SEQUÊNCIAS, SÉRIES E PROGRESSÕES. SEQUÊNCIAS Na linguagem do dia-a-dia, o termo sequência significa uma sucessão de coisas em uma ordem determinada (cronológica,

SEQUÊNCIAS , SEQUÊNCIAS , SÉRIES E SÉRIES E

PROGRESSÕESPROGRESSÕES

SEQUÊNCIASSEQUÊNCIASNa linguagem do dia-a-dia, o termo sequência significa uma sucessão de coisas em uma ordem determinada (cronológica, de tamanho, ou lógica).Ex. dias da semana, meses do ano, figuras semelhantes.

Em Matemática, sequência é usada para denotar uma sucessão de números cuja ordem é determinada por uma lei ou função (cujo domínio é o conjunto dos números naturais).Ex. conjunto dos nos pares, dos múltiplos de 7.

(ANTON, 2000, p. 38 e 40)

As sequências numéricas podem ser:FinitaFinita

a) A sequência dos quatro primeiros números naturais múltiplos de 5:

(0, 5, 10, 15)(0, 5, 10, 15)(a(a11, a, a22, a, a33, a, a44))

b) A sequência dos números de dias dos 12 meses de um ano bissexto:

(31, 29, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, (31, 29, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31)31)

(a(a11, a, a22, a, a33, a, a44, a, a55, a, a66, a, a77, a, a88, a, a99, a, a1010, a, a1111, a, a1212))

SEQUÊNCIASSEQUÊNCIAS

InfinitaInfinitaa) A sequência dos números naturais ímpares:

(1, 3, 5, 7, 9, 11, ...)(a1, a2, a3, a4, a5, a6, ..., na, ...)

b) A sequência dos números quadrados perfeitos:

(1, 4, 9, 16, 25, 36, ...)


Sequência ou Progressão Aritmética (PA)Sequência ou Progressão Aritmética (PA)a) (2, 7, 12, 17, ...)a) (2, 7, 12, 17, ...)7 – 2 = 55; 12 – 7 = 55; 17 – 12 = 55; ...

ou aa22 = = 77 = 2 + = 2 + 55; a; a33 = = 1212 = 7 + = 7 + 55; a; a44 = = 1717 = 12 + = 12 + 55; ...; ...

b) (20, 10, 0, – 10, –20, ...) b) (20, 10, 0, – 10, –20, ...) 10 – 20 = –10–10; 0 – 10 = –10–10; ...

ouaa22 = = 1010 = 20 + ( = 20 + (– 10– 10); a); a33 = = 00 = 10 + ( = 10 + (– 10– 10); );

aa44 = = –10 –10 = 0 + (= 0 + (– 10– 10); ...); ...


Crescente

Decrescente

PA é toda sequência de números na qual:

I. a partir do segundo termo, a diferença entre cada termo e o seu precedente (anterior) é CONSTANTECONSTANTE;

ouII. Cada um de seus termos, exceto o primeiro, é igual ao precedenteprecedente, somadosomado a um número CONSTANTECONSTANTE.

Essa constante chama-se RAZÃO (RAZÃO (rr)).


Sequência ou Progressão Geométrica (PG)Sequência ou Progressão Geométrica (PG)a) Dividir um pedaço de papel sempre em 3 partes iguais. Repetir esse processo 4 vezes.


3=9

27=

3

9=

1

3Crescent

e

(1, 3, 9, 27)

(a(a11, a, a22, a, a33, , aa44))

b) (512, 128, 32, 8, 2, ...)b) (512, 128, 32, 8, 2, ...)


4

1=

8

2=

32

8=

128

32=

512

128 Decrescente

Na sequência (1, 3, 9, 27) podemos Na sequência (1, 3, 9, 27) podemos ainda notar que:ainda notar que:

aa22 = 3 = 1 . = 3 = 1 . 33; a; a33 = 9 = 3 . = 9 = 3 . 33; a; a44 = 27 = = 27 = 9 . 9 . 33

;4

1•512=128 ;

4

1•128=32

PG é toda sequência de números não-PG é toda sequência de números não-nulos na qual:nulos na qual:

I. a partir do segundo termo, o I. a partir do segundo termo, o quociente da divisão de cada termo pelo quociente da divisão de cada termo pelo seu precedente é seu precedente é CONSTANTECONSTANTE;;

ououII. Cada um de seus termos, exceto o II. Cada um de seus termos, exceto o primeiro, é igual ao primeiro, é igual ao precedenteprecedente, , multiplicadomultiplicado por uma por uma CONSTANTECONSTANTE..

Esse quociente ou fator é chamado de Esse quociente ou fator é chamado de RAZÃO (RAZÃO (qq)) da progressão geométrica. da progressão geométrica.



Sequência formada por uma lei ou Sequência formada por uma lei ou funçãofunção

( )

1+n

n•–1)(=)n(f 1+n

... ,6

5,

5

4,–

4

3,

3

2,–

2

1

SEQUÊNCIAS: SEQUÊNCIAS: RepresentaçõesRepresentações

NumericamenteNumericamente: (2, 4, 6, ...): (2, 4, 6, ...)

GeometricamenteGeometricamente


GraficamenteGraficamente yy

6 6 (3,6)(3,6)

4 4 (2,4)(2,4)

2 2 (1,2)(1,2)

1 2 3 1 2 3 xx

TermTermo o

Valor do Valor do termotermo

aa11= 1= 1 22

aa22= 2= 2 44

aa3 3 = 3= 3 66

AlgebricamenteAlgebricamente

f(n) = na = 2n, para n f(n) = na = 2n, para n llΝΝ/n /n 1 1

Por ChavesPor Chaves


+ 2n n=1

Observe as figuras abaixo formadas por palitos. Observe as figuras abaixo formadas por palitos.

NNoo de de triângulostriângulos

NNoo de de palitospalitos

11 3 3 22 5 5 33 7744 ??......

......2020 ??......

......nn nana = ?= ?

SEQUÊNCIAS: Termo geral de uma SEQUÊNCIAS: Termo geral de uma PAPA

a1 = 3 = 33 + 0 a2 = 5 = 3 3 + 2a3 = 7 = 33 + 4 a4 = 9 = 33 + 6

= 3 + (1–1).2 = 3 + (2–1).2 = 3 + (3–1).2 = 3 + (4–1).2

= 33 + 00.22= 33 + 11.22= 33 + 22.22= 33 + 33.22

a20 = 33 + (20 – 1) . 22 = 33 + 38 = 41 . . .

an = 3 + (n – 1) . 2 termo geral dessa PA

O termo geral também pode ser expresso como função

f(n) = an = 3 + (n – 1) . 2 f(n) = 2n + 1

Generalizando – o termo geral de uma PA:Generalizando – o termo geral de uma PA:

aann = a = a11 + (n – 1) . r + (n – 1) . r

SEQUÊNCIAS: Termo geral de uma SEQUÊNCIAS: Termo geral de uma PAPA

SEQÜÊNCIAS: Propriedades da PASEQÜÊNCIAS: Propriedades da PA

1) Observe a tabela parcial de 1) Observe a tabela parcial de pontos de um campeonato paulista.pontos de um campeonato paulista.

a) Qual é a razão dessa progressão?a) Qual é a razão dessa progressão?

b) Se na semana seguinte da b) Se na semana seguinte da apresentação da tabela os 5 apresentação da tabela os 5 primeiros colocados ganham 2 primeiros colocados ganham 2 pontos cada um, determine a nova pontos cada um, determine a nova sequênciasequência

de pontos desse time. Qual é a de pontos desse time. Qual é a razão dessa nova sequência?razão dessa nova sequência?

ColocaçãoColocação PontoPontoss

1. Palmeiras1. Palmeiras

2. Santos2. Santos

3. São Paulo3. São Paulo

4. 4. AraçatubaAraçatuba

5. Guarani5. Guarani

6. Juventus 6. Juventus

7. 7. Corinthians Corinthians /Portuguesa/Portuguesa

8. XV de Jaú8. XV de Jaú

9. 9. FerroviáriaFerroviária

2828

2525

2222

1919

1616

1313

1010

77

44

P1: Se somarmos um número aos termos de P1: Se somarmos um número aos termos de uma progressão aritmética, o resultado será, uma progressão aritmética, o resultado será, ainda, uma progressão aritmética, com razão ainda, uma progressão aritmética, com razão igual à da original.igual à da original.

2) Maria comprou uma esteira ergométrica para fazer caminhadas em casa. Seu médico recomendou que não passasse de 10 minutos por dia. No 1º dia, ela manteve uma média de 2,28 km/h e, em 10 minutos, conseguiu andar apenas 380 m. No 2º dia conseguiu caminhar, um pouco mais depressa e nos mesmos 10 minutos andou 400 m.a) Se ela continuar nesse ritmo quanto ela conseguirá andar no 5º dia?

b) Qual é a razão da sequência de metros caminhados?

SEQUÊNCIAS: Propriedades da PASEQUÊNCIAS: Propriedades da PA

c) Depois de 1 mês, Maria já estará com melhor preparo físico e dobrará sua marcas da 1ª semana. Assim sendo, determine a sequência de metros caminhados, dobrando os termos da progressão citado no item (a).d) Quantos metros ela andou no quarto dia após esse mês?e) Qual é a razão dessa nova sequência?

P2: Se multiplicarmos todos os termos de P2: Se multiplicarmos todos os termos de uma progressão aritmética por uma uma progressão aritmética por uma constante, encontraremos outra progressão constante, encontraremos outra progressão aritmética. A razão da nova sequência será aritmética. A razão da nova sequência será igual à razão da anterior multiplicada pela igual à razão da anterior multiplicada pela mesma constante.mesma constante.

SEQUÊNCIAS: Propriedades da PASEQUÊNCIAS: Propriedades da PA

SEQUÊNCIAS: Soma dos SEQUÊNCIAS: Soma dos termos de uma PA finitatermos de uma PA finita

Quantos casulos são Quantos casulos são necessários para montar o necessários para montar o triângulo abaixo? triângulo abaixo?

O número de casulos em cada linha representa um termo de uma sequência aritmética.

(1, 2, 3, 4, 5, 6)(1, 2, 3, 4, 5, 6)

S6=[(1 + 6).6]/2

= 21

SSnn = [(a = [(a11 + a + ann).n]/2).n]/2

SEQUÊNCIAS: Soma dos SEQUÊNCIAS: Soma dos termos de uma PA finitatermos de uma PA finita

SSnn = a = a11 + a + a22 + a + a33 + ... + a + ... + an-2n-2 + a + an-1n-1 + a + ann

SEQÜÊNCIAS: Soma dos SEQÜÊNCIAS: Soma dos termos de uma PA finitatermos de uma PA finita

aa11 + a + ann

aa11 + a + ann

aa11 + a + ann

Parcelas Parcelas iguais a iguais a aa11 + +

aa22

2

nSn = (a1 + an).

SEQÜÊNCIAS: Termo geral de uma SEQÜÊNCIAS: Termo geral de uma PGPG

Voltando à divisão da folha de papel, fazendo agora Voltando à divisão da folha de papel, fazendo agora inúmeras vezes essa divisão.inúmeras vezes essa divisão.

Estágios da Estágios da divisãodivisão

NNoo de de regiõesregiões

Original EOriginal E0 0 : 0: 0 aa11 = 1 = 1 EE1 1 : 1: 1 aa22 = 3 = 3 EE2 2 : 2: 2 aa33 = 9 = 9 EE3 3 : 3: 3 aa4 4 = 27= 27

............

EE1212: 12: 12 ??......

...... EEn n : n: n aan n = ?= ?a1 = 1

a2 = 3

a3 = 9

a4 = 27

= 1 1 . 330 = 1 1 . 330

= 1 1 . 330.33 = 1 1 . 331

= 1 1 . 331.3 3 = 1 1 . 332

= 1 1 . 332.3 3 = 1 1 . 333

= 1 . 31-1

= 1 . 32-1

= 1 . 33-1

= 1 . 34-1aann = 1 . 3 = 1 . 3n-1n-1

aann = 1 . 3 = 1 . 3n-1 n-1 Termo geral da PG para esse Termo geral da PG para esse exemplo dadoexemplo dado

GeneralizandoGeneralizando::

Como nesse exemplo tínhamos aComo nesse exemplo tínhamos a11 = 1 e q = 3, = 1 e q = 3,

entãoentão

aann = a = a11 . q . qn-1n-1

Onde:Onde:

aan n = termo geral;= termo geral;

aa1 1 = 1= 1oo termo da sequência; termo da sequência;

n = nn = noo de termos da PG (até a de termos da PG (até ann););q = razão.q = razão.

SEQUÊNCIAS: Termo geral de uma SEQUÊNCIAS: Termo geral de uma PGPG

Somando os termos da sequência (1, 3, 9, Somando os termos da sequência (1, 3, 9, 27)27)S = 1 + 3 + 9 + 27 ouS = 1 + 3 + 9 + 27 ou

3 = 1 . 3 = 1 . 339 = 3 . 9 = 3 . 3327 = 9 . 27 = 9 . 3381 = 27 . 81 = 27 . 33

Assim, Assim, 3 3 . S = 3 + 9 + 27 + 81. S = 3 + 9 + 27 + 81 – – S = 1 + 3 + 9 + 27 S = 1 + 3 + 9 + 27 3 3 . S – S = 81 – 1 . S – S = 81 – 1 S = 80 : 2 = 40 S = 80 : 2 = 40

SEQUÊNCIAS: Soma dos SEQUÊNCIAS: Soma dos n n termos termos de uma PG finitade uma PG finita

Generalizando: consideremos uma PG finita Generalizando: consideremos uma PG finita (a(a11, a, a22, a, a33, a, a44, a, a55, a, a66, ..., a, ..., ann) de razão q ) de razão q 1. 1.

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an (I)(I)

Multiplicamos ambos os membros por Multiplicamos ambos os membros por qq::

SSnn.q = a.q = a11q + aq + a22q + aq + a33qq + ... + a+ ... + an-1n-1q + aq + annqq

SSnn.q = a.q = a22 + a + a3 3 + ... + a+ ... + an-1 n-1 + a+ an n + a+ an+1n+1 (II)(II)

Como aComo an+1n+1 = a = a11qqnn, fazemos (II) – (I):, fazemos (II) – (I):

SSnn.q – S.q – Snn = a = a11qqnn – a – a1 1 (q – 1)S (q – 1)Snn = a = a11(q(qnn – 1) – 1)

Sn = [a1(qn – 1)] : (q – 1), q 1

SEQUÊNCIAS: Soma dos SEQUÊNCIAS: Soma dos n n termos termos de uma PG finitade uma PG finita

a2 a3 a4 an

HISTÓRICOHISTÓRICO

Números Figurados Números Figurados n nos os quadradosquadrados

SEQÜÊNCIAS: Diferentes SEQÜÊNCIAS: Diferentes ContextosContextos

(a11, a22, a33, a44, ..., ann, ...)

( 1, 4, 9, 16, ..., n2, ...)ou

1 1+3 1+3+5 1+3+5+7 1 1+3 1+3+5 1+3+5+7 ......

BIOLOGIABIOLOGIA (1, 2, 4, 8, ...)


Divisão Divisão das das

amebasamebas

2=4

8=

2

4=

1

2

MÚSICAMÚSICA

Os sons musicais se escrevem por meio de Os sons musicais se escrevem por meio de sinais chamados notassinais chamados notasSemibreve .............Semibreve ............. Semicolcheia ......... Semicolcheia ......... Mínima .................. Mínima .................. Fusa .......................Fusa ....................... Semínima .............. Semínima .............. Semifusa ............... Semifusa ............... Colcheia ................ Colcheia ................

A unidade de valor rítmico é a semibreve. A unidade de valor rítmico é a semibreve. Cada nota vale a metade da precedente, na Cada nota vale a metade da precedente, na ordem citada.ordem citada.


Podemos representar esses valores Podemos representar esses valores pela sequência finita:pela sequência finita:

SEQUÊNCIAS: Diferentes SEQUÊNCIAS: Diferentes ContextosContextos

64

1,

32

1,

16

1,

8

1,

4

1,

2

1,1

SEQUÊNCIAS: DiferentesSEQUÊNCIAS: Diferentes ContextosContextos

GEOMETRIAGEOMETRIA E E ÁLGEBRAÁLGEBRAÁrea sob a curva y = xÁrea sob a curva y = x22 no no intervalo [1,4].intervalo [1,4].Dividindo esse intervalo em 6 Dividindo esse intervalo em 6 partes iguais e construindo partes iguais e construindo retângulos cuja altura são os retângulos cuja altura são os valores de x tomados à extrema valores de x tomados à extrema direita, podemos formam uma direita, podemos formam uma sequência com as áreas desses sequência com as áreas desses 6 retângulos:6 retângulos:

(R1, R2, R3, R4, R5, R6)

( )

8,8

49,

2

9,

8

25,2,

8

9

x

y

Será que há Será que há algum padrão algum padrão nessa nessa sequência das sequência das áreas dos áreas dos retângulos?retângulos?


8

64=

4

64•

2

1=16•

2

1=4•

2

1=R

8

49=

4

49•

2

1=

2

7•

2

1=R

8

36=

4

36•

2

1=9•

2

1=3•

2

1=R

8

25=

4

25•

2

1=

2

5•

2

1=R

8

16=

4

16•

2

1=4•

2

1=2•

2

1=R

8

9=

4

9•

2

1=

2

3•

2

1=R

26

2

2

5

24

2

2

3

22

2

2

1

x

y


( )

( )

( )

( )

( )

( )8

2+6=R

8

2+5=R

8

2+4=R

8

2+3=R

8

2+2=R

8

2+1=R

2

6

2

5

2

4

2

3

2

2

2

1

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

8

64=R

8

49=R

8

36=R

8

25=R

8

16=R

8

9=R

6

5

4

3

2

1

( )8

2+n=R

2

n

( )

( )

( )

( )

( )

( )⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

8

8=R

8

7=R

8

6=R

8

5=R

8

4=R

8

3=R

2

6

2

5

2

4

2

3

2

2

2

1

FRACTAISFRACTAISWaclaw Sierpinski (1882-1969) foi um grande matemático polonês. Em 1916, criou uma curva muito interessante chamada triângulo de Sierpinski. Sua construção consiste em:


Original Estágio 1 Estágio 2 Estágio 3

Considerando apenas os triângulos brancos Considerando apenas os triângulos brancos obtidos temos a sequência (1, 3, 9, 27, ...). obtidos temos a sequência (1, 3, 9, 27, ...). Essa sequência é geométrica de razão q = 3.Essa sequência é geométrica de razão q = 3.

xx

SEQÜÊNCIA DE FIBONACCISEQÜÊNCIA DE FIBONACCIObservando o nascimento de coelhosObservando o nascimento de coelhos

No de meses

No de casais

início 1

1 1

2 2

3 3

4 5...

...

xx

xx

xx

xx

xx

xx


Casal JOVEMCasal JOVEM Casal Casal

ADULTOADULTO

A sequência que fornece o nA sequência que fornece o noo de casais de de casais de coelhos é obtida da seguinte forma:coelhos é obtida da seguinte forma: 11 11 1 + 1 = 21 + 1 = 2 1 + 2 = 31 + 2 = 3 2 + 3 = 52 + 3 = 5 3 + 5 = 83 + 5 = 8 5 + 8 = 135 + 8 = 13 ...... f(n) = f(n-1) + f(n-2)f(n) = f(n-1) + f(n-2) (expressão que dá o n(expressão que dá o no o de Fibonacci de ordemde Fibonacci de ordem nn))

(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...) é chamada de sequência de Fibonacci.



Retângulo áureo Retângulo áureo número de ouro número de ouro Sequencia de FibonacciSequencia de Fibonacci

...6180339887,1=2

5+1==x'

1

1–x=

x

1⇒

BC

CQ=

CD

AD0=1–x–x⇒ 2

A P B

1 1

1 x –1

D Q C x


Em 1611, Kepler notou que a divisão entre Em 1611, Kepler notou que a divisão entre um número de Fibonacci e seu precedente um número de Fibonacci e seu precedente leva ao número leva ao número quando se avança para quando se avança para valores cada vez maiores na sequência.valores cada vez maiores na sequência.

Em termos matemáticos, temos que:Em termos matemáticos, temos que:

f(n)/f(n – 1) f(n)/f(n – 1) quando quando n n infinito infinito

De modo inverso, os números de Fibonacci podem ser gerados a partir de potências de segundo a expressão:

5

)(––=)n(f

nn

Nos Estados Unidos há uma sociedade Nos Estados Unidos há uma sociedade matemática chamada matemática chamada Sociedade Sociedade FibonacciFibonacci, que publica artigos , que publica artigos trimestralmente e que dirige um centro trimestralmente e que dirige um centro bibliográfico e de pesquisa sobre bibliográfico e de pesquisa sobre aplicações da sequência de Fibonacci.aplicações da sequência de Fibonacci.

O matemático Edouard A. Lucas (1842-O matemático Edouard A. Lucas (1842-1891) apresentou a sequência (2, 1, 3, 4, 1891) apresentou a sequência (2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, ...), que possui o mesmo 7, 11, 18, ...), que possui o mesmo padrão que a de Fibonacci.padrão que a de Fibonacci.


QUADRADOS MÁGICOSQUADRADOS MÁGICOSO primeiro registro, de origem antiga O primeiro registro, de origem antiga e desconhecida, de um e desconhecida, de um quadrado quadrado mágicomágico apareceu na China. apareceu na China.

44 99 22

33 55 77

88 11 66


Um quadrado numérico é mágicomágico se ele possui n2 números inteiros positivos e diferentes entre si tais que a soma dos n números que figuram nas linhas, colunas e diagonais é constante.

Toda sucessão de Toda sucessão de nn números distintos números distintos compreendidos entre 1 e ncompreendidos entre 1 e n22 e cuja soma e cuja soma é a constante mágica chama-se é a constante mágica chama-se sequência mágicasequência mágica..


44 99 22

33 55 77

88 11 66

No quadrado ao lado, a No quadrado ao lado, a constante mágica é constante mágica é 1515 e e as sequências mágicas as sequências mágicas são:são:

(4, 9, 2); (3, 5, 7); (8, 1, (4, 9, 2); (3, 5, 7); (8, 1, 6); (4, 3, 8); (9, 5, 1); (2, 6); (4, 3, 8); (9, 5, 1); (2, 7, 6); (4, 5, 6) e (2, 5, 7, 6); (4, 5, 6) e (2, 5, 8).8).


Considere um quadrado mágico que possui 16 (42) números naturais diferentes (1, 2, ..., 16). Se a constante mágica é 34, complete o quadrado mágico ao lado e escreva as sequências mágicas.

1 12 7 14

16

15

1 12 7 14

8 13 2 11

10 3 16 5

15 6 9 4


REFERÊNCIASREFERÊNCIAS ANTON, Howard. ANTON, Howard. Cálculo: um novo Cálculo: um novo

horizontehorizonte. Trad. Cyro de C. Patarra . Trad. Cyro de C. Patarra e Márcia Tamanaha. V. 2, 6. ed. Porto e Márcia Tamanaha. V. 2, 6. ed. Porto Alegre: Bookman, 2000.Alegre: Bookman, 2000.

CARVALHO, Maria C. S. e S. CARVALHO, Maria C. S. e S. Padrões Padrões numéricos e sequênciasnuméricos e sequências. São . São Paulo: Moderna, 1997.Paulo: Moderna, 1997.

DANTE, Luiz R. DANTE, Luiz R. Contextos e Contextos e AplicaçõesAplicações. V. Único, São Paulo: . V. Único, São Paulo: Ática, 2000.Ática, 2000.

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SEQUÊNCIAS, SÉRIES E PROGRESSÕES. SEQUÊNCIAS Na linguagem do dia-a-dia, o termo sequência significa uma sucessão de coisas em uma ordem determinada (cronológica,