EXERCíCIOS 8.7

Encontrando Polinômios de TaylorNosexercícios 1-6, encontre os polinômios de Taylor de ordens O,1,2 e 3 geradosporfem a.

1. f(x) = In x, a = I

2. f(x) = In (1 + x), a = O

13. f(x) = (x + 2)' a = O

4. f(x) = senx, a = 7T/4

5. f(x) = cosx, a = 7T/4

6. f(x) = 'h, a = 4

Encontrando Séries de Maclaurin

Encontre a série de Mac1aurin para as funções nos exercícios 7-14.

7 -x. e

18. 1 + x

9. sen3x

10. 7 cos (- x)

11. coshx=ex+e-x2

eX- e-x12. senhx = 2

13. x4 - 2x3 - 5x + 4

14. (x + li

Encontrando Séries de TaylorNos exercícios 15-20, encontre a série de Taylor gerada por f emx = a.

15. f(x) = X3 - 2x + 4, a = 2

16. f(x) = 3X5 - x4 + 2x3 + X2 - 2, a = -1

17.f(x)=1/x2, a=1

1

18. f(x) = x/(1 - x), a = O

19. f(x) = e', a = 2

20. f(x) = 2\ a = I

Séries de Maclaurin por SubstituiçãoUsea substituiçãocomo no Exemplo10paraencontrara sériedeMaclaurindasfunçõesnosexercícios21-24.21. e-5x

23. sen (~x)22. e-xl2

24. cos 'h

Mais Séries de MaclaurinUsando da tabela de séries de Mac1aurin como elemento básico, .

combine expressões de séries para encontrar séries de Mac1aurin;1para as funções nos exercícios 25-34.

25. xe' 26. X2 sen x

X2

27. "2 - 1 + cos xX3

28. sen x - x + 3!

29. x COS 7TX

30. cos2 x (Dica: COS2x = (I + cos 2x)/2.)

31. sen2x X2

32. 1 - 2x

1

34. (1 - X)233. x In (1 + 2x)

Estimativas de Erros

35. Escrevendoporo aprenderAproximadamente para quais valoresde x você pode substituir sen x por x - (x3/6) com um errocuja magnitude não seja superior a 5 X 1O-4? Justifique suaresposta.

--------------------------------

36. Escrevendopora aprenderSe. cosox for substituído por I -(x2/2) e Ix I < 0,5, qual estImatIva poderá ser feita do erro?

'1 - (x212) tende a ser muito grande ou muito pequeno? Jus-tifiquesuaresposta.

37. Aproximaçãolinearparasen\ Quão precisaé a aproximaçãosenx == x quando Ix I< 10- ? Para quais dessesvalores de x

,. x<senx?~ ' -

38. "Aproximaçãolinearpara senv'TTr A estimativa ~ ==

1 + (xl2) é usada quando x é pequeno. Estime o erro quando

Ix.I< 0,01.39. ApraximaçãoquadráticaparoeX

" (a)A aproximaçãoe' == I + x + (x2/2) é usadaquandox é.~)<J: pequeno. Use o Teorema da Estimativa do Resto para esti-

mar o erro quando Ix I < 0,1.

(b) -Quando x < O, a série para e" é uma série alternada. Use o:,~ T Teorema da Estimativa de Séries Alternadas para estimar

o erro que resulta da substituição de e" por I + x + (r/2)quando -0,1 < x < O.Compare sua estimativa com a quevocê obteve no item (a).~

40. Aproximaçãocúbicaparo senhx Estime o erro na aproximaçãos'enhx== x + (x3/3!) quando Ixl < 0,5. (Dica: UseR4,nãoR3.)

41. Aproximaçãolinearparaeh Quando O :s h :s 0,0 I, mostre que e"pode ser substituído por I + h com um erro que não ultrapasse6;6% de h. Use eo.ol==1,01.,..[

42. AproximandoIn (1 + x) por x Para quais valores positivos de x".você pode substituir In (\ + x) por x com um erro que não

üItrapasse 1% do valor de x?

,~3~ f.5,timando7T/4 Você planeja estimar 7T/4 pela determinação da

sériede Mac1aurinpara arc tg x emx == I. Useo Teoremada Estimativa de Séries Alternadas para determinar quantos

térmos da série você tem que adicionar para ter certeza de quea estimativa tem precisão de duas casas decimais...

44; Limitandoy ==(senx)lx

"(a) Use a série de Mac1aurinpara sen x e o Teorema da Esti-mativa de Séries Alternadas para mostrar que

~.2

1 - ~ < sen x < I6 x '

x* O.

rI. (b) Escrevendoparo aprender Faça o gráfico def(x) == (sen x)/x- - junto com o das funções y == 1 - (r/6) e y == I para - 5 :s

X :s 5. Comente a relação entre os dois gráficos.

.AproximaçõesQuadráticas,R Ik>1inôrniode Taylor de ordem 2 gerado por uma função fix)4uasvezes derivável em x == a é chamada de aproximação qua-c4'ática def em x = a. Nos exercícios 45-48, encontre

(a) a linearização (polinômio de Taylor de ordem 1) em x == O;

(b) a aproximaçãoquadráticadef emx == O.

45. f(x) ==In (cos x) 46. f(x) = esenx

14~.f(x) = 1/Y1=7 48. f(x) == cosh x

8.7 Sériesde Taylore de Maclaurin 73

Teoria e Exemplos49. Teorema de Taylore Teorema do Valor Médio Explique como o Teo-

rema do Valor Médio (Seção 3.2, Teorema 4) é um caso espe-cial do Teorema de Taylor.

50. Linearizaçõesnospontasdeinflexõo(ContinuaçõodaSeção3.6,Exer-cicio 49) Mostre que, se o gráfico de uma função f(x) duasvezes derivável tem um ponto de inflexão em x ==a, então alinearização de f em x == a também é a aproximaçãoquadráticadef emx == a. Issoexplicaporque retastangentesse ajustamtão bem nos pontos de inflexão.

51. O{Segundo}TestedaDerivodaSegundaUse a equação

f"(c )f(x) ==f(a) + f'(a)(x - a) + T (x - a)2

para provar o teste a seguir.

Sejafuma função com derivadas primeira e segunda con-tínuas e suponha quef'(a) ==O. Então,

(a) f tem um máximo local em a se f" :S O em um intervalocujo interior contém a;

(b) f tem um mínimo local em a se f" 2: O em um intervalocujo interior contém a.

52. UmaaproximaçãocúbicaUse a fórmula de Taylor com a == Oen ==3para encontrar a aproximação cúbica padrão de f(x) ==

1/(1 - x) em x == O. Dê um limite superior para o erro naaproximação quando Ix I :S O,I.

53. Aperfeiçoandoaproximaçõesparo 7T

(a) Seja P uma aproximação de 7Tprecisa até 11casas decimais.

Mostre que P + sen P dá uma aproximação correta até 311

casas decimais. (Dica: Considere que P == 7T + x.)

(b) Tente fazer isso com uma calculadora.

54. A Sériede Maclaurin gerodapor f(x} == L:=o a"x"é L:=o a"x"Uma função definida por uma série de potências L:=o a"x"com um raio de convergência c > Otem uma série de Mac1au-rin que converge para a função em todo ponto (-c, c). Mostreisso provando que a série de Maclaurin gerada por f(x) ==

L:=o a"x" é a própria série L:=o a"x".

Uma conseqüência imediata disso é que séries como

X4 X6 X8x sen x == X2 - - + - - - + ...3! 5! 7!

e

? 2 3 X4 Xsx-e'==x +x +-+-+...21 3! '

obtidas pela multiplicação de séries de Maclaurin por potên-cias de x, assim como séries obtidas pela integração e deriva-ção de séries de potências convergentes, são as próprias sériesde Mac1auringeradas pelas funções que elas representam.

55. Sériesde Maclaurinparofunçõesparese funçõesimparesSuponhaque f(x) ==L:=o a"x" convirja para todo x em um intervaloaberto (-c, c).

74 Capítulo8: SériesInfinitas

(a) Mostre que, sefé par, então ai = a3= as = ... = O;istoé, a série parafcontém somente potências pares de x.

(b) Mostre que, se f é ímpar, então ao = a2 = a4 = ... = O; istoé, a série paraf contém somente potências ímpares de x.

56. Polinômiosde Taylor de funçôes periódicos

(a) Mostre que toda funçãoperi6dicacontínuaf(x), - 00 < x <00, é limitada provando que existe uma constante positivaM tal que If(x) I :S M para todo x.

(b) Mostre que o gráfico de todo polinômio de Taylor de graupositivo gerado por f(x) = cos x se afasta do gráfico decos x à medida que Ix Iaumenta. Você pode ver isso naFigura 8.19. Os polinômios de Taylor de sen x se compor-tam de maneira similar (Figura 8.21).

1157. (a) Doisgróficos Faça o gráfico das curvas y = (l/3) - (x2)/5e y = (x - arc tg x)1x3junto com o da reta y = 1/3.

(b) Use uma série de Maclaurin para explicar o que você vê.Qual é

x - arc tg xlim ?x--+O X3 .

58. Dentre todos os polinômios de grau ~ n, o polinômio de Taylor de

ordem n dá o melhor aproximação Suponha que f(x) seja derivá-

vel em um intervalo centrado em x = a e que g(x) = bo +bJ(x- a) + ... + bn(x - a)" seja um polinômio de grau n comcoeficientes constantes bo, ..., bn. Seja E(x) = f(x) - g(x).Mostre que, se impusermospara g as condições

(a) E(a) = O o erro de aproximação é zero em x = li.

. E(x) O erro é desprezível quando(b) 11m -

( )" = O, comparado a (x - aJ".x-a X - a

então

r(a)

g(x)= f(a) + f' (a )(x - a) + T (x - a) 2 + ...

f(")(o)+ ---r (x - o)".n.

Portanto, o polinômio de Taylor P" (x) é o único polinômio de graumenor ou igual a n cujo erro é zero em x = a e desprezível quandocomparado com (x - a)".

..~f USANDO O COMPUTADOR

Aproximações Lineares,Quadráticas e CúbicasA fórmula de Taylor com n = 1 e a = O fornece a linearização deuma função em x = O.Com n = 2 e n = 3, obtemos as aproxima-ções quadráticas e cúbicas padrão. Nestes exercícios, exploraremosos erros associados com essas aproximações. Procuramos respostaspara duas perguntas:

(a) Para quais valores de x a função pode ser substituída porcada aproximação com um erro menor que 1O-2?

(b) Qual é o erro máximo que poderemos esperar se trocar-mos a função por cada aproximação no intervalo especifi-cado?

Usando um SAC, execute os seguintes passos para ajudar nasrespostas dos itens (a) e (b) para as funções e os intervalos nosexercícios 59-64.

Passo 1: Faça o gráfico da função no intervalo especifi-cado.

Passo 2: Encontre os polinômios de Taylor PI(x), Pix) ePlx) em x = O.

Passo 3: Calcule a derivadaf(n+l)(c) de ordem (n + 1)associada ao resto para cada polinômio de Taylor. Faça ográfico da derivada como uma função de c no intervaloespecificado e estime seu máximo valor absoluto M.

Passo 4: Calcule o resto Rn(x)para cada polinômio. Usan-do o M estimado no passo 3 no lugar de f,,+1 )(c), repre-sente graficamenteR,,(x) no intervalo especificado. Entãoestime os valores de x que respondem à questão (a).

Passo 5: Compare seu erro estimado com o erro realE,,(x) = If(x) - P,,(x)I representando graficamente En(x)no intervalo especificado. Isso ajudará a responder àquestão (b).

Passo 6: Faça os gráficos da função e de suas três aproxi-mações de Taylor juntos. Discuta os gráficos em relaçãoàs informações obtidas nos passos 4 e 5.

1

59. f(x) = VI + x'Ixl:s ~4

-1 < X < 22- -

61. f(x) =~, Ixl:s 2x + I

62. f(x) = (cos x)(sen 2x), Ix I:S 2

63. f(x) = e-x cos 2x, Ix I:s 1

64. f(x) =ex/3 sen 2x, Ix I:S 2

60. f(x) = (1 + X)3/2,