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FÁBIO ECKE BISOGNO
TOPOLOGIAS PARA ILUMINAÇÃO FLUORESCENTE, UTILIZANDO CONVERSORES ELETRÕNICOS
INTEGRADOS EMPREGANDO COPARTILHAMENTO DE CHAVE SEMICONDUTORA
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO
U F S M SANTA MARIA, RS, BRASIL
2001
ii
TOPOLOGIAS PARA ILUMINAÇÃO FLUORESCENTE,
UTILIZANDO CONVERSORES ELETRÕNICOS INTEGRADOS
EMPREGANDO COPARTILHAMENTO DE CHAVE
SEMICONDUTORA
por
FÁBIO ECKE BISOGNO
Dissertação apresentada ao Curso de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica, da
Universidade Federal de Santa Maria (RS), como requisito parcial para a obtenção
do grau de MESTRE EM ENGENHARIA ELÉTRICA
Santa Maria, RS – Brasil
2001
iii
Saber é descobrir que nosso conhecimento
é muito pequeno.
iv
Aos meus pais, Roberto e Ledi,
pelo estímulo, amor e compreensão.
v
À minha noiva Jalusa, pelo amor amizade e
companheirismo.
vi
AGRADECIMENTOS
Ao Professor Ricardo Nederson do Prado pela orientação, estímulo e
amizade que dele recebi durante o transcorrer deste trabalho.
Aos professores Douglas Schirmer Schramm, Hélio Leães Hey e Hilton
Abilio Gründling pelos conhecimentos transmitidos durante o período de crédito.
Aos professores do NUPEDEE José Renes Pinheiro, Humberto Pinheiro,
Cesar e Alexandre Campos por valiosas contribuições.
Aos funcionários do NUPEDEE Anacleto, Carmem, Fernando e Saúl que
auxiliaram na realização muitos trabalhos. À funcionária da Pós-Graduação
Cleonice Oliveira, pelo apoio e suporte.
Aos engenheiros Mauro Cereta Moreira, Diego Santos Greff, Saul Azzolin
Bonaldo, Marcelo Freitas da Silva pela troca de conhecimentos..
Aos acadêmicos Allessandro Girardi, Álisson Ranieri Seidel, Daniel
Bernardon, Fábio Ecke Bisogno, Mário Jungbeck, Nívia Raquel Reinehr e Renan
Feltrin pelo companheirismo e troca de conhecimentos no decorrer do trabalho.
À Universidade Federal de Santa Maria e à CAPES pelo suporte
financeiro.
vii
SUMÁRIO
AGRADECIMENTOS .....................................................vi
SUMÁRIO .......................................................................vii
RESUMO..........................................................................xi
ABSTRACT.....................................................................xii
SIMBOLOGIA .............................................................. xiii
INTRODUÇÃO .................................................................1
Capítulo 1 ..............................................................2
1.1 INTRODUÇÃO ...................................................2
1.2 CARACTERÍSTICAS GERAIS DAS LÂMPADAS FLUORESCENTES........................2
1.2.1 Construção da Lâmpada................................2
1.2.2 Detalhes de Funcionamento..........................3
1.3 COMPONENTES E SUAS FUNÇÕES ..............4
1.4 CARACTERÍSTICAS ELÉTRICAS ..................4
1.4.1 Característica Estática...................................4
1.4.2 Característica Dinâmica ................................5
1.4.3 Características de Partida da Lâmpada .........5
1.4.4 Características de Operação da Lâmpada em Regime ...............................................................7
viii
1.5 MODELO DINÂMICO PARA LÂMPADAS FLUORESCENTES...............................................8
1.5.1 Desenvolvimento do Modelo Matemático....8
1.5.2 Desenvolvimento do Modelo para uma Lâmpada Fluorescente .....................................10
1.5.3 Resultados Experimentais e Simulações.....15
1.6 CONCLUSÃO ...................................................17
Capítulo 2 ............................................................19
2.1 INTRODUÇÃO .................................................19
2.2 FORMAS DE ONDA DOS CONVERSORES UTILIZADOS PARA A CORREÇÃO DO FATOR DE POTÊNCIA......................................21
2.3 FILTRO DE ENTRADA ...................................23
2.3.1 Cálculo para o Filtro de Entrada .................24
2.4 FORMAS DE ONDA DOS INVERSORES......27
2.4.1 Série de Fourier da Tensão do Conversor Half-Bridge ou do Conversor Push-Pull ..........28
2.4.2 Série de Fourier da Tensão do Conversor Full-Bridge .......................................................30
2.4.3 Comparativo da Composição Harmônicas da Tensão dos Conversores...................................32
2.5 EQUACIONAMENTO E CARACTEÍSTICA DOS FILTROS.....................................................33
2.5.1 Filtro LC Série ............................................34
2.5.2 Filtro L Série C Paralelo .............................49
2.5.3 Filtro C Série LC Paralelo...........................62
2.5.4 Filtro LC Série C Paralelo...........................81
2.5.5 Filtro LC Série L Paralelo...........................98
ix
2.5.6 Filtro L Série LC Paralelo.........................113
2.5.7 Filtro LC Série LC Paralelo ......................128
2.6 CONCLUSÃO .................................................153
Capítulo 3 ..........................................................156
3.1 INTRODUÇÃO ...............................................156
3.2 ESTRUTURA DOS REATORES ELETRÔNICOS ................................................157
3.2.1 Estágio de Entrada ....................................157
3.2.2 Estágio de Inversão ...................................170
3.2.3 Filtro de Saída ...........................................173
3.2.4 Lâmpada Fluorescente ..............................173
3.3 APRESENTAÇÃO DA TOPOLOGIA PROPOSTA .......................................................173
3.3.1 Princípios Operacionais ............................174
3.3.2 Equações Relevantes.................................176
3.3.3 Avaliação dos Esforços.............................181
3.3.4 Resultados de Simulação ..........................182
3.3.5 Resultados Experimentais .........................186
3.4 CONCLUSÃO .................................................191
Capítulo 4 ..........................................................193
4.1 INTRODUÇÃO ...............................................193
4.2 TOPOLOGIAS ESTUDADAS........................194
4.2.1 Reator Eletrônico Boost Half-bridge ........195
4.2.2 Reator Eletrônico Flyback Half-bridge.....199
4.2.3 Reator Eletrônico Boost Push-Pull ...........204
x
4.2.4 Reator Eletrônico Flyback Push-Pull........204
4.3 CONCLUSÃO .................................................209
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...........................211
xi
RESUMO
A operação de lâmpadas fluorescentes em alta freqüência traz muitas
vantagens, incluindo um aumento na eficiência luminosa, redução da potência de
entrada, redução da energia consumida devido à eficiência total do sistema
otimizada, pequeno tamanho e peso do sistema, iluminação livre de cintilação, e
uma integração mais fácil com funções avançadas, tais como controle de
intensidade luminosa e controles remotos. Os requisitos de projeto para um
sistema eletrônico para iluminação fluorescente com controle de intensidade
luminosa foram estudados, e podem ser divididos em duas partes. A primeira
delas diz respeito ao projeto do estágio de entrada, e a segunda diz respeito ao
projeto do estágio de saída. De particular importância no projeto do estágio de
entrada estão o fator de potência, distorção harmônica na linha e a geração de
EMI, enquanto que no estágio de saída, deve ser levado em conta principalmente
o fator de crista da corrente na lâmpada e a cintilação. Após estudo e comparação
entre três tipos comuns de reatores eletrônicos com controle de intensidade
luminosa, duas topologias são propostas, e com elas busca-se atender aos
seguintes requisitos: variação da luminosidade feita com a variação da freqüência
de chaveamento; alimentação em alta freqüência da lâmpada com um baixo fator
de crista para os mais diferentes níveis de intensidade luminosa; alto fator de
potência; operação com razão cíclica constante.
xii
ABSTRACT
The operation of a fluorescent lamp at high frequencies provides a number
of advantages, including an increase in the efficiency of luminous output,
reduction of input power, reduction of energy consumed due to the improved total
efficiency of the ballast, small size and light weight of ballast, flickerfree lighting,
and easier integration of advanced functions, such as dimming and remote control
systems. The design requirements for a solid-state ballast with dimming feature
were reviewed and can be divided into two sections. The first section is the design
of the power supply, and the second is the design of the output or inverter section.
With particular importance in the design of the power supply section of the ballast
are power factor, line harmonic distortion and EMI, while on the output section,
with particular importance in the design is the lamp current crest factor and
flicker. After study and compare three common types of electronic ballasts with
dimming feature, two topologies are proposed to meet the following requirements:
dimming feature made with the variation of the switching frequency; high
frequency supply of the lamp with a low crest factor on different dimming levels;
high power factor; constant duty-cycle operation.
xiii
SIMBOLOGIA
CAPÍTULO 1
V Tensão I Corrente F Função qualquer VL Tensão na lâmpada IL Corrente na lâmpada PL Potência na lâmpada AP Coeficiente da função tangente BP Coeficiente da função tangente V1 Tensão de nível pequeno I1 Corrente relacionada a V1
V2 Tensão de nível grande I2 Corrente relacionada a V2
n Número de medias experimentais ka Coeficiente angular da reta Kb Coeficiente constante da reta VS Fonte de entrada V1 Comando da chave M1 V2 Comando da chave M2 M1 Chave interruptora 1 M2 Chave interruptora 2 LS Indutor série do circuito ressonante CS Capacitor série do circuito ressonante CP Capacitor paralelo do circuito ressonante Freq Freqüência Pot Potência Méd Média R Resistência utilizada no circuito equivalente da
potência RL Resistência para a medição da corrente na
lâmpada Ra Resistência do circuito do ka Rb Resistência do circuito do kb EL Fonte de tensão dependente que representa a
lâmpada EA Fonte de tensão dependente responsável pelo
valor de ka EA Fonte de tensão dependente responsável pelo
xiv
valor de kb G Fonte de corrente dependente responsável pelo
valor da potência
CAPÍTULO 2
f(t) Função que descreve os conversores fFourier (t) Função f(t) decomposta em série de Fourier A Coeficientes dos cossenos da série de Fourier B Coeficientes dos senos da série de Fourier N Número da harmônica T Período t Tempo ω Freqüência angular VPP Tensão de pico a pico da saída dos conversores D Razão cíclica Vhb(t) Tensão do conversor half-bridge simétrico ou
push-pull Vhbm(t) Tensão do conversor half-bridge assimétrico Vfb(t) Tensão do conversor full-bridge GH Ganho das harmônicas CS Capacitor série CP Capacitor paralelo LS Indutor série LP Indutor paralelo R Resistência equivalente da lâmpada Rp Resistência equivalente da lâmpada na partida Z Impedância do circuito ZS Impedância equivalente série ZP Impedância equivalente paralela J Raiz quadrada de menos um (numero complexo) arg(Z) Argumento da impedância Y(ω) Parte imaginária da impedância X(ω) Parte real a impedância φ Ângulo de defasagem entre a corrente e a tensão
aplicada ao filtro I Corrente do filtro V Tensão Vac Tensão RMS da fundamental da tensão aplicada P Potência da lâmpada M Parte comum às expressões F Freqüência da onda dos conversores X(t) Matriz das variáveis de estado Y(t) Matriz das saídas VCs(t) Resposta da tensão no capacitor CS
VCp(t) Resposta da tensão no capacitor CP
xv
iLs(t) Resposta da corrente no indutor LS
iLp(t) Resposta da corrente no indutor LP
VR(t) Tensão na lâmpada iF(t) Corrente no filtro A Matriz (definição de variáveis de estado) B Matriz (definição de variáveis de estado) C Matriz (definição de variáveis de estado) D Matriz (definição de variáveis de estado) R Autovalores ξ(r) Autovetores associados a r ψ(t) Resposta homogênea XP(t) Resposta particular de X(t) Ka Coeficiente da resposta particular Kb Coeficiente da resposta particular VCsp(t) Resposta particular de VLs(t) VCpp(t) Resposta particular de VCp(t) iLsp(t) Resposta particular de iLs(t) iLpp(t) Resposta particular de iLp(t)
INTRODUÇÃO
O princípio das lâmpadas incandescentes já era conhecido muito antes
dele, mas foi Thomas Edison, em 1880, quem inventou um tipo prático de
lâmpada. Baseadas no princípio térmico, as lâmpadas incandescentes
continuaram a se desenvolver. Surgiram daí as lâmpadas incandescentes de
filamento espiralado (1913) e duplamente espiralado (1933).
Capítulo 1
ESTUDO DAS LÂMPADAS FLUORESCENTES
1.1 INTRODUÇÃO
O estudo de reatores eletrônicos para sistemas de iluminação fluorescente
não se restringe a um simples projeto de um conversor eletrônico de potência,
porque sua carga é diferente. A lâmpada fluorescente apresenta um
comportamento não linear que depende de diversos fatores, tanto de
características físicas de construção da lâmpada quanto a característica elétricas de
funcionamento.
Este capítulo apresenta uma breve abordagem dos aspectos físicos de
construção da lâmpada, para mostrar o seu funcionamento, no entanto aborda-se
principalmente as características elétricas e é apresentado um modelo para ser
empregado em programas de simulação.
1.2 CARACTERÍSTICAS GERAIS DAS LÂMPADAS
FLUORESCENTES
1.2.1 Construção da Lâmpada
As lâmpadas fluorescentes tubulares de descarga a vapor de mercúrio de
baixa pressão, comumente chamada lâmpadas fluorescentes possuem dois tipos
3
quanto ao emissor, que são:
Catodo quente: caracterizada pela emissão termiônica;
Catodo frio: caracterizada pela emissão através do efeito de campo
elétrico.
As Lâmpadas fluorescentes tubulares quanto a forma podem ser: retas, em
U ou circular.
A lâmpada é constituída por um tubo de vidro, suportado em suas
extremidades pelo conjunto coletor-emissor de elétrons. No interior do tubo
contém vapor de mercúrio a baixa pressão e uma mistura de gases inertes. As
lâmpadas do tipo catodo quente, são compostas por um filamento de tungstênio
em forma espiral e revestido com um óxido (de bário, estrôncio, cálcio) e
pequenas hastes metálicas. As paredes internas do tubo são revestidas com um pó,
conhecido com “fósforo”, que é um composto orgânico.
1.2.2 Detalhes de Funcionamento
A ignição da descarga acontece quando um gradiente de potencial elevado
é aplicado entre as extremidades da lâmpada. A descarga passa a ser auto-
sustentada quando o processo de geração de íons e elétrons independe dos elétrons
e íons contidos no gás antes do processo. Os elétrons são acelerados em direção ao
anodo e se chocam com átomos, excitando-os ou até ionizando-os. Ocorre
emissão de radiação pelas transições entre estados de maior energia para níveis
mais estáveis dos átomos de mercúrio, devido aos choques entre átomos. A
radiação emitida é definida pelo termo ressonante, sendo que o mercúrio apresenta
duas linhas ressonantes com comprimento de onda de 253,7nm e 184,9nm
(radiação ultravioleta). A radiação ultravioleta emitida pela coluna de descarga é
transformada em luz visível através da absorção pelo revestimento de fósforo.
4
1.3 COMPONENTES E SUAS FUNÇÕES
Tubo de vidro: sustentação mecânica e contensão do gás;
Conjunto coletor emissor: coletar e emitir elétrons;
Vapor de mercúrio: emitir radiação ultravioleta;
Gás inerte: Diminuir o livre caminho médio, não deixando os átomos de
mercúrio atingirem a outra extremidade sem ocorrer nenhuma colisão;
Filamentos: Aquecer o a lâmpada, aumentando o número o número de
íons elétrons;
Hastes metálicas: impedir o rápido enegrecimento das extremidades da
lâmpada;
Fósforo: Transformar a radiação ultravioleta em luz visível.
1.4 CARACTERÍSTICAS ELÉTRICAS
O comportamento elétrico da lâmpada pode ser analisado através das
curvas de tensão corrente (V x I) que podem ser divididas em estáticas e
dinâmicas.
1.4.1 Característica Estática
A característica estática representa o comportamento da lâmpada quando é
alimentada em baixa freqüência, que possuem constantes de tempo lentas o que
possibilita a lâmpada assegurar uma condição de equilíbrio.
A lâmpada quando é alimentada em 60Hz repete o processo de ignição 120
vezes por segundo, toda a vez que a tensão da rede fica inferior ao valor de arco a
5
descarga cessa.
1.4.2 Característica Dinâmica
A característica dinâmica é caracterizada quando a coluna de descarga não
chega a alcançar uma condição de equilíbrio estático. Freqüências relativamente
elevadas são necessárias para se estabelecer um estado de equilíbrio intermediário
de forma que as flutuações durante o ciclo sejam insignificantes. A resistência
efetiva da lâmpada depende do estado de ionização do gás, o que torna a mesma
não só relacionada com a corrente que circula instantaneamente, mas também com
a corrente no instante imediatamente anterior.
A característica dinâmica, ao contrário da estática, não é uma propriedade
intrínseca do tubo, mas também da forma de onda aplicada, sendo que uma
lâmpada de descarga não possui apenas uma característica dinâmica, mas um
número infinito delas.
1.4.3 Características de Partida da Lâmpada
Contrário a crença popular a partida da lâmpada não tem uma muito
grande energia na partida. O laboratório de engenharia naval civil do Estados
Unidos tem demonstrado que embora a corrente de partida é cinco vezes maior
para a partir uma lâmpada fluorescente que em regime permanente, isto só
permanece durante apenas meio ciclo da rede (1/120s). A energia extra
consumida, portanto é desprezível para a análise econômica [7].
A característica de partida da lâmpada é um dos principais fatores que
influenciam no tempo de vida útil da lâmpada, por isso deve-se definir a aplicação
da lâmpada fluorescente e escolher o tipo de partida mais adequada.
A partida da lâmpada de depende da temperatura, sendo que a temperatura
dos eletrodos abaixo de 700º C ou acima de 1000º C pode reduzir o tempo de vida
6
da lâmpada pelo aumento da taxa de perda da cobertura emissiva dos eletrodos
[16].
Os reatores devem possuir uma partida adequada e operar a lâmpada sob
uma relativa largura de variação de condições de uso. Os reatores quanto a parida
são basicamente divididos em três classes: partida rápida, partida com pré-
aquecimento e partida instantânea.
1.4.3.1 Partida Rápida:
Os reatores com partida rápida possuem tensão separada de aquecimento
dos eletrodos com enrolamentos integrando o projeto, na qual os eletrodos da
lâmpada são aquecidos durante a partida e permanecem em regime permanente.
1.4.3.2 Partida com Pré-aquecimento:
Os reatores com partida rápida possuem aquecimento dos eletrodos
durante o processo de partida, mas não possui em regime permanente.
1.4.3.3 Partida instantânea:
Os reatores com partida instantânea ao contrário do outros dois não
possuem aquecimento dos eletrodos da lâmpada, tanto na partida quanto em
regime. A partida neste depende exclusivamente de uma tensão elevada sobre os
eletrodos [11].
A Figura 1.1 mostra uma situação ideal de operação de um sistema
eletrônico no que diz respeito à partida da lâmpada. Na figura, observa-se que
limitando a tensão de circuito aberto durante os primeiros 500 ms, a mistura
gasosa poderá ser aquecida pela aplicação de uma tensão nos eletrodos. Como não
há corrente circulando pela lâmpada (pelo plasma), não haverá crepitação nos
eletrodos. Após aproximadamente 500 ms de pré-aquecimento dos eletrodos, a
mistura gasosa estará na temperatura ideal para a partida e então a tensão de
7
circuito aberto poderá ser aplicada. Assim, a seqüência de partida estará completa.
A fim de se maximizar a eficiência do sistema, a tensão de pré-
aquecimento dos filamentos poderá ser retirada após a seqüência de partida estar
completada. Isto poderá ser feito após aproximadamente 1,1 s, pois neste
momento a mistura gasosa estará estabilizada [14].
A diferença existente entre a operação em 60 Hz e alta freqüência é com
respeito à proximidade da lâmpada com a luminária. Esta diferença não deverá ser
maior que 1/8” (3 mm) em alta freqüência porque o acoplamento capacitivo entre
a lâmpada e a luminária com a freqüência e poderá aumentar a corrente que
circula entre a lâmpada e a luminária. Quanto menor a distância da lâmpada em
relação a luminária, maior a confiável será a partida. Normalmente é usado de ½ “
(12 mm) ou menor para uma maior confiabilidade na partida [14].
Figura 1.1 – Tensões e correntes na lâmpada em um sistema ideal com partida com pré-aquecimento.
1.4.4 Características de Operação da Lâmpada em Regime
A elevação da corrente aumenta a probabilidade de extinção múltipla o
que reduz a eficiência da emissão de radiação ressonante. Para correntes muito
baixas a eficiência cai devido à redução excessiva da pressão de vapor de
mercúrio. A forma de onda da corrente tem influência sobre a eficiência da
8
lâmpada e a vida útil da lâmpada. O fator de crista (relação entre o valor de pico e
o valor eficaz) elevado reduz a eficiência e a danifica a lâmpada. A envoltória da
tensão da lâmpada não pode possuir uma ondulação muito grande, o que pode
causar cintilação na lâmpada. A medida desta ondulação aparece no fator de crista
da onda.
1.5 MODELO DINÂMICO PARA LÂMPADAS
FLUORESCENTES
Durante o estágio preliminar de projeto de reatores eletrônicos de alta
freqüência, modelos de lâmpadas são necessários para possibilitar as simulações
em computadores, desta forma é necessário desenvolver modelos que permitem
predizer as características elétricas das lâmpadas fluorescentes.
Esta seção apresenta um modelo matemático para lâmpadas fluorescentes
baseados em métodos regressivos empregando uma aproximação a função
tangente. Esta aproximação permite uma maneira fácil para determinar os
parâmetros do modelo por dados experimentais para várias potências e
freqüências. A simplicidade do modelo reduz erros de convergência e torna mais
fáceis as simulações.
1.5.1 Desenvolvimento do Modelo Matemático
Muitas das análises de projetos de reatores eletrônicos representam a
lâmpada pelo modelo resistivo [8] [19] e não incluem a característica não linear da
lâmpada fluorescente. A não inclusão da característica não linear da lâmpada pode
deixar as simulações mais simples, porem não esta avaliando o comportamento
real da lâmpada e pode ter um grande efeito na escolha dos componentes. A
desvantagem principal em aproximar a lâmpada a um resistor é que a lâmpada,
como um dispositivo de descarga de baixa pressão, possui uma característica
9
complexa da curva VxI, na qual são diferentes de um resistor, onde quando a
potência da lâmpada é alta, a resistência da coluna de descarga é baixa, porque o
gás da lâmpada esta altamente ionizado (quente) e quando a potência na lâmpada
é baixa, a resistência da coluna de descarga é alta, porque o gás da lâmpada esta
pouco ionizado (frio) [17]. A lâmpada quando está em equilíbrio térmico tem uma
constante de queda de tensão. A principal diferença entre a lâmpada de descarga e
a resistência negativa é que a constante de tempo da resistência negativa é da
ordem de segundos e a constante de tempo da lâmpada é da ordem de
milisegundos [21].
O modelo apresentado usa a característica dinâmica da lâmpada através de
uma função F, que faz a relação entre a tensão da Lâmpada VL com a corrente IL e
a potência PL
( )LLL P,IFV = (1.1)
A Figura 1.2 mostra o comportamento dinâmico das lâmpadas
fluorescentes representados nas curvas V x I.
Figura 1.2 – Característica dinâmica das lâmpadas fluorescentes.
A visualização da Figura 1.2 inspira o uso de uma função tangente para
aproximar a forma da característica de alta freqüência da lâmpada. Neste caso a
função F em (1.1) tem a seguinte forma:
10
( ) ( ) ( )
⋅=
LP
LLPLLL PB
ItanPAP,IV (1.2)
Onde AP(PL) e BP(PL) são funções da potência que apresenta a lâmpada em
regime permanente. Para determinar AP(PL) e BP(PL) deve ser obtidos dados
experimentais para várias potências, onde V1 e I1 são a tensão e a corrente na
lâmpada para baixa tensão e V2 e I2 são para valor alto de tensão. A solução do
sistema é desenvolvida por métodos numéricos.
⋅=
⋅=
P
2P2
P
1P1
B
ItanAV
B
ItanAV
(1.3)
Devido ao valor de AP(PL) ter uma pequena variação, foi usado o valor
médio dos AP(PL), o que torna útil para evitar erros de convergência. AP(PL) é
definido por
( )n
)P(APA
n
1iLP
LP
∑==
(1.4)
Onde n é o número de medidas experimentais de AP.
Para obter a curva que determina BP(PL) usa-se a regressão linear
kbPka)P(A LLP +⋅= (1.5)
Onde ka é a inclinação da reta e kb é o ponto de interceptação entre BP(PL)
e o eixo y.
1.5.2 Desenvolvimento do Modelo para uma Lâmpada Fluorescente
Os dados experimentais foram obtidos através de um reator utilizando o
conversor half-bridge para várias potências e freqüências, mostrado na Figura 1.3.
11
Figura 1.3 – Protótipo utilizado para o ensaio da lâmpada fluorescente
As Figura 1.4, Figura 1.5, Figura 1.6, Figura 1.7 e Figura 1.8 mostram os
resultados experimentais das curas V x I da lâmpada ensaiada, para as várias
freqüências.
Figura 1.4 – Resultado experimental da curva V x I com a freqüência de operação de 20 kHz
12
Figura 1.5 – Resultado experimental da curva V x I com a freqüência de operação de 30 kHz
Figura 1.6 – Resultado experimental da curva V x I com a freqüência de operação de 40 kHz
Figura 1.7 – Resultado experimental da curva V x I com a freqüência de operação de 50 kHz
13
Figura 1.8 – Resultado experimental da curva V x I com a freqüência de operação de 60 kHz
A Tabela 1 é construída pela resolução do sistema (1.3) para cada
resultado experimental, ensaiando uma lâmpada do tipo Maxlite F40W T10DL.
Tabela 1 –Resultados de AP e BP para várias potências e feqüências.
Freq 20 kHz 30 kHz 40 kHz 50 kHz 60 kHz Média
Pot AP BP AP BP AP BP AP BP AP BP AP BP
2,5 W 110,75 0,0273 135,94 0,0314 222,38 0,0471 78,63 0,0181 74,82 0,0198 124,50 0,0288
5 W 59,60 0,0387 64,02 0,0440 75,19 0,0462 69,54 0,0450 98,61 0,0552 73,39 0,0458
10 W 52,92 0,0769 53,26 0,0821 62,66 0,0842 54,67 0,0829 73,82 0,0892 59,47 0,0831
20 W 63,95 0,1894 65,47 0,1877 71,45 0,2005 69,91 0,1976 69,61 0,1968 68,08 0,1944
30 W 73,73 0,3412 81,29 0,3863 69,19 0,3406 72,25 0,3391 78,10 0,3553 74,91 0,3525
40 W 87,89 0,6032 90,94 0,5971 82,76 0,5803 83,92 0,5744 92,42 0,6257 87,59 0,5962
Méd 74,81 81,82 97,27 71,49 81,23 81,32
A Figura 1.9 mostra a variação dos valores do coeficiente AP em função da
potência da lâmpada e a função utilizada.
14
Figura 1.9 – Gráfico dos valores de AP em função da potência e a média adotada.
Na Figura 1.10 são mostrados os valores de BP em função da potência da
lâmpada e a aproximação linear
Figura 1.10 – Gráfico dos valores de BP em função da potência e a aproximação linear adotada.
Pelos cálculos, AP e BP são expressos por
81)P(A LP = (1.6)
0448,0P0146,0)P(B LLP −⋅= (1.7)
Para maior simplicidade, o valor constante é desprezado e (1.7) torna-se
LLP P0146,0)P(B ⋅= (1.8)
A Figura 1.11 mostra a característica calculada pelo modelo, na qual pode
15
ser comparada aos resultados experimentais mostrados nas Figura 1.4, Figura 1.5,
Figura 1.6, Figura 1.7 e Figura 1.8.
Figura 1.11 – Característica do modelo da lâmpada.
1.5.3 Resultados Experimentais e Simulações
A Figura 1.12 mostra o circuito do modelo da lâmpada usado para a
simulação.
Figura 1.12 – Circuito do modelo da lâmpada
Onde as fontes são definidas por
⋅+=
)4(V
)2,1(Vtan)3(V)2,1(VE L (1.9)
16
1)1(V)2,1(VG +⋅= (1.10)
32,81EA = (1.11)
)5(V0146,0EB ⋅= (1.12)
Soma-se um na fonte G porque ela deve possuir um valor maior que zero
para evitar erros de convergência. Os componentes do modelo possuem os
seguintes valores: C=2 mF, R=1, Ra=1 e Rb=1.
O protótipo implementado em laboratório e o circuito utilizado na
simulação é mostrado na Figura 1.3, com os seguintes componentes:
- Fonte: VS – 311 V dc;
V1 e V2 – comando para freqüência de 50 kHz e razão
cíclica 0,5.
- Chaves: M1 e M2 – IRF840.
- Filtro: LS – 1,08 mH;
CS – 147 nF;
CP – 8,2 nF.
A Figura 1.13 mostra a forma de onda experimental da tensão e da
corrente na lâmpada em regime permanente e na Figura 1.14 é mostrada a forma
de onda da tensão e da corrente em regime permanente obtido em simulação, que
comprova a eficácia do modelo.
17
Figura 1.13 – Forma de onda experimental da tensão e corrente na lâmpada (50 V/div; 500 mA/div; 12,5 µs/div).
Figura 1.14 – Forma de onda da tensão e corrente na lâmpada obtido pela simulação (50 V/div; 500 mA/div; 12,5 µs/div).
1.6 CONCLUSÃO
Este capítulo apresenta algumas características principais de construção e
funcionamento da lâmpada fluorescente, o que é necessário para o projetista
entender a sua carga. A característica elétrica de funcionamento da lâmpada é o
elo de ligação entre a lâmpada e o reator, portanto o conhecimento desta
características informam as necessidades da lâmpada e as obrigações do reator
com a carga.
18
Um modelo para lâmpadas fluorescente é apresentado, o que contribui
com ferramenta útil para o projeto de reatores eletrônicos para lâmpadas
fluorescentes. Os resultados experimentais comprovam que a variação das
características da lâmpada em alta freqüência é desprezível. O modelo baseado na
aproximação tangente permite através de uma maneira simples determinar os
parâmetros do modelo por dados experimentais. A simplicidade do modelo reduz
os erros de convergência e torna as simulações mais fáceis e rápidas.
Capítulo 2
ESTUDO DOS FILTROS DE ALTA FREQÜÊNCIA
2.1 INTRODUÇÃO
O filtro de entrada em reatores eletrônicos com correção do fator de
potência representa uma parte considerável. A correção do fator de potência é
muitas vezes feita por conversores chaveados que corrigem a defasagem da
corrente em relação à tensão da fonte, mas esta acrescenta harmônicas que
reduzem o fator de potência através da taxa de distorção harmônica [6],[20]. O
filtro de entrada tem o objetivo de eliminar as harmônicas geradas pelo conversor
sem modificar o comportamento da freqüência da rede.
Este capítulo abordara também os filtros de saída, na qual é mostrada uma
análise harmônica das formas de onda aplicadas ao filtro. Os filtros ressonantes
são estudados através do ângulo de defasagem entre a corrente e a tensão de
entrada, onde são analisadas algumas possibilidades de filtros existentes [4].
As lâmpadas fluorescentes possuem características específicas de
comportamento, o que difere das cargas tradicionais dos conversores eletrônicos
de potência. As lâmpadas fluorescentes possuem sua impedância dependente da
temperatura, o que define os níveis de ionização do gás. A partida da lâmpada
requer uma tensão elevada para sua partida, necessária para que circule corrente
pela mesma, sendo que a lâmpada fria possui uma impedância elevada, condição
que possui quando esta apagada. A lâmpada quando esta em regime permanente
esta com uma temperatura maior que quando esta apagada, possuindo uma
20
impedância menor. O regime permanente precisa de algum dispositivo para a
estabilização da corrente na lâmpada. Para suprir estas necessidades é empregado
o filtro, que através de um projeto adequado podem resolver todos estes
problemas.
Neste capítulo, serão estudadas as formas de onda dos inversores mais
empregados em reatores eletrônicos, porque estas fornecem tensão aos filtros de
saída. Este estudo utilizará séries de Fourier, podendo deste modo analisar o
conteúdo harmônico das mesmas[3],[5],[6] e [22].
As topologias de reatores eletrônicos empregam filtros na saída de seus
conversores, com o objetivo de adequar a forma de onda fornecida pelos
conversores de potência às necessidades de funcionamento da lâmpada. As saídas
dos reatores são designadas para apropriar a operação de partida e de regime
permanente. Um reator convencional para a alimentação de uma lâmpada
fluorescente de 40 W, deve ser analisado as seguintes condições: tensão de
circuito aberto, cintilamento, característica de partida da lâmpada, fator de crista
da corrente da lâmpada [1].
Será apresentado um método de projeto para os vários filtros, na qual
considera as condições de partida da lâmpada [22], regime permanente e as perdas
nas chaves interruptoras [29]. Este método de projeto é baseado no ângulo de
defasagem da fundamental da corrente em relação a fundamental da forma de
onda da tensão aplicada.
O funcionamento dos filtros será abordado utilizando variáveis de estado
no domínio do tempo, o qual permite visualizar as forma de onda, explicar o seu
funcionamento e analisar seu desempenho [23].
21
2.2 FORMAS DE ONDA DOS CONVERSORES UTILIZADOS
PARA A CORREÇÃO DO FATOR DE POTÊNCIA
O fator de potência é função do ângulo de fase e da distorção harmônica
total, por este motivo os conversores eletrônicos para iluminação fluorescente
devem cuidar destes fatores. Os conversores utilizados para a correção do fator de
potência são: boost, flyback e back-boost, operando no modo de condução
descontínuo. Estes conversores utilizam altas freqüências de chaveamento que
produzem uma distorção harmônica na corrente de entrada, o que reduz o fator de
potência e interferem em outros equipamentos que estão ligados na mesma rede
ou na condução pelas linhas poderão se irradiar pelo espaço, onde interferirão em
sinais de comunicação.
As formas de onda geradas pelos conversores boost, back-boost e flyback
são mostradas na Figura 2.1 (a) e (b).
Figura 2.1 - Formas de onda dos inversores geralmente empregados: (a) conversor boost; (b) conversor flyback ou back-boost.
As duas formas de onda foram decompostas em série de Fourier pela
definição de série de Fourier dada por
⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅+=
∫∫
∑
⋅
⋅
∞
=
�2
0n
�2
0n
1nnn
0Fourier
������sen(nf(t)�
1b
������cos(nf(t)�
1a
T
t�nsenb
T
t�ncosa
2
a (t)f
(2.1)
22
Os coeficientes da forma de onda da Figura 2.1 (a) são dados por
( )
( )
( )
ωω⋅⋅ω−π⋅+ωω⋅⋅ω⋅
π=
ωω⋅⋅ω−π⋅+ωω⋅⋅ω⋅
π=
ωω−π⋅+ωω⋅
π=
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫
π π⋅
π
π π⋅
π
π π⋅
π
0
2
n
0
2
n
0
2
0
td)tnsen(t2td)tnsen(t1
b
td)tncos(t2td)tncos(t1
a
tdt2ttd1
a
(2.2)
Os coeficientes da forma de onda da Figura 2.1 (b) são dados por
ωω⋅⋅+ωω⋅⋅ω⋅
π=
ωω⋅⋅+ωω⋅⋅ω⋅
π=
ω+ωω⋅
π=
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫
π π⋅
π
π π⋅
π
π π⋅
π
0
2
n
0
2
n
0
2
0
td)tnsen(0td)tnsen(t1
b
td)tncos(0td)tncos(t1
a
td0ttd1
a
(2.3)
De posse dos coeficientes, constrói-se os gráficos das formas de onda por
série de Fourier nas Figura 2.2, a partir da equação
( ) ( )[ ]∑∞
=
ω⋅⋅+ω⋅⋅+=1n
nn0 tnsenbtncosa
2
ai(t) (2.4)
(a)
(b)
Figura 2.2 - Gráfico da função da forma de onda dos conversores em série de Fourier: (a) boost ou back-boost; (b) flyback.
O gráfico do espectro de freqüência (Figura 2.3) é construído a partir da
equação
23
21
21
2n
2n
nba
baGH
+
+= (2.5)
(a)
(b)
Figura 2.3 - Gráfico do espectro de freqüência da forma de onda dos conversores: (a) boost; (b) flyback ou back-boost.
Nos espectros de freqüência é mostrado que o conteúdo harmônico da
forma de onda da Figura 2.1 (a) é menor que o da forma de onda da Figura 2.1 (b).
O emprego do conversor boost, portanto é mais eficiente se for considerar quanto
ao seu conteúdo harmônico.
2.3 FILTRO DE ENTRADA
O filtro de entrada em reatores eletrônico tem o objetivo de eliminar as
harmônicas de alta freqüência geradas pelo chaveamento dos conversores. As
harmônicas de alta freqüência provocam a redução do fator de potência, porque
contribuem para que a onda de corrente da entrada possua um valor elevado da
taxa de distorção harmônica (THD) e estas harmônicas provocam interferência
eletromagnética (EMI).
Os reatores eletrônicos operam geralmente nas freqüências de 20 kH a 50
kH, o que na entrada geram harmônicas que podem ser irradiadas através da linha
e na saída podem ser irradiada pela lâmpada [17], o que podem interferir em
controle remotos [18]. Na entrada estas harmônicas podem ser eliminadas
utilizando um filtro EMI e na saída deve-se obter a forma de onda próxima a
senoidal, o que elimina harmônicas de ordem elevada.
24
Os filtros EMI não dissipativos mais comuns são os filtros π, T, L,
mostrados na Figura 2.4.
Figura 2.4 – Filtros EMI não dissipativos: (a) filtro π; (b) filtro T; (c) filtro L.
Os filtros não dissipativos podem ser empregados utilizando o
acoplamento do indutor (filtros com Z), como mostra a Figura 2.5, ou em cascata,
colocado em série os mesmos quantos forem necessários [24].
(a)
(b)
(c)
Figura 2.5 – Filtros EMI não dissipativos com indutores acoplados: (a) filtro π com Z; (b) filtro T com Z; (c) filtro L com Z.
Para a escolha do filtro EMI adequado deve-se analisar as impedâncias da
entrada e saída [30].
2.3.1 Cálculo para o Filtro de Entrada
A configuração do filtro de entrada foi escolhida pela sua simplicidade e
eficiência. O filtro utilizado é mostrado na Figura 2.6, na qual é composto de um
indutor em série com a fonte de entrada e um capacitor em paralelo com a saída.
25
Figura 2.6 – Filtro LC de entrada
O filtro LC possui característica passa baixa, onde a resistência Req
representa a resistência equivalente do estágio de entrada e Vac representa a fonte
de entrada deste estágio.
O ganho de tensão do filtro é obtido pela expressão:
j2
1
V
V),(G
c22
cac
in
⋅ω⋅ω⋅ξ⋅+ω−ω==ξω (2.6)
Onde:
feqc CR2
1
⋅⋅ω⋅=ξ (2.7)
ff
cCL
1
⋅=ω (2.8)
Pelas equações constrói-se o gráfico do ganho da tensão em função da
freqüência normalizada (ωnorm=ω/ωc) para diversos valores de ξ.
26
Figura 2.7 - Gráfico dos ganhos do filtro LC em função da freqüência normalizada.
O gráfico mostra a característica passa baixa do filtro, atenuando as
freqüências maiores que a freqüência de corte em –40dB por década. Para a
filtragem das freqüências geradas pelo chaveamento dos conversores, deve-se
escolher uma freqüência de corte abaixo da freqüência de chaveamento.
Figura 2.8 – Espectro de freqüência do filtro LC em função da freqüência normalizada.
Pelo gráfico da fase do filtro LC mostra que se deve trabalhar com ξ>0,7 e
freqüência de corte do filtro maior que 50 vezes a freqüência da rede, desta forma
o filtro pode atenuar as freqüências altas de chaveamento dos conversores e não
interferem na freqüência da rede.
27
A metodologia para o projeto do filtro LC, deve observar os seguintes
pontos:
A freqüência de corte do filtro LC deve estar situada abaixo da freqüência
de chaveamento mínima, a fim de se atenuar todas as componentes de alta
freqüência;
A freqüência de corte deve ser bem maior que a freqüência da rede a fim
de se evitar deslocamento de fase entre a tensão e a corrente de entrada;
Escolher ξ>0,7 para evitar oscilações em altas freqüências e deslocamento
de fase em baixas freqüências.
2.4 FORMAS DE ONDA DOS INVERSORES
O filtro de saída em reatores eletrônicos é empregado para adequar a forma
de onda gerada pelo inversor às necessidades da lâmpada. Os reatores eletrônicos
geralmente empregam como inversores os conversores half-bridge, push-pull e
full-bridge, os quais fornecem ao conjunto filtro e Lâmpada formas de onda
características destes conversores. O conversor half-bridge gera uma forma de
onda quadrada que pode ser dividida em dois tipos, simétrica e assimétrica,
mostrada nas Figura 2.9 (a) e (b) respectivamente. O conversor full-bridge gera
uma forma de onda quadrada simétrica, tendo um período em que possui tensão
zero, conhecido como tempo morto, mostrado na Figura 2.9 (c). O conversor
push-pull gera uma forma de onda quadrada simétrica, semelhante ao conversor
half-bridge simétrico, como mostra a Figura 2.9 (a).
28
Figura 2.9 - Formas de onda dos inversores geralmente empregados: (a) conversor half-bridge simétrico ou conversor push-pull (b) conversor half-bridge assimétrico
e (c) conversor full-bridge.
Analisa-se, através da decomposição em série de Fourier (para se observar
as componentes harmônicas de cada onda), as formas de onda citadas acima.
2.4.1 Série de Fourier da Tensão do Conversor Half-Bridge ou do Conversor
Push-Pull
Para a análise da forma de onda gerada pelos conversores half-bridge
simétrico, conversor push-pull e conversor half-bridge assimétrico, calcula-se a
série de Fourier da forma de onda mostrada na Figura 2.9 (a). A definição da série
de Fourier é mostrada nas equações(2.9), onde f(t)Fourier é a função da forma de
onda decomposta em série de Fourier, f(t) é a função original da forma de onda, an
e bn são as amplitudes das componentes da série, n é o índice das harmônicas e T
é o período.
29
⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅+=
∫∫
∑
⋅
⋅
∞
=
�2
0n
�2
0n
1nnn
0Fourier
������sen(nf(t)�
1b
������cos(nf(t)�
1a
T
t�nsenb
T
t�ncosa
2
a (t)f
(2.9)
Pela definição de série de Fourier, observando a simetria da forma de
onda, calcula-se as amplitudes an e bn pela equação (2.10), considerando os limites
de integração de meio período.
=
⋅⋅⋅= ∫π
π⋅
0b
������cos(n1
2
�
Va
n
D
PPn
(2.10)
Para a forma de onda do conversor half-bridge assimétrico, deve-se
calcular a componente contínua a0 pela equação
∫ ⋅ω⋅⋅=
�
�D
PP0 td1
2
�
Va
(2.11)
Resolvendo as equações (2.10) e (2.11) obtém-se a equação
=
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅−=
⋅⋅=
0b
D)nsen(�n�
2V1)(a
DV2a
n
PPn
n
PP0
(2.12)
Calculado as amplitudes das componentes, pode-se escrever a função em
série de Fourier da forma de onda do conversor half-bridge simétrico ou conversor
push-pull em (2.13).
∑∞
=
⋅⋅⋅⋅=
1nnhb T
t�n2cosa(t)V (2.13)
Para a forma de onda do conversor half-bridge assimétrico pode-se
30
escrever a equação (2.14).
∑∞
=
⋅⋅⋅⋅+=
1nn
0hbm T
t�n2cosa
2
a(t)V (2.14)
A análise das harmônicas foi feita construído um gráfico considerando
vários números de harmônicas para o conversor half-bridge simétrico e o
conversor push-pull na Figura 2.10, tendo em vista que o conversor half-bridge
assimétrico só difere pela componente contínua.
tempo
ampl
itud
e
(a)
tempo
ampl
itud
e
(b)
tempo
ampl
itud
e
(c)
tempo
ampl
itud
e
(d)
tempo
ampl
itude
(e)
tempo am
plitu
de
(f)
Figura 2.10 - Gráfico da função da forma de onda do conversor half-bridge simétrico ou push-pull em série de Fourier, considerando: (a) uma harmônica; (b) três
harmônicas; (c) cinco harmônicas; (d) sete harmônicas, (e) dezenove harmônicas; (f) cento e noventa e nove harmônicas.
2.4.2 Série de Fourier da Tensão do Conversor Full-Bridge
Para a análise da forma de onda gerada pelo conversor full-bridge, calcula-
se a série de Fourier da forma de onda mostrada na Figura 2.9.(c), que possui a
diferença de possuir um período em que a onda permanece com valor nulo, a qual
o conversor half-bridge e o conversor push-pull não apresentam. Pela definição
da equação(2.9) é calculado as componentes harmônicas
31
=
⋅⋅+⋅⋅−⋅= ∫ ∫
⋅
−⋅
0b
������cos(n1������cos(n1
2
�
2
V
a
n
�D
0
�
D)(1�
PP
n (2.15)
Resolvendo a equação (2.15), obtém-se as amplitudes an na equação
=
⋅⋅⋅⋅⋅−=
1,3,5,7...n
D)�sen(n�n
V2a PP
n (2.16)
Através das amplitudes obtidas em (2.16), constrói-se a série de Fourier
∑∞
=
⋅⋅⋅⋅=
1nnfb T
t�n2cosa(t)V (2.17)
A função (2.17) decompõe em série de Fourier a forma de onda quadrada
que possui tempo morto, característica do conversor full-bridge. A composição
harmônica para esta forma de onda pode ser visualizada plotando a função para
vários números de harmônicas na Figura 2.11.
tempo
ampl
itude
(a)
tempo
ampl
itud
e
(b)
tempo
ampl
itud
e
(c)
tempo
ampl
itude
(d)
tempo
ampl
itude
(e)
tempo
ampl
itude
(f)
Figura 2.11 - Gráfico da função da forma de onda do conversor full-bridge em série de Fourier, considerando: (a) uma harmônica; (b) três harmônicas; (c) cinco harmônicas; (d) sete harmônicas, (e) dezenove harmônicas; (f) cento e noventa e nove harmônicas.
32
2.4.3 Comparativo da Composição Harmônicas da Tensão dos Conversores
Pode ser visto nos itens anteriores a composição das ondas com aumento
do número de harmônicas, neste item compara-se as ondas e constrói-se o gráfico
do espectro de freqüência para as mesmas, através da equação (2.18),
considerando que as decomposições em série de Fourier só possuem componentes
an e componente contínua. Na Figura 2.12 são plotadas as funções em série de
Fourier para os conversores half-bridge simétrico ou push-pull, half-bridge
assimétrico e full-bridge e na Figura 2.13 seus respectivos espectros de
freqüência.
100a2
aGH
100a
aGH
1
00
1
nn
⋅⋅
=
⋅= (2.18)
0 180 360 540 720
0
fase
ampl
itude
(a)
0 180 360 540 720
0
fase
ampl
itude
(b)
0 180 360 540 720
0
fase
ampl
itude
(c)
Figura 2.12 - Formas de onda dos conversores gerada através de série de Fourier: (a) half-bridge simétrico ou push-pull; (b) half-bridge assimétrico; (c) full-bridge.
0 5 10 15 20 0
50
100
ampl
itude
harmônicas
(a)
0 5 10 15 20 0
50
100
ampl
itude
harmônicas
(b)
0 5 10 15 20 0
50
100
ampl
itude
harmônicas
(c)
Figura 2.13 – Espectros de freqüências dos conversores: (a) half-bridge simétrico ou push-pull; (b) half-bridge assimétrico; (c) full-bridge.
Observa-se que a diferença entre os conversores half-bridge simétrico e
assimétrico, somente é a componente contínua. O conversor full-bridge, em
relação ao conversor half-bridge ou push-pull, apresenta a diferença entre as
33
harmônicas pares, sendo que o conversor half-bridge operando com razão cíclica
diferente de 0,5, não possui uma simetria, fazendo que estas harmônicas
apareçam, o que não ocorre com o conversor full-bridge, que sempre será
simétrico, em conseqüência não apresentando harmônicas pares.
2.5 EQUACIONAMENTO E CARACTEÍSTICA DOS FILTROS
Os reatores eletrônicos são compostos de filtros de saída, os quais
modelam as formas de onda geradas pelos inversores às necessidades de
funcionamento da lâmpada. O projeto do filtro de saída deve levar em conta
diversos fatores para um bom funcionamento da lâmpada e do conversor, entre
eles a taxa de distorção harmônica, a partida da lâmpada e as perdas do reator.
A taxa de distorção harmônica THD é a medida do conteúdo harmônico da
onda em relação a sua harmônica fundamental, que quer dizer o quanto a onda se
aproxima de uma senoide. Este fator tem uma contribuição no fator de crista da
lâmpada, o que influencia no tempo de vida útil da lâmpada e também mostra a
quantidade de harmônicas mais elevada que a fundamental que podem originar
interferência eletromagnética (EMI) através da lâmpada.
O projeto do filtro depende do tipo de partida adotada. A partida da
lâmpada pode ocorrer de três modos: partida instantânea, partida rápida e partida
chaveada ou com pré-aquecimento. Na partida instantânea a partida da lâmpada
depende exclusivamente do filtro, porque não possui aquecimento dos eletrodos,
sendo que a alta resistência da lâmpada (resistência equivalente da lâmpada fria),
só pode ser rompida por uma sobretensão gerada pelo filtro.
As perdas do reator estão concentradas nas chaves interruptoras e nos
indutores, sendo que grandes partes das perdas das chaves estão concentradas nas
perdas de comutação. O projeto do filtro nos possibilita fazer comutação suave
nas chaves ZVS.
34
Neste item será desenvolvido um método de calculo para alguns filtros
existentes, utilizando o angulo entre a fundamental da tensão aplicada e a corrente
do filtro, o qual podemos adequar o projeto do filtro aos fatores acima citados.
2.5.1 Filtro LC Série
A configuração do filtro LC série de segunda ordem é mostrado na Figura
2.14, constituído de um indutor LS e um capacitor CS em série com a lâmpada. No
equacionamento do filtro a lâmpada é modelada por uma resistência equivalente,
para a simplificação dos cálculos. Este estudo mostrará o desenvolvimento de um
método de projeto, baseado no ângulo de defasagem da corrente em relação a
fundamental da onda de tensão aplicada, procurando através deste adequar a
potência na saída em regime permanente e elevar a tensão para a partida da
lâmpada. Será apresentado um exemplo de projeto com o objetivo de ilustrar o
método e mostrar sua eficiência e simplicidade. O estudo do desempenho do filtro
será feito através do equacionamento por variáveis de estado, podendo visualizar a
composição harmônica da saída do filtro e a forma de onda de tensão para o
regime permanente e para a partida.
Figura 2.14 - Circuito LC série
2.5.1.1 Equacionamento para o Projeto do Filtro LC série
Para o método de projeto utilizando o filtro LC série, deve-se calcular a
impedância equivalente de entrada do circuito
35
RC�j
1L�jZ
SS +
⋅⋅+⋅⋅= (2.19)
S
SSS2
C�
RC�jCL�jZ
⋅⋅⋅+−⋅⋅⋅
= (2.20)
S
SS2
S
C�
1)LC(�jRC�
Z⋅
−⋅⋅⋅+⋅⋅= (2.21)
O método desenvolvido é baseado no ângulo de defasagem entre a
corrente e a fundamental da forma de onda da tensão aplicada ao filtro. Para
encontrarmos este ângulo deve-se calcular o argumento da impedância
equivalente do circuito
( )( )
ωω=
X
Yarctanarg(Z) (2.22)
⋅⋅⋅
⋅−⋅⋅
=
S
S
S
SS2
C�
RC�
C�
1)LC(�
arctanarg(Z) (2.23)
⋅⋅
−⋅⋅=
RC�
1LC�
arctanarg(Z)S
SS2
(2.24)
O ângulo da corrente é dado por
arg(i)=φ (2.25)
=φ
Z
Varg (2.26)
Considerando a tensão V com ângulo zero, o cálculo de φ não é relevante o
valor do módulo da tensão, tem-se a expressão
=φ
Z
1arg (2.27)
36
arg(Z)−=φ (2.28)
⋅⋅
−⋅⋅−=φ
RC�
1LC�
arctanS
SS2
(2.29)
Como se utiliza o modelo resistivo equivalente para a lâmpada, pode-se
aproximar a potência real do circuito à potência consumida pela lâmpada.
Considera-se o valor eficaz da harmônica fundamental da tensão a1, que foi
calculado acima em (2.12), e calcula-se o seu valor RMS em (2.30). A potência da
lâmpada é calculada por
=
2
aV 1
ac (2.30)
=
Z
VReP
2ac (2.31)
Considerando-se Vac com ângulo zero, ele só possui componente real,
então o cálculo da potência real se resume a encontrar a parte real de 1/Z
[ ][ ][ ]1)LC(�jRC�
1)LC(�jRC�
1)LC(�jRC�
C�
Z
1
SS2
S
SS2
S
SS2
S
S
−⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅
⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅
⋅= (2.32)
2SS
222S
2
SS2
S2
S2
1)LC(�RC�
1)LC(�C�jRC�
Z
1
−⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅
= (2.33)
−⋅⋅+⋅⋅⋅⋅
=
2SS
22S
2
2S
2
1)LC(�RC�
RC�
Z
1Re (2.34)
A expressão da potência real do filtro pode ser escrita
2SS
222S
2
2S
22
ac1)LC(�RC�
RC�
VP−⋅⋅+⋅⋅
⋅⋅⋅= (2.35)
Pode-se verificar uma parte em comum entre as expressões (2.29) e (2.35).
Esta parte comum é atribuída a
37
1)LC(�M SS2 −⋅⋅= (2.36)
As expressões (2.29) e (2.35) podem ser juntadas
⋅⋅
=φRC�
M-arctan
S
(2.37)
RC�
M)tan(
S ⋅⋅=φ− (2.38)
)tan(RC�M S φ−⋅⋅⋅= (2.39)
222S
2
2S
22
acMRC�
RC�
VP+⋅⋅
⋅⋅⋅= (2.40)
)(tanRC�RC�
RC�
VP222
S222
S2
2S
22
ac φ−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅
⋅= (2.41)
[ ])(tan1R
1VP 2
2ac φ−+⋅
⋅= (2.42)
RP
V)(tan1
2ac2
⋅=φ−+ (2.43)
1RP
V)(tan
2ac2 −⋅
=φ− (2.44)
−
⋅−=φ 1
RP
Varctan
2ac (2.45)
O equacionamento deste filtro nos mostra que para se obter a potência
desejada na saída pode-se utilizar dois ângulos. Sabendo os ângulos possíveis para
o projeto, deve-se encontrar os componentes do filtro
⋅⋅
−⋅⋅−=φ
RC�
1LC�
arctanS
SS2
(2.46)
38
⋅⋅
−⋅⋅=φ−
RC�
1LC�
)tan(S
SS2
(2.47)
1LC�)tan(RC� SS2
S −⋅⋅=φ−⋅⋅⋅ (2.48)
1)tan(RC�LC� SSS2 +φ−⋅⋅⋅=⋅⋅ (2.49)
S2
SSS C
1)tan(RC)C(L
⋅ω+φ−⋅⋅⋅ω= (2.50)
A expressão (2.50) representa o valor do indutor do filtro LS em função do
capacitor do filtro CS. Para a determinação do valor do indutor deve-se escolher
um valor de projeto para o capacitor CS.
2.5.1.2 Análise do Desempenho do Filtro LC Série
A análise do desempenho do filtro será feita através de um exemplo,
mostrando a potência entregue a lâmpada em função da freqüência e obtendo suas
formas de onda por variáveis de estado para cada harmônica, e pelo princípio da
superposição fazer o somatório de cada harmônica na saída.
Para o exemplo consideram-se os seguintes dados de projeto:
Entrada: Forma de onda assimétrica característica dos conversores half-
bridge;
Tensão VPP= 600 V;
Razão cíclica D = 0,4
Freqüência f = 50 kHz.
- Saída: Potência P = 40 W
Resistência equivalente da lâmpada em regime permanente R=250;
Resistência equivalente da lâmpada na partida Rp = 1000.R;
39
Pela soma de Fourier determina-se o valor da fundamental por (2.12) e
calcula-se o seu valor RMS.
257V2
aV ac
1ac ==
Determinam-se os ângulos para o projeto por (2.45).
°±=φ
−
⋅±=φ 671
RP
V-arctan
2ac
Pela equação (2.50) plota-se o gráfico de LS em função de CS.
Figura 2.15 - Gráfico da indutância em função da capacitância para os ângulos de defasagem -φ e φ
Escolhe-se um valor para o capacitor CS de forma que se obtenha um valor
adequado para o indutor LS, neste caso o valor escolhido é de 4,7 nF para o
capacitor, e pela equação (2.50) obtém-se os valores dos indutores.
LS(4,7 nF,-67°) = 4,04 mH
LS(4,7 nF,67°) = 0,273 mH
2.5.1.2.1 Análise no domínio da freqüência
A expressão da potência real em função da freqüência do conjunto filtro
lâmpada, que representa a potência entregue a lâmpada é dada por
40
2SS
222S
2
2S
22
ac)1LC(RC
RCV)f(P
−⋅⋅ω+⋅⋅ω⋅⋅ω
⋅= (2.51)
Para a análise do comportamento do filtro projetado no domínio da
freqüência, plota-se o gráfico da potência entregue a lâmpada para uma resistência
equivalente da lâmpada em regime permanente e para uma resistência de mil
vezes maior para representar a partida, para os dois projetos, mostrado nas Figura
2.16 e Figura 2.17.
Figura 2.16 - Gráfico da potência em função da freqüência para o regime permanente e para a partida, utilizando ângulo de defasagem –67°
Figura 2.17 - Gráfico da potência em função da freqüência para o regime permanente e para a partida, utilizando ângulo de defasagem +67°
Pode-se observar no gráfico que para os dois ângulos de projeto, na
freqüência de projeto, tem-se o valor da potência de projeto, no entanto a potência
da partida possui um valor muito baixo.
41
2.5.1.2.2 Análise no domínio do tempo
A análise do filtro LC série é feita através das leis de circuitos elétricos
utilizando variáveis de estado. Através desta abordagem pode-se visualizar a
forma de onda entregue pelo filtro à lâmpada, através da forma de onda da entrada
fornecida pelo conversor, analisando-se todas as harmônicas utilizando o princípio
da superposição. É definida a expressão de variáveis de estado
u(t)DX(t)CY(t)
u(t)BX(t)AX(t)dt
d
⋅+⋅=
⋅+⋅= (2.52)
O circuito da Figura 2.14 é equacionado pela lei das tensões de Kirchoff
(t)V(t)iR(t)V(t)idt
dL SLsCsLsS =⋅++⋅ (2.53)
A corrente no capacitor é definida por
(t)Vdt
dC(t)i CsSLs ⋅= (2.54)
Pelas equações (2.53) e (2.54) pode-se escrever o filtro por vaiáveis de
estado
(t)V0
L
1
(t)V
(t)i
0C
1L
1
L
R
(t)V
(t)i
dt
dSS
Cs
Ls
S
SS
Cs
Ls ⋅
+
⋅
−−=
(2.55)
(t)V0
0
(t)V
(t)i
01
0R
)t(i
)t(VS
Cs
Ls
F
R ⋅
+
⋅
=
(2.56)
Pode-se definir as matrizes X(t), Y(t), A, B, C e D.
42
=
=
=
−−=
=
=
0
0D
01
0RC
0L
1B
0C
1L
1
L
R
A(t)i
(t)VY(t)
(t)V
(t)iX(t)
S
S
SS
F
R
Cs
Ls
2.5.1.2.2.1 Cálculo da Dinâmica do Filtro
A dinâmica do filtro é descrita pelos autovalores e autovetores da matriz A
s(A)autovalorer = (2.57)
)r,A(sautovetore)r( =ξ (2.58)
Onde r é os autovalores da matriz A. A é de ordem 2 portanto r possui dois
valores, sendo que para cada autovalor tem um autovetor associado. Cada coluna
dos autovetores é associada a um autovalor.
ξξξξ
=ξ
=
1110
0100
1
0
)r()r(
)r()r(
r
rr (2.59)
A resposta transitória do filtro ou resposta homogênea é dada pela
equação(2.60), onde Kc0 e Kc1 são constantes que serão determinadas no decorrer
do desenvolvimento.
⋅⋅
⋅ξ=ψ ⋅
⋅
tr1
tr0
1
0
eKc
eKc)t( (2.60)
2.5.1.2.2.2 Cálculo da Resposta Particular
Para a resposta particular deve-se admitir uma resposta para o sistema
)tsen(Kb)tcos(Ka)t(XP ⋅ω⋅+⋅ω⋅= (2.61)
A resposta forçada (2.61), pode ser representada por
)tsen(Kb
Kb)tcos(
Ka
Ka
)t(V
)t(i
1
0
1
0
CsP
LsP ⋅ω⋅
+⋅ω⋅
=
(2.62)
43
onde iLsP(t) é a resposta particular de iLs(t) e VCsp(t) a resposta particular de
VCs(t). Ka e Kb são constantes que devem ser determinadas. A derivada da
resposta forçada é
)tcos(Kb
Kb)tsen(
Ka
Ka
)t(V
)t(i
dt
d
1
0
1
0
CsP
LsP ⋅ω⋅
⋅ω+⋅ω⋅
⋅ω−=
(2.63)
Substituindo(2.62) e (2.63) em (2.55) obtém-se
)sen()cos((0
1
)sen()cos(
)cos()sen(
1
0
1
0
1
0
1
0
tbtaL
tKb
Kbt
Ka
KaA
tKb
Kbt
Ka
Ka
⋅⋅+⋅⋅⋅
+
⋅⋅
+⋅⋅
⋅
=⋅⋅
⋅+⋅⋅
⋅−
ωω
ωω
ωωωω
(2.64)
Onde a e b são obtidos através da decomposição da onda quadrada da
entrada em série de Fourier. Pode-se igualar os termos em que envolvem senos e
os que envolvem cossenos, obtendo-se as igualdades
⋅=⋅−⋅ω⋅=⋅−⋅ω−
⋅+⋅=⋅ω⋅+⋅=⋅ω−
aBKaAKb
bBKbAKa
aBKaAKb
bBKbAKa (2.65)
Fazendo o produto de A⋅Ka e A⋅Kb obtém-se
bB
B
KbAKbA
KbAKbA
Ka
Ka
aB
B
KaAKaA
KaAKaA
Kb
Kb
1
0
11,100,1
11,000,0
1
0
1
0
11,100,1
11,000,0
1
0
⋅
=
⋅+⋅⋅+⋅
−
⋅ω−
⋅
=
⋅+⋅⋅+⋅
−
⋅ω
(2.66)
reorganizando as matrizes de (2.66) e isolando os termos Ka e Kb têm-se
44
⋅⋅⋅⋅
=
⋅−⋅−⋅ω−⋅−⋅−⋅ω−
⋅ω⋅−⋅−⋅ω⋅−⋅−
bB
bB
aB
aB
KbAKbAKa0
KbAKbA0Ka
Kb0KaAKaA
0KbKaAKaA
1
0
1
0
11,100,11
11,000,00
111,100,1
011,000,0
(2.67)
⋅⋅⋅⋅
=
⋅
−−ω−−−ω−
ω−−ω−−
bB
bB
aB
aB
Kb
Kb
Ka
Ka
AA0
AA0
0AA
0AA
1
0
1
0
1
0
1
0
1,10,1
1,00,0
1,10,1
1,00,0
(2.68)
Desta forma pode-se encontrar os coeficientes Ka e Kb para a solução da
resposta particular
⋅⋅⋅⋅
⋅
−−ω−−−ω−
ω−−ω−−
=
−
bB
bB
aB
aB
AA0
AA0
0AA
0AA
Kb
Kb
Ka
Ka
1
0
1
0
1
1,10,1
1,00,0
1,10,1
1,00,0
1
0
1
0
(2.69)
Este procedimento deve ser repetido para cada harmônica, encontrando um
Ka e um Kb para cada freqüência de entrada.
Com a resposta particular calculada, deve-se calcular os coeficientes da
resposta geral relativa a parte homogênea, sendo a resposta geral descrita por
( )∑∞
=⋅
⋅
⋅ω⋅+⋅ω⋅+
⋅⋅
⋅ξ=1n
nntr1
tr0 )tsen(Kb)tcos(Ka
eKc
eKc)t(X
1
0
(2.70)
Considerando as condições iniciais iLs(0) e VCs(0) pode-se igualar a
reposta geral com tempo zero.
∑∞
=
+
⋅ξ=
1nn
1
0 KaKc
Kc)0(X (2.71)
Calculam-se as constantes a partir de (2.71) em
45
−⋅ξ=
∑∞
=
−
1nn
1
1
0 Ka)0(XKc
Kc (2.72)
Considerando o exemplo, pode-se verificar a potência na saída do filtro
pela equação
( ) ( )R
2
KbKaP
2
1n
2n,0
2n,0 ⋅
+= ∑
∞
=
(2.73)
Verifica-se a partir de (2.73) a potência de 40,433 e 83,055 para regime
permanente e a potência de partida de 0,00034 e 0,00034 para os ângulos de
defasagem –67º e 67º respectivamente.
Para estudar o regime permanente, só analisa-se a resposta particular
descrita em (2.61), na qual é plotado a harmônica fundamental na Figura 2.18 e
Figura 2.19 para os dois ângulos do exemplo, para verificarmos o ângulo de
defasagem e na Figura 2.20 e Figura 2.21 é plotado para 199 harmônicas. Para a
análise da partida deve-se considerar a resposta geral descrita em (2.70), sendo
plotado na Figura 2.22 e Figura 2.23 para os dois ângulos do exemplo para 19
harmônicas.
Figura 2.18 - Forma de onda da fundamental da tensão aplicada ao filtro e da corrente do filtro com ângulo de defasagem de –67°
46
Figura 2.19 - Forma de onda da fundamental da tensão aplicada ao filtro e da corrente do filtro com ângulo de defasagem de +67°
Figura 2.20 – Forma de onda da tensão aplicada ao filtro e a tensão na saída do filtro considerando 199 harmônicas para o ângulo de defasagem de –67°
Figura 2.21 – Forma de onda da tensão aplicada ao filtro e a tensão na saída do filtro considerando 199 harmônicas para o ângulo de defasagem de defasagem de
+67°
47
Figura 2.22 – forma de onda da tensão de saída do filtro na partida da lâmpada para o ângulo de defasagem –67°
Figura 2.23 – forma de onda da tensão de saída do filtro na partida da lâmpada para o ângulo de defasagem +67°
A análise dos ganhos de cada freqüência foi feita através espectro de
freqüência da saída do filtro e da entrada do filtro para os dois ângulos de projeto,
para regime permanente e para a partida da lâmpada, sendo calculado o espectro
de freqüência da saída por (2.74) e plotado nas Figura 2.24 e Figura 2.25.
( ) ( )100
a
RKbKaGF
1
2n,0
2n,0
n ⋅⋅+
= (2.74)
48
(a)
(b)
Figura 2.24 – Espectro de freqüência do filtro com ângulo de projeto de –67°: (a) regime permanente; (b) partida da Lâmpada.
(a)
(b)
Figura 2.25 – Espectro de freqüência do filtro com ângulo de projeto de +67°: (a) regime permanente; (b) partida da Lâmpada.
2.5.1.3 Conclusão
O método de projeto possui a característica de através do ângulo de
defasagem manter a potência de projeto na saída. No exemplo pode ser observado
que para o ângulo de projeto de –67° se obteve um valor de potência muito
próximo ao de projeto, mas para o ângulo de projeto de +67° não apresentou uma
potência próxima à de projeto, devido ao grande número de harmônicas na saída,
na qual pode ser observado na forma de onda da saída (Figura 2.21) e no espectro
de freqüência (Figura 2.25 (a)). As características de partida da lâmpada não
foram obtidas para este nível de tensão, sendo que só se pode obter a partida
instantânea da lâmpada se o valor de tensão da entrada do filtro for elevada, o que
não é comum. O emprego deste filtro requer determinadas características o que o
torna não muito empregado.
49
2.5.2 Filtro L Série C Paralelo
A configuração do filtro L série C paralelo de segunda ordem é mostrado
na Figura 2.26, constituído de um indutor LS em série e um capacitor Cp em
paralelo com a lâmpada. A lâmpada é modelada da mesma maneira que no filtro
LC série, através do modelo resistivo. Este estudo mostrará o desenvolvimento do
método de projeto, baseado no ângulo de defasagem da corrente em relação a
fundamental da onda de tensão aplicada, procurando através deste adequar a
potência na saída em regime permanente e elevar a tensão para a partida da
lâmpada. Será apresentado um exemplo de projeto, com o objetivo de ilustrar o
método e mostrar seu desempenho. O estudo das características do filtro será feito
através do equacionamento por variáveis de estado, podendo visualizar-se a
composição harmônica da saída do filtro e a forma de onda de tensão para o
regime permanente e para a partida.
Figura 2.26 - Circuito L série C paralelo
2.5.2.1 Equacionamento para o Projeto do Filtro L série C paralelo
Para o método de projeto utilizando o filtro L série C paralelo, deve-se
calcular a impedância equivalente de entrada do circuito
PS Z�LjZ +⋅⋅= (2.75)
Onde ZP é definido por
50
ω⋅⋅+= PP
CjR
1
Z
1 (2.76)
ω⋅⋅⋅+=
PP CRj1
RZ (2.77)
)CRj1(
)CRj1(
CRj1
RZ
P
P
PP ω⋅⋅⋅−
ω⋅⋅⋅−⋅
ω⋅⋅⋅+= (2.78)
22P
2
PP
CR1
)CRj1(RZ
ω⋅⋅+ω⋅⋅⋅−⋅
= (2.79)
A expressão total da impedância de entrada é dada por
22P
2
PS
CR1
)CRj1(RLjZ
ω⋅⋅+ω⋅⋅⋅−⋅
+ω⋅⋅= (2.80)
( )[ ]22
P2
P22
P2
S
CR1
CRCR1LjRZ
ω⋅⋅+ω⋅⋅−ω⋅⋅+⋅ω⋅⋅+
= (2.81)
O método desenvolvido é baseado no ângulo de defasagem entre a
corrente e a fundamental da forma de onda da tensão aplicada ao filtro. Para
encontrarmos este ângulo deve-se calcular o argumento da impedância
equivalente do circuito
( )( )
ωω=
X
Yarctanarg(Z) (2.82)
( )
ω⋅⋅+
ω⋅⋅+ω⋅⋅−ω⋅⋅+⋅ω⋅
=
22P
2
22P
2
P22
P2
S
CR1
RCR1
CRCR1L
arctanarg(Z) (2.83)
( )
ω⋅⋅−ω⋅⋅+⋅ω⋅=
R
CRCR1Larctanarg(Z) P
22P
2S (2.84)
De maneira análoga à calculada para o filtro LC série, φ assume a
expressão
51
( )
ω⋅⋅−ω⋅⋅+⋅ω⋅−=φ
R
CRCR1Larctan P
22P
2S (2.85)
De maneira análoga ao calculo do filtro LC série, deve-se calcular a parte
real de 1/Z
[ ]ω⋅⋅−ω⋅⋅+⋅ω⋅⋅+
ω⋅⋅+=
P22
P2
S
22p
2
CR)CR1(LjR
CR1
Z
1 (2.86)
Multiplicando a expressão (2.86) pelo seu conjugado e separando a sua
parte real tem-se
[ ]2
P22
P2
S2
22P
2
CR)CR1(LR
)CR1(R
Z
1Re
ω⋅⋅−ω⋅⋅+⋅ω⋅+
ω⋅⋅+⋅=
(2.87)
A expressão da potência real do filtro pode ser escrita por
[ ]2
P22
P2
S2
22P
22
ac
CR)CR1(LR
)CR1(RVP
ω⋅⋅−ω⋅⋅+⋅ω⋅+
ω⋅⋅+⋅⋅= (2.88)
Pode-se verificar uma parte em comum entre as expressões (2.85) e (2.88).
Esta parte comum é atribuída a
ω⋅⋅−ω⋅⋅+⋅ω⋅= P22
P2
S CR)CR1(LM (2.89)
As expressões (2.85) e (2.88) podem ser juntadas
=φ
R
M-arctan (2.90)
)tan(RM φ−⋅= (2.91)
22
22P
22
ac MR
)CR(1RVP
+ω⋅⋅+⋅⋅= (2.92)
[ ]22
22P
22
ac)tan(-RR
)CR(1RVP
φ⋅+ω⋅⋅+⋅
⋅= (2.93)
52
[ ])(tan1R
)CR(1VP
2
22P
22
ac φ−+⋅ω⋅⋅+
⋅= (2.94)
[ ])CR1(
V
)(tan1RP 22P
22
ac
2
ω⋅⋅+=φ−+⋅⋅ (2.95)
[ ]1
V
)(tan1RPCR
2ac
222
P2 −φ−+⋅⋅=ω⋅⋅ (2.96)
[ ]1
V
)(tan1RP
R
1)(C
2ac
2
P −φ−+⋅⋅ω⋅
=φ (2.97)
O equacionamento deste filtro nos mostra que o valor do capacitor paralelo
CP depende do valor da resistência equivalente da lâmpada R, da freqüência ω e
potência P de operação, que são definidas no projeto e uma variável φ livre. Pelas
equações (2.89) e (2.91) encontra-se o valor de LS
( ) ω⋅⋅−ω⋅⋅+⋅ω⋅=φ−⋅ P222
P2
S CRCR1L)tan(R (2.98)
( ))CR1(
CR)tan(RL
22P
2
P2
Sω⋅⋅+⋅ω
ω⋅⋅+φ−⋅=φ (2.99)
A expressão (2.99) representa o valor do indutor do filtro LS em função do
capacitor do filtro CP, como CP é função de φ, LS é função de φ. O valor de φ deve
ser escolhido para que um desempenho adequado do filtro seja obtido.
2.5.2.2 Análise do Desempenho do Filtro L Série C paralelo
A análise do desempenho do filtro será feita através de um exemplo,
mostrando a potência entregue a lâmpada em função da freqüência e obtendo suas
formas de onda através de variáveis de estado para cada harmônica, e pelo
princípio da superposição fazer o somatório de cada harmônica na saída.
Para o exemplo consideram-se os seguintes dados de projeto:
53
Entrada: Forma de onda assimétrica característica dos conversores half-
bridge;
Tensão VPP= 155 V;
Razão cíclica D = 0,4;
Freqüência f = 50 kHz.
-Saída: Potência P = 40 W;
Resistência equivalente da lâmpada em regime permanente R=250;
Resistência equivalente da lâmpada na partida Rp = 1000.R;
Calcula-se o valor RMS da fundamental calculada em (2.12) por
66,36V2
aV ac
1ac ==
Pelas equações (2.97) e (2.99) pode-se construir o gráfico do valor do
capacitor CP e do indutor LS em função do ângulo de defasagem φ, nas figuras
Figura 2.27 e Figura 2.28 respectivamente
Figura 2.27 - Gráfico do valor do capacitor paralelo CP em função do ângulo de defasagem φ
54
Figura 2.28 - Gráfico do valor do indutor série LS em função do ângulo de defasagem φ
A escolha do ângulo de defasagem φ deve ser para otimizar o
comportamento do filtro, adequando as características de partida e reduzindo as
perdas. A característica de partida é analisada pelo gráfico da potência do filtro, na
partida e em regime permanente, em função do ângulo de defasagem φ, Figura
2.29.
Figura 2.29 - Gráfico da potência em regime permanente e na partida em função do ângulo de defasagem
Pode-se observar na Figura 2.29 que a potência em regime permanente
permanece constante para toda a variação do ângulo de defasagem φ, no entanto a
potência na partida possui um valor elevado para uma determinada faixa do
55
ângulo de defasagem. Para o projeto deve-se escolher o ângulo de acordo com as
necessidades, sendo que para uma partida instantânea deve-se escolhe um ângulo
que possui uma potência elevada na partida, e para a redução das perdas escolhe-
se o ângulo de defasagem negativo, para garantir ZVS e próximo a zero, porque
tem um menor valor de corrente quando ocorrer a comutação.
Para esta análise considera-se que o projeto requer partida instantânea. O
ângulo de projeto escolhido graficamente pela Figura 2.29 é -35º.
Possuindo o ângulo de projeto, os valores dos componentes do filtro,
podem ser obtidos através das equações (2.97) e (2.99) ou graficamente pelas
Figura 2.27 e Figura 2.28. No exemplo ilustra-se o projeto para dois ângulos, o
ângulo para a partida instantânea e seu valor simétrico, obtendo-se os seguintes
valores dos componentes
CP(-35º) = 19,66 nF LS(-35º) = 527,7 µH
CP(+35º) = 19,66 nF LS(+35º) = 198,4 µH
2.5.2.2.1 Análise no domínio da freqüência
A expressão da potência real em função da freqüência do conjunto filtro
lâmpada, que representa a potência entregue a lâmpada é dada por
[ ]2
P222
P2
S2
22P
22
ac
CR)CR1(LR
)CR1(RV)f(P
ω⋅⋅−ω⋅⋅+⋅ω⋅+
ω⋅⋅+⋅⋅= (2.100)
Para a análise do comportamento do filtro projetado no domínio da
freqüência, plota-se o gráfico da potência entregue a lâmpada para uma resistência
equivalente da lâmpada em regime permanente e para uma resistência de mil
vezes maior para representar a partida, para os dois projetos, mostrado nas Figura
2.30 e Figura 2.31.
56
Figura 2.30 - Gráfico da potência em função da freqüência para o regime permanente e para a partida utilizando ângulo de defasagem –35°
Figura 2.31 - Gráfico da potência em função da freqüência para o regime permanente e para a partida utilizando ângulo de defasagem +67°
Pode-se observar no gráfico que para os dois ângulos de projeto, na
freqüência de projeto, tem-se o valor da potência de projeto, no entanto a potência
da partida para o ângulo de defasagem de –35º possui um valor elevado e para o
ângulo de +35º possui um valor muito baixo na partida.
2.5.2.2.2 Análise no domínio do tempo
A análise do filtro L série C paralelo é feita através das leis de circuitos
elétricos utilizando variáveis de estado. Através desta abordagem pode-se
visualizar a forma de onda entregue pelo filtro à lâmpada, através da forma de
onda da entrada fornecida pelo conversor, analisando-se todas as harmônicas
57
utilizando o princípio da superposição. É definida a expressão de variáveis de
estado
u(t)DX(t)CY(t)
u(t)BX(t)AX(t)dt
d
⋅+⋅=
⋅+⋅= (2.101)
O circuito da Figura 2.26 é equacionado pela lei das tensões de Kirchoff
(t)V(t)V(t)idt
dL SCpLsS =+⋅ (2.102)
Pela Lei das correntes de Kirchoff tem-se
)t(iR
(t)V(t)V
dt
dC Ls
Cp
CpP =+⋅ (2.103)
Pelas equações (2.102) e (2.103) pode-se escrever o filtro por vaiáveis de
estado
(t)V0
L
1
(t)V
(t)i
CR
1-
C
1L
10
(t)V
(t)i
dt
dSS
Cp
Ls
PP
S
Cp
Ls ⋅
+
⋅
⋅
−=
(2.104)
(t)V0
0
(t)V
(t)i
01
10
)t(i
)t(VS
Cp
Ls
F
R ⋅
+
⋅
=
(2.105)
Pode-se definir as matrizes X(t), Y(t), A, B, C e D.
=
=
=
⋅
−=
=
=
0
0D
01
10C
0L
1B
CR
1-
C
1L
10
A(t)i
(t)VY(t)
(t)V
(t)iX(t)
S
PP
S
F
R
Cp
Ls
2.5.2.2.2.1 Cálculo da Dinâmica do Filtro
Definido as matrizes, o calculo é feito de maneira análoga a do calculo do
filtro LC série, porque os dois filtros são de mesma ordem.
58
2.5.2.2.2.2 Cálculo da Resposta Particular
Devido ao filtro ser de mesma ordem que o filtro LC série, o cálculo
desenvolve-se de maneira similar.
Considerando o exemplo, pode-se verificar a potência na saída do filtro
pela equação
( ) ( )R1
2
KbKaP
2
1n
2n,1
2n,1 ⋅
+= ∑
∞
=
(2.106)
Verifica-se a partir de (2.106) a potência de 40,164 e 43,268 para regime
permanente e a potência de partida de 30,578 e 0,053 para os ângulos de
defasagem –35º e 35º respectivamente.
Para estudar o regime permanente, só analisa-se a resposta particular, na
qual é plotado nas Figura 2.32 e Figura 2.33 a harmônica fundamental para os
dois ângulos do exemplo, para verificar-se o ângulo de defasagem e na Figura
2.34 e Figura 2.35 é plotado para 199 harmônicas. Para a análise da partida deve-
se considerar a resposta geral, plotada nas Figura 2.36 e Figura 2.37 para os dois
ângulos do exemplo para 19 harmônicas.
Figura 2.32 - Forma de onda da fundamental da tensão aplicada ao filtro e da corrente do filtro com ângulo de defasagem de –35°
59
Figura 2.33 - Forma de onda da fundamental da tensão aplicada ao filtro e da corrente do filtro com ângulo de defasagem de +35°
Figura 2.34 – Forma de onda da tensão aplicada ao filtro e a tensão na saída do filtro considerando 199 harmônicas para o ângulo de defasagem de –67°
Figura 2.35 – Forma de onda da tensão aplicada ao filtro e a tensão na saída do filtro considerando 199 harmônicas para o ângulo de defasagem de +67°
60
Figura 2.36 – Forma de onda da tensão de saída na partida da lâmpada para o ângulo de defasagem –35°
Figura 2.37 – Forma de onda da tensão de saída na partida da lâmpada para o ângulo de defasagem +35°
A análise dos ganhos de cada freqüência foi feita através espectro de
freqüência da saída do filtro e da entrada do filtro para os dois ângulos de projeto,
para regime permanente e para a partida da lâmpada, sendo calculado o espectro
de freqüência da saída por (2.107) e plotado nas Figura 2.38 e Figura 2.39 para os
dois ângulos de projeto.
( ) ( )100
a
KbKaGF
1
2n,1
2n,1
n ⋅+
= (2.107)
61
(a)
(b)
Figura 2.38 – Espectro de freqüência do filtro com ângulo de projeto de –67°: (a) regime permanente; (b) partida da Lâmpada.
(a)
(b)
Figura 2.39 – Espectro de freqüência do filtro com ângulo de projeto de +67°: (a) regime permanente; (b) partida da Lâmpada.
2.5.2.3 Conclusão
O método de projeto possui a característica de através do ângulo de
defasagem manter a potência de projeto na saída. No exemplo pode ser observado
que para os ângulos de projeto se obteve um valor de potência em regime
permanente muito próximo ao de projeto, devido ao conteúdo harmônico reduzido
da saída. No projeto utilizando o ângulo de projeto de -35º obteve-se elevado
ganho de tensão na partida, o que possibilitaria a partida instantânea da lâmpada.
Para o ângulo de +35º foi obtido ganhos pequenos na partida, o que não
possibilitaria a partida instantânea. Este filtro possui a desvantagem de não
eliminar a componente contínua, o que não seria bom para o funcionamento da
lâmpada.
62
2.5.3 Filtro C Série LC Paralelo
A configuração do filtro C série LC paralelo de segunda ordem é mostrado
na Figura 2.40, constituído de um capacitor CS em série, uma capacitor CP e um
indutor Lp em paralelo com a lâmpada. A lâmpada é modelada da mesma maneira
que o filtro LC série, através do modelo resistivo. Este estudo mostrará o
desenvolvimento do método de projeto baseado no ângulo de defasagem da
corrente em relação a fundamental da onda de tensão aplicada, procurando através
deste adequar a potência na saída em regime permanente e elevar a tensão para a
partida da lâmpada. Será apresentado um exemplo de projeto, com o objetivo de
ilustrar o método e mostrar seu desempenho. O estudo das características do filtro
será feito através do equacionamento por variáveis de estado, podendo visualizar a
composição harmônica da saída do filtro e a forma de onda de tensão para o
regime permanente e para a partida.
Figura 2.40 - Circuito L série LC paralelo
2.5.3.1 Equacionamento para o Projeto do Filtro L série LC paralelo
Para o método de projeto utilizando o filtro L série LC paralelo, deve-se
calcular a impedância equivalente de entrada do circuito
�Cj
1ZZ
SP ⋅⋅
+= (2.108)
Onde ZP é definido por
63
ω⋅−ω⋅⋅+=
PP
P L
jCj
R
1
Z
1 (2.109)
RjLCRjL
LRZ
2PPP
PP ⋅−ω⋅⋅⋅⋅+ω⋅
ω⋅⋅= (2.110)
( )( )[ ]( )[ ]RLCRjL
RLCRjL
RLCRjL
LRZ
2PPP
2PPP
2PPP
PP −ω⋅⋅⋅⋅−ω⋅
−ω⋅⋅⋅⋅−ω⋅⋅−ω⋅⋅⋅⋅+ω⋅
ω⋅⋅= (2.111)
( )( )RLCRL
RLCRLRjLRZ
2PP
22P
2PPP
22P
P −ω⋅⋅⋅+ω⋅−ω⋅⋅⋅⋅ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅= (2.112)
A expressão total da impedância de entrada é dada por
( )( ) ω⋅
−−ω⋅⋅⋅+ω⋅
−ω⋅⋅⋅⋅ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅=S
2PP
22P
2PPP
22P
C
j
RLCRL
RLCRLRjLRZ (2.113)
( )[( )[ ]
( )]( )[ ]22
PP22
PS
22PP
22P
22PP
22PS
2PP
2PS
22PS
RLCRLC
RLCRL
RLCRLC
LCRRLCRjLCRZ
−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅
−ω⋅⋅⋅−ω⋅−+
−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅
ω⋅⋅⋅−⋅ω⋅⋅⋅⋅+ω⋅⋅⋅=
(2.114)
O método desenvolvido é baseado no ângulo de defasagem entre a
corrente e a fundamental da forma de onda da tensão aplicada ao filtro. Para
encontrarmos este ângulo deve-se calcular o argumento da impedância
equivalente do circuito
( )( )
ωω=
X
Yarctanarg(Z) (2.115)
( )
( )
ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅⋅−
ω⋅⋅⋅ω⋅−ω⋅⋅⋅−⋅ω⋅⋅⋅=
32PS
22PP
32PS
22P
2PP
2PS
LCR
RLCR
LCR
LLCRRLCRarctanarg(Z)
(2.116)
De maneira análoga à calculada para o filtro LC série, φ assume a
expressão
64
( )
( )
ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅⋅−
ω⋅⋅⋅ω⋅−ω⋅⋅⋅−⋅ω⋅⋅⋅−=φ
32PS
22PP
32PS
22P
2PP
2PS
LCR
RLCR
LCR
LLCRRLCRarctan
(2.117)
De maneira análoga ao calculo do filtro LC série, deve-se calcular a parte
real de 1/Z
( )[ ]( )[
( ) ]22PP
22P
2PP
2PS
32PS
22PP
22PS
RLCRL
LCRRLCRjLCR
RLCRLC
Z
1
−ω⋅⋅⋅−ω⋅−
ω⋅⋅⋅−⋅ω⋅⋅⋅⋅+ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅=
(2.118)
Multiplicando a expressão (2.118) pelo seu conjugado e separando a sua
parte real tem-se
( )( )( )[
( ) ]222PP
22P
2PP
2PS
264P
2S
2
22PP
22P
42P
2S
RLCRL
LCRRLCRLCR
RLCRLLCR
Z
1Re
−ω⋅⋅⋅−ω⋅−
ω⋅⋅⋅−⋅ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅⋅⋅
=
(2.119)
A expressão da potência real do filtro pode ser escrita por
( )( )( )[
( ) ]222PP
22P
2PP
2PS
264P
2S
2
22PP
22P
42P
2S2
ac
RLCRL
LCRRLCRLCR
RLCRLLCRVP
−ω⋅⋅⋅−ω⋅−
ω⋅⋅⋅−⋅ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅⋅⋅
⋅= (2.120)
Pode-se verificar uma parte em comum entre as expressões (2.117) e
(2.120). Esta parte comum é atribuída a
( )( )22
PP
22P
2PP
2PS
2
RLCR
LLCRRLCRM
−ω⋅⋅⋅−
ω⋅−ω⋅⋅⋅−⋅ω⋅⋅⋅= (2.121)
As expressões (2.117) e (2.120) podem ser juntadas
65
ω⋅⋅⋅=φ
32PS LCR
M-arctan (2.122)
)tan(LCRM 32PS φ−⋅ω⋅⋅⋅= (2.123)
( )( )264
P2
S2
22PP
22P
42P
2S2
acMLCR
RLCRLLCRVP
+ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅⋅⋅
⋅= (2.124)
( )( )( )232
PS64
P2
S2
22PP
22P
42P
2S2
ac
)tan(LCRLCR
RLCRLLCRVP
φ−⋅ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅⋅
−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅⋅⋅⋅= (2.125)
( )( )[ ])(tan1LCR
RLCRLLCRVP
264P
2S
2
22PP
22P
42P
2S2
ac φ−+ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅⋅⋅
⋅= (2.126)
[ ] [( ) ]22
PP
22P
2ac
222P
RLCR
LV)(tan1LRP
−ω⋅⋅⋅+
ω⋅⋅=φ−+⋅ω⋅⋅⋅ (2.127)
[ ] ()22
PP2
22P
2P
222P
2ac
222P
RLCR2
LCRLV)(tan1LRP
+ω⋅⋅⋅⋅−
ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅=φ−+⋅ω⋅⋅⋅ (2.128)
( )[ ]{ }( ) 0RVCRV2L
CRVV)(tan1RPL22
ac2
P22
acP
22P
22ac
22ac
222P
=⋅−ω⋅⋅⋅⋅⋅+
ω⋅⋅⋅−ω⋅−φ−+⋅ω⋅⋅⋅ (2.129)
O equacionamento deste filtro nos mostra que o valor do indutor paralelo
LP é uma expressão de segunda ordem, na qual depende do valor da resistência
equivalente da lâmpada R, da freqüência ω, potência P de operação e um valor de
CP, que são definidas no projeto e uma variável φ livre. Pelas equações (2.121) e
(2.123) encontra-se o valor de CS
( )( )22
PP22
P
2PP
2PS
32PS
RLCRL
LCRRLCR)tan(LCR
−ω⋅⋅⋅−ω⋅−
ω⋅⋅⋅−⋅ω⋅⋅⋅=φ−⋅ω⋅⋅⋅ (2.130)
( )[ ]( )22
PP22
P
32P
2PP
2PS
RLCRL
)tan(LRLCRRLRC
−ω⋅⋅⋅+ω⋅
=φ−⋅ω⋅⋅−ω⋅⋅⋅−⋅ω⋅⋅⋅ (2.131)
66
( )( ) )tan(LR-LCR-RLR
RLCRL)(C
32P
2PP
2P
2
22PP
22P
S φ−⋅ω⋅⋅ω⋅⋅⋅⋅ω⋅⋅−ω⋅⋅⋅+ω⋅
=φ (2.132)
A expressão (2.132) representa o valor do capacitor do filtro CS em função
do indutor do filtro LP, como LP é função de φ, CS é função de φ. O valor de φ
deve ser escolhido para que um desempenho adequado do filtro seja obtido.
2.5.3.2 Análise do Desempenho do Filtro C Série LC paralelo
A análise do desempenho do filtro será feita através de um exemplo,
mostrando a potência entregue a lâmpada em função da freqüência e por variáveis
de estado obter suas formas de onda para cada harmônica, e pelo princípio da
superposição fazer o somatório de cada harmônica na saída.
Para o exemplo consideram-se os seguintes dados de projeto:
Entrada: Forma de onda assimétrica característica dos conversores half-
bridge;
Tensão VPP= 155 V;
Razão cíclica D = 0,4
Freqüência f = 50 kHz.
-Saída: Potência P = 40 W
Resistência equivalente da lâmpada em regime permanente R=250;
Resistência equivalente da lâmpada na partida Rp = 1000.R;
Pela soma de Fourier determina-se o valor da fundamental por (2.12) e
calcula-se o seu valor RMS.
67
66,36V2
aV ac
1ac ==
Pelas equações (2.129) e (2.132) pode-se construir dois gráficos para os
valores do indutor LP, mostrados nas Figura 2.41 e Figura 2.42 e dois gráficos
para os valores do capacitor CS em função do ângulo de defasagem φ, mostrados
nas Figura 2.43 e Figura 2.44. Os dois gráficos gerados para os valores de LP e CS
são devido a expressão de LP ser de segunda ordem.
Figura 2.41 - Gráfico do valor do indutor paralelo LP em função do ângulo de defasagem φ para a primeira resposta
Figura 2.42 - Gráfico do valor do indutor paralelo LP em função do ângulo de defasagem φ para a segunda resposta
68
Figura 2.43 - Gráfico do valor do capacitor série CS em função do ângulo de defasagem φ para a primeira resposta
Figura 2.44 - Gráfico do valor do capacitor série CS em função do ângulo de defasagem φ para a segunda resposta.
O ângulo de defasagem φ deve ser escolhido para otimizar o
comportamento do filtro, adequando as características de partida e reduzindo as
perdas. A característica de partida é analisada pelos gráficos das potências do
filtro, na partida e em regime permanente, em função do ângulo de defasagem φ,
Figura 2.45 e Figura 2.46.
69
Figura 2.45 - Gráfico da potência em regime permanente e na partida em função do ângulo de defasagem para a primeira resposta
Figura 2.46 - Gráfico da potência em regime permanente e na partida em função do ângulo de defasagem para segunda resposta
Pode-se observar nas Figura 2.45 e Figura 2.46 que a potência em regime
permanente permanece constante para toda a variação do ângulo de defasagem φ,
no entanto a potência na partida possui um valor elevado para uma determinada
faixa do ângulo de defasagem para cada valor de capacitor CP. Para o projeto
deve-se escolher o ângulo de acordo com as necessidades, sendo que para uma
partida instantânea deve-se escolhe um ângulo que possui uma potência elevada
na partida, e para a redução das perdas escolhe-se o ângulo de defasagem negativo
e próximo a zero.
Para esta análise considera-se que o projeto requer partida instantânea. O
70
ângulo de projeto escolhido graficamente pelas Figura 2.45 e Figura 2.46 pode ser
tanto –35 quanto +35, dependendo da resposta e do valor do capacitor CP
escolhido. A escolha de um projeto pode não ser adequada, porque pode resultar
em valores negativos dos componentes. Para a escolha na primeira resposta do
capacitor CP=10nF e ângulo de defasagem de –35º ou +35º possuem valores
negativos para os componentes calculados, para a escolha na segunda resposta do
capacitor CP=100nF e ângulos de defasagem de –35º e +35º possuem valores
negativos para os cálculos dos capacitores CS.
Possuindo o ângulo de projeto, e para a primeira resposta com o capacitor
CP =100nF e para a segunda resposta com o capacitor CP =10nF os valores dos
componentes do filtro, podem ser obtidos através das equações (2.129) e (2.132)
ou graficamente para a primeira resposta pelas Figura 2.41 e Figura 2.43 e para a
segunda resposta pelas Figura 2.42 e Figura 2.44. No exemplo ilustra-se o projeto
para dois ângulos, o ângulo para a partida instantânea e seu valor simétrico,
obtendo-se os valores
CP = 100 nF CS(-35º) = 51,06 nF LP(-35º) = 84,67 µH
CP = 100 nF CS(+35º) = 19,2 nF LP(+35º) = 84,67 µH
CP = 10 nF CS(-35º) = 51,06 nF LP(-35º) = 341,6 µH
CP = 10 nF CS(+35º) = 19,2 nF LP(+35º) = 341,6 µH
2.5.3.2.1 Análise no domínio da freqüência
A expressão da potência real em função da freqüência do conjunto filtro
lâmpada, que representa a potência entregue a lâmpada é dada por
( )[ ]( )[
( ) ]222PP
22P
2PP
2PS
64P
2S
2
22PP
22P
42P
2S2
ac
RLCRL
RLCRLCRLCR
RLCRLLCRV)f(P
−ω⋅⋅⋅+ω⋅+
+−ω⋅⋅⋅⋅ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅⋅⋅⋅=
(2.133)
Para a análise do comportamento do filtro projetado no domínio da
71
freqüência, plota-se o gráfico da potência entregue a lâmpada para uma resistência
equivalente da lâmpada em regime permanente e para uma resistência de mil
vezes maior para representar a partida, para as duas respostas e para os dois
ângulos de projetos, mostrado nas Figura 2.47, Figura 2.48, Figura 2.49 e Figura
2.50.
Figura 2.47 - Gráfico da potência em função da freqüência para o regime permanente e para a partida para a primeira resposta com CP =100 nF utilizando
ângulo de defasagem –35°
Figura 2.48 - Gráfico da potência em função da freqüência para o regime permanente e para a partida para a primeira resposta com CP =100 nF utilizando
ângulo de defasagem +35°
72
Figura 2.49 - Gráfico da potência em função da freqüência para o regime permanente e para a partida para segunda resposta com CP =10 nF utilizando
ângulo de defasagem -35°
Figura 2.50 - Gráfico da potência em função da freqüência para o regime permanente e para a partida para a segunda resposta com CP =10 nF utilizando
ângulo de defasagem +35°
Pode-se observar nos gráfico que para as duas respostas e para os dois
ângulos de projeto, na freqüência de projeto, tem-se o valor da potência de
projeto, no entanto a potência da partida só é obtida para o ângulo de +35º para as
duas respostas.
2.5.3.2.2 Análise no domínio do tempo
A análise do filtro C série LC paralelo é feita através das leis de circuitos
elétricos utilizando variáveis de estado. Através desta abordagem podemos
visualizar a forma de onda entregue pelo filtro à lâmpada, através da forma de
73
onda da entrada fornecida pelo conversor, analisando-se todas as harmônicas
utilizando o princípio da superposição. É definida a expressão de variáveis de
estado
u(t)DX(t)CY(t)
u(t)BX(t)AX(t)dt
d
⋅+⋅=
⋅+⋅= (2.134)
O circuito da Figura 2.40 é equacionado pela lei das correntes de Kirchoff
[ ] 0)t(i)t(VR
1)t(V
dt
dC)t(V)t(V
dt
dC LpCpCpPSCpS =+⋅+⋅+−⋅ (2.135)
Pela definição da tensão no indutor tem-se
)t(V(t)idt
dL CpLpP =⋅ (2.136)
Pela definição da corrente no capacitor série tem-se
)t(Vdt
dC(t)i CpPCp ⋅= (2.137)
Isolando dVCp(t)/dt na equação (2.135) e substituindo na equação (2.137)
tem-se
( ) )t(Vdt
d
CC
CC)t(V
CCR
C)t(i
CC
C(t)i S
PS
PSCp
PS
PLp
PS
PCp ⋅
+⋅+⋅
+⋅−⋅
+−= (2.138)
Pela equação das correntes de Kirchoff obtém-se a expressão para a
corrente série do filtro
)t(i)t(i)t(VR
1(t)i CpLpCpS ++= (2.139)
Pelas equações (2.136), (2.137), (2.138) e (2.139) pode-se escrever o filtro
por vaiáveis de estado
74
(t)VCC
C0
(t)V
(t)i
)CC(R
1-
CC
1L
10
(t)V
(t)i
dt
dS
PS
S
Cp
Lp
PSPS
P
Cp
Lp ⋅
++
⋅
+⋅+−
=
(2.140)
(t)Vdt
d
CC
CC0
(t)V
(t)i
CC
C1
R
1
CC
C-1
10
)t(i
)t(V
S
PS
PS
Cp
Lp
PS
P
PS
P
F
R
⋅
+⋅+
+
⋅
+
−⋅+
=
(2.141)
Pode-se definir as matrizes X(t), Y(t), A, B, C e D.
+⋅=
+
−⋅⋅+
=
+=
+⋅+−
=
=
=
PS
PS
PS
P
PS
P
PS
S
PSPS
P
F
R
Cp
Lp
CC
CC0
DCC
C1
R
1
CC
C-1
10C
CC
C0
B
)CC(R
1-
CC
1L
10
A(t)i
(t)VY(t)
(t)V
(t)iX(t)
2.5.3.2.2.1 Cálculo da Dinâmica do Filtro
Definido as matrizes, o calculo é feito de maneira análoga a do calculo do
filtro LC série, porque os dois filtros são de mesma ordem.
2.5.3.2.2.2 Cálculo da Resposta Particular
Devido ao filtro ser de mesma ordem que o filtro LC série, o cálculo
desenvolve-se de maneira similar.
Considerando o exemplo, pode-se verificar a potência na saída do filtro
pela equação
75
R
1
2
KbKaP
2
1n
2n,1
2n,1 ⋅
+= ∑
∞
=
(2.142)
Verifica-se a partir de (2.142) a potência de 40,758; 40,184; 44,224 e
42,967 para regime permanente e a potência de partida de 0,047; 30,577; 0,051 e
30,58 para a primeira resposta com os ângulos de defasagem –35º e 35º e para a
segunda resposta com os ângulos de defasagem de –35º e +35º respectivamente.
Para estudar o regime permanente, só analisa-se a resposta particular , na
qual é plotado nas Figura 2.51 e Figura 2.52 para a primeira resposta com os dois
ângulos do exemplo a harmônica fundamental, para verificarmos o ângulo de
defasagem e nas Figura 2.53, Figura 2.54, Figura 2.55 e Figura 2.56 é plotado
para 199 harmônicas para os quatro projetos do exemplo. Para a análise da partida
deve-se considerar a resposta geral, na qual são plotadas nas Figura 2.57, Figura
2.58, Figura 2.59 e Figura 2.60 para as duas respostas com os dois ângulos do
exemplo para 19 harmônicas.
Figura 2.51 - Forma de onda da fundamental da tensão aplicada ao filtro e da corrente do filtro para a primeira resposta com ângulo de defasagem de –35°
76
Figura 2.52 - Forma de onda da fundamental da tensão aplicada ao filtro e da corrente do filtro para a primeira resposta com ângulo de defasagem de +35°
Figura 2.53 – Forma de onda da tensão aplicada ao filtro e a tensão na saída do filtro considerando 199 harmônicas para a primeira resposta, CP=100nF, com
ângulo de defasagem de –67°
Figura 2.54 – Forma de onda da tensão aplicada ao filtro e a tensão na saída do filtro considerando 199 harmônicas para a primeira resposta, CP=100nF, com
ângulo de defasagem de +67°
77
Figura 2.55 – Forma de onda da tensão aplicada ao filtro e a tensão na saída do filtro considerando 199 harmônicas para a segunda resposta, CP=10nF, com
ângulo de defasagem de –67°
Figura 2.56 – Forma de onda da tensão aplicada ao filtro e a tensão na saída do filtro considerando 199 harmônicas para a segunda resposta, CP=10nF, com
ângulo de defasagem de +67°
Figura 2.57 – Forma de onda da tensão de saída na partida da lâmpada para a primeira resposta, CP=100nF, com ângulo de defasagem –35°
78
Figura 2.58 – Forma de onda da tensão de saída na partida da lâmpada para a primeira resposta, CP=100nF, com ângulo de defasagem +35°
Figura 2.59 – Forma de onda da tensão de saída na partida da lâmpada para a segunda resposta, CP=10nF com ângulo de defasagem –35°
79
Figura 2.60 – Forma de onda da tensão de saída na partida da lâmpada para a segunda resposta, CP=10nF, com ângulo de defasagem +35°
A análise dos ganhos de cada freqüência foi feita através espectro de
freqüência da saída do filtro e da entrada do filtro para as duas respostas, com os
dois ângulos de projeto, para regime permanente e para a partida da lâmpada,
sendo calculado o espectro de freqüência da saída por (2.143) e plotado nas Figura
2.61, Figura 2.62, Figura 2.63 e Figura 2.64.
( ) ( )100
a
KbKaGF
1
2n,1
2n,1
n ⋅+
= (2.143)
(a)
(b)
Figura 2.61 – Espectro de freqüência do filtro para a primeira resposta, CP=100nF, com ângulo de projeto de –67°: (a) regime permanente; (b) partida da Lâmpada.
80
(a)
(b)
Figura 2.62 – Espectro de freqüência do filtro para a primeira resposta, CP=100nF, com ângulo de projeto de +67°: (a) regime permanente; (b) partida da Lâmpada.
(a)
(b)
Figura 2.63 – Espectro de freqüência do filtro para a segunda resposta, CP=10nF, com ângulo de projeto de –67°: (a) regime permanente; (b) partida da Lâmpada.
(a)
(b)
Figura 2.64 – Espectro de freqüência do filtro para a segunda resposta, CP=10nF, com ângulo de projeto de +67°: (a) regime permanente; (b) partida da Lâmpada.
2.5.3.3 Conclusão
O método de projeto possui a característica de através do ângulo de
defasagem manter a potência de projeto na saída para regime permanente, o que
foi observado para os quatro exemplos. A condição de partida instantânea só foi
cumprida pelos projetos utilizando ângulo de defasagem de + 35º, sendo que o
81
projeto para a primeira resposta teve um menor conteúdo harmônico em regime
permanente. Os dois projetos para a partida instantânea com ângulo de defasagem
de +35º, não realizam comutação ZVS. Este tipo de filtro pode cumprir somente
uma das condições, ou partida instantânea ou comutação ZVS, o que o torna não
utilizado em reatores eletrônicos.
2.5.4 Filtro LC Série C Paralelo
A configuração do filtro LC série C paralelo de terceira ordem é mostrado
na Figura 2.65, constituído de um indutor LS, um capacitor CS em série e um
capacitor CP paralelo com a lâmpada. No equacionamento do filtro a lâmpada é
modelada por uma resistência equivalente, para a simplificação dos cálculos. Este
estudo mostrará o desenvolvimento de um método de projeto, baseado no ângulo
de defasagem da corrente em relação a fundamental da onda de tensão aplicada,
procurando através deste adequar a potência na saída em regime permanente e
elevar a tensão para a partida da lâmpada. Será apresentado um exemplo de
projeto com o objetivo de ilustrar o método, mostrar sua eficiência e simplicidade.
O estudo do desempenho do filtro será feito através do equacionamento por
variáveis de estado, podendo visualizar-se a composição harmônica da saída do
filtro e a forma de onda de tensão para o regime permanente e para a partida.
Figura 2.65 - Circuito LC série C paralelo
2.5.4.1 Equacionamento para o Projeto do Filtro LC série C paralelo
Para o método de projeto utilizando o filtro LC série C paralelo, deve-se
82
calcular a impedância equivalente de entrada do circuito
PS ZZZ += (2.144)
A impedância paralela é calculada por
ω⋅⋅+= PP
CjR
1
Z
1 (2.145)
R
CRj1
Z
1 P
P
ω⋅⋅⋅+= (2.146)
ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅⋅−
⋅ω⋅⋅⋅+
=P
P
PP CRj1
CRj1
CRj1
RZ (2.147)
22P
2
P2
PCR1
CRjRZ
ω⋅⋅−ω⋅⋅⋅−= (2.148)
A impedância série é dada por
ω⋅−ω⋅⋅=
SSS C
jLjZ (2.149)
ω⋅−ω⋅⋅⋅
=S
2SS
S C
jLCjZ (2.150)
Substituindo (2.148) e (2.149) em (2.144) tem-se
( )22
P2
P2
S
2SS
CR1
CRjR
C
1LCjZ
ω⋅⋅−ω⋅⋅⋅−
+ω⋅
−ω⋅⋅⋅= (2.151)
( ) ( ) ( )( )22
P2
S
P2
S22
P22
SS
CR1C
CRjRCCR11LCjZ
ω⋅⋅−⋅ω⋅ω⋅⋅⋅−⋅ω⋅+ω⋅⋅−⋅−ω⋅⋅⋅= (2.152)
( )( ) ( )
( )
ω⋅⋅−⋅ω⋅ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅−⋅−ω⋅⋅
⋅+
+ω⋅⋅−⋅ω⋅
ω⋅⋅=
22P
2S
2PS
222P
22SS
22P
2S
S
CR1C
CCRCR11LCj
CR1C
CRZ
(2.153)
83
O método desenvolvido é baseado no ângulo de defasagem entre a
corrente e a fundamental da forma de onda da tensão aplicada ao filtro. Para
encontrarmos este ângulo deve-se calcular o argumento da impedância
equivalente do circuito
( )( )
ωω=
X
Yarctanarg(Z) (2.154)
( ) ( )
ω⋅⋅
ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅−⋅−ω⋅⋅=
S
2PS
222P
22SS
CR
CCRCR11LCarctanarg(Z) (2.155)
De maneira análoga a do filtro LC série, o ângulo de defasagem da
corrente é dado por
( ) ( )
ω⋅⋅
ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅−⋅−ω⋅⋅−=φ
S
2PS
222P
22SS
CR
CCRCR11LCarctan (2.156)
De maneira similar a do filtro LC série é calculada a potência da lâmpada
por
( )( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]2
PS222
P22
SSS
2PS
222P
22SSS
2PS
222P
22SSS
22P
2S
CCRCR11LCjCR
CCRCR11LCjCR
CCRCR11LCjCR
CR1C
Z
1
ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅−⋅−ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅−⋅−ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅
⋅
⋅ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅−⋅−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅
ω⋅⋅−⋅ω⋅=
(2.157)
( )
( ) ( )[ ]
ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅−⋅−ω⋅⋅+
+ω⋅⋅ω⋅⋅+⋅ω⋅⋅
=
22PS
222P
22SS
22S
2
22P
222S
CCRCR11LC
CR
CR1CR
Z
1Re
(2.158)
A expressão da potência real do filtro pode ser escrita por
84
( )
( ) ( )[ ]
ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅−⋅−ω⋅⋅+
+ω⋅⋅ω⋅⋅+⋅ω⋅⋅
⋅=
22PS
222P
22SS
22S
2
22P
222S2
ac
CCRCR11LC
CR
CR1CRVP
(2.159)
Pode-se verificar uma parte em comum entre as expressões (2.156) e
(2.159). Esta parte comum é atribuída a
( ) ( ) 2PS
222P
22SS CCRCR11LCM ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅−⋅−ω⋅⋅= (2.160)
As expressões (2.156) e (2.159) podem ser juntadas
ω⋅⋅
=φSCR
M-arctan (2.161)
)tan(CRM S φ−⋅ω⋅⋅= (2.162)
222S
2
22P
222S2
acMCR
)CR(1CRVP
+ω⋅⋅ω⋅⋅+⋅ω⋅⋅
⋅= (2.163)
[ ]2S
22S
2
22P
222S2
ac)tan(-CRCR
)CR(1CRVP
φ⋅ω⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅⋅+⋅ω⋅⋅
⋅= (2.164)
[ ])(tan1R
CR1VP
2
22P
22
ac φ−+⋅ω⋅⋅+
⋅= (2.165)
[ ] 22P
2
2ac
2
CR1V
)(tan1RPω⋅⋅+=φ−+⋅⋅
(2.166)
[ ]1
V
)(tan1RPCR
2ac
222
P2 −φ−+⋅⋅=ω⋅⋅ (2.167)
[ ]1
V
)(tan1RP
R
1)(C
2ac
2
P −φ−+⋅⋅⋅ω⋅
=φ (2.168)
O equacionamento deste filtro nos mostra que o valor do capacitor paralelo
CP depende do valor da resistência equivalente da lâmpada R, da freqüência ω e
85
potência P de operação, que são definidas no projeto e uma variável φ livre. Pelas
equações (2.160) e (2.162) encontra-se o valor de LS
( ) ( ) 2PS
222P
22SSS CCRCR11LC)tan(-CR ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅−⋅−ω⋅⋅=φ⋅ω⋅⋅ (2.169)
( ) ( ) 2PS
2S
22P
22SS CCR)tan(-CRCR11LC ω⋅⋅⋅+φ⋅ω⋅⋅=ω⋅⋅−⋅−ω⋅⋅ (2.170)
( ))CR1(
CCR)tan(-CR1LC
22P
2
2PS
2S2
SSω⋅⋅−
ω⋅⋅⋅+φ⋅ω⋅⋅=−ω⋅⋅ (2.171)
1)CR1(
CCR)tan(-CRLC
22P
2
2PS
2S2
SS +ω⋅⋅−
ω⋅⋅⋅+φ⋅ω⋅⋅=ω⋅⋅ (2.172)
2S
22P
22S
2PS
2S
SC
1
)CR1(C
CCR)tan(-CR)(L
ω⋅+
ω⋅⋅−⋅ω⋅ω⋅⋅⋅+φ⋅ω⋅⋅
=φ (2.173)
A expressão (2.173) representa o valor do indutor do filtro LS em função
da resistência equivalente, da freqüência angular ω, do capacitor do filtro CP e um
valor de projeto para o capacitor CS. O valor de φ deve ser escolhido para que um
desempenho adequado do filtro seja obtido.
2.5.4.2 Análise do Desempenho do Filtro LC Série C paralelo
A análise do desempenho do filtro será feita através de um exemplo,
mostrando a potência entregue a lâmpada em função da freqüência e obtendo suas
formas de onda por variáveis de estado para cada harmônica, e pelo princípio da
superposição fazer o somatório de cada harmônica na saída.
Para o exemplo consideram-se os seguintes dados de projeto:
Entrada: Forma de onda assimétrica característica dos conversores half-
bridge;
Tensão VPP= 155 V;
Razão cíclica D = 0,4
86
Freqüência f = 50 kHz.
-Saída: Potência P = 40 W
Resistência equivalente da lâmpada em regime permanente R=250;
Resistência equivalente da lâmpada na partida Rp = 1000.R;
Pela soma de Fourier determina-se o valor da fundamental por (2.12) e
calcula-se o seu valor RMS.
66,36V2
aV ac
1ac ==
Pelas equações (2.168) e (2.173) pode-se construir o gráfico do valor do
capacitor CP e do indutor LS em função do ângulo de defasagem φ, nas figuras
Figura 2.66 e Figura 2.67 respectivamente
Figura 2.66 - Gráfico do valor do capacitor paralelo CP em função do ângulo de defasagem φ
87
Figura 2.67 - Gráfico do valor do indutor série LS em função do ângulo de defasagem φ, para vários valores de CS.
A escolha do ângulo de defasagem φ deve ser para otimizar o
comportamento do filtro, adequando as características de partida e reduzindo as
perdas. A característica de partida é analisada pelo gráfico da potência do filtro, na
partida e em regime permanente, em função do ângulo de defasagem φ, Figura
2.68.
Figura 2.68 - Gráfico da potência em regime permanente e na partida em função do ângulo de defasagem
Pode-se observar na Figura 2.68 que a potência em regime permanente
permanece constante para toda a variação do ângulo de defasagem φ, no entanto a
potência na partida possui um valor elevado para uma determinada faixa do
88
ângulo de defasagem. Para o projeto deve-se escolher o ângulo de acordo com as
necessidades, sendo que para uma partida instantânea deve-se escolhe um ângulo
que possui uma potência elevada na partida, e para a redução das perdas escolher-
o ângulo de defasagem negativo próximo a zero.
Para esta análise considera-se que o projeto requer partida instantânea. O
ângulo de projeto escolhido graficamente pela Figura 2.68 é -35º.
Possuindo o ângulo de projeto, os valores dos componentes do filtro
podem ser obtidos através das equações (2.168) e (2.173) ou graficamente pelas
Figura 2.66 e Figura 2.67. No exemplo ilustra-se o projeto para dois ângulos, o
ângulo para a partida instantânea e seu valor simétrico, obtendo-se os seguintes
valores dos componentes
Cs=100nF CP(-35º) = 19,66 nF LS(-35º) = 629 µH
Cs=100nF CP(-35º) = 19,66 nF LS(-35º) = 299,8 µH
2.5.4.2.1 Análise no domínio da freqüência
A expressão da potência real em função da freqüência do conjunto filtro
lâmpada, que representa a potência entregue a lâmpada é dada por
( )
( ) ( )[ ]
ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅−⋅−ω⋅⋅+
+ω⋅⋅ω⋅⋅+⋅ω⋅⋅
⋅=
22PS
222P
22SS
22S
2
22P
222S2
ac
CCRCR11LC
CR
CR1CRVP(f)
(2.174)
Para a análise do comportamento do filtro projetado no domínio da
freqüência, plota-se o gráfico da potência entregue a lâmpada para uma resistência
equivalente da lâmpada em regime permanente e para uma resistência de mil
vezes maior para representar a partida, para os dois projetos, mostrado nas Figura
2.69 e Figura 2.70.
89
Figura 2.69 - Gráfico da potência em função da freqüência para o regime permanente e para a partida utilizando ângulo de defasagem –35°
Figura 2.70 - Gráfico da potência em função da freqüência para o regime permanente e para a partida utilizando ângulo de defasagem +67°
Pode-se observar no gráfico que para os dois ângulos de projeto, na
freqüência de projeto, tem-se o valor da potência de projeto, no entanto só se
obtém a partidas instantânea para o ângulo de projeto de –35º.
2.5.4.2.2 Análise no domínio do tempo
A análise do filtro LC série é feita através das leis de circuitos elétricos
utilizando variáveis de estado. Através desta abordagem pode-se visualizar a
forma de onda entregue pelo filtro à lâmpada, através da forma de onda da entrada
fornecida pelo conversor, analisando-se todas as harmônicas utilizando o princípio
da superposição. É definida a expressão de variáveis de estado
90
u(t)DX(t)CY(t)
u(t)BX(t)AX(t)dt
d
⋅+⋅=
⋅+⋅= (2.175)
O circuito da Figura 2.65 é equacionado pela lei das tensões de Kirchoff
(t)V(t)V(t)V(t)idt
dL SCpCsLsS =++⋅ (2.176)
Pela lei das correntes de Kirchoff tem-se
(t)iR
)t(V(t)V
dt
dC Ls
Cp
CpP =+⋅ (2.177)
A corrente no capacitor é definida por
(t)i(t)Vdt
dC LsCsS =⋅ (2.178)
Pelas equações (2.176), (2.177) e (2.178) pode-se escrever o filtro por
vaiáveis de estado
(t)V
0
0L
1
(t)V
(t)V
(t)i
00C
1
0CR
1
C
1L
1
L
10
(t)V
(t)V
(t)i
dt
dS
S
Cs
Cp
Ls
S
PP
SS
Cs
Cp
Ls
⋅
+
⋅
⋅−
−−
=
(2.179)
(t)V0
0
(t)V
(t)V
(t)i
001
010
)t(i
)t(VS
Cs
Cp
Ls
F
R ⋅
+
⋅
=
(2.180)
Pode-se definir as matrizes X(t), Y(t), A, B, C e D.
91
=
=
=
⋅−
−−
=
=
=
0
0D
001
010C
0
0L
1
B
00C
1
0CR
1
C
1L
1
L
10
A(t)i
(t)VY(t)
(t)V
(t)V
(t)i
X(t)
S
S
PP
SS
F
R
Cs
Cp
Ls
2.5.4.2.2.1 Cálculo da Dinâmica do Filtro
A dinâmica do filtro é descrita pelos autovalores e autovetores da matriz A
s(A)autovalorer = (2.181)
)r,A(sautovetore)r( =ξ (2.182)
Onde r é os autovalores da matriz A, como A é de ordem 3, r possui três
valores, sendo que para cada autovalor tem um autovetor associado, cada coluna
dos autovetores é associada a um autovalor.
ξξξξξξξξξ
=ξ
=
222120
121110
020100
2
1
0
)r()r()r(
)r()r()r(
)r()r()r(
r
r
r
r (2.183)
A resposta transitória do filtro ou resposta homogênea é dada pela equação
(2.184), onde Kc0, Kc1 e Kc2 são constantes que serão determinadas no decorrer
do desenvolvimento.
⋅⋅⋅
⋅ξ=ψ⋅
⋅
⋅
tr2
tr1
tr0
2
1
0
eKc
eKc
eKc
)t(
(2.184)
92
2.5.4.2.2.2 Cálculo da Resposta Particular
Para a resposta particular deve-se admitir uma resposta para o sistema
)tsen(Kb)tcos(Ka)t(XP ⋅ω⋅+⋅ω⋅= (2.185)
A resposta forçada (2.185), pode ser representada por
)tsen(
Kb
Kb
Kb
)tcos(
Ka
Ka
Ka
)t(V
)t(V
)t(i
2
1
0
2
1
0
CsP
CpP
LsP
⋅ω⋅
+⋅ω⋅
=
(2.186)
onde iLsP(t) é a resposta particular de iLs(t), VCpp(t) a resposta particular de
VCp(t) e VCsp a resposta particular de VCs(t). Ka e Kb são constantes que devem ser
determinadas. A derivada da resposta forçada é dada por
)tcos(
Kb
Kb
Kb
)tsen(
Ka
Ka
Ka
)t(V
)t(V
)t(i
dt
d
2
1
0
2
1
0
CsP
CpP
LsP
⋅ω⋅
⋅ω+⋅ω⋅
⋅ω−=
(2.187)
Substituindo (2.186) e (2.187) em (2.179) obtém-se
)tsen(b)tcos(a(C
)tsen(
Kb
Kb
Kb
)tcos(
Ka
Ka
Ka
A
)tcos(
Kb
Kb
Kb
)tsen(
Ka
Ka
Ka
2
1
0
2
1
0
2
1
0
2
1
0
⋅ω⋅+⋅ω⋅⋅
+
⋅ω⋅
+⋅ω⋅
⋅
=⋅ω⋅
⋅ω+⋅ω⋅
⋅ω−
(2.188)
Onde a e b são obtidos através da decomposição da onda quadrada da
entrada em série de Fourier. Pode-se igualar os termos em que envolvem senos e
os que envolvem cosseno, obtendo-se as igualdades
⋅=⋅−⋅ω⋅=⋅−⋅ω−
⋅+⋅=⋅ω⋅+⋅=⋅ω−
aBKaAKb
bBKbAKa
aBKaAKb
bBKbAKa (2.189)
93
Fazendo o produto de A⋅Ka e A⋅Kb obtém-se
bB
KbAKbAKbA
KbAKbAKbA
KbAKbAKbA
Ka
Ka
Ka
aB
KaAKaAKaA
KaAKaAKaA
KaAKaAKaA
Kb
Kb
Kb
22,211,200,2
22,111,100,1
22,011,000,0
2
1
0
22,211,200,2
22,111,100,1
22,011,000,0
2
1
0
⋅=
⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅
−
⋅ω−
⋅=
⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅
−
⋅ω
(2.190)
reorganizando as matrizes de (2.190) e isolando os termos Ka e Kb têm-se
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
=
⋅−⋅−⋅−
⋅ω
⋅−⋅−⋅ω−⋅−⋅−⋅ω−⋅−⋅−⋅ω−
⋅−⋅−⋅−⋅ω⋅−⋅−⋅−
⋅ω⋅−⋅−⋅−
bB
bB
bB
aB
aB
aB
KbA
KbA
KbA
Kb
0
0
KbAKbAKa00
KbAKbA0Ka0
KbAKbA00Ka
00KaAKaAKaA
Kb0KaAKaAKaA
0KbKaAKaAKaA
2
1
0
2
1
0
22,2
22,1
22,0
2
11,200,22
11,100,11
11,000,00
22,211,200,2
122,111,100,1
022,011,000,0
(2.191)
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
=
⋅
−−−ω−−−−ω−−−−ω−
ω−−−ω−−−
ω−−−
bB
bB
bB
aB
aB
aB
Kb
Kb
Kb
Ka
Ka
Ka
AAA00
AAA00
AAA00
00AAA
00AAA
00AAA
2
1
0
2
1
0
2
1
0
2
1
0
2,21,20,2
2,11,10,1
2,01,00,0
2,21,20,2
2,11,10,1
2,01,00,0
(2.192)
Desta forma pode-se encontrar os coeficientes Ka e Kb para a solução da
resposta particular
94
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅
−−−ω−−−−ω−−−−ω−
ω−−−ω−−−
ω−−−
=
−
bB
bB
bB
aB
aB
aB
AAA00
AAA00
AAA00
00AAA
00AAA
00AAA
Kb
Kb
Kb
Ka
Ka
Ka
2
1
0
2
1
0
1
2,21,20,2
2,11,10,1
2,01,00,0
2,21,20,2
2,11,10,1
2,01,00,0
2
1
0
2
1
0
(2.193)
Este procedimento deve ser repetido para cada harmônica, encontrando um
Ka e um Kb para cada freqüência de entrada.
Com a resposta particular calculada, deve-se calcular os coeficientes da
resposta geral relativa a parte homogênea, sendo a resposta geral descrita por
( )∑∞
=⋅
⋅
⋅
⋅ω⋅+⋅ω⋅+
⋅⋅⋅
⋅ξ=1n
nntr
2
tr1
tr0
)tsen(Kb)tcos(Ka
eKc
eKc
eKc
)t(X2
1
0
(2.194)
Considerando as condições iniciais iLs(0), VCp(0) e VCs(0) pode-se igualar
a reposta geral com tempo zero.
∑∞
=
+
⋅ξ=
1nn
2
1
0
Ka
Kc
Kc
Kc
)0(X (2.195)
Calculam-se as constantes a partir de (2.195) em
−⋅ξ=
∑∞
=
−
1nn
1
2
1
0
Ka)0(X
Kc
Kc
Kc
(2.196)
Considerando o exemplo, pode-se verificar a potência na saída do filtro
pela equação
( ) ( )R
1
2
KbKaP
2
1n
2n,1
2n,1 ⋅
+= ∑
∞
=
(2.197)
95
Verifica-se a partir de (2.197) a potência de 40,117 e 41,0283,055 para
regime permanente e a potência de partida de 30,577 e 0,048 para os ângulos de
defasagem –67º e +67º respectivamente.
Para estudar o regime permanente, só analisa-se a resposta particular
descrita em (2.186), na qual é plotado nas Figura 2.71 e Figura 2.72 para os dois
ângulos do exemplo a harmônica fundamental, para verificar-se o ângulo de
defasagem e nas Figura 2.73 e Figura 2.74 são plotados para 199 harmônicas. Para
a análise da partida deve-se considerar a resposta geral descrita em (2.194), sendo
plotado nas Figura 2.75 e Figura 2.76 para os dois ângulos do exemplo para 19
harmônicas.
Figura 2.71 - Forma de onda da fundamental da tensão aplicada ao filtro e da corrente do filtro com defasagem de –67°
Figura 2.72 - Forma de onda da fundamental da tensão aplicada ao filtro e da corrente do filtro com defasagem de +67°
96
Figura 2.73 – Forma de onda da tensão aplicada ao filtro e a tensão na saída do filtro considerando 199 harmônicas para defasagem de –67°
Figura 2.74 – Forma de onda da tensão aplicada ao filtro e a tensão na saída do filtro considerando 199 harmônicas para defasagem de +67°
Figura 2.75 – Forma de onda da tensão de saída na partida da lâmpada para o ângulo de defasagem de –67°.
97
Figura 2.76 – Forma de onda da tensão de saída na partida da lâmpada para o ângulo de defasagem de +67°.
A análise dos ganhos de cada freqüência foi feita através espectro de
freqüência da saída do filtro e da entrada do filtro para os dois ângulos de projeto,
para regime permanente e para a partida da lâmpada, sendo calculado o espectro
de freqüência da saída por (2.198) e plotado nas Figura 2.77 e Figura 2.78.
( ) ( )100
a
KbKaGF
1
2n,1
2n,1
n ⋅+
= (2.198)
(a)
(b)
Figura 2.77 – Espectro de freqüência do filtro com ângulo de projeto de –67°: (a) regime permanente; (b) partida da Lâmpada.
98
(a)
(b)
Figura 2.78 – Espectro de freqüência do filtro com ângulo de projeto de +67°: (a) regime permanente; (b) partida da Lâmpada.
2.5.4.3 Conclusão
O método de projeto possui a característica de através do ângulo de
defasagem manter a potência de projeto na saída. As características de partida da
lâmpada foram obtidas para o ângulo de projeto de –35º, este ângulo também
realiza a comutação ZVS, o que torna seu emprego atrativo, portanto muito
empregado.
2.5.5 Filtro LC Série L Paralelo
A configuração do filtro LC série L paralelo de terceira ordem é mostrado
na Figura 2.79, constituído de um capacitor CS em série, um indutor LS em série e
um indutor Lp em paralelo com a lâmpada. A lâmpada é modelada da mesma
maneira que o filtro LC série, através do modelo resistivo. Este estudo mostrará o
desenvolvimento do método de projeto, baseado no ângulo de defasagem da
corrente em relação a fundamental da onda de tensão aplicada, procurando através
deste adequar a potência na saída em regime permanente e elevar a tensão para a
partida da lâmpada. Será apresentado um exemplo de projeto, com o objetivo de
ilustrar o método e mostrar seu desempenho. O estudo das características do filtro
será feito através do equacionamento por variáveis de estado, podendo visualizar-
se a composição harmônica da saída do filtro e a forma de onda de tensão para o
regime permanente e para a partida.
99
Figura 2.79 - Circuito LC série L paralelo
2.5.5.1 Equacionamento para o Projeto do Filtro LC série L paralelo
Para o método de projeto utilizando o filtro LC série L paralelo, deve-se
calcular a impedância equivalente de entrada do circuito
PS ZZZ += (2.199)
A expressão da impedância série é dada por
ω⋅−ω⋅⋅=
SSS C
jLjZ (2.200)
ω⋅−ω⋅⋅⋅
=S
SSS C
jLCjZ (2.201)
A impedância ZP é definida por
ω⋅−=
PP L
j
R
1
Z
1 (2.202)
RjL
LRZ
P
PP ⋅−ω⋅
ω⋅⋅= (2.203)
)RjL(
)RjL(
RjL
LRZ
P
P
P
PP ⋅+ω⋅
⋅+ω⋅⋅
⋅−ω⋅ω⋅⋅
= (2.204)
222P
P222
PP
RL
LRjLRZ
+ω⋅ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅
= (2.205)
Substituindo (2.201) e (2.205) em (2.199) tem-se
100
( )222
P
P222
P
S
2SS
RL
LRjLR
C
1LCjZ
+ω⋅ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅
+ω⋅
−ω⋅⋅⋅= (2.206)
( ) ( )( )
( )( )222
PS
P222
PS
222PS
222P
2SS
RLC
LRjLRC
RLC
RL1LCjZ
+ω⋅⋅ω⋅ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅⋅ω⋅
+
++ω⋅⋅ω⋅
+ω⋅⋅−ω⋅⋅⋅=
(2.207)
( )( ) ( )
( )
+ω⋅⋅ω⋅ω⋅⋅⋅++ω⋅⋅−ω⋅⋅
⋅+
++ω⋅⋅ω⋅ω⋅⋅⋅
=
222PS
2PS
2222P
2SS
222PS
32PS
RLC
LCRRL1LCj
RLC
LCRZ
(2.208)
O método desenvolvido é baseado no ângulo de defasagem entre a
corrente e a fundamental da forma de onda da tensão aplicada ao filtro. Para
encontrarmos este ângulo deve-se calcular o argumento da impedância
equivalente do circuito
( )( )
ωω=
X
Yarctanarg(Z) (2.209)
( ) ( )
ω⋅⋅⋅ω⋅⋅⋅++ω⋅⋅−ω⋅⋅
=32
PS
2PS
2222P
2SS
LCR
LCRRL1LCarctanarg(Z) (2.210)
De maneira análoga a calculada para o filtro LC série, φ assume a
expressão
( ) ( )
ω⋅⋅⋅ω⋅⋅⋅++ω⋅⋅−ω⋅⋅
−=φ32
PS
2PS
2222P
2SS
LCR
LCRRL1LCarctan (2.211)
De maneira análoga ao calculo do filtro LC série, deve-se calcular a parte
real de 1/Z
101
( )
( ) ( )( )⋅ω⋅⋅⋅++ω⋅⋅−ω⋅⋅⋅+
+ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅
=
2PS
2222P
2SS
32PS
222PS
LCRRL1LCj
LCR
RLC
Z
1
(2.212)
Multiplicando a expressão (2.212) pelo seu conjugado e separando a sua
parte real tem-se
( )[
( ) ( )]22SS
222P
2PS
264P
2S
2
222P
42P
2S
1LCRL
LCRLCR
RLLCR
Z
1Re
−ω⋅⋅⋅+ω⋅−
−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅⋅⋅
=
(2.213)
A expressão da potência real do filtro pode ser escrita por
( )[
( ) ( )]22SS
222P
2PS
264P
2S
2
222P
42P
2S2
ac
1LCRL
LCRLCR
RLLCRVP
−ω⋅⋅⋅+ω⋅−
−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅⋅⋅
⋅=
(2.214)
Pode-se verificar uma parte em comum entre as expressões (2.211) e
(2.214). Esta parte comum é atribuída a
( ) ( )1LCRLLCRM 2SS
222P
2PS
2 −ω⋅⋅⋅+ω⋅−ω⋅⋅⋅= (2.215)
As expressões (2.211) e (2.214) podem ser juntadas
ω⋅⋅⋅=φ
32PS LCR
M-arctan (2.216)
)tan(LCRM 32PS φ−⋅ω⋅⋅⋅= (2.217)
( )264
P2
S2
222P
42P
2S2
acMLCR
RLLCRVP
+ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅⋅⋅
⋅= (2.218)
102
( )[ ]232
PS64
P2
S2
222P
42P
2S2
ac
)tan(LCRLCR
RLLCRVP
φ−⋅ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅⋅
+ω⋅⋅ω⋅⋅⋅⋅= (2.219)
( )[ ])(tan1LCR
RLLCRVP
264P
2S
2
222P
42P
2S2
ac φ−+⋅ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅⋅⋅
⋅= (2.220)
[ ] ( )222P
2ac
222P RLV)(tan1LRP +ω⋅⋅=φ−+⋅ω⋅⋅⋅ (2.221)
[ ]{ } 22ac
22ac
222P RVV)(tan1RPL ⋅=ω⋅−φ−+⋅ω⋅⋅⋅ (2.222)
[ ] 2ac
2
22ac
PV)(tan1RP
RV1)(L
−φ−+⋅⋅⋅
⋅ω
=φ (2.223)
O equacionamento deste filtro nos mostra que o valor do indutor paralelo
LP depende do valor da resistência equivalente da lâmpada R, da freqüência ω e
potência P de operação, que são definidas no projeto e uma variável φ livre. Pelas
equações (2.215) e (2.217) encontra-se o valor de CS
( ) ( )1LCRL
LCR)tan(LCR2
SS222
P
2PS
232PS
−ω⋅⋅⋅+ω⋅−
−ω⋅⋅⋅=φ−⋅ω⋅⋅⋅ (2.224)
( )2
PS2
222P
32PS
222P
2SS
LCR
RL)tan(LCRRLLC
ω⋅⋅⋅−
−+ω⋅+φ−⋅ω⋅⋅⋅=−ω⋅⋅ω⋅⋅ (2.225)
)RL(C
LCRRL)tan(LR)(L
222P
2S
2PS
2222P
32P
S−ω⋅⋅ω⋅
ω⋅⋅⋅−+ω⋅+φ−⋅ω⋅⋅=φ (2.226)
A expressão (2.226) representa o valor do indutor do filtro LS em função
das variáveis de LP, de um capacitor CS, que possui um valor de projeto, como LP
é função de φ, LS é função de φ. O valor de φ deve ser escolhido para que um
desempenho adequado do filtro seja obtido.
2.5.5.2 Análise do Desempenho do Filtro LC Série L paralelo
A análise do desempenho do filtro será feita através de um exemplo,
103
mostrando a potência entregue a lâmpada em função da freqüência e obtendo suas
formas de onda por variáveis de estado para cada harmônica, e pelo princípio da
superposição fazer o somatório de cada harmônica na saída.
Para o exemplo consideram-se os seguintes dados de projeto:
Entrada: Forma de onda assimétrica característica dos conversores half-
bridge;
Tensão VPP= 155 V;
Razão cíclica D = 0,4
Freqüência f = 50 kHz.
-Saída: Potência P = 40 W
Resistência equivalente da lâmpada em regime permanente R=250;
Resistência equivalente da lâmpada na partida Rp = 1000.R;
Pela soma de Fourier determina-se o valor da fundamental por (2.12) e
calcula-se o seu valor RMS.
66,36V2
aV ac
1ac ==
Pelas equações (2.223) e (2.226) pode-se construir o gráfico do valor do
capacitor LP e do indutor LS em função do ângulo de defasagem φ, nas figuras
Figura 2.80 e Figura 2.81 respectivamente
104
Figura 2.80 - Gráfico do valor do indutor paralelo LP em função do ângulo de defasagem φ
Figura 2.81 - Gráfico do valor do indutor série LS em função do ângulo de defasagem φ para vários valores de capacitores CS.
O ângulo de defasagem φ deve ser escolhido para otimizar o
comportamento do filtro, adequando as características de partida e reduzindo as
perdas. A característica de partida é analisada pelo gráfico da potência do filtro, na
partida e em regime permanente, em função do ângulo de defasagem φ, Figura
2.82.
105
Figura 2.82 - Gráfico da potência em regime permanente e na partida em função do ângulo de defasagem
Pode-se observar na Figura 2.82 que a potência em regime permanente
permanece constante para toda a variação do ângulo de defasagem φ, no entanto a
potência na partida possui um valor elevado para uma determinada faixa do
ângulo de defasagem. Para o projeto deve-se escolher o ângulo de acordo com as
necessidades, sendo que para uma partida instantânea deve-se escolhe um ângulo
que possui uma potência elevada na partida, e para a redução das perdas escolhe-
se o ângulo de defasagem negativo próximo a zero.
Para esta análise considera-se que o projeto requer partida instantânea. O
ângulo de projeto escolhido graficamente pela Figura 2.82 é +35º.
Possuindo o ângulo de projeto, os valores dos componentes do filtro,
podem ser obtidos através das equações (2.223) e (2.226) ou graficamente pelas
Figura 2.80 e Figura 2.81. No exemplo ilustra-se o projeto para dois ângulos, o
ângulo para a partida instantânea e seu valor simétrico, obtendo-se os valores
CS = 4,7nF LP(-35º) = 515,4 µH LS(-35º) = 1,957 mH
CS = 4,7nF LP(+35º) = 515,4 µH LS(+35º) = 1,628 mH
2.5.5.2.1 Análise no domínio da freqüência
A expressão da potência real em função da freqüência do conjunto filtro
106
lâmpada, que representa a potência entregue a lâmpada é dada por
( )[
( ) ( )]22SS
222P
2PS
264P
2S
2
222P
42P
2S2
ac
1LCRL
LCRLCR
RLLCRVP(f)
−ω⋅⋅⋅+ω⋅−
−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅⋅⋅
⋅=
(2.227)
Para a análise do comportamento do filtro projetado no domínio da
freqüência, plota-se o gráfico da potência entregue a lâmpada para uma resistência
equivalente da lâmpada em regime permanente e para uma resistência de mil
vezes maior para representar a partida, para os dois projetos, mostrado nas Figura
2.83 e Figura 2.84.
Figura 2.83 - Gráfico da potência em função da freqüência para o regime permanente e para a partida utilizando ângulo de defasagem –35°
Figura 2.84 - Gráfico da potência em função da freqüência para o regime permanente e para a partida utilizando ângulo de defasagem +35°
107
Pode-se observar no gráfico que para os dois ângulos de projeto, na
freqüência de projeto, tem-se o valor da potência de projeto, no entanto a potência
da partida só é obtida para o ângulo de +35º.
2.5.5.2.2 Análise no domínio do tempo
A análise do filtro LC série L paralelo é feita através das leis de circuitos
elétricos utilizando variáveis de estado. Através desta abordagem pode-se
visualizar a forma de onda entregue pelo filtro à lâmpada, através da forma de
onda da entrada fornecida pelo conversor, analisando-se todas as harmônicas
utilizando o princípio da superposição. É definida a expressão de variáveis de
estado
u(t)DX(t)CY(t)
u(t)BX(t)AX(t)dt
d
⋅+⋅=
⋅+⋅= (2.228)
O circuito da Figura 2.79 é equacionado pela lei das tensões de Kirchoff
[ ] (t)V)t(i)t(iR(t)V(t)idt
dL SLpLsCsLsS =−⋅++⋅ (2.229)
Pela definição da tensão no indutor tem-se
[ ])t(i)t(iR)t(idt
dL LpLsLpP −⋅=⋅ (2.230)
Pela definição da corrente no capacitor série tem-se
)t(i)t(Vdt
dC LsCsS =⋅ (2.231)
Pelas equações (2.229), (2.230) e (2.231) pode-se escrever o filtro por
vaiáveis de estado
108
(t)V
0
0L
1
(t)V
(t)i
(t)i
00C
1
0L
R
L
RL
1
L
R
L
R
(t)V
(t)i
(t)i
dt
dS
S
Cs
Lp
Ls
S
PP
SSS
Cs
Lp
Ls
⋅
+
⋅
−
−−
=
(2.232)
(t)V0
0
(t)V
(t)i
(t)i
001
0RR
)t(i
)t(VS
Cs
Lp
Ls
F
R ⋅
+
⋅
−=
(2.233)
Pode-se definir as matrizes X(t), Y(t), A, B, C e D.
=
=
=
−
−−
=
=
=
0
0D
001
0R-RC
0
0L
1
B
00C
1
0L
R
L
RL
1
L
R
L
R
A(t)i
(t)VY(t)
(t)V
(t)i
(t)i
X(t)
S
S
PP
SSS
F
R
Cs
Lp
Ls
2.5.5.2.2.1 Cálculo da Dinâmica do Filtro
Definido as matrizes, o calculo é feito de maneira análoga a do calculo do
filtro LC série C paralelo, porque os dois filtros são de mesma ordem.
2.5.5.2.2.2 Cálculo da Resposta Particular
Devido ao filtro ser de mesma ordem que o filtro LC série C paralelo, o
cálculo desenvolve-se de maneira similar.
Considerando o exemplo, pode-se verificar a potência na saída do filtro
pela equação
109
( ) ( )R
2
KbKbKaKaP
2
1n
2n,1n,0
2n,1n,0 ⋅
−+−= ∑
∞
=
(2.234)
Verifica-se a partir de (2.234) a potência de 40,089 e 40,137 para regime
permanente e a potência de partida de 0,047 e 30,578 para os ângulos de
defasagem –35º e +35º respectivamente.
Para estudar o regime permanente, só analisa-se a resposta particular, na
qual é plotado a harmônica fundamental nas Figura 2.85 e Figura 2.86 para os
dois ângulos do exemplo, para verificarmos o ângulo de defasagem e nas Figura
2.87 e Figura 2.88 são plotados para 199 harmônicas. Para a análise da partida
deve-se considerar a resposta geral, sendo plotado nas Figura 2.89 e Figura 2.90
para os dois ângulos do exemplo para 19 harmônicas.
Figura 2.85 - Forma de onda da fundamental da tensão aplicada ao filtro e da corrente do filtro com defasagem de –35°
110
Figura 2.86 - Forma de onda da fundamental da tensão aplicada ao filtro e da corrente do filtro com defasagem de +35°
Figura 2.87 – Forma de onda da tensão aplicada ao filtro e a tensão na saída do filtro considerando 199 harmônicas para defasagem de –67°
Figura 2.88 – Forma de onda da tensão aplicada ao filtro e a tensão na saída do filtro considerando 199 harmônicas para defasagem de +67°
111
Figura 2.89 – Forma de onda da tensão de saída do filtro na partida da lâmpada para o ângulo de defasagem –35°
Figura 2.90 – Forma de onda da tensão de saída do filtro na partida da lâmpada para o ângulo de defasagem +35°
A análise dos ganhos de cada freqüência foi feita através espectro de
freqüência da saída do filtro e da entrada do filtro para os dois ângulos de projeto,
para regime permanente e para a partida da lâmpada, sendo calculado o espectro
de freqüência da saída por (2.235) e plotado nas Figura 2.91 e Figura 2.92.
( )[ ] ( )[ ]100
a
RKbKbRKaKaGF
1
2n,1n,0
2n,1n,0
n ⋅⋅−+⋅−
= (2.235)
112
(a)
(b)
Figura 2.91 – Espectro de freqüência do filtro com ângulo de projeto de –67°: (a) regime permanente; (b) partida da Lâmpada.
(a)
(b)
Figura 2.92 – Espectro de freqüência do filtro com ângulo de projeto de +67°: (a) regime permanente; (b) partida da Lâmpada.
2.5.5.3 Conclusão
O método de projeto possui a característica de através do ângulo de
defasagem manter a potência de projeto na saída. No exemplo pode ser observado
que para o ângulo de projeto de –35 e +35° se obteve um valor de potência muito
próximo ao de projeto, devido ao conteúdo harmônico reduzido da saída. No
projeto utilizando ângulo de projeto de +35º se obteve ganhos elevados na partida,
o que é necessário para a partida instantânea, mas este ângulo não realizaria a
comutação ZVS. No projeto utilizando o ângulo de projeto de -35º realiza a
comutação ZVS, no entanto não possui ganhos elevados na partida, o que é
necessário para a partida instantânea. Este filtro não é normalmente empregado
em reatores eletrônicos por não realizar a partida instantânea junto com a
comutação ZVS.
113
2.5.6 Filtro L Série LC Paralelo
A configuração do filtro L série LC paralelo de terceira ordem é mostrado
na Figura 2.93, constituído de um indutor LS em série, um indutor paralelo LP e
um capacitor Cp em paralelo com a lâmpada. A lâmpada é modelada da mesma
maneira que o filtro LC série C paralelo, através do modelo resistivo. Este estudo
mostrará o desenvolvimento do método de projeto, baseado no ângulo de
defasagem da corrente em relação a fundamental da onda de tensão aplicada,
procurando através deste adequar a potência na saída em regime permanente e
elevar a tensão para a partida da lâmpada. Será apresentado um exemplo de
projeto com o objetivo de ilustrar o método e mostrar seu desempenho. O estudo
das características do filtro será feito através do equacionamento por variáveis de
estado, podendo visualizar a composição harmônica da saída do filtro e a forma de
onda de tensão para o regime permanente e para a partida.
Figura 2.93 - Circuito L série LC paralelo
2.5.6.1 Equacionamento para o Projeto do Filtro L série LC paralelo
Para o método de projeto utilizando o filtro L série LC paralelo, deve-se
calcular a impedância equivalente de entrada do circuito
PS Z�LjZ +⋅⋅= (2.236)
Onde ZP é definido por
114
ω⋅−ω⋅⋅+=
PP
P L
jCj
R
1
Z
1 (2.237)
ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅⋅⋅+ω⋅
=P
2PPP
P LR
RjLCRjL
Z
1 (2.238)
( )( )( )RLCRjL
RLCRjL
RLCRjL
LRZ
2PPP
2PPP
2PPP
PP −ω⋅⋅⋅⋅−ω⋅
−ω⋅⋅⋅⋅−ω⋅⋅
−ω⋅⋅⋅⋅+ω⋅ω⋅⋅
= (2.239)
( )( )22
PP22
P
2PPP
22P
PRLCRL
RLCRLRjLRZ
−ω⋅⋅⋅+ω⋅
−ω⋅⋅⋅⋅ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅= (2.240)
A expressão final da impedância de entrada é dada por
( )( )22
PP22
P
2PPP
22P
SRLCRL
RLCRLRjLRLjZ
−ω⋅⋅⋅+ω⋅
−ω⋅⋅⋅⋅ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅+ω⋅⋅= (2.241)
( )[ ]( )
( )RLCRLRj
RLCRL
LRRLCRLLjZ
2PPP
22PP
22P
22P
22PP
22PS
−ω⋅⋅⋅⋅ω⋅⋅⋅−
−ω⋅⋅⋅+ω⋅
−ω⋅⋅+−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅⋅=
(2.242)
O método desenvolvido é baseado no ângulo de defasagem entre a
corrente e a fundamental da forma de onda da tensão aplicada ao filtro. Para
encontrarmos este ângulo deve-se calcular o argumento da impedância
equivalente do circuito
( )( )
ωω=
X
Yarctanarg(Z) (2.243)
( )[ ]
( )
−ω⋅⋅⋅⋅ω⋅⋅−
ω⋅⋅−−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅
=
22PPP
2P
22PP
32PS
RLCRLR
LR
RLCRLLarctanarg(Z)
(2.244)
De maneira análoga a calculada para o filtro LC série, φ assume a
115
expressão
( )[ ]
( )
−ω⋅⋅⋅⋅ω⋅⋅−
ω⋅⋅−−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅
−=φ
22PPP
2P
22PP
32PS
RLCRLR
LR
RLCRLLarctan
(2.245)
De maneira análoga ao calculo do filtro LC série, deve-se calcular a parte
real de 1/Z
( )( )[ ]{
( )}RLCRLR
RLCRLLjLR
RLCRL
Z
1
2PPP
22PP
22PS
22P
22PP
22P
−ω⋅⋅⋅⋅ω⋅⋅−
−−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅⋅+ω⋅⋅
−ω⋅⋅⋅+ω⋅=
(2.246)
Multiplicando a expressão (2.246) pelo seu conjugado e separando a sua
parte real tem-se
( )[ ]( )[ ]{
( )}22PPP
22PP
22PS
44P
2
22PP
22P
22P
RLCRLR
RLCRLLLR
RLCRLLR
Z
1Re
−ω⋅⋅⋅⋅ω⋅⋅−
−−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅+ω⋅⋅
−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅⋅=
(2.247)
A expressão da potência real do filtro pode ser escrita como
( )[ ]( )[ ]{
( )}22PPP
22PP
22PS
44P
2
22PP
22P
22P2
ac
RLCRLR
RLCRLLLR
RLCRLLRVP
−ω⋅⋅⋅⋅ω⋅⋅−
−−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅+ω⋅⋅
−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅⋅⋅=
(2.248)
Pode-se verificar uma parte em comum entre as expressões (2.245) e
(2.248). Esta parte comum é atribuída a
116
( )[ ]( )RLCRLR
RLCRLLM2
PPP
22PP
22PS
−ω⋅⋅⋅⋅ω⋅⋅−
−−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅= (2.249)
As expressões (2.245) e (2.248) podem ser juntadas
ω⋅⋅=φ
22PLR
M-arctan (2.250)
)tan(LRM 22P φ−⋅ω⋅⋅= (2.251)
( )[ ]244
P2
22PP
22P
22P2
acMLR
RLCRLLRVP
+ω⋅⋅−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅⋅
⋅= (2.252)
( )[ ][ ]222
P44
P2
22PP
22P
22P2
ac
)tan(LRLR
RLCRLLRVP
φ−⋅ω⋅⋅+ω⋅⋅
−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅⋅⋅= (2.253)
( )[ ][ ])(tan1LR
RLCRLVP
222P
22PP
22P2
acφ−+⋅ω⋅⋅−ω⋅⋅⋅+ω⋅
⋅= (2.254)
[ ]22
ac2
PP22
ac
42P
2P
22ac
22P
2ac
222P
RVLCR2V
LCRVLV)(tan1LRP
⋅+ω⋅⋅⋅⋅⋅−
−ω⋅⋅⋅⋅+ω⋅⋅=φ−+⋅ω⋅⋅⋅ (2.255)
[ ]{ }( ) 0RVCR2VL
CRVV)(tan1RPL22
ac2
P22
acP
42P
22ac
22ac
222P
=⋅−ω⋅⋅⋅⋅⋅+
ω⋅⋅⋅−ω⋅−φ−+⋅ω⋅⋅⋅ (2.256)
O equacionamento deste filtro nos mostra que o valor do indutor paralelo
LP é encontrado através de uma equação de segundo grau. Pelas equações (2.249)
e (2.251) encontra-se o valor de LS
( )[ ]( )RLCRLR
RLCRLL)tan(LR2
PPP
22PP
22PS
22P
−ω⋅⋅⋅⋅ω⋅⋅−
−−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅=φ−⋅ω⋅⋅ (2.257)
( )( )[ ]22
PP22
P
2PPP
22P
SRLCRL
RLCRLR)tan(LR)(L
−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω
−ω⋅⋅⋅⋅ω⋅⋅+φ−⋅ω⋅⋅=φ (2.258)
A expressão (2.258) representa o valor do indutor do filtro LS em função
117
do indutor do filtro LP, como LP é função de φ, LS é função de φ. O valor de φ
deve ser escolhido para que um desempenho adequado do filtro seja obtido.
2.5.6.2 Análise do Desempenho do Filtro L Série C paralelo
A análise do desempenho do filtro será feita através de um exemplo,
mostrando a potência entregue a lâmpada em função da freqüência e obtendo suas
formas de onda por variáveis de estado para cada harmônica, e pelo princípio da
superposição fazer o somatório de cada harmônica na saída.
Para o exemplo consideram-se os seguintes dados de projeto:
Entrada: Forma de onda assimétrica característica dos conversores half-
bridge;
Tensão VPP= 155 V;
Razão cíclica D = 0,4
Freqüência f = 50 kHz.
-Saída: Potência P = 40 W
Resistência equivalente da lâmpada em regime permanente R=250;
Resistência equivalente da lâmpada na partida Rp = 1000.R;
Pela soma de Fourier determina-se o valor da fundamental por (2.12) e
calcula-se o seu valor RMS.
66,36V2
aV ac
1ac ==
Pelas equações (2.256) e (2.258) pode-se construir os gráficos dos valores
do indutor LP e do indutor LS em função do ângulo de defasagem φ para as duas
respostas, nas figuras Figura 2.94, Figura 2.95, Figura 2.96 e Figura 2.97.
118
Figura 2.94 - Gráfico do valor do indutor paralelo LP para a primeira resposta em função do ângulo de defasagem φ
Figura 2.95 - Gráfico do valor do indutor paralelo LP para segunda resposta em função do ângulo de defasagem φ
119
Figura 2.96 - Gráfico do valor do indutor série LS para a primeira resposta em função do ângulo de defasagem φ
Figura 2.97 - Gráfico do valor do indutor série LS para a segunda resposta em função do ângulo de defasagem φ
A escolha do ângulo de defasagem φ deve ser para otimizar o
comportamento do filtro, adequando as características de partida e reduzindo as
perdas. A característica de partida é analisada pelo gráfico da potência do filtro, na
partida e em regime permanente, em função do ângulo de defasagem φ, Figura
2.98 e Figura 2.99.
120
Figura 2.98 - Gráfico da potência em regime permanente e na partida para a primeira resposta em função do ângulo de defasagem
Figura 2.99 - Gráfico da potência em regime permanente e na partida para a segunda resposta em função do ângulo de defasagem
Pode-se observar nas Figura 2.98 e Figura 2.99 que a potência em regime
permanente permanece constante para toda a variação do ângulo de defasagem φ,
no entanto a potência na partida possui um valor elevado para uma determinada
faixa do ângulo de defasagem. Para o projeto deve-se escolher o ângulo de acordo
com as necessidades, sendo que para uma partida instantânea deve-se escolhe um
ângulo que possui uma potência elevada na partida, e para a redução das perdas
escolhe-se o ângulo de defasagem negativo próximo a zero.
Para esta análise considera-se que o projeto requer partida instantânea. O
121
ângulo de projeto escolhido graficamente pelas Figura 2.98 e Figura 2.99 são -35º
e +35 conforme a resposta e o capacitor CP escolhido.
Possuindo o ângulo de projeto, os valores dos componentes do filtro,
podem ser obtidos através das equações (2.256) e (2.258) ou graficamente pelas
Figura 2.94, Figura 2.95, Figura 2.96 e Figura 2.97. A primeira resposta para os
ângulos de -35º ou +35º utilizando os capacitores CP=10nF e CP=100nF,
apresentou valores negativos para o cálculo dos seus componentes. Para o cálculo
do projeto para a segunda resposta utilizando o capacitor CP=10nF e ângulos de
-35º e +35º apresentou também valores negativos. No exemplo ilustra-se o projeto
para a segunda resposta utilizando CP=100nF para os dois ângulos, o ângulo para
a partida instantânea e seu valor simétrico, obtendo-se os valores
CP=100nF LS(-35)= 527,7µH LP(-35)= 126,1µH
CP=100nF LS(+35)=198,4µH LP(+35)= 126,1µH
2.5.6.2.1 Análise no domínio da freqüência
A expressão da potência real em função da freqüência do conjunto filtro
lâmpada, que representa a potência entregue a lâmpada é dada por
( )[ ]( )[ ]{
( )}22PPP
22PP
22PS
44P
2
22PP
22P
22P2
ac
RLCRLR
RLCRLLLR
RLCRLLRVP(f)
−ω⋅⋅⋅⋅ω⋅⋅−
−−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅+ω⋅⋅
−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅⋅⋅=
(2.259)
Para a análise do comportamento do filtro projetado no domínio da
freqüência, plota-se o gráfico da potência entregue a lâmpada para uma resistência
equivalente da lâmpada em regime permanente e para uma resistência de mil
vezes maior para representar a partida, para os dois projetos, mostrado nas Figura
2.100 e Figura 2.101.
122
Figura 2.100 - Gráfico da potência em função da freqüência para o regime permanente e para a partida utilizando ângulo de defasagem –35°
Figura 2.101 - Gráfico da potência em função da freqüência para o regime permanente e para a partida utilizando ângulo de defasagem +67°
Pode-se observar no gráfico que para os dois ângulos de projeto, na
freqüência de projeto, tem-se o valor da potência de projeto, no entanto a potência
da partida só possui valor elevado para o ângulo de –35º.
2.5.6.2.2 Análise no domínio do tempo
A análise do filtro L série LC paralelo é feita através das leis de circuitos
elétricos utilizando variáveis de estado. Através desta abordagem pode-se
visualizar a forma de onda entregue pelo filtro à lâmpada, através da forma de
onda da entrada fornecida pelo conversor, analisando-se todas as harmônicas
utilizando o princípio da superposição. É definida a expressão de variáveis de
123
estado
u(t)DX(t)CY(t)
u(t)BX(t)AX(t)dt
d
⋅+⋅=
⋅+⋅= (2.260)
O circuito da Figura 2.93 é equacionado pela lei das tensões de Kirchoff
(t)V(t)V(t)idt
dL SCpLsS =+⋅ (2.261)
Pela Lei das correntes de Kirchoff obtemos a seguinte equação:
)t(i)t(iR
(t)V(t)V
dt
dC LsLp
Cp
CpP =++⋅ (2.262)
Utilizando a definição da tensão no indutor tem-se a seguinte equação
)t(V(t)idt
dL CpLpP =⋅ (2.263)
Pelas equações (2.261), (2.262) e (2.263) pode-se escrever o filtro por
vaiáveis de estado
(t)V
0
0L
1
(t)V
(t)i
(t)i
CR
1-
C
1
C
1L
100
L
100
(t)V
(t)i
(t)i
dt
dS
S
Cp
Lp
Ls
PPP
P
S
Cp
Lp
Ls
⋅
+
⋅
⋅−
−
=
(2.264)
(t)V0
0
(t)V
(t)i
(t)i
001
100
)t(i
)t(VS
Cp
Lp
Ls
F
R ⋅
+
⋅
=
(2.265)
Pode-se definir as matrizes X(t), Y(t), A, B, C e D.
124
=
=
=
⋅−
−
=
=
=
0
0D
001
100C
0
0L
1
B
CR
1-
C
1
C
1L
100
L
100
A(t)i
(t)VY(t)
(t)V
(t)i
(t)i
X(t)
S
PPP
P
S
F
R
Cp
Lp
Ls
2.5.6.2.2.1 Cálculo da Dinâmica do Filtro
Definido as matrizes, o calculo é feito de maneira análoga a do calculo do
filtro LC série C paralelo, porque os dois filtros são de mesma ordem.
2.5.6.2.2.2 Cálculo da Resposta Particular
Devido ao filtro ser de mesma ordem que o filtro LC série C paralelo, o
cálculo desenvolve-se de maneira similar.
Considerando o exemplo, pode-se verificar a potência na saída do filtro
pela equação
( ) ( )R
1
2
KbKaP
2
1n
2n,2
2n,2 ⋅
+= ∑
∞
=
(2.266)
Verifica-se através de (2.266) a potência de 40,007 e 40,065 para regime
permanente e a potência de partida de 30,577 e 0,047 para os ângulos de
defasagem –35º e 35º respectivamente.
Para estudar o regime permanente, só analisa-se a resposta particular, na
qual é plotado a harmônica fundamental nas Figura 2.102 e Figura 2.103 para os
dois ângulos do exemplo, para verificarmos o ângulo de defasagem e nas Figura
2.104 e Figura 2.105 é plotado para 199 harmônicas. Para a análise da partida
125
deve-se considerar a resposta geral, sendo plotado nas Figura 2.106 e Figura 2.107
para os dois ângulos do exemplo para 19 harmônicas.
Figura 2.102 - Forma de onda da fundamental da tensão aplicada ao filtro e da corrente do filtro com defasagem de –35°
Figura 2.103 - Forma de onda da fundamental da tensão aplicada ao filtro e da corrente do filtro com defasagem de +35°
Figura 2.104 – Forma de onda da tensão aplicada ao filtro e a tensão na saída do filtro considerando 199 harmônicas para defasagem de –67°
126
Figura 2.105 – Forma de onda da tensão aplicada ao filtro e a tensão na saída do filtro considerando 199 harmônicas para defasagem de +67°
Figura 2.106 – Forma de onda da tensão de saída do filtro na partida da lâmpada para o ângulo de defasagem –35°
Figura 2.107 – Forma de onda da tensão de saída do filtro na partida da lâmpada para o ângulo de defasagem +35°
127
A análise dos ganhos de cada freqüência foi feita através espectro de
freqüência da saída do filtro e da entrada do filtro para os dois ângulos de projeto,
para regime permanente e para a partida da lâmpada, sendo calculado o espectro
de freqüência da saída pela equação (2.267) e plotado nas Figura 2.108 e Figura
2.109.
( ) ( )100
a
KbKaGF
1
2n,2
2n,2
n ⋅+
= (2.267)
(a)
(b)
Figura 2.108 – Espectro de freqüência do filtro com ângulo de projeto de –67°: (a) regime permanente; (b) partida da Lâmpada.
(a)
(b)
Figura 2.109 – Espectro de freqüência do filtro com ângulo de projeto de +67°: (a) regime permanente; (b) partida da Lâmpada.
2.5.6.3 Conclusão
O método de projeto possui a característica de através do ângulo de
defasagem manter a potência de projeto na saída. No exemplo pode ser observado
que para o ângulo de projeto de –35 e +35° se obteve um valor de potência muito
próximo ao de projeto, devido ao conteúdo harmônico reduzido da saída. No
128
projeto utilizando o ângulo de projeto de -35º obteve-se elevado ganho de tensão
na partida, o que possibilitaria a partida instantânea da lâmpada. Para o ângulo de
+35º foi obtido ganhos pequenos na partida, o que não possibilitaria a partida
instantânea.
2.5.7 Filtro LC Série LC Paralelo
A configuração do filtro LC série LC paralelo de quarta ordem é mostrado
na Figura 2.110, constituído de um indutor LS e um capacitor CS em série e um
indutor LP e um capacitor CP em paralelo com a lâmpada. No equacionamento do
filtro a lâmpada é modelada por uma resistência equivalente, para a simplificação
dos cálculos. Este estudo mostrará o desenvolvimento de um método de projeto,
baseado no ângulo de defasagem da corrente em relação a fundamental da onda de
tensão aplicada, procurando através deste adequar a potência na saída em regime
permanente e elevar a tensão para a partida da lâmpada. Será apresentado um
exemplo de projeto com o objetivo de ilustrar o método, mostrar sua eficiência e
simplicidade. O estudo do desempenho do filtro será feito através do
equacionamento por variáveis de estado, podendo visualizar-se a composição
harmônica da saída do filtro e a forma de onda de tensão para o regime
permanente e para a partida.
Figura 2.110 - Circuito LC série LC paralelo
2.5.7.1 Equacionamento para o Projeto do Filtro LC série LC paralelo
Para o método de projeto utilizando o filtro LC série LC paralelo, deve-se
129
calcular a impedância equivalente de entrada do circuito
PS ZZZ += (2.268)
Onde ZP é calculado por
ω⋅−ω⋅⋅+=
PP
P L
jCj
R
1
Z
1 (2.269)
ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅⋅⋅+ω⋅
=P
2PPP
P LR
RjLCRjL
Z
1 (2.270)
( )( )( )RLCRjL
RLCRjL
RLCRjL
LRZ
2PPP
2PPP
2PPP
PP −ω⋅⋅⋅⋅−ω⋅
−ω⋅⋅⋅⋅−ω⋅⋅
−ω⋅⋅⋅⋅+ω⋅ω⋅⋅
= (2.271)
( )( )22
PP22
P
2PPP
22P
PRLCRL
RLCRLRjLRZ
−ω⋅⋅⋅+ω⋅
−ω⋅⋅⋅⋅ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅= (2.272)
A impedância ZS é dada por
ω⋅−ω⋅⋅=
SSS C
jLjZ (2.273)
ω⋅−ω⋅⋅⋅
=S
2SS
S C
jLCjZ (2.274)
Impedância total do filtro é obtida por
( ) ( )( )22
PP22
P
2PPP
22P
S
2SS
RLCRL
RLCRLRjLR
C
1LCjZ
−ω⋅⋅⋅+ω⋅
−ω⋅⋅⋅⋅ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅+
ω⋅−ω⋅⋅⋅
= (2.275)
( ) [{( )
( ) ] ( )}RLCRLCRRLCR
RLCRLC
L1LCjLCRZ
2PP
2PS
22PP
22PP
22PS
22P
2SS
32PS
−ω⋅⋅⋅⋅ω⋅⋅⋅−−ω⋅⋅⋅+
−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅+ω⋅⋅−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅⋅=
(2.276)
O método desenvolvido é baseado no ângulo de defasagem entre a
corrente e a fundamental da forma de onda da tensão aplicada ao filtro. Para
130
encontrarmos este ângulo deve-se calcular o argumento da impedância
equivalente do circuito
( )( )
ωω=
X
Yarctanarg(Z) (2.277)
( ) ( )[ ]( )
−ω⋅⋅⋅⋅ω⋅⋅⋅−
ω⋅⋅⋅−−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅−ω⋅⋅=
RLCRLCR
LCR
RLCRL1LCarctanarg(Z)
2PP
2PS
32PS
22PP
22P
2SS
(2.278)
De maneira análoga a calculada para o filtro LC série, φ assume a
expressão
( ) ( )[ ]
( )
−ω⋅⋅⋅⋅ω⋅⋅⋅−
ω⋅⋅⋅−−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅−ω⋅⋅
−=φ
RLCRLCR
LCR
RLCRL1LCarctan
2PP
2PS
32PS
22PP
22P
2SS
(2.279)
De maneira análoga ao calculo do filtro LC série, deve-se calcular a parte
real de 1/Z
( )( ) [{
( ) ] ( )}RLCRLCRRLCR
L1LCjLCR
RLCRLC
Z
1
2PP
2PS
22PP
22P
2SS
32PS
22PP
22PS
−ω⋅⋅⋅⋅ω⋅⋅⋅−−ω⋅⋅⋅+
⋅+ω⋅⋅−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅⋅
−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅=
(2.280)
Multiplicando pelo conjugado e extraindo a parte real tem-se
( )[ ]( ) [{
( ) ] ( )}222
PP2
PS
222PP
22P
2SS
64P
2S
2
22PP
22P
42P
2S
RLCRLCRRLCR
L1LCLCR
RLCRLLCR
Z
1Re
−ω⋅⋅⋅⋅ω⋅⋅⋅−−ω⋅⋅⋅
+ω⋅⋅−ω⋅⋅+ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅⋅⋅
=
(2.281)
A expressão da potência real do filtro pode ser escrita por
131
( )[ ]( ) [{
( ) ] ( )}222
PP2
PS
222PP
22P
2SS
64P
2S
2
22PP
22P
42P
2S2
ac
RLCRLCRRLCR
L1LCLCR
RLCRLLCRVP
−ω⋅⋅⋅⋅ω⋅⋅⋅−−ω⋅⋅⋅
+ω⋅⋅−ω⋅⋅+ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅⋅⋅
⋅=
(2.282)
Pode-se verificar uma parte em comum entre as expressões (2.279) e
(2.282). Esta parte comum é atribuída a
( ) ( )[ ]( )22
PP2
PS
222PP
22P
2SS
RLCRLCR
RLCRL1LCM
−ω⋅⋅⋅⋅ω⋅⋅⋅−
−−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅−ω⋅⋅= (2.283)
As expressões (2.279) e (2.282) podem ser juntadas
ω⋅⋅⋅=φ
32PS LCR
M-arctan (2.284)
)tan(LCRM 32PS φ−⋅ω⋅⋅⋅= (2.285)
( )[ ]264
P2
S2
22PP
22P
42P
2S2
acMLCR
RLCRLLCRVP
+ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅⋅⋅
⋅= (2.286)
( )[ ][ ]232
PS64
P2
S2
22PP
22P
42P
2S2
ac
)tan(LCRLCR
RLCRLLCRVP
φ−⋅ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅⋅
−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅⋅⋅= (2.287)
( )[ ][ ]2222
P
22PP
22P2
ac)(tan1LR
RLCRLVP
φ−+⋅ω⋅⋅
−ω⋅⋅⋅+ω⋅= (2.288)
[ ]22
ac2
PP22
ac22
P2
P22
ac
22P
2ac
2222P
RVLCR2VLCRV
LV)(tan1LRP
⋅+ω⋅⋅⋅⋅⋅−ω⋅⋅⋅⋅+
+ω⋅⋅=φ−+⋅ω⋅⋅⋅ (2.289)
[ ]{ }( ) 0RVCR2VL
CRVV)(tan1LRPL22
ac2
P22
acP
22P
22ac
22ac
2222P
2P
=⋅−ω⋅⋅⋅⋅⋅
+ω⋅⋅⋅−ω⋅−φ−+⋅ω⋅⋅⋅⋅ (2.290)
O equacionamento deste filtro nos mostra que o valor do indutor paralelo
LP resulta em uma equação de segunda ordem, possuindo duas resposta, que
132
depende do valor da resistência equivalente da lâmpada R, da freqüência ω um
valor de projeto para o capacitor CP e potência P de operação, que são definidas
no projeto e uma variável φ livre. Pelas equações (2.283) e (2.285) encontra-se o
valor de LS
( ) [( ) ] ( )22
PP2
PS
222PP
22P
2SS
32PS
RLCRLCRRLCR
L1LC)tan(LCR
−ω⋅⋅⋅⋅ω⋅⋅⋅−−ω⋅⋅⋅+
+ω⋅⋅−ω⋅⋅=φ−⋅ω⋅⋅⋅ (2.291)
( ) ( )[ ]( )22
PP2
PS32
PS
222PP
22P
2SS
RLCRLCR)tan(LCR
RLCRL1LC
−ω⋅⋅⋅⋅ω⋅⋅⋅+φ−⋅ω⋅⋅⋅=
=−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅−ω⋅⋅ (2.292)
( ) ( )[ ]( )22
PP2
PS
222PP
22P
32PS2
SS
RLCRLCR
RLCRL
)tan(LCR1LC
−ω⋅⋅⋅⋅ω⋅⋅⋅+
−ω⋅⋅⋅+ω⋅
+φ−⋅ω⋅⋅⋅=−ω⋅⋅
(2.293)
( )[ ]( )
2S
22PPP
222PP
22P
2P
S
C
1RLCRLR
RLCRL
)tan(LR)(L
ω⋅+
−ω⋅⋅⋅⋅⋅+
−ω⋅⋅⋅+ω⋅
+φ−⋅ω⋅⋅=φ
(2.294)
A expressão (2.294) representa o valor do indutor do filtro LS em função
do indutor do filtro LP, como LP é função de φ, LS é função de φ. O valor de φ
deve ser escolhido para que um desempenho adequado do filtro seja obtido.
2.5.7.2 Análise do Desempenho do Filtro LC Série LC paralelo
A análise do desempenho do filtro será feita através de um exemplo,
mostrando a potência entregue a lâmpada em função da freqüência e obtendo suas
formas de onda por variáveis de estado para cada harmônica, e pelo princípio da
superposição fazer o somatório de cada harmônica na saída.
Para o exemplo consideram-se os seguintes dados de projeto:
133
Entrada: Forma de onda assimétrica característica dos conversores half-
bridge;
Tensão VPP= 155 V;
Razão cíclica D = 0,4
Freqüência f = 50 kHz.
-Saída: Potência P = 40 W
Resistência equivalente da lâmpada em regime permanente R=250;
Resistência equivalente da lâmpada na partida Rp = 1000.R;
Pela soma de Fourier determina-se o valor da fundamental por (2.12) e
calcula-se o seu valor RMS.
66,36V2
aV ac
1ac ==
Pelas equações (2.290) e (2.294) pode-se construir os gráficos dos valores
do indutor LP e do indutor LS em função do ângulo de defasagem φ, nas figuras
Figura 2.111, Figura 2.112, Figura 2.113 e Figura 2.114.
134
Figura 2.111 - Gráfico do valor do indutor paralelo LP para a primeira resposta em função do ângulo de defasagem φ
Figura 2.112 - Gráfico do valor do indutor paralelo LP para a segunda resposta em função do ângulo de defasagem φ
135
Figura 2.113 - Gráfico do valor do indutor série LS para a primeira resposta em função do ângulo de defasagem φ
Figura 2.114 - Gráfico do valor do indutor série LS para a segunda resposta em função do ângulo de defasagem φ
A escolha do ângulo de defasagem φ deve ser para otimizar o
comportamento do filtro, adequando as características de partida e reduzindo as
perdas. A característica de partida é analisada pelos gráficos das potências do
filtro, na partida e em regime permanente, para as duas respostas, em função do
ângulo de defasagem φ, Figura 2.115 e Figura 2.116.
136
Figura 2.115 - Gráfico da potência em regime permanente e na partida para a primeira resposta em função do ângulo de defasagem φ.
Figura 2.116 - Gráfico da potência em regime permanente e na partida para a primeira resposta em função do ângulo de defasagem φ.
137
Figura 2.117 - Gráfico da potência em regime permanente e na partida para a segunda resposta em função do ângulo de defasagem φ.
Figura 2.118 - Gráfico da potência em regime permanente e na partida para a segunda resposta em função do ângulo de defasagem φ.
Pode-se observar nas Figura 2.115, Figura 2.116, Figura 2.117 e Figura
2.118 que a potência em regime permanente permanece constante para toda a
variação do ângulo de defasagem φ, no entanto a potência na partida possui um
valor elevado para uma determinada faixa do ângulo de defasagem. Para o projeto
deve-se escolher o ângulo de acordo com as necessidades, sendo que para uma
partida instantânea deve-se escolhe um ângulo que possui uma potência elevada
na partida, e para a redução das perdas escolhe-se o ângulo de defasagem negativo
próximo a zero.
138
Para esta análise considera-se que o projeto requer partida instantânea. Os
ângulos de projeto escolhidos graficamente pelas Figura 2.115, Figura 2.116,
Figura 2.117 e Figura 2.118 são -35º e +35º.
Possuindo os ângulos de projeto, os valores dos componentes do filtro,
podem ser obtidos através das equações (2.290) e (2.294) ou graficamente pelas
Figura 2.111, Figura 2.112, Figura 2.113 e Figura 2.114. No exemplo ilustra-se os
projeto que apresentam partida instantânea, para as escolhas de capacitores que
apresentaram valores positivos para os elementos calculados.
Cs=10nF CP=100nF LS(+35º)=485,5 µH LP(+35º)=84,67 µH
Cs=10nF CP=10nF LS(+35º)=485,5 µH LP(+35º)=341,6 µH
Cs=10nF CP=100nF LS(-35º)=1,541 mH LP(-35º)=126,1 µH
Cs=100nF CP=100nF LS(-35º)=629 µH LP(-35º)=126,1 µH
2.5.7.2.1 Análise no domínio da freqüência
A expressão da potência real em função da freqüência do conjunto filtro
lâmpada, que representa a potência entregue a lâmpada é dada por
( )[ ]( ) [{
( ) ] ( )}222
PP2
PS
222PP
22P
2SS
64P
2S
2
22PP
22P
42P
2S2
ac
RLCRLCRRLCR
L1LCLCR
RLCRLLCRVP(f)
−ω⋅⋅⋅⋅ω⋅⋅⋅−−ω⋅⋅⋅
+ω⋅⋅−ω⋅⋅+ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅ω⋅⋅⋅⋅=
(2.295)
Para a análise do comportamento dos filtros projetados no domínio da
freqüência, plota-se o gráfico da potência entregue a lâmpada para uma resistência
equivalente da lâmpada em regime permanente e para uma resistência de mil
vezes maior para representar a partida, para os projetos, mostrado nas Figura 2.30
e Figura 2.31.
139
Figura 2.119 - Gráfico da potência em função da freqüência para a primeira resposta, utilizando CS=10nF, CP =100nF e ângulo de defasagem de +35º, para o
regime permanente e para a partida .
Figura 2.120 - Gráfico da potência em função da freqüência para a segunda resposta, utilizando CS=10nF, CP =10nF e ângulo de defasagem de +35º, para o
regime permanente e para a partida .
140
Figura 2.121 - Gráfico da potência em função da freqüência para a segunda resposta, utilizando CS=10nF, CP =100nF e ângulo de defasagem de -35º, para o
regime permanente e para a partida .
Figura 2.122 - Gráfico da potência em função da freqüência para a segunda resposta, utilizando CS=100nF, CP =100nF e ângulo de defasagem de -35º, para o
regime permanente e para a partida .
Pode-se observar no gráfico que para os projetos, na freqüência de projeto,
tem-se o valor da potência de projeto e para a partida possui um valor elevado de
potência.
2.5.7.2.2 Análise no domínio do tempo
A análise do filtro LC série LC paralelo é feita através das leis de circuitos
elétricos utilizando variáveis de estado. Através desta abordagem pode-se
visualizar a forma de onda entregue pelo filtro à lâmpada, através da forma de
onda da entrada fornecida pelo conversor, analisando-se todas as harmônicas
141
utilizando o princípio da superposição. É definida a expressão de variáveis de
estado
u(t)DX(t)CY(t)
u(t)BX(t)AX(t)dt
d
⋅+⋅=
⋅+⋅= (2.296)
O circuito da Figura 2.110 é equacionado pela lei das tensões de Kirchoff
(t)V(t)V(t)V(t)idt
dL SCpCsLsS =++⋅ (2.297)
A corrente no capacitor é definida por
(t)i(t)Vdt
dC LsCsS =⋅ (2.298)
Pela definição da tensão no indutor tem-se
(t)V(t)idt
dL CpLpP =⋅ (2.299)
Pela lei das correntes obtém-se a seguinte expressão
)t(i)t(Vdt
dC
R
)t(V(t)i LpCpP
CpLs +⋅+= (2.300)
Pelas equações (2.297), (2.298), (2.299) e (2.300) pode-se escrever o filtro
por vaiáveis de estado
(t)V
0
0
0L
1
(t)V
(t)V
(t)i
(t)i
CR
10
C
1
C
1
000C
1L
1000
L
1
L
100
(t)V
(t)V
(t)i
(t)i
dt
dS
S
Cp
Cs
Lp
Ls
PPP
S
P
SS
Cp
Cs
Lp
Ls
⋅
+
⋅
⋅−−
−−
=
(2.301)
142
(t)V0
0)t(X
0001
1000
)t(i
)t(VS
F
R ⋅
+⋅
=
(2.302)
Pode-se definir as matrizes X(t), Y(t), A, B, C e D.
=
=
=
⋅−−
−−
=
=
=
0
0D
0001
1000C
0
0
0L
1
B
CR
10
C
1
C
1
000C
1L
1000
L
1
L
100
A(t)i
(t)VY(t)
(t)V
(t)V
(t)i
(t)i
X(t)
S
PPP
S
P
SS
F
R
Cp
Cs
Lp
Ls
2.5.7.2.2.1 Cálculo da Dinâmica do Filtro
A dinâmica do filtro é descrita pelos autovalores e autovetores da matriz A
s(A)autovalorer = (2.303)
)r,A(sautovetore)r( =ξ (2.304)
Onde r é os autovalores da matriz A, como A é de ordem quatro, r possui
quatro valores, sendo que para cada autovalor tem um autovetor associado, sendo
cada coluna dos autovetores é associada a um autovalor.
ξξξξξξξξξξξξξξξξ
=ξ
=
33323130
23222120
13121110
03020100
3
2
1
0
)r()r()r()r(
)r()r()r()r(
)r()r()r()r(
)r()r()r()r(
r
r
r
r
r (2.305)
A resposta transitória do filtro ou resposta homogênea é dada pela equação
(2.306), onde Kc0, Kc1, Kc2 e Kc3 são constantes que serão determinadas no
143
decorrer do desenvolvimento.
⋅⋅⋅⋅
⋅ξ=ψ
⋅
⋅
⋅
⋅
tr3
tr2
tr1
tr0
3
2
1
0
eKc
eKc
eKc
eKc
)t( (2.306)
2.5.7.2.2.2 Cálculo da Resposta Particular
Para a resposta particular deve-se admitir uma resposta para o sistema
)tsen(Kb)tcos(Ka)t(XP ⋅ω⋅+⋅ω⋅= (2.307)
A resposta forçada (2.307), pode ser representada por
)tsen(
Kb
Kb
Kb
Kb
)tcos(
Ka
Ka
Ka
Ka
)t(V
)t(V
)t(i
)t(i
3
2
1
0
3
2
1
0
CpP
CsP
LpP
LsP
⋅ω⋅
+⋅ω⋅
=
(2.308)
onde iLsP(t) é a resposta particular de iLs(t), iLpP(t) é a resposta particular de
iLp(t), VCsp(t) a resposta particular de VCs(t), VCpp(t) a resposta particular de VCp(t).
Ka e Kb são constantes que devem ser determinadas. A derivada da resposta
forçada é dada por
)tcos(
Kb
Kb
Kb
Kb
)tsen(
Ka
Ka
Ka
Ka
)t(V
)t(V
)t(i
)t(i
dt
d
3
2
1
0
3
2
1
0
CpP
CsP
LpP
LsP
⋅ω⋅
⋅ω+⋅ω⋅
⋅ω−=
(2.309)
Substituindo (2.308) e (2.309) em (2.301) obtém-se
144
)tsen(b)tcos(a(B
)tsen(
Kb
Kb
Kb
Kb
)tcos(
Ka
Ka
Ka
Ka
A
)tcos(
Kb
Kb
Kb
Kb
)tsen(
Ka
Ka
Ka
Ka
3
2
1
0
3
2
1
0
3
2
1
0
3
2
1
0
⋅ω⋅+⋅ω⋅⋅
+
⋅ω⋅
+⋅ω⋅
⋅
=⋅ω⋅
⋅ω+⋅ω⋅
⋅ω−
(2.310)
Onde a e b são obtidos através da decomposição da onda quadrada da
entrada em série de Fourier. Pode-se igualar os termos em que envolvem senos e
os que envolvem cosseno, obtendo-se as igualdades
⋅=⋅−⋅ω⋅=⋅−⋅ω−
⋅+⋅=⋅ω⋅+⋅=⋅ω−
aBKaAKb
bBKbAKa
aBKaAKb
bBKbAKa (2.311)
Fazendo o produto de A⋅Ka e A⋅Kb obtém-se
bB
KbAKbAKbAKbA
KbAKbAKbAKbA
KbAKbAKbAKbA
KbAKbAKbAKbA
Ka
Ka
Ka
Ka
aB
KaAKaAKaAKaA
KaAKaAKaAKaA
KaAKaAKaAKaA
KaAKaAKaAKaA
Kb
Kb
Kb
Kb
33,322,311,300,3
33,222,211,200,2
33,122,111,100,1
33,022,011,000,0
3
2
1
0
33,322,311,300,3
33,222,211,200,2
33,122,111,100,1
33,022,011,000,0
3
2
1
0
⋅=
⋅+⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅
−
⋅ω−
⋅=
⋅+⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅
−
⋅ω
(2.312)
reorganizando as matrizes de (2.312) e isolando os termos Ka e Kb têm-se
145
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
=
⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−
⋅ω⋅ω
⋅ω
⋅−⋅ω−⋅−⋅ω−⋅−⋅ω−⋅−⋅ω−
⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−
⋅ω⋅−⋅−⋅−⋅−
bB
bB
bB
bB
aB
aB
aB
aB
KbAKbAKbA
KbAKbAKbA
KbAKbAKbA
KbAKbAKbA
Kb00
0Kb0
00Kb
000
KbAKa000
KbA0Ka00
KbA00Ka0
KbA000Ka
0KaAKaAKaAKaA
0KaAKaAKaAKaA
0KaAKaAKaAKaA
KbKaAKaAKaAKaA
3
2
1
0
3
2
1
0
33,322,311,3
33,222,211,2
33,122,111,1
33,022,011,0
3
2
1
00,33
00,22
00,11
00,00
33,322,311,300,3
33,222,211,200,2
33,122,111,100,1
033,022,011,000,0
(2.313)
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
=
⋅
⋅
−−−−ω−−−−−ω−−−−−ω−−−−−ω−
ω−−−−ω−−−−
ω−−−−ω−−−−
bB
bB
bB
bB
aB
aB
aB
aB
Kb
Kb
Kb
Kb
Ka
Ka
Ka
Ka
AAAA000
AAAA000
AAAA000
AAAA000
000AAAA
000AAAA
000AAAA
000AAAA
3
2
1
0
3
2
1
0
3
2
1
0
3
2
1
0
3,32,31,30,3
3,22,21,20,2
3,12,11,10,1
3,02,01,00,0
3,32,31,30,3
3,22,21,20,2
3,12,11,10,1
3,02,01,00,0
(2.314)
Desta forma pode-se encontrar os coeficientes Ka e Kb para a solução da
146
resposta particular
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅
−−−−
ω
−−−ω−−−−ω−−−−ω−−−−ω−
−−−−ω−−−−
ω−−−−ω−−−−
=
⋅
⋅
−
bB
bB
bB
bB
aB
aB
aB
aB
A
A
A
A
0
0
0
AAA000
AAA000
AAA000
AAA000
000AAAA
00AAAA
00AAAA
00AAAA
Kb
Kb
Kb
Kb
Ka
Ka
Ka
Ka
3
2
1
0
3
2
1
0
1
3,3
3,2
3,1
3,0
2,31,30,3
2,21,20,2
2,11,10,1
2,01,00,0
3,32,31,30,3
3,22,21,20,2
3,12,11,10,1
3,02,01,00,0
3
2
1
0
3
2
1
0
(2.315)
Este procedimento deve ser repetido para cada harmônica, encontrando um
Ka e um Kb para cada freqüência de entrada.
Com a resposta particular calculada, deve-se calcular os coeficientes da
resposta geral relativa a parte homogênea, sendo a resposta geral descrita por
( )∑∞
=⋅
⋅
⋅
⋅
⋅ω⋅+⋅ω⋅+
⋅⋅⋅⋅
⋅ξ=1n
nn
tr3
tr2
tr1
tr0
)tsen(Kb)tcos(Ka
eKc
eKc
eKc
eKc
)t(X
3
2
1
0
(2.316)
Considerando as condições iniciais iLs(0), iLp(0), VCs(0) e VCp(0) pode-se
igualar a reposta geral com tempo zero.
147
∑∞
=
+
⋅ξ=1n
n
3
2
1
0
Ka
Kc
Kc
Kc
Kc
)0(X (2.317)
Calculam-se as constantes a partir de (2.317) em
−⋅ξ=
∑∞
=
−
1nn
1
3
2
1
0
Ka)0(X
Kc
Kc
Kc
Kc
(2.318)
Considerando o exemplo, pode-se verificar a potência na saída do filtro
pela equação
( ) ( )R
1
2
KbKaP
2
1n
2n,3
2n,3 ⋅
+= ∑
∞
=
(2.319)
Verifica-se a partir de (2.319) a potência de 40,058, 42,087, 40,001 e
40,006 para regime permanente e a potência de partida de 30,577, 30,581, 30,577
e 30,577 para os projetos do exemplo respectivamente.
Para estudar o regime permanente, só analisa-se a resposta particular
descrita em (2.308), na qual é plotado a harmônica fundamental nas Figura 2.123
e Figura 2.124 para os dois ângulos do exemplo, para verificar-se o ângulo de
defasagem e nas Figura 2.125, Figura 2.126, Figura 2.127 e Figura 2.128 são
plotados para 199 harmônicas para os projetos do exemplo. Para a análise da
partida deve-se considerar a resposta geral descrita em (2.316), sendo plotado nas
Figura 2.129, Figura 2.130, Figura 2.131 e Figura 2.132 os exemplos para 199
harmônicas.
148
Figura 2.123 - Forma de onda da fundamental da tensão aplicada ao filtro e da corrente do filtro com defasagem de –67°
Figura 2.124 - Forma de onda da fundamental da tensão aplicada ao filtro e da corrente do filtro com defasagem de +67°
Figura 2.125 – Forma de onda da tensão aplicada ao filtro e a tensão na saída do filtro para o projeto utilizando a primeira resposta, CS =10nF e CP =100nF
considerando 199 harmônicas para o ângulo de defasagem de +67°
149
Figura 2.126 – – Forma de onda da tensão aplicada ao filtro e a tensão na saída do filtro para o projeto utilizando a segunda resposta, CS =10nF e CP =10nF
considerando 199 harmônicas para o ângulo de defasagem de +67°
Figura 2.127 – – Forma de onda da tensão aplicada ao filtro e a tensão na saída do filtro para o projeto utilizando a segunda resposta, CS =10nF e CP =100nF
considerando 199 harmônicas para o ângulo de defasagem de -67°
Figura 2.128 – – Forma de onda da tensão aplicada ao filtro e a tensão na saída do filtro para o projeto utilizando a segunda resposta, CS =100nF e CP =100nF
considerando 199 harmônicas para o ângulo de defasagem de -67°
150
Figura 2.129 – Forma de onda da tensão da saída do filtro na partida da lâmpada para o projeto utilizando a primeira resposta, CS =10nF e CP =100nF para o
ângulo de defasagem +67°, considerando 19 harmônicas
Figura 2.130 – Forma de onda da tensão da saída do filtro na partida da lâmpada para o projeto utilizando a segunda resposta, CS =10nF e CP =10nF para o ângulo
de defasagem +67°, considerando 19 harmônicas
151
Figura 2.131 – Forma de onda da tensão da saída do filtro na partida da lâmpada para o projeto utilizando a segunda resposta, CS =10nF e CP =100nF para o
ângulo de defasagem -67°, considerando 19 harmônicas
Figura 2.132 – Forma de onda da tensão da saída do filtro na partida da lâmpada para o projeto utilizando a segunda resposta, CS =100nF e CP =100nF para o
ângulo de defasagem -67°, considerando 19 harmônicas
A análise dos ganhos de cada freqüência foi feita através espectro de
freqüência da saída do filtro e da entrada do filtro para os projeto, para regime
permanente e para a partida da lâmpada, sendo calculado o espectro de freqüência
da saída por (2.320) e plotado nas Figura 2.133, Figura 2.134, Figura 2.135 e
Figura 2.136.
152
( ) ( )100
a
KbKaGF
1
2n,3
2n,3
n ⋅+
= (2.320)
(a)
(b)
Figura 2.133 – Espectro de freqüência do filtro para o projeto utilizando a primeira resposta, CS =10nF e CP =100nF com ângulo de projeto de +67°: (a)
regime permanente; (b) partida da Lâmpada.
(a)
(b)
Figura 2.134 – Espectro de freqüência do filtro para o projeto utilizando a segunda resposta, CS =10nF e CP =10nF com ângulo de projeto de +67°: (a) regime
permanente; (b) partida da Lâmpada.
(a)
(b)
Figura 2.135 – Espectro de freqüência do filtro para o projeto utilizando a segunda resposta, CS =10nF e CP =100nF com ângulo de projeto de -67°: (a) regime
permanente; (b) partida da Lâmpada.
153
(a)
(b)
Figura 2.136 – Espectro de freqüência do filtro para o projeto utilizando a segunda resposta, CS =100nF e CP =100nF com ângulo de projeto de -67°: (a) regime
permanente; (b) partida da Lâmpada.
2.5.7.3 Conclusão
O método de projeto possui a característica de através do ângulo de
defasagem manter a potência de projeto na saída. No exemplo pode ser observado
que para os projetos se obteve um valor de potência muito próximo ao de projeto
para o regime permanente. A tensão elevada necessária para a partida foi obtida
para todos os casos, mas pelas formas de onda das Figura 2.129, Figura 2.130,
Figura 2.131 e Figura 2.132 pode ser notado um comportamento diferente, que é
resultado da proximidade da freqüência da fonte com a resposta do sistema,
conhecido com batimento. A comutação suave ZVS foi obtida para os dois
últimos projetos, onde nota-se a corrente negativa durante a comutação. Este filtro
pode realizar a partida da lâmpada e a comutação suave ao mesmo tempo, para os
dois últimos casos, no entanto emprega muitos componentes, não sendo atrativo o
seu emprego.
2.6 CONCLUSÃO
O filtro de entrada foi apresentado de uma forma geral, apresentando os
tipos de filtros e a sua escolha segundo a suas impedância de entrada e saída. O
método de projeto apresentado utiliza o filtro L, por ser um filtro simples e
eficiente, possuindo um desempenho adequado para reatores eletrônicos.
154
Os filtros de saída representam uma grande parcela no sucesso de um
projeto de reatores eletrônicos para iluminação fluorescente. Para um bom projeto
do filtro ressonante de saída, deve-se escolher a configuração mais adequada para
o projeto. Os filtros de saída devem atender a alguns requisitos principais, como:
partida instantânea, comutação suave e eliminação da componente contínua. O
valor do capacitor série deve ser grande, para desacoplar o conjunto filtro lâmpada
dos conversores. O capacitor paralelo (também chamado de capacitor de pré-
aquecimento) auxilia a partida da lâmpada, mas não deve ter um valor muito
grande, porque quanto maior for o seu valor, maior será a corrente que circula
pelos eletrodos da lâmpada, o que em regime reduziria a eficiência luminosa. Uma
comparação entre os filtros é mostrada na Tabela 2, apresentando as
características dos filtros estudados.
Tabela 2 – Comparativo entre os filtros.
Série LC L C LC LC L LC
Paralelo C LC C L LC LC
Partida Instantânea
Não Sim Sim Sim Sim Sim Sim
Comutação Suave
Sim Sim Sim Sim Sim Sim Sim
Partida Instantânea e
Partida Instantânea
Não Sim Não Sim Não Sim Sim
Eliminação da Componente
Contínua Sim Não Sim Sim Sim Sim Sim
Capacitor Série Grande
Não Não Não Sim Não Não Sim
Capacitor Paralelo Pequeno
Não Sim Sim Sim Não Não Sim
Todas as Características
acima Não Não Não Sim Não Não Não
155
Cada filtro estudado possui a sua característica, que deve ser útil conforme
sua aplicação, no entanto para reatores eletrônico o filtro mais adequado é o filtro
LC série C paralelo, atendendo as necessidades de funcionamento do conversor e
da lâmpada, se o conversor uma forma de onda sem conteúdo contínuo também
pode ser usado o filtro L série e C paralelo.
Capítulo 3
REATOR ELETRÔNICO BOOST PUSH-PULL
3.1 INTRODUÇÃO
Trabalhar com reatores eletrônicos em alta freqüência é fundamental para
economizar energia, devido a sua elevada eficiência luminosa [1], [13]. A alta
freqüência faz com que os reatores eletrônicos sejam mais leves, menores, sem
ruído audível e proporcionam uma maior vida útil da lâmpada, ao contrário dos
reatores eletromagnéticos convencionais operando a 60 Hz que requerem
dispositivos de grande volume para limitar a corrente [31]. As Lâmpadas
fluorescentes que operam com reatores eletromagnéticos em 60 Hz apresentam
cintilamento a uma freqüência de 120 Hz com 33 % de decréscimo de
luminosidade [14], [13].
O desenvolvimento de novas topologias vem contribuindo para sistemas
de iluminação mais eficientes e mais baratos [15]. Este capítulo apresenta uma
nova topologia com alto fator de potência empregando uma única chave
semicondutora. A topologia é baseada na integração de dois conversores estáticos
em um único estágio de conversão de potência. Inicialmente é abordado a
composição básica dos reatores eletrônicos e no decorrer do capítulo é
apresentado os princípios operacionais da topologia, simulações e os resultados
experimentais.
157
3.2 ESTRUTURA DOS REATORES ELETRÔNICOS
Os reatores eletrônicos convencionais são compostos por um estágio de
entrada, um inversor e um filtro de saída ou só pelo inversor e o filtro de saída
quando for alimentado por tensão CC, como mostra a Figura 3.1.
Figura 3.1 – Estrutura básica dos reatores eletrônicos.
Cada parte do reator é abordada separadamente a seguir.
3.2.1 Estágio de Entrada
Este estágio é responsável pela forma de onda da corrente de entrada, que
representado nas medidas da taxa de distorção harmônica (THD) e
conseqüentemente no fator de potência. Este estágio também é responsável pela
filtragem do ruído de interferência eletromagnética, que foi abordado no capítulo
2.
Os reatores podem ser divididos em reatores comuns e reatores com
correção do fator de potência.
3.2.1.1 Reatores Eletrônicos Comuns
São reatores que no estágio de entrada somente retificam a tensão de
entrada sem se preocupar com a forma de onda da corrente de entrada. O estágio
de entrada destes reatores é composto apenas pela ponte retificadora e pelo
capacitor de filtragem do barramento, como mostra a Figura 3.2. Este tipo de
estágio de entrada é caracterizado pela forma de onda de entrada mostrada na
158
Figura 3.3 e pela forma de onda do barramento mostrado na figura .
Figura 3.2 – Estágio de entrada dos reatores comuns.
Figura 3.3 – Forma de onda de entrada característica dos reatores comuns.
Figura 3.4 – Forma de onda de tensão no barramento característica dos reatores comuns.
O valor do capacitor regula a ondulação da forma de onda de tensão no
barramento, sendo que se o valor do capacitor for elevado, a ondulação da tensão
no barramento é pequena, porém os picos de corrente na entrada são elevados, o
que reduziria o fator de potência, se o valor do capacitor for pequeno, os picos de
corrente na entrada são pequenos, porém a ondulação da tensão no barramento é
grande, o que pode causar cintilamento na lâmpada e reduzir o fator de crista da
159
lâmpada.
3.2.1.2 Reatores eletrônicos com correção do fator de potência.
O fator de potência é fundamental para o uso adequado da energia
fornecida pela concessionária. Para corrigir o baixo fator de potência dos reatores
comuns são empregados métodos de correção do fator de potência, que são
divididos em dois tipos: métodos passivos e métodos ativos.
3.2.1.2.1 Métodos Passivos
Os métodos passivos são baseados em circuito que não empregam chaves
interruptoras, portanto constituídos de elementos reativos e diodos. Estes métodos
são basicamente filtros e circuitos snubbers. Os filtros, abordados no capítulo 2,
devem ser calculados para que a freqüência de corte fique 2,5 a 3 vezes a
freqüência da rede. Estes circuitos podem corrigir o fator de potência dentro de
determinados limites, porém apresentam grande volume. Outro circuito passivo
bastante empregado é o circuito Valley-fill, mostrado na Figura 3.5, que reduz a
distorção harmônica da entrada em aproximadamente 75 %, como pode ser
visualizado na Figura 3.6, e a tensão mínima do barramento se mantém
aproximadamente a metade da tensão de pico como é mostrado na Figura 3.7.
Figura 3.5 – Circuito Valley-fill.
160
Figura 3.6 – Forma de onda da entrada do circuito Valley-fill.
Figura 3.7 – Forma de onda da tensão no barramento para o circuito valley-fill.
3.2.1.2.2 Métodos Ativos
A correção do fator de potência pode ser realizada por conversores
chaveados CC/CC, ou parte deste, operando em alta freqüência. A correção do
fator de potência geralmente é realizada pela operação dos conversores chaveados
CC/CC no modo de condução descontínua. Esta operação faz com que a corrente
no conversor acompanhe a tensão de entrada, gerando uma forma de onda de
corrente triangular ou dente de serra em alta freqüência, modulada por uma
senoidal que segue a tensão de entrada, como mostra a Figura 3.8. Estas formas de
onda devem ser filtradas para eliminar as componentes harmônicas, mas agora ao
contrário dos filtros passivos descritos anteriormente, a freqüência de
chaveamento é elevada, o que resulta em um filtro pequeno. A tensão no
barramento continua dependendo do capacitor, porém agora o valor dele não
influencia na corrente de entrada.
161
(a)
(b)
Figura 3.8 – Forma de onda da tensão e corrente na entrada dos conversores CC/CC utilizados para a correção do fator de potência: (a) forma de onda
triangular da corrente. (b) forma de onda dente de serra da corrente.
Os conversores que podem realizar a correção do fator de potência devem
possuir um estágio em que a tensão de entrada esteja aplicada a um indutor
descarregado. Se a afirmação anterior for verdadeira pode-se comprovar a
correção do fator de potência pelo seguinte desenvolvimento.
A tensão de entrada é definida por
( )tf2senV)t(V RPin ⋅⋅π⋅⋅= (3.1)
A tensão de entrada para o calculo da corrente no indutor é considerada
constante. A expressão da corrente no indutor para o primeiro estágio é dada por
tL
V)t(i in
L ⋅= (3.2)
Se a corrente for triangular o segundo estágio é dado por
162
inooin
L VVparatL
VV)t(i >⋅
−= (3.3)
Ou se a corrente for dente de serra tem-se a seguinte expressão
0)t(i L = (3.4)
Como a forma de onda será filtrada, pode-se considerar para um intervalo
de tempo a média da corrente no indutor. Para a forma de onda triangular tem-se
T2
t
L
VV
2
t
L
V
i
22oin
21in
médiaL
∆∆⋅
−+⋅
= (3.5)
Para a forma de onda dente de serra chega-se a seguinte expressão
T2
t
L
V
i
21in
médiaL
∆⋅
= (3.6)
Onde a tensão do capacitor Vo, que está relacionada a tensão de entrada
por uma constante k, o tempo do primeiro estágio ∆t1 e o tempo do segundo
estágio ∆t1 podem ser considerados constantes e L é o valor do indutor. Portanto
conclui-se que as correntes de entrada destes conversores são descritas pelas
equações que seguem:
Para a forma de onda triangular
[ ] ( )tf2senTL2
t)k1(tV)t(i R
22
21P
L ⋅⋅π⋅⋅⋅⋅
⋅−+⋅=
∆∆ (3.7)
Para a forma de onda dente de serra
( )tf2senTL2
tV)t(i R
21P
L ⋅⋅π⋅⋅⋅⋅
⋅=
∆ (3.8)
Os conversores clássicos que possuem estas características são
apresentados a seguir.
163
3.2.1.2.2.1 Conversor Boost (Conversor Elevador)
A Figura 3.9 mostra o conversor Boost. Neste conversor a tensão de saída
é sempre maior que a tensão de entrada. A seguir são explicados os princípios
operacionais do conversor
Figura 3.9 – Topologia do conversor Boost
- Primeiro estágio: A chave interruptora está conduzindo. O diodo
é inversamente polarizado, isolando a entrada da saída. A fonte
de entrada fornece energia para o indutor. O capacitor de saída é
suficientemente grande e alimenta a carga com tensão
aproximadamente constante.
- Segundo estágio: A chave interruptora está fora de condução. A
energia armazenada no indutor é transferida para o capacitor,
polarizando diretamente o diodo. O capacitor continua da mesma
maneira que no primeiro estágio alimentando a carga.
- Terceiro estágio: A chave interruptora está fora de condução e o
diodo está inversamente polarizado. Neste estágio o indutor está
descarregado e o capacitor de saída continua alimentando a
carga.
Os estágios de operação são mostrados na Figura 3.10, e as formas de onda
na Figura 3.11.
164
(a)
(b)
(c)
Figura 3.10 – Estágios de operação do conversor Boost: (a) primeiro estágio; (b) segundo estágio; (c) terceiro estágio.
Figura 3.11 – Formas de onda do conversor Boost.
3.2.1.2.2.2 Conversor Buck-Boost (Conversor Abaixador-Elevador)
A Figura 3.12 mostra o conversor Buck-Boost. Neste conversor a tensão
de saída pode ser maior ou menor que a tensão de entrada. A seguir são
explicados os princípios operacionais do conversor
Figura 3.12 – Topologia do conversor Buck-Boost
165
- Primeiro estágio: A chave interruptora está conduzindo. O diodo
é inversamente polarizado, isolando a entrada da saída. A fonte
de entrada fornece energia para o indutor. O capacitor de saída é
suficientemente grande e alimenta a carga com tensão
aproximadamente constante.
- Segundo estágio: A chave interruptora está fora de condução. A
energia armazenada no indutor é transferida para o capacitor,
polarizando diretamente o diodo. O capacitor continua da mesma
maneira que no primeiro estágio alimentando a carga.
- Terceiro estágio: A chave interruptora está fora de condução e o
diodo está inversamente polarizado. Neste estágio o indutor está
descarregado e o capacitor de saída continua alimentando a
carga.
Os estágios de operação são mostrados na Figura 3.13, e as formas de onda
na Figura 3.14.
(a)
(b)
(c)
Figura 3.13 – Estágios de operação do conversor Buck-Boost: (a) primeiro estágio; (b) segundo estágio; (c) terceiro estágio.
166
Figura 3.14 – Formas de onda do conversor Buck-Boost
3.2.1.2.2.3 Conversor Cúk
A Figura 3.15 mostra o conversor Boost. Este conversor foi obtido pelo
uso do princípio da dualidade com o converso Buck-Boost. Neste conversor,
semelhante ao conversor Buck-Boost, a tensão de saída é sempre maior que a
tensão de entrada. A seguir são explicados os princípios operacionais do
conversor.
Figura 3.15 – Topologia do conversor Cúk.
- Primeiro estágio: A chave interruptora está conduzindo. O diodo
é inversamente polarizado. A fonte de entrada fornece energia
para o indutor L1. O capacitor C1 é suficientemente grande e
transfere energia Para o indutor L2 e para o capacitor C que
também é suficientemente grande. O capacitor C alimenta a
carga com tensão aproximadamente constante.
- Segundo estágio: A chave interruptora está fora de condução. O
diodo é polarizado diretamente e o capacitor C1 recebe energia
167
do indutor L1. O indutor L2 transfere sua energia para o capacitor
C. O capacitor continua da mesma maneira que no primeiro
estágio alimentando a carga.
- Terceiro estágio: A chave interruptora está fora de condução e o
diodo está inversamente polarizado. Neste estágio os indutores
estão descarregados e o capacitor de saída continua alimentando
a carga.
Os estágios de operação são mostrados na Figura 3.16, e as formas de onda
na Figura 3.17.
(a)
(b)
(c)
Figura 3.16 – Estágios de operação do conversor Cúk: (a) primeiro estágio; (b) segundo estágio; (c) terceiro estágio.
168
Figura 3.17 – Formas de onda do conversor Cúk.
3.2.1.2.2.4 Conversor Flyback (Conversor Buck-Boost Isolado)
A Figura 3.18 mostra o conversor Flyback. Este conversor é semelhante ao
conversor Buck-Boost, porém utiliza um indutor acoplado para isolar a entrada e a
saída. A seguir são explicados os princípios operacionais do conversor
Figura 3.18 – Topologia do conversor Flyback.
- Primeiro estágio: A chave interruptora está conduzindo. A tensão
de entrada é aplicada no indutor primário, sendo refletida para o
secundário e o diodo é inversamente polarizado. A fonte de
entrada fornece energia para o indutor. O capacitor de saída é
suficientemente grande e alimenta a carga com tensão
aproximadamente constante.
- Segundo estágio: A chave interruptora está fora de condução. A
energia armazenada no indutor é transferida para o capacitor
169
através do indutor secundário, polarizando diretamente o diodo.
O capacitor continua da mesma maneira que no primeiro estágio
alimentando a carga.
- Terceiro estágio: A chave interruptora está fora de condução e o
diodo está inversamente polarizado. Neste estágio o indutor está
descarregado e o capacitor de saída continua alimentando a
carga.
Os estágios de operação são mostrados na Figura 3.19, e as formas de onda
na Figura 3.20.
(a)
(b)
(c)
Figura 3.19 – Estágios de operação do conversor Buck-Boost: (a) primeiro estágio; (b) segundo estágio; (c) terceiro estágio.
170
Figura 3.20 – Formas de onda do conversor Flyback.
3.2.2 Estágio de Inversão
O estágio de inversão é responsável pela transformação da tensão CC
fornecida pelo estágio de entrada. Neste estágio é definida a freqüência de
operação da lâmpada. Este estágio pode ser realizado pelos inversores Half-
Bridge, Push-Pull e Full-Bridge, que serão descritos a seguir.
3.2.2.1 Inversor Half-Bridge
O inversor Half-Bridge possui duas configurações, que são o inversor
Half-Bridge assimétrico e o inversor Half-Bridge simétrico, como mostrado na
Figura 3.21.
171
(a)
(b)
Figura 3.21 – Inversor Half-Bridge: (a).assimétrico; (b) simétrico.
3.2.2.1.1 Inversor Half-Bridge Assimétrico
O princípio de funcionamento do inversor Half-Bridge Assimétrico é
baseado no comando alternado dos interruptores, sendo que quando o interruptor
S1 estiver conduzindo é aplicado zero de tensão na carga, e quando a o interruptor
S2 estiver conduzindo é aplicado na carga a tensão da fonte de entrada.
3.2.2.1.2 Inversor Half-Bridge Simétrico
O conversor Half-Bridge Simétrico possui dois capacitores iguais na
entrada, possibilitando uma tensão intermediaria a tensão de entrada. Pelo
comando alternado dos interruptores aplica-se na carga metade da tensão de
entrada alternadamente.
3.2.2.2 Inversor Push-Pull
O inversor Push-Pull é mostrado na Figura 3.22.
172
Figura 3.22 – Topologia do Inversor Push-Pull.
O funcionamento deste inversor ocorre também pelo comando alternado
dos interruptores. Quando o interruptor S1 estiver em condução, a tensão de
entrada refletida para o lado da carga é aplicada a carga. Quando o interruptor S2
está conduzindo o processo anterior ocorre com a polaridade invertida.
3.2.2.3 Inversor Full-Bridge
Este inversor não é muito empregado em reatores eletrônicos para
iluminação fluorescente, devido ao emprego de quatro interruptores, sendo sua
aplicação para cargas maiores. O inversor Full-Bridge é mostrado na Figura 3.23.
Figura 3.23 – Topologia do Inversor Full-Bridge.
O funcionamento deste conversor é baseado no comando alternado do par
de interruptores. Quando S1 e S4 estão conduzindo é aplicado na carga à tensão de
entrada. Quando S2 e S3 estão conduzindo é aplicado a tensão de entrada com a
polaridade contrária.
173
As formas de onda dos inversores foram apresentadas e estudadas no
capítulo 2.
3.2.3 Filtro de Saída
Estes filtros foram apresentados e estudados no capítulo 2.
3.2.4 Lâmpada Fluorescente
As lâmpadas Fluorescentes foram estudadas no capítulo 1.
3.3 APRESENTAÇÃO DA TOPOLOGIA PROPOSTA
A configuração básica da topologia proposta é mostrada na Figura 3.24,
composta pela alimentação de uma fonte de tensão monofásica Vin, a ponte
retificadora formada pelos diodos D1 a D4, o conversor boost, o inversor push-
pull, dois filtros de alta freqüência e duas lâmpadas fluorescentes Lamp1 e Lamp2.
O conversor boost é empregado para a correção do fator de potência,
composto pelo indutor LBoost, um interruptor S e um capacitor Cout.
O estágio de inversão é realizado pelo conversor push-pull, formado pelo
transformador representado por LP1 e LP2, o diodo D5 e o interruptor S,
compartilhado com o conversor boost.
É empregado um filtro de EMI na entrada para eliminar as harmônicas de
altas freqüências, formados pelo indutor Lin e o capacitor Cin. Na saída é
empregado o filtro LCC série paralelo ressonante que faz a alimentação em alta
freqüência das lâmpadas, constituído pelo indutor série LS, pelo capacitor série CS
e pelos capacitores paralelos CP1 e CP2. O filtro de saída garante a partida e
modela o fator de crista da corrente na lâmpada.
174
Figura 3.24 – Topologia proposta.
3.3.1 Princípios Operacionais
O comportamento do circuito proposto é analisado considerando duas
seções: a seção de alta freqüência (lado da carga) e a seção de baixa freqüência
(lado da fonte) que é simples e não é descrita.
A seção de alta freqüência é dividida em três estágios de operação
representados na Figura 3.25.
3.3.1.1 Primeiro Estágio
O primeiro estágio é caracterizado pela condução do interruptor S. Neste
estágio a tensão de entrada Vin é aplicada ao indutor LBoost, e acorrente iLboost
cresce linearmente, considerando que a tensão Vin permanece aproximadamente
constante durante o período de chaveamento. A tensão do capacitor Cout é
aproximada por uma fonte de tensão constante Vo, sendo aplicada ao indutor LP1 e
refletida pelo acoplamento ao indutor LP2, aparecendo no conjunto filtro lâmpada
duas vezes a tensão Vo.
3.3.1.2 Segundo Estágio
No segundo estágio o interruptor S está fora de condução. Neste estágio a
175
energia armazenada no indutor LBoost é transferida para o capacitor Cout. A
corrente do indutor LP1 é refletida para o indutor LP2 polarizando diretamente o
diodo D5 . Neste estágio a tensão Vo é aplicada ao indutor LP2, que refletida no
indutor LP1, é aplicada ao conjunto filtro lâmpada, com tensão negativa em
relação ao primeiro estágio.
3.3.1.3 Terceiro Estágio
No terceiro estágio o interruptor S e o diodo D5 estão fora de condução.
Neste estágio a lâmpada é alimentada pela energia reativa armazenada nos
componentes do filtro de saída.
(a)
(b)
(c)
Figura 3.25 – Estágios de operação: (a) primeiro estágio; (b) segundo estágio; (c) terceiro estágio.
Para melhor análise do circuito são apresentadas as simplificações dos
176
estágios na Figura 3.26, desconsiderando os elementos parasitas do circuito.
(a)
(b)
(c)
Figura 3.26 – Estágios de operação simplificados: (a) primeiro estágio; (b) segundo estágio; (c) terceiro estágio.
3.3.2 Equações Relevantes
3.3.2.1 Corrente de entrada
O tempo de condução do interruptor S é limitado. Portanto, os picos da
corrente no indutor boost LBoost serão modulados por uma senóide em fase com a
tensão de entrada. A freqüência de comutação do conversor é considerada
constante.
A forma de onda da corrente de entrada, que é a mesma corrente no
indutor LBoost, portanto
1Boost
inin t
L
Vi ∆⋅= (3.9)
A equação que define razão cíclica é dada por
177
T
tD 1∆
= (3.10)
Pelas equações (3.9) e (3.10) tem-se
Boost
inin L
TDVi
⋅⋅= (3.11)
A corrente de entrada segue uma envoltória senoidal, de acordo com
fL
DVi
Boost
inin ⋅
⋅= (3.12)
3.3.2.2 Máxima razão Cíclica para Condução Descontínua
A fim de garantir que o conversor boost opere no modo de condução
descontínuo durante todo o período da rede, deve-se encontrar a máxima razão
cíclica.
Através da energia armazenada no indutor boost obtém-se
2Boost
pico,ino1
Boost
pico,in tL
)tsen()VV(t
L
)tsen(V∆∆ ⋅
⋅ω⋅−=⋅
⋅ω⋅ (3.13)
Onde
1pico,ino
pico,in2 t
)tsen()VV(
)tsen(Vt ∆∆ ⋅
⋅ω⋅−⋅ω⋅
= (3.14)
Definindo
o
pico,in
V
V=α (3.15)
Substituindo (3.15) em (3.14) obtém-se
178
12 t)tsen()1(
)tsen(t ∆∆ ⋅
⋅ω⋅α−⋅ω⋅α= (3.16)
Considerando o pior caso, quando a condução é crítica, tem-se
T)D1(t 2 ⋅−=∆ (3.17)
A máxima corrente no indutor boost ocorre exatamente no momento do
pico da senóide da tensão de entrada
1Boost
pico,inpico,in t
L
Vi ∆⋅= (3.18)
Neste ponto, o tempo para suficiente para a corrente no indutor chegar a
zero é máximo
1pico,ino
pico,in
max,2 tVV
Vt ∆∆ ⋅
−= (3.19)
Assumindo que no pico da senóide a condução é crítica, tem-se
α−=1Dmax (3.20)
3.3.2.3 Característica de saída do conversor boost
Determina-se a corrente média na saída como
2
ti
T
1i
2pico,inmed,o
∆⋅⋅= (3.21)
Pelas equações (3.10), (3.14), (3.16) em (3.21) tem-se
)tsen()1(
)tsen(
Lf2
DVi
Boost
2pico,in
med,o ⋅ω⋅α−⋅ω⋅α⋅
⋅⋅⋅
= (3.22)
A corrente média para um período da rede é definida por
179
∫π
⋅ω⋅π
=0 med,oo tdi
1i (3.23)
Portanto
)(YDLf2
Vi 2
Boost
pico,ino α⋅⋅
⋅⋅π⋅= (3.24)
Onde
α−
α+π⋅α−⋅α
+απ−−=α
22 1arctan
21
22)(Y (3.25)
3.3.2.4 Máxima Indutância Boost
Deve ser determinada a máxima indutância do indutor LBoost para garantir
a condução descontínua. A corrente de saída é máxima quando a razão cíclica for
máxima, portanto a potência também é máxima
)(YLf2
)1(Vi
Boost
2pico,in
pico,o α⋅⋅⋅π⋅
α−⋅= (3.26)
A potência máxima na saída é definida pela expressão
max,oomax,o iVP ⋅= (3.27)
Pelas equações (3.26) e (3.27), encontra-se a expressão da indutância boost
)(Y)1(
Pf2
VL
2
max,o
2pico,in
Boost α⋅αα−⋅
⋅⋅π⋅= (3.28)
3.3.2.5 Corrente de Entrada para um Período de Chaveamento
A corrente média no intervalo de crescimento da corrente de entrada (∆t1)
é dada por
180
1Boost
pico,inmed,1t t
L2
)tsen(fVi ∆∆ ⋅
⋅⋅ω⋅⋅
= (3.29)
A corrente no intervalo de decrescimento da corrente (∆t2) é obtida pela
expressão
[ ])tsen(VV2
Lfii
pico,ino
Boost2
pico,inmed,2t ⋅ω⋅−⋅
⋅⋅=∆ (3.30)
A soma das duas parcelas i∆t1,med e i∆t2,med representa a corrente média num
período de chaveamento
)tsen()1(
)tsen(
Lf2
DVi
Boost
2o
in ⋅ω⋅α−⋅ω⋅α⋅
⋅⋅⋅
= (3.31)
3.3.2.6 Corrente Média na Entrada
Considerando que a freqüência de chaveamento é muito maior que a
freqüência da rede, a forma de onda da corrente de entrada é constituída
aproximadamente pela integração, em um semiciclo da rede, dos valores médios
da corrente de entrada em cada período de chaveamento.
A corrente média de entrada durante um semiciclo da rede é definida por
α−
α+π⋅α−
+π−⋅⋅⋅⋅
=22
Boost
2o
med,in1
arctan21
2
Lf2
DVi (3.32)
3.3.2.7 Corrente Eficaz na entrada
A corrente eficaz na entrada durante um semiciclo da rede é definida por
∫π
ω⋅⋅π
=0
2inef,in tdi
1i (3.33)
181
( )α⋅⋅⋅π⋅
α⋅⋅= Z
Lf2
VDi
Boost
o2
ef,in (3.34)
Onde
α−
α+π⋅α−
⋅α−⋅α−α⋅+
απ+
α−=α
222
2
21
arctan21
2
)1(
12
1
2)(Z (3.35)
3.3.2.8 Potência de Entrada
A potência de entrada é definida pela expressão
∫π
ω⋅⋅⋅π
=0 ininin tdiV
1P (3.36)
Boost
opico,in
in Lf2
VDVP
⋅⋅π⋅⋅⋅
= (3.37)
3.3.2.9 Fator de Potência
A corrente de entrada não é puramente senoidal, ela contém distorção
provocada pelo tempo de desmagnetização do indutor. Esta distorção é função da
relação da relação entre a tensão de pico de entrada e a tensão de saída
pico,in
o
V
VM = (3.38)
Quanto maior o valor de M, menor é o conteúdo harmônico na entrada.
3.3.3 Avaliação dos Esforços
3.3.3.1 Tensão de Pico no Interruptor
A tensão de pico no interruptor é dada por
182
opico,S V2V ⋅= (3.39)
Sendo que a maior tensão ocorre na partida da lâmpada.
3.3.3.2 Corrente de Pico no Interruptor
A corrente de pico no interruptor para o pior caso é dada por
pico,1Lppico,inpico,Lspico,S iiii ++= (3.40)
Onde
1m
opico,1Lp t
L
V2i ∆⋅⋅= (3.41)
Substituindo (3.18) e (3.41) em (3.40) obtém-se
1Boost
in
m
opico,Lspico,1Lp t
L
V
L
V2ii ∆⋅
+⋅+= (3.42)
3.3.3.3 Tensão de Pico no Diodo
A tensão de pico no diodo D5 é dada por
o5d V2V ⋅= (3.43)
3.3.3.4 Corrente de Pico no Diodo
1m
opico,Lspico,1Lp t
L
V2ii ∆⋅⋅+= (3.44)
3.3.4 Resultados de Simulação
Utilizam-se simulações para uma análise prévia dos resultados sem a
implementação de um protótipo. A simulação foi feita utilizando o modelo
183
tangente da lâmpada desenvolvido no capítulo 1.
Para a simulação utilizam-se os seguintes parâmetros:
Tensão de entrada: 110 Vrms, 60 Hz (Vsin).
Freqüência de chaveamento: 50 kHz (Vpulse).
Potência de saída: 80 W (duas lâmpas).
Componentes reativos: Lin: 1,4 mH;
Cin: 680 nF;
LBoost: 500 µH;
LP1 e LP2: 1,6 mH;
LS: 2,3 mH;
CS: 150 nF
CP: 3,6 nF.
Cout: 110 µF
Os resultados de simulação são mostrados nas figuras abaixo.
Figura 3.27 – Simulação da tensão e corrente na entrada. (50 V/div; 500 mA/div; 5 ms/div).
184
Figura 3.28 – Simulação da corrente no indutor Boost (LBoost) em baixa freqüência (1 A/div; 5 ms/div).
Figura 3.29 – Simulação da corrente no indutor Boost (LBoost) em alta freqüência (1 A/div; 10 µs/div).
Figura 3.30 – Simulação da tensão e corrente no interruptor (S) (100 V/div; 5 A/div; 10 µs/div).
185
Figura 3.31 – Simulação da tensão e corrente no diodo (D5) (100 V/div; 5 A/div; 10 µs/div).
Figura 3.32 – Simulação da tensão no capacitor do barramento (Cout) (50 V/div; 5 ms/div).
Figura 3.33 – Simulação da tensão nos enrolamentos do transformador push-pull (LP1+LP2) (200 V/div; 10 µs/div).
186
Figura 3.34 – Simulação da envoltória de tensão na lâmpada (50 V/div; 5 ms/div).
Figura 3.35 – Simulação da tensão e corrente na lâmpada em alta freqüência (50 V/div; 500 mA/div; 10 µs/div).
3.3.5 Resultados Experimentais
Um protótipo da topologia proposta foi construído com base nas
especificações de projeto. O circuito do protótipo é mostrado na Figura 3.36, na
qual foi utilizado um circuito adicional para redução das perdas no comando.
187
Figura 3.36 – Protótipo implementado.
As características do protótipo são: alimentação 110 Vrms – 60 Hz e
freqüência de operação: 50 kHz
Carga: duas lâmpadas fluorescentes modelo Maxlite F40W T10DL.
Os seguintes componentes foram utilizados para a construção do protótipo
Lin: 1,4 mH;;
LBoost: 500 µH;
LS: 2,3 mH;
LP1, LP2: 1,6 mH;
Cin: 680 nF;
Cout: 110 µF;
CS: 150 nF;
CP1, CP2: 3,6 nF;
S: IRF740;
D1, D2, D3, D4: 1N4004;
188
D5, D6: UF4007;
Comando: CI2153.
As formas de onda obtidas experimentalmente estão ilustradas a seguir.
Figura 3.37 –Tensão e corrente na entrada. (50 V/div; 500 mA/div; 5 ms/div).
Figura 3.38 – Corrente no indutor Boost (LBoost) em baixa freqüência (1 A/div; 2,5 ms/div).
Figura 3.39 – Corrente no indutor Boost (LBoost) em alta freqüência (1 A/div; 10 µs/div).
189
Figura 3.40 – Tensão e corrente no interruptor (S) (100 V/div; 5 A/div; 10 µs/div).
Figura 3.41 – Tensão e corrente no diodo (D5) (100 V/div; 5 A/div; 10 µs/div).
Figura 3.42 – Tensão no capacitor do barramento (Cout) (50 V/div; 5 ms/div).
190
Figura 3.43 – Tensão e corrente na lâmpada em alta freqüência (50 V/div; 500 mA/div; 10 µs/div).
Figura 3.44 – Tensão de partida na lâmpada (250 V/div; 50 ms/div).
A corrente e a tensão de entrada (Figura 3.37) mostram o alto fator de
potência e o THD reduzido da corrente.
Nas Figura 3.38 e Figura 3.39 são mostradas as correntes no indutor LBoost
em baixa e alta freqüência comprovando o modo de condução descontínua.
A tensão e a corrente no interruptor S e no diodo são mostrados nas Figura
3.40 e Figura 3.41. A tensão no capacitor Cout (Figura 3.42) mostra a ondulação
desprezível, não havendo influência considerável na variação do fluxo luminoso
das lâmpadas.
A Figura 3.44 mostra a tensão de partida da lâmpada, podendo ser
observado a partida rápida.
Analisando os dados obtidos foram medidos os seguintes resultados:
191
Rendimento (η%): 84 %
Fator de potência (fp): 0,99
Taxa de distorção harmônica (THD): 13,75 %
Fator de crista da corrente na lâmpada (fc): 1,43
Potência em cada lâmpada: 37,6 W
A potência obtida equivale a um fluxo luminoso maior que o fluxo
produzido pela lâmpada com 40 W em baixa freqüência.
3.4 CONCLUSÃO
Este capítulo apresenta a estrutura dos reatores eletrônicos, sendo o seu
funcionamento separado em estágios que representam as características de
entrada, as características de inversão, as características do filtro de saída e a
lâmpada.
Uma nova topologia de reator eletrônico para lâmpadas fluorescentes com
alto fator de potência e baixo custo. A topologia proposta utiliza dois conversores
operando em cascata, empregando apenas um interruptor. O primeiro é o boost
empregado na correção do fator de potência e o segundo é o conversor push-pull,
que alimenta a carga (filtro lâmpadas) em alta freqüência.
O conversor boost opera no modo de condução descontínua, dispensando o
controle de corrente no indutor boost, possibilitando a operação do circuito em
malha aberta.
O conversor permite empregar a energia armazenada nos enrolamentos
para viabilizar a comutação espontânea do diodo D5, dispensando um interruptor e
seu circuito de comando.
192
O interruptor compartilhado pelos dois conversores não requer circuito de
comando isolado, simplificando ainda mais o circuito de comando.
Os resultados experimentais demonstram que a topologia proposta
encontra-se dentro dos padrões mundiais, no que diz respeito a correção do fator
de potência, rendimento, cintilamento e fator de crista da corrente na lâmpada.
Desta forma, esta topologia reúne simplicidade e eficiência na obtenção de
um reator eletrônico com alto fator de potência, alta eficiência luminosa e baixo
custo.
Capítulo 4
COMPARATIVO ENTRE TOPOLOGIAS COM ALTO FATOR DE POTÊNCIA
4.1 INTRODUÇÃO
Nos últimos anos várias topologias foram desenvolvidas, melhorando o
desempenho das lâmpadas fluorescentes quando utilizam reatores eletrônicos ao
contrário dos reatores eletromagnéticos, como os reatores que empregam o boost
half-bridge integrados[26], Flyback half-bridge integrados [5], boost push-pull
integrados [27] e flyback push-pull integrados [25]. As topologias com um único
estágio de conversão de potência são mais convenientes para industria devido a
seu baixo peso, pequeno nível de cintilação, alto fator de potência e alta
eficiência.
O alto fator de potência é dado pelos conversores boost ou flyback
operando no modo de condução descontínua. A lâmpada é alimentada através de
um filtro LCC que proporciona uma forma de onda tensão e corrente
aproximadamente senoidal, garantindo o baixo fator de crista da corrente na
lâmpada e prolongando a sua vida útil. O filtro de interferência eletromagnética
(EMI), reduz a distorção harmônica da corrente de entrada e conseqüentemente
proporciona um alto fator de potência.
Este capítulo apresenta quatro conversores com alto fator de potência e
seus princípios de funcionamento. Estes reatores são comparados através de
resultados experimentais.
194
4.2 TOPOLOGIAS ESTUDADAS
As topologias estudadas são mostradas na Figura 4.1.
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 4.1 – Topologias estudadas
Pode-se observar que todas as topologias utilizam compartilhamento de
interruptores. As quatro topologias são apresentadas separadamente e no final são
comparados os resultados obtidos. Para poder comparar as topologias foram
utilizados os mesmos dados para os projetos de todos as topologias, que são
descritos a seguir:
- Tensão de alimentação: 110 Vrms, 60 Hz;
- Carga: duas lâmpadas de 40 W F40D (Osram);
195
- Freqüência de operação: 50 kHz.
Utilizou-se o mesmo filtro EMI de entrada com os seguintes valores:
- Lin: 1,4 mH, 160 voltas com núcleo Thornton – EE 20/10 IP6
- Cin: 680 nF / 250 V (polipropileno).
Os princípios operacionais e os resultados experimentais de cada reator
serão apresentados abaixo.
4.2.1 Reator Eletrônico Boost Half-bridge
A topologia do reator é apresentada na Figura 4.1 (a), onde é utilizado o
conversor boost para realizar a correção do fator de potência do reator e o
conversor half-bridge para fazer o estágio de inversão. O reator possui um único
estágio de conversão de potência, utilizando o compartilhamento do interruptor
S1.
4.2.1.1 Primeiro Estágio
Este estágio é caracterizado por S1 estar conduzindo e S2 não estar
conduzindo. A tensão de entrada é aplicada ao indutor boost LBoost, sendo
carregado em corrente. A tensão do capacitor de saída Cout é aplicada no conjunto
filtro lâmpada.
4.2.1.2 Segundo estágio
Este estágio é caracterizado pela transição dos dois interruptores, sendo
que a corrente ressonante gerada pela energia armazenada nos componentes do
filtro coloca em condução o diodo antiparalelo do interruptor S2, sendo que a
tensão aplicada ao conjunto filtro lâmpada neste momento é zero.
196
4.2.1.3 Terceiro Estágio
Este estágio é caracterizado por S2 estar conduzindo e S1 não estar
conduzindo. A energia armazenada no indutor boost LBoost é transferida para o
capacitor de saída Cout, neste momento a tensão aplicada no conjunto filtro
lâmpada é zero.
4.2.1.4 Quarto estágio
Este estágio é caracterizado pela transição dos dois interruptores, sendo
que a corrente ressonante gerada pela energia armazenada nos componentes do
filtro coloca em condução o diodo antiparalelo do interruptor S1, sendo que é
aplicada a tensão do capacitor de saída Cout no conjunto filtro lâmpada.
Os estágios de operação são mostrados na Figura 4.2, e suas simplificações
são apresentadas na Figura 4.3.
(a)
(b)
Figura 4.2 – Estágios de operação do reator boost half-bridge: (a) primeiro e quarto estágios de operação; (b) segundo e terceiro estágios de operação.
197
(a)
(b)
Figura 4.3 – Estágios de operação simplificados do reator boost half-bridge: (a) primeiro e quarto estágios de operação; (b) segundo e terceiro estágios de
operação.
Os resultados experimentais foram obtidos com um protótipo montado
com os seguintes componentes:
Diodos da ponte retificadora: 1N4004;
LBoost: 490 µH, 160 voltas com núcleo Thornton EE 20/10 IP6;
D6: UF4007;
S1 e S2: IRF740;
Cout: 110;
LS: 1,22 mH 160 voltas com núcleo Thornton EE 20/10 IP6;
CS: 150nF;
CP1 e CP2: 8,2nF;
As principais formas de onda são mostradas nas figuras abaixo.
198
Figura 4.4 – Tensão e corrente na entrada do reator boost half-bridge (50 V/div; 1 A/div; 5 ms/div).
Figura 4.5 – Corrente no indutor boost Lboost do reator boost half-bridge (2 A/div; 10 µs/div).
Figura 4.6 – Tensão e corrente no interruptor S1 do reator boost half-bridge (250 V/div; 2 A/div; 10 µs/div).
199
Figura 4.7 – Tensão e corrente na lâmpada do reator boost half-bridge (50 V/div; 500mA/div; 10 µs/div).
4.2.2 Reator Eletrônico Flyback Half-bridge
A topologia do reator é apresentada na Figura 4.1 (b), onde é utilizado o
conversor flyback para realizar a correção do fator de potência do reator e o
conversor half-bridge para fazer o estágio de inversão. O reator possui um único
estágio de conversão de potência, utilizando o compartilhamento do interruptor
S1.
4.2.2.1 Primeiro Estágio
Este estágio é caracterizado por S1 estar conduzindo e S2 não estar
conduzindo. A tensão de entrada é aplicada ao indutor flyback LF1, armazenando
energia em forma de corrente. A tensão do capacitor de saída Cout é aplicada no
conjunto filtro lâmpada.
4.2.2.2 Segundo estágio
Este estágio é caracterizado pela transição dos dois interruptores, sendo
que a corrente ressonante gerada pela energia armazenada nos componentes do
filtro coloca em condução o diodo antiparalelo do interruptor S2, sendo que a
tensão aplicada ao conjunto filtro lâmpada neste momento é zero.
200
4.2.2.3 Terceiro Estágio
Este estágio é caracterizado por S2 estar conduzindo e S1 não estar
conduzindo. A energia armazenada no indutor flyback primário LF1 é transferida
pelo acoplamento ao indutor flyback secundário LF2 que fornece energia para o
capacitor de saída Cout, neste momento a tensão aplicada no conjunto filtro
lâmpada é zero.
4.2.2.4 Quarto estágio
Este estágio é caracterizado pela transição dos dois interruptores, sendo
que a corrente ressonante gerada pela energia armazenada nos componentes do
filtro coloca em condução o diodo antiparalelo D8, sendo aplicada a tensão do
capacitor de saída Cout no conjunto filtro lâmpada.
Os estágios de operação são mostrados na Figura 4.8, e suas simplificações
são apresentadas na Figura 4.9.
201
(a)
(b)
(c)
Figura 4.8 – Estágios de operação do reator flyback half-bridge: (a) primeiro estágio de operação; (b) segundo e terceiro estágios de operação; (c) quarto estágio de operação.
202
(a)
(b)
(c)
Figura 4.9 – Estágios de operação simplificados do reator flyback half-bridge: (a) primeiro estágios de operação; (b) segundo e terceiro estágios de operação; (c) quarto
estágio de operação.
Os resultados experimentais foram obtidos com um protótipo montado
com os seguintes componentes:
Diodos da ponte retificadora: 1N4004;
LF1: 295 µH e LF2: 497 µH: 48/60 voltas com núcleo Thornton EE 20/10
IP6;
D6, D7, D8 e D9: UF4007;
S1 e S2: IRF740;
Cout: 110;
LS: 1 mH 160 voltas com núcleo Thornton EE 20/10 IP6;
203
CS: 150nF;
CP1 e CP2: 10 nF;
As principais formas de onda são mostradas nas figuras abaixo.
Figura 4.10 – Tensão e corrente na entrada do reator flyback half-bridge (50 V/div; 1 A/div; 50 ms/div).
Figura 4.11 – Corrente no indutor primário do flyback LF1 do reator boost half-bridge (2 A/div; 10 µs/div).
Figura 4.12 – Tensão e corrente no interruptor S1 do reator boost half-bridge (100 V/div; 2 A/div; 10 µs/div).
204
Figura 4.13 – Tensão e corrente na lâmpada do reator boost half-bridge (50 V/div; 500mA/div; 10 µs/div).
4.2.3 Reator Eletrônico Boost Push-Pull
A topologia do reator é apresentada na Figura 4.1 (c), onde é utilizado o
conversor boost para realizar a correção do fator de potência do reator e o
conversor push-pull para fazer o estágio de inversão. O reator possui um único
estágio de conversão de potência, utilizando o compartilhamento do interruptor S.
Os princípios operacionais e as formas de onda foram apresentados no capítulo 3.
4.2.4 Reator Eletrônico Flyback Push-Pull
A topologia do reator é apresentada na Figura 4.1 (d), onde é utilizado o
conversor flyback para realizar a correção do fator de potência do reator e o
conversor push-pull para fazer o estágio de inversão. O reator possui um único
estágio de conversão de potência, utilizando o compartilhamento do interruptor S.
4.2.4.1 Primeiro Estágio
Este estágio é caracterizado por S estar conduzindo e o diodo D5 estar
reversamente polarizado. A tensão de entrada é aplicada ao indutor flyback LF1,
armazenando energia em forma de corrente. A tensão do capacitor de saída Cout é
aplicada ao enrolamento LP1 e refletido ao enrolamento LP2 , sendo aplicada ao
205
conjunto filtro lâmpada duas vezes a tensão do capacitor Cout.
4.2.4.2 Segundo estágio
Este estágio é caracterizado pela abertura do interruptor, sendo que a
corrente armazenada na indutância magnetizante do transformador push-pull
polariza diretamente o diodo D5. Neste instante é aplicada a tensão do capacitor de
saída Cout no enrolamento LP2 e refletido ao enrolamento LP2, sendo aplicada ao
conjunto filtro lâmpada duas vezes a tensão do capacitor Cout, com a polaridade
contrária ao primeiro estágio. A energia armazenada no indutor primário do
flyback LF1 é transferida para o indutor secundário LF2, fornecendo energia ao
capacitor Cout.
4.2.4.3 Terceiro Estágio
Este estágio é caracterizado por S não estar conduzindo e D5 estar
inversamente polarizado. A corrente ressonante gerada pela energia armazenada
nos componentes do filtro mantém a corrente na lâmpada.
Os estágios de operação são mostrados na Figura 4.14, e suas
simplificações são apresentadas na Figura 4.15.
206
(a)
(b)
(c)
Figura 4.14 – Estágios de operação do reator flyback push-pull: (a) primeiro estágio de operação; (b) segundo estágio de operação; (c) terceiro estágio de operação.
207
(a)
(b)
(c)
Figura 4.15 – Estágios de operação simplificados do reator flyback half-bridge: (a) primeiro estágios de operação; (b) segundo e terceiro estágios de operação; (c) quarto
estágio de operação.
Os resultados experimentais foram obtidos com um protótipo montado
com os seguintes componentes:
Diodos da ponte retificadora: 1N4004;
LF1: 1,2 mH e LF2: 1,45 mH: 48/60 voltas com núcleo Thornton EE 20/10
IP6;
D5, D6, D7 e D9: UF4007;
S: IRF740;
Cout: 110;
LS: 8,2 mH 160 voltas com núcleo Thornton EE 20/10 IP6;
CS: 150nF;
CP1 e CP2: 10 nF;
As principais formas de onda são mostradas nas figuras abaixo.
208
Figura 4.16 – Tensão e corrente na entrada do reator flyback push-pull (50 V/div; 1 A/div; 5 ms/div).
Figura 4.17 – Corrente no indutor primário do flyback LF1 do reator flyback push-pull (2 A/div; 10 µs/div).
Figura 4.18 – Tensão e corrente no interruptor S do reator flyback push-pull (100 V/div; 2 A/div; 10 µs/div).
209
Figura 4.19 – Tensão e corrente na lâmpada do reator flyback push-pull (50 V/div; 500 mA/div; 10 µs/div).
4.3 CONCLUSÃO
Este capítulo apresenta resultados para as topologias que podem ser
comparados, tais como: número de interruptores, número indutores, esforço de
tensão e corrente no interruptor, fator de crista da corrente na lâmpada, THD da
entrada, fator de potência e rendimento, como mostra a Tabela 3.
Tabela 3 – Comparativo entre as topologias de reatores eletrônicos
reatores REBHB REFHB REBPP REFPP
nº de interruptores 2 2 1 1
nº de indutores 3 3 4 4
esforço de tensão no interruptor 0,75.Vns 1.Vns 1.Vns 0,75.Vns
esforço de corrente no interruptor 0,4.Ins 0,5.Ins 0,25.Ins 0,6.Ins
fator de crista da corrente 1,24 1,35 1,43 1,47
THD da corrente de entrada 0,0885 0,0867 0,137 0,044
fator de potência 0,996 0,987 0,991 0,997
rendimento 92,7 91,0 84,0 89,4
REBHB – Reator Eletrônico Boost Half-Bridge
REFHB – Reator Eletrônico Flyback Half-Bridge
REBPP – Reator Eletrônico Boost Push-Pull
REFPP – Reator Eletrônico Flyback Push-Pull
210
A discussão teórica e a análise dos resultados experimentais podem
mostrar que cada reator eletrônico possui sua aplicação específica. O reator
eletrônico boost half-bridge apresenta alto rendimento, porem não possibilita
aplicação viável para tensão de entrada de 220 V. O reator eletrônico flyback half-
bridge possibilita aplicação para tensão de entrada de 220 V porem para 110 V
este reator não possui o rendimento do primeiro.
As topologias que empregam o inversor push-pull possibilitam o emprego
de apenas um interruptor, mas o seu rendimento é menor. O emprego do boost
limita o emprego para tensão de entrada de 110 V, porem apresenta um maior
rendimento que o conversor flyback.
A principal vantagem das topologias apresentada é o uso de conversores
integrados com um único estágio de conversão de potência utilizando o
compartilhamento de interruptor, o que proporciona obter-se um alto fator de
potência, redução da distorção da corrente de entrada e conseqüentemente o
melhor uso da energia da rede. Estas topologias operam em alta freqüência
permitindo o consumo menor em média de 20 a 25 % com a mesma
luminosidade. Os reatores apresentam baixo peso, ausência de cintilamento e não
produz ruído audível. Os resultados experimentais foram obtidos para duas
lâmpadas fluorescentes tubulares operando com a freqüência de 50 kHz, tensão de
entrada de 110 V-60 Hz, o mostrou que todas as topologias apresentaram
rendimento acima de 86% e as características de alimentação da lâmpada dentro
das normas.
211
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