Pedro tirou menos de uma centena de fotosda festa em comemoração ao seu aniversárioe quer colocá-las todas num álbum de 20 pá-ginas. Em cada página desse álbum cabem,no máximo, 10 fotos.Inicialmente, Pedro tentou colocar 6 fotos emcada página. Ao final, depois de preenchidasalgumas páginas do álbum, ficou sobrandouma foto. Em nova tentativa, dispôs 7 fotospor página e ainda assim sobrou uma foto.Finalmente, Pedro conseguiu colocar todas asfotos, de modo que cada página contivesse omesmo número de fotos. Quantas páginas doálbum Pedro preencheu?a) 9 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20

alternativa B

Seja n a quantidade de fotos que Pedro quercolocar no álbum. Como ao colocar 6 ou 7fotos por página sobrou uma foto, n − 1 émúltiplo de 6 e de 7 e, portanto, é múltiplo demmc (6, 7) = 42. Sendo n menor que 100,n 1 42− = ou n 1 84− = ⇔ n = 43 ou n = 85.Pedro não conseguiria colocar 43 fotos no álbumde modo que cada uma das 20 páginas contives-se o mesmo número de fotos menor ou igual a 10,pois 43 é primo.Logo n 85 5 17= = ⋅ e, como em cada uma das20 páginas do álbum cabem no máximo 10 fotos,Pedro preencheu 17 páginas do álbum, cada umacom 5 fotos.

Carlos recebeu R$240 000,00 pela venda deum imóvel. Gastou metade dessa quantia nacompra de um apartamento no litoral e in-vestiu o dinheiro que restou em fundos deinvestimentos de três instituições financei-ras: 40% no Banco A, 30% no Banco B e 30%no Banco C.

Após um ano, vendeu o apartamento do lito-ral por R$144 000,00 e resgatou as aplica-ções, cujos rendimentos anuais foram de+20%, −10% e +30%, respectivamente, nosBancos A, B e C. É correto afirmar que, emum ano, Carlos aumentou o capital deR$240 000,00, recebido inicialmente, em:a) 80%d) 18,50%

b) 36%e) 17%

c) 20%

alternativa E

Temos que metade do capital foi para compra doapartamento e a outra metade, para aplicações fi-nanceiras.Na venda do apartamento, o aumento do capital,

após 1 ano, é de144 000 120 000

120 00020%

− = .

Com as aplicações em fundos de investimentos,após 1 ano, o aumento do capital é de 0,4 0,2⋅ ++ − + ⋅ =(0,3)( 0,1) 0,3 0,3 14%.

Assim o aumento é de20% 14%

217%

+ = .

Ao desdobrar um cubo, obteve-se a figura pla-na a seguir. Se o montarmos novamente, aface oposta à face B será a face:

a) A b) C c) D d) E e) F

alternativa C

Observemos que as faces que contêm o vértice Vsão B, C e E.

Questão 1

Questão 2

Questão 3

Assim, as faces vizinhas à face B são A, C, E e Fe, portanto, a face oposta a essa face é a D.

O polinômio P(x) x kx 6x 53 2= + + + é divisí-vel por x + 5. Então, a soma das raízes daequação P(x 1) 0+ = é:a) −6 b) −7 c) 6 d) −9 e) −3

alternativa D

Como P(x) é divisível por x + 5, temos queP( 5) 0 125 25k 30 5 0 k 6− = ⇔ − + − + = ⇔ = .Logo P(x) x 6x 6x 53 2= + + + e P(x 1)+ == + + + + + + =(x 1) 6(x 1) 6(x 1) 53 2

= + + +x 9x 21x 183 2 .Pelas relações de Girard, a soma das raízes de

P(x 1)+ é − = −91

9.

Considere as matrizes A4 a m4 b n4 c p

=⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

e

Bm a 3n b 3p c 3

=⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥.

Se o determinante da matriz A é igual a 2,então o determinante da matriz B é igual a:

a) 32

b) 23

c) − 3 d) − 32

e) − 23

alternativa D

Temos det B = = − =m a 3

n b 3

p c 3

3 a m

3 b n

3 c p

= −3

1 a m

1 b n

1 c p

= − = − ⋅ =34

4 a m

4 b n

4 c p

34

det A

= − ⋅ = −34

232

.

O conjunto solução da inequaçãoax (a 1)x a 02 2− + + ≤ , sendo a um númeroreal positivo e menor do que 1, é:

a) a,1a

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

d) [ a, 0[−

b) −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

1a

, a

e) 0,1a

⎤⎦⎥

⎤⎦⎥

c) ]0, a]

alternativa A

Para 0 < a < 1 ⇔ >1a

1,

ax (a 1)x a 02 2− + + ≤ ⇔

⇔ − +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + ≤ ⇔x a

1a

x 1 02

⇔ − ⋅ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ≤ ⇔ ≤ ≤(x a) x

1a

01a

a x .

Logo V = ⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

a;1a

.

De acordo com a figuraao lado, se a b 10o− = ,então:

a) cosa12

= −

b) sena12

=

c) cos b12

= −

d) sena32

=

e) sen b12

=

alternativa B

Sendo a soma dos ângulos externos de um triân-gulo igual a 360o , a + b + 70o = 360o ⇔ a + b == 290o .

matemática 2

Questão 4

Questão 5

Questão 6

Questão 7

Assim,a b 10

a b 290

a 150

b 140

o

o

o

o

− =

+ =⇔

=

=⇒ sen a = 1

2.

Ao longo de uma campanha publicitária pelodesarmamento, verificou-se que o número dearmas em poder das pessoas de uma comuni-dade decresceu à taxa de 20% ao mês. Apósum tempo t, o número de armas nessa comu-nidade foi reduzido à metade. Se log ,2 0 30= ,o valor de t é:a) 3 mesesd) 80 dias

b) 2 mesese) 57 dias

c) 137 dias

alternativa A

Seja n, n Z∈ +∗ , o número inicial de armas em po-

der das pessoas da comunidade. Então, após tmeses, o número de armas na comunidade én (1 0,20) n 0,8t t⋅ − = ⋅ .Este total é igual à metade do valor inicial se, e

somente se, n 0,8n2

0,812

t t⋅ = ⇔ = ⇔

⇔ = ⇔ ⋅ = ⇔−log 0,8 log12

log210

log 2t3

1t

⇔ ⋅ ⋅ − = − ⇔ = −⋅ −

t (3 log 2 1) log 2 tlog 2

3 log 2 1.

Adotando a aproximação log 2 ≈ 0,30, temos que t

é aproximadamente−

⋅ −=0,30

3 0,30 13 meses.

Uma pirâmide cuja base é um quadrado dediagonal igual a 2α 2 cm tem o mesmo volu-me de um prisma cuja base é um quadradode lado α cm. A razão entre as alturas doprisma e da pirâmide é:

a) 43

b) 32

c) 13

d) 3α

e) 4α

alternativa A

Sendo h e H, respectivamente, as alturas da pirâ-mide e do prisma, o volume da pirâmide é13

(2 2 )2

h2

⋅ ⋅α, e o volume do prisma, α2 H⋅ .

Como os volumes são iguais,13

(2 2 )2

2⋅ ⋅ =α

h

= ⋅ ⇔ =α2 HHh

43

.

José quer dispor 8 CDs numa disqueteira tipotorre de 8 lugares. São 5 CDs de diferentesbandas de rock, além de 3 outros de jazz, debandas distintas. De quantos modos eles po-dem ser dispostos, de maneira que tanto osCDs de rock quanto os de jazz estejam numadeterminada ordem, podendo estar mistura-dos os CDs dos dois tipos de música?a) 336d) 6720

b) 20160e) 40320

c) 56

alternativa C

Como tanto a ordem dos CDs de rock quanto aordem dos CDs de jazz já estão determinadas,basta decidirmos em quais, dentre os oito lugaresdisponíveis na disqueteira, colocaremos os cincoCDs de rock.

Logo há8

5

8

38 7 6

3!56

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ⋅ ⋅ = modos de

dispor os CDs.

Numa partida de futebol entre Corinthians ePalmeiras foi pesquisada a idade dos torcedo-res. Constatou-se, com base nas pessoas quecompareceram ao estádio, que a idade médiados corinthianos e palmeirenses era de 36 ede 45 anos, respectivamente.Se no estádio, nesse dia, o número de corin-thianos era uma vez e meia o de palmeiren-ses, a idade média do total de torcedores co-rinthianos e palmeirenses presentes nessapartida de futebol foi de:a) 40,5 anosc) 36 anose) 39,6 anos

b) 45 anosd) 41,4 anos

alternativa E

Sendo x o número de palmeirenses, o número decorinthianos é 1,5x. Assim, a idade média do total

de torcedores é36 1,5x 45x

1,5x x39,6

⋅ ++

= anos.

matemática 3

Questão 8

Questão 9

Questão 10

Questão 11

O conjunto dos valores assumidos pela ex-

pressão algébrica|a|

a|b|

b|ab|

ab+ − sendo a e

b dois números reais diferentes de zero, é:a) { −3, −1, 1, 3}c) { −1, 3}e) { −3, 3}

b) { −1, 1}d) { −3, 1}

alternativa D

Supondo a 0> e b 0> ,| | | | | |aa

bb

abab

+ − =

= + − = + − =aa

bb

abab

1 1 1 1.

Supondo a 0< e b 0< ,| | | | | |aa

bb

abab

+ − =

= − + − − = − − − = −aa

bb

abab

1 1 1 3.

Supondo a 0> e b 0< ,| | | | | |aa

bb

abab

+ − =

= + − − − = − + =aa

bb

abab

1 1 1 1.

Supondo a 0< e b 0> ,| | | | | |aa

bb

abab

+ − =

= − + − − = − + + =aa

bb

abab

1 1 1 1.

Assim, a expressão dada só assume os valores−3 e 1.

x y6 9 é a parte literal de um dos termos do

desenvolvimento de (x y)n+ .O termo cuja razão entre o seu coeficiente e o

coeficiente do termo seguinte é igual a 79

é:

a) o 8° termoc) o 6° termoe) o 4° termo

b) o 7° termod) o 5° termo

alternativa B

Inicialmente, podemos concluir que n = 6 + 9 = 15.Portanto, sendoTk , 1 ≤ ≤k 16, o termo procurado,

15

k 115

k

79

15!(k 1)!(16 k)!

15!k!(15 k

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ⇔ − −

− )!

79

= ⇔

⇔ ⋅ − ⋅ −− ⋅ − ⋅ −k (k 1)! (15 k)!

(k 1)! (16 k) (15 k)!= ⇔7

9

⇔−

= ⇔ =k16 k

79

k 7.

A estação rodoviária de uma cidade é o pontode partida das viagens intermunicipais. Deuma plataforma da estação, a cada 15 minu-tos, partem os ônibus da Viação Sol, com des-tino à cidade de Paraíso do Sol, enquanto daplataforma vizinha partem, a cada 18 minu-tos, com destino à cidade de São Jorge, osônibus da Viação Lua.A jornada diária das duas companhias teminício às 7 horas, e às 22 horas partem juntosos dois ônibus para a última viagem do dia.O número total de viagens diárias das duascompanhias é:a) 100 b) 110 c) 112 d) 120 e) 122

alternativa C

A jornada diária das duas companhias é de22 h − 7 h = 15 h. Após a primeira viagem de cada

companhia, são feitas15 60

1560

⋅ = viagens e

15 6018

50⋅ = viagens pelas companhias Sol e

Lua, respectivamente.Assim, o total de viagens ao final do dia é1 1 60 50 112.+ + + =

A equação da reta que passa pelo centro da

circunferência x y x 4y94

02 2+ − − + = e é

perpendicular à reta x = k (k é um númeroreal) é:

a) y = 2 b) x + y = k

c) x = 2 d) x = 12

e) y = 12

matemática 4

Questão 12

Questão 13

Questão 14

Questão 15

alternativa A

O centro da circunferência

x y x 4y94

02 2+ − − + = ⇔

⇔ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + − =x

12

(y 2) 22

2

é o ponto12

; 2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .

A reta x = k, k ∈R, é paralela ao eixo Oy. Logo areta procurada é perpendicular ao eixo Oy e con-

tém o ponto12

; 2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ , admitindo, portanto, a equa-

ção y = 2.

matemática 5