ESTUDO DAS SÉRIES DE VALORES DE RADIAÇÃO SOLAR … · 4.2.2 Diagnóstico do Ajuste da GPD ... Resultados do teste de Kolmogorov – Smirnov para verificar a qualidade do ajuste

1

UNIVERSIDADE REGIONAL INTEGRADA DO ALTO URUGUAI E DAS MISSÕES

CAMPUS ERECHIM

DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA

CURSO DE MATEMÁTICA

SUZANE RANZAN

ESTUDO DAS SÉRIES DE VALORES DE RADIAÇÃO SOLAR UTILIZANDO A

TEORIA DE VALORES EXTREMOS

ERECHIM

2010

2

SUZANE RANZAN

ESTUDO DAS SÉRIES DE VALORES DE RADIAÇÃO SOLAR UTILIZANDO A

TEORIA DE VALORES EXTREMOS

Monografia apresentada à disciplina Trabalho

de Graduação II, Curso de Matemática,

Departamento de Ciências Exatas e da Terra,

Universidade Regional e Integrada do Alto

Uruguai e das Missões – Campus de Erechim.

Orientadora: Doutora Simone Maffini Cerezer

ERECHIM

2010

3

RESUMO

O estudo das distribuições de variáveis aleatórias, ao longo do tempo, tem como

finalidade possibilitar a compreensão de fenômenos meteorológicos para determinar seus

padrões de ocorrência. Estimar a radiação solar disponível na superfície terrestre faz parte da

aplicabilidade desta fonte de energia. A Teoria de Valores Extremos (TVE) estuda as

probabilidades de ocorrência de valores raros ou mesmo nunca observados de um processo.

Sendo a radiação solar a principal fonte de energia da Terra, é de fundamental importância

estudar suas probabilidades de ocorrência ao longo dos anos. Desta forma, este trabalho

investiga a possibilidade de ajustar a Distribuição Generalizada de Valores Extremos aos

valores máximos e mínimos de radiação solar e a Distribuição de Pareto Generalizada para

descrever o conjunto de valores excedentes a um valor alto de radiação solar pré-definido.

Com os resultados obtidos, a partir da análise estatística realizada para a Distribuição

Generalizada de Valores Extremos, pode-se concluir que a mesma descreve adequadamente

os dados das quatro regiões do Estado do Rio Grande do Sul analisadas. Para a Distribuição

de Pareto Generalizada os resultados obtidos permitem concluir que a mesma não descreve os

dados analisados de forma adequada.

Palavras-chave: Valores de Radiação Solar; Distribuição Generalizada de Valores Extremos,

Distribuição de Pareto Generalizada; Estado do Rio Grande do Sul.

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SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO.............................................................................................................9

2 REFERENCIAL TEÓRICO......................................................................................11

2.1 RADIAÇÃO SOLAR....................................................................................................11

2.2 TEORIA DE VALORES EXTREMOS........................................................................12

2.3 DISTRIBUIÇÃO GENERALIZADA DE VALORES EXTREMOS..........................12

2.4 DISTRIBUIÇÃO DE PARETO GENERALIZADA....................................................14

3 METODOLOGIA.......................................................................................................16

3.1 COLETA DE DADOS..................................................................................................16

3.2 ANÁLISE ESTATÍSTICA DA GEV...........................................................................17

3.2.1 Teste de Kolmogorov-Smirnov............................................................................17

3.2.2 Teste da Razão de Verossimilhança Modificado................................................17

3.2.3 Estimativas para os Valores de Radiação com Diferentes Probabilidades de

Ocorrência.............................................................................................................18

3.3 ANÁLISE ESTATÍSTICA DA GPD............................................................................18

4 RESULTADOS............................................................................................................20

4.1 DISTRIBUIÇÃO GENERALIZADA DE VALORES EXTREMOS..........................20

4.1.1 Construção dos Box Plot.......................................................................................20

4.1.2 Estimativas dos Parâmetros da distribuição GEV para os valores máximos e

mínimos de radiação solar global........................................................................22

4.1.3 Análise do ajuste da distribuição GEV...............................................................23

4.1.4 Estimativas dos Valores de Radiação Solar Global do Estado do Rio Grande

do Sul......................................................................................................................27

4.2 DISTRIBUIÇÃO DE PARETO GENERALIZADA....................................................28

4.2.1 Escolha do Limiar – Como foi realizada?...........................................................28

4.2.2 Diagnóstico do Ajuste da GPD.............................................................................33

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS........................................................................................36

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS................................................................................37

5

LISTA DE TABELAS

Tabela 1: Estimativas por Máxima Verossimilhança dos parâmetros da distribuição GEV e o

valor do erro padrão estimado para os valores máximos de radiação solar do Estado do

RS..............................................................................................................................................22

Tabela 2: Estimativas por Máxima Verossimilhança dos parâmetros da distribuição GEV e o

valor do erro padrão estimado para os valores mínimos de radiação solar do Estado do

RS..............................................................................................................................................22

Tabela 3: Resultados do teste de Kolmogorov – Smirnov para verificar a qualidade do ajuste

da distribuição GEV aos valores máximos de radiação solar

global.........................................................................................................................................26

Tabela 4: Resultados do teste de Kolmogorov – Smirnov para verificar a qualidade do ajuste

da distribuição GEV aos valores mínimos de radiação solar global.........................................26

Tabela 5: Estimativas por Máxima Verossimilhança do parâmetro de forma ( ξ ) da

distribuição GEV e o valor da estatística de razão de verossimilhança modificada (*

LRT ) para

os valores máximos e mínimos de radiação solar.....................................................................26

Tabela 6: Valores de radiação solar global (MJ/m²) com probabilidade de ocorrência inferior

ou igual a 0,1%, 1%, 5%, 10%..................................................................................................27


ou igual a 90%, 95%, 99%, 99,9%............................................................................................28

Tabela 8: Valor do Limiar, Número de Excedentes, Estimativa por Máxima Verossimilhança

dos Parâmetros da GPD para os Valores de Radiação Solar Global (MJ/m2) do Estado do

RS..............................................................................................................................................32

6

Tabela 9: Valor do Limiar, Número de Excedentes, Estimativa por Máxima Verossimilhança

dos Parâmetros da GPD e o valor da estatística de Cramér-von Mises (W²), para os Valores

de Radiação Solar Global (MJ/m2) do Estado do RS. ..............................................................35

7

LISTA DE FIGURAS

Figura 1: Função densidade de probabilidade da distribuição generalizada de valores extremos

(GEV) para ξ = -0,3 (Weibull), ξ → 0 (Gumbel) e ξ = 0,3 (Fréchet), com µ = 10 e

σ = 2,5.......................................................................................................................................14

Figura 2: As observações X1, X2,..., X12 e os excessos além de u = 3......................................14

Figura 3: Função densidade de probabilidade da distribuição GPD para ξ = - 0,2 (Beta),

ξ = 0,2 (Pareto) e ξ = 0 (Exponencial) σ = 1.............................................................................15

Figura 4: Box plot para a variável radiação solar global da região da Campanha....................20

Figura 5: Box plot para a variável radiação solar global da região da Grande POA.................21

Figura 6: Box plot para a variável radiação solar global da região da Litoral..........................21

Figura 7: Box plot para a variável radiação solar global da região da Planalto........................21

Figura 8: Gráficos quantil-quantil para diagnóstico do ajuste da distribuição GEV aos valores

máximos de radiação solar no Estado do RS............................................................................23

Figura 9: Gráficos que comparam as probabilidades do modelo GEV com as probabilidades

da distribuição empírica para os valores máximos de radiação solar do Estado do

RS..............................................................................................................................................24

Figura 10: Gráficos quantil-quantil para diagnóstico do ajuste da distribuição GEV aos

valores mínimos de radiação solar no Estado do RS................................................................24


da distribuição empírica para os valores mínimos de radiação solar do Estado do

RS..............................................................................................................................................25

8

Figura 12: (a) Função média dos excessos; (b) estimativas para o parâmetro de escala ( )

versus valores do limiar u; (c) estimativas para o parâmetro de forma (ξ) versus valores do

limiar u para valores de radiação solar global (MJ/m2) da região da

Campanha..................................................................................................................................29



limiar u para valores de radiação solar global (MJ/m2) da região da Grande

POA...........................................................................................................................................30



limiar u para valores de radiação solar global (MJ/m2) da região do

Litoral........................................................................................................................................30



limiar u para valores de radiação solar global (MJ/m2) da região do

Planalto......................................................................................................................................31

Figura 16: Gráficos quantil-quantil para diagnóstico do ajuste da distribuição GPD aos

valores de radiação solar global (MJ/m2) no Estado do RS......................................................32

Figura 17: Gráficos que comparam as probabilidades do modelo GPD com as probabilidades

da distribuição empírica para os valores de radiação solar global (MJ/m2) do Estado do

RS..............................................................................................................................................34

9

1 INTRODUÇÃO

O estudo das distribuições de variáveis aleatórias, ao longo do tempo, tem como

finalidade possibilitar a compreensão de fenômenos meteorológicos para determinar seus

padrões de ocorrência. Esta compreensão permite uma previsão razoável do comportamento

climático, fato de tamanha importância para o planejamento de inúmeras atividades.

A radiação solar é a energia proveniente do Sol e que fornece luz e calor para o

planeta Terra. Dela dependem, para a sobrevivência, praticamente todos os seres vivos. Sua

energia é a responsável pela distribuição da fauna e da flora no planeta, influenciando,

diretamente as atividades fisiológicas dos seres vivos e os fenômenos climáticos.

É de fundamental importância ter conhecimento sobre a quantidade de radiação solar

que atinge a superfície da Terra em determinado local, tempo e época do ano. Pois as plantas,

por exemplo, respondem a quantidades instantâneas de radiação solar e, valores máximos

durante o dia são críticos para determinados processos da planta, por exemplo, crescimento,

fotossíntese, aumento de peso úmido, reserva de açúcar, absorção da água e outros que

dependem, sobretudo da quantidade de radiação solar que atinge a planta nas diversas horas

do dia (ASSIS, 2008).

Buscando aprofundar os conhecimentos sobre a distribuição da radiação solar no

Estado do RS, este trabalho investiga a possibilidade de ajustar a Distribuição Generalizada

de Valores Extremos aos valores máximos e mínimos de radiação solar e a Distribuição de

Pareto Generalizada para descrever o conjunto de valores excedentes a um valor alto de

radiação solar pré-definido.

Através do ajuste destas duas distribuições de probabilidade, espera-se contribuir com

estudos que estão sendo realizados sobre o comportamento probabilístico de variáveis do

clima, tais como radiação solar, umidade, chuva e vento. As previsões probabilísticas

auxiliam no planejamento e condução das atividades agropecuárias, evitando ou minimizando

os possíveis prejuízos causados pela ação das intempéries.

Sendo assim, inicialmente, serão abordados os assuntos sobre a importância da

radiação solar, o que é a Teoria de Valores Extremos e também as características das duas

distribuições utilizadas, a Distribuição Generalizada de Valores Extremos e a Distribuição de

Pareto Generalizada. Em seguida, serão apresentados os dados de radiação solar global

utilizados no trabalho, bem como a forma que foram coletados. As demais seções

10

apresentarão os resultados obtidos, descrevendo os testes aplicados e apresentando os gráficos

que avaliam a qualidade do ajuste dos dados, tanto para a Distribuição Generalizada de

Valores Extremos quanto para a Distribuição de Pareto Generalizada.

11

2 REFERENCIAL TEÓRICO

2.1 RADIAÇÃO SOLAR

A vida na Terra é possível graças a uma combinação de fatores que juntos permitem

ao planeta ter energia suficiente e na medida certa para todos os fenômenos biológicos e

físicos. Essa energia provém da estrela mais próxima chamada Sol. É a radiação solar

(MARTINAZZO, 2004).

A energia radiante recebida do Sol pela superfície terrestre chama-se radiação solar

global. Insolação é definida como o intervalo de tempo no qual o disco solar não é obstruído

por nuvens. A medida da insolação é importante para a caracterização climática de uma

determinada região e para a estimação da radiação solar numa superfície horizontal, onde não

existem medidas piranométricas (medida da intensidade de radiação solar). Para medir a

insolação utilizam-se aparelhos que registram o tempo de brilho de Sol, geralmente em

décimos de hora, chamados heliógrafos (MARTINAZZO, 2004).

O conhecimento da distribuição dos valores de variáveis como a precipitação

pluviométrica, temperatura, umidade do ar, evaporação, direção e velocidade do vento,

radiação solar global, granizo, geada, neve, entre outros, ao longo do tempo, como um meio

de compreender os fenômenos meteorológicos, para determinar seus padrões de ocorrência e

permitir uma previsibilidade razoável do comportamento climático de uma região, é um

importante instrumento para o planejamento e gestão de inúmeras atividades agropecuárias e

humanas, ao racionalizar os procedimentos e evitar ou minimizar os possíveis prejuízos

causados pela ação das intempéries (CARGNELUTTI FILHO et al., 2004; ASSIS et al.,

2004).

Para Assis et al. (2004), o conhecimento das disponibilidades térmicas de um local é

necessário em várias atividades agronômicas como a seleção e introdução de cultivares,

definição de épocas de semeadura, eleição de tratos culturais e implantação de mecanismos de

modificação de ambientes agrícolas. Dentre as variáveis térmicas pouco estudadas do ponto

de vista probabilístico, destaca-se a radiação solar global diária.

12

2.2 TEORIA DE VALORES EXTREMOS

A Teoria de Valores Extremos (TVE) estuda as probabilidades de ocorrência de

eventos raros, ou mesmo nunca antes observados, de um processo. É um ramo da

probabilidade que estuda o comportamento estocástico de extremos associados a um conjunto

de variáveis aleatórias com distribuição comum F. Dentro da denominação geral de extremos

incluímos o máximo e o mínimo, estatísticas de ordem extremas e excessos acima (ou abaixo)

de limiares altos (ou baixos). O importante é que as características e propriedades das

distribuições desses extremos aleatórios são determinadas pelas caudas extremas (inferior e

superior) da distribuição subjacente F (MENDES, 2004).

Para Mendes (2004), restringir a atenção às caudas de uma distribuição apresenta a

vantagem de termos a nossa disposição diversos modelos estatísticos adequados para as

mesmas. Esses modelos sejam baseados em máximos coletados em blocos, sejam baseados

em excessos além de limiares, nos permitirão fazer inferências mais precisas sobre as caudas e

parâmetros da distribuição subjacente F.

As primeiras aplicações dos resultados formais de TVE surgiram com a modelagem de

fenômenos meteorológicos envolvendo precipitações máximas e níveis anuais de inundações

nos Estados Unidos. Contudo, a abrangência de suas aplicações é grande, incluindo uma

variedade de fenômenos naturais tais como inundações, poluição atmosférica, correntes

oceânicas e problemas oriundos de outras áreas tais como da engenharia, atuária e finanças

(MENDES, 2004).

2.3 DISTRIBUIÇÃO GENERALIZADA DE VALORES EXTREMOS

Uma das formas de modelar eventos extremos é através da Distribuição Generalizada

de Valores Extremos (GEV). Essa distribuição apresenta como casos particulares, três tipos

de distribuições de valores extremos, e tem função de distribuição acumulada de

probabilidade dada por

(1)

13

definida em, para para

para sendo os parâmetros de locação, escala e de forma,

respectivamente, com

As distribuições de valores extremos de Fréchet e de Weibull correspondem aos casos

particulares de (1) em que > 0 e < 0, respectivamente. Como limite de F(x) com → 0

tem-se que:

(2)

que é a função de distribuição acumulada de Gumbel com parâmetros de locação ( ) e de

escala ( ), com

Derivando-se (1) em relação a x, obtém-se a função densidade de probabilidade da

distribuição GEV, dada por

definida em, para ξ para cujo limite para

ξ tendendo a zero, é:

definida em, conforme Coles (2001).

Graficamente, a distribuição de Fréchet corresponde a um modelo com cauda inferior

finita e cauda superior infinita. Por outro lado, no caso da distribuição de Weibull, a cauda

superior é finita.

A Figura 1 apresenta os gráficos da função densidade de probabilidade para diferentes

valores do parâmetro de forma.

14

Figura 1: Função densidade de probabilidade da distribuição generalizada de valores extremos (GEV)

para ξ = -0,3 (Weibull), ξ → 0 (Gumbel) e ξ = 0,3 (Fréchet), com µ = 10 e σ = 2,5.

2.4 DISTRIBUIÇÃO DE PARETO GENERALIZADA

Assim como a distribuição GEV descreve a distribuição limite do máximo

padronizado (centrado e dividido por um fator de escala), a Distribuição de Pareto

Generalizada (GPD) aparece como a distribuição limite dos excessos além de um limiar alto

(MENDES, 2004).

Para Mendes (2004), denominamos excedentes aqueles valores de Xi tais que Xi > u.

A Figura 2 mostra as observações X1,..., X12 e os excessos além do limiar u = 3.

Figura 2: As observações X1, X2,..., X12 e os excessos além de u = 3.

15

A distribuição GPD com parâmetros e , com > 0, denotada por G(y), é dada por

(5)

quando é o parâmetro de escala e é o parâmetro de forma. A função densidade é

(6)

onde y ≥ 0 se ≥ 0 e 0 ≤ y ≤ se < 0.

A distribuição GPD possui três submodelos ou classes de distribuições padrões que são

as: tipo I – Exponencial ( → 0), tipo II – Pareto ( > 0) e tipo III – Beta ( < 0).

A Figura 3 ilustra as caudas de algumas distribuições GPD.

Figura 3: Função densidade de probabilidade da distribuição GPD para

ξ = - 0,2 (Beta), ξ = 0,2 (Pareto) e ξ = 0 (Exponencial), com σ = 1.

Pickands (1975) introduziu a distribuição de Pareto Generalizada como uma família de

distribuições com dois parâmetros ( e ).

16

3 METODOLOGIA

3.1 COLETA DE DADOS

Este trabalho foi realizado com os dados fornecidos gratuitamente pela Fundação

Estadual de Pesquisa Agropecuária e, disponíveis na rede mundial de computadores pela

Universidade Federal de Pelotas e pela Empresa Brasileira de Pesquisa Agropecuária. Os

dados disponibilizados foram medidos em quinze estações, sendo que a maioria delas

disponibiliza dados de insolação, radiação global, umidade relativa e temperatura média. Os

dados de insolação estão registrados como totais diários de horas para cada dia do mês para

cada estação. O equipamento utilizado nas estações do Rio Grande do Sul para medir a

radiação solar é o actinógrafo tipo bimetálico – FUES (1,5 m s.n.s) e para medir a insolação

utiliza-se o heliógrafo tipo Cambell-Stokes (1,5 m s.n.s) (MARTINAZZO, 2004).

Cada região possui características próprias, como por exemplo, clima, vegetação, solo.

Desta forma decidiu-se separar as quinze estações de acordo com sua respectiva região do

Estado, sendo elas: Campanha, Grande Porto Alegre, Litoral e Planalto.

Na região da Campanha os dados analisados foram obtidos no período de 1963 a 1999,

na região da Grande Porto Alegre o período é de 1975 a 2001, na região do Litoral de 1958 a

2000, e na região do Planalto os dados analisados foram obtidos de 1956 a 2000.

A primeira etapa do trabalho está baseada nos valores máximos e mínimos de radiação

solar, sendo que para cada uma das regiões foi selecionado, anualmente, o valor máximo e o

valor mínimo de radiação solar. A verificação da qualidade do ajuste da GEV aos dados foi

feita de forma gráfica (gráficos PP-Plot e QQ-Plot) e também através do teste de

Kolmogorov-Smirnov.

Em um segundo momento, para verificar o ajuste da distribuição de Pareto

Generalizada aos dados de radiação solar foi necessário determinar o conjunto de valores

excedentes a um valor alto de radiação solar pré-definido (limiar). A escolha do limiar foi

feita de forma gráfica e a verificação da qualidade do ajuste desta distribuição de

probabilidade aos dados foi feita de duas maneiras, sendo uma delas graficamente (gráficos

PP-Plot e QQ-Plot) e a outra através dos testes de Anderson-Darling e Cramér-von Mises.

17

3.2 ANÁLISE ESTATÍSTICA DA GEV

3.2.1 Teste de Kolmogorov-Smirnov

Além da análise gráfica para se testar a suposição de que os dados seguem a

distribuição GEV aplicou-se o teste de Kolmogorov-Smirnov, com um nível de significância

de 5%. Como metodologia para sua aplicação, pode-se considerar F(x) a proporção dos

valores esperados menores ou iguais a x pela distribuição teórica e S(x), a proporção dos

valores observados menores ou iguais a x pela distribuição empírica, em que Dobs é o módulo

do desvio máximo observado dado por

(7)

Para isto, compara-se Dobs com Dtab (Dtab é o desvio máximo tabelado, encontrado em

tabelas adequadas); se Dobs for menor, existe concordância entre as frequências observadas e

esperadas, a amostra provêm de uma população que segue a distribuição de probabilidade sob

teste (CATALUNHA et al., 2002).

3.2.2 Teste da Razão de Verossimilhança Modificado

Considerando que o parâmetro de forma ξ define o tipo de distribuição de valores

extremos a utilizar para estimar valores de radiação solar para o Estado do RS com diferentes

probabilidades de ocorrência, pode-se testar se ξ é estatisticamente zero utilizando-se o teste

da razão de verossimilhança descrito em Hosking (1984). A estatística de razão de

verossimilhança (TLR) tem distribuição assintótica qui-quadrado com um grau de liberdade,

denotada por, 2

1χ . Para obter uma aproximação mais precisa à distribuição assintótica dessa

estatística, Hosking (1984) sugere a utilização da estatística modificada

, (8)

18

sendo n o número de máximos ou mínimos.

Neste trabalho, como n é considerado pequeno, utilizou-se a estatística da razão de

verossimilhança modificada para testar se ξ é estatisticamente zero. Deste modo, para

testar a hipótese nula contra a hipótese alternativa , compara-se o valor da

estatística com o valor tabelado de da distribuição qui-quadrado com um grau de

liberdade e um nível de significância preestabelecido α. Se rejeita-se

3.2.3 Estimativas para os Valores de Radiação com Diferentes Probabilidades de

Ocorrência

Para obter as estimativas para os valores de radiação, considerando-se o método

proposto, com probabilidade de ocorrência inferior ou igual a 0,1%, 1%, 5%, 10%, 90%, 95%,

99% e 99,9%, utilizou-se a seguinte expressão

(9)

cujo limite para ξ tendendo a zero é dada por

(10)

3.3 ANÁLISE ESTATÍSTICA DA GPD

Assim como na distribuição GEV, pode-se testar a suposição de que os dados seguem

a distribuição GPD, tanto de forma gráfica quanto por meio dos testes de Anderson-Darling e

Cramér-von Mises, determinando-se as estatísticas A² e W², respectivamente. O procedimento

para o cálculo dessas estatísticas é descrito a seguir:

1. Os valores, nesse caso, excedentes, devem estar em ordem crescente, ou seja,

19

2. Calcula-se zi = , i = 1, 2, ..., n.

3. O valor da estatística W² é dada por

O valor da estatística A² (do teste de Anderson-Darling) é dada por

Alguns valores críticos para as estatísticas teste W² e A² para os níveis de significância

de 1%, 2,5%, 5%, 10% e 15% podem ser consultados em tabelas apresentadas por Stephens

(1974).

20

4 RESULTADOS

Nesta seção serão apresentados os resultados obtidos pelo ajuste das distribuições

GEV e GPD, respectivamente, aos dados analisados.

4.1 DISTRIBUIÇÃO GENERALIZADA DE VALORES EXTREMOS

4.1.1 Construção dos Box Plot

Com o objetivo de verificar o comportamento da variável radiação solar global, para

cada uma das quatro regiões observadas, construíram-se os gráficos de caixa (box plot).

Observa-se, nas Figuras 4 a 7, que o comportamento é praticamente o mesmo para

todas as regiões. Em média, os valores de radiação solar global são maiores nos primeiros e

últimos meses do ano e menores nos meses de maio a julho (período de inverno).

Figura 4: Box plot para a variável radiação solar global da região da Campanha.

21

Figura 5: Box plot para a variável radiação solar global da região da Grande POA.

Figura 6: Box plot para a variável radiação solar global da região do Litoral.

Figura 7: Box plot para a variável radiação solar global da região do Planalto.

22

4.1.2 Estimativas dos Parâmetros da distribuição GEV para os valores máximos e

mínimos de radiação solar global

Com o objetivo de verificar o ajuste da GEV aos dados de radiação solar do Estado do

RS, foi preciso para cada ano, de cada uma das regiões observadas, determinar o valor

máximo e mínimo de radiação solar.

As estimativas dos três parâmetros (µ, σ e ξ) da distribuição GEV para os valores

máximos e mínimos de radiação solar para as regiões da Campanha, Grande POA, Litoral e

Planalto são mostrados nas Tabelas 1 e 2, respectivamente.

Tabela 1: Estimativas por Máxima Verossimilhança dos parâmetros da distribuição GEV e, em

negrito, o valor do erro padrão estimado para os valores máximos de radiação solar do Estado do RS.

Parâmetros

Estimados

Regiões

Campanha

(n = 37)

Grande POA

(n = 27)

Litoral

(n = 43)

Planalto

(n = 44)

μ 21,7107

(0,3264)

21,5838

(0,3949)

19,9448

(0,4617)

20,4535

(0,2972)

1,7081

(0,2486)

1,8323

(0,2793)

2,78801

(0,3278)

1,7932

(0,2087)

ξ 0,0785

(0,1538)

-0,1296

(0,1346)

-0,3692

(0,0857)

-0,2787

(0,0916)

Tabela 2: Estimativas por Máxima Verossimilhança dos parâmetros da distribuição GEV e, em

negrito, o valor do erro padrão estimado para os valores mínimos de radiação solar do Estado do RS.

Parâmetros

Estimados

Regiões

Campanha

(n = 37)

Grande POA

(n = 27)

Litoral

(n = 43)

Planalto

(n = 44)

μ 8,0652

(0,2506)

8,1832

(0,2698)

7,0763

(0,1628)

7,7595

(0,2167)

1,3714

(0,1760)

1,3013

(0,1840)

0,9661

(0,1135)

1,3241

(0,1633)

ξ -0,0646

(0,1096)

-0,3794

(0,0927)

-0,0491

(0,0937)

-0,5134

(0,0976)

23

4.1.3 Análise do ajuste da distribuição GEV

Para verificar a qualidade do ajuste da distribuição GEV, inicialmente foram

construídos os gráficos quantil-quantil (QQ-Plot), apresentados nas Figuras 8 e 10 para os

máximos e mínimos, respectivamente, e os gráficos que comparam as probabilidades do

modelo GEV com as probabilidades da distribuição empírica (PP-Plot), apresentados nas

Figuras 9 e 11 para os máximos e mínimos, respectivamente, que de forma geral, sugerem o

bom ajuste da distribuição GEV aos valores máximos e mínimos de radiação solar do Estado

do RS.

Para sabermos se o ajuste dos dados à função de distribuição é adequado, basta

analisarmos os pontos do gráfico em relação à linha reta, ou seja, quanto mais próximos da

linha os pontos estiverem, melhor a qualidade do ajuste.

Figura 8: Gráficos quantil-quantil para diagnóstico do ajuste da distribuição GEV aos valores

máximos de radiação solar no Estado do RS.

24


da distribuição empírica para os valores máximos de radiação solar do Estado do RS.

Figura 10: Gráficos quantil-quantil para diagnóstico do ajuste da distribuição GEV aos

valores mínimos de radiação solar no Estado do RS.

25


da distribuição empírica para os valores mínimos de radiação solar do Estado do RS.

Depois de feita a análise do ajuste da GEV de forma gráfica, aplicou-se o teste de

Kolmogorov-Smirnov, com um nível de significância de 5%.

As Tabelas 3 e 4 apresentam os resultados do teste, indicando que a distribuição GEV ajusta-

se bem aos valores máximos e mínimos, pois os valores obtidos para Dobs são todos menores

que o valor crítico para o nível de significância de 5%, concordando com as conclusões

obtidas a partir da análise gráfica.

26

Tabela 3: Resultados do teste de Kolmogorov – Smirnov para verificar a qualidade do ajuste da

distribuição GEV aos valores máximos de radiação solar global.

Regiões Desvio Máximo Observado

(Dobs) Valor Crítico (Dtab)

Campanha 0,6794

0,7960

Grande POA 0,4501

Litoral 0,3966

Planalto 0,5684

Tabela 4: Resultados do teste de Kolmogorov – Smirnov para verificar a qualidade do ajuste da

distribuição GEV aos valores mínimos de radiação solar global.

Regiões Desvio Máximo Observado

(Dobs) Valor Crítico (Dtab)

Campanha 0,5452

0,7960

Grande POA 0,5001

Litoral 0,7740

Planalto 0,6264

Na Tabela 5 são apresentadas as estimativas de máxima verossimilhança obtidas para

ξ , bem como os valores da estatística de razão de verossimilhança modificada para os valores

máximos e mínimos de radiação solar.

Tabela 5: Estimativas por Máxima Verossimilhança do parâmetro de forma ( ξ ) da distribuição GEV

e o valor da estatística de razão de verossimilhança modificada para os valores máximos e

mínimos de radiação solar.

Regiões ξ̂ _ Máximos ξ̂ _ Mínimos

Campanha 0,0785

0,2468 -0,0646 0,3597

Grande POA -0,1296 0,6657 -0,3794* 11,7317

Litoral -0,3692* 10,6527 -0,0491 0,3066

Planalto -0,2787* 5,3890 -0,5134

* 31,3281

*Indica que o valor do parâmetro de forma é estatisticamente diferente de zero pela aplicação do teste da razão de verossimilhança modificado ao nível de

significância de 5%.

27

Analisando-se os resultados referentes às estimativas do parâmetro de forma ( ξ̂ )

apresentados na Tabela 5 e comparando-se o resultado obtido pela aplicação do teste da razão

de verossimilhança modificado com o valor da tabela de 2χ com um grau de liberdade e nível

de significância de 5%, dado por , conclui-se que a distribuição de Gumbel

(ξ = 0) é a mais adequada para modelar as sequências de máximos das regiões da Campanha e

Grande POA e as sequências de mínimos das regiões da Campanha e Litoral. Para as demais

sequências de máximos e mínimos das demais regiões a distribuição de Weibull (ξ < 0) é a

mais apropriada.

4.1.4 Estimativas dos Valores de Radiação Solar Global do Estado do Rio Grande do Sul

As estimativas para os valores de radiação, considerando as regiões estudadas, com diferentes

probabilidades de ocorrência, obtidas pelo método proposto são apresentadas nas Tabelas 6 e

7.


ou igual a 0,1%, 1%, 5% e 10%.

Regiões Probabilidade

0,1% 1% 5% 10%

Campanha 5,41 5,97 6,56 6,92

Grande POA 6,91 7,36 7,83 8,13

Litoral 5,21 5,60 6,01 6,27

Planalto 6,58 7,01 7,46 7,74

28


ou igual a 90%, 95%, 99% e 99,9%.

Regiões Probabilidade

90% 95% 99% 99,9%

Campanha 25,55 26,78 29,60 33,51

Grande POA 25,71 27,03 30,02 34,24

Litoral 27,48 27,50 27,50 27,50

Planalto 26,90 26,90 26,90 26,90

4.2 DISTRIBUIÇÃO DE PARETO GENERALIZADA

4.2.1 Escolha do Limiar – Como foi realizada?

Na escolha do limiar u nos deparamos com alguns problemas, pois um valor para u

muito “alto” implicaria em um número pequeno de observações na cauda, podendo resultar

em uma maior variabilidade dos estimadores. Porém, um limiar que não seja suficientemente

alto não satisfaz as suposições teóricas e pode resultar em estimativas distorcidas

(COLES, 2001).

Um método utilizado na prática é baseado na linearidade da função média dos

excessos empírica, isto por que a esperança da distribuição condicional dos excessos além de

um limiar pré-definido u, u < ou a média dos excessos, é uma função de u. Definimos a

função média dos excessos, denotada por e(u), como

(13)

Notemos que se ξ > 0, caso particular Pareto, a reta tem inclinação positiva. Se ξ < 0,

a inclinação de e(u) é negativa. Então, dada uma amostra X1, X2,..., XN a função média dos

excessos empírica, denotada por eN(u), é definida como

29

onde Yi(u) são os excessos além do limiar u, isto é, os Nu são os valores Xi – u > 0.

A técnica gráfica baseada nessa função pode nos auxiliar na escolha do limiar u alto o

suficiente para que a aproximação da distribuição dos excessos por uma GPD seja justificada.

Portanto, deve-se escolher u tal que a partir dele eN(u) é aproximadamente linear para x ≥ u.

Além de utilizar a função média dos excessos para a escolha do limiar u, Coles (2001)

sugere que se verifique a estabilidade das estimativas de e ξ em relação aos valores de u

através da construção de gráficos de e ξ versus u. Nessa técnica gráfica deve-se escolher u

tal que a partir dele os valores das estimativas de e ξ não variam muito.

Desta forma, neste trabalho, fez-se uso destes dois procedimentos para a escolha de u.

A Figura 12 ilustra os procedimentos adotados.

Figura 12: (a) Função média dos excessos; (b) estimativas para o parâmetro de escala ( ) versus

valores do limiar u; (c) estimativas para o parâmetro de forma (ξ) versus valores do limiar u para

valores de radiação solar global (MJ/m2) da região da Campanha.

Analisando a Figura 12 pode-se verificar que no intervalo para u de 10 a 15 os valores

das estimativas de e ξ não variam muito. Por isso, para os dados dessa região, escolheu-se

para u os seguintes valores: 14,99; 15,35 e 19,00. Dessa forma tem-se, respectivamente, 54%;

52% e 30% dos valores de radiação solar acima de u. É importante ressaltar que a escolha de

u = 19,00, valor que não pertence ao intervalo de 10 a 15, foi realizada para que tivéssemos

um menor número de excedentes, visto que para u = 14,99 e u = 15,35 o número de

excedentes foi superior a 50% das observações. Para a escolha de u nas demais regiões

procedemos da mesma maneira.

30

As Figuras 13, 14 e 15 mostram a função média dos excessos e das estimativas para os

parâmetros de escala e de forma versus u para as demais regiões e a Tabela 8 mostra os

valores dos limiares escolhidos, o número de excedentes e as estimativas por Máxima

Verossimilhança dos parâmetros da GPD para os valores de radiação solar global para cada

uma das regiões do RS.



valores de radiação solar global (MJ/m2) da região da Grande POA.



valores de radiação solar global (MJ/m2) da região do Litoral.

31



valores de radiação solar global (MJ/m2) da região do Planalto.

32

Tabela 8: Valor do Limiar, Número de Excedentes, Estimativa por Máxima Verossimilhança dos

Parâmetros da GPD para os Valores de Radiação Solar Global (MJ/m2) do Estado do RS.

Região Limiar Número de

Excedentes (%)

Parâmetros da GPD

ˆ ˆ

Campanha

14,99 240 (54) 6,6832

(0,4782)

-0,4956

(0,0444)

15,35 229 (52) 6,4425

(0,4752)

-0,4899

(0,0459)

19,00 134 (30) 3,1761

(0,4086)

-0,2361

(0,0974)

Grande POA

14,90 164 (51) 6,0977

(0,5051)

-0,4555

(0,0451)

15,20 154 (47) 5,9709

(0,5072)

-0,4563

(0,0463)

17,80 107 (33) 3,9065

(0,4262)

-0,3514

(0,0609)

Litoral

14,90 201 (39) 5,3705

(0,4063)

-0,4502

(0,0422)

15,45 183 (35) 5,0841

(0,4054)

-0,4462

(0,0446)

16,80 142 (27) 4,1760

(0,3863)

-0,4081

(0,0539)

Planalto

14,99 247 (46) 5,1422

(0,3389)

-0,4893

(0,0360)

15,35 234 (43) 4,8483

(0,3301)

-0,4706

(0,0368)

17,80 156 (29) 2,7436

(0,2537)

-0,3267

(0,0528)

33

4.2.2 Diagnóstico do Ajuste da GPD

Para verificar a qualidade do ajuste da distribuição GPD, inicialmente construíram-se

os gráficos quantil-quantil, apresentados na Figura 16 e os gráficos que comparam as

probabilidades do modelo GPD com as probabilidades da distribuição empírica, apresentados

na Figura 17. Decidiu-se apresentar somente os gráficos para o valor do limiar em que se

observou a melhor qualidade do ajuste.

A análise destes gráficos é feita observando o comportamento dos pontos em relação à

linha reta. Quanto mais próximos da linha os pontos estiverem melhor a qualidade do ajuste.

Desta forma, percebe-se que, de forma geral a distribuição GPD parece não descrever

adequadamente os excessos dos valores de radiação solar do Estado do RS para as regiões

estudadas.

Figura 16: Gráficos quantil-quantil para diagnóstico do ajuste da distribuição GPD aos

valores de radiação solar global (MJ/m2) no Estado do RS.

34

Figura 17: Gráficos que comparam as probabilidades do modelo GPD com as probabilidades

da distribuição empírica para os valores de radiação solar global (MJ/m2) do Estado do RS.

Além da análise gráfica para se testar a suposição de que os dados analisados seguem

a distribuição GPD, aplicou-se o teste de Cramér-von Mises e Anderson-Darling (A²). Os

valores calculados para as estatísticas W² e A² são apresentados na Tabela 9 e os valores

obtidos são em média próximos de 41 para a estatística W² e -80.591,16 para a estatística A².

Caso o ajuste fosse adequado os valores dessas estatísticas deveriam ser inferiores a 1,0,

considerando-se um nível de significância de 5%.

35

Tabela 9: Valor do Limiar, Número de Excedentes, Estimativa por Máxima Verossimilhança dos

Parâmetros da GPD, o valor da estatística de Cramér-von Mises (W²) e o valor da estatística de

Anderson-Darling (A²) para os Valores de Radiação Solar Global (MJ/m2) do Estado do RS.

Região Limiar Número de

Excedentes

Parâmetros da GPD

W² A² ˆ ˆ

Campanha

14,99 240 6,6832

(0,4782)

-0,4956

(0,0444) 42,88 -107863,12

15,35 229 6,4425

(0,4752)

-0,4899

(0,0459) 42,61 -100765,97

19 134

3,1800

(0,4086)

-0,2400

(0,0975) 42,13 -71742,31

Grande POA

14,90 164 6,0977

(0,5051)

-0,4555

(0,0451) 32,10 -53610,50

15,20 154 5,9709

(0,5072)

-0,4563

(0,0463) 31,13 -48388,55

17,80 107

3,9065

(0,4262)

-0,3514

(0,0609) 29,71 -33160,64

Litoral

14,90 201 5,3705

(0,4063)

-0,4502

(0,0422) 42,38 -85170,74

15,45 183 5,0841

(0,4054)

-0,4462

(0,0446) 40,72 -73971,87

16,80 142

4,1760

(0,3893)

-0,4081

(0,0539) 36,79 -52673,41

Planalto

14,99 247 5,1422

(0,3389)

-0,4893

(0,0360) 52,45 -129284,65

15,35 234 4,8483

(0,3301)

-0,4706

(0,0368) 52,42 -121612,54

17,80 156

2,7436

(0,2537)

-0,3267

(0,0528) 47,90 -88849,60

36

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Sendo a radiação solar uma das principais fontes de energia da Terra e sabendo da

importância de se ter conhecimento sobre a quantidade de radiação solar que atinge

determinada região para o planejamento de várias atividades humanas, este trabalho buscou,

em um primeiro momento, investigar a possibilidade de ajustar a Distribuição Generalizada

de Valores Extremos aos valores máximos e mínimos de radiação solar global.

Os resultados obtidos no estudo desta distribuição permitem concluir, que a mesma

descreve adequadamente os valores máximos e mínimos de radiação solar global do Estado

do RS. Além disso, o resultado da aplicação do teste da razão de verossimilhança permitiu

concluir que a distribuição de Gumbel é a mais adequada para modelar as sequências

de máximos das regiões da Campanha e Grande POA e as sequências de mínimos das regiões

da Campanha e Litoral. Para as demais sequências de máximos e mínimos das demais regiões

a distribuição de Weibull é a mais apropriada. Desta forma, as distribuições de

Gumbel e Weibull podem ser utilizadas para obtermos estimativas da radiação solar provável

anual no Estado do RS em diferentes níveis de probabilidade.

Em um segundo momento, analisou-se a possibilidade da Distribuição de Pareto

Generalizada descrever um conjunto de valores excedentes a um valor alto de radiação solar

predefinido. Após escolhidos os limiares que seriam usados para cada região estudada,

verificou-se a qualidade do ajuste através dos gráficos PP-Plot e QQ-Plot e dos testes de

Anderson-Darling e o de Cramér-von Mises. Os resultados encontrados foram não

satisfatórios. Desta forma, conclui-se que a distribuição GPD não descreve adequadamente os

excedentes dos valores de radiação solar global do Estado do RS para as regiões estudadas.

37

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ASSIS, J. P. de, DOURADO, D., MANFRON, P. A., MARTIN, T. N., SPAROVEK, G.,

TIMM, L. C. Ajuste de séries históricas de temperatura e radiação solar global diária às

funções densidade de probabilidade normal e log-normal, em Piracicaba, SP. Revista

Brasileira de Agrometeorologia, Santa Maria, v.12, p. 113-121, 2004.

ASSIS, S. V. de. Radiação Solar. Disponível em

http://minerva.ufpel.edu.br/~assis/agro/agro_02.doc. Acesso em 14 de março de 2008.

CARGNELUTTI FILHO, A., MATZENAUER, R., TRINDADE, J. K. da. Ajuste de Funções

de Distribuição de Probabilidade à Radiação Solar Global no Estado do Rio Grande do Sul.

Pesquisa Agropecuária Brasileira. Brasília, v. 39, p. 113-121, 2004.

CATALUNHA, M. J.; SEDIYAMA, G. C.; LEAL, B. G.; SOARES, C. P.; RIBEIRO, A. B.

Aplicação de cinco funções densidade de probabilidade a séries de precipitação pluvial no

Estado de Minas Gerais. Revista Brasileira de Agrometeorologia, Santa Maria, v. 10, n.1, p.

153-162, 2002.

COLES, S. An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values, London, Springer,

2001.

HOSKING, J. R. M. Testing whether the Shape Parameter is Zero in the Generalized

Extreme-Value Distribution. Biometrika, v. 71, n. 2, p. 367-374, 1984.

MARTINAZZO, C. A. Modelos de Estimativa de Radiação Solar para Elaboração de Mapas

Solarimétricos. Dissertação de Mestrado. Escola de Engenharia da UFRGS. Porto Alegre,

2004.

MENDES, B. V. de M. Introdução à Análise de Eventos Extremos. Rio de Janeiro, E-papers

Serviços Editoriais Ltda, 2004.

PICKANDS, J. Statistical Inference Using Extreme Order Statistics. Annals of Statistics, n. 3,

p. 119-131, 1975.

STEPHENS, M. A. (1974). EDF Statistics for Goodness of Fit and Some Comparisons,

Journal of the American Statistical Association, vol. 69, p. 730-737.

http://minerva.ufpel.edu.br/~assis/agro/agro_02.doc

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