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ESCOLA SECUNDÁRIA SÁ DE MIRANDA

Ficha de trabalho de Matemática

12º 4 e 5 Janeiro 2008

I – Definição de derivada de uma função num ponto e sua interpretação

geométrica

Se f é uma função real de variável real e a é a abcissa de um ponto do seu domínio

então a derivada da função para x = a é

!f a( ) = limx"a

f x( ) # f a( )x # a

e representa o

declive da tangente ao gráfico de f no ponto a,f a( )( ) .

A derivada de uma função num ponto representa também a taxa de variação

instantânea da função nesse ponto ( velocidade instantânea)

1. Determine a equação da recta tangente ao gráfico de cada uma das fuções

no ponto cuja abcissa é a indicada.

1.1. f x( ) =

3

x ! 2 para x = !1

1.2. f x( ) = 3! x para x = 1

1.3. f x( ) = ex para x = 3

1.4. f x( ) = 2 ! 5ln x +1( ) para x = 0

1.5. f x( ) = log

4x para x = 8

1.6. f x( ) = 2x2

! 5x + 4 para x = 3

2. O gráfico da função real de variável real g é tangente à recta de equação

y = 3x ! 5 no ponto de abcissa !2 . Qual o valor de g !2( ) e de

!g "2( )?

2

II - Função derivada

Chama-se função derivada de uma função f à função !f definida por

!f x( ) = limh"0

f x + h( ) # f x( )h

.

Notação:

!f x( ) =d

dxf x( )

3. Determine uma expressão para a função derivada de cada uma das funções

3.1. f x( ) = x

2

3.2. f x( ) = e

x

3.3. f x( ) = ln x

3.4. f x( ) = log

ax, com a !!

+ \ 1{ }

3.5. f x( ) = a

x, com a !!

+\ 1{ }

III - Derivadas laterais

Uma função diz-se derivável ou diferenciável num ponto do seu gráfico se e

só se a derivada existe e é finita, ou grficamente, existe tangente não vertical

ao gráfico da função.

Se f é derivável no seu domínio então é continua nesse domínio.

4. Se f é a função real de variável real definida por

f x( ) =3x ! 2 " x # 1

x2 " x < 1

$%&

'& determine :

4.1. !f 1

+( ) = !fd

1( ) .

4.2. !f 1

"( ) = !fe

1( ) .

5. Se g é a função real de variável real definida por

3

g x( ) =

1

x! x > 2

2 ! x = 2

x + 3! x < 2

"

#

$$

%

$$$

determine:

5.1. !g 1+( ) = !g

d1( ) .

5.2. !g 1

"( ) = !ge

1( )

6. Seja f a função real de variável real definida por

f x( ) =ax ! x > 3

bx2 ! x " 3

#$%

&%

6.1. Determine uma relação entre a e b de modo que f seja contínua para

x = 3 .

6.2. Calcule !f 3

+( ) e !f 3"( ) e indique, caso existam, os valores de a e b de

modo que f seja derivável para x = 3 , ou seja !f 3

+( ) = !f 3"( ) .

IV – Regras de derivação

• u ! v( )" = "u ! v + u ! "v

•

u

v

!"#

$%&'=

'u v ( u 'v

v2

• u

k( )! = k " uk#1

" !u

• e

x( )! = ex e e

u( )! = !u " eu

• a

x( )! = ax" lna e a

u( )! = !u " au" lna , a #!

+\ 1{ }

•

ln x( )! =1

x e lnu( )! =

!u

u

• log

ax( )! =

1

x " lna e log

au( )! =

!u

u " lna , a #!

+ \ 1{ }

• f ! g( )! x( ) = !f g x( )( ) " !g x( )

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7. Determine a expressão da derivada de cada uma das funções reais de

variável real definidas por

7.1.

f x( ) = x ! ln x "1

x

7.2. g(x) =

ex!1

ex

7.3. h(x) = e

x!1

x

7.4.

a x( ) =x !1

x

"#$

%&'

e

7.5. b x( ) = ln x

2( )5

3

8. De duas funções reais de variável real f e g contínuas e deriváveis sabe-se

que :

• f 5( ) = f !1( ) = !2 " #f 5( ) = 7

• g 5( ) = 3 ! "g 5( ) = "g #2( ) = 4

Determine o valor de :

8.1. f ! g( )" 5( ) 8.2.

f

g

!"#

$%&'

5( )

8.3. f 3( )! 5( ) " g3( )! 5( ) 8.4.

g ! f( )! 5( )

8.5.

limx!5

x2" 7x +10

3f x( ) + 6

V – Derivadas infinitas em funções contínuas.

Chama-se cúspide ao ponto a,f a( )( ) do gráfico de uma função contínua f que

verifica

limx!a

+"f x( ) = +# $ lim

x!a%"f x( ) = %#&

'()*+, lim

x!a+"f x( ) = %# $ lim

x!a%"f x( ) = +#&

'()*+

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9. Dadas as funções reais de variável real abaixo definidas calcule as

derivadas das funções nos pontos dados e interprete graficamente os

resultados.

9.1. Se f x( ) = 9 ! x

2 calcular !f 3

"( ) e !f "3

+( ) .

9.2. Se f x( ) = x

23 calcular !f 0

"( ) e !f 0

+( )

9.3. Se f x( ) = x ! 2( )3 +1 calcular

!f 2

"( ) e !f 2

+( )

VI – Derivadas infinitas em funções descontinuas – determinação gráfica

10. Para cada uma das funções representadas pelos seus gráficos, determine as

derivadas à esquerda e à direita do ponto de abcissa 3.

VII – Derivadas de segunda ordem

Se f é derivável em D, então chama-se segunda derivada de f à derivada da

função derivada

!!f x( ) =d

d2x

f x( )( ) = !f x( )( )!

11. Determina uma expressão da segunda derivada de cada uma das funções

reais de variável real definidas por:

11.1.

f x( ) =x

2 ! x( )3

11.2. g x( ) =

ln x

x

VIII – Extremos e monotonia de uma função. Pontos de inflexão e sentido das

concavidades do gráfico de uma função.

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Se f é uma função contínua num intervalo

a,b!" #$ e derivável em

a,b!" #$

!f x( ) > 0,"

x# a,b$% &'( f é crescente em a,b&' $%

!f x( ) < 0,"

x# a,b$% &'( f é decrescente em a,b&' $%

!f x( ) = 0,"

x# a,b$% &'( f é cons tan te em a,b&' $%

Se f é uma função contínua num intervalo

a,b!" #$ e duplamente derivável em

a,b!" #$

!!f x( ) > 0,"

x# a,b$% &'( o gráfico de f tem a concavidade voltada para cima em a,b&' $%

!!f x( ) < 0,"

x# a,b$% &'( o gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo em a,b&' $%

Se f é uma função contínua num intervalo

a,b!" #$ e duplamente derivável em

a,b!" #$

!f é crescente em

a,b!" #$ ! f tem a concavidade voltada para cima em a,b!" #$

!f é decrescente em

a,b!" #$ ! f tem a concavidade voltada para baixo em a,b!" #$

Chama-se ao ponto a,f a( )( ) ponto crítico de uma função f ao ponto do gráfico em

que a tangente é horizontal ( a derivada anula-se) ou não existe derivada. Num ponto

crítico de f :

Existe máximo local ou relativo igual a f a( ) se se verificam as condições -

!f x( ) > 0

num intervalo aberto imediatamente à esquerda de a e !f x( ) < 0 num intervalo aberto

imediatamente à direita de a.

Existe minimo local ou relativo igual a f a( ) se se verificam as condições -

!f x( ) > 0

num intervalo aberto imediatamente à direita de a e !f x( ) < 0 num intervalo aberto

imediatamente à esquerda de a.

Se f é contínua num intervalo contendo o ponto a,f a( )( ) e a concavidade muda neste

ponto diz-se que é um ponto de inflexão

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12. Na figura junta encontra-se o gráfico de !f , função

derivada de f.

12.1. Relacione o sinal de !f com a monotonia de f

12.2. Relacione a monotonia de !f com o sinal de !!f

12.3. Estude o sentido da concavidade de f

12.4. Sabe-se que !Df= 5,+"#$ #$ e

f 0( ) = 7 . Escreva a expressão analítica de

f.

13. Na figura junta encontra-se o gráfico de !f , derivada de f.

Complete a tabela e a partir desta construa um possível

gráfico de f.

x !" 1 2 3 +!

Sinal de !f

Monotonia de f -5 4 6

Monotonia de !f

Sinal de !!f

Concavidade de f -5 4 6

14. Observe o gráfico de !f , derivada de f.

14.1. Existirá !!f 1( )?. Justifique convenientemente a

sua resposta.

14.2. Estude a monotonia de f.

14.3. Diga justificando qual a abcissa do ponto de inflexão de f.

15. Da função f conhece-se unicamente o gráfico

da sua derivada !f . O eixo das abcissas é

tangente ao gráfico de !f .

15.1. Estude a monotonia de f.

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15.2. Qual o valor de !!f 2( )?

15.3. Justifique a afirmação: “ O gráfico de f tem a concavidade voltada para

baixo”

16. Prove que a derivada de uma função par é uma função ímpar.

17. Prove que sendo f uma função real de variável real e verificando-se que

limx!a

f x( ) " f a( )x " a

= k (finito) então

limx!a

f x( ) = f a( ) .

18. Na figura está representada parte do gráfico de uma função h de domínio

!

0

+

Em cada uma das figuras abaixo estão representadas parte dos gráficos de duas

funções reais de variável real de domínio !

0

+

Uma das funções representadas é !h , primeira derivada de h e a outra é !!h ,

segunda derivada de h.

Numa pequena composição explique em qual das figuras está representado o

gráfico de !h e de !!h . Na sua composição deverá estabelecer relaçõ~es entre

as características de h e os sinais de !h e !!h .