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ís.

Fís.

Professor: Leonardo Gomes

Monitor: João Carlos

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ís.

Exercícios sobre

espelhos esféricos

25/27

set

RESUMO

Estudo Gráfico

Os espelhos estéticos, como o próprio nome já diz, são espelhos formados por esferas. Porém, não utilizamos

a esfera inteira para os nossos estudos, visto que nos vamos apenas olhar para parte dessa esfera.

Imagine que essa esfera seja cortada na parte que nos interessa, essa parte cortada é chamado de calota

esférica, dependendo de onde for o corte, teremos um tipo de espelho diferente, como pode ser visto na

imagem acima. Caso a parte espelhada seja no interior da calota, chamaremos esse espelho de espelho

esférico côncavo. Caso a parte espelhada seja no exterior da calota, chamaremos esse espelho de espelho

esférico convexo. Um bom exemplo para visualizar esses espelhos é a colher de cozinha, onde você pode

visualizar os 2 casos.

Espelho esférico côncavo

Nos espelhos esféricos existem alguns elementos de interesse que são importantes. Observe a imagem

abaixo:

Temos o ponto C, que é chamado de Centro de Curvatura. Esse ponto refere-se ao ponto no centro da minha

esfera, ponto esse onde fica localizado o Raio da esfera.

Temos o ponto V, que é chamado de Vértice. Esse ponto refere-se ao ponto onde o eixo principal corta o

espelho.

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ís.

Temos o eixo e, que é chamado de Eixo Principal do Espelho. Esse eixo é o lugar onde posicionaremos os

objetos e, então, formaremos nossas imagens.

Temos o ponto F, que é chamado de Foco do Espelho. Esse ponto refere-se ao ponto médio entre o Centro

de Curvatura e o Vértice. Consequentemente, a distancia entre esse Foco e o espelho é chamado de

Distância Focal, é será simbolizada pela letra f.

Já que definimos que o Centro de Curvatura é o centro da esfera. Podemos dizer, também, que a Distância

Focal é a metade do Raio.

𝑓 =𝑅

2

Espelhos esféricos convexos

Observando a imagem abaixo, vemos que os elementos de interesse no caso do espelho convexo não são

muito diferentes.

Apesar disso, é importante diferenciarmos algumas coisas. No caso do espelho côncavo, temos os elementos

na frente a parte refletora do espelho, enquanto que no espelho convexo, temos os elementos atrás da parte

refletora. Precisamos então definir alguma referencia.

• Todos as medidas feitas na frente da parte refletida, terá valores positivos. Chamaremos isso de valores

reais.

• Todas as medidas feitas atrás da parte refletida, terá valores negativos. Chamaremos isso de valores

virtuais.

Essa ideia de Real e Virtual foi vista no material de espelhos planos.

Raios notáveis

Os Raios notáveis são os raios característicos que serão utilizados para a construção das imagens nos espelhos

esféricos. Temos um total de 4 Raios notáveis, sendo eles:

• O raio que incide paralelo ao eixo principal, reflete passando pelo Foco.

• Lembrando do principio da reversibilidade, um raio que incide na direção do foco, reflete paralelo ao

eixo principal.

• O raio que incide na direção do Centro de Curvatora, reflete na mesma direção, mas sentido invertido.

Logo, ele não sofre nenhum desvio.

• O raio que incide na direção ao Vértice do espelho, reflete com o mesmo angulo de incidência.

Entrando nas particularidades dos espelhos esféricos. Lembramos que o côncavo possuem a parte interior

espelhada, logo, os raios notáveis serão refletidos para os pontos de interesse. Já o convexo possuem a parte

exterior espelhada, logo, os raios não pode entrar no espelho, fazendo com que os prolongamentos dos

raios formem a imagem, no lugar do raio em si. A imagem abaixo demonstra o desenhos dos raios notáveis

nos espelhos (A esquerda os do espelho côncavo e a direita os do espelho convexo).

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ís.

OBS: Lembre que a parte com traços simboliza a parte não refletora.

Imagens do espelho côncavo

Utilizando os raios notáveis, podemos construir uma imagem a partir de um objeto. Para o espelho côncavo,

temos 5 tipos de imagens diferentes. Essas imagens mudam de acordo com a posição do objeto. Depois de

construirmos a imagem, devemos classifica-la entre:

• Real ou Virtual

• Direita ou Invertida

• Maior, menor ou igual

O objeto pode ser localizado em 5 lugares diferentes, sendo esses:

• Antes do Centro de Curvatura

• Em cima do Centro de Curvatura

• Entre o Centro de Curvatura e o Foco

• Em cima do Foco

• Entre o Foco e o Vértice

OBS: Lembrando que só é necessário 2 raios notáveis para a construção da imagem.

• Real

• Invertida

• Menor

• Real

• Invertida

• Igual

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ís.

• Real

• Invertida

• Maior

• Imprória, já que os raios nem seus prolongamentos se encontram.

Não temos imagem

• Virtual

• Direita

• Maior

Imagens do espelho convexo

Utilizando os raios notáveis, podemos construir uma imagem a partir de um objeto. Para o espelho convexo,

temos apenas 1 imagem formada.

• Virtual

• Direita

• Menor

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Estudo Analítico

Para fazer o estudo analítico do espelhos esféricos, precisamos definir algumas medidas.

De acordo com a imagem, podemos definir:

• P = Medida entre o objeto e o espelho

• P`= Medida entre a imagem e o espelho

• f = Distância focal

Apesar de não existir, encontraremos medidas positivas e negativas nesse estudo. Os valores positivos e

negativos não estão atrelados a medida em si, mas a posição em relação ao espelho

• Medidas positivas: medidas posicionadas na frente do espelho

• Medidas negativas: medidas posicionadas atrás do espelho

Logo, faremos uso desses sinais para classificar espelhos, objetos e imagens de acordo com o que foi visto

no modulo anterior.

• f > 0 significa que o espelho é côncavo

• f < 0 significa que o espelho é convexo

• P > 0 significa que o objeto é real

• P < 0 significa que o objeto é virtual

• P` > 0 significa que a imagem é direita

• P` < 0 significa que a imagem é virtual

OBS: Preste atenção por que algumas questões podem te dar os valores e uma figura demonstrando a

situação. Nesse caso, cabo a você atribuir os sinais positivos e negativos as medidas.

Com essas grandezas bem definidas, podemos introduzir a equação de Gauss, equação essa que relaciona

as distancias do objeto e da imagem ao espelho e a distancia focal.

1

𝑓=1

𝑃+

1

𝑃`

Ou

𝑓 =𝑃. 𝑃`

𝑃 + 𝑃`

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Aumento linear transversal

O aumento linear é uma grandeza relacionada a imagem, e representa o aumento que essa imagem pode ter.

Se você olhar a imagem abaixo pode notar que ela representa uma raio notavel que passa pelo objeto e forma

a imagem.

Podemos notar que existe 2 triangulos sendo formados graças a esse raio notavel e eles pode ser relacionado,

definindo o aumento linear como:

𝐴 =𝑖

𝑜= −

𝑃`

𝑃

-

de cordenadas, estrategicamente, localizado no Vértice do espelho, conforme a imagem a cima. Assim,

definimos valores positivos para objetos e imagens direta e negativo para imagens e objetos invertidos. Essa

relação pode ser observada no valor final do Auemnto linear da seguinte forma:

• A < 0 significa que a imagem é invertida em relação ao objeto

• A > 0 significa que a imagem é direita em relação ao objeto

OBS: Lembra-se que essa classificação é em relação ao objeto. Se tanto o objeto quanto a imagem estiverem

para baixo, o valor do A será positivo e vice e versa.

EXERCÍCIOS DE AULA

1. Em um farol de automóvel tem-se um refletor construído por um espelho esférico e um filamento de

pequenas dimensões que pode emitir luz. O farol funciona bem quando o espelho é:

a) côncavo e o filamento está no centro do espelho

b) côncavo e o filamento está no foco do espelho

c) convexo e o filamento está no centro do espelho

d) convexo e o filamento está no foco do espelho

e) convexo e o filamento está no ponto médio entre foco e centro do espelho

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ís.

2. Um espelho côncavo tem 80cm de raio. Um objeto real é colocado a 30cm do espelho. A imagem

produzida será:

a) Virtual, direita e maior do que o objeto

b) Virtual, direita e menor do que o objeto

c) Real, inversa e menor do que o objeto

d) Real, inversa e maior do que o objeto

e) Real, inversa e do mesmo tamanho que o objeto

3. Um motorista de táxi utiliza dois espelhos: Um interno plano. O outro lateral,convexo, com 2 m de

distância focal. Pelo espelho plano, ele vê um motociclista que o segue à distância de 6 m do espelho.

Pelo espelho convexo, o motorista do táxi vê a imagem do motorista a uma distância desse espelho

igual a:

a) 1,2m

b) 1,5m

c) 3,0m

d) 4,0m

e) 6,0m

4. grande espelho esférico côncavo. O espelho está fixo no piso de tal forma que o ponto focal F e o

centro de curvatura C do espelho ficam rigorosamente no nível do chão. A criança para em pé entre o

ponto focal do espelho e o vértice do mesmo. A mãe pergunta à filha como ela está se vendo e ela

responde:

5. A figura apresenta uma montagem utilizada por um professor de Física numa aula experimental, sendo

EΦ

principal do espelho EΦ. F é uma fonte luminosa, situada a 5cm do ponto A, de paredes opacas, dotada

de uma abertura, de forma que a luz incide inicialmente em EΦ. Na figura, AO = AB = BC = CD =15cm

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6. Um objeto desloca-se ao longo do eixo principal, em direção ao vértice de um espelho esférico

côncavo Gaussiano, com velocidade constante de 4cm/s. A distância focal do espelho é de 10cm. Em

um certo instante, o objeto está a 50cm do vértice. Após 5s, a distância percorrida pela imagem do

objeto é de:

a) 50,83 cm

b) 49,58 cm

c) 30,00 cm

d) 12,50 cm

e) 2,50 cm

7. Mary Scondy, uma ilusionista amadora, fez a mágica conhecida como lâmpada fantasma. Instalou uma

lâmpada incandescente no interior de uma caixa, aberta em um dos lados. A parte aberta da caixa

estava voltada para a frente de um espelho côncavo, habilmente colocado para que a imagem da

lâmpada pudesse ser formada na parte superior da caixa, conforme representado esquematicamente

na figura abaixo. A lâmpada tinha uma potência de 40W e inicialmente estava desligada. Quando Mary

ligou o interruptor escondido, a lâmpada acendeu, e Josué, um dos espectadores, tomou um susto,

pois viu uma lâmpada aparecer magicamente sobre a caixa.

Com base na figura e no que foi descrito, pode-se concluir que, ao ser ligada a lâmpada, ocorreu a

formação de

a) uma imagem real, e a potência irradiada era de 40W.

b) uma imagem real, e a potência irradiada era de 80W.

c) uma imagem virtual, e a potência irradiada era de 40W.

d) uma imagem virtual, e a potência irradiada era de 80W.

8. Os elevados custos da energia, aliados à conscientização da necessidade de reduzir o aquecimento

global, fazem ressurgir antigos projetos, como é o caso do fogão solar. Utilizando as propriedades

reflexivas de um espelho esférico côncavo, devidamente orientado para o Sol, é possível produzir

aquecimento suficiente para cozinhar ou fritar alimentos. Suponha que um desses fogões seja

constituído de um espelho esférico côncavo ideal e que, num dado momento, tenha seu eixo principal

alinhado com o Sol.

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ís.

Na figura, P1 a P5 representam cinco posições igualmente espaçadas sobre o eixo principal do espelho,

nas quais uma pequena frigideira pode ser colocada. P2 coincide com o centro de curvatura do espelho

e P4, com o foco. Considerando que o aquecimento em cada posição dependa exclusivamente da

quantidade de raios de luz refletidos pelo espelho que atinja a frigideira, a ordem decrescente de

temperatura que a frigideira pode atingir em cada posição é:

a) P4 > P1 = P3 = P5 > P2

b) P4 > P3 = P5 > P2 > P1

c) P2 > P1 = P3 = P5 > P4

d) P5 = P4 > P3 = P2 > P1

e) P5 = P4 > P3 = P2 > P1

EXERCÍCIOS DE CASA

1. A escultura mostrada na figura encontra-se exibida no pátio do Museu Metropolitano de Arte de

Tóquio. Trata-se de uma esfera metálica com um grande poder reflexivo, e nela vê-se a imagem de

uma construção. (Ivan Jerônimo)

Com relação a essa imagem, pode-se afirmar que é

a) real e se forma na superfície da esfera.

b) real e se forma atrás da superfície espelhada da esfera.

c) virtual e se forma na superfície da esfera.

d) virtual e se forma atrás da superfície espelhada da esfera.

e) virtual e se forma na frente da superfície espelhada da esfera.

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ís.

2. A figura mostra um objeto e sua imagem produzida por um espelho esférico.

Escolha a opção que identifica corretamente o tipo do espelho que produziu a imagem e a posição

do objeto em relação a esse espelho.

a) O espelho é convexo e o objeto está a uma distância maior que o raio do espelho.

b) O espelho é côncavo e o objeto está posicionado entre o foco e o vértice do espelho.

c) O espelho é côncavo e o objeto está posicionado a uma distância maior que o raio do espelho.

d) O espelho é côncavo e o objeto está posicionado entre o centro e o foco do espelho.

e) O espelho é convexo e o objeto está posicionado a uma distância menor que o raio do espelho.

3. Dispõe-se de dois espelhos esféricos, um convexo e um côncavo, com raios de curvatura 20,0 cm cada

um, e que obedecem às condições de Gauss. Quando um objeto real é colocado perpendicularmente

ao eixo principal do espelho convexo, a 6,0 cm de seu vértice, obtém-se uma imagem conjugada de

1,5 cm de altura. Para que seja obtida uma imagem conjugada, também de 1,5 cm de altura, colocando

esse objeto perpendicularmente ao eixo principal do espelho côncavo, sua distância até o vértice

desse espelho deverá ser

a) 11,0 cm

b) 15,0 cm

c) 26,0 cm

d) 30,0 cm

e) 25,5cm

4. Os espelhos retrovisores do lado direito dos veículos são, em geral, convexos (como os espelhos

usados dentro de ônibus urbanos, ou mesmo em agências bancárias ou supermercados). O carro de

Dona Beatriz tem um espelho retrovisor convexo cujo raio de curvatura mede 5 m. Considere que esse

carro está se movendo em uma rua retilínea, com velocidade constante, e que, atrás dele, vem um

outro carro. No instante em que Dona Beatriz olha por aquele retrovisor, o carro de trás está a 10 m de

distância do espelho. Seja Do a distância do objeto ao espelho (que é uma grandeza positiva); Di a

distância da imagem ao espelho (considerada positiva se a imagem for real e negativa se a imagem for

virtual) e r o raio de curvatura do espelho (considerado negativo, para espelhos convexos). A equação

dos pontos conjugados é 1/Do + 1/Di = 2/r, e o aumento linear transversal m, é dado por m -Di/Do.

a)

b)

c)

d)

e)

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ís.

5. A figura ao lado mostra um espelho esférico côncavo de raio de curvatura R, apoiado sobre a

horizontal, com a face refletora voltada para cima. A reta tracejada vertical OP passa sobre o ponto

correspondente ao centro do espelho esférico. Determine a distância y, acima do ponto O e ao longo

da reta OP, para a qual ocorrerá maior incidência de luz solar refletida no espelho, suposta de

incidência vertical. Considere o espelho esférico com pequeno ângulo de abertura, de modo que os

raios incidentes são paralelos e próximos ao seu eixo principal.

Assinale a alternativa que apresenta corretamente essa distância.

a) R/2

b) 3R/4

c) R

d) 3R/2

e) 2R

6. Por motivos de segurança, a eficiência dos faróis tem sido objeto de pesquisa da indústria

automobilística. Em alguns automóveis, são adotados faróis cujo sistema óptico é formado por dois

espelhos esféricos E1 e E2 como mostra a figura. Com base na figura, é correto afirmar que a localização

da lâmpada está:

a) nos focos de E1 e de E2.

b) no centro de curvatura de E1 e no foco de E2.

c) nos centros de curvatura de E1 e de E2.

d) no foco de E1 e no centro de curvatura de E2.

e) em qualquer ponto entre E1 e E2.

7. A figura abaixo representa um raio de luz i que incide, paralelamente ao eixo principal, num espelho

esférico côncavo E, de raio de curvatura de 40 cm.

F

ís.

Desse modo, é correto afirmar que o raio refletido atravessará o eixo principal no ponto de abscissa,

em cm, igual a

a) 30

b) 10

c) 20

d) 40

e) 50

8. A figura representa dois raios de luz i1 e i2 que incidem num espelho convexo de foco F e centro de

curvatura C.

A figura que melhor representa os raios de luz refletidos r1 e r2 é:

F

ís.

QUESTÃO CONTEXTO

É possível encontrar em caminhões dois espelhos retrovisores compostos do lado do motorista. Na foto

abaixo, o espelho inferior é plano. Em relação ao de cima podemos dizer que:

I) Como o do inferior, observamos a imagem atrás do espelho, e é, portanto, uma imagem real.

II) A área refletida para o olho do motorista é maior que a refletida pelo espelho debaixo, portanto, é

uma parte de um espelho côncavo.

III) Os raios de luz que incidem paralelamente ao eixo principal são desviados, afastando-se do eixo

principal e seu foco é obtido a partir do prolongamento desses raios.

a) Apenas a afirmação III está correta.

b) As afirmações I e II estão corretas.

c) As afirmações II e III estão corretas.

d) Todas as afirmativas estão corretas.

e) Apenas a afirmação II está sempre correta.

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GABARITO

Exercícios de aula

1. b

2. a

3. b

4. a

5. d

6. e

7. a

8. b

Exercícios de casa

1. d

2. d

3. c

4.

a) 2m

b) Virtual (a única possível com espelho convexo)

c) Direita (a única possível com espelho convexo)

d) Menor (a única possível com espelho convexo)

e) Para aumento de campo visual.

5. a

6. d

7. c

8. b

Questão Contexto

a