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1. Uma bola de aço de massa igual a m é largada de uma altura H sobre uma barra de aço
horizontal. A bola permanece em contato com a barra por um intervalo de tempo ∆∆∆∆t e é rebatida até uma altura 4H/9. Determine a força média (vetor) exercida sobre a bola, durante a colisão, em função de m, g, H, t e dos vetores unitários que se fizerem necessários.
Pelo Teorema do Impulso-Momento Linear temos:
jgHmt
F
jgHjgHmvmvmtF
PJ
if
)r
))rrr
rr
23
5
2(23
2.
∆=
−−=−=∆
∆=
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE FÍSICA – CCE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – FIS 205
CAPÍTULO 8 – MOMENTO LINEAR, IMPULSO E COLISÕES
Pela conservação da energia mecânica, a velocidade da
bola ao atingir a barra será:
jgHvgHvmvmgH iii
)r22
2
1 2 −===
Após colidir com a barra a bola retornará, com velocidade
fvr
que lhe permitirá atingir uma altura 4H/9. Pela
conservação da energia mecânica:
jgHvgHvHmgmv fff
)r2
3
22
3
29/4
2
1 2 ===
+y
+x
ivr
H
fvr
4H/9
2. Um garoto de massa 3M, correndo para a direita com velocidade, relativa à Terra, de módulo 5v0, salta sobre um carrinho de massa M, que estava parado, permanecendo sobre ele. (a) Determine a velocidade, relativa à Terra, do conjunto carrinho+garoto depois que ambos estiverem andando juntos. Em seguida, o garoto começa a andar sobre o carrinho com velocidade v0, relativa ao carrinho, dirigindo-se para a frente do mesmo. Determine (b) a nova velocidade do carrinho, em relação à Terra e (c) a nova velocidade do garoto, em relação à Terra.
05vr
3M
M
(a) Considerando o sistema de partículas (garoto+carrinho), o momento linear do mesmo
imediatamente após o garoto saltar sobre o carrinho será igual ao momento linear
imediatamente antes do salto (∑ = 0externasF ).
TCCTGGTGG
depoisantes
vmvmvm
PP
,,, ... ′+′=
=
Uma vez que o garoto permanece sobre o carrinho, vvv TCTG′=′=′
,, .
0
0
4
15
)3(5.3
vv
vMMvM
=′
′+=
(b) Durante a caminhada do garoto sobre o carrinho ocorre também a conservação do
momento linear (∑ = 0externasF ).
0,
,00
,,00
,,,0
,,
3
4315
)(315
)(34
15)3(
..)(
vv
vMvv
vMvvMMv
vMvvMvMM
vmvmvmm
PP
TC
TC
TCTC
TCTCCG
TCCTGGCG
depoisantes
=′′
′′=−
′′+′′+=
′′+′′+=+
′′+′′=′+
=
(c) A velocidade final do garoto em relação à Terra será:
0,
00,
,,,
4
3
vv
vvv
vvv
TG
TG
TCCGTG
=′′
+=′′
′′+=′′
3. Um homem está de pé sobre um bloco de concreto apoiado sobre um lago congelado. Suponha que não exista atrito entre o bloco e a superfície do lago congelado, e que, inicialmente, o homem e o bloco estão em repouso em relação ao lago. O homem possui uma massa cinco vezes menor do que a massa do bloco. Se o homem caminhar para a direita com velocidade v (em relação ao bloco), com que velocidade o bloco se moverá em relação ao lago congelado?
+ x
Dados:
)(
5
, ivv
mm
mm
BH
B
H
)r=
=
=
Considerando o sistema constituído pelo homem + bloco, o
∑ externasFr
sobre o sistema será nulo, durante o deslocamento do
homem sobre o bloco.
Assim, constante0 . =⇒==∑ sistexternas P
dt
rr
r
LBBLHH
DepoisAntes
vmvm
PP
,, ..0rr
rr
+=
=
A velocidade do homem em relação ao lago é:
LBBHLH vvv ,,,
rrr+=
LBLH vivv ,, )(r)r
+=
( 1 )
( 2 )
Substituindo (2) em (1) e as respectivas massas temos:
)(6
1)(
6
1
5)(0
5])([0
,
,,
,,
ivivv
vviv
vmvivm
LB
LBLB
LBLB
))r
rr)
rr)
−=−=
++=
++=
4. Um homem de massa M encontra-se na extremidade de uma plataforma de massa igual a 3M,
que se desloca com velocidade constante, em relação a terra. Inicialmente, o homem está parado em relação à plataforma e o módulo da velocidade da plataforma em relação a terra é v. O homem anda até a outra extremidade da plataforma com velocidade constante
2v , em
relação a plataforma, na mesma direção e sentido do movimento inicial da plataforma. Considerando que não há atrito entre a plataforma e o solo determine: (a) a velocidade da plataforma em relação a terra durante o movimento do homem e (b) a velocidade do centro de massa do sistema (homem + plataforma) antes e durante o movimento do homem.
a. Considerando o sistema constituído pelo homem e
plataforma, o 0==∑dt
PdFexternas
rr
durante o
movimento do homem. Assim sendo, o momento
linear do sistema será conservado.
vvvv
v
MvvvMMv
MvMvvMM
PP
TPTP
TPTPPH
TPTH
finalinicial
8
74
24
3)(4
3)3(
,,
,,,
,,
=∴+=
++=
+=+
=
b. A velocidade do centro de massa do sistema
(homem + plataforma) antes de o homem
iniciar o movimento em relação à
plataforma:
vvv
v
M
MvMvv
CM
TPTH
CM
=+
=
+=
4
3
4
3 ,,
Uma vez que o ∑ == 0CMexternas amFrr
, o
centro de massa se moverá com velocidade
constante = v.
vr
5. Um homem está sobre um pequeno carro que se movimenta para a direita sobre um piso
horizontal com velocidade, em relação ao solo, 0C 2v v= . A massa do carrinho é M e a massa
do homem é 2M. Num certo instante, o homem pula fora do carro, de modo que a sua
velocidade, relativa ao solo, é 0Hv v= , na direção oposta à do movimento do carrinho.
Determine, em relação ao solo, (a) a velocidade do centro de massa do sistema (homem-carrinho), antes e imediatamente após o pulo; (b) a velocidade do carrinho imediatamente após o homem ter pulado e (c) a velocidade do centro de massa do sistema depois do homem ter atingido o solo e ficado em repouso, em relação ao solo. (d) Qual a força responsável pela modificação da velocidade do centro de massa do sistema?
Durante
+ x
(a) Inicialmente, o homem está em repouso em
relação ao carrinho, sua velocidade em
relação ao solo é, portanto, igual à
velocidade do carrinho.
Antes do salto: 0,, 2vvv SCSH ==
00
00
,,
23
6
2
222
vM
Mvv
MM
vMvMv
mm
vmvmv
CM
CM
CH
SCCSHH
CM
==
+
+=
+
+=
Durante o salto, sobre o sistema homem-
carrinho, o ∑ == 0. CMext amFrr
, de tal forma
que a 0=CMar
e a CMvr
é constante.
A velocidade do centro de massa do sistema,
imediatamente após salto é:
0
' 2vvv CMCM ==
(b) Imediatamente após o salto, a
velocidade do homem em relação ao
solo é:0, vv SH −= e a velocidade do
centro de massa do sistema é
0
' 2vvCM = .
Assim:
0,
,00
,0
0
,,'
8
26
2
)(22
vv
MvMvMv
MM
MvvMv
mm
vmvmv
SC
SC
SC
CH
SCCSHH
CM
=
+−=+
+−=
+
+=
0,
,
8
0
vv
v
SC
SH
=
=
0
"
0"
,,"
3
8
2
8.0.2
vv
MM
vMMv
mm
vmvmv
CM
CM
CH
SCCSHH
CM
=
+
+=
+
+=
(c)
(d) A força de atrito do solo sobre o
homem.
6. Um projétil de massa m atinge e se engasta num bloco de madeira de massa M que está
em repouso numa superfície horizontal, preso a uma mola em espiral cuja constante elástica é k. O impacto produz uma compressão máxima na mola igual a x. O coeficiente
de atrito cinético entre o bloco e a superfície é µc. Determine (a) a velocidade do bloco imediatamente após a colisão e (b) a velocidade inicial do projétil. Expresse suas respostas em termos das grandezas m, M, g , µc , k e x que se fizerem necessárias.
x
m
M
(a) Após a bala se engastar no bloco, o sistema bala-bloco terá uma velocidade, vf , que lhe
permitirá deslizar uma distância x, produzindo uma compressão x na mola.
Pelo Teorema do trabalho-energia: KWTotal ∆=
Assim,
2
22
22
22
.
)(2
)(2
2
1)()(
2
1
)(2
10
2
1)(
xMm
kgxv
xMm
kgxv
kxgxMmvMm
vMmkxgxMm
KKWW
cf
cf
cf
fc
ifFElástfc
++=
++=
++=+
+−=−+−
−=+
µ
µ
µ
µ
(b) Antes da colisão a velocidade da bala é vi e a velocidade do bloco é nula. Após a
colisão o sistema bala-bloco terá uma velocidade, vf .
Uma vez que, durante a colisão, 0. ==∑dt
PdFext
rr
, o momento linear do sistema bala-
bloco será conservado.
Assim,
2
)(2
)(
)(
xMm
kgx
m
Mmv
vMmmv
PP
ci
fi
DepoisAntes
++
+=
+=
=
µ
7. Duas esferas A (massa m) e B (massa 2m), suspensas por fios de mesmo comprimento L, são abandonadas das posições indicadas na figura abaixo. Após a colisão A e B permanecem unidas. A aceleração da gravidade é g. Determine: (a) o vetor velocidade das esferas imediatamente após a colisão, em função de L, g, θ e dos vetores unitários que se fizerem necessários; (b) a fração da energia cinética inicial que se mantém após a colisão.
(a) As esferas A e B são abandonadas de uma mesma altura inicial, portanto, terão no momento da
colisão a mesma velocidade inicial (módulo). Pela Conservação da Energia Mecânica:
( )
( )( ) )(cos12
)(cos12
:
cos122
2
1 2
igLv
eigLv
Assim
gLgHv
mgHmv
Bi
Ai
)r
)v
θ
θ
θ
−−=
−=
−==
=
)cos1(3
1)cos1(2.
9
1.3
2
1)(
2
1
)cos1(3)cos1(2.22
1)cos1(2
2
1
2
1
2
1
2
22
θθ
θθθ
−=−=+=
−=−+−=+=
mgLgLmvmmK
mgLgLmgLmvmvmK
fBADepois
BiBAiAAntes
9
1
3
3/1==
Antes
Depois
K
K
+y
+x
θ θ L L
B A
H H = L – L(cosθ) H = L(1 – cosθ)
Pela conservação do momento linear (colisão
perfeitamente inelástica):
)()cos1(23
1)cos1(2
3
1
3)cos1(22)cos1(2.
)(..
igLigLv
vmigLmigLm
vmmvmvm
f
f
fBABiBAiA
))r
r))
rrr
−−=−−=
=−−−
+=+
θθ
θθ
(b)
8. A carreta A é empurrada com uma velocidade de módulo 5v0 em direção à carreta B que inicialmente está em repouso. Após a colisão, A recua com velocidade v0, enquanto que B move-se para a direita com velocidade de 3v0. Num segundo experimento, A é carregada com uma massa M e empurrada contra B (em repouso) com velocidade de 5v0. Após a colisão, A permanece em repouso, enquanto que B move-se para a direita com velocidade de 5v0. Determine a massa de cada carreta, em função de M.
A B A B
M
mB mA mB
Am′
1° Experimento
)1(2
36
3.)(5.
00
000
AB
BA
BAA
BfBAfAAiA
depoisantes
mm
vmvm
vmvmvm
vmvmvm
PP
=
=
+−=
+=
=
2° Experimento
)2(
5.5).( 00
Mmm
vmvMm
vmvmvm
PP
AB
BA
BfBAfAAiA
depoisantes
+=
=+
+′=′
=
Substituindo (1) em (2):
Mm
Mmm
A
AA
=
+=2
e, MmB 2=
9. Os discos A (massa m e velocidade de módulo 3 v), B (massa 1,5 m e velocidade de módulo v) e C (massa 2,5 m) se aproximam da origem deslizando sobre uma mesa de ar sem atrito. Todos os discos atingem a origem no mesmo instante. (a) Determine o vetor velocidade inicial do disco C (em função de v) para que os três discos unidos se desloquem com velocidade de módulo v no sentido positivo do eixo x após a colisão. (b) Determine a variação de energia cinética do sistema constituído pelos três discos (em função de m e v) ocasionada pela colisão.
θ
+ y
+ x
A
B
C
O
senθ = 0,80 e cosθ = 0,60
Dados:
Antes da colisão
)()(2
5
)(8,0)(6,0
)(sen)(cos2
3
)(3
jvivvmm
jvivv
jvivvmm
ivvmm
yCxCiCC
iB
iBB
iAA
))r
))r
))r
)r
+==
−−=
−−==
−==
θθ
Depois da colisão
)(ivvvvv ffCfBfA
)rrrr====
(a) Considerando o sistema constituído pelos discos A, B e C, durante a colisão o ∑ externasFr
é
nulo, de tal forma que o momento linear do sistema é conservado.
)(48,0)(56,3
48,056,3)(2,1)(9,8)]()([2
5
)(5)]()([2
5)(2,1)(9,0)(3
)(5)]()([2
5)](8,0)(6,0[
2
3)](3[
)(
jvivv
vvevvjvivjviv
ivjvivjviviv
imvjvivmjvivmivm
vmmmvmvmvm
PP
iC
yCxCyCxC
yCxC
yCxC
fCBAiCCiBBiAA
DepoisAntes
))r
))))
))))))
))))))
rrrr
rr
+=
==⇒+=+
=++−−−
=++−−+−
++=++
=
(b) A energia cinética inicial do sistema é:
22222 75,21])48,0()56,3[(2
5
2
1
2
3
2
1)3(
2
1mvvvmvmvmK i =+
+
+=
A energia cinética do sistema após a colisão é:
22 5,2)(52
1mvvmK i ==
A variação de energia cinética, portanto será: 222 25,1975,215,2 mvmvmvK −=−=∆
10. Um objeto de massa M desloca-se horizontalmente para a direita sobre uma superfície sem atrito, com uma velocidade v0 (em relação à Terra). Num determinado instante o
objeto explode em dois fragmentos de massas iguais. Devido a explosão o fragmento 1 adquire uma velocidade relativa ao fragmento 2 para a direita de módulo 2v0. Determine, em função das grandezas M e v0 que se fizerem necessárias, (a) a velocidade do fragmento 2 em relação à Terra e (b) o acréscimo de energia ao sistema devido a explosão.
a) Inicialmente, o objeto desloca-se
horizontalmente, para a direita, com
velocidade 0v em relação à Terra.
O momento linear inicial do
mesmo, em relação à Terra é:
0MvPinicial =
Na explosão, 0).( ==∑dt
dPF xext .
De tal forma que o momento linear do
sistema constituído pelos dois
fragmentos, em relação à Terra,
permanece o mesmo de antes da
explosão.
0
222
2
2)(
2
,2
0,20
0,2,22,1
0,2,22,1
0,22,11
=
=+
=++
=++
=+
=
T
T
TT
TT
TT
inicialfinal
v
vvv
vvvv
MvvM
vvM
Mvvmvm
PP
b) A energia cinética inicial é:
2
02
1MvK Antes =
Após a explosão a energia cinética dos
fragmentos passa a ser:
2
0
2
0
2
2,1
2
,22,1
2
,1
)2(4
)(4
)(4
22
1
MvK
vM
K
vM
K
vvM
K
vM
K
Depois
Depois
Depois
TDepois
TDepois
=
=
=
+=
=
A variação de energia cinética do
sistema é:
2
0
2
0
2
02
1
2
1MvMvMvK =−=∆
Assim a energia cinética acrescida
ao sistema na explosão é:
2
02
1MvK acrescida =
1 2 M 0vr
x(+)
11. Um projétil de massa m que se desloca em direção horizontal com velocidade vi, atinge um bloco de madeira de massa M, inicialmente em repouso sobre uma superfície
horizontal. O projétil após atravessar o bloco tem sua velocidade reduzida para 2
iv . O
bloco desliza uma distância d sobre a superfície, a partir de sua posição inicial, até retornar novamente ao repouso. Determine (a) o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a superfície e (b) a energia cinética perdida durante a colisão.
a. Para se determinar o coeficiente de atrito
cinético entre o bloco e a superfície
precisamos, primeiramente, determinar a
velocidade do bloco imediatamente após a
colisão. Pela conservação do momento linear
do sistema projétil-bloco temos:
i
i
ii
i
i
DepoisAntes
vM
mv
mvvM
vMmvmv
vMv
mmv
PP
2
2
22
2
=′
=′
′+=
′+=
=
Durante o movimento do bloco a única força
que realiza trabalho sobre o mesmo é a força
de atrito cinético, assim:
2
c
2
c
2
c
8
1µ
22
1µ
2
10µ
=
=
′−=−
∆=
i
i
f
vM
m
gd
vM
mgd
vMMgd
KWc
b. A energia cinética antes da colisão é:
2
2
1iAntes mvK =
Imediatamente depois da colisão a energia
cinética do sistema é:
+=
+=
′+
=
M
MmmvK
vM
mMmvK
vMv
mK
iDepois
iiDepois
i
Depois
2
2
2
2
2
8
1
22
1
8
1
2
1
22
1
A variação de energia cinética do sistema projétil-
bloco foi de:
−−=∆
−=∆
−+=∆
−+
=∆
−
+=∆
M
mMmvK
M
MmmvK
M
MMmmvK
M
MmmvK
mvM
MmmvK
i
i
i
i
ii
8
3
8
3
4
8
1
48
1
2
1
8
1
2
2
2
2
22
ivr
d
v = 0 v ′r
Imediatamente antes
v ′r
2ivr
Imediatamente depois
12. Um objeto de massa m1 = 2M desloca-se horizontalmente para a direita, sobre uma superfície sem atrito, com uma velocidade cujo módulo é 3v0 indo colidir com um objeto de massa m2 = M, inicialmente em repouso na mesma superfície. Após a colisão o bloco de massa m2 passa a se mover com velocidade de módulo 4v0. Determine em função das grandezas M e v0 que se fizerem necessárias:
(a) a velocidade do objeto 1 após a colisão, (b) e a força média (módulo, direção e sentido) exercida sobre o corpo de massa m1,
pelo corpo de massa m2 durante a colisão, sabendo que a mesma durou um tempo
∆t. (c) A colisão é perfeitamente elástica? Explique.
2M
m1 m2
03vr + x
M
Pela conservação do momento linear:
01
01
010
210
.22
4.26
203.2
vv
vMMv
vMMvMv
MvMvvM
PP
f
f
f
ff
DepoisAntes
=
=
+=
+=+
=
t
MvF
MvtF
vMMvtF
vmvmtF
PJ
if
∆
−=
−=∆
−=∆
−=∆
∆=
0
0
00
1111
11
4
4.
322.
.
Módulo:
t
MvF
∆= 04
Direção: Horizontal
Sentido: P/ a esquerda
A energia cinética antes da colisão é:
20
20 9)3(2
2
1MvvMK Antes ==
A energia cinética após a colisão é:
20
20
20
20
20 98)4(
2
1)(2
2
1MvMvMvvMvMKDepois =+=+=
Portanto, a colisão é perfeitamente elástica.
13. Um bloco de massa m1 = M movendo-se para a direita sobre uma superfície horizontal sem atrito, com velocidade de módulo v0 colide frontalmente com outro bloco de massa
desconhecida (m2), inicialmente em repouso. Após a colisão o bloco de massa m1 recua
com a velocidade reduzida para 2
0v e o bloco de massa desconhecida adquire uma
velocidade 2
0v . (a) Determine a massa m2 em função de M. (b) Verifique se a colisão foi
perfeitamente elástica.
a) Pela conservação do momento
linear:
Mm
vmMv
vm
vMMv
vm
vMMv
vmvmvmvm ffii
3
22
3
22
220
2
020
02
00
02
00
22112211
=
=
=+
+
−=+
+=+
b) Cálculo da energia cinética do sistema
m1 e m2, antes e após a colisão
20
20
20)(
2
0
2
0)(
222
211)(
20
222
211)(
2
1
8
3
8
1
23
2
1
22
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
MvMvMvE
vM
vME
vmvmE
MvvmvmE
DepoisC
DepoisC
ffDepoisC
iiAntesC
=+=
+
−=
+=
=+=
Uma vez que a EC(Antes) = EC(Depois), a
colisão é perfeitamente elástica.
m1 m2
0vr
2
0vr
− 2
0vr
m1 m2
14. Uma bala de massa m e velocidade v0 passa através de um bloco de massa M, de um pêndulo balístico cujo fio possui comprimento L, e emerge do bloco com a velocidade
reduzida para 2
0v . O módulo da aceleração da gravidade local vale g. (a) Determine a
velocidade do bloco, imediatamente após ser atravessado pela bala (em função de m, M e v0) e, (b) sabendo que o bloco, após ser atravessado pela bala subiu até a posição B, determine o valor de v0 (em função de m, M, L e g). Use caneta para a resposta.
a) Pela conservação do momento
linear:
0
0
00
00
22112211
2
2
1
2
20
vM
mv
vMmv
vMv
mmv
vMv
mmv
vmvmvmvm ffii
=′
′=
′=−
′+
=+
+=+
a) Após ser atravessado pela bala o
bloco adquire uma velocidade v’
que lhe permite subir até a
posição B. Pela conservação da
energia mecânica:
Lgm
MLg
m
Mv
m
MLgv
LgvM
m
MgLvM
mM
MgLvM
22
8
8
24
22
1
2
1
0
2
220
202
2
2
0
2
==
=
=
=
=′
L
20vr
0vr
L
B
NR
L
15. Um corpo A de massa M desloca-se para a direita com velocidade constante, de módulo 6v0 e faz uma colisão frontal, perfeitamente elástica, com um corpo B de massa 2M inicialmente em repouso. Determine o impulso exercido, devido a colisão, (a) sobre o corpo A e (b) sobre o corpo B. (Dados: M e v0).
16. Uma bola de borracha com massa m é liberada do repouso a uma altura h acima do solo.
Após o primeiro quique, ela sobe a 90% da sua altura original. Determine qual impulso (módulo, direção e sentido) o solo exerce sobre essa bola durante o seu primeiro quique. Expresse sua resposta em termos das variáveis m, g e h.
+ x
A B
06vr
Pela conservação do momento linear:
)1(62
26
26.
0
0
0
vvv
vvv
MvMvvM
vmvmvmvm
BfAf
BfAf
BfAf
BfBAfABiBAiA
=+
+=
+=
+=+
Uma vez que a colisão é elástica podemos usar o
fato de que ocorre inversão na velocidade
relativa após a colisão.
0
0
6
6
vvv
vvv
vvvv
BfAf
AfBf
AfBfBiAi
−=−
−=
−=−
Resolvendo o sistema de equações (1) e (2):
0
0
0
0
0
0
0
0
4
6
2
63
1222
62
)2(6
62
vv
vvv
vv
vv
vvv
vvv
vvv
vvv
Bf
AfBf
Af
Af
BfAf
BfAf
BfAf
BfAf
=
+=
−=
−=
−=−
=+
×−=−
=+
Assim, o impulso exercido sobre o corpo A é:
( ) ( )
0
00
8
62
MvJ
vvMvvMpJ
A
AiAfAA
−=
−−=−=∆=
Uma vez que, na colisão, o impulso total é
igual a zero:
08MvJJ AB =−=
Cálculo da velocidade antes da colisão com o solo (v1):
ghv
mvmgH
2
2
1
1
2
1
−=
=
Cálculo da velocidade após a colisão com o solo (v2):
ghv
hmgmv
80,1
90,02
1
2
2
2
+=
=
Cálculo do Impulso exercido pelo solo sobre a bola:
( )[ ]( )ghghmJ
ghghmJ
vvmJ
mvmvJ
pJ
280,1
)280,1
)( 12
12
+=
−−=
−=
−=
∆=
Direção: Vertical
Sentido: Para cima
h
1vr
2vr
0,90 h
v0 = 0
v = 0
+ y
17. Uma bala de massa m é disparada contra um bloco de madeira de massa M que se
encontra em repouso, na base de um plano inclinado de um ângulo θ. A bala fica
encravada no bloco e, o conjunto bala-bloco desliza uma distância L sobre o plano
inclinado até parar no ponto B. O coeficiente de atrito entre o bloco e o plano
inclinado vale 2
1 . O módulo da aceleração da gravidade local é g. Determine o
módulo da velocidade inicial do projétil (v0) em função de L e g.
54
53
=
=
θ
θ
cos
sen
Analisando a colisão
(perfeitamente inelástica)
entre a bala e o bloco:
)1()(
)(
0
0
f
f
DepoisAntes
vm
Mmv
vMmmv
PP
+=
+=
=
Após a colisão o conjunto bala-bloco adquire uma
velocidade vf e deslocará uma distância L até parar em B.
Pelo Teorema do Trabalho-Energia Cinética temos:
[ ]
( )
)2(2
25
4
2
1
5
32
cos2
2cos2
2
1cos
)(2
1)(cos)(
)(2
100)(.
2
2
2
2
2
2
Lgv
LgxLgv
senLgv
vLgsenLg
vgLsenLg
vMmgLsenMmLgMm
vMmghMmLf
EEW
EEW
EWW
EW
f
f
Cf
fC
fC
fC
fc
cPGf
cPGf
cPesof
cTotal
c
c
c
=
=
+=
+=
−=−
−=−
+−+=+−
+−+−+=−
∆+∆=
∆=∆−
∆=+
∆=
θµθ
θθµ
θθµ
θθµ
Substituindo (2) em (1):
Lgm
Mmv
vm
Mmv f
2)(
)(
0
0
+=
+=
m
θ
L
M
M
m
0vr
A
B
N.R.
h = Lsenθ
18. Uma esfera de aço de massa M e uma corda de massa desprezível de 2m de comprimento formam um pêndulo simples que oscila sem atrito em torno do ponto O, conforme mostrado na figura abaixo. Esse pêndulo é solto a partir do repouso na posição horizontal, e quando a esfera atinge sua posição mais baixa ela sofre uma colisão perfeitamente elástica com um bloco, também de massa M, que se encontra em repouso sobre uma superfície horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a superfície horizontal vale 0,10. Considere g = 10m/s2. Determine:
(a) A velocidade do bloco imediatamente após a colisão.
(b) A distância percorrida pelo bloco até que ele atinja novamente o repouso.
(a) Analisando o movimento da esfera antes da
colisão.
Pela conservação da energia mecânica:
smv
ghv
mvmgh
i
i
i
/32,6
2.10.22
2
1
1
1
2
1
=
==
=
Uma vez que a colisão é perfeitamente elástica:
)1(211
211
221111
ffi
ffi
ffi
DepoisAntes
vvv
MvMvMv
vmvmvm
PP
+=
+=
+=
=
Pela inversão da velocidade relativa:
)2(121
1221
ffi
ffii
vvv
vvvv
−=
−=−
Igualando (1) e (2):
0
02
1
1
1221
=
=
−=+
f
f
ffff
v
v
vvvv
Substituindo em (1):
smvv
vvv
if
ffi
/32,612
211
==
+=
m1 = M
m2 = M
(b) Analisando o movimento do
bloco após a colisão:
md
d
g
vd
vmgdm
vmW
EW
c
f
fc
ff
cf
c
c
20
10.10,0.2
40
2
2
1
2
1
2
2
2
222
2
22
=
=
=
−=−
−=
∆=
µ
µ
19. Um vagão de estrada de ferro (A) , de massa 2M, está freado no topo de uma ladeira, a
uma altura H1 em relação ao solo. Quando ele é solto, rola pela ladeira e se engata com um outro vagão (B), de massa M, que está parado, livre, na base da ladeira. Os dois, engatados, sobem até a altura H. Determine (a) a altura H e (b) a energia mecânica perdida na colisão.
a. Cálculo da velocidade de A imediatamente
antes da colisão
Durante a descida de A, a única força que realiza
trabalho é a força gravitacional, assim:
1
2
1
2
22
12
gHv
MvMgH
EE
Ai
Ai
finalinicial
=
=
=
Pela Lei de Conservação do Momento Linear:
123
2
)2(2
gHv
vMMMv
PP
f
fAi
DepoisAntes
=
+=
=
Uma vez que, durante a subida dos vagões,
novamente, a única força que realiza trabalho é
a força gravitacional, temos:
1
1
2
9
4
29
4
2
1
332
1
HH
gHgH
MgHMv
EE
f
finalinicial
=
=
=
=
b. Considerando o nível de referência
(h = 0) na base da ladeira, a Energia Mecânica
inicial do sistema constituído pelos dois
vagões será:
12MgHEinicial =
E, a Energia Mecânica final do sistema
constituído pelos dois vagões será:
1
1
3
4
9
433
MgHE
HMgMgHE
final
final
=
==
Assim, a variação de energia mecânica do
sistema em virtude da colisão ocorrida será:
1
11
3
2
23
4
MgHE
MgHMgHE
−=∆
−=∆
A energia mecânica perdida na colisão é,
portanto:
13
2MgHEPerdida =
H1
H = ?
A
B
A colisão entre os vagões será perfeitamente
inelástica uma vez que os dois vagões
permanecerão engatados e, assim sendo,
terão a mesma velocidade após a colisão.
fBfAf vvv ==
NR (Ug = 0)
