Filtros e Redes

7/24/2019 Filtros e Redes

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Filtros e Redes

Area: Matematica

Analise Complexa\Analise Funcional\Topologia Geral

Daniel Parasio Sobreira de SouzaOrientadora: Ceclia de Souza Fernandez

Universidade Federal Fluminense-UFF

Novembro de 2008


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A Jeova, a minha namoradaJoana Lusa e a meus pais


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Prefacio

Este texto esta baseado no estudo realizado durante o desenvolvimentodo projeto de iniciacao cientfica intitulado Filtros e Redes. Este projetofoi desenvolvido no Instituto de Matematica da Universidade Federal Flu-minense, sob a orientacao da professora Ceclia S. Fernandez, tendo sidocontemplado com uma bolsa PIBIC\CNPq na vigencia 2007-2008.

O objetivo de nosso projeto foi estudar a nocao de convergencia de Bour-baki e a nocao de convergencia de Moore-Smith, que generalizam a nocao desequencias para espacos topologicos arbitrarios. Nosso projeto culminou coma leitura do artigo Construction de caracteres exceptionnels sur une algebre

de Frechet de Djamel Deghoul, publicado na C.R.Acad. Sci Paris em 1991.Neste artigo, o autor construiu um homomorfismo complexo na agebra deFrechetHb(l

2) que se anula em todo o polinomio homogeneo de grau mpar eque e diferente da evaluacao no ponto 0. A construcao do homomorfismo deDeghoul e bastante interessante, pois o que ele de fato constroi e uma base defiltro consistindo de subconjuntos da bola unitaria de l2 com determinadaspropriedades.

No primeiro captulo deste texto, vamos apresentar o conceito de espacotopologico e varios exemplos importantes, como os espacos metricos e os

espacos normados. Apresentaremos neste captulo a nocao de base de umatopologia. Tambem apresentaremos, no contexto de espacos topologicos,as nocoes de interior, fecho e ponto de acumulacao de um conjunto, bemcomo as nocoes de funcoes contnuas e sequencias que sao generalizacoesnaturais das suas correspondentes na reta. Finalizamos o captulo com anocao de espacos de Banach. No segundo captulo, veremos duas nocoesde convergencia que generalizam a nocao de sequencia. Elas sao a nocaode filtro, introduzida por H.Cartan e outros, e a nocao de rede, introduzidapor E.H.Moore, H.L.Smith e outros. No terceiro captulo, faremos um es-tudo detalhado das aplicacoes multilineares e dos polinomios m-homogeneos.Apresentaremos resultados importantes desta teoria como a caracterizacao

da continuidade de uma aplicacao multilinear, a formula da polarizacao, arelacao entre polinomios m-homogeneos (contnuos) e as aplicacoes multili-neares (contnuas) e ou-tros. No quarto captulo, apresentaremos o contra-exemplo de Deghoul, que responde negativamente a um problema propostopor Aron, Cole e Gamelin no artigo Spectra of algebras of Analytic fun-ctions on a Banach Space publicado no Journal fur die reine angewandreMathematik.


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As notacoes usadas neste texto sao usuais e nao devem gerar dificuldades

para o leitor. Mencionamos apenas queX\Adenota a diferenca do conjuntoX pelo conjunto A, ou seja X\A = {x: x X e x /A}, que N denota oconjunto de todos os numeros naturais (incluindo o zero), que N = N\ {0}e que K denota o corpo dos numeros reais ou o corpo dos numeros complexos.

Novembro de 2008.


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Sumario

1. Espacos Topologicos

1.1 Espacos topologicos1.2 Espacos metricos

1.3 Base de uma topologia1.4 Nocoes basicas

1.5 Sequencias1.6 Espacos normados

1.7 Espacos de Banach

2. Filtros e Redes2.1 Filtros

2.2 Base de filtro2.3 Conjuntos parcialmente ordenados

2.4 Redes2.5 Relacao entre filtros e redes

3. Polinomios3.1 Aplicacoes mutilineares

3.2 Polinomios

4. O contraexemplo de Deghoul4.1 Funcoes analticas

4.2 A algebra de FrechetHb(E)4.3 O contraexemplo de Deghoul


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Captulo 1

Espacos Topologicos

A definicao de espaco topologico levou muito tempo para ser formulada.Varios matematicos - Frechet1, Hausdorff2, e outros - propuseram diferentesdefinicoes nas primeiras decadas do seculo passado, ate chegar-se a umaque fosse mais adequada. O termo mais adequadaaqui significa umadefinicao bastante geral, de modo a englobar como casos particulares todosos varios exemplos que sao importantes em Matematica como os espacos eu-clidianos e os espacos de funcoes. Alias esse e sempre o problema quando se

esta tentando formular um novo conceito matematico, pois se deve decidir oquao geral este novo conceito pode ser.

1. Espacos topologicos

Definicao 1.1.1: Sejam Xum conjunto e T uma colecao de subconjuntosde X. T e chamada uma topologia para X se as seguintes condicoes saosatisfeitas:

(i) T;(ii)X T;

(iii) Se A1 T e A2 T, entao A1 A2 T;

1Rene-Maurice Frechet nasceu em 1878 na Franca. Frechet publicou varios artigos.Porem, seu mais importante trabalho e sua tese de doutorado, na qual pela primeira vezse apresenta uma teoria geral sobre espacos metricos.

2Felix Hausdorff nasceu em 1868 na Alemanha. Embora sua definicao, dada em 1914,tenha sido modificada, os fundamentos basicos da topologia geral como sao apresentadosnos dias de hoje seguem as ideias encontradas em seu importante trabalho intituladoGrundzuge der Mengenlehre(Fundamentos da Teoria de Conjuntos).

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2 CAPITULO 1. ESPACOS TOPOLOGICOS

(iv) Se A T comA =, entao {A: A A} T.Os elementos de T sao chamadosconjuntos abertos. Umespaco topologico eum par (X, T), onde X e um conjunto e Tuma topologia para X.

Observemos que a condicao (iii) afirma que a intersecao de dois conjun-tos abertos quaisquer e um aberto. Consequentemente, uma intersecao finitaqualquer de conjuntos abertos e um aberto. Ja a condicao (iv) afirma quea uniao qualquer de conjuntos abertos, nao importando se esta uniao e naoenumeravel, e um aberto. Assim, um espaco topologico e um conjunto Xcom uma colecao de subconjuntos de X, chamados de abertos, tais que eX sao ambos abertos, intersecoes finitas de conjuntos abertos sao abertos e

unioes quaisquer de conjuntos abertos sao tambem abertos.

Vejamos a seguir alguns exemplos de espacos topologicos.

Exemplo 1.1.2 Seja Xum conjunto e seja T = {, X}. Temos que T euma topologia para X, chamada topologia indiscreta.

Exemplo 1.1.3SejaXum conjunto e seja T a colecao de todos os subcon-juntos de X. T e uma topologia para X, chamada topologia discreta.

Pelos exemplos acima, observamos que em qualquer conjunto podemosintroduzir as topologias indiscreta e discreta. No caso em que X=, entaoa unica topologia paraX e {}, e consequentemente, as topologias indiscretae discreta coincidem.

Exemplo 1.1.4 Seja X um conjunto. Consideremos a seguinte colecao desubconjuntos de X:

T ={A X:X\A e um conjunto enumeravel} {}.

Vejamos que T e uma topologia para X. De fato, por definicao T.Tambem X T, ja que X\X = , que e um conjunto enumeravel. Sejam

A1 T e A2 T. Entao, X\A1 e X\A2 sao conjuntos enumeraveis. Con-sequentemente,X\(A1 A2) = (X\A1) (X\A2) e um conjunto enumeravel,e portantoA1A2 T. Seja agora {A: J} um subconjunto de T, ondeJ e um conjunto qualquer nao vazio de ndices. Como, para cada,X\A e

um conjunto enumeravel, segue que X\J

A =J

(X\A) e um conjunto

enumeravel, mostrando assim queJ

A esta em T. Portanto, de fato, T


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e uma topologia para X, chamada topologia coenumeravel. Consideremos

agora a seguinte colecao de subconjuntos de X:

T ={A X:X\A e um conjunto finito} {}.

De maneira analoga ao que fizemos anteriormente e facil verificar que T etambem uma topologia para Xa qual e chamada topologia cofinita.

Exemplo 1.1.5 Seja X um conjunto infinito e T a colecao de todos ossubconjuntos finitos de X, junto com o proprio X. Entao T nao e umatopologia para X, ja que uma uniao de conjuntos finitos pode nao ser umconjunto finito.

O proximo exemplo ilustra que a intersecao qualquer de abertos pode naoser um aberto.

Exemplo 1.1.6 Seja X = N e consideremos T a topologia cofinita paraX. Para cada n N, o conjunto An = {1, n , n + 1, n + 2, . . .} esta em T.

Porem,

nN

An = {1} / T.

O proximo exemplo relembra o que aprendemos numa primeira disciplinade Analise Real.

Exemplo 1.1.7 (A topologia usual de R). Seja Ta colecao de subconjun-tos de R cujos elementos sao o e todo subconjunto nao vazioG de R com apropriedade de que para todox G, existe >0 tal que (x , x + ) G.Temos que T e uma topologia em R, chamada topologia usual, ou topologiaeuclidiana, de R. De fato, as condicoes (i) e (ii) da definicao de topologia saosatisfeitas. Tomemos G1 e G2 em T. Se G1 G2 = , entao nada temos aprovar. SeG1 G2=, tomemosx G1 G2. Existem1> 0 e 2 > 0 taisque (x i, x + i) Gi, para i = 1, 2. Seja = min {1, 2}. Entao > 0e (x , x + ) G1 G2, mostrando que G1 G2 esta em T. Seja agora{G: J} um subconjunto de T, onde J e um conjunto qualquer nao

vazio de ndices. Se x J

G, entao x G0 para algum 0 J. Assim,

existe >0 tal que (x , x + ) G0. Portanto, (x , x + )J

G,

mostrando queJ

G esta emT.

Definicao 1.1.8: Sejam x e V, respectivamente, um ponto e um subcon-junto de um espaco topologico. Dizemos que V e uma vizinhanca de x se


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existe um conjunto aberto G com x G V.

Observemos que todo conjunto aberto nao vazio e uma vizinhanca de cadaum de seus pontos. A recproca deste fato e dada pela seguinte proposicao.

Proposicao 1.1.9: Seja V um conjunto nao vazio de um espaco topologico(X, T). SeV e uma vizinhanca de cada um de seus pontos, entao V T.

Demonstracao: Se V e uma vizinhanca de cada um de seus pontos, entao

para cada x V, existe Gx T com x Gx V. ComoV =xV

Gx e

xV

Gx

T, temos o resultado.

No paragrafo seguinte veremos uma subclasse importante de espacostopologicos, a saber, os espacos metricos.

1.2. Espacos metricos

Definicao 1.2.1: SejamXum conjunto ed e uma funcaod: XX R queassocia a cada par ordenado de elementosx, y em Xum numero reald(x, y),chamado distancia de x a y, de modo que sejam satisfeitas as seguintes

condicoes:

(i)d(x, x) = 0;(ii) Sex=y, entao d(x, y)> 0;(iii)d(x, y) =d(y, x);(iv)d(x, z) d(x, y) + d(y, z).

A funcaod e chamadametricaparaX. Umespaco metrico e um par (X, d),onde X e um conjunto eduma metrica para X.

Vejamos agora alguns exemplos de espacos metricos.

Exemplo 1.2.2SejaXum conjunto. Parax e y em X, definad(x, y) = 1 sex=y e d(x, y) = 0 se x= y. Temos que d e uma metrica para X, chamadametrica discreta.

Exemplo 1.2.3 O espaco (Rn, d) e um espaco metrico, chamado espacometrico euclidiano, onde


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d(x, y) = (x1 y1)2 + (x2 y2)2 + + (xn yn)2

para quaisquerx= (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn) em Rn.

Exemplo 1.2.4 Para w = (x,y,z) R3, defina f(w) = |x|+ |y|. Entaod(w, w) =f(w w) nao e uma metrica para R3, ja que paraw = (1, 2, 3) ew = (1, 2, 4), temos que d(w, w) = 0.

Definicao 1.2.5: Seja (X, d) um espaco metrico. Para cada x0 Xer >0,consideremos os seguintes conjuntos:

B(x0, r) ={x X :d(x, x0)< r},B(x0, r) ={x X:d(x, x0) r},C(x0, r) ={x X :d(x, x0) =r}.

Os conjuntos acima sao chamados respectivamente debola aberta, bola fechadae crculo de centrox0 e raio r.

Dependendo do espaco metrico as bolas e crculos podem adquirir aspec-tos inesperados. Por exemplo, se Xe um espaco com a metrica discreta, entaopara todo x0 X, temos que B(x0, r) =B(x0, r) =X se r >1 e B(x0, r) =B(x0, r) = {x0} se r < 1. Notemos que B(x0, 1) = {x0} e B(x0, 1) = X.

Consequentemente, C(x0, r) = se r = 1 e C(x0, 1) =X\ {x0}.

Seja (X, d) um espaco metrico. Seja T uma colecao de subconjuntosde X cujos elementos sao o e todo subconjunto nao vazio G de X coma propriedade de que para todo x G, existe r > 0 tal que B(x, r) G.Podemos verificar, de modo analogo ao Exemplo 1.1.7, que T e uma topologiapara Xchamada topologia usual de(X, d) ou topologia emX induzida pelametricad. Assim,

todo espaco metrico e um espaco topologico.

Observamos que, salvo mencao em contrario, os conjuntos abertos em(X, d) considerados no texto sao os conjuntos abertos da topologia usual de(X, d).

E natural perguntar se toda topologia pode ser obtida a partir de umametrica, e, se nao, quais podem ser. Os espacos topologicos cujas topologiasprovem de uma metrica sao chamados espacos metrizaveis. Para verificar-mos que nem todo espaco topologico e metrizavel, consideremos um espaco


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como o do Exemplo 1.1.2, sendoXcom mais de um elemento. Se este espaco

fosse metrizavel, entao para quaisquer a e b em X, com a = b, o conjunto{x X :d(x, b)< d(a, b)}seria um aberto nao vazio proprio de X.

O problema de determinar quais espacos topologicos tem suas topologiasgeradas por metricas e chamado o Problema da Metrizacao, e foi resolvidoindependentemente por J. Nagata em 1950 e Y. M. Smirnov em 1951. Comoeste assunto vai alem do nvel do presente texto, nao apresentaremos aqui oTeorema de Metrizacao de Nagata-Smirnov. Porem, para aqueles interessa-dos em ler mais sobre o assunto, indicamos o excelente livro sobre TopologiaGeral de Munkres [7].

O resultado a seguir mostra que toda bola aberta em um espaco metricoe um conjunto aberto.

Proposicao 1.2.6: Seja(X, d) um espaco metrico. Ent ao, para todo a Xe para todo r >0, o conjunto B(a, r) e aberto.

Demonstracao: Se B(a, r) = , entao B(a, r) e um conjunto aberto. SeB(a, r) = , tomemos x B(a, r) e definamos s = r d(x, a). Temos queB(x, s) B(a, r), pois se y B(x, s), entao

d(y, a) d(y, x) + d(x, a)< s + d(x, a) =r.

Como x B(a, r) foi tomado de modo arbitrario, provamos que B(a, r) eum conjunto aberto.

1.3 Base de uma topologia

Usualmente definir uma topologia apresentando todosos seus conjuntosabertos pode ser bastante difcil. Dessa forma, seria bastante util poder men-cionar somente algunsconjuntos abertos, mas suficientes para identificar atopologia unicamente. Por exemplo, se dois conjuntos sao dados como aber-tos de uma topologia, nao ha necessidade de mencionar sua uniao, ja que ela

e automaticamente um aberto. Essas ideias serao exploradas a seguir.

Definicao 1.3.1: Sejam (X, T) e x X. Uma colecao B de subconjuntos(X, T) e chamada uma base local em x se todo elemento de B e uma vizi-nhanca de x e se para toda vizinhancaV de x, existe S Btal que SV.E B e chamada uma base para a topologia T se todo elemento de B e umaberto e se Bcontem uma base local em cada ponto de X.


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Exemplo 1.3.2Consideremos (X, d) um espaco metrico e fixemos x em X.

Seja Ba colecao de todas as bolasB(x, 1

n), onden N

. Temos que B e umabase local em x. Ja a colecao

B(x, 1n

) :n N, x X

e uma base para oespaco metrico (X, d).

Exemplo 1.3.3 Consideremos X um conjunto nao vazio com a topologiadiscreta. O conjunto {x}, x X, e uma base local em x. Ja a colecao{{x}: x X} e uma base para a topologia discreta de X.

Proposicao 1.3.4: Seja X um conjunto e seja B uma colecao de subcon-juntos deXcom as seguintes propriedades:

(i) {A: A B} = X,(ii) para quaisquerUeV em Be para cadax UV, Bcontem um membroW comx W U V.

Entao, existe uma unica topologia paraXque temBcomo base, chamada atopologia gerada porB.

Demonstracao:

Unicidade: Sejam T eT duas topologias paraXque tem Bcomo uma base.

Vamos mostrar que T = T. Ora, tomemos = G T e x G. Peladefinicao de base, existe S Btal que x SG. Como S B, segue queS T e portantoG e uma vizinhanca dex em T. Comox G foi tomadode modo arbitrario, segue da Proposicao 1.1.9 que G T. Provamos assimqueT T. Com um raciocnio analogo temos que T T.

Existencia: Seja T uma colecao de subconjuntos de Xtal que:

(1). T,(2). G= esta emT se G e uma uniao de elementos de B.

Temos que T e a topologia gerada por B. De fato, T por definicao eX T, pois X =

{A: A B}. Seja C = {G: L}, onde G T

para cada L. Para cada L, G =

{A: A B}. Assim,L

G =L

{A: A B} e portanto esta em T. Finalmente, tomemos

G e H em T e x G H. Existem U e V em Btais que x U G ex V H. Pela hipotese, existe Wx Bcom x Wx U V G H.


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Como G H = {Wx: x G H} e {Wx: x G H} esta em T, segueque G H esta em T. Para finalizarmos a prova, devemos mostrar queB e uma base para T. Ora, pela definicao de T, todo elemento de B eum aberto. Seja agora x X e V uma vizinhanca de x. Entao existeG T com x GV. Como G T, G e uma uniao de elementos de B.Tomemos um desses elementos de Bque contem xe chame-o de Bx. Temosquex Bx V.

Definicao 1.3.5: Seja (X, T) um espaco topologico e seja x X. (X, T) edito ser primeiro contavel em x se existe uma base local em x enumeravel.Se (X, T) e primeiro contavel em cada um de seus pontos, entao (X, T) edito serprimeiro contavel.

Exemplo 1.3.6 Todo espaco metrico X e primeiro contavel, ja que paracadax X,

B(x, 1

n) :n N

e uma base local em x enumeravel.

Terminamos este paragrafo observando que numa primeira disciplina deAnalise Real, vemos que muitos conceitos e resultados apresentados podemser reformulados atraves da nocao de sequencias. Por exemplo, e usualdefinirmos fecho de um conjunto da seguinte forma: seja a S R. Dizemosquea Sse todo conjunto aberto contendoainterceptaS. A caracterizacaoda nocao de fecho pode ser feita atraves do uso de sequencias. De fato, dado

a SR

, temos quea Sse, e somente se, existe (xn) sequencia em Stalquexna(ver [2]). Vamos mostrar que se estamos num espaco topologicoprimeiro contavel, entao e possvel descrever as nocoes topologicas em termosde sequencias, em vez de usarmos conjuntos abertos e vizinhancas. Contudo,como veremos, tais descricoes sao impossveis em geral (veja exemplos 1.5.14e 1.5.15).

1.4 Nocoes basicas

Neste paragrafo vamos apresentar algumas nocoes basicas associadas aosespacos topologicos. Mais precisamente, vamos apresentar os conceitos de

conjunto aberto, conjunto fechado e fecho de um conjunto. Tambem nestasecao vamos definir, no contexto dos espacos topologicos, funcoes contnuase apresentar alguns de seus resultados.

Definicao 1.4.1: SejamXum espaco topologico,SXe x S. Dizemosque x e um ponto interior a S se S e uma vizinhanca de x. O cojunto detodos os pontos interiores aSe chamado de interior de Se e denotado porS.


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Proposicao 1.4.2: Sejam Xum espaco topologico e SX. S e a uniao

de todos os abertos contidos em S.

Demonstracao: Primeiramente, note que para todo GSaberto, temosque S e uma vizinhanca de todos os pontos de G. Logo, G S. Con-sequentemente,

{G: G SeG e aberto} S. Para provarmos a outra

inclusao, vejamos que S e aberto. De fato, para cada x S, S e umavizinhaca de x. Logo, para cada x S, existe um aberto Gx S talque x Gx. Como uma uniao arbitraria de abertos e um aberto, temos

que

xS

Gx e um aberto contido em S e portanto contido em S. As-

sim, S = xS

{x} xS

Gx

S. Logo, xS

Gx

= S e como cada

Gx e aberto, S e aberto. Como S e aberto e S S, temos que S

{G: G Se G e aberto}. Logo,S =

{G: G Se G e aberto}.

Definicao 1.4.3: Sejam (X, T) um espaco topologico e F X. Dizemosque F e um conjunto fechado em X se X\F T. Ou seja, um conjunto efechado em Xse seu complementar e um aberto emX.

Exemplo 1.4.4Em um espaco topologicoX, temos queXe sao fechados.

Proposicao 1.4.5: Seja (X, d) um espaco metrico. Entao, para todoa Xe para todo r >0, o conjunto B(a, r) e fechado.

Demonstracao: Se B(a, r) = , entao B(a, r) e um conjunto fechado. SeB(a, r) = , tomemos x X\B(a, r) e definamos s = d(x, a) r. Temosque B(x, s) X\B(a, r), pois se y B(x, s), entao d(x, y) < s ou seja,d(x, y) < d(x, a) r; o que implica que d(x, y) < d(x, y) + d(a, y) r quee equivalente a r < d(a, y). Comox X\B(a, r) foi tomado de modo ar-bitrario, provamos queX\B(a, r) e um conjunto aberto e portantoB(a, r) efechado.

Proposicao 1.4.6: Seja (X, T) um espaco topologico. Entao valem asseguintes propriedades:

(i) SeF1, . . . , F n sao conjuntos fechados emX entaon

i=1

Fi e um fechado;

(ii) Se(F)L e uma famlia arbitr aria de conjunto fechados emX, entao


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L F e um fechado.Demonstracao: (i) Como cada Fi e fechado, para cada i, X\Fi e aberto.

ComoX\n

i=1

Fi =n

i=1

X\Fie a intersecao finita de abertos e um aberto, segue

queX\n

i=1

Fi e aberto e, portanto,n

i=1

Fi e fechado.

(ii) Como cada F e fechado, para cada L, X\F e aberto. Como

X\L

F =L

X\F e a uniao arbitraria de abertos e um aberto, segue

queX\ L

F e aberto e portanto, L

F e fechado.

Definicao 1.4.7: Seja X um espaco topologico e seja S X. O fecho deS, denotado porS, e a intersecao de todos os fechados emXque contem S.Observemos que como uma intersecao arbitraria de fechados e um fechado,temos que para todo SX, S e um fechado que contem S. Dado um con-

juntoD X se D = X,D e ditodenso emX.

Proposicao 1.4.8: Sejam X um espaco topologico e S X. Temos quex Sse e somente se para toda vizinhancaN de x,N S=.

Demonstracao: Sejam X um espaco topologico e S X. Seja x S.Suponhamos por absurdo que exista N vizinhanca de x tal que N S=.Como N e vizinhanca de x, existe G N aberto tal que x G. ComoN S = temos que G S = ; da, temos que S X\G, mas X\G efechado e x / X\G. Absurdo, pois S e a intersecao de todos os fechadosque contem S. Seja agora x X tal que para toda vizinhanca N de x te-nhamos N S = . Suponhamos por absurdo que x / S. Da, temos quex X\S. Como S e fechado, temos que X\S e um aberto que contem xe portanto uma vizinhanca dexque nao possui intersecao comS. Absurdo.

Teorema 1.4.9: Sejam X um espaco topologico e F X. Entao, F efechado se e somente se F F.

Demonstracao: Suponhamos que F e fechado. Da, F e um fechado que

contem F. Como F =

{S:SF e S e fechado}, temos que F F.

Suponhamos agora que F F. Como F F, temos que F =F. Como Fe fechado, segue entao que F e fechado.


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Definicao 1.4.10: Sejam X e Y espacos topologicos e sejam x X ef :X Y uma funcao. Dizemos quef e contnua emx se para toda vizi-nhancaN def(x),f1(N) e uma vizinhaca dex. Dizemos quef econtnuaemX se f e contnua em todos os pontos de X.

Exemplo 1.4.11 Como visto no curso de Analise I, as funcoes polinomiaisde R em R sao contnuas em R.

Exemplo 1.4.12 Sejam X e Y espacos topologicos e a Y. A funcaof :x X a Y e contnua.

Teorema 1.4.13: Sejaf :XYuma funcao. Temos quef e contnua emXse e somente se para todo G aberto em Y,f1(G) e um aberto em X.

Demonstracao: Suponhamos que f e contnua em X. SejaG um abertoem Y. Se f1(G) = , o resultado e valido. Suponhamos quef1(G)=.Seja x f1(G). Da, f(x) G e como G e aberto, G e uma vizinhanca def(x). Comof e contnua emX, temos quef1(G) e vizinhanca dex. Comoxfoi tomado de modo arbitrario emf1(G), temos quef1(G) e vizinhancade cada um de seus pontos o que implica, pela Proposicao 1.1.9, quef1(G) eum aberto emX. Suponhamos agora que para todo aberto G em Y,f1(G)

e um aberto em X. Seja x X e seja N uma vizinhanca de f(x). Da,existeG Naberto em Y tal que f(x) G. Mas, x f1(G) f1(N) epor hipotesef1(G) e aberto em X. Assim,f1(N) e uma vizinhanca dex.Comox foi tomado de modo arbitrario emX, segue quefcontnua em X.

Proposicao 1.4.14: Seja X um conjunto e sejam T e T duas topologiasparaX. Temos queT T se e somente se id : (X, T) (X, T) e contnuaemX, onde id denota a funcao identidade emX.

Demonstracao: Suponhamos que T T. Seja G T. Como, id e afuncao identidade em X, temos que id1(G) =G. Da, como T T, temos

queG T e portantoide contnua pelo Teorema 1.4.13. Suponhamos agoraqueid: (X, T) (X, T) e contnua. Da, para todo G T, id1(G) T.Comoid1(G) =G, segue pelo Teorema 1.4.13 que G T. Logo,T T.

Terminamos essa secao apresentando a seguir uma outra caracterizacaoda nocao de continuidade de uma funcao.

Proposicao 1.4.15: Sejam X e Y espacos topologicos e f : X Y uma


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funcao. Entao, f e contnua em X se e somente se f(S) f(S) para todo

SX.

Demonstracao: Suponhamos quef e contnua emX. SejaS X. Vamosmostrar quef(S) f(S). Sejay f(S). Da, existe x Stal quey = f(x).Como f e contnua em X, temos que f e contnua em x. Da, para toda Nvizinhanca de f(x), f1(N) e vizinhanca de x. Mas como x S, temospela Proposicao 1.4.8 que f1(N) S=. Tomemosz f1(N) S. Da,f(z) f(f1(N)) e f(z) f(S). Masf(f1(N)) N; assim,Nf(S) =.Logo, y f(S). Suponhamos agora que f(S) f(S) para todo S X.Suponhamos por absurdo que f nao e contnua em algum x X. Da,existe N vizinhanca de f(x) tal que f1(N) nao e vizinhanca de x. Seja

S=X\f1(N). Como f1(N) nao e uma vizinhanca de x, temos que paratodo abertoGcontendox,GS=, o que implica que toda vizinhanca dexpossui intersecao com S. Pela Proposicao 1.4.8, x S. Como x S, temosque f(x) f(S). Contudo, f(S) = {f(x) :x X e x /f1(N)} e comoN f(f1(N)), temos que f(S) N=. Da, novamente pela Proposicao1.4.8,f(x) /f(S), contrariando assim a nossa hipotese. Assim,f e contnua.

1.5 Sequencias

Neste paragrafo vamos apresentar o conceito de convergencia de umasequencia em um espaco topologico qualquer. Vamos tambem verificar queem espacos topologicos primeiro contaveis, as propriedades topologicas po-dem ser caracterizadas por meio das sequencias. Escolhemos neste trabalhoanalisar duas dessas propriedades: a propriedade de um ponto estar no fechode um conjunto e a propriedade de uma funcao ser contnua em um ponto.Vamos mostrar que em espacos primeiro contaveis, essas propriedades po-dem ser caracterizadas por meio de sequencias. Alias, as demonstracoesneste contexto se baseiam em argumentos semelhantes aos vistos em umaprimeira disciplina de Analise Real.

Definicao 1.5.1: Dado um conjunto X qualquer, uma sequencia em X eum funcao de N emX. Assim, uma sequencia em um espaco topologicoX euma funcao de N emX. Usualmente denotamos f(n) porxn e a sequenciapor (xn).

Definicao 1.5.2: Seja x X, onde X e um espaco topologico. Dizemosque uma sequencia (xn) emXconverge parax, em smbolos xn x, se para


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13

toda vizinhanca N de x, existe n0 N tal que se n n0, entao xn N.

Qualquer ponto de Xtal que xn x e dito um limite de (xn).

Exemplo 1.5.3 Seja (xn) uma sequencia em um espaco metrico (X, d).Temos que xn x se e somente se para todo > 0 existe n N

talque se n n0, entaoxn d(xn, x)< .

Suponhamos quexn x. Da, para toda vizinhancaN dex, existe n0 N

tal que se n n0 entao xn N. Dado > 0 temos que toda bola abertaB(x, ) e uma vizinhanca de x. Assim, se xn x, existe n0 N

tal que sen n0 entao, xn B(x, ) isto e, d(xn, x)< . Suponhamos agora que paratodo >0 exista n0 N

tal que se n n0 entao d(xn, x)< . Seja N umavizinhanca dex. Da, existeG Naberto tal quex G. Mas, sendoG umaberto, G e uniao de bolas abertas. Logo, existe >0 tal que B(x, ) G epor hipotese, existen0 N tal quen n0 implica que d(xn, x)< ; ou seja,xn B(x, ) N. Assim, para toda vizinhanca N de x, existe n0 N

talque se n n0 entao xn N.

Proposicao 1.5.4: Em um espaco metrico, o limite de uma sequencia eunico.

Demonstracao: Seja (xn) uma sequencia convergente em um espaco metrico

(X, d). Suponhamos que xn x X e xn y X com x = y. Comox=y e (X, d) e metrico, temos qued(x, y)>0. Tomemos = d(x, y). Comopor hipotese xn x e xn y, temos que existem n1, n2 N

tais que sen n1, entao d(xn, x) 0. Comoxn x, temos que existe n N

tal que se n n0 entao, d(xn, x) < 2

. Sejam m, n n0. Da, temos qued(xm, x) 0 existe k0 N tal que se l, m k0 entao |xli xmi| <

para cada 1 i n ou seja, para cada 1 i n (xki)kN

e umasequencia real de Cauchy e portanto convergente. Para cada 1 i n,seja ai = lim

kxki. Consideremos a= (a1, . . . , an) R

n. Vamos mostrar que

xk a. De fato, como, para cada 1 i n, ai = limk

xki, temos que para

cada 1 i n, existe k0i N tal que se ki k0i, entao |xki ai| 0.


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Definicao 1.6.3: Um espaco normado e um espaco vetorial no qual esta

definida uma norma.

Seja E um espaco normado e uma norma em E. Consideremos afuncaod: EE R definida pord(x, y) =x y para quaisquerx, y E.Sejam x, y E. Caso x = y, temos que d(x, x) = x x = 0 = 0.Caso x = y, temos x y = 0 o que implica pela proposicao anteriorque d(x, y) = x y > 0. Temos tambem que d(x, y) = x y =1 (y x) = |1| y x = y x = d(y, x). Finalmente, sejamx,y,z E. Da, d(x, y) = x y = (x z) + (z y) x z+z y= d(x, z) + d(z, y) =d(x, z) + d(y, z). Assim, temos que (E, d) e umespaco metrico. Uma metrica obtida da maneira acima e dita induzida pela

norma. Assim,

todo espaco normado e um espaco metrico.

Exemplo 1.6.4 O espaco (Rn, ) e um espaco normado ondex =

x21+ . . . + x

2n para qualquer x = (x1, . . . , xn) R

n e chamada anorma euclidiana. Note que se n= 1 recamos sobre o caso (R, | |).

Exemplo 1.6.5 Sejam X um conjunto e B(X) o espaco vetorial de to-das as funcoes f : X K limitadas. Consideremos a funcao definida por

f= supxX

|f(x)|. Provaremos que e uma norma.

i) Seja f B(X) com f nao identicamente nula. Da, existe x X tal quef(x)= 0 e portanto,|f(x)|> 0. Logo, f= sup

xX|f(x)| |f(x)|> 0.

ii) Sejaf B(X) com K ef B(X). Temos que f= supxX

|f(x)|=

supxX

|| |f(x)|. Como || 0, temos que supxX

|| |f(x)| = || supxX

|f(x)| =

|| f.

iii) Sejam f, g B(X). Para todo x X temos que |f(x) + g(x)| |f(x)| + |g(x)| sup

xX|f(x)| + sup

xX|g(x)|. Da, sup

xX|f(x) + g(x)|= f+ g

supxX

|f(x)| + supxX

|g(x)|= f + g.

Exemplo 1.6.6Consideremos o intervalo real nao degenerado [a, b]. Temosque,C([a, b]) e um subespaco vetorial de B([a, b]). Para cadafC([a, b]),

definamosf=b

a|f(t)| dt. Provaremos que e uma norma.


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19

i) Seja f C([a, b]) nao identicamente nula. Da, existe x [a, b] tal que

f(x) = 0. Como f e contnua, temos que existe > 0 tal que para todoy (x , x + ), f(y)f(x) > 0; o que implica que |f(y)| > 0 para todo

y (x , x + ). Da, f =b

a|f(t)| dt =

xa

|f(t)| dt+x+

x |f(t)| dt+b

x+|f(t)| dt

x+x

|f(t)| dt >0.

ii) Seja f C([a, b]) com f C([a, b]) e K. Temos que f =ba

|f(t)| dt=b

a|| |f(t)| dt= ||

ba

|f(t)| dt= || f.

iii) Sejam f, g C([a, b]). Temos que f+ g =b

a|f(t) + g(t)| dt

b

a|f(t)| dt +

b

a|g(t)| dt= f + g.

Exemplo 1.6.7(Espacos lp): Sejam p [1, +) fixado e lp o conjunto

de todas as sequencias (xn)nN de elementos de K tais que

n=1

|xn|p con-

verge. Mostraremos que se definirmos (xn)nN+ (yn)nN = (xn+ yn)nNe (xn)nN = (xn)nN com (xn)nN, (yn)nN l

p e K, entao lp e umespaco vetorial e mostraremos tambem que a funcao pde l

p em R definida

por (xn)p =

n=1

|xn|p

1p

e uma norma em lp. Para isso precisaremos de

alguns resultados que faremos a seguir.

Note que se p = 1, recamos sobre o caso de series absolutamente conver-gentes estudado em Analise I. Assim, nos restringiremos ao caso p > 1.

Proposicao 1.6.8: Se 0<


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n

k=1 |x

kyk| n

k=1 |x

k|

p1p

n

k=1 |y

k|

q1q

.

Demonstracao: Cason

k=1

|xk|p = 0 ou

nk=1

|yk|q = 0 a proposicao e trivial-

mente verdadeira. Consideremos entao o cason

k=1

|xk|p >0 e

nk=1

|yk|q >0.

Para cada 1 i n, ponhamos ai = |xi|

p

n

k=1|xk|

p

e bi = |yi|

q

n

k=1|yk|

q

.

Tomando = 1p

e aplicando a proposicao anterior com a = ai e b = bi

para cada 1 i n, temos que a1p

i b1q

i 1p

ai + 1q

bi o que equivale a|xi|0

B@n

k=1

|xk|p

1CA

1p

|yi|0B@

nk=1

|yk|q

1CA

1q

1p

|xi|p

nk=1

|xk|p

+ 1q

|yi|q

nk=1

|yk|q

.

Da,n

i=1

|xiyi|

nk=1

|xk|p1p n

k=1

|yk|q1q

n

i=1

1

p

|xi|p

nk=1

|xk|p

+1

q

|yi|q

nk=1

|yk|q

,

o que equivale a

ni=1

|xiyi|

0B@

nk=1

|xk|p

1CA

1p0B@

nk=1

|yk|q

1CA

1q

1p

ni=1

|xi|p

nk=1

|xk|p

+ 1q

ni=1

|yi|q

nk=1

|yk|q

=

1p

+ 1q

= 1.

Substituindoi por k , chegamos ao resultado desejado.

Proposicao 1.6.10(Desigualdade de Minkowski): Se q R e tal que

1p

+ 1q

= 1, se n N e x1, . . . , xn, y1, . . . , yn K, entao

nk=1

|xk+ yk|p

1p

nk=1

|xk|p

1p

+

nk=1

|yk|q

1q

.


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Demonstracao: Cason

k=1 |xk+ yk|p = 0 a proposicao e trivialmente ver-

dadeira. Consideremos entao o cason

k=1

|xk+ yk|p >0.

Temos quen

k=1

|xk+ yk|p =

nk=1

|xk+ yk|p1 |xk+ yk|

nk=1

|xk+ yk|p1 |xk|+

nk=1

|xk+ yk|p1 |yk|. Mas, temos pela desigualdade de Holder que

n

k=1 |xk+ yk|p1 |xk| +

n

k=1 |xk+ yk|p1 |yk|

nk=1

|xk|p

1p

nk=1

|xk+ yk|(p1)q

1q

+

nk=1

|yk|p

1p

nk=1

|xk+ yk|(p1)q

1q

.

Assim,

nk=1

|xk+ yk|p

nk=1

|xk+ yk|(p1)q

1q

n

k=1

|xk|p

1p

+

nk=1

|yk|p

1p

.

Como 1p

+ 1q

= 1, temos que (p 1)q= p. Da, multiplicando ambos os mem-

bros da desigualdade acima por n

k=1

|xk+ yk|p1q

, temos que

nk=1

|xk+ yk|p

1p

nk=1

|xk|p

1p

+

nk=1

|yk|p

1p

. Provando assim a de-

sigualdade desejada.

Segue da desigualdade de Minkowski que se (xn), (yn) lp, entao (xn + yn)

lp e (xn+ yn)p (xn)p+(yn)p. Como as outras propriedades de espacovetorial e norma sao trivialmente satisfeitas, temos que lp e um espaco nor-

mado.

1.7 Espacos de Banach

Definicao 1.7.1: Seja Eum espaco normado. Dizemos que E e umespacode Banach se E e um espaco metrico completo relativamente a metrica in-duzida por sua norma.


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Exemplo 1.7.2 Consideremos o espaco normado (Rn

, ) onde e anorma euclidiana. Temos que a metrica d induzida por e a metricaeuclidiana e na proposicao 1.5.11, vimos que (Rn, d) e completo. Assim,(Rn, ) e um espaco de Banach.

Exemplo 1.7.3 Os espacoslp, com p [1, +), sao espacos de Banach.

Fixemos p [1, +). Seja (xn) uma sequencia de Cauchy em lp. Paracadan N, ponhamosxn= (xn1, xn2, . . . , xni, . . .). Fixado qualqueri N

,

temos que |xmi xni| xm xnp=

j=1 |xmj xnj|p1p

. Logo, (xni)nN

e uma sequencia de Cauchy em K. Como toda sequencia de Cauchy em Ke convergente, temos que para cada i N, existe lim

nxni = ai K. Seja

a= (a1, a2, . . . , ai, . . .) e seja >0. Como (xn) e de Cauchy, existe n0 N

tal que se m, n n0 entao xn xmp =

j=1

|xmj xnj|p

1p

< 2 . Logo,

para todok N em, n n0, temos que

ki=1

|xmi xni|p

1p

< 2

. Fazendo

m na ultima desigualdade, conclumos que para todo k N e para

todo n n0 segue que

ki=1

|ai xni|p

1p

2 . Fazendo agorak , re-

sulta que

i=1

|ai xni|p

1p

2

, para todo n n0. Em particular, n n0

implica a xn lp. Segue-se que a = a xn+ xn lp, pois xn lp quecomo ja mostramos e um espaco vetorial. Assim, temos que se n n0,xn ap

2

< , ou seja, limn

xn = a lp. Assim, toda sequencia de

Cauchy em lp e convergente e portanto lp e um espaco de Banach.


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Captulo 2

Filtros e Redes

Em 1915, um artigo de E. H. Moore apareceu no Proceedings of the Na-tional Academy of Sciences U.S.A.intitulado Definition of limit in generalintegral analysis. Esse artigo gerou a teoria de convergencia de Moore e H.L. Smith que apareceu no artigo A general theory of limits publicado noAmerican Journal of Mathematicsem 1922. Em 1937, G. Birkhoff aplicoua teoria de convergencia de Moore-Smith em topologia geral em um artigointituladoMoore-Smith convergence in general topology, o qual apareceu noAnnals of Mathematics. Em 1940, J. W. Tukey fez uso extensivo da nocaode convergencia de Moore-Smith em seu livro intitulado Convergence anduniformity in topologypublicado no Annals of Mathematics Studies series.Tukey trabalhou com objetos que sao um caso especial do que hoje chamamosde redes, que sao uma generalizacao do conceito de sequencia.

Uma teoria equivalente de convergencia usando objetos chamados filtrossurgiu por volta de 1930, desenvolvida pelo grupo Bourbaki, na Franca. Em-bora a teoria dos filtros seja a teoria de convergencia preferida pela maioriados topologistas, existem situacoes em que seu uso se torna extremamentedelicado. Por exemplo, no estudo dos superespacos de um espaco uniforme, osobjetos dos superespacos sao subconjuntos do espaco original. Dessa forma,filtros, que sao colecoes de subconjuntos de um espaco, se tornam difceis de

serem construdos em um superespaco.

Neste captulo vamos estudar ambas as nocoes de convergencia; maisprecisamente a nocao de rede, ou nocao de convergencia de Moore-Smith,e a nocao de filtro, ou nocao de convergencia de Bourbaki. Vamos carac-terizar conceitos e resultados vistos anteriormente no contexto de espacostopologicos via ambas as nocoes de convergencia.

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24 CAPITULO 2. FILTROS E REDES

2.1 Filtros

Definicao 2.1.1: Sejam Xum conjunto e Fuma colecao de subconjuntosdeX. Dizemos queF e umfiltro emXse satisfaz as seguintes propriedades:

(i)X F;(ii) / F;(iii) SeA F e B F, entao A B F;(iv) Se A F e A CX, entao C F.

Exemplo 2.1.2SejaX um conjunto. Fixemosx Xe consideremos o con-

juntoDx= {A X :x A}. Dx e um filtro em Xchamadoo filtro discretoem x.

Exemplo 2.1.3 Seja X um conjunto. Fixemos x X e consideremos oconjunto Ix = {X}. Ix e um filtro em X chamado o filtro indiscreto em x.Note que Ix independe de x.

Exemplo 2.1.4 Seja Xum espaco topologico. Fixemos x Xe considere-mos o conjuntoNx = {NX:N e vizinhanca de x}. Nx e chamado ofiltrovizinhanca em x.

Com a definicao de filtro vizinhanca estamos agora em condicoes de definira convergencia de um filtro.

Definicao 2.1.5: Sejam Fum filtro em X e x X. Dizemos queF con-verge parax, e denotamosF x, se F Nx.

Note que se F e um filtro tal que F x e F e um filtro tal que F F,temos que F x. Note tambem que Nx x.

Exemplo 2.1.6 Sejam Xum conjunto e (xn) uma sequancia em X. SejaF = {A X:xn A para n suficientemente grande}. Temos queF e umfiltro e que F x se e somente xn x. De fato, suponhamos que F x.Da, Nx F, o que implica que para toda vizinhanca N de x, xnN paran suficientemente grande; isto e, xn x. Suponhamos agora quexn x.Da, para toda vizinhanca N de x, xn N para n suficientemente grande;assim, para toda vizinhancaNdex,N F; isto e, Nx F. Assim,F x.


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2.2 Base de filtro

Definicao 2.2.1: Sejam Xum conjunto e Buma colecao de subconjuntosde X. Dizemos que B e uma base de filtro em X se satisfaz as seguintespropriedades:

(i)B =;(ii) / B;(iii) Se A Be B B, entao existe CA B tal que C B.

Exemplo 2.2.2Todo filtro em um conjunto X e uma base de filtro em X.

Exemplo 2.2.3 Seja Bo conjunto dos discos em R2 que contem a origem.B e uma base de filtro em R2.

Proposicao 2.2.4: Sejam Xum conjunto e B uma base de filtro em X.Consideremos o conjunto F = {A: A B para algumB B}. Temos queF e um filtro em X.

Demonstracao: Temos que / Fpois o unico conjunto contido em e elemesmo e / B. Como para todo B B, XB, temos que X F. SejamA, B F. Da, existem A, B B tais que A A e B B. ComoB e

base de filtro, existe C

B tal que C

A

B

. Mas,A

B

A B;logo, C A B e como C B, temos que A B F. Sejam A Xe B F tais que A B. Como B F, temos que existe C B tal queBC. Da, como A B , temos que A C; portanto,A F. Assim, F eum filtro, chamadoo filtro gerado por B.

Definicao 2.2.5: Dizemos que uma base de filtro Bconverge parax, e de-notamosB x, se o filtro gerado porBconverge para x.

Proposicao 2.2.6: Seja Buma base de filtro em um espaco topologico X.Temos que B x se e somente se para toda vizinhanca de x, existe B B

tal que B N.

Demonstracao: Suponhamos que B x. Da, o filtro gerado por BcontemNx, o que implica que para toda N Nx temos que N B para algumB B. Suponhamos agora que para todaN Nx, existe B B tal queBN. Da, para toda NNx, Npertence ao filtro gerado por B. Assim,o filtro gerado por B contem Nx o que implica que este converge para x.Assim,B x.


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Teorema 2.2.7: Sejam Xum espaco topologico, x X, e SX. Entao,x Sse e somente se existe Bbase de filtro emStal que B x.

Demonstracao: Suponhamos que x S. Seja B = {N S:NNx}.Vamos mostrar que B e uma base de filtro em S. Primeiramente, note queS=X S B; logo, B =. Temos tambem que / B, pois como x S,temos que para toda N Nx, N S = . Sejam agora N1 S e N2 Selementos deB. Como (N1 S) (N2 S) = (N1 N2) S; eN1 N2 Nx,temos que (N1 S) (N2 S) B. Assim, B e uma base de filtro. SejaN Nx, da, N SN. Assim, para todaN Nx, existe B Btal queB N; temos assim pela proposicao 2.2.6 que B x. Suponhamos agora

que existe Bbase de filtro em S tal que B x. SejaN Nx. Da, existeB Btal que B N. ComoB S, temos queN S=. Assim,x S.

Definicao 2.2.8SejamXum conjunto nao vazio eUum filtro emX. Dize-mos que U e um ultrafiltro emX se U e um filtro maximal em X. Ou seja,se para todo filtro F emXtal que U Ftemos queU=F.

A seguir enunciaremos o teorema central da teoria dos ultrafiltros porem,nao faremos aqui sua demonstracao pois esta depende do Lema de Zorn, fu-gindo assim do proposito do texto.

Teorema 2.2.9(Teorema do Ultrafiltro): SejaXum conjunto nao vazioqualquer. Entao, dada qualquer base de filtro BemX, existe um ultrafiltro

U emXtal queB U.

Proposicao 2.2.10: Sejam X e Y conjuntos. Sejaf :XY uma funcaoe sejaUuma ultrafiltro em X. Entao,

(i)f[U] e uma base de filtro em Y.(ii) o filtro gerado por f[U] e um ultrafiltro em Y.

Demonstracao: (i): Por definicao f[U] = {f(A) :A U}. ComoU e fil-tro, / Ue, consequentemente, / f[U]. Tomemos agora B1, B2 f[U].Entao,B1= f(A1) e B2 = f(A2), onde A1 e A2 estao emU. ComoU e umfiltro,A1 A2 U. Portanto,B3= f(A1 A2) UeB3 f(A1) f(A2) =B1 B2. Isto mostra que f[U] e uma base de filtro em Y.

(ii) Chamemos de U o filtro gerado por f[U]. Da, por definicao, U ={CY :CB para algum B f[U]}. Mostraremos que U e maximal, ou


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seja, que U e um ultrafiltro. Tomemos Fum filtro em Y com U F. Deve-

mos mostrar que F U. Suponhamos que Fnao esta contido em U. Entao,existe W F com W / U. Comof[U] F, temos entao que W / f[U],ou seja, f1(W) / U. Como U e ultrafiltro, segue que X\f1(W)

U. Consequentemente, f(X\f1(W)) f[U] U F. Mas, entao,Wf(X\f1(W)) F, ja queW F. Entretanto,Wf(X\f1(W)) = ,e como F e um filtro, nao pode pertencer a F. Portanto, F U. Assim,U e um ultrafiltro em Y.

Encerraremos este captulo apresentando um resultado sobre ultrafiltroscuja demonstracao deixaremos a cargo do leitor. Mas antes, vejamos aseguinte definicao.

Definicao 2.2.11: Seja X um espaco topologico. Dizemos que X e umespaco de Hausdorff se para quaisquerx, y Xexistem V vizinhanca de xeW vizinhanca de y tais que V W =.

Exemplo 2.2.12: Todo espaco metrico (X, d) com 2 ou mais elementose um espaco de Hausdorff. De fato, sejam x, y X com x = y. Da,d(x, y) > 0. Seja r = d(x,y)2 e consideremos as bolas abertas B (x, r) e

B (y, r). Seja z B(x, r). Da, d(x, z) < r; ou seja, d(x, z) < d(x,y)2

.

Mas, temos que d(x,y)2

d(x,z)2

+ d(z,y)2

. Assim, d(x, z) < d(x,z)2

+ d(z,y)2

o

que implica que d(x,z)2 < d(z,y)

2 ou seja, r = d(x,z)

2 < d(x, z) < d(z, y). As-sim, z /B(x, r). Como zfoi tomado arbitrariamente, temos que para todoz B(x, r), z / B(y, r); isto e, B(x, r) B(y, r) = provando assim oresultado desejado.

Proposicao 2.2.13: SejaXum espaco topologico de Hausdorff e sejaUumultrafiltro em X. Se existe A U compacto, entao U e convergente. Maisainda, seu limite e unico e pertence ao conjunto A.

2.3 Conjuntos parcialmente ordenados

Definicao 2.3.1: Um conjuntoXcom uma relacao binaria, reflexiva e tran-sitiva e dito um conjunto parcialmente ordenado.

Exemplo 2.3.2 (R, ) e um conjunto parcialmente ordenado, onde e aordem usual de R.


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Exemplo 2.3.3(Ordem por contencao) Seja X um conjunto. Temos que(P(X), ) e um conjunto parcialmente ordenado, pois, para quaisquerA, Be Ccontidos em X,A A e A B Cimplica que A C.

Exemplo 2.3.4(Ordem por inclusao) Seja X um conjunto. Temos que(P(X), ) e um conjunto parcialmente ordenado, pois, para quaisquerA, Be Ccontidos em X,A A e A B Cimplica que A C.

Exemplo 2.3.5Seja X= (0, 2) \ {1}. Para quaisquer dois elementos x, yX, definamos x y como |x 1| |y 1|, onde o smbolo refere-se adesigualdade usual em R. Tomemos x = 3

2 e y = 1

2. Temos que 3

2 1

2 3

2

e 12 = 32 . Esse exemplo mostra que a ordem em um conjunto parcialmenteordenado nao e necessariamente antisimetrica.

Definicao 2.3.5: Um conjunto parcialmente ordenadoX e dito um conjuntodirigido se para quaisquer x, y Xexiste zXtal que z x e z y.

Exemplo 2.3.6 Seja B uma base de filtro. Temos que para quaisquerA, B B, existe C B tal que C A B . Assim, C A e C B.Logo, (B, ) e um conjunto dirigido.

2.4 Redes

Definicao 2.4.1: Seja X um conjunto nao vazio. Uma funcao em X quetem como domnio um conjunto dirigido e dita uma rede emX. Dada umarede f : D X, usualmente denotamos f(), D, pelo smbolo x. Edenotamos a propria rede f pelo smbolo (x : D), ou simplesmente (x)quando nao for necessario especificarD.

Exemplo 2.4.2As sequencias sao exemplos de redes que tem como domnioo conjunto N.

Exemplo 2.4.3SejaD = (0, 1) com sua ordem usual. Para cada D sejaf(x) = cos(x) para todox R. Temos que (f:D) e uma rede de funcoesreais de uma variavel. Note que esta rede nao e uma sequencia.

Definicao 2.4.4: Sejam (x : D) uma rede em um conjunto X e S X.Dizemos quex Seventualmentese existe0 D tal quexSpara todo 0 e dizemos que x S frequentemente se para todo D x0 S


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29

para algum 0 D com0 .

Proposicao 2.4.5: Seja (x : D) uma rede em um conjunto X. SejamS1, . . . , S n subconjuntos de X e suponha que para cada k {1, . . . , n},

xSk eventualmente. Entao, x n

k=1

Sk eventualmente.

Demonstracao: Por hipotese, para cada k , existe 0k tal que x Sk paratodo0k . Como D e dirigido, temos que existe 0 tal que 0 0k para

todo k. Assim, para todo 0, x Sk para todo k. Logo, x n

k=1

Sk

eventualmente.

Definicao 2.4.6: Seja (x) uma rede em um espaco topologico X. Dize-mos que (x) converge a x, em smbolos x x, se para toda N Nx,x N eventualmente. Quando x converge para um unico ponto, escreve-mos lim x =x. Qualquerx tal que xx e chamado um limitede (x).

Exemplo 2.4.7 Seja D = (0, 1) com sua ordem usual. Qualquer rede(x :D) em um espaco topologicoX e uma funcao de (0, 1) em X ex xsignifica que para toda N Nx, existe 0 D tal que 0 < 1 implicaxN; isto e, x x conforme 1 no sentido usual.

Exemplo 2.4.8Em um espaco metrico,x xse e somente sed(x, x) 0.De fato, suponhamos que x x. Da, dado > 0 temos que x B(x, ) eventualmente; o que implica que d(x, x)< eventualmente. Assim,d(x, x) 0. Suponhamos agora que d(x, x) 0. Seja N Nx. Da,N(x, ) Npara algum >0. Comod(x, x)< eventualmente, segue quexB(x, ) eventualmente o que implica quex Neventualmente. Assim,xx.

2.5 Relacao entre filtros e redes

Definicao 2.5.1: Seja Buma base de filtro em um conjunto X e suponhaque para cada B e dado um x . Como (B, ) e um conjunto dirigido,temos que (x:B) e uma rede em X. Qualquer rede obtida dessa maneira edita umarede associada a B.

Teorema 2.5.2: Sejam X um espaco topologico, x X e Buma base de


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filtro em X tal que B x. Seja (x : B) uma rede associada a B. Entao,

x x.

Demonstracao: SejamNNx. Como B x, temos que existeB Btalque B N. Tomemos B = 0. Da, se 0 ou seja se A temos quex N. Assim, x x.

Corolario 2.5.3 Sejam Xum espaco topologico e x X. Para cada NNx,tomemos algum xN N. Temos entao que (xN : Nx) e uma rede que con-verge a x.

Demonstracao: Basta observar que como Nx e filtro, ele e tambem uma

base de filtro.

Teorema 2.5.4: Sejam X um espaco topologico, x X, S X. Temosquex Sse e somente se existe uma rede em Stal que esta converge a x.

Demonstracao: Suponha que x S. Pelo Teorema 2.2.6, existe Bbase defiltro em S tal que B x. Qualquer rede associada a B converge para x.Agora se existe uma rede emSconvergindo parax, entao para cadaNNx,temos que a rede esta emNeventualmente. Portanto, temos que N S=para toda NNx. Assim,x S.

Proposicao 2.5.5: Seja (x) uma rede em um conjunto X e consideremoso seguinte conjunto F = {A X:x A eventualmente}. Temos que F eum filtro emX.

Demonstracao: / F pois nao existem elementos de (x) em . Temosque X F, pois (x) e uma rede em X. Sejam agora A, B F. Da, pelaProposicao 2.4.5, A B F. Finalmente, seA F e A B X, temosquex B eventualmente. Assim,F e um filtro o qual chamamos deo filtroassociado a (x).

Proposicao 2.5.6: SejamXum conjunto, (x) uma rede em XeFo filtroassociado a (x). Entao, F x se e somente se x x.

Demonstracao: Ora, se F x, entao para toda NNx,F N. Assim,para toda N Nx, x N eventualmente; isto e, x x. Suponhamosagora que x x. Da, para toda N Nx, x N eventualmente. Assim,Nx F; isto e, F x.


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O seguinte resultado mostra como a nocao de continuidade pode ser ca-

racterizada por meio de filtros e de redes.

Teorema 2.5.7: Sejam X e Y espacos topologicos, x X e f : X Yuma funcao. Entao, as seguintes condicoes sao equivalentes:

(i)f e contnua emx;(ii) para todo filtro F emX tal queF x, f[F] f(x);(iii) para toda rede(x) emX tal quex x, f(x) f(x).

Demonstracao: (i) (ii) : Suponhamos (i). Sejam N Nf(x) e F umfiltro em X tal que F x. Da, f1(N) e uma vizinhanca x e portanto

f1(N) F. Assim, f(f1(N)) F. Mas, f(f1(N)) N. Logo, Ncontem um membro de F o que implica pela Proposicao 2.2.6 que f[F] f(x).

(ii)(iii) : Suponhamos que (ii). Seja (x) uma rede emXtal quex x.SejaFo filtro associado a x. Temos pela Proposicao 2.5.6 queF x. Da,por (ii), temos que f[F] f(x).

Afirmacao: f[F] e uma base de filtro que gera o filtro associado a f(x).

Demonstracao: Sejam F

={B Y :B Cpara algum Cf[F]} e F

={B Y :f(x) B eventualmente}; isto e, o filtro gerado por f[F] e o filtroassociado af(x) respectivamente.

Seja B F. Da, existe C f[F] tal que C B. Da, C = f[A] comA F. Assim, x A eventualmente; o que implica que f(x) f(A) =Ceventualmente. Logo, f(x) B eventualmente; o que implica que B F

.Assim,F F.

Seja agora B F. Da, f(x) B eventualmente. Entao, x f1(B)

eventualmente; o que implica que f1(B) F. Mas,B f(f1(B)), isto e,

B contem um elemento de f[F]; logoB F. Assim,F F.

Das inclusoes acima temos que F =F.

Como f[F] f(x) temos que F f(x); assim, F f(x) e pelaProposicao 2.5.6, temos que f(x)f(x).

(iii) (i) : Suponha (iii). Suponha por absurdo quef nao e contnua em


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x. SejaSXtal que x S. Da, pela demonstracao da Proposicao 1.4.15,

temos quef(x) /f[S]. Entao, pelo Teorema 2.5.4, temos que existe x redeem S tal que x x e temos tambem pelo mesmo teorema que nao existerede emf[S] convergindo a f(x); em particular a redef(x) nao converge af(x); contrariando (iii).

Teorema 2.5.8: Sejam X, Y ,Z espacos topologicos. Sejam f : X Y eg: Y Zfuncoes tais quef e contnua emx e g e contnua emf(x). Entao,g f e contnua em x.

Demonstracao: Seja F um filtro em X tal que F x. Da, como fe contnua em x, temos que f[F] f(x). Seja agora N Z tal que

N Ng(f(x)). Comog e contnua em f(x), temos que g1(N) e vizinhancade f(x). Mas como f[F] e uma base de filtro convergindo para f(x) temosque para toda V Nf(x) existe B f[F] tal que B V. Assim, existeB f[F] tal que B g1(N). Logo, g(B) g(g1(N)) N. E comoB f[F] temos que g(B) g [f[F]]. Logo, para toda N Ng(f(x)) existeA g [f[F]] tal que A N; isto e, g [f[F]] g(f(x)) = (g f)(x). Assim,para todo filtroF emXconvergindo ax,g f[F] g(f(x)); isto e, g f econtnua em x.


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Captulo 3

Polinomios

Neste captulo apresentamos alguns resultados basicos referentes aos con-ceitos de Aplicacoes m-lineares e de Polinomios m-homogeneos.

Em todo o captulo, convencionamos que 0 = . Alem disso, salvomencao em contrario, m N e E1, . . . , E m, F sao espacos normados. Ob-servamos que para as definicoes que nao envolvem topologia seria suficientesupor espacos vetoriais em lugar de espacos normados.

3.1 Aplicacoes m-lineares

Definicao 3.1.1: Uma aplicacaof :E1 . . . Em F e ditam-linearse elinear separadamente em cada umas das suas m variaveis. Isto significa que,para cada i = 1, . . . , m, tem-se:

f(x1, . . . , xi+ yi, . . . , xm) =f(x1, . . . , xi, . . . , xm) + f(x1, . . . , yi, . . . , xm),

quaisquer que sejam x1 E1; . . . ; xi, yi Ei; . . . , xm Em e K.

Se alguma das m variaveis de f for nula, temos que f se anula. Paraverificar isto basta usar a linearidade em relacao a variavel nula.

Representamos por La(E1, . . . , E m; F) o espaco vetorial das aplicacoesm-lineares de E1. . . Em em F com respeito as operacoes de adicao emultiplicacao por escalar definidas pontualmente. Se F = K escrevemosLa(E1, . . . , E m) em lugar de La(E1, . . . , E m;K).

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34 CAPITULO 3. POLINOMIOS

Para m = 0 consideramosLa(E1, . . . , E m; F)=F.

Proposicao 3.1.2: SejaA La(E1, . . . , E m; F). Entao:

(a) supxi=0

1im

A(x1, . . . , xm)

x1 . . . xm = sup

xi1

1im

A(x1, . . . , xm)= inf{M[0, +) :

A(x1, . . . , xm) Mx1 . . . xm para todo (x1, . . . , xm) E1 . . . Em}.

(b) O valor comum das expressoes em (a) e representado por A. Entao,A(x1 . . . , xm) A x1 . . . xmpara todo (x1, . . . , xm) E1 . . . Em.

Demonstracao:

(a): Sejam

S1=A(x1,...,xm)x1...xm

:xi = 0 para todo i = 1, . . . , m

.

S2= {A(x1, . . . , xm): xi 1 para todo i = 1, . . . , m}.

S3= {M[0, +) :A(x1, . . . , xm) Mx1 . . . xm para todo

(x1, . . . , xm) E1 . . . Em}.

Seja (x1, . . . xm) E1 . . . Em. Se 0 < xi 1 para todo i= 1, . . . , m,

entao A(x1, . . . , xm) sup S1 ja que A(x1,...,xm)x1...xm

sup S1 para todo

(x1, . . . , xm) E1 . . . Em com xi = 0 para todo i = 1, . . . , m. ComoA(x1 . . . , xm) = 0 s e xi = 0 para algum i = 1, . . . , m, temos que

supxi1;1im

A(x1, . . . , xm) sup S1, ou seja, sup S2 sup S1.

Se (x1, . . . , xm) E1 . . . , Em e tal que xi = 0 para todo i = 1, . . . , m,

temos pela m-linearidade de A que A(x1,...,xm)x1...xm

= A x1x1

, . . . , xmxm sup S2. Portanto, sup S1 sup S2. Com isto provamos que sup S1= sup S2.

Vejamos que infS3 = sup S1. Como A(x1,...,xm)x1...xm

sup S1 para todo

(x1, . . . , xm) E1 . . . Em com xi = 0 para todo i = 1, . . . , m, e comoA(x1, . . . , xm) = 0 se xi = 0 para algum i = 1, . . . , m, temos queA(x1, . . . , xm) sup S1 x1 . . . xmpara todo (x1, . . . , xm) emE1 . . . Em, ou seja, sup S1 S3. Por conseguinte, infS3 sup S1. Vejamos queocorre a igualdade. Suponhamos que infS3 < sup S1. Entao existe S S3


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tal que infS3 S < S1. Como SS3, temos que sup S1 S, o que e uma

contradicao. Logo, infS3= sup S1.

(b): Se A = , a desigualdade e trivial. Suponhamos que A < .

Como A(x1,...,xm)x1...xm

Apara todo (x1, . . . , xm) E1 . . . Emcomxi= 0

para todoi= 1, . . . , m, temos que A(x1, . . . , xm) A x1 . . . xm paratodo (x1, . . . , xm) E1 . . . Em ja que se xi= 0 para algum i = 1, . . . , mtemosA(x1, . . . , xm) = 0.

Proposicao 3.1.3: Consideremos no produto cartesiano E1 . . . Em atopologia produto. SejaA La(E1, . . . , E m; F). As seguintes afirmacoes sao

equivalentes:

(a)A e contnua.

(b)A e contnua na origem.

(c)A0tal que se xi< r para todo i = 1, . . . , m, entao A(x1, . . . , xm)< 1. Seja(x1, . . . , xm) E1 . . . Em com xi = 0 para todo i = 1, . . . , m. Con-sideremos para cada i = 1, . . . , m, yi =

rxi2xi

. Como yi < r para todo

i = 1, . . . , mtemos que A(y1, . . . , ym) < 1. Portanto, pela m-linearidade

deA, A(x1,...,xm)x1...xm

2r

m. Isto prova queA

2r

m 0 tal que ai

M2

para todo i = 1, . . . , m. Pela m-linearidadede A, A(x1, . . . , xm) A(a1, . . . , am) = A(x1 a1, x2 . . . , xm) +A(a1, x2 a2, x3 . . . , xm) + . . . + A(a1, . . . , am1, xm am) para cada (x1, . . . , xm) E1

. . . Em. Assim, pela proposicao 3.1.2(b) temos queA(x1, . . . , xm) A(a1, . . . , am) A x1 a1 x2 . . . xm +A x2 a2 a1 x3 . . . xm+. . .+A xm am a1 . . . am1. Dado

> 0, seja r = min

2mAMm1

, M2

. Se xi ai < r para todo i =

1, . . . , m, entao xi < ai + M2

M para todo i = 1, . . . , m. Portanto,

A(x1, . . . , xm) A(a1, . . . , am) < A Mm1

mi=1

xi ai

< sempre


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quexi ai< r, o que prova a continuidade de A no ponto (a1, . . . , am).

Sob as condicoes da proposicao 3.1.3, representamos por L(E1, . . . , E m; F)o subsespaco vetorial de La(E1, . . . , E m; F) constitudo das aplicacoes m-lineares contnuas de E1. . .Emem F. Se F = K, escrevemos L(E1, . . . , E m)em lugar de L(E1, . . . , E m;K). No caso em que m = 0, consideramosL(E1, . . . , E m; F)=F.

Proposicao 3.1.4: A aplicacao A L(E1 . . . , E m) A R e umanorma emL(E1 . . . , E m; F).

Demonstracao: Pela proposicao 3.1.3 temos que A< para todo A L(E1 . . . , E m; F) o que implica na funcao estar bem definida. Suponhamosque A = 0. Da, pela proposicao 3.1.2(b), A(x1, . . . , xm) = 0 para todo(x1, . . . , xm) emE1. . .Em, ou seja,A = 0. E claro que A= 0 seA= 0 equeA= || Apara todo K. SejamA e B em L(E1 . . . , E m; F). Se(x1, . . . , xm) E1 . . . Em, entao (A + B)(x1, . . . , xm) =A(x1, . . . , xm) + B(x1, . . . , xm) A(x1, . . . , xm) + B(x1, . . . , xm) (A + B) x1 . . . xm, donde A + B A+ B pela proposicao3.1.2.

Salvo mencao em contrario, consideramos L(E1, . . . , E m; F) munido da

normaA A.

Proposicao 3.1.5: Se F e completo, entao L(E1, . . . , E m; F) tambem ecompleto.

Demonstracao: Suponhamos queF e completo e seja (Ak)kNuma sequen-cia de Cauchy em L(E1, . . . , E m; F). Pela proposicao 3.1.2(b), temos quepara cada (x1, . . . , xm) em E1. . .Em, Ak(x1, . . . , xm) Aj(x1, . . . , xm) Ak Aj x1 . . . xm. Como (Ak)kN e de Cauchy, decorre da desigual-dade acima que (Ak(x1, . . . , xm))kN e de Cauchy em F. Desde queF e com-

pleto, o limite A(x1, . . . , xm) = limk Ak(x1, . . . , xm) existe. E facil verificarque a aplicacaoA : E1 . . . Em Fassim definida em-linear. Do fato de(Ak)kNser de Cauchy, temos queAk< 1 + Aj0para todok j0. ComoAke contnua para todo k < j0, temos que para cadak < j0existeMktal queAk< Mk. Chamando M= max {Mk:k < j0} e c= max {1 + Aj0 , M}temos que Ak c para todo k. Da, pela proposicao 3.1.2(b), para todok, Ak(x1, . . . , xm) c x1 . . . xm para todo (x1, . . . , xm) emE1 . . . Em. Fazendo k , temos que A(x1, . . . , xm) c x1 . . . xm para


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todo (x1, . . . , xm), donde A c e, consequentemente, A e contnua pela

proposicao 3.1.3. Vejamos queAk A. De fato, dado >0, existej0 N talque se k, j j0, Ak Aj , ou seja, Ak(x1, . . . , xm) Aj(x1, . . . , xm) x1 . . . xm para todo (x1, . . . , xm) E1. . .Em. Fixados (x1, . . . , xm)E1 . . . Eme k j0 arbitrariamente,Ak(x1, . . . , xm) A(x1, . . . , xm) x1 . . . xm, donde Ak A , se k j0. Assim, Ak A.

Corolario 3.1.6: Seja E um espaco normado. Entao E e um espaco deBanach.

Demonstracao: E imediata pela proposicao 3.1.5.

Se E1 = . . . = Em = E, escrevemos La(mE; F) (resp. L(mE; F)) em

lugar de La(E1, . . . , E m; F) (resp. L(E1, . . . , E m; F)). Se m= 1 escrevemossimplesmenteLa(E; F) (resp. L(E; F)).

A partir daqui salvo mencao em contrario, E e sempre um espaco nor-mado.

Definicao 3.1.7: Uma aplicacao A La(mE; F) e dita simetrica se

A(x1, . . . , xm) = A(x(1), . . . , x(m)) para todo (x1, . . . , xm) Ee todo G

m, onde G

mdenota o grupo das permutacoes de {1, . . . , m}.

Representamos por Las(mE; F) (resp. Ls(

mE; F)) o subespaco veto-rial de La(

mE; F) (resp. L(mE; F)) formado pelas aplicacoes m-linearessimetricas (resp. aplicacoesm-lineares simetricas contnuas) deEm emF. Sem= 0, consideramos La(

0E; F) =Las(0E; F)=F, Fcomo espaco vetorial

eL(0E; F) =Ls(0E; F)=F,Fcomo espaco normado.

A cada aplicacao A La(mE; F) podemos associar a aplicacao As

Las(mE; F) chamada de simetrizada de A definida por As(x1, . . . , xm) =

1

m! Gm

A(x(1), . . . , x(m)) para todo (x1, . . . , xm) emE.

Proposicao 3.1.8: A aplicacao A As e uma pro jecao de La(mE; F) so-

bre Las(mE; F). Alem disso, As A para todo A La(

mE; F). Estaaplicacao induz uma projecao contnua de L(mE; F) sobre Ls(

mE; F).

Demonstracao: A aplicacao A La(mE; F) As Las(

mE; F) e clara-mente linear. Se B Las(

mE; F), temos que Bs(x1, . . . , xm) =


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1m! Gm B(x(1), . . . , x(m)) =

1

m!

m!B(x1 . . . , xm) = B(x1 . . . , xm) para todo

(x1 . . . , xm) E, donde temos em particular que (As)s= As. Portanto,A As e uma projecao sobre Las(

mE; F). Vejamos que As A, para A

La(mE; F). Com efeito, para todox1= 0, x2= 0, . . . , xm= 0,

As(x1...,xm)x1...xm

1m!

Gm

As(x(1) . . . , x(m))x1 . . . xm

1

m!

Gm

supxi=0

1im

As(x(1) . . . , x(m))x1 . . . xm

=

1

m!m! A = A. Assim, As A. Como As A < para

todo A L(mE; F) temos pela proposicao 3.1.3 que As e contnua. De

modo analogo a primeira parte da demonstracao, temos que a aplicacaoA L(mE; F) As Ls(

mE; F) e uma projecao sobrejetiva. A continuidadedesta aplicacao vemo do fato de As Apara todo A L(

mE; F).

3.2 Polinomios

Para todo A La(mE; F) representamos A(x , . . . , x) =Axm. Se m= 0,

escrevemos Ax0 =c qualquer que sejax E, sendoc um elemento arbitrariode F.

Definicao 3.2.1: Uma aplicacao P : E F e dita um polinomio m-homogeneo deE em F se existe A La(mE; F) tal que P(x) = Axm para

todox E. EscrevemosP = A para expressar que P e A se correspondemda forma indicada.

Representamos por Pa(mE; F) o espaco vetorial (com respeito as operacoes

de adicao e multiplicacao por escalar definidas pontualmente) de todos ospolinomios m-homogeneos de E em F. Se F = K, escrevemos Pa(

mE) emlugar de Pa(

mE;K). Sem = 0, consideramos Pa(0E; F)=F,Fcomo espaco

vetorial.

Proposicao 3.2.2:(Formula de Polarizacao). Se A Las(mE; F), entao

para cada x1, . . . , xm E, A(x1, . . . , xm) = 12mm!

j=1

1jm

1 . . . mA(1x1+

. . . + mxm).

Para demonstrar a proposicao 3.2.2 precisaremos da Formula de Leibniz.


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39

Vamos comecar estabelecendo algumas notacoes.

Para cada n N e cada = (1, . . . , n) Nn, definimos || =

1+ . . . + n e ! =1! . . . n!.

Sejam n, m N e A La(mE; F). Entao para cada (x1, . . . , xn) E

n

e cada = (1, . . . , n) Nn com || = m, definimos Ax11 . . . x

nn =

A(x1, . . . , x1 1vezes

, . . . , xn, . . . , xn nvezes

).

Lembremos que uma particao de um conjunto nao vazioC e um conjuntode partes nao vazias de C, disjuntas duas a duas e cuja reuniao eC.

Proposicao 3.2.3:(Formula de Leibniz). Sejam n, m N e A Las(mE; F).

Entao para todox1, . . . , xm Etemos que

A(x1+ . . . + xn)m =

||=m

m!

!Ax11 . . . x

nn , onde = (1 . . . , n) N

n.

Demonstracao: Para cada= (1 . . . , n) Nn tal que ||= m, sejaP =

{(i1, . . . , im) {1, . . . , n}m : para cada k {1, . . . , n} , ij =k para k valores

distintos de j {1, . . . , m}}. Claramente a famlia (P)||=me uma particaode{1, . . . , n}m e para cada, com||= m,P tem m!!

elementos. Portanto,usando a m-linearidade e a simetria de A, obtemos:

A(x1+ . . . + xn)m =

{i1,...,im}{1,...,m}

m

A(xi1, . . . , xim) =

||=m

{i1,...,im}P

A(xi1 , . . . , xim) =

||=m

m!

!Ax11 . . . x

nn .

Demonstracao da proposcao 3.2.2: Fixados (x1, . . . , xm) Em

e j {1, 1} para todoj = 1, . . . , m, temos pela formula de LeibnizA(1x1 + . . .+

mxm)m =

||=m

m!

!A(1x1)

1 . . . (mxm)m, onde = (1 . . . , m) N

m.

Pelam-linearidade e simetria de A,


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||=m

m!

!

A(1x1)1 . . . (mxm)

m = ||=m

m!

!

11 . . . mm Ax

11 . . . x

mm .

Por conseguinte,

j=1

1jm

1 . . . mA(1x1+ . . . + mxm) =

j=1

1jm

1 . . . m

||=m

m!

!11

. . . mm

Ax11

. . . xmm

=

m!

||=m

Ax11 . . . xmm

!

j=1

1jm

1+11 . . . m+1m

.

Se j >1 para algum j = 1, . . . , m, entao i = 0 para algum i= j e, con-sequentemente,

j=1

1jm

1+11 . . . i+1i . . .

m+1m =

j=1

1jm

1+11 . . . i . . . m+1m =

i=1

i

j=1

1jm

j=i

1+11 . . . i1+1i1

i+1+1i+1 . . .

m+1m

= 0.

Dessa forma,


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41

j=1

1jm

1 . . . mA(1x1+. . .+mxm)m =m!Ax1 . . . xm

j=1

1jm

21 . . . 2m

=m!A(x1, . . . , xm)2

m, donde

A(x1, . . . , xm) = 12mm!

j=1

1jm

1 . . . mA(1x1+ . . . + mxm)m.

Proposicao 3.2.4: Seia P Pa(m

E; F). Entao:

(a) supxi=0

1im

P(x)

xm = sup

xi1

1im

P(x)= inf{M[0, +) :

P(x) Mx para todo x E}.

(b) O valor comum das expressoes em (a) e representado por P. Entao,P(x) P x para todo x E.

Demonstracao: E deixada a cargo do leitor por ser similar a da proposicao3.2.2

Proposicao 3.2.5: Para todoA Las(E; F), temos

A A mmm! A.Demonstracao: Vejamos que A m

m

m!

A. Pelas proposicoes 3.2.2e 3.24(b) temos que, para quaisquer x1, . . . , xm E com xi 1 para

todo 1 i m, A(x1, . . . , xm) 12mm!

i=1

1im

A(1x1+ . . . + mxm)1

2m m!

i=1

1im

A 1x1+ . . . + mxmm 1

2m m!

i=1

1im

A (x1 + . . . + xm)m


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1

2m

m! i=11im

Amm =mm

m! A.

Portanto, supxi1

1im

A(x1, . . . , xm) mm

m!

A, ou seja A mmm! A. Adesigualdade

A A vale trivialmente. Proposicao 3.2.6: SeA La(

mE; F) e Ase sua simetrizada, entao A= As.

Demonstracao: De fato se, x E, As(x) = As(x , . . . , x) =1

m!

Gm

A(x(1), . . . , x(m)) = 1

m!A(x , . . . , x) = A(x , . . . , x) = A(x). Como

x e arbitrario, temos A= As.

Proposicao 3.2.7: Seja P Pa(mE; F). As seguintes afirmacoes sao equi-

valentes:

(a)P e contnuo.

(b)P e contnuo na origem.

(c)P< .

Demonstracao: (a) (b) : esta implicacao e clara.

(b) (c) : de fato, pela continuidade de Pna origem, existe r >0 tal quese x < r, entao P(x) < 1. Seja 0 = x E e consideremos y = rx

2x.

Como y < r, temos P(x) < 1. Pelo fato de P Pa(mE; F), existe

A La(mE; F) tal que P = A. Assim, A(y , . . . , y) < 1 donde pela m-

linearidade de A temos A(x,...,x)xm

< 2rm, ou seja, P(x)xm < 2rm. Comox= 0 foi escolhido arbitrariamente em E, segue que P 0. Para cada m N, temos que Pm P(

mE).Vejamos a seguir alguns exemplos:

Exemplo 4.1.7 Seja f : C C a funcao dada por f(z) = ez para z C.Temos que ftem uma expansao em serie de taylor no ponto 0, ja que

ez =

m=0

1

m!zm.

Note que, para cada m em N, Pm(z) = 1m!

xm e um polinomio m-homogeneode C em C. Tambem, a serie converge uniformemente para ez na bolaBr(0),para todo r >0.

Exemplo 4.1.8 Seja f(x) =

n=1

xn2, onde x = (xn) e um elemento de

l2. Temos quef tem uma expansao em serie de Taylor no ponto 0, ja quef e um polinomio 2-homogeneo eml2. A convergencia e claramente satisfeita.

SejamE e F espacos de Banach complexos. O estudo das funcoes com-plexas de uma uma varavel complexa baseada na diferenciacao e devido aCauchy e o estudo dessas funcoes atraves de series de potencias e devido aWeierstrass. Sabemos que estas duas maneiras de se apresentar a teoria s aoequivalentes em varias variaveis. De fato, a equivalencia continua valida em

dimensao infinita. Este teorema devido a Graves, Taylor, Hille e Zorn seraapenas enunciado a seguir. Caso o leitor esteja interessado em prosseguirseus estudos nesta direcao indicamos [3] e [5].

Teorema 4.1.9: Sejam Ee Fespacos de Banach complexos e seja f :A Fuma funcao, ondeA E e um conjunto aberto. As seguintes afirmacoes saoequivalentes:


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52 CAPITULO 4. O CONTRAEXEMPLO DE DJAMEL DEGHOUL

(a)f e diferenciavel emA;

(b)ftem uma expansao em serie de Taylor em torno de cada ponto de A.

4.2 A algebra de Frechet Hb(E)

Definicao 4.2.1: Um espaco vetorial munido de uma operacao de multi-plicacao que e associativa e distributiva em relacao a adicao e multiplicacaopor escalar e dito uma algebra.

Definicao 4.2.2: Seja E um espaco de Banach. Chamamos de Hb(E) oconjunto de todas as funcoes analticas em E, com valores complexos, quesao limitadas nas partes limitadas de E. Ou seja:

Hb(E) ={f :E C :f e inteira e limitada nas partes limitadas de E}.

Temos que Hb(E) e uma algebra complexa com as operacoes de adicaoe multiplicacao por escalar e multiplicacao definidas pontualmente. Maisprecisamente, temos que Hb(E) e um espaco vetorial complexo com umamultiplicacao satisfazendo as seguintes condicoes:

f(gh) = (f g)h,

(f+ g)h= f h + gh, f(g+ h) =f g+ f h

e

a(f g) = (af)g= f(ag),

para quaisquerf,g e h em Hb(E) e para qualquer escalar a.

Para cadas >0 e para cada fHb(E), definimos

ps(f) =sup {|f(x)|: x s} .

Temos que (ps)s>0 e uma famlia de (semi)normas emHb(E). Mais ainda,(ps)s>0 e uma famlia separante de (semi)normas, ou seja, para cada f = 0,existe s > 0 tal que ps(f) = 0. (De fato, dada f Hb(E) com f = 0,existe x0 E tal que f(x0) = 0. Tomando s = x0 + 1 > 0, temos que


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ps(f) = supx0 gera uma

topologia localmente convexa T em Hb(E), cuja base local e dada pelosconjuntos

V(ps, ) ={fHb(E) :ps(f)< } ,

onde > 0. A proposicao a seguir mostra que a topologia T e a topologiada convergencia uniforme nas partes limitadas de E.

Proposicao 4.2.3: Sejam (fn) uma sequencia emHb(E) e sejafuma funcaoemHb(E). Temos que fn f segundoTse, e somente se, para todo L Elimitado,fn funiformemente em L.

Demonstracao: Lembremos inicialmente que dizer quefnfsegundo Tsignifica dizer que para toda vizinhancaV def, existen0 N tal quefn Vpara todon n0. Suponhamos entao que isto ocorra. Tomemos L Elim-itado. Temos entao que existes >0 tal que L Bs(0) ={x E:x s}.Tome > 0. Temos que o conjunto {f}+ V(ps, ) e uma vizinhanca def em Hb(E). Assim, existe n0 N

tal que fn {f} + V(ps, ) paratodo n n0. Ou seja, fn f V(ps, ) para todo n n0. Temos que

ps(fn f) ou seja, supxs

|fn(x) f(x)|< para todo x L e para todo

n n0. Como |fn(x) f(x)| supxs

|fn(x) f(x)| para todo x L, temos

que|fn(x) f(x)| para todo x L e para todo n n0. Como >0 foitomado arbitrariamente, temos que fn funiformemente. Reciprocamente,suponhamos que para todo L E limitado, fn f uniformemente em L.TomemosVuma vizinhanca de f. Temos entao que existem s >0 e >0tais que {f}+ V(ps, ) V. Consideremos L = Bs(0) {x E:x s}.Como f f uniformemente em L, temos que existe n0 N tal que|fn(x) f(x)| 0 e para todo k >0, existen0 N

tal quefm fn V(pk, ) para todom, n n0. Ou seja, para todo >0 e para todo k >0, existen0 Ntal quepara quaisquerm, n n0 e para todo x Ecomx k (1). Dessa forma,para cadax0 E, (fn(x0))nN e uma sequencia de Cauchy em Ce portantoconvergente. Sejaf(x0) = lim

nfn(x0). Definamos a funcao

f : E Cx f(x) = lim

nfn(x)

.

Vejamos que:

(i)fn f segundoT;

(ii)fn Hb(E).

(i) Pela proposicao 4.2.3, basta provarmos que fn f uniformemente em

cada parte limitada de E. De fato, tome > 0 e k N

. Para m0suficientemente grande e para todo x0 E com x0 k, temos que|fn(x0) f(x0)| |fn(x0) fm0(x0)| + |fm0(x0) f(x)| < para todo n n0; por (1) pela definicao de f. Assim, dado > 0, existe n0 N tal que|fn(x) f(x)| < para todo n n0 e para todo x E com x k (2),provando que fn funiformemente em cada bola Bk(0), k N

. Comocada limitadoL de Eesta contido em alguma bola Bk(0), provamos (i).

(ii) Seja TC a topologia compacto aberta em H(E), ondeH(E) = {f :E C :f e analtica}. Temos que (H(E), TC) e completo(cf. [3]). Ora, vimos de (i) que fn f segundo T. Como todo conjunto

compacto de E e limitado, temos que fn f segundo TC. Assim, (fn) euma sequencia de Cauchy em TC. Pela completude de (H(E), TC), fn segundo TC onde g e uma funcao em H(E). Como convergencia uniformenas partes compactas de E implica convergencia pontual, conclumos quef = g . Ou seja,f H(E). Resta mostrarmos quef e limitada nas parteslimitadas de E, isto e, que de fato f Hb(E). Para isto, tome L Elimitado. Existe entao, k N tal que L Bk(0). Por (2), segue que existen0 N tal que |fn0(x) f(x)|< 1 para todo x Ecom x k, ou seja,


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55

|f(x)| < 1 +|fn0(x)| para todo x E com x k. Como fn0 M

emBk(0), conclumos que f e limitada em Bk(0) e consequentemente emL.ComoL Efoi tomado de modo arbitrario, temos que fHb(E).

Proposicao 4.2.5: Para todo m N, P(mE) Hb(E).

Demonstracao: Fixemos m N. Tomemos P P(mE). Entao, existeA Ls(

mE) tal que P(x) = Axm para todo x E. Agora, tomemosa E. Pela formula binomial, temos que P(x) = A(a + x a)m =m

j=0

mj

Aamj(x a)j , para todo x E. Para cada 0 j m po-

nhamos Bjx1x2 . . . xj = Aamj

x1 . . . xj e Pj(x) = Bjxj

. Note que Bj Ls(jE) e, consequetemente, Pj P(

jE) para cada 0 j m. Portanto,

P(x) =m

j=0

mj

Pj(x a), para todo x E; o que mostra que P e

analtica em E. Agora, como P e contnuo, P = supx1

|P(x)|< , o que

implica que P e limitado nas partes limitadas de E.

4.3 O contraexemplo de Deghoul

Nesta secao, vamos apresentar o contraexemplo de Deghoul para um pro-

blema proposto por Aron, Cole e Gamelin em [1], que consiste na construcaode um homomorfismo complexo na agebra de Frechet Hb(l

2) que se anula emtodo o polinomio homogeneo de grau mpar e que e diferente da evaluacao noponto 0. Como veremos a seguir a construcao do homomorfismo de Deghoule bastante interessante, pois o que ele de fato constroi e uma base de filtroconsistindo de subconjuntos da bola unitaria de l2 com determinadas pro-priedades.

Tomemos : Hb(E) C um homomorfismo contnuo. Definamos

R() = mn. {s >0 :|(f)| ps(f), para todo fHb(E)}.

Consideremosm= |P(mE) e m= sup {|(P)|: P P(mE) com

P 1}. Em [1], Aron, Cole e Gamelin provaram o seguinte resultado:

Com as notacoes acima,R() = lim supm

m1m .


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Neste mesmo artigo, os autores levantaram a seguinte pergunta:

limm

m1m sempre existe?

Nesta secao vamos apresentar a construcao de um homomorfismo contnuo:Hb(l

2) C tal que (P) = 0 para todo P P(n l2), onde n e mpar e

(Q) = 1 onde Q(x) =

n=1

x2n comx= (xn).

Vejamos a seguir como o homomorfismo construdo por Deghoul respondeo problema proposto. Comecemos observando que Q P(2 l2). De fato, de-

fina a funcao A por:

A: l2 l2 C

(x, y)

n=1

xnyn,

onde x= (xm) e y = (yn). Temos claramente queA e uma funcao bilinear.Para vermos a continuidade de A, note que pela desigualdade de Holder,

A(x, y)

n=1xnyn xy1 x2 y2 para todo x, y l

2. Da, pela

proposicao 3.1.3, temos queA e contnua. Alem disso, pela desigualdade an-terior,A 1. Agora, Q(x) =A(x, x) para todo x l2. Isto mostra que Qe um polinomio 2-homogeneo contnuo em l2. Mais ainda, como Q A,segue que Q 1. Comoe1 = (1, 0, 0, . . .) l

2, e12 = 1 e Q(e1) = 1;segue que Q= 1. Como (Q) = 1 (por construcao), segue que 2 1,

ja que Q e um polinomio 2-homogeneo com Q= 1. Do fato de ser umhomomofismo, segue que 2m 1 para todom N. Como por construcao,(P) = 0 para todo P P(n l2), com n mpar, segue que 2m+1= 0 para

todom N. Portanto,nao existe limm

m1m .

Vejamos agora a construcao de. A ideia consiste na construcao de umabase de filtro B em l2 formada por subconjuntos de sua bola unitaria emB(0, 1) com as seguintes propriedades:

(i)Q|B 1 para todo B B, onde Q(x) =

n=1

x2n;

(ii) Todo polinomion-homogeneo comn mpar e identicamente nulo em pelomenos um elemento de B. Isto e, para todo n N mpar e para todo


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57

P P(n l2), existe B Btal que P|B 0.

Naturalmente surge a seguinte pergunta: qual a relacao entre a base defiltro acima descrita e o homomorfismo ? Ora, suponhamos que uma talbase de filtroB exista. ConsideremosUum ultrafiltro tal que B U. TomefHb(l

2).

Consideremos o conjuntof(U) ={f(U) :U U}. Temos pela proposicao2.2.10, quef(U) e uma base de filtro em C. Seja agora Uo filtro gerado porf(U). Sabemos pela proposicao 2.2.10, que U e um ultrafiltro em C. ComoB P

B(0, 1)

, B(0, 1) U. Da, f

B(0, 1)

f(U).

Como fB(0, 1) (0, p1(f)) = {z C :|z| p1(f)}, segue que(0, p1(f)) U. Da, pela proposicao 2.2.13, U e convergente e seu unicolimite pertence ao conjunto (0, p1(f)). Definamos entao, a seguinte funcao:

: Hb(l2) C

f (f) = limU .

Temos que:

1. esta bem definida, ja que limUexiste e e unico.

2. e um homomorfismo.3. e contnua, ja que || p1(f) para todo fHb(l2).

4. (Q) = 1. De fato, tomeB B. Entao,Q(B) ={1}. Entao, {1} Q(U).Isto implica que o filtro das vizinhancas de {1}, N{1} e tal que N{1} U

onde Udenota o filtro gerado por Q(U). Entao, U {1}, o que significaque(Q) = 1.5. (P) = 0 para todo polinomio n-homogeneo P, onde n e mpar: oraciocnio e analogo ao feito acima.

Vamos agora provar a existencia da base de filtro B. Consideremosn N. Sejam P1, P2, . . . , P n polinomios homogeneos de grau mpar. Defi-

namos

A(P1, P2, . . . , P n) ={x l2 :x= 1 eP1(x) =P2(x) =. . .= Pn(x) = 0},

onde aqui l2 denota o conjunto das sequencias em R quadrado somaveis. Seestes conjuntos sao nao vazios, entao eles formam a base de filtro desejada.De fato, se


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B= nN {A(P1, P2, . . . , P n) :P1, P2, . . . , P n sao polinomioshomogeneos de grau mpar},

entao B e uma base de filtro em l2 consistindo de subonjuntos de Bl2(0, 1),Q|B1 para todoB Be para todoP P(

kl2),k mpar, existe B BtalqueP|B 0.

Para provarmos que os conjuntosA(P1, P2, . . . , P n) sao nao vazios e suficientemostrarmos que os conjuntos

B(P1, P2, . . . , P n) ={x l2

:P1(x) =P2(x) =. . .= Pn(x) = 0}

sao nao vazios. Mas isto segue do seguinte lema cuja demonstracao usa oteorema de Borsuk.

Lema: Seja Eum espaco vetorial real e sejam P1, P2, . . . , P n polinomios n-homogeneos reais de grau mpar. Se dim E > n, existe x Ecomx = 0 talqueP1(x) =P2(x) =. . .= Pn(x) = 0.

Teorema de Borsuk: Consideremos Sn = {x Rn+1 :x= 1}. Sejaf : Sn Sn uma funcao contnua tal que f(x) = f(x). Entao, f nao e

homotopica a uma funcao constante.


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Agradecimentos

Agradeco a minha orientadora, professora Ceclia de Souza Fernandez,nao so pela orientacao no desenvolvimento deste trabalho, mas tambem pelogrande incentivo ao longo de todo o trabalho.Agradeco tambem ao CNPq, do qual fui bolsista PIBIC na vigencia de 2007a 2008.


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Referencias

[1] Aron, R.M., Cole, B.J., Gamelin, T.W., Spectra of algebras of analyticfunctions on a Banach space, Journal fur die reine angewandre Mathematik,415(1991), 51-93.

[2] Bourbaki, N. Topological Vector Spaces, Springer-Verlag, 1987.

[3] Chae, B.S.,Holomorphy and Calculus in Normede Spaces, Marcel Dekker,Inc.,1985.

[4] Deghoul, D., Construction de caracteres exceptionnels sur une algebre deFrechet, C. R. Acad. Sci. Paris, 312, Serie I(1991), 579,580.

[5] Dineen, S., Complexe Analysis in Locally Convex Spaces, North-HollandMath., 1981.

[6] Howes, N.R. Modern Analyis and Topology, Springer-Verlag, 1995.

[7] Munkres, J.R., Topology: A first course, Prentice Hall, Inc., 1975.

[8] Rudin, W., Functional Analysis, 2a edicao, McGraw-Hill InternationalEditions, 1991.

[9] Wilansky, A., Topology for Analysis, Ginn and Company, 1970.

[10] Lima, Elon L.,Curso de Analise vol.1. 7a edicao. Rio de Janeiro: IMPA,1992.

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