Exercicios de Analise Matematica ID

Análise Matemática I

Exercícios1 Aulas práticas

Maria do Céu Soares et. al.

Colaboradores:

Diogo Pinheiro

Nelson Chibeles Martins (co-autor dos capítulos 1 e 2)

Filipe Marques (co-autor do capítulo 3)

Manuela Pedro (co-autora dos capítulos 5 e 6)

Lourdes Afonso (co-autora do capítulo 8)

Lídia Lourenço (co-autora do capítulo 9)

Carmo Brás (co-autora do capítulo 10)

1Este ficheiro contém os enunciados de todos os exercícios do livro com este título, editado no primeirosemestre. Não se incluem as resoluções nele apresentadas nos parágrafos de título “Exercícios Resolvidos”.

1 Noções Topológicas

1.1 Exercícios propostos para resolução nas aulas

1. Considere os conjuntos

A = [0, 2[,

B = {0, 1, 2, 3},C = Q,

D =

{x ∈ R : x =

n

n+ 1, n ∈ N

}.

Para cada um destes conjuntos, determine:

(a) o interior;(b) a fronteira;(c) o exterior;(d) a aderência;(e) o derivado;(f) o conjunto dos pontos isolados;(g) o conjunto dos majorantes e o conjunto dos minorantes, caso existam;(h) o supremo e o ínfimo, caso existam;(i) o máximo e o mínimo, caso existam.

2. Considere o seguinte conjunto:

E = {x ∈ R : |x− 3| ≥ 2} ∩ [−2, 8].

(a) Determine o interior, o exterior e a fronteira de E.(b) Determine a aderência, o derivado e o conjunto dos pontos isolados de E.(c) Indique, justificando, se E é um conjunto limitado.


F ={x ∈ N : x2 − 5x+ 9 > 3

}∩{x ∈ R : x2 − 7x− 1 ≤ 7

}.

(a) Determine o interior, o exterior e a fronteira de F .(b) Determine a aderência, o derivado e o conjunto dos pontos isolados de F .(c) Indique, justificando, se F é um conjunto aberto ou um conjunto fechado.


G =

{x ∈ R : x = 1 + 2 sin

(π

n+ 1

), n ∈ N

}∪{x ∈ R :

x− 2

x+ 1> 0

}.

1

(a) Determine o interior, o exterior e a fronteira de G.

(b) Determine a aderência, o derivado e o conjunto dos pontos isolados de G.

(c) Indique, justificando, se G é um conjunto aberto ou um conjunto fechado.


H ={x ∈ Q : x2 < 9

}∪{x ∈ R \Q : x2 − 2x− 5 ≤ 0

}.

(a) Determine o interior, o exterior e a fronteira de H.

(b) Determine a aderência, o derivado e o conjunto dos pontos isolados de H.

(c) Determine, se existirem, o conjunto dos majorantes, o supremo, o máximo, o con-junto dos minorantes, o ínfimo e o mínimo de H.


I ={x ∈ N : x2 − 5x+ 9 > 3

}.

(a) Determine a aderência, o derivado e o conjunto dos pontos isolados de I.

(b) Determine, se existirem, o conjunto dos majorantes, o supremo, o máximo, o con-junto dos minorantes, o ínfimo e o mínimo de I.

(c) Indique, justificando, se I é um conjunto limitado.


J = {x ∈ R : |x+ 3| > |x+ 1|} \ {−1}.

(a) Determine o interior, o exterior, a fronteira, a aderência, o derivado e o conjunto dospontos isolados de J .

(b) Determine, se existirem, o conjunto dos majorantes, o supremo, o máximo, o con-junto dos minorantes, o ínfimo e o mínimo de J .

(c) Indique, justificando, se J é um conjunto aberto, fechado ou limitado.

1.2 Exercícios propostos para resolução autónoma

1. Considere os conjuntos A e B definidos por:

A =

{x ∈ R :

log(x)

x− 4> 0

},

B ={x ∈ [−1, 1] : 0 < | arcsin(x)| ≤ π

4

}.

(a) Exprima A e B na forma de intervalo ou união de intervalos.

(b) Determine, para os conjuntos A e B, a aderência, o derivado, o conjunto dos majo-rantes e o conjunto dos minorantes.

2

(c) Considere C = A∪B e D = A∩B. Exprima C e D na forma de intervalo ou uniãode intervalos.

(d) Determine a aderência, o derivado, o conjunto dos majorantes e o conjunto dosminorantes dos conjuntos C e D.

2. Considere a função f real de variável real definida por f(x) =1

log(x2 − 9)e seja A o seu

domínio. Considere, também, o seguinte subconjunto de R:

B = {x ∈ R : |x+ 1| < 1} .


(b) Averigue se A ∩B é um conjunto aberto ou um conjunto fechado.

(c) Averigue se A ∪B é um conjunto aberto ou um conjunto fechado.

(d) Averigue se A ∪B e A ∩B são conjuntos limitados.


A ={x ∈ R : | arctan(x)| ≤ π

4

},

B = {x ∈ R : (x− 1)(x+ 3) ≤ 0} .


(b) Determine o interior, a aderência, o derivado, o conjunto dos majorantes e o conjuntodos minorantes de A ∩B.

(c) Averigue se A ∪B é um conjunto fechado ou limitado.

(d) Determine o interior, o exterior, a fronteira, a aderência e o derivado do conjuntoA ∩ (R \Q).


A =

{x ∈ R :

x

1− |x|< 0

},

B =

{x ∈ R : x =

n

2n+ 1, n ∈ N

}.

(a) Exprima A na forma de intervalo ou união de intervalos.

(b) Determine a aderência, o derivado, o conjunto dos minorantes e o conjunto dosmajorantes de A ∪B.

(c) Averigue se A ∪B é um conjunto aberto ou um conjunto fechado.

(d) Averigue se A ∩B é um conjunto limitado.

3

5. Considere a função f real de variável real definida por f(x) =log(1− x2)

x, e designe por

A o seu domínio. Considere o subconjunto de R:

B =

{x ∈ R : x = 2 +

1

n, n ∈ N

}.

(a) Determine A.

(b) Determine a fronteira e o derivado de A ∩Q.

(c) Determine o interior, a fronteira, a aderência e o derivado de B.

(d) Relativamente ao conjunto A∪B, determine o conjunto dos minorantes, o conjuntodos majorantes e, se existirem, o supremo, o máximo, o ínfimo e o mínimo.

1.3 “Exercícios resolvidos”

1. Considere a função f , real de variável real, definida por f(x) =√x2 − 4x+ 3

log(x+ 2)e seja A o

seu domínio. Considere o seguinte subconjunto de R:

B = {x ∈ R : |x− 1| < 3}.

(a) Apresentando todos os cálculos, escreva A e B na forma de intervalo ou união deintervalos.

(b) Determine o conjunto dos pontos interiores e o derivado de B, e a fronteira de A∩B.

2. Considere a função f real de variável real definida por f(x) =arcsin(2x− 2)

|x− 1| exe designe

por D o seu domínio. Considere o subconjunto de R:

A = {x ∈ R : x = (−1)ne−n ∧ n ∈ N}.

(a) Determine, justificando, o derivado e o conjunto dos minorantes de A.

(b) Determine, justificando, a aderência de D e a fronteira de D ∩ (R \Q).

3. Considere a função f , real de variável real, definida por f(x) =π

2+ 3 arcsin(2x− 1).

Designe por A o seu domínio e por B o seu contradomínio. Considere o subconjunto deR

C = {x ∈ R : x = earctan(n) ∧ n ∈ N}.

(a) Determine A e B.

(b) Determine o interior de B ∩ Q, o conjunto dos minorantes de C e o derivado deA ∪ C.

4

Considere os subconjuntos de R

A = {x ∈ R : x = arctan(n) ∧ n ∈ N}, B =

{x ∈ R :

|x+ 1| − 1

(x+ 1)2≤ 0

}.

4. (a) Determine, justificando, o derivado, o conjunto dos minorantes e o conjunto dosmajorantes de A.

(b) Determine, justificando, a fronteira de B e a fronteira de B ∩Q.

5. Considere a função f real de variável real definida por f(x) =arcsin(x2 − 1)

log(x)e designe

por D o seu domínio. Determine o interior de D e a fronteira de D ∩Q.

2 Indução Matemática


1. Mostre, usando o princípio de indução matemática, que

(a)n∑k=0

(2k + 1) = (n+ 1)2, ∀n ∈ N0;

(b) n! ≤ nn, ∀n ∈ N;(c) 42n − 1 é múltiplo de 5, ∀n ∈ N;

(d)n∑k=1

(k

k + 2− k − 1

k + 1

)=

n

n+ 2, ∀n ∈ N;

(e)3n

n!< 42

(3

4

)n, ∀n > 3;

(f) n3 + 5n é divisível por 3, ∀n ∈ N.

2. Considere a proposição p(n) : sin(2nπ) = 1

(a) Mostre que p(j) verdadeira =⇒ p(j + 1) verdadeira.(b) Mostre que p(n) não é verdadeira para nenhum número natural n.

3. Observando as igualdades

1− 1

2=

1

2(1− 1

2

)(1− 1

3

)=

1

3(1− 1

2

)(1− 1

3

)(1− 1

4

)=

1

4· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·induza o resultado geral e prove-o, usando o princípio de indução matemática.

5


1. Prove, usando o princípio de indução matemática, que para x0 ∈ [1,+∞[ se tem

(1 + x0)n ≥ 1 + nx0,

para todo o número natural n.


(a)n∑k=1

4

(k + 1)(k + 2)=

2n

n+ 2, ∀n ∈ N;

(b)n−1∑k=1

k2 <n3

3, ∀n ∈ N \ {1};

(c) 43n − 4n é múltiplo de 5, ∀n ∈ N.

3. Dada a sucessão (un)n∈N definida poru1 = 1

u2 = 2

un+1 =un + un−1

2, n ≥ 2

prove, por indução matemática, que

un+1 − un = (−1)n−1 1

2n−1, ∀n ∈ N.



n∑k=1

(k + 1) =n(n+ 3)

2, ∀n ∈ N.


n∑k=1

(1

2

)k= 1−

(1

2

)n, ∀n ∈ N.

3. Prove, pelo princípio de indução matemática, que 10n+1 + 3 × 10n + 5 é múltiplo de 9,∀n ∈ N.

4. Mostre, pelo princípio de indução matemática, que 3n > 2n+1,∀n ∈ N \ {1}.

6

3 Sucessões de números reais


1. Considere a sucessão definida por recorrência u1 =√2

un+1 =√2un , ∀n ∈ N.

(a) Prove, por indução, que 0 < un < 2 ,∀n ∈ N.(b) Prove que a sucessão é monótona crescente.

2. Considere a sucessão de termo geral un =(−1)3n√

n. Indique, justificando, quais das se-

guintes sucessões são subsucessões de un:

(a) 1√2n;

(b) 1√n;

(c) − 1√n;

(d) 1√2n+1

.

3. Mostre, usando a definição, que

(a) limn→+∞

2n = +∞;

(b) limn→+∞

en + 2

en= 1;

(c) limn→+∞

1

n2= 0;

(d) limn→+∞

1

n2 + n+ 3= 0.

4. Dê exemplos de sucessões (un) e (vn) tais que un → 0, vn → +∞ e que:

(a) limn→+∞

unvn = 2 ;

(b) limn→+∞

unvn = 0 ;

(c) limn→+∞

unvn não existe.

5. Calcule, se existirem, os seguintes limites:

(a) limn→+∞

n√n2 + n

;

(b) limn→+∞

∣∣∣∣(−1)n+1 n− 2

n3 + 2n2 − 2

∣∣∣∣;7

(c) limn→+∞

sin(√n)√n

;

(d) limn→+∞

sin√

1n√

1n

;

(e) limn→+∞

(1 + n−2

)n;(f) lim

n→+∞

nn−2

(n+ π)n(n2 + 1);

(g) limn→+∞

√n2 + 5 + 3

√n

3√2n3 + n2 + n

2

+n2 + 1

n√n

;

(h) limn→+∞

2n sin(n2 + 2n)

22n+1 + 2n;

(i) limn→+∞

nn2

(1 + n2)n2

2

;

(j) limn→+∞

22n+1

(n+ 2

4n+ 1

)n;

(k) limn→+∞

(√2n+ 1−

√2n) cos

(n3 + 1

);

(l) limn→+∞

n∑k=1

n

n2 + k;

(m) limn→+∞

n√2n + 3n+1;

(n) limn→+∞

sin(n2);

(o) limn→+∞

n∑k=1

(sinn)2

5n3 + k;

(p) limn→+∞

nn

√1

23nn!.

6. Considere a sucessãoun =

1

n+

1

n+ 1+ · · ·+ 1

2n.

(a) Prove que a sucessão é limitada.

(b) Prove que a sucessão é monótona.

(c) Prove que a sucessão é convergente.

7. Usando a caracterização de conjuntos fechados em termos de limites de sucessões conver-gentes, mostre que os seguintes conjuntos não são fechados:

(a) ]0, 1];

8

(b) {x ∈ R : x = nn+1

, n ∈ N}.

8. Calcule os sublimites das seguintes sucessões e indique em cada caso os respectivos limitesuperior e limite inferior:

(a) (−1)n n

n+ 1;

(b) (−1)nn+ n;

(c)cos(nπ) + cos(2nπ)

n;

(d) n√n2n sin

(nπ2

).

9. Considere a sucessão de números reais definida, por recorrência, u1 = 1

un+1 = 2 +√un , ∀n ∈ N.

(a) Mostre que a sucessão é monótona.

(b) Mostre que un ≤ 4 , ∀n ∈ N.(c) Mostre que a sucessão é convergente e calcule o seu limite.

10. Prove, usando a definição, que a sucessão an = 1né uma sucessão de Cauchy.


1. Considere a sucessão de termo geral un =3

n+ 1.

(a) Calcule os cinco primeiros termos da sucessão.

(b) Averigúe se a sucessão é monótona e limitada.

2. Verifique se as seguintes sucessões são limitadas:

(a) vn =5n2 + 8

5n2 + 1;

(b) wn =

arccot(n) se n par

− arctan(n) se n ímpar.

3. Verifique se as seguintes sucessões são monótonas:

(a) un = cos(1n

)+ 5;

9

(b) zn =

1n

se n par

(−2)n se n ímpar.

4. As sucessões un e vn verificam as seguintes condições:

i) ∀n ∈ N 0 < un < vn;

ii) ∀n ∈ N vn é decrescente.

Diga, justificando, se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações:

(a) vn é convergente;

(b) un é convergente;

(c) un é decrescente.

5. Mostre, usando a definição, que

(a) limn→+∞

log(n) = +∞;

(b) limn→+∞

1

2n= 0;

(c) limn→+∞

n+√n

n+√n+ 1

= 1.

6. Dê exemplos de sucessões (un) e (vn) tais que un → +∞ e vn → −∞, que verifiquem

(a) limn→+∞

(un + vn) = 0 ;

(b) limn→+∞

(un + vn) = +∞ ;

(c) limn→+∞

(un + vn) não existe.

7. Considere as sucessões de números reais definidas poru1 =

35

un+1 =un−3

6, ∀n ∈ N

e vn = 5un + 3 .

(a) Mostre que vn é uma progressão geométrica.

(b) Deduza a expressão analítica de vn e un.

(c) Calcule o limite de un.

8. Considere a sucessão de termo geral un = sin(nπ

2

). Encontre sucessões vn estritamente

crescentes tais que wn = un ◦ vn seja subsucessão de un, e que verifiquem

(a) wn = 1 , ∀n ∈ N;(b) wn = 0 , ∀n ∈ N.

10

9. Calcule os seguintes limites:

(a) limn→+∞

n tan

(1

n

);

(b) limn→+∞

cos2(n) sin

(1

n

);

(c) limn→+∞

(n2 + 3

n2 + 1

)n2

;

(d) limn→+∞

(1

5n + 3. 7n

)− 1n

;

(e) limn→+∞

√5n2 + 1−

√5n2 − 1 + n

√n ;

(f) limn→+∞

(n+ 1)

n2+

(n+ 1)2

n3+ · · ·+ (n+ 1)n

nn+1;

(g) limn→+∞

13√n3 + 4

+1

3√n3 + 5

+ · · ·+ 13√n3 + 2n

;

(h) limn→+∞

(n10 − 1

n10

)n5

;

(i) limn→+∞

2n − en+1

en − 2n+1.

10. Usando a caracterização de conjuntos fechados em termos de limites de sucessões conver-gentes, mostre que os seguintes conjuntos não são fechados:

(a) [0, 1[;

(b) Q.

11. Calcule os sublimites das seguintes sucessões, e indique, em cada caso, o limite superiore o limite inferior:

(a)√2n+ 1− (−1)n

√2n+ 3;

(b) (−1)n sin2(n)

2n

1

n.

12. Considere a sucessão de números reais positivos definida, por recorrência, poru1 = 5

un+1 =5un − 4

un, ∀n ∈ N.

(a) Prove por indução que 4 < un , ∀n ∈ N.(b) Prove que a sucessão é convergente.

11

13. Sendo a ∈ R, com 0 < a < 1, considere a sucessão definida por recorrência do seguintemodo

u1 = 3

un+1 = un + 3 an, ∀n ∈ N.

(a) Prove, por indução, que un = 3n∑k=1

ak−1 , ∀n ∈ N.

(b) Mostre que a sucessão e monótona.

(c) Calcule o seu limite.

14. Prove que a sucessão xn = 1 + 12+ 1

3+ · · ·+ 1

nnão é uma sucessão de Cauchy.


1. Prove, usando a definição, que lim1√n+ 2

= 0.

2. Determine, justificando, o limite das sucessões:

(a) xn = sin(n)n2∑j=1

j

n5;

(b) yn =n∑j=0

sin(√n)√

j + 2n3.

3. Calcule, justificando, os limites das seguintes sucessões:

(a)nn√n!;

(b)1

5n

(5n− 1

n+ 1

)n;

(c)4√n+ 1

n√n+ 3

sin(√n+ 1);

(d) sin(1n

)cos(√n+ 1).

4. Considere a sucessão de números reais definida por recorrência, x1 =√3

xn+1 =√3 xn.

(a) Mostre, por indução matemática, que√3 ≤ xn < 3, ∀n ∈ N.

12

(b) Mostre que a sucessão é crescente.

(c) Verifique que a sucessão é convergente e determine o seu limite.

5. Seja a ∈ R um número positivo. Considere a sucessão de números reais definida, porrecorrência, x1 = 0, x2 = a

xn+2 = xn+1 + x2n.

(a) Mostre que a sucessão é crescente.

(b) Mostre que xn > 0,∀n ∈ N \ {1}.(c) Mostre que se existir b ∈ R tal que limxn = b, então b = 0.

(d) Tendo em conta as alíneas anteriores, calcule limxn.

4 Limites, Continuidade e Cálculo Diferencial


1. Prove, usando a definição, que

(a) limx→1

3x+ 2 = 5;

(b) limx→+∞

2x

x+ 1= 2.

2. Justifique convenientemente a seguinte afirmação: "@ limx→+∞

sin(x)".

3. Seja g a função definida, em R, por

g(x) =

x+ 3, se x > −1

−x+ 2, se x < −1.

(a) Esboce o gráfico de g.

(b) Mostre que não existe limx→−1

g(x).

4. Considere a função f real de variável real

f(x) =

2x+ 3, se x < 1

x+ 4, se x > 1.

Calcule limx→ 1x 6= 1

f(x) e limx→1

f(x).

13

5. Seja f a função definida, em R, por

f(x) =

x+ 2, se x > 1

2− 3x, se x ≤ 1.

(a) Mostre que não existe limx→1

f(x).

(b) Defina, em R, uma função g tal que limx→1

(f + g)(x) = 4.

6. Para cada número real m, a expressão seguinte define uma função real de variável real:

h(x) =

x2 −m+ 7, se x > 0

5, se x = 0

|x+ 3|+m, se x < 0.

(a) Determine m de modo que exista limx→0

h(x).

(b) Calcule m de modo que limx→−5

h(x) = h(0). Neste caso, a função é injectiva? Justifi-que.

7. Seja f a função real de variável real definida por

f(x) =

x2e−x, se x ≥ 1

sin(x− 1)

x2 − 1, se x < 1.

(a) Determine o domínio da função e estude-a quanto à continuidade.

(b) Determine os zeros da função dada.

(c) Calcule limx→−∞

f(x).

8. Considere a função g, real de variável real,

g(x) =

x+ 1, se x > 21

2x, se x ≤ 2.

(a) Calcule g(0) e g(3).

(b) Mostre que ∀x ∈ [0, 3], g(x) 6= 5

2.

Isto contradiz o teorema de Bolzano? Justifique.

(c) Averigúe se a restrição de g ao intervalo [0, 2] é necessariamente limitada.

9. Sejam f e g duas funções contínuas em [a, b] tais que f(a) = g(b) e f(b) = g(a). Mostreque f − g tem pelo menos um zero pertencente ao intervalo [a, b].

14

10. Considere a função real de variável real definida por

f(x) =

ex − 1, se x ≥ 0

cos(x) log(x+ 1), se x < 0.

(a) Determine o domínio de f e estude-a quanto à continuidade.

(b) Mostre que existe a ∈[−π

4, 1]tal que f(a) = 0.

(c) Justifique que a função tem um máximo e um mínimo no intervalo [0, 1]. Indique osseus valores.


g(x) =

3x + 2x

2− ex, se x ≥ 0

arctan(x), se x < 0.


(b) Calcule limx→−∞

g(x) e limx→+∞

g(x).

(c) O teorema de Weierstrass garante a existência de máximo e mínimo da função nointervalo [−1, 1]?


f(x) =

−1

xcos(π2− x), se x < 1

ex − log(x2), se x ≥ 1.


(b) A função f é diferenciável em x = 1? Justifique.

(c) Calcule limx→−∞

f(x).

(d) Verifique se é ou não possível prolongar f por continuidade ao ponto x = 0.

13. Considere a função g, real de variável real, tal que

g(x) =

e−bx+b, se x < 1

(x− 2)2, se x ≥ 1.

Determine o número real b de modo a que a função g seja diferenciável em x = 1.

14. Seja A = [0, 2π] e considere a função

g : A → R

x ↪→ 1 + | sin(x)|.

15

(a) Mostre que g é contínua no intervalo A, mas que não tem derivada no ponto x = π.

(b) Seja an uma sucessão monótona de termos de A. Averigúe se an é necessariamenteconvergente para um ponto de A.

15. Dada a função f(x) =π

3− 2 arccos

(3x

2

), mostre que a recta de equação y− 3x+ 2π

3= 0

é tangente ao gráfico da função f . Determine o ponto de tangência.

16. Considere a função real de variável real definida por f(x) = cos(3x).

(a) Calcule a terceira derivada de f .

(b) Prove, pelo princípio de indução matemática, que f (n)(x) = 3n cos(nπ

2+ 3x

),∀x ∈

R, ∀n ∈ N.

17. Dadas as funções f e g definidas por f(x) = 2 cot(3x) e g(x) =π

2+arcsin(1−x), determine

a derivada de f o g no ponto de abcissa 1.

18. Dadas as funções

f : [−2, 0] → [0, π]

x ↪→ arccos(x+ 1)e

g :

]−1

5,+∞

[→ R

x ↪→ log2(5x+ 1),

calcule as derivadas de f e de g, utilizando o teorema da derivada da função inversa.

19. Considere a função real de variável real

f(x) =

x|x|, se x > −2

(x+ 2)2 − 4, se x ≤ −2.

(a) Determine o domínio de f .

(b) Estude f quanto à continuidade.

(c) Determine a função derivada f ′.

(d) Determine a função segunda derivada f ′′.

20. Considere a função f real de variável real definida por

f(x) =

e|x−1|, se x > 0

arctan(x), se x ≤ 0.

(a) Estude a função f quanto à continuidade.

(b) Estude a função f quanto à diferenciabilidade e determine a função f ′.

(c) Determine o sinal da função segunda derivada f ′′.

(Nota: pode usar, sem demonstrar, que limx→0

arctan(x)

x= 1.)

16


1. Prove, usando a definição, que

(a) limx→0+

1

x= +∞;

(b) limx→+∞

log 12x = −∞.

2. Seja f a função real de variável real definida por

f(x) =

−2x, se x < −1

x2 + 1, se − 1 ≤ x < 2

3x− 2, se x > 2.

Investigue se existe

(a) limx→−1

f(x);

(b) limx→2

f(x).

3. Seja h a função definida, em R, por

h(x) =

|x+ 3|x+ 3

, se x 6= −3

2, se x = −3.

(a) Determine, se existir, limx→−3

h(x).

(b) Esboce o gráfico da função h e determine o seu contradomínio.

(c) Diga, justificando, o valor lógico da proposição ∀x, y ∈ R h(x) = h(y)⇒ x = y.


f(x) =

sin(x2 − 4)

x− 2, se x > 2

x− a, se x ≤ 2.

(a) Determine, caso exista, o valor de a que torna a função contínua no ponto x = 2.

(b) Considerando a = 2, calcule os zeros da função.

(c) Calcule limx→+∞

f(x).

5. Considere, em R, as funções f(x) =1

xe g(x) =

x2 − 9

x3 − 27.

(a) Determine o domínio de f e de g.

17

(b) Mostre que não há nenhuma extensão de f que seja contínua em R.(c) Indique um prolongamento de g a R que seja contínuo.

6. Seja f uma função real de variável real, contínua em [a, b]. Sabendo que f(a) ≤ a ef(b) ≥ b, prove que f tem pelo menos um ponto fixo no intervalo [a, b] (Nota: c é umponto fixo de f , se f(c) = c).


g(x) =

2

πarcsin |x− 2|, se x ≤ 3

e−(x−3)2, se x > 3.


(b) Calcule limx→2

g(x)

x− 2. (Nota: pode usar, sem demonstrar, que lim

x→0

arcsin(x)

x= 1.)

(c) O teorema de Weierstrass garante a existência de máximo e mínimo da função no

intervalo[5

2, 4

]?


h(x) =

2x3 − 5x+m, se x ≥ −1(x− 1) log(e+ (x+ 1)2)

x2 + x− 2, se x < −1.

(a) Determine m de modo a que a função seja contínua em x = −1.Considere, nas próximas alíneas, o valor de m obtido na alínea (a).

(b) Indique o conjunto dos pontos onde h é contínua, justificando detalhadamente.

(c) Diga, justificando, se é verdadeira ou falsa a proposição

∃x ∈]− 1, 0[: h(x) = 1.

9. Seja g a função real de variável real definida por

g(x) =

x2 + 2x+ 2, se x ≤ −2

−1 + ex+1(x− 1)

(x2 − 1)5x, se x > −2.


(b) Calcule limx→+∞

g(x) e limx→1

g(x).

(c) Justifique que a restrição da função ao intervalo [−4,−2] atinge um mínimo nesseintervalo.

10. Calcule, usando regras de derivação, as derivadas das seguintes funções:

18

(a) esin(x);

(b) arctan(x2);

(c) arcsin(x2);

(d) log(cos(x));

(e)(sin(x)

)5;(f) |x+ 1|;(g)

√(log(x) + 1)3;

(h) tan(√x);

(i) tan2(x4) + cot(x);

(j) arctan

(√1− cos(x)

1 + cos(x)

);

(k)sin(x) + cos(x)

sin(x)− cos(x);

(l) log(log(x) + 2);

(m) log

(ex

1 + ex

).

11. Dada a função real de variável real definida por y(x) = e2x sin(5x), verifique que y′′(x)−4 y′(x) + 29 y(x) = 0.

12. Considere a função real de variável real g(x) = xe−x.

(a) Determine A = {x ∈ R : g′′(x) = 0}.(b) Demonstre que g(n)(x) = (−1)n(x − n)e−x, ∀x ∈ R,∀n ∈ N, usando o princípio de

indução matemática.

13. Considere, em R, a função f definida por f(x) =mx+ 1

2x+m. Determine o número real m de

forma a que a recta tangente ao gráfico de f , no ponto de abcissa x = 1, faça um ângulode 135o com o semi-eixo positivo das abcissas.

14. Considere, em R, as funções f(x) =1

2arcsin(x− 2) e g(x) =

(1

2

)x+2

.

(a) Determine o domínio e o contradomínio de f e de g.

(b) Calcule as derivadas de f e de g, utilizando o teorema da derivada da função inversa.

(c) Determine a derivada de g o f , no ponto de abcissa 2.

15. Estude a diferenciabilidade de cada uma das seguintes funções, no ponto x = 0:

(a) f(x) =

cos(π2− x), se x ∈

[−π2, 0]

x log(π2x+ e

), se

]0,π

2

];

19

(b) g(x) =

x

1 + e1x

, se x 6= 0

0, se x = 0.

16. Considere a função real de variável real f : [−3, 4]→ R definida por

f(x) =

√2− x, se − 3 ≤ x < 2

3x− 6

x, se 2 ≤ x ≤ 4.

(a) Prove que a função admite máximo e mínimo.(b) Calcule a função derivada f ′ e a função segunda derivada f ′′.(c) Seja dn uma sucessão monótona de termos de Df . Averigúe se dn é necessariamente

convergente para um ponto de Df .

17. Considere a função real de variável real definida pela expressão

g(x) =

sin(x) + cos(x)

1− cos(x), se x 6= 0

1, se x = 0.

(a) Determine o domínio de g e estude-a quanto à continuidade.(b) Calcule os zeros de g. Justifique a existência desses zeros usando o teorema de

Bolzano.(c) Estude a função g quanto à diferenciabilidade.


h(x) =

|x2 − 9|, se x ≥ 0

log(x2 + e4), se x < 0.

(a) Determine o domínio de h e estude a função quanto à continuidade.(b) Estude a função h quanto à diferenciabilidade.


1. Prove, usando a definição, que limx→1

4x+ 2 = 6.

2. Considere a função f real de variável real, definida por

f(x) =

log(1− x2), se − 1 < x < 0

−x2, se x ≥ 0

arctan(−x) , se x ≤ −1.

20

(a) Determine o domínio da função.

(b) Estude a continuidade de f .

(c) Estude a diferenciabilidade de f nos pontos x = −1 e x = 0.

Sugestão: pode usar, sem demonstrar, que limy→0

log(1 + y)

y= 1.

(d) Determine os zeros da função.

(e) Calcule limx→−∞

f(x).

(f) Averigúe se, no intervalo [2, 3], a função f é limitada.

3. Considere a funçãog : [0, 2] → [−π

2, π2]

y ↪→ arcsin(y − 1).

Calcule a derivada de g, utilizando o teorema da derivada da função inversa.


f(x) =

x2 − 1, se x < 1

arcsin(x− 1), se x ≥ 1.


(b) Calcule, se existir, limx→1

f(x).

(c) A função é injectiva? Justifique.

(d) Mostre que ∃c ∈]0, 32[ tal que f(c) =

π

12.

(e) Justifique que a função tem um máximo e um mínimo no intervalo [0, 32].

(f) Determine a função derivada f ′.

5. Considere as funções f e g definidas por f(x) = tan(2x) e g(x) = π + arctan(1− x).

(a) Determine uma equação da tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa 1.

(b) Determine a derivada de f o g no ponto de abcissa 1.

5 Teoremas fundamentais (Rolle, Lagrange e Cauchy). In-determinações.


1. Seja f a função real de variável real definida por f(x) = x4 − x2 − 1.

21

(a) Mostre que f verifica as condições do teorema de Rolle no intervalo [−2, 2].(b) Determine o(s) ponto(s) em que a recta tangente ao gráfico da função é horizontal.

2. Considere a função g : [−1, 3]→ R, definida por g(x) = |x− 1|.

(a) Mostre que g é contínua no seu domínio e que g(−1) = g(3).

(b) Verifique que g′(x) não se anula para qualquer valor de x.

(c) Explique por que motivo não existe contradição com o teorema de Rolle.

3. Determine o número exacto de zeros da função real de variável real, definida por h(x) =x4 − 2x3 + 1.

4. Considere a função real de variável real definida, no intervalo [−2, 2], por f(x) =x3

4+1.

(a) Mostre que esta função verifica as condições do teorema de Lagrange.

(b) Determine o(s) ponto(s) em que a recta tangente ao gráfico de f é paralela aosegmento de extremos A (−2, f(−2)) e B (2, f(2)).

5. Considere a função real de variável real definida, no intervalo [−1, 8], por f(x) = x23 .

(a) Mostre que não existe c no intervalo ]− 1, 8[ tal que f ′(c) =f(8)− f(−1)8− (−1)

.

(b) A alínea anterior contradiz o teorema de Lagrange? Justifique.

6. Considere a função real de variável real, definida por g(x) = 1 + x log(x). Aplicandoo teorema de Lagrange à função g, mostre que o seguinte conjunto de desigualdades ésatisfeito

1 + log(x) < log(4x) < 1 + log(2x), ∀x ≥ 1.

Sugestão: considere intervalos da forma [x , 2x], com x ≥ 1.

7. (a) Seja f uma função real de variável real, diferenciável num intervalo I. Mostre,utilizando o teorema de Lagrange que, se existir M > 0 tal que |f ′(x)| ≥M, ∀x ∈ I,então |f(x)− f(y)| ≥ M |x− y| ,∀x, y ∈ I.

(b) Utilize o resultado da alínea anterior para mostrar que | tan(x) − tan(y)| ≥|x− y|, ∀x, y ∈

]−π2,π

2

[.

8. Seja f a função real de variável real definida por f(u) = log(u).

(a) Mostre que o teorema do valor médio de Lagrange pode ser aplicado à função f , emqualquer intervalo da forma [1, x], para x > 1, e determine o valor médio para o casoem que x = e.

(b) Prove, utilizando o referido teorema que, ∀x > 1, x− 1 < log (xx) < x2 − x.

9. Considere f, uma função contínua e diferenciável em [0,+∞[ tal que f(0) = 0 e0 < f ′(x) ≤ 1.

22

(a) Justifique que f só se anula num ponto.Sugestão: Considere o intervalo [0, b], b > 0, e aplique o teorema de Rolle.

(b) Prove que ∀x ≥ 0, f(x) ≤ x.

10. Verifique que não é possível aplicar a regra de Cauchy no cálculo dos limites seguintes, ecalcule-os por um outro processo.

(a) limx→+∞

2x− sin(x)

3x+ sin(x);

(b) limx→0+

x2(2 + sin

(1

x

)).


(a) limx→0

x3 − xlog(x+ e)− 1

;

(b) limx→0+

x+ log (sin(x))

log(x);

(c) limx→+∞

log (x2 + 1)

1 + log(x);

(d) limx→0+

(cot(x)− 1

x

);

(e) limx→0+

(tan(x) log(x));

(f) limx→1+

(x− 1)tan(x−1);

(g) limx→0+

(ex + 2x)1x .


1. Considere a equação x5 − 20x+ 1 = 0.

(a) Determine quantas soluções tem esta equação e localize-as em R.(b) Mostre que existe uma única solução no intervalo ]0, 2[.

2. Seja h : R → R uma função diferenciável e a, b e c três números reais distintos tais queh(a) = h(b) = h(c). Qual das seguintes afirmações é verdadeira? Justifique.

(a) h′ tem, pelo menos, dois zeros;

(b) h′ tem, no máximo, dois zeros;

(c) h′ tem exactamente dois zeros.

3. Mostre que x = 0 é a única solução da equação ex = 1 + x.

23

4. Seja f uma função de classe C1 em R, tal que 1 ≤ f ′(x) ≤ 4 , ∀x ∈]2, 5[ . Mostre que3 ≤ f(5)− f(2) ≤ 12.

5. Sejam f e g funções de classe C1 em R, tais que f ′(x) = g′(x) ,∀x ∈ R. Sabendo queg(x) = x3 − 4x+ 6 e que f(1) = −5, determine f .

6. Mostre, utilizando o teorema de Lagrange, que se 0 < x < y então√y −√x <

y − x2√x.

Conclua que se 0 < x < y então√xy <

1

2(x+ y).

7. Prove, aplicando o teorema de Lagrange, que:

(a) arcsin(x) > x , ∀x ∈ ]0, 1[.

(b) arctan(2x) >2x

1 + 4x2,∀x ∈ R+.

8. Seja f uma função diferenciável em [0,+∞[ tal que f(0) = 3 e f ′(x) = 0, ∀x ≥ 0.

(a) Calcule, justificando, f(5).Sugestão: Aplique o teorema de Lagrange ao intervalo [0, 5].

(b) Mostre que f é necessariamente uma função constante.(c) Considere a função g(x) = ex

2−1. Existe algum ponto onde a função g tem umatangente paralela ao gráfico de f?


(a) limx→0

3x2 − sin2(x)

arctan (x2);

(b) limx→0

sin2 (x2)

(1− cos(x))2;

(c) limx→+∞

log(

xx+1

)sin(1x

) ;

(d) limx→π

2

(arctan

(π2− x)tan(x)

);

(e) limx→0

(1

x2− cos(3x)

x2

);

(f) limx→0

(1

sin(x)− 1

x

);

(g) limx→0+

(tan(x))1

log(x) ;

(h) limx→+∞

(1 +

1

x

)ex;

(i) limx→1

(1 + log(x))1

x−1 .

24

5.3 Exercícios resolvidos

1. Seja g uma função três vezes diferenciável em R e a, b, c três números reais tais quea < b < c. Prove que se g tem extremos locais em cada um dos pontos a, b e c, a equaçãog′′′(x) = 0 tem pelo menos uma raiz real. Indique um intervalo que contenha essa raiz.

2. Seja f a função real de variável real definida por f(x) = sin(x2 − 1) + 2x2.

(a) Prove que f tem, no máximo, dois zeros.

(b) Prove que f tem exactamente dois zeros.

3. Prove, usando o teorema de Lagrange, que é válida a desigualdade

arctan

(1

x

)<

π

4− x− 1

1 + x2, ∀x > 1.

4. Seja h uma função de domínio R tal que h(0) = 0 e h′(x) = cos(x) esin2(x). Recorrendo

ao teorema de Lagrange, mostre que ∀x > 0 , h(x) ≤ e x.

5. Calcule o limite seguinte, justificando detalhadamente a sua resposta:

limx→0+

(1 +

1

x

) 1

log(x).

6. Calcule o limite seguinte, justificando detalhadamente a sua resposta:

limx→π

4

log(tan(x))

cot(2x).

6 Teorema de Taylor, Fórmula de Taylor e Aplicações


1. (a) Determine a fórmula de Taylor de ordem 4, em torno do ponto x = 1, da função defi-nida por f(x) = log(x), indicando em que intervalo esse desenvolvimento representaa função.

(b) Usando a alínea anterior, prove que

log(x) ≤ (x− 1)

(1− x− 1

2+

(x− 1)2

3

), ∀x ∈ R+.

2. Considere a função real de variável real definida por g(x) = ex.

(a) Determine a fórmula de MacLaurin, com resto de ordem 6, da função g.

25

(b) Utilizando a fórmula de MacLaurin de ordem n da função g, determine um valoraproximado de e com quatro casas decimais exactas.

3. Considere a função real de variável real definida por f(x) = log(cos(x)).

(a) Determine a fórmula de MacLaurin, com resto de ordem 3, da função f .

(b) Utilize a alínea anterior para mostrar que log (cos(x)) < − x2

2, ∀x ∈

]0,π

2

[.

4. Seja h a função real de variável real definida por h(x) =1

1− x.

(a) Calcule h′(x), h′′(x), h′′′(x) e h(4)(x) e obtenha uma expressão para h(n)(x).

(b) Prove, pelo princípio de indução matemática, que a expressão de h(n)(x), obtida naalínea anterior, é válida para todo o número natural.

(c) Determine a fórmula de MacLaurin de ordem n para a função h.

5. Calcule, recorrendo à fórmula da Taylor, os seguintes limites:

(a) limx→π

2

x− π2+ cos(x)(

x− π2

)2 ;

(b) limx→0

xe−x − x+ x2

x3.

6. Seja g : R → R a função definida por g(x) = x3 (x− 2). Determine, caso existam, osextremos locais e os pontos de inflexão de g.

7. Seja g ∈ C2 (R) tal que g ′(x) > 0, ∀x ∈ R. Considere ainda a função h(x) = g (x− x2) .Mostre que h tem um extremo local, e classifique-o. Trata-se de um extremo absoluto?Justifique.


1. Determine a fórmula de MacLaurin, com resto de ordem 6, das funções f(x) = sin(x) eg(x) = cos(x).

2. Considere a função real de variável real definida por h(x) = x− e−x sin(x).

(a) Escreva a fórmula de MacLaurin de ordem 3, da função h.

(b) Utilize a alínea anterior para mostrar que h(x) ≤ x2 ,∀x ∈[0,π

2

].

3. Seja ϕ a função real de variável real definida por ϕ(x) = x+ e1−3x.

(a) Prove, pelo princípio de indução matemática, que ϕ(n)(x) = (−1)n 3n e1−3x, ∀x ∈ R,∀n ∈ N \ {1}.

26

(b) Determine a fórmula de Taylor de ordem n da função ϕ, em torno do ponto x =1

3.

4. Seja h a função real de variável real, definida por h(x) =1

2x+ 1.

(a) Prove que h(n)(x) = (−1)n 2n n! (2x+ 1)−(n+1), ∀n ∈ N, usando o princípio de indu-ção matemática.

(b) Determine a fórmula de MacLaurin de ordem n, da função h.

5. Calcule, recorrendo à fórmula da Taylor, os seguintes limites:

(a) limx→1

log(x)− x+ 1

(x− 1)2;

(b) limx→0

x− sin(x)

x2.

6. Seja g a função real de variável real, definida por g(x) = x arctan(x).

(a) Determine a fórmula de MacLaurin, com resto de ordem 3, da função g.

(b) Justifique que x arctan(x) ≤ x2, ∀x ∈ R.(c) Mostre que g tem um extremo local para x = 0 e classifique-o.

7. Seja ϕ uma função real de variável real, tal que ϕ(−1) = 1 e ϕ ′(x) = (x+ 2) log (x+ 2).

(a) Determine a fórmula de Taylor de ordem 4 da função ϕ, em torno do ponto x = −1.(b) Recorrendo aos cálculos efectuados na alínea anterior, averigúe se existem extremos

locais e pontos de inflexão de ϕ.

8. Seja f uma função de classe C∞, definida em R. Suponha que

f(x) = 2 + 3(x− 1)4 +1

2(x− 1)6 − 7

2(x− 1)8 +

f (9)(c)

9!(x− 1)9,

sendo 1 < c < x ou x < c < 1.

(a) Determine f (k)(1), para 1 ≤ k ≤ 7.

(b) Verifique se 2 é um extremo relativo de f .

(c) Prove que se f (9)(x) é uma função positiva em R, então

f(x) < 2 + 3(x− 1)4 +1

2(x− 1)6 − 7

2(x− 1)8, ∀x < 1.

27


1. Seja ψ a função real de variável real definida por ψ(x) =1

3log(3x+ 2).

(a) Prove, por indução matemática, que

ψ(n)(x) = (−1)n+1 3n−1 (n− 1)! (3x+ 2)−n , ∀n ∈ N.

(b) Determine a fórmula de MacLaurin, com resto de ordem n, de ψ.

2. Seja g a função real de variável real definida por g(x) =1

3√2x− 1

.

(a) Determine a fórmula de Taylor em torno do ponto x = 1, com resto de ordem 3,para a função g.

(b) Utilize a alínea anterior para mostrar que

g(x) > 1− 2

3(x− 1) +

8

9(x− 1)2, para

1

2< x < 1.

3. Seja h uma função de domínio R tal que h(0) = 0 e h′(x) = cos(x) esin2(x). Determine

os extremos relativos de h. Justifique.

4. Seja f :]0,+∞[→ R uma função com segunda derivada contínua em R+, tal que f ′(1) = 0e f ′′(1) = −2. Seja ϕ a função real de variável real definida por ϕ(x) = f(ex).

(a) Calcule ϕ′(0) e ϕ′′(0).

(b) Pode concluir-se que ϕ tem um extremo local no ponto x = 0? Em caso afirmativo,classifique-o.

(c) Usando a fórmula de MacLaurin para a função ϕ, calcule limx→0

ϕ(x)− ϕ(0)x2

.

5. Usando a fórmula de Taylor, calcule o seguinte limite:

limx→π

log(| cos(x)|) + (x−π)22

(x− π)2.

7 Estudo de funções


1. Considere a função real de variável real

f(x) =

x|x|, se x > −2

(x+ 2)2 − 4, se x ≤ −2.

28

(a) Determine os intervalos de monotonia e os extremos locais de f .

(b) Determine os sentidos de concavidade e os pontos de inflexão de f .

(c) Esboce o gráfico de f e determine o seu contradomínio.


f(x) =

e|x−1|, se x > 0

arctan(x), se x ≤ 0.


(b) Determine os sentidos de concavidade e os pontos de inflexão de f .

(c) Esboce o gráfico de f e determine o seu contradomínio.


f(x) =

x2 + x, se x < 0

log(−2x2 + x+ 1), se x ≥ 0.


(b) Estude a função f quanto à diferenciabilidade e determine a função f ′.

(c) Determine os intervalos de monotonia e os extremos locais de f .

(d) Determine a função segunda derivada f ′′.

(e) Determine os sentidos de concavidade e os pontos de inflexão de f .

(f) Esboce o gráfico de f .



f(x) =

1

x2 + x, se x < 1

arctan(1x

), se x ≥ 1.


(b) Estude a continuidade da função.


(d) Determine os intervalos de monotonia e os extremos locais de f .

(e) Determine a função segunda derivada f ′′.

(f) Determine os sentidos de concavidade e os pontos de inflexão de f .

29

(g) Esboce o gráfico de f e indique o seu contradomínio.

2. Considere a função real de variável real f definida por

f(x) =

|1− x2|, se x ≤ 0

sin(x− 1), se x > 0.


(b) Estude a função f quanto à continuidade.

(c) Estude a função f quanto à diferenciabilidade e determine a função f ′.


(e) Determine a função f ′′ e estude as concavidades de f .

(f) Esboce o gráfico de f .

3. Considere a função real de variável real f , definida por

f(x) =

x log(x), se x > 0ex − 1

e, se x ≤ 0.










f(x) =

log(1− x2), se − 1 < x < 0

−x2, se x ≥ 0

arctan(−x) , se x ≤ −1.

(a) Determine a função derivada f ′.

(b) Determine os intervalos de monotonia e os extremos locais de f .

30

(c) Determine a função segunda derivada f ′′.

(d) Determine os sentidos de concavidade e os pontos de inflexão de f .

(e) Esboce o gráfico de f e indique o seu contradomínio.


f(x) =

x2 − 1, se x < 1

arcsin(x− 1), se x ≥ 1.


(b) Determine a função segunda derivada f ′′.

(c) Determine os sentidos de concavidade e os pontos de inflexão de f .

(d) Esboce o gráfico de f e indique o seu contradomínio.


f(x) =

|x2 − 4|, se x ≤ 0

log(x− 2), se x > 0.








8 Primitivação


1. Determine as primitivas das funções definidas pelas seguintes expressões analíticas:

(a) ex +1

x;

(b) 4x + 3x5 + 2;

(c) sin(x) cos(x);

(d)1

x2 + 1+

43√x2

;

31

(e) 6x(x2 + 1);

(f) 64x + e5x;

(g) cos(cos(x)) sin2(cos(x)) sin(x);

(h) ex2+2 sin(x)(x+ cos(x));

(i) cos(2x) cos(x);

(j)sin(x)

cos2(x);

(k)log(arcsin(x))

arcsin(x)√1− x2

;

(l)(1 + 2 arctan(x))3

1 + x2;

(m)1

cos2(x)√

1 + tan(x);

(n)arctan(x)

1 + x2;

(o)√

1 + log(x8)

x;

(p)(

1√x+ x3

)2

;

(q)sin(x)− cos(x)

sin(x) + cos(x);

(r) cos2(x);

(s)1√

9− x2.

2. Seja f a função real de variável real definida por f(x) = cos(4x+π). Determine a primitivade f que toma o valor 2 quando x = 0.

3. Primitive, por partes, as funções definidas pelas seguintes expressões analíticas:

(a) (3x− 1) sin(x);

(b) log2(x);

(c) x2ex;

(d)log(log(x))

x.

4. Usando em cada caso a substituição indicada, primitive as funções definidas por:

(a)1 + 4ex

1 + 2ex(ex = t);

(b)1

1− cos(x)(tan(x/2) = t);

32

(c) tan3(x) (tan(x) = t);

(d)√x

4 +√x

(√x = t).

5. Determine as primitivas das funções racionais definidas pelas seguintes expressões analí-ticas:

(a)x4

x+ 2;

(b)1

(x+ 2)(x− 3)(x+ 4);

(c)x2 − x

(x+ 1)2(x− 2);

(d)−4x

x2 + 4x+ 3.


(a)1

x2 + 2x+ 5;

(b)x4 + x2 − x+ 1

x3 + x;

(c)x2 + 6x

x3 + x2 + 4x+ 4;

(d)2x3 + x2 + 4x+ 3

2x4 + 4x3 + 4x2 + 4x+ 2.

7. Determine as primitivas das funções irracionais definidas pelas seguintes expressões ana-líticas:

(a)√2x+ 3

4√2x+ 3 + 2

;

(b)1

x√x2 − x− 1

;

(c)1

x− 3√3x− 2

;

(d)1

x√x2 + x− 2

.

8. Determine as primitivas das funções transcendentes definidas pelas seguintes expressõesanalíticas:

(a)cos(x)

1 + cos(x);

33

(b)e2x

ex + 1;

(c)1

1 + sin2(x);

(d)1

(2 + cos(x))(1 + sin(x)).

9. Seja f a função real de variável real definida por f(x) =ex

(e2x − ex − 2)2. Determine a

primitiva de f que toma o valor 1 quando x = 0.

10. Primitive as funções definidas pelas seguintes expressões analíticas:

(a)x

3√x2 + 1

+ 3x2 arctan(x);

(b)sin(x) + cos(x)

sin(x)− cos(x);

(c) x2 sin(4x);

(d)x2 + 1

4 + 2x2;

(e)1√x+x√x

3;

(f)√9− x2x

;

(g) ex sin(x);

(h) arctan(x);

(i)1

x+ 2

√x+ 1

x+ 2;

(j)1√

x2 + 4;

(k)sin(x) cos(x)

4 cos2(x) + sin(x) cos(x);

(l) cos(sin(x)) cos(x).

11. Determine a função real de variável real que satisfaz simultaneamente as condições f ′(x) =x cos(x2) + xe2x − 1 e f(0) = 2.



(a)3x3 − 5

√x

x;

34

(b) 3x3 + 4 sin(x);

(c)ex

1 + ex;

(d) e4x2+log(x);

(e)log2(x)

x;

(f) e2x cot(e2x);

(g)e√x

√x;

(h)sin(x)

1 + cos2(x);

(i)1

(1 + x2)(1 + arctan2(x));

(j) (sin(ax+ b)− cos(ax+ b))2;

(k)cos(log(x)). sin(log(x))

x;

(l)cos(x)

5√

(sin(x))8;

(m) sec(tan(x)) tan(tan(x)) sec2(x);

(n)etan(x)

cos2(x);

(o) tan(x) log(cos(x)).

2. Primitive, por partes, as funções definidas pelas seguintes expressões analíticas:

(a) (3x2 + 1)e5x;

(b)3x+ 2

4cos(5x);

(c)x

sin2(x).

3. Usando em cada caso a substituição indicada, primitive as funções definidas por:

(a) cos2(x) sin3(x) (cos(x) = t);

(b)√1− x2 (x = sin(t) ou x = cos(t));

(c)ex/2

ex/3 + 1(ex/6 = t).

4. Divida o polinómio x3 + 2x2 + x+ 3 pelo polinómio x2 + 1.

5. Mostre que o polinómio x3 + x− 2 é redutível.

35

6. Mostre que os polinómios 3x+ 2 e x2 − 4x+ 13 são irredutíveis.


(a)x2 + 4x+ 6

x2 + 2;

(b)x3

x2 + 1+

4

x4 + x3 − 3x2 − x+ 2;

(c)x2 + 4

(x2 + 2x+ 2)(x− 1)2.

8. Determine as primitivas das funções irracionais definidas pelas seguintes expressões ana-líticas:

(a)x2 + 1

(√x)3 + 3x+ 2

√x;

(b)√2x+ x2

x2;

(c)1

x3√x2 − 9

.

9. Determine as primitivas das funções transcendentes definidas pelas seguintes expressõesanalíticas:

(a)tan(x)

1 + sin2(x);

(b)1− sin(x)

1 + cos(x);

(c)ex + 2

e2x − 2ex.

10. Determine a função real de variável real f , definida em R+, que satisfaz as condições

f ′(x)= x (cos(x) + log(x)) e f(1) = 0.


(a) log(x+√1 + x2);

(b) x sin(x2 − 1) + log(x2 + x+ 1);

(c) e5x sin(2x);

(d)2x+ x2

x2;

(e)x6

7x7 + 5+ (x+ 2)e−x;

36

(f) x cos(x) sin(x);

(g)1

x− 3√3x− 2

;

(h)x3√4 + x2

.

12. Determine a função real de variável real f , definida no intervalo ]− 1, 1[, que satisfaz ascondições

f ′(x)=x2 + 1

x2 + 2+ arcsin(x) e f(0) = 0.


1. Determine a primitiva de h(x) =5 sin(x) cos(x)

1− 2 cos2(x).

2. Determine a primitiva de h(x) = log(1− x2).

3. Determine a primitiva de f(x) =e2x + 1

ex(2 + e2x).

4. Determine a primitiva de h(x) =sin(x)

cos(x)(cos(x)− 1).

5. Determine a função h, real de variável real, que satisfaz simultaneamente as condiçõesh′(x) = x log(x2 + 2) e h(0) = 0.

6. Determine a função real h, definida em [−1, 1] e que satisfaz simultaneamente as condições

h′(x) =x2 + 1

x2 + 2+ arcsin(x) e h(0) = 0.

7. Determine a primitiva de f(x) =1√

x2 − 3x+ 2.

9 Cálculo Integral. Áreas de figuras planas


1. Calcule os seguintes integrais:

(a)∫ 5

1

1

(x+ 7)2dx;

(b)∫ π

2

0

cos3(x) dx;

37

(c)∫ 1

0

eax sin(bx) dx (a, b ∈ R);

(d)∫ 9

4

1−√x

1 +√xdx;

(e)∫ 2

√3

√x2 − 3

xdx;

(f)∫ 15

−1

4√x+ 1√

x+ 1 + 2dx;

(g)∫ π

2

π4

x cos(x)

sin2(x)dx;

(h)∫ 1

−2

1√x2 + 4x+ 5

dx;

(i)∫ 2

1

2x3 + 2x2 + 5x+ 3

x4 + 2x3 + 3x2dx.

2. Calcule a derivada das seguintes funções:

(a) F (x) =∫ x

1

1

tdt;

(b) F (x) =∫ x3

0

et dt;

(c) F (x) =∫ 0

x2sin(t) dt;

(d) F (x) =∫ x3

x2log(t) dt.

3. Calcule, caso exista, o seguinte limite:

limx→0

∫ x2

x

sin(t2) dt

sin2(x).


f(x) =

∫ sin(x)

0

et2

dt.

(a) Determine a função f ′. Justifique a resposta.

(b) Determine os extremos relativos de f . Justifique a resposta.

5. Determine a área de cada um dos seguintes domínios:

38

(a) Domínio limitado pelos gráficos das funções f(x) = ex e g(x) = e−x, e pelas rectasde equação x = −1 e x = 2;

(b) Domínio limitado pela parábola de equação y2 = 2x − 2 e pela recta de equaçãoy − x+ 5 = 0;

(c) Domínio contido no semiplano x ≥ −1 e limitado pela recta de equação y = 0 e pelográfico da função f(x) =

x

(x2 + 3)2;

(d) Domínio limitado pelos gráficos das funções f(x) = arctan(x) e g(x) =π

4x2;

(e) Domínio limitado pelos gráficos das funções f(x) =1

x, g(x) = 3x e h(x) = 6x.



(a)∫ 5

2

−5(x+ 1)2

dx;

(b)∫ 3

1

x3 log (x) dx;

(c)∫ 1

0

log(x+√3 + x2

)dx;

(d)∫ 8

4

x√x2 − 15

dx;

(e)∫ 2

0

3 arctan(√

1 + x)

dx;

(f)∫ 2

0

x3 + x2 − 12x+ 1

x2 + x− 12dx;

(g)∫ 16

1

74√x+√xdx.

2. Calcule, caso exista, o seguinte limite:

limx→0+

∫ x2

0

sin(√t) dt

x3.

3. Considere a função real de variável real f definida por

f(x) =

∫ 1

x2

e−t2√tdt.

39

(a) Determine a fórmula de Taylor de ordem 2 de f , no ponto x = 1.

(b) Calcule limx→1

f(x) + 2e(x− 1)

(x− 1)2.

4. Determine a área de cada um dos seguintes domínios:

(a) Domínio contido no semiplano x ≥ 0 e limitado pela circunferência x2 + y2 = 4;

(b) Domínio limitado pelo gráfico da função f(x) = (x+1)2− 4 e pela recta de equaçãoy = 2x;

(c) Domínio limitado pelo gráfico da função f(x) = x3−6x2+8x e pela recta de equaçãoy = 0;

(d) Domínio limitado pelo gráfico da função f(x) = arcsin(x) e pela recta de equaçãoy =

π

2x;

(e) Domínio contido no 1o quadrante e limitado pela hipérbole de equação xy = 1, pelaparábola de equação y = x2 e pela recta de equação y = 4.



(a)∫ 8

1

1 + 3√x dx;

(b)∫ e

1

1

x(log(x))3 dx;

(c)∫ √20

x2 + 2x+ 3

x2 + 2dx;

(d)∫ 3

0

(x+ 1)√9− x2 dx;

(e)∫ 2

1

e3x + e2x + 1

ex − e−xdx;

(f)∫ 1

0

5x+ 1

(x2 + 2x+ 5)(x+ 1)dx.

2. Calcule, caso exista, o limite

limx→0+

∫ x3−π

−πcos( 3√t+ π) dt

sin(x2),

justificando detalhadamente a sua resposta.

40


f(x) =

∫ 1

x

e−t

tdt.

(a) Determine, justificando, o domínio da função f .

(b) Escreva a fórmula de Taylor de ordem 2 da função f , no ponto x = 1.

(c) Mostre que 2f(√x) =

∫ 1

x

e−√t

tdt.

4. Calcule a área do domínio limitado pelo gráfico da função g(x) = arctan(x) e pelas rectasde equação y =

π

4e x = 0.

5. Calcule a área do domínio limitado pelo gráfico da função f(x) = − 1

x√x2 − x− 2

e pelas

rectas de equação x = 3, x = 4 e y = 0.

6. Determine a área do domínio limitado pelo gráfico da função f(x) =1

1 + sin(x), e as

rectas de equação y = 0, x = 0 e x = π2.

7. Calcule a área do domínio limitado pelo gráfico da função f(x) =√2 + x2 e pela parábola

de equação y = x2.

10 Integrais impróprios


1. Recorrendo à definição de integral impróprio, estude a natureza dos seguintes integraiscalculando, se possível, o seu valor:

(a)∫ +∞

1

e−√x

√x

dx;

(b)∫ 1

0

x log(x) dx.

2. Estude a natureza dos seguintes integrais impróprios:

(a)∫ +∞

1

x

x3 + x2 − 1dx;

(b)∫ +∞

0

1√ex

dx;

(c)∫ +∞

2

log(x)√x+ x2 + 1

dx;

41

(d)∫ +∞

0

cos(x)√x3 + 1

dx;

(e)∫ 2

1

√x

x2 − 1dx;

(f)∫ π

2

0

√1 + tan(x) dx;

(g)∫ 2

−2

1√4− x2

dx;

(h)∫ 2

0

2

x2 − 2xdx;

(i)∫ +∞

12

13√2x− 1

dx;

(j)∫ 0

−∞

13√1− x4

dx.

3. Determine a área de cada um dos seguintes domínios planos ilimitados:

(a) domínio contido no semiplano y ≤ 0, e limitado pela recta de equação x = 0 e pelográfico da função f(x) = log(x);

(b) domínio definido pelo gráfico da função f(x) =1

x2e pelas rectas de equação x = 1

e y = 0.

4. Estude a natureza do seguinte integral impróprio, em função do parâmetro real α:∫ +∞

0

xα

1 + x3dx.



(a)∫ +∞

1

1

(1 + x2) arctan(x)dx;

(b)∫ e

0

1

x√

1− log(x)dx.


(a)∫ +∞

0

e√2x+1 dx;

(b)∫ +∞

2

x sin(x2)

x4 + 3dx;

42

(c)∫ +∞

1

e−xx dx;

(d)∫ π

2

0

e−x cos(x)

xdx;

(e)∫ 2

0

log(x)

xdx;

(f)∫ π

0

1√sin(x)

dx;

(g)∫ +∞

2

log(x)

x√x2 − 4

dx;

(h)∫ +∞

0

1

x√x2 + 1

dx;

(i)∫ +∞

0

1

(x+ 1) 5√1− x2

dx.


(a) domínio definido pelo gráfico da função f(x) =1

1 + x2e pelo eixo dos xx;

(b) domínio definido pelo gráfico da função f(x) =1

x log2(x), pelas rectas de equação

x = 0 e x = 12, e pelo eixo dos xx.

4. Estude a natureza do seguinte integral, em função do parâmetro real α:∫ π2

0

sin(x)

xαdx.



(a)∫ +∞

1

1

x2(x2 + 1)dx;

(b)∫ 0

−1

e2x√1− e2x

dx.


(a)∫ +∞

1

arctan(ex)x

dx;

(b)∫ +∞

2

cos2(x)

x4 − 1dx;

43

(c)∫ +∞

0

1

e2x − ex + 5dx;

(d)∫ 0

−1

x+ 2

sin( 3√x)

dx;

(e)∫ 1

0

sin(log(x)) dx;

(f)∫ +∞

1

1

5

√(x2 − 1)3

dx;

(g)∫ −2−∞

x

(4− x2)√2− x

dx.


(a) domínio limitado pelo gráfico da função f(x) = e−|x| e pela recta de equação y = 0;

(b) domínio contido nos semiplanos y ≥ x− 2 e y ≥ 0, e limitado pelo gráfico da função

f(x) =1

x− 2.

4. Estude a natureza do seguinte integral impróprio, em função do parâmetro real β:∫ π2

0

(π2− x)β

(sin(x))13

dx.

44

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Exercicios de Analise Matematica ID