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1
Cálculo 3
Capítulo 11 – Sequências infinitas e séries
Sequências
Exemplo 2: Ache a fórmula para o termo geral da sequência
,...3125
7,
625
6,
125
5,
25
4,
5
3
n
n
n
na
5
21
1
Essa série considera os termos no intervalo de ,1
Definição: Uma sequência na tem o limite e escrevemos
Lann
lim ou Lan quando n
se podemos fazer os termos tão perto de quanto se queira ao se fazer n suficientemente
grande. Se nn
a
lim existir, dizemos que a sequência converge ( ou é convergente). Caso
contrário, dizemos que a sequência diverge (ou é divergente).
Definição: Uma sequência tem o limite L e escrevemos
Lann
lim ou Lan quando n
Se para cada 0 existir um correspondente inteiro N tal que
Lan sempre que Nn
Teorema: Se Lxfn
lim e naxf quando n é um inteiro, então Lann
lim
2
Definição: Se
nn
alim significa que para cada número positivo M existe um inteiro N tal
que
Man sempre que Nn
Teorema: Se 0lim
nn
a então 0lim
nn
a
Exemplo 7: Avalie
n
n
n
1lim
se ele existir.
0
1lim
1lim
nn n
n
n
Então
01
lim
n
n
n.
A sequência nr é convergente se 11 r e divergente para todos os outros valoresde r.
1,1
11,0lim
rse
rser n
n
Definição: Uma sequência é limitada superiormente se existir um número M tal que
Man para todo 1n
E é limitada inferiormente se existir um número m de forma que
nam para todo 1n
Se ela for limitada superior e inferiormente, então é uma sequência limitada.
Teorema da sequência monotônica: Toda sequência limitada, monotônica, é convergente.
3
Séries
Definição: Dada uma série
1
321 ...n
n aaaa , onde ns denota a sua n-ésima soma
parcial:
n
i
in aaaaas
1
321 ...
Se a sequência ns for convergente e ssnn
lim existir como um número real, então a série
na é denominada convergente, e escrevemos
saaaa n ...321
ou
1n
n sa
O número s é chamado soma da série. Caso contrário, é dita divergente.
A série geométrica ...1
21
n
n araraar
É convergente se 1r e sua soma é
1
1
1n
n
r
aar
1r
Se 1r , a série geométrica PE divergente.
Exemplo 2: Encontre a soma da série geométrica ...27
40
9
20
5
105
51 a
13
2
5
1.
5
10
5
5
10
r
31
3.
5
5
3
21
5...
27
40
9
20
5
105
4
Exemplo 3: A série
1
12 32n
nné convergente ou divergente?
1
1
11
1
12
3
44
3
432
n
n
nn
n
n
nn 13
4r
Como 13
4r
a série diverge.
Exemplo 6: Mostre que a série
1 1
1
n nné convergente e calcule sua soma.
11
...4.3
1
3.2
1
2.1
1
1
1
1
nniis
i
n
1
11
1
1
iiii
11 1
11
1
11...
4
1
3
1
3
1
2
1
2
11
1
11
1
1
ii
nnnniiii
s
11
11limlim
ns
nn
n
Teorema: Se a série
1n
na for convergente, então 0lim
nn
a .
O teste para a Divergência: Se o limite nn
a
lim não existir ou se 0lim
nn
a , então a série é
divergente.
5
Exemplo 8: Mostre que a série
12
2
45n n
n diverge.
Usando o teste da divergência, temos:
05
1
45
1lim
45lim
2
2
2
n
n
n
nn
Então, de acordo com o teste da divergência, a série
12
2
45n n
n
diverge.
Exemplo 9: Calcule a soma da série
1 2
1
1
3
nnnn
.
12.2
1
2
11
2/1
2
1
1
nn
1 1
3
n nn
11
...4.3
1
3.2
1
2.1
1
1
1
1
nniis
i
n
1
11
1
1
iiii
11 1
11
1
11...
4
1
3
1
3
1
2
1
2
11
1
11
1
1
ii
nnnniiii
s
11
11limlim
ns
nn
n
4113
2
1
1
13
2
1
1
3
111
nn
nnn nnnn
6
Capítulo 1 – O teste da integral e estimativa de somas
12
1
n n
nfxf
2
1
xxf (associação) 0
1lim
2
xn(condição necessária)
Então, a partir do limite podemos concluir que a série pode convergir ou não.
Suponha que f seja uma função contínua, positiva e decrescente em [1,infinito) e seja an=f(n). Então a série é convergente se e somente se a integral imprópria for convergente. Em outras palavras:
O teste da Integral
(i) Se
1dxxf
for convergente, então
1n
na é convergente.
(ii) Se
1dxxf for divergente, então
1n
na é divergente.
Exemplo 1: Teste a série
12 1
1
n n para convergência ou divergência.
A função
1
12
x
xf é contínua, positiva e decrescente em
),1[
E assim usamos o teste da integral
n
t
ndx
xdx
xlim
1
1lim
1
1
1 21 2
Exemplo 2: Para que valores de p a série
1
1
npn
é convergente?
Se p<0, então pn n
1lim
Se p=0, então 11
lim pn n
7
Se p>0, então px
xf1
é contínua para todo 0x .
Logo, obtemos o seguinte resultado:
A série
1
1
npn
é convergente se p>1 e divergente se p<1.
Os Testes de Comparação
Exemplo 1: A série
1 12
1
nn
é convergente ou divergente?
Vemos que a série acima é parecida com a série
1 2
1
nn
.
Então, podemos avaliar a segunda que é mais fácil e saber se ela é convergente ou
divergente.
1
2
11
2/1...
8
1
4
1
2
1
2
1
1
nn
1
1
n n é convergente e
12
1
n<
n2
1 para todo n>1, logo
1 12
1
nn
é convergente.
Exemplo 2: A série
1
ln
n n
né convergente ou divergente?
Vemos que a série acima é parecida com a série
1
1
n n.
Então, podemos avaliar a segunda que é mais fácil e saber se ela é convergente ou
divergente.
111
lnlim1
lim1
xdxx
dxx n
t
n
A integral dx
x
1
1 é divergente. Logo a série
1
1
n n também é divergente.
8
Assim, pelo teorema da comparação temos que
1
1
n n é divergente e
n
nln >
n
1 para todo n>=3, logo
1
ln
n n
n
é divergente.
O Teste de Comparação
(i) Se
1n
nb for convergente e nn ba para todo n, então
1n
na também será
convergente.
(ii) Se
1n
nb for divergente e nn ab
para todo n, então
1n
na também será
divergente.
Teste de Comparação do Limite
Suponha que na
e nb
sejam séries com termos positivos. Se
cb
a
n
n
n
lim
onde c é um número e c>0, então ambas as séries convergem ou ambas as séries
divergem.
Exemplo 3: Teste a série
1 12
1
nn
para convergência ou divergência.
12
1
nna nnb
2
1
01
2
11
1lim
2
12
2
2
lim12
2lim
2
112
1
limlim
n
n
n
n
n
n
nn
n
n
n
n
nn
n
n b
a
Sabemos que a série
1 2
1
nn
converge. Logo a série
1 12
1
nn
também converge.
9 Exercícios (11.4- Stewart)
3-32) Determine se a série converge ou diverge.
3)
12 1
1
n nn 22
1
1
1
nnn
12
1
n n
2
1
xxf
11
1lim
1lim
1
01 21 2
tdx
xdx
x n
t
n
Portanto, como a integral dx
x
1 2
1 é convergente a série
1
1
n n também é convergente.
Assim, pelo teorema da comparação temos que
12
1
n n é convergente e
22
1
1
1
nnn
para todo n>0, logo
12 1
1
n nn
é convergente.
4)
13 4
1
n n 33
1
4
1
nn
13
1
n n
3
1
xxf
11
2
1lim
2
1lim
1lim
12
1
21 31 3
txdx
xdx
x t
t
t
t
t
Portanto, como a integral dx
x
1 3
1 é convergente a série
13
1
n n também é convergente.
Assim, pelo teorema da comparação temos que
13
1
n n é convergente e
33
1
4
1
nn
para todo n>0, logo
13 4
1
n n
é convergente.
5)
1 32
5
nn
nn 332
nn 3
1
32
1
nn 3
5
32
5
10
2
15
2
35
3
11
15
3
15
3
5
1
3
1
nnn
Portanto a série
1 3
5
nn
converge.
Assim, pelo teorema da comparação temos que
1 3
5
nn
é convergente e nn 3
5
32
5
para todo n, logo
1 32
5
nn
é convergente.
6)
1
1
n nn nnn
11
1
1
n n
xxf
1
1lnlnlimlnlim1
lim1
011
txdxx
dxx t
t
t
t
t
Portanto, como a integral dx
x
1
1 é divergente a série
1
1
n n também é divergente.
Assim, pelo teorema da comparação temos que
1
1
n n é divergente e
nnn
11
para todo n>0, logo
1
1
n nn
é divergente.
7)
12
1
n n
n
8)
1 2
34
nn
n
9)
12
2
1
cos
n n
n
10)
14
2
13
1
n n
n
11
11)
1 10
1
nn
senn
12)
1 32
5
nn
13)
1 32
5
nn
14)
1 32
5
nn
15)
1 32
5
nn
16)
1 32
5
nn
13)
1 4
1
nnn
n
14)
1 1n n
n
nn
1
1
1
n
n
n
n
1
11
1
nn nn
n
22lim2lim1
lim1
111
txdxx
dxx t
t
t
t
t
Como a integral dxx
1
1 é divergente temos, pelo teste da integral, que
1
1
n n é
divergente.
Pelo teste de comparação temos:
1
1
n n é divergente e
n
n
n
n
1 para todo n>0, então a série
1 1n n
n é divergente.
12
15)
1
)1(2
n
n
nn
n
16)
13 1
1
n n nn 13
nn
1
1
1
3
1
1
n n converge e
nn
1
1
1
3
para todo n>0, logo
13 1
1
n n também converge.
17)
12 1
1
n n
Usando o teste da razão no limite
011
1
1lim
1lim
1
1
1
limlim
2
2
2
n
n
n
n
n
b
a
nnnn
n
n
Como 01lim
n
n
n b
a então a série diverge.
18)
1 32
1
n n
nn
1
32
1
Neste caso sabemos que é divergente porém o teste de comparação não nos dá o resultado
esperado, então usando o teste de comparação do limite temos:
02
1
2
1lim
32lim
132
1
limlim
nnn
n
n
n n
n
n
n
b
a
Pelo teste de comparação do limite temos
02
1lim
n
n
n b
a
e
1
1
n n é divergente. Logo, a série
1 32
1
n n é divergente.
13
19)
1 31
2
nn
n
nn 331 nn 3
1
31
1
n
n
n
n
3
2
31
2
3
3
11
2
3
2
3
2
11
n
n
nn
n
Logo
1 3
1
nn
é convergente.
Pelo teste de comparação temos:
1 3
1
nn
é convergente e n
n
n
n
3
2
31
2
para todo n, então a série
1 31
2
nn
n
é convergente.
20)
1 31
21
nn
n
n
n
na31
21
n
n
nb3
2
11
3
3
21
1
3
2
3
2
n
n
nn
n
1 3
2
nn
n
é convergente.
Pelo teste de comparação do limite temos:
01
13
1
12
1
lim3/2
31
21
limlim
n
n
nnn
n
n
nn
n
n b
a
Portanto
01lim
n
n
n b
ae
1 3
2
nn
n
é convergente. Logo a série
1 31
21
nn
n
é convergente.
21)
1 1
1
n n
nan
1
1
nbn
1
11
1
nn nn
n
111
2lim1
lim1
xdxx
dxx t
t
t
14
Como a integral dxx
1
1 é divergente temos, pelo teste da integral, que
1
1
n n é
divergente.
Pelo teste de comparação do limite temos:
01
11
1lim
1lim
1
1
1
limlim
n
n
n
n
n
b
a
nnnn
n
n
Portanto
01lim
n
n
n b
ae
1
1
n n é divergente. Logo a série
1 1
1
n né divergente.
22)
33
1
2
n n
n
31
2
n
nan
3
1
nbn
13
1
n n
3
1
xxf
11
2
1lim
2
1lim
1lim
12
1
21 31 3
txdx
xdx
x t
t
t
t
t
Portanto, como a integral dx
x
1 3
1 é convergente a série
13
1
n n também é convergente.
Pelo teste de comparação do limite temos:
0
21
1lim
2
1lim
1
1
2
limlim
3233
3
3
n
nn
n
nn
n
n
n
b
a
nnnn
n
n
Portanto
0lim
n
n
n b
ae
13
1
n n é convergente. Logo a série
33
1
2
n n
né convergente.
15
23)
1221
25
n n
n
12
2524
nn
nan
3
1
nbn
13
1
n n
3
1
xxf
11
2
1lim
2
1lim
1lim
12
1
21 31 3
txdx
xdx
x t
t
t
t
t
Portanto, como a integral dx
x
1 3
1 é convergente a série
13
1
n n também é convergente.
Pelo teste de comparação do limite temos:
021
2lim
12
52lim
12
52lim
112
25
limlim
3
24
34
3
24
nnnn
n
n
n
nnn
n
nn
nn
n
nn
n
b
a
Portanto
02lim
n
n
n b
ae
13
1
n n é convergente. Logo a série
1221
25
n n
né convergente.
24)
1 31
2
nn
n
n
n
na31
2
nbn
1
13
1
n n
3
1
xxf
11
2
1lim
2
1lim
1lim
12
1
21 31 3
txdx
xdx
x t
t
t
t
t
Portanto, como a integral dx
x
1 3
1 é convergente a série
13
1
n n também é convergente.
Pelo teste de comparação do limite temos:
021
2lim
12
52lim
12
52lim
112
25
limlim
3
24
34
3
24
nnnn
n
n
n
nnn
n
nn
nn
n
nn
n
b
a
Portanto
16
02lim
n
n
n b
ae
13
1
n n é convergente. Logo a série
1221
25
n n
né convergente.
25)
1 31
2
nn
n
Séries Alternadas
O Teste da Série Alternada
Se a série alternada satisfizer
1
4321 )0...(1n
nn
nbbbbbb
(i) nn bb 1 para todo n
(ii) 0lim
nn
b
Então a série é convergente.
Exemplo 1: A série harmônica alternada
1
11
n
n
n é convergente:
(i) nn bb 1 para todo n, porque nn
1
1
1
(ii) 01
limlim n
bn
nn
1
11
n
n
n
1
11
nb
n
n
n
b
n
n
11
nn
1
1
1
Exemplo 2: A série
1 14
31
n
n
n
n é alternada mas
4
3
4
3lim
14
3limlim
nnn
n n
nb
Logo a condição (ii) não é satisfeita, então
17
14
31limlim
n
na
n
nn
n
yn1
yn ln1ln
z1ln
)(1 nãoexistee z
Exemplo 3: Teste a série
13
21
11
n
n
n
npara convergência ou divergência.
13
2
x
xxf
01
)2(
1
32123
3
23
223'
x
xx
x
xxxxxf
0)2( 3 xx 3 2x intervalo ,23
03
2lim
3
2lim
1limlim
23
2
nn
n
n
nb
nnnn
n
Portanto a série é convergente.
Exercícios (11.5- Stewart)
2-20) Teste a série para convergência ou divergência.
2) ...6
4
5
3
4
2
3
1
1 2
1
n
n
n
n
3
111
1
n
nb
n
n
2
1
n
nb
n
n
22
1
n
n
n
n não satisfaz (ii)
012
1
1lim
2lim
n
n
n
nn não satisfaz (ii)(?)
18
Portanto a série é divergente.
3)
...10
4
9
4
8
4
7
4
1
1
6
41
n
n
n
7
41
nbn
6
4
nbn (i)
6
4
7
4
nn
(ii)
06
4lim
nn
Portanto, pelo teste de série alternada a série
1
1
6
41
n
n
né convergente.
4)
...5ln
1
4ln
1
3ln
1
2ln
1
1
1
1ln
1
n
n
n
2ln
11
nbn
1ln
1
nbn (i)
1ln
1
2ln
1
nn
(ii)
01ln
1lim
nn
Portanto a série
1
1
1ln
1
n
n
n é convergente.
5)
1
11
n
n
n
1
11
nbn
nbn
1 (i)
nn
1
1
1
(ii) 01
lim nn
Portanto a série
1
11
n
n
n é convergente.
19
6)
1
1
13
1
n
n
n
7)
1 12
131
n
n
n
n
Convergência Absoluta e os Testes da Razão e da Raiz
Definição: Uma série
1
321 ...n
n aaaa é chamada absolutamente convergente se
a série de valores absolutos for convergente.
Exemplo 1: A série
12222
1
...4
1
3
1
2
11
1
n
n
né absolutamente convergente porque
1222
122
1
...4
1
3
1
2
11
11
n n
n
nn
É uma série p convergente (p=2).
Exemplo 2: Sabemos que a série harmônica alternada
1
1
...4
1
3
1
2
11
1
n
n
n é
convergente, mas não absolutamente convergente, porque a série de valores absolutos
correspondente é
1 1
1
...4
1
3
1
2
11
11
n n
n
nn
Teorema: Se uma série for absolutamente convergente, então ela é convergente.
Exemplo 3: Determine se a série
1
2222...
3
3cos
2
2cos
1
1coscos
n n
n
é convergente ou
divergente.
20
1
21
2
coscos
nn n
n
n
n
nn cos para todo n
Então 2
1
cos
1
nn
12
1
n n
2
1
xxf
11
1lim
1lim
1
01 21 2
tdx
xdx
x n
t
n
Portanto, como a integral dx
x
1 2
1 é convergente a série
12
1
n n também é convergente.
Assim, pelo teorema da comparação temos que
12
1
n n é convergente e
2
1
cos
1
nn para todo n>0, logo
1
21
2
coscos
nn n
n
n
n
é
convergente.
Como a série
1
21
2
coscos
nn n
n
n
n
é convergente, então ela é absolutamente convergente.
O teste da Razão
(i) Se 1lim 1
L
a
a
n
n
n,então a série
1n
na é absolutamente convergente (portanto
convergente).
(ii) Se 1lim 1
L
a
a
n
n
n, então a série
1n
na é divergente.
(iii) Se 1lim 1
L
a
a
n
n
n, o Teste da Razão não é conclusivo; isto é, nenhuma
conclusão pode ser tirada sobre a convergência ou divergência de
1n
na .
21
Exemplo 4: Teste a série
1
3
31
nn
n n
para convergência absoluta.
n
n
n
na
31
3
1
3
111
3
11
3
1
3
11
1
3.
3
11
31
3
11
3
3
31
31
3
1
31
1
nn
n
n
n
n
n
n
n
a
an
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Então, pelo Teste da Razão, a série é absolutamente convergente e portanto convergente.
Exemplo 5: Teste a convergência da série
1 !n
n
n
n.
e
nn
n
n
n
nn
nn
n
n
n
n
a
an
n
n
n
n
n
n
n
n
11
1!
!1
11!
!1
11
1 quando n
Importante!
en
n
n
11lim
O teste da Raiz
(i) Se 1lim
Lann
n, então a série
1n
na é absolutamente convergente (portanto
convergente).
(ii) Se 1lim
Lann
nou
nn
nalim , então a série
1n
na é divergente.
(iii) Se 1lim
nn
na , então o teste da raiz não é conclusivo.
Exemplo 6: Teste a convergência da série
1 23
32
n
n
n
n.
n
nn
na
23
32 1
3
2
23
32
23
32
23
32
n
n
n
n
n
na n
n
nn
Então, a série dada converge pelo teste da raiz.
22 Exercícios (11.6 – Stewart)
2-28) Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
2)
1 2nn
nn
1
1
12
n
n
n
na
n
n
n
na
2
Pelo Teste da Razão, temos:
2lim
.2.2
2..lim
2
2lim
2
2limlim1
11
1
1 n
n
nn
n
n
n
n
a
a
nnn
nn
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
nn
n
n
Logo, a série dada é divergente.
3)
1 !
10
n
n
n
!1
101
1
n
a
n
n
!
10
na
n
n
Pelo Teste da Razão, temos:
101
10lim
10!.1
!.10.10lim
10
!
!1
10lim
!
10
!1
10
limlim
1
1
1
nnn
nn
n
n
n
a
a
nn
n
nn
n
nn
n
nn
n
n
quando n
Logo, a série dada é absolutamente convergente, e, portanto, convergente.
4)
14
1 21
n
nn
n
Pelo Teste da Divergência, temos:
4
2lim
n
n
n
Portanto, a série dada é divergente.
23
5)
14
11
n
n
n nn
114
Como
1
1
n né uma série-p com p=1/2<1, temos que a série diverge.
Logo, pelo teste de comparação, temos:
1
1
n n é divergente e
nn
114
para todo n>0, então a série
14
11
n
n
n é divergente.
6)
14
1
n
n
n
Como
14
1
n né uma série-p com p=4>1, temos que a série converge.
7)
1 51
n
n
n
n
8)
12
1
11
n
n
n
n
9)
1 !2
1
n n
10)
1
!n
nne
11)
13
/11
n
nn
n
e
33
/1 1
ne
n
e n
Logo, pelo teste de comparação, temos:
13
1
n n é convergente e
33
/1 1
ne
n
e n
para todo n>0, então a série
13
/11
n
nn
n
e é
convergente. Então a série também é absolutamente convergente.
12)
1 4
4
nn
nsen
1 4
1
4
4
nnn
nsen
Logo, pelo teste de comparação, temos:
24
1 4
1
nn
é convergente e
1 4
1
4
4
nnn
nsen para todo n>0, então a série
1 4
4
nn
nsen é
convergente. Então a série também é absolutamente convergente.
13)
114
3
nn
nn
n
n
n
na
4
311
1
14
3
n
n
n
na
1
4
311
4
3lim
1
4
3lim
431lim
3..4
4.4.3.3.1lim
3
4
4
31limlim
1111
1
nn
n
n
n
n
n
n
n
a
a
nn
nnn
nn
nn
n
n
n
nn
n
n
Como 1lim 1
L
a
a
n
n
n,então a série
114
3
nn
nn
é absolutamente convergente (portanto
convergente).
14)
1
21
!
21
n
nn
n
n
!1
211 1221
1
n
na
nn
n
!
21 21
n
na
nn
n
10
1
1lim
211!1
!211lim
21
!
!1
211limlim
221
2
21
22
1
nnnnn
n
n
n
n
n
a
a
nnn
nn
nnn
nn
nn
n
n
Como 10lim 1
n
n
n a
a,então a série
1
21
!
21
n
nn
n
né absolutamente convergente
(portanto convergente).
15)
1
1241
10
nn
n
n 32
1
142
10
n
n
nn
a 1241
10
n
n
nn
a
132
1
2
1
16
1
10.4.42
4.41.10.10
10
41
42
1032
1212
32
11
n
n
n
nn
na
ann
nn
n
n
n
n
n
n
Como 132
1lim 1
n
n
n a
a,então a série
1
1241
10
nn
n
né absolutamente convergente
(portanto convergente).
25
16)
13/2 2
cos3
n n
n
3/23/2
1
2
cos3
nn
n
Como
13/2
1
n né uma série-p com p=2/3<1, temos que a série diverge.
Assim, pelo teorema da comparação temos que
12
1
n n é convergente e
22
1
1
1
nnn
para todo n>0, logo
12 1
1
n nn
é convergente.
17)
1 ln
1
n
n
n
nn
1
ln
1
Assim, pelo teorema da comparação temos que
1
1
n n é divergente e
nn
1
ln
1 para todo n>=3, logo
1 ln
1
n
n
n
é divergente.
18)
1
!
nnn
n
111
!1
nnn
na
nn
n
na
!
11
11
1lim
1lim
11
1lim
!1
!1lim
!1
!1limlim
11
1
e
n
n
n
nn
nn
nn
nnn
n
n
n
n
a
a
nn
n
nn
n
nn
n
n
n
nnn
n
n
Como 11
lim 1
ea
a
n
n
n,então a série
1
1241
10
nn
n
né absolutamente convergente (portanto
convergente).
19)
1 !
3/cos
n n
n
20)
1 ln
1
nn
n
n
26
10ln
1lim
ln
1lim
nn nn
n
n
n
Logo, a série é convergente.
Estratégia para Testar Séries
Se a série é da forma
1
1
npn
ela é uma p-série que sabemos se convergente se p>1 e
divergente se p<1.
Se a série tiver a forma
1
1
n
rar ou
1n
ra , ela é uma série geométrica que converge se 1r
e diverge se 1r .
Se a série tiver a forma tiver uma forma similar a uma p-série ou uma série geométrica então
um dos testes de comparação deve ser considerado.
1
1
n
rar ou
1n
ra , ela é uma série
geométrica que converge se 1r e diverge se 1r .
Se você vir que 0lim
nn
a o teste da divergência deve ser usado.
Se a série tiver a forma
1
11
n
n
nb ou
1
1n
n
nb , então o teste da série alternada é uma
possibilidade óbvia.
Se a série tiver fatoriais ou outros produtos teste convenientemente usando o Teste da Razão.
Se a série tiver a forma na ou nnb , o Teste da Raiz pode ser útil.
Se nfan
onde
1dxxf é facilmente avaliada, então o Teste da Integral é eficaz.
27
Exemplo 1:
1 12
1
n n
n
Como 2
1na
quando
n
, devemos usar o Teste para Divergência.
Exemplo 2:
123
3
43
1
n nn
n
Como na
é uma função algébrica de n,comparamos a série dada com uma p-série.
2/33
2/3
3
3
1 3
1
33 nn
n
n
nb
n
n
Exemplo 3:
1
2
n
nne
Como a integral
1
2
dxxe x
é facilmente avaliada, usamos o Teste da Integral. O Teste
da Razão também funciona.
Exemplo 4:
14
3
11
n
n
n
n
Como a série é alternada, usamos o Teste da Série Alternada.
Exemplo 5:
1 !
2
n
k
k
Como a série envolve
!k
, usamos o Teste da Razão.
28
Exemplo 6:
1 32
1
nn
Como a série está intimamente relacionada à série geométrica
1 3
1
nn
, usamos o Teste
da Comparação.
Exercícios – 11.7
1-38) Teste a convergência ou divergência das séries.
1)
12
2 1
n nn
n
011
1
11
lim1
lim2
2
2
n
n
nn
n
nn
Logo, pelo Teste do Limite, a série diverge.
2)
12
1
n nn
n
01
11
lim1
lim2
n
n
nn
n
nn
Logo, pelo Teste do Limite, a série converge.
3)
12
1
n nn
01
lim2
nnn
Logo, pelo Teste do Limite, a série converge.
29
4)
12
1 11
n
n
nn
n
5)
13
1
2
3
nn
n
6)
1 81
3
n
n
n
n
18
3
81
3lim
81
3lim
81
3lim
n
n
n
n
n
nn
n
n
n
Como
18
3
81
3lim
n
n
n n
n
então, pelo Teste da Razão, a série converge.
7)
1 ln
1
n nn
dxx
duxu1
,ln
3
2
3
2lim
3
2lim
1lim
ln
1 2/3
1
2/3
11t
udu
udx
xx t
t
t
t
t
Pelo Teste da Integral, a série diverge.
8)
1 !2
!2
n
k
k
k
9)
1
2
n
kek
30
Séries de Potências
...3
3
2
2
1
10
xcxcxccxcn
n
n
Exemplo 1: Para quais são os valores de x a série
0
!n
nxn é convergente?
1
1 !1
n
n xna n
n xna !
xn
xn
xxnn
xn
xn
a
a
nn
n
nn
n
nn
n
n1lim
!
!1lim
!
!1limlim
11
Pelo Teste da Razão, a série diverge quando x<>0. Então a série converge apenas quando x=0.
Exemplo 2: Para quais são os valores de x a série
0
3
n
n
n
xé convergente?
1
31
1
n
xa
n
n
n
xa
n
n
3
3lim1
1
13lim
13lim
1
3lim
31
33lim
31
3limlim
1
1
x
n
x
n
nx
n
nx
xn
nxx
x
n
n
x
a
a
nn
nnn
n
nn
n
nn
n
n
A série
0
3
n
n
n
xé convergente quando 13 x 213 xx
413 xx
Portanto a série é convergente no intervalo : ]4,2(
31
Teorema
Para uma dada série de potências ...3
3
2
2
1
10
xcxcxccxcn
n
n existem apenas três
possibilidades: (i) A série converge apenas quando x=a. (ii) A série converge para todo x.
(iii) Existe um número positivo R tal que a série converge se e diverge se Rax e
Rax .
O número R é chamado Raio de Convergência da série de potências.
Exemplo 4: Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
0 1
3
n
nn
n
x
2
3 11
1
n
xa
nn
n
1
3
n
xa
nn
n
x
n
nx
n
nx
xn
xx
x
n
n
x
n
x
n
x
a
a
nnn
nn
nn
nnn
nn
nnn
nn
nn
n
n
3lim1
1
11
3lim1
13lim
31
33lim
3
1
2
3lim
1
3
2
3
limlim11
11
1
A série
0 1
3
n
nn
n
xé convergente quando 13 x 3/13/1 xx
A série
0 1
3
n
nn
n
xé divergente quando 13 x 3/13/1 xx
Então o raio de convergência é 1/3.
32 Exercícios (11.8 – Stewart)
1)
0n
n
n
x
1
1
1
n
xa
n
n n
xa
n
n
x
n
xn
nx
xn
nxx
x
n
n
x
n
x
n
x
a
a
nnnn
n
nn
n
nn
n
nn
n
nlim
11
1lim
1lim
1lim
1lim
1limlim
1
1
1
A série
0n
n
n
xé convergente quando 1x
1 x 1x
1 x 1x
Então o raio de convergência é 1 e o intervalo é )1,1[
2)
0 1
1
n
nn
n
x
2
1 11
1
n
xa
nn
n
1
1
n
xa
nn
n
x
n
nx
n
nx
xn
nxx
x
n
n
x
n
x
n
x
a
a
nn
nnn
nn
nnn
nn
nnn
nn
nn
n
n
lim2
1
11
lim
2
1lim
12
111lim
1
1
2
1lim
1
1
2
1
limlim11
11
1
A série
0n
n
n
xé convergente quando 1x
1 x 1x
1 x 1x
Então o raio de convergência é )1,1[ .
33
3)
03
11
n
nn
n
x
31
11
1
n
xa
nn
n
3
11
n
xa
nn
n
3
1
3
1
3
3
1
3
1
3
1
1 lim11
1lim
11
1lim
1
1
1
limlim xnx
xnx
x
n
n
x
n
x
n
x
a
a
nnn
nn
nnn
nn
nnn
nn
nn
n
n
4)
n
n
xn
0
1
1 1
n
n xna n
n xna
xn
xn
nx
xn
xxn
xn
xn
a
a
nnn
n
nn
n
nn
n
n
11lim
1lim
1lim
1limlim
11
A série
0n
n
n
xé convergente quando 1x
1 x 1x
1 x 1x
Então o raio de convergência é )1,1[ .
5)
0 !n
n
n
x
6)
0n
nn xn
34
Representações de Funções como Séries
0
32 ...11
1
n
nxxxxx
1x
Exemplo 1: Represente 21
1
x como a soma de uma série de potências e encontre o
intervalo de convergência.
2xx
...11
1
1 642
0
2
0
2
2
xxxxxx n
nn
n
n
0
21n
nnx 221
1 1
nn
n xa
nn
n xa 21
22
2
22
2
221
1 lim1
11lim
1
1limlim xx
x
xx
x
x
a
a
nnn
nn
nnn
nn
nn
n
n
A série
0
21n
nnx converge quando 12 x
1 x 1x
1 x 1x
Para x = -1
0
211
n
nndiverge
Para x = 1
0
211
n
nndiverge
Então:
Intervalo de convergência: 1,1
Raio de convergência: R=1
35
Exemplo 2: Encontre uma representação em série de potências para 2
1
x.
0
10 2
1
22
1
212
1
212
1
2
1
n
n
n
n
n
n
xx
xxx
012
1
n
n
n
n
x 1
2
1
12
1
n
n
n
n xa
n
n
n
n xa2
1
22lim
1
22
22
11lim
2
1
2
1
limlim2
1
1
2
1
1xx
x
xx
x
x
a
a
nnn
n
n
nn
nn
n
n
n
n
n
nn
n
n
A série
0
21n
nnx converge quando 1
2
x
2 x 2x
2 x 2x
Para x = -2
01
22
1
n
n
n
n
diverge
Para x = 1
01
22
1
n
n
n
n
diverge
Então:
Intervalo de convergência: 2,2
Raio de convergência: R=2
36
Exemplo 3: Encontre uma representação em série de potências para
0
3
2n x
x.
0
3
10
1
3
2
1
2
1
n
n
n
n
n
n
n
n
xxx
Intervalo de convergência: 2,2
Raio de convergência: R=2
Diferenciação e Integração de Série de Potências
Teorema
Se a série de potências n
n axc tiver um raio de convergência 0R , então a função f
é definida por
0
2
210 ...n
n
n axcaxcaxccxf
é diferenciável ( e portanto contínua) no intervalo RaRa , e
(i)
0
12
321 ...32n
n
n axncaxcaxccxf
(ii)
0
12
101
...2 n
n
nn
axcC
axcaxcCdxxf
Os raios de convergência da série de potências nas equações (i) e (ii) são ambos R.
Exemplo 5: Expresse como uma série de potências pela diferenciação da equação 1. Qual é o raio de convergência?
0
32 ...11
1
n
nxxxxx
0
132
2...4321
1
1
n
nnxxxxx
0
21
1
1
n
nxnx
Raio de convergência: R=1
37
Exemplo 6: Encontre uma representação em série de potências para
x1ln
e seu raio
de convergência.
10
13232
1...
32...1
1
11ln
n
n
n
n
Cn
xC
n
xC
xxxdxxxxdx
xx
x=0
001ln CC
1n
n
n
x
1
1
1
n
xa
n
nn
xa
n
n
x
n
xn
nx
x
n
n
xx
n
x
n
x
a
a
nnn
n
nn
n
nn
n
n
11
1lim
1lim
1
.lim1limlim
1
1
1x R=1 ( raio de convergência)
Exemplo 7: Encontre uma representação em série de potências para
xtg 1
.
2
''
1
1
xxf
0
1253642
2
1
1253...1
1
1
n
n
Cn
xxxxCdxxxxdx
xxtg
Exercícios
3 – 10) Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o
intervalo de convergência.
3)
x
xf
1
1
00
11
1
n
nn
n
nxx
xxf
38
0
1n
nnx 11
1 1
nn
n xa
nn
n xa 1
xx
x
xx
x
x
a
a
nnn
nn
nnn
nn
nn
n
n
lim
1
11lim
1
1limlim
!1
1
A série
0
21n
nnx converge quando 1x
1 x 1x
2 x 2x
Para x = -2
01
22
1
n
n
n
n
diverge
Para x = 1
01
22
1
n
n
n
n
diverge
Então:
Intervalo de convergência: 2,2
Raio de convergência: R=2
4)
41
1
xxf
0
4
0
4
43
1
1
n
n
n
nxx
xxf
0
43n
nx 14
1 3
n
n xa
nn xa 43
44
4
44
4
141 lim
3
3lim
3
3limlim xx
x
xx
x
x
a
a
nn
n
nn
n
nn
n
n
A série
0
43n
nx converge quando 14 x
14 x 14 x
39
14 x 1x
Para x = -2
01
22
1
n
n
n
n
diverge
Para x = 1
01
22
1
n
n
n
n
diverge
Então:
Intervalo de convergência: 1,1
Raio de convergência: R=1
5)
31
1
xxf
0
3
0
3
33
1
1
n
n
n
nxx
xxf
0
33n
nx 13
1 3
n
n xa
nn xa 33
33
3
33
3
131 lim
3
3lim
3
3limlim xx
x
xx
x
x
a
a
nn
n
nn
n
nn
n
n
A série
0
43n
nx converge quando 14 x
14 x 14 x
14 x 1x
Para x = -2
01
22
1
n
n
n
n
diverge
Para x = 1
01
22
1
n
n
n
n
diverge
Então:
40
Intervalo de convergência: 1,1
Raio de convergência: R=1
6)
291
1
xxf
0
22
0
2
2319
91
1
n
nnn
n
nxx
xxf
0
2231
n
nnnx 22221
1 31
nnn
n xa
nnn
n xa 2231
22
22
2222
1 99lim31
3311limlim xx
x
xx
a
a
nnnn
nnn
nn
n
n
A série
0
2231
n
nnnx converge quando 19 2 x
19 2 x 9/12 x
19 2 x 3/13/1 x
Para x = -2
0
2
2
3
131
n
n
nndiverge
Para x = 1
0
2
2
3
131
n
n
nndiverge
Então:
Intervalo de convergência:
3
1,
3
1
Raio de convergência: R=1/3
7)
xxxf
5
1
5
1
0 55
1
515
1
n
nx
xxf
41
0 55
1
n
nx
1
155
1
n
n
xa
n
n
xa
55
1
55lim
55
1
555
1
limlim 1xx
x
xx
a
a
nn
n
nn
n
n
A série
0 55
1
n
nx
converge quando 15
x
19 2 x 5x
19 2 x 5x
Para x = -2
0
2
2
3
131
n
n
nndiverge
Para x = 1
0
2
2
3
131
n
n
nndiverge
Então:
Intervalo de convergência: 5,5
Raio de convergência: R=5
8)
x
x
xxf
14
1
14
0
1
4
1
114
1
n
n
x
x
xf
0
1
4
1
n
n
x
1
1
1
4
1
n
nx
a
n
nx
a
1
4
1
42
xx
x
xx
a
a
nn
n
nn
n
n
1
4
11
4
1lim
1
4
1
11
4
1
limlim 1
A série
0
1
4
1
n
n
xconverge quando 1
1
4
1
x
4
1x
1 x 1x
1 x 1x
Para x = -2
0 4
1
4
1
n
n
diverg e
Para x = 1
0 4
1
4
1
n
n
diverge
Então:
Intervalo de convergência:
4
1,
4
1
Raio de convergência: R=1/4
9)
0
22 3
31
1
9 n
n
xx
xx
x
xxf
0 3n
n
xx
1
1
1
4
1
n
nx
a
n
nx
a
1
4
1
xx
x
xx
a
a
nn
n
nn
n
n
1
4
11
4
1lim
1
4
1
11
4
1
limlim 1
43
A série
0 3n
n
xx converge quando 1
1
4
1
x
4
1x
1 x 1x
1 x 1x
Para x = -2
0 4
1
4
1
n
n
diverg e
Para x = 1
0 4
1
4
1
n
n
diverge
Então:
Intervalo de convergência:
4
1,
4
1
Raio de convergência: R=1/4
10)
0
3
3
3
2
3
33
2
33
2
1n
n
a
x
a
x
a
xa
x
xa
xxf
03
3
3
2
n
n
a
x
a
x
1
3
3
3
2
1
n
na
x
a
xa
n
na
x
a
xa
3
3
3
2
3
3
3
3
3
3
3
2
3
3
3
3
3
2
1 limlimlima
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
a
nn
n
nn
n
n
A série
0
1
4
1
n
n
xconverge quando 1
3
3
a
x 33 ax
33 ax ax
44
33 ax ax
Para x = -2
0 4
1
4
1
n
n
diverg e
Para x = 1
0 4
1
4
1
n
n
diverge
Então:
Intervalo de convergência: aa ,
Raio de convergência: R=a
11)
xxf 5ln
dxx
x5
15ln
Séries de Taylor e de Maclaurin
Teorema
Se f tiver uma representação (expansão) em série de potências em a, isto é, se
Raxaxcxfn
n
n
,0
Então seus coeficientes são dados pela fórmula
!n
afc
n
n
45
Série de Taylor da função f em a ( ou ao redor de a)
0
2'''
...!2!1!n
nn
axaf
axaf
afaxn
afxf
Série de Maclaurin
0
2'''
...!2!1
0!
0
n
nn
xaf
xaf
fxn
fxf
Exemplo 1: Encontre a série de Maclaurin da função xexf e seu raio de convergência.
0
32
0
...!3!2!1
1!!
0
n n
nn
n xxx
n
xx
n
fxf
!1
1
1
n
xa
n
n
!n
xa
n
n
101
1lim
!1
!lim
!
!1lim
!
!1limlim
1
1
nx
xnn
xnx
x
n
n
xx
n
x
n
x
a
a
nn
n
nn
n
nn
n
nn
n
n
A série converge e o raio de convergência é R
Polinômio de Taylor de grau n de f em a
nnn
i
ii
n axn
afax
afax
afafax
i
afxT
!...
!2!1!0
2'''
Teorema
Se
xRxTxf nn ,
onde xTn é o polinômio de Taylor de grau n de f em a e
46
0lim
xRnn
para Rax ,
então f é igual é a soma de sua série de Taylor no intervalo Rax
Desigualdade de Taylor
Se Mxf n 1 para dax , então o resto xRn da série de Taylor satisfaz a
desigualdade
1
!1
n
n axn
MxR
Para dax
Exemplo 2: Prove que xe é igual à série de sua série de Maclaurin.
dxneexf
1
1
!1
nd
n xn
exR
dx
0
!1lim
!1lim
1
1
n
xex
n
en
n
dnd
n
0 !n
nx
n
xe
(para todo x)
Exemplo 3: Encontre a série de Taylor para xexf em a=2
dxneexf
1
1
!1
nd
n xn
exR
dx
2exfn
0
2
2!n
nx xn
ee
( para todo x)
47 Exemplo 3: Encontre a série de Maclaurin para senx e prove que ela representa senx para todo x.
senxxf 00 f
xxf cos' 10' f
senxxf '' 00'' f
xxf cos''' 10''' f
senxxf 4 004 f
0
127532
'''
!121...
!7!5!3...
!2
0
!1
00
n
nn
n
xxxxxx
fx
ff
Tabela de Séries
...11
1 2
0
xxxx n
n
1,1
...!3!2!1
1!
32
0
xxx
n
xe
n
nx
,
...!6!5!3!12
1653
0
12
xxxx
n
xsenx
n
nn
,
...!6!4!2
1!2
1cos642
0
2
xxx
n
xx
n
nn
,
...753!12
1753
0
121
xxx
xn
xxtg
n
nn
1,1
48
Exercícios
3-10) Encontre a série de Maclaurin para usando a definição de uma série de Maclautin. Também encontre o raio de convergência associado.
3) xxf cos
n xf n
0nf
0 xcos
1
1 senx
0
2 xcos
-1
3 senx
0
4 xcos
1
0
2642
4322'''
!21...
!6!4!21
...!4
1
!3
0
!2
1
!1
01...
!2
0
!1
00cos
n
nn
n
xxxx
xxxxxf
xf
fx
!22
122
1
n
xa
nn
n
!2
12
n
xa
nn
n
10
22
1limlim
1!222
!211lim
1
!2
!22
1lim
!21
!221
limlim
21
2
22
2
221
2
221
1
nx
a
a
xnn
nxx
x
n
n
x
n
x
n
x
a
a
nn
n
n
nn
nn
nnn
nn
nnn
nn
nn
n
n
R
49
4)
xsenxf 2
n xf n
0nf
0 xsen2
0
1 x2cos2
2
2 xsen222
0
3 x2cos23
32
4 xsen224
0
0
12123
53
43
3
22'''
!12
21...
!5
2
!3
22
...!4
0
!3
2
!2
0
!1
20...
!2
0
!1
002
n
nnn
n
xxx
xxxxxf
xf
fxsen
!22
122
1
n
xa
nn
n
!12
21
1212
n
xa
nnn
n
10
21
!12
!32
21lim
!12
21
!32
21
limlim1212
32321
1212
32321
1
nnn
nnn
nnnn
nnn
nn
n
n x
n
n
x
n
x
n
x
a
a R
5)
31
xxf
n xf n
0nf
0 31
x 1
1 413
x
-3
2 414.3
x
12
3 5
15.4.3
x
-60
4 616.5.4.3
x 360
11
432
4322'''
3
2
121
!2
!211510631
...!4
360
!3
60
!2
12
!1
31...
!2
0
!1
001
n
nn
n
nn xnn
n
xnxxxx
xxxxxf
xf
fx
50
!22
122
1
n
xa
nn
n
!12
21
1212
n
xa
nnn
n
10
21
!12
!32
21lim
!12
21
!32
21
limlim1212
32321
1212
32321
1
nnn
nnn
nnnn
nnn
nn
n
n x
n
n
x
n
x
n
x
a
a R
6)
xxf 1ln
n xf n
0nf
0 x1ln 0
1 x1/1
1
2 21/1 x
-1
3 31/2 x
2
4 41/6 x -6
1
1432
4322'''
1...432
...!4
6
!3
2
!2
1
!1
10...
!2
0
!1
001ln
n
nn
n
xxxxx
xxxxxf
xf
fx
1
11
n
xa
nn
n
n
xa
nn
n
11
x
n
nx
x
n
n
xx
n
x
n
x
a
a
nnn
nn
nnn
nn
nn
n
n
1lim
1111lim
1
11
limlim1
1
1
1
1R
7)
xexf 5
51
10) xxf cosh
n xf n
0nf
0 xcosh 1
1 senhx
0
2 xcosh
1
3 senhx
0
4 xcosh 1
1
2432
4322'''
...!4!3!2
...!4
1
!3
0
!2
1
!1
01...
!2
0
!1
00cosh
n
n
n
xxxxx
xxxxxf
xf
fx
1
22
n
xa
n
n
n
xa
n
n
2
xn
nx
x
n
n
x
n
x
n
x
a
a
nn
n
nn
n
nn
n
n
1lim
1lim1limlim 2
2
22
2
22
1
1R
11-18) Encontre a série de Taylor para centrada no valor dado de a.
11) 2,1 2 axxxf
n xf n
0nf
1 x21
5
2 2
2
3 0
0
4 0 0
72210 2 f
0
2'''
...!2!1!n
nn
axaf
axaf
afaxn
afxf
52
3
22432
0
2'''
!
.02
!2
22
!1
57...2
!4
02
!3
02
!2
22
!1
57
...2!2
22
!1
222
!
2
n
n
nn
n
xxxxxxx
xf
xf
fxn
fxf
R
12) 1,3 axxf
n xf n
0nf
0
3x
-1
1 23x
3
2 x6
-6
3 6
6
4 0 0
0
2'''
...!2!1!n
nn
axaf
axaf
afaxn
afxf
32432
0
2'''
1!3
61
!2
61
!1
31...1
!4
01
!3
61
!2
61
!1
31
...1!2
11
!1
111
!
1
xxxxxxx
xf
xf
fxn
fxf
n
nn
R
13) 3, aexf x
n xf n
0nf
0
xe
3e
1 xe
3e
2 xe
3e
3 xe
3e
4 xe 3e
53
0
2'''
...!2!1!n
nn
axaf
axaf
afaxn
afxf
3
32
333
0
2'''
!
3...3
!23
!1
...1!2
11
!1
333
!
3
n
n
n
nn
n
xex
ex
ee
xf
xf
fxn
fxf
!1
313
n
xea
n
n
!
33
n
xea
n
n
101
13lim
3
!
!1
3lim
!
3
!1
3
limlim 3
3
13
3
13
1
nxe
xe
n
nn
xe
n
xe
n
xe
a
a
nn
n
nn
n
nn
n
n
R
14) 2,ln axxf
n xf n
0nf
0 xln
2ln
1 x/1
2/1
2
2/1 x
22/1
3 3/2 x
32/2
4 4/6 x
42/6
0
2'''
...!2!1!n
nn
axaf
axaf
afaxn
afxf
54
1
1
1
1
3
4
3
3
2
2
3
3
2
22
2
0
2'''
2
21
2!
!121...
!42
23.2
!32
22
!22
2
!1.2
22ln
...!32
2
!22
2
!1.2
22ln...2
!2
2/22
!1
2/1
2
1
...1!2
11
!1
333
!
3ln
nn
nn
nn
nn
n
nn
n
x
n
nxxxxx
xxxxx
xf
xf
fxn
fx
!1
313
n
xea
n
n
!
33
n
xea
n
n
101
13lim
3
!
!1
3lim
!
3
!1
3
limlim 3
3
13
3
13
1
nxe
xe
n
nn
xe
n
xe
n
xe
a
a
nn
n
nn
n
nn
n
n
R
15) axxf ,cos
n xf n
0nf
0 xcos
1
1 senx
0
2 xcos
1
3 senx
0
4 xcos
-1
0
2'''
...!2!1!n
nn
axaf
axaf
afaxn
afxf
1
21
422
0
2'''
!2
1
...!4
1
!2
11...
!2
1
!1
01
...1!2
11
!1
333
!
3ln
n
nn
n
nn
n
x
xxxx
xf
xf
fxn
fx
55
!1
313
n
xea
n
n
!
33
n
xea
n
n
101
13lim
3
!
!1
3lim
!
3
!1
3
limlim 3
3
13
3
13
1
nxe
xe
n
nn
xe
n
xe
n
xe
a
a
nn
n
nn
n
nn
n
n
R
16) 2/, asenxxf
17) 9,/1 axxf
n xf n
0nf
0
2/1x
3
1
1 2/3
2
1 x
33
1
2
1
2 2/5
4
3 x
53
1
2
3
2
1
3 2/7
8
15 x
73
1
2
7
2
3
2
1
0
2'''
...!2!1!n
nn
axaf
axaf
afaxn
afxf
1
42253
0
2'''
!
91
...!4
1
!2
11...
!2
3
1
2
3
2
1
!1
3
1
2
1
3
1
...1!2
11
!1
333
!
3ln
n
nn
n
nn
n
x
xxxx
xf
xf
fxn
fx
!1
313
n
xea
n
n
!
33
n
xea
n
n
56
101
13lim
3
!
!1
3lim
!
3
!1
3
limlim 3
3
13
3
13
1
nxe
xe
n
nn
xe
n
xe
n
xe
a
a
nn
n
nn
n
nn
n
n
R
18) 1,2 axxf
47-49) Use séries para avaliar o limite.
47)
2
1
0lim
x
xtgx
x
...
753!121
753
0
121
xxx
xn
xxtg
n
nn
3
1...
753
1lim
...753lim
...753
limlim42
03
753
03
753
03
1
0
xx
x
xxx
x
xxxxx
x
xtgx
xxxx
48)
xx ex
x
1
cos1lim
0
...
!6!4!21
!21cos
642
0
2
xxx
n
xx
n
nn
1
!2
1!2
1
lim
...!3!2
1
...!6!4!2
1
lim
...!3!2
...!6!4!2lim
...!3!2!1
11
...!6!4!2
11
lim1
cos1lim
0
2
422
032
642
032
642
00
x
xxxxx xx
xxx
xx
xxx
xxxx
xxx
ex
x
57
49)
5
3
6
1
limx
xxsenx
n
...
!6!5!3!121
653
0
12
xxxx
n
xsenx
n
nn
120
1
!5
1...
!7!6!5
1
lim
...!7!6!5lim
6
1...
!6!5!3lim6
1
lim
5
25
5
765
5
3653
5
3
x
xxx
x
xxx
x
xxxxx
x
x
xxsenx
n
nnn
Exercícios
1-8)Use a série binomial para expandir a função como uma série de potência. Estabeleça o raio de convergência.
1)
x1
2/11 x
2/1k
0
1
4
4
3
3
2
2
32
0
2/1
!.2
32...4.3.11
21
...!4.2
.5.3.1
!3.2
.3.1
!2221
...!3
2/32/12/1
!2
2/12/1
2
11
2/11
nn
nn
n
n
n
xnx
xxxx
xxxxn
x
2
1
!.2
321
nn
nn
n
xn
!1.2
1211
1
1
n
xna
n
nn
n
!.2
3211
n
xna
n
nn
n
58
x
nn
nx
nn
nx
xn
n
nn
xxn
n
xn
n
xn
a
a
n
nnn
n
n
nn
n
n
nn
n
nn
nn
n
n
11
32
12
lim
132
12lim
321
!.21
!1.2.2
.121lim
!.2
321
!1.2
121
limlim1
1
1
1
A série
2
1
!.2
321
nn
nn
n
xn converge quando 1x
1 x 1x
1 x 1x
Para x = -2
01
22
1
n
n
n
n
diverge
Para x = 1
01
22
1
n
n
n
n
diverge
Então:
Intervalo de convergência: 1,1
Raio de convergência: R=1
2) 4
1
1
x 21
x
2k
59
0
432
32
0
4
!
.321
21
...!4
.7.6.5.4
!3
.6.5.4
!2
5.441
...!3
654
!2
54
!1
41
41
n
nn
n
n
n
xnnx
xxxx
xxxxn
x
2 !1.2
!1
nn
nn
n
xn
2
1
!.2
321
nn
nn
n
xn
!1.2
1211
1
1
n
xna
n
nn
n
!.2
3211
n
xna
n
nn
n
x
nn
nx
nn
nx
xn
n
nn
xxn
n
xn
n
xn
a
a
n
nnn
n
n
nn
n
n
nn
n
nn
nn
n
n
11
32
12
lim
132
12lim
321
!.21
!1.2.2
.121lim
!.2
321
!1.2
121
limlim1
1
1
1
A série
2
1
!.2
321
nn
nn
n
xn converge quando 1x
1 x 1x
1 x 1x
Para x = -2
01
22
1
n
n
n
n
diverge
Para x = 1
01
22
1
n
n
n
n
diverge
Então:
Intervalo de convergência: 1,1
60 Raio de convergência: R=1
3) 32
1
x
4) 3/21 x
3/2k
1
1
432
32
0
3/2
!1
.3/11
3
2
3
21
...!4
27/24
!3
.9/4
!2
3/1
3
21
...!3
3/43/13/2
!2
3/13/2
!1
3/21
3/21
n
nn
n
n
n
xnx
xxx
xxxxn
x
2 !1.2
!1
nn
nn
n
xn
2
1
!.2
321
nn
nn
n
xn
!1.2
1211
1
1
n
xna
n
nn
n
!.2
3211
n
xna
n
nn
n
x
nn
nx
nn
nx
xn
n
nn
xxn
n
xn
n
xn
a
a
n
nnn
n
n
nn
n
n
nn
n
nn
nn
n
n
11
32
12
lim
132
12lim
321
!.21
!1.2.2
.121lim
!.2
321
!1.2
121
limlim1
1
1
1
A série
2
1
!.2
321
nn
nn
n
xn converge quando 1x
1 x 1x
1 x 1x
Para x = -2
01
22
1
n
n
n
n
diverge
61
Para x = 1
01
22
1
n
n
n
n
diverge
Então:
Intervalo de convergência: 1,1
Raio de convergência: R=1
