0,1486 0,1613 0,1754 0,1916 0,2107 0,2347 0,2662 0,2843

0,05

0,0520 0,0571 0,0630 0,0700 0,0785 0,0887 0,1014 0,1176 0,1391 0,1701 0,2224 0,2700

l., lx 1,0 1 0,9 1 0,8 1 0,7 1 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 1 0,05

> 0,77

0,7 (),(1

º· '' (l, il o.a 0,:.1 0, 1 o,or,

0,55

0,475 0,425 0,4 00 o .~80 o.:rno o,:1nn o, :ino o.ano

o o o o o o o o

,0482 ,0538

·ºººª ,0078 ,0763 ,081ll!

·ºººº ,1 024

0,0529 0,0576 0 ,0618 0,0658 0,0592 0,0642 0.0692 0,0738 0,0663 0,0722 0,0778 0,0832 0,0715 0,0812 0,0878 0,0942 0,0839 0 ,0916 0,0993 0,1071 0,0946 0,1034. 0,11 25 0,1 219 0,JOOll o , lJ 07 0, 1276 0 ,1301 0,!1 29 0,l230 0,!358 0,11 86

N11 l 11, N11 ll11h 11 lu , · 0,77, l,111110H 11 /, I

t io 11 1 r d11 1•11 111 11, l 11,ii l' l11, li,

I , , l'l.'/ l l'/ 111' l

0,0695 0,0726 0,0752 0,(l771 0,0783 0,0786 0,0780 0,0818 0,0849 0,0873 0,0888 0,0892 0,0883 0,0928 0,()9G8 0,0998 0,1018 0,1023 0,1004 0, 1062 0 ,1113 0,1154 0,1182 0,1189 0,1147 0,1 222 0,1 292 0,1353 0,1397 0 ,1408 0,1317 0,1418 0,1 .519 0,1617 0,1697 0,1721 0,1518 0 ,161l6 0,1810 0.1985 0,2171 0,2~45 0,1629 0,1 792 o, 1085 0, 2226 0, 2542 0 ,2722

-

/ (1 1

1,2 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,05

1,2 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,05

1, 2 1,0 0,0 0,8 0,7 () ,() 0,11 0,4 0,11 0, ll 0 , 1 (),ll

I (} (1

TABELA N. 0 2 (continuação)

Caso: l11 = 1,2 l:r; A. MOMENTOS CENTRAIS M zm

t,,: l.,

1,0 1

0.9 1

o.8 1

o.7 1

o.6 1

0.5 1

0.4 1

0,3 1

0.2 1

0.1 1

º·º5 0,0436 0,0507 0,0541 0,0572 0,0602 0,0629 0,0654 0,0675 0,0692 0,0704 0,0712 0,0714

0,0482 0,0559 0,0597 0,0632 0,0665 0,0695 0,0722 0,0745 0,0764 0,0778 0 ,0787 0,0789

0,0530 0,0616 0,0657 0,0696 0,0733 0.0767 0,0797 0,0824 0,0845 0,0861 0,0871 0.0873

0,0583 0,0678 0,0723 0,0767 0,0808 0,0847 0,0882 0,0912 0,0937 0,0956 0,0968 0,0971

0,0640 0,0745 0,0796 0,0845 0,0892 0,0936 0,0977 0,1013 0,1043 0,1067 0,1081 0,1084

0,0703 0,0820 0,0877 0,0932 0,0986 0,1038 0,1086 0,1130 0,1168 0,1198 0,1217 0,1221

0,0773 0,0902 0,0966 0,1029 0,1092 0 ,1154 0,1213 0,1268 0,1318 0, 1358 0,1384 0,1391

B. MOMENTOS CENTRAIS Mym

t,,: l,,

0,0850 0.0993 0,1065 0,1138 0,1212 0,1286 0,1360 0,1432 0,1500 0,1559 0,1601 0,1613

0 ,0934 0,1093 0,1175 0,1259 0,1347 0,1438 0,1532 0,1630 0 ,1729 0,1826 0,1904 0,1927

0,1026 0,1202 0,1296 0,1394 0,1499 0,1611 0,1733 0,1869 0,2021 0,2194 0,2379 0,2454

0,1075 0,1261 0,1361 0,1467 0,1581 0,1706 0,1846 0,2006 0,2197 0,2435 0,2750 0,2931

1,0 1 0,9 1 0,8 1 0,7 1 0,6 1 0,5 1 0,4 1 0,3 1 0,2 1 0,1 1 0,05

0,0286 0,0341 0,0376 0,0415 0,0461 0,0515 0,0578 0,0649 0,0732 0,0826 0,0932 0,0989

JL l.,

0,6 0,540 0,475 0,440 0,4 1/l o. ano o, a111 O, :HIO o.ar.o o,: i-io o ,a:ir, o,:1:w

0,0314 0,0375 0,0412 0,0456 0,0.506 0,0565 0,0635 0,0714 0,0805 0,0909 0,1027 0,1091

1,0 1

0,0286 0,03·11 0,0377 0,Ü'll9 0,04 08 0,0520 o,or,0:1 0,01107 0 ,07M O,OH/l () ll ,1lll r1H O, lll l ll

0,0341 0,0406 0,0447 0,0495 0,0550 0,0615 0,0691 0,0778 0,0879 0,0995 0,1126 0,1198

0 ,0365 0,0436 0 ,0480 0,0531 0,0591 0,0662 0,0745 0,0841 0,0953 0,1083 0, 1231 0,1313

0,0388 0,0463 0,0510 0 ,0565 0,0630 0,0706 0,0796 0,0903 0,1028 0,1174 0,1344 0,1438

0,0407 0,0486 0,0535 0,0595 0,0665 0,0747 0,0845 0,0962 0,1102 0,1269 0,1467 0,1578

0,0424 0,0506 0,0559 0,0620 0,0695 0,0782 0,0889 0,1017 0,1174 0,1367 0,1603 0,1739

0,0437 0,0522 0,0576 0,0641 0,0720 0,0813 0,0926 0,1067 0,1243 0,1467 0,1755 0,1930

0,0447 0,0534 0 ,0590 0,0657 0,0737 0,0835 0,0956 0,1107 0,1302 0,1536 0,1929 0,2169

0,9 1

0,0314 0,0375 0,0414 0,0400 0,0511 0.0577 0,0íllí l 0,07:l4 () ,(JR20 o,011:in o, 1or1r1 0, 11 ' 1)

C. MOMENTOS MÁXIMOS Mymax

0,8 1

0,0341 0.0406 0,0449 0.0500 0,0550 0,0628 0,070!)

º·ºªºº o.ono~

º· 'º ~'I O, 11 r,7 0 , 1:.1' li

0,7 1

0,0365 0,0436 0.0482 0, 05~(l 0.0601 0,0fJ77 0,07(1r, o. osnn O,OflR I o, 111 r; o, 1 ~11n 0, l:J Ili

0,6 1

0,0388 0.0463 0,0513 0,0fi71 0.0641 0,0722 0.08 18 0,0021) O, IOritl 0, l ~!IH n, 1:11m O, 14 1r1

0,5 1

0 ,0407 0,0486 0.0538 0,0602 0,0077 0,0705 0,08(18 0 .0001 0, 11 :\ll O, 1:1 011 O, l r.1111 0, llll H

0,4 1

0,0424 0,0507 0.0563 0,0628 O,ü708 0.080 1

º·ºº" (), 1 0~8 0.1 ~ 10 o.1~n11 0 , 1111 11 0 , llllU

0,3 1

0,0437 0,0528 0,0580 0,0650 0,0734 O,OS:J:l 0 ,0llll:! 0, 10011 (J, I' HO n, 1r1uH 0,:171111 0, 111\1 1

0,2 1

0,0447 0,0535 0,0505 o.ouoo 0.071)2 0,01!50 0 ,008 1 (), 11 4 1 011:M 1 O,ll lfll l 0.1 1111 1 o,·· 111

0,0453 0,0541 0,0598 0,0666 0,0749 0,0849 0,0974 0,1133 0,1344 0,1641 0,2113 0,2483

0,1

0,01õ3 0,0M2 o.ono:i 0.011711 0, 0711 fi O,OH7 t o, 100:1 O. 111\H 0 1 l :IH I O, ll\Hr1 O,' ll lU 0,'111: \ll

1'.':'l'I.'/ /'l'/ 111'

0,0455 0,0543 0,0600 0,0669 0,0752 0,0853 0,0979 0,1140 0,1355 0,1664 0,2187 0,2664

1 0,05

0,04 M 0,0M-t, 0,011()/'I (),()1 1711 0,07111! 0,11871> O,lllllH O, 1 17'> 0,1 :1111 li, t711H 01"'1:1 1 0 ,''111.I

N• I

1.3 1,0 . 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,5

1,3 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,05

1 .~ ll ,HH1t 0 ,11 O,'/ 11,11 11, 11 11, 1 11,.1 li ' 11:1 11 ,11

TABELA N.0 2 (continuação)

Caso: l11 = 1,3 li; A. MOMENTOS CENTRAIS Mzm

t., : l,,

1,0 1 0,9 1 0,8 1 0,7 1 0,6 1 0,5 1 0,4 1 0,3 1 0,2 1 0,1 1 0,05

0,0459 0,0561 0,0593 0,0623 O,OG52 0,0678 0,0702 0,0722 0,0738 0,0750 0,0757 0,0759

0,0506 0,0618 0,0654 0,0687 0,0719 0,0748 0,0774 0,0796 0,0815 0,0828 0,0836 0,0838

0,0556 0,0680 0,0720 0,0757 0,0792 0,0825 0,0854 0 ,0880 0,0900 0,0916 0,0925 0,0928

0,0609 0 ,0747 0,0790 0,0832 0,0872 0,0909 0,0942 0,0972 0,0996 0,1015 0,1026 0,1029

0,0667 0,0818 0,0867 0,0914 0,0959 0,1002 0,1042 0,1077 0,1106 0,1128 0,1142 0,1146

0,0730 0,0896 0,0951 0,1005 0,1057 0,1107 0,1154 0,1197 0,1234 0,1263 0,1281 0,1286

0,0797 0,0982 0,1043 0,1105 0,1166 0,1225 0,1283 0,1337 0,1386 0,1425 0,1452 0,1459

B. MOMENTOS CENTRAIS M ym

t,, : l,,

0,0871 0,1075 0,1145 0,1216 0,1287 0,1360 0,1432 0,1503 0,1571 0,1629 0,1691 0,1683

0,0950 0,1177 0,1256 0,1339 0,1424 0 ,1513 0,1606 0 ,1703 0, 1801 0, 1897 0,1974 0,1998

0,1036 0,1287 0,1378 0,1474 0,1576 0,1687 0,1807 0,1942 0 ,2093 0,2266 0,2449 0,2524

0,1082 0,1347 0,1444 0,1548 0,1660 0,1723 0,1921 0,2080 0,2270 0,2507 0,2821 0,3002

1,0 1 0,9 1 0,8 1 0.7 1 0,6 1 0,5 1 0,4 1 0,3 1 0,2 1 0,1 1 0,05

0,0250 0,0323 0,0356 0,0395 0,0441 0,0495 0,0557 0,0628 0,0711 0,0805 0,0911 0,0968

0,M (),4'12 o.~ 1 r. o,:rnr, o,:1n. 11, :t llll 11 ,!lltll 11 ,:1 10 11 .:1:111 n,:1·1r1

01.I ' t1

0,0274 0,0354 0,0391 0,0434 0,0484 0,0543 0,0612 0,0691 0,0782 0,0886 0,1104 0,1068

0,0297 0,0384 0,0424 0,0471 0,0526 0,0591 0,0666 0,0753 0,0854 0,0969 0,1101 0,1173

0,0318 0,0412 0,0455 0,0506 0,0565 0,0636 0,0718 0,0814 0,0926 0,1056 0,1204 0,1286

0,0337 0,0438 0,0484 0,0538 0.0602 0,0678 0,0768 0,0874 0,0999 0,1145 0,1316 0,1410

0,0354 0,0460 0,0508 0,0566 0,0635 0,0717 0,0815 0,0932 0,1072 0,1239 0,1437 0,1548

0,0369 0,0479 0,0530 0,0591 0,0664 0,0752 0,0858 0,0986 0,1143 0,1336 0,1571 0,1708

e. MOMENTOS MÁXIMOS M ymax

t,, : l:r;

0,0380 0,0494 0,0547 0,0611 0,0688 0,0781 0,0894 0,1035 0,1210 0,1434 0,1723 0,1898

0,0388 0,0505 0,0560 0,0626 0,0706 0,0803 0,0923 0,1074 0,1269 0,1530 0,1896 0,2136

1,0 1 0,9 1 0,8 1 0,7 1 0,6 1 0,5 1 0,4 0,3 1 0,2 1

0,0250 0.0:104 0,fMO!l 0,04110 o.o lll 0,0nHll 0 ,11 1111 1 0 ,07,IH 11,llHln ll ,llll l1!1 ll , llllll

0,0274 0,0400 0,0449 o.o oe 0,!1500 (),l)flil4 11,(17:.lH 0 , 11 11~: 1 o,1111ao 0 , 111 li 11, 111 ,i

0,0297 0,0433 0,0488 0,054() 0,0020 0 ,0 701 0,0111 :1 O,OH\111 !l, 101 7 (1 , 11 11 1 O, t••• 1

0,0318 0.0466 0,0525 0,0590 0,00(18 0,07ó(l o,oAr.~ O,Oll7r1 ti, 11011 11, I" H 0,1!1 11

0,0337 0,0495 0,0559 0,0629 0,071 2 0.0809

º·ºº' 1 o.1on1 o,1·.•111 O, t!l7•1 11,1'1! \l

0,0354 0,0522 0,0588 0,0605 0,0754 0,0850 O,OOll~ O, 11 28 0 , 1' llH 11, 1111 11 11, 11111

0,0369 0,054.5 0,0615 0,0696 0,0791 0,0\)04 0, 1 0~0 0,120:.l

º·'ªºº o, 111:11 0, 177 l

0,0380 0,0563 0,0637 0,0722 0,0822

º·ºº'l3 0,1001 0,1 27 :.l 0,141)0 0 ,17111 0 , 111117

0,0388 0,0577 0,0653 0,0741 0,0846 0,0973 0,11:12 O, 1 aa~ o. 1no1 0, l tll l'l 11 .~· 01

0,0393 0,0512 0,0568 0,0635 0,0716 0,0817 0,0941 0,1100 0,1311 0,1607 0,2080 0,2450

0,1

0,0393 0,0585 0,0663 0,0752 0,0861. 0,0903 0,11 50 0, I :1111 0 , 11170 O,' t n~ o; n· a

0,3095 0,0514 0,0570 0,0637 0,0719 0,0820 0,0946 0,1107 0,1322 0,1631 0,2154 0,2630

1 0,05

0,0395 0,0587 0,0665 0,0755 0,0864 0,0908 O, l Hl6 O,t ilR7 0,170() (),' 2' li O,' 70!1

/ ,, 1'1'11 ! 'Ili'\ N~ J 107

'

. . • 1

':l'ABELA N. 0 2 (continuaçã;o) TABELA N.0 2 (continuação)

Caso: ly = 1,4 l,, A. .MOMENTOS CENTRAIS M xm

Caso: ly = 1,5 l.,

A. MOMENTOS CENTRAIS Mxm

1 t,,: l,,

lx 1,0 1

0,9 1

0,8 1

0,7 1

0,6 1

0,5 1

0,4 1

0,3 1

0,2 1

0,1 1

0,05

tx : l,, ~ lx 1,0

1 0,9

1 0,8

1 0,7

1 0,6

1

0,5 1

0.4 1

0,3 1

0,2 1

0,1 1

0,05

1,4 0,0475 0,0523 0,0574 0,0628 0,0685 0,0747 0,0812 0,0883 0,0959 0,1040 0,1082 1,0 0,0606 0,0668 0,0733 0,0803 0,0878 0,0960 0,1048 0,1143 0,1246 0,1358 0,1419 0,9 ô,0636 0,0701 0,0771 0,0845 0,0925 0.1012 0,1106 0,1210 0,1324 0,1446 0,1512 0,8 0,0665 0,0734 0,0807 0,0885 0,0970 0,1064 0,1165 0,1279 0,1404 0,1540 0,1613 0,7 0,0693 0,0764 0,0840 0,0923 0,1013 0,1114 0,1225 0,1349 0,1487 0,1640 0,1723 0,6 0,0718 0,0792 0,0872 0,0959 0,1055 0,1163 0,1283 0,1420 0,1574 0,1749 0,1845 0,5 0,0740 0,0817 0,0900 0,0991 0,1093 0,1209 0,1339 0,1491 0,1666 0,1868 0,1981 0,4 0,0760 0,0839 0,0925 0,1020 0,1127 0,1251 0.1392 0,1560 0,1761 0,2002 0,2140 0,3 0,0775 0,0856 0,0945 0,1044 0,1156 0,1287 0,1440 0,1627 0,1859 0,2152 0,2328 0,2 0,0787 0,0869 0,0960 0,1062 0,1177 0,1315 0,1479 0,1685 0,19.54 0,2324 0,2566 0,1 0,0794 0,0877 0,0969 0,1073 0,1191 0,1333 0,1505 0,1726 0;2031 0,2507 0,2879 0,05 0,0796 0,0879 0,0971 0,1076 0,1195 0,1338 0,1512 0,1738 0,2055 0,2581 0,3060

1,5 0 ,0485 0,053-5 0,0586 0,0640 1 O,OB96 0 ,0757 0,0821 0,0888 0,0961 0,1037 0,1077 1,0 0 ,0642 0,0707 0,0777 0,0849 0,0927 0 ,1011 0,1100 0,1197 0,1302 0,1414 0,1474 0,9 0,0671 0,0739 0,0812 0,0889 0,0972 0,1061 0,1158 0,1263 0,1377 0,1501 0,1566 0 ,8 0,0699 0,0770 0,0846 0,0927 0 ,1016 0,1111 0,1216 0,1330 0,1445 0,1593 0,1666 0,7 0,0725 0,0800 0,0879 0 ,09 f.5 0 ,1058 0,1160 0,1273 0,1398 0,1538 0,1691 0,1774 0,6 0,0749 0,0827 0,0910 0,1000 0, 1098 0,1208 0,1330 0,1468 0,1624 0,1799 0,1894 0,5 0,0771 0,0851 0,0938 0,1031 0,1135 0,1253 0,1385 o, 1538 0,171·1 0,1917 0,2030 0 ,4 0,0790 0,0871 0,0960 0,1050 0 ,1169 0,1294 0,1438 0,1607 0,1808 0,2050 0,2188 0,3 0,0805 0,0889 0,0980 0,1082 0 ,1197 0,1329 0,1486 0,1673 0 ,1905 0,2198 0,2374 0, 2 0,0816 0,0901 0,0995 0 ,1099 0,1218 0,1357 0,1524 0,1730 0,2000 0,2370 0,2613 0,1 0,0823 0,0909 0,1004 0 ,1110 0,1232 0,1375 0,1549 0,1771 0,2078 0,2555 0,2926 0,05 0,0825 0,0911 0,1106 0,1113 0,1235 0,1380 0,1556 0,1783 0,2102 0,2628 0,3106

B. MOMENTOS CENTRAIS M vm .. B . MOMENTOS CENTRAIS Mym

ty t,, ; l,,

tx: lx Z,,

1,0 1

0,9 1

0,8 1

0,7 1

0,6 1

0,5 1

0,4 1

0.3 1

0,2 r

0,1 1

O,Ô5

1,4 0,0216 0,0237 0,0257 0,0276 0,0292 0,0307 0,0319 0,0329 0,0336 0,0340 0,0341 1,0 0,0305 0,0334 0,0363 0,0389 0,0413 0,0434 0,0452 0,0466 0,0476 0,0483 0,0484 0,9 0,0338 0,0371 0,0402 0,0431 0,0458 0,0482 0,0502 0,0519 0,0531 0,0539 0,0541 0,8 0,0377 0,0414 0,0449 0,0482 0,0512 0,0540 0,0563 0,0582 0,0596 0,0606 0,0608 0,7 0,0422 0,0464 0,0504 0,0542 0 ,0577 0,0609 0,0636 0 ,0659 0,0676 0,0687 0,0690 0,6 0,0476 0,0523 0,0568 0,0612 0,0653 0,0690 0,0724 0,0752 0,0774 0,0787 0,0790 0,5 0,0538 0,0591 0,0643 0,0694 0,0743 0,0788 0,0830 0,0866 0,0894 0,0911 0,0916 0,4 0,0609 0,0670 0,0730 0,0791 0,0849 0,0905 0,0958 0,1106 0,1045 0,1070 0,1077 0,3 0,0692 0,0762 0,0832 0,0902 0,0974 0,1045 0,0115 0,1182 0,1240 0,1281 0,1292 0,2 0,0786 0,0866 0,0947 0,1032 0,1120 0,1212 0,1308 0,1406 0,1501 0.1578 0,1601 0,1 0,0892 0,0983 0,1079 0,1180 0,1290 0,1410 0,1544 0,1694 0, 1866 0 ,2051 0,2124 0,05 0,0950 0,1047 0,1150 0,1262 0,1384 0,1.522 0,1680 0,1869 0,2107 0,2420 0,2601

ty T;

1,0 1

0,9 l 0,8 1

0,7 1

0,6 1

0,5 1

0,4 1

0,3 1

0,2 1

0,1 1

0,05

1,5 0,0187 0,0205 0,0222 0,0238 0,0252 0,0265 0,0275 0,0284 0,0290 0,0293 0,0294 1,0 0,0288 0,0316 0,0343 0,0367 0,0390 0,0410 0,0427 0,0440 0,0450 0.0457 0,0458 0,9 0 ,0321 0,0352 0,0382 0,0410 0,0436 0,0458 0,0478 0,0493 0,0505 0,0512 0,0514 0,8 0,0360 0,0395 0,0429 0,0461 0,0490 0,0516 0,0539 0,0557 0,0571 0,0579 0,0581 0 ,7 0,0506 0,0446 0,0484 0,0520 0,0554 0,0585 0,0612 0,0634 0,0651 0,0661 0,0664 0 ,6 0,0459 0,0505 0,0549 0,0591 0,0631 0,0669 0,0700 0,0727 0,0748 0,0761 0,0765 O,õ 0,0521 0,0572 0,0624 0,0673 0,0721 0,0765 0,0806 0,0841 0,0868 0,0886 0,0891 0 ,4 0 ,0593 0 ,0652 0,0711 0,0770 0,0827 0,0882 0,0935 0,0981 0,1020 0,1045 0,1052 0 ,8 0 ,0676 0,0744 0,0812 0,0882 0,0952 0,1022 0,1092 0,1157 0,1215 0,1255 0,1267 0 .2 0 ,0770 0 ,0848 0,0928 0,1011 0,1098 0,1189 0,1284 0,1381 0,1476 0,1553 0 ,1576 0 .1 0 ,0876 0,0965 0,1059 0 ,1160 0,1268 0,1387 0,1520 0,1670 0,1842 0,2024 0,2097 O,Oli 0 ,0933 0,1029 0,1131 0,1242 0,1363 0,1499 0,1656 0,1845 0,2082 0,2394 0,2576

c. MOMENTOS MÁXIMOS M ymax

1 t,, : lx t)J .JL z; lx

1,0 1

0,9 1

0.8 1

0.7 1

0,6 1

0,5 1

0 ,4 1

0,3 1

0, 2 1

0,1 1

0,05

1,4 0,488 0,0218 0,0239 0,0259 0 ,0278 0,0295 0,0310 0,0323 0,0333 0,3041 0 ,034(1 0,0:14(1 0,83 0,415 0,0385 0,0423 0 ,0459 0,0493 0 ,0525 0,0554 0 ,0579 0,0599 0,0(i14 0 .01)24 o,oo:in 0,8 0,405 0,0403 0,0443 0,0481 0 ,0517 0 ,0550 0 ,0581 0,0607 0,0028 0,0644 0,0055 O,Olló7 0 ,7 0,385 0,0454 0,0500 0,0543 0,0584 0 ,0623 0 ,0658 0,0688 0,0714 0,073:3 0,0740 O.Q7•1 0,6 0,370 0,0514 0,0564 0,0614 0,0662 0,0701 0,0748 0,0785 0,08 16 0,0840 O,OSM 0,0811 0,5 0,355 0 ,0582 0,0639 0,0695 0 ,0751 0,0804 0 ,0853 0,0899 O,OIJ:J8 0,0008 0,()1187 0 ,0011' 0 ,·1 0,340 0,0657 0 ,0723 0,0788 0,0854 0,0915 0 ,0077 0 ,10:34· o, 1.080 0, 1127 o, 11 r. ·1 0, 11 111 0 ,3 0 ,330 0 ,0744 0,0820 0,0895 0,0970 0 ,1047 0 ,\123 O, 11 97 0,1207 0, l :J2R o, 1:171 O, l:IH' 0,2 0,325 0,0841 0 ,0027 0 ,1014 0 ,1104 o ,nn8 0,1 204 o,iaor. 0,14U ll o, 1r11M O, 1117 1! 0,111117 0,1 o.~20 0,09 40 0,104·6 0,114 8 0 ,1 ~54 o,1a10 0 ,1401) o, 111aa 0, 1787 (), l llll :J 0,' 1 1 IH o. ~ ··'•" 0,05 0,320 0,1108 0,1110 0,J 2 1() o. 1a:11 0, 1•1()4 (),1007 0 , 1770 0,1011:1 o. ~:.i o1 O,' fil H O,' 7111

c. MOMENTOS MÁXIMOS Mymo.x

t.,: lx 111 71_ l l.,

1,0 1

0 ,9 0,8 1

0,7 1

0,6 1

0,5 1

0,4 1

0 ,3 1

0,2 1

0,1 1

0,05

I J• !l,d )!:.l 0.0102 0 ,0211 0 ,0221) 0,0246 0,0261 0,0275 0,0287 0,0296 0,0303 0,0307 0,0308 Cl ,HllH 0 ,404 O,OUllG 0,04.34 0 ,0471 0,0506 0 ,0539 0 ,0569 0 ,0595 0 ,0615 0,0631 0,0641 0,0643 11 ,7 O,ilHO 0,fl<I BI 0 ,04U!I O,Oõ3!J 0,0580 0,0618 0 ,0653 0,0684 0 ,0709 0,0729 0,0741 0,0744 Cl ,11 11,:rnr. 0,0~ 1 l 0,011()2 0,00 1 l 0,0658 0 ,0703 0 ,0744 0 ,0781 0 ,0812 0 ,0836 0,0851 0 ,0855 0 ,11 11 ,:1no 11 ,111!711 0,011:11! 0,0(li))J 0,074 8 0 ,0800 0 ,0860 0,()396 0 ,0934 0 ,0065 0 ,0984 0,0900 11 ,i 11 ,:1111 11,llllNli O,!l7lli. o,07A!I O,OHl! I 0,0011 () ,00711 0 ,1032 0 ,1083 0,ll 24 0,ll52 o, 11.50 0,.1 11,a:m ll,O'M ~ O,llil 17 0,080:.l O,OIHll! o, 10<14 0,1 120 O.llilll 0.1 20G 0 , 1320 0 , 1368 0 ,1.:3 80 li' U,Wh 11,lltl:l ll 0,011:1>1 0,10 1!.I 0 , 1 l ll:l o, 11on 0, l :.lO:.l O, l i!O:.l (), 1•11)>1 0, l lllll 1), 1117 1 O, lfllM u:t 0,11''º 11,0111 7 ll, 111 14, ll, l l•IM o, 1 ~n:.i 1), 111117 O, l•lll ll o, 111ao o, 17/ln 0, l iHIO o: 111n O, :.lll l fl 11 ,11 11 ,11 ' 11 O, lllllh u, 111111 0, 1' IH o,111a r1 11, 1d11a 11 .. 11111t. U, 17U7 0,111111 o,~:.l111 0 ,:.ll! l fl 0, :.l!lllli

108 li.'l'l'l.'l / '1'1111' ( 1 ,' l'l'tl 'l'lll,'l - N• J I m

CALCULO COMPLETO DA ESTRUTURA DE UM

EDIFICIO

1 - Introdução

Executado pelos alunos do 5Q ano da E . N. E. - Curso de Estruturas: José Lino da Silveira, Hugo Alcântara Mo­ta e João Carlos Gurgel Barbosa e sob a orientação do Professor Aderson Mo­reira da Rocha, apresentaremos o pro­jeto de uma estrutura, com todos os seus cálculos e mínimos detalhes, in­clusive a justificação de cada cálculo, com comentários e considerações feitas pelo Professor acima mencionado, em suas aulas de projeto estrutural na Escola Nacional de Engenharia.

Não somente estudaremos o cálculo da estrutura, como também mostrare­mos a organização dêste cálculo e a ma­neira prática de se orientar um escri­tório de cálculo estrutural.

Suporemos, inicialmente, fornecidas as plantas do edifício, a sondagem do terreno e as informações do constru­tor quanto à natureza dos materiais a empregar e, em seguida, descreve­remos, passo a pass.o, tôdas as opera­ções que se realizam em um escritório de cálculo até a entrega dos detalhes finais.

Mostraremos a ordem de execução dos serviços em seus mínimos detalhes, sem omitir nenhum daqueles segredos que constituem o patrimônio dos es­critórios práticos depois de. longos anos de funcionamento.

Os cálculos foram executados no próprio escritório do Professor Ader­son Moreira da Rocha e sob a orienta­ção direta dêste Professor, coadjuvada pela assistência do diretor secretário d sta revisLa, Prof ssor Adolpho Po­Jill o.

110

Trata-se, assim, de uma contribuição desta revista àqueles que, começando sua vida profissional como calculista de estrutura, precisam de uma orien­tação prática, técnica e, ao mesmo tempo, comercial, para executar seus cálculos com a melhor técnica possí­vel e dentro do mais curto espaço de tempo.

Não ensinaremos a nossos leitores cálculos imperfeitos e injustificados, mas mostraremos, sem muito academis­mo, como se pode calcular uma estru­tura de edifício sem delongas, nem ex­cesso de teoria.

Nestas condições, os cálculos apre­sentados fogem a uma precisão exa­gerada e seguem a orientação que os bons escritórios de cálculo adotam e, por isto, fugiremos, às vêzes, de cer­tos rigores teóricos, afastando-nos das normas vigentes em certos detalhes especiais, desde que justifiquemos as razões de quaisquer desobediência às exigências teóricas ou normativas.

Para dar um cunho real à apresen­tação do projeto estrutural, será estu­dado, inicialmente, o lançamento da estrutura em anteprojeto, como se faz em escritório prático, a fim de se es­colherem as posições de vigas e pilares.

O estudo das cotas da planta de fôr­ma será feito, como na prática corren­te, tirando-se os vãos da estrutura da própria planta de alvenaria por p:ro­cessos e regras práticas, estudadas no início dêste trabalho.

Executado o antepro,j to da sL1· 11t.11-ra do cada pavim nt.o, H 1·ito OH cfd<• 11 -Joi; ol'ctnncloH rnt <)l'tf< m 111-111.cln 11a p1·11.

ti ·n, dt n1odo n i'<H'll< 1•m· 1w 1•011Hf,1·11

J • ;'/'W 1'1'111~ A

tor as plantas de que êle necessita de acôrdo com a exigência da própria exe­cução.

Assim é que será feita inicialmente a determinação aproximada das car­gas, a fim de ser estudada a solução para as fundações.

Para a determinação das cargas nos pilares, é aconselhável estudar o pavi­mento tipo e determinar as cargas de lajes sôbre vigas e de vigas sôbre pila­res, obtendo-se com maior exatidão a carga transmitida pelos pavimentos tipos aos pilares. Nos outros pavimen­tos constituídos pelos pilotis, subsolo e terraço, faremos o estudo das cargas pelo processo das áreas de influência.

Êste processo de determinação das cargas nos pilares é rápido e pode ser usado para o estudo das fundações, inclusive para dimensionar os pilares dos pavimentos inferiores, sem que se­ja necessário dimensionar previamente as lajes e vigas, como veremos.

Determinadas as cargas nas funda­ções, interpretaremos a sondagem para a fixação da pressão admissível no ter­reno e projetar a infra-estrutura, pro­cedendo, inclusive, ao estudo das mu­ralhas do sub-solo, seja como muralha de arrimo, seja como parte da própria fundação.

Resolveremos o problema das funda­çõ s xcêntricas e abordaremos inclu­F>iv a questão da impermeabilização do sub-solo cont1;a possível ação de 1m l>-p r ssão dágua.

O eálculo e detalhes das várias pe­'ll.H (11i strutura serão feitos de baixo p11.1·a eima, iniciando-se com os deta-1 li«H dn.1-1 fundncões e da caixa dágua H1li1l1'1·1·ii11en. Lol'minando com os de­l11ll11 •H do L<•1·1·nr;o e <mixa dágua ele­v11tl 11 .

1'111 1q>1·1•1-11 111L11dio do1-1. d t'H<'n li oH doH cfo­l11llil', 1 111 rn11,1·111·1 1lll OH li. H('iJll l'lt<'ÍÍ.o l'rll.1'

H l111'1d'11 d11 1'11 t'l il11 •i l'O <•1111'.ltfiHl.IL < 1t

.111 d11 111illÍHlll~j, 11111·11 1111.Jlirn• pl'i<•i111win "º' f1 ·1 il11illi1111

I t,'/l l'/11' N I

Não pretendemos gar1tnt.ir q111 trata da única orientação po1i11-1 vtil ·~ ser seguida em um escritório d clí 1 culo, nem que seja impossível i,1:1ti r: outras orientações que a muitos possam parecer melhores. Apenas vamos ter o ensêjo de desenvolver uma orienta­ção entre muitas possíveis: aquela adotada no escritório de cálculo do Professor Aderson Moreira da Rocha, hoje seguida por muitos calculistas de renome, antigos auxiliares do diretor desta revista.

Detalhe por detalhe de tudo quanto se faz em relação a um cálculo de es­trutura será acompanhado pelo leitor, que sentirá o problema como se êle mesmo fôsse o próprio calculista.

Inicialmente vamos apresentar as plantas de alvenaria, comentando e descrevendo a fase inicial, o lançamen­to da estrutura em forma de antepro­jeto.

2 - Descrição do prédio a calcular

O prélio a calcular é um edifício de apartamentos com três andares tipos, um andar em pilotis e um andar sub­terrâneo destinado à garage, o que perfaz o total de cinco andares.

No subsolo, a garage será dotada de muralhas laterais, algumas na face do edifício e outras mais afastadas, a fim de aumentar o espaço destinado aos veículos. Serão projetadas muralhas servindo de viga de fundação (viga­parede) e outras com a simples fun­ção de arrimo das terras. Também será considerado, no subsolo, o efeito da sub-pressão do lençol dágua.

No andar térreo, serão projetados pi­lotis em forma de V, sendo o teto do m smo constituído por uma laje dupla. No p iflo d tfa1· o (teto da garage), 1 m·nn10H oporLun idad d projetar uma <1HI 1·11l.111 ·n 1h ··1·11 .11d m1 ví'ioH cm fornHt d1 q1111d1 ·nH 1·'1 ridoH, (\01n 1110111('11(.o d 111 •1·1•111 VI I l'i f1.v11f .

li'

Os pavimentos tipos serão dotados de estrutura corrente de lajes, vigas e colunas com o aspecto usual.

A laje do terraço receberá imper­meabilização térmica e pluvial e será calculada para sobrecarga de habita­ção comum.

3 - Projeto da estrutura

Para não sobrecarregar de plantas a apresentação do início dos cálculos, vamos estudar por partes o problema da escolha da estrutura.

Neste número, apresentaremos so­mente a planta dos · pavimentos tipos. (Fig. 1). Discutiremos a posição das vigas e dos pilares e mostraremos como cotar em planta elementos da estrutu­ra em função da planta de alvenaria.

Esta ordem é a seguida na prática, pois que a primeira coisa a fazer, no projeto de uma estrutura, é estudar a planta do pavimento tipo. Os pilares serão localizados de acôrdo com o pa­vimento tipo e depois verificada a sua posição nos demais pavimentos.

Com o recurso aos pilotis em V, às mãos francesas e, em último caso, ao projeto de vigas para apoios dos pila­res, é quase sempre possível adaptar a posição dos pilares no pavimento tipo às exigências dos outros pavimentos. Êste problema será discutido na oca­sião oportuna, quando mostraremos in­clusive os casos em que se é obrigado a modificar a posição dos pilares no tipo para atender aos outros andares. Por enquanto, aceitaremos a posição dos pilares indicada na figura 2, es­colhida como estrutura do pavimento tipo, segundo as regras que serão es­tudadas a seguir.

Depois de projetado o pavimento tipo e estudadas as cargas cm lajes, vi­gas e pilares (o cálculo e d talhe das a1·macl u 1·ns :f'i •al"ão pm·a. m~:t i H tm·d ) (! ((11( ir lll()H ll] l l'(1Ht1JlLltl' ll H Jll1111LnH dcm pa v i111( 1 llLOH i11 l' l' riOl '('H ( do 1,( \1'1'1\( ' () .

li'

4 - Escolha da estrutura do pavi;. mento tipo

Para se escolher a estrutura do pa­vimento tipo, começa-se por decalcar a planta de alvenaria dêste pavimento, desenhando-s.e em papel vegetal a po­sição das paredes sem representar os vãos de esquadrias.

De um modo geral, procura-se fazer com que as vigas coincidam com as pa­redes, salvo quando os cômodos tive­rem dimensões muito pequenas (2 m ou 2,50 m), em que se procura eliminar algumas vigas, e quando os cômodos são muito grandes (salões com mais de 6 m de vão menor), em que se pro­jeta um vigamento aparente ou um teto duplo.

Os pilares são colocados de preferên­cia nos cantos e nos pontos de encontro de vigas, não devendo ser o espaça­mento menor que 2 metros, nem maior que 6 metros, salvo casos excepcionais. Algumas vêzes, a posição de pilares está pràticamente indicada, como, por exemplo, os pilares do fundo da esca­da e os dos cantos externos do edifício.

As vigas têm a largura dos tijolos das paredes internas: 10 cm para pa­redes de 15 cm e 8 cm para paredes de 10 cm. (1)

Os pilares serão projetados, em re­gra, com uma das dimensões igual a 20 cm, sendo que, internamente, quan­do não se quer que o pilar apareça nos cômodos, projetam-se pilares em L ou T, co'm 10 cm de espessura.

As vigas externas, sempre que pos­sível, são projetadas com espessura mí­nima, 8 cm ou 10 cm, quase sempre com a mesma espessura das vigas internas.

No nosso caso, por se tratar do edi­fício com paredes internas d JG •rn, projetaremos tô 'las as vi as m lO cm d osp ~i:rut·a.

( ' ) 11!111 111 1111 Jtl1il11d11 d11 111'11 Hil 1 11

.)111 1111 p 11HPl ll ll 111 d 1111111 l'H d 1'1111 , 1111 1 ,

N~ I

Rebaixos - As lajes que servem de banheiros serão rebaixadas de 20 cm a 30 cm, conforme o gôsto do construtor. As de varanda serão rebaixadas de 3 a 5 cm, sempre que possível (quando não estão em balanço) . As outras la­jes (copas, cozinhas, etc.) não preci­sam ser rebaixadas.

No nosso prédio, rebaixamos as lajes do banheiro social de 30 cm. A laje do banheiro de empregada não precisa ser rebaixada, pois as canalizações de es­gôto, para as quais são feitos os re­baixas, podem ficar aí aparentes. A laje da varanda dos fundos foi rebai­xada por se tratar de laje apoiada em vigas. A varanda de frente, em balan­ço, ficará sem rebaixo para evitar o uso de uma armadura de detalhe di­fícil e pouco aconselhável.

Nas figuras 1 e 2, vemos a planta de alvenaria e a planta da estrutura dos pavimentos tipos, respectivamente.

Nota-se que as vigas estão indicadas sem suas alturas, que serão determi­nadas no cálculo mais tarde. Para efei­to de determinação das cargas, não fixaremos estas alturas em definitivo, usando valores aproximados, como ve­remos. Na planta de estrutura (fig. 2), os pilares ainda não se acham com suas dimensões estudadas.

5 - Determinação dos vãos da estrutura

Um dos problemas iniciais a resol­ver em escritório de cálculo é o da de­tcrm inação das cotas · da planta de es­trutura cm função dos vãos constan­too da planta de alvenaria.

1 ,•1 NI f' l 'l IU A

Para isto, 6 pr i1m 11 i;1 11 · 1•(1 1,1·11 p1 · 1

ticas, a fim de não :; pt1 rdn1· 11111110

tempo e evitar erros no cl eHl 11ho d1 fôrmas.

Chamando de la o vão int 1'11 11-

tre paredes da planta de alvenar ia e li o vão interno entre vigas da planta

de fôrmas, devemos fazer:

l1 = la+ e

O acréscimo e, para vãos entre pare­des internas, é a soma das espessuras dos revestimentos destas paredes. Para vão externos entre uma parede inter­na e outra externa, o acréscimo e é maior, porque a viga costuma ter es­pessura quase sempre muito menor que a das paredes externas.

Para edifícios com paredes internas de 15 cm de espessura e externas de 25 cm, sendo as vigas de 10 cm de es­pessura, temos (ver os detalhes cons­trutivos que serão apresentados no ítem 6):

Paredes internas e = 5 cm Paredes externas e = 15 cm

Assim, as cotas dos vãos da planta de estrutura serão obtidas, somando­se 5 cm à cota da planta de alvenaria nos vãos entre duas paredes internas e 15 cm à cota da planta de alvena­ria entre uma parede interna e outra externa.

O emprêgo desta regra na planta da figura 1 permite achar as cotas da planta de estrutura da figura 2.

A seguir, apresentaremos alguns de­talhes construtivos relativamente à po­sição da viga em relação à alvenaria ( ítem 6) e passaremos à determinação das cargas no pavimento tipo (ítem 7).

11 1

:1~-.... 11~ ºº ºº ºº

1

305 1.80

m };>

.p z

* ...

~ ;i:

~ 31 o ~1:-00

1 .2L 2.10

~ 210

§5

~ ~ 1.liO .soo

5 ~L.:... CJt

210 };> r };>

~r

~ !;;: l20 o

~1~

~ ~ m-L-1- r l>

i=i !ir -,ff ;o l:> z o };> ~ riJf

1

n

* ~

~ -~

~ '

o ;:e

L

.1 . ~~· li~)

2.liO

g !»

"' };> o

:o -4 o

o o ~ ~ tOO

... uo ~ ..

o 2º-210

o !!! z :e l>

("\ o !!! z :r ~ J:>

~ .. 8 {; ~

ê ~ l:> :o -1 o

j IU

~

.95

1 - (/)

M ;:o :<

~I"' ºiº

~ ~

;E :'

~

VI l"1 ::D ~

:-ai o

_ j

,,.< ,. '§

_.., ..

N 1

• -tOx

< . ~

_.., ...

1<11<1. :J

711

....

'J'j

NOTICIAS

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE PONTES E ESTRUTURAS

A Associação Brasileira de Pontes e Estruturas é uma organização de engenheiros especialistas em constru­ção ou em projeto de estrutura e que se acha filiada à Associação Internacio­nal de Pontes e Estruturas) com sede em Zurique.

Fundada com o fim de congregar engenheiros dos diversos Estados do Brasil, esta associação possui vários núcleos com sede no Rio de Janeiro, São Paulo, Curitiba, Pôrto Alegre, Minas Gerais, Bahia e Pernambuc0. Em 1955 foi eleita uma diretoria pr0-visória e instalados vários núcle0s.

Por falta de um órgão oficial, a Associação Brasileira de Pontes e Es­truturas não tem realizado suas reu­niões, nem publicado anais nem pr0-movido congressos, com a participa­ção de enge i'A; os de diversos Esta­dos, como p"Topôs, isto em face das dificuldades de transporte e meios de divulgação.

ESTRUTURA contando em seu cor­po redacional com a maior parte dos membros do Conselho Diretor do A. B. P. E., propôs tornar-se órgão oficial desta associação, sem ônus para a mes­ma.

Assim é que, tão logo receba a apro­vação desta iniciativa por parte de todos os núcleos da Associação, ES­TRUTURA publicará os estatutos e manterá espaço em suas páginas reser­vado à ABPE para comunim1,dos men­sais, assim como anunciará a convoca­ção de uma próxima reunião, em que s rá eleita a diretoria definitiva da ABPE.

li;S'l'TtlJ'l'UH.A p11hlicnrú t.nmh6rn rn ll ll( IXO, 1'01·rn11l(lriO dt flt"O(HlHLn (Jl\l'I\. 110

I l<i

DIVERSAS

vos soc10s da Associação, assim como a forma de pagamento das mensalida­des e mostrará as vantagens que advi­rão para os contribuintes da Associa­ção Brasileira de Pontes e Estruturas.

OS DESABAMENTOS DE OBRAS HDE CONCRETO ARMADO NO_

RIO DE JANEIRO

Diante de alguns acidentes verifi­cados em obras de concretG armado no Rio de Janeiro, criou-se enorme ce­leuma, que repercutiu em nosso País e foi objeto de comentários em diver­sas nações onde o :Erasil é conhecido por seu notável progresso, no que se refere à engenharia estrutural e por suas realizações, admiradas e aprecia­das n0 estrangeiro.

ESTRUTURA, eiue se propõe di­vulgar fora do nosso País o extraordi­Rário adiantamento da nossa técnica estrutural, não poderia de~ar de es­clarecer, para todo o Brasil, assim @orno para os demais países onde esta revista estará presente, as ;verda­deiras proporções e a si~nifica!,lão dês­tes acidentes, dentro do ponto de vis­ta técnico da engenharia estrutural.

Acidentes em obras têm sempre ha­vido em tôdas as épocas e no mundo inteiro. Kõgler e Scheidig citam 40 acidentes somente Sob O p0nto de ViH­ta das fundações. 'Recentemente, po­dem ser citados inúmer0s acidcntcH eh i:epercussão internaci0nal. E há r1ií.o J!>Oucos exemplos de desabamon Loi; <'H1 que se reconhece como causa pri11ci

pal a existência de erros t6 •1iicoi-1, 1>11:-1 tando citar os s gu int 'H.: OH duH po11

tos d J)i-yhlll'gl1 Abh<'.y, B11rwit•l 1

Brigl1t.on, MonLroH , M11 1111.i y HI r11il11, lln 111··111.t«1'l'n ; N1tHHn11, 111i Alt1rn1111h11, Wht1t>li11 , l1t1wiHl.n11 C,\11t11111to11, Nlf1 'li

J ,'i'l'l'll'l'I li'

ra-Clifton, etc., nos Estados Unidos. Além dêstes, vale citar ainda o de­sastre da ponte de Tacoma, o Campa­nário de São Marcos, em Veneza, as cascas de Recoletas, na Espanha e as de Godoy Cruz e Vila Mercedes, na Argentina.

O que não está positivamente certo, em relação aos acidentes que se veri­ficaram no Rio de Janeiro, é a orien­tação que se tem tomado no tocante às conseqüências dêstes acidentes e nas providências que se tem procurado to­mar com o fim de prever ou evitar fu­turos acidentes.

Em todos os acidentes de certo vul­to, o que se deve fazer, e é o que se tem feito em relação a acidentes em outros países estrangeiros, é verificar as causas do acidente em particular, divulgar estas causas em todos os se­tores da engenharia e tirar conclu­sões que beneficiem o progresso da técnica. O acidente, assim, se torna útil, embora lamentável, como acon­tece com as grandes guerras, das quais se tiram ensinamentos para o desenvol­vimento de certas indústrias.

Grande número de exemplos podem ser citados nos quais o acidente deu lugar ao aparecimento de uma técnica nova, com o objetivo de corrigir o de­feito de cálculo ou de execução que tenha sido observado no acidente. O acidente da ponte de Tacoma, por exemplo, deu lugar a novos conceitos sôbre a instabilidade elástica sob a ação dinâmica do vento. Para êste fim 6 preciso que se investigue a cau­sa de cada acidente e se indiquem os dofoiLot> encontrados no cálculo e na o eu~iio elo cada obra que desaba.

No H.io d< ,Jnnoi ro, tivcmo , num pt •l"fodo d1 111t1110H do 1!) imos, d scl q111 1•11111 o e1d il'1 t• io ÂHHiH Mn1Hil, CÔl'lm

d< f1 111'11l1111'1 •H d< dt •r<1d111 111t111lo Lol.1d d1 <1dlrt1•1011 de vult.o.

1 .; 1'1'111 '/I/',\

O número dê, tos acid 11Lol'l, 110 1•Hp111•u de tempo que êles ocorrem111 , 1111.dn 11•111 de alarmante e o que imporLa H11 lll'r quais os defeitos encontrados p Ja1:1 li­versas comissões de vistorias. O qu 1:10 deseja saber é porque caíram os edi­fícios Assis Brasil, Bela Vista, o da Caixa Econômica e, mais recentemente1

o Estádio do Remo. Digamos franca e honestamente,

para o meio técnico internacional, os defeitos de cada uma destas obras, e nosso prestígio não se abalará, por­que, ao lado de cinco obras realizadas com defeitos, que nós mesmos tenha­mos apurado e confessado, o Brasil conta com dezenas de milhares de obras bem projetadas, bem executadas, obras que, além de numerosas, pos­suem características notáveis, pelo seu enorme vulto, pelo seu arrôjo, pela téc­nica avançada nelas empregada. En­fim, possuímos uma infinidade de obras que aí estão, sobranceiras, de­safiando os pessimistas e atestando o nosso elevado nível cultural, o nosso incontestável progresso na Engenha­ria da Construção e na Técnica Estru­tural.

Temos vários récordes mundiais, co­mo a Ponte do Herval, a cúpula de Quitandinha, o Estádio do Maracanã e, agora, em projeto, a marquise do Estádio Universitário, com qÚase 50 metros de balanço e muitas outras. obras apreciadas no estrangeiro.

ESTRUTURA tentará divulgar as conclusões a que se chegou relativa­mente às causas de cada desabamento ocorrido no Rio de Janeiro.

Quanto às providências de ordem geral em que se procura adotar me­didas que impeçam futuros desaba­mentos, elas se têm transformado em pesquisas relativas à melhoria da nos­r-m l ogisln~ão da nossa técni a, afas­tnrnlo-N.o do vt•rdn.doi l'O ol>j el.i vo qu Ht 1 l'i1L o t•H l.1rdo dil'( lo doH 1widt•1ll«'H pn l"IL i11vt•Hli•111· Hllll H l'ILllHllH.

li'/

Em todo o caso, julgamos de gran­de utilidade para o nosso progresso as reuniões e debates que se tem feito no âmbito exclusivamente técnico a respeito das causas de acidentes.

É verdade que a nossa legislação estrutural, nossas normas e nossa téc­nica de projeto de estruturas não es­tão necessitando de reforma completa, pois que são das mais perfeitas na autalidade. Contudo, muitos pontos es­tão precisando de melhorias, princi­palmente no que se refere aos meios de fiscalizar a obediência às leis e nor­mas já existentes.

POSSE DA NOVA DIRETORIA DO INSTITUTO DE ARQUITE­TOS DO BRASIL (DEPARTA-

MENTO DO RIO).

Foi empossada em 30 de agôsto a seguinte Diretoria do I.A.B.1 eleita em 20 do mesmo mês:

Presidente: Maurício Roberto; Vice­presidente: Sérgio Bernardes; 19 Se­cretário : Darcy Bove de Azevedo; 29 Secretário : Rubens do Amaral Por­tela; 19 Tesoureiro: Crispim Pereira de Almeida; 29 Tesoureiro : Marcelo Acioli Frageli; Comissão Fiscal: Hélio Marinho e Luças Mayerhoffer; Conse­lho Superior: Jorge Machado Moreira e Paulo Santos.

REUNIÕES DO CONSELHO RE­GIONAL DE ENGENHARIA E AR­QUiT.ETURA PARA EXAME DAS CAUSAS DOS RECENTES DESA­BAMENTOS NO RIO DE JANEIRO

O Conselho Regional de Engenha­ria e Arquitetura desde Abril do cor­rente ano vem r al izando váriA.S r u­niõ s a fim d clebat r o p1·ohloma <1< cJc1mlmrno11 tos < 1widNH 'S 0 111 olm1 1-1

l/8

de concreto armado, com represen­tantes de várias entidades de classe, de repartições oficiais e de Escolas de Engenharia e Arquitetura.

Fôram organizadas seis Sub-comis­sões : Estruturas, Fundações, Execu­ção, Cadastro, Materiais, Legislação.

Os relatórios das várias comissões depois de aprovados, serão reunidos em um relatório final, em que serão indicadas as providências que se fazem necessárias para o melhor aperfeiçoa­mento de nossa técnica de construções, a fim de eliminar o maior número pos­sível de causas que possam determinar acidentes em obras.

As reuniões fôram presididas pelo engenheiro Luiz Pinheiro Guedes, pre­sidente do CREA e os relatórios das comissões fôram elaborados pelos en­genheiros abaixo:

Fundações - A. J. da Costa Nunes

Estruturas - Aderson Moreira da Rocha

Execução - José de Barros Rama-lho Ortigão Júnior

Materiais - Mauro Ribeiro Viegas Legislação - Augusto Luiz Duprot Cadastro - Maria de Lourdes Cam-

pos Campello.

4.° CONGRESSO INTERNACJO­NAL DE MECANICA DOS SO­LOS E ENGENHARIA DE FUN-

DAÇ.ÕES

Reuniu-se em Londres, ntr 12 1i ll·I d< Agôsto último, o 4• CongrosBo do M1w 1111 .. 11 dos Solos e Engenl1 nria dtl 1"1111d .1<; 1•H, pr1> movido pela .Associn<;il.o l 1il.o r.11 1t<·lo1111I dn Mocâni ·a dos FloloH.

Ü~ cong r!'AHPH 111d,1 ri(ll'l 'H lq1yl11111 1111 1111111

do, 1·!'s p1•t\ l.iv1unt111l.n, 11 11 l111l v11rHl d11tl11 tln llarvnnl 11111 { 11n11i1•iii 1{11 M11·1111wh11 111•1 1•111 10!111, 111!1 110(.1 rd11111 11 111 lll IH1 11111 l'. 11111 h l 11\ll Hll 1111 11 11111 1(1 i:I,

J ,•, 'l 'l ' /l 'l '/ 11' N• J

A cada novo congresso o número de par­ticipantes tem aumentado, passando a cons· tituir-se em problema para os organizadores.

No congresso de Londres o número de par­ticipantes atingiu cêrca de 1500.

Como ocorreu no caso dos Congressos de Roterdam e de Zurich-Lausanne, o Brasil enviou a Londres uma delegação, desta vez constituída dos seguintes engenheiros:

Prof. Milton Vargas (Presidente) Prof. Maurício Joppert da Silva Prof. Antônio J. da .Costa Nunes Prof. Ernesto Pichler Prof. Samuel Chamecki Prof. Mário Brandi Pereira Prof. Casemiro Munarski José Machado Euler Rocha Mury Cavalcanti Hugo Perelli

Foram apresentados ao conclave os seguin­tes trabalhos brasileiros (Vejam-se os "Pro­ceedings" do Congresso e 1 e 2 volumes).

Milton Vargas e Ernesto Pichler: - Des­lisamentos de solos residuais e rocha em Santos (Brasil).

A. J. da Costa Nunes: - Estacas com grande altura livre.

Victor F. B. de Melo e S/ A. Geotécnica: - História de um caso de uma fundação especial em solo inclinado.

Icarahy da Silveira: - Consolidação sob condições especiais de carregamento.

O Congresso dividiu o trabalho em secções e designou relatores para cada uma delas.

As secções e respectivos relatores gerais foram as seguintes:

1 ) - Propriedades do solo e sua determi­nação Relator Geral: Th. Rosenquist Relator Assistente: N. J ambu

2 ) - Técnicas de medidas no campo e re­tirada de amostras. Relator Geral: Milton Vargas

3-a) - Fundações de estruturas - Assun­tos Gerais e Fundações outras que as em estacas. Relator Geral: J. Brinch Hansen. Relator Assistente: Bent Hansen

J ·h ) - l!' trndações de Est1uturas - Esta­<·1t11 o l!'undaçõos em estacas. lto lai,or U ral: P. C. Rutl dgo

'4 ) l•l ~ !. n1d11 tt, J'iHLl\8 d A rop rtoa o Vl11 H l1' (1 rr111111 ll11l11l111• <l 11 r11I : M', lt. l'111Ll n r

/ ,•;'t 'l'/l 'l 'lfl ,, N• I

5) - Empuxos do 'J'orrnH 11lllir1 ohm11 d Arte e Túneis. Relator Geral: J. K 6ris l

6) - Barragens de Terra, Taludes o •' • cavações. Relator Geral: F. C. Walker

Deve-se notar que, pela primeira vez, um relator geral foi brasileiro: o Prof. Milton Vargas.

Os representantes do Brasil no .Comité Exe­cutivo foram os Professôres - Milton Var· gas e A. J. da Costa Nunes.

Intervieram nos debates técnicos, apresen­tando discussões, os Professôres Samuel Cha­mecki e A. J. da Costa Nunes.

O Comité Executivo resolveu realizar o quinto Congresso em Paris, em 1961 e ele­geu, o Prof. Skempton em substituição ao Prof. Terzaghi que renunciou à Presidência da Associação Internacional, alegando que seus 74 anos lhe aconselhavam não con· tinuar.

O Comité Executivo, em vista da obstina­ção do Prof. Terzaghi em não continuar como Presidente da Associação Internacional de Mecânica dos Solos, e em reconhecimento ao seu trabalho inestimável na fundação e pro­gresso da Mecânica dos Solos, elegeu o Prof. Terzaghi como Presidente de Honra de A. I. M. S., enquanto viver.

Dr. Ferdinand Schleicher t No dia 8 de junho do corrente ano, fa­

leceu subitamente em Dortmund, aos 56 anos

de idade, o Professor Dr. Ferdinand Schlei· cher. ~sse notável especialista em cálculo es­trutural, que se tornou muito conhecido entre

nós pelo seu Manual do Construtor, em que cooperaram os maiores proféssôres da Ale­manha, morre em idade não muito avançada,

deixando uma apreciável produção.

Seus primeiros trabalhos datam de 1925,

quando publicou: über Kreisplatten auf elas­tischer Unterlage", numa publicação come· morando o centenário da Escola de Enge· nharia de Karlsruhe, e "Nochmals Kreisplat·

tenfundamente", aparecido no Beton und

Eisen, Bd 24. :Esses dois artigos foram de­pois ampliados, danlo ensôjo à obra: "Kreis­IJlatton 0.11.f elns tiA h r Untol'lngo", apareci· d11 1u11 1\1 rlHruh <, o m rn t\rço do 1920.

11'1

Seguiram-se numerosos trabalhos, os mais importantes dos quais, no entender do pró· prio autor, são os que versam sôbre estabi­lidade elástica e plástica e enrijamentos de chapas de vigas de alma cheia.

Foi projetista operoso, tendo participado, como engenheiro da M.A.N., em Mainz­Gustavburg, de projetos e montagens de numerosas pontes na Alemanha e em vários outros países europeus.

Foi múltipla sua atividade no magistério: assistente em Karlsruhe, onde fôra aluno de

Engesser; professor em Hannover, onde cedeu a Grüning; sucessor de Hertwig, em Berlim.

Presentemente, dirigia em Aachen a revis­ta Der Bauingenieur, com a cooperação do Prof. A. Mehmel, que com êle convivera des­de Karlsruhe.

Esteve no .Congresso da A. I. P. C., de Lis­boa, em junho de 1056, ainda em plena pu­jança intelectual e profissional.

Ao Professor Ferdinand Schleicher um pleito de sentida homenagem desta Revista.

2.º SYMPOSIUM DE ESTRUTURAS

Ainda perdura em nosso meio técnico a repercussão do grande suces­so do 19 Symposium de Estruturas promovido em 1943 no Instituto Nacional de Tecnologia pelo dr. Paulo Sá e que deu origem a muitas inovações na téc­nica estrutural do país. Os trabalhos nele apresentaidos e as discussões a que deram origem foram, graças a boa vontade do saudoso e inesquecível cientis­ta brasileiro, prof. E. L. da Fonseca Costa, então diretor do I. N. T .1 pu­blicados em 3 volumes, dentro em pouco tempo esgotados.

De 26 a 30 de outubro próximo, por iniciativa conjunta da Associação Brasileira de Normas Técnicas (prof. Paulo Sá) e da Es.cola Politécnica da Universidade da Bahia (prof. Carlos Simas) com o apóio da CAPES (prof. Anísio Teixeira) realizar-se-á na capital bahiana, o 29 Symposium de Estrutu­ras com o objetivo de aprimorar os processos estruturais.

Tomarão parte como expositores os professores: Carlos Simas, Adcr8011 Moreira da Rocha ("Bases para a conceituação de uma hipercstática geral de placas e cascas"), F . Lobo Carneiro ("Revisão da NB-1 e a fixac;:ão dofl coeficient s de segurança"), Antônio Alves de Noronha ("Cálculo d TllJ)QH

d estacas de fundações"), Ivo Wolff, J. Ferreira da Silva, Telcma•o va 11 JJ11ngendo11ck e Pel'l'y Borges (do Laboratório de Engenhm·ia ivil, do liiH boa, .qu falú1·ú s.ôbre dim m1ionam nto de cstn1L1mis p los rnodP1·110H p1·0<·1·H HOH '()l'Obithi i'ÍHLi •os) .

/t,•;'l'l.'I /'1'111,'.' N f

. .

RELAÇÃO E RESUMO DOS TRJ\B/\ .. LHOS APRESENTADOS AS VII JOI~­NADAS SUL-AMERICANAS DE EN-

GENHARIA ESTRUTURAL

ERNST BITTNER, de Viena, Austria. "A nova teoria do concreto armado na Áus­tria.'' Tradução e exposição do Eng. M. Res­nick Brenner.

Encontra-se neste trabalho exposição cla­ra e concisa do novo método de cálculo à ruptura, que passou a incorporar-se às nor­mas autríacas ONORN 4200. Completam-no descrições da fase histórica, do desenvolvi­mento e das verificações por meio de nume­rosos ensaios de laboratório, que dão noção d"o grau de aplicação da nova teoria. Os diagramas e tabelas apresentados dão idéia precisa dos resultados. Termina o autor com uma pequena comparação com a teoria que usa a relação "n" dos módulos de elastici­dade do ferro e do concreto (processo de cálculo no estádio II).

ELADIO DIESTE, de Montevidéu, Uruguay. "Estriitm·as de cerâmicas".

ARTURO J. BIGNOLI, de La Plata. "Ação do vento sôbre uma "marquise dupla".

Descreve-se a ação do vento sôbre uma marquise dupla (tipo asa de borboleta) com­parando-se as diferentes distribuições de pressões e de variação de seções indicadas nas normas com os resultados obtidos em ensaios em túnel aerodinâmico.

ADALBERTO A. R. BLODOEN, Rosário. "l'eoria da mípula elitica do ed·ificio do rea­tor atômico de Gersching em Munich, Ale­manha".

J>nmnt sua cstacla no "Materialprü­r11111{H11.111 L cfa 'l' chnischen Hochschule de 'M1111i1'.il", l'oi -lil o Holi citado pelo Prof. Dr. H. lt!IH1• il cl 11M1111vo l vor n Loor·ia elos ta Cúpul a, com 11 q1111 11111iH J,n r·do HO rvi11 para o cál·ulo e 1•0111111•111; li cl 11 l!I PHllllL. 'l'ml.11 H do 1111H\ •(1pu­h1 1• l 1J11•11, d 11 111v11 l111 ·1 .11 do oixo vorlicid h-2 lf'lllii 11 :111111 1 11 111 ,;, 11 11, 1p11d o 11 i x o "li" (1 11111 111 IJll" 11 "11", 11 q 111 1'1111 J,111rliL 11.11 J,11orl11ri 1l11 '"t11il1 lrl 11 " 11 11~ I lv 111 1•1111J11 1p d1111 . 11111'111 11 J 111 li 1 ljtllll ' li' ri" <ll Jll li li 11 Ili 1•11 11rJ 11 '1, 1' li 11

I , I l,'I I /'I //,'' N I

integrais e soluções totalmente distintas das do outro caso. Os estados de carga consi­derados foram: pêso próprio, sobrecarga da cobertura, chapa impermeável superior de cobre e uma pressão interior de 500 kg/m2, o que constituia também uma novidade em re­lação ao tipo de carga usualmente adotada nesta espécie de estruturas. O motivo era pre­ver o caso de uma forte emanação de gases do tipo "explosivo' no caso de desastre do reator atômico. Para o efeito do vento, que não era determinante, se f izeram ensaios sô­bre modelos e uma verificação por meio de uma simplificação do problema para evitar lidar com as equações elíticas ou integrais de tal tipo, sempre trabalhosas. A cúpula apoiava-se em um cilindro de dois metros de altura, produzindo-se ali uma das condições de bordo; a outra se produz em outro cilin­dro inferior de fundação de maior espessura. Êste último transporta os esforços da car­ga para o terreno de fundação._ Para o cálcu­lo das condições de bordo se levaram em conta as duas condições limites: a do ci­lindro e a da esfera; uma circunscrita e a outra inscrita: seus efeitos não eram im­portantes, porque a tangente das três curvas meridianas mencionadas são comuns.

ADERSON MOREIRA DA ROCHA, do Rio de Janeiro, Brasil. "Sistematização do estudo das estruturas cur­vas continuas".

Neste trabalho é apresentado o estudo sistematizado e unificado das estruturas cons­tituídas de arcos contínuos associados a pilares, resolvidas pelos métodos correntes da Hiperestática.

São apresentados os fatôres de forma e de carga das estruturas curvas, os quais co nsti tu m os cl mcntos do cada hasto curva 11 s 1·crn utili ~.ados 110 cálculo po t· qualqu r rn Lodo hipo1·cHLftlieo.

1'111'11 o <•(il<•,11!0 d oH fot.Oroa do rom1n o d o C'/l,l'j(ll il OH 1\ l'C'OH 1 H ,O llJl1'11Hll l li.llclll il l.1 \1 11 l11 H p 111•11, 1111 1•111111~1 11111 h1 11 H1111i 11 ci o v111'111 1; 11 cio J1t1 111 11 •11J11 d 11 I111111•l11 11 d11 1•1 11•11 •1:11 1111111! 1111.

I 'I

A solução das estruturas curvas con­tinuas pelos dois métodos gerais, o dos es­forços e o dos deslocamentos, é apresentada de maneira simples em função dos fatôres de forma e de carga.

O processo dos pontos fixos e os de ite­rnção e de .Cross são também incluídos na sistematização do cálculo, onde se leva em conta inclusive a influência das fôrças nor­mais.

JULIO RICALDONI, de Montevidéu, Uru­guai. "Nota sôbre o efeito de torção em edifícios ele·vados".

GEORG ANGER, de Mossburg (Obb) Ale-manha.

"Solução geral da eqi1ação dos três momen­tos para o cálculo das linhas de infli1ência." Tradução e exposição do Eng. M. Resnick Brenner.

No presente trabalho, o autor descreve com singular personalidade a razão pela qual se demorara tanto tempo em calcular ditas linhas de influência e suas tabelas pos­teriores. Faz, em seguida, algumas consi­derações de ordem pessoal sôbre o estudo por êle realizado há alguns anos na Alemanha, além de uma exposição sôbre os valores au­xiliares que levou em conta para abreviar o cálculo operatório das referidas linhas. Como diz o autor: "é magnífica máquina de relo­joaria, que anda sôbre as engrenagens dos valores auxiliares e reage às mínimas varia­ções de vãos ou cargas".

ADALBERTO A. R. BLODOEN, de Rosário. "Método iterativo de cálculo para as incóg­nitas hiperestáticas em estruturas de reti­culado de alma cheia".

Êste tipo de estrutma se executa em aço C. A. 37 ou 52, para hangares, naves in­dustriais, etc.

O método de cálculo proposto consiste em supor rígido o reticulado e levar em conta somente as deformações que provocam as cargas normais aos eixos dos elementos de alma cheia, como primeira aproximação. Obtém-se, assim, sistemas de equações que se resolvem de forma recorrente, calculando-se um primeiro valor aproximado, ou seja, a "primeira iteração". Com os valores dos hi­perestáticos desta primeira iteração, calcu­lam-se as deformações por elas produzidas sôbre os reticulados, aplicando-se êstes va­lores como uma variação do t êrmo indepen­dente das equações anteriores, nas quais não var iam os o fi ciontoR das in 6gnitn,s.

R oHol vid o 11ovn,m o11t o HiHto111 n. p11lo in 6· t.o<l o 1L1d,1 l'io r, 1•11 \ · 1d1~111 HO 011 v1 ~\ 0 1 · 1 111 d11 HI •

gunda iteração. Prossegue-se o processo até obter a precisão necessária. Com êste mé­todo, é possível levar em conta no cálculo a elástica de segunda ordem, considerada, hoje em dia, de grande importância, princi­palmente quando as tensões admissíveis são muito elevadas. Porém, aqui, já não é pos­sível manter os coeficientes das incógnitas hiperestáticas, porque deverão forçosamente variar em cada iteração. Se se carrega o ma­terial de maneira que a figura de equilibrio se produza dentro do campo elástico, apli­car-se-á o método de Vianello; se não, deverá ser utilizado o método do Prof. Chwalla. Seria êste método o único a per­mitir levar em conta a elástica de segunda ordem e, portanto, ter em conta rigorosa­mente a flambagem.

PEDRO B. J. GRA VINA, de São Paulo, Brasil. "Sôbre o cálculo das cascas esféricas."

Após recordar os fundamentos de cálcu­lo das cascas de revolução sujeitas a cargas simétricas, é analisado o problema da in­tegração das equações fundamentais das cas­cas esféricas e cônicas.

Devido à lenta convergência da série hipergeométrica para valores muito gran­des da relação R/h entre o raio e a espes­sura, justifica-se o emprêgo, no cálculo das cascas esféricas, dos métodos assintóticos, método de Blumenthal, que fornece valores altamente aproximados, desde que o ângu­lo da tangente ao meridiano não seja muito pequeno (cascas pouco abatidas). É deriv;i­do, em virtude da natureza da representa­ção assintótica das funções, um método mais cômodo para as aplicações. Contrària­mente ao que acontece com o de Blumenthal, êste novo método leva diretamente a expres­sões que exprimem a lei de variação dos es­forços, deslocamentos e rotações ao longo dos meridianos em conseqüência das perturba· ções nas bordas. Um caso particular do mé­todo assintótico derivado é o de Geckeler. Examinando o problema de cálculo das cas­cas pelos métodos existentes em :função das características das mesmas, é desenvolvido o estudo das cascas esféricas abatidas para as quais são deduzidas as expressões dos es· forças, delocamentos e rotações devidos àA perturbações nas bordas.

DARIO SANCI:IEZ, Santiago, Cliilo. A plicação do oálm1lo an·t·isfsmioo.

ELAD LO PET.JtUO r, do J>(l rLo Al11g1·n, lh•ti· Ail. A1!Hfl ll ll tt(1il11 1U111'11t1 it11 <Ili 1111 11<•1' 11/ 11 ,

118'1'1(1 /'l 'l I u

' l

No presente trabalho, o autor dá con­ta das observações feitas, em uma viagem a Paris, dos modernos métodos de ausculta­ção dinâmica empregados pelos "Laborato­ries du batiment des travaux publics".

Inicialmente, . são classificados os atuais métodos não destrutivos em uso, passando. se depois à significação das constantes elás­ticas obtidas por via sônica.

Estuda-se, após, a influência de dife­rentes fatores sôbre estas constantes, bem como os fundamentos de sua determinação.

Segue-se uma descrição da aparelhagem usada e o seu emprêgo na determinação de fissuras, fendas em concretos de proprieda­des diferentes.

Finalmente, é exposta a correlação entre o módulo de elasticidade dinâmica e a resis­tência à compressão.

LUDWIG FoPPL, de Münchan, Alemanha. "Tensões no solo sob uma v·iga de fundação'. Tradução e exposição do Eng. M. Resnick Brenner.

O estudo de uma viga de fundação elás­tica submetida a um estado de cargas con­centradas é objeto do presente trabalho.

Depois de desenvolver uma equação para o comprimento de influência das reações no terreno, considerado como elástico, demons­tra que êste comprimento só depende da re­lação entre os módulos de elasticidade e é independente da intensidade da carga que solicita a peça. As conclusões são demons­tradas experimentalmente mediante um estu­do fotoelástico que realça de forma clara os resultados obtidos.

JULIO RICALDONI, Montevidéu, Uruguai. Ensaio de carga em uma tôrre metálica.

VICENTE I. GARCIA, de Montevidéu, Uru­guai. "Mó dulo de elasticidade de concretos de di­f ·rentes composições".

H. sul tados obtidos em ensaios executados no I nst ituto de E nsaios de Materiais da Facul­cl ndo do E ngenha ria de Montevidéu.

A J>l•)J tfolON" MORE IRA DA ROCHA - Rio d o . J 1~ 11 11 iro, l ! ntAil.

" lh 11 11 m·i1·1it.1t1Jll.o nov11 na aprosen'lação dos 111·11111w.v1111 1lo i tm·n(illo vara cstrut111ras O'Ull"·

"" ~". N1 1~ 1 11 Jr111i11 ll1 11, o 11\ILor d iHtH ILO OH pro·

1•11 M 11~ 1111 11111 11; 11 p111•11 1111 l,r11l11r1u1 1•11rv1 u11 111 · 1•1111 li 11 \li 111 l lH~ ll ci o ( llllM,

I ,'/' li'/l 'l 'l l U11

Mostra a dosvanL11~ 11111 d 11 \11H I" ""' ~" quando utilizados sob ·Pormit pr 111 1111 11, 11111 face da lentidão de convorgCi 111 i11 d1tH v11 l1111 v1 iterados.

Apresenta, a seguir, os m i s uLi'lidw11IH para se acelerar a convergência o, on Lro i<1H, expõe os processos em que se empr gam f\M

incógnitas generalizadas, a solução om dois passos de cálculo, a iteração salteada e um novo tipo de iteração que o autor denomina de iteração parcialmente salteada.

Termina propondo uma orientação nova para a resolução de estruturas curvas con­tínuas, partindo do conhecimento dos :fatô­res de forma e de carga das hastes curvas, que o autor definiu e tabelou para os casos mais usuais.

DIENTER RUDIGER, Freiberg Sa. Ale­manha. A viga parede contínua, sôbre vários apoios. Tradução e exposição do Eng. M . Res­nick Brenner.

Depois de fixar um sistema de coorde­nadas geométricas, cargas e condições de bordo, o autor passa a desenvolver o cálculo da viga parede contínua sôbre um número determinado de apoios intermediários, por meio da teoria da elasticidade.

É interessante a comparação posterior dos resultados do presente cálculo com os que determinam a teoria das vigas contí­nuas prismáticas.

CESAR A. SCIAMMARELLA Buenos Aires.

Aspectos físicos da ruptura de peç,a,s de con­creto armado à flexão e sua infliiência nos

métodos de cálculo

Os métodos de cálculo de peças de con­creto armado à ruptura por flexão, podem se classificar em dois grandes grupos: mé­todos em que se leva em conta unicamente as condições de equilíbrio estático, como o de vVhitney; teorias que consideram, além do equilíbrio, as condições de compatibilidade, aplicando a hipótese de Bernouilli de conser­vação plana das seções como o de Saliger, o de J ansen, etc.

Na aparência, o 2° grupo' é mais correto pois estabelece uma relação entre as defor­mações do concreto e do aço. í:ste aspecto é especialmente importante quando se analisa o conceito chamado de "viga balanceada" ou sojf1. d viga de ig ual resiat ência à com­proAsi1.o o t raQllo.

orn o AO vo ri'Pi m:á pola nn (w iAo dos re· 111dla1<1i>H c1x porin1011 tn iH, 11 11ud or p1·0 · iH o <'hW'l too l11;i 1111< 11011 Hlc l11r11.111 1111 <1011(\ 111 l'H do oom·

'

patibilidade é somente aparente e resulta de uma incorreta int erpretação física do fe. nômeno de ruptura por flexão.

A hipótese de Bernouilli dá a represen­tação média das deformações do aço e do concreto que se acham unidos por aderên­cia nas seções não fissuradas e representam a média da deformação do concreto e do aço em escoamento nas seções fissuradas.

Portanto, a deformação média ao nível da armadura pode ser inferior à deformação de escoamento do aço, não obstante o aço se achar em escoamento, pois que nas seções fis­suradas a deformação é superior à que se verifica nas seções não f issuradas que tra­balham no estádio I.

Em todos os casos de ruptura por fle­xão cumpre-se a lei:

"A derivada do momento fletor em re­lação à rotação da secção é nula."

Isto significa que M é máximo em re­lação à variação da rotação, isto é, o plano da secção transversal gira e se desloca ver­ticalmente de tal forma que a secção receba o máximo de momento fletor.

Em uma peça sub armada a linha neu­tra sobe de maneira a fazer com que o braço de alavanca seja máximo. Nas peças super­armadas, a linha neutra desce para com­pensar com aumento de área comprimida a perda de resistência das fibras extremas plas­tificadas.

A viga balanceada será aquela na qual a fibra neutra durante o processo de plastifica­ção e ruptura não experimenta modificação de posição.

São apresentados resultados experimen­tais que atestam as conclusões, destacando­se aspectos físicos de grande interêsse, acom­panhado das deduções analíticas das fórmu­las estudadas.

ADERSON MOREIRA DA ROCHA, Rio de Janeiro, Brasil.

"Estudo sistematizado dos recalques nas es­truturas hiperestáticas".

Neste trabalho, estuda-se a influência dos recalques em estruturas hiperestáticas, de ma­neira sistematizada e em todos os métodos de cálculo.

Em primeiro lugar, é feito o estudo dos recalques com valores previamente conhecidos.

Considerando os dois métodos gerais, o dos esforços e o dos deslocamentos, os i· caJ .. quos são estudados d ividind o-oR 1n doiH g rn­poA: ro alqu a n11 <'I i ro~l'to d 111111i íP'tt nd o~I\

incógnita e recalques na direção de uma reação do sistema principal.

Exposto o assunto sob forma absoluta­mente geral, é abordada, em seguida, a apli­cação dos processos correntes: processo dos pontos fixos; processo de iteração; processo de Cross.

É feito, ainda, o estudo dos recalques que dependem dos valores das reações, tal como aparecem nos problemas de estrutura assente sôbre terreno deformável. São fei­tas considerações práticas e mostrados os ca­sos particulares mais comuns.

ENRIQUE P. VILLAREAL - La Plata. Solução de arco circular bi-rotulado para carga total e carga uniforme no semi-vão.

Dado um arco definido geometricamente por sua flecha e seu vão e dado o valor da carga g que atua ao longo do vão e da so­brecarga p = mg atuando no semi-vão, é apresentado um ábaco dando os coeficientes para o cálculo dos momentos máximos posi­tivos e negativos.

ANTôNIO ALVES DE NORONHA, do Rio de Janeiro, Brasil.

"Obras int.eressantes de concreto armado".

JOSÉ L. DELPINI, Buenos Aires.

Efeitos gerais dos incêndios sôbre as estru­turas de concreto armado.

Comunicação sôbre a conveniência de aproveitar a experiência obtida até agora com fogos de grande intensidade e duração, para aplicá-la ao estudo de normas.

MOISÉS RESNICK, de Buenos Aires. À dupla armadura para tensões de 2 .400

kg/cm•.

Analisam-se as fórmulas gerais para chegar à secção de ferro comprimida e à tracionada. Em seguida, é estudada, toman­do-se por base a rnlação de tensões, a correta armadura (Sj + S/) a fim de obter o mí­nimo custo. Acompanham o trabalho tabe­las e diagramas.

DANIEL A. BRUNELLA - I NSTI TUTO DE CIMENTO P ORTLAND ARGENT 1 NO.

Experiências de ruptura por fl exão m v·ir;a.q debilmente armadas e com armadura 'ltiaim· que a limite.

0 tru,lmlh o H 1' C l'O 11 1 ll Htd OH do i' i(I X O 0Cot1Htri OH l\ lll \llfl ft HÓ l'i O do 110 vig'l lH 111111 Hlll{U i 11 lo<•H 1:011cl Í<i (IH:

a) - Sem armar. b) - Com armaduras que cumprem a con­

dição s < 0,06 (subarmadas). c) - Com s = 0,456 (armação limite). d) - Com s > 0,456 (superarmada).

sendo s = µ .!!!.. UR

da linha neutra.

x onde x é a distancia h

O objetivo foi comparar experimentais com a curva de as condições indicadas.

os resultados Whitney para

Como conclusão, parecera confirmar-se, de um lado, que para taxas de armadura

acima do limite, o valor de MR na-0 bh2 UR =w é constante e igual a 0,333; por outro lado, que, ao redor da origem, isto é, para relações s muito pequenas, a curva experimental se afasta da curva de Whitney, atingindo, para s = o o valor de ro definido como módulo de ruptura. Como complemento, mediram-se as flechas de tôdas as vigas ensaiadas e se efetuaram ensaios de ruptura em vigas com distintos tipos de armadura.

JOSÉ L. DELPINI, Buenos Aires. Informações sôbre algims projetos e reali­zações.

Problemas que se derivam da construção de edifícios de certa altura colados a outros existentes.

CESAR A. SCIAMARELLA - Buenos Ai­res.

F enômeno de Portevein-Le Chatelier. Algumas observações experimentais.

Quando se ultrapassa o limite de escoa­mento de uma amostra metálica com limite de escoamento definido, a deformação plás­tica, com t ensão constante ou flutuante, é impedida posteriormente por mudanças que ao produzem no interior do material.

A. manifes tação externa destas mudan­C)l\R 6 o aumento das t ensões necessárias para Jl rodn i .i r novas deformações plásticas, au­monl,o do d ureza, mudança de densidade e <lo roAiat ncia elástica, variação do módulo do Lorçfto o do módulo de Poisson.

íllHt fon8mono 6 conhecido na literatura l11 1c l ntL fü>rtl O .~ train-hardening ou work-har­d11ni1111 ( 111 1 virtndo do aumento de dureza.

A 11111d 11 11 r;1~ cln.H p r opr i elo.dos f íS"icas ob-11m v11d11 llM l.f~ 1·n lcwlo 11 1tcl n com 1t mudança da 111 11 1'1p 11 rn1; li cl oH 1\ 1' ,tlH MiHL11lin oB O dOll li· 111 i 11 11i 11q 1•111111l111'l'H.

11111 111 ~ l d 11 111·11p11H l11H d lv11r~111 1111.orpr< t.11· • 1 111"''º 11 1•11 1• 111 11 n 11x pl l1mr 11 1'11 11 1111111 01

I , l 'l.'/ l 'l '/ 111'

entre elas a t eoria anH 11d1 •11 l111 •11 1; 1111' 1 q1 111 explica um grande númoro do m ~HoH.

A maior parte das cm·vn.H d 11worlt 11111 dening" obser-vadas são co11i,lnu11H. Jll1111i111°1L hoje se conceba a deformação pl ústi cn. 1·,0111 0

um processo essencialmente descontinuo, o fenômeno aparece como contínuo para um deslisamento mínimo qual seja a "desloca­ção" de uma distância atômica em escala macroscópica.

Em alguns casos, o diagrama tensão/ deformação aparece com aspecto escalonado.

O fenômeno work-hardening depende de variáveis externas como o tempo e a tem­peratura. Os diagramas conhecidos traduzem apenas a relação tensão/deformação em fun­ção das condições em que foi realizado o ensaio.

São apresentados vários registros elo fe­nômeno para diversos materiais industriais, indicando as condições dos ensaios.

É apresentada uma hipótese sôbre a in­fluência da velocidade de deformaçã@ ne fenômeno de escoamento e são dadas expres­sões analíticas deduzidas dos ensaios reali­zados.

ENRIQUE P. VILLAREAL - La Plata. Expressões matemáticas da "desfiguração" nos modelos reticulados de grandes deforma­ções.

Ao lidar com modelos ele grandes de­formações, êstes produzem uma desfigura­ção da estrutura tal que, em muitos casos, os resultados fogem completamente à reali­dade.

Como primeiro passo para o estudo mais completo, (caso de alma cheia) é analisado o caso dos reticulados, chegando-se a uma expressão matemática conhecida.

AGUSTIN DURA:NONA Y VEDIA, Buenos Ayres. 'f!:rro do método de Galerkin.

A avaliação do êrro da solução equa­cional de uma placa calculada pelo método de Galerkin pode fazer-se mediante a apli­cação da desigualdade de Schwarz ao ope­rador de Green. Para o cálculo da função de Green do operador duplo laplaciano, se pre­tende utilizar o método de Mirskelishvili.

ENRIQUE P. VILLAREAL - La Plata. Considerações sóbre o cálculo de esforços se-

01mélá1·ios om re'liculaélos éle oonoreto.

l)omo11 At rl\·A q110, 11© tl otorminnr 09 00-l'o rcoH Mll'"u 11M1ri oH om roticulntloH d! <10 11 1:ro· t,o1 pod1 Hlt d llH prmm r li !i ll l'() r/11 1 \) O t11thll

produzida pelos momentos nos nós, conclusão que atesta a precisão dos resultados obtidos pelos processos usuais da Hiperestática.

ALBERTO S. C. FAVA, La Plata - LA­BORATôRIO DE ENSAIOS DE MATE­RIAIS E INVESTIGAÇõES TECNOLô­GICAS DA PROVíNCIA DE BUENOS AIRES.

Observações realizadas em laboratórios estadunidenses especializados em concretos.

FELIX DE MEDINA, Montevidéu, Uruguai. "Critério de escoamento e fator de "porte" nas vigas em diiplo T"

ENRIQUE P. VILLAREAL - La Plata. Estudo experimental das comportas do dique

El Chocón

Por solicitação da Diretoria Nacional de Agua e Energia foram efetuados ensaios em modêlo reduzido realizado na Faculdade de Engenharia da Universidade de La Plata a fim de estudar o comportamento das com­portas do dique El Chocón.

Realizaram-se ensaios foto elásticos com­plementados com a investigação do estado de tensões na seção de simetria executados com extensômetros.

WILHELM V ALENTIN, de Viena, Áustria. Vigas paredes segundo o proce.sso de "mon­tagem". - Tradução e exposição do Eng. M. Resnick Brenner.

A decomposição de uma viga parede em vigas parciais possibilita, conhecidas as de­formações que se selecionam de acôrdo com determinadas. cargas, conhecer o estado de tensão, uma · vez que fique posteriormente assegurada sua união contínua. Para isso, considera o autor, entre as vigas elementares, fôrças longitudinais que atuam nos bordos superiores e inferiores de cada uma das vi­gas parciais. Completam o trabalho exem­plos de cálculo e os diagramas correspon­dentes.

H. FERNANDEZ LONG, Buenos Aires. Aplicação dos métodos de ' "montecarlo"

a problemas de estrutura".

Os métodos de "montecarlo" desenvolvi­dos paralelamente ao progresso de compu­tadores eletrônicos e máquinas IBM de tar­jetas perfura~as, são aplicados prin,cipalmen­te para a resolução de difíceis problemas da ciência nuclear e da teoria de projéteis teleguiados. Limita-se o autor, nesto trabti­lho, a moatro.r quo tôm npl i n.ç o trimb(im

I 6

em campos mais modestos e podem auxiliar a resolução de alguns problemas de estru­turas, p:;i,ra a qual, se bem não exista maior dificuldade do ponto de vi.sta matemático, convém recorrer a métodos dêste tipo, a fim de abreviar processos de cômputos fatigan­tes.

FLORENCIO GONZALEZ ASENJO, La Pla-ta - LABORATôRIO DE ENSAIOS DE MATERIAIS E INVESTIGAÇÕES TEC- -NOLóGICAS DA PROVíNCIA DE BUE­NOS AIRES. Pavimentos de concreto. Sínteses estatísticas de quatro anos de ensaios.

Reúne êste trabalho resultados de ensaios de corpos de concreto realizados no Labo­ratório de Ensaios de Materiais e Investi­gações Tecnológicas da Prov. de Buenos Ai­res durante os anos de 1950 a 1953, · por so­licitação da Direção de Pavimentação da Província de Buenos Aires. Calcularam-se os parâmetros estatísticos fundamentais da resistência à compressão de 11 437 corpos de prova e da espessura de 9 234 corpos. Os va­lores médios foram respectivamente 308,2 kg/cm2 e 16,2 cm. As dispersões resultaram, por sua vez nos seguintes valores: 51,2 kg/cm2 e 1,45 cm. Estudou-se, depois, a cur­va de probabilidade mais adequada para a descrição da população dos corpos de prova, chegando à conclusão de que a curva normal de Gauss se adapta suficientemente à dis­tribuição dos dados empíricos_

Foram considerados os problemas de pre­visão dos resultados relacionados com as con­dições de aceitação do pavimento, resultados êstes comparados, não só com os de outro tra­balho anterior não publicado, realizado tam­bém no Laboratório de Ensaios de Materiais e Jinvestigações Tecnológicas da Província de Buenos Aires, sôbre corpos de prova ce­didos por solicitação da Direção da Pro­víncia de Buenos Aires, como também com trabalhos similares realizados nos Estados Unidos.

Finalmente, teceu o autor considerações sôbre os fundamentos matemáticos e os re­sultados estatísticos do problema de recep­ção dos pavimentos de concreto, em todoR os seus detalhes, particularmente em relação às perdas prováveis por recusas e dosco11toa de acôrdo com as normas vigentes.

AARON HELFQ.OT, La Plana - LAB H.A TôRIO DE ENSAIOS DE MATBTt lAll:I 1•J INVESTIGAÇõES TF..CN J ,óO 1 CMl D

PROV.tN.C IA l)J~ HUKNOH A 1 IHJH. Vi,qas rlo om11w1 to oom. 1irmMh1r11 l7°11 l' imt11r/11

o < orn.r1rim1i il11.

h'i'rU/l 'l'llW - N I

Estuda-ao v cornporta rnonto d 1.1 a r1ua­dura comprimida cm vi gas do 15 cm x 25 cm de secção transversal e 3,:30 m de compri­mento, vigas cstn.s que têm a seguinte arma­d~ra de aço comum :

a) µ. = 0,9% , = 0,75% µ.

b) µ. = 1,06% ,

= 1,06% µ.

o( µ. = 1,64% ,

= 2,77% µ.

d) µ. = 2,66% , = 0,14% µ.

Estuda-se, simultâneamente, o compor­tamento da armadura comprimida nas mes­mas vigas de aço com núcleo circular e duas nervuras salientes diametralmente opos­tas, que, por efeito de torsão a frio das barras, se convertem em hélices contínuas. A secção dessas armaduras foi a metade das de aço comum. Dêsse modo, estudam-se com­parativamente fatôres tais como: momentos fletores para diferentes estados de fissura­mento e para a ruptura; flechas; largura máxima de fissuras; largura média de fis­suras; distância máxima e mínima entre fis­suras; distância média entre fissuras; núme­ro total de fissuras no terço médio; com­portamento da armadura tracionada e da comprimida; aderência dos tipos de aço em­pregados; resistência das vigas de acôrdo com a previsão das teorias elástica e plástica de cálculo.

I. ALBERTO GODOY, JORGE A. GONSA­LEZ DOGLIOTTI, JOSÉ P. VARELA e EL­DEFONSO MARTINEZ CASTILLO - Bue­nos Aires.

Bases para o cálculo de estruturas

É destacada a influência nos métodos de cálculo atuais da avaliação do coeficiente ele segurança e expõe-se com base em prin­cí.pios de Estat1stica (apresentados nas V .Jornadas de Engenharia Estrutural) um no­vo método de cálculo em que se leva em co ns icl oraçíio o perigo de ruptura presente em qnalqu r estrutura.

Aito c1 duzidas fórmulas para o dimen­Hiom\naonto, na base da probabilidade de 111i111\ l\0 11ii ocida, para o caso de solicitação 11xi1\l do ca1·g-1ta f i..'Cll.S ou móveis em mate­ri 1d11 ltomol-( 11oos ou heterogêneos.

/\1•11111p111tl111rn ex mplos ilustrativos e os 1•1•1w ll.11d rn1 11 o <1ompm:ndos com os que se 11lil11111 1•0111 o cunprl\go dos co ficicntos de M• 1n 1n·tt111; 111 IHHUtil/l .

AH'l ' lll M> M. Ol lí-:MAN" 11 fü:IATt J. LUI­lc >N 11 d11 1,11 l'l11t.11.

'"' 1111 11 1111 11 1111111 t• 11 d1 1il11trn N m6t 1>1toR va-' 111 11111111 1 111 1 /ri NI lflirfo1l1,

1111 1111 •1111 11111111 , l•'111\fó111• ,fo11i'H Hlu 11 1 do 11 11111 11 11111·111 1!1 ·111111 <' 11111111111 11 0111 ofoL1mr1111\

N 1

OH Lutlo COlllJ)t\1'1\Livo doH di1 \l,11rl11M: 1 1•1> 111 ·ação; ll - tn!JlilllOH l(Ull.dl'nd11H; Ili 1~11 lorkin, para a r Molui; o do (1 111111•; 1t1M d1l'1 i·enciais em prolJl 111 118 t ó ·11 i! ~oH. 1•'1<'011 d• monstrado que o do Oal rki11 ó o " ' 111111 11 rápida convergência. No proa nL Lrn lmll10, analisa-se, em especial, o pl"OLl oma füt ol11H· ticidade plana de viga simpl 'S do g rand altura, com equações diferencial v2 v 2 F = O e condições de bordo prescritas para a fun­ção e suas derivadas primeira e segunda, em­pregando-se os métodos de Galerkin e Bie­zeno-Koch, que hoje se estão generalizan­do, porém a respeito dos quais diversos au­tores só mostraram estudos comparativos em problemas de torção, quer dizer, equação do tipo v2 v2 =A e condição de bordo f b =O.

Dada a complexidade da função de Airy e suas condições de bordo, os métodos de colocação e mínimos quadrados ficam excluí­dos, por não apresentarem resultados satis­fatórios. Enquanto os de Galerkin e Biezeno­Koch se comparam, dispondo-se também de resultados obtidos por diferenças finitas e contrôle experimental fotoelástico. Do exame resultam as seguintes conclusões:

1) O método de Biezeno-Koch é de mais fácil manejo e permite chegar mais rà­pidamente a resultados aproximados.

2) O método de Galerkin, se bem que mais lento para o desenvolvimento das equa­ções finais, permite maior aproximação, com a vantagem de que num dos casos analisados se obteve boa aproximação com o emprêgo de um só polinômio, o que não ocorre com o de Biezeno-Koch.

3) A convergência de Galerkin se faz mais rápida, já que um dos casos analisa.­dos não apresenta diferenças substanciais usando-se 1 ou 4 polinômios.

4) O método de Bienzono-Koch propor­ciona em geral valores superiores aos exatos, garantindo, pois, maior segurança.

5) Em placas planas com equação

v 2 v 2 W = f e condições de bordo diversas,

a diferença entre ambos os métodos não é tão pronunciada como na elasticidade bidi­mensional, embora seja mais rápida, como sempre, a convergência de Galerkin. Sem embargo, para as cargas concentradas, a apli­cação do método de Galerkin continua sim­ples, o que não ocorre com o de Biezeno­Koch.

IN CllJN 10 R JUNCOFJ, Buon B AircH. S(}bn o u.vo rl11 v1iri<wao <i /rol'['iL n11i1t

(/,1) 11 i11rr10 (1 (l'm l ltlr11f1H IÍ,( 11ro VII fllll 'll t oN tl~··

li 111 li(' HI li llri 'm 1/11Í'llíl"V lfo 1 /I HllÍIJ,

1 '7

ROBERTO MEOLI, de Buenos Aires. -INSTITUTO DEL CEMENTO PORTLAND ARGENTINO Cwrva de calibração do esclerômetro.

A base de 260 determinações de resis­tência à compressão de concretos em fôrmas cilíndricas e cúbicas, ensaiadas no Labora­tório do I.C.P.A., onde se efetuaram lei­turas com o esclerômetro, foram determina­das as curvas de calibração para ambos os tipos de resistências. Adotou-se como rela­ção entre ambos o fator 0,85. Verificou-se que, para a resistência cúbica, a curva dos valores médios prováveis se afasta da curva apresentada pelo fabricante, dando valores inferiores, que oscilam entre 12% para re­sistências da ordem de 100 kg/cm• e 14% para as de 500 kg/cm'.

Foram comparados também ensaios rea­lizados em lajes de pavimento com os efe­tuados em corpos de prova com cargas cres­centes, secos ou saturados.

AUGUSTO J. DURELLI, Buenos Aires. Análise experimental de um dique de con­traforte.

( 1 ) ftste trabalho é publicado neste número de ESTRUTURA.

E_NRIQUE D. FLIESS, .Buenos Aires -INSTITUTO DE CIMENTO PORTLAND ARGENTINO. Cálculo à ruptura de lajes-cogwmelos - Ex­periências com modelos de tamanho reduzido.

Analisam'-se os ensaios efetuados com modelos de lajes-cogumelos, constituídas de nove panos .de 20 cm de largura e 1,5 cm de espessura, sem armar, destinados a estabe­lecer experimentalmente a configuração das linhas de ruptura e a carga total de colapso. Os resultados experimentais são comparados com os teóricos, deduzidos de um planeja­mento teórico do problema, e a concordância entre ambos é satisfatória (').

H. FERNANDEZ LONG, Buenos Aires.

Aplicação do efeito "mawré'' na deter­minação experimental de deformações.

Depois de tecer algumas considerações em tôrno das aplicações do efeito "mauré" a diversos ramos da técnica, descreve-se, com certo detalhe, a utilização dêste efeito para medir deformações. São especialmente anali­sadas as possibilidades do método no campo da elasticidade e plasticidade experimental e descritas algumas experiências realizadas pelo autor.

Seja um assinante de ESTRUTURA

Entrega preferencial diatamente após

a domicílio ime-. -a impressao

Pedidos pelo telefone 22-5710 ou cartas para

Av. Erasmo Braga nº 227, sala 1.310

I H 1:srm rn 11 • /\ N t

OBRAS DE .ALnUl\f DE

Sug estões - 1°, 2°, 3•, 4•, 5º e 6° vo ls.

A. PEDROSA

«Hidráulic:l» aplicada.

A. GUIMARÃES Empuxo de terra.

A. KLEINLOG EL

Têrmos de Carga.

ADERSON M. ROCHA

Curso Prát:co de Concreto Armado -P, 2•, .3° e 4° vo ls. Hiperes tát'.ca Plana Geral - 1°, 2' e 3'' vols. Tabeias de Concreto Armado 1° e 2' vols. Tabelas de Hiperestática Plana Geral -P vol. Cá lcu lo das Vigas Assentes sôbre· Base Elástica.

D. LOESER

Concreto Armado.

CARICCHIO

Construção Civil - 3 vols.

GEORG ANGER

Linhas de Influênçia para Vigas Contí- . nuas.

HUMDERTO KOPCKE

Química Geral (Técnica e Descritiva).

H. PINTO

Polinônios. D~terminantcs. Tr igonom etria. Equ.1ções lineares. Á lgebra Superior. Equ:ições Trigonométricas. T:íbuas de ·LogaTítmos. Progressões.

]. ADDELHAY

Curso de Análise Matemática - 1 •, 2° e 3' vols. llfa temátic:t (Para Candidatos Escola Su­perior).

NG NHARIA L. S. VlVEJR 11 CASTRO

Exercícios de E$tntfslicn. Pontos de Estatísticn .

M. P. DE CARVALHO Caderneta de Campo. Método Prático para Construções de Es­tradas de Rodagem - Vol. I. Cursu de Estradas de Rodagem - 2 vols.

NIELSEN

Geometria Plana.

PAULO COSTA

Caderno de Encargos.

P. ]. CRAVINA

Teoria e Cálculo das Pontes Pênseis.

REGO CHAVES

Terraplenagem Mecanizada.

RICHARD NEUTRA Arquitetura Social. Residências.

SAMUEL CHAMECKI

As Linhas de Influência nos Pórticos Con­tínuos. Curso de Estática das Construções br. Curso de Estática das Construções enc.

SCHRóN

Tables de Logaritmes.

SMITH-LONGEY

Mecânica Racional. ! Prelo) .

T. VAN LANGENDONCK

Vigas Simples e Isostáticas. Tensões (Resistência dos Materiais) .

THIAGO

Hiperestática Analítica.

xr. A. GRANVILLE

Elementos de Cálculo Diferencial e In­tegral.

W. GERLING

Moderníssimo receituário índuslrinl.

EDITORA CIENTIFICA AV. ERAS1'f DRAGA, 299 - S• ANDAR -- End. 'J'c l 'J.! . Si>J l ' l (I(

. P TAL 344 6 - ltl 1 E JANI.lllt

I~

ROBERTO MEOLI, de Buenos Aires. -INSTITUTO DEL CEMENTO PORTLAND ARGENTINO Cwrva de calibração do esclerômetro.

A base de 260 determinações de resis­tência à compressão de concretos em fôrmas cilíndricas e cúbicas, ensaiadas no Labora­tório do I.C.P.A., onde se efetuaram lei­turas com o esclerômetro, foram determina­das as curvas de calibração para ambos os tipos de resistências. Adotou-se como rela­ção entre ambos o fator 0,85. Verificou-se que, para a resistência cúbica, a curva dos valores médios prováveis se afasta da curva apresentada pelo fabricante, dando valores inferiores, que oscilam entre 12% para re­sistências da ordem de 100 kg/cm• e 14% para as de 500 kg/cm2

•

Foram comparados também ensaios rea­lizados em lajes de pavimento com os efe­tuados em corpos de prova com cargas cres­centes, secos ou saturados.

AUGUSTO J. DURELLI, Buenos Aires. Análise experimental de um dique de con­traforte.

( 1 ) ftste trabalho é publicado neste número de ESTRUTURA.

E_NRIQUE D. FLIESS, .Buenos Aires INSTITUTO DE CIMENTO PORTLAND ARGENTINO.

Cálculo à ruptura de lajes-cogwmelos - Ex­periências com modelos de tamanho reduzido.

Analisam'-se os ensaios efetuados com modelos de lajes-cogumelos, constituídas de nove panos .de 20 cm de largura e 1,5 cm de espessura, sem armar, destinados a estabe­lecer experimentalmente a configuração das linhas de ruptura e a carga total de colapso. Os resultados experimentais são comparados com os teóricos, deduzidos de um planeja­mento teórico do problema, e a concordância entre ambos é satisfatória (').

H. FERNANDEZ LONG, Buenos Aires.

Aplicação do efeito "mawré'' na deter­minação experimental de deformações.

Depois de tecer algumas considerações em tôrno das aplicações do efeito "mauré" a diversos ramos da técnica, descreve-se, com certo detalhe a utilização dêste efeito para medir defor~ações. São especialmente anali­sadas as possibilidades do método no campo da elasticidade e plasticidade experimental e descritas algumas experiências realizadas pelo autor.

Seja um assinante de ESTRUTURA

Entrega preferencial diatamente após

a domicílio ime-. -a impressao

Pedidos pelo telefone 22-5710 ou cartas para

Av. Erasmo Braga n° 227, sala 1.310

I H FS 'l'h'/l 'l'/11' 1\ N t

OBRAS DE .ALnUl\f DE

Suges tões - 1 •, 2•, 3•, 4•, 5• e (j• vols .

A. PEDROSA

«Hidriulic:rn aplicada.

A. GUIMARÃES Empuxo de terra.

A. KLEINLOG EL

Têrmos de Carga.

ADERSON M. ROCHA

Curso Prát:co de Concreto Armado -i •, 2•, .39 e 4° vo ls. Hiperestát'.ca Plana Geral - 1 •, 2' e 3·• vols. Tabeias de Concreto Armado 1 • e 2' vols. Tabelas de Hiperestática Plana Geral -P vol. Cálculo das Vigas Assentes sôb; e. !3ase Elástica.

D. LOESER

Concreto Armado.

CARICCHIO

Construção Civil - 3 vols .

GEORG ANGER

Linhas de Influênçía para Vigas Contí- _ nuas.

HUMBERTO KOPCKE

Química Geral (Técnica e Descritiva).

H . PINTO

Polinônios. D~tcrminantcs. Trigonometria. Equ.1çõcs lineares. Álgebra Superior. Equações Trigonométricas. T:íbuas <le ·Log:rrítmos. Progressões.

]. ArlDELHA Y

Curso de Análise Matemática - 1 •, 2• e 3' vo ls. llfa temátic:t (Para Candidatos Escola Su­perior).

NG NHARIA L. . V lVEJR E CAS"i'JH

Exc rdcios de E$ tn tl ~ li cn . Pontos de Esta tí sti n.

M. P. DE CARVALHO Caderneta de Campo. Método Prático para Construções de Es­tradas de Rodagem - Vol. 1. Curso de Estradas de Rodagem - 2 vols .

NIELSEN

G eometria Plana.

PAULO COSTA

Caderno de Encargos.

P. ]. CRAVINA

Teoria e Cálculo das Pontes Pênseis.

REGO CHAVES

Terraplenagem Mecanizada.

RICHARD NEUTRA Arquitetura Social. Residências.

SAMUEL CHAMECKI

As Linhas de Influência nos Pórticos Con­tínuos. Curso de Estática das Construções br. Curso de Estática das Construções enc.

SCHRóN

Tablcs de Logaritmes.

SMITH-LONGEY

Mecânica Racional. !Prelo).

T. VAN LANGENDONCK

Vigas Simples e Isostáticas. Tensões (Resistência dos Materiais) .

THIAGO

Hiperestática Analítica.

xr. A. GRANVILLE

Elementos de Cálculo Diferencial e In­tegral.

W. GERLING

Moderníssim o receituári o índuslrinl.

EDITORA CIENTIFICA AV. ERASM O DRA G A, 299 -8º ANDAR -- End . 'i'ck 11 . s 1>11 ' EH

e. p STAL 3446 - ru 1 E JAN Ll llt

' l {

, .,._,

ES.YA E A EOUAÇAO #:

que V. S. deve satisfazer para encontrar a solução econômica de sua

ESTRUTUR.A Ferro redondo liso + processo ''DELI TRAÇO''=

= 40 % de economia .

M d d "h l't " d an an o e i raçar . as ·arma uras para concreto armado, V . S. obtem:

1. MAIOR ADERENCIA DO QUE O AÇO LISO COMUM ( aum~nto

de 30% a 100% ) ; 2 . MAIOR RESISTENCIA (aumento de 55% a 75% ) ; 3. MAIORES GARANTIAS DE FABRICAÇÃO (eliminação das barras

defeituosas) ; 4. MENOR CON SUMO DE ARMADURAS (redução de 33% a 50% ) ; 5. MENOR CONSUMO DE CONCRETO (redução possível de 10%

aproximadamente); -6. · ·MENOR MÃO D E OBRA NO PREPARO iE COLOCAÇÃO DAS AR-

MADURAS; " 7. MENOR TEMPO DE EXECUÇÃO (conseqüência das vantagens 4,

5 e 6) ; 8 . MENOR CUSTO FINAL DO METRO CÚBICO DE CONCRETO AR­

MADO.

PATENTE N.º 40078

· AR~l.:\DURAS DELITHAÇO S. A. Praça Mauá, 7 - 8Q and. - Sala 822

Tel.: 23-5323 Rio de Janeiro