Sucesiones y Series Infinitas - Eduardo Espinoza Ramos

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SUCESIONES fSERIESi

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EDITORIAL

EDUARDO ESPINOZA

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ALGEBRA

Eduardo Espinoza Ramos Graduado y Titulado en Matemática Pura

Catedrático de las principales Universidades de la Capital

SUCESIONESY

SERIES INFINITAS

EDUARDO ESPINOZA RAMOS

LIMA - PERU

IMPRESO EN EL PERU

01 - 02 - 2008

3ra. Edición

DERECHOS RESERVADOS

| ' V : : ' 5i Este libro no puede reproducirse total ó parcialmente por ningún método gráfico, j

electrónico ó mecánico, incluyendo los sistemas de fotocopias, registros magnéticos ó gde alimentación de datos, sin expreso conocimientos del AUTOR Y EDITOR.

i - • 1 •• Zí:ií RUC

1N ° 10070440607 I1

¡ Escritura Pública:í

|N ° 4484

fHecho el Deposito Legal en la

! Biblioteca Nacional del Perú

ii■

N° 2 0 0 7 - 12603 |V . ' - • - ; V !

1j Ley de Derecho del Autor N° 13714 j

j Edición 3ra - Reimpresión 1ro-jS:É%i

PROLOGO

En la presente obra intitulada “Sucesiones y Series de Números Reales ” en su 3era. Edición, se expone en forma concreta y precisa los fundamentos teóricos de las Sucesiones y Series. Se resuelven gran número de ejemplos y ejercicios como aplicaciones de los diversos teoremas y técnicas.

La selección de los ejemplos, ejercicios y problemas de cada capítulo, es consecuencia de la experiencia adquirida en la docencia universitaria y sugerencias brindadas por los colegas del área de matemáticas de las diversas universidades del país.

En el primer capítulo se estudia las Sucesiones, se establecen sus principales propiedades y se demuestran algunos criterios de convergencia no muy usuales.

En el segundo capítulo se desarrolla el concepto de Series. En la solución de algunos ejercicios se han utilizado las llamadas funciones especiales y se han calculado explícitamente algunas sumas de series principalmente utilizando las reglas TELESCÓPICAS .

Las series de potencia se desarrollan en el tercer capítulo, se calculan explícitamente el radio de convergencia y se estudia la diferenciación e integración de las mismas, así como las series de Taylor.

La lectura del presente trabajo, requiere de un adecuado conocimiento de las propiedades de los Números Reales, del Cálculo Diferencial e Integral y de las Funciones Especiales.

»

La presente obra es recomendable para todo estudiante de Ciencias Matemáticas, Física, Ingeniería, Economía y para toda persona interesada en fundamentar sólidamente sus conocimientos matemáticos del análisis real.

* *

Deseo expresar mi más profundo agradecimiento al Doctor Pedro Contreras Ch. por las observaciones y sugerencias brindadas.

Agradezco por anticipado la acogida que ustedes brindan a esta pequeña obra:

• • • . . ■ . _ ••v.\

Eduardo Espinoza Ramos.

DEDICATORIA

Este libro lo dedico a mis hijos:

RONALD, JORGE y DIANA

que Dios ilumine sus caminos para que

puedan ser guías de su prójimo

INDICE©

1. SUCESIONES.

CAPÍTULO I

1.1 Definición i1.2 Definición 3

1.3' * ■

Definición 5

1.4 Propiedades de Límites de Sucesiones 7

1.5 Teorema • 10

1.5.1. Teorema de la Media Aritmética 10

1.5.2. Teorema de la Media Geométrica 12

1.5.3. Teorema 15

1.5.4. Teorema del Encaje para Sucesiones 16

1.5.5. Teorema (Criterio de la Razón por la convergencia de Sucesiones) 17

1.6. Sucesiones Divergentes. 20

1.7. Sucesiones Monótonas y Acotadas. 21

1.8. Teorema 24

1.9. Teorema 25

1.10. Sucesiones de Cauchy 26

1.11. Teorema - (Fórmula de STIRLING) 27

1.12. Teorema.- (Criterio de Stolz-Cesaro) 28

1.13. Ejercicios Desarrollados 29

1.14. Ejercicios Propuestos 76

CAPÍTULO II

2. SERIES INFINITAS.

2.1 Definición 98

2.2 Definición 10(

!

2.3 Propiedades 103

2.4 Teorema 106

2.5 Series Especiales 107

2.6 Series Infinitas de Términos Positivos 112

2.7. Teorema 112

2.7.1. Teorema (Criterio de Comparación Directa) 112

2.7.2. Teorema (Criterio de Comparación por Límite) 115

2.7.3. Teorema (Criterio de la Razón o Criterio de D ’ALEMBERT) 117

2.7.4. Teorema (Criterio de la Integral) 119

2.7.5. Teorema (Criterio de la Raíz o Criterio de Cauchy) 122

2.8. Series Infinitas de Términos positivos y negativos 125

2.8.1. Teorema (Criterio de Leibniz) 125

2.8.2. Teorema 127

2.8.3. Teorema (Criterio de la Razón para Series Alternantes) 130

2.8.4 Teorema (Criterio de RAABE) 133

2.8.5. Teorema 136

2.9. Ejercicios Des «rollados 137

2.10. Ejercicios Propuestos 173

CAPÍTULO III

3. SERIES DE POTENCIA.#

3.1. Definición 215

3.2. Propiedades 216

3.3. Definición 216

3.4. Diferenciación 4e Series de Potencias 218

3.5. Integración d^Series de Potencia 218

3.6. Serie de Taylor•

219

3.7. Ejercicios Desarrollados 221

3.8. Ejercicios Propuestos 242#

Sucesiones 1

CAPITULO I

i . SUCESIONES

í . i DEFINICIÓN.-

Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números enteros positivos, cuyo rango es un conjunto arbitrario.

Trataremos solamente de sucesiones de números reales, es decir:

Consideremos una función S : Z + -» R, tal que, V/7 e Z + , S(n) e R, es un

elemento de la sucesión.

En vez de escribir S(n) escribiremos Sn y llamaremos n-ésimo término de la sucesión.

Notación.- A una sucesión infinita S ¡ , S 2’,.. . , S n ,... representaremos por

} . Gráficamente se tiene:1 " } n > 1

? Eduardo Espinoza Ramos

Ejemplos:

( 7 ) La sucesión 1,4, 9, 16 . . . . , n2, ... se escribe así ! n~ í//>)

( ¿ ) Los cinco primeros términos de la sucesión {-—— }/;>i son;ni

i i _ 1 L __ i’ 2 ’ 6 ’ 24 ’ 120

^3^ Hallar el término n-ésimo de la sucesión 1,3, 6-, 10, 15, 2 1 ,. . . ,

En efecto.

S, = 1 = 1 + 0

So = 3 = 2 + 1

53 = 6 = 3 + 3

54 = 10 = 4 + 6

Ss = 15 = 5 + 10

SA = 21 = 6 + 15

C ! / í _ lSn = // H------- J1?

De acuerdo a la regla de coiTespondencia de los primeros términos

obtenemos que:

n — 1n h------- .n

1

Sucesiones 3

Luego la sucesión podemos escribir así:/7(// + l)

ín> i

( í ) Si la sucesión {Sn}n^ está definido por: S| = 1, S2

hallar S7.

1, S n+i - S n + S n. j ,

En efecto: S. = 1

S-» =

S? — S t + S i — 1 + 1 — 2

54 = S3 + S2 = 2 + 1 = 3 por definición de la sucesión

55 = S4 + S3 = 3 + 2 = 5

S 6 = S s + S 4 = 5 + 3 = 8

S7- S6+ S 5= 8 + 5 = 13

1.2 DEFINICION.-

Una sucesión {Sn} /7>¡, se dice que tiene límite L, si para todo 8 > 0, existe un

número N > 0, tal que: Sn - L\ < s , para todo n > N y denotaremos por

lini Sn = L .//—>x

©

En forma simbólica , se tiene:

lim S „ = I » V í > 0 , 3 N > 0 / n > N = > |5„ - L \ < s

Ejemplos.- Usando la definición de límite probar que:

n +1Límite de {------}„>, , es 1, cuando n -> oc

n

4 Eduardo Espinoza Ramos

Solución

n +1l im ------= 1 <=> V¿->0, 3 N > 0 / .V« > N => |S„ - L \ < e

II —> X f i

En efecto: \Sn - Ln +1

- 1n

—, pero necesitamos que \Sn - L\ = — < £ , n n

de donde: n > —, luego basta tomar TV > —, es decir:£ £

lim - i <=> > o, 3 N > —//? > N , entonces; / ->x n £

n +1n

< £

© lim (1 1)" - ) = 1n—>x y\

Solución

l i m ( l + ( - l ) - ) = l o > 0, 3 ¿V = ? / n > N => | 5 „ - l | < f//->x /7

En efecto: \S „ - L \ = ] + ( - l ) " - - l —( - i r -I M I n n

Pero debe cumplirse que S „ ~ L < £, para ello hacemos — < £ , de donde:n

n > N > — . Luego > 0, 3 N > — / IS,, - L £ £

< £

© lim 2 ^ =1H—>X

Solución

Sucesiones 5

lim 2 = 1 » V¿r > 0. 3 /V = ?/» > <V => S„ - L/7—> X

< £

En efecto: |Sn - L

i 1

■ -n

- ■

<N1

i2 ^ - 1

1 - 2 <i2 ^

i iLuego: |Sn - L\ < 11 - 2^" | = 2 ^ -1 < £ => 2 ^ < £ +1 , entonces,

—prlog2 < log(£ + l) => — , de donde:y/7l \0g(£ + l)

n > ( — — ) , basta log(¿* +1 )

xr . loe 2 o tomar n > N > (----- ------)“

logO + 1)

1.3 ÜEFINICION.-

Se dice que una sucesión es convergente cuando tiene límite, en caso

contrario la sucesión es divergente.

Ejemplos.« Determinar si es convergente ó divergente las sucesiones

siguientes: #

© [ n+x ¡ ' 2n + l

Solución

Para determinar la convergencia ó divergencia de una sucesión bastará calcular

el límite de la sucesión, es decir:


©

_ . 1 1 + 1 .Por lo tanto {------ es convergente.

2/7 + 1

,2 ^ + 1 ,< 0 * /?>1

3/7“ ~ nSolución

Para determinar la convergencia ó divergencia de una sucesión bastará calcular

el límite de la sucesión, es decir:

2 + 1c r 2 " “ + 1 r 2 + 0 2lim Sn = lim — ------= l im ------— = ------ = —

//~>x /i—>oc3/7 — n 1 3 - 0 3J ~ »/?

Por lo tanto: {— ------}„>,, es convergente.3/7“ - n

Solución .C

En forma similar a los ejemplos anteriores, calcularemos el límite de la

sucesión, es decir: lim Sn- = l im -----— = lim (— + — 7 ) = — + 0 = — ./7—>x //— 2/7“ //->x 2 2/7“ 2 2

/?“ +1Por lo tanto: {-----“ }„>i , es convergente.

2/7“

® . 3/?3 +1.' 2 7 7 í ’''al

Solución

Sucesiones 7

En forma similar a los ejemplos anteriores, calcularemos el límite de la

3 3 + —w , r c .. 3/7 +1 3 + 0 2sucesión, es decir: lim Sn = lim — ----- = l im ------— = ------ -- — .

w->x "->3°2/?~+l /;* X2 + -Í 2 + ^ ^3 /?'

n 1 r ^ 1 »Por lo tanto: {— -} >,, es convergente.2/7 +1

1.4 PROPIEDADES DE LIMITES DE SUCESIONES.-

Consideremos dos sucesiones convergentes {^„¡ „>1 y y k, una*

constante, entonces:

i) lim k = /c ii) lim /v 5/; = k lim 5W«~ > x >x //—>x

iii) lim (S,, ±-SM„) = lim SM i lim S"w iv) lim Sll.S \ l = lim S,,. lim S'„/? —>x n—>s. n—>v n— /;—»:/ ' //—>x

o limv) lixn -^ - = - ^ £ --- , si lim 5* * 0

/7->x s 'n lim S\, n-ncn —>x

La demostración de estas propiedades es análoga, a la de los límites de

funciones reales, por lo tanto se deja para el lector.

Observación.- Para hallar el límite de una sucesión {£„}„>,, se calcula el

límite del término n-ésimo de la sucesión S n cuando n — » 0 0 ,

es decir:

Ejemplos.- Calcular los límites siguientes


j

Q lim(l + n + n 2)"n—>x

Solución

I i il i m ( l + /7 + /22 ) ' 7 = l i m [ ( / 7 + A22 ) ( l + —-------- ) ] "

n—>x /í-*oc + f j -

-> - . 1 lim (/? + /?“ )" . lim (1 + --------- ) "

//—>x //—>x ^ _j_ ¿j-

1lim eL"{"+"~ >'. Hm [(l + — ^ ) " +" ]"("+":>

/ / —> X /? —> X ft _j_ f j

ln(;/+;/ ) ¡jm---- ¡—_ Lil—— lim-----------——lim e ” £ - n ( n +fr) = y y .. )

/?—> X / / —> x

e° . e° = (1) (1) = 1

/. lim (14 n + /7“)" - 1n—>x

© ,. >/3/í3 + 2 /? - l - V 3 » 3 - 2 / / - Il i m / , , —

11 >X y /n ' + /7~ + 3 / 7 - V / r + 7 7 ” - 3 / 7

Solución

Racionalizando el numerador y denominador.

V3/73 +2/7-1 - V3/73 -2 /7 -1 .. 4/?( V/73 + /r + 3/7 + Va + /7~-3/?)lim ■■ - .■■■-■ - = = ---- ============= = l im -------============---- =========-

//_>/ V « ' ' + / ? 2 + 3 /7 — yin3 + n~ - 3 / 7 /?_>/ 6n(y¡3n' + 2 / 7 - 1 + v 3 / ? ' - 2 /7 - 1)

Sucesiones

i

lim — (

1 1 31 + - + - y +2 / V n n \

1 1 31 + -------------------

n n~3 2 1 , 2 1

3 + - y - + 13— y — j/7 n V n n

2 1 + 1 . 2 _ 2 V3

3 V3 + x/3 3 %/3 _ 9

¡_____________ __________ 3

lim (Vi// +1 - 7/í +1)(y¡2n~ + i - V/?2 + 1 )sen2 (—)n—>x

Solución

Primero racionalizamos a la expresión:

lim (^2/7 + 1 -V/7 + 1 )(V2/?2 +1 - yin2 + l ) s e n 2(—) / z — » 0 0 v /7

/ I3 sen“ O

= lim ”//—»x (72« + l + V/í +1 ) (v 2n~ +1 + V 7 7 I )

2~ 3 sen(—) 3 .

: »•( )3 ( - v “ )-" ( - )

= lim "( \l2n +1 + -\//7 -t- 1)(\/2/7‘ -f 1 + yfñ~~+\)

A ’ 3sen( - ) 2 0 „ ólim (------¿?-)2 (2w)'

/ / —> X

(n

(—) (V2« + 1 + -J n + \)(>¡2n~+1 + *Jn2 +1)

22 2V2

(V2+1)(V2+1) (V2 + 1)2


©

. K, na + \i- r-, + ---- )l im [3 -2 (------- )] - naa—oo na

Solución

ti , n a + \ w _ na , 2 k ,na+\^.,• r, ~.,na + \^ ‘s—<----) p/i - 2 ~ - r (— ‘grX------»lim [3 — 2(---- — )] 2 = h m [ ( l+ — ) 2 ] 2 "an >00 na «->* na

1 K na+1, 4-2 lim—til—(----- )= e na 2 na - e /T ,donde:

1 ir na +1 ■ tc 2lim — -tg—-(--------) = l im x tg — (1 + jc) = ----«->*> /?¿Z 2 /7¿7 -v—>0 2 7T

1.5 TEOREMA.-

1.5.1 TEOREMA DE LA MEDIA ARITMETICA.-

Consideremos una sucesión {an }„>, convergente, si lim an = a , entonces:n—>x

Demostración

Como lim an = a => an =a + Sn , donde: lim Sn = 0 , por lo tanto, a la suma/;—>oc n—>00

expresamos así:

a\+ a 2 + ... + tf/7 a + + ••• + a + ^p + a + ^/j+i + — + 0 +/7 77

/7£7 + 32 + ... + ^ + &p+2 + — + ánn n n

Como la suma 8i + 82 + ...+ Sp = k (constante) por ser una suma finita, corno:

8. /<» < e , entonces:

Sucesiones 11

àp+1 +^/h-2 + —+ <?/» < >+l + s p+¿ + ... + \ón\< M e , por lo tanto su limite

#1 + ¿J-) + ... -f £Zde, —-----------------, es:

/? //—>x 77

Ejemplos: Calcular los siguientes límites:

© lim//—>x

1 , 13 14 15 ¡n + 2 ,—i- ~ ( \ ¡ \ \ f" ... + i /----------------)>/l6w2 +3 »4 <6 V« + 3

Solución

lim/?—>oq

1

Ví.3 14 5 \ji + 2

(\I~7+\IT + a /t + ••• + J -----r )A7 -f 36/72 +3 V5

lim a;

' , - > x V l 6 n 2 + 3 " » 6 V " - 1- 3

f i ¡5 . 1J 5 )(6 V

n + 2

(—)(1) = —, de donde se tiene: lim - = i L = = = —4 4 — V Í 6 ¡ ^ 3 4

además: lim77 + 2

w->x V 77 + 31 y por el teorema de la media aritmética se tiene:

1 / / 3 1 4 1 5 1/7 + 2 \lim — ( . / h 4 / f- 4 h ... + . /------- I = 1.n y 4 V 5 V6 y n + 3

® 1 4 5 rt+3(9 + — + - +... + ------)

• ' /i _ 8«3 5 6 " + 4/7—>Xi

Solución

1 4 5 « + 3lim —----- (9 H H-------h ... H----- —);j->ocl/j_g 3 5 6 72 + 4


1.5.2.

.. 9 n 4 5 n + 3 1 1 1lim —====+ hm — ( - + - - + ... + —---- ) — = Q + (— )(1) =

Vi - 8«3 Vi - 8w3 5 6 ,1 + 4 n 2 1

donde: l im —p ¿ = = 0, lim ~= ===== - y como lim —— = 1\ _ g/73 /,->oc v i - 8n3 2 n + 4

1 4 5 /7 + ^por el teorema de la media aritmética se tiene: lim — (— + — + ...+----- - ) = 1

/2 5 6 /? + 4

TEOREM A DE LA MEDIA GEOM ETRICA.-

Consideremos una sucesión {an )n>x convergente, si lim an - a , entonces:• //-»x

Demostración

Como lim an - a => ln( lim an) = ln(¿z), de donde: lim (In(an)) = ln(rt),n —> x n —>x //—>x

______________ ]

sea í/„ =!¡Ja].a2- a => lnz//? = ln^/aj.a2...aw = —(lna, + ln a 2 + ...+ ln<z„)

Tomando limite cuando n —> oc y aplicando el teorema de la media aritmética

lim ln(ww) = lim — (Ina, + ln a2 + ... + lna„)//->x /?—>x //

Ina, + ln a , + ... + lna„ ■ /------------ . .In( lim u„ ) = l im -----1-------- --------------- = ln( lim ^¡ax .a2- a n ) = In a

« —» x / j-» x Yl « - * x

Levantando el logaritmo en ambos miembros: lim ^jal.a2->-cin =/i—>x

Ejemplo.- Calcular los siguientes límites:

Sucesiones 13

lim ",'3 5 7 2/2 + 1

« —> x V 5 8 11 3« + 2Solución

Se observa que: a, 1_TI *’ an

2 n +13 n + 2

, de donde:

r 1 - 2 / 7 + 1 2 ,lim an = lim ------ - = —, luego el teorema de la media geométrica se tiene:«-»oo /;-> oc 3/2 + 2 3

'3 5 7 2/z + l 2lim "iw~>x \ 5 8 11 3/2 + 2 3

• •

© l i m ¡ M U l n 6 l n ( 3 ” )

n—>cc V ln(5) lnlO ln(5/í)

Solución

Se observa que: ax =ln3Ín5

ln6LnTÓ ’ an

ln(3/2)ln(5/?)

, de donde:

i- t- ln(3w) . , , , , .íim aM = lim -—— = 1 , luego por el teorema de la media geométrica se «-»x ln(5/i)n —>x

H

tiene://—>x y in 5 In 10 ln(5/?)

OBSERVACIÓN.- Existen limites que se calculan mediante la integral

definida (veamos el caso particular)

Para la integral definida sobre el intervalo [0,1], de donde

h ~ a 1 - 0 1 m i i iAy = ------ = ------- - —, c¡ = a + lAx = 0 + — = — => c’j - —

n n n n n n

í n nf (x)dx ~ lim

n-¥ »i-í

n-+co UmJ n n


Ejemplos.- Calcular los siguientes límites:

© lim 5 £ ± .:;:+.Í Z

Solución

Al límite dado lo expresaremos en una integral definida

. . f e + '■& + . . . + ' 4 7 , \ ,7 , l Ll im -------------------------- = lim — (en + en + ... + <?")n—>x /7 //-»x 77

i= e -1

o

/// , n 2 , , n¡n\¡e + <¡e + ... + >/*’ ,h m ----------------- ---------= e - l//—>x /7

//

© i¡m y y/?->x z- +•2 , 2 I + /1/=!

Solución

lim V 3 - ^ = 1™ V — - -----= lim ‘ Y ----- —11—>X ¿ -j- /7~ /7—>0C / 2 . i //—>X 77 ámmmi i / \ 2/=! /=1 I“ ) +1 /=! l + V —J

í í/x / ’ , „ üL_o = iL— = arrtg x = arctg 1 - arc/g 01 + j T 1 o

l6 + 2 6 +... + tf6(¿) ” nSolución

7«—>oo /7

Sucesiones 15

1 6 - «->6 , . 6 ,. 1 + 2 +... + nlim — —ii —y x n.7 lim — ( ( — ) 6 + ( — ) 6 +... + (—)6)

n >x n n n n

l i m - V ( - ) 6 = j V d r X«->« n jLmé n JL

/=! ^

7 ,1/7 / 0 71 0 = 1

7

lim>x

16 . ->6 . , (1 + 2 + . . . + /?7

1.5.3. TEOREMA.- Demostrar que: l im r" = 0 , si 0 < r < 1 y si r > 1,II —

lim r" = + 0 0n~>r

Demostración<9

De acuerdo a la definición 1.2 se tiene: V 8 > 0, buscaremos un numero

N > 0, de tal manera que: r" - 0 < s , V n > N

Luego: rn ~ 0 rn <8 <=> n l n r < l n c <=>ln^

n > -----= N , puesto que

0 < r < 1, por lo tanto: dado s > 0, 3 N

V n > N = -^4- , es decir: lim r" = 0

ln^ln r

ln r

, tal que: r tl - 0 < ¿ \

ln / //—>x

Ejemplos.-

® 2 2

lim (—)'f = 0 puesto que r = — < 1//-»x 3 1

© 4 4lim (—)" = +oo puesto que r = — > 1/?—>x 3 ^


1.5.4. TEOREMA DEL ENCAJE PARA SUCESIONES.-

Si V n e Z + , 3 N > 0, tal que: an < cn < bn , V n > N y si

lim an = lini bn = L , entonces lim cn = LII—>00 /?—>x

Demostración

Por hipótesis tenemos: lim an = I <=> V £>0, 3 TV, > 0 / a > N, => ¿/,7 - ¿ | < s ,. //—»X

es decir: L - £ <a„ < L + £n . . . ( i )

lim bn - L « V e > 0 , 3 N 2 >0 / n> N 2 => - L\ < s , es decir:/ / —> X

L - e <b„ < L + £n . . . (2 )

Sea /V = max { , N 2}, entonces tenemos:

L ~ £ < a n < c„ < bn < L + £ , de ( 1 ), (2) e hipótesis

Luego tenemos L - £ < cu < L + £ => cn - L\ < £

Por lo tanto, dado s > 0, 3 N = max {N ], N 2}, tai que:

n > N => cn — L < £ , de donde: lim cn = L , por definición 1.2.n—>x

eos (n) nEjemplo.- Probar que l im ------- - = 0

a—>x yi

Solución

1V w g Z + , -1 < eos n < 1, como /7 e Z ' => — > 0 , entonces:

n

Sucesiones 17

1.5.5.

1 eosn i ! 1— < ------ < — , y como hm - - = lim — = 0n n n // /?->x n

Luego por el teorema 1.8, se tiene: lim - --- --- = 0n->y n

Ejemplo.- Demostrar que: lim yia" + b" = 6 , 0 < a < b//—>x

Solución

Como 0 < a 0 < a" < ò" => b'\ < a" + 6" < 26" => b < \la" + b" < yflb

como lim b = lim ^26 = b , entonces por el teorema 1.8 se tiene:H - » X / / —> X

lim yfa" + b" = />11—>oc

TEOREMA.- (CRITERIO DE LA RAZON PARA LA CONVERGENCIA DE SUCESIONES).-

Sea {5/;} una sucesión de números reales.//> i

Si lim11—>x

li

li< 1, entonces lim Sn - 0 y por lo tanto. La sucesión {Sn } ,

>x

es convergente.

Demostración

Por hipótesis se tiene: limsli

li

< 1, sea r un número real, tal que:

limn—>x

// — in

< r < 1 => 3 N > 0 / ' lima

Sa-1s11

< r , siempre que n > N


Sea /? e Z f / p > N =>p

5 p+\ < r S, , de donde:

V 2 < r 'p+i < r ‘ S. , en general se tiene:

< r , de donde: -/* s,

como 0 < r < 1 => lim r = 0 (teorema 1.7)A—>x

Luego l i m - rA -> x

lim rA—>x

AP

= 0 y por el (teorema 1.8) se tiene:

lim 5 +A. = 0 , por lo tanto:A—>x

lim S„ = 0>x

Ejemplos.- Demostrar que:

5"lim — = 0/;->x /7 !

Solución

Sea Sa5"11 ! 77 + 1 (/? + !)!

, entonces por el criterio de la razón:

lim//—>x

/?+! lim//—>x

■77+I

(w + 1)!

n\

lim//—>x

w!5w+l

(« + 1 ) ! 5n l im ------= 0 < l>7->x n +1

Luego por el teorema (1.9) se tiene:5"

lim — = 0 n\

Sucesiones

© nlim — = 0

A7—> X

Solución

773"

n +1V i ~ ~y,+\ , entonces

lim77—> X

/7 + I

/?= lim

7 7 - » X

(/? -h 1).3/7

/2.3/?+! - limn +1 1

n >x 3« 3<1

Luego por el teorema ( 1.9) se tiene: lim — = 077-»x y 1

®lì *

lim - - = 0rt—> X f j n

Solución

Aplicando el criterio de la razón para sucesiones convergentes.

Sea Sni

n11./?

s77 + 1

(« + !)!

(n + l)"+l, entonces:

lim/?—>x

/7 + 1

77

lim7 7 - » X

(n +1)!(ti +1) #7 + 1

n\nn

.. n"{n + \)\ nInri--------------------:— = lim (---)"»-»»(n + l)"+l.w! "~>r- n + \

n //= lim[(l + — —) (/í+!)] (/,+n ~ e = e~l - i o c n + 1 p

11 ^Por lo tanto por el teorema 1.9 se tiene: lim — = 0/ / —> X f j >!


1.6 SUCESIONES DIVERGENTES.-

Se ha dicho que una sucesión es divergente cuando no tiene límite, esto puede

ser, divergente a + oo ; a - oc u oscilante.

a) DEFINICIÓN.- Sea {Sn} , una sucesión, diremos que: Sn —» +oo,

cuando n —> oo, si para todo M > 0, existe N > 0, tal

que: Sn > M , V n > N

^ n_iEjemplo.- Probar que lim 3“ = +oo

«—»oo

Solución

V M > 0 , 3 N = ? (que depende de M), tal que:

1 1 i /32""1 > M => (2a? — 1)ln 3 > InM , es decir n > — ( ~ — + 1) = N

2 ln 3

b) DEFINICIÓN.- Sea {*$„}>, , una sucesión, diremos que: Sn -> - o c ,

cuando n —> oo, si para todo M > 0, existe N > 0, tal

que: Sn < - M , V n > N

Ejemplo.- Probar que lim l - 2n = -o o«-»OO

Solucem

V M > 0 , 3 N = ? / l - 2 n < - M => n> = N2

\ + MLuego V M > 0, 3 N = ------- /1 - 2n < -M, V n > N

—

Sucesiones 21

c) DEFINICIÓN.- Si la sucesión { ^ } /?>! diverge, pero no a - oo, ni

a + oo, y además toma valores positivos y negativos en

fonna alternada, diremos que la sucesión {*S'W} , es oscilante.

Ejemplo.- La sucesión j ( - l ) '? { , es oscilante, pues la sucesión es ' n> 1

-1 ,1 ,- ! , . . . , si n es par l im ( - l ) ,?= l y cuando n es impar«—>00

lim (- l ) ,í ~ - l , Luego ¿í l im (- l)w, por lo tanto, no es convergente; peron—>oo n -vx

tampoco diverge a + 0 0 , ni a - 0 0 , por lo tanto, es oscilante por definición c).

1.7. SUCESIONES MONÓTONAS Y ACOTADAS^

a) DEFINICIÓN.- Sea {Sn } >{, una sucesión, entonces:

i) Si Sn < S n+l, V n > N => la sucesión {«£„}> es creciente

ii) Si Sn+] < Sn , V n > N => la sucesión [Sn } es decreciente.

A una sucesión que sea creciente o decreciente le llamaremos monótona.

OBSERVACIÓN.-

Si 5; < Sn+{ - > diremos que la sucesión es estrictamente creciente.

Si Sn+{ < Sn => diremos que la sucesión es estrictamente decreciente.

Ejemplos.-

O Determinar si la sucesión {-------es creciente, decreciente o no monótona.^ 2 n +1

Solución

22 > Eduardo Espinoza Ramos

1 2 3 4 n // +1Escribiremos los elementos de la sucesión

3 ’ 5 ’ 7 ’ 9 ’ ’ 2/7 + 1 2n + 3

Se observa que los cuatro primeros elementos de la sucesión van creciendo

cuando n crece.

ti /? +1En general tenemos: —----- ^ ~— ~r •••

2/7 + 1 2 / / + 3

La desigualdad ( 1) se verifica si encontramos otra desigualdad equivalente en

al cual podemos afirmar que es valida.

Así por ejemplo en la desigualdad (1) podemos escribir:

2n~ + 3/7 < 2/?“ + 3/7 + 1 ••• (2)

La desigualdad (2) es valida porque el miembro de la derecha es igual al de la

izquierda mas uno, por lo tanto la desigualdad ( 1) es valida.

Es decir: Sn < Sn+l, luego la sucesión es creciente.

© Determinar si la sucesión {—} /;>i es creciente, decreciente o no monótona.n

Solución

1 , 1 1 1 1 1 Escribiremos los elementos de la sucesión {— / ^ , 1, — , —, v ’-**» ’ Ll v "n 2 3 4 /7 n + i

Se observa que los cuatro primeros elementos de la sucesión van decreciendo

cuando n crece.

1 , 1 / i \En general tenemos: -----7 ^ ~ •••va;

* /7 +1 n

Sucesiones 23

La desigualdad (1) escribiremos en otra desigualdad equivalente para ver su validez.

n < n + l . . .(2 )

La desigualdad (2) es validad porque el miembro de la derecha es igualdad al

miembro de la izquierda mas uno, por lo tanto la desigualdad (1) es valida.

Luego Sn+] < Sn , entonces la sucesión es decreciente.

b) DEFINICIÓN.- Al numero A le llamaremos cota inferior de la

sucesión { ¿ y } ^ si A < Sn , V n e Z + , y al numero

B le llamaremos cota superior, si Sn t, una cota inferior es cero, cuyos elementos2/2 + 1

1 2 3 / 7 . 1son: - - — ------otra cota inferior es - , en general una cota

3 5 7 2/7 + 1 3

inferior es menor o igual que ~ .3

( 5 ) En la sucesión el 1 es una cota superior, en general cualquier» /?

número mayor o igual que 1 es cota superior.

c) DEFINICIÓN.- Si A es cota inferior de y A > C para toda

cota inferior C de entonces A ser llama la

máxima cota inferior de {Sn} .


Si B es cota superior de {Sn}n^ y si B < D para toda cota superior D de

{S„ } . , entonces: B se llama la mínima cota superior de .

r

d) DEFINICIÓN.- La sucesión diremos que esta acotada, si y

solo si, tiene cota superior e inferior, es decir:

\Sk \ < k , V « g Z + .

Ejemplo.- La sucesión {—}„>i es acotada.n

1.8 TEOREMA.-

Sea } una sucesión, entonces:

i) Si es creciente y acotada superiormente, entonces es

convergente.

ii) Si {5W} , es decreciente y acotada interiormente, entonces }/?>j > es

convergente.

Demostración

i) | Sn }w>| , es acotada superiormente, por hipótesis a = mínima cota

superior de {£„} >t, dado un número c > 0, se tiene que a - s, no es

cota superior de , pues a - £ < a y a es la mínima cota

superior de la sucesión como a - £ no es cota superior, 3 un número

entero positivo N > 0, tal que: a - s < Sn , V n > N ... (1)

Tenemos Sn < a , V n e Z + ... (2), a es la mínima cota superior.

Si Sn < Sn+1 , V n > N ... (3), ( {Sn es creciente por hipótesis).

Sucesiones 25

Luego Sn < Sn pero n > N .... (4),

De (1), (2), (3) y (4) , se tiene que: a - 8 < Sn < Sn < a < a + c

siempre que n > N => {S,,} ^ es convergente y su límite es la mínima

cota superior.»

ii) La demostración es similar que (i).

rOBSERVACION.- El teorema establece que toda sucesión monótona y

acotada es convergente.

1.9 TEOREMA.-

Toda sucesión convergente es acotada.

Demostración

Para demostrar que: Sn < k , V n

Sea , una sucesión convergente y sea L su límite, es decir:

lim Sn = L V s> 0 , 3 Ar > 0 ! n > N => |S/; - L\ < s ,>x

tenemos: < £ , V n > N

S = S - L + L =>n n s„ < S - Ln n + ¡L| < e + |¿ |de donde: Sn <£- + |¿ | ,V n > N

Si ,S2,—9SN,SN+l.:. acotada por s + \L\

Sea k ~ max \S21, |S3|,...,|SW|, s + \l\ | , luego se tiene: Sn < k , V n.


1.10. SUCESION DE CAUCHY.-

a) DEFINICIÓN.- Sea {S„}h>| una sucesión, se dice que es una sucesión

de cauchy, si para todo ¿r>0, 3 N > 0 / m > N, n > N

entonces sm - S„ < £

Ejemplos.-

© La sucesión {—}„>| es de Cauchy.n

En efecto: V g > 0 , 3 N = ? / V m > N, n > N => | Sm - Sn < £

i) Si m = n => ISm - Sn | =m n

= 0 < £ , V n.

ii) Si m > n => ISm - S n J L _ im n

- - -----— < — pero debe cumplir qué:n ni n

IS - S <£ => — <£• de donde: n> — = N , (m > n > N). Luegon £

bastará tomar N =1

iîi) Si n > m => \Sm - S nm n

1 1 1= --------< — comom n m

- sH<£,

entonces: — < £ => m> — ~ N . Luego bastará tomar N = — (n >m>N). m £ s

© La sucesión {—— }n>\, es de cauchy.n

En efecto: V 8 > 0, 3 N - ? / n, m > N => < £

Sucesiones 27

K - s„ m ~ f 1 n + ] 1 1m n m n

, se reduce al ejemplo anterior, luego bastará

tomar N

1.11. TEOREMA.- (FORMULA DE STIRLING).-

Demostrar que para n grande: n\ = y¡2nn nne ” aproximadamente.

Pe mostración

Por definición de la función GAMA, se tiene:

r (n +1) = f Ix ne~xdx = [ e"ln' - 'd x

La función n L„ x - x, tiene un máximo relativo para x = n (queda como ejercicio probar).

Haciendo la sustitución x = n + y en la ecuación (i).

í•J-/?r (« + l) = e-" I e"'ni"+y)- ydy = e '" | e « dy

Í° » e

H r

ln( 1 + —)— v- dy ... (2)

2 3X X

También se conoce que: ln(l + x) = x ------+ —2 3

... (3)

Haciendo jc ~ , además y = \ fñ v , se tiene:


Para n grande, una buena aproximación es:

*>f ’-OC i'**

é ~ dv =v27rn n"e~" - , ( 5)

X

Además F(« + l) = w! — (6)

Por lo tanto de (6) en (5) se tiene: n ! - -sílñn n e

Ejemplo.- Calcular hm//—>x /7

Solución

'i[ñ \ n e 1 2n f ^ Z 3l i m ------ --- l im —---------------- = — h m <i¿nn

n —>cc 77 /7->oc /7 e

1 fi 12 7T w1 limln;</2^ 1 _ 1 !’™Ñ _ 1 ,0 _ i

— — — £ “ — C —p e e e

1.12. TEOREMA.- (CRITERIO DE STOLZ-CESARO).-

Sea {«„¡„>i y {6„}„>| .dos sucesiones tal que:

i) Si lim «„ = lim = 0 y la sucesión {*•„ }yi2| , es monótona o.il—ï t : n —>x

ii) Si lim = +oc , y la sucesión {bn}n>\ ,.es monótona, entonces:

lim — = lim ^"+l =■ A„_>*= „->* ¿>„+l - bn

ln(/7!)Ejemplo.- Calcular lim —

J ”->*>ln(« )

Sucesiones 29

Solución

Sea«„ =ln(n!)

= ln(n" )

«,,+1 = ln(« + l)!

A,+i = ln(« + l) //+!

lim — = lim — ■■■■ a" = lim ln(w + 1)! - lnw !"->*> bn »->=0 6(I+| - „-»* in(„ +1 )«+i _ in n"

l n ( ^ l > ’)= lim ni

//->x («4-1) ln(w +1 ) - n ln . n- lim

//—>x

ln(/7 -h 1 ), n +1

tf.ln(------) + ln(/i + l)n

limll~>x

ln(l + w)H lne 11 -

ln(l + —) + ln(l + n)"n

lnl + lne 1

r ln(/f!) l im — -— - = 1//->x in(77/;)

1.13. EJERCICIOS DESARROLLADOS.-

Estudiar la convergencia ó divergencia de la sucesión

(2ft + 5)2//+V ~ 3 (4« + i r 2( , - ^

S.. =

Solución

=n(2w + 5)2"+V ~ 3

(4« + 1)',+2(w + 3)2"

(2«)2"+5(l + A)2»+5„»-3____________ 2n_________ __

(4/j)"+2(l + J - ) n+2w2" (1 + 1)2" 4n n


22/,+V n+V ~ V 2" (1 + — )2"+5 22,,+V +''(l + -5- ) 2"+s_____________________2» _________________ 2n________

4«+2 n„+2 (, + J_y,+2 + ly -n 2 2n+4 /;»+2 + _L)»+2(j + 1)2»4« n 4 n n

2(1 + — )2,,+5 _______ 2n_______

( i + - - ) " +2( i + - ) 2"4 n n

2n 5(2//+5)

2 [ ( 1 + — ) T ] ^ ” 2 e 5 _ 5

lim 5 = l im ------------ ------------------ -— = —j— = 2e 4„_>x /»--»X | 4„(ZL_!1 ) 3 ^ ( J i ) --

[1 + — ] 4 „ [1 -|------ ] " € €4n n

¿ /?/r* v , ,5/i;z\Calcular lim \2 n + lsen(------).sen(------ ).sen(----- -)

«->x /7 + 1 n + 1 n + 1

Solución

sen(------) = sen(;r-------- ) = sen(----- -)n +1 n + 1 n +1

s e n ( ^ ^ - ) = sen(3/r = sen(-^-~)n +1 n -r 1 n +1

sen (^ -" ) = sen(5;r--------- ) = sen(—— ) , de donde:n +1 n +1 /? +1

lim V2 « 6 +1 s e n ( - ^ ) . s e n ( - ^ ^ ) . s e n ( - ^ ^ - )/ ; ->x W + 1 /7 + 1 /7 + 1

= ljjn n/2/í6 +1 sen (-^ —) . s e n ( - ^ - ) . s e n ( - ^ - ) lì—>X n + 1 n + 1 n + 1

Sucesiones■ •» n w ra

31

= lim (* + 1)3 s e n ( ^ - ) . s e n ( ^ L ) . s e n ( - ^ )»>->* (n-t-iV \ 7+ r /?+ 1 « + r

>y 2 / 7 6 + 1

( /7 + iO 3

\ / 2 /7 6 + 1

f /7 + 1i ) 3lim ‘ . lim (« + l ) 's e n ( — - ) .s e n ( -^ - ) .s e n ( ——) ... (1)

» - > * 1 0 4 - l V » - > x v H + l V« + l H + l

V2lim — - = V2 ... (2)n-»x- ( w + | ) 3

Sea z = ------- => n +1 = — ; . cuando n - » oc, z - » On -f 1 z

lim (n +1)' sen(— —).sen(--------------------------------------------------------- -) .sen (----- ) = lim z 3 sen n z .sen 3 ; r z . sen 5n:n + 1 n + 1 n + \ --->x

r sen/rZ sen3;rZ _ sen5/rZ , „ ,= lim n -----— 3 a — ,5 n — ----- = 15/r3 ... (3)

z-+<*> n i 3jtZ 5 n

Ahora reemplazamos (2), (3), en (1)

lim 4 lñ b +1 s e n ( -^ - ) .s e n ( —— ) .s e n ( - ^ ^ ) = 15V2/r3a? + 1 /? +1 n + 1

C s) Calcular lim n6\—=. — --------1'”«-»» y¡n2 +3 < [7+ 3

Solución

Hm w‘ [ • ==_ _ > = p" = iim w6[ — (i )1"“** \ / ¡ 2 +3 %/«" +3 "-** <¡//72 +3 Vw" + 3

13/;n [_ ~y— -----— - — 7 7 -~—— ¡ — u n í // | —p======rî-------________ ;/7->X

■ 6 2 . - 5ft +3lim — ^ — r O - ?/— — ) 3” /,- >x(/7 +3) V «77 +3

32 Eduardo Espinoza Rumos

n - > c o # - + 3 V / ? + 3

+ 3

—3 1 i m /; x I n + 3

(1) e i3 =é? , donde: lim n'A—------ = lim f¡v ' /7—>x \ n" +3 V

/7'/+2+3/7”+ 3

, /iw(/i2 +3) r / r + 3 = lnn n ---------------- = lim "I

/? - > o o ^ f i n ( J + 3 n " ) w - > x ^ 1 + 3 / 7 "

1 / / r + 3 \ Ln ( / f + 3 ) - £ / f (1+3/? ' )l i m — ¿ / / l ----------- r j l i m ----------------------------------------------- 0

_ /? 1+3» = £ h " n — e = 1

Aplicando la regla de L ’ Hospital

3 1_'(>/«+ 1->/«) (4) Evaluar lim ■■•- = ---- p r

' '>->* 2 Í V/7 + 1 - V/7 J

Solución

Racionalizando numerador y denominador

3 1II n -t- 1 - \[ñ j 3 1 ( >/w + 1 - \[ñ j

2 ( V/T+T - V/7) 2 «->* l(^/(^ + l ) 2 + yfñyin +T + ^rt2 )//—> x

Sucesiones 33

3 ^ 0 + 0 + 0 3 ^ 0 ^ ^

2 %/TTo + a/Í + 0 +1 2 i + ]+ ]

2¡{\fñ+\ -ifñ)lim - ) '___ ——( = 0

2 V/? -f- 1 — \ n \11—>x

© Calcular el límite: lim n{an --1), a > 0//—> x

Solución

Hacemos Z = y fa - 1 => <¡/a = Z +1 => -d n a = ln( 1 + z) de donde:ff

1 ln(l + z) ín ^ ._ __ — ------- w ~ — ------- cuancj0 /? —>oo <r> z —> O, entonces:n ln a ln(l + z)

lim n(a" - l ) = lim — - z = ln a .lim -í— - = lna .— = ln « .//~>x r~>0 ln (1 + 2) r->0 I ln e

ln(l + z )2

Lim nya” - l ) = \nan —>x

Estudiar la convergencia ó divergencia dé la sucesión [Tn}n>l donde:

T (3/7 + 1)2 (V? -f 7) 2

(3/7 + (/72 + 5 )^ ) (n + 3)/;

Solución

Para determinar la convergencia ó divergencia de la sucesión calcularemos el límite de Tn, es decir:


(3/74-1)2 (>? + 7 )/,+2 __ . (n + 7 ) /? > /3 w T ÍV « + 7lim = lim — --------------:— --------= limn—>x //—>x

/ - . , 2 « v U / " ^ ( « + 3 ) " ( 3 n + V / 7 2 + 5 )(3/7 + (tf + 5)2 )(/? + 3) v ' .

/ n + 7 \ „ >/3rt + l \¡n + 7l>m(------ ) l im ---------f^ = -»-»* M + 3 «-►* 3n + J n2 +5

lim ((l4------- ) 4 ) " +3.lim//->x - // + 3 «-•>* 5

3 + J1 + —n ~

lim-^r -v/J+ Ó a/T+Ó 4 V3>/ /7+J _______ ,__________ — £? . —

3 + %/Í + O 4

Como lim 7|( = — <?4 , por lo tanto la sucesión {7’,, , es convergente.//—>x

2 «~-l^ 7) Calcular el límite lim (—r— — ) "^ n—ttt yi + 4 / 7

Solución

2 «2-l -i a lim 3-4/7 n'~lim ( J L ± l ) « = l im [( l+ — —ZL) 3-4» ] ir+4/1 n = ¿ » » W n

« - * > x A7 - + 4 , 7 / / - > x / r + 4 w

, 3 4 3-1h—h— ^lim- " #r "—4// ’ +3/r +4//-3 , ! -1+0 ilim------ :---- ;----- l+- e 1g»->' n'+4n2 —g i)

1+0 e

2 0 ^2~1 , lim ( r\ — ) " = -

>x n- + 4n e

Sucesiones 35

® Calcular lim (cos— + x sen —)"/ ;-> x n n

Solución%^ Cl

Sea z = — de donde: n = — , Cuando n —» oo <=> z -> 0 n z

©

/ Cl Cl\ °lim(^cos^ (-x sen ) = lim ícosz + .vsenz ): — lim Ti + (cosz — 1 + vsenz)l-

n n r-»xv r—>00L v

r/m / _1_____ o(cos’-l+jrsenr)lim[(l + ( c o s z - l + xsenz))cosz-l+xsenz]~ 5z—>0

.. cos~-l+.vsenz ,• f-l-cosr sen 2í/.iim--------------«.lim

.—»«i - -+*-e — - ~e ' v - - ' = e fl(-°+-v) = e «-v

lim ( e o s - + x sen —)"«->« 17 n

® I .Calcular lim (l + « + «2)"

n—> x

Solución

Aplicando la propiedad e in" - a

eax

.. ■> - ,• in(l+«+/r) .. 1 + 2/;limln(l+/í+w)" lim----------- lim.. /. 7 \ nmin(i+//+w)" -----------nm------------ - Alim 1 + n + /7" ) " = en yr = e n — en" l+/,+/r ~ e =1n~>x

1lim (í + n + a 2)" = 1//—>0c

1 - eos" -Calcular lim /7

//—>x 1sen —

n

36t a.— .—■■■ i.

Solución

Eduardo Espinoza Ramos

1 — COS77 — (l-COS“ ) ( l+ COS ~ + cos2 — + ...+ cos'7 1 —)l i m ----------— — l i r n ------------- -—:---— -----------— — -------------- —

n-*oo 1 /?—>x 1 1sen— 2 sen — .cos

n 2 n 2 n

2 1 /i 1 1 »-I 1 \2 sen — (l + cos-- + cos — + ...+ cos —)j i m ----------_ i n _ ------------- n _ -------------n_----------------------------, j _

//->x 1 12 sen — . cos

2 n 2/7

0 1 0 1 i . - l i \ + cos — +cos — + ... + cos — J

limsen ‘ " " "//-»x 2/7 1cos 2//

/ t i l IX 1-cos —(1 +1 +1 +... +1) r n A0---------------------~ = 0 l im -----------— = 0

/?—>x 1sen — n

( í l ) Calcular l im ..(■— ................. + — + — + ...+^ x Vl + 9/T2 4 + " 4 7 3,7 + 1

Solución

En el presente ejercicio aplicaremos el teorema de la media aritmética.

Sucesiones 37

, 2 4 2/? \

1 4 7 3n + Y2 4

l im —■— =■----- :------------ - + l im • — _r--------------------

« - » « ./9 + - L ( - + l) " ^ CCj9 + ±V » « V /r

5 , 1 2 5 2 17 , , 2/7 2--- -------------+ = —+ — = — ? donde: l im ------- = —V9 + 0(0 + 1) V9.+ 0 3 3 9 9 "->»3/7 + 1 3

12J Hallar lim/ ? - > X V ln(10/i) 2 5 8 3/7-1

Solución

En el presente ejercicio aplicaremos el teorema de la media geométrica.

Iim ■«» ¡ i - . - . - . . .— n >x ^ ln(10/7) 2 5 8 3« —1 /?->x ln(10//) y 2 5 8 3/7 — 1

= ( l ) . ( l ) . - = - , donde: = l i mV w = l y lim — — = 13 3 //—>x >x ln(10/i)

r 3 8 13 5/7-2 5/7-2 5lim W—. - . — ...-------- --- l im -------- = -«->x V 2 5 8 3 / í - l «->« 3/7 -1 3

2 . In2 Ín3 ln(/?) .Calcular lim sen(2;r eos— -----+ — - + . . .+ ------------ ) <

/7 ln3 ln4 ln(/z + 1)

Solución

ln(/7) f ln(/7) /7 + 1Sea an - — -----— => lim a ~ lim —------ — = l im ------- 1

ln(/7+ l) »->x n—>x ln(/7 + l) //-»x Yl

en el cálculo de este límite aplicamos el teorema de la media aritmética.


, 2 . . I n 2 In3 \n(n) .lim n seni 2/r cos—) . ( -----+ ------+ ...+ -------- — )«->*> n In 3 In 4 ln(/? + l)

( 2 1 In 2 In 3 In(n) .lim n sen( 2k cos—) — ( -----■ + -----+ ...+ ------------)n—>x n n In3 In4 ln(« + l)

( 2 a 1 , In 2 In 3 In(n) .lim A?sen(2 /T cos ) lim — (-—- + -—7 +...+ "--------...(1 )

»-♦oo v n n-âo« ln 3 I n 4 l n ( ^ - h i )

Ahora calculamos cada uno de los límites.

1 . l n 2 ln3 ln(n) .= lim — ( ------ + —— + ...+ ------------) = 1 (por el teorema de la media aritmética)

>X ti ln 3 ln4 ln(/7 + l)

2 2Sea z = — = > « = — , cuando n x => z —> 0

n z

/ 2x 2 /_ \ -2 ;rcos(2 ;rcosz)senzhm «sen(2;rcos—) = lim — sen^T rcosz j = 2 lim ----------- -------------------

/?—>x // z —>0 2 r~ » 0 1

-4;r eos (2tc). 0 = 0

Luego estos límites reemplazamos en (1) se tiene.

, 2 x / ln2 ln3 ln(n) xlim sen(2 ;r eos—) ( -----+ ------+ ...+ ------------) = (0 )( 1 ) = 0n —>x w ln 3 ln4 ln(« + l)

n14) Calcular A = lim + ^ 2) 2

/7—> X _

" A'=l

Solución

Sucesiones 39

En el presente ejercicio aplicaremos el criterio de la suma de Riemann es decir:

t f { x )d x = lim S ' / ( - ) . -J) //~>X Áammé H U

/ = !

1 » n1 1A = lim % 1 («“ + A:2) 2 = lim .....• = lim \ ^

n-+xj¿Lj n->co¿mJ I 2 , ,2 ,7->x / ^/=! /=! V/l +A /=1 h + ( l ) 2

V n

[ = ln(x + \¡l + x 2) / = ln(l + V2 )J ) V 1 -+- JC2 / o

15J Hallar lim ± ( f c ( f o + t e ( ^ ) + ... + & &/?->x n 4 n 4 n 4 n

Solución

Aplicando la suma de Riemann

l i m - ( / g ( ^ ) + í g A + ... + íg ( -^ ) ) = lim V / g ( ^ ) . -/ Í - > X /2 4 / 7 4 / 2 n —>x 4 / 2 H

/=!

| /g ^ c/x = _ l l n | c° s ^ ¡ j

4 V2 4 , V2 2— [In-------ln 1] = ------ ln— = — ln2K 2 K 2 K

\ . k 2/r n/r. 2 , ^lim ~ ( /g -----h/‘p'----- i-... + /g — ) = —ln 2/7~»x /2 4 « 4« 4« K


16) Calcular lim ~[ln(¿/ + —) + ln(a + —) + ... + ln(¿/ + ~ ) ] , a > 0n n n n

Solución

Aplicando la suma de Riemann.

l im —[ln(¿/ 4- —) + ln (a + --) + . . . + ln(¿? 4- —)]//-»<* n n n n

n

= lim / ln (a -f— ).— = I ln(a + x)dx ... (1)n - * * Ámmmi H U J )

i~n

Ahora integrando por partes se tiene:

Seau = ln(¿7 4-x) dv = dx

, dx du = -----

x + aV = A*

lln(a + .Y) Y = Ain(a + A')- I------ dx - x \n(a 4- x) - 1(1----- -J J x + a J x +

)dx x +a

- x ln (a + x) - x + a ln (x + a) = (x + a) ln (x + a) - x ... (2)

Ahora reemplazando (2) en (1) se tiene:

1 1 2 lim —[ln(tf + —) + ln(<7 + —) + ... + ln(¿/ + —)] = | ln(c/4-x)¿/x «->oo n n n - ) ] = f

n Jb

[(x + a)\n(x + a) - x ] j = ((a + 1) ln (a+ 1 ) - l ) - ( a ln a - 0 )

(a + 1) ln (a'+ 1) - a ln a - 1

Sucesiones 41

500 . 500 ' 500® n tiCalcular lim[— — r—4---------- - + -— ---- — 1

//->oc ( / 7 - j - l ) 5 ( / / 4- 2 ) ? (w + w ) 501

/

Solución

Aplicando la suma de Riemann

^500 /?500 ^500

i - f e n r + + + 1

n50] /z50! n5(n 1= i™ + (M + 2)501 + + (/I + w)50i]- -

l¡m [ (_ ü _ )* » + ( - ^ - ) 501 + .. .+ (— )501 ] . í n >qc n 4* 1 n + 2 n 4-/7 n

v r 1 1 1 i 1l im [------- ------4-—— --------- f ... 4----------------] = —»— ■(1 + I)«H (1 + 2 )S01 (1 + « )5o. n

n n n

n _.. . d.xhm Ÿ — L - . ¿ - f

501 n J,/=] (1 + - ) n

(x + l)501

1 /' 1 , 1 .. 1 .. I/ o son(?500 soo 75<K))500(.v+ 1)500 ' o 500 2s“ 500 2

Calcular lim an , donde an es dado por:/?—>00

14- 20/7 2 4- 20/?n l n ( ^ ' ln(2l)a = --- ----ií----- + --------------- 4-... 4-

14- 20/7 2 4- 20/7 n 4- 20/7


Solución

Aplicando la suma de Riemann se tiene:

. 1 + 2 0 ?. , .2 + 20/?ln(— — ) ln(— “ ) ln(21)

lim a.. - lim[-------------- + ----------------+ ... + ---------- ]h—> Xj n—> xí 1 + 20/¡ 2 + 20« n + 20 n

rv.

ln(20 + —) ln (20 + - ) ln(20 + - )= lim[--------- -*- +---------+ ---------- — h~

',_>x 20 + - 20 + - 20 + - "n n ' n

= Umy ‘"<20+¿ =^ Jbn '~ 1 T 20+

A7

20á

= ln~(2._Q- í *2 / ' = l [ | n 2 21 - ln2 20] 2 / 0 - 2

lim an = —[ln2 21 - ln2 20]/?—>00 2

I 2 n. (sen— )en (sen—)en (sen—)en

© Calcular lim — [------—— + -------— + ... + --------- -----]/;—>00 n 1 2 /isen— sen— sen(-)

n n n

Solución

S u c e s i o n e si 43

. j_

sen3(-)en an — / -~ — •— , ahora tomando límite.

/=i ^ / 7 -n

i! L ^ s e n \ - ) e n 1 m 1 ¿ 3l w 1 1 sen 3 x v | 3.se/? a* - Asen x

----------------- dx-¿L-sen3y-)e" . m - ¿

lim a„ = lim V ------- * — 1 = f = f»->» »-***-* senL n J) sen x J, sen x

n

= 3ex dx - 4sen2 x.ex dx = 3ex dx - 4 dx

= ex dx + 2 ex eos 2x dx = [ex + —- (ex eos 2x 4- 2ex sen 2jc)] jo

— (Se - 7 + 2e eos 2x + 4esen 2 a*) 5

20) Verificar que:

,. r n n n , 1h m [— ------- + — _ _ ----------- + + ---------------------------- j = a r c t g ( - )n ->x ] + 2/7 + 2n 4 + 4n + 2n~ n~ +2n(n) + 2n~ 3

Solución

0 n n nSea a = ----------- — + --------------— + ...+

1 + 2 « + 2/?2 4 + 4n + 2n2 n2 +2n(n) + 2n2

• • • 9Dividiendo entre n al numerador y denominador


“n = [1

4*1

. 2 1 ' ^ . 2 42 --- 1—~ 2 -f 2(—) + —n n~ n ¡r

1t !

l

i+

1 1■i

1

(—)2 + 2(—) + 2 (2-)-+2(-2) + 2 (-)2 + 2(—) + 2 "n n n n n n

nan

1).— , ahora tomamos límites:

“ ( ~ ) 2 4- 2 (~ ) + 2 n n n

nlim a„ = limn I i

"~>x" ( - ) 2+2(-) + 2 // //

1 f1 dx n J| ) x~ 4- 2:4" 2x 4- 2

Í dx / 1 1------- —-----= arctg(x +1) / = arctg2 - arctgX = arctg(-)

(.v + l ) - + l / o 3

NOTA.-: = arctg 2

v = arcVg 1/g - = 2 tg y = 1

t g ( z - y ) (sjjzlKL _ 2-1 - 1l + így ./g -r 1 + 2 3

í g ( z - v ) = - => z - y = arc tg (- )

= arcíg 2 - «rcíg 1 = arctg —

© Probar que: lim (—+ —- + ...4-— ) = ln2 //->x n n 4-1 2«

Sucesiones 45

Solución

r 1 1 1 x _ r ri , 1 1 1lim (— i--------4-...-i------ ) — lim [1 H— —■—i----------J —«->oo n « + 1 2n «->=o j , w n

n n

nlim — 4 l im [— + —Í--- + ... + —-— ]— = 0 4- lim N (— — ).—,;"*x n 1 + 1 1 + ± 1 4- - ,7 "”*X“ l + i "

n n n n

í j t—— = ln(x 4- L) / = In 2 - In 1 = ln 2 - 0 = ln 2 *4-1 /O

1 1lim (— i------------------------------------------ h-----h... -i-) — ln 2ii—kjo /2 n + 1 // 4- 2 2n

'22) Calcular lim (—~ — 4- ——-—- +... + —r-^—7 )/ ,_>x /?^ 4 -1 n 4 - 2 “ 77- 4- /7 -

Solución

r /? /? /7 .. r 1 1 1 1lim [—-------i— ~------— 4-... H— -—) = lim [------------ :------ f —— —— K ...4-------------J-—+ 1 «“ 4-2“ JT4-/T ^ ] + (I )2 1 + (±)2 l + ( - ) 2 77

/? /? n

= ii„i V — !—” x" l + (±)2 " 4)1 + *“ 1

n

arctg 1 - arctg 0 = ---- 0 = —4 4

o


arctg(-) arctg(-)Calcular lim ( n + n

n —>x 1 -f- lì 2 + n

714

n + n

Solución

arctg(-) arctg(-)lim (-----//-»x 14- n

n + n2 4- n

71

4n + n

= lim [

\_

narctg — arctg

+

2n

arctgnn

//—>x \ + n 2 + n 1 + n nn

" ui'ctgi n ) J ^ f1

l + ( —) 77 ^+A*n

= lim ¿/a

Integrando por partes se tiene:

it = a r c í g .v

dx

dx

dv =1 + A

du -1 + A*“

v = ln(l + x)

arctg1+A

dx - arctg x. ln( 1 + x) / -/* - f lnU + *)'O X 1 + A2

dx

= — ln 2f1 ln(l +x)

i) 1 + *2dx . . . (2)

Ahora haremos x = tg 0 => dx = sec" OdO , para x - 0; 0 - 0, x - 1 ; 0 -

í 1 + A íln(1 + A) dx = T ln ( l+ f? 6>) sec¿ 0 dd\ + tg~0

Sucesiones 47

ní4 l n ( l + i g # ) ___2see" Qd6 -

n \—4

ln(l -vtgO)dOo

/r

Como 1 + tgOn n seni— - 0) + sen Oeos O + sen O ieos 6 eos 6

2 sen — cosí — - 0) \/2 cos(-~ - 0)4 4 4e o s# e o s #

í ln(l + a)

1 + a2dx —

71 v 2 cos(-~ -- 6)ln(l + tg6)d0 = i ln-

) f eos#de

,i|r

J 4 ln yf í dO + ln(cos(~- - 0))d0 - ln eos 0 d 0

K

í/T

1 +A ‘ 8ln(l-f-A') , -71 , ^ ( * 4 / K—:— — d x - — ln2 + i ln(cós(— - 6 ) ) d 0 rín (cos0)í/0 ... (3)

Sea U - — -Q => du = -dO, 0 = 0; u - ~ \ 0 - — ; u = 0 4 4 4

í ;rln(cos(—- - #))c/# =

4ln(cosz/)(” ^w) = I ln(cosu)dur ... (4)

Ahora reemplazamos (4) en (3) se tiene:

f* ln(l + .y) ^ _ n ln - + J*4 \n(C0Sllyju _ j*4 ln(cos(9)<:/^ = K ^ ^ ... (5)


Ahora reemplazamos (5) en (2) se tiene:

í arctgx , n . ^ k \ x í 2 k .-— — dx = — ln 2 --------------------------------------------------------------= — ln 2 ... (6)

1 + x 4 8 8

Por último reemplazando (6) en (1) se tiene:

1 2 7Tarc tg - arctg- T ] 9

lim (------- •fir H---- ---- — +... H---^ —) = ————«->« 1 + n 2 + n n + n 8

Estudiar la convergencia de la sucesión {£>„}„>,, donde: b„ = ^wj'1 .uy .../í"" ,

Pcon itp = 1 + — , calcular su límite si es convergente.

n

Solución

Sea k = lim bfl => ln k = ln( lim ) = lim ln(¿>,; )« —»30 /?—> X « —» X

ln /r — lim l n = lim — ln /j'1 .w?2 —m*')/ j-> x n —>x

lim — [í/| lní/t + u2 lnu2 + ... + un lnnn]« —> X Y\

lim - [ ( 1 + - ) ln(l + - ) + (1 + - ) ln(l + - ) + . . .+ (1 + - ) ln(l + - ) ] /;—>x n n n n n n n

= lim ' ' S ' (l + —)ln(l+ —).— = j ( l + *)ln(l + *)áx«-><» ft ft Jh

/=i

Ink = (1 + x ) ln(l + x)dx - [-Í—~ il_ ln ( l + x ) - -] j = 2 ln23

Sucesiones 49

3 2 In 2 - - - -In k — 2 ln 2 — => A' = e 4 = 4e 4

4

lim y i/“1 .w”2...w“'' -4¿? 4>x

25) Calcular lim — yj(an + b)(an + 2ft)...(an + nb) /?—»00 n

Solución

Sea ~ yj(an + b)(tm + 2b) .(an + nb) f t

t) 2 2= [’I (a + —)(a +—b)...(a + — b)

f t f t f t

1 / 0ln(6/;) = — [ln(a + —) -f ln(c/ -f — .6) + ... + ln (a +—b)]

ft ft ft ft

/? //ln(/?;, ) = ^ ln(a + —£) — , tomando límite lim ln(ft,.) = lim / ln(tf+ — /?).—

Z m W f t f t / / - > X ' f Z m m j n n/=! /-I

ln( lim bn)= j \n(a + bx)dx = [x ln(c/ + bx) + — ln(c/ + bx)- x] /J) b / 0

ln(# + b) + ~ ln(a + b) - 1 - — ln a - ln(a + b) + — ln(- ---—-) - 1 b b b a

l n , . v„ , , « + £ w/ . 1 , , {a + 6 )A(1a + b)u , .- [ ln (f l + A) + l n ( - — ) ] - ! = — ln (-------— ....—— ) - 1b a b a“


lim In(bn) = In",\ a +,b)a+b

n->y a ba .e

í/

a

a h . e

„ , , .. a « aCalcular lim eos—.eos— .eos— ...eos —_ 2 2 > • 2"tí —>0C

Solución

Sea sen 2a = 2 sen a.cos a => eos c/ =sen 2 a 2 sen a

a ci asen — sen — sen ——-a a a a sen a 2 9

eos—.eos-r-. eos— ...eos— = ------------------------------------------------.----- .----- — ...---- —3 a a _ a a2 2 " 2 senr 2"

sen a

2" sena2"

a a a a sene/lim eos—.eos— .eos— ...eos— = lim ---------

2 2 2 2" "2" sen2"

a z 1Sea Z = — => — = — , cuando n —>x <=> z —> 0

2" a 2"

sen« ..h m -------------= sen a. lim

sen alim

sen « /iX sen a -------(1) = ------- ...(2)

>x ü2 sen r->o a sen z a r->o sen z a a2"

Ahora reemplazando ( 2 ) en ( 1 ) se tiene:

Sucesiones 51

.. a a a a sen alim eos—-.eos— .eos— ...eos— = -------*->*> 2 2“ 2 2" a

21) Calcular lim n ( l - t g 2— )/?—>x /=1 y

Solución

Sea eos 2x = eos“ .y - sen “ a*? ? eos2 a* - sen2 x 1 - t g 2 y

sen2 a* + cos2 .y 1 -1- tg2 x

l - tg - .v 2 x 2 . , . , „ 2 COS2.Veos 2x = ----- — = (1 - tg .v) eos x , de donde: 1 - tg .v = ---- —see“x eos“x

l i m * Y ] - t g 2 ~ ) = l i m (1 - t g 2 ~ ) 0 - t g 2 ^ ) . . . ( l - t g 2 ~ )w—> x/= i 2 //->x . 2 2 " '

« / aeos — eos(¿r)/ c o s í / 2 2 \ ,• c ° s a= lim í ---------.------- — ...------ ----- ) = l im --------------- —-------------— •

/;-->"c i a •> a ? a //~>x / # \ í & \ QCOS" - COS - r - COS" ----- C O S Í - j e o s l - r - ) . . .COS“

2 2 2" 2' 2 2"

eos.a. l im ---------. l im -----------------------------= cos.« (l)(-------- ) = —a «-»x a a a

— e o s — e o s —r . . . e o s —2" 2 2 2"

//->x a «->x a a a sen« tu ae o s — eos — eos —r-... e o s— b

/, ~> a \ alim n \ \ - tg " — ) = -—

/ H X / s I 2 ' t g «

1 1C a l c u l a r l i m ( ...7- ¿ = r - + —= = + . . . + . ■ )

VT+T V^+2 ■ vTT«Solución

Este límite se obtiene acotando, es decir:


i\¡n2 4-/2

< - 1Jn2 + 1

<\f n 2 4 1

1 <r . 1 <r.1

V «2 4- n 1yfn2 4- 2 \ln2 + 1

1 < -

1 < -

1

yjn2 +n \l n2 + 3 \ ín2+ 1

1 < - J = < 1

yjn2 + n yjn2 4- n yjn" 4-1

sumando

1 1 1 ^ 1 . 1 ,— ------------- H— -"4 . . . H— — ——— ^ —■ ------4* —i —— 4 ...

+ n V + n \ r T + n \ n ~ +1 y n ~ +2

1 ^ 1 1H— ....- < —. 4-... 4-V «2 4-/2 V/T 4-1 y¡7r +1

/7 1 1 , , 1 ^ 77< —......— H----====r 4 ... H--- rr-V«2 +/i V/í +T \[n2 +2 V /r +/? yjn^ +1

Ahora tomando límite se tiene:

lim -jJL = = < lim ( .-----— 4~ I= r r+ ... + —= = = r ) < lílTl ----/?_>x \Jn2 +n ', ~>x V//2 +1 V «2 4-2 yjn“+n 4-1

1 1 11 < lim —j==== + -j==== + >..+ <1

/?_>xV/?2 4-1 yjn2 +2 yjn2 +n

Sucesiones53

, 1 1 1~T=Z=== "I— r~:----- 4-...4— - - — 1

........... + /7

Estudiar la convergencia ó divergencia de la sucesión {s,, , donde:

= 2( ^ ) + 3 ( ^ ) 2 + 4 ( i ) 3 + .„ + (» + i ) ( i ) »

Solución

Sea = 2(1)+ 3 (I)! + 4 (l)> + .., + ,„ + ,)(i r (1)

Multiplicando por a la expresión (1) se tiene*4

= 2(^ + 3(^ ' + 4 ^ > 4 + - + (« + l ) ( i ) ' '+I ... (2)

Restando la expresión (2) de la expresión (1) se tiene:

//+!

W + l

i 5« = ^ + ) 2P + ) + (“ )2 +--- + (^ f 2]-(« + l)(I)« + I

4 S" + ] - ( « + l ) ( ~ ) /,+l

4

5 = - 4 . — r l ( i _ ( l v - i ) i 4 ( /?+03 1 2 L3^ V ' j 3 4 ,,+l

54

*


lim S„ = lim ( 2 + - L [ l ( i _ ( l ) - i ) ] _ £ Í ^ ± > ) ) »->« n->® 3 12 3 4 /J 3 4"+l 7

— {1 - 0 ) ] - —(0) =-2 + !- 0 = ^ 3 12 3 J 3 3 9 9

/. lim S„ = —n —>x " 9

Estudiar la convergencia ó divergencia de la sucesión {Sn } n¿[, donde:

n ki _ 1 (23 -1)(33 -l>...(n3 -1)^ — TT -----—— , — -------

" *=2*3+l (23 + I)(33 + 1)...(«3 +1)

Solución

" A?~ 1 _ (23- l ) ( 33- l ) ( 43-l) . . .(w 3- l )" * = U 3 +1 (23 + 1)(33 + 1)(43 + 1).. .(«3 + 1)

s - (2 ~ 1)(22 + 2 4 1)(3 ~ 1)(32 + 3+1)(4~ 1)(42 + 4+ ~ 1 )(/?2 + - +" (2 + 1)(22 - 2 + 1)(3 + 1)(32 - 3 + 1)(4 + 1)(42 - 4 +!)...(» + 1 )(«2 - n + 1)

Como n3 - 1= (n - 1 )(n" + n + 1 ), (n + 1 )3 + 1 = (n + 1 + 1 ) ((n + 1 )" - (n + 1 ) + 1 )

= (n + 2)(n2 + n + 1 )

_ " A3- 1 _ 1.2.3...(/?-2)(/?2 - n + l ) ( w - l )(«2 + / 7 + 1)" *= U -3+ l 9A . 5.6.7 ...n(n2 — 3w + 3)(w + l)(/r - n + 1)

1.2.3.4.5...(/7 - 2)(n - \)(n2 4-/7 4-1) _ 1.2.3.(//-2)(a7-1)(/?“ 4-/7 4-1) 9.4.5.6.7.../7(/7 4- \)(n2 -3/7 + 3) 9.n(n + l)(/72 -3/7 + 3)

.. T T ^ 3 - ! 1- 1 . 2 . 3 . ( / 7 - 2 ) ( / 7 - l ) ( / 7 2 4 -« 4 -1 ) 6 2lim I I -------- = lim

n x A'3 +1 n -> X 9.//(/7 + 1 )(/72 - 3/7 + 3) 9 3

Sucesiones

lim

n -,T r - I 2n

(3l) Calcular lim (— + + ^ + „. + Í ^ - L L )

Solución

Um ( [ ^ + Í ! i ± 0 1 + ...+ í f l 0 l + I ] _ i )« - > 0 0 w2 „3 „« + 1 « n

= i i m ( [ i + ± t i + f c i Æ + . . . + i g i O l ] l - j . )«-»* n n~ n" n n

lim[(l + ( l+ —) + (l + —) 2 +... + (l + —) " ) — 1 "-><* n n n n n

l i m ( ( 1 + —) - l ) ( l 4- ( l + 4- ( l 4- - i - )2 4-... 4- ( l 4- - ) " )n n n n

l i m [ ( l 4- — V - 1] - — = e - \ - 0 = e - \/7->x n n

■ Hm ( í l ü + ( i± 0 L + + 0 l l 0 1 ) = jV 2 i . . . i /

n-*x> n - n n l¡+ i

2" n !32) Demostrar que: lim - — : = 0

Solución

Aplicando el criterio de la razón para sucesiones convergentes


_2%! 2"+\(n +1)!" n" ^ "+l (n + l)"+l

limH->X

*/» + ! lim/» -*x

2"+il(h+1)!(H+iy,+l2".n\ n"

= lim2- y ^ = ,im2^ -»-»*2"(« + I)',+'.aí! "~*t (n + 1)

= 2 lim (— )" =2 1im [(l + ----- 7)- ("+1)f = 2 e 1 = -< 1/;->x n +1 /j->x n +1 £

r 2”" ! «Luego por el criterio de la razón se tiene: lim — — = U»->* n

(/I2 -1)(«2 -2)(n2 -3)...(«2 -«).33 ) Calcular lim — --------- ---------- — —------ ;— —----—

(//2 +l)(/r + 3)(n" + 5)...(/)“ +(2/7 + 1))

Solución

(n2 -l)(n2 -2)(n2 -3)...(n2 -n)lim — ----------r--------- ;------------ ---------------n-*K(n +!)(«' + 3)(/r + 5)...(w‘ +(2n + l))

Sucesiones 57

lim — y(l+ 2+ 3+ ...+ «) - |¡ m 5 í í ± l í _ i ,e' " " e ' ” 2"’ e - - -lim(l+3+5+...+(2/1+1)) ~ «(«+1) ~ ~ 6g — Imv , £

e' - «

. ljm (»2 -l)(w2 -2)(w2 -3 )...(n2-n) =*->* («2 + 1)(«2 + 3)(«2 + 5)...(«2 + (2n + 1))

(34) Analizar la convergencia ó divergencia de la sucesión , donde:

Solución

Sea A - lim Pn - lim ) , tomando logaritmos en ambos ladosn->» n— v i 2 3 ri

In(”) + *"(”) + (3) + — + ln(”) se tiene: In A = l im ----------------------- :----------------------

Por el criterio de STOLZ.

[ln( ) + ln( ) + ... + ln( ) ] - [ l n ( ) + ln ( ' ) + ... + ln(" )]l n / f = l i m ------?----------?---------------”_______ J _________ ?___________

«--»=0 y

(?) (!) 0ln (------ —) + ln(-------— ) + ... + ln (— ^— )

( . ) ( " ) D1 2 n — 1= Inn------- — — --------------------------------------—w->oo 2/7 — 1

58 Eduardo Espinoza Ram os

(?) o o . oln (------ ) . ( ------ - ) . . . ( --------T~) ln( n --------j )

r ; 1) o (”:>\n A = lim ------------------------------------ - ------- = lim --------------------- ... (1)

//-»oc 2n --1 2n — \

oCalculando el coeficiente -------— se tiene:

Ok } (n-k) ' .k' . (ai — 1 — A-)! / i!

( M~ 0 - ( n - k ) \ ( n - 1)!

k ( n - \ - k ) \ k \

. . . . ( 2 )


Sucesiones 59

^ 5 ) Si b, = 1, bn - — + 3) para n > 2, demostrar que la sucesión

converge.Solución

1 robaremos que la sucesión es creciente y acotada superiormente:

a) Demostraremos por inducción que bn < bn+v V n.

0 psr»n = 2 => b2. = l ( 2 é i + 3 ) = - ( 2 + 3) = - => b, < b24 4 4

ii) Supongamos que se cumple n’ Ti (hipótesis inductiva) bh < bh+i

iii) Demostraremos que se cumple para n — h + 1, es decir, que se

cumple: bh+i < bh+2 , entonces:

Como bh+i < bh+2 => X- b n ~ ( 2¿„ + 3 ) < ^ ( 2¿>/j+I + 3 )

entonces bh+l < bh+2, cumple, por lo tanto : es creciente,

b) Demostraremos que f e } n>i es acotada superiormente ó sea bn < 2.

i) Si n = 2 => b2 = — (2 + 3) = — < 2 , cumple.


i¡) Supongamos que se cumple bh < 2 (hipótesis inductiva)t

Demostraremos que: bh+[ < 2 es decir:

bh < 2 => 2bh < 4 => 2bh + 3 < 7

=> ~ (2 b h + 3) < - < 2 => bh+, < 24 4

K L > i es acotada.

c) Calculando el límite se tiene:

Sea b = lim bn => lim bn = lim —(2¿„_i +3)rt—>X /J->X ■ +X 4

b = —(2 lim + 3 ) => b = - ( 2 6 + 3 ) , de donde: b = 24 »->* 4 2

lim ¿> = —H-*X 2

NOTA.- Si {a n} n2i, es una sucesión convergente entonces: 3a , tal que:

lim a„ = lim = lim a„_2 = a«->oc w—>ao n - * x

(36) Si A, = 2 , Z>„ = 2 + 3 ) , analizar la sucesión {¿„}„>, y si converge

calcular lim b„n —,

Solución

^ = 2 , = -(2¿>„_, + 3 ) . Demostraremos que se trata de una sucesión de6

(CAUCHY). primeramente observamos que:

Sucesiones 61

' V *2 ~b\ = t(2¿>i + 3 ) - 2 = — - 2 = — , entonces: \b7 =

6 6 6 3 2

13 ~b'i | —- ( 2 ¿2 +.3) — (2b¡ +3) 6 6

1 5

I6» - V i I = 7 ( ¿ V i + 3) - 7 <2 V * + 3) 6 6_ 1 , . 1 1 5 1 5 i, , i 1 5= 3(V,-V2) = 3.^rr.-=-.- => K-v.! = -•-.3 3"“ 2 3" 2

Además ¡Z>„ - b j | < |bll+í - b „ | ; V j > n + ( I )

Como lim ------= 0 , entonces V e > 0, 3 M> 0, tal que-»-♦oo 3 " 2 y.2- -o < £ , V n > M,

es decir < e => 3" > — , entonces:3 .2 2e

5 ln (—— )// ln 3 > ln(— ) => n > -----= M,2c’ ln3 1 . . . (2 )

entonces : V n ,j > M , tenemos de ( 1) y (2) , I b — ~ < e\« JI y 2Por lo tanto, la sucesión {£,,}„>¡, es una sucesión de Cauchy y por

consiguiente es convergente.'

lambién que V i “A <0 es decir, bn+l „ = r , entonces:11—>x

r = lim ¿>„+1 = lim (2¿>„ + 3) = - lim bn + ~ => r = i / - + i = > y = j

Entonces r = -- ■ • ,¡™ b" ~ 4

Determinar si la sucesión {-^}„> . es creciente, decreciente o no monótona.2Solución

_ n -K c - n + v n e Z +, n > 1, sumando n se tiene:— --< ... 1 ’

n n + 1

n 2» " 2"> , lo que es lo2n > n + 1 de donde al multiplicar por — se tiene: — > ^

mismo escribir en la forma:

H i l e — de donde: se tiene S„+: < S„ V n > l.por lo tanto la sucesión2"+\ 2"{— } ((>|, es decreciente.

Probar la sucesión 7 5 , V2V2 , , . . . , converge a 2.

Solución

A la sucesión dada expresaremos así:

a, = V2 , «2 = - «3 = .....- V2 -1 ’ n > LAhora demostraremos que la sucesión k U , es decreciente y acotada

superiormente por 2 .

Sucesiones63

La demostración lo haremos por inducción matemática.

¡) para n = 1, a, = V I < 2 y «, = s¡2 < V ^ /F = a2

ii) Suponiendo que para n = h, ah < 2 y ah < ah, ,

iii) Probaremos para n = h + 1

dh+i = y[2a¿ < V? = 2 , pues 2ah < 4 (hipótesis inductiva)

^ ah+\ - 2 y a/(+| - < yj2all+] = ah+1 pues 2ah < 2 ah+l (hipótesis

inductiva), entonces: a„+l < ah+2. Luego la sucesión converge a 2.

@ Estudiar la convergencia o divergencia de la sucesión definida por xx = & ,

•v«+i = (2 + x„)2 , n e Z +

Solncién

Sea X| = V2

A", = V2 + \¡2 = /2 + .V|

x2 = V 2 + V2 + \/2 = -y / í í .Vt

= ' j2 + xn-\ • Para n > 1.

Ahora veremos si es una sucesión no decreciente y acotada

superiormente.


Se observa que: x¡ = V J < 2

,v2 = \¡2 + y[2 < 2 , donde: .v, = V2 < V2 + V2 = x2

a'3 = ^2 + A', < 2 ,donde: .v, = \¡2 + ' j2 < \ ]2 + \¡2 + V2 = .v3

es decir, que: .y, < x2 < .v3 < .. . , luego {x n}„ al, es no decreciente.

Ahora demostraremos que es acotada superiormente por 2, probaremos esto

por inducción matemática.

Sea n e Z + tal que: xn < 2 y xn < xn+]

Í) 1 E Z +

ii) Suponemos que h e Z + es decir: xh < 2 y x,, < x/l+l. entonces:

■*/i+i = \l^ + xh - V2 + 2 = 2 y x/)+1 = \jxjl+\ = yj2 + xh < ^ 2 + xh+i = X/,+2

Por hipótesis inductiva, es decir: h e Z + => h + 1 e Z + esto demuestra

que: {x„}„> ,, es no decreciente y acotada superiormente, entonces es

es convergente.

Sea lim x„ = a y desde que *»+i = P + Xn//—>X

lim xn+1 = a => a = \¡2 + a => a 2 - a - 2 = 0« —>X

(a - 2)(a + 1) = 0 => a = 2 y a = -1

Luego se toma a = 2 por ser sucesión de términos positivos

lim xn = 211—>X

Sucesiones 65

40) Sea una sucesión en R, definida por: w, = 1,

«2 = 2 (ií„_2 para n > 2. Estudiar la convergencia ó

divergencia de la sucesión y en caso de convergencia halle lim u„ .W-»00

Solución

Por definición de la sucesión se tiene

• ;/, = 1

«2 = 2 además ^ (h„_2 + «,,_i)

1 1 3“3 -"^(“2 + “i) = —(2 + 1) = —

"4 = — (»3 + *<2 ) = ~ ( ~ + 2) = - T2 2 2 2

1 / \ 1 / 7 3x i:«S=~(»4+»3.)= ( T + -)=-1 / 1 / 7 13n 27

1 / \ 1 /2 7 13x 53Ui = — (iu+iu )= — ( — + — ) =— , . . .7 2 57 2 2 2 25

|«2-«i| = i, h-»2|= | . I»4-m3|=^ h-«4|=^1 1 1 1 1 1 2 ,• 2 A ,r 7 ~ m6 = “T ’•••> mh+i ~ = ------r = — como hm — = 0 , entonces, podemos

1 25 2 2" «-»« 2”

encontrar n tal que: — < £•, entonces V n .i > M.2"


Tenemos \ a „ - a ¡ \ < — p < e J u eg o es una sucesión de cauchy, esto

es que V e > 0, 3 M > 0 / n, j > M.

i 1 2 2 ln(~)=> \a„ - a , < — — < e => 2" > — donde: n ln 2 > ln — => n > .. . = M > 0I " 71 2 £ ln2por consiguiente es convergente

TEOREM A.- Si es una sucesión convergente, entonces cualquier

subsucesión de la sucesión {un}„>\ converge al mismo punto.

Hallaremos una subsucesión de {«„}„>!■

1 1 1W, = 1, » 3 = 1 + - , «5 = l + - + p - , M2,l+i =1 + 2 + ^ ' + 'P' + - + T

-m « i 4 ( i + 7 + F + ' + 7 ^ ) = , + Í ( ~ í " ) = i + ^ ' " ( í ) ' )4

lim u2n+x = lim ( l + ( l - ) ) = 1 + ^ |//-» x ;/-> x J 4 J J

5Luego por la conservación anterior se tiene que: lim u„ = —

,4j} La sucesión {un }„>, está definida como sigue: «, = 1,

u2 = u„+1 = yj5un , analizar si {«/„}„>,, es monótona y acotada,

calcular el límite si existe.

Sucesiones 67

Solución

Primero veremos si {«„}„>, es una sucesión monótona, como

i/, = 1, u2 u3 = V ^ 7 , - , »„+| , entonces :

«i = 1, u2 = \[5, u, = \¡5y¡5, í/4 = \¡5\¡5\[5 ,... es decir: < u2 < m3 < ¡/4 <...

Luego la sucesión {»„}„>! es una sucesión monótona creciente.

Ahora veremos si es una sucesión acotada, de la definición

tenemos: un > 1 , V n e Z + además como : Vs < 5 => 5^5 < 25 => V s T f < 5

■ 5-\/5V5 < 25 => < 5,...,^¡5\¡5\l...j5 < 5

entonces: ií„ < 5 , es decir: 1 < í/(i < 5 , V n e Z +.

Luego {«„}„ales una sucesión acotada, por consiguiente la sucesión {un} n>l,

es convergente, entonces: lim i<„ = 5 , pues la sucesión es creciente.n —>x

También podemos calcular lim « ,,, haciendo r = lim u , y como/ f-> X

“»+1 = entonces lim u„+l = lim J5w7 => r = V5r => r2 = 5 r , de donde://—>X /7—>X

r = 0 v r = 5, entonces lim w„ = 5 , no puede ser cero (“0”) pues la11—>X

sucesión es creciente y U„ > 1, V n e Z +.

12) Calcular Hm + 3 " + 5" + - + (2" - 1)2»->* 12 + 22 + 3 2 +... + n2


Solución

Para calcular este límite aplicamos el criterio de SI OLZ.

lim = Hm a» = Lb„ n-**bn -b„_ 1

\a„ = l2 + 3 2 + 5 2 + ... + (2/7- l )2 ^ («„_ ,= l2 + 3 2 + 5 2 + ... + ( 2 n - 3 )2

\ b n = 12 + 2 2 + 3 2 + ... + /Í2 {&„_ i = l2 + 2 2 +3" + ... + ( n - l ) '

= (2/7-1) ; bn - b „_| = / r

3 , = Um !i + 3^ f + = ,t a (2^ ¡ ¿ . 4»-»x h »->«. 1- +2" + 32 "->x

l2 + 3 2 + 5 2 + ... + ( 2 / ; - l )2 _llm — ,7 ----------------------2--4,;-»X ]- +2" + 3 + ... + /?

43) Calcular lim. 1 + 4 + 7 + ... + ( 3 n - 2 ) / f

^cos—J«->00 „ - + 7 + 1 /j

Solución

1 + 4 + 7 + ... + (3/7 — 2) / t \,¡l im ----------—----------------- ( e o s - )

/ l-» x 77~ + 7/7 + 1 n

1 + 4 + 7 + ... + (3/? — 2) .. / t \n /i-.- l ¡ m --------------- -— --------- - l im íc o s —) ... ( l)n2 + 7« + 1 «

Calculando Hm l + 4 + 7 + ... + (3/7- 2_) (por el criterio de STOLZ)«-»» n +7/7 + 1

Ja,, =1 + 4 + 7 + ... + (3 /7 -2 ) |a„_, = 1 + 4 + 7 + ... + (3/7 - 5 )

=«2+7n + l K-i =«2+5/7-5

Sucesiones69

.. 1 + 4 + 7 + ... +(3/7 — 2) a a — a ■?„ "3'V -------------------------------------------1 = lim - 2- = lim = lim — - 2- = 2 í2 )

» ' +7/; +1 "-»*/>„ n-+*.bH- b „_| »—x 2/7 + 6 2

Sea z = — = > « = — , cuando n -> x , z -> O/7 2

. , t \ , X- L_ /(“M--Dlim (c o s - )" = lim (co sz )- = l im |( l+ ( c o s z - l ) ) cos-';-i 1 -«->« /7 r—»0 7 r—»0 J

- e ‘ ‘ = <’ = 1 ... (3)

Ahora reemplazamos (2) y (3) en n i

1¡m ¿ =(2)(1)_3"-+* 77 +7/7 + 1 /I 2 2

Analizar la convergencia ó divergencia de la sucesión , donde

U _ „í30" +40" + ... + 60Q"

Solución

V n e Z \ 30" < 40", 40" < 50"..... 590" < 600"

Ann» 3 0 " + 4 0 " + ...+ 600"~ — 58x600 , donde: 58 es el número de sumandos

Ano í- n/30" +40" + ... + 600" '■600 < "i------------------------------< 600>58"V n

Luego según el teorema del encaje (1.8) se tiene :

lim 600 = lim 600*58« - 600 de donde : lim J 30" + 4 ° " + - + 60°" "-+® «->xV n = 600

por lo tanto la sucesión {un } n> j es convergente.


, V l + l2 + 4 1 + 22 +... + yf\ + n245) Calcular lim ---------

3n2 + 5 n - 2

Solución

ían = V l + l2 + V l+ 22 +... + \l\ + n2 ( an_\ = Vl + 12 +V l + 22 +... + i/l + ( « - l ) '

U = 3 « 2 + 5 h -2 =3/t2 - « - 5

Ahora aplicamos el criterio de STOLZ.

. ,• a « ~ an-\ 1- v l + « ‘ 1lirn — = lim —--------- — = hm —---- — = -bn — bn_i w-*00 6aí + 2 o

V i+i ’ + Vi+2" +...+VT-H7 i• h m ------------------ r--------------------- — - -

3«" + 5« - 2 o

© Calcular lim — ln [(l + cos— ) ( l + cos— ).. .( l + cos ) ]

Solución

Aplicando Riemann se tiene:

lim — ln [(l + cos — ) ( l + cos— ) . . .( l+ c o s — ) ] = h->® « n u n

= lim — [ln (l + cos — ) + ln(l + cos— ) + ... + ln (l + cos ) ]w->x /7 n /í n

= lim — 7 ln(l + c o s— ) = ln(l + c o sx)dx . » ( 1)»-»cc n L~i n Jb

7=1

Ahora calculamos la integral ln(l + cos.r)í/x , mediante la introducción de

un parámetro.

Sucesiones 71

Sea F ( a ) = f ln(l + a eos x ) d x , derivando con respecto a a.

1 eos Xf ^ = i) 1+ « c o s V 'nte8rac'®n de función racional de seno y coseno)1 + a cosa'

Sea tg ^ = z => d x - - — ~ , cos.v = -— —2 1 + z 2 ] + z 2

para x = 0 , z = 0 ; x = n , z -> <*

F \ a ) = f - c° sxdx = f J) 1 + a eos x J[j

r + z 2 2dz, / 1- z 2 J + z 21 + «(, j)1 + z

= 2 f _____ = _2 r ( z 2 - i ) &J) [ l+ Z ‘ + « ( 1 - 2“ )](1 + Z2) J, [l + a + (\ - a ) z 2] ( \ + z 2 )

= ___ 2 r ( z 2 - d a 2 r ( z 2 - i )dz

1 - « i» ( l ± « + z 2)(I + r 2) ~ a - l 1 ( z 2 + « 2) ( z 2 + l ) •"1 — rt

(O1 -or

, , íuTiydonde: a = 1 +a

- a

calculando la integral f (*2~1 )dzJ ( z 2 + a 2)(z2 + 1)

f [ z 2 - \ ) d z C( A z + B Cz + Z X ,

J ( z 2 + a 2)(z2 + l ) ~ ] \ 2 + a 2 + ~ 7 7 f )dZ - (2)

z 2 - ' Az + B Cz + D _ (Az + B) { z2 +1) + (Cz + D )(z 2 + a 2)

(z 2 + a “Xz ” + 1) z" + a * z 2 + l (z 2 + a 2)(z2 + 1)


z " - 1 = A(z* + z) + C (z3 + a~z) + B(z~ + 1 )+ D(z + a )

= ( / l + C )z3 + ( B + D ) z 2 + ( A + a 2C ) z + B + a 2D

A + C = O

B + D = 1

A + a 2C = O

B + a 2D = -1

A = O

a 2 + 15 =

« 2 - lC = O

D =

(3)

reemplazando (3) en (2) se tiene:

f (z2 -l)<fe _ a2 '+1 f ^ ___ 2_ f dzJ(z2 + a2)(z2 +1) a2 -1 J z 2 +tf2 cr2 - l J z 2 +l

a 2 +1 1 z 2 .= — -----. - arctg-------- r— arctg z

í T - 1 a a a - 1

Ahora reemplazamos (4) en (1)

F \ a ) = -----— [ ■ - ar c t g - — arctgz] /1 - a V - l a a f l " - l ' 0

2 a 2 +1 £ 2 £

1 - a a2 -1 o 2 a2 - 1 2

k ra 2 + l - 2a 1 n ( a - 1)2 ,"L , 2 ■* 1 ' 2

(4)

1 - a (a2 - l)a 1 - « (cT-\ )a

n r a - 1 -i r r f'(a) = -- b—tH =1 + a 1 - a

- 1

1 - a (a + \)a 1 - a 1 + a 1 + a1 - a + V 1 - a

Sucesiones 73

R (VT+o-Vi-a jVTa 1-a 1 + a + x/TTa VTa

71 ( Vl + a-Vl-g ^Vl-a %/l+a(Vl+a+Vl-a)

/2(l --y/l -or2), 1-Vl-q2Vi - a 2 Vl + a V í - a 2

Ahora integrado F (a ) = ( ;r — -z-.-* ■ - ) d a + k = n a - nJ VÑv

calcular k hacemos a = 0 .

F(0) = 7t (0) - ji (0) = k = 0 => k = 0 , de donde: F(a) = ti

F ( a ) = I ln(l + a c o s x ) d x = n a -;rarcsenar

/7(1)= jT ln(l + COS Jf)í¿C = 71- ( y ) = /T -

lh + 26 + 3 6 + ... + /J6 47) Calcular lim -------------- ------------- , sin usar Riemann.

/I—>0o '

Solución

Aplicando el criterio de STOLZ, se tiene: lim — = lim —n~*K b„ n->x> h

j an - l6 + 26 + 3 6 + ... + W6 \ a,i-\ - 1 ’ + 2 6 + 3 6 + ... + (/» -

I bn="1 (¿,,.!=(«-l)7

n ---- --------... .Vi - a 2

: are.sen a+ k , para

a - Ji are.sen a.

---- — = ¿ , donde:-V,l)6


r 6lim — = lim = lim — r - , 4 „ 3 2 ,n-yx bn bn - bn_\ »->x 7 « 1 -2 1 « +35« -3 5 « +21« — 7« + l

a„ .. «

______ 1______ i_____ = I„1^ 21 35 35 21 7 1 7 - 0 + 0 - 0 + 0 - 0 + 0 7

7 _ _ + + _ + _ n n n n n n

1 + 2 +3 + ... + « 1lim------ 7------= 7w->oo n /

^ l/ + 2 f + 3 '+ . . . + «r 148J Demostrar que: lu n -------^ ---------P +T "

Solución

lim[(ir+( í r+...+(i)'-]i(moc + /i— n ti ti ti

p*\ ¡\ 1 1-o = -

w-ü- ■ 1 r1 y p+{ /i= lim ( - ) ' - = i xpdx = — — / =

¿ - j n « J) "+1 / o/=!

P+l/o +* P+1

1F + 2 ^ + 3 + ... + « 1lim -------

« p+l P + l

® Sea a e R, arbitrario, u (a) = 1“ + 2 “ + ..+ « . Calcular lim —1 ——" n->rc n un(a)

Solución

un(a) = 1° + 2“ +...+«"' , entonces:^ h , , (a + 1) = l"+' + 2 " M +3"+'+ . .+ «

«í<H(a) = « l ‘‘ + « 2" + . .+ « “

Sucesiones 75

r ",,(« + D .. l"+ l+ 2" + l+ 3 a+l+ ... + «"+1m 7 T ~ --------- -i— ’ Para a = o»->*■ nu„(a) »->x «]"+«2"+... + «"+l

1 + 2 + 3 + ... + « «(« + 1) 1= lim -----------------— = lim —— ~ = - .

« + « + ... + « »-»r, 2« ' 2

Ahora calculamos para a > 0 (aplicando el criterio de STOLZ)

lim “"(q + 1 ) - lim "«(a + 1) ~ “«-i (a + 1 >n un(a) »-»* « 1«„(a)-(«-!)«„_! (a)

. |jm _____ (la+l + 2"+l + ... + «‘'+l) - ( l I,+l + 2 u+i + ... + ( « - l ) ‘,+1)

(«1" + «2Ü + ... + « . « " ) - ( ( « -1)1" + („ - 1 )2" 4 ... + ( « - ! ) ( « - ! ) " )

«"+l- hm —---------------------------------— (nuevamente STOLZ)

+2a +... + ( n - \ ) a +n.na

»-♦*(1 +2" + ... + (« -1 )" + « .« " )-( l" + 2 1' + ... + (« -2 )" + ( « - l ) ( « - l ) " )

\ + a■■------ , a > 0.

1 + /? eos" 1 + b eos ---¿o) Calcular lim — [ln (------------ —) + ... + ln(------------- — )1

«-»*>« . . «/Tl + a c o s — 1 + c/cos— 1

« «

Solución


1 + b cos — 1+ ftc o s”—,im — [ln(------------—) +... + ln(-----------"-)]

1 + a cos — 1 + a eos —n n

= lim — [(ln(l -fic o s—) + ... + ln(l +¿>cos— )) — (ln(l + a eos—) + ... + ln(l + a eos ))]»->x n n n n n

= lim — 1 ln(l + 6 cos— ) - S ' ln(l + a c o s— )]/í—>X ¡I ÁmmJ H jLmJ fl

/= I /=I

n nZ Í7T 71 , I7t. 71

ln(l + /?cos— ).----- lim > ln ( l+ a c o s —n n n-4<*. LmU ti n

= jf ln(l + b c o s x ) d x - ln(l + f leo sx)dx

, f \ + \¡ \ - b ~ \ , /I + \ f \ - a ~ \ , ( \ + \ l \ - b ~ ^= n ln (------------- ) - /T ln (-------------- ) = ;rln(------ , = = )l ¿ 1 + Vl-fl“

k , . nn1 + b eos 1 + frcos— i 4_./i_/,2 .

lim —[ln (------------ - ) + ... + ln(------------- — ) ] = n ln(----- 7= f )■ - ’ » V a c o s ™ > W l - V

n n

1.14. EJERCICIOS PROPUESTOS.-

I. Escribe los primeros cinco términos de la sucesión:

® { - t t } * . ©lw+Jí"21 ^ ' „ — — (2/i -1), (-l)'' .v2"~' > /OS ( CQS nx-y S 7 \ < 11 It. , . 1 2 ^'~l *3" -+-1J1.3.5. ..(2/1-1) n + n j + i

Sucesiones 77

(«-!)!' £ > © { 5 - - U - Un n

II. Escribir la expresión para el n-ésimo término de la sucesión.

© 1 ,4 ,7 ,1 0 , . . .

© J _ _2_ J _ _4_

2 .3 ’ 3 .4 ’4 . 5 ’ 5 .6 ’

© - 1 ,2 ,7 , 14 ,23 ,. . . ( J ) - -^ 3 4 5 ”

(?) i-L-1___L_^ ’ 1.3 ’ 1.3.5 ’ 1.3.5.7 ’

III. Usando la definición de límite (1.2) demostrar que:

© lim4-2/; 2

í m -------- = —n->x 3/í + 2 3 ( ? ) lim ——— = —

«->*2« + l 2

© iiml±l10'" A«->*5 + 3.10" 3

( ¿ ) lim k - k

® lim2 n +1

= 2

© lim ( 2 - i - i - ü - ) = 2W—> 00 fl

© lim4// + 1 4

n->x 5 /7 -4 5 8 J lim - ^ = 0n->cc„-

I© lim 3» = 1 10 ) lim

8/7

«->» 2/7 + 3■ = 4

© sen/7 „ lim ------- = 0n—»x , 2 ) i ™

"->* /7 +/7 + 1

13) lim5 -/7 1

«-»* 2 + 3/714) lim (a + — ) = a


IV.

15) lim1 + 22 + 3 2 +... + n2

Calcu

©

©

©

©

©

©

©

©

5« + 8/2 + 1ím --------------— = -5->® 5 + 3 /1 -« '

ar los siguientes límites.

-5n + 4ím

2n¿ +n

ím->oo

(3 -V « )(V « + 2) 8« - 4

. {2 + 2 2 + 3 2 + __+ n 2 ím -------------- :-------------

l 2 + 2 2 + 3 2 + ... + «2 > (1 + «)(2 + «)2

im (yfñ + !-%/« + !)

« + « A 2»+3,mv—t) ft +12 j_

/-/7 n 4- hn \¡m( £ _ ^ _ yn —>x /

im (y¡n2 +an + b - \ln~ + a ' n + b')->00

l

® lim Í2 + 3«4)3n—>00 ' '

|3 + 2 ln (« + l)

16) lim %/« + l - V « - l = 0

Rpta:V5

R p « : - -

Rptt: 3

Rpta: - j

_ IRpta: e 2

Rpta: e

Rpta: \fab

Rpta:a - a '

Rpta: e A

Sucesiones 79

® lim t f ñ* +a n 2 - y / n * - a n 2 Rpta:

U U lim — — t 3 3 + - + /?3/?->oq 2n + /? - 1

ft'

«§) lim(M )'n'"' Rpta: ln(£)^ »-»<» ln(«6) b

2 aT

Rpta:

1 + 3 + 5 + ... + (2 /7-1) 2/7 + 1 3 -12; l ,m ----------------- ------------¿ ----- — Rpta; _ £»-**> «+1 2 2

® lim — 1-----1— ----- Rota: 1„->* 2 4 8 2"

© ,!™(” _/í) RPta: ln(«), ln(l + e")

IS; lim ------------- Rpta: 1n —>oo

Ü ó ) lim « 2( e o s - - 1 ) Rpta: - -II —> 00 ft ?

(3/72 +1 )(l — eos -—)( 17) i¡m ---------------------- Rpta: -

n->* («2 -2)ln(l + - y ) 2

19) lim -— (6 + 1 8 + 30 + .., + 6 ( 2 « - l ) ) Rpta: 6A7

20) lim (■- + — + — + — + — + — + ... + ——) Rpta . 2v - / h->x 2 3 4 9 8 27 2" 2


/ C \ .. y¡n + 1 -yfñ 12r Rnta- —

3/?4 .sen: ( - ) l n ( l + - ) f i ) l im ---------------n-----------n_ Rpta: 3^2

/ í - > 0 O / í \

("+2)cosw

a l i . í ^ Rp.a: 1

24) lim ( J —— RPta: ( f ) 5'«-»* V 3/1 + 4 3

© lim í/tg(—— —) RPta: 1

I — ? ~ TTyfc(26) lim rt(arctg/;/¡)[(l+ — ) 2 ~ 0 + —) 4 ] Rpta: ——v--/ n->® n n °

© ta-VÓ “pk: ir,n->*>nr p r ’

28) lim

A7/T

® a*## Rp,a: "*

© Rp.a: abfl—>CO 3

Sucesiones 81

&> Rpta: I4,,’

® (n + l)ln(n) + ln(/i + 1) "h m ------------ — — ------ — Rpta: i»->x ln(/j)

u 3 j lim eo s -- .e o s —...eos— Rota* —^ »-*« 4 8 2" n

(34) l im ( - ^ — + - ^ — + ... + —1— ) Rpta; 1w »-♦* 2 - - 1 3 - - 1 i r — 1 4

(3?) Determinar el límite de la sucesión.

y¡2,\¡2 + \Í2, \j 2 + yj 2 + V2 ....... ■ Rpta: 2“ +3 /r

36) Calcular el límite lim (—------- ) " Rpta: e ”1^ w—>x n + 4/2

i I i

^ 7 ) Calcular lim [ - —— ■ - + C ] ” , a, b, c > 0

O v r , , .. (4h + 7) n n 6438; Calcular hm a„ , si a„ = —-------- -------------- — Rpta. —^ »->* • (16/7 + 1 ) 1 / 7 +3)

39) Calcular lim(— 4----- + ... + --------------------------------------------------) Rpta. 1"“** 1.2 2.3 z».(/i+l)

40) Calcular hm —¡— + —-— + —í— + ... + -«->*1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n + ])(n + 2)

O I


S T \ „ . , sen(e ")sen(<? 2")\n(n43n2 - 2 n - 4 )U y Calcular h m ---------- ¡---------------- r-----------------------

sen(--------- )sen(-------— )ln(/j4 -4 /? 3)1 + 2e" 2 + e

© Calcular lim[>/ñ + l - V^+T]'/" © Calcular lim —//-»x w->x

(i + /¡)4"(JV)"

k=i

-a" + c ” ■44) Calcular lim [----------- ] . a, c > 0 (45) limv / //—>X 2 //—>X

sjn~ + \ — n + \

lim \Z2/i1' + 5 ;/’ +1 — >/2//* - 3n + 5//»-> 0 0

® lim /«2 + pn + q - n/h2n —±rf:

•2 +rn + s

V. Calcular los siguientes límites aplicando los criterios que les corresponde.

(7) lim — + — + — + RPta: 1«->■» « 3 4 5 n + 2

1 i 1 1 Ü i(2 ) lim — ( 22 + 24 + 2 8 + ... + 2 r ) /í—>0c S» 'n-»oo 5«

I 3 7 -2"-l

R p ,a : |

( 3 ) l¡m —= 2 = ^ ( 5 ! + 5 3 + 5 5 +.. . + 5 > ) R p .a : -»->x \J\-21rr1 'n(9'¡)

353

® í~ 2 \ t ln 2 ln 3 ln(/¡) QnlQ. nlim sen(2;rcos —) ( — - + -—- + — —) Kpta.„_>* v m ln3 ln 4 ln(« + l)

@ lim J — Rp t a : 3« - > * \ 3 / 3 + 2 // + 1 6 1 2 6 / 1

Sucesiones 83

© lim »/5ii( — ) w »-»-V ln7 ln 14 ln7/j

//—>x 9/7

_ 1

Rpta: I

9

„> .. 1 + V2 + i f i + ... + yfñ8J lim ------------------------------ Rpta: 1

Rpta: 40

. 2 5 10 i r +_I

í o ) l im — ( 34 + 37 + 3 12+. . .+ 3 ,,:+3) Rpta: —« - > x 7 w 7

© Hm RPta: ~«-»x Y 8 23 5«" + 1 ' 5

VI. Calcular los límites siguientes:

® .. 1 + 2 V 2 + 3 V 3 + .. , + n\fñ 2

i“ ------7X— Rp,a: ?

( T ) lim (— — r + — ! — + „' + — — _ ) Rpta: Iw »-»» (// +1) (/í + 2) (// + /1)2 2

© RPta: 7«->® +1 w- + 2 ‘ n + n 4

@ lim (~t ~t + - " r ~;~+ - + ~ r ~ ~ ) Rpta:« -> x n + j n~+2~ n +n~ 2


© Ji m ( . I - R p t a : O»->» n (« + 1) (2 1 1 )

Q I + Rp(a: 1 ( 2 ^ 2 - ! )/»—>x Af 3

( 7) lim ( . 1 - - i- L = + ...+ ,— L ^ r) Rpta: ln(l + V2)"■** V«2 +1 V«2 + 22 \ ln 2 + n2

/ m n n \ n _ arctg.v¿ ) 'irn ( ■>, ■>■> + ~ — 7? r + ••• "l í r r ) x * 0 Rpta:

n-»=c w +1 jt n ' + 2 ' x n ' + n x A

//—>X® l 7C 2n nn „ . 1hm « sen-— .sen — ...sen— Rpta: —■ - 2n 2 n 2« 2

11( ío ) l i m - ^ y 1 Pe/’"' Rpta:

n—> f- y\~ P=\

- |_ _4_ j j

® lim — (e +2e 1,2 +... + n.e~') Rpta: - ( l — ),,->r.n2 2 e

Ir 71 ■) 71 2 7T i 2 71 t i - 1 2 H - \lim —I sen —.eos" — + sen — eos"------K.. + sen ------ ;r.cos -------/(->* n n n n n n n

Rpta: — —3,71

( Í 3) lim — 'yj(n + 1)(/í + 2)(/j + 3)...(n + «) Rpta: —«-» 30 n e

1 1 / 'n( ” ) ln( ,?)14) Um I [ - S + - 7- Í - + ... + - r M

«->* n / 1 i 2 , n

n v n V 11

Sucesiones 85

. . . 1 + 2" +3" +... + «* 115) lim ---------------- ------------ Rpta: -------^ »-»« na+' a + 1

_1 1 a16) lim se n (-^ -)(e " + e " +... + e ") Rpta: / r í l - í T 1)

//—>x n +1 . . .

^ 7) Si f(x ) es continua en [a,b]. Demostrar que:

lim —— f \ a + k ———) = í f ( x ) d x »->w n n JL

*=1

18) Demostrar que: lim — (sen —+ sen — + ... + sen —— - /) = -* C° SÍ»-+* /; u n n i

,, [~i 7 1Rpta. — \ a~ — 1 + — aresen —

2a 2 a

3 3 3

20) Calcular lim [— — r + —~ — - + ... + — — r ] ^ »-**'V + l 4 11 + 2 11 +'//

16Rpta. ln(3 + 2 ^ 2)

( 2 l ) Calcular el límite siguiente:

lim em "sen(e~ WÜ" )sen(— ^----- )[(I + - ) 2 + (1 + - ) 2 + ... + (1 + - )" ]»->* 5/7 - 6 1 2 /?

© Calcular lim — [7 1 + V ? + ... + 2\/2 2" '' ] /i-»x 5«

8 6 Eduardo Espinoza Ramos

VII.

(23) Calcular lim [l/' + 2P + ... + n /’][tg—]7'

n , tc , 2 n n 2k ( n7l\ í nn \

@ w - s e n ( - ) ( — ) s e n — ( — ' sen( ) .Calcular lim £ [ » + ---------- " - + ... + - * ------------* - ]

«-»*. n „ ? 2 /r 2 nnl + c o s ~ - 1 + cos“ — l+ cos

A7

a ,¡m R p t,. Iw->x Al V«

@ l im - ^ ( 3 « + l)(3n + 2)...4n Rp*a-H->X /J

256

27 e

(27) lim — [ (a + — )3 + (a + — )3 + ... + (a -¿—)3] Rpta. a +^ >x 77 /j n H

(28) Calcular el límite de la sucesión {an definida como:

n + 1 n + 2 2 n línta 2.a + ... + -T — RPta- 4

«• +1 n +2 n + n

Determinar si las sucesiones dadas son convergentes ó divergentes.

© RPta: Converge.n~

© {— }„>, Rp»a: Diverëe-v-' n© RPta: Converge.

( 4 ) {_ ^ _ sen — }„>, Rpta: Diverge.v-y n +1 2

Sucesiones 87

© 4"' 1A6 ín>i Rpta: Diverge.2" +10'

© Rpta: Converge.

© { ln( )}»>i Rpta: Diverge.n +1© { ln(n) — ln(w + 1)}I|£| Rpta: Converge.

1 J 11 sen(e"?r),2 ) l -------- --------}«>i Rpta: Converge.n +1

( íü ) { J e " ^ x }n>\ Rpta: Converge.

^ { Í ^ L l Rpta: Converge.n

( Í2) {>/"(" + 4) -« }„ > | Rpta: Converge.

© { J 1 ”, r——j-}/,ai Rpta: Converge.n *

^ 4 ) {V« + \fñ - y jn - y /ñ }„sl Rpta: Converge.

® cV«2 + 5 w -l - V «2 + 3> . . „i ---------- ¡7=;--------------- i«>i Rpta: Converge.

\ln~ + 3


¡í> V« + v«

{— + T + - + T/nai n~ n

n. \ n~

¿O) I1.3.5_(2/7 — 1) \~in>l

VIH.

A. Demostrar que:

B.

(T ) lim — = 0 — «-»0 «!

( ? ) lim a" = 0 si 0 < a < 1//—>cc

( ? ) lim = 0«—>x(2/j)!

© (ln(2 + e

3n’} n>l

( T ) lim yfñ = 1//~»x

© , im (10-° 00)" = 0//~->x /7 ¡

( ó ) lim M - = 0 w «-»x («!)

( 9 ) lim '<Ja" +b" +c" = c , si a, b, e > 0 , c > a, c > bn—>x

(ÍJ ) |im » ( « - ' X ‘| - 2) - ( " - ” *-v’.'. = o S i x 6 < .l . l>

Hallar el límite de las sucesiones siguientes cuyo n-ésimo término es:

© a„ = ...... ^ Rpta: b6

Sucesiones 3 9

,0 \ Utr + n 2 + \ - U n 5 +>iA + \ 2\ 2 ) an = —= = = = = ------= = = = = = = - Rpta: —'Jn2 + n+ \-yfiiA + ir+\ ^

® ..-V /?" + /? +1 —yjn +4n~ +1 Rpta: —~6

© 1 ,0 .1 ,0 .0 1 ,0 .0 0 1 ,... Rpta: 0

® Í . r i . o i ’ í . o o i ’ T.0 0 0 1 ’ R p ta : 1

( ¿ ) V2, \¡2 + s [ l , \¡2 + V2 + \Í2 Rpta: 2

© 0 .2 ,0 .2 3 ,0 .2 3 3 ,0 .2 3 3 3 ,... Rpta: —30

© 7 2 ,y [2 y ir ,y ¡2 y l2 ^ 2 , Rpta: 2

© {-Jñ{Jn + \ - s fñ ) }n>t Rpta: 12

© Rpta: i

® r/r 3 sen«!,—«Tí— Rpta: °

C. Si an > 0 y lim , entonces: lim ufa^ = L . Calcule los siguientesn-*ao d n n —>x

límites.


© l i m * R|” a : 1M-4X

r i ) iim í ¡ / 7 ^ 7 Rpta: 1^ /Í->X

© lim - 4 L R',,a : °y n"

Determinar si cada sucesión dada es creciente, decreciente ó no monótona.

© (Au, Rp,a; Creciente

® í | Rpta: CrecienteW - “

© { ( - I ) ” Rpta: no Monótona

® f( n + l ) 2 -i Rpta: Decreciente----(n>\

n

®( n" > Rpta: Crecienten\

4" i Rpta: Creciente

5" i Rpta: Decreciente----------- «21

%n ! ( Rpta: Creciente

3"

® f rt3 - h Rpta: CrecienteI— l*

Sucesiones 91

X.

Q o ) {costztj}í(>j Rpta: No Monótona

{sen^7í}„>| Rpta: No monótona

® 2"Rpta: Decreciente

(13) {-------- “ }„>i Rpta: Crecientew 2"+ 100

® í1 .3 .5 ...(2m -1)1\ ------^ —j------/„ > i Rpta: Decreciente

® i ) }«> l RPta: Decreciente

16) { ln ( - — )}„>i Rpta: Decrecienten

© Calcular lim Pir siendo Pn = - \ J ^ Rpta: a

senh a( 2 ) Caleular lim cosh — . c o s h c o s h c o s h - - Rpta:w ,,-» x 2 2 2 2'' a

® „ . . .. l />+ 2 / + 3 ; + ... + / / P + l 1Caleular lim --------------- ----------------------------------------------------- Rpta: —

«-»* n n 2

© Calcular lim (1 + _v)(l + jc2)(1 + jc4)...(1 + Jc2”) si |x | < 1 Rpta:n —k -r \ ~ x

© Hallar lim n' .a2--.a„ siendo lim n a n - a Rpta: a.e '


© (« + !)" n . />+lHallar lim -------------------- ------- !-----------------— Rpta: e

»->?. n(n - \)(n - 2)...(n - p + \)(n - p)

© Sea m e R .arbitrario, si la sucesión {S,, ("')},,>,> esta definido por

5 (m) = V"+2'"+...+n"'. Calcular lim 5«(/w + l)i i —>oo nS„(m)

1 „ l + m n „ 1- ' »Rpta: Si m = 0, S = - , si m > 0 , S = - — , si m < 0, S = - ------

K 2 2 + m 2 - m

© Determinar el parámetro X para que el limite cuando n —> °c de lan

y V - A - + !)(* + 2 )

expresión. A = [ — ------------------------ ]"" sea finito y determina el valorÁn2(n + 1)

1 ' _ 1de u para que valga e, se supone . finito. Rpta: a - n - ^

© Hallar lim a,, siendo a, = 1, a-, = 2, a 3 = 3, a4 = 4 . Sabiendo quen -» x

4a„ = a „ - 1 + an- 2 + 3 + f l i> - 4 ’ n > 4 R P t 3 : 3

10) Determinar el número a de manera que:

lim 'yja^n'" + w2 +1 + ' ^ ( a - 2 ) n m + n + \ , sea finito (m impar m > 1) y/7 - » X

calcular dicho límite para los distintos valores de m.

Rpta: a = 1, ^ si m = 3 y si m = 5, 7

_■> a - i a 2 asen a + 2" sen — + 3" sen — + ... + /J sen — a(ÍT) Calcular lim ----------------------------- ----- - ~ Rpta: -V ' v A?—> X 17“ -

Sucesiones 93

( ñ ) Probar que la sucesión ^ 3 , ^ / 3 , ^ 3 ^ W , . . . converge a V5

( j3 ) Hallar el límite de la sucesión, a , , a 2 , a 3, . . . e n la que cada

término es media aritmética de las dos que preceden. Rpta: a, + 2 a2

g ) Hallar lim -l(2 + ~+l- + ... + ±lL) Rpta: £ (Sug. Stolz-Cesaro)

> i i ig ) Hallar lim (« + l)“2 ( l Í + Í + l Í + ... + J í L ) Rpta: 2

«-+* 2 3 4 n + \

S u „ .. 1 + 22 + 3 3 + ... + «"Hallar lim ------------- ------------- Rpta: j

// —► X r

Calcular lim J _ " ----- , siendo positivo todos los términos de la!¡/at .a2..xin

sucesión y sabiendo que lim + * ="->xRpta: \fk (Sug. Stolz-Cesaro)

( Í8) Hallar lim Rpta; , (S stolz-Cesaro)/»->X y j" ,/»-►X

(19) Calcular lim - Rpta: 1 (Sug. STIRLING)^ /i->x ln(w!)

¡20) Calcular Jim Rpta: -Jñ (Sug. STIRLING)


(21) Hallar lim ''/(l + —) ' ( l + —) ' ( l + —) ' . . . ( l + —)'v— n->«. y n n n n

Rpta: ( —) ' (Sug. Fórmula de ST1RL1NG)e

(22) Demostrar que: lim ------——------- — —— ------= — (llamado la fórmula«-*<*> 1 .3 .3 .5 .5 ....(2 « -1 )(2 « -1 ) 2

de WALLIS)

[23) Aplicando la fórmula de Wallis, calcular

, 1.2.4.6...(2n) ra) lim ------------------------=

«->« «.1..3.5...(2«-1)

„ 1.2.4.6...(2w2) fzb ) l i m -------------------------- r---------= \¡ X

h.1..3.5...(2w - 1)

2 - a ........................................nil una^ 4) Calcular lim — -------------- r-.ln(-------^ - y ) siendo {a,,}

«->x ln(i + tg- (a„ )) 2 - a„ - a

sucesión infinitésima y, tal que: a n * 0 , V n Rpta: —

© Calcular lim 2 (/7¡) Rpta: — (Sug. Stolz-Cesaro)n->co (2w + l)! 2v;r

/''"N ■ ¿>q +10 6 ;+ 1 0l26) Defínase una sucesión 6 , tal que:' b0 = 1, o, = ——— .—,P„+i - rr ^ . . 2/)0 2bn

estudiar la sucesión, en caso de convergencia calcular lim bn/?->X

27) Demostrar la convergencia de la sucesión {«„ }„>i dado por

1 1 7+H-------- + ... + --------, n 6 Z

" n + 1 n + 2 n + n

Sucesiones 95

( 2 ^ Sea {«„}„>| una sucesión de números reales definida por

a \ = *’ a 2 ~ 2 ..... an - - ■ "-l para n > 3 probar que }„>, es

convergente y que lim an = -«-»» 3

( 2 ^ Analizar la convergencia de la sucesión y en caso de converger, calcular

el limite de „ * J E Z ...........j i l í í LV a +1 V f l + 1 V a + 1

que: ,v0, a, b son reales fijos, a > 0 y 0 < x0 < b.

(30) Si a, > 0, bi > 0, y a, tí b, definimos a2 = ./> , b2 = ^-(0 , + ¿>,) ,

a«+i = V « A " > = | ( « „ +*„) • Probar que:

a) a 2 „//—>x «—»x>

(31) Si la sucesión {»„}„>, esta definido por: //, = 1 , . = yjl + u„

¿un es monótona y acotada? si lo es, calcular lim !/,,.n —>x

(32) Dada la sucesión {bn } ;¡>| definida por: b, > 1 y bn+l= 2 — - paraKn > 1, demostrar que {bn , converge y luego calcular sus puntos de

convergencia.

© Sea {a n)n>I - tal que: a, = 2 , a2 = 8, a2ll+l = - ( a 2(f + «2„_,) ,

Cl2 n+2 ~ ~ jdí— , demostrar que {«„}„>, converge a 4.a 2n+\


( 3 ^ Estudiar la convergencia de las sucesiones

í ) 11 1a) K/tói > + - +

b) ¿1=1. b2 =i, ¿3 = |, ¿4 = | r... = 6"-1 +2b'rl

© Calcular l im lñ (- ) .ln ( l + - ) y diga si es convergente ó divergente. n-* 1 n n

($6) Demostrar que la sucpsión y¡3 , ^ 3 \/3 , ^ 3^ 3 >/3 ,... converge

(3^ Estudiar la convergencia de la sucesión

((i)2+i> (& J (& +é

-i 3 ( 1 + )Sea {7'„}„>] una sucesión tal que 7 j = 3 , Tn + \ = — — —— ¿ Tn es

i + Jn

Monótona y acotada?, verifique que lim T„ = V3 .n—>cc

«

(39) Dada la sucesión {i/(| está definida por //, = = •v/5~+4i/„_|

para n > 2. Analizar si la sucesión es monótona y acotada, de ser

afirmativo, calcular lim u„ .

^ 0) Analizar si las siguientes sucesiones son monótonas y acotadas, si lo son,

calcular el límite de cada una.

Sucesiones97

b) S„ - 1, i'n+| - — — , n está en Zo+.

“ + 1 a + 1 C7 + 1

donde ii0,fl,6 son reales fijos, tal que 0 < un 0 .

d) u, =1, « 2 = 2. - .« # » ® - ( k w_ 2 + m b_ i) , « > 3 .

e) c — J_ c _ 1 , 1 c 1 1 1} W +- V ’p>1-

Si Ta = 1, r j+, = — — , donde: a > 0 probar que:3 V

a) 7; > 0, « e Z + b) 7j > T2 > Ty ...> Tn > 0.

c) Tn >a, neZ d) {Tn} > converge.

C) ( .!íín/ » ) 3 = a 0 lim T„ > 0 .


CAPÍTULO II

2 . S E R I E S I N F I N I T A S . -

2.1. DEFIN1C1ÓN.-

Sea una sucesión de números reales, entonces a la expresión:

a{ + a2 + ... + an + ... se denomina serie infinita de números reales.

X

A una serie infinita: a, + a 2 +... + an +... representaremos por <z,, , es decir:

Donde a¡,a2, . . . ,a„ ,. . . , se denomina (o llaman) términos de la serie y an es

llamado el n-ésimo término de la serie. j

Ejem plos.-

( l ) La serie infinita: - + - + - + ... + - ^ - + ..., es representada por: w 2 3 4 n +1

XZ n _ 1

n +1 2»=1

1 2 3 n+ — + — + + ------ + ...

3 4 w + 1

©1 1 1

La serie infinita: 1 + - + - + - + es representada por:3 5 7

Series Infinitas 99

■ a. v-.-x ■ : •><>i¿‘sju> 1 í /■

Z> , 1 1 1-------- — 1 H------1-----1-----K..

2n -1 3 5 7«=1

® . . . _ . , 1 . 3 1.3.5 1.3.5.7La serie infinita: H------- i----------1-------------- 1- .. ., cuyo n-esim o término s es:;

1 .4 1 .4 .7 1.4 .7 .1 0 a . y.

1 .3 .5 .7 ...(2«-1) . , i.3 .5 .7 ...(2 /7-1)a = ----------------- -------es representado por: > ---------------- ---------—

1.4.7.10...(3n — 2) F P Z ^ 1 .4 .7 .]0 . . . (3 « -2 )

(■l) La serie infinita: — + — 4----- h-----f — + ..., cuyo n-ésim o término es:2 6 12 30 42

X

1 V 1 1Wn ~ — ------ . se representa por: > -----------

n(n 4-1) ‘ + 1) • - /.m il ¡?

OBSERVACIÓN.- De la serie A t o l e r o s ' realesX

’jb'juq 38 ~ at +a2 + ••>■ .fomareiiiosjiinajpíucesión. »-i

}„>i definida de la siguiente forma:

Bíinílm m el ab omua aornaiemull leus I ., . Z = u?. mil = B$>s \ = a \

S7 — a, + u-,2 a \ ' 2 r~j/r.nc.iua ab a s m a .uinagiavib «*j uv> ^ eJimini -mae el iZ

.S3 = a, + a2 + cij,■ k! Z3-jnoin3 .3t8Í/3 z - s>'¿ mil V¿ -./IÓ 13A 7 3 1 3 8 8 0

x v\

‘ 83tsÍ3wp ^S„ = a, + a 2 +... + an = ) a¡

! ¡ » 3ín38i 3vno3 83 ßliniini sh sz ßrtU

10 0 Eduardo Espinoza Ramos

A la sucesión se denomina sucesión de sumas parciales de la serie

infinita , siendo Sn la n-ésima suma parcial de la serie.

n-\

2.2 . DEFINICIÓN.-

QC

Consideremos una serie infinita y una sucesión de sumas parciales

tB } B2l '/l = l

Si el lim Sn = S existe, entonces diremos que la serie infinita / , a"/l-»X W=1

convergente y converge a S.

oc

Si la serie infinita , es convergente, se puede escribir así:

B = l

00= lim S„ = 5 , al cual llamaremos suma de la serie infinita.

n n —>oc/7=1

X

Si la serie infinita ^ a„ es divergente, carece de suma.

B=1

O BSERVACIÓ N.- Si lim = s existe, entonces la sucesión de las sumn-+ ce

parciales {s„ }„>,, es convergente, esto es:

00Una serie infinita es convergente <=> {s„}„>i es convergente.

/í = l

Series Infinitas 101

*Ejem plo.- Hallar la suma de la serie infinita j

n(n + 1)B = l

convergente.

Solución

oo

El términos n-ésim o de la serie infinita N ' -----!-----es-¿ ~ ín {n + l)n=1

(descomponiendo a an en fracciones parciales), es decir:

1 A B— i------ , efectuando operaciones se tiene: Aa„ =■

n(n + 1) n n + 1

1 1Luego: an =w(n + l) n n + 1

1a, =1 —

2

1 1a-, = -------

2 3

1 1a-, = ------3 i 4

1 1a"-2 _ , n - 2 n - 1

1 1an~I .« -1 n

1 1a„ = ------

n n + 1

en caso de ser

1a = -----------n(n +1)

102Eduardo Espinoza Ram os

sn = a i + a 2 + ... + a„ - 1 -n +1

Por lo tanto: j„ = 1-----— y lim s„ = lim (1----- '— ) = 1 existe, entonces: lan + 1 n->x n->=o n + 1

x

— !----- es convergente y su suma es igual a 1, es decir:n(n + l)

serie

X

In-\

n~ 1

1n(n + 1)

■=1

OBSERVACIÓ N.- Otra manera de hallar la n-ésim a suma parcial de una j

serie infinita, es usando la regla telescópica, es decir:

1 1 1Como a = ---------- => a . = ------------- r» entonces:n(n(« + 1) " n n + 1

sn = a] + a2 + >h +

n

/=!

Z (I — L ) = - V (----------- ) = - ( / ( « ) - / ( O ) ) , dondei ; + l Z -J J + l l

/=1 ¿=l

n + llim s„ = 1 existe, entonces:


x

zn=1

1«(n + l)

es convergente y su suma es igual a 1.

OC-

z11=1

1n(n + l)

- = 1

O BSERVACIO N .-

I o A veces necesitamos que la serie infinita comience en el término n0 o en

el a2 ó en algún otro término, si k > 0 es entero, escribiremos:

En caso de que carezca de importancia, al índice que se le asigne al • —

primer término, se acosti

designar una serie infinita.

primer término, se acostumbra con frecuencia escribir para

2° Puesto que lim (s„ - c ) , c constante existe o lim s„ existe, se deducefl-*x «—>co

que podemos omitir un número finito de términos < entre los primero) de

una serie infinita, sin que se afecta la convergencia o divergencia de la

serie, por supuesto el valor de la suma si existe, quedara afectado.

PROPIEDADES.-

x

Si y an es convergente, entonces: lim an = 0iwmmJ //-»XI I-]

Dem ostración


Como la serie I - converge, la sucesión de sumas parciales {■$„}„>

«=iconverge, esto es: 3 lim sn = s , ( lim = s ) pero

n->x n-t-r.

a„ — sn => lim a . = Jim(s„ - s n_x) = s - s = O ; luego: fon a„ = O

X

Si lim a„ * O , entonces la serie infinita y a„ es divergente.M-»X ■ ^

(1=1

Dem ostración

XSuponiendo que es convergente => lim «„ = 0 (por la propiedad

n-\X

pero esto contradice a la hipótesis. Luego ^ ' a„ diverge.»=i

NOTA.- Esta propiedad es muy importante, pues permite, en algunos caso;

determinar en forma inmediata la divergencia de una serie.

Ejem plo.- La serie infinita I ;n-\

,? + \

+ 2es divergente puesto que:

n +1 , „lim ü„ = lim —r----- = 1 * ü

« -» x »-»X. n + 2

Si gn y 2 ^ b „ son series convergentes con sumas i, y v-

n~ I n=\

respectivamente y c e R. Entonces:


i) y can converge a c s, , es decir: ' ^ c a , , = c S ' a , ,

"=l «=i «=i

i¡) / , K + K ) converge a s, + s2 es decir: j T (a„ + b„) = a„ + b„

"=l 1 «=i «=i

(a„ - ) converge a s , - s2 es decir: N («„ - b„) = V a „ - V bn

',=i «=l n=l n=l

Dem ostración

Demostraremos ii. puesto que i . , iii, serán similares.

X

' 5 ' S an +hn )~ (a¡ + b¡ ) + (fl2 + ¿>2 ) + ... + («„ +b„) + ...n= l

La n-ésima suma parcial de esta serie es:

X

+ ¿¿) - («i +¿>,) + (a2 +b2) + ... + (an +bn)k-\

= (í7, + a 2 +...+«„ ) + (¿! +b2+...+bn)

= sn + t ,r donde: y son las n-ésima sumas parciales de:

X X

y respectivamente, luego«=1 11=1

X

lim y (aA. + bk ) - lim(.s„ + ¿ ) = 5, + s -,, es decir:>->x ¿ >x

A=l/;—>x

106

©

©


lim//—>X

y ' (ííA. + ¿>A.) = s, + s2 existe, entonces: ^ (a„ + ) converge

A=l "=lX

y'(all+bn) = s\+s2.n=\

Si ^ a „ es divergente y c € R, entonces: 2 _ j C'a” es diver8ente •„=1 n=\

Dem ostración

Ejercicio para el lector.

X _ X x ^

Si ^ a„ es convergente y / b„ es divergente, entonces: / («„_i .,=1 n=I

+ ¿>„) es

n=\

divergente.Dem ostración

X

Suponiendo que ^ \ an + ) es convergente.n=i

X X

Series In finitas107

DemostraciónX

Como / an converge, sea s su suma, esto es://=!

lim stl = í - o V f > 0 ,3 ,V > 0 / n > N => |s — si < £■.

En particular podemos considerar: ¡,vn - s | < ^ , p0r tanto, si R>N y T>N.

|-v* _ -s 7 '| = b ? - J + í - í r | ^ | s / f - i | + ¡ 5 - 5 r |

Luego = y ^ [ ( a „ + b „ ) - a „ ] seria convergente por 3iii., pero es una

n=l n=lx

contradicción con la hipótesis por tanto: + b n ) es divergente.

2.4 TEOREMA.-

Sea { s ¡t} #(>I la sucesión de sumas parciales para una serie convergente

X

’ entonces: para cualquier £ > 0 , 3 A í > 0 / | í R- í r | < £ ' siempM

V £ > 0 , 3 N > 0 / R , T > N = > \ s „ - j r |< *

12.5 SERIES ESPECIALES.-

a) SERIE ARM Ó NICA.- La serie annónica es de la forma:

V 1 i 1 1 1/ - = 1+ - + - + ... + — + ...* n 2 3 nn=l

n=ique R > N, T >N.

La serie armónica es div ergente: En efecto 5 = 1 + i + i + + i2 3 n

1 1 1 1 1s 2 11 - * + — + — + ... + — + ------ + ... + — , entonces:

2 3 n 1 1 + ] 2 n ■

108 Eduurdo Espinoza Ramos

i i l i i i _ J L - 1Par a n > l => ' + ^ > ^ + 2„ + ’ "+ 2„ " 2» ' 2

(pues hay n-términos en cada lado de la desigualdad)

Luego s2n - s „ > - ... (a ) siempre que n > 1, pero por el teorema 2.4.,

establece que si la serie es convergente s2n- s n se puede hacer tan

pequeño tomando n suficientemente grande, esto es:

Si £ = - , 3 N > 0 / |s 2rt — sn 1 < ^ siempre que 2n > N, n > N, pero esto

X

contradice a (a ), por lo tanto: es divergente.«=i

b) SERIE GEO M ÉTRICA.- Una serie geométrica es de la forma:

00

E ‘ar" 1 = a + a r + a r 2 +... + ar" 1 + ...

n= \

La serie geométrica es convergente cuando r < 1 y es divergente

cuando r > 1 .

En efecto: La n-ésima suma parcial de ésta serie, está dado por:

s = a ( \ + r + r 2 +...+r"~] ) , además se tiene:n '

\ - r n = ( \ - r ) ( \ + r '+ r2+...+r" ')

Luego = a(l + r + r2 + ... + rn_l) = — ^, r # l. Entonces:


©

lim sn — lim £/(— ) — lim -------- ]¡m ------- , donde: lim ------- existe«-»oc n -* x 1 — y «~>x 1 — /• « -» x 1 — y « -> x 1 — y

y es cero si |r| < 1, por lo tanto lim sn = ------ , si |r| < 1, entonces: La« -» x i _ y

X

serie geométrica y a r n 1 , converge cuando |r| < I, y su suma es ■ ,1 - r ’«=iX

es decir: y ar"~] = —— / \r\'< 1i - r

/;=i

cirn w ^Si \r\ > 1 => lim ------no existe, por tanto la serie geométrica / ar" es

« -> x 1 — /• / J

n=l

divergente, cuando |/-| > 1.

Ejemplos:

r 4 4 4 4 iLa sene > + ------h... es una serie geométrica con r = ~ <

^ 3 ' 3 9 27 3»=i4

la serie converge y su suma es: 5 = — = 2 .1 '

3

Z ')n -f-3" 9” V1 ,C“"i v n 'i——-— , se puede escribir (—)" + ( - ) " ,

«=0 «=0 n—0 n=0

de donde: ^ A y ) ” = + T + TJ + ~" ’ es una ser‘c geométrica convergente,


y (íy.¿ L V 5 25

es una serie geométrica convergente, pues

H-0

3 1 _ 5r = - < 1 y su suma es: s = — - - —5 J.2 25

s = —, por tanto: 2

n = 0

2 " + 3 " 25, ^ > converge a — .

14» V "1 4” \T ' / '4 \„ 4 16( 3 ) La serie , diverge. En efecto: / / y = / , ( 7 ) ~ 3 + 9 + "”

3 "=° n=0oc

una serie geométrica donde: r = —> 1 , luego es divergente.

es

n=0

@ La serie 0.3 + 0.03 + 0.003 + ... + ^ + - es una serie convergente.

En efecto: La serie 0.3 + 0.03 + 0.003 + ... + ^ + .... se puede escribir como

A + J L + J - + — + . .. , donde: r = — < 1 , por lo tanto la serie es10 102 103 " 10" 10

convergente y su suma es: s - y

1_Tó

Series Infinitas i i 1

c) LA S E R IE - P . - La serie - p, tiene la forma:

siendo p una constante.

X

Cuando p > 1, la serie-p, ^ — , es convergente.

/?=i n

X

Cuando p < 1, la serie-p, y — es divergente.¿—i nPn=I

1 00Para el caso cuando P - 1, se tiene la serie armónica

n- 1divergente.

Ejem plos.- Detenninar la convergencia ó divergencia de las series.

* ("-0!— %

n=I

Solución

*'(»-!)! _ ^ (/,-!)! ^ 1Z («-!)! V1 (n-D! 1. ~ 2-j~ñ.{n - \ ) \ n = 2 , 7 ’ CS Una SCrÍe-p’ d0nde; ? = 2 ;«=1 n=i ' ' „=i

es convergente.

i«=i

Solución

Z s f ñ ( n - \ ) \ V ' W t t ^ - I ) ! 1~ \ " = 2L~’esu n a s e r i e ' p ’ d o n d e : P = /i = | . i

que es divergente.

que es

1, que

1 1 2 Eduardo Espinoza Ram os

2.6. SERIES INFINITAS DE TÉRMINOS POSITIVOS.-

La serie infinita ^ ' a„ , donde: a„ > 0, para todo n 1,2,..., se llama

«=iserie infinita de términos positivos.

En este caso, la sucesión de la sumas parciales , donde:

sn = a¡ + a 2 + a 3 + ...+ «„ , es creciente, ósea: s, < s2 < s 3 < ...< sn < sn+i < ...

2.7. TEOREMAS.-

2.7.1. TEOREM A (CRITERIO DE COM PARACIÓN DIRECTA).-

X

Consideremos la serie infinita ^ ' a„ de términos positivos, entonces:

n=\

oci) Si la serie infinita , es una serie de ténninos positivos y es

n=1x

convergente y además a n < bn , V n > N => ^ ' a„ , es convergente.w=l

X

ii) Si la serie infinita ^ b „ , es una serie de ténninos positivos y es

/!=1X

divergente y además an > b n , V n > N => ^ an , es divergente.n=l

Dem ostración

x

i) Se tiene que an > b n , V n > N. Sea ^ ' bn = b , pues la serie / CH»=1 "=1 9

convergente, entonces: V n > N; tenemos: ]


" \ n N n

'n ~ ak = + / ^ , A; - entonces:*=l *=1 *=,V+1 *= | A=A'+1

A' /; A' yV'

« - + ^ bn - - entonces: + ¿ , es decir

X

la sucesión de sumas parciales {^ „ } (,al de la serie es acotada

n=l

superiormente y como es una sucesión creciente, concluimos que la serie

an es convergente.n=ls/í=l

x

ii) Suponiendo que converge, entonces por i., tendremos que:n=l

/ b„ converge, la cual contradice a la hipótesis, por lo tanto: \ aH

n=l »=i es divergente.

Ejem plos.-

X

Determinar la convergencia ó divergencia de la serie - + nl + « :n~]

Solución

n > 1, se tiene: 1 + /?2 < n + n~, l + n2 < n ( \ + n), ,n l + n2 ’

1 t Xi 1 + w 1 w V 1 1luego —— - > — , v n > 1 y como y y~ es divergente (serie armónica) por

n=1X

lo tanto por el teorema 2.7.1 ii. concluimos que: \ 1 ——— es divergente.I +/¡2w=!


X ^

Determinar la convergencia ó divergencia de la serie / — -^ >2 2«=i

Solución

X

i i v iV n > l , s e tiene n2" > 2” =í>— , como > —

«2” 2” 2" /1 = 1

es una seneni"

geométrica convergente (r = — < l) .

Luego por la parte (i) del teorema (2.7.1), concluimos que —

convergente.

1es

ni"n=i

Determinar la convergencia ó divergencia de la serie:2 + sen3(w + l)

Solución

V n e Z +, se cumple -1 < sen3(n + 1) < 1, sumando 2, I < 2 + sen3(n + l) < 3

„ 2 + sen3(« + l) „ 3 ^ 3 , •iuego es decir.

30 < 2 + sen ^ < — como " V — es una serie geométrica convergente

2" + n 2" ^ 2n=1^ ______3

(r = — < l ) concluimos por la parte 2.7.1(i) que la serie: / ¿ 2” +n2 «=i

es convergente.

2 + sen' (w + 1)ñ , 3


2.7.2.

©

TEO REM A (CRITERIO DE COM PARACIÓN POR LÍM ITE).-

y- X

Consideremos las series infinitas ^ ân y ^ bn de términos positivos.n=l n=1

Entonces:

i) Si lim - k > 0 => ambas series convergen ó divergen.77->cr h

X

ii) Si lim = 0 y ^ ' bn converge ^ ’ ü„ es convergente.17=1 77=1

X

iii) Si l i m = +cc y ' y ' hn es divergente => la serie z a„ , es

n = l 7 7 = 1

divergente.

Ejem plos.-

X

Determinar si la serie es convergente ó divergente.77=1 n

Solución

Sea «77 = ~ . tomemos A,, = ~ . es decir:

X

^ — es una serie geométrica convergente (/• = — < l) .'2

77=1

1a n' 2n J

Entonces : lim — = lim = lim — = lim ( - ) ” = 0/»—►x //—►x 1 /»—»x n —>x //

2"


X

Luego lim — = 0 y V * — es convergente.n—>x h * 22"fl=l

X ^

por lo tanto por la parte (ii) del teorema 2.7.2 concluimos que la serie ^ ~ >n = 1

es convergente.

* 2Determinar si la serie > - 4 — es convergente ó divergente.

Z - f 4 « 3 + l(4n +1n=l

Solución

2 j v 1 |Sea a = —------, tomemos b = — es decir: / — una serie divergente,

” 4n3 +1 n j - f n

entonces:

n x 1

lim — = lim = Jim — '1— = i > 0 , luego lim > 0 y V - J - ,n->°ob„ »-♦» 1 «-»«4«3 + l 4 #>-+«•£>„

n

es divergente, por lo tanto por la parte (i) del teorema 2.7.2 concluimos que la

* jserie > -— r— , es divergente.

4« +1*=i*

X

Determinar si la serie ^ s e n ( - ) convetge ó diverge.

n=i

Solución


Como - sen( ) , tomemos bn - — es decir: S — una sene divergente, « « L—À n

n=i

entonces: lim ^ = lim — = lim « s e n ( - ) = 1 > 0 .n —>x n —>x 1 /»—>00

n

00a V' ' \

Luego lim = 1 > 0 y es divergente por lo tanto por la parte (i) del»=i n

X

teorema 2.7.2 concluimos que la serie > s e n ( - ) , es divergente.n

n=1

2.7.3. TEO REM A (CRITERIO DE LA RAZÓ N Ó CR ITERIO DE DÁLEM BERT).-

X

Sea ' ^ a „ una serie infinita con an > 0 , V n (de términos positivos) yn = 1

convengamos que: lim * = k , entonces:>X ¿7 w/i

x

i) Si k < 1, la serie ^ ' a n es convergente.n = 1

x

ii) Si k > 1, la serie J a„ es divergente ó cuando lim — -+ 1 = +ooJ «->oo a«=i "

¡ii) Si k —1, no se puede determinar nada.


Ejemplos:

X

(7) Determinarsi la serie ^ ^ « 2 ~ " es convergente ó divergente.

«=i

Solución

n n +1Sea a = n2 = — =>a = ------ r , calculando el límite se tiene:11 2» | /I ~T~ I

fl„+l 2"(n + l) n +1 1k = lim — ~ = h m -------------------------:— = lim --------= - c 1

n —>x a 2 n w->x 2n 2

X

Luego por la parte i) del teorema 2.7.2 se concluye que la serie ^ ' />2 " , es

convergente.

© Determinar si la serie ^ n es convergente o divergente. jen=\

Solución

'3 + lVw3 +1 >/(« + 1)3Sea f l„ = ----- — => «,,+1= ^ -----^ ------ , entonces:

e e

k = lím ■r i±L = lim - J v ' —— = - < 1« «->oo e ^ « + 1 e

■Luego por la parte i) del teorema (2.7.3) concluimos que a sene >«3 +1en—i

es convergente.


®

2.7.4.

X

Determinar si la serie ^ es convergente o divergente.17=1

'yfn(n + 1)

Solución

•n r—— — —' u)f+i - ,V«(« + 0 J(n + \)(n + 2)

l _ r “‘«+1 r Jn(n + l)k - nm — — lim - t .. = 1 • Luego por la parte iii) del teorema

«->» fl„ «-»x y¡(n + l){n + 2)

(2. / .3) no se concluye nada. Ahora aplicaremos el criterio de comparación por

1 1 -y ilímites como a); = , — , tomamos bn — —, es decir: % — es una serie

-y//7(n + l) «

divergente, entonces £ — lim - lim - y - = 1 > O . Luego por la parte i),,->oc¿>(i -Jn(n + l)

X

del teorema (2.7.2) se concluye que la serie ^ .. 1 — es divergente

i

TEO REM A (CRITERIO DE LA INTEGRAL).-

Sea f uña función definida y positivos para todo x > 1 y además decreciente yX X

que f ( n ) = an , V w g Z . Entonces la serie infinita s / ( « ) es

n=I //=!/•fx

convergente, si y solo si, la integral impropia I f ( x ) d x es convergente y si

|* fx x

la integral impropia J f ( x ) d x es divergente, entonces la serie

divergente.

es77=1


Demostración

Sea i e Z + , por el teorema del valor medio para las integrales

f+i

3 e / f ( x ) d x = 1 , f(e) donde: k < s < k + 1, como f es decreciente se

tiene: ak = f ( k ) > f ( s ) > f ( k + 1) = ak+], entonces ak > f (x)dx > ak,rLuego V n e Z i - z f

nf ( x ) d x > ' sy a k+\ , de donde

A=1 k=I k =1

ak - a ,

Ahora veremos para el caso en que n - 4

Y n

\A 1

K.A 2

A 3 aT1 2 3 4 5 X 0

A, A,

1 2 3 4 5 X

Luego por el criterio de comparación las expresiones

y«,, r /(# ,y<*=1 A-=l

simultáneamente.

, son convergentes o divergentes


Ejem plos.-

X

( T ) Demostrar que la serie - p, " V —- , es convergente si p > l y es divergenteZ - j nPn=\

si p < 1

Demostración

Como an = — = f { n ) => / ( .r ) = — , entonces:

: lim [----- --------------------] = ------- , si p > l* -> * ( p - \ ) f ) P p - \ p - l

X

Entonces la serie - p, ^ -— es convergente, si p > 1 ; y es divergente para-i=i

X

p < 1, para el caso en que p = 1, se obtiene la serie armónica % —, que es/LmJ nn=1

divergente.

x

( .’ ) Determinar si la serie ^ ’ ne~" , es convergente o divergente«=i

Solución

Como a„=ne~" = f ( n ) => / ( * ) = ,xe~x , además f(x) > 0 para x > l y f

es decreciente en [ 1 ,+oc>


©

2.7.5.

Luego JP xe Xdx = lim jP xe x dx = \im(xe ' —e ' ) j

= lim [(ée- * - ) - 2e 1 ] = 2e 1/>—>0c

X

Por tanto | xe xdx es convergente. Luego la serie z n es convergente.J »»=i

Determinar si la serie > --------- es convergente o divergente./;ln(«)

n=2

Solución

Como a„ = — !— = A » ) => / (Jf) = - r — > 0 para x > 2 , además nln(/i) xln.v

f \ x ) = — 1 + ln-AT < 0 para x > 2 Luego f es decreciente en [2,+«->, por (.y ln x)

tanto:: f dí - = lim ( - A _ = lim ln(ln .Y )// = lim l n ( - ^ ) = co¿ xln.v />->+* ,vlnx />-»+* ' 2 *-»+00 2

X ^

Entonces se tiene que f es divergente. Por lo tanto } ■ — , es¿ x ln x a—

divergente.

TEO REM A (CRITERIO DE LA RAIZ O CRITERIO DE C ALCH Y).-

X

Si en la serie infinita a„ ,,de términos positivos, se tiene que lim i¡¡a = A-,

H = 1entonces:


®

X

¡) Si k < 1, la serie ^ ann~\

es convergente

¡i)

X

Si k > 1, la serie

n=les divergente

iii) Si k - 1, no se puede determinar nada.

Ejem plos.-

X

Determinar si la serie / (—----- )' es convergente o divergente.* 2/ i - l

n=i

Solución

/7 + IComo t íJ( = ( - ------ )" y de acuerdo al criterio de la raíz se tiene:

2n - l

k = lim "¡an = lim +1 )" = lim — - 1- = - < ] ,,->x „-»a. V 2 / í - l «->*2/7-1 2

X

Luego la serie: -y)" , es convergente de acuerdo a la parte i) del»= 1

teorema 2 . 11 .

© Determinar la convergencia o divergencia de la serie s ( / /» - i r11 = I

Solución

Como an = (/í" - 1 ) ” y de acuerdo al criterio de la raíz se tiene:


©

i i k = lim d a n - lim ]¡(n" - 1)" = lim («'’ - 1) = 1 - 1 = O < 1

fl-~ > GC « —>00

1

«=1Luego por la parte i) del teorema 2.7.5 se concluye que la serie

es convergente.

s r ^ n \ J 2 + 2)"Determinar si la serie•‘ Z :

11=1 3"es convergente o divergente.

Solución

Como a„ =ny( J 2+ 2)"

3"y de acuerdo al criterio de la raíz se tiene:

k = lim = lim í'\ 4 2 + 2 ) " J V 2 + 2 _ V 2 + 2

lim n" ■n -* 00 ]j 3” I1-+OJ 3 3

Luego por la parte ii) del teorema (2.7.5) se concluye que la serie

1 n i (s¡2 + 2 )n

n=1 3"es divergente.

Observación.- El criterio de comparación, es un criterio de convergencia

para series con términos positivos, sin embargo se puede

usar para probar la convergencia de otras series.

oo 00

Si y ' an , es una serie cualquiera de números reales, entonces ^ Ja„ j ,

n= l ' ,=1

una serie de términos positivos y por tanto el criterio de comparación puede

oo

aplicarse a la serie ^ \\a„ \ ■n=i


2.8. SERIES INFINITAS DE TÉRMINOS POSITIVOS Y NEGATIVOS.-

Una serie infinita de la forma siguiente:

X

Y n r \ = a , - a 2 + «3 - a 4 +...+(-1 ) n+lan +...

n=1

donde: a n > 0 , V ne Z +, se de nomina serie alternada.

00También las series de la forma: ^ ( - l ) " . a H = -« ¡ + a 2 ~a.} + ... + ( - l ) ' 'a n + .. . ,

n=idonde: an > 0 , son series alternadas.

2.8.1. TEOREM A (CRITERIO DE LEIBNIZ).-

La serie alternada de la forma:

Es convergente si se cumple:

¡) 0 < « „ +i < a „ > V n e Z \ ii) lim an = 0

Ejem plos: Determinar si la serie alternada dada es convergente ó divergente.

ool

n=2 ln(/7)


Solución*

Como a„ = —-— => a,,., = ----- ------ , además V n e Z +, n < n + 1 =>" ln(w) " 1 ln(n + 1)

ln (n) < ln (n+ 1) = > ----------- < -------- , para n > 2 es decir: an+¡ < an, V n > 2ln(H + l) ln(n)

< Iy además: lim an = lim ------- = 0 .

fl-»X Í|-» X ln(«)*

X

i V ' n 1Luego por el criterio de Leibniz, la serie alternada: / (-1 )" ------- , esln(«)

ii=2convergente.

© Z H r '¥n=i

Solución

Como a„ = — => a,,., = —!— , entonces: V n e Z ” , 2" < 2"'1 , de donde:n n+i v ,+i ’2 " 2

< — , V n > 1, es decir: < a„ , además lim a,} = 0— i» n~T\ t i tt2"+\ 2 n

oc

1Luego por el criterio de Leibniz, la serie alternada: I h »

n=lconvergente.

"+1 es

n-\Solución


Como an - - - => a j - ------— , V n e Z + , 2n -1 < 2n , sumando 3« 23« -1 3« + 2

3« + 2 n — 1 < in" + 2 n , ( n + l ) ( 3 n - l ) < n(3n + 2)

n +1 n , . ,------- < ------r es decir: a , < a , V n e Z , además:-3 « + 2 3/7 — 1

lim an - lim ------- - = - # 0 . Luego de acuerdo al criterio de Leibniz, la serie/í-»oe /i—>x .3/7 —.1 3

alternada: \ ( - l ) ”+ l--------es divergente.3« -1• n=1

oo

NO TACIÓ N .- A la serie alternada ^ "( -1 )"+]a„ , abreviaremos escribiendon=i

donde: = ( - 1)”+1 a |fc„| = a„/!—1

2.8.2. TEO REM A.-

Si la serie

convergente.

Dem ostración

Como la serie y j nlt j es convergente (por hipótesis).« = 1

Luego por la propiedad de valor absoluto se tiene:-|un | < un < \un j, es decir:

es convergente, entonces la serie alternada y i es


0 <w n -t- |t/„ | < 2¡w„ | , de donde: la serie + |» „ |) , es una serie den =i

términos positivos.

00

Luego un +|ww| ^ 2 |i/J , V n > N y además la serie es convergente,n—\

x

entonces: por el criterio de comparación la serie ^ ' (»„ + |« „ |) , es

n=1n x

convergente pero + |m„ | ) - | m„|) , es convergente (suma de

«=i «=iseries de convergentes).

Por lo tanto la serie , es convergente.,1=1

a) DEFINICIÓ N.-

30

Se dice que la serié alternada y » es absolutamente convergente, si la

n=1

serie |t/„| es convergente.

»=i

b) DEFINICIÓ N.-

X;

Una serie alternada un que es convergente, pero no absolutamente

«=iX

convergente, se dice que la serie ^ ' iin es condicionalmente convergente.

«=i


OBSERVACIÓ N.- El teorema 2.8.2. establece que toda serie absolutamente

convergente es convergente.

Sin embargo una serie convergente puede no ser absolutamente convergente.

x OC

Sí la serie s un | converge => es convergente.«=i n=i

cr- X

converge =£> ^ | » )(| converge.«=i »=i

Ejemplos:

X

(7 ) La serie alternada — , es una serie convergente, sin embargo la//=! n

X - , 00

ríe ^ no es convergente.sene

n=1 ' ' n-\

( ? ) La serie alternada — , es absolutamente convergente, pues la serien=1

X | , co

y -D " — = , es una serie geométrica con razón r = — < 1 . LuegoW=1 rt = I

X

la serie es convergente y por lo tanto: la serie “ es convergente.n=1

O BSERVACIÓ N.- Para determinar la convergencia o la divergencia de. las

series alternadas, se usa el criterio de la razón.


2.8.3. TEOREM A (CRITERIO DE LA RAZÓN PARA SERIES ALTERNANTES).-

X

Sea ^ ' un una serie alternante, tal que un =£ 0 , Vn. Entonces:

«=i

i) Si lim ln+\OC

: k < 1 , entonces la serie ^ ' w„ es absolutamenten=i

convergente y por lo tanto es convergente.

ii) Si lim = k > 1 ó lim/J -> X

w+lCO

: +oc, entonces: la serie ^ \ i n , es/7 = 1

divergente.

iii) Si lim

de la serie

‘«+i 1 , no se puede determinar nada, acerca de la convergencia

ien=1

Demostración

i) Sea r un número, tal que: lim

como: lim

ff+i

*n+1

grande, tal que:

< r < 1 , es decir k < r < 1 , entonces

= k , existe un número N > 0, suficientemente

< r , Vn > N, se tendrá que: |mjV+i¡ < r\uA ’‘«+i

< r ‘jV+l ; \un+í \ < ''k v+2| > etc->0 lo que es lo mimismo:-


|«A'+3 |< ^K v+2 |< '' |% |

l%+/>| < , P \un \ > V p e z +

Luego la serie \un\ es convergente, pues r < 1 entonces: la serie

X—< x¿ \ uN+p\ > es convergente, y por lo tanto la serie J un

p=i „=1es

absolutamente convergente.

Si lim »«+i > 1 ó«->00‘»+1 -»=0 cuando n —> 00, entonces: existe un

> 1, siempre que n > N, es decir:■‘»+1número' N > 0, tal que:

\un +\ | > Kl. siempre que n > N.

Luego es una sucesión creciente de términos positivosX

lim un * 0 . Luego concluimos que es divergente.

Ejemplos:

»=1

X ^

(T ) Determinar si la serie alternada " V ( - l ) ' ,+l — , es convergente ó divergente ón\n=1

condicionalmente convergente.


Solución

Como w „ = ( - l ) H + l 3"

n\«*+. = ( - ! ) '

n+2

(» + !)!

lim «»+i = lim>x

( - l ) ' ,4'23/l+1»!

(— 1)" 3” (/i +1 ) != lim ------ = 0 < 1

n~»x n + 1

comoi '>nk < 1, de acuerdo a la parte (i) del teorema 2.8.3 la serie / / - l ) ' ^ ' — ,

n = 1

X -1 n+1 3”es absolutamente convergente y por lo tanto la serie es

convergente.

00

@ Determinar si la serie alternada H ) ” > es convergente ó divergente ó

condicionalmente convergente.n=\

Solución

Como u„ = (-!)"

Luego k = lim

n ! 2/j+i

«(l+i

( - l)" +l(n + 1)!«»+i =■ y i+ 2

2"+l(n + l)! .. n + 1 ^= lim ------ ^ ------ = lim ——- = -KK .

n-*x 2 n\ "~>x 2

Por lo tanto de acuerdo a la parte (ii) del teorema 2.8.3 concluimos que la serieTO

Z n'( - 1)" —— es divergente.

<7=1


2.8.4.

©

TEOREM A (CRITERIO DE RAABE).-

X

Sea } an una serie infinita de términos positivos, si k = lim n ( l - - ^ i ^ )¿m m m d //->X Q

n=\

entonces:

oc

i) k > 1, la serie ^ ' an es convergente./! = i

X

ii) k < 1, 1a serie ^ ' an es divergente.n=l

iii) k = 1, nada se puede afirmar de la serie ^ ' anH=l

Ejemplos:.

Determinar si la serie V ——— es convergente ó divergente.^ « 2 + ln=1

Solución

V ’1 1De la serie > —-——, se tiene: an = —— de donde: a„+1 = ----- — ---- ,de1 n +1 (« + 1)"+1n=\

acuerdo al teorema 2.8.4 se tiene:

k = lim u(l-Í¡5±L ) = lim n( 1 - fr-.t .U ll l ) , jfc = lim w( = 2 > 1.1 w->ob + 2/7 + 2

/72 +1


Luego de acuerdo a la parte (i) del teorema 2.8.4 e concluye que la serie00

Y - J - , '+1

es convergente.«" + 1n=1

© Determinar si la serie ^ ---- ----- es convergente ó divargente.2n +1«=i

Solución

En la serie dada se tiene que:

n2 - 1 (n + 1)2 - 1 n2 +2nde donde: a„+1 = —----- - y — -

" 2n2 +1 2{n +1) +1 2n + 4« + 3

Aplicando el teorema 2.8.4 se tiene:

n2 + 2 n

i , \ i- / i 2n~ + 4 n + 3 ^k = lim n(l — — j = lim «(1 -----------------¿— ¡----------- >

n->«¡ an "-*<*> n —12«2 +1

* = lim „ ( l - . lim — -------- = 0 < 1„->=0 V («2 - 1)(2h2 +4/7 + 3) n->00(« -1)(2m +4/7 + 3)

Luego de acuerdo a la parte (ii) del teorema 2.8.4 se concluye que la serie

n 1 - 1

Z A -----» es divergente.2n +1

n =i

( ? ) Determinar si la serie V -------- ---------- -- es convergente ó divergente.^ Z_w(2« + l)(2n - l )

n=!

Solución


En la serie dada se tiene que:

=> a . ,(2« + l)(2/i — 1) ”+l (2n + 3)(2« + l)

Luego por el criterio del teorema 2.8.4 se tiene:

k = i™ „(] -£ b L ) „ I¡m „ ( 1 - ( 2 - -H X 2 -D )«->* a„ n->® (2// + 3)(2« + l)

/ i ■ í + 4 \A: = lim /¡(— -------------) = 2 > 1«-»« 4« +3/J + 3

Luego de acuerdo a la parte (ii) de! teorema 2.8.4 se concluye que la serie

I ;i(2n + \ ) { 2 n - \ )n=\

, es convergente.

oo

© Determinar si la serie 'S ^ ----- es convergente ó divergente.In + 1

Como a,

' 2/?¿ + ln=\

Solución

n — 1 nn ~í u n+\ ,.9 ,

2/r +1 2(n + l)~ +1

luego por el criterio del teorema 2.8.4 se tiene:

* = l im « ( l—- ^ ± ) = lim / i ( l ------ - 2"3 * n------ ) = 1 .»-><>c an »-»* 2n +2n~ - n - 3

Luego de acuerdo a la parte (iii) del teorema 2.8.4, no se concluye nada y por

lo tanto la convergencia se determina por uno de los criterios determinados.


OBSERVACIÓN.- Como en muchos casos, las series son decrecientes,

entonces: aquí se puede utilizar e! siguiente teorema de

Cauchy.

2.8.5. TEOREiMA.-

30Si an+j < a n , entonces: la serie ' ^ j a n es convergente, si y solo si, la serie

/7=l

X

2" aY es convergente.

fl=l

Ejem plos.-

001

/>=!

1( T ) Determinar la convergencia o divergencia de la serie ~

Solución

Como an = — => n n=1

' 00, luego la serie / — es convergente o divergente si

^ 2” a2„ es convergente o divergente, pero 1 , esta serie es„ = 1 11=1 H=1

divergente.

%( 2 j Determinar si la serie / --------- , es convergente o divergente.

Z -J n\n(n)n-2

Solución

1 1 1a„ = — — => ar = •

" nln(n) 2 2” ln 2" 2 ,!n ln 2


oc 00 00Y ^ - y y . - L - . y - L .

2" n ln 2 - ¿ - '« ln 2n=2 n=2 n=2

De acuerdo al ejemplo anterior es divergente por lo tanto por el teorema 2.8.5,

se concluye que la serie J --------- , es divergente.i n\n(n)n=2


00© Hallar la suma de la serie S ----------- en caso de ser convergente.

n(n + 3)i n(n + 3)«=i

Solución

Z , ¡----------- es a = — ——

n(n + 3) " n(n + 3)n=1

ahora descomponemos an en fracciones parciales es decir:

= — + ^ , de donde efectuando operaciones se tiene:n(n + 3) n n + 3

1 = (A + B)n + 3A (por igualdad).


l í l Na 2 = - ( --------)3 2 5

« 3 = “ ( ---------- ),3 3 3 6

1,1a 4 = - ( --------)3 4 7

l í l Ka5 ■=-(■--------)3 5 8

1 1 .«„-4 = - ( -----T + -----r)3 n - 4 « —1.

!/■ 1 Nan-3 -----------)5 n - 5 n

1 , 1 1 ,fl»-2 = r ( — — )3 n - 2 n + \

K 1 1 x«n-l “ TÍ T -----7 t )3 n - 1 n +■ 2

• r 1 1 .«« = - - ( -----------t )3 « « + 3

1 n 1 1 , 1 1 1s„ - a , + a 2 - - [ l + - + - - ( ~ + r + -)]

3 2 3 w+I « + 2 « + 3

J_ L¡ _ 3n +12« +11

S" ~ 3 6 (» + l)(w + 2)(n + 3) .

Sumando


, . 1 1 X"’ 1 . ,lim s„ = t (-v entonces: > ----------- , es convergente y su suma es igual a»-** 18 / —Jn (n + 3)

//=!

— , es decir: Y _ i _ = H 18 ¿—m (n + 3) 18

rt=l

© La siguiente serie es convergente, calcular su suma:

^ cos(--” + 1 )sen(-- ~— )#7 4 - /7 /7 4 - «

/;=!

Soiución

Aplicando la identidad siguiente: scnA.cosB = [sen( A + B) + sen{A - B)}

2n +1 1 1 2« + 2 1 2/7 + 1(— — )je/7(—----------------------------------------------) = — [se«(—------) + sen(—------------ -------------)n " '+n n ~ + n ¿ n ~+ n n + n n~+n

1 r , 2/7 +1 -2/7 1 2 2= —[sen(—------- ) + seti(—---------------)] = - [ s e n ( - ) - sen(------ -)]2 «(/j + 1) n(n +1 ) 2 n n + 1

an = cos(-”—■-)sen(— — ) = —[sen(— y~sen(-^—)] n +n n~+n 2 n « +1

Como s„ - a¡ + a , + ... + an , entonces:

1 2 2 2 ' sn = — [(sen2 - seni) + (seni - s e n —) + (sen — sen—) + ...

2 2 2 2+(sen----------sen —) + (sen-----sen------- )]

/7 — 1 n n n + \

2 sen 2sn = —( s e n i - sen -------------- ) => lim 5 = -—" 2 « + 1 «-»oo " 2


2« + l 1 sen 2Luego > cos( ~----- )sen(—------) = ——

+ « n~ + n 2/?=!

QC

( 3 ) La siguiente serie 7 --------------------- , es convergente. Calcula su suma.w Z—j (2n - 0(2« + 5)

n~\

Solución

Como a„ = ---------- ----------- , expresaremos en -una suma de fracciones en la" ( 2 « - l) ( 2 « + 5)

fonna: a„ = ---------- ------------ = ——— H----- — , de donde al efectuar(2« -1 )(2 « + 5) 2 « - l 2 « + 5

operaciones se tiene:

A = -\2A + 2B = 0■ (2A + 2B)n + 5A - B (por identidad) ^ ^

6

B = —

Seríes Infinitas 14J

1 r i««-4 := t [6 2« - 9 2« - 3

l r 1 1 ,a«~ 3 = 7 fc6 2 « - 7 2 « - l

1 r 1 1 .a „ - 2 = - [ - ---------------------- 7 ]6 2« - 5 2« + l

l r 1«„-i = t [6 2 « - 3 2 « + 3

• U 1 1 .an = r b6 2n - 1 2« + 5

1 m 1 K / 1 * 1 „S — —[(1 H--- t— ) — (------------------------------------1------------ 1------------ ------------ )]6 3 5 2n - 1 2« + 3 2« + 5 J

23 12«2 + 3 6 « + 23s„

Sumando

90 (2« + 1)(2« + 3)(2« + 5)

00

lim s„ = ~ entonces ) - '

23 v ~ ' 1 23— entonces 7 ---------- ■---------- = —90 ' ¿Lmí (2n - 1)(2« + 5) 90«=1

00( 7 ) Hallar la suma de la serie infinita ^ arctg(------- -------- )

< l + «(« + l)n~\

Solución

Al término n-ésimo de esta serie expresaremos en la forma:

\ ___ 1_

a„ = arctg{~------j — —•) = a re tg ” + 1 ) , donde tg a = - ; tg/3 -■i + «(«+ 0 i + i _ L _ »

« «+1

1n + 1


Luego se tiene: tg (a - p ) =

l_ 1_t g a - t g P __ n „ + i\+ tg a . tg j3 | 1 1 + h(/í + 1)

n(n + 1)

t g ( a - P ) = ------ -------- => a - p = arctg(------ ------ - )1+ «(« + !) 1+ /?(/? + !)

De donde: a = arcíg(---------------) = a - P = arctg(—) - arctg{—— )1 + n(n + \) n n + 1

Ahora calculamos la sucesión de las sumas parciales.

nX . , > 1s n

i=\E l l 1

(arctg(— -) - arctg(-)) = - (a rc tg (----- -) - arctg( 1))/ +1 i n +1

(Esto es por la regla Telescópica)

1 n 1s„ = arctg(l) - arctg{----- -) = — - arctg(— - )

n +1 4 /; +1

S arctg(---------------) = lim S = — - 0 = —l + /?(/2 + l). 4 4«=1

'S _' arctg(-------—-----) = —¿ - é l + «(n + l) 4n=\

Estudiar la serie(4/7 - l)(w +15)

n=1

Solución


Como a = --------------------- « — = h => — , serie divergente(4m -1)(« + 15) n ¿ - > n

n=1

a n2 1lim — = lim —----- -------------= — > 0 => por la parte i) del teorema (2 .7 .2)

n-»x (4/7 - l)(/7 + 1 5) 4

se tiene que la serie: 7 --------- ---------- es divergente.¿—‘ (4 n - \M n + \5'\H = l

( ó ) Estudiar la serie £ f d x ; si converge hallar la suma.n=l

Solución

r +1 _ rPrimeramente calcularemos la integral I e ' c/.r

Jn

Sea u = y[x => x = u2 => dx = 2u du

f " 2¡/ í/h = 2 j*¡/e (integrando por partes)

j e-^'dx = -2(ue~" + e~") = 2(v/I<?“’/ í + e~ x)

| e ix dx = - 2 e ~ ^ (-fx + \)/ "+‘ = -2[e~J"+{ (V«TT + 1) - e"7" ( + 1)]

sr--‘e wTí/.v = - 2y ; e- ^ ( ^ ¡ + I + l ) - ^ ( ^ + l)]H=l

Ahora calculamos la sucesión {.Sn , la sucesión de las sumas parciales

mediante la regla Telescópica.


donde:.9,, = - 2 2 ( / (O - /(< - D) = - 2 ( / ( « ) - / ( O ) ) ,/=!

/ ( í ) = e ^ ( ^ + T + l) => r ( í - l ) = e“V7(V7 + l)

nsn = - 2 ^ [ e ~ ' IJ7[ (vTTÍ +1) - e ^ ( 4¡ + DJ - 2[e“'/ 1 ( / i7 + \ +1 ) - e~' 2]

/=!

De donde: s„ = 4e -, 2 (V ^ 7 l + 1)

- - V r.-n.como lim sn = 4e => / I e ' d x , es convergente y su suma es:n->ce X w

7+1 • re dx = 4e~'?rW=1

00( 7 ) Analizar la serie ^ '

i+- //=1 ft n

Solución

1 1 1 , v 1 1 • j-Como an = -— - = ----- » — = bn , entonces / — es una serie divergenteí+I I « <«

n « n n n «=i

(serie armónica), lim — = lim ~ = 1 > O, y de acuerdo a la parte i) del

COteorema 2.7.2. resulta que la serie ^ ' -----¡ - , es divergente.

n=\ ,, ii


00( 8 ) Analizar la serie ^ ^

„=i «2 log(l + —) n

Solución

1 1 V""' 1Como an = - — < —- , V n > 1 y además / —— es convergente,

» J i o g ( i + - ) - t i " 'n

entonces por la parte (i) del teorema 2,7.1 se concluye que la serie00

1y .)í=i n2 log(l + - )

es convergente.

CC

© Determinar que la convergencia ó divergencia de la serie infinita ^ ^ln(«)-2

Solución

1 1 V"-' 1Se sabe que, V n > 2, se cumple Ln(n) < n de donde — < ------ - y como > —

n ln(w) ' *—d nn ln(n)1 1 = 2

es divergente entonces por la parte (ii) del teorema 2.7.1 se concluye que la

i ln(«)

sfñ + 3

serie 'V'' —— , es divergente. L a ln(»)n=2

© Determinar la convergencia ó divergencia de la serie infinita ^ —3n=1

Solución

V n > l , s e cumple -Jñ + 3<4yfñ, ahora multiplicamos por — se tiene:« 3


V« +3 , 4 yfñ 4y como

n 3 " n3 n5/3 n=1

■X

Z —— es convergente, entonces por la parten513

n=1(i) del teorema 2.7 se concluye que la serie infinita ^ es convergente.

1IJ Determinar la convergencia o divergencia de la serie infinita

2 + sen3 (n + 1)r\H . 32 +nn=1

Solución

V « e Z + , se cumple -1 < sen3 (n +1) < 1

1 < 2 + sen3 {n + 1) < 3

„ 2 + sen3(n + \) 3 30 < ------------------------------ i - — < -- < —2” +/73 2" + n 2"

oc

Z 3 1— es convergente (serie geométrica /• = — < 1 ), entonces por la

n=1 ~

, -n j , , • X - 1 2 + sen' (n + 1)parte (i) del teorema 2.7.Í se concluye que la serie > -------------------- , es¿—¡ 7" + n3n=1

convergente.

00

(12) Analizar la convergencia ó divergencia de la serie ^ ( - l ) " ( 3 - " + 4 -'!)2n=\

Solución


- Í 4 >n=\ n=\

sus series geométricas son convergentes puesto que ¡ r | < 1, por lo tanto; la00

serie ^ \ - l)" (3 ~ /' + 4 ~")2 es convergente, además su suma es:11=1

_i _ 1 _JLV (-1)"(3‘ " + 4 -")2 = ------ 5___ + ------ [6----- f ----- Í 2 _n =\ i _ ( _ _ L ) i _ ( _ _ L )9 16 12

1 1 1 69110 17 13 2210

'(-1)"(3~" + 4 ~")2 =■ 6912210

oc

( o ) Analizar la convergencia ó la divergencia de la serie

n=1

Solución

^ ( - l ) n(e6- 3" .5^ 2n) = ^ ( - l ) ne6.e-3n.54.5~2''n = 1 7i=l

x> 00

= 625e6 ( - i ) " (e"3.5 2)" = 62.5e6^ ( ------L - ) «1 . 25e11=1 ;/=l

Se tiene una serie geométrica donde r = —~ < 1, y por lo tanto; la serie es25e

convergente donde su suma es dado por:


X --------- (

y ( - 1 ) “ ( e 6“3" ,54- 2" ) = 625<?6 = - -25<'^ V 1 25e +1n=l 1 + -

25e3

oo

... (-1)" (e6-3''. 54~2"):625e6

25<?3 + l « = 1

Determinar la convergencia de: 0.535353...

Solución

Sea A = 0 .535353..., se puede escribir:

A = 0.53 + 0.0053 + 0.000053 + ... = — + - 1 L + J ! L +100 100- 1003

de donde r = - - - < 1 ; por lo tanto la serie es convergente y su suma es:

53(— )100 53

1 991100

Determinar la convergencia de 0.012012012...

Solución

Sea A = 0.012012012..., se puede escribir:

A = 0.012 + 0.000012 + 0.00000012 + . . . = — - + — H— ! 2 _ + ...1000 10002 10003

de donde r = -------< 1 ; por lo tanto la serie es convergente y su suma es:1000


12( —— )1000

1 —

12 _ 4

999 “ 333 3331000

© Se deja caer una pelota desde una altura de 20 mts. cada vez que toca el suelo

3rebota hasta “ de su altura máxima anterior. Encuentre la distancia total que

viaja la pelota antes de llegar a reposo.

Solución

La distancia que recorre la pelota representaremos mediante la serie infinita.

20 + 2( ~ ) ( 20) + 2(^ )2 ( 20) + ... + 2( 2 )" 20 + ...

La serie geométrica es convergente y su suma es:

3

20 + 4 0 ( - - ~ -) = 20 + 4 0 (3 ) = 140 mts ! _ £

4

(T7) Determinar la convergencia o divergencia de la serie ^ —

n=1 1 + se«2(«3)

Solución


V n > 1, se cumple que: 0 < sen2(n2) < 1, entonces'

2" - 1 < 2” - 1 + sen2 ( 1 1 s ) < 2" , por lo tanto

0 < 2" -1 + sen2 (n3) < 2” , V n > 1, entonces:

0 < ---------------- r T < - , c >2" - l + W ( « J) 2"

oo

C °mo es convergente, entonces por la parte (i) del teorema (2.7.1)

n=100

concluimos que la serie 7 —-r— — es convergente.L a 2" - \ + sen {n )

seDetenninar la convergencia ó divergencia de la serie y —

[sen(»)|

2 + l

Solución

|sen(«)| 1 1Como a„ =>

n~ +1 n +1 n n=\ n=\A/ = l /7=l

|sen(«)¡ 1 v - i 1 i ' ... , ,Como j----- 1 < — y / — , es convergente entonces por la parte (i) del

n +1 n ¿—i nn=i

Z |sen(«)|—-—— es convergente.

+ In=l

X

(HT) Determinar la convergencia ó divergencia de la serie ^ ^n\

(« + 2)1 =i


Solución

^ n! 1 1 1Como a = ---------- = -------------------* — , tomamos > —- , es decir:

(n + 2)! (n + \)(n + 2) „2 L u n2n=\

X

V 1y — es una sene geometrica.11=l

2ci nAplicando el teorema (2.7.2) se tiene: k = lim — = lim ------------------ = l > 0 ,

«-»<» bn n->« (n + l)(w + 2)

entonces , por la parte (i) del teorema (2.7.2) se concluye que la serieX

\ n\

¿—¿ {n + 2)\n=I

es convergente.

X

(20j Determinar la convergencia ó divergencia de la serie ) —= =W ¿ - » V 2n___+ 1»=i

Solución

X

1 1 V - ' 1Como an = —= = .■ ~ — , entonces tomo 7 — que es una serie divergente

V2w + 1 n inn=\

d yientonces por la parte (ii) del teorema 2.7.2, l i m— = lim —-------- = 4-nn y

«->®V2n + l

'X oc

Z - es divergente se concluye que / ..... = es una serie divergente.n j L a j 2 n + \«=1 «=1

X

(2?) Determinar la convergencia ó divergencia de la serie ^ *


Solución

Como a = ^ , tomemos bn = —r , es decir: N ' — , es una serit 2" «" n~n=\

a n , /?2 ln(” ) r, i 'convergente, entonces, lim — = lim ----- ----- = U < 1 y / — e:5 ,,-> x h 2 " «n -> x /) /i—>x 2 ”

n «=1convergente entonces por la parte (i) del teorema 2.7.2 se concluye que la serie

Y ln(n)— es convergente.

ln(n)

n=i

^ T ) Determinar la convergencia ó divergencia de la serie ^.. +2 «=i

Solución

ln(n) 1 , . 'ST' 1Como a n = — ------, tomemos bn = — , es decir: y — es convergente.

y, “ i O _ Lmmmd _w" + 2 - -„ 2 «-1

3

« 2 ln(n) „ .Ahora aplicamos el teorema 2.7.2 es decir: lim —- = lim — - — - U < l y

h-> x (i->x n - + 2

1 V -1 ln(2 ~ - j- es convergente se concluye que la sene f —j-

ln(/;)como ? — es convergente se concluye que ia sene / —------ es

//=!

convergente.

| q2/jDeterminar si la serie / ----------- es convergente o divergente.

Z—i(2« - l ) !n=1

Solución


Ahora aplicando el criterio de la razón se tiene:

C l i q 2 / / + 2 í ' J j j

k = lim — +' = lim —— --------------------------------------------------------------- = 100 l im --= 0 < 1 , de donde por la«->* a„ »->x 10 ,(2n + l)! «->*.2 /; + l

XT™1 102"parte (i) del teorema (2.7.3) se concluye que la serie > ----------- esZ - i ( 2/ i - l ) !

h = i

convergente.

Z 3" n !-——- es convergente o divergente.

n=1 n

Solución

„ 3"«! 3"+l(n +1)! , , ,Lomo a - — — a +, = ------------- —; ahora aplicando el criterio de la razón

n" (/í + l)n+l

z. ,• a»+i 3"+ .(/; +1)!.«" «k = lim = lim ------ ------ ----- = 3 lim (------ )«-»«: a„ 3”.«!.(// + !) »-»» « + 1

: 3 lim [(1H----- L)-("+l>]-"("+l> = 2e~l = - > 1»->*> /? + 1 e

Z 3"-----

n"H = 1divergente.

OC

25^ Determinar si la serie ” ->----- ¡~ es convergente o divergente.

3''/;!es

Solución


Como a„ = ■; ----- — => «,,+i = . , 1 . aplicando el criterio den\_____ (n + iy.

"" 1.3.5...(2/1- 1) ^ a"+' 1.3.5...(2/1 + 1)

la razón se tiene:

lim C- ^ ~ = lim - - --- = — <J , entonces por la parte (i) del teorema (2.7.3) se»->*> an «-><*> 2/1 + 1 2

X

Z /i!--------------------es convergente.

1.3.5. ..(2/1-1)n=I

X

Determinar si la serie > ---------------------- 7 es convergente o divergente.ü¡-J (n + IVlnÍM + n i-/ ( « + l)(ln(n + l))" /?=!

Solución

Sea a „ = ----------- ?----------r = / ( « ) => / ( * ) = -(n + l)(ln(/i + l))~ (.v + l)ln '(.v + l)

r ______ * ______« I t a f ---------- ^ ---------= lim ---------i— / ‘J ( x + l ) ln ! ( x + l ) *~>JI (* '+ l) ln ! (jr + l) f"*® ln(.v + l ) ' I

r

= lim (----- ---- 1_) = _ (0 - - — ) = ——ln(/j + 1) ln 2 ln 2 ln 2

dx 1 , es convergente(jc + l)ln (jt + 1) ln 2

Luego la serie ---------------------- 7 es convergente.(n + l)(ln(/i + 1))'n=1

oo(2?) Determinar si la serie ^ es convergente.


Solución

arctg(n) arc tgxSea a = — --------= f ( n ) => f ( x ) = —-------- entonces:

n2+ 1 .y2 +1

f - lim f " S i í d x - lim s s i / *J a" +1 *-*» J x" + 1 *->* 2 ' 1

_ arctg-(b) arctg~(\) n - n" _7>n

2 2 ~ 8 32 ~~32~

entonces la integral impropia es convergente, por lo tanto la serie

X

\ 1 arctg(n)

n~ +1n=1es convergente.

s ) Determinar si la serie N ' --------— es convergente.

Solución

Sea a = ------- = f ( n ) => f ( x ) = --------\rW»Ylln<») /WvA\M*)[ln(/i)] (ln(x))

entonces:r dx J r e ' dy j j j

s: 1 -¡— d x = I —— , de donde:J (lnx) \nt y v

y = In x => x = ey => dx = e v dy

00

E ,— es convergente, por el criterio de la razón n


lim a"+] = O < 1 , la serie convergente, luego por el criterio de la integral

r ey r dx r e y ,: — d y , es convergente y como: I --------r r = I — í/v , se tiene que.

y y y A (ln .r) A /

f — — es convergente, por lo tanto la serie ' S ' --------- ¡-7— esh ( ln x ) “ ^ [ln (« )]

convergente.

TC

Pruébese que (1-2 ^ " ^ - - — 11 converge para p > 2 y diverge para p < 2.1 2.4.6 ...(2w)

n=1

Solución

Aplicarem os el criterio de la razón: •

1.3.5.. . ( 2 n - l ) p 1.3.5...(2n + l) ,,Sta 2 A Z M ' => 2.4.6...(2n + 2)

A: = lim = lim (—ÍÜ l-) /’ = 1, no hay información »->» an »-*«■ 2« + 2

Ahora aplicarem os el criterio de Raabe.

1 - ( . % ± V

lím « (1 - ^ ^ - ) = lim « ( l - ( W+- )/’) ~ *‘m ------+~~—/í—>oc Cl n— + 2 w—

= U m 2M _ ! ! _ ) i ( Í Í L t V , £«-»x 2» + 2 2n + 2 2

Y de acuerdo al criterio de Raabe se dice que:


Si ^ ^ p > 2 => la serie converge, si p > 2

pSi — < 1 => p < 2 => la serie diverge, si p < 2

0 ) Verificar que la serie ^ 4 ñ (s jn (' + 2 - V « 6 + 1 ) , conveige.»=1

Solución

Sea a ^ .. V» . 1

v « 6 + 2 - V« 6 + 1 « 3 In¿

Luego f>n = — es una serie convergente, ahora aplicam os el«2 »=1 „2

criterio de com paración por límite.

l i m 4 = l i m ^ L ^ ) = l i m . ^«-** »-»x 1 „ _ > x 1

1 1 „= lim ..... .......-... ... = - > 0

"->x , 2 [ 1 2h'- ,r r 7

Por lo tanto ^ Vw(V/;6 + 2 - 4 7 + 1) es convergente. «=i

P l ) Estudiar la serie — ¡— + — !— + — !— +^ 21n2 31n3 41n4

-(•y/«6 +2 +yjnb + 1)


Solución

1 1 4-----+ —— + --------- +

x

... Y - ;21n2 31n3 41n4 ¿ -J n ln n

n=2

Sea f ( x ) = — — , f continua V x > 2, aplicando el criterio de la integral x ln .t

f - ^ — = ln(ln x) / = ln(ln(+oo)) - ln(ln 2) = +co, entonces x ln x ' 2

X ‘

f dx- es divergente, por lo tanto la serie —-— es divergente. x ln x ¿ - J n ln n

n=2

x 1 +1Analizar la convergencia o divergencia de la serie

Solución

l « + l x 1 , 7t. 1 na„ = ( - ) s e n ( - — = — sen(x + —) = — sen —

" n n n n n n

Para analizar la convergencia o divergencia de la serie usamos el criterio de

comparación por límites, es decir:

X

Sea b„ = - A r de donde 7 ~ es convergente. n2 n2n=I

1 y V x— s e n ( - )es

w=1

— seny—) 'SThrn — = l i m—-------- — = lim — sen — = 1 > 0 y como la serie 7 kn ,n—>x b n—>x -7T w->x /7

X ^ ^

convergente entonces la serie )se«[(———) r] es convergente.


X

^ 3 ) Analizar la convergencia o divergencia de la serie y «2»=1

Solución

? 5 + (-2)"Sea an = «"(------------ )" , aplicando el criterio de la raíz tenemos.

k = lim = üm i! n 2(—— - ~ —)"n —>x /?—>x

5 ( 2 )/; 5£ = lim (\/tf)2(— + — - — ) = — ± qc (oscila), entonces se tiene://->x 9 9 9

X

Z 2«"(-------------)" es divergente.

9n=i

Analizar la convergencia o divergencia de la serie y * — — y si¿ - ? n 2(n + 2)2 'n—I

converge calcular su suma.

Solución

o n + 1 1 , 1Sea a„ = - « _ => sea b„ = —n (n + 2) n n

n + 1„ 3r an ,■ « (w + 2 ) n (n + 1) , „ v - ' 1lim — = lim ------- ------- = lim —-----------— = 1 > 0 y como 7 —- , es

«->00 | "->«‘n ( n + 2) ¿ - J n3n3

convergente entonces por la parte (i) del teorema (2 .7.2 ) se concluye que

Z n + l

n=| « 2(« + 2)2es convergente.

(n + 2Y


Ahora hallamos su suma

/i + l 4w + 4 (w2 +4n + 4 ) - / r

" m2(« + 2) 4n (n + 2) 4n~(n + 2 y

1 . 1 1 v 1 f 1 1 Xa" 4 «2 (« + 2)2 4 (« + 2 )2 «2

Calculamos la sucesión de las sumas parciales, para esto aplicamos la segunda

regla telescópica.

s = - I V (— -—- - - ) = - —[ / ( « + 1) + / ( « ) - / ( l ) ~ / ( O ) ] , donde: 4 -6 -f (i + 2) i 4

M=1

o + 2r o + i )

/ ( « + !) = -----^ -7 => / ( « ) = -----=> / ( 1) = ^ => f(0) = l(« + 2) (n + 1) 4

i i i L _ U - ± _ L ___ I___| 1 )■S" 4 (/í + 2 )2 + (n + 1)2 4 16 4 (n + 2)2 (« + 1)2

5 1 r 1 1 i 5Iim 5,, = lim ---------[---------- - + ---------tJ - 77//->» w->xl6 4 (/; + 2)~ (« + !)“ 16

I íw + 1 .. 5

• = lim s„ = —(« + 2)¿

X

Estudiar la convergencia o divergencia de la serie«200( V 3 + ( - i y T

6"n=\


Solución

Como n/3 + (-1 )" = V 3 + 1 => 7 3 + ( -1 )" < 7 3 + 1, V n e Z +

=> [ 7 3 + ( - 1)"]" < (7 3 + 1)" '=> ” "U)(7 3 + (-!)" )" ^ ai2(,0(7 3 + 1)"6 " 6"

Esdecir: + W y „ z+.6" 6"

i'\f3 ~l" 1V*Ahora analizaremos la serie > ------ L _ _ L > por el criterio de la raíz, es

"

decir: i = l i„ f c ,= ,¡m . E Z H > , ^ ± ! « £ , » > = V j ± I„ -> x » -> * ) / 6 » 6 „_>* ^

„ 73 + 1 v 1 //200(73 + n"Lomo A: — — < 1 , entonces la serie y — --------------- , es convergente,

n=i

X~~* „ 200 / /T _j_ /_i y/ y/luego por el criterio de comparación la serie / ------—— —— -

^ 6"es

6"/;=!

1 3Determinar si la serie: — + (—)" + (—)3 + ... + (-------- )"" 1 +... es convergente o

2 3 8 3« -1divergente.

Solución

La serie dada se puede escribir en la forma:

X

Z (~ r)2” ' donde an = ( - -----, ahora aplicamos el criterio de la raíz.in - 1 3;; --1


it—>oo n —>xA- = lim s fa i = lim »/(—^— )" = lim — 7 < 1 , entonces la serie

~ a/ 3 ,j_ i „->*3/7-1 3

Z (—- — )" es convergente.3 n - l

3n2 +5n + 2

3« -1«-i

7 ) Calcular la suma de la serie~ f n{n +1 )\ln2 + 7>n + 2[(n +1 )\ln + 2 + n-Jn +1]

Solución

Para calcular la suma de la serie, tratamos de simplificar el n-ésimo término de

la serie, esto es:

3« +5/J + 2a., =•

«(« + \)y¡ +3n + 2[(w + 1)V« + 2 + n-Jn +1 ]

(3/?2 +5/7 + 2)[(w +1 )V» + 2 - Wñ+T]

m(íj + l)\ln2 +3« + 2[(n + 1)2 (« + 2) - n2 (« +1)]

(n + l)(3i» + 2) __ 1_________1 »_____________ 1(n + l)(3« + 2) n\¡n + 1 (« + l)Vn + 2 ny¡n + 1 (« + l)V« + 2

y a, =y > ----- ' )n^Jn + 1 (« f l)V/7 + 2n=l n=l

Ahora calculamos la sucesión de las sumas parciales.

1 1Z I 1 V ~ ^ 1__________ 1 ^S‘>/í+ 1 (í + 1)>/» + 2 “ é (Í + \)yJi + 2 iyjí +1

/=! /=‘


= - ( / ( « ) - /(O)) = - ( -------- - - L )(n + l)V« + 2 V2

1 1 1sn ~ ~ r -------------7 = => hm í = —y=V 2 (« + l)V« + 2 »-»« V2

1Xy ____ ________ _

„=1 n(« + l ) 7 «2 +3« + 2[(w + l)V« + 2 + W/7 + 1] V2

Estudiar la serie y en caso de convergencia calcular su suma

Y * ln ( l+ ----- í-----)L a n(n + 2)n - 1

Solución

Primero analizaremos si la serie es convergente y para esto aplicaremos el

criterio de comparación por límites.

Sea an = ln(l + —----- —) » ----------- = bn => S * ------ í----- , que es una serien(n + 2) n(n + 2) L a n ( n + 2)

n- 1convergente.

ln(l + ----- !----- )lim — = lim -------- = lim n{n + 2 ) ln(l + -------------------í----- )

»->« 1 »-»« n(n + 2)n (ri+2)

= lim ln(l + ----- !----- )"("+2) = ln e = 1 > 0«->« n(n + 2)

Y como V ----- !----- es convergente => y ln(ln-------!-----) es una serieL a n ( n + 2) L a n(n + 2)n=1 n=\

convergente.


Ahora calculamos su suma:

l n2 +2n + \ 0 + 1)2 xa„ = ln(l + ----------- ) = ln --------------- = ln(—---------- )

n(n + 2) n(n + 2) «(« + 2)

«„ = ln(« + 1)2 - ln(«) - ln(n(n + 2))

an = 21n(« + l) - ln (w )- ln (« + 2)

Ahora calculamos el término n-ésimo de la sucesión de las sumas parciales, es

decir:

s„ = ax + a 2 +... + a„

a l = 2 ln 2 - ln 1 - ln 3

a2 = 2 ln 3 - ln 2 - ln 4

a3 = 2 ln 4 - ln 3 - ln 5

a4 = 2 1 n 5 - ln 4 - ln 6

a5 = 2 ln 6 - ln 5 - ln 7

a„_ 3 = 2 ln(« - 2) - ln(« - 3) - ln(/i -1 )

an_ 2 = 2 ln(« - 1) - ln(« - 2) - ln(n)

an_x = 21n « - l n ( « - l ) - l n ( « + l)

an = 2 ln(« + 1) - ln n - ln(n + 2)

sn = a, + a 2 + ... + a„ = ln 2 *l-ln(n + l ) - ln ( « + 2)


Y l + 1s„ = ln 2 + ln(-------) de donde lim sn = ln 2

n + 2 »->«

oc

Z ln(l + ----- í----- ) = ln 2n(n + 2 )

n=I

\ p h 600 ( 2 + ( - i ) " ) "(39^ Estudiar la siguiente serie y ------------ ------------9"n=1

Solución

V n e Z +, 2 + ( - l ) n < 3 => (2 + ( - l )" ) " < 3"

^ ^°°(2 + ( - l ) ”) ” ^ 3 V 00 = m600( K„

9" 9" 3

V '' «60°Ahora analizamos la serie —— , por el criterio de la raíz.n=i

k = lim a„600 1 1 m600

■ . ----- - = — lim (%/«)600 = — < 1 => la serie N — —,h » V 3" 3»-*» y 3 1 3"

»=i

,/’00(2 + ( - l ) "y por el criterio de comparación la sene > ------------ --------

/;=! ^convergente.

2" +«2 + «Analizar la serie > — ----------- r y si converge halle la suma.

Z -J n ( n + 1)2"+1 /;=!

es convergente,

)"— , es también

Solución


Z 2" + n 2 + n 1 X ' ' 1 , 1 N T J _n(n + n 2^ " 2 2 L n(n + 1) 2 2"

n=\ K n=1 «=1

2 ' 1 1Como n + 1 > n => n(n +1) > n2 => —- — < —r > V « e Z/?(// + 1) n~

Como la serie ^ “7 es convergente, entonces la serie „ ^ ñ ’ CS

, ,= i 2 " =1oc

convergente. La serie ^ ^ es convergente por ser serie geométrica con

/;=1

r = - < 1 como la suma e las series son convergentes, entonces la serie dada2 ’

es convergente.

Ahora calculamos la suma de cada una de las series:

00 30 „ . ,

/ j n in 4-H Z - i n n +1 i n + 1 nn=1 n=I »=>

» 1 Sea s „ = Y (— - - ) = - ( / ( « ) - / ( 0 ) ) = - ( — r - 1 )

Z - j i +1 i n + {/=!

ce

s = 1 + -----1_ ;=> Jim s = 1 de donde N —-----— = hm s„ = 1" n + l n->* " Z - í / j ( « + 1)

‘ W = 1

Además sabemos que : ;; = = 2 ( - ) = 1.

1 _ 2


¿Para qué valores de “s” converge y para cuales diverge la serie

Z' rL 3 .5 .7 ...(2 n -l) lS „ . . . . . . .2 4 6 8 ('>«) justificando con los criterios ya conocidos.2.4.6.8...(2n) //=1

Solución

Para determinar los valores de s para la convergencia o divergencia, aplicaremos el criterio de la razón.

a _ r 1 3 5-7 - ( 2 w - l ) iy _ r l .3.5.7...(2/7 + 1 )-,," 2.4.6.8...(2«) J ~ "+l 2.4.6.8...(2n + 2)

r 1.3.5.7...(2i? + 1)^

»->» an <i-*xr 1.3.5.7...(2/ ? - l ) i S n +r 2n + 2 2.4.6 .8 ...(2«) J

entonces no podemos afirmar nada, en este caso aplicamos el criterio de RAABE, para lo cual hacemos.

an+1 _ 1 . / 2n +1 \5 1/ ÁKl -+- I \£ 1=::> —~ ) ~ -----------7 » entonces:

«„ a + \ K2n + 2 ' a + 1

a ( 2« + l)'^+ ( 2n + l)i = ( 2 n + 2 ) s => a = ( — ■2 ) s - l2/7 + 1

na = n( 1+— !— Vs - nV 2/7 + 1

/?ar = « [ i + s ( — !— ) + ( — !— ) + + ____ !____i _ „2n + l 2! (2«+ 1)2 (2/7+ 1)5

n í ( í - I ) n nn a = n + s --------+ —----------------------+ h----------------- n2/7 + 1 2! (2/7 + 1)2 (2/7+ 1)5


S S 5lim (n a ) = —, la serie converge si —>1 => s > 2 y diverge — < 1 => s < 2 ,/;—>cc 2 2 2

por lo tanto la serie dada converge, si s > 2 y diverge, si s < 2 .

6 2 ) Analizar la serie ^ ----- '— r , donde “k” es una constante.^ t f ( l o g n ) *

Solución

Hacemos log« = => 10" = « => 10" k = n k

Si k > 0 => — = log«' 11 = Alog«' A . k

i l 1 1 1 Sabemos que: lo g n < « , V « > 2 => log«* <«* => A:log«* < k n k = > u < k n k

1 1 1 1 log (« )< A «í u < k n k < k n k => log(n) < knk => ( lo g n)k < k kn

1 1=> — < . Como - i es divergente, entonces:

k- /i----- i«A « (log «y n=\

°° X° 1

Z - í - , diverge V k > 0. . 7 --------- 7-, es divergente V k > 0.A « ¿ -^ (lo g n )/»=! n=2

Í 3) Determinar si la serie alternada ^ (-1)" — es convergente, divergente o11=1

Solución



(-I)" «2"

( - 1)"+1(« + 1) ,“«+i = ------ 7^ ------- , luego

A = lim/>—>X

2"(« + l) „ + 1 1 _ |im — ^ — _ ]im — = — < 1 es decir k < 1 y de acuerdo

2 « «->* 2« 2

a la parte (i) del criterio de la razón para series alternadas se concluye que la

serie alternada / / - ! ) ” ~ , es absolutamente convergente y por lo tanto la«=1

seneW=I

' ( - 1)"« 2"

es convergente.

CO

Z e"(—1)H— es convergente, divergente o

«=i ncondicionalmente convergente.

~ ( - 1) VComo u„ = -----------

Solución

( - l)" +le”+l« + 1

, luego

'»+1 limne n+l

— = e > 1 , de acuerdo a la parte a (ii) del criterio(« + \)e

X

de la razón, se concluye que la serie y * -- ^ !' es divergente.

«=1

Determinar si la serie alternada

condicionalmente convergente./;=!

( - D "+l«2+ 2

es convergente, divergente o

Solución

Aplicando el teorema 2.8.2 se tiene:


X

(-l)"+1/72

«=i/73+2

oc 2

Z - — , de donde: por el criterio de la integral la serie: n} + 2

oo 2 x 2

Z —— es divergente, por lo tanto la serie / ( - 1)" —:-------,¿ + 2 n + 2

n=1 »=1absolutamente convergente.

Ahora aplicaremos el criterio de Leibniz, es decir:

no es

Como a„ =n3 + 2

a,i+\ =(» + D2

(n + 1)3 + 2de donde: an+] <f l w, V n > 1

rc(ln(« ) )2es convergente,

4 1 ? n~ 'STA

y además lim a„ = lim —r-= 0 . Luego la serie / ( -1 )” —:— ,«-»» „3 + 2 ' /? + 1n=1


00Determinar si la serie alternada ^~^(- l)

' «=! divergente o condicionalmente convergente.

Solución

De acuerdo al teorema 2.8.2 se tiene:

1

es

zn=2

(-0k/7 + 1

F7(ln(n))J Z —-— ) - - - -, de donde por el criterio de la «(ln (« ) )200

integral se tiene que la serie: / — — 5- es convergente, por lo tanto la/;(ln(/?))2

serie alternada

X

Z(-on =2

,«+1 ------ -, es absolutamente convergente y desde(« ln ( « ) )2

luego la serie es convergente.


00(4?) Determinar si la serie alternada es convergente,

3/7 + Yn=1

divergente o condicionalmente convergente.

Solución

De cuerdo al teorema 2.8.2 se tiene:

00 j X

Z ( ~ 0 " ( t -----! = ( ------- “)" > de donde de acuerdo al criterio de la3w +1 Z-u 3/7 + 1

n=1 n =I

X

raíz se tiene que la serie: 7 ( -------- ) ” es convergente, luego la serie3« +1

n=1

alternada ^ ' ( ~ 0 "(~------ ) ” > es absolutamente convergente y por lo tanto lan = l

serie alternada es convergente.

X

Determinar si la serie alternada (—l )"“1 — —— es convergente^ 7.9.11. ..(2/J + 5Ì b7.9 .11...(2«+ 5)// = 1

divergente o condicionalmente convergente.

Solución

Aplicando el criterio de la razón se tiene:

»„ = ( - 1)'" ' - (3” ~ 2) => 1/ +1 = ( - 1)" 1 A 7 - (3/? + 1) , luego7.9.11...(2/7+ 5) ,,+l 7.9.11...(2/7 + 7)

A: = limw->x

/7+1 3/7 + 1 3 , , 3: ‘im ~-------= — > 1 , como k - — > 1 , de acuerdo a la parte a„->«2/7 + 7 2 2

(ii) del criterio de la razón se concluye que la serie alternada

V ( - i )'-1 J . - f 7- ( 3 » + l) es diver7.9.11...(2/7+ 7)«=1


Determinar la convergencia o divergencia de la serieI 2

^ ' n 2( e n +<?" +... + e" )n=1

Solución

1 2Sea an = n~2(e" + e ” +... + e " ) , y tomemos la serie que es

n = 1 /í=l

divergente (serie armónica), ahora aplicamos el criterio de comparación por limite.

1 - 1 ] \ - r1lim — = lim - ( e" +e" + ... + <?") = lim - e" = e 'dx = e - 1 >0

AJ—>OC t ) n -> Q C n n-¥<X > t i L m m J J )11 n=\

X

y como \ ' — es divergente, se concluye que la serie:¿—t nn=\

1 2 n

r ¡ 2 ( e n +e" +... + e " ) es divergente.

n=1

( [| eos + 2 1]• si la serie > --------- ---------- es convergente.

¿—i 3 "Analizar ¡

n = l

Solución

[| e o s— + 2 1] 2 + [ |c o s — |] 3Sea an = ------ ------------- = ---------- — — * 7 = *» => ¿ - F “ COnVergente

«=i

y como < bn entonces por el criterio de comparación se concluye que la

” [ |c o s — + 2 |] serie --------- ”---------, es convergente.


Ahora calculaiemos la suma de la serie.

3n

I 'n=\

[|eos3+21] tl»sf + 2|] [|cosf+2[] D « .f+2|] 3" 3 + 32 + 33 + ?

2 ,7 1 , i l i r i__ 3 ; r . - -i n 3;r[ |c o s — + 2 |] [ |c o s — + 2 |] [ |c o s - ^ + 2 |] --------- -r---------+ ---------- 2--------- , -----------7______

35 36 37

1 2 1 1 1 2 2 2

3 + 32 + 33 + 34 + 35 + 7 + F + 7 + '“

[ |c o s + 2 [] 48 « 2

3" 243 36 + 37 + 38 + ...... 243 + ¿ ^ 3" ~ 0 )Z T 3

Z _2 . j L = i _ _3" , 2 35 ~ 32 “ 16

w = 6 I ---------3

- [ |c o s — + 2 |]reemplazando (2) en (1 ) , > --------- H----------- = — _ + —- =

3" 243 16 3888/J = l

2.10. EJERCICIOS PROPUESTOS.-

Hallar la suma de las series infinitas en caso de ser convergente.

X

^ Z ( 2/ í - l ) ( 2n + l) Rpt3' 2

© 2 ( 4 « -3 )(4 « + l) Rpta‘ 4n=1

(2)


© z«=I

© zn= 1

oo

© In-2

x

© Zn=2

X

© Zw=0

X

© zn=1

oo

© zn=2

x

® Z/;=!

x

© Z

\¡n + \ - n

\ J n '1 + /7

V (n + l f

h(ü±l)n

2/7 + 1n2(r: + 1)

2 // + 1

n2(« + l)2

Rpta. 1

( 4 r ------- W ) - Rpta. 1,P>0

Rpta.ln(/7).ln(n + l) ln 2

— 1— Rpta. —«2 - l 4

1 Rpta. —(/j + 2)(2w + 2) 2

Rpta. 1

Rpta.ln(«)"-0 n(n + l)”+' ) . 21n2

Rpta. 1

* Rpta. —n(n + !)(« + 2) 4

Series In finitas

© Z; 2"~'/l=l (n2 -2n + 2){n2 + 1)

X

© Z (n + l)(n + 2)(n + 3)W=1

X

© z7/? + 3

n(« + l)(« + 3)W—1

X

© z (2n + l)(2/i + 3)(2n + 5) «=1

2w + l

n(n + 2)(« + 4)W = l

X

© Z ^ 4n - 3

(« —2)(« + 3)/íw=3

© Z 2/7 + 3

(/7 —l)(/7+2)/7n=2

X

© z3"+4"

n 5"n=0

© Z 2'"’3"


25 6 , 2150

© Ite 'ióF » R p,a' ■»n=3

@ É p r Rp,a- In=3

© t r f - 1n=1

© 1 ^ . - R>* iw=l

OC 2

© ^ ( r "+r"> Rpta- 2«=i

© í ^ - Rp- -!n=\

00(2?) RPta-

«=1

© z

® [| eo s— + 1 |]__ « _ ____

2”n = l

1e - 1

(29) y * ________ !------------- Rpta. —¿ - u {n + l)(w + 2)(w + 3) 12W=1


(30) y c a g w l - j g / i - i - ) Rpta. sen j« = 1

© Rpta- f

n 4^ , ,,_jl_ [ 5e/(----+ 3 1 ,n

© V ---------^ Rpta. « : 2 +14"n=l

© í — ■ ^ - ' ( 4 « +

«(w + 1);;=1

© Z

© 2 ^ ( - 0 ' ' e 2"3"34 2">1=1

(38) y 2 n(w + 1)(/7 + 2)(« + 3)«=1

„=1 (4« + l)¿ - 4 R pta' 12

00

^ ' (e + e ” ) Rpta. Divergentew=l

3« -1 5/¡(/7 + l)(« + 2) Rpta.

«=1


39) Y — ------------------------------- Kpta.i (n + x)(n + x + \)(n + x + 2) 2(x + l)(x + 2 )

«=i

(40) ---- !------------- Rpta. -------¿-^(x + n - \ ) (x + n)(x + n + \) 2x(.\ + l)/!=1

n=\

7 Í 3 y f i .5 7 (2« - 1X2»+ 1)

n=l

X'

(4Í ) ^ \ Tw + 2 - 2 7 « + ! + 7 w ) Rpta. 1 - 7 2

^ 2) — + — + — + --------í------------+ ... Rpta. 11.2 2.3 3.4 «(« + 1)

^ - L + - L + — + ... + ---------- i----------+ ... Rpta. i1.4 4.7 7.10 (3n-2)(3w + l) 3

44) — -t- + — 1 Rpta. Divergente

6 5 ) Y r - i v - r 2"4 + 28w3 +150w2 + 364w.± 3 3 7 ] Rpta 1 ^ in + 2)4(n + 4)A(rt + 3) (« + 4) 63

(46) Una pelota se deja caer una altura de 12 m cada vez que golpee el suelo

salta a una altura de tres cuartos de distancia de la cual cayo. Encontrar la

distancia total recorrido por la pelota antes de quedar en reposo.

Se deja caer una pelota una altura de “a” metros, sobre un piso horizontal,

cada vez que la pelota choca contra el suelo, después de caer desde una

altura h rebota hasta alcanzar la altura rh, siendo r un número positivo

menor que 1. Hállese la distancia total recorrido por la pelota.

Seríes Infinitas 179

( 4 ^ ¿Cuál es la distancia total que recorre una pelota de tenis antes de llegar al

reposo si se deja caer desde una altura de 100 m y si, después de cada

caída, rebota hasta — de la distancia desde el cual cayo?20 *

^ 9 ) Un triángulo equilátero tiene catetos de 4 unidades de longitud, por lo

tanto su perímetro es 12 unidades, otro triángulo equilátero se construye

trazando segmentos de recta que pasan por los puntos medios de los

catetos del primer triángulo, éste triángulo ti£ne catetos de unidades de

longitud y su perímetro es 6 unidades, si este procedimiento se puede

repetir un número ilimitado de veces ¿Cuál es el perímetro total de todos

los triángulos que se forman?

( 5 ^ Después de que una mujer que anda en bicicleta retira los pies de los

pedales, la rueda de freno gira 300 veces en los primeros 10 seg. luego en

4cada período sucesivo de 10 seg. la rueda gira — partes de lo del primero

anterior. Determinar el número de rotaciones de la rueda antes de

detenerse la bicicleta.

II. Determinar la convergencia o divergencia de las series infinitas siguientes:

( 5 i ; > — Rpta. Convergenten + nn=1

x

(52) / ------- Rpta. Divergente¿ n + 5

n=1

ce

® V ^ i eos n I/ — ------ Rpta. Convergenten=\ n +n


00 2(54) > —---------- Rpta. Divergente

>7=11 n3 + w +2

V ""1 Se«(«) + 1 ^ ^55 J > -------- —----- Rpta. Convergente

' n +1tf3 +1W=1

00nn

f — . Rpta. Divergente

ce f—

Z y/n + 3—p -----— Rpta. Convergente\ n nn=1

Z 'ln(»)------- Rpta. Divergenten

(S8r ,n

«=i

59) 'V - = = = = • Rpta. Divergente^ V«3 1n=2

n~\60) \ — — —— Rpta. Convergente

ce . ■

( ó l) ) — Rpt a. Divergenten=1

62j ^ Rpta. Divergente/?=!


*Jñ(n + 2 \ n + \)

see(«)

( /?- ln(«)n= 2 v ’

Rpta. Convergente

© e^-W) ! Rpta. Divergenten-\

© 'ST' 2 + 106se>/723«/ ---------- r1-------- Rpta. Converge

, n~ n=\

oosen(nO)

/ ------5— Rpta. Convergenten -

n=\

x 2(67J / —-------------------------------------------------------------------------------------------- Rpta. Divergente

n +100/7 = 1

00(6? ) ^ — t = ^ = Rpta. Convergente

«=I w « 2 - i

© -------- Rpta. Convergente

© y ^ ~ —■— f Rpta. Divergente

n=1 (ln(/?))"

QC

(71) ' — y---- Rpta. Diverge/7=1


72) y — -■=• Rpta. Diverge1in + yjnn=i

@ Rpta, Divergen=1

(74) Y 1 Rpta. Converge¿ - í r + l/;=!

75} Rpta. Diverge-v «

n=i

,76) ) --------------- ------------- Rpta. ConvergeZ - r ( w + l)(« + 2)(n + 3)/?=!

00

(77) y ^ (—- e " ) Rpta. Divergen~\n

00

(78) Rpta. Converge/?=!

00

w ^ 2".«n=iRpta. Converge

00—— Rpta. Converge

n=1

Rpta. Diverge

Rpta. Diverge

Rpta. Diverge

Rpta. Diverge

Rpta. Converge

Rpta. Converge

Rpta. Diverge

Rpta. Converge

Rpta. Converge


9°) RPta- DiverSen +10 nn=\

® I S/?=!

«=1 '(/7 + 2)V« + 3

® I 7- (n + 1)n=1

i (m + 1)(m + 2(« + 3)M=1

12 (n + 4)W = 1

4n=l

Rpta. Converge

92) V ------n + 2 Rpta. Diverge

QO93) Y ----------- 1 Rpta. Diverge

nln(n) + y¡\n} (n)

00(94) V * , y-1 ■■■■■= Rpta. Converge

n=2

Rpta. Converge

---------—— 1--------- Rpta. ConvergeZ-Jí/7 + lVn + 20? + 3)

OC

(97) --!----- Rpta. Convergev- ' ¿ - J 2 " - ‘(n + 4)

QO

® y ^ /g c - " ) Rpta- c ° nvers e


//=!

© Z ^/7=1

@ y ~

rt=l

//=!

® t¡ r .+ 2 n = l

© I #n=1

© Z ^ f/7=l

© z

2«-!

(n + l ) ( n - 2)A?=l

Rpta. Converge

Rpta. Converge

Rpta. Converge

Rpta. Converge

Rpta. Converge

Rpta. Diverge

Rpta. Converge

Rpta. Diverge


«=o

® í £n=i

© i £n=\

© I t£«=i

© È #V _ y ¿ -J (2 n ) \n- 1

. 2" 11=1

© i ;3/;=1

© í ^

© I , " ,n=l

Rpta. Diverge

Rpta. Converge

Rpta. Diverge

Rpta. Diverge

Rpta. Converge

Rpta. Converge

Rpta. Diverge

Rpta. Converge

íi=i

Rpta. Converge


©« = l

w=/ yfn4 + n + 1

W=1

bo

n= l

© Z n :4~" n !

5 .7 .9 ...(2 « - l)n=1

100 W +

„=1 (« + - ) n

Rpta. Converge

___ X

( l ^ ) ' y \ n e Rpta. Converge

oo

Z n +1—r ^ = = Rpta. Diverge

, n n ,- l+ e o s (— )

,---------------- Rpta. ConvergeH=1 £

® V ( « + l)(rt + 2)/ i— ;--- j-------- Rpta. Convergen=]

*© R pta- c ° nverge

. v i o123/ / j~ ~ Rpta. Converge

Rpta. Converge


OC «

------------- Rpta. Convergen\(n + lV.i n\(n + 1)

n—\

® l i kn=\

n= 1

2

n- 1

. oo

© I £5 n"«=1

'(In 3)"

2”

i n(n + 2 )«=1

Rpta. Diverge

Rpta. Converge

OD

Z * »------- —- Rpta. Converge

r « + iv ,+1

(130) - - - ----- Rpta. ConvergeZ - i ( h + 1)!

Rpta. Converge

oo ^

@ Rpta. Converge

«=i

3(133 ) Y —- — Rpta. Converge

iiln3ì"

134) ' y ----------- Rpta. Divergeo( n + 2)

Sucesiones y Series Infinitas 189

® Z in=I

22«

n=\

— -«2 «=1

nn-\

© È ; ln(«).ln(ln(/7))n=2

© £ln(« + 1)

3(n + 1) «=1 V

Rpta. Converge

Rpta. Diverge

00 —

U 37) y — Rpta. Converge

V - U Rpta. Diverge

(139) y ---------- = = = = = Rpta. Diverge^ ( « + l)Vln(« + l)

Rpta. Diverge

Rpta. Converge

® x 3——)2 Rpta. Converge

n ln(«)n=2

oo

© ' Z ^ T F Rpta. Diverge/7 = 1

190Eduardo Espinoza Ramos

® I T//=3

,__^ 00

© X tt; 4i -t- n«=1

@ 1 :

2n + 3

i ?«=i2 + 3 « + 2

Rpta. Converge

00

® Y 1 Rpta. Converge(2/i + 1)2

n = l

Rpta. Converge

® xY 1 Rpta. Converge

/j(ln(n))3n=2

® ¿csc/K«) Rpta' Converge(1=1

( g ) £ l n ( ^ ) Rpta. Diverge

rt = l

© Y 1 Rpta. Divergenln(/i)»=2

(S) Y — — 7 Rpta. ConvergeZ —i /i(ln(«))"n=2

Rpta. Diverge


I53Ì \ 1---------------------- — Rpta. Converge^ ^ ( / j + l)(ln(« + l ))2 e

© l í>/=!

© S ( 4 a? - 3 ) ( 4 / ; 4 - 1 )n=\

® Un=1

© S<§>"

Rpta. Converge

2 ln(|n("))

(156) Rpta- Divere e« = 1 0

Rpta. Diverge

Rpta. Converge

Rpta. Converge

160) N ' ----------- Rpta. Converge^ f ^ ( l n («))”

© y ' (—— )" Rpta. ConvergeJ n + \

n=l


©y , 3»Z - i 2w -ln=l

(D

z ^n= \

© 00

Y ( « ) •

n=\

<D 00

Z ‘ -n = 1

©4’ST1 n

Z - J 2 ”n = 1

©ce 4 '

2Lj 2 nn = 1

©

©cc

Y (——)"L u 2 n + \n —\

00 'SV n~ * J g n n - 1

Rpta. Diverge

Rpta. Converge

Rpta. Converge

Rpta. Converge

Rpta. Converge

Rpta. Converge

Rpta. Converge

Rpta. Converge

Rpta. Converge

Sucesiones y Series In finitas 193

0 ( n " + 1)'' Rpta. Divergen=1

n=I

(V 5-1)"/ — 2 —“ Rpta. Diverge

Rpta D iverse3'"n=\

© Z ín - 1

© £ *;?=1

© í><!>' n= \

(jT s) Rpta. Converge«=i

© ..X

N ' (-7=-----------pi— ) Rpta. DivergeV n - 1 V « + l

Rpta. Diverge

Rpta. Diverge

Rpta. Converge

Rpta. Converge


y l . 1-3-5 7 - ^ - 1) Rpta. Converge¿ - j 2 4.6.8...(2ft + 2)/j=i

® y G ~ r ~ \¡ ~~r) Rpta- DivergeV n +1 v « +1«=i

(182) y ( ln(n + 2 ) _ i ) Rpta. Diverge¿Lj InÍH + l)ln(« + l)n-\

00

Rpta- Diverge12//=!

00

R pta‘ C° nVerge1 3,n(«) n=1

X’

R- “ - C»”^ e,'(ln («))n=2

oc^ ' — L _ Rpta. Diverge

n = l 1 + 3"

\ ' n + n + 2 Rpta. DivergeI ln(« + l)ln(/7 +1)

n=1

Rpta. Diverge


(D

ln(«)2 - j 4/ 5" „=1 V/I

Rpta. Converge

CD V * 1-3-5. ..(2« - l )

Z j 4.8.12...(4«)n=\

Rpta. Diverge

©

00

y ....... 1n ln(«)(ln(ln(«)))"

Rpta. Converge

(D y w +1t g ( ‘ ) . i n r + l )

n n nn=1

Rpta. Converge

00+ l n + \ y n

n nn=1

Rpta. Converge

(D ( 2 ) l + l , ( 7 ) l + ....+ ( 2« + 1 ) i +

4 7 V10 3« +1 'Rpta. Converge

©3 + ( 6 ) 2 + ( 9 ) 3 + .... + ( 3« ) " + ... 3 5 7 2« +1

Rpta. Diverge

©

CC T. 7 1n /7 n N

> — Rpta. Convergente (sug. — < — ) ¿—'ft! ft! ««=1

(D

00

y 1 -^ln(«).ln(n + l)n=200

Rpta. Divergente (sug. probar que / —;-----diverge)'ln 2(w)n=2 V ’


X x j------ í— Rpta. Divergente (sug. comparación / —

¿ -M + 21n (n) ¿ -O "n = 2 »=>

X « 2 - :n=2 .. -sen2(100")

y/ñ yfñ 2Rpta. Convergente (sug. —-------- 7— — < - j — - < — )

« ' - s e n * 100 « - 1 «

/'" 'n v~* V« + 1 , V T T i 1 ,(200) 7 — ------- Rpta. Divergente (sug. —:--------> —— )

n ln(rt) « ln(n) nln(n)n=2

,2 0 l) Demostrar que la serie "S ' ------------ „ es convergente si y solo si P > 1.“ “ ? w(ln("))

© Demostrar que la serie y ---------- 7—7------- rrrr es convergente si yL j n ln (n ).(ln(ln («)))

solo si P>1

III. Ejercicios sobre convergencia y divergencia.

(20^ Analizar la convergencia de la serie 2 " O ”• n=2

Rpta. Com’erge para a > 1

___ _ X-

(20^ Analizar la serie ^ ' (n ln (-^ -j-) - 1) si es convergente ó divergente.

Rpta. Divergente

n=l

Sucesiones y Series In finitas 197

(205) Demostrar que la serie de términos positivos N 1-------- -—

n=2 v v )Y-’converge si a > 1, diverge si a < l , y que si a = 1 solo .converge

cuando (3 > 1.

© Analizar la serie N — tg"(a + —) ¿ -a a nn=i

Rpta. tg a > 1 Convergente

tg a < 1 Divergente

(2 0 ^ Estudiar según los valores de a y P la serie:

y (- , r « “ ( in( — ) yn -1

Rpta. p > a Convergente

(3 < a Divergente

(208) En la hipótesis en donde la serie y son convergente se//=! //=1

pregunta:

Xa) ¿Es convergente ^ a 2 ? Rpta. Si

«-i

»

b) ¿Es convergente y ¿*„.0,, ? Rpta. Sin=¡\

x

c) ¿Es convergente ^ T ^ / A ? Rpta. Sin=\


d) Si la sucesión {«„ es monótona, demuestre que la serieX

Y j a nbn es convergente.

«=i

@ Para que valores de r converge la serie 'S~' - 7— \ , ,¿ f n ( \ n ( n ) Y

Rpta. r > 1

© Prueba que la serie — ~ ) / , converge para P > 2 y2.4 .6 ...(2«)n=1 V ’

diverge para P < 2 (criterio de Roobe)

11) Analizar la serie x .4.6.8 ..(_/?)Z 2.4.6.I-----------

1.3.5.7./i—i

•(2/1- 1)

Rpta. Divergente (criterio de Raabe)

.212) Analizar la serie V — —-—¿ ■ M n (/.)" .(ln (ln (z ,)))s

Rpta. Si S<1, la serie es Divergente.

Si S > 1, la serie es Convergente

(2Í 3) Detenninar para que valores del parámetro “a” converge y para cualesOC

diverge la serie ^ \ \ / « 4 + n a ~ n 2)n=1

Rpta. Converge para a < 1 y diverge para a <1

Seríes Infinitas 199

(2Ï 4) Demuestre que ns ( V ^+T - l J 7 i + converge para S < ~

100 /H—,215) Pruebe que S r 1 —— diverge

.„=1 (« + —)"

«=i

/ 7i n \‘ n cos“( - )

Determinar la convergencia ó divergencia de ia serie ------------ -

Rpta. Converge

Determinar la convergencia ó divergencia de la serie

Z V 2/J-1 ln(4/i + l)«(/, + !) R pta‘ C° nver8en=1

^ ^ x

êa ’ (an> 0) divergente. Si Sn = ai + a2 + .... + an demostrar que:«=1

x x

*) V ^ _ Diverge ¡i) V Diverge

X

iii) / — ~ r Converge

^ ^ X

(21^ Sea (an > 0) una serie convergente, demostrar que la serien=]

X

y , Va » -^,+1 Converge.n=l

2 0 0 . Eduardo Espinoza Ram os

(220) Sea {«„}„>, decreciente, (a „ > 0 ) Si ^ ^ a „■“„+1 converge, demostrar

X

que la serie ^ ' an converge.n=\

(221^ Determinar la convergencia ó divergencia de la serie ~3"+4n-

\+ lnn=\

Rpta. Converge

(222) Demostrar que g es divergente.

n = l

IV. Determinar si la serie dada es absolutamente convergente, condicionalmente

convergente ó divergente.

.____ X

(223) — Rpta. Absolutamente Convergente.

n=i

x

© ^ T n r ' ^ r Rpta- Absolutamente Convergente«=1

(225) Rpta. Absolutamente Convergenten 2"n=1

(226) ^ ( - 1 ) W+1 Rpta- Absolutamente Convergente

«=1


V (_i)»+|— !—¿-J (2/7 — 1 ) !n=\

@ xV (-i)"+l—i—L a «(« + 2)W = lir

(229) y ( - d " +i — i —n(\n(n))

0 c w W

t1 = \

© t ( - i r ^L a (2/;)!A/=I

/;=!

© í ^«=1

,,+io/?=1

© t (-■ )■ (■,3 ! ; ‘2r ' >);^ ^ L a 2.4.6...(2/7)

n=I

Rpta. Absolutamente Convergente





Rpta. Divergente

Rpta. Condicionalmente Convergente



%

2 0 2 Eduardo Espinoza Ramos

OP

(2 3 ^ ( - 1)”( Rpt a. Absolutamente Convergente

n=]

00 2

Z(—1)" n ■■ Rpta. Divergente1+H2

X ( - l )— -— ------- Rpta. Condicionalmente Convergente.

ln(e” + e~")n-\(Sug. e" +e~'" < 2 e " )

. Absolutamente ConvergenteZ - i „ l n 2(/j + l)n=1

• 1 ^(sug: ---------------< ------ r---- )

« ln (h + 1) n ln (n)

(D

00y (-o^ l n ( l + - )

n

Rpta. Divergente (sug: lim u„ * 0 )

© f>i) - * ’ Z - / (m + 1)!W=1


©X

^ \en (ln (w ))«=i

Rpta. Divergente

CD

«=i


* -/

Z e —

n)

n=\n


X ■

© 2>< /?sen—) Rpta. Absolutamente Convergente/;=!

(sug: n sen — <1 => ln(wsen— ) < 0 ) n n

^ s X

^ 4 ^ ^ \ - l ) /?(l - a sen —) Rpta. Absolutamente Convergenten=\

co(24ó) ^ \ - l ) ”( l - c o s —) Rpta. Absolutamente Convergente

„ = 1

(-1)" aretg(■■■- ■■) Rpta. Condicionalmente Convergentet—d 2n +1

(248J y — — ------- — Rpta. Divergenten=i n(l + — + ...H— )

2 n

»(¡M) wiooy ¿(~1) 2 (— ) Rpta. Absolutamente Convergente

Zsen(l 1//) „ . . . ^------------ Rpta. Absolutamente Convergente

n«=1j , s e n (-) j

(sug.: sen —< — de d o n d e— —— < — ) n « n n~

x 3

© ^ \ sen(—))2 Rpta. Absolutamente Convergente//=!


n- 1

1 + cos(;tm)

n=1

© Èsen(^«) + sen(2OTj)




«=1

® z : : ,n=1


„ sen(/?) + cos(3w)

n=1Rpta. Absolutamente Convergente

11 = 1

Rpta. Divergente

X

I. n=1

( -D »+1

ln(« + 1)Rpta. Condicionalmente Convergente

X

Z/7 = 1

( - 1)" Rpta. Divergente

X

n=i(2 n + 1)!

Rptau Absolutamente Convergente

Rpta. Divergente



Rpta. Divergente


Rpta. Divergente





Rpta. Divergente


Rpta. Divergente



Rpta. Divergente





@ 00V "1 n 2 .4.6 ...(2/?)

/ ("1)” — — ----- — Rpta. Absolutamente Convergente1.4.7...(3/?-2) /;=!

y / -----7;sen(—¡=) Rpta. Absolutamente Convergenteyjn

n=1

^ ~ \ - l)" 1 —— Rpta. Condicionalmente Convergente1 " +1//=!

y V4

(«2 +l)3

n=1283) J ^ í - i r 1 ~ Rpta . Absolutamente Convergente

V (-!)”«/ ---------- — Rpta. Absolutamente Convergente

*—‘ (n + l)en = l

2 3«

2 , H r ^ r . Rp*>- Absolutamente Convergente

(28ó) ^ — Rpta. Absolutamente Convergente

^ " 0 ^ Rpta. Divergenten=1


<g) £ V ñcos(«^ )

(//? + ])(« + 2)«=1

_2_ eos" (—)( 2 8 9 . .

«=1

n=\ 106« + 1

^ 9 ? ) ’y ( - l ) ”+l + * ~ Rpta. Absolutamente Convergenten=\ n

(2, 2J 2 ^ 1 ^ 2 5 « R p „ . Absolutamente Convergente

n-\


—- — Rpt a. Absolutamente Convergente ni


, y f ñ + i - 4 ñ 1(su g .: -----------------< — j-)

n -2 n 2

© CC> ( -1 )"-1 tg(— = ) Rpta. Absolutamente Convergente

n \ nn=1

(sug.: tg(—[- j = ) < - ^ = ) n^Jn nsjn

43"+>7 ( -1 )" ----------- Rpta. Absolutamente Convergente

¿ - J (3n + 1)!n- 1

@ ocy ( - 1)"-' J — Rpt a. Divergente

7.9.11. ..(2/1 + 5)


w y i J r - r p ^ . Absolutamente Convergente— y n^jn»=1

QC

( W ) Rp>a . Condicionalmente Convergente

6/7“ - 9 n + 2

« = 1

2 //=!

© 2sen(— + «(—))

4 2


00 n(299) y ( - l ) " - y Rpta. Divergente

/J = l v ^

1 /; +1 /í/ í - 0 ”+ —----- Rpta. Condicionalmente Convergente«=1 n + ^

1 ( -1 )”« 77"+3W X — ^ — Rp ‘a- Absolutamente Convergente

Rpta. Convergente

(303) Calcular la suma de la serie: —-— 1----- -----1---- ---- v ... Rpta. —v 7 1.2.3 2.3.4 3.4.5 4

,304) Estudiar la serie N ' -----------—-------- , si converge calcular su suma.* (n + a)(n + a + 1)

n —1

Rpta.1 + a


TT „ , , . v ,.„_ir2«3 +33,i2 + 183« + 34L(305 j Hallar la suma de la sene E _, 2n~ + 33,r +183/7 + 341

(n + 5)3(n + 6)3n=\

|306) Hallar la suma de la serie y * — -— ------- Rpta. 1¿ -J 2 n 3(n + \YJ 2 * > ( n + i y

(307^ Determinar la convergencia o divergencia de la serie.

X ry X

„ y ln(4 ± i , b) y < ^n2 + \ ¿—¡ er

n=I n=1

(308) Estudiar la convergencia o divergencia de las siguientes series.

a) Y t - L . + í - l ) » ! ] b) Y [ ^ - l + (_!)■ -L ]< 4 « -1 /? ' h +4/? + l n

n=1 /»=!

2f5 + ( - 2 ) \ „r

n=1

(310) Estudiar según los valores de a y b la serie siguiente

r a v - i 2 5 + (_2 )"l309j Analizar la convergencia o divergencia de la serie ------~----- ]

Y ( - l ) ' V [ > n ( ^ l ) ] n - 1

«=i

« + 1^*

íií

(311) Las siguientes series son convergentes, calcular sus sumas.

13n + 2 . . V 1 . , 2w + 1a> b| 2 > 8<tt> - ■ ■>=)

, - - , (rt + 1>n = l fl=l


© Calcular la suma de la serie \ - - + 2/ ¿ 2" —1n=l

^13^ Estudiar las siguientes series.

a) y 6”2 ~9” +4 b) V (« 0 2-2"«3 (2«)!

«=i «=i 7

Analizar la convergencia o divergencia de la serie.

, V * 1 1 3 *-3-5 V ' 1 ' 2 3a) L r i +i ; +ü . 6 +- b) X 2=logT+log2+Iog

(3 Í 5) Analizar la siguiente serie.

!

« I f A *11— I

« -Jx l+ .v 2

X X

b) R pfa- Diverget f 7^(k+n)(k+n+1)

.316) Sumar la seriex

(2 + 3«)(5 + 3«)(8 + 3/z)n=I___^ x

\ } Î ï ) êa y , (~ 0 [ y ~ arctg ,(ln (w ))] analizar.n=l

^18J Demostrar que la suma de la serie de término n-ésimo

1 1 , 1 1 1 1 .. . 3


,3191 Sumar las series:

a)cc

I(—l)"_l (2«3 +3m2 + 3w + 1)

3 / „ , ,>3

ac

« z4/?2 + 8/7

(2« + l)(2n + 3)(2n + 5)(2« + 7)n=\

o y arctg .(-4^ - l ± i ^ ) d>L a i + w (/j + 1) L a n(n + \)(n +n=I n=\

•» o z £/i=l n=1

- D _ 2)

X QO

g) t — ^ h , V - ' l l l¿ - ' n ( « + l ) 5" L a n\«=1 n=I

o y iz r ^ : j} y (r_ 5«)2.7ZL/ (2/1 + 1)! L jn=l „=1

- 2 n

320J Estudiar la convergencia de la serie.

00 OC

a) J ]Sen b) Z!3"Sen ^ ’ fl>°3/I=l W=1

c)<(w + l) ln (« + l) ' 3" + «3

AI — 1 W=1

00

-> zcos"(« + l) + 4


Determinar la convergencia ó divergencia de la serie.

X

Z t t t — ^rr: Rp,a-

(322) Determinar la convergencia ó divergencia.

XT' 1.6.11.16... (5 /7 -4 )a) 7 —— ---- ----- — — Rpta. Divergente

L a 2 .6 .10 .14 .„(4 /7-2)n = l

V l .3 .5 .7 . . . ( 4 /7 - l )b) 7 ---------- —-------- - Rpta. Divergente

L a 7 4 6 8 í4"’>2.4.6 .8...(4")/7=1

(3 2 ^ analizar la convergencia de la serie(p + l)(/? + 2 )(^ + 3).. . (p + n) (q + \)(q + 2)(q + 3)...(q + n)

n=1

Rpta. i) q > p + \ converge (por Raabe)

ii) q < p + 1 diverge

iii) q = p + 1 diverge

1

^ 2 ^ "(x '2 + -rl° + A'S +x6 +x4 + x;2 + 8) 2 dx Rpta. Diverge

325) Hallar la suma de las series.


rt+i ¡ ^ \ leos (—)

@ V ~' 4Estudiar la serie -------- j y - y en caso de convergencia, hallar la(w + 3)!

«=isuma.

327) Estudiar la convergencia de las series.

a) Y [ - U (- i r I ] b> V [ / -24+ 1_ + ( - i r - L ]¿mmi 4 /? - l n Á—i n + 4 n + \ n~n = l n=\

n=1

Series de Potencias 215

CAPÍTULO III

3. SERIES PE POTENCIAS

3.1 DEFINICIÓN.-

Una serie de la forma: c0 + c¡(x - a) + c2(x - a )2 + .... + c „ ( x - a )" + ....... esdecir:

X

Y , c„ (x - a)" = c0 + c, {x - a) 4 c2 (x - a)2 +.... + c„ (x - a)n + ....,1=0---------------------------------- -----------------------------------------------------S____

donde: a y los c r i = 1,2....... n son constantes, es llamada serie de potencia enx - a.

X

Cuando a = 0, se tiene la serie que se denomina serie de potencia en xn=0

OBSERVACIÓ N.-

Io Cuando x toma un valor particular, obtenemos una serie numérica de los

que ya se ha estudiado.

2o Si una serie converge para ciertos valores de x, podemos definir una

función de x'haciendo:

X X

/ ( . v) = £ c „ (* - «)" ó g (x ) = y c„.y”n=0 /;=0

donde el dominio de estas funciones son todos los valores de x para los

cuales la serie converge.


3o Para determinar los valores de x, para los cm les la serie de potencia

converge, se usan los criterios anteriores, especialmente el criterio de la

razón.

3 ^ 7 p r o p i e d á d e s .-

Consideremos la serie de potencia siguiente:

00y ' ^ j x - a ) "n -Q _____________

Io Si esta serie diverge para x - a = c, entonces diverge para todos los

valores de x, para los cuales | x - a | > | c i .

2o Si ésta serie converge para x - a = b, entonces es absolutamente

convergente para todos los valores de x para los cuales ! x - a | < ! b I.

3o Se cumple exactamente una de las condiciones siguientes:

i) La serie converge solamente cuando x -a = 0

ii) La serie es absolutamente convergente para todos los valores de x.

¡ii) Existe un número P > 0, tal que la serie es absolutamente

convergente para todos los valores de x, para los cuales I x - a I P.

3.3. DEF1NICIÓN.-

i) El conjunto de todos los valores de x, para los cuales una serie de

potencia converge, se llama intervalo de convergencia.

¡i) El número P > 0 de la propiedad 3o iii) se llama radio de convergencia de

la serie de potencia.


OBSERVACIÓ N.- Si P es radio de convergencia de la serie de potencia00

^ ' cn ( x - a ) " , entonces el intervalo de convergencia«=0

es uno de los intervalos siguientes <a - p, a + p>, [a - p, a + p> , <a - p, a + p]

y [a -p , a + p]

Ejem plo.- Hallar el intervalo de convergencia de la serie de potencia00

Z x":— y el radio de convergencia. n

Solución

ii—i

x" x "+1Sea un = — => = ------- , luego por el criterio de la razón se tiene:

n n + 1

lim«-*00

x"+in .v"+1» , , + 1 = lim

« -» o o

/7 + 1 = lim« —»00x ” (n + \)x"

n

n= Lr l im ------ = m <

1 1 «->«« + 1 1 1

como | x I < 1 => -1 < x < 1 .

Ahora analizaremos para | x | = 1, es decir para x = ± 1.

“WSi X .--1 se tiene es convergente.

Si x = 1 se i: tiene \ ' — divèrge (serie armónica). i —i n»=i

Luego el intervalo de convergencia es [-1, l> y el radio de convergencia es p =1


3.4. DIFERENCIACION DE SERIES DE POTENCIAS.X

Sea ^cn (x - a)n una serie de potencia con radio de convergencia p > 0 y sin=0

00/ (x) = y cll( x - a ) " , entonces existe

/7=0

X

f = ' jfl C" X~ ^ ^ x & < a ~ P ,a + P >n=1

Además, p es también el radio de convergencia de ésta serie, es decir, si p * 0

es el radio de convergencia de una serie de potencia, la cual define una función

f, entonces f es diferenciable en <a - p, a + p> y la derivada de f se puede

obtener derivando la serie de potencia término a término.

3.5. INTEGRACION DE SERIES DE POTENCIAS.-

x

Sea y ' c„ (x - a)" una serie de potencia con radio de convergencia p > 0 y

„=o00

f ( x ) = ^ \ „ ( x - a ) " , entonces f es integrable en todo subintervalo

„=oy X 00

cerrado de <a - p, a + p> y f y ' c „ ( t - a ) " d t = ^ ^—^y(x - a )"+1 donde:* n—0 »=0

x e <a - p, a+ p>, además p es también el radio de convergencia de la serie resultante.

Es decir: Si p * 0 es el radio de convergencia de una serie de potencia, la cual

define una función f, entonces f es integrable en todo subintervalo cerrado

de <a - p, a + p> y la integral de f se obtiene integrando la serie de potencia

término a término.


3.6. SERIE DE TAYLOR.-

x

Sea y ' cn( x - a ) n una serie de potencia con radio de convergencia p,11=0

entonces definimos la función f de la siguiente forma:

/ ( : x) = c0 + c ,(x - a) + c2(x - a) + . . . .+ c n( x - a )" + ... ( 1)

Para todo x e <a - p, a + p>.

Ahora buscaremos la relación que existe entre los coeficientes

c0, c¡, c2,.. ..,cn, ...... con la función f y sus derivadas al evaluar en el punto a.

f ( x ) = c0 + c [( x - a ) + c2( x - a ) + c i { x - a ) + ....... => / ( « ) = c0

/ ' ( * ) = c, + 2c2( x - a ) + 3c3( x - a ) 2 + ....................... => f ' ( a ) = q

. / V )f ”(x) = 2 c2 + 2.3c3( x - a ) + 3.4c4( x - a ) +.

/ ’"(x) = 1.2.3c3 + 2.3 A c4(x - a) + 3 A.5c5(x - a) +.

2 ! ■ = <?2

3!

f (n\ x ) = 1.2.3....ncn + 2.3....(« +1 )c„+1 (x - a) +.f n\ a )

= c„n\

Reemplazando c0 ,c , , c2 en la ecuación ( 1)

2! 3! n\


- — — ( x - a ) " . n\

n=0

Luego a la serie de potencia de la función f, representado por:

oo t »

S f ( \ a )--------- - ( x - a )" se denomina serie de Taylor alrededor del punto a

/?!n=0

v—i f {n)(a)OBSERVACIÓ N.- Si en la serie de Taylor f ( x ) = / -----------( x - a ) "

n !H=0

hacemos a = 0 , se tiene la siguiente serie.

A esta serie se llama serie de M aclaurin.

Ejem plo.- Desarrollar en serie de Maclaurin la función f ( x ) = e x

Solución

f ( x ) = ex

f ' ( x ) = ex

f \ x ) = ex

m = 1 / ' ( 0) = 1

/" ( 0) = 1

\n).

.» ( I )

Como el desarrollo de la serie de M aclaurin es:

Series de Potencias 22 1

f ( x ) = /(O ) + f ' ( 0 ) x + x 2 + ......+ / ( ">( 'Y" +.2 ! n\

... (2)

x2 x3 x4 x"Al reemplazar (1) en (2) se tiene: f ( x ) = 1 + x-t----- + ------1----- + ...— + ....

2! 3! 4! n\

,i=0


© Determinar el intervalo de convergencia de la serie de potencia

Z ( - l ) B(x + l)" , J--------—-------y el radio de convergencia.

n=i 3 M

Solución

( - l ) ”+l(x + l)',+l( - l)" (x + l)nSea ii„ = ----------- -------= > u„ ,, -- --------------------

y.n> "+‘ 3"+ .(« + 1)

Ahora aplicamos el criterio de la razón:

3".«3 ( - l)',+l (x + l)',+llim M«+i = lim

n —>oo U n /1~> 00

x +

Comox + 1

3'!+1 (« + 1)3 ( —i)" (x + 1)"

<1 => |x + l |< 3 = > - 3 < x + l< 3

3 n-»® n + l

Ahora analizaremos cuando

-4 < x < 2

x +1= 1, es decir para x = -4, x = 2

2 2 2 Eduurdo Espinoza Ramos

(-ir (-3)"' 3"./í3

Si x = -4 se tiene

n=\

00

■z?«=Ies convergente.

©

S ix = 2 se tiene N ' (-1)"-^- es convergente.„

77=1

Por lo tanto el intervalo de convergencia es [-4, 2] y el radio de convergencia

es p = 3.

Determinar el intervalo de convergencia de la serie de potencia

y ( - i r fV ) 2( -v -2r

t i 2".(2n)\

Solución

y el radio de convergencia.

Como u„ =(-l)"+2(/7!)2(-2)n

»«+i = -( - i r 2((» + l)!)2( * - 2)"+1

2".(2n)l

Aplicando el criterio de la razón se tiene: 4

2/,.(2« )!(-l)" +2((w + 1)!)2( x - 2)"+i

2"+l.(2 // + 2)

lim « » + 1 = limn—►oc

«» n —►oo 2 (2/7 + 2 )!(-1 ) (n !) ( x - 2)"

x - 2 ( « + i ) x - 2lim — í;--------------= i-— 1 < 1n->® 4n¿ + 6« + 2 8

Como Jjc — 2¡ < 8 => - 8 < x - 2 < 8 = > - 6 < x < 1 0

\ x - 2 \Ahora analizaremos para -—-—- = 1, es decir para x = -6 , x = 10

Zx (—n ”+* (n n 2(—8)”----------— ----------- es divergente (criterio de comparación).

2" (2«)!»=i

Seríes de Potencias 223

©

Si x = 10 se tiene

ce

In=\

(—1 )"+l (/7 !)2 8'12" (2/7) !

es divergente (criterio de comparación).

Luego el intervalo de convergencia es <-6, 10> y el radio de

convergencia es p = 8 .

Z x( - 1)'' —

n\

y el radio de convergencia.Solución

x" x"+1Sea un = ( - 1)"— => un+l = ( - l ) ' ,+!—— — , aplicando el criterio de la razón

n=0

77 !

se tiene:

lim W77+l = lim« -► 0 0

U n 77—>00

( - 1)"+V x "+1( -! )" (« + 1)!jc"

(« + !)!

= \x\ lim------ = I x I .(0 ) = 0 < 1 V x e R.«->* n +1

Z x n(-1)" :— es convergente, V x € R y el

ni»=o

radio de convergencia p = oo.

(7) Determinar el intervalo de convergencia de la serie de potencia

V - * n ! x”y ( - 1)” ■■ y el radio de convergencia.

Solución<7=0

( - i r +,(/7+i)!x"+i(-1 )" nix"Sea “» = ----- -p------ "«+1 = 377+1

por el criterio de la razón se tiene:


©

lim lln+1 = limn—>oc 11 „ W—>00

( - l)" +'(« + l)!x"+l3"

(-1)" h!.t".3"+i

n +1= Lv lim — — = -H»

1 a— [ 3

Luego para x * 0, — - -» oo, cuando x -> <x> , por lo tanto la serie de11 n

potencia converge cuando x = 0 y el radio de convergencia es p = 0 .

Determinar el intervalo de convergencia de la serie de potencia

n'.(x- 3)"

I ;«=o

.3 .5 ...(2 n -l)y el radio de convergencia.

Solución

Sea u„ —-«!( jc-3)" H+l(w + 1)!(jc—3)'3.5...(2/7-1) 1.3.5...(2m + 1)

por el criterio de la razón se tiene:

(/í + 1)!(a-3)"+1(1.3.5....(2/í-1)lim

W ~»X

*//+! = lim/í—>00 «!(x -3)"(1.3.5...(2/í + 1))

= lim |x - 3| = |jr - 3| (-^) < l« - > « 2 / 7 + 1 2

=> | x - 3 I < 2 => - 2 < x - 3 < 2 => l < x < 5

Ahora analizaremos cuando |.v - 3¡ = 2 es decir para x = - l , x = 5

«K -4 yS ix = - l se tiene Z «!(-

1.3.5...« 5=0

Si x = 5 se tiene Z/7

1.3.5..H=0

(2 /7-1)

/;!_r____

(2/7-1)

es divergente (probar).

es divergente (probar).

Series de Potencia 225

Luego la serie de potencia converge en <1, 5> y el radio de

convergencia es p = 2 .

00( ft) Estudiar la serie .

L a nyj nsen(/;")x

«=i

Solución

^ \sen(n"x)\Consideremos la serie > -------= —■, como senn" x <1

ny]nn=\

v+ |sen(/¡"x)| , ^ 1V n e Z a V x g R = > ----- -=— < ——— , y como la serie / —— , es

n\ln n L a n

i |sen(/7".v)|

n= l

Z sci i(/(— —j =— es convergente, luego es absolutamente

n\lnn=Iconvergente.

( T ) Representar en serie de M aclaurin a la función / (x) = e x

Solución

X2 x"S econ oceq u e g(x ) = ex = l + x + — + .... + — + ....

2 ! n\

f ( x ) = g ( - x 2) = e~x' = l - x 2 + ^ - + .... + (- l)" — + ....2 ! n\

A x ) = e-''~ = Y ( - l ) " ~ L a n !n=0


( F ) Desarrollar en serie de Maclaurin la función f(x) = sen x.

Solución

/ ( x ) = sen x

O'IIO

/ ' ( x ) = cosx /'(O ) = 1

f " (x ) = - s e n x / " ( 0) = 0

/'" (x ) = - co sx => /'" (0) = - i

f " { x ) = senx / ,v(0) = 0

/ ' (x) = cosx / ”(0) = 1

f v '(x) = - senx r * ( 0)= 0

( 1)

Como la serie de M aclaurin es

f n\ 0)x” _ , , AX , , / " ( 0)x2 | / " ’(0)x3 [/ M . y £ ^ É L . m + f m x + .ni

n= 0 2 ! 3!


„2«+l3 5 .7

/ ( x ) = sen x = x - — + — - —- + ..... + ( - 1)” — --------3! 5! 7! (2n +1)!

(2)

oc

/ ( x ) = sen x = y (- l)"..2«+!

(2« + l)!

( 9 ) Desarrollar en serie de Maclaurin la función f(x) = sen h x.

Solución

ex — e~xSe conoce que: se n h x ---------- -— y además se tiene:


X X 2' * 3 x "e — 1 + x -\-------1------ h__H------- h .2! 3! ni

x2 x3 xn<TX = l - x + — - — + .... + ( - 1)" — + .

2! 3! . ni

v3 v5 r 2n+lex - e~x = 2x + 2( — ) + 2( — ) + .... + 2( — -------- ) + .

V3K 5! (2/7 + 1)!

e x - e ~ x x3 x 5 x 2,!+1: x H------ 1------ f- . . . . -i-------------- h .

2 3! 5! (2/7 + 1)!

/ ( x ) - s e n h x = ---------- = /x 2n+I

(2« + l)!«=o

00Probarque: ^ \ - l ) ” x 2" = — -^-y, so b r e < -l,l>

1 + xn=0

Solución

Mediante la serie geométrica convergente se tiene:

9 -1 1 ¡ I1 + x + x + .....+ x" + .... = -------, para |x | < 1, valiéndose de esta serie1 — x

tenemos:

00

£<-»«=0

” X2" = 1 - X2 + X4 - X6 + X8 + ...

= l + ( -X 2 ) + ( -X 2 ) ' + ( - X 2) 3 + ( - x 2 ) 4 + ...

i - ( - * 2 ) ’ ■para x 2 < 1


X

Luego Y(~0"*2” =—i—, para |x¡ <1 + x/í=l

puesto que: \x2 < 1 => |x|2 <1 => |_v| < 1

x3 .t5 x 1(11) Mostrarque: arctg x = x — “ + si |x | <

Solución

De acuerdo al ejercicio 10. se tiene:

|------ r = l - x 2 + x 4 - x 6 + x 8 - x 10 + ... , para |x ¡ < 11 + x

Ahora integramos esta serie término a término.

XJ X5 X7 - I Iarctg x = x ------+ ---------— + si x <1

3 5 7

(12) Obtener una representación en serie de potencia de — -——. ^ (1 - x )2

Solución

De acuerdo a la serie geométrica convergente, se tiene:

11- x

tiene:

1 + x + x 2 + ... + x" '+ . . . , si i x | < 1 , derivando miembro a miembro se


(1 - x )2= l + 2x + 3x" + ... + (« - l)x " 2 +nx" 1 + ...

00

Zn x"-' =---—, para | x | < 1Il - ri, { I - * )n~ 1

m 00 00© Verifica que:

Solución

00\ ' sen(«x) sen(«x) 1

La serie > ----- -— , es convergente V x, pues — —— < —- y comon2 n2 nn=1

X 00

Z 1 _ V 1 sen(«x)— , es convergente, alirmamos que > ----- -— , es convergente, Vx, a lan2 n2/?=1 n-\

Z sen(wx)..... -...... expresaremos en la forma:

n2

serien=1

Z sen(/?x) sen 2x sen3x sen(nx)-----1— = sen x + — ----- + -— -— + ... + ------ — + ...

rr 4 9 n2n=1

Integrando miembro a miembro de 0 a 7i se tiene:

T V 1 sen(nx) , s e n 2x sennx vy - — j —d x = (sen x + -----------+ ...H------t-...)dx_1


ry , 1 1 1 1 nI ( 1 + ~------------ 1-------------------H ... )

. 2.4 3.9 4.16 5.25 7

i , 1 1 1 1 M“ \ 1 + ------h------h------- (- ------ + ... ) I2 .4 3 .9 4 .1 6 5 .2 5 1

= 2[ i + —!—h— -— +...] = 2[ i + - L + J L + ...+ — L— + - .]3.9 5.25 J L 33 5 ( 2 « - l ) 3

- Y - 2 —¿ f ( 2 n - 1)?

( h ) Encontrar una representación en serie de potencia de: j* e~l dt

Solución

X XSe conoce que: e' = l + x + :— K.. + — + ahora reemplazamos x por ■-/"

2 ! n\

■ t 4 t 2"setiene: e~r = l - r + — + . . . . ( - 1)" — + ...

2 ! n\

Luego integramos miembro a miembro de 0 a x.


X3 x 5 x 7 ( - l ) n x 2" +l— X ------- 1----------------b ... H------------------ f-...

3 2 ! 5 3 ! 7 n$2n + $

\" y2h+| í+TTi) «1(2/7 +

11 = 0

(j5^) Calcular aproximadamente con tres cifras decimales el valor de: é~' dt

n=0

1

Solución

De acuerdo al ejercicio 14 se tiene:

fX3 X 5 x 7 1

e dt = x ------H----------------- K ... para x = — se tiene:3 2 ! 5 3!7 2

i, I l l 1

dt - --------- + -2 24 320 5370

= 0.5 - 0.04117 + 0.0031 - 0.0002 + ... = 0.4614

16J Encontrar una serie de potencias en x que sea convergente a la función

ln(l + x )

1 + x 2Solución

De acuerdo a la serie geométrica convergente se tiene:

1 , , , ------ = l+ x+ x" + ...+ x" + ..., si | x ¡ < 1 , ahora reemplazamos x por -x se1- x

tiene:

1 + x= 1 - x + x 2 - x 3 + ... + ( - l ) ”x" + ... si | x ] < 1

integrando miembro a miembro se tiene:


x2 x3 x4 x" •ln(l + x) = x ------ (-•— ---------K ..+ ( - 1)” -------

2 3 4 n + \

Nuevamente en la serie geométrica reemplazamos x por - x ~ obteniéndose la

serie:

1 =1 - x 2 + x 4 - x 6 + ... + ( - l ) " x 2" + ... si ¡ x | < 1.1 + x 2

Multiplicando las dos series se tiene:

ln(l + x) x 2 2 3 x 4 13 5 , | ¡— — --- = x --------+ —* + — + •— X -f... SI X <1

1 + X 2 3 4 15

00(T?) Analizar la serie -----— , si es convergente. Hallar su suma.

n=l ^ n '

Solución

Para determinar la convergencia aplicamos el criterio de la razón.

1 1Sea a„ = — i— => a

” 8"+in\ ~ n+' 8"+2(k + 1)!

lim = lim — -— = O < 1 => la serie es convergente.»-»» aH n-*™ 8(n + 1)


00Ahora reemplazando (2) en (1) se tiene: <?18 = — ( l + > -— - )

8 ¿ ~ , n \8"n=l

£ ! í! = i + y _ L ^ ) A don de: Y — 1 ^ = £Í_1 = 1 (¿ 5 _ t)8 8 /?!8 ¿—* n \8"+1 8 8 8

«=i

Z (w + 4V—------- 1 , si converge calcular la suma3!«!4"// = 1

Solución

oc

Para determinar la convergencia ó divergencia de la serien=1

aplicaremos el criterio de la razón.

Sea + -------------- ^ + 5)!3!h !4" 3!(/? + 1)!4"

a„+l (« + 5)!3!«!4" n + 5 1 ,lim ------= lim ------------------------------ = lim --------— = — < 1 , entonces«->x an »->°°(/7 + 4)!3!(/? + l)!4 «->«(«+ 1)4 4

00Z(« + 4)!- --------- , es convergente, ahora calcularemos la suma:3!«!4"«=i

(n + 4)! _ V~' (n +!)(/? + 2)(n + 3)(w + 4)Z (« + 4)! _ V"'

3!«! 4"13!«!4n ¿—i 3! 4"n=1 n=\

oon4 + 1 0«3 + 35/;2 + 50/; + 24

4«

(« + 4)i

3!«!4"

la serie


00 GO . 00 00 00

£ „ * ( ! ) ■ + l o | V ( i ) - + 3 5 ^ , r ( I ) " + 5 0 ^ n( j r + * £ ( } ) ” ...(I)« = 1 / ?= ! H = 1 A7=l r t = l

30

Ahora utilizamos la serie de potencia: / x" = ------ , para | x ! < 1.¿—i l - xn=0

l + x + x 2 + x3 + ... + x" derivando:l - x

i r ll+ 2 x + 3 x + ... + wx" + . . . .= ---------- , multiplico por x

( l - x )2

x + 2x + 3x3 + ,.. + « x + . . .——(1- A )2

^ r

Como x + 2jc~ + 3x + ... + nx" + ... = — —, derivando:( l - x ) 2

1 + 2 2 x + 3 2 x 2 + ... + « 2 x" 1 + ... = - - - - ---, multiplico por x( l - x ) 3

x + 22x 2 +32x3 +... + n2 x" + ... = — + V( l - x )3

z2 „« _ X(X + 1)

3n x = -

«


2 *7 o o X +* XComo x + 2 x + 3"x + ... + « x " + . . .= ------- ^ .d er ivan d o:

( l - x ) 3

2i n3 ->3 2 3 h-1 + 4x + l1 + 2 x + 3 x + ... + n x + ... = ---------- -— , multiplico por x

( l - x )

x + 23x 2 + 3 3x 3 + ... + « V - . . .= A"N 4 y ' ~ - Y( l - x ) 4

Nuevamente derivando la expresión:

x + 23x 2 + 33x 3 + ... + ,? x" + ... =( l - x )4

. ~4 _4 2 4 „-I X3 +1 lx “ +1 lx +1 .1 + 2 x + 3 x + ... + « x + ... = ------— — — --------- , multiplico por x

( l - x )5

, 4 2 , 4 3 4 / i X4 + 1 l x 3 + 1 l x 2 + Xx + 2 x + 3 x + ... + « x + ... = ———

( l - x ) 5

Z 4 ;í X + 1 lx + 1 lx ” + X n x = -

i 1- " )

Ahora reemplazamos x = ~ en las series obtenidas

Z - ^ Z ^ r - |n=0 n=0 *

4


i+£ ^ H = > £ < íHn=1 «=1

w=l /?=!

2027

2 X ) ' = 7 r > I ”4^ ' 1,40«=! ;<=1

Reemplazando (2), (3), (4) en (1) se tiene:

Z (« + 4)! _ l r l l4 0 1320 700 200

3!«!4" ~ 6 243 + 81 + 27 + _ 9_ + Jn=i

(2)

(3)

(4)

OC

■ z(w + 4)! _ 9372

3 ! « ! 4" ~^729~n=I

00 f¡

( l9 ) Demostrar que / — - ----- = 1 + -ln(l - x ) , I x | < 1 aplicar esta fórmula¿ ^ n í n + l) x

para sumar la serie ^

in(n + \)n=1

00

1

h(w + 1)102" 'n=\

Solución

Í C T i ^ - i - i án=1 v 7 n=I «=1 «=1

Como —— = 1+ x + x2 + ... + x" 1 + ... si Ix I < l 1 - x


w . - -v2 x"— ln(l — X) — X H-------1------ h ... H-------h ...2 3 n

- x - l n ( l - x ) = Y — = i V — ¿ - J n +1 +1n=1 n=1

x" 1> - = - 1— ln ( l -x )

< M + 1 Xfl=I

( , ‘j " I“ ' 1

(2)

^ — = - l n ( l - x ) ...(3 )«=i

Ahora reemplazando (2), (3) en (1) se tiene:

00 nY .* = - ln(l - x ) - ( -1 - - ln( 1 - x ))n=1 V '

= l + ( — — l ) l n ( l - x ) = 1 + -— — ln ( l -x )

V — ------1 — - = y ) 0Q - = l + - ^ | M l n ( i — L ) = 1 + 991nj^ _^ « ( « + 1)(102") ¿ ^ n ( n + \) 1 lOO' 100"=1 100

( 2 ^ Desarrollar F (x ) = — en serie de potencias alrededor de x = 2.

Solución

1 X P F (,,)(2)F ( x) = - = > ( x - 2) , de donde:

x ' «!n= 0


F( x) = - = F( 2) + F'(2)(x - 2 ) + - 2)2 + ^ - ^ ( * - 2 )3 + ...X 2 ! 3 !

F (x) = - = F ’(x) = , F ’(x) = 4 > = — T ’-X X X X

F ( 2 ) = l- = F \ 2 ) = - X- , F \ 2) = | , F -(2 ) =

! _ > 1 , 2! ( x - 2 )2 3! ( .v - 2 )3x 2 22 33 2! 24 3!

X

•••/Í=0

ce

¡2?) Hallar ¡a suma de la serie 'e2"n=\

Solución

e e~ e e«=i «=i

-----e en=1 «=1 . «=1

Ahora aplicamos la serie geométrica convergente.

1 - = 1+X + X2 + ... + x"”' +x" + ... si I X ! < 11 — X

00 -y0 I

E x"-' = ------ => 7 x" = —— , donde: para x = —1 — x < 1 — x e~

«=] n=l


X

1 12

i * * /?=1

Como — = l + x + x2 + ... + x" 1+ x " + ... si Ix I <1 — X

■ = l + 2x + ... + «x”~1 + ...(1 —x )

//-■] 1 N 1 // x T , 1

Como — - —- = x + 2x2 + ... + m x" + ... si | x | <1( 1 - x )

X *f" 1 , «2 2 « —I■ = 1 + 2 X + ... + « x + ...

( 1- x )

donde: para x = -

(2)

, => 7 ^ n x" = - —í ——, donde: para x = 4 ro - * ) t r o - * ) 2

- (3)e ( « ' - O '

y „ v - < = ^ ± L => y „ v -¿ f (1 - x )3 £ ( > - ) 3

V V 1 V e2 +e42 / e2 ~ ( e 2 - l ) 3 '" (4)n=1 v '

Ahora reemplazando (2), (3), (4) en (1).


(22) Comprobar la representación en serie de potencia: para-

| X ) < 1Solución

Aplicando la serie geométrica convergente, es decir:

— — = l + X + X 2 + ... + x ' ' ~ ' + x " + ... , SÍ | X | < 1 \ - x

Ahora derivamos miembro a miembro.

..«-1= l + 2x + ...+ nx" + ... , si 1 x I < 1(1 - x f

Multiplicando ambos miembros por x, es decir:

• = x + 2 x 2 + ... + n:c" + ..., de donde:( l - x ) 2

, para ¡ x | < 1.

t - i 2 n X + X2 3 ) Comprobar la representación en serie de potencia de: y n x = j - c j ,

»=1 ' '

para | x | < 1Solución

Del ejercicio (22) se tiene: -----— = x + 2 x~ + ... + nx" + ..., si |x i < 1

X + ] =1 + 2 2x + ... + n2 xn~l + ...O - x f


Multiplicando ambos miembros por x.

x 2 + X i 17----- rr-= x + 22x 2 + ... + «2 x" + ..., de donde:O - xy

2 n X + X I I ,7 n x = - ------ — , para x < 1^ O-*)3n=l

[24j Comprobar la representación en serie de potencia de x:

„3 , a „2

I '„ 3 y ,= £ + 4* + ,* si ¡x | <J

f l - * ) 4Solución

Aplicando la serie geométrica convergente.

1 , .

: 1 + X + X + . . . + X + X + . . . SÍ I X I < I1 — X

Mediante el ejercicio (23) se tiene:

2

— -----r = -v + 2 2 . y 2 + 3 2 x 3 . . . + . m 2 x " + . . . , si I x I <

(í-A -y

Derivando ambos miembros.

-V + 4.v +1 1 -, 2 3■1 + 2 x + 3 x + ... + « x + ...

( l - x )4

9 ^ 0T XT' 3 n-1 x + 4x + l V 1 3 „ x +4x~ + xLuego / n x - ----------- -— , de donde: 7 n x = ■

L a n - x i 4 L a, 0 - x y ^ (1- x )n=l n=\4


( 2 ^ Comprobar la representación en serie de potencia de x:

x 4 + 1 lx 3 + 1 1a ' + x—” 7—~T ~—~ ’ s' lx| < 1

(1-A )// = 1

Solución

GO 1 9

Z , x + 4x + x n x" = — ■■■■-- - - — , desarrollando

n=1 ^

x + 2 3x 2 + 33x 3 + ... + n3x" + .... = - f 4 'V ■ - A , derivando( 1 - x )4

-4 «4 2 4 rt-1 + 1 lx + 1 l.V + 11+2 1 + 3 . r + ... + « x ' + . . . = ---------------- 7--------( 1 - x )5

Multiplicando ambos miembros por x tiene:

x + 24 X 2 + 34x 3 +... + n4x" + .. .=x 4 + 1 lx3 + 1 lx 2 + x

( l ~ x )5

X 1 4 4 X4 +1 l x 3 +1 l x - + X 1 I * ,de donde: 7 n x = ------- — -----:--------- , para ! x | < 1

¿—i n - r Va - * r rt=l

3.8 EJERCICIOS PROPUESTOS.-. ti

I. Hallar el intervalo de convergencia de las siguientes series y dar el radio de

convergencia.

(7) V —ífr i £ — Rpta. 2 < x < 4^--¿(w + l)ln (« + l)rt=l


© J t m í z S L Rpta. 2 £ x £ 411=1

00( ¿ ) y ( 1 + ~ ) ,, (* -1 )" Rpta. 1 - - < X < 1 + -

n e er¡=\

n=0

ST\ V '1 ( - l ) " i 3"( à ) y -------------- Rpta. V x e R

n\n =0

A7 — 1

/ 7 = 0

00( ¿ ) y Y l)"x2" Rpta'. I x i <: 1

/tn ’sr '2"x" 1 1© Rpta- ” 2 “ X < 2n=1

00( 7 ) £ ( - 1 » " Rpta. IXI <

V L i l _ (A )2" Rpta -2 < x < 2¿ - i 2rt + l V H


© Z (-|)n = l

(2/7 — 1)!Rpta. V x e R

1)„+. (X-1)"

n =I

Rpta. x e [0,2]

/í=lRpta. x = 0

«=o

»=0 (2«)!Rpta. V x e R

00

© s«=1

A'n T

Rpta. x g [-2,2>

00

© s 2« ;z-V'

n=1 n (« + !)(« + 2)

00

© I ?rt=l

© í>-

Rpta. x e [ ——, — ]71 K

Rpta. x > 1 absolutamente convergente

-x < 1 es condicionalmente convergente.

Rpta. -1 < x < 1

n=O

Series de Potencia

X

® Z 4 R pta- es divergente V x € R»A* n=1

x

® Rpta- < ^ < * < 1n=1

00

@ ^ ^ (- l)" (2 w + l)'.v" Rpta. -1 < x < 1»1=0

© H l Z T W Rpta. -1 < x <( 4 n - 3 )2

§>/f=l

00 c ->

Z(w + l )V "— -------— Rpta. -1 < x < 1

2n + l

n=\

* ‘ ( - 1)”_,jc"

n=l

n=O

2n + ln =I

Rpta. -1 < x < 1

00

Z x"— Rpta. -00 < x < 00n” 1«=1

X

© 5 / v 'n=0

Rpta. - - < * < — 3 3


Z n]x" r, * ^ ^------- Rpta. -e < x < e

n”n=1

n—1O) Y * ——------ * Rpta. -3 < x < 3

8=2 n3".\n(n)

© S * " : Rpta. -1 < x < 1n=\

(32) 2 L w! Rpta. - 1 < x < 1n-\

(33) y J-Y~2) Rpta. O < X < 4W (2n - 1)2”n- 1

£ 4 ) y ^ ^ ~ Rpta. -e - 3 < x < e - 3

8=1 n

00

® 2 " " í Jf + 3)" Rpta. x = -38=1 £

Z(_!)»->(x 5)" Rpta. 2 < x < 8

«3"W=1

( 3 n - 2 ) 4 48=0


X

8=0

n (-V-3 r

(2 n +1 )V« +1Rpta. 2 < x < 4

|00

z8=1

( * - 3 ) 5«5"

Rpta. -2 < x < 8

1 (n + l)ln (« +1)Rpta. -2 < x < O

© £<-«/7=1

„-1 ( x - 2 ) 2 n

rRpta. 1 < x < 3

00

I ( * - 1)n.9"

2 nRpta. -2 < x < 4

00

I«=o

( 3 » - 2 ) ( jc- 3 ) w

(n + 1)2 2',+1Rpta. 1 < x < 5

(x + 2)"Z (x + n

Rpta. -3 < x < -1

®n= 0

„ y¡n + 2 n +1

( x - 2 ) " Rpta. 1 < x < 3

00© Vc-ir1- ( x - 2 y

8=1(« + l)ln(» + l)

Rpta. I < x < 3


© Rpta. -2 < x < Or ~ \ nn=1

X

Z_ i ------ Rpta. x > 1, x < -1Íln-Ux"<(2n-l)x"n=1

® Z ; ( - Dn- 1

0' ( * + i r * zn=0

n=1

2w=l

Rpta. a > 5— , x < 4. 3" (jc-5 )" 3W=1

5 0 ) ^ ------ -— Rpta. x > 3 , x < lZ -< r x -2 V !( x - 2 fn — i

(s?) y 2/11 1 2 Rpta- x - 1 ’ x ■A^ j¿ -J (n + ]\5x2n

@ Y ^ ~ Rpta. - i < - v < i¿ - J n\ e en=\

X

© n2x " Rpta. -1 < x < 1

n^ /7£_ Rpta. -2 < x < 2

x 2/i—l. - 0 0 < X < 00


© £ (-d- i i . t - i íi - u

/?=!

w=l© Xy<*+2>"

( - i ) " x 2fl /„ i\2

V (- i r ' í í 4 '„.2"/í=l

X

© J/-P" x 2n+12 + 1 «=0

g ) ^ ( - 2r ( « + i x x - i ) n/?=o

x

I(3x + 6)"

«!„=o

X

© £ < - d -(2n - 2)x

, 2« -r

2/7 — 1

2 ( « - ! ) ! ( « - l ) ! ( 2n - l )

© I ; 3nn=\

Rpta. O < x < 2

Rpta. -4 < x < O

Rpta. -oo < x < oo

Rpta. | x - 2 | < 2

Rpta. I x I < 1

Rpta. -oo < x < oo

Rpta. | x | < 1

Rpta. -1 < x < 1


( 2 ) y H H * - 1)- Rpta. -1 < X < 3L a 2 " i, 2" (3/7-1)n=\

© y —Wt Rpta-v x * °^ L a „ ( i + X2)"n-\

\_£ y Rpta. x > 0

n=\

((*) Y Rpta. x< 0n=1

( £ ) V l.3 .5 .-(2 « -l)y , Rpta. -1 < X < 1^ L a 2.4.6....(2«)

»=1

© J V j¿" Rpta. x = 0/í = l

X nRpta. -oo < x < oo

/»=! n

@ J ^ ( ln (« ) )2x"»=2

iln(«)n-2

Rpta. -1 < x < 1

@ Rpta. -1< x <1


oc.

© ^ \ l + «)"x” Rpta. x = 0n = l

0C0 ] T ( l + ( -2 ) 'V ' Rpta. |a| < 1

«=o

76) ^ ( i + ( _ ! ) > ” Rpta. |.v |< in=0

Y ^ x " Rpta. Ixl < -4

I s 1" R p , a - w < 2 7»1=1 v ’

© Y - ^ V Rpta. | x | < 4^ L a (2n)\n * 1 1 e2//=! v 7

V (3 n ) ! -v "> v 7 , Rpta. x = Ot f ("O\ ~ ' s e n ( 2^ «) „8l ) y ——-—— - x Rpta. -oo<x<oo«=i n '

82) y / l\ + xn Rpta. -oo < x < oon=1


sen83) V --------V ^ ~ xa" Rpta. - » < x < oo

n=1

( g ) Rpta. I x | < 2

n=I

@ J - l + c o s2£ « y l Rpta_ | x | <33" «=i

® i : v«=i

Y 4 í L ( , - 2 ) " Rpta. 1 < x < 3Z - j „ 3 + 4«/I=l

( g ) ^ ( _ i ) " + l(2^ 3)2 _ Rpta. K x < 23n - 2

W = I

i 2 n - \ 'x + ln=l

W=1

Rpta. I x I < e

@ Rpta. -2 < x á 2

n=l

(90) V — í— ( — ) 2n- 1 Rpta. x > 0^ Z - » 2 n - l x + l

OC

__J___ Rpta. x > 1 , x < -1¿ - J „1-xV

Seríes de Potencia 253

© I f/;=!

Rpta. x > 2, x < -2

® X —W ¿ - ¿ n !.v"W = 1Rpta. V x # 0

(3x)ff n+1

n=0

2 2Rpta. — < .r < —

3 3

® i ( - l ) V ’

In2 1 + *

Rpta. -1 < x < 1

Rpta. x > —l

® In=l

" ( x - w3"

n-lRpta. -2 < x < 4

(- l)" +l(.v + l)2"

(/3 + 1)2 5"w=0

Rpta. [ - V 5 - 1 , V 2 - l ]

w ^ 2 'ji1W=1

n=0 n + 1

Rpta. -1 < x < 3

2 2Rpta. — < r < —

3 3


ce

@ ^ ( - l ) " ( » + l)x"n=0

n=1

n = l

( - » " ' ( x + W Rpta. -7 < x < -13".w2

2"(2«)! n = l

- (-I)"-'n\¿)"x" 4 4\ ---------------é------- Rpta. — < x < -L a 1 .3 .5 ...(2 /?-l) 3 31 .3 .5 . . . (2n-l)n=1

n=\

© Z«=i

(m) y i^ L z l)( ,- ,rZ - j 2.5.8..i 3 « ~ nn = l

© z

Rpta. -1 < x < 1

ac(Í02) ^ / j 2( x - 1 )2 Rpta. 0 < x < 2

( S ) y Rpta. -6 < X < 10V - / Á a 2"<2nV.

4 4

f i ) V Rpta. -1 < x < 1V _ y Z - i ( « + l)ln (« + l)

( - i r - In Q O ^ V _ 3 3

3".«2 2 2

1.3.5...(2w-l) D t 1 . 5v ,v Rpta. — < x < —

«=o

2.5.8...(3«~1) 2 2

2«+l y5(" + l) 1 1------------- Rpta. - 77= < x < -77=2« + l \¡2 y¡2


00

Z«=1© 00

zn=1(D 00

Zn=1

M + lx in2

Rpta. ¡ x | <

( -1 )” 1.3.5. ..(2/7-1) 2n+l------------ ---------- x 2"+1 Rpta. [-1,1]2 .4.6 .„(2«) J

sen [(2n - l ) x ]

(2/7- l ) 2Rpta. <-co, +oo>

sug:sen(2« - l ) x

(2/7- l ) 2

1< — ~ „ 2

X

^ ' 2" sen(-^-) Rpta. -00 < x < 00n=O

sug:x x2"2" sen(— ) <3" 3"

© Verificar que: ln ( - Í ^ ) = 2 y * —------ , para ! x | <1 - x 1 2n + 1

n=o

rp OC

( l i s ) Demostrar que: ——— - = x + ( l - x ) l n ( l - x )n=2

( l i ó ) Comprobar la representación en serie de potencia de x:

Z (n + l)(„ + 2)(« + 3) „ 1 . | |---------------- ------------------ x = = _ _ _ o

«=o 3! (1 - x )4

(IT7) Comprobar la representación en serie de potencia de x:

00 '^ £ « + l)(/7 + 2)x" 1

2! " - « >si I x ¡ <


( í l ^ Comprobar la representación en serie de potencia de x :

a *'= X ^ r ~ x " , a > 0 (sug-: a X = e X 'nn=0

^19^ Comprobar la representación en serie de potencia de x:

00

Y — -<2n+x 2 - xn=01 • 11 I ^ osi x < 2

( l2 o ) Comprobar la representación en serie de potencia de x:

00 T .Z 9 2 /7-1

( _ 1)"+1— — x 2" (sug.: cos2x = l - 2 s e n 2 x ) (2 n)\ ■

77 = 1

^ 2 l ) Comprobar la representación en serie de potencia de x:

f l + x x 2n+1 . 1 1l a . ------ = > --------- si x < 1Vl-x ¿L/2n + l

n=O

(Í22) Comprobar el desarrollo en serie de potencia de x:

3x 1 . . . . .....................SI x < -

l + x - 2 x 2 v / 2n=I

3x 1 1 ,(sug.: ------------- - = ------------------ )

l + x - 2x 1 —x l + 2x

(123) Integrando ténnino a término de O a x una representación en serie de potencia

X P x 2"+l 1de t arctg(t). Demostrar: j ( ~ l ) 7----- ~ \7 -------- \ = _~ IX*2 + l) a r c tg x - x ]

( 2« - l ) ( 2n + l) 2


( n í ) Escribir el desarrollo en serie de potencia de x:

00

f ( x ) = xe~2x Rpta. / ( x ) = x + ^ ' ( - l ) ' '¿ i ( » - ! ) !7 7 = 2

2/7 2/7

b) / ( x ) = cos2x Rpta. / ( x ) = 1 + ^ ( - 1 ) " - — - —(2/7)!

, 2"-\ x"

n= l

2/7„ ( 2 x ) -

c) / ( * ) = eos2 x Rpta. f ( x ) = 1 + — (-1 )2 ¿ —J (2«)!

/7=1

V ' t 3 2 ” v 2 ' ,+1d) / ( x ) = sen3x + xco s3 x R p t a . / ( x ) = 2 > (-l)" (/j + 2 ) :— :-------

i—i (2n + l)!n=0

X

e) /(-* ) = Rpta. / ( x ) = V (-1)"9 + x '

X2"+l

:V'+!11=O

f) / ( x ) = ln(x + V x 2 + l )

_ . , , , 1 X3 1.3 5 ( - l)" 1 .3 .5 ...(2 n - l) x 2"+1 , . ,Rpta. f (x) — x — .— + -------x + ... + -— ----------------------------------------------- i----------------- + ... x <1

2 3 2.4.5 2.4.6...(2«) (2« + l) 1 1

(125) Hallar la serie de potencia de x de / ( x ) =( l - x ) ( l + 2x)

00 •

Rpta. / ( x ) = ^ ( l + ( - i r 2 " +1)x"

126) Hallar la serie de potencia de x de la función: / ( x ) =

n=0

1 - eos X

00Rpta. / ( x ) = £

( _ 1)„+Ix2«-1

(2«)!=1


Hallar la serie de potencia de x de la función: f ( x ) = ien 3 x

Rpta. / ( - y) =

Muestre que:

— X

i y (—1)'—'(32'- -1 ) t 2, +i 4 (2n +1)n=0

2x3 2.4 5 2.4.6 7 ^ 2 2> ! ) 2x2n+larcsenx = xH-------H-------x H--------- x

3 3.5 3 .5 .7 ’ (2n + 1)!n= 0

. , COS A*Hallar la serie de potencia de x de la función: f ( x ) = ------

1 + x

-2 - 3 13 4 13X X 4 5 ,X -------- X + .Rpta. f ( x ) = 1 - X H ------------------ h — x —

• 2 2 24 24

Hallar la serie de potencia de x de las funciones

»>oc

Z 1 1------------ = —

«!(« + 2) 2n=1

Z' «3 + 2« +1 ,—------j------ en caso de

n = 0

ser convergente calcular su suma. Rpta. 8e

Calcular la suma de la serie N ' -----------j , sabiendo que:n{n +1)


(Í34) Analizar la convergencia ó divergencia de las series siguientes y en caso de ser

convergente calcular su suma.

. V - ' n2(n + 1)23) L ......276

b) T Vn} + 2n +1

( « - ! ) ! /7=1

X

d)«=1

135) Hallar la suma de la serie_1, 2” «(« + 1)

Rpta. 20e

. V -'/?2 —5« + 2c) -3e

Rpta. — ^( * - l )2

e) Rpta- e 4 ~ i ,1=1

ce

V 1/ —----------- . Rpta. 1

136) Analizar y calcular la suma de la serie ^ Rpta. ln(~— )«=i ,7' ^ v

137) Calcular la suma de la serie Y * — 1—— -r Rnta.^ 2" ( 2\/x + 1) P I - X


* ' 1 7T~( l3 8 ) La siguiente serie es convergente, calcular su suma y ~

n=0

Rpta.1

139) Si¡ y - L =« n !n=0

e . Hallar la suma de la serie

00

In=I

n + 3n + 5

(n + 2)!Rpta. 1 3 - e

00

(l4G^ Hacer un análisis y calcular la suma de la serie ^ 'n=l

n(n +1)

00^41^ Analizar y calcular la suma de la serie ^ ' n(n + l)x"

n=l

Rpta.( l - x ) J

•, para | x | < 1.

Hallar la suma de la serie ^ 'n=0

1 ’'C~' (« + 2)(n + 1)

(« + 2)(w + l)x" y concluir que

_ 1 y (« + 2)(

7 «!n-0

143) Demostrar que para todo entero positivo P, se tiene:

( ! - * ) ’~ P 1

oc

sn= 0

11 + p

P ,jc" , I x I < 1, donde el símbolo es una

abreviación de (” +/>X" + /> + 1) - ( ^ ± l) deducir ia formula:1.2.3 ...p


(l4 4 j Hallar la suma de la serie de la función 'Ñ para 0 < x < —w 3

Rpta. - s e n 2 x

( l ^ ) Estudiar la serie si converge hallar su suma y ^ (« - 1)3»=1

^4ft) Estudiar la serie si es convergente, hallar su suma y * 1

n=0 (n + !)(« + 3)6"

R p ta .: - [2 1 0 1 n - + — ]6 72

®00

Estudiar la convergencia ó divergencia de la serie y ' - — -— y en caso de'(» + 1)8"

8 9convergencia, calcular la suma. Rpta. — 8 ln —

9 8

^48^ Calcular la suma de la serie, analizando en que intervalo converge°° „ 30

---------- , y aplicar para calcular la suma de la serie 7 ---------------«(« + 1) ¿ - ‘ n(n + 1)4"«=1 n= 1 V ’

OC ry

^ 4 ^ La siguiente serie y — es convergente, calcular su suma.,.'(« +3)!

n = \

D * 4 e - 2?Rpta. ----------2

© Estudiar la convergencia ó divergencia de la serie y - - ^ n , en caso deÁ -J (n + m n

ser convergente calcular su suma.


00

Analizar la serie ^ n(n + \)xn~x y calcular la suma ele la serie. Aplicar a

n=1oo

n=1

Z na---- =

6"

na ab

»=1aplicar el resultado para

sumar

oo co i—Z l n v 2 +7tn

5 " ’ Z a 3 " - 2 ; j = l n = l

( l 5 ^ Halle el radio de convergencia de la serie ----- f — )x" para a,n= l

b > 0

arbitrarios.

154J Demostrar que• V ( — _____ - ) =^ S + . T 2" 1+X2"“2n=l

- 1, |jc| < 1

2 '0 , IjcI > 1

(155y Hallar el intervalo de convergencia de la serie: ¿ ^ + r r xn= 1

17«

156) Pruebe que„=i

i «3[V2 + ( - l ) " ]" ^ 3 (2 6 + 1972 )

3" “ 3 4 -2 4 V 2

oc t g " ( £ ) J _

157) Pruebe que ^ ' -,----- ^ ^ [5 4 e ^ - 63 -19-71 ]

w=0 ( n + 3 ) ¡ 1 6 2 7 3


rf . ' ' r~- 00 1 1—158) Pruebe que N ' | — -'y dx converge y F — — dx < 71

¿ - ' J ) l + x 2 L a J, \ + x 12n=1 „=1

1 5 ^ Sumar la serie ^ \ - l )" +1 —

n=1

3

2 "

(160j Analizar la serie

«=1

. ST' F+ñ sen2ie 7 I ------ r

L a j +i 14- .y + x4

© Usando serie de potencias, demostrar que \ ' (-1)'' *— -Z - i «(«

77—1 (2/1 + 1) = 1«(n + 1)/I = l

163 ) Calcular la suma de la serie

arctg(y) + arctg(----- — —) + arctg(------ ----- - ) + ... + arctg(---------------------- i ------- ) + .r 1+ 1.2 .x 1 + 1.2 .3 .x vi + / / ( « - i ) x 2 /

Rpta.: —2

(I64) Analizar la serie si es convergente calcular su suma:

00

Z senx sen2x sen3x 2 sen xa „ - _ - + _ r - + _ _ _ + ... R p l a .

/ í= l2 2 - 2 3 5 - 4 c o s x

264 Eduardo Espinor.a Ram os

X

( g ) Dadas las series infinitas: ^ a„n=1

, 1 > 1= 1 + —COS.V + — cos2.v + — cos3.v + ... 2 2 2

X - ' 1 1 17 b„ = — senx + —r sen 2x + ---sen 3 x + ...Z - j " 2 T 2

7 7 = I

Se pide a) Demostrar la convergencia

b) Calcular la suma de cada serie

cpDada la serie infinita. ^ ’ a„ = 1 + Acosar +k~ eos 2a + ... + k" eos na + ..

«=o

CC^ = A sen a + A-2 sen 2 a +.. . + A" sen n a + ...

„=0

Siendo 0 < k < 1, Calcular la suma de cada serie

1 - A eos a A sen aRpta..

l + A2 -2 A c o s a l + A2 -2 A c o s a

V"'' 4 (n + 1)!167 ) Hallar la suma de la serie 7 (-----¡------------------)

3 «! 3!.«!.477=1

X

1 6 ^ Desabollando en serie de potencia la función / (x) = ex , calcular ^ ' —77=4

Rpta. 0.2128

X

^69^ Si la serie es convergente calcular su suma ^ M /J + 1 )(-V Rpta.

7 7 = 1

r-~ | O'


170J Estudiar cada una de las series siguientes:

, V 1 « 2a) / ---------- 7 b)¿ -J (n + 1)5"

1 ( r t -3 )2(« + 1)5" e in«-1 n~ 1

«y x

c) ^ [ ( 3 - n + 2 -2")«]2 d) ^

« = 1 71 = 1

en caso de ser convergente. Hallar la suma

(^ 7 l) Estudiar la serie p , si converge calcular la suma4"

n-1424

Rpta. Converge, su suma e s --------27

APENDICES

SUMATORI \S.n

=íj, + a 2 +•••+«„<=i

n

] T / ( / ) = / ( l ) + / ( 2 ) + . ..+ /(» )i = i

FÓRMULAS IMPORTANTES.

© + © ¿ í 2 = ^ ( « + 1) (2» + Di=I /=!

0 ^ . 3 = " (^ + 1)~ © = ^ ( n + l ) (6»3 + 9 « 2 +/;

í=l /=

PROPIEDADES DE LA SUMATORI A

, k constante.

i=i

n n

© y k = nk,i= \

n

© 2 > 0±g(0] = 5 > ± 5 >/=i /=i /=i

n© £ [ / ( / ) - / ( / . - ! ) ] = f i n ) - f i f i ) (Ira. Regla telescópica)

/=]

n© / ( 0 ~ /(* •~ 1)] ~ / ( ” ) ~ f ( k - \ ) (Ira. Regla telescópica generalizad;

@ ^ [ f ( i + l ) - f ( i . - \ ) ] = n n + \ ) + m - n \ ) - m (2da. regla telescópica)

1=1

© + l)~ ~ = + ^ + ~ fik)¡=k

(2da. regla telescópica generalizada)

PROPIEDADES DE LA EXPONENCIAL.

© e \ e ' W +v © e- = e*~> © ( < T

PROPIEDADES DEL LOGARITMO NATURAL: Ln A.

© ln AB = ln A + ln B © ln— = ln y í - l n £

© ln Ar = r \n A © ^ € Á = U n A

PROPIEDADES DEL FACTORIAL.

© n! = 1.2 .3 .. .n © (n + 1)! = n!(n + 1)

EL NÚMERO e.

\_e = ü m (l + - ) * = lim (l + ^ = 2.7182818284590452...

*-»» x y-*ü

NÚMERO COMBINATORIO.

n n\

{ k ) = k \(n - k )\

BIBLIOGRAFÍA

© Cálculus Vól. 2 por: TOM. M. APOSTOL.

Introducción a las Series por: ROBERT - SEELEY.

© Análisis Matemático Vól. 2 por: HASSER LA SALLE SULLIVAN.

( 4 ) Problemas de Cálculo Infinitesimal y Teoría de Funciones por: MOYA -

MORENO.

© Cálculus por: E1NAR HILLE.

© Matemática Superior para Ingeniería por: C.R. WYLLE.

Sucesiones y Series Vól. 1 y Vól. 2 por: YU TAKEUCH1.

Problemas de Cálculo Infinitesimal por: A. GIL CRIADO.

© Cálculo Por: FRALEICHI.

(jo) Problemas y Ejercicios de Análisis Matemático Por: G.N. BERMAN.

© Análisis Matemático Por: PROTTER - MORREY.

( l í ) Ejercicios y Problemas de Matemática Superior Vól. 2 Por: DANKO Y A

POPOV.

( O ) Análisis de una Variable Real por: MARTINEZ SANZ.

(14) Principios de Análisis Matemático Por: E. LINÉS.

Documents

Sucesiones y Series Infinitas - Eduardo Espinoza Ramos