Fen de Transp Apostila 2011

BURITIS / CARLOS LUZ / SILVA LOBO

Fenômenos

De

Transporte

Professor: Handerson Corrêa Gomes

2011


2

Disciplina: Fenômenos de Transporte Curso: Engenharias Engenharia Mecânica, Elétrica e Civil Prof .: Handerson Corrêa Gomes

Objetivos:

- Aprender os princípios básicos da Mecânica dos Fluidos e da Transferência de

Calor;

- Analisar as distribuições de pressão em fluidos em repouso;

- Analisar as distribuições de força em corpos e superfícies submersas;

- Estudar o escoamento ideal e real no interior de dutos;

- Analisar as maneiras através das quais o calor é transmitido.

Ementa:

Mecânica dos Fluidos: Propriedades Físicas; Equações Gerais da Estática, Cinemática e

Dinâmica dos Fluidos; Cálculos de Pressões Hidrostáticas, de Forças sobre Superfícies

Submersas e de Perda de Carga; Medição de Viscosidade, Pressão e Velocidade.

Transferência de Calor: Condução, Convecção, Radiação, Aplicações. Transferência de Massa:

Difusão, Coeficiente de Transferência de Massa, Teoria da Camada Limite, Aplicações.


3

Índice

1. Introdução a Mecânica dos Fluidos................................................................. 07

1.1. Definição.................................................................................................... 07

1.2. Objetivo...................................................................................................... 07

1.3. Aplicação.................................................................................................... 07

2. Definição de um Fluido.................................................................................... 07

2.1. Introdução.................................................................................................. 07

2.2. A Hipótese do Contínuo............................................................................. 08

2.3. Princípio da Aderência............................................................................... 08

3. Métodos de Análise......................................................................................... 09

3.1. Sistema...................................................................................................... 09

3.2. Volume de Controle................................................................................... 09

4. Dimensões e Unidades................................................................................... 09

4.1. Introdução.................................................................................................. 09

4.2. Sistemas de Dimensões............................................................................ 09

4.3. Sistemas de Unidades............................................................................... 10

5. Propriedades Físicas dos Fluidos.................................................................... 11

5.1. Peso Específico.......................................................................................... 11

5.2. Volume Específico..................................................................................... 12

5.3. Densidade Relativa.................................................................................... 12

5.4. Massa Específica ou Densidade Absoluta................................................. 13

5.5. Módulo da Elasticidade Volumétrico........................................................... 13

5.5.1. Condições Isotérmicas............................................................................... 14

5.5.2. Condições Adiabáticas............................................................................... 14

5.6. Coeficiente de Compressibilidade (C) ....................................................... 14

6. Campo de Velocidade...................................................................................... 15

7. Regime Permanente e Trasiente...................................................................... 15

7.1. Regime Permanente................................................................................... 15

7.2. Regime Transiente..................................................................................... 15

7.3. Campo Uniforme de Escoamento.............................................................. 16

8. Escoamentos Uni, Bi, Tridimensional............................................................... 16

8.1. Escoamento Unidimensional...................................................................... 16

8.2. Escoamento Bidimensional......................................................................... 16


4

8.3. Linhas de Tempo, Trajetórias, Linhas de Emissão e Corrente.................. 17

8.4. Campos de Tensão................................................................................... 21

9. Viscosidade..................................................................................................... 22

9.1. Viscosidade Dinâmica ou Absoluta: (µ)..................................................... 22

9.2. Viscosidade Cinemática: (ν)...................................................................... 23

9.3. Número de Reynolds: (Re) ....................................................................... 23

9.4. Tipos de Escoamento................................................................................. 24

10. Pressão............................................................................................................. 26

10.1. Lei de Pascal.............................................................................................. 28

11. Fluidoestática.................................................................................................... 28

11.1. A Equação Básica da Estática dos Fluidos................................................ 29

11.2. Pressão Manométrica................................................................................. 31

11.3. Pressão Absoluta........................................................................................ 32

11.4. O Barômetro de Mercúrio............................................................................ 32

11.5. Aplicação para a Manometria...................................................................... 33

11.6. Tipos de Manômetros.................................................................................. 35

11.6.1. Manômetros de líquido................................................................................ 35

11.6.2. Manômetros Metálicos................................................................................ 36

12. Equilíbrio dos Corpos Flutuantes...................................................................... 36

12.1. Princípio de Arquimedes............................................................................. 38

13. Fluidodinâmica.................................................................................................. 42

13.1. Sistema........................................................................................................ 42

13.2. Volume de Controle..................................................................................... 42

13.3. A Relação Entre as Derivadas do Sistema e a Formulação Para Volume de

Controle........................................................................................................ 42

13.4. Equação da Continuidade (de Conservação da Massa) Para um Volume de Controle

Arbitrário....................................................................................................... 43

13.4.1. Casos Especiais........................................................................................... 44

13.4.2. Vazão Mássica e Vazão Volumétrica........................................................... 46

13.5. 1a Lei da Termodinâmica Aplicada ao Volume de Controle........................ 47

13.6. Equação de Bernoulli.................................................................................... 50

13.6.1. A Equação de Bernoulli Para Fluidos Ideais................................................ 51

13.6.1.1. Visualização Gráfica da Equação de Bernoulli....................................... 52

13.6.2. Aplicações da Equação de Bernoulli............................................................. 53

13.6.2.1. Teorema de Torricelli............................................................................... 53


5

13.6.2.2. Medidores de Vazão............................................................................... 54

13.6.2.2.1. Tubo de Venturi....................................................................................... 56

13.6.2.2.2. Tupo de Pitot.......................................................................................... 57

13.6.2.2.3. Placa de Orifício..................................................................................... 59

13.6.2.2.4. Pressão de Estagnação.......................................................................... 62

13.7. Equação de Bernoulli Para Fluidos Reais – Perda de Carga....................... 63

13.7.1. Visualização Gráfica da Equação de Bernoulli Para Fluidos

Reais............................................................................................................. 63

13.7.2. Tipos de Perda de Carga.............................................................................. 64

13.7.2.1. Perdas de Carga Contínuas.................................................................... 64

13.7.2.2. Perdas de Carga Localizadas................................................................. 69

13.8. Potência Fornecida por uma Bomba............................................................. 76

14. Transferência de Calor........................................................................................ 80

14.1. Introdução...................................................................................................... 80

14.2. Modos de Transferência de Calor................................................................. 80

14.2.1. Condução...................................................................................................... 80

14.2.2. Convecção..................................................................................................... 82

14.2.3. Radiação........................................................................................................ 82

14.3. Leis Básicas da Transferência de Calor......................................................... 83

14.3.1. Condução....................................................................................................... 84

14.3.2. Convecção..................................................................................................... 86

14.3.3. Radiação........................................................................................................ 88

15. Condução............................................................................................................. 91

15.1. Introdução à Condução.................................................................................. 91

15.2. Propriedades Térmicas da Matéria................................................................ 92

15.3. Conservação de Energia em um Volume de Controle................................... 93

15.4. Equação da Difusão de Calor......................................................................... 96

15.4.1. Coordenadas Cartesianas.............................................................................. 96

15.4.2. Coordenadas Cilíndricas................................................................................. 99

15.4.3. Coordenadas Esféricas................................................................................... 99

15.4.4. Condições de Contorno e Condição Inicial..................................................... 100

15.5. Condução Unidimensional em Regime Permanente...................................... 103

15.5.1. Parede Simples............................................................................................... 103

15.5.2. Resistência Térmica....................................................................................... 104

15.5.3. Parede Composta........................................................................................... 108


6

15.5.4. Parede Composta: Série-Paralelo.................................................................. 110

15.5.5. Resistência de Contato................................................................................... 111

15.6. Condução Unidimensional em Regime Permanente – Sistemas Radiais –

Cilindro............................................................................................................. 114

15.6.1. Distribuição de Temperatura........................................................................... 114

15.6.2. Parede Cilíndrica Composta.......................................................................... 117

15.6.3. Espessura Crítica de Isolamento................................................................... 120


Esfera............................................................................................................... 124

15.8. Condução com Geração de Energia Térmica................................................ 125

15.8.1. Condução com Geração de Energia Térmica - Parede Plana ...................... 125

15.8.2. Condução com Geração de Energia Térmica – Sistemas Radiais................. 127

16. Transferência de Calor em Superfícies Expandidas – Aletas................................ 129

16.1. Introdução....................................................................................................... 129

16.2. Tipos de Aletas............................................................................................... 131

16.3. Balanço de Energia para uma Aleta............................................................... 132

16.4. Aletas com área da seção transversal constante........................................... 133

16.5. Desempenho da Aleta.................................................................................... 138

17. Condução Transiente............................................................................................ 141

17.1. Introdução....................................................................................................... 141

17.2. Método da Capacitância Global...................................................................... 141

18. Convecção............................................................................................................. 143

18.1. Fundamentos da Convecção.......................................................................... 143

18.2. As Camadas Limites da Convecção............................................................... 145

18.2.1. A Camada Limite Hidrodinâmica..................................................................... 145

18.2.2. As Camadas Limites de Concentração........................................................... 147

18.3. Escoamento Laminar e Turbulento................................................................. 148

18.4. A Camada Limite Térmica............................................................................... 151

EXERCÍCIOS RECOMENDADOS............................................................................ 153

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS........................................................................... 202

Apêndice A................................................................................................................. 203

Apêndice B................................................................................................................. 207


7

1. Introdução a Mecânica dos Fluidos

1.1. Definição: é a ciência que estuda o comportamento físico dos fluidos e as leis que regem

tal comportamento. Estudo do comportamento dos fluidos em repouso (Fluidoestática) e em

movimento (Fluidodinâmica).

1.2. Objetivo: conhecer, compreender e analisar qualquer sistema no qual um fluido é o meio

produtor de trabalho.

1.3. Aplicação: máquinas de fluxo (bombas, ventiladores, compressores e turbinas), aeronaves,

automóveis, submarinos, sistemas de aquecimento e ventilação de residências, edifícios

comerciais, sistemas de tubulações, corpos flutuantes, medicina, etc.

2. Definição de um Fluido

2.1. Introdução: É uma sustância que se deforma continuamente sob a aplicação de uma

tensão de cisalhamento (força tangencial), não importa sua intensidade (figura 1). Os fluidos

compreendem as fases líquida e gasosa (ou de vapor) das formas físicas nas quais a matéria

existe.

Figura 1 – Elemento Fluido sob a Ação de Esforço Tangencial Constante.

A distinção entre um fluido e o estado sólido fica clara ao ser comparado seu comportamento.

Ao ser aplicada uma força tangencial F (fig.2a) sobre um sólido fixado entre as duas placas, o

bloco sofre uma deformação e se estabiliza no novo formato. No regime elástico do material, ao

cessar a aplicação da força, o sólido retorna à forma original. Repetindo a experiência para um


8

fluido, ele se deformará continuamente, enquanto existir uma força tangencial atuando sobre ele

(fig.2b).

Figura 2 – Comportamento de (a) um Sólido e (b) um Fluido, Sob a Ação de uma Força de Cisalhamento Constante.

1a Situação:

Figura 2a

Mantida a Ft constante o sólido deformar-se-á até alcançar uma posição de equilíbrio estático.

2a Situação:

Figura 2b

Sob a ação da Ft deforma-se continuamente, não se alcançando uma posição de equilíbrio

estático.

2.2. A Hipótese do Contínuo: Como o espaço médio entre as moléculas que compõem o fluido

é bastante inferior às dimensões físicas dos problemas estudados, considera-se o fluido como

uma substância que pode ser dividida ao infinito.

2.3. Princípio da Aderência: “Os pontos de um fluido em contato com uma superfície sólida

possuem a mesma velocidade dos pontos desta com os quais estão em contato; não há

deslizamento naquelas fronteiras”. (fig.3)

Figura 3 – O Perfil de Velocidade Linear no Líquido entre Placas Paralelas Infinitas.


9

3. Métodos de análise

3.1. Sistema: quantidade de massa fixa e identificável; as fronteiras do sistema separam-no do

ambiente à volta; não há transferência de massa através das mesmas, calor e trabalho poderão

cruzar as fronteiras, conforme mostrado na fig. 4 .

Figura 4 – Conjunto Pistão-Cilindro

3.2. Volume de controle: volume do espaço através do qual o fluido escoa (arbitrário), a

fronteira geométrica é chamada superfície de controle, conforme mostrado na fig. 5.

Figura 5 – Escoamento de um Fluido Através de um Tubo.

4. Dimensões e unidades

4.1. Introdução

Dimensões: são grandezas mensuráveis (quantidades físicas: podem ser primárias (básicas) e

secundárias (derivadas)).

Unidades: são nomes arbitrários dados às dimensões.

4.2. Sistemas de Dimensões

Lei da Homogeneidade dimensional: “Todos os termos de uma expressão matemática, que,

traduz um fenômeno físico, devem possuir a mesma dimensão”.

Exemplo:


10

4.3. Sistema de Unidades

Pode-se trabalhar com diferentes unidades para as grandezas (massa, comprimento, etc.).

Países diferentes podem utilizar sistemas de unidades diferentes. Em 1960, instituiu-se o

Sistema Internacional (SI), como uma tentativa de padronização. Foram definidas 7 grandezas

básicas (massa, comprimento, tempo, temperatura, corrente elétrica, quantidade de matéria e

intensidade luminosa) e padronizadas as suas unidades.

A partir delas, podem ser derivadas as unidades das outras grandezas (excetuando-se as

grandezas elétricas). No entanto, alguns países ainda adotam os antigos sistemas de unidades.

No Sistema Britânico, as grandezas básicas são força, comprimento, temperatura e tempo. A

massa passa a ser, portanto, uma grandeza secundária.

SI absoluto: M(massa), L(comprimento), t(tempo), T(temperatura), I(corrente elétrica),

quantidade de matéria e intensidade luminosa. Técnico inglês: F(força), L(comprimento),

t(tempo), T(temperatura).

Tabela 1 – Sistemas de Unidades.

No Apêndice B são apresentados os fatores de conversão entre os sistemas para as diferentes

grandezas.


11

A Tab. 2 apresenta prefixos utilizados em engenharia para escrever valores muitos pequenos ou

muito grandes de uma maneira mais concisa.

Tabela 2 – Principais prefixos para unidades de Engenharia.

5. Propriedades físicas dos fluidos

5.1. Peso especifico: ( γ)

É o peso do fluido contido em uma unidade de volume.


12

5.2. Volume específico: ( ν)

Inverso da massa específica.

5.3. Densidade relativa: ( δ,d ou SG)

Razão entre a massa específica de uma substância e a massa específica de uma substância de

referência. Para líquidos, o fluido de referência é a água e, para os gases, o ar. Quando se

trabalha com densidades relativas de sólidos, é comum que a substância de referência seja a

água.


13

5.4. Massa específica ou densidade absoluta: ( β )

Também conhecida como densidade absoluta, é a quantidade de massa do fluido contida em

uma unidade de volume.

A densidade dos gases variam bastante quando são alteradas sua pressão, e/ou sua

temperatura. Ao contrário, a densidade dos líquidos apresenta pequenas variações com

alterações de pressão e temperatura, são, em sua maioria, considerados incompressíveis. Na

Tab. A.1 (Apêndice A), são apresentados valores de massa específica para alguns fluidos, a

20°C e 1 atm. As Tab.s A.2 e A.3 apresentam, respec tivamente, a variação da massa específica

da água e do ar com a temperatura, para a pressão de 1 atm.

5.5. Módulo da Elasticidade Volumétrico: ( β)

Razão entre uma variação de pressão e a correspondente variação de volume por unidade de

volume.


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Expressa a compressibilidade do fluido. A compressibilidade de uma substância é a medida da

variação relativa de volume decorrente de aplicação de pressão. O módulo de compressibilidade

de líquidos costuma ser obtido experimentalmente. No caso de gases, o seu valor depende do

tipo de processo que resulta da compressão.

5.5.1. Condições isotérmicas: T = constante

5.5.2. Condições adiabáticas:

5.6. Coeficiente de Compressibilidade: (C)

Inverso do módulo de elasticidade volumétrico.


15

6. Campo de velocidade

Entre as propriedades do escoamento, destaca-se o campo de velocidade. Seja o volume

de fluido � mostrado na Fig. 6.

Figura 6 – Determinação do Campo de Velocidades em um Ponto.

A velocidade instantânea do fluido no ponto C é igual à velocidade instantânea do volume

infinitesimal que passa pelo ponto C no instante de tempo em questão.

O campo de velocidade, , é função das coordenadas x, y e z e do tempo t. A completa

representação do campo de velocidades é dada por:

= (x, y, z,t)

O vetor velocidade, , pode ser expresso em termos de suas três componentes escalares.

Chamando estas componentes nas direções x, y e z de, respectivamente, u, v e w, o campo de

velocidades pode ser escrito como:

= uiˆ + vˆj + wkˆ,

onde: u = u(x, y,z, t), v = v(x, y,z, t) e w = w(x, y,z, t)

7. Regime permanente e transiente

7.1. Regime Permanente: As propriedades do fluido, em cada ponto do escoamento, não

variam com o tempo. A definição matemática do movimento permanente é:

, onde representa uma propriedade qualquer do fluido.

7.2. Regime Transiente : As propriedades do fluido variam com o tempo.


16

7.3. Campo Uniforme de Escoamento : Escoamento no qual o módulo e o sentido do vetor

velocidade são constantes, ou seja, independentes de todas as coordenadas espaciais, através

de toda a extensão do campo.

8. Escoamentos uni, bi, tridimensional.

Os escoamentos podem ser classificados em uni-, bi- e tridimensionais de acordo com o número

de coordenadas necessárias para se definir seu campo de velocidades.

8.1. Escoamento unidimensional:

Exemplo:

Suponha o escoamento em regime permanente no interior de um duto de seção transversal

constante mostrado na Fig. 7.

Figura 7 – Exemplo de Escoamento Unidimensional.

A partir de uma certa distância da entrada do duto, a velocidade pode ser descrita pela equação:

Como o campo de velocidades depende apenas da distância radial r, o escoamento é

unidimensional.

8.2. Escoamento bidimensional:

Seja agora o escoamento entre placas divergentes, de largura infinita (Fig. 8). Como o canal é

considerado infinito na direção do eixo dos z, o campo das velocidades será idêntico em todos

os planos perpendiculares a este eixo. Conseqüentemente, o campo de velocidades é função

somente das coordenadas x e y. O campo do escoamento é, portanto, bidimensional.


17

Figura 8 – Exemplo de Escoamento Bidimensional.

8.3. Linhas de tempo, trajetórias, linhas de emissã o e linhas de corrente:

Na análise de problemas de mecânica dos fluidos, freqüentemente é vantajoso obter uma

representação visual de campo de escoamento. Tal representação é provida de linhas de tempo,

de trajeto, de emissão e de corrente.

Se num campo de escoamento uma quantidade de partículas fluidas adjacentes forem

marcadas num dado instante, elas formarão uma linha no fluido naquele instante, esta linha é

chamada de linha de tempo.

Uma linha de trajeto é o caminho ou trajetória traçada por uma partícula fluida em movimento.

Para torná-la visível, temos que identificar uma partícula fluida, num dado instante, por exemplo,

pelo emprego de um corante; em seguida, tiramos uma fotografia de exposição prolongada do

seu movimento subseqüente. A linha traçada pela partícula é uma trajetória Por outro lado,

poderíamos preferir concentrar a atenção em um lugar fixo do espaço e identificar, novamente

pelo emprego do corante, todas as partículas fluidas que passam por aquele ponto. Após um

curto período, teríamos uma certa quantidade de partículas fluidas identificáveis no escoamento.

Todas elas, em algum momento, teriam passado por um local fixo no espaço. A linha em que

une as partículas fluidas, num ponto fixo no espaço, é definida como linha de emissão.

As linhas de corrente são aquelas desenhadas no campo de escoamento, de forma que, num

dado instante, são tangentes à direção do escoamento em cada ponto do campo.

Como as linhas de corrente são tangentes ao vetor velocidade em cada ponto do campo, não

pode haver escoamento através delas.

No escoamento permanente, a velocidade em cada ponto do campo permanece constante com

o tempo e, em conseqüência, as linhas de corrente não variam de um instante a outro. Isto

implica que uma partícula localizada numa determinada linha de corrente permanecerá sobre a

mesma. Além disso, partículas consecutivas passando através de um ponto fixo do espaço


18

estarão sobre a mesma linha de corrente e, subseqüentemente permanecerão nela. Então num

escoamento permanente, trajetórias e linhas de emissão e de corrente são linhas idênticas no

campo de escoamento.

A forma das linhas de corrente pode variar de instante a instante se o escoamento for transiente.

Neste caso, as trajetórias, as linhas de emissão e as linhas de corrente não coincidem.

Exemplo:

Considere o campo de escoamento , onde a = 0,2 s-2 e b = 3 m/s.

As coordenadas são medidas em metros. Para a partícula que passa pelo ponto (x, y) = (3,1) no

instante t = 0, trace a trajetória durante o intervalo de tempo de t = 0 a t = 3 s. Compare esta

trajetória com as linhas de corrente que passam pelo mesmo ponto nos instantes t = 0, 1 e 3

segundos.

Resolução:


19

Exemplo:

O campo de velocidade , onde a = b = 1 s-1, pode ser interpretado como

representando o escoamento numa curva em ângulo reto. Obtenha uma equação para as linhas

de corrente do escoamento. Trace diversas linhas de corrente no primeiro quadrante, incluindo

aquela que passa pelo ponto (x,y) = (0,0).

Resolução :

A inclinação das linhas de corrente no plano xy é dado por:


20

Para o campo de velocidade dado, as constantes a e b são fixas. As linhas de corrente são

obtidas definindo valores diferentes para a constante de integração c.


21

8.4. Campo de Tensão

Tanto forças de superfície quanto forças de campo são encontradas no estudo da mecânica dos

meios contínuos. As forças de superfícies atuam nas fronteiras de um meio através de um

contato direto. As forças desenvolvidas sem contato físico e distribuídas por todo o volume do

fluido são denominadas forças de campo. As forças gravitacionais e eletromagnéticas são

exemplos de forças de campo.

A força gravitacional atuando sobre um elemento de volume, dV, é dada por, onde

ρ é a massa específica (massa por unidade de volume) e é a aceleração local da

gravidade. Segue-se que a força de campo gravitacional é por unidade de volume e

por unidade de massa.

O conceito de tensão nos dá uma forma conveniente de descrever o modo pela qual as forças

atuantes na fronteiras do meio são transmitidas através deles. Então campo de tensões seria a

região através da qual as forças atuantes seriam transmitidas através de toda extensão do

material.

Como a força e a área são ambas quantidades vetoriais, podemos prever que o campo de

tensão não será vetorial. O campo de tensões normalmente é chamado de campo tensorial

devido ao campo possuir nove componentes que se comportam como um tensor de 2ª ordem.

Dividindo a magnitude de cada componente da força pela a área , δAx , e tomando o limite

quando δAx se aproxima de zero, definimos as três componentes da tensão mostradas abaixo:

Utilizamos o índice duplo para designar tensões. O primeiro índice (neste caso x) indica o plano

no qual a tensão atua (neste caso a superfície perpendicular ao eixo x). O segundo índice indica

a direção na qual a tensão atua. Também é necessário adotar uma convenção de sinais para a

tensão. Uma componente da tensão é positiva quando o seu sentido e o plano no qual atua são

ambos positivos ou ambos negativos.


22

9. Viscosidade

9.1. Viscosidade Dinâmica ou Absoluta: ( µ)

Propriedade que determina o grau de resistência do fluido à força de cisalhamento, ou seja, a

dificuldade do fluido em escoar.

Seja o comportamento de um elemento fluido entre 2 placas infinitas. A placa superior move-se

a velocidade constante (δu), sob a influência de uma força aplicada δ Fx.

Figura 9 – Deformação de um Elemento de Fluido.

A tensão tangencial ou tensão de cisalhamento do elemento fluido é dada por:


23

A constante de proporcionalidade é a viscosidade absoluta ou dinâmica do fluido, µ.

Os fluidos mais comuns, como a água, o ar e a gasolina, são newtonianos em condições

normais.

Se considerarmos as deformações de dois diferentes fluidos newtonianos, por exemplo, glicerina

e água, verificaremos que eles irão se deformar as taxas diferentes sob a ação da mesma

tensão de cisalhamento aplicada. A glicerina apresenta uma resistência à deformação muito

maior do que a água. Dizemos, então, que ela é muito mais viscosa.

A Tab. A.8 apresenta valores de viscosidade absoluta para alguns fluidos. O comportamento da

viscosidade para alguns fluidos Newtonianos é apresentado na Fig. A.1 e. A.2. Pode-se notar

que, para os gases, a viscosidade aumenta com a temperatura, enquanto que os líquidos

apresentam comportamento inverso.

9.2. Viscosidade Cinemática: ( ν)

Razão entre a viscosidade dinâmica e a massa específica.

9.3. Número de Reynolds: (Re)

Número adimensional, obtido pela razão entre as forças de inércia e as forças viscosas.

Caracteriza o comportamento global do escoamento de um fluido.


24

O número de Reynolds é o adimensional mais importante da Mecânica dos Fluidos. Ele

determina a natureza do escoamento (laminar ou turbulento). Para escoamentos no interior de

tubos, o valor aceito para se caracterizar a transição do escoamento laminar para turbulento é

2300. Para escoamento sobre uma placa plana, o valor é 5x105. Deve-se ressaltar que V* e L*

correspondem, respectivamente, à velocidade e ao comprimento característico do escoamento.

Para escoamentos no interior de tubos, a velocidade V* é a velocidade média no interior do tubo

e L*, o seu diâmetro. Para escoamentos sobre placas planas, V* é a velocidade da corrente livre

e L*, o comprimento da placa.

Figura 10 – Exemplo para o Cálculo do Número de Reynolds.

Como a viscosidade absoluta da glicerina é 1500 vezes superior à viscosidade da água, para

que os fluidos, escoando no interior de tubos com o mesmo diâmetro, tenham comportamentos

semelhantes (mesmo número de Reynolds), a velocidade da glicerina deve ser 1174 vezes

maior do que a velocidade da água.

9.4. Tipos de escoamento:

- Escoamento laminar ( em tubulações Re≤ 2300 )

- Escoamento turbulento (Re > 4000)


25

Figura 11 – Possível Classificação da Mecânica dos Fluidos.

O escoamento compressível ou incompressível é definido a partir de um parâmetro chamado

número de Mach, que é definido como sendo a razão da velocidade do escoamento ( ) pela

velocidade do som (S) do meio.

Exemplo:

Um eixo com diâmetro externo de 18 mm gira a 20 rotações por segundo dentro de um mancal

de sustentação estacionário de 60 mm de comprimento. Uma película de óleo com espessura de

0,2 mm preenche a folga anular entre o eixo e o mancal. O torque necessário para girar o eixo é

de 0,0036 N.m. Estime a viscosidade do óleo que se encontra na folga anular, em (Pa.s)

� Resolução: Para calcular a viscosidade do óleo devemos utilizar a fórmula de tensão de

cisalhamento:

Primeiramente devemos converter a velocidade para uma unidade na qual possamos trabalhar:


26

Assim podemos calcular o coeficiente de viscosidade dinâmico fazendo analogia à força:

10. Pressão

Força exercida em uma unidade de área.


27

A pressão é uma variável dinâmica muito importante na Mecânica dos Fluidos. Um escoamento

só é possível se houver um gradiente de pressão. Para gases ideais, a pressão pode ser

relacionada à densidade e à temperatura através da seguinte expressão:

Onde R é a constante específica de cada gás, relacionada à constante universal dos gases

através da massa molecular do gás MM, sendo MM dada em kg/kmol no sistema Internacional.

A Tab. A.4 apresenta as massas moleculares de alguns gases comuns.

A Tab. A.9 mostra as propriedades termodinâmicas de gases comuns na condição padrão ou

“standard”.

A pressão atuando na base de um recipiente contendo um fluido em repouso pode ser calculada

da maneira mostrada a seguir:

Figura 12 – Exemplo do Cálculo da Pressão na Base de um Recipiente.


28

10.1. Lei de Pascal: “No interior de um fluido em repouso, a pressão é constante em cada ponto”.

Figura 13 – Fluido em Repouso.

11. Fluidoestática

É a parte da Mecânica dos Fluidos que estuda o comportamento dos fluidos em repouso.

A condição de velocidade nula do fluido é denominada condição hidrostática. Em um problema

de hidrostática, o objetivo principal é, em geral, a determinação da distribuição de forças ou

pressões em um elemento fluido.


29

11.1. A equação básica da estática dos fluidos:

Dois tipos genéricos de forças podem ser aplicados a um fluido: forças de corpo e forças de

superfície. As forças de corpo, também chamadas de forças de campo, são as forças

desenvolvidas sem contato físico com o fluido, distribuídas por todo o seu volume. É o caso das

forças gravitacionais e eletromagnéticas. De uma maneira geral, a única força de corpo que

deve ser considerada na maioria dos problemas de Mecânica dos Fluidos é a força gravitacional,

ou o peso. As forças de superfície são aquelas que atuam nas fronteiras de um meio, através do

contato direto. Se um fluido estiver em repouso, só poderão estar presentes forças normais à

superfície (por definição, o fluido é a substância incapaz de resistir a forças de cisalhamento

sem se deformar). A única força de superfície a ser considerada é, portanto, a força de pressão.

Seja um volume fluido infinitesimal, de dimensões dx, dy e dz, como mostrado na Fig.14.

Figura 14 – Volume de Controle Infinitesimal.


30

A 2ª Lei de Newton estabelece que:

Para um elemento fluido em repouso, a aceleração deve ser nula e o somatório de todas as

forças deve ser zero. Assim,

Esta é uma equação vetorial, que pode ser decomposta em três equações escalares,

Para simplificar a equação, é conveniente adotar um sistema de eixos no qual o vetor

gravitacional esteja alinhado com um dos eixos. Se o sistema for escolhido com o eixo z

apontado para cima , as equações podem ser reescritas como:

Se o fluido puder ser considerado incompressível, a diferença de pressão entre dois pontos do

fluido será diretamente proporcional à diferença de altura entre eles (Fig.15).


31

Conclusões:

1. Não há variação de pressão na direção horizontal, ou seja, dois pontos quaisquer, situados a

uma mesma altura e no mesmo fluido em repouso, estão submetidos à mesma pressão;

2. A pressão varia na direção vertical, sendo esta variação devida ao peso da coluna fluida

(Equação Fundamental da Hidrostática);

3. No limite para ∆z infinitamente pequeno (elemento tendendo a um ponto), Pz = Pn = Px, ou

seja, a pressão em um ponto de um fluido estático é independente da orientação (Lei de

Pascal).

Se o fluido puder ser considerado incompressível, a diferença de pressão entre dois pontos do

fluido será diretamente proporcional à diferença de altura entre eles - Equação Fundamental da

Hidrostática (Fig.15).

Figura 15 – Variação de Pressão em um Fluido Estático.

Os valores de pressão devem ser estabelecidos em relação a um nível de referência. As

maneiras de se expressar a pressão variam, portanto, com o nível de referência adotado.

Quando o nível de referência é zero (vácuo), as pressões são denominadas absolutas .

Quando o nível de referência é a pressão atmosférica local, as pressões são denominadas

pressões manométricas ou efetivas .

11.2. Pressão

Pressão medida tomando-se como referência o valor da pressão atmosférica (Patm).

Patm = 1atm = 101,325 kPa = 1,0332x104 kgf/m2 = 1,0332 kgf/cm2 = 10,332 m.c.a. = 760 mmHg


32

A pressão manométrica pode assumir valores positivos, negativos ou nulos.

Se P>Patm, Pman > 0

Se P<Patm, Pman < 0

Se P=Patm, Pman = 0

11.3. Pressão Absoluta:

Pressão medida a partir do zero absoluto.

Pabs = Patm + Pman

ou

Pman = Pabs − Patm

A pressão a ser utilizada em cálculos envolvendo equações de gás ideal ou outras equações de

estado é a pressão absoluta.

Figura 16 – Exemplo do Cálculo das Pressões Absoluta e Manométrica.

11.4. O Barômetro de Mercúrio:

A aplicação mais simples da lei da hidrostática é o barômetro, que é um medidor de pressão

atmosférica. Neste dispositivo, um tubo é preenchido com um fluido de alto peso específico

(geralmente o mercúrio), invertido e mergulhado em um reservatório contendo o mesmo fluido.

No processo de inversão do tubo, o mercúrio desce, criando vácuo na parte superior do tubo,

como mostrado na Fig. 17.


33

Figura 17 – O Barômetro de Mercúrio.

11.5. Aplicação para a Manometria:

Uma variação na elevação é equivalente a uma variação de pressão.

Figura 18 – Variação de Pressão em uma Coluna de Múltiplos Fluidos.


34

Exemplo:

1) Determine a pressão manométrica no ponto “a”, se o líquido A tem densidade relativa dA=

0,75, e o líquido B, dB=1,20. O líquido em volta do ponto “a” é água e o tanque à esquerda está

aberto para a atmosfera.

Figura 19 – Ilustração do exemplo acima, vasos comunicantes.

Resolução:

Para calcular a pressão no ponto´´a´´, devemos calcular a diferença de pressão do ponto em

aberto (Patm), até chegar em ´´a´´.

Primeiramente faremos algumas transformações para simplificar os cálculos:

1 pol = 25,4 mm

36 pol = 0,914 m

15 pol = 0,381 m

10 pol = 0,254 m

5 pol = 0,127 m


35

Calculamos as diferenças de pressão:

Temos então como pressão no ponto “a”´:

Pa = 7.831,81Pa

11.6. Tipos de Manômetros:

11.6.1. Manômetros de líquido: São tubos transparentes e curvos, geralmente em forma de U,

que contêm o líquido manométrico. Para medição de altas pressões, utilizam-se fluidos com

altos pesos específicos, como o mercúrio. No caso de menores pressões, utilizam-se fluidos

com menores pesos específicos, como água ou óleo.

Figura 20 – Manômetro de Líquido.


36




37

11.6.2. Manômetros metálicos: São instrumentos usados para medir as pressões dos fluidos

através de um tubo metálico curvo (Tubo de Bourdon) ou de um diafragma, que cobre um

recipiente metálico. São os manômetros mais utilizados em aplicações industriais.

Figura 23 – Tubo de Bourdon. Figura 24 – Manômetro de Diafragma.

12. Equilíbrio dos Corpos Flutuantes

Um corpo flutuante ou submerso em um fluido sofre um empuxo de baixo para cima de uma

força igual ao peso do volume do fluido deslocado.

As densidades dos líquidos podem ser determinadas observando-se a profundidade de

flutuação de um densímetro.

Se um corpo está imerso ou flutua em um fluido, a força que nele atua denomina-se empuxo de

flutuação. Seja o objeto mostrado na Fig. 25, imerso em um fluido em repouso.

Figura 25 – Corpo Imerso em um Fluido Estático.

O empuxo vertical no cilindro elementar de volume é dado por:


38

12.1. Princípio de Arquimedes:

“Todo corpo imerso em um fluido em equilíbrio recebe, por parte do fluido, um empuxo vertical

de baixo para cima, numericamente igual ao peso do volume deslocado pelo corpo.”

O corpo pode estar, no entanto, imerso ou flutuando no fluido.

Corpo Imerso:

E = peso do volume de fluido deslocado

Corpo Flutuante:

E = peso do volume de fluido deslocado


39

Situações Possíveis: • Corpo Permanece Totalmente Imerso e em Equilíbrio:

• Corpo Afunda

• Corpo Fica Parcialmente Imerso

O ponto de aplicação do empuxo é chamado Centro de Flutuação ou de Carena (C) .

Corresponde ao centro de gravidade do volume de fluido deslocado.


40

• Corpo Permanece Totalmente Imerso e em Equilíbrio:

O centro de flutuação coincide com o centro de gravidade do corpo.

• Corpo Afunda

O centro de flutuação coincide com o centro de gravidade do corpo.

• Corpo Fica Parcialmente Imerso

O centro de flutuação está localizado abaixo do centro de gravidade do corpo.

Quando o corpo está em equilíbrio, E e W possuem a mesma linha de ação. Se o corpo for

afastado da condição de equilíbrio, pode ocorrer uma das seguintes situações:

• Corpo imerso


41

Se for aplicado um afastamento θ do equilíbrio no corpo, ele permanecerá na nova posição.

Assim, E e W estarão sempre na mesma linha de ação. Nesta situação, o corpo está em

equilíbrio indiferente.

• Corpo flutuante

Figura 26 – Cálculo do Metacentro de um Corpo Submerso.

Se o corpo for inclinado de um pequeno ângulo ∆θ (Fig. 26b), o volume da parte de fluido

deslocado irá se alterar, provocando uma mudança na posição do centro de flutuação do corpo,

que muda de B para B'. A linha vertical passando por B' irá interceptar a linha de simetria do

corpo no ponto M, chamado Metacentro .

Se o metacentro estiver localizado acima do CG do corpo, haverá um momento restaurador, que

tenderá a retornar o corpo para a sua posição de equilíbrio inicial. Neste caso, o corpo se

encontra em equilíbrio estável.

Se o metacentro estiver localizado abaixo do CG do corpo, o momento tenderá a afastar o corpo

ainda mais da posição de equilíbrio inicial. Neste caso, o corpo está em equilíbrio instável.


42

13. Fluidodinâmica

Os fluidos podem ser analisados utilizando-se o conceito de sistema ou de volume de controle,

figuras 27 e 28.

13.1. Sistema:

Quantidade fixa e definida de massa fluida. Os limites do sistema podem ser fixos ou móveis,

mas não se verifica transporte de massa através deles.

Figura 27 – Conjunto Pistão-Cilindro.

13.2. Volume de Controle:

Volume arbitrário do espaço, através do qual o fluido escoa. O contorno geométrico do volume

de controle é denominado Superfície de Controle. A superfície de controle pode ser real ou

imaginária, e pode estar em repouso ou em movimento.

Figura 28 – Escoamento de um Fluido através de um Tubo. 13.3. A relação entre as derivadas do sistema e a f ormulação para volume de

controle:

As leis da Mecânica são escritas para um sistema. Elas estabelecem o que ocorre quando há

uma interação entre o sistema e suas vizinhanças. No entanto, em muitos problemas de

Mecânica dos Fluidos, é mais comum a análise dos problemas utilizando-se a formulação de

volume de controle. O teorema de Transporte de Reynolds permite que as leis da Mecânica


43

sejam escritas para um volume de controle. Se N for uma propriedade extensiva arbitrária

qualquer, o Teorema de Transporte de Reynolds estabelece que:

13.4. Equação da continuidade (de conservação da ma ssa) para um volume de controle

arbitrário:

Se este teorema for aplicado à equação de conservação da massa,


44

13.4.1. Casos especiais:

Em algumas situações, é possível simplificar a equação de conservação da massa.


45

A velocidade do escoamento varia em uma dada seção. Define-se a magnitude da velocidade

média em uma seção como sendo a razão entre a vazão volumétrica e a área da seção, ou:


46

13.4.2. Vazão Mássica e Vazão Volumétrica:

Seja um escoamento unidimensional, ou seja, um escoamento que pode ser descrito por apenas

uma coordenada espacial s, função do tempo, ou seja, por s(t).

Figura 29 – Escoamento Unidimensional.

Seja m a massa fluida ocupando a área A no instante de tempo t:


47

A vazão mássica e a vazão volumétrica podem ser relacionadas pela expressão:

13.5. 1a Lei da Termodinâmica aplicada ao volume de controle:

A primeira lei da Termodinâmica é uma afirmação da conservação da energia. Sua formulação

para sistema é:

A fim de deduzir a formulação para volume de controle, da primeira lei da termodinâmica,

estabelecemos:

N = E


48

É importante ressaltar que a dedução da equação está além do escopo desta disciplina. Para

maiores informações, recomenda-se consultar os livros de Mecânica dos Fluidos sugeridos. Na

equação, é qualquer taxa de trabalho de eixo (potência) realizado sobre ou pelo

volume de controle, é qualquer taxa de trabalho não considerada, como trabalho

produzido por forças eletromagnéticas.


49

Exemplo:

Ar entra em compressor a 14 psia, 80ºF com velocidade desprezível e é descarregado a 70 psia,

500ºF, com velocidade de 500 pés/s, se a potência fornecida ao compressor for 3200 hp e a

vazão em massa 20 lbm/s, determine a taxa de transferência de calor.

� Resolução: Para calcular a taxa de transferência de calor precisamos recorrer à seguinte

fórmula:


50

13.6. Equação de Bernoulli:

Muitas vezes, deseja-se aplicar a equação de conservação da energia para o escoamento em

regime permanente de um fluido incompressível no interior de uma tubulação, com apenas uma

entrada e uma saída de massa. Para esta situação, a equação da energia pode ser simplificada.


51

13.6.1. A Equação de Bernoulli para fluidos ideais:

Para escoamentos de fluidos incompressíveis para os quais se pode desprezar os efeitos de

atrito (fluidos ideais), têm que:

A energia em qualquer ponto da massa fluida em um escoamento incompressível em regime

permanente é constante.


52

13.6.1.1. Visualização gráfica da equação de Bernou lli:

Muitas vezes, é conveniente representar o nível de energia de um escoamento por meios

gráficos. Cada termo na equação de Bernoulli, na forma apresentada tem dimensões de

comprimento, ou carga do fluido em escoamento. Os termos individuais são:

Para um fluido ideal sem trabalho de eixo, a energia mecânica total se conserva. A energia total

por unidade de peso do fluido (ou carga total do escoamento). A linha energética representa a

altura de carga total. Conforme mostrado na equação de Bernoulli, a altura da linha energética

permanece constante para o escoamento sem atrito, quando nenhum trabalho é realizado sobre

ou pelo fluido. A linha piezométrica representa a soma das alturas de carga devidas à elevação

e à pressão estática. A diferença entre as alturas da linha energética e da linha piezométrica

representa a altura de carga dinâmica (de velocidade).

Figura 30 – Linhas Energética e Piezométrica para Escoamento Unidimensional em um Duto.


53

13.6.2. Aplicações da Equação de Bernoulli:

13.6.2.1. Teorema de Torricelli:

Seja um recipiente de paredes delgadas com a área da superfície livre constante, contendo um

fluido ideal, escoando em regime permanente através de um orifício lateral.

Figura 31 – Escoamento de um Fluido Ideal em um Recipiente de Paredes Delgadas.


54

Teorema de Torricelli: “A velocidade de um líquido jorrando por um orifício através de uma

parede delgada é igual à velocidade que teria um corpo em queda livre de uma altura h.”.

13.6.2.2. Medidores de vazão:

Freqüentemente, é necessário medir a vazão que passa por uma tubulação. Existem diferentes

dispositivos capazes de efetuar esta medição, divididos principalmente em duas classes:

instrumentos mecânicos e instrumentos de perda de carga. Os instrumentos mecânicos medem

a vazão real do fluido, retendo e medindo uma certa quantidade. Os dispositivos de perda de

carga obstruem o escoamento, causando a aceleração de uma corrente fluida, como mostra na

fig. 32 para um bocal genérico.

Figura 32 – Escoamento Interno através de um Bocal Genérico mostrando o volume de controle usado para análise.

A separação do escoamento na borda viva da garganta do bocal provoca a formação de uma

zona de recirculação, como mostrado pelas linhas tracejadas a jusante do bocal. A corrente

principal do escoamento continua a se acelerar após a garganta, formando uma vena contracta

na seção 2 e, em seguida, desacelera-se para preencher toda a seção do tubo. Na vena

contracta, a área de escoamento é mínima e a velocidade é máxima.

A vazão teórica pode ser relacionada ao gradiente de pressão através da aplicação da equação

de Bernoulli para fluidos ideais e da equação de conservação de massa. A equação de Bernoulli

estabelece que


55


56

No entanto, diversos fatores limitam a utilidade da equação anterior para o cálculo da vazão

através do medidor. A área do escoamento real na seção 2 é desconhecida quando a vena

contracta é pronunciada. Em geral, os perfis de velocidade não podem ser considerados

uniformes na seção. Os efeitos de atrito podem se tornar importantes quando os contornos

medidos são abruptos. Finalmente, a localização das tomadas de pressão influencia a leitura da

pressão diferencial.

A equação teórica é ajustada pela definição de um coeficiente de descarga empírico tal que:

Deve ser observado que no cálculo da vazão real a área que deve ser utilizada é a área da

garganta, e não a área do escoamento na seção 2.

São apresentados na literatura valores para os coeficientes dos medidores de vazão, medidos

com distribuições de velocidades turbulentas, completamente desenvolvidas na entrada do

medidor.

13.6.2.2.1. Tubo de Venturi:

O tubo de Venturi é um dispositivo utilizado para medição da vazão ou da velocidade em uma

tubulação. Consiste em uma redução da seção do escoamento, provocando um aumento de

velocidade e uma queda na pressão. Em geral, os medidores são fundidos e usinados com

pequenas tolerâncias, de modo a reproduzir o desempenho de projeto. A perda de carga total é

baixa. Dados experimentais mostram que os coeficientes de descarga variam de 0,98 a 0,995

para altos números de Reynolds (maiores que 2.105). Por isso, C= 0,99 pode ser usado para

medir a vazão em massa com cerca de 1% de erro. Para menores números de Reynolds, a

literatura dos fabricantes deve ser consultada.

A diferença de pressão entre um ponto no escoamento e um ponto no estrangulamento é

medida através de um líquido manométrico, como mostrado na fig. 33

Figura 33 – Tubo de Venturi.


57

13.6.2.2.2. Tubo de Pitot:

Assim como o tubo de Venturi, o tubo de Pitot é um dispositivo utilizado para a medição de

vazão ou a velocidade de um escoamento. Podem ser utilizadas 2configurações. Na primeira

(Fig. 34), um tubo é inserido no escoamento. Ao entrar no tubo, a velocidade do fluido é

reduzida a zero, sem atrito. Aplicando-se a equação de Bernoulli:

Figura 34 – Medição de pressão estática – Tubo de Pitot.


58

Na segunda configuração, é inserido um fluido manométrico, no qual será lida a diferença de

cotas (Fig. 35). Aplicando-se a equação de Bernoulli ao fluido A,

Figura 35 – Tubo de Pitot com fluido manométrico.


59

13.6.2.2.3. Placa de orifício:

A placa de orifício é uma placa fina que pode ser colocada entre flanges. Como a sua geometria

é simples, é de baixo custo e de fácil instalação e reposição. As principais desvantagens são a

sua capacidade limitada e a elevada perda de carga. As tomadas de pressão podem ser

posicionadas em diversos locais. Como a localização das tomadas influencia o coeficiente de

descarga, valores consistentes devem ser selecionados de manuais. A equação de correlação

recomendada para um orifício concêntrico com tomadas de canto (fig.36) é:


60

Figura 36 (a) – Geometria de orifício e localização de tomadas de pressão – Placa de orifício.

Equações de correção similares estão disponíveis para placas de orifícios com tomadas de

flange e com tomadas de pressão D e D/2.

Figura 36 (b) – Placa de Orifício.


61

A1 = área da seção reta do tubo.

A3 = área da seção reta à entrada do orifício (montante).

A2 = área da seção reta à saída do orifício (jusante).

Aplicando a equação de Bernoulli entre A1 e A2, temos:

Para obtermos a vazão real, devemos considerar o coeficiente de velocidade “CV” responsável

pelas perdas por atrito e choques no orifício, então:


62

13.6.2.2.4. Pressão de estagnação:

É obtida quando um fluido em movimento é desacelerado até a velocidade zero por meio de um

processo sem atrito.

Figura 37 – Medições simultâneas das pressões de estagnação e estática.


63

P: pressão estática (é a pressão termodinâmica, é aquela pressão que seria medida por um

instrumento movendo-se com o escoamento).

13.7. Equação de Bernoulli para fluidos reais – per da de carga:

Este último termo é denominado perda de carga, (∆HP) que é a energia por unidade de peso do

líquido, dissipada em forma de calor devido à viscosidade e ao desvio de massa pelos

acessórios e, quando turbulento o regime de escoamento, pela rugosidade.

13.7.1. Visualização gráfica da equação de Bernoull i para fluidos reais:

Figura 38 – Linhas Energética e Piezométrica para Escoamento de um Fluido Real.


64

A perda de carga entre duas seções quaisquer do escoamento pode ser calculada através de

relações empíricas que dependem principalmente do regime de escoamento e da rugosidade

relativa do duto.

13.7.2. Tipos de perda de carga:

13.7.2.1. Perdas de carga contínuas: ocorre nos trechos retos.


65

O principal problema consiste então na determinação do fator de atrito. Basicamente, ele

depende da rugosidade (ε) e do diâmetro da tubulação (D), da velocidade média do

escoamento) e das propriedades do fluido (ρ e µ). Através da análise dimensional,

obtém-se que o fator de atrito é função de 2 adimensionais: a rugosidade relativa (k/D ou ε/D) e

o número de Reynolds.

O adimensional de Reynolds, ou Re é dado por:

O fator de atrito depende do regime de escoamento. Para escoamentos laminares, o fator de

atrito pode ser calculado por:

Para escoamentos turbulentos, a determinação do fator de atrito é mais complicada. A

expressão mais largamente utilizada é a de Colebrook:

No entanto, a expressão anterior é transcendental, ou seja, deve ser resolvida por um

procedimento iterativo. Miller sugere um valor inicial para o fator de atrito (f0), dado por:


66

Substituindo-se o resultado da equação de Miller na equação de Colebrook, pode-se determinar um valor para o fator de atrito com cerca de 1% de erro.

Os valores do fator de atrito, para escoamentos laminares e turbulentos, foram determinados

experimentalmente para uma série de valores de Re e de (k/D ou ε/D) e sumarizados em um

ábaco (Fig.38), denominado Ábaco de Moody.

Moody apresenta também uma tabela (Tab.3) para determinação da rugosidade absoluta (ε) em

tubos, para alguns materiais comuns de engenharia.


67

Figura 39 - Ábaco de Moody.


68

Figura 40 – Determinação da Rugosidade Relativa.


69

13.7.2.2. Perdas de carga localizadas:

Em um sistema real, muitas vezes o escoamento é obrigado a passar por uma série de

acessórios, conexões, curvas ou mudanças abruptas de seção e direção. Ao passar por estes

obstáculos, o escoamento perde energia e tem sua pressão diminuída. As perdas de carga

locais foram determinadas experimentalmente e modeladas segundo duas equações diferentes.

1o método: Método direto

k: é o coeficiente de perda local (característica do acessório – Fig. 41)

Figura 41 Valores aproximados de k.


70

2o método: Método dos comprimentos equivalentes

Consiste em transformar o acessório em trecho reto com o mesmo diâmetro e material.

Figura 42 – Comprimentos Equivalentes para Tubulações de Ferro fundido e Aço.

A entrada do escoamento em tubos pode causar uma perda de carga considerável, se for mal

projetada. Na Tab. 4, são apresentadas 3 geometrias básicas de entradas. Para saídas, o

coeficiente de perda local vale 1,0.


71

Tabela 4 – Coeficiente de Perda de Carga para Entrada de Tubos.

Toda energia cinética do fluido é dissipada pela mistura quando o escoamento descarrega de

um tubo em um grande reservatório ou câmara (saída submersa). Assim, para uma saída

submersa, o coeficiente de perda é igual a α, não importando a geometria.

Um escoamento pode ainda sofrer uma expansão ou contração abrupta. Para este caso, a Tab.

5 apresenta os coeficientes de perda de carga, em função da razão de área AR (razão entre a

menor e a maior área da contração ou expansão).

Tabela 5 – Coeficientes de Perda de Carga para Contração e Expansão.

Para uma expressão abrupta, o coeficiente de perda de carga pode ser modelado pela equação:


72

As perdas decorrentes da variação de área podem ser reduzidas pala instalação de um bocal ou

um difusor entre as duas seções de tubo reto. Um bocal é um dispositivo utilizado para a

redução gradual da seção do escoamento (Fig.43). A Tab. 6 apresenta os coeficientes de perda

de carga para bocais, para diferentes razões de área e para diferentes ângulos θ.

Figura 43 – Redução de Área – Bocal.

Tabela 6 – Coeficientes de Perda de Carga para Redução Suave da Seção

As perdas em difusores (expansão gradual da seção do escoamento) dependem de diversas

variáveis geométricas e do escoamento. Como um difusor provoca um aumento da pressão

estática do escoamento (redução da velocidade média), o coeficiente de perda é comumente

apresentado em termo de um coeficiente de recuperação de pressão, CP:

O coeficiente de perda é dado por

Definindo-se um coeficiente ideal de recuperação de pressão, CPi, como o coeficiente de

recuperação que existiria se os efeitos de atrito fossem desprezados.


73

A Fig. 44 apresenta os coeficientes de carga para difusores, em função do ângulo total do

difusor.

Figura 44 – Coeficiente de Perda de Carga para um Difusor.

Deve ser observado que as perdas de carga são obtidas ao se multiplicar o coeficiente de perda

por (U2/2g). No entanto, em uma redução ou aumento de seção, há duas velocidades diferentes;

a da maior e a da menor seção. Para estes casos, sempre deve ser usado o maior valor de

velocidade.

As perdas de carga em escoamentos através de válvulas e conexões também podem ser

escritas em termos de comprimentos equivalentes de tubos retos. Estes valores, para cada um

dos acessórios, são mostrados na Tab. 7.

Tabela 7 – Comprimento Equivalente Adimensional para Válvulas e Conexões.


74

Válvulas são dispositivos destinados a estabelecer, controlar e interromper a descarga de fluidos

em tubulações. Algumas garantem a segurança da instalação e outras permitem desmontagens

para reparos ou substituições de elementos da instalação. Existe uma grande variedade de tipos

de válvulas, cuja escolha depende da natureza da operação a realizar, das propriedades físicas

e químicas do fluido considerado, da pressão e da temperatura do escoamento e da forma de

acionamento pretendida.

As válvulas de gaveta (Fig.45) são válvulas mais empregadas para escoamento de líquidos.

Possuem custo relativamente reduzido e permitem a redução da vazão do escoamento através

do volante situado na parte superior do corpo da válvula. Quando o volante é girado, a válvula

desliza para baixo na seção.

Figura 45 – Válvula de gaveta.

As válvulas de esfera são válvulas de uso geral, de fechamento rápido, muito usadas para ar

comprimido, vácuo, vapor, gases e líquidos. O controle do fluxo é feito por meio de uma esfera,

possuindo uma passagem central e localizada no corpo da válvula. O comando é, em geral,

manual, com auxílio de uma alavanca. Estas válvulas não se aplicam, a casos em que se

pretende variar a vazão, mas apenas abrir ou fechar totalmente a passagem do fluido.


75

As válvulas globo (Fig. 46) possuem uma haste parcialmente rosqueada em cuja extremidade

existe um alargamento, tampão ou disco para controlar a passagem do fluido por orifício.

Servem para regular a vazão, pois podem trabalhar com tampão da vedação do orifício em

qualquer posição, embora acarretem grandes perdas de carga, mesmo com abertura máxima.

Figura 46 – Válvula Globo.

As válvulas de retenção (Fig.47) permitem o escoamento em um só sentido. Quando há a

tendência de inversão no sentido do escoamento, fecham automaticamente pela diferença de

pressão provocada.

Figura 47 – Válvula de Retenção.

Existe um número muito grande de dados experimentais para as perdas da carga localizadas.

Os valores apresentados constituem uma compilação dos dados da literatura, proposta por Fox

e McDonald (2001). Eles devem ser considerados como dados representativos para algumas

situações comumente encontradas. Para válvulas, o projeto irá variar significativamente,

dependendo do fabricante. Sempre que possível, os valores fornecidos pelos fabricantes

deverão ser utilizados para a obtenção de dados mais precisos. Além disso, como as perdas de

carga introduzidas por acessórios e válvulas irão variar consideravelmente, dependendo dos


76

cuidados tomados durante a fabricação da tubulação. Rebarbas do corte de trechos de tubos,

por exemplo, poderão causar obstruções locais, com aumento considerável das perdas.

13.8. Potência fornecida por uma bomba

Se for necessário transportar um fluido de um ponto a outro situado em uma posição mais

elevada, pode-se utilizar uma bomba. A bomba fornecerá ao fluido uma quantidade de energia

por unidade de peso do fluido Hman.

Figura 48 – Elevação de um Fluido com uma Bomba.

Hman: é a energia por unidade de peso do fluido fornecida pela bomba (altura manométrica). É a

energia fornecida a cada kgf de líquido para que partindo do reservatório inferior atinja o


77

reservatório superior, vencendo a diferença de pressão entre os reservatórios, a altura de

desnível geométrico e a perda de carga DIM[L].

No entanto, a energia disponível para a bomba é diferente da energia transferida pela bomba

para o fluido. Uma parte da energia é perdida por fugas de massa e por dissipação por atrito no

interior da bomba. A eficiência da bomba é definida então como sendo a razão entre a energia

disponível para o fluido e a energia disponível para a bomba, ou seja, a razão entre a potência

real da bomba e a sua potência ideal.

Exemplo:

Um conjunto elevatório esquematizado na figura abaixo trabalha nas seguintes

condições:

- Vazão = 100 l.s-1

- Material = Ferro fundido

- Rendimento total = 75%

- Diâmetro da tubulação de recalque = 200 mm

- Diâmetro da tubulação de sucção = 250 mm

Determinar:

a) Perda de carga na linha de sucção em (m).

b) Perda de carga na linha de recalque em (m).

c) Altura manométrica em (m).

d) Potência da bomba de acionamento em (cv).


78

Figura 49 – Conjunto elevatório referente ao exemplo acima

Resolução : Para calcularmos os itens acima, iremos dividir em dois blocos: Sucção e Recalque.


79

* Obtenção do fator de atrito:

Pelo fato do número de Reynolds ter sido maior que 4.000 o escoamento se caracteriza

turbulento.


80


81

14. Transferência de Calor

14.1. Introdução

Sempre que existir um gradiente de temperatura no interior de um sistema ou dois sistemas a

diferentes temperaturas colocadas em contato, haverá transferência de energia por calor.

A transferência de calor é o trânsito de energia provocado por uma diferença de temperatura, no

sentido da temperatura mais alta para a mais baixa.

Figura 50 - Transferência de calor.

Os processos de transferência de calor devem obedecer às leis da Termodinâmica:

1a Lei da Termodinâmica : A energia não pode ser criada ou destruída, mas apenas

transformada de uma forma para outra.

2a Lei da Termodinâmica : É impossível existir um processo cujo único resultado seja a

transferência de calor de uma região de baixa temperatura para outra de temperatura mais alta.

14.2. Modos de Transferência de Calor:

Os diferentes processos através dos quais o calor é transmitido são chamados modos. Os

modos de transferência de calor são: condução, convecção e radiação.

14.2.1. Condução:

Transferência de calor que ocorre em um meio estacionário, que pode ser um sólido ou um

fluido. É um processo pelo qual o calor flui de uma região de temperatura mais alta para outra de

temperatura mais baixa dentro de um meio (sólido, líquido ou gasoso) ou entre meios diferentes

em contato físico direto. A energia é transferida através de comunicação molecular direta, sem

apreciável deslocamento das moléculas.


82

Figura 51 – Associação da transferência de calor por condução à difusão da energia provocada pela atividade molecular.

14.2.2. Convecção:

Transferência de calor que ocorre entre uma superfície e um fluido em movimento, quando

estiverem em temperaturas diferentes. É um processo de transferência de energia através da

ação combinada de condução de calor, armazenamento de energia e movimentação da mistura.

É importante principalmente como mecanismo de transferência de energia entre uma superfície

sólida e um fluido.

Figura 52 – Processos de transferência convectiva de calor. (a) Convecção natural. (b) Convecção forçada.

14.2.3. Radiação :

Energia emitida na forma de ondas eletromagnéticas por uma superfície a uma temperatura

finita. É a energia emitida por toda matéria que se encontra a uma temperatura não nula. O calor

radiante é emitido por um corpo na forma de impulsos, ou quantas de energia.


83

Figura 53 – Troca radiativa entre uma superfície e as suas vizinhanças.

A radiação térmica é a energia eletromagnética propagada na velocidade da luz, emitida pelos

corpos em virtude de sua temperatura. Os átomos, moléculas ou elétrons são excitados e

retornam espontaneamente para os estados de menor energia. Neste processo, emitem energia

na forma de radiação eletromagnética. Uma vez que a emissão resulta de variações nos estados

eletrônicos, rotacional e vibracional dos átomos e moléculas, a radiação emitida é usualmente

distribuída sobre uma faixa de comprimentos de onda. Estas faixas e os comprimentos de onda

representando os limites aproximados são mostrados na Fig. 54.

Figura 54 – Troca radiativa entre uma superfície e as suas vizinhanças.

14.3. Leis Básicas da Transferência de Calor :

Equações de Taxa


84

Todos os processos de transferência de calor podem ser quantificados através da equação de

taxa apropriada. A equação pode ser usada para se calcular a quantidade de energia transferida

por unidade de tempo.

A taxa de energia é denotada por q, e tem unidade de (W – Watt) no sistema internacional.

Outra maneira de se quantificar a transferência de energia é através do fluxo de calor, q" , que é

a taxa de energia por unidade de área (perpendicular à direção da troca de calor). No sistema

internacional, a unidade do fluxo é (W/m2).

14.3.1. Condução

Equação de taxa: Lei de Fourier

A taxa de calor pode ser obtida multiplicando-se o fluxo de calor pela área perpendicular à

direção da transferência de calor,

qcond = −kA dT

dx

O sinal negativo aparece porque o calor está sendo transferido na direção da temperatura

decrescente. A lei de Fourier se aplica a todos os estados da matéria (sólidos, líquidos e gases),

desde que estejam em repouso.

Seja a transferência unidimensional de calor em uma parede plana (Figura 55).

Figura 55 – Transferência de Calor em uma Parede Plana.


85

Considere que, na parede mostrada na figura 55, a superfície em x = 0 se encontra a uma

temperatura T1 e a superfície em x = L se encontra a T2. A transferência de calor é, portanto,

unidimensional (direção x). Para regime permanente sem geração interna de calor, pode-se

considerar que a distribuição de temperaturas no interior da parede é linear. Assim, o gradiente

de temperatura pode ser dado por:

Exemplo:

1) Uma parede de concreto, área superficial de 20 m2 e espessura de 0.30 m, separa uma sala

de ar condicionado do ar ambiente. A temperatura da superfície interna da parede é mantida a

25ºC, e a condutividade térmica do concreto é 1W/m.K. Determine a perda de calor através da

parede para as temperaturas ambientes internas de – 15 ºC e 38 ºC que correspondem aos

extremos atingidos no inverno e no verão.


86

14.3.2. Convecção

Equação de taxa: Lei de Resfriamento de Newton

Figura 56 – Transferência Convectiva de Calor.


87

Exemplo:

1) Um circuito integrado (chip) quadrado com lado w = 5 mm opera em condições isotérmicas. O

chip está alojado no interior de um substrato de modo que suas superfícies laterais e inferior

estão bem isoladas termicamente, enquanto sua superfície superior encontra-se exposta ao

escoamento de uma substância refrigerante a T∞ = 15ºC.

A partir de testes de controle de qualidade, sabe-se que a temperatura do chip não deve

exceder a T= 85ºC. Se a substância refrigerante é o ar, com coeficiente de transferência de calor

por convecção correspondente de h= 200 W/m2.K. Determine a potência máxima que pode ser

dissipada pelo chip.


88

14.3.3. Radiação

Lei de Stefan-Boltzmann

A radiação com comprimento de onda de aproximadamente 0,2 µm a 1000 µm é chamada

radiação térmica e é emitida por todas as substâncias em virtude de sua temperatura.

O fluxo máximo que pode ser emitido por uma superfície é:

q“rad =σTs4

onde: q”rad: Energia emitida por unidade de área da superfície (W/m2)

Ts: Temperatura absoluta da superfície (K)

σ: Constante de Stefan-Boltzmann (5,67x10-8W/m2K4)

Uma superfície capaz de emitir esta quantidade de energia é chamada um radiador ideal ou um

corpo negro. Um corpo negro pode ser definido também como um perfeito absorvedor de

radiação. Toda a radiação incidente sobre um corpo negro (independentemente do comprimento

de onda ou da direção) será absorvida. Embora um corpo negro não exista na natureza, alguns

materiais se aproximam de um corpo negro. Por exemplo, uma camada fina de carbono preto

pode absorver aproximadamente 99% da radiação térmica incidente.

A quantidade de energia liberada de uma superfície como calor radiante depende da

temperatura absoluta e da natureza da superfície. Uma superfície capaz de emitir esta

quantidade de energia é chamada um irradiador perfeito ou “corpo negro”.

O fluxo de calor emitido por uma superfície real é menor do que aquele emitido por um corpo

negro à mesma temperatura e é dado por:

q"rad = εσTs4


89

onde: ε é a emissividade da superfície. Esta propriedade indica a eficiência de emissão da

superfície em relação a um corpo negro (0 ≤ε ≤1). A Tabela A.5 (Apêndice A) apresenta a

emissividade de alguns materiais comuns, a 300 K.

Outra propriedade radiativa importante é a absortividade α, que indica a eficiência de absorção

da superfície.

A taxa líquida na qual a radiação é trocada entre duas superfícies é bastante complicada,

dependendo das propriedades radiativas das superfícies e de seu formato. Um caso especial

que ocorre com freqüência envolve a troca líquida de radiação entre uma pequena superfície a

uma temperatura Tsup e uma superfície isotérmica bem maior que a primeira, que a envolve

completamente (Figura 57).

Figura 57 – Troca Radiativa Líquida entre duas Superfícies.


90

Deve ser ressaltado que o resultado independe das propriedades da superfície maior, já que

nenhuma parcela da radiação emitida pela superfície menor seria refletida de volta para ela.

As superfícies mostradas na Fig. 57 podem também, simultaneamente, trocar calor por

convecção com um fluido adjacente. A taxa total de transferência de calor é dada, portanto, pela

soma da taxa de calor por radiação com a taxa de calor por convecção.

q = qrad + qconv

Exemplo:

1) Uma superfície com área de 0,5 m2, emissividade igual a 0,8 e temperatura de 150ºC é

colocada no interior de uma grande câmara de vácuo cujas paredes são mantidas a 25ºC.

Determine a taxa de emissão de radiação pela superfície?

� Resolução: Para calcular a taxa de emissão de radiação devemos utilizar a fórmula referente

à radiação para uma superfície:

A Tab. 9 apresenta um resumo das equações de taxa dos diferentes modos de transferência de

calor.


91

15. Condução

15.1. Introdução à Condução

A Lei de Fourier é uma lei fenomenológica, ou seja, desenvolvida a partir de fenômenos

observados, e não deduzida a partir de princípios fundamentais.


92

15.2. Propriedades térmicas da matéria:

A condutividade térmica (K) apresenta a capacidade de um corpo de transferir calor. Ela

depende da estrutura física da matéria, a níveis atômico e molecular. Conforme mostrado na

figura 58, em geral, a condutividade térmica de um sólido é maior que a de um líquido que, por

sua vez, é maior que a de um gás. No sistema internacional, a unidade de k é (W/m.K).

Para uma taxa de calor fixa, um aumento na condutividade térmica representa uma redução do

gradiente de temperatura ao longo da direção da transferência de calor. Esta tendência se deve,

em grande parte, às diferenças de espaçamento intermolecular nos estados da matéria. A

Figura 58 apresenta valores da condutividade térmica para alguns materiais, a 300 K.

Figura 58 – Faixas de Condutividade térmica para vários estados da matéria.


93

O produto ρcp, comumente chamado de capacidade calorífica, mede a capacidade de um

material de armazenar energia térmica. Uma vez que substâncias que possuem densidade

elevada são tipicamente caracterizados por reduzidos calores específicos, muitos sólidos e

líquidos, que são considerados meios bons para o armazenamento de energia possuem

capacidades caloríficas de magnitude apreciável. Ao contrário, devido às suas baixas

densidades, os gases são muito pouco adequados para o armazenamento de energia térmica.

No sistema internacional, a unidade de ρcp é (J/m3.K).

A difusividade térmica (α) é definida como sendo a razão entre a condutividade térmica e a

capacidade calorífica:

onde k é a condutividade térmica e ρcp é a capacidade calorífica.

Ela mede a capacidade do material de conduzir a energia térmica em relação à sua capacidade

de armazená-la. Materiais com valores elevados de α responderão rapidamente a mudanças

nas condições térmicas a eles impostas, enquanto materiais com valores reduzidos de α

responderão mais lentamente, levando mais tempo para atingir uma nova condição de equilíbrio.

No sistema internacional, a unidade de α é (m2/s).

Em geral, os sólidos metálicos têm maiores difusividades térmicas, enquanto os sólidos não

metálicos apresentam menores valores desta propriedade.

15.3. Conservação de energia em um volume de contro le

Em qualquer instante, de tempo (t) e intervalo de tempo ( t), deve haver um equilíbrio entre

todas as taxas de energia.

- Num instante (t): a taxa com que as energias térmica e a energia mecânica entram num

volume de controle, mais a taxa com que a energia térmica é gerada no interior do volume de

controle, menos a taxa com que as energias térmica e a energia mecânica deixam o volume de

controle, devem ser iguais à taxa de aumento da energia armazenada no interior do volume de

controle.


94

- Num intervalo de tempo(∆t): a quantidade de energia térmica e a energia mecânica que entra

num volume de controle, mais a quantidade de energia térmica gerada no interior do volume de

controle, menos a quantidade de energia térmica e a energia mecânica que deixa o volume de

controle, devem ser iguais ao aumento na quantidade de energia armazenada no interior do

volume de controle.

a equação acima pode ser utilizada em qualquer instante de tempo. A forma alternativa, que se

aplica a um intervalo de tempo (∆t), é obtida pela integração da equação ao longo do tempo:

Em palavras essa relação diz que as quantidades de energia que entram e que são geradas

atuam em favor do crescimento da quantidade de energia acumulada no interior do volume de

controle, enquanto a energia que sai atua diminuindo a quantidade de energia armazenada.

Os termos relativos à entrada e saída de energia são fenômenos de superfície. Ou seja, eles

estão associados exclusivamente aos processos que ocorrem na superfície de controle e são

proporcionais a sua área. Uma situação comum envolve a entrada e a saída de energia por meio

da transferência de calor por condução, convecção e ou radiação. Em situações que envolvem o

escoamento de um fluido através da superfície de controle, os termos também incluem a energia

transportada pela matéria que entra e sai do volume de controle. Essa energia pode

compreender as formas interna, cinética e potencial. Os termos de entrada e saída podem

também incluir as interações referentes ao trabalho que ocorre nas fronteiras do sistema.

O termo da geração de energia está associado à conversão de uma outra forma de energia

qualquer (química, elétrica, eletromagnética, ou nuclear) em energia térmica.

Esse é um fenômeno volumétrico. Ou seja, ele ocorre no interior do volume de controle e é

proporcional a magnitude do seu volume. Por exemplo, uma reação química exotérmica pode

estar acontecendo, convertendo energia química em térmica. Nesse caso, o efeito a ser

computado é um aumento na energia térmica da matéria no interior do volume de controle.

Outra fonte de energia térmica é a conversão de energia elétrica que ocorre devido ao

aquecimento resistivo quando se passa uma corrente elétrica através de um material condutor.

Isto é, se uma corrente elétrica I passa através de uma resistência R no interior do volume de

controle, energia elétrica é dissipada a uma taxa igual a I².R, que corresponde à taxa na qual a

energia térmica é gerada (liberada) no interior do volume de controle. Embora esse processo


95

possa ser alternativamente tratado como se houvesse a realização de trabalho elétrico no

sistema (entrada de energia), o efeito líquido continua sendo a criação de energia térmica.

O armazenamento ou acúmulo de energia também é um fenômeno volumétrico, e variações no

interior do volume de controle podem ser devido a mudanças nas energias internas, cinética e

ou potencial do seu conteúdo. Portanto, para um intervalo de tempo ∆t, o termo relativo ao

armazenamento de energia, ∆ Eac, pode ser igualado a soma ∆U + ∆KE + ∆PE. A variação na

energia interna, ∆U, consiste em um componente sensível ou térmico, que leva em

consideração os movimentos de translação, rotação e ou vibração dos átomos/moléculas que

compõem a matéria; um componente latente, que está relacionado às forças intermoleculares

que influenciam as mudanças de fase entre os estados sólido, líquido e gasoso; um componente

químico, que compreende a energia armazenada nas ligações químicas entre os átomos; e um

componente nuclear, que representa as forças de coesão existentes nos núcleos dos átomos.

Exemplo:

1) Um equipamento eletrônico possui um dissipador de potência agregado à sua estrutura. Tal

dissipador está em um ambiente cuja temperatura do ar, à qual passa por suas aletas, é de T∞

=27ºC e sua área é de 0,045m2. Qual o coeficiente convectivo de calor do ar (h), cuja

temperatura da vizinhança e da superfície são, respectivamente, Tviz.= 27ºC e Tsup= 42ºC e a

emissividade è de 0,8. A potência dissipada pelo equipamento é de 20 W.

� Resolução: Para calcular o coeficiente convectivo do ar devemos utilizar a equação que rege

a lei de conservação de energia em um volume de controle:

Eaf + Eg − Eef = ∆Eac


96

Como o equipamento não gera energia e o termo referente ao armazenamento de energia não

varia com o tempo, temos:


97


98


99


100

15.4.4. Condições de Contorno e Condição Inicial

A solução das equações que governam problema depende ainda das condições físicas que

existem nas fronteiras do meio (condições de contorno) e, quando a situação for dependente do

tempo, também das condições que existem em um certo instante inicial (condição inicial). Como

a equação da condução de calor é uma equação de Segunda ordem nas coordenadas

espaciais, são necessárias 2 condições de contorno para cada coordenada espacial que

descreve o sistema. Como a equação é de primeira ordem no tempo, basta apenas uma

condição inicial. As figuras a seguir mostram as 3 espécies de condições de contorno

comumente encontradas na transferência de calor. Elas ilustram a situação para um sistema

unidimensional, especificando a condição de contorno na superfície x = 0, com a transferência

de calor ocorrendo na direção dos x positivos.


101

Exemplo:

1) Uma longa barra de cobre com seção reta retangular, cuja largura W é muito maior que sua

espessura L, encontra-se com a sua superfície inferior em contato com um sorvedouro de calor

de tal modo que a temperatura ao longo de toda a barra é aproximadamente igual à do

sorvedouro, Td = 30ºC. De repente uma corrente elétrica é passada através da barra, e uma

corrente de ar, com temperatura T = 15ºC e coeficiente convectivo h = 10 W/m2.K, é soprada por

sobre a sua superfície superior. A superfície inferior continua mantida a Td. Obtenha a equação

diferencial e as condições inicial e de contorno que poderiam ser usadas para determinar a

temperatura da barra em função da posição e do tempo.

��Resolução: Para obtermos a equação e as condições de contorno e inicial devemos

primeiramente fazer algumas considerações:


102

* Uma vez que W>>L, os efeitos causados pelas superfícies laterais são desprezíveis, e a

transferência de calor no interior de barra é basicamente unidimensional na direção do eixo do x.

* Taxa volumétrica de geração de calor uniforme, q..

* Propriedades físicas constantes.

A distribuição de temperatura é governada pela equação de calor:

Para as considerações do problema de transferência de calor unidimensional com propriedades

físicas constantes, a equação se reduz a:

A condição de contorno para a superfície inferior sendo esta mantida em um valor constante em

relação ao tempo, temos:


103

15.5 Condução Unidimensional em Regime Permanente

15.5.1. Parede Simples

Seja uma parede plana separando dois fluidos em temperaturas diferentes (Figura 62).

Considere a condução unidimensional de calor através da parede, em regime permanente, sem

geração interna. A temperatura é função somente de uma coordenada espacial (no caso x) e o

calor é transferido unicamente nesta direção. A transferência de calor ocorre por convecção do

fluido quente a T∞1 para a superfície da parede a Ts1 em x = 0, por condução através da parede

e por convecção da superfície da parede em x = L a Ts2 para o fluido frio a T∞2 .

Figura 62 – Transferência de Calor através de uma Parede Plana .

A determinação da distribuição de temperaturas no interior da parede é feita através da solução

da equação de calor. Em coordenadas cartesianas, esta equação é dada por:

Equação da Condução de Calor em Coordenadas Cartesianas:


104

Percebe-se, portanto, que, no interior da parede, a taxa e o fluxo de calor são constantes.

15.5.2. Resistência Térmica

Da mesma maneira que uma resistência elétrica se opõe à passagem de corrente em um

circuito, uma resistência térmica se opõe à passagem de calor. Definindo-se a resistência como

sendo a razão entre o potencial motriz e a correspondente taxa de transferência, conclui-se que

a resistência térmica assume a forma:

Assim, para a condução unidimensional através de uma parede plana :


105

Deve-se ressaltar que as resistências térmicas à convecção e à radiação assumem a mesma

forma para qualquer sistema de coordenadas, variando-se apenas a expressão utilizada para a

área. No entanto, a resistência à condução assume diferentes expressões para os diferentes

sistemas de coordenadas.

No exemplo da parede plana, toda a energia transferida do fluido quente para a superfície é

conduzida através da parede e, por sua vez, para o fluido frio, ou seja, a taxa de calor é

constante.

Pode-se fazer um balanço de energia entre os fluidos quente e frio,

Pode-se então fazer um circuito térmico, análogo a um circuito elétrico, com a forma


106

Figura 63 – Circuito Térmico.

Pode-se, da mesma forma, fazer um circuito térmico equivalente, em função da diferença global

de temperatura, definindo-se a resistência térmica total Rtot.

Exemplo: 1) Uma casa possui uma parede composta com camadas de madeira, isolamento à

base de fibra de vidro e gesso, conforme indicado no desenho. Em um dia frio de inverno, os

coeficientes de transferência de calor por convecção são de he=60 W/m2.K e hi=30 W/m2.K. A

área total da superfície da parede é de 350 m2.


107

a) Para as condições dadas, determine uma expressão para a resistência térmica total da

parede, incluindo os efeitos da convecção térmica nas superfícies interna e externa da parede.

b) Determine a perda total de calor através da parede.

� Resolução:

a) Para calcular a expressão para a resistência térmica total da parede devemos utilizar a

seguinte fórmula que rege a resistência térmica, levando em consideração as camadas da

parede.

b) Para determinar a perda total de calor através da parede devemos utilizar uma fórmula que

relaciona a temperatura das extremidades com a resistência térmica total.

Calculando a resistência total temos:


108

Determinando agora a perda total de calor através da parede:

15.5.3. Parede Composta

Seja a condução de calor unidimensional, em regime permanente, através de uma parede

composta, constituída por materiais de espessuras e condutividades térmicas diferentes (Figura

64).

Figura 64 – Transferência de Calor através de uma Parede Plana.


109

No exemplo anterior, desprezaram-se as trocas de calor por radiação entre as superfícies da

parede e os fluidos. Ao se considerar estas trocas, o fluxo total de calor entre a superfície e o

fluido seria dado como a soma dos fluxos de convecção e radiação. A resistência térmica à

radiação seria inserida no circuito térmico associada em paralelo à resistência à convecção, já o

potencial (∆T) entre a superfície e o fluido seria o mesmo.

O circuito térmico para a parede constituída por apenas um material é:

Figura 65 – Circuito térmico equivalente.

Muitas vezes, é mais conveniente trabalhar com um coeficiente global de transferência de calor

U.

Exemplo:

1) A parede composta de um forno possui três materiais, dois dos quais com condutividade

térmica conhecida, kA= 20 W/m.K e kC= 50 W/m.K, e também espessura de LA= 0,30m e LC=

0,15m. O terceiro material B que se encontra entre os materiais A e C, possui espessura LB=

0,15m, mas sua condutividade térmica é desconhecida.


110

Em condições de regime estacionário, medidas revelam uma temperatura na superfície externa

do forno de Tsup,e= 20ºC, uma temperatura na superfície interna de Tsup,i= 600ºC e uma

temperatura do ar no interior de forno de T∞= 800ºC. O coeficiente de transferência de calor por

convecção no interior do forno é igual a 25 W/m2.K. Qual é o valor de kB?

� Resolução: Para calcular o valor de kB, devemos primeiro calcular o valor da resistência total

do circuito térmico:

15.5.4. Parede Composta: Série-Paralelo

Seja a parede composta apresentada na Figura 66.


111

Figura 66 – Parede Composta.

Figura 67 – Circuitos Térmicos Equivalentes numa Parede Composta.

Se for adotada a hipótese de transferência unidimensional de calor, pode-se representar o

circuito térmico de uma das maneiras mostradas na Figura 67. No caso (a), supõe-se que as

superfícies normais à direção x são isotérmicas e, no caso (b), que as superfícies paralelas a x

são adiabáticas. As taxas de calor são diferentes em cada caso, representando um intervalo

dentro do qual está a taxa real de transferência de calor.

15.5.5. Resistência de contato

É importante reconhecer que, em sistemas compostos, a queda de temperatura nas interfaces

entre os vários materiais pode ser considerável. Essa mudança de temperatura é atribuída ao

que é conhecido como resistência térmica de contato, Rt,c.

Seu efeito é mostrado na figura abaixo. Para uma área de superfície unitária, a resistência

térmica de contato é definida pela expressão:


112

Figura 68 - Queda de temperatura devido à resistência térmica de contato

A existência da resistência de contato se deve principalmente aos efeitos da rugosidade da

superfície. Pontos de contato se entremeiam com falhas que são, na maioria dos casos,

preenchidas com ar. A transferência de calor é, portanto, devida à condução de calor através da

área de contato real e à condução e/ou radiação através das falhas. A resistência de contato

pode ser vista como duas resistências térmicas em paralelo: aquela que se deve aos pontos de

contato e aquela que está vinculada às falhas.

Tipicamente, a área de contato é pequena e, sobretudo no caso de superfícies rugosas, a

principal contribuição para a resistência térmica de contato é fornecida pelas falhas.

Para sólidos cujas condutividades térmicas são superiores à do fluido presente nas falhas (fluido

interfacial), a resistência de contato pode ser reduzida pelo aumento da área dos pontos de

contato. Tal aumento pode ser obtido por um acréscimo na pressão de contato ou na junção

e/ou pela redução da rugosidade das superfícies de contato. A resistência de contato também

pode ser reduzida pela seleção de um fluido com elevada condutividade térmica para preencher

as falhas. Nesse sentido, a ausência de um fluido nas falhas (vácuo na interface) elimina a

condução de calor através da falha, contribuindo para a elevação da resistência de contato.

O efeito de carga ou pressão em interfaces metálicas pode ser visto na tabela 10, que apresenta

uma faixa aproximada de resistências térmicas em condições de vácuo. O efeito da presença de

um fluido nas falhas na resistência térmica de contato em uma interface de alumínio é mostrado

na tabela 11.

A contrário da tabela 10, muitas aplicações envolvem o contato entre sólidos diferentes, e/ou

uma ampla variedade de materiais intersticiais (enchimentos) tabela 11.


113

Qualquer substância intersticial que preencha as falhas entre as superfícies em contato e cuja

condutividade térmica exceda a do ar irá causar uma redução na resistência de contato. Duas

classes de materiais são bastante adequadas para este propósito são os metais macios e as

graxas térmicas.

De forma distinta das interfaces anteriores, que não são permanentes, muitas juntas são

aderidas definitivamente. Devido às resistências interfaciais entre o material da superfície

original e o da junta de ligação, a resistência térmica real do contato excede o valor teórico,

calculado a partir da espessura L e da condutividade térmica k do material da junta. A

resistência térmica dessas juntas permanentes também é afetada de maneira adversa por

vazios e rachaduras que podem se formar durante a fabricação da peça ou como resultado de

ciclos térmicos que ocorram durante a sua operação normal.


114

Tabela 12 – Resistência Térmica de interfaces sólido/sólido representativas


Cilindro

Com freqüência, em sistemas cilíndricos e esféricos há gradientes de temperatura somente na

direção radial, o que possibilita analisá-los como sistemas unidimensionais.

Seja um cilindro oco cuja superfície interna se encontra exposta a um fluido quente e a

superfície externa, a um fluido frio (Figura 69). Considere a transferência de calor

unidimensional, em regime permanente, sem geração interna no interior do cilindro.

Figura 69 – Transferência de Calor através de um Cilindro Oco

15.6.1. Distribuição de Temperatura

Equação da Condução de Calor em Coordenadas Cilíndricas


115

Hipóteses:


116

Onde: A=2πrL é a área normal à direção da transferência de calor.

A taxa de calor, portanto, é constante para qualquer posição radial (não depende do raio r), o

que não acontece com o fluxo de calor, que é função de r.

A taxa de calor é, portanto, constante no interior da parede do cilindro.

A resistência térmica à condução para sistemas radiais é dada por:

Exemplo:

1) Uma barra cilíndrica, de diâmetro 12 mm, possui um revestimento isolante de espessura 20

mm. A temperatura no interior e na superfície do cilindro são respectivamente 800 K e 490 K.

Determinar a perda de calor por unidade de comprimento do cilindro, sendo que o isolante

térmico é silicato de cálcio (k= 0,089 W/m.K).


117

�� Resolução : Para determinar a perda de calor por unidade de comprimento do cilindro devemos utilizar a fórmula que rege a taxa de transferência de calor:

15.6.2. Parede Cilíndrica Composta

Considere a condução unidimensional de calor, em regime permanente, sem geração interna,

através de uma parede cilíndrica composta, como mostrado na Figura 70.

Figura 70 – Transferência de Calor Através de uma Parede Cilíndrica Composta.

A taxa de calor é constante através do cilindro. Assim,


118

Utilizando-se a definição do coeficiente global de transferência de calor,

qr =Ui Ai (T∞1 −T∞4 ) =UA∆T =UA(T∞1 −T∞4 )

U = coeficiente global de transferência de calor (W/m2.K) ∆T= diferença global de temperatura

(K)

A = área de troca de calor (m2)

Se U for definido em termos da área da superfície interna do cilindro A1 = 2πr1L, tem-se que:

Exemplo:

1) Vapor escoando em um tubo longo, com paredes delgadas, mantém a sua parede a uma

temperatura de 500 K. O tubo é coberto por uma manta de isolamento térmico composta por

dois materiais diferentes, A e B. Suponha existir entre os materiais uma resistência térmica de

contato infinito. A superfície externa está exposta ao ar onde T∞ = 3000 K e h = 25 W/m.K. Qual

é a temperatura na superfície externa TsupB?

Figura 71 – Ilustração do exemplo acima, tubo com paredes delgadas.


119

�� Resolução : Para calcularmos a temperatura na superfície externa TsupB, devemos utilizar a

seguinte fórmula referente à taxa de calor:


120

15.6.3. Espessura Crítica de Isolamento

Para se aumentar ou diminuir a taxa de calor retirada do cilindro sem alterar as condições do

escoamento externo, pode-se colocar uma camada de um segundo material sobre o cilindro,

com condutividade térmica diferente do material do cilindro.

Figura 72 – Parede Cilíndrica Composta.

A taxa de transferência de calor da superfície interna para o fluido frio irá depender da

espessura de material colocado, ou seja, do raio externo do “novo” cilindro. Como a resistência à

condução aumenta com o raio e a resistência à convecção apresenta comportamento inverso,

deve existir uma espessura capaz de minimizar a resistência térmica equivalente, maximizando

a perda térmica (Fig. 72).

A possibilidade de existência de uma espessura de isolamento ótima para sistemas radiais é

sugerida pela presença de efeitos contrários associados a um aumento nessa espessura, pois

embora a resistência condutiva aumente com a adição de isolante, a resistência convectiva

diminui devido ao aumento da área superficial externa. Para esta espessura a perda de calor

seria mínima, e a resistência total à transferência de calor seria máxima. Na realidade, uma

espessura de isolamento ótima não existe, mas sim, um raio crítico de isolamento, onde o fluxo

de calor é máximo (minimiza a perda térmica graças a maximização da resistência total à

transferência de calor).

Seja um cilindro oco, com a superfície interna exposta a um fluido quente e a superfície externa,

a um fluido frio (Figura 72). A taxa de transferência de calor do fluido quente para o fluido frio irá

depender da espessura de isolamento, ou seja, do raio externo do cilindro. Como a resistência à

condução aumenta com o raio e a resistência à convecção apresenta comportamento inverso,

deve existir uma espessura capaz de maximizar a perda de calor através da parede do cilindro.


121

A taxa de calor é dada por:

Uma espessura ótima para o isolamento térmico está associada ao valor de r que minimiza o

valor de q’ ou que maximiza o valor de R’tot. Tal valor pode ser obtido a partir da exigência de

que:

Esta condição é satisfeita quando:


122

rc = Raio crítico de isolamento. Para valores de r menores que rc a taxa de transferência de calor

aumenta com o aumento da espessura de isolamento; para valores de r maiores que rc a taxa de

transferência de calor diminui com o aumento da espessura de isolamento.

→ O efeito do raio crítico é revelado pelo fato de que, mesmo para uma camada de isolamento

térmico com pouca espessura, a resistência total ainda não é tão grande quanto o valor para o

tubo sem qualquer isolamento.

→ Se r < rcr , a resistência térmica total decresce e, portanto, a taxa de transferência de calor

aumenta com a adição de isolamento.Essa tendência permanece até que o raio externo da

camada de isolamento atinja o raio crítico. De forma contrária, se r > rcr, qualquer adição de

isolamento aumenta a resistência térmica total e, portanto, diminue a perda de calor.

→ Para sistemas radiais, o problema de reduzir a resistência térmica total através da aplicação

de uma camada de isolamento térmico existe somente para o caso de tubos ou fios de pequeno

diâmetro e para coeficientes de transferência de calor por convecção pequenos, onde

usualmente r > rcr.

→ A existência de um raio crítico exige que a área de transferência de calor varie na direção da

transferência, como é o caso da condução radial em um cilindro (ou em uma esfera). Em uma

parede plana, a área normal à direção da transferência de calor é constante , não havendo uma

espessura crítica para o isolamento térmico (a resistência total sempre aumenta com o aumento

da espessura da camada de isolamento).

Como a derivada segunda de qr em relação a r2 é negativa, qr tem o seu valor máximo em r = rc.

O comportamento da resistência total é inverso, como mostrado na Fig. 73.


123

Figura 73 – Comportamento das Resistências Térmicas com r2.

Exemplo:

1) Um tubo delgado de cobre, com raio ri, é usado para transportar uma substância refrigerante

que está a uma temperatura Ti, menor do que a temperatura do ambiente T∞ ao redor do tubo.

Existe uma espessura ótima associada à aplicação de uma camada de isolamento térmico sobre

o tubo com h= 5 W/m2.K e k= 0,055 W/m.K?

� Resolução: A resistência à transferência de calor entre o fluido refrigerante e o ar é

denominada pela condução de calor através da camada de isolamento térmico e pela convecção

no ar. Sendo que, a resistência térmica total por unidade de comprimento do tubo è:

E a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento do tubo será:

Uma espessura ótima para o isolamento térmico está associada ao valor de r que minimiza o

valor de q’ ou maximiza o valor de R’tot. Tal valor pode ser obtido a partir de:


124

Uma vez que o resultado da resistência térmica total é sempre positivo, , é o

raio de isolamento para o qual a resistência térmica é mínima, e não um máximo.

Logo uma espessura ótima para a camada de isolamento térmico não existe. Porém faz sentido

pensar em raio crítico de isolamento.

Abaixo do qual q’ aumenta com o aumento de r acima do qual q’ diminue com o aumento de r.

Calculando em termos de raio crítico:


Esfera

Seja uma esfera oca cuja superfície interna se encontra a uma temperatura Ts1 e a superfície

externa a Ts2 (Figura 74), com Ts1>Ts2. Considere a transferência de calor unidimensional, em

regime permanente, sem geração interna no interior da esfera.

Figura 74 – Transferência de Calor através de uma Casca Esférica.


125

Partindo-se da equação da condução do calor em coordenadas esféricas, pode-se obter o perfil de temperaturas no interior da esfera. A partir daí, obtém-se a taxa de calor, dada por:

15.8. Condução com Geração de Energia Térmica

Iremos analisar agora o efeito adicional que processos, que podem ocorrer no interior do meio,

têm sobre a distribuição de temperatura nesse meio. É importante ter atenção para não

confundir geração de energia com armazenamento de energia.

15.8.1. Condução com Geração de Energia Térmica – P arede Plana

Seja a parede plana da Fig.75, onde existe geração uniforme de energia térmica por unidade de

volume (q’ é constante) e as superfícies são mantidas em Tsup,1 e Tsup,2. Para uma condutividade

térmica constante k, a forma apropriada da equação do calor:

O fluxo de calor em qualquer ponto da parede pode ser determinado pela equação acima. Note,

contudo, que com a geração interna de calor o fluxo de calor não é mais independente de x.


126

Figura 75 – Condução em uma parede plana com geração uniforme de calor.(a) Condições de contorno assimétricas.(b) Condições de contorno assimétricas.(c)

Superfície adiabática no plano intermediário.

O resultado anterior é simplificado quando as duas superfícies são mantidas a uma mesma

temperatura, Tsup,1= Tsup,2= Tsup,. A temperatura máxima, neste caso, encontra-se no plano

intermediário:


127

h = 1000W/m2.K . Determine a temperatura To da superfície isolada e a temperatura T2 da superfície resfriada.

� Resolução: A temperatura na superfície externa T2 pode ser obtida através de um balanço de

energia em um volume de controle ao redor da camada do material. Sendo assim obteremos T2:

Para determinar a temperatura na superfície isolada termicamente temos:


128

15.8.2 Condução com Geração de Energia Térmica – Si stemas Radiais

A geração de calor pode ocorrer em uma variedade de geometrias radiais. Considere um cilindro

sólido, longo, que poderia representar um fio condutor de corrente elétrica. Em condições de

regime estacionário, a taxa na qual o calor é gerado no interior do cilindro deve ser igual à taxa

de calor transferido por convecção da superfície do cilindro para o fluido em movimento. Essa

condição permite que a temperatura da superfície seja mantida a um valor fixo Ts.

Sendo assim temos a distribuição de temperatura como:

Para relacionar a temperatura da superfície Ts, com a temperatura do fluido, T∞, tanto o balanço

de energia na superfície quanto o balanço de energia total podem ser utilizados.

Exemplo:

1) Em um bastão cilíndrico e longo, com 200 mm de diâmetro e condutividade térmica de 0,5

W/m.K, há a geração de volumétrica uniforme de calor a uma taxa de 24000 W/m3. O bastão

está encapsulado por uma camada cilíndrica com diâmetro externo igual a 400 mm, de um

material com condutividade térmica de 4 W/m.K. A superfície externa desta camada está

exposta a um escoamento perpendicular de ar a 27ºC com um coeficiente de convecção de 25

W/m2.K. Determine a temperatura na interface entre o bastão e a camada cilíndrica, e na

superfície externa em contato com o ar.

� Resolução: Para determinar a temperatura da superfície externa em contato com o ar

devemos utilizar um balanço global de energia. Sendo assim obteremos:


129

Para determinar agora a temperatura na interface entre o bastão e a camada cilíndrica devemos

utilizar a fórmula que rege a distribuição de temperatura em relação ao raio:

16. Transferência de Calor em Superfícies Expandida s – Aletas

16.1. Introdução

Aleta é um elemento sólido que transfere energia por condução dentro de suas fronteiras e por

convecção (e/ou radiação) entre suas fronteiras e o ambiente. As aletas são utilizadas para

aumentar a taxa de transferência de calor entre um corpo sólido e um fluido adjacente.

Figura 76 – Transferência de Calor em uma superfície expandida.

O aumento da taxa de transferência de calor de uma superfície a temperatura constante para

um fluido externo (Fig. 77) pode ser feito através do aumento do coeficiente de convecção h ou

através da redução da temperatura do fluido T∞.


130

Figura 77 – Superfície da qual se quer Aumentar a Taxa de Transferência de Calor.

Quando não é possível aumentar a taxa de calor por um destes modos, aumenta-se a área de

troca de calor, através da utilização de aletas (Figura 78), que são elementos sólidos que

transferem energia por condução dentro de suas fronteiras e por convecção (e/ou radiação)

entre suas fronteiras e o ambiente. Elas são utilizadas para aumentar a taxa de transferência de

calor entre um corpo sólido e um fluido adjacente.

Figura 78 – Colocação de Aletas para Aumentar a Taxa de Transferência de Calor.

Esquemas Típicos de Trocadores de Calor com Tubos Aletados


131

Figura 79 –Trocadores de Calor com tubos aletados.

16.2. Tipos de Aletas

A Figura 80 ilustra diferentes configurações de aletas.

Figura 80 – Configurações de Aletas.


132

16.3. Balanço de Energia para uma Aleta

Hipóteses:

• Condução unidimensional de calor

• Regime permanente

• Condutividade térmica da aleta constante

• Radiação térmica desprezível

• Sem geração de calor

• Coeficiente de convecção uniforme

Através de um balanço de energia, pode-se obter a equação da condução de calor.

Considerando-se um elemento infinitesimal de uma aleta de seção reta variável (Fig.81),

Figura 81 – Balanço de Energia em uma Superfície Expandida.

Neste caso, vale:


133

Forma geral da equação da energia, em condições unidimensionais, em uma superfície

expandida.

16.4. Aletas com área da seção transversal constant e

Quando a área da seção transversal da aleta é uniforme (Fig. 82), a equação anterior pode ser

simplificada.


134

Cada aleta está ligada na base a uma superfície T (0) = Tb e imersa num fluido na temperatura

T∞.

Figura 82 – Aletas com Área da Seção Transversal Constante.


135

Para resolver esta equação, falta definir as condições de contorno apropriadas. Uma destas

condições pode ser especificada em termos da temperatura na base da aleta (x = 0)

Temperatura constante na base da aleta

T(x = 0) = Tb

θ (x = 0) = Tb − T∞ =θb

A segunda condição de contorno deve ser definida na ponta da aleta (x = L). Podem ser

especificadas quatro condições diferentes, cada uma correspondendo uma situação física e

levando a uma solução diferente.


136

Exemplo:

1) Uma barra cilíndrica de diâmetro 25mm e comprimento 0,25m, tem uma extremidade mantida

a 100ºC. A superfície da base está exposta ao ar ambiente a 25ºC, com um coeficiente

convectivo de 10 W/m2.K. Se a barra é construída em aço inoxidável, com condutividade térmica

k = 14 W/m.K, determine a temperatura da barra em x=L e a sua perda térmica para a condição

de transferência convectiva de calor.


137


138

16.5. Desempenho da Aleta

As aletas são utilizadas para se aumentar a taxa de transferência de calor de uma superfície

devido ao aumento da área. No entanto, a aleta impõe uma resistência térmica à condução na

superfície original. Deve ser feita uma análise sobre o desempenho da aleta.

Efetividade: Razão entre a taxa de transferência de calor pela aleta e a taxa de transferência de

calor que existiria sem a presença da aleta. A utilização de aletas somente se justifica se εf ≥ 2.

A efetividade de uma aleta aumenta com a escolha de um material de condutividade térmica

elevada. Aumenta quando aumenta a razão entre o perímetro e a área da seção reta.

Eficiência: Razão entre a taxa de transferência de calor pela aleta e a taxa máxima de

transferência de calor que existiria pela aleta, se toda a aleta estivesse na temperatura da base.

onde: Af = área superficial da aleta

Para uma aleta com a extremidade adiabática (caso B):


139

Figura 83 – Eficiência de aletas.


140

Eficiência Global da Superfície: A eficiência da aleta ηf caracteriza o desempenho de uma única

aleta. A eficiência global da superfície ηg caracteriza o desempenho de um conjunto de aletas e

da superfície da base sobre a qual este conjunto está montado.

onde:

qt = taxa total de transferência de calor

At = área total exposta

At = NAf + Ab

Ab = área da superfície exposta – área das aletas

Af = área superficial de cada aleta

N = número total de aletas

A taxa de transferência de calor máxima ocorreria se toda a superfície da aleta, assim com a

base exposta, fosse mantida a Tb .

A taxa total de transferência de calor por convecção das aletas e da superfície exposta (sem

aletas) para o fluido é dada por:


141

Figura 84 – Montagem Representativa das Aletas – a) Retangulares b) Anulares.

Nas superfícies aletadas, S representa o passo das aletas.

17. Condução Transiente

17.1. Introdução

Condução transiente ocorre em várias aplicações da engenharia e pode ser tratada por

diferentes métodos. De início, deve ser calculado o número de Biot, que relaciona a resistência à

condução no sólido e a resistência à convecção na superfície sólido-líquido.

Se o número de Biot for muito menor que a unidade, o método da capacitância global pode ser

aplicado. Caso contrário, efeitos espaciais ocorrem, e outros métodos são usados.

17.2. Método da Capacitância Global

Considere um metal com temperatura inicial uniforme Ti, que é resfriado por imersão em um

líquido de temperatura T∞ < Ti. Se o resfriamento se inicia no tempo t = 0, a temperatura do

sólido decrescerá até que eventualmente atinja T∞. A essência deste método é a consideração

de que a temperatura do sólido é espacialmente uniforme em qualquer instante durante o

processo transiente. Esta hipótese é satisfatória quando a resistência à condução dentro do

material for muito menor que a resistência à convecção na interface sólido-líquido. Neste caso, a

equação de condução de calor não pode ser empregada, e a temperatura transiente é

determinada por um balanço global de energia no sólido.


142

Aplicando o balanço de energia ao sólido:

Figura 85 – Resfriamento de uma peça metálica quente.


143

Se Bi << 1, a resistência à condução dentro do sólido é muito menor que a resistência à

convecção através da camada limite do fluido, e o erro associado à utilização do método da

capacitância global é pequeno.

Figura 86 – Distribuição transiente de temperatura correspondente a diferentes números de Biot, numa parede plana resfriada simetricamente por convecção.

18. Convecção

18.1. Fundamentos da Convecção

Considere um fluido qualquer, escoando com velocidade V e temperatura T∞ sobre uma

superfície de forma arbitrária e área superficial A, como mostrado na Fig. 87.

Figura 87 - Transferência convectiva de Calor.

Se a temperatura da superfície for superior à temperatura do fluido, haverá uma transferência de

calor por convecção da superfície para o fluido. O fluido térmico local é dado pela lei de

resfriamento de Newton.

onde h é o coeficiente local de transferência de calor por convecção.


144

Como as condições variam de ponto para ponto, q” e h irão variar ao longo da superfície. A taxa

total de transferência de calor é obtida integrando-se o fluxo ao longo da superfície.

Pode-se definir um coeficiente médio de transferência de calor por convecção ħ para toda a

superfície, de maneira a representar toda a transferência de calor

Igualando-se as expressões para a taxa de calor, os coeficientes local e médio podem ser

relacionados por:

Para uma placa plana de comprimento L e largura b (Fig. 88)

Figura 88 – Escoamento sobre uma Placa Plana.


145

h = coeficiente local de transferência de calor por convecção (W/m2. K).

De maneira análoga, se um fluido com concentração molar de um componente A igual a CA,∞

escoa sobre uma superfície cuja concentração molar de A é mantida em um valor uniforme CA,s

≠ CA,∞, haverá transferência deste componente por convecção. A taxa de transferência de

massa pode ser calculada através de um coeficiente local hm.

Se CA,s > CA,∞

N”A = hm(CA,s - CA,∞)

onde:

N”A: fluxo molar da espécie A (Kmol/s.m²)

Hm: coeficiente local de transferência de massa por convecção (m/s)

CA,s: concentração molar de A na superfície (Kmol/m³)

CA,∞: concentração molar de A no fluido (Kmol/m³)

A taxa total de transferência de massa pode ser escrita na forma

18.2. As Camadas Limites da Convecção


146

18.2.1. A Camada Limite Hidrodinâmica

Seja o escoamento sobre uma placa plana mostrada na Fig. 89.

Figura 89 - A camada limite fluidodinâmica.

Quando as partículas do fluido entram em contato com a superfície, elas passam a ter

velocidade nula (condição de não deslizamento). Estas partículas atuam no retardamento do

movimento das partículas da camada de fluido adjacente que, por sua vez, atuam no

retardamento do movimento das partículas da próxima camada e assim sucessivamente, até

uma distância y = δ, onde o efeito de retardamento se torna desprezível. A velocidade u

aumenta até atingir o valor da corrente livre, u∞.

1) A espessura da camada limite, δ, é definida como o valor de y para o qual u = 0,99 u∞;

2) O perfil de velocidade na camada limite é a maneira com que u varia com y através da

camada limite;

3) Na camada limite, os gradientes de velocidade e as tensões de cisalhamento são elevados;

fora da camada limite, são desprezíveis;

4) Para escoamentos externos, define-se o coeficiente de atrito local (Cf) a partir do conceito de

camada limite:


147

5) Para uma fluido Newtoniano

Com µ = viscosidade dinâmica do fluido (kg/m. s).

18.2.2. As Camadas Limites de Concentração

A camada limite de concentração determina a transferência de massa por convecção em uma

parede. Se uma mistura de duas espécies químicas A e B escoa sobre uma superfície e a

concentração da espécie A na superfície é diferente da concentração na corrente livre, uma

camada limite de concentração irá se desenvolver. Ela é a região do fluido onde existem

gradientes de concentração, sendo sua espessura definida como o valor de y no qual

O perfil de concentração na camada limite é similar ao perfil de temperatura na camada limite

térmica (Fig. 90).

Figura 90 - Perfil de concentração na camada limite.

Em um escoamento sobre uma superfície com diferença de temperatura e concentração entre

ambos, em geral, as camadas limite fluidodinâmica, térmica e de concentração não se

desenvolvem simultaneamente, ou seja, não possuem a mesma espessura

(δ ≠δt ≠δc).

O objetivo da definição das camadas limite é a simplificação das equações que governam o

escoamento. No interior da camada limite fluidodinâmica,


148

Desta maneira, as equações podem ser simplificadas e a solução do problema se torna

mais fácil.

18.3. Escoamento Laminar e Turbulento

Os problemas de convecção consistem, basicamente, na determinação dos coeficientes de

convecção. Com eles, pode-se então determinar as taxas de transferência de calor.

Em geral, são obtidas equações empíricas para o cálculo dos adimensionais e, através de sua

definição, calculam-se os coeficientes convectivos. Estas correlações dependem da geometria

do escoamento (escoamento interno ou externo, sobre placa plana, no interior de um tubo, etc.),

do regime do escoamento, se a convecção é natural ou forçada, etc.

Para o tratamento de qualquer problema de convecção é relevante determinar se a camada

limite é laminar ou turbulenta, já que tanto o atrito superficial como as taxas de transferência de

calor por convecção dependem das condições da camada.

Figura 91 – Camada Limite.

Para o escoamento sobre uma placa plana, o comprimento característico para o qual são

definidos os adimensionais é a distância x a partir da origem.


149


150

Para o escoamento sobre uma placa plana, o comprimento característico para o qual são

definidos os adimensionais é a distância x a partir da origem.

A transição para a turbulência, no interior de tubos, acontecia para números de Reynolds de

aproximadamente 2300. Para o escoamento sobre uma placa plana, esta transição ocorre para

Re=5x105, ou seja, o numero do Reynolds crítico (ou de transição) é dado por:


151

Uma outra expressão para o número de Nusselt local, válida para qualquer valor de Prandtl, é

dada por

Quando as camadas limite laminar e turbulenta são comparadas, percebe-se que a turbulenta

cresce muito mais rápido, já que sua espessura varia com x4/5, enquanto no escoamento

laminar, a espessura varia com x½ .

Para escoamentos turbulentos,

δ ≈δt

O número d Nusselt local é dado por

Nux = 0,029Rex4/5Pr1/3, válida para 0,6<Pr<60

18.4. A Camada Limite Térmica

Da mesma forma que há a formação de uma camada limite fluidodinâmica no escoamento de

um fluido sobre uma superfície, uma camada limite térmica deve se desenvolver se houver uma

diferença entre as temperaturas do fluido na corrente livre e na superfície. Considere o

escoamento sobre uma placa plana isotérmica mostrada na Fig. 92.

Figura 92 – Camada Limite Térmica.

No início da placa (x = 0), o perfil de temperaturas no fluido é uniforme, com T(y) = T∞.

No entanto, as partículas do fluido que entram em contato com a placa atingem o equilíbrio

térmico na temperatura superficial da placa, ou seja, T (x,0) = T∞ . Por sua vez estas partículas


152

do fluido em contato com a superfície atingem o equilíbrio térmico com essa superfície, e trocam

energia com partículas fluidas em camadas adjacentes, criando um gradiente de temperatura.

1) A espessura da camada limite térmica, δt, é definida como o valor y para o qual:

(Ts − T ) (Ts − T∞ ) = 0,99

2) Na superfície não existe movimentação do fluido e a transferência de calor ocorre unicamente

por condução. Com isso,

onde

kf = condutividade térmica do fluido (W/m.K)


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203

Apêndice A


204


205


206


207

Apêndice B


208


209


210


211

RESPOSTA DOS EXERCÍCIOS RECOMENDADOS


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216


217

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