1

Cálculo Diferencial e Integral II

Profa: Marcia Maria de Castro Cruzmarcia@ccet.ufrn.br

Aula 1

Sequências e Séries infinitas

2

Introdução Seqüência é todo conjunto onde os

elementos são dispostos numa certa ordem.

Exemplos: Conjunto dos dias da semana: {domingo,

segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado}

Conjunto dos meses do ano: {jan, fev, mar, ..., dez}

Lista de presença de sua turma: {Airton, Aldair, Aldízio, Allan, ... , Sérgio, Tiago}

3

Sequência Numérica Os primeiros exemplos de seqüências numéricas que

tomamos conhecimento foram as progressões aritméticas (P.A.) e geométricas (P.G.).

Definição Uma seqüência é uma função cujo domínio é o conjunto dos

números inteiros positivos. O contradomínio de uma seqüência é o conjunto dos números reais, ou seja, a cada número inteiro positivo "n" corresponde um número real f(n).

  

a1 = f(1) ; a2 = f(2) ; a3 = f(3) ; ... ; an = f(n)

 Notações: {an} = {a1, a2, a3, ..., an, ...}, onde an é o termo geral da seqüência.

)(

: *

nfn

RNf

4

Exemplos 1)

2)

3)

4)

,...}1

...,4

1,

3

1,

2

1,1{}

1{

nn

,...}1

...,4

3,

3

2,

2

1{}

1{

n

n

n

n

,...}2

1...,

9

1,

4

1,

2

1,1{}

2

1{

nn

,...},...,9,4,1{}{ 22 nn

5

Convergência de uma sequência numérica

Uma seqüência numérica pode ou não convergir para um valor

finito.Se a seqüência {an} converge para um valor L, então

 

Se o valor de L não existir, então dizemos que a seqüência diverge.Exs. 1) A sequência converge pois

2) Já a sequência diverge pois = 3) E a sequência converge ou diverge?

Lnan

lim

01

lim

n

n

}1

{n

}2{ n nn

2lim

}{ne

n

6

Exercícios1) Indique os 5 primeiros termos das seguintes sequências:

a) ; b) ; c) ; d)

2) Qual é o termo geral das sequências

a) ; b) ; c)

3) Verifique quais sequências abaixo convergem e quais divergem

a) ; b) c) ; d) ; e )

n

nan

1

na nn

1)1( 1

!n

nan

na

n

n

2

,...16

4,

9

3,

4

2,1 ,...25,16,9,4,1 ,...

32

1,

16

4,

8

1,

2

1,1

n

nan

1 ;

1

nan

nn e

na

n

nan

ln

na

n

n

2

Desafio

Olhe e diga: Qual será o próximo termo da seguinte sequência

{Ln} = {1 ,11, 21, 1211, 111221, 312211, 13112221, 1113213211,…}

Séries InfinitasSeja uma sequência infinita, então

Sn = é uma série infinita

Soma de séries infinitas foi um processo que intrigou muitos matemáticos da antiguidade. Às vezes uma soma infinita de termos podia resultar em um resultado numérico.

  Exemplos:

1.

2.

8

1

321 ...n

naaaa

,...,...,, 21 naaa

22

1...

16

1

8

1

4

1

2

11

1

nn

1

1....

4

1

3

1

2

11

n n

Em outros casos não era possível se definir o resultado. Por exemplo:1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + ...= ? O resultado é 0? Ou é 1?, Ou nenhum dos dois?  

Modelos matemáticos envolvendo séries infinitas

Arquimedes (287-212 a.C.) foi o primeiro estudar este assunto, ao tentar achar a área abaixo de uma parábola com o vértice para cima. Ele percebeu que, a partir de um certo triângulo inscrito, a soma das áreas dos outros dois seguinte era sempre 1/4 da área do anterior. Assim, a área procurada seria A = S0 + S0/4 + S0/16 + S0/64 + ...,

ou seja A = S0 (1 + 1/4 + 1/16 + 1/64 + ...) ,

Por volta de 1350, Richard Swineshead considerou um movimento durante um intervalo de tempo unitário, começando com velocidade unitária e de forma que quando faltasse a metade do tempo restante, sua velocidade aumentava em 1 unidade. Isto gera a seqüência de velocidades {vn} = {n} e de tempos {tn} = {1/2n}. A distância percorrida é dada por = d = d1 + d2 + ... onde

dn = tn .vn e portanto temos que {dn} = {n/2n}.

Laplace usou séries infinitas para provar a estabilidade do sistema solar.

9

Somas das Séries Infinitas

Exemplo 0,6+0,06+0,006+0,0006 +........

Como podemos somar algebricamente apenas um número finito de parcelas, torna-se necessário definirmos o que significa esta soma infinita.

Vamos olhar para as suas somas parciais: S1= 0,6

S2= 0,6+0,06 = 0,66

S3= 0,6+0,06+0,006=0,666

Quando n   Sn=

Dizemos que Sn é a soma dessa série infinita.

 

 10

3

2

Outro exemplo

Dada a série achar os 4 primeiros termos

11

1 )1(

1

n nn

20

1

12

1

6

1

2

1

)1(

1

1

n nn

20

1

12

1

6

1

2

112

1

6

1

2

16

1

2

12

1

4

3

2

1

S

S

S

S

Somas parciaisIdéia: Para determinar se uma série geral tem uma soma ou

não, usamossomas parciais:

e, em geral,

Obs. As somas parciais formam uma nova sequencia {Sn},

que pode ou não ter um limite. Assim, se existir,

Então dizemos que

n

iin aaaaa

1321 ...

SnSn

lim

San

n

0

3213

212

11

aaaS

aaS

aS

Convergência e Divergência de uma série

infinita Se a sequência {Sn} for convergente e existir

então

a série infinita é convergente e escrevemos:

Ou

O número S é a soma da série. Caso contrário, a série é dita divergente.Atenção:

SnSn

lim

na

Saaaa n ......321

San

n

1

Saan

ii

nn

n

11

lim

ExemploPorque a série converge para 2?

Simples: Observe que as somas parciais da série:

22

1...

16

1

8

1

4

1

2

11

1

nn

)1

(1

8

71)

8

1

4

3(1

8

1

4

1

2

11

4

31)

4

1

2

1(1

4

1

2

11

2

11

2

11

1

4

3

2

1

k

kS

S

S

S

S

k

Aplicando limite quando k tende para infinito, obtemos

2)1

(1limlim

k

kk k

k

S

Series GeométricasSão exemplos de seqüências geométricas:a) 2, 4, 8, 16, 32, ...b) 1, 2/3, 4/9, 8/27, 16/81, ...

O exemplo (a) pode representar uma população de bactérias em intervalos de tempo iguais numa cultura sem limites.O exemplo (b) pode representar a altura que uma bola salta ao bater sucessivamente numa superfície horizontal.

Uma bola saltitante

Qual seria a distância total percorrida por uma bola solta de 1 metro de altura enquanto salta “infinitas” vezes?

Sn = a + ar + ar2 + ar3 + ... + ar(n-1).

A soma Sn é finita?Como fica a fórmula da soma para

infinitos termos de Sn se |r| < 1? E se |r| > 1?

Obtendo a soma de uma série geométrica

A soma da série Sn = a + ar + ar2 + ar3 + ... + ar(n-1)

é finita se |r| < 1

De fato, Multiplicando ambos os membros por r,

obtemos

r-1

)r-a(1 n

nS

Sn = a + ar + ar2 + ar3 + ... + ar(n-1) rSn = ar + ar2 + ar3 + ... + ar(n-1)+arn

rSn - Sn = arn – a => Sn (r – 1) = a(rn – 1) Observe que, se |r| < 1

Logo a série converge para

0lim

n

nr

r1

a

Se |r| > 1

e portanto a série diverge

n

nrlim O que acontece

quando r = 1, a série converge ou diverge?

Resumindo

A série geométrica de razão r

a + ar + ar2 + ar3 + ... + ar(n-1)

converge para se |r|<1

e diverge se |r| 1

r1

a

1

1-narn

Exemplo 1

A série geométrica de razão ½, logo ela

convergePara

Ou seja

2)2

1(...

16

1

8

1

4

1

2

11 1

1

n

n

2

21

1

1

22

1

11

nn

Exemplo 2

A série

é geométrica de razão 3/2, logo ela diverge

Porque?

1

1

)2

3(

n

n

Exercício

a) Qual o termo geral da série

b) Esta série é uma série geométrica? Caso afirmativo qual a razão?c) Esta série converge? Caso

afirmativo, para qual valor?

...27

40

9

20

3

105

Exercícios1) Determine a série geométrica cuja soma é

a) 0,3333...

b) 0,484848484848484...

2) Encontre a soma da série (se existir).

3) Determine o termo geral da série

Esta série é geométrica? Qual o valor da sua soma?

1 )1(

1

n nn

...842

32

O problema da bola que pula

Voce joga uma bola de uma altura de a metros sobre uma superfície plana. Cada vez que a bola atinge a superfície depois de cair de uma altura h ela rebate a uma distância rh, onde r é positivo, mas menor que 1. Qual é a distância vertical total percorrida pela bola pulando para cima e para baixo?

Observe que

Sn = a + 2ar + 2ar2 + 2ar3 + ... + 2ar(n-1)=

Se a = 6 e r = 2/3, qual será essa distância?

23

r

r

1

1a

r-1

2ara

Séries Hiper-Harmônica ou série p

São as séries que seguem o padrão

A série p converge se p > 1 e diverge se p 1 Exemplos: Quais série são convergentes e quais são

divergentes

1) ; 2) ; 3) ; 4)

24

1

1

npn

1

1

n n

12

1

n n

13 2

1

n n

13

1

n n

Série Harmônica

A série

é denominada Série Harmônica porque os termos da série

harmônica correspondem aos nós em uma corda vibrando que

produzem múltiplos da freqüência fundamental. Por exemplo, ½

produz o harmônico que é o dobro da freqüência fundamental, 1/3

produz uma freqüência que é 3 vezes a freqüência fundamental e

assim por diante. Freqüência fundamental é a nota ou a altura do

som mais baixa que ouvimos quando uma corda é tangida.

 

...4

1

3

1

2

11

1

1

n n

Testes de convergênciaTeste do n-ésimo termo: Se uma série é convergente, então

Caso contrário a série diverge. Atenção! Se a série pode convergir ou não.

Mas se

Ex.

26

na

0lim n

na

0lim n

na

diverge série a queafirmar podemos ,0lim nn

naa

Aplicando o teste do n-esimo termo

1) As série abaixo são divergentes. Explique porque.

a) ; b)

c) c)

2) As séries abaixo convergem ou divergem?

a) b) c) d)

27

1

1

n n

n

1

1)1(n

n

1 52n n

n

12 1n n

n

1

2

n

n

n

)1

ln(1

n n

n

1

2

n

ne

1

1

n n

O teste da razão

Seja uma série com termos positivos e suponha

que

Então

a) A série converge se < 1

b) A série diverge se > 1

c) Se = 1 nada se pode dizer da série

28

na

n

n

n a

a 1lim

Exemplos Usar o teste da razão apara verificar se as

séries abaixo convergem ou divergem

a) b)

c) d)

29

12

2

n

n

n

1 !n

n

n

n

1 3

52

nn

n

1 4

)!2(

nn

n

O Teste da Integral Consideremos a série , onde é uma sequência

de termos positivos. Suponha que , onde é uma função de x contínua positiva e decrescente para todo x ≥ 1, então,

i) Se converge então a série converge

ii) Se diverge então a série diverge

Exemplos: Use o teste da integral para verificar a convergência das

séries:a) b) c) d)

30

na }{ na)(nfan f

dxxf

1)( na

dxxf

1)( na

1

1

n n

12

1

n n

1

1

n nn

12 4n n

n

Convergência absoluta

Se a série converge então converge.

Ex. a série é absolutamente convergente

Pois converge, logo ela converge.

Exemplos: Verifique a convergência das seguintes séries

alternadas a) b) c)

31

|| na na

1

21 1

)1(n

n

n

12

1

n n

1

231 1

)1(n

n

n

1

1 )ln()1(

n

n

n

n

1

1

1

1)1(

n

n

n

O paradoxo de Zenão Segundo Aristóteles em Fisica VI, 239 b 9 consiste

basicamente em decompor o movimento em um número infinito de partes. Pressupondo de que é impossível realizar infinitos movimentos em tempo finito, o deslocamento torna-se impossível. Os experimento mental tradicional propõe uma competição entre o herói Aquiles e uma tartaruga. A tartaruga parte com uma vantagem inicial. É impossível que Aquiles alcance a tartaruga, porque, quando Aquiles atinge a posição inicial da tartaruga (A), ela já avançou para o ponto (B). Quando Aquiles chega ao ponto B, a tartaruga já está em C e assim até o infinito.

32

Outra forma de explicar o paradoxo de Zenão

Aquiles iria apostar corrida com uma tartaruga, como Aquiles era mais rápido ele permitiu que a tartaruga fosse na frente. Quando a tartaruga estava a 100 metros de distancia, Aquiles decide partir. O argumento de Zenão é que Aquiles nunca alcançará a tartaruga, pois para completar os 100 metros, ele terá que completar a metade destes (50 metros) e para alcançar os 50 metros deve alcançar a metade destes também, isso infinitamente, de modo que Aquiles nunca alcançara a tartaruga. Pois haverá um espaço infinito a ser completado por um corpo finito.

33

34