Estudo de Álgebra

– 6°ano – 2012 - fevereiro, março e abril (1°Trimestre)

Prof. Thiago Matos

Conteúdo

Sistemas de numeração: - Egípcio - Babilônico - Romano - Indo-arábico

Números naturais Propriedades

- Associativa - Comutativa - Existência do elemento neutro - Distributiva

Algoritmos - Da adição - Da subtração - Da multiplicação - Da divisão

Sistema de numeração é uma maneira de representar, organizar e identificar os

números através de símbolos. É uma identidade numérica.

Sistema de numeração egípcio

Símbolos representativos:

Obs.

É um sistema decimal. Não é posicional.

É um sistema aditivo. Exemplo:

= 101.021

Sistema de numeração babilônico

= Equivale a 1 ou a 60

= Equivale a 10 ou 60

Obs.

É considerado o primeiro sistema numérico posicional É um sistema “hexagenário” (com base de 60)

É um sistema aditivo Exemplos

2=

4 =

9 =

12=

20 =

50=

60 =

61 =

123=

600 =

Portanto

= 1 ou 60

= 2 ou 120 ...

= 10 ou 600 Sistema de numeração romano

Representação Valores

I 1

V 5

X 10

L 50

Obs.

É um sistema representativo, mas não é de base. É posicional Aditivo Subtrativo

Exemplos:

II = 2 IV= 4 VII= 7 IX = 9 XIX= 19 XLIX = 49 XCIX = 99 CDXC= 490 CDXCIX= 499 Propriedades do sistema romano Propriedade 1

- O sistema romano também é subtrativo: as quantidades podem subtrair outras, ou seja, só podemos subtrair com as seguintes quantidades: I, X, C.

C 100

D 500

M 1.000

Propriedade 2 -A) Só podemos retirar I das quantidades V e X. -B) Só podemos retirar X das quantidades L e C. - C) Só podemos retirar C das quantidades D e M. Propriedade 3

MMM = 3000

3999 = MMMCMXCIX

5000 = V

6000 = VI

4000 = IV

194. 949= CXCIV CMXLIX

Sistema de numeração indoarábico

Obs.

É um sistema de numeração decimal É um sistema de numeração posicional de base (base “dez”) É um sistema aditivo O uso do “zero” para representar a ausência de quantidade

Foram criados “dez” símbolos primitivos para representar todas as quantidades.

o 0 – representa nenhuma quantidade, ausência de quantidade. o 1 – representa “uma” quantidade. o 2 – 1+1 o 3 – 1+1+1 o 4 – 1+1+1+1 o 5 – 1+1+1+1+1 o 6 – 1+1+1+1+1+1 o 7 – 1+1+1+1+1+1+1

o 8 – 1+1+1+1+1+1+1+1 o 9 – 1+1+1+1+1+1+1+1+1

O sistema de numeração idoarabico é organizado da

seguinte maneira:

- Sempre fazemos agrupamentos de “dez” em “dez”.

Ex.: a) = 3 = 1+1+1 = três

b)

Um agrupamento de “dez”UNIDADES. Ou seja, 1 quantidade de DEZENA.

Como eu escrevo este número?

___ ___

3 UNIDADES

1° Posição: quantidade de unidades.

2°Posição: Quantidade de dezenas.

1 3

3

c)

Como eu escrevo este número?

___ ___

3 6

2°Posição:

DEZENAS 1°Posição: UNIDADES

Como fazer para representar quantidades acima de dez quantidades de DEZENAS? ______ _______ _______ _______

100

50

2

1° posição: número de

unidades.

2°posição:

número de

dezenas.

3°posição:

quantidade

de dez

“pacotinhos”

de dezenas,

ou seja, a

centena.

1 5 2

4°posição:

quantidad

e de dez

“caixotes”

centenas,

ou seja o

milhar.

Classe e ordem de um número Ex.:

1 4 3 . 7 3 0 . 2 5 9

____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____

Classe dos bilhões Classe dos milhares Classe das unidades simples

EXEMPLO COM TABELA,COMPLETE COM OS NÚMEROS NA CASA CERTA:

Classe dos bilhões

Classe dos milhões

Classe dos milhares

Classe das unidades simples

Ordem 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

N

Ú

M

E

R

O

C D U C D U C D U C D U

Os números naturais

Vimos até agora que nosso sistema numérico é composto por dez símbolos primitivos chamados de algarismos.

Algarismos= símbolo primitivo, estes são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ,9.

Podemos definir uma “relação” que permite acumular as quantidades associadas a cada símbolo

do sistema decimal. Indicaremos essa relação pelo símbolo +.

O: não representa quantidade 1: representa uma única quantidade, ou seja, um único

objeto de contagem.

2: 1+1 = é o acúmulo de duas quantidades. 3: 1+1+1 ou 1+2 4: 1+ 1+1 +1 ou 1+3

...

Sequencia dos números naturais 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14,... ... +1 +1 +1 +1 +1

Não conseguimos adicionando dessa maneira chegar, por exemplo, ao número “3,5”, porque 3,5 não é um número natural. Obs.

Esta sequencia não tem fim, ela é infinita. Todos os números desta sequência são números inteiros

(naturais), por isso formam o que chamamos de CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS. Representamos este conjunto assim:

IN 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ,11, 12, 13...

Representação do conjunto, símbulo de representação.

O 0 é o mínimal, isto é, o menor número do conjunto.

Operações fundamentais nos naturais

Quais são?

Adição: (+) operação que acumula quantidades, relação entre duas ou

mais “quantidades de objetos”, estes objetos são os mesmos, ou seja, são homogêneos.

Multiplicação: (x ou .) operação que repete quantidades acumuladas.

Representa dois diferentes objetos, sendo o primeiro o índice ( indica as vezes que o número irá se repetir), e o outro é a quantidade ( objeto) repetida pelo índice.

Uma operação é fundamental no conjunto quando todas as suas respostas sempre estarão dentro do conjunto. Ex.: 13+10=

33, este número está no conjunto. 13-10= -3, este número não está no conjunto.

As propriedades São axiomas, ou seja, leis da matemática que não se

questionam, se aceitam. 1°propriedade- Associativa Ex.: (2+3) + 7 = 2 + (3+7)

(2x3) x 7 = 2 x (3 x 7)

Obs. A ordem em que eu somo ou multiplico não altera o

resultado final.

A propriedade é válida apenas quando há somente multiplicação ou só adição.

2°propriedade – Comutativa Ex.: 12+5 = 5+12

12x5 = 5x12

Obs. Nas operações que envolvam somente adição

ou somente multiplicação tanto faz a ordem em

que os números aparecem, ou seja, eu posso trocar a ordem dos números. 3°propriedade – Existência do Elemento Neutro

Ex.:

a) 27+? = 27

b) 9+? = 9

c) 103×? = 103

d) ?×1234 = 1234 Mas quanto vale A?? Não importa, porque qualquer coisa multiplicada ou adicionada pelo elemento neutro permanece o mesmo número, ou seja, A.

Qual é o número que A+?= A, ou seja, o número neutro da adição, que mesmo quando somo este número mais outro número, o resultado sempre será o outro número.

Este número, ou seja, o elemento neutro da adição, é o número 0 (zero). Porque (ex.):

27+0 = 27 9+ 0 = 9

A+0 = A

Qual é o número que A ×?= A, ou seja, o número neutro da multiplicação, que mesmo quando somo este número mais outro número, o resultado sempre será o outro número.

Este número, ou seja, o elemento neutro da multiplicação, é o número 1 (um). Porque (ex.):

103×1= 103 1×1234= 1234

A×1 = A

4°propriedade – Distributiva EX.:

a) 3 x (7 x 15) = ( 7 + 15) + (7 + 15) + (7 + 15)

7 + 15 + 7 + 15 + 7 + 15 Como a conta virou apenas adição, podemos aplicar

as propriedades associativa e comutativa, por isso podemos fazer algo assim:

7 + 7 + 7 + 15 + 15 +15 (3 x 7) + ( 3 x 15) 21 + 45

66 Com isso nós dividimos, isto é, distribuímos o x3 em (7+15) + (7+15) + (7+15). E assim vai o processo. Se você não entendeu, tente acompanhar este outro processo distributivo:

b) 2 x ( 9 + 29) = 9 + 9 + 29 + 29 (2x9) + (2x29) 18 + 58

76 Por isso podemos afirmar que a propriedade distributiva realiza isso: a) A x (B + C) = A x B + A x C b) A x (B + C + D) = A x B + A x C + A x D c) (A+B) x (C+D) = A x C + A x D + B x C + B x D

3

Outro exemplo em que é usada a propriedade Distributiva: a) 2 x 38 = 2 x ( 30 x 8)

2 x 30 + 2 x 8 Algoritmos

Algoritmo= sequência de procedimentos que levam a um

objetivo, maneira de efetuar contas grandes, é como uma “receita de bolo” é necessário seguir todos os procedimentos para chegar a um resultado. Algoritmo da adição O que é adição? Adição é um acúmulo de quantidades homogêneas.

Soma= relação dentre quantidade de um determinado objeto,

elemento. Ou seja, a soma é a relação entre quantidades de MESMOS objetos, ou seja de quantidades homogêneas.

135 + 389 Para entender melhor o processo, vamos criar uma nova simbologia para expressar quantidades decimais, para entender o que é somar 135 + 389. = pacote de centenas = pacote de dezenas = pacote de unidades Ou seja: A cada 10 = 1 A cada 10 = 1 Por isso:

o 135 = 1x100 (1x ) + 3 x 10 ( 3x ) + 5x1 ( 5x )

o 389 = 3x100 (3x ) + 8x10 (8x )+ 9x1 (9x ) Vamos transformar isso em um algoritmo:

135 + 389

Algoritmo da subtração

Indicaremos o símbolo da subtração assim: - (menos).

Agora nós vamos fazer o contrário do que estávamos fazendo, em vez de

C D U

¹1

¹3 5

3 8 9

5 2 4

v v

v

v

v v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

c

v

v c

v

v

adicionar, isto é, acumular quantidades homogêneas, em vez de ganha-las perdê-las.

A subtração além de ser um algoritmo que exerce a perda de quantidades, também pode nos ajudar a comparar quantidades, ou seja, ver quanto elas têm de diferença. Quanto um número é maior que outro. Ex.: Comparação

6-3= 3. Para chegar em seis de três só me falta 3 algarismos. Perda

7-3= 4.Comprei 7 balas e dei 3 para minha irmã. Fiquei apenas com 4 balas.

Quando um número é maior que outro, como eu sei que “este” número é maior que “este”?

Um número é menor que outro quando ele consegue, com outro número

ou com ele mesmo alcançar a quantidade maior. Ex.: 3 ≥ 2, por quê?

Porque 2+1= 3.

Algoritmo da multiplicação

Vamos representar a multiplicação assim: x ou . (vezes).

Multiplicação= relação entre uma quantidade de objetos e

quantidade de repetições, probabilidades e disposição retangular.

Repetições:

EX.:

2 x 3= 3+3

OU

3x2= 2+2+2

Este número é

o índice, ou

seja, ele indica

a quantidade

de repetições

do objeto,

elemento.

Elemento (objeto)

a ser repetida

pelo índice,

quantidade de

objetos,

elementos.

Outros exemplos:

a) 3x14 = 14 + 14 + 14 = 42 b) 2x10= 10 + 10 = 20 c) 3x5 = 5 + 5 + 5 = 15 d) 3x140 = 140 + 140 +140 = 420

o Multiplicação com 0 como último algarismo

Ex.:

Tente entender estas relações:

a) 2x1= 1+1 = 2 b) 2x10 = 10+10 = 20 c) 2x100 = 100+100 = 200 d) 2x1000 = 2.000

e) 3x14 = 14 + 14+ 14 = 42 f) 3x140 = 140+140+140 = 420 g) 30x14 = 3x10x14 = 3x14x10 = 42x10 = 420

Preste atenção nos exemplos e, f, g. Perceba que só acrescentando o zero nos fatores, no resultado também é acrescido zero, portanto se sei fazer, por exemplo, 3x14, sei fazer 30x14 ou 3x140 ou 3x1400 ou 300x14... O número vai apenas ganhando posições, que tende a ser completadas por zero. Quando principalmente, multiplico por 10, 100 ou 1000. Quando multiplico por 10, ganho uma posição; quando multiplico por 100, ganho duas posições e quando multiplico por 1000, ganho três posições... Porque o zero não está indicando quantidades, apenas posição. Ele “empurra” o número.

Probabilidade

Para entender melhor, seguiremos com alguns exemplos. Esta parte de probabilidade é extra e nós ainda não aprendemos.

-Considere cinco meninas: Laura, Júlia, Márcia e Cláudia disputando um campeonato de xadrez. Quais e quantos são todos os possíveis resultados deste campeonato?

Este é um exemplo de permutação, em que a ordem IMPORTA e altera o resultado.

______ ______ _____ ______ ______ ______

- Cinco amigas (Marcela, Teresa, Jéssica, Elga e Eleonor) podem fazer quantas duplas para participar de um campeonato de tênis de mesa.

Este é um exemplo de combinação, pois a ordem não importa, não altera o resultado.

Devemos multiplicar 2x5 (cinco amigas que cada qual faz uma dupla e isso não importa a ordem). Ao invés de fazer:

Marcela e Teresa Marcela e Jéssica Marcela e Elga Marcela e Eleonor Teresa e Jéssica Teresa e Elga

Teresa e Eleonor Jéssica e Elga Jéssica e Eleonor Elga e Eleonor

1° lugar 2°lugar 3°lugar 4°lugar 5°lugar TOTAL 5 possibilidades

4 possibilidades

3 possibilidades

2 possibilidades

1 possiblidade 120 possibilidades

5x 4x 3x 2x 1x 5x4x3x2x1

Disposição retangular

Ex.:

5x8= 40, ao invés de contarmos cada quadradinho, simplesmente multiplicamos o número de colunas vezes o número de linhas.

Porém, observe que parte foi tirada, não existe mais, por isso devemos fazer isso 5x8-4= 36.

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8

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