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Sistema de Eletromagnetoelasticidade
porBeatriz de Souza dos Santos
IM - UFRJ2008
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Sistema de Eletromagnetoelasticidade
Beatriz de Souza dos Santos
Tese de Doutorado apresentadaao Instituto de Matemática
daUniversidade Federal do Rio deJaneiro, como parte dos
requisitosnecessários à obtenção do t́ıtulode Doutor em
Matemática
Orientador: Luis Adauto da Justa Medeiros
Rio de JaneiroDezembro de 2008
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Sistema de Eletromagnetoelasticidade
Beatriz de Souza dos Santos
Tese submetida ao Programa de Pós-graduação em Matemática da
Universidade Federal doRio de Janeiro, como parte dos requisitos
necessários para a obtenção do t́ıtulo de Doutor
emMatemática.
Aprovada por:
Luis Adauto da Justa Medeiros, D.Sc. - IM/UFRJ(Orientador)
Haroldo Rodrigues Clark, D.Sc. - IM/UFF
Helvecio Rubens Crippa, D.Sc. - IM/UFRJ
Gladson Octaviano Antunes, D.Sc. - IM/UERJ
Geraldo Mendes de Araújo, D.Sc. - IM/UFPA
Mauro Antônio Rincon, D.Sc. - IM/UFRJ
Rio de JaneiroDezembro de 2008
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Santos, Beatriz de Souza dos.
S237s Sistema de eletromagnetoelasticidade
Souza dos Santos. — Rio de Janeiro: UFRJ/IM, 2008.
83f: 30cm.
Tese (doutorado) – UFRJ/IM. Programa de
Pós-graduação em Matemática, 2008.
Orientador: Luis Adauto da Justa Medeiros.
Referências: f.81-3
1. Ondas eletromagnéticas - modelos matemáticos -
tese. 2. Equações diferenciais parciais - tese. I.
Medeiros, Luis Adauto da Justa. II. Universidade
Federal do Rio de Janeiro. Instituto de Matemática.
III. T́ıtulo.
iii
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Aos meus pais Aurélio e Céliaao meu esposo Juan Ĺımaco
à minha irmã Bianca
iv
-
Agradecimentos
À Deus, por todas as minhas conquistas, pois sem Ele nada
conseguiria.
Ao professor Luis Adauto Medeiros pela sua excelente
orientação acadêmica e dedicação paracomigo.Pelas ótimas
aulas de Equações Diferenciais Parciais Não Lineares que
contribúırammuito para a minha formação acadêmica e por sua
grande amizade.
Aos professores do doutorado que contribúıram significadamente
em minha formaçãomatemática.
Aos professores do Seminário de Equações Diferencias Parciais
da Universidade FederalFluminense.
Aos colegas de doutorado, especialmente Nilza, pelo carinho e
incentivo.
Aos meus pais Aurélio e Célia e à minha irmã Bianca pelo
apoio, compreensão e amorincondicionais.
Ao meu esposo Juan Ĺımaco pela dedicação, apoio e
companheirismo.
À CAPES pelo apoio financeiro.
v
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Resumo
Nesta tese investigar-se-á um sistema de equações
diferenciais parciais, motivado pela propa-gação de ondas
eletromagnéticas. Foi motivado pelo artigo de V. Priimenko e M.
Vishnevskii[23]. Eles investigaram o caso n=1 em um cilindro, cf.
Ch.2. Nesta tese, considera-se o cason=1, mas com fronteira
variável, por ser mais realista, cf. Ch.3. No Ch.4 trata-se o
sistema parao caso n ≤ 3. Emprega-se técnicas da Análise
Funcional, de Espaços de Sobolev e resultadosde Compacidade, cf.
J.-L.Lions [14,15].
vi
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Abstract
In this thesis we investigate a system of partial differential
equations, motivated by propaga-tion of electromagnetic waves. It
was motivated by the article of V. Priimenko e M. Vishnevskii[23].
They investigated the case n=1 in a cylinder, cf. Ch.2. For this
thesis we consider thecase n=1, but with moving boundary what, I
think, is more realistic, cf. Ch.3. In the Ch.4 wetreat the system
for the case n ≤ 3. We employ techniques of Functional Analysis of
SobolevSpaces and Compactness results, cf. J.-L.Lions [14,15].
vii
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Conteúdo
1 Introdução 11.1 Dedução do Modelo de
Eletromagnetoelasticidade Unidimensional . . . . . . . . 3
2 Sistema de Eletromagnetoelasticidade Unidimensional 72.1
Resultados Principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 72.2 Existência . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Unicidade . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 19
3 Sistema de Eletromagnetoelasticidadeem um Domı́nio com
Fronteira Variável 223.1 Problema em um Domı́nio com Fronteira
Variável . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2 Problema
Transformado em um Cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 233.3 Resultados Principais . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 233.4 Existência . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.5
Unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 53
4 Sistema de Eletromagnetoelasticidade n-dimensional 574.1
Notação e Resultados Principais . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 584.2 Existência . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.3 Unicidade . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 694.4 Decaimento de Energia . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 71
Bibliografia 73
viii
-
Caṕıtulo 1
Introdução
Neste trabalho, considera-se o problema de valor inicial e de
fronteira para um sistema deequações diferenciais não-lineares
relacionados com a eletrodinâmica de vibrações em
meioselásticos. Para introduzir o modelo, precisa-se de alguns
conceitos preliminares.
Se um meio elástico eletrocondutor é imerso em um campo
eletromagnético então a propagaçãode ondas elásticas através
do meio excita as oscilações de um campo eletromagnético e eles
irãose modificar sob a influência deste último.
As ondas originadas como resultado de uma tal interação são
chamadas de ondas eletromag-netoelásticas. Os primeiros a aplicar
a teoria de eletromagnetoelasticidade para a investigaçãode
processos de propagação de onda em um meio eletrocondutor foram
feitos por Knopoff [12],Chadwick [5], Dunkin and Eringen [7]. Para
aprofundar-se com o estado moderno da teoria deinteração
eletromagnetoelástica, pode-se ver [9,22].
Considera-se um meio eletromagnetoelástico isotrópico do ponto
de vista de elasticidadelinear ligado a um processo de difusão de
ondas eletromagnéticas através apenas do lento movi-mento do
meio, isto é, não considera-se a influência de eletrocinética e
piezo efeito consequentesno mecanismo do acoplamento de ondas
elásticas e eletromagnéticas. As equações que governamo sistema
eletrodinâmico são as seguintes
rot ~H = σ ~E + σµe∂~U
∂t× ~H + ~J (1.1)
rot ~E = −µe∂ ~H
∂t, div(µe ~H) = 0 (1.2)
Para descrever os campos de propagação elástica existe o
seguinte sistema
ρ∂2~U
∂t2= div T (~U) + µe rot ~H × ~H + ~F (1.3)
1
-
onde o tensor T (~U) é definido por
Ti,j = λ∇ · ~Uδij + µ(Ui,xj + Uj,xi), 1 ≤ i, j ≤ 3 (1.4)
~E = (E1, E2, E3) e ~H = (H1, H2, H3) são os componentes
elétrico e magnético do campo
eletromagnético; ~U = (U1, U2, U3) é o vetor deslocamento do
meio; σ, µe, ρ, λ e µ sãoeletrocondutividade, permeabilidade
magnética, densidade do meio e os coeficientes de
Lamé,respectivamente; ~J é uma fonte do campo eletromagnético;
~F é uma fonte do campo elástico eδij é o śımbolo de
Kronecker.
Considera-se o caso em que todas as funções das equações
(1.1) - (1.4) dependem das
variáveis (z, t) e ~J e ~F têm as representações
~J = (0, 1, 0)J(z, t), ~F = (0, 0, 1)F (z, t) (1.5)
onde J, F são funções escalares e z signifia a variável
x3.
Provar-se-á que para ρ = constante e µe = constante essas
suposições permitem ter oseguinte modelo não linear
Ht =( 1σµe
Hz
)z−(HUt)z −
( 1σµe
J)
z, (1.6)
Utt = (v2pUz)z −
µeρHHz +
1
ρF, (1.7)
E =1
ρHz − µeHUt (1.8)
onde H,E,U e vp denotam o primeiro componente do campo
magnético, o segundo componente
do campo elétrico e o terceiro componente do campo elástico,
vp =√
(λ+ 2µ)/ρ é a velocidadelongitudinal da onda elástica.
Depois de simples transformações, obtém-se
ht = (rhz)z − (hut)z − (rj)z, (1.9)
utt = (ν2uz)z − phhz + f, (1.10)
e = rhz − hut (1.11)
onde h, e, u, j, f são as dimensões análogas à H,E,U, J, F ,
respectivamente; r−1 = µeLV0σ éo número magnético de Reynolds, p
= µeH
20ρ−1V −20 , ν = vp/V0 é a dimensionless velocidade
da propagação do campo elástico e L, V0, H0 são os valores
caracteŕısticos do comprimento,velocidade e campo magnético,
respectivamente.
2
-
Finalmente, realça-se que problemas matemáticos de
propagação de ondas elásticas e eletro-magnéticas com a conta
da interação de dois campos foram tratados recentememte por
Avdeev,Goryunov e Priimenko [3], Avdeev, Goryunov, Soboleva e
Priimenko [2], Burdakova e Yakhno[4], Imomnazarov [11], Merazhov e
Yakhno [20], Lavrent’ev (Jr.) e Priimenko [13], Lorenzie Priimenko
[16], Lorenzi e Romanov [17], Priimenko e Vishnevskii [24,25],
Romanov [26,27],Yakhno [29], Yakhno e Merazhov [28].
A interação de campos eletromagnéticos em meios deformáveis
é um assunto de muitasinvestigações teóricas e experimentais no
campo da mecânica do cont́ınuo e geof́ısica, na décadarecente.
Consultar, por exemplo, [5] e [23].
1.1 Dedução do Modelo de Eletromagnetoelasticidade
Unidimensional
As equações governadas pelo sistema eletrodinâmico são as
seguintes:
rot ~H = σ ~E + σµe∂~U
∂t× ~H + ~J (1.12)
rot ~E = −µe∂ ~H
∂t, div(µe ~H) = 0 (1.13)
Denotar-se-á por × e · o produto vetorial e escalar,
respectivamente, de dois vetores.
Para descrever os campos de propagação elástica, existe o
seguinte sistema
ρ∂2~U
∂t2= div T (~U) + µe rot ~H × ~H + ~F (1.14)
onde T (~U) é o tensor com componentes Ti,j, 1 ≤ i, j ≤ 3
definido por
Ti,j = λ∇ · ~Uδij + µ(Ui,xj + Uj,xi) (1.15)
e os vetores do R3 ~E = (E1, E2, E3) e ~H = (H1, H2, H3)
representam os campos elétrico emagnético, respectivamente. O
campo gerado por estes vetores denomina-se campo eletro-magnético.
~U = (U1, U2, U3) é o vetor deslocamento do meio; σ, µe, ρ, λ e µ
são eletro-condutividade, permeabilidade magnética, densidade do
meio e os coeficientes de Lamé; δij é
o śımbolo de Kronecker, ~J é uma fonte do campo
eletromagnético e ~F é uma fonte do campośısmico. Consultar, [5]
e [23].
Considera-se o caso em que todas as funções das equações
(1.12) - (1.15) dependem das
variáveis z, t e ~U, ~E, ~H, ~J e ~F têm as
representações:
~E = (0, 1, 0)E(z, t), ~H = (1, 0, 0)H(z, t), ~U = (0, 0, 1)U(z,
t), ~J = (0, 1, 0)J(z, t) e
~F = (0, 0, 1)F (z, t),
3
-
onde J e F são funções escalares.
Suponha-se que ρ = constante e µe = constante. Multiplicando
(1.12) por1
σµee calculando
o rotacional, obtém-se
∇× 1σµe
(∇× ~H
)=
1
µe∇× ~E + ∇×
(∂~U
∂t× ~H
)+∇× 1
σµe~J. (1.16)
De (1.13), tem-se que
∇× ~E = −µe∂ ~H
∂t, logo
1
µe∇× ~E = −∂
~H
∂t=
(−∂H∂t
, 0, 0
)(1.17)
Tem-se também que
∇× ~H =(
0,∂H
∂z, 0
),
∇× 1σµe
(∇× ~H
)=
(− ∂∂z
(1
σµe
∂H
∂z
), 0, 0
), (1.18)
∇× 1σµe
~J =
(− ∂∂z
(1
σµeJ
), 0, 0
)e
∇×
(∂~U
∂t× ~H
)=(~H · ∇
) ∂~U∂t−
(∂~U
∂t· ∇
)~H +
(∇ · ~H
) ∂~U∂t−
(∇ · ∂
~U
∂t
)~H
= −(∂U
∂t
∂H
∂z, 0, 0
)−(∂U
∂z∂tH, 0, 0
) (1.19)
Assim, substituindo (1.17), (1.18) e (1.19) em (1.16),
obtém-se
(− ∂∂z
(1
σµe
∂H
∂z
), 0, 0
)=
(−∂H∂t
, 0, 0
)−(∂U
∂t
∂H
∂z, 0, 0
)−(∂U
∂z∂tH, 0, 0
)
−(∂
∂z
(1
σµeJ
), 0, 0
).
(1.20)
Portanto,
∂H
∂t=
∂
∂z
(1
σµe
∂H
∂z
)− ∂∂z
(H
∂U
∂t
)− ∂∂z
(1
σµeJ
). (1.21)
4
-
Dividindo (1.14) por ρ, tem-se
∂2~U
∂t2=
1
ρ∇ · T (~U) + µe
ρ∇× ~H × ~H + 1
ρ~F . (1.22)
Como
∇× ~H =(
0,∂H
∂z, 0
), resulta que
∇× ~H × ~H =(
0, 0,−H ∂H∂z
). (1.23)
Tem-se que
Ui,xj =∂Ui∂xj
, Uj,xi =∂Uj∂xi
e δij =
1 se i = j , 1 ≤ i, j ≤ 30 se i 6= j ,então
Ui,xj + Uj,xi =
0 0 00 0 00 0
2∂U
∂z
. (1.24)Além disso, como
∇ · ~U = ∂U∂z
, resulta
∇ · ~Uδij =
∂U
∂z0 0
0∂U
∂z0
0 0∂U
∂z
. (1.25)
Logo, utilizando (1.24) e (1.25), obtém-se
∇ · Ti,j =(
0, 0,∂
∂z
(λ∂U
∂z
))+
(0, 0,
∂
∂z
(2µ
∂U
∂z
)). (1.26)
Assim, substituindo (1.23) e (1.26) em (1.22), resulta que(0,
0,
∂2U
∂t2
)=
1
ρ
(0, 0,
∂
∂z
((λ+ 2µ)
∂U
∂z
))− µe
ρ
(0, 0, H
∂H
∂z
)+
1
ρ(0, 0, F ) . (1.27)
Portanto∂2U
∂t2=
∂
∂z
((λ+ 2µ
ρ
)∂U
∂z
)− µe
ρH∂H
∂z+
1
ρF. (1.28)
5
-
Fazendo
Vp =
√λ+ 2µ
ρ(velocidade da onda longitudinal)
e p =µeρ, fica
∂2U
∂t2=
∂
∂z
(V 2p
∂U
∂z
)− p H ∂H
∂z+
1
ρF. (1.29)
O estudo do modelo feito acima pode ser visto em [5], [7], [12]
e [23].
De (1.12), tem-se que
~E =1
σ∇× ~H = −µe
∂~U
∂t× ~H − 1
σ~J.
Como
∇× ~H =(
0,∂H
∂z, 0
), ~E = (0, 1, 0)E(z, t) , ~J = (0, 1, 0)J(z, t)
e∂~U
∂t× ~H =
(0, H
∂U
∂t, 0
),
resulta que
(0, E, 0) =1
σ
(0,∂H
∂z, 0
)− µe
(0, H
∂U
∂t, 0
)− 1σ
(0, J, 0) . (1.30)
Portanto
E =1
σ
∂H
∂z− µeH
∂U
∂t− 1σJ. (1.31)
Assim, obtém-se o seguinte sistema não
linear∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂H
∂t=
∂
∂z
(1
σµe
∂H
∂z
)− ∂∂z
(H
∂U
∂t
)− ∂∂z
(1
σµeJ
)∂2U
∂t2=
∂
∂z
(V 2p
∂U
∂z
)− p H ∂H
∂z+
1
ρF
E =1
σ
∂H
∂z− µe H
∂U
∂t− 1σJ
(1.32)
Trabalhar-se-á com h, u, j, r, ν, f e e minúsculas em vez de
H, U, J,1
σµe, Vp ,
1
σF
e E como se faz habitualmente.
6
-
Caṕıtulo 2
Sistema de EletromagnetoelasticidadeUnidimensional
Neste caṕıtulo será analisado do ponto de vista anaĺıtico o
sistema de equações diferenciaisparciais (1.32), para tanto,
formula-se o seguinte problema de valor inicial e de contorno
(2.1)a seguir ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
ht − (rhx)x + (hut)x + (rj)x = 0 em Q
utt − (ν2ux)x + phhx − f = 0 em Q
h(−l, t) = h(l, t) = 0, t ∈ (0, T )
u(−l, t) = u(l, t) = 0, t ∈ (0, T )
h(x, 0) = h0(x), x ∈ (−l, l)
u(x, 0) = u0(x), ut(x, 0) = u1(x), x ∈ (−l, l)
(2.1)
onde Q = (−l, l) × (0, T ), h = h(x, t), u = u(x, t), r = r(x),
j = j(x, t), ν = ν(x) ef = f(x, t) para − l < x < l, 0 < t
< T.
Embora existindo uma demonstração de existência e unicidade
para o sistema (2.1) emM.V.[23], será feita uma demontração
neste trabalho seguindo a metodologia de Lions [15].
2.1 Resultados Principais
Hipóteses: Seja l > 0, T > 0 e Q = (−l, l)× (0, T )
H1. As funções r ∈ W 1,∞(−l, l), j ∈ W 1,∞(Q), ν ∈ W 2,∞(−l,
l) e νx(−l) = νx(l) = 0,
H2. Existem constantes reais positivas r0 e ν0 tais que r0 ≤
r(x) e ν0 ≤ ν(x) ∀x ∈ (−l, l)onde p é um número real
positivo,
7
-
H3. h0, u1 ∈ H10 (−l, l), u0 ∈ H10 (−l, l) ∩H2(−l, l) e f ∈
L2(0, T ;H10 (−l, l)).
Definição 2.1:
Dados h0, u1 ∈ H10 (−l, l), u0 ∈ H10 (−l, l)∩H2(−l, l) e f ∈
L2(0, T ;H10 (−l, l)) define-se porsolução fraca do sistema (2.1)
um par de funções u e h na classe
h ∈ L∞(0, T ;H10 (−l, l)) ∩ L2(0, T ;H10 (−l, l) ∩H2(−l, l)), ht
∈ L2(0, T ;L2(−l, l)),
u ∈ L∞(0, T ;H10 (−l, l) ∩H2(−l, l)), ut ∈ L∞(0, T ;H10 (−l,
l)), utt ∈ L2(0, T ;L2(−l, l))
satisfazendo a igualdade integral:∫Q
ht(x, t)ϕ(x, t)dxdt+
∫Q
(r(x)ht(x, t))ϕx(x, t)dxdt−∫
Q
h(x, t)ut(x, t)ϕx(x, t)dxdt
−∫
Q
r(x)j(x, t)ϕx(x, t)dxdt = 0
∫Q
utt(x, t)ϕ(x, t)dxdt+
∫Q
(ν2ux(x, t))ϕx(x, t)dxdt+
∫Q
ph(x, t)hx(x, t)ϕ(x, t)dxdt
−∫
Q
f(x, t)ϕ(x, t)dxdt = 0
∀ϕ ∈ L2(0, T ;H10 (−l, l))e verificando
u(0) = u0, h(0) = h0, ut(0) = u1.
Teorema 2.1: (Existência e Unicidade)
Dados r, j, ν, f, h0, u0 e u1 satisfazendo as hipóteses H1 -
H3, existem funções, únicas, u e hna classe:
h ∈ L∞(0, T ;H10 (−l, l)) ∩ L2(0, T ;H10 (−l, l) ∩H2(−l, l)), ht
∈ L2(0, T ;L2(−l, l)),
u ∈ L∞(0, T ;H10 (−l, l) ∩H2(−l, l)), ut ∈ L∞(0, T ;H10 (−l,
l)), utt ∈ L2(0, T ;L2(−l, l))
solução fraca do sistema de eletromagnetoelasticidade
(2.1).
Denotar-se-á por (.,.) e |.| o produto escalar e norma de
L2(−l, l) e por ‖.‖ a norma deH10 (−l, l).
8
-
2.2 Existência
Demonstração: Será empregado o Método de Faedo-Galerkin, cf.
Lions [15].
Seja (wi)i∈N uma base de H10 (−l, l) solução do problema
espectral∣∣∣∣∣∣− wixx = λiwi em (−l, l)
wi(−l) = wi(l) = 0
Considere o subespaço Vm = [w1, . . . , wm] ⊂ H10 (−l, l)
gerado pelos m primeiros vetores dabase.
Problema Aproximado
Procura-se
um(t) =m∑
i=1
gim(t)wi ∈ Vm e hm(t) =m∑
i=1
dim(t)wi ∈ Vm
solução do seguinte problema:
(h′m(t), w) + (rhmx(t), wx)− (hm(t)u′m(t), wx)− (rj(t), wx) = 0
∀w ∈ Vm (2.2)
(u′′m(t), w) + (ν2umx(t), wx) + (phm(t)hmx(t), w)− (f(t), w) = 0
∀w ∈ Vm (2.3)
um(0) = u0m −→ u0 em H10 (−l, l) ∩H2(−l, l)
hm(0) = h0m −→ h0 em H10 (−l, l)(2.4)
u′m(0) = u1m −→ u1 em H10 (−l, l) (2.5)
Obtém-se um sistema de equações diferenciais ordinárias, o
qual possui solução em (0, tm),tm < T . Estende-se a solução
a (0,T) e considera-se limite das soluções aproximadas por meiode
estimativas.
Primeira Estimativa
Fazendo w = hm(t) em (2.2) e w = u′m(t) em (2.3), tem-se
1
2
d
dt|hm(t)|2 +
∫ l−lr(x)h2mx(x, t)dx− (hm(t)u′m(t), hmx(t))− (rj(t), hmx(t)) =
0 (2.6)
1
2
d
dt|u′m(t)|2 +
1
2
d
dt
∫ l−lν2(x)u2mx(x, t)dx+ (phm(t)hmx(t)), u
′m(t))− (f(t), u′m(t)) = 0 (2.7)
9
-
Assim, multiplicando (2.6) por p e somando à (2.7),
obtém-se
p
2
d
dt|hm(x, t)|2 +
∫ l−lpr(x)h2mx(x, t)dx+
1
2
d
dt|u′m(t)|2 +
1
2
d
dt
∫ l−lν2(x)u2mx(x, t)dx −∫ l
−lpr(x)j(x, t)hmx(x, t)dx = (f(t), u
′m(t))
(2.8)
Utilizando ab ≤ a2
2+b2
2, segue que∣∣∣∣∫ l
−lpr(x)j(x, t)hmx(x, t)dx
∣∣∣∣ ≤ ∫ l−lp|r(x)||j(x, t)||hmx(x, t)|dx
≤∫ l−l
p
2|r(x)||j(x, t)|2dx+
∫ l−l
p
2|r(x)||hmx(x, t)|2dx
(2.9)
Substituindo (2.9) em (2.8), obtém-se
p
2
d
dt|hm(t)|2 +
∫ l−l
p
2r(x)h2mx(x, t)dx+
1
2
d
dt|u′m(t)| 2 +
1
2
d
dt
∫ l−lν2(x)u2mx(x, t)dx
≤∫ l−l
p
2|r(x)||j(x, t)| 2dx+
∫ l−l|f(x, t)u′m(x, t)|dx
(2.10)
Integrando (2.10) em (0,t), tem-se
p
2|hm(t)|2 +
pr02
∫ t0
‖hm(s)‖2ds+1
2|u′m(t)|2 +
ν202‖um(t)‖2 ≤
p
2|h0m|2 +
1
2|u1m|2+
1
2|νu0mx|2 +
∫ T0
∫ l−lp|r(x)||j(x, t)|2dxdt+
∫ T0
|f(t)|dt+∫ t
0
|f(s)||u′m(s)|2ds(2.11)
Portanto, aplicando a Desigualdade de Gronwall em (2.11), tem-se
de H1, H2, (2.4) e (2.5) que
|hm(t)|2 +∫ t
0
‖hm(s)‖2ds+ |u′m(t)|2 + ‖um(t)‖2 ≤ c1 (2.12)
onde c1 independe de m e depende de h0, u0, u1, r, j, ν, f e
T.
10
-
Segunda Estimativa
Fazendo w = −hmxx(t) em (2.2) e w = −u′mxx(t) em (2.3),
tem-se
(h′m(t),−hmxx(t)) + (rhmx(t), (−hmxx(t))x)− (hm(t)u′m(t),
(−hmxx(t))x)
−(rj(t), (−hmxx(t))x) = 0(2.13)
(u′′m(t),−u′mxx(t)) + (ν2umx(t), (−u′mxx(t))x) +
(phm(t)hmx(t),−u′mxx(t))
−(f(t),−u′mxx(t)) = 0(2.14)
Logo, obtém-se
1
2
d
dt‖hm(t)‖2 +
∫ l−lr(x)h2mxx(x, t)dx− ((hm(t)u′m(t))x, hmxx(t)) −
((rj(t))x, hmxx(t)) = −∫ l−lrx(x)hmx(x, t)hmxx(x, t)dx
(2.15)
1
2
d
dt‖u′m(t)‖2 +
1
2
d
dt
∫ l−lν2(x)u2mxx(t)dx+ ((phm(t)hmx(t))x, u
′mx(t)) −
(fx(t), u′mx(t)) = −
∫ l−lν2x(x)umx(x, t)u
′mxx(x, t)dx
(2.16)
Tem-se a seguinte identidade
((hm(t)u′m(t))x, hmxx(t)) =
∫ l−lhmx(x, t)u
′m(x, t)hmxx(x, t)dx +∫ l
−lhm(x, t)u
′mx(x, t)hmxx(x, t)dx
(2.17)
onde ∫ l−lhmx(x, t)u
′m(x, t)hmxx(x, t)dx =
∫ l−l
1
2(h2mx(x, t))xu
′m(x, t)dx
=1
2u′m(x, t)h
2mx(x, t)
∣∣∣∣l−l− 1
2
∫ l−lu′mx(x, t)h
2mx(x, t)dx
Então
((hm(t)u′m(t))x, hmxx(t)) =∫ l
−lhm(x, t)u
′mx(x, t)hmxx(x, t)dx−
1
2
∫ l−lu′mx(x, t)h
2mx(x, t)dx
(2.18)
11
-
Tem-se também que
((phm(t)hmx(t))x, u′mx(t)) =
p
∫ l−lh2mx(x, t)u
′mx(x, t)dx+ p
∫ l−lhm(x, t)hmxx(x, t)u
′mx(x, t)dx,
(2.19)
e
−∫ l−lν2x(x)umx(x, t)u
′mxx(x, t)dx = −2ν(x)νx(x)umx(x, t)u′mx(x, t) |l−l +∫ l
−lν2xx(x)umx(x, t)u
′mx(x, t)dx+
∫ l−lν2x(x)umxx(x, t)u
′mx(x, t)dx.
(2.20)
Multiplicando (2.15) por p, somando à (2.16) e aplicando as
identidades (2.18), (2.19) e(2.20), tem-se
p
2
d
dt‖hm(t)‖2 + p
∫ l−lr(x)h2mxx(x, t)dx+
1
2
d
dt‖u′m(t)‖2 +
1
2
d
dt
∫ l−lν2(x)u2mxx(x, t)dx
≤ 3p2
∫ l−l|u′mx(x, t)h2mx(x, t)|dx+ p
∫ l−l|(r(x)j(x, t))x||hmxx(x, t)|dx +∫ l
−l|fx(x, t)u′mx(x, t)|dx+ p
∫ l−l|rx(x)hmx(x, t)hmxx(x, t)|dx +∫ l
−l|ν2xx(x)umx(x, t)u′mx(x, t)|dx+
∫ l−l|ν2x(x)umxx(x, t)u′mx(x, t)|dx
(2.21)
Como
3p
2
∫ l−l|hmx(x, t)||hmx(x, t)||u′mx(x, t)|dx ≤
3p
2|hmx(t)|L∞(−l,l)|hmx(t)||u′mx(t)|
≤ 3pc02|hmxx(t)|‖hm(t)‖‖u′m(t)‖
(2.22)
onde c0 é a constante tal que | . |L∞(−l,l) ≤ c0‖ . ‖
Logo, substituindo (2.22) em (2.21), obtém-se
p
2
d
dt‖hm(t)‖2 + p
∫ l−lr(x)h2mxx(x, t)dx+
1
2
d
dt‖u′m(t)‖2 +
1
2
d
dt
∫ l−lν2(x)u2mxx(x, t)dx
≤ 3pc02|hmxx(t)|‖hm(t)‖‖u′m(t)‖+ p|(rj(t))x|L∞(−l,l)|hmxx(t)|+
‖f(t)‖‖u′m(t)‖ +
p|rx|L∞(−l,l)‖hm(t)‖|hmxx(t)|+ |ν2xx|L∞(−l,l)‖um(t)‖‖u′m(t)‖
+
|ν2x|L∞(−l,l)|umxx(t)|‖u′m(t)‖
(2.23)
12
-
Utilizando ab ≤ a2
2+b2
2, tem-se as seguintes desigualdades:
3pc02|hmxx(t)|‖hm(t)‖‖u′m(t)‖ ≤
9pc204r0‖hm(t)‖2‖u′m(t)‖2 +
pr04|hmxx(t)|2
p|(rj(t))x|L∞(−l,l)|hmxx(t)| ≤p
r0|(rj(t))x|2L∞(−l,l) +
pr04|hmxx(t)|2
p|rx|L∞(−l,l)‖hm(t)‖|hmxx(t)| ≤p
r0|rx|2L∞(−l,l)‖hm(t)‖2 +
pr04|hmxx(t)|2
|ν2xx|L∞(−l,l)‖um(t)‖‖u′m(t)‖ ≤1
2|ν2xx|2L∞(−l,l) +
1
2‖um(t)‖2‖u′m(t)‖2
|ν2x|L∞(−l,l)|umxx(t)|‖u′m(t)‖ ≤1
2|ν2x|2L∞(−l,l)|umxx(t)|2 +
1
2‖u′m(t)‖2
‖f(t)‖‖u′m(t)‖ ≤1
2‖f(t)‖+ 1
2‖f(t)‖‖u′m(t)‖2
(2.24)
Assim, de (2.24) e integrando de 0 à t (2.23), obtém-se
p
2‖hm(t)‖2 +
pr04
∫ t0
|hmxx(s)|2ds+1
2‖u′m(t)‖2 +
ν202|umxx(t)|2 ≤
p
2‖h0m‖2 +
1
2‖u1m‖2 +
1
2|ν2|L∞(−l,l)|u0mxx|2 +
pT
r0|(rj)x|2L∞(Q) +
1
2
∫ T0
‖f(t)‖dt +
p
r0|rx|2L∞(−l,l)
∫ t0
‖hm(s)‖2ds+T
2|ν2xx|2L∞(−l,l) +
1
2
∫ t0
|ν2x|2L∞(−l,l)|umxx(s)|2ds +∫ t0
(1
2‖f(s)‖+ 1
2‖um(s)‖2 +
9pc204r0‖hm(s)‖2 +
1
2
)‖u′m(s)‖2ds
(2.25)
Portanto, de H1, H2, (2.4), (2.5), (2.12) e da Desigualdade de
Gronwall aplicada em (2.25),obtém-se
‖hm(t)‖2 +∫ t
0
|hmxx(s)|2ds+ ‖u′m(t)‖2 + |umxx(t)|2 ≤ c2 (2.26)
onde c2 depende de h0, u0, u1, r, j, ν, f , T e independe de
m.
13
-
Terceira Estimativa
Fazendo w = h′m(t) em (2.2) e w = u′′m(t) em (2.3), tem-se
(h′m(t), h′m(t)) + (rhmx(t), h
′mx(t))− (hm(t)u′m(t), h′mx(t))− (rj(t), h′mx(t)) = 0 (2.27)
(u′′m(t), u′′m(t)) + (ν
2umx(t), u′′mx(t)) + (phm(t)hmx(t), u
′′m(t))− (f(t), u′′m(t)) = 0 (2.28)
Logo,
|h′m(t)|2 − (rhmxx(t), h′m(t))− (rxhmx(t), h′m(t)) +
((hm(t)u′m(t))x, h′m(t)) +
((rj(t))x, h′m(t)) = 0
(2.29)
|u′′m(t)|2 − (ν2umxx(t), u′′m(t))− (ν2xumx(t), u′′m(t)) +
(phm(t)hmx(t), u′′m(t)) −
(f(t), u′′m(t)) = 0(2.30)
Portanto, de (2.29) e (2.30), resulta que
|h′m(t)|2 = (rhmxx(t) + rxhmx(t)− (hm(t)u′m(t))x − (rj(t))x,
h′m(t)) (2.31)
|u′′m(t)|2 = (ν2umxx(t) + ν2xumx(t)− phm(t)hmx(t) + f(t),
u′′m(t)). (2.32)
Como((hm(t)u
′m(t))x, h
′m(t)) = (hmx(t)u
′m(t), h
′m(t)) + (hm(t)u
′mx(t), h
′m(t)) (2.33)
tem-se ∫ l−lhmx(x, t)u
′m(x, t)h
′m(x, t)dx ≤
∣∣∣∣∫ l−lhmx(x, t)u
′m(x, t)h
′m(x, t)dx
∣∣∣∣≤ |hmx(t)|L∞(−l,l)|u′m(t)||h′m(t)| ≤
c0|hmxx(t)||u′m(t)||h′m(t)|
(2.34)
∫ l−lhm(x, t)u
′mx(x, t)h
′m(x, t)dx ≤
∫ l−l|hm(x, t)||u′mx(x, t)h′m(x, t)|dx
≤ |hm(t)|L∞(−l,l)|u′mx(t)||h′m(t)| ≤
c0‖hm(t)‖‖u′m(t)‖|h′m(t)|(2.35)
Logo, substituindo (2.34) e (2.35) em (2.31), obtém-se
|h′m(t)|2 ≤(|r|L∞(−l,l)|hmxx(t)|+ |rx|L∞(−l,l)‖hm(t)‖+
c0|hmxx(t)||u′m(t)| +
c0‖hm(t)‖‖u′m(t)‖+ |(rj(t))x|L∞(−l,l))|h′m(t)|
(2.36)
14
-
Assim, utilizando ab ≤ a2
2+b2
2em (2.36), obtém-se
1
2|h′m(t)|2 ≤
c32
(|r|2L∞(−l,l)|hmxx(t)|2 + |rx|2L∞(−l,l)‖hm(t)‖2 +
c20|hmxx(t)|2|u′m(t)|2 +
c20‖hm(t)‖2‖u′m(t)‖2 + |(rj(t))x|2L∞(−l,l)) (2.37)
Logo, integrando de 0 à t (2.37), tem-se∫ t0
|h′m(s)|2ds ≤ c4(∫ t
0
|hmxx(s)|2ds+∫ t
0
‖hm(s)‖2ds +
|u′m|2L∞((0,T ;L2(−l,l))∫ t
0
|hmxx(s)|2ds+ ‖u′m‖2L∞((0,T ;H10 (−l,l))∫ t
0
‖hm(s)‖2ds) (2.38)
Aplicando as estimativas (2.12) e (2.26) em (2.38), tem-se∫
t0
|h′m(s)|2ds ≤ c5 onde c5 independe de m (2.39)
Também,
(phm(t)hmx(t), u′′m(t)) ≤
∫ l−lp|hm(x, t)||hmx(x, t)u′′m(x, t)|dx
≤ p|hm(t)|L∞(−l,l)‖hm(t)‖|u′′m(t)| ≤
pc0‖hm(t)‖2|u′′m(t)|.(2.40)
Logo, de (2.40) em (2.32), tem-se
|u′′m(t)|2 ≤(|ν2|L∞(−l,l)|umxx(t)|+ |ν2x|L∞(−l,l)‖um(t)‖+
pc0‖hm(t)‖2 + |f(t)|
)|u′′m(t)| (2.41)
Utilizando ab ≤ a2
2+b2
2em (2.41), fica
1
2|u′′m(t)|2 ≤
c62
(|ν2|2L∞(−l,l)|umxx(t)|2 + |ν2x|2L∞(−l,l)‖um(t)‖2 +
p2c20‖hm(t)‖4 + |f(t)|2
)(2.42)
Logo, integrando de 0 à t (2.42), obtém-se∫ t0
|u′′m(s)|2ds ≤ c7(|umxx|2L∞(0,T ;L2(−l,l))
∫ T0
dt+ ‖um‖2L∞(0,T ;H10 (−l,l))∫ T
0
dt +
‖hm‖4L∞((0,T ;H10 (−l,l))∫ T
0
dt+
∫ T0
|f(t)|2dt) (2.43)
15
-
Aplicando as estimativas (2.12) e (2.26) em (2.43), resulta∫
t0
|u′′m(s)|2ds ≤ c8 onde c8 independe de m (2.44)
Das estimativas (2.12), (2.26), (2.39) e (2.44), usando os
Teoremas de Banach Alaoglu-Bourbaki e de Kakutani, existem
subsequências de (um) e (hm) (denotadas iguais) tais que
um ⇀ u (fraco estrela) em L∞(0, T ;H2(−l, l) ∩H10 (−l, l))
(2.45)
hm ⇀ h (fraco) em L2(0, T ;H2(−l, l) ∩H10 (−l, l)) (2.46)
u′m ⇀ u′ (fraco estrela) em L∞(0, T ;H10 (−l, l)) (2.47)
hm ⇀ h (fraco estrela) em L∞(0, T ;H10 (−l, l)) (2.48)
h′m ⇀ h′ (fraco) em L2(0, T ;L2(−l, l))) (2.49)
u′′m ⇀ u′′ (fraco) em L2(0, T ;L2(−l, l)) (2.50)
Estas convergências não são suficientes para se tomar o
limite com sucesso na equaçãoaproximada. Para se obter
convergências que permitam tomar limites nos termos
não-lineares(hmu
′m e hmhmx) recorre-se ao Teorema de Compacidade (Teorema de
Aubin-Lions) [1,15].
Como (u′m) é limitada em L∞(0, T ;H10 (−l, l)) ⊂ L2(0, T ;H10
(−l, l)) (continuamente), segue
que (u′m) é limitada em L2(0, T ;H10 (−l, l)).
E, como (u′′m) é limitada em L2(0, T ;L2(−l, l)), resulta por
Aubin [1,15] que (u′m) possui
uma subsequência (u′m) (denotada igual) tal que
u′m → u′ (forte) em L2(0, T ;L2(−l, l)). (2.51)
Como u′m → u′ (forte) em L2(Q), existe uma subsequência (u′m)
de (u′m) (denotada igual)tal que
u′m → u′ quase sempre em Q (2.52)
Também, (hm) é limitada em L∞(0, T ;H2(−l, l)∩H10 (−l, l)) ⊂
L2(0, T ;H2(−l, l)∩H10 (−l, l))
(continuamente) então (hm) é limitada em L2(0, T ;H2(−l, l)
∩H10 (−l, l))
E, como (h′m) é limitada em L2(0, T ;L2(−l, l)) resulta por
Aubin [1,15] que (hm) possui
uma subsequência (hm) (denotada igual) tal que
hm → h (forte) em L2(0, T ;H10 (−l, l)) e (2.53)
hmx → hx (forte) em L2(0, T ;L2(−l, l)) (2.54)
16
-
Como hm → h (forte) em L2(Q) e hmx → hx (forte) em L2(Q) entaõ
existem subsequênciasde (hm) e de (hmx) (denotadas iguais) tais
que
hm → h quase sempre em Q e (2.55)
hmx → hx quase sempre em Q (2.56)
Análise do Termo Não-Linear
Como ∫Q
|hm(x, t)u′m(x, t)|2dxdt ≤∫ T
0
(|u′m(t)|2L∞(−l,l)
∫ l−l|hm(x, t)|2dx
)dt
≤∫ T
0
(|u′m(t)|2L∞(−l,l)c29‖hm(t)‖2)dt
≤∫ T
0
(c20‖u′m(t)‖2c29‖hm(t)‖2)dt
≤ c10‖u′m(t)‖2L∞(0,T ;H10 (−l,l))
∫ T0
‖hm(t)‖2dt
≤ c11, tem-se
usando as estimativas (2.12) e (2.26) e |hm| ≤ c9‖hm‖ pois H10
(−l, l) ⊂ L2(−l, l) (continua-mente) que
(hmu′m) é limitada em L
2(Q). (2.57)
Como,u′m → u′ quase sempre em Q e hm → h quase sempre em Q
resultahmu
′m → hu′ quase sempre em Q (2.58)
Portanto, de (2.57) e (2.58) usando o Lema Lions [15], segue-se
que
hmu′m ⇀ hu
′ (fraco) em L2(Q) (2.59)
17
-
Analogamente,∫Q
|hm(x, t)hmx(x, t)|2dxdt ≤∫ T
0
∫ l−l|hm(x, t)hmx(x, t)|2dxdt
≤∫ T
0
(|hmx(t)|2L∞(−l,l)
∫ l−l|hm(x, t)|2dx
)dt
≤∫ T
0
c20|hmxx(t)|2|hm(t)|2dt
≤ c12|hm(t)|2L∞(0,T ;L2(−l,l))∫ T
0
|hmxx(t)|2dt
≤ c13,
usando as estimativas (2.12) e (2.26), resulta que
(hmhmx) é limitada em L2(Q). (2.60)
Comohm → h quase sempre em Q e hmx → hx quase sempre em Q
entãohmhmx → hhx quase sempre em Q (2.61)
Portanto, de (2.60) e (2.61) e do Lema de Lions [15], tem-se
hmhmx ⇀ hhx (fraco) em L2(Q) (2.62)
Portanto, pode-se achar subsequências de (um) e (hm) (denotadas
iguais) verificando (2.45)-(2.50), (2.59) e (2.62) e assim pode-se
passar limite no problema aproximado, ficando provadaa
existência.
18
-
2.3 Unicidade
Demonstração
Sejam h1, h2, u1 e u2 soluções nas condições do Teorema 2.1.
Fazendo w = h1 − h2 ez = u1 − u2, tem-se ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
wt − (rwx)x + (h1u1t)x − (h2u2t)x = 0 em Q
ztt − (ν2zx)x + ph1h1x − ph2h2x = 0 em Q
w(−l, t) = w(l, t) = 0, t > 0
z(−l, t) = z(l, t) = 0, t > 0
w(x, 0) = 0, −l < x < l
z(x, 0) = 0, zt(x, 0) = 0, −l < x < l
(2.63)
Fazendo a composição de (2.63)1 com w e de (2.63)2 com zt,
obtém-se
(wt(t), w(t)) + (rwx(t), wx(t))− (h1(t)u1t(t), wx(t)) +
(h2(t)u2t(t), wx(t)) = 0 (2.64)
(ztt(t), zt(t)) + (ν2zx(t), zxt(t)) + (ph1(t)h1x(t), zt(t))−
(ph2(t)h2x(t), zt(t)) = 0 (2.65)
Segue dáı que
1
2
d
dt|w(t)|2 +
∫ l−lr(x)w2x(x, t)dx =
∫ l−l
(h1(x, t)u1t(x, t)− h2(x, t)u2t(x, t))wx(x, t)dx (2.66)
1
2
d
dt|zt(t)|2 +
1
2
d
dt
∫ l−lν2(x)z2x(x, t)dx =
∫ l−l
(ph2(x, t)h2x(x, t)− ph1(x, t)h1x(x, t))zt(x, t)dx.
(2.67)
Tem-se que ∫ l−l
(h1(x, t)u1t(x, t)− h2(x, t)u2t(x, t))wx(x, t)dx ≤∫ l−l|(h1(x,
t)u1t(x, t)− h1(x, t)u2t(x, t) + h1(x, t)u2t(x, t)− h2(x, t)u2t(x,
t))wx(x, t)|dx ≤∫ l−l
(|h1(x, t)||u1t(x, t)− u2t(x, t)|+ |h1(x, t)− h2(x, t)||u2t(x,
t)|)|wx(x, t)|dx ≤
c1|(zt(t)||wx(t)|+ c1|w(t)||wx(t)| ≤ c14|zt(t)|2 +r04|wx(t)|2 +
c14|w(t)|2 +
r04|wx(t)|2
(2.68)
onde c14 = c21/r0
19
-
Logo, substituindo (2.68) em (2.66) e integrando de 0 à t,
tem-se
1
2|w(t)|2 + r0
2
∫ t0
|wx(s)|2ds ≤ c15∫ t
0
(|zt(s)|2 + |w(s)|2)ds (2.69)
Também,∫ l−l
(ph2(x, t)h2x(x, t)− ph1(x, t)h1x(x, t))zt(x, t)dx ≤ p∫
l−l|(h2(x, t)h2x(x, t) −
h2(x, t)h1x(x, t) + h2(x, t)h1x(x, t)− h1(x, t)h1x(x, t))zt(x,
t)|dx ≤
p
∫ l−l
(|h2(x, t)||h2x(x, t)− h1x(x, t)|+ |h1x(x, t)||h2(x, t)− h1(x,
t)|)|zt(x, t)|dx ≤
pc1|wx(t)||zt(t)|+ pc0|h1(t)|H2(−l,l)|w(t)||zt(t)| ≤r04|wx(t)|2
+ c16|zt(t)|2 +
|h1(t)|2H2(−l,l)|w(t)|2 + c17|zt(t)|2
(2.70)
onde c16 = (p2c21)/r0 e c17 = (p
2c20)/4 .
Assim, substituindo (2.70) em (2.67) e integrando de 0 à t,
obtém-se
1
2|zt(t)|2 +
ν202
∫ t0
|zx(s)|2ds ≤r04
∫ t0
|wx(s)|2ds+ c18∫ t
0
|zt(s)|2ds+∫ t
0
|h1(s)|2H2(−l,l)|w(s)|2ds.
(2.71)
Portanto, somando (2.69) e (2.71), tem-se
1
2|w(t)|2 + 1
2|zt(t)|2 +
r04
∫ t0
|wx(s)|2ds+ν202‖z(t)‖2 ≤
c19
∫ t0
((1 + |h1(s)|2H2(−l,l))(|zt(s)|2 + |w(s)|2))ds.(2.72)
Usando áı a Desigualdade de Gronwall, obtém-se
h1 = h2 e u1 = u2 (2.73)
obtendo a unicidade
20
-
Observação 2.1
Tem-se de (2.63)1 queht − (rhx)x + (hut)x + (rj)x = 0
Comoht ∈ L2(0, T ;L2(−l, l)), (rhx)x = rxhx + rhxx ∈ L2(0, T
;L2(−l, l)),
(hut)x ∈ L2(0, T ;H−1(−l, l)), (rj)x ∈ L2(0, T ;L2(−l, l)),
resulta(hut)x = −ht + (rhx)x − (rj)x ∈ L2(0, T ;L2(−l, l)).
Portanto,ht − (rhx)x + (hut)x + (rj)x = 0 ∈ L2(0, T ;L2(−l,
l)).
Analogamente, tem-se de (2.63)2
utt − (ν2ux)x + phhx − f = 0
Comoutt ∈ L2(0, T ;L2(−l, l)), phhx ∈ L2(0, T ;L2(−l, l)),
f ∈ L2(0, T ;L2(−l, l)), (ν2ux)x = ν2xux + ν2uxx ∈ L2(0, T
;L2(−l, l))
resultautt − (ν2ux)x + phhx − f = 0 ∈ L2(0, T ;L2(−l, l))
Tem-se quee = rhx − hut − rj,
Como
rhx ∈ L2(0, T ;L2(−l, l)) e (rhx)x ∈ L2(0, T ;L2(−l, l)) =⇒ rhx
∈ L2(0, T ;H1(−l, l))
hut ∈ L2(0, T ;L2(−l, l)) e (hut)x ∈ L2(0, T ;L2(−l, l)) =⇒ hut
∈ L2(0, T ;H1(−l, l))
rj ∈ L2(0, T ;L2(−l, l)) e (rj)x ∈ L2(0, T ;L2(−l, l)) =⇒ rj ∈
L2(0, T ;H1(−l, l))
obtém-see ∈ L2(0, T ;H1(−l, l))
21
-
Caṕıtulo 3
Sistema de Eletromagnetoelasticidadeem um Domı́nio com Fronteira
Variável
3.1 Problema em um Domı́nio com Fronteira Variável
Neste caṕıtulo, estuda-se a existência e unicidade de
solução do problema (2.1) visto noCaṕıtulo 2 em um domı́nio com
fronteira variável, com uma (viscosidade) δut.
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
ht − (rhx)x + (hut)x + (rj)x = 0 em Q̂
utt − (ν2ux)x + phhx + δut − f = 0 em Q̂
u = h = 0, ∀(x, t) ∈ Σ̂
h(x, 0) = h0(x), α(0) < x < β(0)
u(x, 0) = u0(x), ut(x, 0) = u1(x), α(0) < x < β(0)
(3.1)
onde Q̂ = {(x, t) ∈ R2/ α(t) < x < β(t), 0 < t < T}
e Σ̂ =⋃
0
-
3.2 Problema Transformado em um Cilindro
Fazendo a mudança de variáveis v(y, t) = u(α(t) + γ(t)y, t) e
φ(y, t) = h(α(t) + γ(t)y, t),onde γ(t) = β(t)−α(t), o problema
(3.1) é transformado no seguinte problema em um cilindroQ = (0,
1)× (0, T )∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
φt −(r1(y)
γ2(t)φy
)y
−((
α′(t) + γ′(t)y
γ2(t)
)φvy
)y
+
(1
γ(t)(φvt)
)y
+
(r1(y)j1(y, t)
γ(t)
)y
−
(α′(t) + γ′(t)y
γ(t)
)φy = 0 em Q
vtt +
(((α′(t) + γ′(t)y
γ(t)
)2− ν
21(y)
γ2(t)
)vy
)y
+p
γ(t)(φφy)− 2
(α′(t) + γ′(t)y
γ(t)
)2vyt −((
α′′(t) + γ′′(t)y
γ(t)
)+ δ
(α′(t) + γ′(t)y
γ(t)
))vy + δvt − f1(y, t) = 0 em Q
v = φ = 0, ∀(y, t) ∈ Σ =⋃
0
-
4γ−10 M3
δ+
(4
δ+ 1 +
8(1 + δ)2
δ2+ 2(c0 + 1)
2
)M2 +
(4ν23γ
−10
δ+ (1 + δ)c0γ1
)M <
ν222,
Mγ1c20 < r2,
M
γ0<δ
8, M21 <
ν222
e 4c25M2 + 2c25Mγ1 + 2δc
25Mγ1 <
ν224
onde ν2 e ν3 são definidas em H4 a seguir e c5 é definida em
(3.48)
H4. r ∈ W 1,∞(a, b) onde (α(t), β(t)) ⊂ (a, b) ∀t ≥ 0, ν ∈ W
2,∞(a, b), j ∈ W 1,∞(Q̂),νx(α(t)) = νx(β(t)) = 0 e existem
constantes positivas r2, ν2, r3 e ν3 tais que r2 ≤ r(x) ≤ r3 eν2 ≤
ν(x) ≤ ν3 ∀x ∈ (a, b) onde p e δ são números positivos.
H5. h0, u1 ∈ H10 (Ω0), u0 ∈ H10 (Ω0) ∩ H2(Ω0), Ω0 = (α(0),
β(0)), f ∈ L2(0, T ;H10 (Ωt)), ondeΩt = (α(t), β(t))
Escolhe-se u0, u1 e f suficientemente pequenos de forma que com
a mudança de variáveis,v0, v1 verifiquem H6 a seguir.
H6. φ0, v1, f1, r1, j1 satisfazendo(4c1γ1 +
8pMc1γ1ν2
)(K0 + p
∫ T0
|√r1(y)j1(y, t)|2dt+
(δ2γ21c
20 + 16ν
22
8δν22
)∫ T0
|f1(t)|2dt)1/2
< r2
onde K0 = c (|φ0|2 + |v1|2 + |v0|2 + ‖v0‖2) sendo c a constante
dada em (3.29).
Observação 3.1:
O1: Da H4 e da mudança de variáveis, obtêm-se r1 ∈ W 1,∞(0,
1), ν1 ∈ W 2,∞(0, 1),j1 ∈ W 1,∞(Q), ν1y(0) = ν1y(1) = 0 e existem
constantes positivas r2, r3, ν2, ν3, ν4, ν5 tais quer2 ≤ r1(y) ≤
r3, ν2 ≤ ν1(y) ≤ ν3, ν1y(y) ≤ ν4, ν1yy(y) ≤ ν5 ∀y ∈ (0, 1)
O2: Da H5 e da mudança de variáveisφ0, v1 ∈ H10 (0, 1), v0 ∈
H10 (0, 1) ∩H2(0, 1), f1 ∈ L2(0, T ;H10 (0, 1))
Definição 3.1:
Dados φ0, v1 ∈ H10 (0, 1), v0 ∈ H10 (0, 1) ∩ H2(0, 1), f1 ∈
L2(0, T ;H10 (0, 1)), define-se porsolução fraca do sistema (3.2)
um par de funções φ e v na classe
φ ∈ L∞(0, T ;H10 (0, 1)) ∩ L2(0, T ;H10 (0, 1) ∩H2(0, 1)), φt ∈
L2(0, T ;L2(0, 1)),
v ∈ L∞(0, T ;H10 (0, 1) ∩H2(0, 1)), vt ∈ L∞(0, T ;H10 (0, 1)),
vtt ∈ L2(0, T ;L2(0, 1))
24
-
satisfazendo a igualdade integral:∫Q
φt(y, t)ϕ(y, t)dydt+
∫Q
(r1(y)
γ2(t)φy(y, t)
)ϕy(y, t)dydt +∫
Q
((α′(t) + γ′(t)y
γ2(t)
)φ(y, t)vy(y, t)
)ϕy(y, t)dydt−
∫Q
(1
γ(t)(φ(y, t)vt(y, t))
)ϕy(y, t)dydt −∫
Q
(r1(y)j1(y, t)
γ(t)
)ϕy(y, t)dydt−
∫Q
(α′(t) + γ′(t)y
γ(t)
)φy(y, t)ϕy(y, t)dydt = 0
∫Q
vtt(y, t)ϕ(y, t)dydt−∫
Q
(((α′(t) + γ′(t)y
γ(t)
)2− ν
21(y)
γ2(t)
)vy(y, t)
)ϕy(y, t)dydt +∫
Q
p
γ(t)(φ(y, t)φy(y, t))ϕ(y, t))dydt− 2
∫Q
(α′(t) + γ′(t)y
γ(t)
)v2yt(y, t)ϕ(y, t)dydt −∫
Q
((α′′(t) + γ′′(t)y
γ(t)
)+ δ
(α′(t) + γ′(t)y
γ(t)
))vy(y, t)ϕ(y, t)dydt+ δ
∫Q
vt(y, t)ϕ(y, t)dydt −∫Q
f1(y, t)ϕ(y, t)dydt = 0
∀ϕ ∈ L2(0, T ;H10 (−l, l))e verifica-se:
v(0) = v0, φ(0) = φ0, vt(0) = v1.
Teorema 3.1:
Sob as hipóteses H1-H5 e dados r, j, ν, f, h0, u0 e u1 existem
funções u e h na classe
h ∈ L∞(0, T ;H10 (Ωt)) ∩ L2(0, T ;H10 (Ωt) ∩H2(Ωt)), ht ∈ L2(0,
T ;L2(Ωt)),
u ∈ L∞(0, T ;H10 (Ωt) ∩H2(Ωt)), ut ∈ L∞(0, T ;H10 (Ωt)), utt ∈
L2(0, T ;L2(Ωt))
única solução do problema de eletromagnetoelasticidade
(3.1).
Teorema 3.2:
Sob as hipóteses H1-H6 e dados r1, j1, ν1, f1, φ0, v0 e v1
existem funções v e φ na classe
φ ∈ L∞(0, T ;H10 (0, 1)) ∩ L2(0, T ;H10 (0, 1) ∩H2(0, 1)), φt ∈
L2(0, T ;L2(0, 1)),
v ∈ L∞(0, T ;H10 (0, 1) ∩H2(0, 1)), vt ∈ L∞(0, T ;H10 (0, 1)),
vtt ∈ L2(0, T ;L2(0, 1))
única solução do problema de eletromagnetoelasticidade
(3.2).
25
-
3.4 Existência
Demonstração do Teorema 3.2: Será empregado o Método de
Faedo-Galerkin
Seja (wi)i∈N uma base especial de H10 (0, 1) solução do
problema espectral∣∣∣∣∣∣
− wiyy = λiwi em (0, 1)
wi(0) = wi(1) = 0
Considere o subespaço Vm = [w1, . . . , wm] ⊂ H10 (0, 1) gerado
pelos m primeiros vetores da base.
Problema Aproximado
Procura-se
vm(t) =m∑
i=1
gim(t)wi ∈ Vm e φm(t) =m∑
i=1
dim(t)wi ∈ Vm
solução do seguinte problema:
(φ′m(t), w) +
(r1γ2(t)
φmy(t), wy
)+
(−(α′(t) + γ′(t)y
γ(t)
)φmy(t), w
)−(r1j1(t)
γ(t), wy
)+
1
γ(t)
((α′(t) + γ′(t)y
γ(t)
)vmy(t)φm(t), wy
)− 1γ(t)
(φm(t)v′m(t), wy) = 0
(3.3)
(v′′m(t), w) +
(((ν21(y)− (α′(t) + γ′(t)y)2
γ2(t)
)vmy(t), wy
)+
(p
γ(t)φm(t)φmy(t), w
)+(
−2(α′(t) + γ′(t)y
γ(t)
)v′my(t), w
)−(((
α′′(t) + γ′′(t)y
γ(t)
)+ δ
(α′(t) + γ′(t)y
γ(t)
))vmy(t), w
)+ (δv′m(t), w) = (f1(t), w)
(3.4)
vm(0) = v0m −→ v0 em H10 (0, 1) ∩H2(0, 1) (3.5)
φm(0) = φ0m −→ φ0 em H10 (0, 1) (3.6)
v′m(0) = v1m −→ v1 em H10 (0, 1) (3.7)
Obtém-se um sistema de equações diferenciais ordinárias, o
qual possui solução (0, tm),tm < T . Estende-se a solução ao
(0,T) e considera-se limite das soluções aproximadas por meiode
estimativas.
26
-
Primeira Estimativa
Fazendo w = φm(t) em (3.3) e w = v′m(t) em (3.4), obtém-se
1
2
d
dt|φm(t)|2 +
∫ 10
r1(y)
γ2(t)φ2my(y, t)dy +
(−(α′(t) + γ′(t)y
γ(t)
)φmy(t), φm(t)
)−(
r1j1(t)
γ(t), φmy(t)
)+
1
γ(t)
((α′(t) + γ′(t)y
γ(t)
)vmy(t)φm(t), φmy(t)
)−
1
γ(t)(φm(t)v
′m(t), φmy(t)) = 0
(3.8)
1
2
d
dt|v′m(t)|2 +
1
2
∫ 10
(ν21(y)− (α′(t) + γ′(t)y)2
γ2(t)
)d
dtv2my(y, t)dy +
p
γ(t)(φm(t)φmy(t), v
′m(t))−
(2
(α′(t) + γ′(t)y
γ(t)
)v′my(t), v
′m(t)
)−(((
α′′(t) + γ′′(t)y
γ(t)
)+ δ
(α′(t) + γ′(t)y
γ(t)
))vmy(t), v
′m(t)
)+ δ|v′m(t)|2 =
(f1(t), v′m(t))
(3.9)
Analisando os termos de (3.8) e (3.9), tem-se
•(−(α′(t) + γ′(t)y
γ(t)
)φmy(t), φm(t)
)= −
∫ 10
(α′(t) + γ′(t)y
γ(t)
)(1
2(φ2m(y, t))y
)dy
=γ′(t)
2γ(t)|φm(t)|2
• −(
2
(α′(t) + γ′(t)y
γ(t)
)v′my(t), v
′m(t)
)= −2
∫ 10
(α′(t) + γ′(t)y)
γ(t)
)(1
2(v′m(y, t))
2ydy
)=γ′(t)
γ(t)|v′m(t)|2
• 12
∫ 10
(ν21(y)− (α′(t) + γ′(t)y)2
γ2(t)
)d
dtv2my(y, t)dy =
1
2
d
dt
∫ 10
(ν21(y)− (α′(t) + γ′(t)y)2
γ2(t)
)v2my(y, t)dy −
1
2
∫ 10
d
dt
(ν21(y)− (α′(t) + γ′(t)y)2
γ2(t)
)v2my(y, t)dy
27
-
• − 12
∫ 10
d
dt
(ν21(y)− (α′(t) + γ′(t)y)2
γ2(t)
)v2my(y, t)dy =
−12
∫ 10
(−2(α′(t) + γ′(t)y)(α′′(t) + γ′′(t)y)γ2(t)
γ4(t)
− (ν21(y)− (α′(t) + γ′(t)y)2)2γ(t)γ′(t)
γ4(t)
)v2my(y, t)dy
(3.10)
Assim, multiplicando (3.8) por p, somando à (3.9) e
considerando (3.10), obtém-se
p
2
d
dt|φm(t)|2 + p
∫ 10
r1(y)
γ2(t)φ2my(y, t)dy +
1
2
d
dt|v′m(t)|2 +
1
2
d
dt
∫ 10
(ν21(y)− (α′(t) + γ′(t)y)2
γ2(t)
)v2my(y, t)dy +
p
2
γ′(t)
γ(t)|φm(t)|2 =
p
(r1j1(t)
γ(t), φmy(t)
)− pγ(t)
((α′(t) + γ′(t)y
γ(t)
)vmy(t)φm(t), φmy(t)
)+
γ′(t)
γ(t)|v′m(t)|2 + δ|v′m(t)|2 +
1
2
∫ 10
(−2(α′(t) + γ′(t)y)(α′′(t) + γ′′(t)y)γ2(t)
γ4(t)
− (ν21(y)− (α′(t) + γ′(t)y)2)2γ(t)γ′(t)
γ4(t)
)v2my(y, t)dy +∫ 1
0
((α′′(t) + γ′′(t)y
γ(t)
)+ δ
(α′(t) + γ′(t)y
γ(t)
))vmy(y, t)v
′m(y, t)dy +
(f1(t), v′m(t))
(3.11)
Analisando os termos de (3.11), tem-se
•∣∣∣∣ −pγ(t)
((α′(t) + γ′(t)y
γ(t)
)vmy(t)φm(t), φmy(t)
)∣∣∣∣≤ p(|α
′(t)|+ |β′(t)|)γ2(t)
∫ 10
|vmy(y, t)||φm(y, t)||φmy(y, t)|dy ≤pMc0γ2(t)
|vmy(t)||φmy(t)|2(3.12)
onde c0 é a constante de imersão tal que | . |L∞(0,1) ≤ c0‖ .
‖H10 (0,1) e
|α′(t)+γ′(t)y| = |α′(t)+(β′(t)−α′(t))y| ≤
|α′(t)|+|α′(t)+(β′(t)−α′(t))| = |α′(t)|+|β′(t)| ≤M
28
-
Utilizando ab ≤ a2
2+b2
2
•∣∣∣∣p(r1j1(t)γ(t) , φmy(t)
)∣∣∣∣ ≤ pγ(t)∫ 1
0
|r1(y)j1(y, t)||φmy(y, t)|dy
≤ p|√r1j1(t)|2L∞(0,1) + p∫ 1
0
|r1(y)|4γ2(t)
|φmy(y, t)|2dy
•∣∣∣∣12∫ 1
0
(−2(α′(t) + γ′(t)y)(α′′(t) + γ′′(t)y)γ2(t)− (ν21(y)− (α′(t) +
γ′(t)y)2)2γ(t)γ′(t)
γ4(t)
)v2my(y, t)dy
∣∣∣∣≤(
(|α′(t)|+ |β′(t)|)(|α′′(t)|+ |β′′(t)|)γ2(t)
+(ν23 + (|α′(t)|+ |β′(t)|)2)(|α′(t)|+ |β′(t)|)
γ3(t)
)|vmy(t)|2
≤(M2
γ2(t)+
(ν23 +M2)Mγ−10
γ2(t)
)|vmy(t)|2
pois γ0 ≤ γ(t) logo1
γ(t)≤ 1γ0
• |(f1(t), v′m(t))| ≤ |f1(t)||v′m(t)| ≤2
δ|f1(t)|2 +
δ
8|v′m(t)|2
•∣∣∣∣∫ 1
0
((α′′(t) + γ′′(t)y
γ(t)
)+ δ
(α′(t) + γ′(t)y
γ(t)
))vmy(y, t)v
′m(y, t)dy
∣∣∣∣ ≤(|α′′(t)|+ |β′′(t)|
γ(t)+ δ
(|α′(t) + |β′(t)|
γ(t)
))|vmy(t)||v′m(t)| ≤(
(1 + δ)M
γ(t)
)22
δ|vmy(t)|2 +
δ
8|v′m(t)|2
(3.13)
Fazendo w = vm(t) em (3.4), tem-se
d
dt(v′m(t), vm(t))− |v′m(t)|2 +
∫ 10
(ν21(y)− (α′(t) + γ(t)y)2
γ2(t)
)v2my(y, t)dy +
δ
2
d
dt|vm(t)|2 =
−pγ(t)
(φm(t)φmy(t), vm(t)) +
(2
(α′(t) + γ′(t)y
γ(t)
)v′my(t), vm(t)
)+(((
α′′(t) + γ′′(t)y
γ(t)
)+ δ
(α′(t) + γ′(t)y
γ(t)
))vmy(t), vm(t)
)+ (f1(t), vm(t))
(3.14)
29
-
Analisando os termos de (3.14), obtém-se
•∣∣∣∣ −pγ(t)(φm(t)φmy(t), vm(t))
∣∣∣∣ ≤ pγ(t) |φ(t)|L∞(0,1)||φmy(t)||vm(t)|≤ pc0γ1γ2(t)
|φmy(t)|2|vm(t)|
•(
2
(α′(t) + γ′(t)y
γ(t)
)v′my(t), vm(t)
)= −2
∫ 10
((α′(t) + γ′(t)y
γ(t)
)vm(y, t)
)y
v′m(y, t)dy
= −2(∫ 1
0
(γ′(t)
γ(t)vm(y, t)v
′m(y, t) +
(α′(t) + γ′(t)y
γ(t)
)vmy(y, t)v
′m(y, t)
)dy
).
(3.15)
Logo, utilizando ab ≤ a2
2+b2
2, tem-se
•∣∣∣∣(2(α′(t) + γ′(t)yγ(t)
)v′my(t), vm(t)
)∣∣∣∣ ≤ 2( |α′(t)|+ |β′(t)|γ(t))
(c1 + 1)|vmy(t)||v′m(t)|
≤
(√2M(c1 + 1)
γ(t)
)2|vmy(t)|2 +
1
2|v′m(t)|2
onde c1 é a constante de imersão tal que |.|L2(0,1) ≤ c1‖.‖H10
(0,1)
•∣∣∣∣(((α′′(t) + γ′′(t)yγ(t)
)+ δ
(α′(t) + γ′(t)y
γ(t)
))vmy(t), vm(t)
)∣∣∣∣ ≤(|α′′(t)|+ |β′′(t)|+ δ(|α′(t)|+ |β′(t)|)
γ(t)
)c1|vmy(t)|2 ≤
(1 + δ)Mc1γ1γ2(t)
|vmy(t)|2
• |(f1(t), vm(t)| ≤ |f1(t)||vm(t)| ≤γ21c
21
2ν22|f1(t)|2 +
ν222γ2(t)
|vmy(t)|2
(3.16)
30
-
Assim, multiplicando (3.14) porδ
4, somando à (3.11) e considerando (3.12)-(3.16), tem-se
p
2
d
dt|φm(t)|2 + p
∫ 10
r1(y)
γ2(t)φ2my(y, t)dy +
1
2
d
dt|v′m(t)|2 +
p
2
γ′(t)
γ(t)|φm(t)|2
1
2
d
dt
∫ 10
(ν21(y)− (α′(t) + γ′(t)y)2
γ2(t)
)v2my(y, t)dy +
γ′(t)
γ(t)|v′m(t)|2 +
δ|v′m(t)|2 +δ
4
d
dt(v′m(t), vm(t))−
δ
4|v′m(t)|2 +
δ2
8
d
dt|vm(t)|2 +
δ
4
∫ 10
(ν21(y)− (α′(t) + γ′(t)y)2
γ2(t)
)v2my(y, t)dy ≤ p|
√r1j1(t)|2L∞(0,1) +
p
∫ 10
r1(y)
4γ2(t)φ2my(y, t)dy +
pMc0γ2(t)
|vmy(t)||φmy(t)|2 +δ
8|v′m(t)|2 +(
M2
γ2(t)+
((ν23 +M2)M)γ−10
γ2(t)
)|vmy(t)|2 +
((1 + δ)M
γ(t)
)22
δ|vmy(t)|2 +
2
δ|f1(t)|2 +
δ
8|v′m(t)|2 +
δpc0γ14γ2(t)
|φmy(t)|2|vm(t)| +
δ
2
(M(c1 + 1)
γ(t)
)2|vmy(t)|2 +
δ
8|v′m(t)|2 +
δ(1 + δ)Mc1γ1γ2(t)
|vmy(t)|2 +
δγ21c21
8ν22|f1(t)|2 +
δν228γ2(t)
|vmy(t)|2
(3.17)
Tem-se que
•∣∣∣∣p γ′(t)2γ(t) |φm(t)|2
∣∣∣∣ ≤ p2(|α′(t)|+ |β′(t)|
γ(t)γ(t)
)|φm(t)|2γ(t) ≤
pMγ1c21
2γ2(t)|φmy(t)|2
•∣∣∣∣γ′(t)γ(t) |v′m(t)|2
∣∣∣∣ ≤ M |v′m(t)|2γ0• δ
4
∫ 10
(ν21(y)− (α′(t) + γ′(t)y)2
γ2(t)
)v2my(y, t)dy =
δ
4
∫ 10
ν21(y)
γ2(t)v2my(y, t)dy −
δ
4
∫ 10
((α′(t) + γ′(t)y)2
γ2(t)
)v2my(y, t)dy
• δ4
∫ 10
ν21(y)
γ2(t)v2my(y, t)dy ≥
δ
4
ν22γ2(t)
|vmy(t)|2
•∣∣∣∣−δ4
∫ 10
((α′(t) + γ′(t)y)2
γ2(t)
)v2my(y, t)dy
∣∣∣∣ ≤ δM24γ2(t) |vmy(t)|2
(3.18)
31
-
Portanto,
p
2
d
dt|φm(t)|2 +
3pr24γ2(t)
|φmy(t)|2 +1
2
d
dt|v′m(t)|2 + δ|v′m(t)|2 −
δ
4|v′m(t)|2 +
1
2
d
dt
∫ 10
(ν21(y)− (α′(t) + γ′(t)y)2
γ2(t)
)v2my(y, t)dy +
δ
4
d
dt(v′m(t), vm(t)) +
δ2
8
d
dt|vm(t)|2 −
3δ
8|v′m(t)|2 +
δν224γ2(t)
|vmy(t)|2 ≤ p|√r1j1(t)|2L∞(0,1) +
pMc0γ2(t)
|vmy(t)||φmy(t)|2 +(M2
γ2(t)+
((ν23 +M2)M)γ−10
γ2(t)
)|vmy(t)|2 +
2
δ
((1 + δ)M2
γ(t)
)2|vmy(t)|2 +
2
δ|f1(t)|2 +
δpc0γ14γ2(t)
|φmy(t)|2|vm(t)| +
δM2(c1 + 1)2
2γ2(t)|vmy(t)|2 +
δ(1 + δ)Mc1γ14γ2(t)
|vmy(t)|2 +δγ21c
21
8ν22|f1(t)|2 +
δν228γ2(t)
|vmy(t)|2 +M
γ0|v′m(t)|2 +
pMγ1c21
2γ2(t)|φmy(t)|2 +
δM2
4γ2(t)|vmy(t)|2
(3.19)
Assim, obtém-se
d
dt
(p
2|φm(t)|2 +
1
2|v′m(t)|2 +
1
2
∫ 10
(ν21(y)− (α′(t) + γ′(t)y)2
γ2(t)
)v2my(y, t)dy +
δ
4(v′m(t), vm(t)) +
δ2
8|vm(t)|2
)+
p
4γ2(t)|φmy(t)|2 (r2 − (δc0γ1|vm(t)|+ 4Mc0|vmy(t)|))
+p
2γ2(t)|φmy(t)|2(r2 −Mγ1c21) +
δ
4γ2(t)|vmy(t)|2
(ν222−(
4M2
δ+
4
δ((ν23 +M
2)M)γ−10 +8
δ2((1 + δ)2M2) + 2M2(c1 + 1)
2 + (1 + δ)Mc1γ1 +M2
))+
δ
4|v′m(t)|2 + |v′m(t)|2
(δ
8− Mγ0
)≤ p|√r1j1(t)|2L∞(0,1) +
δ2γ21c21
8ν22|f1(t)|2 +
2
δ|f1(t)|2
(3.20)
Considerando as hipóteses sobre M, define-se
K(t) =p
2|φm(t)|2 +
1
2|v′m(t)|2 +
δ2
8|vm(t)|2 +
δ
4(v′m(t), vm(t)) +
1
2
∫ 10
(ν21(y)− (α′(t) + γ′(t)y)2
γ2(t)
)v2my(y, t)dy
(3.21)
32
-
Observação 3.2:
Verifica-se que existem constantes c e c̃ tais que
K(t) ≥ c̃ (|φm(t)|2 + |v′m(t)|2 + |vm(t)|2 + ‖vm(t)‖2) e
K(t) ≤ c (|φm(t)|2 + |v′m(t)|2 + |vm(t)|2 + ‖vm(t)‖2)(3.22)
Provar-se-á que: K(t) ≥ c̃ (|φm(t)|2 + |v′m(t)|2 + |vm(t)|2 +
‖vm(t)‖2 .
Utilizando ab ≤ a2
4+ b2, tem-se∣∣∣∣δ4(v′m(t), vm(t))
∣∣∣∣ ≤ |v′m(t)|(δ4 |vm(t)|)≤ 1
4|v′m(t)|2 +
δ2
16|vm(t)|2,
entãoδ
4(v′m(t), vm(t)) ≥ −
1
4|v′m(t)|2 −
δ2
16|vm(t)|2.
Logo,
K(t) =p
2|φm(t)|2 +
1
2|v′m(t)|2 +
δ2
8|vm(t)|2 +
δ
4(v′m(t), vm(t)) +
1
2
∫ 10
(ν21(y)− (α′(t) + γ′(t)y)2
γ2(t)
)v2my(y, t)dy ≥
p
2|φm(t)|2 +
1
2|v′m(t)|2 +
δ2
8|vm(t)|2 −
1
4|v′m(t)|2 −
δ2
16|vm(t)|2 +
1
2
∫ 10
(ν21(y)− (α′(t) + γ′(t)y)2
γ2(t)
)v2my(y, t)dy.
(3.23)
Portanto
K(t) ≥ p2|φm(t)|2 +
1
4|v′m(t)|2 +
δ2
16|vm(t)|2 +
1
2
∫ 10
(ν21(y)− (α′(t) + γ′(t)y)2
γ2(t)
)v2my(y, t)dy.
(3.24)
Mas,1
2
∫ 10
(ν21(y)− (α′(t) + γ′(t)y)2
γ2(t)
)v2my(y, t)dy ≥
1
2
(ν22 −M21γ2(t)
)|vmy(t)|2
≥ 12
(ν22/2
γ2(t)
)|vmy(t)|2 ≥
1
4
ν22γ2(t)
|vmy(t)|2,
onde foi utilizada a hipótese de que M21 <1
2ν22
33
-
Assim,
K(t) ≥ p2|φm(t)|2 +
1
4|v′m(t)|2 +
δ2
16|vm(t)|2 +
ν224γ2(t)
‖vm(t)‖2
≥ p2|φm(t)|2 +
1
4|v′m(t)|2 +
δ2
16|vm(t)|2 +
ν224γ21‖vm(t)‖2.
(3.25)
Tomando-se, c̃ = min
{p
2,1
4,δ2
16,ν224γ21
}
resultaK(t) ≥ c̃ (|φm(t)|2 + |v′m(t)|2 + |vm(t)|2 + ‖vm(t)‖2)
(3.26)
Agora, provar-se-á que: K(t) ≤ c (|φm(t)|2 + |v′m(t)|2 +
|vm(t)|2 + ‖vm(t)‖2) .
De (3.23), tem-se
K(t) ≤ p2|φm(t)|2 +
1
2|v′m(t)|2 +
δ2
8|vm(t)|2 +
1
4|v′m(t)|2 +
δ2
16|vm(t)|2 +
1
2
∫ 10
(ν21(y)− (α′(t) + γ′(t)y)2
γ2(t)
)v2my(y, t)dy,
(3.27)
Portanto,
K(t) ≤ p2|φm(t)|2 +
3
4|v′m(t)|2 +
3δ2
16|vm(t)|2 +
1
2
∫ 10
(ν21(y)− (α′(t) + γ′(t)y)2
γ2(t)
)v2my(y, t)dy
≤ p2|φm(t)|2 +
3
4|v′m(t)|2 +
3δ2
16|vm(t)|2 +
1
2
(ν23 +M
2
γ2(t)
)|vmy(t)|2.
Assim,
K(t) ≤ p2|φm(t)|2 +
3
4|v′m(t)|2 +
3δ2
16|vm(t)|2 +
(ν23 +M
2
2γ20
)‖vm(t)‖2 (3.28)
Tomo, c = max
{p
2,3
4,3δ2
16,ν23 +M
2
2γ20
}(3.29)
Logo,K(t) ≤ c (|φm(t)|2 + |v′m(t)|2 + |vm(t)|2 + ‖vm(t)‖2)
(3.30)
34
-
Tem-se de (3.20) que
d
dt(K(t)) +
p
4γ2(t)|φmy(t)|2 (r2 − (δc0γ1|vm(t)|+ 4Mc0|vmy(t)|)) +
δ
4|v′m(t)|2
≤ p|√r1j1(t)|2 + |f1(t)|2(δ2γ21c
21 + 16ν
22
8δν22
) (3.31)Seja
R(t) = δc0γ1|vm(t)|+ 4Mc0|vmy(t)|. (3.32)
De (3.25), tem-se
K(t) ≥ 14
ν22γ2(t)
|vmy(t)|2 e K(t) ≥δ2
16|vm(t)|2
Logo,
|vmy(t)|2 ≤4γ2(t)
ν22K(t) ≤ 4γ
21
ν22K(t), assim |vmy(t)| ≤
γ1ν2
2√K(t).
Também,
|vm(t)|2 ≤16
δ2K(t) donde |vm(t)| ≤
4
δ
√K(t).
Portanto,
R(t) = δc0γ1|vm(t)|+ 4Mc0|vmy(t)| ≤ δc0γ1(
4
δ
√K(t)
)+ 4M1c0
(2γ1ν2
√K(t)
)≤(
4c0γ1 +8Mc0γ1ν2
)√K(t)
(3.33)
Assim, se os dados v0 e φ0, j1 e f1 são tais que
(4c0γ1 +
8Mc0γ1ν2
)[K(0) + p
∫ T0
|√r1j1(t)|2dt+
(δ2γ21c
21 + 16ν
22
8δν22
)∫ T0
|f1(t)|2dt]1/2
< r2
(3.34)
35
-
Afirmação 3.1: R(t) < r2 ∀ t ≥ 0Provar-se-á por absurdo.
Suponha que a afirmação 3.1 é falsa.
Como de (3.33) e (3.34), tem-se que R(0) < r2. Pela
continuidade de R, existe t∗ mı́nimo
tal que R(t) < r2 ∀ 0 ≤ t < t∗
R(t∗) = r2(3.35)
Logo, integrando de 0 à t∗ (3.20), tem-se
K(t∗) ≤ K(0) +∫ T
0
p|√r1j1(t)|2dt+
(δ2γ21c
21 + 16ν
22
8ν22δ
)∫ T0
|f1(t)|2dt. (3.36)
De (3.33), segue-se que
R(t∗) ≤(
4c0γ1 +8Mc0γ1ν2
)√K(t∗)
≤(
4c0γ1 +8Mc0γ1ν2
)[K(0) +
∫ T0
p|√r1j1(t)|2dt+
(δ2γ21c
21 + 16ν
22
8δν22
)∫ T0
|f1(t)|2dt]1/2
< r2.(3.37)
Então,R(t∗) < r2 o que contradiz (3.35)2 (3.38)
Logo,R(t) < r2 ∀ t ≥ 0 (3.39)
Assim, integrando (3.31) em (0,t), tem-se
K(t) +δ
4
∫ t0
|v′m(s)|2ds ≤ K(0) + p∫ T
0
|√r1j1(t)|2L∞(0,1)dt +(
δ2γ21c21 + 16ν
22
8δν22
)∫ T0
|f1(t)|2dt ≤ c(|φ0m|2 + |v1m|2 + |v0m|2 + ‖v0m‖2 +
p
∫ T0
|√r1j1(t)|2L∞(0,1)dt +
(δ2γ21c
21 + 16ν
22
8δν22
)∫ T0
|f1(t)|2dt)≤ c2.
(3.40)
Comoc̃ (|φm(t)|2 + |v′m(t)|2 + |vm(t)|2 + ‖vm(t)‖2) ≤ K(t),
resulta que
c̃(|φm(t)|2 + |v′m(t)|2 + |vm(t)|2 + ‖vm(t)‖2
)+δ
4
∫ t0
|v′m(s)|2ds ≤ c3. (3.41)
36
-
Logo,
|φm(t)|2 + |v′m(t)|2 + |vm(t)|2 + ‖vm(t)‖2 +∫ t
0
|v′m(s)|2ds ≤ c4 (3.42)
onde c4 independe de m.
Segunda Estimativa:
Fazendo w = −φmyy(t) em (3.3) e w = −v′myy(t) em (3.4),
tem-se
(φ′m(t),−φmyy(t)) +(r1(y)
α2(t)φmy(t), (−φmyy(t))y
)+(
−(α′(t) + γ′(t)y)
γ(t)φmy(t),−φmyy(t)
)−(r1j1(t)
γ(t), (−φmyy(t))y
)+
1
γ(t)
((α′(t) + γ′(t)y
γ(t)
)vmy(t)φm(t), (−φmyy(t))y
)−
1
γ(t)(φm(t)v
′m(t), (−φmyy(t))y) = 0
(3.43)
(v′′m(t),−v′myy(t)) +((
ν21(y)− (α′(t) + γ′(t)y)2
γ2(t)
)vmy(t), (−v′myy(t))y
)+(
p
γ(t)φm(t)φmy(t),−v′myy(t)
)+
(−2(α′(t) + γ′(t)y
γ(t)
)v′my(t),−v′myy(t)
)−(((
α′′(t) + γ′′(t)y
γ(t)
)+ δ
(α′(t) + γ′(t)y
γ(t)
))vmy(t),−v′myy(t)
)+
(δv′m(t),−v′myy(t)) = (f1(t),−v′myy(t))
(3.44)
Analisando os termos de (3.43) e (3.44), tem-se
•(
r1γ2(t)
φmy(t), (−φmyy(t))y)
=
∫ 10
(r1(y)
γ2(t)φmy(y, t)
)y
φmyy(y, t)dy
=
(1
γ2(t)r1yφmy(t), φmyy(t)
)+
(r1γ2(t)
φmyy(t), φmyy(t)
)Assim,
•(
r1γ2(t)
φmy(t), (−φmyy(t))y)
=
(1
γ2(t)r1yφmy(t), φmyy(t)
)+
(r1γ2(t)
φmyy(t), φmyy(t)
)
37
-
• 1γ(t)
((α′(t) + γ′(t)y
γ(t)
)vmy(t)φm(t), (−φmyy(t))y
)=
1
γ(t)
((α′(t) + γ′(t)y
γ(t)
)y
vmy(t)φm(t), φmyy(t)
)+
1
γ(t)
((α′(t) + γ′(t)y
γ(t)
)(vmy(t)φm(t))y, φmyy(t)
)
• 1γ(t)
(φm(t)v′m(t), (−φmyy(t))y) =
1
γ(t)(φmy(t)v
′m(t), φmyy(t)) +
1
γ(t)(φm(t)v
′my(t), φmyy(t))
•((
ν21(y)− (α′(t) + γ′(t)y)2
γ2(t)
)vmy(t), (−v′myy(t))y
)=((
ν21(y)− (α′(t) + γ′(t)y)2
γ2(t)
)y
vmy(t), v′myy(t)
)+
((ν21(y)− (α′(t) + γ′(t)y)2
γ2(t)
)vmyy(t), v
′myy(t)
)
•((
ν21(y)− (α′(t) + γ′(t)y)2
γ2(t)
)vmyy(t), v
′myy(t)
)=∫ 1
0
(ν21(y)− (α′(t) + γ′(t)y)2
γ2(t)
)1
2
d
dtv2myy(y, t)dy =
1
2
d
dt
∫ 10
(ν21(y)− (α′(t) + γ′(t)y)2
γ2(t)
)v2myy(y, t)dy −
1
2
∫ 10
d
dt
(ν21(y)− (α′(t) + γ′(t)y)2
γ2(t)
)v2myy(y, t)dy
•(
p
γ(t)φm(t)φmy(t),−v′myy(t)
)=
(p
γ(t)φmy(t)φmy(t), v
′my(t)
)+
p
γ(t)φm(t)φmyy(t), v
′my(t)
• pγ(t)
(φmy(t)φmy(t), v′my(t)) =
−2pγ(t)
∫ 10
φmy(y, t)φmyy(y, t)v′m(y, t)dy .
•
((ν21 − (α′(t) + γ′(t)y)2
γ2(t)
)y
vmy(t), v′myy(t)
)=
2
∫ 10
(ν1(y)ν1y(y)− (α′(t) + γ′(t)y)γ′(t)
γ2(t)
)vmy(y, t)v
′myy(y, t)dy
(3.45)
38
-
Multiplicando (3.43) por p, somando à (3.44) e utilizando
(3.45), tem-se
p
2
d
dt‖φm(t)‖2 + p
∫ 10
r1(y)
γ2(t)φ2myy(y, t)dy +
1
2
d
dt‖v′m(t)‖2 +
2
∫ 10
(ν1(y)ν1y(y)− (α′(t) + γ′(t)y)γ′(t)
γ2(t)
)vmy(y, t)v
′myy(y, t)dy +
1
2
d
dt
∫ 10
(ν21(y)− (α′(t) + γ′(t)y)2
γ2(t)
)v2myy(y, t)dy −
1
2
∫ 10
d
dt
(ν21(y)− (α′(t) + γ′(t)y)2
γ2(t)
)v2myy(y, t)dy +
p
γ2(t)
∫ 10
r1y(y)φmy(y, t)φmyy(y, t)dy + p
∫ 10
(α′(t) + γ′(t)y
γ(t)
)φmy(y, t)φmyy(y, t)dy −
p
γ(t)
∫ 10
(r1(y)j1(y, t))yφmyy(y, t)dy + pγ′(t)
γ2(t)
∫ 10
vmy(y, t)φm(y, t)φmyy(y, t)dy +
p
γ(t)
∫ 10
(α′(t) + γ′(t)y
γ(t)
)vmyy(y, t)φm(y, t)φmyy(y, t)dy +
p
γ(t)
∫ 10
(α′(t) + γ′(t)y
γ(t)
)vmy(y, t)φmy(y, t)φmyy(y, t)dy −
p
γ(t)
∫ 10
φmy(y, t)v′m(y, t)φmyy(y, t)dy −
2p
γ(t)
∫ 10
φmy(y, t)φmyy(y, t)v′m(y, t)dy +
2
∫ 10
(α′(t) + γ′(t)y
γ(t)
)v′my(y, t)v
′myy(y, t)dy +∫ 1
0
((α′′(t) + γ′′(t)y
γ(t)
)+ δ
(α′(t) + γ′(t)y
γ(t)
))vmy(y, t)v
′2myy(y, t)dy +
δ‖v′m(t)‖2 =∫ 1
0
f1y(y, t)v′my(y, t)dy
(3.46)
Fazendo
θ(y, t) = 2
(ν1(y)ν1y(y)− (α′(t) + γ′(t)y)γ′(t)
γ2(t)
)+
(α′′(t) + γ′′(t)y
γ(t)
)+ δ
(α′(t) + γ′(t)y
γ(t)
),
(3.47)Como
d
dt
∫ 10
θ(y, t)vmy(y, t)vmyy(y, t)dy =
∫ 10
θ′(y, t)vmy(y, t)vmyy(y, t)dy +∫ 10
θ(y, t)v′my(y, t)vmyy(y, t)dy +
∫ 10
θ(y, t)vmy(y, t)v′myy(y, t)dy
39
-
resulta que ∫ 10
θ(y, t)vmy(y, t)v′myy(y, t)dy =
d
dt
∫ 10
θ(y, t)vmy(y, t)vmyy(y, t)dy −∫ 10
θ′(y, t)vmy(y, t)vmyy(y, t)dy −∫ 1
0
θ(y, t)v′my(y, t)vmyy(y, t)dy.
Tem-se que ∫ 10
θ(y, t)vmy(y, t)vmyy(y, t)dy =
∫ 10
θ(y, t)
(1
2(v2my(y, t))y
)dy =
1
2θ(y, t)v2my(y, t)
∣∣∣∣10
− 12
∫ 10
θy(y, t)v2my(y, t)dy
1
2θ(y, t)v2my(y, t)
∣∣∣∣10
≤∣∣∣∣12(−2β′(t)γ′(t)
γ2(t)+β′′(t)
γ(t)+δβ′(t)
γ(t)
)v2my(1, t)
∣∣∣∣ +∣∣∣∣12(−2α′(t)γ′(t)
γ2(t)+α′′(t)
γ(t)+δα′(t)
γ(t)
)v2my(0, t)
∣∣∣∣ ≤ 12(
2M2
γ2(t)+
M
γ(t)+δM
γ(t)
)c27|vmyy(t)|2 +
1
2
(2M2
γ2(t)+
M
γ(t)+δM
γ(t)
)c27|v2myy(t)|2
onde
|vmy|C0([0,1]) ≤ c5|vmy|H1(0,1) ≤ c6|vm|H2(0,1) ≤ c7|vmyy|,
poisH1(0, 1) ⊂ C0([0, 1]) (continuamente).(3.48)
Assim, |vmy(1)| ≤ c7|vmyy| e |vmy(0)| ≤ c7|vmyy|
Logo,1
2θ(y, t)v2my(y, t)
∣∣∣∣10
≤(
2M2 +Mγ1 + δMγ1γ2(t)
)c27|vmyy(t)|2.
Também,
2
∫ 10
(α′(t) + γ′(t)y
γ(t)
)v′my(y, t)v
′myy(y, t)dy =
(α′(t) + γ′(t)y
γ(t)
)v′2my(y, t)|10 −∫ 1
0
γ′(t)
γ(t)v′2my(y, t)dy =
β′(t)
γ(t)v′2my(1, t)−
α′(t)
γ(t)v′2my(0, t)−
∫ 10
γ′(t)
γ(t)v′2my(y, t)dy
Observe que (β′(t)
γ(t)v′2my(1, t)−
α′(t)
γ(t)v′2my(0, t)
)≥ 0, pois o domı́nio é crescente.
40
-
Portanto,
p
2
d
dt‖φm(t)‖2 + p
∫ 10
r1(y)
γ2(t)φ2myy(y, t)dy +
1
2
d
dt‖v′m(t)‖2 + δ‖v′m(t)‖2 +
d
dt
[∫ 10
(ν21(y)− (α′(t) + γ′(t)y)2
2γ2(t)
)v2myy(y, t)dy −
(2c27M
2 + c27Mγ1 + δc27Mγ1
γ2(t)
)∫ 10
v2myy(y, t)dy
]≤
1
2
∫ 10
∣∣∣∣(−2(α′(t) + γ′(t)y)(α′′(t) + γ′′(t)y)γ2(t)− (ν21(y)− (α′(t)
+ γ′(t)y)2)2γ(t)γ′(t)γ4(t))v2my(y, t)
∣∣∣∣ dy+
p
γ2(t)
∫ 10
|r1y(y)φmy(y, t)φmyy(y, t)|dy + p∫ 1
0
∣∣∣∣(α′(t) + γ′(t)yγ(t))φmy(y, t)φmyy(y, t)
∣∣∣∣ dy +p
γ(t)
∫ 10
|(r1(y)j1(y, t))yφmyy(y, t)|dy + pγ′(t)
γ2(t)
∫ 10
|vmy(y, t)φm(y, t)φmyy(y, t)|dy +
p
γ(t)
∫ 10
∣∣∣∣(α′(t) + γ′(t)yγ(t))vmyy(y, t)φm(y, t)φmyy(y, t)
∣∣∣∣ dy +p
γ(t)
∫ 10
∣∣∣∣(α′(t) + γ′(t)yγ(t))vmy(y, t)φmy(y, t)φmyy(y, t)
∣∣∣∣ dy + 3pγ(t)∫ 1
0
|φmy(y, t)v′m(y, t)φmyy(y, t)|dy
+ 2
∫ 10
∣∣∣∣(α′(t) + γ′(t)yγ(t))v′my(y, t)v
′myy(y, t)
∣∣∣∣ dy + ∫ 10
|f1y(y, t)v′my(y, t)|dy +
1
2
∫ 10
|θ′y(y, t)v2my(y, t)|dy +∫ 1
0
|θy(y, t)vmy(y, t)v′my(y, t)|dy +∫ 10
|θ′(y, t)vmy(y, t)vmyy(y, t)|dy +∫ 1
0
|θ(y, t)v′my(y, t)vmyy(y, t)|dy
(3.49)
Analisando os termos de (3.49), tem-se
• pγ2(t)
∫ 10
|r1y(y)||φmy(y, t)||φmyy(y, t)|dy ≤p
γ2(t)|r1y|L∞(0,1)‖φm(t)‖|φmyy(t)|
≤ 2pr2γ2(t)
|r1y|2L∞(0,1)‖φm(t)‖2 +pr2
8γ2(t)|φmyy(t)|2
• p∫ 1
0
∣∣∣∣(α′(t) + γ′(t)yγ(t))φmy(y, t)φmyy(y, t)
∣∣∣∣ dy ≤ pMγ(t)‖φm(t)‖|φmyy(y, t)|≤ 2pM
2
r2‖φm(t)‖2 +
pr28γ2(t)
|φmyy(t)|2
• pγ(t)
∫ 10
|(r1(y)j1(y, t))y| |φmyy(y, t)| dy ≤p
γ(t)|(r1j1(t))y|L∞(0,1)|φmyy(t)|
≤ 2pr2|(r1j1(t))y|2L∞(0,1) +
pr28γ2(t)
|φmyy(t)|2
41
-
• pγ2(t)
∫ 10
|γ′(t)| |vmy(y, t)| |φm(y, t)||φmyy(y, t)|dy ≤pM
γ2(t)‖vm(t)‖ |φm(t)| |φmyy(t)| ≤
2pM2
r2γ2(t)‖vm(t)‖2‖φm(t)‖2 +
pr28γ2(t)
|φmyy(t)|2
• pγ(t)
∫ 10
∣∣∣∣(α′(t) + γ′(t)yγ(t))vmyy(y, t)φm(y, t)φmyy(y, t)
∣∣∣∣ dy ≤ pMγ2(t) |vmyy(t)||φm(t)||φmyy(t)|≤ 2pM
2
r2γ2(t)|vmyy(t)|2|φm(t)|2 +
pr28γ2(t)
|φmyy(t)|2
• pγ(t)
∫ 10
∣∣∣∣(α′(t) + γ′(t)yγ(t))vmy(y, t)φmy(y, t)φmyy(y, t)
∣∣∣∣ dy ≤pM
γ2(t)‖vm(t)‖‖φm(t)‖|φmyy(t)| ≤
2pM2
r2γ2(t)‖vm(t)‖2‖φm(t)‖2 +
pr28γ2(t)
|φmyy(t)|2
• 3pγ(t)
∫ 10
|φmy(y, t)φmyy(y, t)v′m(y, t)| dy ≤3p
γ(t)‖φm(t)‖|φmyy(t)||v′m(t)|
≤ 18pr2‖φm(t)‖2|v′m(t)|2 +
pr28γ2(t)
|φmyy(t)|2
•∫ 1
0
|f1y(y, t)||v′my(y, t)|dy ≤ ‖f1(t)‖‖v′m(t)‖ ≤1
2‖f1(t)‖2 +
1
2‖v′m(t)‖2
• 12
∫ 10
∣∣∣∣(−2(α′(t) + γ′(t)y)(α′′(t) + γ′′(t)y)γ2(t)γ4(t) −(ν21(y)−
(α′(t) + γ′(t)y)22γ(t)γ′(t))
γ4(t)
)v2my(y, t)
∣∣∣∣ dy ≤ (M2γ20 + (ν23 +M
2)M
γ30
)‖vm(t)‖2
• 2∫ 1
0
∣∣∣∣(α′(t) + γ′(t)yγ(t))v′my(y, t)v
′myy(y, t)
∣∣∣∣ dy ≤ Mγ0 ‖v′m(t)‖2• 1
2
∫ 10
|θ′y(y, t)vmy(y, t)vmy(y, t)|dy ≤
c208
((2(ν24 + ν3ν5 + 2M
3)
γ30
)+ (1 + δ)
M
γ0+ (5 + δ)
M2
γ20
)2|vmyy(t)|2 +
1
2‖vm(t)‖2 ≤
c8|vmyy(t)|2 +1
2‖vm(t)‖2
42
-
•∫ 1
0
|θy(y, t)vmy(y, t)v′my(y, t)|dy ≤
1
2
(2
(ν24 + ν3ν5 +M
2
γ20
)+ (1 + δ)
M
γ0
)2‖vm(t)‖2 +
1
2‖v′m(t)‖2 ≤ c9‖vm(t)‖2 +
1
2‖v′m(t)‖2
•∫ 1
0
|θ′(y, t)vmy(y, t)vmyy(y, t)|dy ≤
1
2
((3 + δ)
M2
γ20+
4(ν3ν4 +M2)M
γ30+ (1 + δ)
M
γ0
)2|vmyy(t)|2 +
1
2‖vm(t)‖2 ≤
c10|vmyy(t)|2 +1
2‖vm(t)‖2
•∫ 1
0
|θ(y, t)v′my(y, t)vmyy(y, t)|dy ≤
1
2
(2
(ν3ν4 +M
2
γ20
)+M
γ0(1 + δ)
)|vmyy(t)|2 +
1
2‖v′m(t)‖2 ≤
c11|vmyy(t)|2 +1
2‖v′m(t)‖2
•∫ 1
0
(ν21(y)− (α′(t) + γ′(t)y)2
2γ2(t)
)vmyy(y, t)dy −
(2c27M
2 + c27Mγ1 + δc27Mγ1
γ2(t)
)∫ 10
v2myy(y, t)dy
≥ 12
∫ 10
((ν22 −M21γ2(t)
)−(
4c27M2 + 2c27Mγ1 + 2δc
27Mγ1
γ2(t)
))v2myy(y, t)dy ≥
1
2
((ν22/2)− (4c27M2 + 2c27Mγ1 + 2δc27Mγ1)
γ2(t)
)|vmyy(t)|2 ≥
1
8
ν22γ2(t)
|vmyy(t)|2
(3.50)
utilizou-se as hipóteses: M21 <ν222
e 4c27M2 + 2c27Mγ1 + 2δc
27Mγ1 <
ν224
43
-
Portanto de (3.49), utilizando (3.50) e integrando em (0,t),
tem-se
p
2‖φm(t)‖2 +
pr28γ1
∫ t0
|φ2myy(s)|2ds+1
2‖v′m(t)‖2 + δ
∫ t0
‖v′m(s)‖2ds +
ν228γ1|vmyy(t)|2 ≤
p
2‖φ0m‖2 +
1
2‖v1m‖2 +
ν228γ21|v0myy|2 +
2pT
r2|(r1j1)y|2L∞(Q) +
(M2
γ20+
(ν23 +M2)M
γ30+ c9
)‖vm‖2L∞(0,T ;H10 (0,1)) · T +
2p
r2γ20
∫ 10
(M2γ20 + |r1y|2L∞(0,1) + 2M2‖vm(s)‖2 + 9γ20 |v′m(s)|2)‖φm(s)‖2ds
+∫ t0
((c8 + c10 + c11) +
2pM2
r2γ20|φm(s)|2
)|vmyy(s)|2ds+
1
2
∫ T0
‖f1(t)‖2dt +(3
2+M
γ0
)∫ t0
‖v′m(s)‖2ds
(3.51)
Logo, usando em (3.50) a estimativa (3.42) e a Desigualdade de
Gronwall, obtém-se
p
2‖φm(t)‖2 +
pr28γ1
∫ t0
|φmyy(s)|2ds+1
2‖v′m(t)‖2 + δ
∫ t0
‖v′m(s)‖2ds+ν228γ1|vmyy(t)|2 ≤ c12
(3.52)
onde c12 depende de φ0, v0, v1, r1, j1, ν1, f1, T e independe de
m.
44
-
Terceira Estimativa:
Fazendo w = φ′m(t) em (3.3) e w = v′′m(t) em (3.4), tem-se
(φ′m(t), φ′m(t)) +
(r1γ2(t)
φmy(t), φ′my(t)
)+
(−(α′(t) + γ′(t)y
γ(t)
)φmy(t), φ
′m(t)
)−(
r1j1(t)
γ(t), φ′my(t)
)+
1
γ(t)
((α′(t) + γ′(t)y
γ(t)
)vmy(t)φm(t), φ
′my(t)
)−
1
γ(t)(φm(t)v
′m(t), φ
′my(t)) = 0
(3.53)
(v′′m(t), v′′m(t)) +
((ν21 − (α′(t) + γ′(t)y)2
γ2(t)
)vmy(t), v
′′my(t)
)+(
p
γ(t)φm(t)φmy(t), v
′′m(t)
)+
(−2(α′(t) + γ′(t)y
γ(t)
)v′my(t), v
′′m(t)
)−(((
α′′(t) + γ′′(t)y
γ(t)
)+ δ
(α′(t) + γ′(t)y
γ(t)
))vmy(t), v
′′m(t)
)+ (δv′m(t), v
′′m(t))
= (f1(t), v′′m(t))
(3.54)
Analisando os termos de (3.53) e (3.54), obtém-se
• 1γ(t)
((α′(t) + γ′(t)y
γ(t)
)vmy(t)φm(t), φ
′my(t)
)=
− 1γ(t)
∫ 10
((α′(t) + γ′(t)y
γ(t)
)vmy(y, t)φm(y, t)
)y
φ′m(y, t)dy =
− 1γ(t)
(γ′(t)
γ(t)vmy(t)φm(t), φ
′m(t)
)− 1γ(t)
((α′(t) + γ′(t)y
γ(t)
)vmyy(t)φm(t), φ
′m(t)
)− 1γ(t)
((α′(t) + γ′(t)y
γ(t)
)vmy(t)φmy(t), φ
′m(t)
)
• 1γ(t)
(φm(t)v′m(t), φ
′my(t)) = −
1
γ(t)((φm(t)v
′m(t))y, φ
′m(t))
= − 1γ(t)
(φmy(t)v′m(t), φ
′m(t))−
1
γ(t)(φm(t)v
′my(t), φ
′m(t))
45
-
•((
ν21 − (α′(t) + γ′(t)y)2
γ2(t)
)vmy(t), v
′′my(t)
)=
−∫ 1
0
((ν21(y)− (α′(t) + γ′(t)y)2
γ2(t)
)vmy(y, t)
)y
v′′m(y, t)dy =
−
((ν21 − (α′(t) + γ′(t)y)2
γ2(t)
)y
vmy(t), v′′m(t)
)−((
ν21 − (α′(t) + γ′(t)y)2
γ2(t)
)vmyy(t), v
′′m(t)
)=
−2((
ν1ν1y − (α′(t) + γ′(t)y)γ′(t)γ2(t)
)vmy(t), v
′′m(t)
)−((
ν21 − (α′(t) + γ′(t)y)2
γ2(t)
)vmyy(t), v
′′m(t)
)(3.55)
Portanto de (3.53) e (3.54), tem-se
|φ′m(t)|2 =(
1
γ2(t)r1yφmy(t) +
r1γ2(t)
φmyy(t) +
(α′(t) + γ′(t)′y
γ(t)
)φmy(t) −(
r1j1(t)
γ(t)
)y
+γ′(t)
γ2(t)vmy(t)φm(t) +
1
γ(t)
(α′(t) + γ′(t)y
γ(t)
)vmyy(t)φm(t) +
1
γ(t)
(α′(t) + γ′(t)y
γ(t)
)vmy(t)φmy(t)−
1
γ(t)φmy(t)v
′m(t)−
1
γ(t)φm(t)v
′my(t), φ
′m(t)
) (3.56)
|v′′m(t)|2 =(
2
(ν1ν1y − (α′(t) + γ′(t)y)γ′(t)
γ2(t)
)vmy(t) +(
ν21 − (α′(t) + γ′(t)y)2
γ2(t)
)vmyy(t)−
p
γ(t)φm(t)φmy(t) + 2
(α′(t) + γ′(t)y
γ(t)
)v′my(t) +((
α′′(t) + γ′(t)y
γ(t)
)+ δ
(α′(t) + γ′(t)y
γ(t)
))vmy(t)− δv′m(t) + f1(t), v′′m(t)
) (3.57)
Analisando os termos de (3.56) e (3.57), tem-se
•∫ 1
0
1
γ2(t)r1y(y)φmy(y, t)φ
′m(y, t)dy ≤
1
γ20|r1y|L∞(0,1)‖φm(t)‖|φ′m(t)|
≤ 52γ40|r1y|2L∞(0,1)‖φm(t)‖2 +
1
10|φ′m(t)|2
•∫ 1
0
1
γ2(t)r1(y)φmyy(y, t)φ
′m(y, t)dy ≤
1
γ20|r1|L∞(0,1)|φmyy(t)||φ′m(t)|
≤ 52γ40|r1|2L∞(0,1)|φmyy(t)|2 +
1
10|φ′m(t)|2
46
-
•∫ 1
0
(α′(t) + γ′(t)y
γ(t)
)φmy(y, t)φ
′m(y, t)dy ≤
M
γ0‖φm(t)‖|φ′m(t)|
≤ 5M2
2γ20‖φm(t)‖2 +
1
10|φ′m(t)|2
• −∫ 1
0
(r1(y)j1(y, t)
γ(t)
)y
φ′m(y, t)dy ≤1
γ0|(r1j1(t))y|L∞(0,1)|φ′m(t)|
≤ 52γ20|(r1j1(t))y|2L∞(0,1) +
1
10|φ′m(t)|2
•∫ 1
0
γ′(t)
γ2(t)vmy(y, t)φm(y, t)φ
′m(y, t)dy ≤
M
γ20‖vm(t)‖|φm(t)||φ′m(t)|
≤ 5M2
2γ40‖vm(t)‖2|φm(t)|2 +
1
10|φ′m(t)|2
• 1γ(t)
∫ 10
(α′(t) + γ′(t)y
γ(t)
)vmyy(y, t)φm(y, t)φ
′m(y, t)dy ≤
M
γ20|vmyy(t)||φm(t)||φ′m(t)|
≤ 5M2
2γ40|vmyy(t)|2|φm(t)|2 +
1
10|φ′m(t)|2
• 1γ(t)
∫ 10
(α′(t) + γ′(t)y
γ(t)
)vmy(y, t)φmy(y, t)φ
′m(y, t)dy ≤
M
γ20‖vm(t)‖‖φm(t)‖|φ′m(t)|
≤ 5M2
2γ40‖vm(t)‖2‖φm(t)‖2 +
1
10|φ′m(t)|2
• − 1γ(t)
∫ 10
φmy(y, t)v′m(y, t)φ
′m(y, t)dy ≤
1
γ0‖φm(t)‖|v′m(t)||φ′m(t)|
≤ 52γ20‖φm(t)‖2|v′m(t)|2 +
1
10|φ′m(t)|2
• − 1γ(t)
∫ 10
φm(t)v′my(y, t)φ
′m(y, t)dy ≤
1
γ0|φm(t)|‖v′m(t)‖|φ′m(t)|
≤ 52γ20|φm(t)|2‖v′m(t)‖2 +
1
10|φ′m(t)|2
• 2∫ 1
0
(ν1(y)ν1y(y)− (α′(t) + γ′(t)y)γ′(t)
γ2(t)
)vmy(y, t)v
′′m(y, t)dy ≤
2
γ20(ν3ν4 +M
2)‖vm(t)‖|v′′m(t)| ≤8
γ40(ν3ν4 +M
2)2‖vm(t)‖2 +1
8|v′′m(t)|2
47
-
•∫ 1
0
(ν21(y)− (α′(t) + γ′(t)y)2
γ2(t)
)vmyy(y, t)v
′′m(y, t)dy ≤
1
γ20(ν23 +M
2)|vmyy(t)||v′′m(t)|
≤ 2γ40
(ν23 +M2)2|vmyy(t)|2 +
1
8|v′′m(t)|2
• −∫ 1
0
p
γ(t)φm(y, t)φmy(y, t)v
′′m(y, t)dy ≤
p
γ0|φm(t)|‖φm(t)‖|v′′m(t)|
≤ 2p2
γ20|φm(t)|2 ‖φm(t)‖2 +
1
8|v′′m(t)|2
• 2∫ 1
0
(α′(t) + γ′(t)y
γ(t)
)v′my(y, t)v
′′m(y, t)dy ≤
2M
γ0‖v′m(t)‖|v′′m(t)|
≤ 8M2
γ20‖v′m(t)‖2 +
1
8|v′′m(t)|2
•∫ 1
0
((α′′(t) + γ′′(t)y
γ(t)
)+ δ
(α′(t) + γ′(t)y
γ(t)
))vmy(y, t)v
′′m(y, t)dy ≤
(M + δM)
γ0‖vm(t)‖|v′′m(t)| ≤
2M2
γ20(1 + δ)2‖vm(t)‖2 +
1
8|v′′m(t)|2
• −∫ 1
0
δv′m(y, t)v′′m(y, t)dy ≤ δ|v′m(t)||v′′m(t)| ≤ 2δ2|v′m(t)|2 +
1
8|v′′m(t)|2
•∫ 1
0
f1(y, t)v′′m(y, t)dy ≤ |f1(t)||v′′m(t)| ≤ 2|f1(t)|2 +
1
8|v′′m(t)|2
(3.58)
48
-
Portanto de (3.56) e (3.57), utilizando (3.58) e integrando em
(0,t), tem-se
1
10
∫ t0
|φ′m(s)|2ds ≤5
2γ40|r1y|2L∞(0,1)
∫ t0
‖φm(s)‖2ds+5
2γ40|r1|2L∞(0,1)
∫ t0
|φmyy(s)|2ds +
5M2
2γ20‖φm‖2L∞(0,T ;H10 (0,1)) · T +
5
2γ20|(r1j1)y|2L∞(Q) · T +
5M2
2γ40‖vm‖2L∞(0,T ;H10 (0,1))
∫ t0
|φm(s)|2ds
+5M2
2γ40|vmyy|2L∞(0,T ;L2(0,1))
∫ t0
|φm(s)|2ds+5M2
2γ40‖φm‖2L∞(0,T ;H10 (0,1))
∫ t0
‖vm(s)‖2ds +
5
2γ20‖φm‖2L∞(0,T ;H10 (0,1))
∫ t0
|v′m(s)|2ds+5
2γ20‖v′m‖2L∞(0,T ;H10 (0,1))
∫ t0
|φm(s)|2ds
(3.59)
1
8
∫ t0
|v′′m(s)|2ds ≤8
γ40(ν3ν4 +M
2)2‖vm‖2L∞(0,T ;H10 (0,1)) · T +2
γ40(ν23 +M
2)2|vmyy|2L∞(0,T ;L2(0,1)) · T
+2p2
γ20‖φm‖2L∞(0,T ;H10 (0,1))
∫ t0
|φm(s)|2ds+8M2
γ20
∫ t0
‖v′m(s)‖2ds +
2M2
γ20(1 + δ)2‖vm‖2L∞(0,T ;H10 (0,1))T + 2δ
2
∫ t0
|v′m(s)|2ds+ 2∫ T
0
|f1(t)|2dt
(3.60)
Usando as estimativas (3.42) e (3.52) em (3.59) e (3.60),
tem-se∫ t0
|φ′m(s)|2ds ≤ c13 onde c13 independe de m. (3.61)
E, ∫ t0
|v′′m(s)|2ds ≤ c14 onde c14 independe de m. (3.62)
Das estimativas (3.42), (3.52), (3.61) e (3.62), usando os
Teoremas de Banach Alaoglu-Bourbaki e Kakutani, existem
subsequências de (um), (hm) (denotadas iguais) tais
que∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
φm ⇀ φ (fraco estrela) em L∞(0, T ;H10 (0, 1))
vm ⇀ v (fraco estrela) em L∞(0, T ;H10 (0, 1) ∩H2(0, 1))
φm ⇀ φ (fraco) em L2(0, T ;H10 (0, 1) ∩H2(0, 1))
v′m ⇀ v′ (fraco estrela) em L∞(0, T ;H10 (0, 1))
φ′m ⇀ φ′ (fraco) em L2(0, T ;L2(0, 1))
v′′m ⇀ v′′ (fraco) em L2(0, T ;L2(0, 1))
(3.63)
49
-
Análise dos Termos Não-Lineares
Estas convergências não são suficientes para se tomar o
limite com sucesso na equaçãoaproximada. Para se obter
convergências que permitam tomar limites nos termos
não-lineares(φmvmy, φmv
′m e φmφmy) recorre-se a um Teorema de Compacidade (Teorema de
Aubin-Lions)
[1,15].
Como (v′m) é limitada em L∞(0, T ;H10 (0, 1)) ⊂ L2(0, T ;H10
(0, 1)) (continuamente) então
(v′m) é limitada em L2(0, T ;H10 (0, 1)).
E, como (v′′m) é limitada em L2(0, T ;L2(0, 1)), resulta por
Aubin [1,15], que (v′m) possui uma
subsequência (v′m) (denotada igual) tal que
v′m → v′ (forte) em L2(0, T ;L2(0, 1)) (3.64)
Como v′m → v′ (forte) em L2(Q) então existe uma subsequência
(v′m) de (v′m) (denotadaigual) tal que
v′m → v′ quase sempre em Q (3.65)
Também, (φm) é limitada em L2(0, T ;H10 (0, 1)∩H2(0, 1)) e
(φ′m) é limitada em L2(0, T ;L2(0, 1)),
logo, por Aubin [1,15], (φm) possui uma subsequência (φm)
(denotada igual) tal que
φm → φ (forte) em L2(0, T ;H10 (0, 1)) e (3.66)
φmy → φy (forte) em L2(0, T ;L2(0, 1)) (3.67)
Como φm → φ (forte) em L2(Q) e φmy → φy (forte) em L2(Q) então
existem subsequênciasde (φm) e de (φmy) (denotadas iguais) tais
que
φm → φ quase sempre em Q e (3.68)φmy → φy quase sempre em Q
(3.69)
De (3.67) e (3.68), tem-se
φmφmy −→ φφy quase sempre em Q (3.70)
Também, ∫Q
|φm(y, t)v′m(y, t)|2dydt ≤∫ T
0
(|φm(t)|2L∞(0,1)
∫ 10|v′m(y, t)|2dy
)dt
≤∫ T
0
(c20‖φm(t)‖2|v′m(t)|2)dt
≤ c15‖φm‖2L∞(0,T ;H10 (0,1))∫ T
0|v′m(t)|2dt
≤ c16.
Usando as estimativas (3.42) e (3.52).
50
-
Logo,(φmv
′m) é limitada em L
2(Q) (3.71)
Como,φm → φ
![SANTOS, Divino.O processo de criação em artes visuais motivado pelo espaço urbano.[monografia]2011](https://img.document.onl/doc/110x75/55720e7f497959fc0b8c79cb/santos-divinoo-processo-de-criacao-em-artes-visuais-motivado-pelo-espaco-urbanomonografia2011.jpg)
