UNIVERSIDADE FEDERAL DO PAMPA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

ANÁLISE MATEMÁTICA I

EDUARDO SCHNEIDER

LISTA EXERCÍCIOS 4

Exercício 1. Mostre que se nlim x a= então nlim x a= . Dê um

contra-exemplo mostrando que a recíproca, em geral, é falsa.

Exercício 2. Mostre que se nlim x a= e ( )n nlim x y 0− = então temos

que nlim y a= .

Exercício 3. Mostre que se nxlim 1

a

=

, com a 0≠ , então nlim x a= .

Exercício 4. Mostre que se nlim x a= , com a 0≠ , e n nlim x y b= ,

então n

blim y

a= .

Exercício 5. Dada uma sequência ( )nx , um termo px chama-se um termo

destacado quando p nx x≥ para todo n p> . Seja

{ }pP p ; x é destacado= ∈ ℕ . Se { }1 2P p p= < < … for infinito, ( )p p Px

∈

é uma subseqüência não-crescente de ( )nx . Se P for finito (em

particular vazio), mostre que existe uma subsequênc ia crescente de

( )nx . Conclua que toda sequência possui uma subsequênci a monótona.

Exercício 6. Para cada n ∈ ℕ , seja n0 t 1≤ ≤ . Se n nlim x a lim y= =

prove que ( )n n n nlim t x 1 t y a + − = .

Exercício 7. Diz-se que uma sequência ( )nx tem variação limitada

quando a sequência ( )nv dada por n

n i 1 i

i 1

v x x+=

= −∑ é limitada. Prove

que, neste caso, ( )nv converge. Prove também que:

i) Se ( )nx tem variação limitada então existe nlim x .

ii) Se n 2 n 1 n 1 nx x c x x+ + +− ≤ − para todo n ∈ ℕ com 0 c 1≤ < , então

( )nx tem variação limitada.

iii) Dê exemplo de uma sequência que converge que n ão é de variação limitada. Dica: adapte a série harmônica.

Exercício 8. Prove que se o nlim x a= , pondo 1 2 nn

x x xy

n

+ + +=

…

também temos que nlim y a= .

Exercício 9. Seja ny 0> para todo n ∈ ℕ , com n

n 1

y∞

=

= +∞∑ . Se o

limite n

n

xlim a

y= então 1 2 n

1 2 n

x x xlim a

y y y

+ + +=

+ + +…

….

Exercício 10. Para todo polinômio ( )p x de grau superior a 1, a série

( )n 1

1

p n

∞

=∑ converge.

Exercício 11. Prove que, para todo a ∈ ℝ , a série

( )2 2

222 2

a aa

1 a 1 a+ + +

+ +… é convergente e calcule a sua soma.

Exercício 12. Prove que se n

n 1

a∞

=

< +∞∑ com na 0> para todo n ∈ ℕ

então ( )2

n

n 1

a∞

=∑ e n

1n 1

a

1 a

∞

= +∑ também convergem.

Exercício 13. Seja ( )na uma sequência não-crescente com nlim a 0= . A

série n

n 1

a∞

=∑ converge se, e somente se, n

n

2n 1

2 a∞

=∑ converge. Este

resultado é conhecido como teste da condensação de Cauchy.