Sequência e Séries Infinitas 2014-1.Ed

Faculdade de Tecnologia SENAI - CIMATEC

SEQUÊNCIAS

1. INTRODUÇÃO

A palavra sequência é usada em linguagem corrente para significar uma sucessão de coisas dispostas numa ordem definida. Neste curso, estamos interessados em sequências de números como:

2 ,4 ,6 ,8 ,10 ,12 ou como 0 ,1 ,4 ,9 ,16 ,25 ,36 , 49 ,64 ,81,…

Cada número na sequência é chamado termo. A sequência que tem um número finito de termos, tal como a primeira, é chamada de sequência finita. A segunda sequência envolve um infinito número de termos e, portanto, é uma sequência infinita.

É claro que não podemos listar todos os termos de uma sequência infinita, por isso, nós lançamos mão da convenção de escrever uns poucos primeiros termos e então colocamos os três pontos para significar “e assim por diante”.

Nesse curso nosso interesse é com sequências infinitas somente.

a1 , a2 , a3 , a4 ,…,an,…

2. SEQUÊNCIAS

Sequência infinita ou, mais simplesmente, sequência, é uma função definida para todos os números

inteiro positivos n ,pontanto, de domínio Z ¿¿.

Embora matematicamente uma sequência é definida como uma função, é comum representá-la pela notação indexada...

1 ,↓a1

2 ,↓a2

3 ,↓a3

4 ,↓a4

…,↓…

n ,↓an

…↓…

... em vez da notação padrão f (n).

• Os números a1 , a2 , a3 , a4 ,…,an, são denominados termos da sequência;

• an é o enésimo termo ou termo geral e n é o índice, mas, pode ser outra letra, por exemplo k (ak);

• A notação da sequência toda é feita por {an } ou (an ) ou ainda an=regra ou fórmula;

• Os pontos (...) significam “e assim por diante” usados para indicar que a sequência continua indefinidamente.

• Sequências diferentes podem ser distinguidas por letras diferentes: {an }, {bn }, {cn }, etc

Exemplos de sequências:

Cálculo 3 – ANO: 2014 – FTSC / Professor Samuel O. de Jesus Página 1


a¿1 ,2 ,3 ,4 ,…

b¿2 ,4 ,6 ,8 ,…

c ¿1,3 ,5 ,7 ,…

d ¿1 , 12,13,14,…

e ¿1 ,−1,1 ,−1 ,…

f ¿ 12,14,18,116

,…

g¿ 12,−23,34,− 45,…

3. TERMO GERAL DE UMA SEQUÊNCIAAlgumas vezes os termos de uma sequência são gerados por alguma regra que não é explicitada. Nestes casos, você pode precisar encontra essa regra ou padrão na sequência, embora muitas vezes pode tornar-se difícil, se não impossível, determinar a regra geral desejada através de um exame do exemplo numérico formado por alguns termos.Portanto é melhor explicitar uma regra ou fórmula que relacione cada termo da sequência ao número de sua posição, para gerar os termos. Algumas sequências são definidas recursivamente. Para tanto é preciso conhecer um ou mais dos primeiros termos. Todos os outros termos da sequência serão então definidos usando os termos anteriores.Em outras palavras é melhor ter uma regra ou fórmula (termo geral) de uma sequência para gerar seus termos do quê o contrário.Uma vez que o termo geral tenha sido especificado, podemos investigar a convergência ou divergência da sequência, como veremos mais adiante.a¿1 ,2 ,3 ,4 ,…⟹ {n } +∞

n=1ouan=n

b¿2 ,4 ,6 ,8 ,…⟹ {2n } +∞n=1

oubn=2n

c ¿1,3 ,5 ,7 ,…⟹ {2n−1 } +∞n=1

oucn=2n−1

d ¿1 , 12,13,14,…⟹{1n } +∞

n=1ou dn=

1nQuando for usada a notação entre chaves, não é essencial o índice em 1, com referência a n. Às vezes é mais conveniente começar em zero, ou algum outro número inteiro.


É importante perceber que os números numa sequência aparecem dentro de uma ordem definida e também repetições desses números são permitidas.

Às vezes uma listagem de uns poucos termos de uma sequência indica sem deixar qualquer dúvida a regra ou fórmula que determina o termo geral.


e ¿1 ,−1,1 ,−1 ,…={(−1 )n−1 } +∞n=1

ou {(−1 )n } +∞n=0Quando o valor inicial do índice de uma sequência não for relevante, é comum usar uma notação sem fazer referência a n: {an }

f ¿1 ,−1 ,1 ,−1 ,…⟹ {(−1 )n−1 }ou f n=(−1 )n−1

g¿ 12,14,18,116

,…⟹ { 12n }ou pn=1

2n

h¿ 12,−23,34,−45,…⟹ {(−1 )n−1 n

n+1 }out n= (−1 )n−1 nn+1

Quando o termo geral de uma sequência a1 , a2 , a3 , a4 ,…,an,… for conhecido, não há necessidade de escrever os termos iniciais.Exemplo:

{ n3n+1 }=14 ,

27,310

,413

,…,n

3n+1,…

EXERCÍCIOS 1. Liste os termos da sequência:

a¿ {3+(−1)n };b¿ak=6−3

k2;c¿ { 2n

3n−2 }2. Escreva os primeiros termos de cada uma das sequências definidas recursivamente.

a¿a1=3ean+1=an−2c ¿a1=13ean+1=

an

2

b¿a1=4 ean+1=n+1n

.and ¿a1=2ean+1=(an )n

3. Escreva o termo geral de cada uma das sequências:

a¿3 ,6 ,9 ,12,…;b¿10 ,102 ,103 ,104 ,…;c ¿ 12,23,34,45,…

Insistimos em lembrar que

Uma sequência é uma função cujo domínio é o conjunto dos números inteiros. Especificamente, consideremos a expressão...

{an }ouan=' regraou fórmula '


{1n }, n=1 ,2,3 ,…⟹ {1n }=1 , 12 , 13 , 14 ,15


...como sendo uma notação alternativa para a função

f (n )=an , n=1 ,2 ,3 ,…

4. GRÁFICO DE UMA SEQUÊNCIA

Uma vez que sequências são funções, faz sentido falar sobre o gráfico delas. Por exemplo, o gráfico da sequência...

{1n }ouan=1n

Éo gráficoda função f (n )= y=1n,n=1,2 ,3 ,…

5. LIMITES DE UMA SEQUÊNCIA

Uma vez que an só está definida para valores inteiros de n, só faz sentido calcular o limite de uma sequência an se esta tende ao infinito:

limn→+∞

an

OBSERVAÇÃO: muitos livros trazem +∞=∞limn→∞

an

Informalmente, o limite de uma sequência {an } pretende descrever an se comporta quando n→∞ Para sermos mais específico, diremos que uma sequência {an } tende a um limite L se os termos da sequência tornam-se, finalmente, arbitrariamente próximos de L. Geometricamente, isso significa que para qualquer número ε positivo há um ponto na sequência após o qual todos os termos estão entre as retas y=L−ε e y=L+ε . Vejamos:


y

n

y=1x, x≥1y

n


limn→+∞

n−1n

=1

∄ limn→+∞ ((−1 )n+1( n−1n ))

limn→+∞

3=3



Dizemos que uma sequência {an } converge para o limite L se dado qualquer ε>0, existir um número inteiro positivo N , tal que |an−L|<ε , qualquer que seja n≥ N e escrevemos:

limn→+∞

an=Louan→Lquandon→+∞

Dizemos que uma sequência diverge quando não convergir para algum limite finito (número real).

Intuitivamente, L∈R é o limite de uma sequência, quando os termos da mesma aproximam-se cada vez mais de L, quando n→+∞.

EXERCÍCIOS4. Em cada caso, determine se a sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre seu limite:

a¿ {n+1 };b¿ {(−1 )n+1 };c ¿ { n2n+1 };d¿ {1+(−12 )

n}e ¿{6− 3

n2 }; f ¿ {(−1 )n+1 n2n+1 }; g¿ {8−2n };h¿ {6 n2−16n2 }

EXERCÍCIOS5. Determine o limite de cada sequência dada, desde que ela seja convergente:

a¿ { 3n2+7n+18n2−5n+3 };b¿ { 2n3n+1 };c ¿ {n senπ2n }

d ¿ {(1+ 1n )n};e¿ {n3+5n7n2+1 }; f ¿ { n2

2n−1 }g¿ {−1n };h¿ {n−1n }; i¿ { 5n2 }; j¿ {4−7n6n6+3 }6. Mostre que a sequência abaixo converge e encontre seu limite:

{ ln nn }SUGESTÃO: Faça os exercícios do Livro Cálculo – Vol. 2, 8.ed. de George B. Thomas. Pag. 10 e 11

TABELA DE LIMITES QUE USAREMOS COM FREQUÊNCIA



1¿ limn→+∞

ln nn

=0

2¿ limn→+∞

n√n=1

3¿ limn→+∞

x1n=1 ,(x>0)

4 ¿ limn→+∞

xn=0 ,(|x|<1)

5¿ limn→+∞ (1+ x

n )n

=ex ,∀ x

6¿ limn→+∞

xn

n !=0 ,∀ x

Nas fórmulas 3 a 6, x permanece fixo quando n→+∞6. SEQUÊNCIAS DEFINIDAS RECURSIVAMENTE

Se uma sequência tem a fórmula para o termo geral definida a partir de termos antecedentes dizemos que são definidas recursivamente e as fórmulas que a definem são chamadas fórmulas de recursão ou (fórmula recursiva). Neste caso:

1) É dado o valor do termo inicial2) É dada a regra para calcular qualquer termo posterior a partir de termos que o precedem.

a1=2; an+1=3 (an )−1−1e x1=1; xn+1=12 (xn+

axn

)Exemplos:

Encontre os cinco primeiros termos das sequências e classifique-as em crescente ou decresc.a¿a1=1 ;an=an−1+1;b ¿a1=1 ;an=n ∙an−1;c ¿a1=1 , a2=1ean+1=an+an−1

Há muitas situações nas quais é importante saber se uma sequência converge, sendo, todavia, irrelevante para o problema o valor do limite. Nesta seção, vamos estudar várias técnicas que podem ser usadas para determinar se uma sequência converge.

TEOREMA: Uma sequência converge para um limite L se, e somente se, as subsequências dos termos de posição par e dos termos de posição ímpar convergem ambas para L.

Exemplosclássicos :a¿ 12,13,1

22,1

32,1

23,1

33…b¿1 , 1

2,1 ,13,1 ,14,…

7. SUBSEQUÊNCIAS

Se os termos de uma sequência aparecem em outra sequência na ordem dada delas, chamamos a primeira de subsequência da segunda.

Exemplos: Subsequências da sequência dos inteiros positivos



a) Subsequência dos inteiros pares: 2, 4, 6, ..., 2nb) Subsequência dos inteiros ímpares: 1, 3, 5, 7, ..., 2n - 1c) Subsequência dos inteiros primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...d) Subsequência dos quadrados perfeitos: 1, 4, 9, 16, 25, ..., n2

Importância das subsequências:

1. Se uma sequência converge para L, então todas as suas subsequências convergem para L. Se soubermos que uma sequência converge, poderá ser mais rápido encontrar ou estimar seu limite examinando uma determinada subsequência.

2. Se qualquer subsequência de uma sequência divergem ou se duas subsequências têm limites diferentes, então diverge.Por exemplo: (−1 )n diverge por que a subsequência −1 ,−1 ,−1… de termos ímpares converge para −1, enquanto a subsequência 1, 1, 1, ... de termos pares converge para 1. Seus limites são diferentes.

8. SEQUÊNCIAS MONOTÔNICAS OU MONÓTONAS

DEFINIÇÃO: Dizemos que uma sequência {an }, é:

• Crescente, se an≤an+1 ;

• Estritamente crescente, se an<an+1;

• Decrescente, se an≥an+1 ,∀n ;

• Estritamente decrescente, se an>an+1

Se uma sequência é crescente ou decrescente, ela é chamada MONÓTONA. Se é estritamente crescente ou estritamente decrescente é ESTRITAMENTE MONÓTONA.

Exemplos:

12,23,34,…,

nn+1

,…EstritamenteCrescente

1 ,12,13,…,

1n,…Estritamente Decrescente

1, 1, 2, 2, 3, 3,... Crescente, mas, não estritamente

1 ,1 ,12,12,13,13,…Decrescentemas ,nãoestritamente

1 ,−12,13,− 14,… , (−1 )n+1 1

n,…Nem crescente enemdecrescente

9. TESTE DE MONOTONICIDADE

Para saber se uma sequência é monótona ou estritamente monótona, devemos mostrar que as condições abaixo valem para todos pares de termos sucessivos da sequência.

Vejamos duas maneiras de fazer isso:

Cálculo 3 – ANO: 2014 – FTSC / Professor Samuel O. de Jesus Página 8Razão de termos sucessivos:

• an+1/an>1 → Estritamente crescente

• an+1/an<1 → Estritamente decrescente

• an+1/an≥1 → Crescente

• → Decrescente


Diferença entre termos sucessivos:

• an+1−an>0 → Estritamente crescente

• an+1−an<0 → Estritamente decrescente

• an+1−an≥0 → Crescente

• an+1−an≤0 → Decrescente

OBSERVAÇÃO: Dado o termo geral da sequência an, para acha an+1, basta substituir em an, n por n+1.

Exemplos:

Faça ambos os testes de monotonicidade nas sequências:

a¿ 12,23,34,…,

nn+1

b¿ 13,25,37,… ,

n2n+1

c ¿1, 12,13,…,

1n

9.1. Sequências com propriedades a partir de um certo termo

DEFINIÇÃO: Se no começo de uma sequência, puder ser descartada uma quantidade finita de termos e com isso for produzida uma nova sequência com uma certa propriedade, dizemos que a sequência original tem essa propriedade a partir de um certo termo.

Exemplo:

1. Embora não podemos afirmar que a sequência (9 ,−8 ,−17,12,1,2,3,4 ,…) seja estritamente crescente, podemos afirmar que ela é estritamente crescente a partir do 5º termo.

9.2. Convergência de sequências monótonas

A convergência ou a divergência de uma sequência não depende do comportamento de seus termos iniciais, mas sim, de como os termos se comportam a partir de um certo termo.

3 ,−9 ,−13 ,17,1 , 12,13,14…,a partir deumcerto termo comporta−se como sequência

1 ,12,13,14…,1n,…elogo temumlimite igual a zero .

Uma sequência monótona ou converge ou torna-se infinita, não podendo ocorrer divergência por oscilação.

TEOREMA: Se uma sequência {an } for crescente a partir de um certo termo, então há duas possibilidades:

a) Existe uma constante M, chamada de cota superior (ou limitante superior) para a sequência, tal que an≤M , ∀n a partir de um certo termo e, nesse caso, a sequência converge para um limite L satisfazendo L≤M .

b) Não existe cota inferior e, nesse caso, limn→+∞

an=+∞


Razão de termos sucessivos:

• an+1/an>1 → Estritamente crescente

• an+1/an<1 → Estritamente decrescente

• an+1/an≥1 → Crescente

• → Decrescente


TEOREMA: Se uma sequência {an } for decrescente a partir de um certo termo, então há duas possibilidades:

a) Existe uma constante m, chamada de cota inferior (ou limitante inferior) para a sequência, tal que an≥m , ∀n a partir de um certo termo e, nesse caso, a sequência converge para um limite L satisfazendo L≥m.

b) Não existe cota inferior e, nesse caso, limn→+∞

an=−∞

Exemplos :Mostrar que asequência {10n

n! }n=1

+∞

converge eencontre o limite .

10. TEOREMA DA FUNÇÃO CONTÍNUA PARA SEQUÊNCIAS

Seja {an } uma sequência de números reais.Se an→L e se f (x) for uma função contínua em L e definida ∀an, então f (an)→f (L)

Essa regra associa valores de uma função (geralmente derivável) a valores de uma dada sequência e é utilizada para encontra o limite de algumas sequências.

TEOREMA: suponha que f (x) seja uma função definida para todo x≥n0 e que {an } seja uma sequência de números reais tal que an=f (n) para n≥n0. Então:

limx→+∞

f ( x )=L⇒ limx→+∞

an=L .

Quando usamos a Regra de L’Hôspital para encontrar o limite de uma sequência, frequentemente tratamos n como uma variável real contínua e diretamente derivável em relação a n. Isso evita que reescrevamos a fórmula para an.

Aplicando a Regra de L’Hôpital encontre:

11. SEQUÊNCIA LIMITADA

DEFINIÇÃO 1:Diz – se que uma sequência é limitada inferiormente se existe um número m,

denominado cota inferior (ou limitante inferior) de uma sequência {an }, se m é menor ou igual a qualquer

termo da sequência (m≤an ), ∀n∈Z+¿¿ ¿

DEFINIÇÃO 2: Diz – se que uma sequência é limitada superiormente se existe um número M,

denominado cota superior (ou limitante superior) de uma sequência {an }, se M é maior ou igual a

qualquer termo da sequência (an≤M ), ∀n∈Z+¿¿ ¿



DEFINIÇÃO 3: Diz – se que uma sequência é limitada se é tanto limitada inferior quanto superiormente.

OBSERVAÇÃO: Se uma sequência converge, ela é limitada, entretanto, uma sequência limitada não converge necessariamente.

TEOREMA: Toda sequência Monotônica limitada inferiormente ou superiormente é convergente.

Exemplos:

Determinar se cada sequências dadas é limitada inferiormente ou superiormente, se converge ou diverge, se é crescente ou decrescente ou não monotônica:

a¿1 ,2 ,3 ,…,nb¿ { nn+1 }c¿ {(−1 )nn}d¿ {(−1 )n 2n

3n+1 }

e ¿{2n+13n+2 }f ¿ { 3n1+3n }g¿ { (−1 )nnn+1 }e¿ {nn

n ! } SÉRIES INFINITAS

1. INTRODUÇÃOA soma de um número infinito de termos é finita!

Uma sequência {an } é uma lista infinita de números arranjados em ordem: a1 , a2 , a3 , a4 ,…,an. Uma série

infinita é uma soma infinita ordenada de números. Vejamos

DEFINIÇÃO: Dada uma sequência de números {an }, uma expressão da forma a1+a2+a3+a4+…+an é

chamada série infinita ou simplesmente série, onde os números a1 , a2 , a3 ,… são chamados termos e an é chamado enésimo termo ou termo geral da série.

Essa série pode ser escrita compactamente usando a notação de somatório (sigma):

∑n=1

+∞

anou∑k=1

∞

akou∑ an . Assim,∑n=1

+∞

an=a1+a2+a3+a4+…+an

Vamos escrever alguns termos representativosda série∑n=1

+∞12n

Vamos escrever a série1−14+ 19− 116

+…usando anotaçãode somatório

É possível somar diretamente um número infinito de números, utilizando limites, com auxílio de somas parciais. Vejamos:



Sabemos, por exemplo, que a dízima periódica 0,3333... pode ser vista como uma série infinita 0,3 + 0,03 + 0,003+ 0,0003 + ...

ou de forma equivalente310

+ 3

102+ 3

103+…

Para obter a soma dessa série é razoável acharmos as somas parciais:

s1=310

=0,3

s2=310

+ 3

102=0,33

s3=310

+ 3

102+ 3

103=0,333

s4=310

+ 3

102+ 3

103+ 3

104=0,3333

.

.

.

Á medida que avançamos na sequência, nos aproximamos mais de 13

o que sugere que a soma desejada

seja essa.Para confirmar isso, devemos calcular o limite do termo geral da sequência de aproximações (somas parciais).

Façamos então:

Sn=310

+ 3

102+ 3

103+…+ 3

10n

Mas, calcular esse limite não é fácil. Vamos, então multiplicar ambos os lados da equação A por 110

110

Sn=3

102+ 3

103+…+ 3

10n+ 3

10n+1

Subtraindo B de A:

Sn−110

Sn=310

−3

10n+1→910

Sn=310 (1− 1

10n )→Sn=13 (1− 1

10n )limn→+∞

Sn=limn→+∞

1

3 (1− 110n )=13

2. CONVERGÊNCIA OU DIVERGÊNCIA DE UMA SÉRIE INFINITA

Seja {Sn } a sequência das somas parciais da sériea1+a2+a3+a4+…+an



Se a sequência {Sn } convergir para um limite S ( limn→+∞

Sn=S¿, então dizemos que a série converge para S e

S é a soma da série. Isso é denotado da seguinte maneira:

Sn=∑n=1

+∞

an=a1+a2+a3+a4+…+an

Nocasoemque limn→+∞

Sn=S ,nãoexista , dizemosque asérie DIVERGE .

Assim, para verificar se uma série infinita converge ou diverge, escrevemos uma expressão para seu enésimo termo da soma e calculamos o seu limite quando n tende a infinito.

Exemplos:

a¿∑n=1

+∞

(−1 )n+1=1−1+1−1+…c ¿∑n=1

+∞12n−1

=1+12+ 14+ 18+ 116

+…

b¿∑n=1

+∞310n

= 310

+ 3102

+ 3103

+…

3. REGRA DA SOMA E DA MULTIPLICAÇÃO POR UMA CONSTANTE PARA SÉRIES INFINITAS CONVERGENTES.

Seas séries∑n=1

+∞

an e∑n=1

+∞

bnconvergem ,as séries∑n=1

+∞

(an±bn )e∑n=1

+∞

c ∙an

(onde c é uma constante) também convergem e

∑n=1

+∞

(an±bn )=∑n=1

+∞

an±∑n=1

+∞

bn

∑n=1

+∞

c ∙an=c ∙∑n=1

+∞

an

Exemplo:

Calcular∑n=1

+∞

[ 910n−52n−1 ]

4. SÉRIE GEOMÉTRICA

Observandoa série310

+ 3100

+ 31000

+…+ 3

10n+…,notamosque temrazãor= 1

10

DEFINIÇÃO: Séries geométricas são séries da forma

a+ar+ar2+ar 3+…+arn−1+ar n=∑n=1

∞

ar n

Onde cada termo após o primeiro é obtido pela multiplicação por uma constante r, denominada razão da série.



Onde a e r são números reais fixos e a≠0. A razão r pode ser positiva ou negativa (neste caso produz alternância de sinais algébricos).

Exemplos:

a¿1+2+4+8+…+2k d ¿1−1+1−1+…+ (−1 )n−1+....

b¿1+ 12+ 14+ 18+…+( 12 )

n−1

+…e¿1++x+x2+ x3+…+xk

c ¿1−13+ 19−…+(−13 )

n−1

+…

4.1 CONVERGÊNCIA OU DIVERGÊNCIA DE SÉRIES GEOMÉTRICAS

A sériegeométrica∑n=0

∞

arn=a+ar+ar 2+…+arn+… (a≠0)

(com termoinicial a≠0e razãor ) , CONVERGE se |r|<1, caso em que a

somaé S=∑n=1

∞

arn= a1−r

. Se|r|≥1asérie geometrica DIVERGE .

−1<r<1 É O ‘INTERVALO DE CONVERGÊNCIA’ DE SÉRIES GEOMÉTRICAS.

A sériegeométrica também pode ser escritacomo∑n=1

∞

arn−1 fazendo reindexação .

Demonstração:

(1º caso) |r|=1 Se r = 1, a série é a+a+a+a+… e

Sn= (n+1 )ae limn→+∞

Sn= limn→+∞

(n+1 )a=±∞

Se r = -1, a série é a−a+a−a+… eSn=aouSn=0

O que prova a DIVERGÊNCIA

(2º caso) |r|≠1 A enésima soma parcial da série é:

Sn=a+ar+ar2+…+ar n

Multiplicando ambos os lados por r

r Sn=ar+ar+ar2+…+arn+arn+1

Sibtraindo B de A (A – B)

Sn−r Sn=a−arn+1

(1−r)Sn=a(1−rn+1)⇒ Sn=a1−r

(1−r n+1)



Assimse|r|<1 limn→+∞

r n+1=0

Eneste caso {Sn }converge paraa somaS= limn→+∞

Sn=a1−r

Se |r|>1, ou seja r>1 ou r←1

Ser>1 , limn→+∞

rn+1=+∞

Ser←1 ,r n+1, oscila entre valores positivos e negativos. No caso {Sn } diverge.

Assim, podemos definir o intervalo −1<r<1 como sendo o intervalo de convergência de’ SÉRIES GEOMÉTRICAS.

Veremos adiante um caso especial quando r = 0.

Exemplos:

Estudar a convergência das séries e calcular a soma, se possível.

a¿∑n=1

∞

( 13n− 16n )b¿8+4+2+…

5. REINDEXAÇÃOPodemos reindexar qualquer série sem alterar sua convergência.Para aumentar (ou diminuir) o valor do índice (n) em k unidades, substituímos n na fórmula por n – k (ou n + k).

∑n=0

∞

an= ∑n=0+h

∞

an−h=a1+a2+a2+… ∑n=0−h

∞

an= ∑n=0−h

∞

an+h=a1+a2+a2+…

Exemplo: ∑n=0

∞

2n=∑n=3

∞

2n−3ouaté mesmo ∑n=−3

∞

2n+3

EXERCÍCIOS1. Verificar se converge ou diverge e calcular sua soma.

Dica: colocar na forma ∑n=0

∞

arnou∑n=1

∞

arn−1

a¿∑n=0

∞54k f ¿∑

n=1

∞

( 32 )n

b¿∑n=1

∞

3( 12 )n−1

g¿ π2−π 2

4+ π 3

8+…



c ¿1−12+ 14−18+…+(−12 )

n−1

h¿∑n=0

∞

32 k51−k

d ¿∑n=0

∞

( 35 )n

=∑n=1

∞

(35 )n−1

i ¿2+2 (1,5 )+2 (1,5)2+…

e ¿∑k=1

∞23k−1 j¿−1+ 2

3−49+ 827

−1681

+…

2. Verificar se converge ou diverge e calcular sua soma.

Dica :colocar na forma∑n=0

∞

arnou∑n=1

∞

arn−1

a¿ 12−12 ( 97 )+ 12 ( 97 )

2

−12 ( 97 )

3

+…d ¿2−43+ 89−…

b¿∑n=1

∞ (−2 )n

3n+1 e ¿1+1+1+1+…

c ¿1+ 25− 425

+ 8125

−…f ¿1−1+1−1+1−…

APLICAÇÃO1. A probabilidade de fazer o ponto “8” no jogo de dados, ou seja, a probabilidade de conseguir um 8

duas jogadas antes de conseguir um 7, é dada por

536

+( 536 )( 2536 )+( 536 )( 2536 )2

+( 536 )( 2536 )3

+…Encontreessa probabilidade .

2. Uma bomba de ar comum está evacuando um recipiente de volume V. O cilindro da bomba, com o pistão em cima, tem volume v e a massa total de ar no recipiente no princípio é M. Na n-ésima bombeada, a massa de ar removida do recipiente é

MvV +v ( V

V +v )n−1

Supondo que a bomba opere “para sempre”, qual é a massa total de ar removida do recipiente?

3. Encontre a geratriz de cada dízima periódica abaixo:d) 5,232323... b) 3,7222222... c) 0,777... d) 0,151515... e) 2,3070707... f) 0,666...

4. Suponha que, em média, 90% do que as pessoas recebem é consumido e 10% é poupado. Qual é o consumo gerado se o governo decide abrir mão de 40 bilhões de reais em impostos?

6. SÉRIES INFINITAS – TESTES DE CONVERGÊNCIAS



Vimos que determinar se uma série geométrica converge ou diverge é simples.O que fazer quando a série que está sendo investigada não é uma série geométrica?Veremos vários métodos:

(1º TESTE): TESTE DO ENÉSIMO TERMO (TESTE DE DIVERGÊNCIA)

Condição necessária de convergência ou divergência

−Seuma série infinita∑n=1

∞

an converge , então limn→∞

an=0

(O termo geral de uma série convergente tem limite zero, isso não implica no inverso).

−Se limn→∞

annãoexiste ouexiste eé diferentede zero , entãoa série∑n=1

∞

andiverge.

Exemplos :∑n=1

∞

√n;∑n=1

∞n

n+1;∑n=1

∞1n;∑n=1

∞

n2 ;∑n=1

∞ −n2n+5

;∑n=1

∞

(−1)n+1

Contraprova: (an→0¿ mas, diverge.

1+ 12+ 12+ 14+ 14+ 14+ 14+…+ 1

2n+ 12n

+…+ 12n

+…=1+1+1+…+…

PROPRIEDADES DE SÉRIES CONVERGENTES:Se ∑ an=A e ∑ bn=B forem séries convergentes, então:

1¿∑ (an±bn )=∑ an±∑ bn=A ±B

2¿∑ an=k∑ an=kA (∀ k )Interpretação: 1. Quando multiplicamos uma série divergente por uma constante diferente de zero, obtemos uma série

também divergente.

2. Se ∑ an converge e ∑ bn diverge, então ∑ (an±bn ) diverge.

Exemplos :a¿∑n=1

∞3n−1−16n−1

b¿∑n=1

∞42n−1 c¿∑

n=1

∞

ln( kk+1

− 13k )

SÉRIES DE TERMOS NÃO NEGATIVOSPorque essa restrição? Por que as somas parciais dessas séries formam sequências crescentes, e sequências crescentes limitadas superiormente sempre convergem como vimos na unidade anterior:

TEOREMA: Toda sequência monotônica limita é convergente

Corolário do Teorema: Uma série ∑n=1

∞

an de termos não negativos converge se suas somas

parciais são limitadas superiormente.Este resultado é a base dos testes, a seguir, para estabelecer a convergência.

(2º TESTE): O TESTE DA INTEGRAL



TEOREMA: Se f é uma função positiva, contínua e decrescente para x≥1 e an=f (n) então

∑n=1

∞

an e∫1

∞

f ( x )dx Ambas convergemou ambas divergem.

Interpretação:

A série ∑n=1

∞

an tem termos positivos e decrescentes: ∑n=1

∞

an=a1+a2+⋯+an+⋯, na maioria dos casos, o n-

ésimo termo an é uma função de n dada por uma fórmula simples, an=f (n). Supondo que a função y=f (x ), obtida substituindo a variável contínua x no lugar da variável discreta n, seja uma função de x decrescente para x≥1.

Exemplos :a¿∑k=1

∞1

k (lnk )1/4b¿∑

k=1

∞1

k 2+1

Entre as séries infinitas mais simples estão aquelas cujos termos formam uma sequência decrescente de números positivos. Vamos estuda-las por meio de integrais impróprias da forma

∫a

∞

f ( x )dx= limb→∞

∫a

b

f ( x )dx

(3º TESTE): TESTE DA RAZÃO

Seja∑n=1

∞

anuma série , e suponha que limn→∞ |an+1

an|=L . Então :

a) Se L < 1, a série converge.b) Se L > 1, a série diverge.c) Se L = 1, o teste não pode ser aplicado, ou seja, quando isso acontece, não é possível saber se série

converge ou diverge.

- O teste da razão mede a taxa de crescimento (ou decrescimento) de uma série examinando-se a razão an+1

an. Para uma série geométrica ∑ arn, essa taxa é uma constante ( arn+1

arn=r) e a série converge se e

somente se sua razão for menor do que 1 em valor absoluto.- O Teste da Razão é uma regra poderosa que estende esse resultado e é especialmente útil quando

aplicado a uma série ∑n=1

∞

an na qual os termos an envolvem potências ou fatoriais. Vejamos

Exemplos: Verifique se as séries a seguir são convergentes ou divergentes.

b¿∑n=0

∞1n !

∑n=1

∞5n

n2c¿∑

n=1

∞ (−2 )n

n!d¿∑

n=1

∞n

n+1e¿∑

n=0

∞10n

n!f ¿∑

n=0

∞1

(ln n )n

Estudante: Observe o uso da equação (n+1 )!=(n+1 )n! pois será usado com frequência.



(4º TESTE): TESTE DAS SÉRIES p (ou p série)

A sérieda forma∑n=1

∞1n p=

11p+

12p +

13 p+…é asérie p ,onde p é umaconstante positiva .

Para p=1 , a série∑n=1

∞1n=1+ 1

2+13+…é asérie harmônica .

TEOREMA : A série p∑n=1

∞1np=

11p +

12p+

13p+… {1¿Converge se p>1¿2¿Diverge , se0< p≤1¿

Em particular a sérieharmônica∑n=1

∞1ndiverge ,queé umaaplicação importantedo teste da integral .

Exemplos :a¿∑k=1

∞1k3

b¿∑n=1

∞15√k

(5º TESTE): TESTE DA RAIZ

Se∑n=1

∞

ané uma série de termos nãonegativos (an≥0 )tais que , limn→∞

n√an=L

a) Se L < 1, a série converge.b) Se L > 1, a série diverge.c) Se L = 1, o teste não pode ser aplicado, ou seja, quando isso acontece, não é possível saber se série

converge ou diverge.

Exemplos :a¿∑n=0

∞1

( lnn )nb¿∑

n=0

∞

( n√n−1 )n∑n=1

∞e5n

nn c ¿∑n=1

∞

e2n( nn+1 )

2

d¿∑n=1

∞n10

(ln 3 )n

(6º TESTE): TESTE DA COMPARAÇÃO DIRETA

Esses teste permitem compararmos uma série que tenha termos complicados com uma série mais simples, cuja convergência ou divergência você conheça.

Seja 0<an≤bn para todo n

1.Se∑n=1

∞

bn converge , então∑n=1

∞

an converge .

2.Se∑n=1

∞

andiverge , então∑n=1

∞

bndiverge.



Interpretação: 1. Se a série “maior” convergir, a série “menor” também deve convergir.2. Se a série “menor” divergir, a série “maior” também deve divergir(Se a comparação termo a termo mostra que uma série é menor do que uma série divergente, o Teste da Comparação Direta não lhe diz nada)

Exemplos :a¿∑k=1

∞1

7k2+1comparar com

1k2

b¿∑n=1

∞1

senk+5kcomparar com

15k−1

(7º TESTE): TESTE DA COMPARAÇÃO NO LIMITE

Suponhaquean>0 ,bn>0e limn→∞ ( an

bn)=L ,onde Lé finito e positivo .

Entãoas duas séries∑ an e∑n=1

∞

anambas divergemou ambas convergem.

Exemplos :a¿∑k=1

∞1

4√k3+1compararcom

14√k3

b¿∑n=1

∞7 k+3

(5k+1 )+3kcompararcom

13k

TESTES PARA SÉRIES QUE CONTÊM TANTO TERMOS POSITIVOS QUANTO NEGATIVOS

(8º TESTE) TESTE DA SÉRIE ALTERNADA

Sejaan>0. As sériesalternadas∑n=1

∞

(−1 )nan e∑n=1

∞

(−1 )n+1anConverge sempreque as

duas condições forem satisfeitas.1¿ lim

n→∞an=02¿an+1≤an para todo n

Séries alternadas ocorrem de duas formas: ou os termos ímpares são negativos ou os termos pares são negativos.

Exemplos :a¿∑n=1

∞

(−1 )n+1 1nb¿∑

n=1

∞n

(−2 )n−1c¿∑

n=1

∞ (−1 )n+1 (n+1 )n

7. CONVERGÊNCIA ABSOLUTASea série∑|an|converge , então∑ an tambémconvergem .

7.1. DEFINIÇÃO DE CONVERGÊNCIA ABSOLUTA CONDICIONAL1.∑ an é absolutamenteconvergente se∑|an|converge2.∑ ané condicionalmente convergente se∑ an convergemas ,∑|an|diverge

Livro: Cálculo – Vol.2 – 8ª ed. Larson, Hostetler e Edwards. São Paulo. McGraw-Hill, 2006

ESTRATÉGIA PARA TESTAR SÉRIES

Procedimentos:



1) O enésimo termo tende a zero? Se não, a série diverge.2) A série é uma das de tipo especial, geométrica, p série, telescópica ou alternada?3) O Teste da Integral, o Teste da Razão ou o Teste da Raiz pode ser aplicado?4) A série pode ser comparada de forma favorável com uma de tipo especial?

Aplicar as estratégias para testa as séries

a¿∑n=1

∞n+13n+1

b¿∑n=1

∞

( π6 )n

; c¿∑n=1

∞

ne−n2 ;d ¿∑n=1

∞1

3n+1;e¿∑

n=1

∞

(−1 )n 34n+1

; f ¿∑n=1

∞n!10n ; g¿∑

n=1

∞

( n+12n+1 )

n

COMPLEMENTO SOBRE O TESTE DA INTEGRAL

Recordemos o TESTE DA INTEGRALSe f é uma função positiva, contínua e decrescente para x≥1 e an=f (n) então

∑n=1

∞

an e∫1

∞

f ( x )dx Ambas convergemou ambas divergem.

Isto é: calculamos a integral do enésimo termo da série an trocando a variável discreta n pela variável contínua x, depois calculamos o limite dessa integral, pois só depois disso podemos classificar a série em convergente ou divergente: Se esse limite existe (como número finito) dizemos a integral converge, caso contrário a integral diverge. Lembra?!

Portanto ,dadaasérie∑n=a

∞

an fazemos∫a

∞

f ( x )dx=limb→∞

∫a

b

f (x )dx

Os limites da integral da esquerda representam o intervalo x≥a, ou seja, os limites da série ∑n=a

∞

an [na

verdade, o valor do limite inferior n=a, não é importante no estudo da conv./div; mas é muito importante que ele faça parte do domínio da função f(x)] . Note que, na integral da esquerda ∞ deu lugar

a b, falsamente, pois, observe que o limite tem b→∞. Lembre-se que a integral ∫a

b

f ( x )dx=F (b )−F (a)

COMO ANALISAR SE A FUNÇÃO É POSITIVA, CONTÍNUA E DESCRESCENTE.POSITIVA: Basta analisar se todos os termos da função são positivosCONTINUIDADE: Por definição:1. Uma função polinomial é contínua para todos os números reais;2. Uma função racional é contínua para todos os números de seu domínio.Portanto, basta estudar o domínio da função e verificar se x≥a está contida nesse domínio.DECRESCENTE: Se f ' ( x )<0 a função é decrescente.

Exemplos :∑n=1

∞2

3n+1. Seja f ( x )= 2

3 x+1

Domínio da função: 3 x+1≠0→x≠−13



Apenas trocamos a variável discreta n (ou k) pela variável contínua x.

Positiva: Note que a função apresenta valores positivos para x>−13

. Logo a função é positiva no

intervalo x≥1 que vem da série dada e está contido em x>−13

Continuidade: A função f(x) está definida para todo valor real exceto -1/3. Assim note que o intervalo x≥1 está contido no domínio da função. Logo a função é contínua no intervalo x≥1.Decrescente: Calculado a primeira derivada da f(x), temos:

f ( x )= 23 x+1

→f ' (x )= −6(3 x+1 )2

<0

Logo a função é positiva, contínua e decrescente para x≥1.Então podemos aplicar o teste da integral à série dada. Assim faça:

∫1

∞2

3 x+1dx=lim

b→∞∫1

b2

3x+1dx

∑k=1

∞

k e−k2. Sejaf ( x )=x e−x2= x

ex2

Domínio da função f(x): RApenas trocamos a variável discreta k pela variável contínua x.Positiva: Note que a função apresenta valores positivos para qualquer valor de x, inclusive x≥1. Logo a função é positiva.Continuidade: Como o domínio da função e R, o intervalo x≥1 está contido nesse domínio. Logo a função é contínua no intervalo x≥1.Decrescente: Calculado a primeira derivada da f(x), aplicando a regra do produto e da cadeia:

f ( x )=x e− x2⇒ f ' ( x )=1.e−x2+x e−x2 (−2 x )=e− x2−2x2 e−x2=e−x2 (1−2x2 )<0Logo a função é positiva, contínua e decrescente para x≥1.Então podemos aplicar o teste da integral à série dada. Assim faça:

∫1

∞

x e−x2dx=limb→∞

∫1

b

x e−x2dx(que podeser calculada ' por partes ')

∑k=1

∞1

3√5k−1. Seja f ( x )= 1

3√5 x−1

Domínio da função f(x): 5 x−1≠0→x≠15

Apenas trocamos a variável discreta k pela variável contínua x.

Positiva: Note que a função apresenta valores positivos para x≥15

. Logo a função é positiva no intervalo

x≥1 que vem da série dada e está contido em x≥15

.

Continuidade: A função f(x) está definida para todo valor real exceto 15

. Assim note que o intervalo x≥1

está contido no domínio da função. Logo a função é contínua no intervalo x≥1.



Decrescente: Calculado a primeira derivada da f(x), temos:

f ( x )= 13√5 x−1

=(5x−1 )−13 →f ' ( x )=−1

3(5 x−1 )

−23 (5 )=−5

3(5 x−1 )

−23 <0

Logo a função é positiva, contínua e decrescente para x≥1.Então podemos aplicar o teste da integral à série dada. Assim faça:

∫1

∞1

3√5x−1dx=lim

b→∞∫1

b1

3√5 x−1dx

RECORDANDO PARA SABER MAISDefinição de continuidadeSuponha que c seja um número no intervalo aberto ¿a ;b¿ e que f seja uma função cujo domínio contém o intervalo ¿a ;b¿. A função f é contínua no ponto c se as seguintes condições forem verdadeiras.

1. f (c) é definida 2. limx→c

f (x ) existe. 3. limx→c

f (x )=f (c)

Se f for contínua em todos os pontos no intervalo ¿a ;b¿, então ela será contínua no intervalo aberto ¿a ;b¿.

Continuidade das funções racionais e polinomiais1. Uma função polinomial é contínua para todos os números reais;2. Uma função racional é contínua para todos os números de seu domínio.

3. Definição de continuidadeSuponha que f seja definida em um intervalo fechado [a;b ]. Se f é contínua no intervalo aberto ¿a ;b¿ e

limx→a+¿ f (x )=f (x)e lim

x→b−¿f (x ) =f ( b)¿¿¿

¿ então f é contínua no intervalo fechado [a;b ]. Além disso, f é contínua à direita em a

e contínua à esquerda em b.

BIBLIOGRAFIAS CONSULTADAS



HOFFMANN, Laurence D; BRADLEY, Gerald L. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações: tópicos avançados. 10. ed. – Rio de Janeiro: LTC, 2010. Pág. 63 a 103.

HOWARD, Anton; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen. Cálculo. Vol. 2. 8 ed. – Porto Alegre: Bookman, 2007.

LARSON, Ron; HOSTETLER, Robert P.; EDWARDS, Bruce H. Cálculo. Vol. 2, 1. ed. – São Paulo: McGraw – Hill, 2006.

LEITHOLD, L.; PATARRA, C. C.; FERREIRA, W. C.; PREGNOLATTO, S. O Cálculo com Geometria Analítica. Vol. 2. 3. Ed. São Paulo: Harbra, 1994.

MUNEM & FOULIS. Cálculo. Vol.2 – pág. 621 a 631

SIMMONS, George F. Cálculo com geometria analítica. Vol. 2. São Paulo: Pearson Makron Books, 1988. Pág. 6 – 66.

STEWART, James. Cálculo. Vol. 1. 3 ed. – São Paulo: Thomson Pioneira, 2002.

THOMAS, George B. Cálculo. Vol.2 – pág. 26 a 35


Documents

Sequência e Séries Infinitas 2014-1.Ed