Exame Unificado das Ps-graduaes em Fsica

EUF

2 Semestre/2011

Parte 1 10/05/2011

Instrues:

NO ESCREVA O SEU NOME NA PROVA. Ela dever ser identificada apenas atravs do cdigo (EUFxxx).

Esta prova constitui a primeira parte do exame unificado das Ps-graduaes em Fsica. Ela contm problemas de: Mecnica Clssica, Fsica Moderna, Termodinmica e Mecnica Estatstica. Todas as questes tm o mesmo peso.

O tempo de durao da prova de 4 horas. O tempo mnimo de permanncia na sala de 90 minutos.

NO permitido o uso de calculadoras ou outros instrumentos eletrnicos. RESOLVA CADA QUESTO NA PGINA CORRESPONDENTE DO

CADERNO DE RESPOSTAS. As folhas sero reorganizadas para correo. Se precisar de mais espao, utilize as folhas extras do caderno de respostas. No esquea de escrever nas folhas extras o nmero da questo (Q1, Q2, ou ...) e o seu cdigo de identificao (EUFxxx). Folhas extras sem essas informaes no sero corrigidas. Use uma folha extra diferente para cada questo. No destaque a folha extra.

Se precisar de rascunho, use as folhas indicadas por RASCUNHO, que se encontram no fim do caderno de respostas. NO AS DESTAQUE. As folhas de rascunho sero descartadas e questes nelas resolvidas sero desconsideradas.

NO escreva nada no formulrio; DEVOLVA-O ao fim da prova, pois ele ser utilizado amanh.

Boa prova!

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Q1. Uma bala de massa m disparada com velocidade v contra um disco homogneo de massa M e raio R, inicialmente parado, que se encontra deitado sobre uma superfcie horizontal lisa sem atrito. Suponha que a bala atinja o disco como indicado na figura e fique retida na superfcie do disco. Considere que o centro de massa do sistema (disco + bala) aps a coliso coincide com o centro do disco. Dado: 212CMdiscoI MR= .

(a) Qual a velocidade do centro do disco aps a coliso? (b) Qual a velocidade angular do sistema (disco + bala) aps a coliso? (c) Qual a variao de energia do sistema devido coliso?

Q2. Uma partcula de massa m sob a ao da gravidade g constante est vinculada a se mover no interior da superfcie de um cone invertido cuja geratriz forma um ngulo com o eixo do cone. O vrtice do cone est na origem e seu eixo ao longo da direo vertical. O atrito pode ser desprezado.

(a) Determine a energia cintica e a energia potencial da partcula. Sugesto: utilize coordenadas esfricas.

(b) Escreva a lagrangiana do sistema e obtenha as equaes do movimento. (c) H grandezas fsicas conservadas no movimento dessa partcula? Se h, diga quais so

essas grandezas, argumentando sobre como chegou concluso de que so conservadas. (d) A partir da definio da hamiltoniana, obtenha sua forma explcita em termos das

coordenadas e momentos generalizados, e compare-a com a energia mecnica da partcula.

(e) Mostre que a partcula em questo pode executar pequenas oscilaes radiais em torno de um raio de equilbrio r0 e determine sua frequncia. Compare o valor obtido com a frequncia de revoluo no movimento circular.

m

v

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Q3. Parte I A figura abaixo apresenta curvas de energia em funo da distncia r entre os ncleos para duas molculas diatmicas denominadas A e B. Em cada um dos grficos so apresentados dois estados de energia: o estado fundamental, ( )0U r , e o primeiro estado eletrnico excitado, ( )1U r .

(a) No caso da molcula A, o que significam r0 e r1, indicados nos grficos? (b) Suponha que a molcula B esteja inicialmente no estado fundamental, mas absorva

ento um fton e passe para o primeiro estado eletrnico excitado. O que voc espera que acontea com esta molcula depois disto?

Parte II A funo de onda de um eltron do tomo de hidrognio no estado 1s dada por

( ) 030

1 r ar ea

= ,

onde 0a o raio de Bohr e r a distncia do eltron ao ncleo.

(c) Calcule a distncia r mais provvel de se encontrar um eltron no estado 1s. (d) Calcule r , o valor mdio de r neste estado.

Q4. Uma partcula de massa de repouso m0, movendo-se inicialmente a uma velocidade 45v c= ,

medida no referencial do laboratrio, efetua uma coliso com um corpo idntico, inicialmente em repouso no mesmo referencial. Como resultado da coliso, as duas partculas combinam-se para formar uma nica partcula de massa M. Considere a mecnica relativstica.

(a) Quais so o momento linear e a energia total de cada partcula antes da coliso e da partcula composta aps a coliso?

(b) Qual a velocidade da partcula composta aps a coliso? (c) Qual a massa M da partcula composta?

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Q5. Considere n moles de um gs ideal mono-atmico.

(a) Usando a primeira lei da termodinmica, expresse a entropia do gs como funo de T, V, e n.

(b) Um ciclo de Carnot corresponde a: 1) uma expanso isotrmica reversvel temperatura qT ; 2) uma expanso adiabtica reversvel at a temperatura fT ; 3) uma compresso

isotrmica reversvel temperatura fT ; 4) uma compresso adiabtica reversvel (use a notao da figura). Calcule o trabalho realizado e o calor trocado em cada um dos 4 processos do ciclo de Carnot para n moles de um gs ideal.

(c) Calcule a eficincia do ciclo.

Exame Unificado das Ps-graduaes em Fsica

EUF

2 Semestre/2011

Parte 2 11/05/2011

Instrues:

NO ESCREVA O SEU NOME NA PROVA. Ela dever ser identificada apenas atravs do cdigo (EUFxxx).

Esta prova constitui a segunda parte do exame unificado das Ps-graduaes em Fsica. Ela contm problemas de: Eletromagnetismo, Mecnica Quntica, Termodinmica e Mecnica Estatstica. Todas as questes tm o mesmo peso.

O tempo de durao da prova de 4 horas. O tempo mnimo de permanncia na sala de 90 minutos.

NO permitido o uso de calculadoras ou outros instrumentos eletrnicos. RESOLVA CADA QUESTO NA PGINA CORRESPONDENTE DO

CADERNO DE RESPOSTAS. As folhas sero reorganizadas para correo. Se precisar de mais espao, utilize as folhas extras do caderno de respostas. No esquea de escrever nas folhas extras o nmero da questo (Q1, Q2, ou ...) e o seu cdigo de identificao (EUFxxx). Folhas extras sem essas informaes no sero corrigidas. Use uma folha extra diferente para cada questo. No destaque a folha extra.

Se precisar de rascunho, use as folhas indicadas por RASCUNHO, que se encontram no fim do caderno de respostas. NO AS DESTAQUE. As folhas de rascunho sero descartadas e questes nelas resolvidas sero desconsideradas.

NO necessrio devolver o Formulrio.

Boa prova!

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Q6. Em uma fbrica de chocolate em p, utiliza-se tubulaes com ar comprimido para mover o

chocolate em p entre diferentes setores. Entretanto, com o atrito, o chocolate acaba ficando eletricamente carregado, de tal forma que temos uma densidade volumtrica uniforme de cargas positivas dentro da tubulao de raio R. Suponha que os tubos so condutores e encontram-se aterrados, e que a constante dieltrica do ar no alterada pelo chocolate em p.

(a) Calcule o campo eltrico dentro e fora da tubulao, considerando que esta um cilindro muito longo.

(b) Calcule o potencial eltrico dentro e fora da tubulao. Tome V = 0 na parede do tubo. (c) Esboce o grfico do campo eltrico e do potencial em funo da distncia ao eixo da

tubulao. (d) Se o campo eltrico for maior que um certo valor E0, podemos ter o rompimento da

rigidez dieltrica do ar, resultando numa fasca eltrica. Como o chocolate em p muito inflamvel, uma fasca no interior da tubulao poderia causar uma exploso. Determine qual condio a tubulao deve satisfazer para evitar este risco.

Q7. Um plasma pode ser pensado como um gs clssico (no relativstico) de ons positivos e eltrons. Estamos interessados inicialmente na interao de uma onda eletromagntica com os eltrons livres deste plasma, j que estes tm massa muito menor do que os ons positivos.

(a) Para uma onda eletromagntica harmnica transversal, seu campo eltrico EG

pode ser expresso na forma:

( )0 i k r tE E e =G GG G

.

Mostre que nas operaes envolvendoG este operador pode ser substitudo por ikG , e as derivadas temporais t por i . Reescreva as equaes de Maxwell usando estes fatos.

Considere que a onda harmnica se propaga na direo z e suponha que o nmero mdio de eltrons por unidade de volume do plasma n. (b) Mostre que a densidade de corrente induzida pelo campo eltrico da onda

2neJ i Em=G G

,

onde e e m so, respectivamente, a carga e a massa do eltron, e a frequncia da onda. Justifique cuidadosamente suas hipteses.

(c) Partindo das equaes de Maxwell, obtenha a relao de disperso ( )k para a propagao da onda.

(d) O plasma admite a propagao de ondas com quaisquer frequncias? Justifique sua resposta.

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Q8. Seja a funo de onda de uma partcula em uma dimenso, dada por ( , )x t . A densidade de probabilidade ( , )x t definida como *( , ) ( , ) ( , )x t x t x t . O valor de ( , )x t pode mudar no tempo devido ao fluxo de probabilidade saindo ou entrando na regio, que se pode expressar como uma equao de continuidade,

jt x = ,

onde ( , )j x t a densidade de corrente de probabilidade. (a) Dada a equao de Schrdinger,

2 2

22 ( )i V xt m x = + == ,

escreva a derivada temporal de ( , )x t em termos de , * e suas derivadas espaciais.

(b) Obtenha a forma explcita de ( , )j x t .

(c) Ache a equao relacionando a derivada do valor esperado da posio, d xdt , com o valor esperado do momento, p . Dica: use integrao por partes e assuma que as

funes e sua derivada, x , vo ao infinito mais rpido do que

1x .

Q9. Seja o seguinte hamiltoniano representativo de um sistema fsico:

( )0 1 2 H w a a= += . Os autoestados deste hamiltoniano so denominados n , so no-degenerados e satisfazem N n n n= , onde n um nmero inteiro e N a a . (a) Assuma que os operadores a e a obedecem relao de comutao [ ] 1 ,a a = . Mostre

que os estados a n e a n so autoestados de N , usando as relaes de comutao. Determine os autovalores correspondentes a estes estados, n e n , respectivamente.

(b) Dado que todos os estados n so no degenerados, determine a constante de proporcionalidade entre os estados a n e os estados n encontrados no item (a). Dica: lembre que todos os estados so normalizados. Assuma que o valor esperado do hamiltoniano em qualquer de seus autoestados seja positivo, 0H , e que 0 0a = . O que se pode concluir sobre o nmero de estados n : ele finito ou infinito?

(c) Assuma agora que os operadores a e a obedecem relao de anticomutao { } 1 ,a a aa a a= + = . Mostre que os estados a n e a n so autoestados de N , usando as relaes de anticomutao, e determine os autovalores n e n correspondentes a estes estados. Dado que todos os estados n so no degenerados, determine a constante de proporcionalidade entre os estados a n e esses estados n . Dica: lembre que todos os estados so normalizados.

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(d) Assumindo, como no item (c), que os operadores a e a obedecem relao de anticomutao, que o valor esperado do hamiltoniano em qualquer de seus autoestados seja positivo, 0H , e que 0 0a = , isto implica que o nmero de estados n finito. Quais so estes nicos estados n no nulos neste caso?

Q10. A lei de Stefan-Boltzmann diz que a densidade de energia total do campo eletromagntico

dentro de uma cavidade em equilbrio trmico dada por

( ) 4u T aT= , onde a uma constante.

(a) Podemos derivar a lei de Stefan-Boltzmann usando argumentos termodinmicos. Sabendo que, em equilbrio termodinmico, a densidade de energia da radiao independe do material que forma as paredes, podemos concluir que qualquer varivel extensiva da radiao em uma cavidade dever ser proporcional ao volume da cavidade e depender apenas da temperatura. Em particular, a energia interna e a entropia da radiao sero ( )U u T V= e ( )S s T V= , respectivamente. Podemos usar o eletromagnetismo clssico para calcular a presso de radiao nas paredes da cavidade. Ela tem a forma de ( )3

u TP = . Usando essas informaes e a primeira lei da termodinmica, demonstre a lei de Stefan-Boltzmann.

(b) Agora obtenha esse resultado usando fsica estatstica, assumindo que a radiao eletromagntica um gs de ftons.

i. Calcule a funo de partio, Z, e mostre que o nmero mdio de ftons com energia j

1 11

lnjj j

Zne

= = ,

onde 1Bk T

= .

ii. Obtenha a lei de Stefan-Boltzmann. Voc pode usar que o nmero total de ftons por unidade de volume e frequncia entre [ ], d + dado por

( )2

1dg d

e = ,

onde uma constante e = = a energia de um fton.