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ís.

Fís.

Professor: Silvio Sartorelli

Monitor: Arthur Vieira

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ís.

Exercícios de trabalho e energia 14

jun

RESUMO

Trabalho de uma força

transferir energia a um corpo.

Para uma força constante que proporciona um deslocamento na direção da força, pode-se escrever:

Mas quando a força e o vetor deslocamento fazem um ângulo θ entre si, a expressão do trabalho toma a

forma

Trabalho da Força Peso

O trabalho da força peso não depende da trajetória, apenas da variação de altura.

Obs.: Se a força está a favor do movimento, o trabalho é dito motor e leva sinal positivo. Se a força está ao

contrário do movimento, o trabalho é dito resistente e leva sinal negativo. Assim o trabalho da força peso de

um corpo lançado verticalmente para cima será negativo na subida e positivo na descida.

Trabalho de uma Força Perpendicular ao Deslocamento

A força perpendicular à velocidade não vai modificar a velocidade, assim não vai transmitir energia ao corpo.

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ís.

Por exemplo: Um corpo sendo arrastado em uma superfície terá trabalho da força normal igual a zero. Não

há contribuição energética por parte da normal para que o movimento se realize (ou fazendo uma análise

matemática o ângulo entre a força e o deslocamento é de 90o).

Trabalho de uma Força Elástica

A força elástica é uma força variável, assim seu trabalho é calculado pela área sob o gráfico.

Obs.: O deslocamento x é em relação ao equilíbrio.

Potência

Uma máquina é caracterizada não pelo trabalho que efetua, mas pelo trabalho que pode efetuar em

determinado intervalo de tempo, donde surge a noção de potência. Por exemplo, para um carro andar mais

rápido, isto é, percorrer mesmas distâncias em intervalos de tempo menores, é necessário aumentar o ritmo

de combustão do motor, ou seja, aumentar sua potência, cuja expressão é

A energia também pode ser substituída por trabalho:

Unidade de Potência = J/s = W (watt) [também há o usual cal/s].

É comum também a citação do rendimento.

Imagine uma máquina que opera com 6000 Watts (potência útil). É fornecida a ela 9000 Watts (potência

total), sendo que apenas 6000 Watts a máquina será capaz de absorver, dissipando em forma de calor ou som

os 3000 Watts restantes.

O rendimento (η) é dado, portanto, por

Energia

Energia e Trabalho são grandezas de mesma dimensão. Estão associados às forças que de alguma

forma proporcionam ou podem proporcionar movimento.

A energia mecânica é a soma das energias potencial e cinética. A energia potencial pode ser do

tipo gravitacional (associada à força peso) ou elástica (associada à força elástica).

- Potencial Gravitacional

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(é necessário um desnível em relação a um referencial)

- Potencial Elástica

(é necessária a deformação no meio elástico)

-Cinética

(é necessário que o corpo esteja em movimento)

Obs.: Para a solução de exercícios de energia é preciso pensar da seguinte forma: Qual tipo de energia

mecânica o corpo possui? Se tiver velocidade tem energia cinética; se tiver altura em relação a um

referencial tem energia potencial gravitacional; se tiver mola ou meio elástico deformado tem energia

potencial elástica.

Teorema da Energia Cinética

Considere uma força constante F que atua sobre um corpo de massa m, na direção e no sentido do

movimento e sendo F a sua força resultante.

O trabalho realizado é

Mas

Logo,

Conservação de Energia O Princípio da Conservação da Energia diz que quando um número é calculado no início de um processo (o

valor da energia), ele será o mesmo no fim do processo. A energia poderá sofrer mudanças na sua

classificação, mas continuará sendo expressa pelo mesmo número.

Quando aplicamos o Princípio da Conservação de Energia em sistemas mecânicos, estamos dizendo que a

energia mecânica será mecânica até o fim do processo, isto é, não será transformada em outra forma de

energia.

Quando a energia mecânica se torna outra forma de energia (usualmente calor) o sistema é chamado de não-

conservativo (aparecem forças dissipativas como forças de atrito ou de resistência do ar), mas observe que

mesmo um sistema chamado de não-conservativo é na verdade um sistema conservativo quando tratamos

da totalidade das energias envolvidas.

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EXERCÍCIOS

1. Helena, cuja massa é 50 kg, pratica o esporte radical bungee jumping. Em um treino, ela se solta da

beirada de um viaduto, com velocidade inicial nula, presa a uma faixa elástica de comprimento natural

0L 15 m= e constante elástica k 250 N m.=

Quando a faixa está esticada 10 m além de seu comprimento natural, o módulo da velocidade de

Helena é

Note e adote:

- Aceleração da gravidade: 2

10 m s .

- A faixa é perfeitamente elástica; sua massa e efeitos dissipativos devem ser ignorados.

a) 0 m s

b) 5 m s

c) 10 m s

d) 15 m s

e) 20 m s

2. Uma bola é lançada obliquamente do solo sob ângulo de 45 . Admitindo-se que a resistência do ar

seja desprezível e que a energia potencial gravitacional no solo é nula, no instante em que a bola atinge

a altura máxima, pode-se afirmar que a relação entre as energias potencial gravitacional p(E ) e a

cinética c(E ) da bola é

a) p cE 2 E=

b) p c1

E E2

=

c) p cE 2 E=

d) p cE E=

e) p cE 2 2 E=

3. Uma bola de massa m é solta do alto de um edifício. Quando está passando pela posição y h,= o

módulo de sua velocidade é v. Sabendo-se que o solo, origem para a escala de energia potencial, tem

coordenada 0y h ,= tal que 0h h 0, a energia mecânica da bola em 0y (h h ) / 2= − é igual a

Note e adote:

Desconsidere a resistência do ar.

g é a aceleração da gravidade.

a) 2

01 1

mg(h h ) mv2 4

− +

b) 2

01 1

mg(h h ) mv2 2

− +

c) 2

01

mg(h h ) 2mv2

− +

d) 21

mgh mv2

+

e) 2

01

mg(h h ) mv2

− +

F

ís.

4. Uma partícula de massa m é lançada com uma velocidade inicial 0v ,uur

vertical e para cima. O gráfico

que melhor representa a energia cinética c(E ) em função do tempo (t) é

a)

b)

c)

d)

e)

5. Um garoto foi à loja comprar um estilingue e encontrou dois

e outro com adequado seria o que proporcionasse

maior alcance horizontal, D, para as mesmas condições de arremesso, quando submetidos à mesma

força aplicada. Sabe-se que a constante elástica dk (do estilingue mais dobro da constante

elástica mk (do estilingue mais

A razão entre os alcances d

m

D,

D referentes aos estilingues ,

respectivamente, é igual a

a) 1

.4

b) 1

.2

c) 1. d) 2. e) 4.

F

ís.

6. A figura abaixo mostra o gráfico da energia potencial gravitacional U de uma esfera em uma pista, em

função da componente horizontal x da posição da esfera na pista.

A esfera é colocada em repouso na pista, na posição de abscissa 1x x ,= tendo energia mecânica

E 0. A partir dessa condição, sua energia cinética tem valor

Note e adote:

- desconsidere efeitos dissipativos.

a) máximo igual a 0U .

b) igual a E quando 3x x .=

c) mínimo quando 2x x .=

d) máximo quando 3x x .=

e) máximo quando 2x x .=

7.

Uma criança de massa 30,0 kg encontra-se em repouso no topo (A) de um escorregador de altura

1,80 m, em relação ao seu ponto mais baixo (B). Adotando-se o módulo da aceleração da gravidade

2g 10,0 m s= e desprezando-se todos os atritos, a velocidade da criança no ponto mais baixo é

a) 5,00 m s

b) 5,50 m s

c) 6,00 m s

d) 6,50 m s

e) 7,00 m s

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ís.

8. Um Drone Phanton 4 de massa 1.300 g desloca-se horizontalmente, ou seja, sem variação de altitude,

com velocidade constante de 36,0 km h com o objetivo de fotografar o terraço da cobertura de um

edifício de 50,0 m de altura. Para obter os resultados esperados o sobrevoo ocorre a 10,0 m acima do

terraço da cobertura.

A razão entre a energia potencial gravitacional do Drone, considerado como um ponto material, em

relação ao solo e em relação ao terraço da cobertura é

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

9.

Um corpo de massa 2,0 kg é lançado sobre um plano horizontal rugoso com uma velocidade inicial

de 5,0 m / s e sua velocidade varia com o tempo, segundo o gráfico acima.

Considerando a aceleração da gravidade 2g 10,0 m / s ,= o coeficiente de atrito cinético entre o

corpo e o plano vale

a) 25,0 10−

b) 15,0 10−

c) 11,0 10−

d) 12,0 10−

e) 22,0 10−

10. Uma análise criteriosa do desempenho de Usain Bolt na quebra do recorde mundial dos 100 metros

rasos mostrou que, apesar de ser o último dos corredores a reagir ao tiro e iniciar a corrida, seus

primeiros 30 metros foram os mais velozes já feitos em um recorde mundial, cruzando essa marca em

3,78 segundos. Até se colocar com o corpo reto, foram 13 passadas, mostrando sua potência durante

a aceleração, o momento mais importante da corrida. Ao final desse percurso, Bolt havia atingido a

velocidade máxima de 12 m s. Disponível em: http://esporte.uol.com.br. Acesso em: 5 ago. 2012 (adaptado)

Supondo que a massa desse corredor seja igual a 90 kg, o trabalho total realizado nas 13 primeiras

passadas é mais próximo de

a) 25,4 10 J.

b) 36,5 10 J.

c) 38,6 10 J.

d) 41,3 10 J.

e) 43,2 10 J.

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11. O brinquedo pula-pula (cama elástica) é composto por uma lona circular flexível horizontal presa por

molas à sua borda. As crianças brincam pulando sobre ela, alterando e alternando suas formas de

energia. Ao pular verticalmente, desprezando o atrito com o ar e os movimentos de rotação do corpo

enquanto salta, uma criança realiza um movimento periódico vertical em torno da posição de equilíbrio

da lona (h 0),= passando pelos pontos de máxima e de mínima altura, máxh e min,h respectivamente.

Esquematicamente, o esboço do gráfico da energia cinética da criança em função de sua posição

vertical na situação descrita é:

a)

b)

c)

d)

e)

12. Um carro, trafegando com velocidade escalar constante v, freia até parar, percorrendo uma distância

de frenagem ( s),Δ devido à desaceleração do carro, considerada constante. Se o carro estiver

trafegando com o dobro da velocidade anterior e nas mesmas condições, a nova distância de frenagem

imposta ao carro em relação a anterior será a) 2 sΔ

b) 0,5 sΔ

c) 0,25 sΔ

d) 4 sΔ

e) 1 sΔ

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13. A figura mostra o funcionamento de uma estação híbrida de geração de eletricidade movida a energia

eólica e biogás. Essa estação possibilita que a energia gerada no parque eólico seja armazenada na

forma de gás hidrogênio, usado no fornecimento de energia para a rede elétrica comum e para

abastecer células a combustível.

Mesmo com ausência de ventos por curtos períodos, essa estação continua abastecendo a cidade

onde está instalada, pois o(a)

a) planta mista de geração de energia realiza eletrólise para enviar energia à rede de distribuição

elétrica.

b) hidrogênio produzido e armazenado é utilizado na combustão com o biogás para gerar calor e

eletricidade.

c) conjunto de turbinas continua girando com a mesma velocidade, por inércia, mantendo a

eficiência anterior.

d) combustão da mistura biogás-hidrogênio gera diretamente energia elétrica adicional para a

manutenção da estação.

e) planta mista de geração de energia é capaz de utilizar todo o calor fornecido na combustão para

a geração de eletricidade.

F

ís.

14.

Um bloco de massa 5,00 kg é lançado sobre um plano inclinado do ponto A, com velocidade inicial

de 8,00 m / s, como indicado na figura acima.

Considerando a aceleração da gravidade 2g 10,0 m / s ,= após percorrer 4,00 m, ele atinge o

repouso no ponto B. A energia dissipada pela força de atrito é

a) 80,0J

b) 60,0J

c) 90,0J

d) 40,0J

e) 30,0J

15. No desenvolvimento do sistema amortecedor de queda de um elevador de massa m, o engenheiro

projetista impõe que a mola deve se contrair de um valor máximo d, quando o elevador cai, a partir

do repouso, de uma altura h, como ilustrado na figura abaixo. Para que a exigência do projetista seja

satisfeita, a mola a ser empregada deve ter constante elástica dada por

Note e adote:

- forças dissipativas devem ser ignoradas;

- a aceleração local da gravidade é g.

a) ( ) 22 m g h d / d+

b) ( ) 22 m g h d / d−

c) 22 m g h / d

d) m g h / d

e) m g / d

F

ís.

16. Em uma competição de salto em distância, um atleta de 70 kg tem, imediatamente antes do salto, uma

velocidade na direção horizontal de módulo 10 m/s. Ao saltar, o atleta usa seus músculos para empurrar

o chão na direção vertical, produzindo uma energia de 500 J, sendo 70% desse valor na forma de

energia cinética. Imediatamente após se separar do chão, o módulo da velocidade do atleta é mais

próximo de

a) 10,0 m/s b) 10,5 m/s c) 12,2 m/s d) 13,2 m/s e) 13,8 m/s

QUESTÃO CONTEXTO

Um desses garotos sai do repouso, do ponto A, em um certo instante, e o outro, do ponto B, também do

repouso, após um determinado intervalo de tempo. Sabe-se, no entanto, que ocorreu um encontro entre

ambos, no ponto C e que os dois percorreram suas respectivas trajetórias em um mesmo plano vertical,

conforme ilustra a figura 2.

Todas as forças de resistência ao movimento são desprezíveis. Sabendo-se que a altura h mede 3,60 m e

considerando-se 2g 10 m s ,= a velocidade relativa de um garoto, em relação ao outro, no instante do

encontro, tem módulo

a) 12,0 km h

b) 21,6 km h

c) 24,0 km h

d) 43,2 km h

e) 48,0 km h

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ís.

GABARITO

Exercícios

1. a

O plano de referência para energia potencial será adotado no ponto 25 m abaixo do ponto (A) de onde

Helena se solta.

Sendo a velocidade inicial nula, pela conservação da energia mecânica, tem-se:

2 2 2 2A B 2mec mec 0

2

mv kh 50v 250 10E E mg(L h) 50 10 25

2 2 2 2

12.500 v 12.500 v 0.

= + = + = +

= + =

2. d

Altura máxima inicial 0 final(v v sen45 e v 0) := =

2 22 0 0

máx máx

v 2 v0 2 g H H

2 4g

= − =

Energia potencial gravitacional no ponto de altura máxima:

2 20 0

p máx p

v mvE mgH mg E

4g 4= = =

Energia cinética no ponto de altura máxima 0(v v cos45 ) :=

2 220 0

c c

v 2 mvmv mE E

2 2 2 4

= = =

F

ís.

Portanto, a relação pedida é:

20

p

2c 0

p c

mvE 4 1E mv

4

E E

= =

=

3. e

A figura mostra a bola nas duas posições citadas, A e B.

Em relação ao solo, adotado como referencial para energia potencial, no ponto A:

( )( )

Apot A 0

A A A 2mec pot cin 0A 2

cin

E m g h m g h h1

E E E m g h h m v .1 2E m v2

= = −

= + = − +=

Como o sistema é conservativo:

( )B A 2mec mec 0

1E E m g h h m v .

2= = − +

4. a

No início do movimento, o corpo apresenta a maior velocidade, portanto a maior energia cinética, sendo

este movimento espelhado na metade do movimento, considerando a inexistência de atrito, portanto

teremos no final do movimento de volta do corpo a mesma energia cinética inicial. Na metade do

movimento temos a energia cinética sendo zerada quando o corpo atinge a altura máxima. Estas

observações nos dão conta de que o gráfico correto é o da alternativa [A].

5. b

Dados: d m d mk 2 k ; F F .= =

Calculando a razão entre as deformações:

d m d d m m m d m m m dF F k x k x 2 k x k x x 2 x= = = =

Comparando as energias potenciais elásticas armazenadas nos dois estilingues:

( )

2 2d dpot 2m d

m ddpotpot

m d22 2m m m dpot 2m d

m m d

k x 2k xE k x

2 2 E 2 E

k x k 2x 4 k xE 2 k x

2 2 2

= = =

=

= = = =

F

ís.

Considerando o sistema conservativo, toda essa energia potencial é transformada em cinética para o

objeto lançado. Assim:

22cin cin 2 2dmm d m d

m vm vE 2 E 2 v 2v

2 2= = =

Supondo lançamentos oblíquos, sendo θ o ângulo com a direção horizontal, o alcance horizontal (D) é

dado pela expressão:

( )( )

( )

2d

d20 d

2md

m

vD sen 2

gv D 1D sen 2 .

g D 22 vD sen 2

g

θ

θ

θ

=

= =

=

6. e

A energia cinética é máxima no ponto onde a energia potencial é mínima. Isso ocorre no ponto de

abscissa 2x x .=

7. c

Usando a conservação da energia mecânica:

A BM ME E m= A

mgh =

2B

B

vv 2gh

2 =

Substituindo os dados do problema:

2B B Bv 2gh v 2 10 m s 1,8 m v 6,00 m s= = =

8. e

Do ponto de vista do chão: o drone deve sobrevoar 60 m (50 m do edifício e mais 10 m que ele precisa

ficar acima).

1

1

1

g

g

g

E mgh

E mg 60

E 60 mg

=

=

=

Do ponto de vista do drone: ele (drone) está a 10 m acima do prédio, logo sua energia potencial será:

2

2

2

g

g

g

E mgh

E mg 10

E 10 mg

=

=

=

A razão entre eles será:

1

2

1

2

1

2

g

g

g

g

g

g

E 60 mg

E 10 mg

E 60

E 10

E6

E

=

=

=

Observação: essa questão depende muito do referencial que você está tratando.

F

ís.

9. a

1ª Solução:

Do gráfico, calculamos o módulo da aceleração:

2v 0 5a a 0,5 m/s .

t 10 0

Δ

Δ

−= = =

−

A resultante das forças sobre o corpo é a força de atrito:

2at

a 0,5F R m g m a 0,05 5 10 .

g 10μ μ μ −= = = = = =

2ª Solução:

Do gráfico, calculamos o deslocamento:

5 10S "área" 25 m.

2Δ

= = =

A resultante das forças sobre o corpo é a força de atrito. Pelo teorema da energia cinética:

2 220 0

atFat R

2 220

m v m vm vW W F S mg S 0

2 2 2

v 5 1 5 10 .

2 g S 2 10 25 20

Δ μ Δ

μ μΔ

−

= − = − − = −

= = = =

r r

10. b

Dados: 0m 90 kg; v 0; v 12 m/s.= = =

O trabalho (W) da força resultante realizado sobre o atleta é dado pelo teorema da energia cinética.

( ) ( )2 2 20 3

cin

m v v 90 12 0W E W 6,48 10 J.

2 2Δ

− −= = = =

A enunciado pode induzir à alternativa [C], se o aluno raciocinar erroneamente da seguinte maneira:

Calculando a aceleração escalar média:

2m

v 12a 3,17 m/s .

t 3,78

Δ

Δ= = =

Calculando a "força média" resultante:

( )m m mF ma 90 3,17 F 286 N.= = =

Calculando o Trabalho:

3mW F d 286 30 W 8,6 10 J.= =

Essa resolução está errada, pois a aceleração escalar média é aquela que permite atingir a mesma

velocidade no mesmo tempo e não percorrer a mesma distância no mesmo tempo.

Ela somente seria correta se o enunciado garantisse que a aceleração foi constante (movimento

uniformemente variado). Porém, nesse caso, o espaço percorrido teria que ser menor que 30 m.

Certamente, a aceleração do atleta no início da prova foi bem maior que a média, possibilitando um

deslocamento maior (maior "área") no mesmo tempo, conforme os gráficos velocidade tempo.

F

ís.

11. c

A energia cinética da criança deve se anular nos pontos de altura mínima e máxima, onde está convertida

em energia potencial (elástica ou gravitacional), e máxima no ponto de altura zero.

Na região máx0 h h , atua a pE mgh,= e na região mính h 0, atua também a 2

ekh

E .2

=l

Logo, devido às relações das energias com as alturas, segue que cE deve variar linearmente apenas para

máx0 h h .

12. d

Essa questão pode ser resolvida mentalmente, basta você lembrar o teorema trabalho-conservação de

energia (2) e da definição de trabalho (1), com isso você terá a seguinte equação: 2i

1F S mv ,

2Δ = − e fica

fácil de visualizar que se dobrarmos a velocidade (que está elevada ao quadrado) a distância terá que

quadruplicar.

Segue logo abaixo uma prova matemática:

2 2f i

2i

2i

W F S (1)

1 1W mv mv (2)

2 2

1W 0 mv

2

1W mv (3)

2

Δ=

= −

= −

= −

Substituindo (1) em (3), temos:

2i

2at i

2i

at

1F S mv

2

1F S mv

2

mvS (4)

2F

Δ

Δ

Δ

= −

= −

= −

No novo caso teremos o dobro da velocidade inicial:

2i

at

2i

at

2i

at

2i

at

m (2v )S'

2F

m 4vS'

2F

4 mvS'

2F

mvS' 4 (5)

2F

Δ

Δ

Δ

Δ

= −

= −

= −

= −

F

ís.

Substituindo (4) em (5), temos:

S' 4 SΔ Δ=

13. b

Com o armazenamento do hidrogênio previamente produzido, é possível utilizá-lo mesmo que as

turbinas eólicas deixem de produzir eletricidade por um curto período.

14. b

Nota: entendamos energia dissipada como energia mecânica dissipada.

A figura mostra a forças agindo sobre o bloco, bem como o deslocamento vertical (h):

h 1sen30 h 4 h 2 m.

4 2

= = =

Aplicando o Teorema da Energia Cinética:

( ) ( )( )

dissip

220

cinR P N Fat

20

Fat

2

Fat Fat

dissipFat

m vm vW E W W W

2 2

m vm gh 0 W 0

2

5 85 2 10 W W 60 J.

2

E W E 60 J.

Δ= + + = −

− + − = −

−−− − = =

−= =

v v v v

v

v v

v

15. a

No ponto de compressão máxima, a velocidade é nula. Adotando esse ponto como referencial de altura,

nele, a energia potencial gravitacional também é nula. Assim, aplicando a conservação da energia

mecânica.

( )( )2

i fMec Mec 2

2 m g h dk dE E m g h d k .

2 d

+= + = =

16. b

Dados: m = 70 kg; v0 = 10 m/s; CE 0,7(500) 350J.Δ = =

A energia cinética depois do salto é igual à energia cinética inicial somada à variação adquirida no salto.

( )

( )

222 2f i 0C C C C

2 2

70 10m vm v 70 vE E E E 350

2 2 2 2

35 v 35 100 350 v 100 10 v 110

v 10,5 m/s.

Δ Δ= + = + = +

= + = + =

=

F

ís.

Questão Contexto

d

As velocidades dos dois skatistas são iguais em módulo no ponto C e são determinadas por energia mecânica:

Para o rapaz que sai da posição A (sentido positivo):

M(A) M(C)E E=

21 1

1 1

m v hm gh m g

2 2= +

1 1v gh 10 3,6 36 v 6 m / s= + = + = + = +

Para o rapaz que sai da posição B (sentido negativo):

M(B) M(C)E E=

22 2

2 2

m v hm gh m g

2 2= +

2 2v gh 10 3,6 36 v 6 m / s= − = − = − = −

Como a velocidade relativa para dois móveis em sentidos contrários se somam seus módulos, temos:

r 1 2v v v 6 6 12 m / s= + = + =

rkm / h

v 12 m / s 3,6 43,2 km / hm / s

= =