FENÔMENOS DE TRANSPORTE Capítulo 08 - … · de temperatura e o fluxo de calor são calculados pelos métodos descritos ... Parede plana - Lc = meia ... a segunda figura pode ser

Os exercícios e figuras deste texto foram retirados de diversas referências bibliográficas listadas no programa da disciplina

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FENÔMENOS DE TRANSPORTE

Capítulo 08 - TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONDUÇÃO EM REGIME TRANSIENTE

Quando as condições do meio que envolve o corpo sólido são subitamente alteradas, um

certo intervalo de tempo transcorrerá até que uma condição de equilíbrio seja estabelecida

no corpo. A condição de equilíbrio é o estado de regime permanente em que a distribuição

de temperatura e o fluxo de calor são calculados pelos métodos descritos no capítulo

anterior. No processo transiente de aquecimento ou resfriamento que ocorre antes que o

equilíbrio seja estabelecido, a análise deve ser modificada para levar em consideração a

variação da energia interna do corpo com o tempo. As condições de contorno agora levam

em consideração o tempo transcorrido.

1. Sistemas Concentrados ou Método da Capacitância Global

Neste tipo de abordagem considera-se o sistema como tendo temperatura uniforme

no espaço, em qualquer instante de tempo. Neste caso, os gradientes de temperatura

internos seriam desprezíveis. Para que os gradientes internos fossem realmente

desprezíveis, seria necessário que o corpo tivesse condutividade térmica infinita. Condição

esta impossível. Contudo, essa condição pode ser aproximadas quando a resistência

térmica à condução de calor no interior do sólido é pequena em comparação à resistência

térmica à transferência de calor por convecção entre o sólido e sua vizinhança.

t<0 T=Ti t≥0 T=T(t)

Líquido T∞<T1


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Quando desprezamos o gradiente de temperatura no interior do sólido, podemos formular o

problema através de um balanço de energia global. Ou seja, todo o calor que é perdido pelo

sólido por convecção é responsável pela taxa de variação da energia interna do mesmo.

( )dtdTmCTThA =−− ∞sup

a massa do sólido pode ser expressa em função do seu volume e de sua massa específica.

( )dtdTVCTThA ρ=−− ∞sup

Separando-se as variáveis , temos:

( )∞−=−

TTdTdt

VChAρ

sup

integrando entre a condição inicial – t=0 e T=Ti e a condição final t=t T=T

tVChA

TTTT

i ρsupln −=

−

−

∞

∞ ou ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−

−

∞

∞ tVChA

TTTT

i ρsupexp

onde

ρ = massa específica do sólido

V = volume do sólido

C = capacidade calorífica do sólido

Asup = área superficial do sólido

T∞ = temperatura do fluido

Ti = temperatura inicial do corpo

a) Validade do método da capacitância global

Este método é o método mais simples e conveniente que pode ser utilizado na solução

de problemas de condução térmica em regime transiente. Por este motivo é importante

definir sob que condições ele pode ser usado de forma satisfatória.

A avaliação pode ser feita através da determinação do número de Biot. khLBi =

h = coeficiente convectivo de transferência de calor

k = condutividade térmica do sólido

L = dimensão característica


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O número de Biot também pode ser escrito como: hAkALBi

1= ou seja, Bi é uma

relação entre a resistência térmica condutiva e a resistência térmica convectiva. Ele também

fornece uma relação entre a queda de temperatura ao longo do sólido e a diferença de

temperaturas entre a sua superfície e o fluido.

Quanto menor for o número de Biot, mais uniforme é a temperatura do sólido.

Quanto maior for o Biot, menor é a possibilidade de utilizar-se a hipótese de análise

concentrada

O número de Biot que é utilizado como referência para a aplicação do método é 0,1.

Para números de Biot menores que 0,1, o erro associado à hipótese de temperatura

uniforme no sólido é pequeno.

Para o cálculo do número de Biot, utilizamos como Lc (dimensão característica) a

relação entre o volume e a área superficial do corpo. supAVLc =

Esta definição de Lc facilita o cálculo de L para corpos com geometrias complexas.

Neste caso temos:

Parede plana - Lc = meia espessura

Cilindro muito longo (infinito)- Lc = R/2

Esfera - Lc = R/3


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Em algumas situações sugere-se usar como dimensão característica a dimensão

associada à máxima diferença de temperaturas no sólido. No caso do cilindro e da esfera,

este valor seria igual a R.

2. Efeitos espaciais

Com freqüência surgem situações nas quais o método da capacitância global é

inadequado e procedimentos alternativos devem ser utilizados.

Nestas situações a distribuição de temperatura passa a ser uma função não somente

do tempo, mas também da posição dentro do corpo sólido.

Soluções analíticas exatas para problemas de condução transiente foram obtidas

para algumas geometrias e condições de contorno simples com o método de separação de

variáveis. Estas soluções são usualmente apresentadas na forma gráfica, mais comumente

conhecida como Cartas de Heisler

Estas cartas tem seus parâmetros apresentados na forma adimensional. Os

parâmetros utilizados são:

∞

∞

−

−=

TTTT

ii

00

θθ

temperatura adimensional

T0 = temperatura no centro do corpo

Ti = temperatura inicial do corpo

T∞ = temperatura do meio fluido

khLBi =

khRBi = número de Biot


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h = coeficiente convectivo de transferência de calor

L = meia espessura de uma placa plana

R = raio do cilindro = raio da esfera

k = condutividade térmica do sólido

2LtFo α

= 2RtFo α

= número de Fourier (tempo adimensional)

pCkρ

α = α = difusividade térmica do sólido

Lx

Rr

posição adimensional

x = distância a partir do eixo da placa infinita

L = meia espessura da placa

r = distância radial no cilindro infinito e na esfera

R = raio do cilindro e da esfera


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Os resultados para a parede plana estão representados nas figuras abaixo. A primeira figura é usada para obter a temperatura no plano intermediário da parede, a qualquer instante durante o processo transiente. Se o valor de T0 for conhecido para valores particulares de Fo e Bi, a segunda figura pode ser usada para determinar a temperatura correspondente em qualquer localização na parede fora do plano intermediário (também na superfície).


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Os resultados para o cilindro longo estão representados nas figuras abaixo. A primeira figura é usada para obter a temperatura no eixo central do cilindro, a qualquer instante durante o processo transiente. Se o valor de T0 for conhecido para valores particulares de Fo e Bi, a segunda figura pode ser usada para determinar a temperatura correspondente em qualquer localização no cilindro fora do eixo (também na superfície).


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Os resultados para a esfera estão representados nas figuras abaixo. A primeira figura é usada para obter a temperatura no centro da esfera, a qualquer instante durante o processo transiente. Se o valor de T0 for conhecido para valores particulares de Fo e Bi, a segunda figura pode ser usada para determinar a temperatura correspondente em qualquer localização na esfera fora do centro (também na superfície).


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Exercícios

1) Uma placa de cobre de 30 por 30 cm com 5 cm de espessura à temperatura uniforme de

260°C é subitamente colocada em um meio a temperatura de 35ºC com coeficiente

convectivo igual a 900 W/m²ºC. Determine o tempo necessário para a temperatura no

centro atingir 90°C.

Resposta: 105 s

2) Uma esfera de alumínio pesando 5,5 kg e inicialmente a 290°C é subitamente imersa

num fluido a 15ºC. O coeficiente de TC por convecção é 58 W/m²°C. Determine o tempo

necessário para resfriar o alumínio até 90ºC.

Resposta: 1546 s

3) Um assado de 2,3 kg inicialmente a 20°C é colocado num forno a 180°C. Admitindo que

as propriedades térmicas do assado sejam aproximadamente iguais às da água e que o

coeficiente de película seja 30 W/m²K, estime a temperatura no centro do assado depois

de 1 hora.

Resposta: considerar o assado como uma esfera - 44ºC

4) Um cilindro de aço AISI 1010 de 10 cm de diâmetro e 15 cm de altura é subitamente

imerso num tanque de óleo a 10°C. A temperatura inicial do cilindro é 250°C e o h = 280

W/m²K. Em quanto tempo a temperatura do centro do cilindro terá baixado para 150°C?

Resposta: 145 s

5) Um cubo de alumínio de 10 cm de lado, inicialmente à temperatura de 350 °C é imerso

num fluido a 90°C. O h é 120 W/m²K. Calcule a temperatura no centro depois de 1

minuto.

Resposta: 313°C

6) Uma grande placa de aço inox AISI 316 de 10 cm de espessura, inicialmente a uma

temperatura uniforme de 400°C é colocada num ambiente a 90°C, com h = 1400 W/m²K.

Qual o tempo necessário para que a temperatura no plano médio da placa caia para

180°C? Qual o tempo necessário para que a temperatura na superfície da placa caia

para 1800C?

Resposta: 557 s

7) Qual é a temperatura no plano médio depois de passados 15 minutos?

Resposta: 133°C


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8) Se o coeficiente convectivo do problema 6 baixasse para h = 14 W/m²K, você poderia

fazer algum tipo de simplificação neste problema? Neste caso qual seria o tempo

necessário para a temperatura do plano médio chegar a 180°C?

Resposta: 19722 s

9) Um cilindro longo de concreto (com brita) de 15 cm de diâmetro está inicialmente a

25°C. O cilindro é resfriado por um ambiente a 0°C. Calcule o tempo necessário para

que a temperatura no eixo central atinja 6°C, se o h é 17 W/m²K.

Resposta: 8967 s

10) Uma placa muito grande de espessura 8 cm, encontra-se inicialmente a 150°C.

Subitamente a placa é colocada em contato, nas suas duas faces, com um banho de

água fria a 10ºC, cujo coeficiente de troca térmica é igual a 290 W/m²ºC. Determine o

tempo que leva para garantir que todos os pontos da placa vão estar a temperaturas

inferiores a 65ºC. O material da placa tem as seguintes propriedades: ρ = 1150 kg/m³,

Cp = 2926 J/kgºC e K = 0,580 W/mºC.

Resposta: 4651 s

11) Um lingote de aço inoxidável de 18 cm de diâmetro passa por um forno de tratamento

térmico antes da laminação. A esteira rolante que conduz a peça na velocidade V,

constante, tem 8 m de comprimento. Para que o lingote possa ser laminado, sua

temperatura, inicialmente de 170°C, deve alcançar um mínimo de 800°C. É possível

estimar um coeficiente combinado de convecção radiação entre os gases a 1400°C do

forno e a peça da ordem de 180 W/m²K. Pede-se determinar V, sabendo-se que as

propriedades do aço inox são: ρ = 7900 kg/m³, Cp = 557 J/kgºC e K = 19,8 W/mºC.

Resposta: tempo = 1080 s velocidade = 7,4 mm/s

12) Um ovo comum pode ser considerado uma esfera com diâmetro de 5cm. O ovo está

inicialmente a uma temperatura uniforme de 5°C e é colocado na água fervendo a 95°C.

O coeficiente convectivo de transferência de calor é estimado em 1200 W/m²K.

Determine quanto tempo vai demorar para o centro do ovo atingir 70°C.

Obs: considere as propriedades do ovo idênticas à da água, pois ele tem 74% de água.

Resposta: 865 segundos

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