Fenômenos de Transporte - … curso/aula5.pdf · Objetivos • Entender a utilidade do teorema de Transporte de Reynolds. • Aplicar a equação de conservação da massa Equações

Fenômenos de TransporteFenômenos de Transporte

Equações Básicas na Forma Integral - I

Prof. M. Sc. Lúcio P. Patrocínio

Objetivos

• Entender a utilidade do teorema de Transporte de Reynolds.

• Aplicar a equação de conservação da massa

Equações Integrais Básicas - Prof. M. Sc. Lúcio P. Patrocínio 2

• Aplicar a equação de conservação da massa para balancear as vazões de entrada e saída de um sistema fluido.

Introdução

• Até o momento trabalhamos com SISTEMAS FECHADOS.

• Dinâmica dos fluidos trabalha com VOLUMES DE


CONTROLE na maior parte do tempo.

• O Teorema de Transporte de Reynolds oferece a ligação

entre a abordagem por SISTEMAS e a abordagem por

volume de controle.

Teorema de Transporte de Reynolds (TTR)

• Considere uma propriedade extensiva N relativa a um sistema.

• E a propriedade intensiva correspondente n


• E a propriedade intensiva correspondente ndefinida como:

m

N=ηOnde:• N = Propriedade extensiva• η = Propriedade intensiva• M = massa


• Seja um volume de controle indeformável que constitui a região II.

• A região I é definida de tal forma que


• A região I é definida de tal forma que sua massa (carregando a propriedade N) entra no V.C. no intervalo de tempo ∆t.

• A região III constitui a massa que sai do V.C. (carregando a propriedade N) no mesmo intervalo de tempo.


• O Teorema de Transporte de Reynolds afirma que:

– A taxa de variação com o tempo da quantidade total


– A taxa de variação com o tempo da quantidade total de N é igual às variações instantâneas de N no interior do volume de controle, somadas à integral (em toda a superfície de controle) da taxa na qual N está sendo transportada através da superfície de e para a vizinhança.

Teorema de Transporte de ReynoldsVolume de Controle Fixo

AdVdtdt

dN

SCVCsistema

rr

∫∫ ⋅+∀∂∂=

ηρηρ (Eq. 1)


Onde:

• N = propriedade extensiva

• η = propriedade intensiva

• ∀ = volume

• ρ = massa específica

• V = velocidade

• A = área

Teorema de Transporte de ReynoldsVolume de Controle Fixo

AdVdtdt

dN

SCVCsistema

rr

∫∫ ⋅+∀∂∂=

ηρηρ (Eq. 1)


Taxa de variação da propriedade extensiva N

dentro do volume de controle

Taxa de variação da propriedade extensiva N do

sistema

Taxa líquida de fluxo da propriedade extensiva N através da superfície de

controle

Discussão I

O teorema de Transporte de Reynolds pode nos ajudar a determinar a mudança


pode nos ajudar a determinar a mudança de massa dentro de um volume de

controle?

Conservação da Massa

• Considerando:

– N = m (massa)

– η = 1 (massa dividida por massa)


– η = 1 (massa dividida por massa)

– Conservação da massa em um sistema

0=

sistemadt

dN


• Aplicando o Teorema de Transporte de Reynolds, teremos:

rr∂


AdVdt SCVC

rr

∫∫ ⋅−=∀∂∂ ρρ


• Aplicando o Teorema de Transporte de Reynolds, teremos:

rr∂


AdVdt SCVC

rr

∫∫ ⋅−=∀∂∂ ρρ

Conservação da MassaFluido Incompressível

• Fluido Incompressível ρ = constante

AdVdt

rr

∫∫ ⋅−=∀∂∂

AdVt

rr

∫ ⋅−=∂∂∀


• Se o volume de controle for fixo e indeformável

t SCVC∫∫∂ t SC

∫∂

0=⋅∫ AdVSC

rr


• Fluido Incompressível ρ = constante

AdVdt

rr

∫∫ ⋅−=∀∂∂

AdVt

rr

∫ ⋅−=∂∂∀


• Se o volume de controle for fixo e indeformável

t SCVC∫∫∂ t SC

∫∂

0=⋅∫ AdVSC

rr

Vazão em Volume


• Velocidade média

A

QV =

AdV

V SC

rr

∫ ⋅=


AV =

AV SC=

Conservação da MassaFluido Compressível – Regime Permanente

• Nenhuma propriedade do fluido varia com o tempo.

0=⋅⋅∫SC

AdVrr

ρ


• Caso o escoamento seja uniforme numa seção...

SC

AVAdVSC

rrrr⋅⋅=⋅⋅∫ ρρ

Exemplo 1Determinação da velocidade média

• Determinar a velocidade média correspondente ao diagrama de velocidades a seguir.

• Supor que não haja variação da velocidade segundo a direção normal ao plano da figura (escoamento bidimensional).


normal ao plano da figura (escoamento bidimensional).

Exemplo 2Escoamento em Regime Permanente Compressível

• Um gás escoa em regime permanente no trecho de tubulação da figura.

• Na seção (1), tem-se A1 = 20 cm², ρ1 = 4 kg/m³ e V1 = 30 m/s.

• Na seção (2), tem-se A2 = 10 cm², ρ1 = 12 kg/m³.


• Na seção (2), tem-se A2 = 10 cm², ρ1 = 12 kg/m³.

• Qual é a velocidade na seção (2)?

Exemplo 3Escoamento em Regime Permanente Incompressível

• O Venturi é um tubo convergente/divergente, como é mostrado na figura.

• Determinar a velocidade na seção mínima (garganta) de área 5 cm², se na seção de entrada de área 20 cm², a veloc idade é 2 m/s.


cm², se na seção de entrada de área 20 cm², a veloc idade é 2 m/s.

• O fluido é incompressível.

Exemplo 4Fluxo de massa em uma junção de tubos

• Considere o escoamento permanente de água em uma junção de tubos, conforme mostrado no diagrama.

• As áreas das seções são: A1 = 0,2 m², A2 = 0,2 m² e A3 = 0,15 m².


• O fluido também vaza para fora do tubo através de um orifício em (4), com uma vazão volumétrica estimada em 0,1 m³/s.

• As velocidades médias nas seções (1) e (3) são V1 = 5 m/s e V3 = 12 m/s, respectivamente.

• Determine a velocidade do escoamento na seção (2).

Exemplo 4Fluxo de massa em uma junção de tubos


Referências

• BRAGA FILHO, W. Fenômenos de Transporte para Engenharia. Rio de Janeiro: LTC, 2006.

• ÇENGEL, Y. A.; CIMBALA, J. M. Mecânica dos Fluidos: Fundamentos e Aplicações. São Paulo: McGraw-Hill, 2007.

• FOX, R.; McDONALD, A. T. Introdução a Mecânica dos Fluidos. 3ª. Ed.


• FOX, R.; McDONALD, A. T. Introdução a Mecânica dos Fluidos. 3ª. Ed. Rio de Janeiro: Ed. Guanabara, 1988.

• POTTER, M.C.;SCOTT, E. P. Ciências Térmicas: Termodinâmica, mecânica dos fluidos e transmissão de calor. São Paulo:Thomson Learning, 2007.

• STREETER, V. L.; WYLIE, E. B. Mecânica dos Fluidos. 7ª.ed. São Paulo: McGraw-Hill, 1982.

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