Circunferência Circunferência é um conjunto de pontos do plano situados à mesma distância de um ponto fixo (centro). Corda é um segmento de recta cujos extremos são dois pontos quaisquer da circunferência. Por exemplo, [ED], [AD] e [AB]. Diâmetro é uma corda que contém o centro da circunferência. Por exemplo [ED]. Raio é um segmento de recta cujos os extremos são o centro e um ponto qualquer da circunferência. Por exemplo, [CE], [CD] e [CA]. Arco é um segmento de circunferência compreendida entre dois ppontos que lhe pertencem. Existem arcos menores, pois são menores que metade da circunferência, e arcos maiores, porque são maiores que metade da circunferência.

arco menor AB = arco AB arco maior AB = arco ADB = arco AEB

A amplitude do arco AB representa –se AB

Circunferência e Polígonos. Rotações

2012/13

Tema: Data:

Nome: Nº: Turma:

Escola Básica e Secundária de lustosa

Matemática

Ficha de Trabalho de Matemática 2º ano

CEF - Eletricistas de Instalações

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Ângulo ao centro Ângulo ao centro é um angulo cujo vértice é o cento da circunferência

Por exemplo, ∠AOB e ∠COD

A cada ângulo ao centro corresponde uma corda e um arco: os que ficam compreendidos entre os seus arcos. Por exemplo, [AB] é a corda correspondente ao ∠AOB e o arco CD é o arco correspondente ao ∠COD. Propriedade A amplitude de um ângulo ao centro é igual à amplitude do arco correspondente. Simbolicamente, AÔB = AB e CÔD = CD. Exemplos: Considera a circunferência de centro O e determina as amplitudes de ∠AOB e ∠COD. Resolução: Como são ângulos ao centro, a sua amplitude é igual à do arco correspondente. Logo, AÔB = AB = 55º e CÔD = CD = 60º.

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Ângulo inscrito Ângulo inscrito é um ângulo cujo o centro é um ponto da circunferência e cujos os lados contém cordas. Por exemplo, ∠ABC e ∠DEF.

Os lados do ângulo inscrito ABC intersectam a circunferência em dois pontos, A e C. Diz-se que o arco AC é o seu arco correspondente: arco compreendido entre os seus lados. Ao arco ABC chama-se arco capaz desse ângulo: arco que contém o vértice.

Propriedade A amplitude de um ângulo inscrito é metade da amplitude do arco

correspondente. Simbolicamente, ABC = 2

AC e DÊF = 2

DF

Exemplos: 1. Considera a circunferência e determina A^BC e DÊF. Resolução: ∠ABC e ∠DEF são ângulos inscritos.

ABC = 2

AB = 2

º50 = 25º

DÊF = 2

DF = 2

º60 = 30º

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2. Determina ABC. Resolução:

DAE = 2

º30 = 15º, porque é um ângulo

inscrito.

AÊC = 2

º70 = 35º, porque é um ângulo

inscrito. AÊB = 180º - AÊC, isto é, AÊB = 180º - 35º, AÊB = 145º. Como a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180º, 145º + 15º + ABC = 180º, ou seja, ABC = 20º. Propriedades dos ângulos, arcos e circunferências. Numa circunferência ou em circunferências iguais: • A ângulos ao centro iguais correspondem arcos iguais e reciprocamente. • A ângulos ao centro iguais correspondem cordas iguais e reciprocamente.

• A arcos iguais correspondem cordas iguais e reciprocamente. Simbolicamente: COD = AOB ⇔ CD = AB ⇔ CD = AB Nota: Deve entender-se iguais como geometricamente iguais.

Numa circunferência, ângulos inscritos no mesmo arco têm a mesma amplitude.

ACD = ADB = AÊB = AFB = 2

AB

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Um ângulo inscrito numa semicircunferência é um ângulo recto porque a amplitude do arco compreendido entre os seus lados é 180º, logo a

amplitude do ângulo correspondente é 2

º180 = 90º.

Uma recta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência, ou seja, CTA = 90º.

Uma recta perpendicular ao meio de uma corda passa no centro da circunferência e divide ao meio os arcos e os ângulos ao centro correspondentes. ACD = DCB e AD = DB

Numa circunferência, arcos e cordas compreendidas entre cordas paralelas são geometricamente iguais. AC = BD e AC = BD Em consequência desta propriedade, qualquer trapézio inscrito numa circunferência é isósceles.

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Qualquer recta que contém o centro da circunferência é um eixo de simetria, isto é, ao dobrar a figura por essa recta, as duas partes coincidem ponto por ponto.

Exemplos: Considera a circunferência de centro O da figura. Sabendo que AT é tangente à circunferência no ponto T e que BT = 70º, determinar OAT. Resolução: É necessário considerar o ∆[OAT] e determinar as amplitudes dos seus ângulos internos. AOT = BT = 70º porque é um ângulo ao centro. OAT = 90º porque a tangente é perpendicular ao raio no ponto de tangência. Então, OAT = 180º - 70º - 90º = 20º porque a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180º. Polígonos Polígono é uma figura geométrica limitada apenas por segmentos de recta. Existem polígonos côncavos e convexos.

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Num polígono podem considerar-se ângulos internos e ângulos externos. Propriedades � A soma das amplitudes dos ângulos externos de um polígono convexo é de 360º.

� � A amplitude de um ângulo externo de um polígono convexo regular

com n lados é n

º360 .

� A amplitude de um `^angulo interno de um polígono convexo regular

com n lados é 180º - n

º360 .

� A soma das amplitudes dos ângulos internos de um polígono convexo com n lados é 180ºn – 360º.

� Um polígono diz-se inscrito numa circunferência se todos os seus vértices são pontos da circunferência que se diz circunscrita ao polígono.

� Um polígono regular pode sempre inscrever-se numa circunferência. � O lado de um hexágono regular inscrito numa circunferência é igual ao raio.

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Exemplos: 1. Determinar a amplitude de um ângulo interno de um eneágono regular. Resolução: Como um eneágono tem 9 lados, a amplitude do seu ângulo interno é:

180º - 9

º360 = 180º - 40º = 140º.

2. Determinar o perímetro de um hexágono regular inscrito numa

circunferência com 25,12 cm de perímetro. Resolução: Para determinar o perímetro é necessário conhecer a medida do lado que é igual ao raio da circunferência. Ora, PΟ= 2πr

2πr = 25,12 ⇔ r = π2

12,25 ⇔ r = 4

O lado do hexágono mede 4 cm. Então o seu perímetro é 6 x 4 = 24 cm. � A soma das amplitudes dos ângulos opostos de um quadrilátero inscrito numa circunferência é 180º.

â + b = 180º e c + d = 180º � A área de um sector circular de raio r, cujo arco tem amplitude α, é:

A = 360

2rαπ

� A área de um polígono regular é:

A = 2

apótemaPerimetrox

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3. Determina a área de um pentágono regular com 6 cm de lado inscrito numa circunferência de raio 6,5 cm.

Resolução: Aplicando o Teorema de Pitágoras, ao triângulo rectângulo assinalado, determina-se a apótema do pentágono, ap2 + 32 = 6,52 ⇔ ap2 + 9 = 42,25 ⇔ ap2 = 42,25 - 9 ⇔ ⇔ ap2 = 33,25 ⇔ ap = 25,33 ⇔

⇔ ap = 5,8

A = 2

apP× = 2

8,556 ×× = 87 cm2

Rotações e isometrias Ângulo orientado é um ângulo onde está definido um sentido que pode ser positivo ou negativo. Sentido negativo – sentido do movimento dos ponteiros do relógio. Sentido positivo – sentido contrário ao movimento dos ponteiros do relógio.

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Rotação do centro O e amplitude αααα é uma transformação geométrica que a cada ponto A associa um ponto A’ tal que AOA’ = α e AO = AO’. A rotação de centro O e amplitude 80º, R(O, 80º) transforma o ∆[OAB] no ∆[OA'B’]. O ∆[OA'B’] diz-se imagem do ∆[OAB].

Propriedades Numa rotação:

� Um segmento de recta é transformado num segmento de recta geometricamente igual. � Um ângulo é transformado noutro com o mesmo sentido e geometricamente igual.

Exemplos:

Construir a imagem do polígono pela rotação de centro O e amplitude –80º, usando o transferidor e o compasso.

Resolução:

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Isometria é a transformação geométrica que transforma uma figura em outra geometricamente igual. As rotações, as translações e as simetrias são isometrias.

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APLICA O QUE APRENDESTE 1. Na circunferência de centro O da figura, [AC] é o lado de um hexágono

regular nela inscritível.

1.1. Determina AOC, ABC e ACB. 1.2. Sendo AC = 2 cm, calcula o

comprimento do arco AC. 1.3. Classifica o ∆[ABC] quanto aos ângulos.

2. Considera o trapézio [ABCD] inscrito na circunferência. Sabendo que

[AB] é o lado de um pentágono regular inscritível na circunferência e que DC = 2AB, determina a amplitude dos ângulos internos do trapézio.

3. Na circunferência da figura, DCA = 50º e CAB = 55º. Determina :

3.1. CFB 3.2. DÊA

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4. Considera a circunferência de centro O da figura. Sabendo que AC =

80º e DE = 30º, determina.

4.1. DAE 4.2. DCE 4.3. ADC 4.4. AFD 4.5. DFE 4.6. ABC

5. Na figura, BC é tangente à circunferência de centro O no ponto D, AF = 100º e ED =

2

1 DF. Determina as amplitudes dos

ângulos internos do ∆[ABC]. 6. Considera a circunferência de centro O da figura. Sabendo que AB =

140º e que AC e BC são tangentes à circunferência em A e B, respectivamente.

6.1. Calcula OÂB e ABC. 6.2. Classifica o ∆[ABC] quanto aos lados. 6.3. O gráfico traduz uma situação de proporcionalidade. Indica o tipo e a constante de proporcionalidade.

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7. Na circunferência de centro O da figura, AD é tangente no ponto A e

BÂD = 80º. Determina: 7.1. AOB 7.2. ACB

8. Considera a circunferência de centro O da figura. Sabendo que CD = 100º e que AB é tangente no ponto B, determina:

8.1. DBC 8.2. BCD 8.3. ABC 8.4. ABD 8.5. BÂC 8.6. BDO 9. Averigua se existe um polígono regular cuja amplitude do ângulo

interno é 162º. Em caso de existir, indica o número de lados. 10. Quais das afirmações seguintes são verdadeiras?

I) Num triângulo, a amplitude do ângulo externo é igual à soma das

amplitudes dos ângulos internos não adjacentes. II) Num triângulo, a soma das amplitudes dos ângulos internos é 180º. III) Num quadrilátero inscrito numa circunferência, os ângulos opostos

são suplementares. IV) Num triângulo rectângulo, a hipotenusa é igual à soma dos catetos. A) Todas B) I, II e III C) II, III e IV D) I, II e IV

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11. Considera um hexágono regular com 4 cm de lado inscrito numa

circunferência de centro O. Determina: 11.1. A área da parte colorida da figura; 11.2. A amplitude do ângulo interno e a amplitude do ângulo externo do hexágono.

12. Num estudo estatístico sobre os níveis de Matemática dos alunos de uma turma, elaborou-se um gráfico circular com 2 cm de raio. Determina a área do sector circular correspondente ao nível 4.

13. Constrói a imagem do ∆[ABC] pela rotação de centro O e amplitude

45º.

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