12.4 Integrais Duplasna FormaPolar 393

f2

[ J

Y=2

f2

[ J

2

= y2Z dz = 4z dz = 2Z2 = 8.o Y=O o o

Com esses valores, a equação (4) dá

Valor médio de - 1 III dV - (1

)xyz sobre o cubo - volume xyz -"8 (8) = 1.cubo

Ao calcularmos a integral, escolhemos a ordem dx dy dz, mas qualquer umadas outras cinco ordens também funcionaria.

~~\\1''iG.:;;, :>',>;:/

EXERCICIOS 12.4

Calculando Integrais Triplas em IteraçõesDiferentes

1. Calcule a integral no Exemplo 2 fazendo F(x, y, z) = 1 paraencontrar o volume do tetraedro. '

2. Volumede umsólidoretangularEscreva seis integrais triplas ite-radas diferentes para o volume do sólido retangular no primei-ro octante limitado pelos planos coordenados e pelos planosx = 1,Y = 2 e z = 3. Calculeumadas integrais.

3. Volumede um tetraedro Escreva seis integrais triplas iteradasdiferentes para o volume do tetraedro cortado do primeirooctante pelo plano 6x + 3y + 2z = 6.. Calcule uma dasintegrais.

4. Volumede umsólido Escreva seis integrais triplas iteradas dife-rentes para o volume da região no primeiro octante limitadapelo cilindro r + i = 4 e pelo plano y = 3. Calcule uma dasintegrais.

5. VolumelimitadoporparabolóidesSejaD a regiãolimitadapelosparabolóidesz = 8 - r - l e z = r + l. Escreva seis inte-grais triplas iteradas diferentes para o volume de D. Calculeuma das integrais.

6. Volumedentro de um parabolóideabaixode um plano Seja D aregião limitada pelo parabolóide z = r + l e pelo planoz = 2y. Escreva integrais triplas iteradas nas ordens dz dx dy edzdydx quedãoo volumedeD. Nãocalculeas integrais.

Calculando Integrais Triplas IteradasCalcule as integrais nos exercícios 7-20.

7. fOlfolfo1(X2+ y2 + Z2)dz dy dx

fY2

f3Y

f8-r-Y2

8. dz dx dyo o r+3y2 f

C

fe

f c 19. I I 1 xyz dx dy dz

fl

f3-3X

f3-3X-Y

10. dz dy dxo o o 11. flf7T f'1l"Y sen z dx dy dzo o o

12. f~If~lf~I (x + y + z) dy dx dz

f3

f~

fV9=?

13. dz dy dxo o o f

2

fv'4=?

f2x+Y

14. dz dx dyo -v'4=? o

fI

fI-'?

f4-.?-Y

16. o o 3 X dz dy dx15. Ia Ifo2-X f02-X-Y dz dy dx

17. f7Tf'1l" f'1l" cos (u + v + w) du dv dw (espaço uvw)o o o

18. fCJeJc lu r ln s ln t dt dr ds1 I 1(espaço rst)

J7T/4

flnsec U

f2t

19. 11'dx dt dvo o -co

(espaço tvx)

.

f7

f2

f V4=q2 q

20. o o o r + 1 dp dq dr (espaço pqr)

Volumes Usando Integrais Triplas21. Temos aqui a região de integração da integral

fI

Jl

fI-Y

dz dy dx.-I r o

z

Lado:y = x2

~

yx (1, 1, O)

Reescreva a integral como uma integral iterada equivalente naordem

(a) dy dz dx

(c) dx dy dz

(e) dz dx dy.

22. Temos aqui a região de integração da integral

(b) dy dx dz

(d) dxdzdy

394 Capítulo12:IntegraisMúltiplas

fI

fO

fy2

dz dy dx.o -1 o

(O,-1, 1)z

y

x

Reescreva a integral como uma integral iterada equivalente naordem

(a) dy dz dx

(c) dx dy dz

(e) dz dx dy.

(b) dy dx dz

(d) dx dz dy

Encontre o volume das regiões nos exercícios 23-36.

23. A região entre o cilindro z = i e o plano xy que é limitada

pelos planos x = O,x = l,y = -l,y = 1.

z

y

x

24. A região no primeiro octante liritada pelos planos coordena-dos e pelos planos x + z = 1,y + 2z = 2.

z

xy

25. A região no primeiro octante liritada pelos planos coordena-dos, pelo plano y + z = 2 e pelo cilindro x = 4 - y2.

z

y

x

26. A cunha cortada do cilindror + l = 1 pelos planos z = -y ez = O.

z

y

x

27. O tetraedro no primeiro octante limitado pelos planos coorde-nados e pelo plano x + yl2 + z/3 = 1.

z

y

x

28. A região no primeiro octante limitada pelos planos coordena-dos, pelo plano y = 1 - x e pela superfície z ==cos (TIX/2),O$x$1.

z

y

x

29. A região comum aos interiores dos cilindros r + l := 1 er + Z2 = 1 (Figura 12.36).

z

y

FIGURA12.36 Um oitavo da região comum aos cilindrOs

i2 + l = 1e i2 + i = 1no Exercício 29.

30. A região no primeiro octante limitada pelos planos coordena-dos e pela superfície z = 4 - x? - y.

z

y

x

31. A região no primeiro octante limitada pelos planos coordena-dos, pelo plano x + y = 4 e pelo cilindro l + 4Z2= 16.

z

y

x

32. A região cortada do cilindro r + l = 4 pelo planoz ,;, Oepelo plano x + z = 3.

z

y

x

33. A região entre os planos x + y + 2z = 2 e 2.x+ 2y + z = 4 noprimeiro octante.

34..A regiãotinita limitadapelosplanosz = x, x + z = 8, z = y,. y = 8 e z = O.

35. A região cortada do cilindro elíptico sólidor + 4l ~ 4 peloplano xy e pelo plano z = x + 2.

36. A região limitada atrás pelo plano x = O,na frente e dos ladospelo cilindro parabólico x = 1 - l, no topo pelo parabolóidez = r + l e no fundo pelo plano xy.

Valores MédiosNos exercícios 37-40, encontre o valor médio de F(x, y, z) sobre aregião dada. .

37. F(x, y, z) = r + 9 sobre o c~bo no primeiro octante limitadopelos planos coordenados e pelos planos x = 2,y = 2 e z = 2.

38. F(x, y, z) = x + y - z sobre o sólido retangular no primeirooctante limitado pelos planos coordenados e pelos planos x =1,y = 1 e z = 2.

39. F(x, y, z) = r + l + i- sobre o cubo no primeiro octantelimitado pelos planos coordenados e pelos planos x = 1,y = 1ez=1.

12.4 Integrais Duplasna FormaPolar 395

40. F(x, y, z) = xyz sobre o cubo no primeiro octante limitadopelos planos coordenados e pelos planos x = 2,y = 2 e z =.2.

Mudando a Ordem de IntegraçãoCalcule as integrais nos exercícios 41-44 mudando a ordem deintegração de maneira apropriada.

f4

fI

f2 4 COS (X2)

41. -v:; dx dy dz002y 2z

42. fOifOIf; 12xzezi dy dx dz

fI

IIf

In3 7Te2xsen 7Tl43. 2 dx dy dz

o -vz o y

f2

f4-r

f'l: 2

44. o o o ~~ Zzdy dz dx

Teoria e Exemplos45. Encontrando um limite inferior de uma integral iterada Encontre a:

fI

f4-a-r

f 4-r-y - 4dzdydx -1 5

'

o o a

46. Elipsóide Para qual valor de c o volume do elipsóide X2 +(y12)2+ (zlC)2= 1 é igual a 8'1T? ~

47. Escrevendoparaaprender:minimizandouma integraltripla Quedomínio D no espaço minimiza o valor da integral

f f f (4X2 + 4y2 + Z2 - 4) dV?D

Justifique sua resposta.

48. Escrevendo para aprender: maximizando uma integral tripla Quedomínio D no espaço maximiza o valor da integral

fff Ó- X2 - y2 - Z2) dV?D

Justifique sua resposta.

USANDO O COMPUTADOR

Cálculos Numéricos

Nos exercícios49-52, use um SACpara calculara integraltriplada funçãodada sobrea regiãosólidaespecificada. -49. F(x, y, z) = xYz sobre o cilindro sólido limitado por r + l = 1

e pelos planos z = Oe z = 1.

50. F(x, y, z) = Ixyz Isobre o sólido limitado inferiormente peloparabolóidez = X2+ y2e superiormentepeloplanoz = 1

51. F(x, y, z) = (2 2Z 2)3/2sobreo sólidolimitadoinferior-x+y+zmentepelo cone z = VX2 + y2 e superiormente pelo plano z = 1

52. F(x, y, z) = X4 + y2 + Z2 sobre a esfera sólida X2 + y2 +Z2~ 1.