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Lista de Exerccios - Espaos vetoriais
Espaos vetoriais
1. Determine o vetor nulo nos seguintes espaos vetoriais:
O espao das matrizes 2 4 .
O espao : 0,1 / contnuaf f
O espao das funes de uma varivel com domnio nos nmeros
naturais.
O espao dos polinmios de grau trs com as operaes cannicas.
2. Ache o inverso aditivo do vetor dado em seu respectivo espao
vetorial.
Em 2P do vetor 2( ) 3 2p x x x
No espao das matrizes 2 2 com coeficientes reais com as operaes
usuais para a soma de matrizes e multiplicao por escalar do
vetor
1 1
0 3
.
No espao das funes de varivel real / ,x xae be a b com as
operaes usuais do vetor ( ) 3 2x xf x e e .
3. Seja C o conjunto dos nmeros complexos. Defina a soma em C
por a bi c di a c b d i e defina a multiplicao por um escalar por
biabia , . Mostre que C um espao vetorial
em relao a essas operaes. o conjunto dos nmeros racionais em ,
com as operaes usuais, um espao vetorial?
4.Mostre que os seguintes conjuntos so espaos vetoriais.
O conjunto dos polinmios 1( ) / ,P x a bx a b de grau menor ou
igual a um, com as operaes usuais para a soma e a multiplicao por
escalar.
O conjunto das matrizes 2 2 com coeficientes reais com as
operaes usuais para a soma e a multiplicao por escalar.
O conjunto dos vetores linha com trs componentes com as operaes
usuais para a soma e a multiplicao por escalar.
O conjunto 4{ / 0}
x
yL x y z w
z
w
com as operaes usuais em 4 .
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5 Mostre que os seguintes conjuntos no so espaos vetoriais,
indicando qual ou quais axiomas no so satisfeitos.
com as operaes usuais de 2 , o conjunto 3{ / 1}
x
y x y z
z
com as operaes usuais de 2 , o conjunto 3 2 2 2{ / 1}
x
y x y z
z
com as operaes usuais para matrizes, o conjunto 1
{ / , , }a
a b cb c
com as operaes usuais para polinmios, o conjunto 2
0 1 2 0 1 2{ / , , }a a x a x a a a onde o conjunto dos nmeros
reais maiores que zero.
com as operaes usuais, o conjunto 2{ / 3 4, 2 - 3 e 6 4 10}
xx y x y x y
y
6. Mostre que o conjunto das combinaes lineares das variveis x e
y um espao vetorial com as operaes usuais.
7. Seja P o conjunto de todos os polinmios. Mostre que P, com as
operaes usuais de soma e multiplicao por um escalar para funes,
forma um espao vetorial.
8. Determine em ambos os casos se 3 um espao vetorial sob as
seguintes operaoes:
1 2
1 2
1 2
0
0 e
0
x x x rx
y y r y ry
z z z rz
1 2
1 2
1 2
0 0
0 e 0
0 0
x x x
y y r y
z z z
9. Determine se os conjuntos das matrizes 2 2 seguintes so
espaos vetoriais (com as operaes usuais).
As matrizes diagonais 0
{ / , }0
aa b
b
.
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As matrices { / , }a a b
a ba b b
10. Sejam x, y e z vetores de um espao vetorial V. Mostre que,
se x + y = x + z ento y = z.
11. Seja S o conjunto de todos os pares ordenados de nmeros
reais. Defina a multiplicao por um escalar e a soma em S por
2121 ,, xxxx
0,,, 112121 yxyyxx
Usando o smbolo para denotar a soma nesse sistema para evitar
confuso com a soma usual de x + y de vetores linhas. Mostre que S,
junto com a multiplicao usual por um escalar e a operao , no um
espao vetorial. Quais dos oito axiomas no so vlidos?
12. Seja V o conjunto de todos os pares ordenados de nmeros
reais com a soma definida por 22112121 ,,, yxyxyyxx e a multiplicao
por um escalar definida por 2121 ,, xxxx . Como a
multiplicao por um escalar definida de maneira diferente da
usual, usamos um smbolo diferente para evitar confuso com a
multiplicao usual de um vetor linha por um escalar. V um espao
vetorial em relao
a essas operaes? Justifique sua resposta.
