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Monotonia e extremos relativos de uma função

1. A evolução da temperatura, em graus centígrados, ao longo de um certo período de tempo, é

apresentada no seguinte gráfico:

1.1. Através da observação do gráfico, preencha a seguinte tabela:

Intervalo

Sinal do declive da recta tangente nos pontos do intervalo

Sinal da função derivada nos pontos

do intervalo

Sentido de variação da função

(monotonia)

] [0,1

] [1,3

93,

2

1.2. Qual o valor da função derivada nos pontos de abcissa 1 e de abcissa 3?

1.3. Admita que a expressão que define a função representada graficamente é

( )3

22 3 3.3

tT t t t= − + +

1.3.1. Determina ( )' .T t

Escola Básica e Secundária Dr. Ângelo Augusto da Silva

Matemática A – 11º Ano

Ficha de Trabalho nº 7

Tema: Introdução ao Cálculo Diferencial I

Nome:___________________________________ Turma: ___ Data: __/___/___

2

1.3.2. Com o auxílio da calculadora gráfica, esboce o gráfico da função derivada.

1.3.3. Indique os zeros da função derivada.

1.3.4. Estude analiticamente o sinal de ( )'T t e compare as respostas dadas em 1.1. e

1.2.

2. Compare a monotonia da função T com a variação do sinal da função derivada.

2.1. Nos intervalos ] ] [ [,1 3,e−∞ +∞ , a função 'T

é __________ e T é _________.

2.2. No intervalo [ ]1,3 , a função '

T é ____________ e T é _____________.

2.3. A função tem um máximo em __________ .

2.4. A função tem um mínimo em ___________.

3. Relacione os zeros da derivada com os maximizantes e minimizantes da função inicial.

4. Escreva uma equação da recta tangente ao gráfico de T no ponto de abcissa 2.

3

�Concluindo…

�Problema…

Um computador regista a distância de uma sonda em relação a um ponto durante três

minutos.

A partir dos registos obtidos foi construído o seguinte modelo matemático:

( ) 3 25 7 4D t t t t= − + − +

em que ( )D t é expresso em milímetros e t em minutos.

Durante o intervalo de tempo de observação, determina, por processos exclusivamente

analíticos, os instantes em que a sonda esteve mais próxima e mais afastada do ponto de referência.

A variação de sinal da 1ª derivada e a monotonia da função estão relacionadas, pois,

� Quando ( )' 0f x > então f é _______________.

� Quando ( )' 0f x < então f é _______________.

Os zeros da derivada correspondem aos extremos da função:

� Quando a 1ª derivada se anula em a e à esquerda desse valor é positiva e à direita é

__________, a função f tem um máximo para ________.

� Quando a 1ª derivada se anula em b e à esquerda desse valor é negativa e à direita é

_________, a função f tem um mínimo para ________.

A 1ª derivada informa-nos acerca da:

� ___________ e existência de ___________ de uma função.