Fisica Geral - Excelente Para Engenharia

Como resolver problemas de Fsica

1 ETAPA: LER O PROBLEMA: preciso saber ler, quer dizer, sercapaz de imaginar a cena que o enunciado descreve. Nem sempreentendemos tudo o que est escrito, mas podemos estar atentos aosdetalhes para "visualizar" corretamente o que se est dizendo.

2 ETAPA: FAZER UM ESQUEMA: Fazer um esquema ou desenhosimples da situao ajuda a visualiz-la e a resolv-la. Procure indicarem seus esquemas informaes bsicas como o sentido e os valoresenvolvidos. Preste ateno que uma frase como "dar r" indica osentido do movimento do objeto em questo.

3 ETAPA: MONTE AS EQUAES E FAA AS CONTAS: Umaequao s faz sentido se voc sabe o que ela significa. Sabemosque possvel resolver a nossa questo porque h a conservao daquantidade movimento total de um sistema. Quer dizer, a soma dasquantidades de movimento antes e depois do choque dever ter omesmo valor. Com isso, voc consegue montar as contas.

4 ETAPA:INTERPRETE OS VALORES. (A ETAPA MAISIMPORTANTE!) Muito bem, voc achou um nmero! Mas ainda noresolveu o problema. No queremos saber somente o nmero, mastambm o que aconteceu. O nmero deve nos dizer isso. Olhandopara ele voc deve ser capaz de chegar a alguma concluso.DESCONFIE DOS NMEROS!!! Existe uma coisa que se chama erronas contas, que pode nos levar a resultados errados. Pense bem noque o nmero est lhe dizendo e avalie se uma coisa razovel. Seachar que h um erro, confira suas contas e o seu raciocnio. Se onmero insistir em lhe dizer coisas absurdas, considere apossibilidade de que aquilo que voc esperava no ser realmente oque acontece na prtica.

Leituras de Fsica - MECNICA - Captulo 1GREF - Grupo de Reelaborao do Ensino de FsicaInstituto de Fsica da USP - junho de 1998


1 ETAPA: LER O PROBLEMA: preciso saber ler, quer dizer, sercapaz de imaginar a cena que o enunciado descreve. Nem sempreentendemos tudo o que est escrito, mas podemos estar atentos aosdetalhes para "visualizar" corretamente o que se est dizendo.

2 ETAPA: FAZER UM ESQUEMA: Fazer um esquema ou desenhosimples da situao ajuda a visualiz-la e a resolv-la. Procure indicarem seus esquemas informaes bsicas como o sentido e os valoresenvolvidos. Preste ateno que uma frase como "dar r" indica osentido do movimento do objeto em questo.

3 ETAPA: MONTE AS EQUAES E FAA AS CONTAS: Umaequao s faz sentido se voc sabe o que ela significa. Sabemosque possvel resolver a nossa questo porque h a conservao daquantidade movimento total de um sistema. Quer dizer, a soma dasquantidades de movimento antes e depois do choque dever ter omesmo valor. Com isso, voc consegue montar as contas.

4 ETAPA:INTERPRETE OS VALORES. (A ETAPA MAISIMPORTANTE!) Muito bem, voc achou um nmero! Mas ainda noresolveu o problema. No queremos saber somente o nmero, mastambm o que aconteceu. O nmero deve nos dizer isso. Olhandopara ele voc deve ser capaz de chegar a alguma concluso.DESCONFIE DOS NMEROS!!! Existe uma coisa que se chama erronas contas, que pode nos levar a resultados errados. Pense bem noque o nmero est lhe dizendo e avalie se uma coisa razovel. Seachar que h um erro, confira suas contas e o seu raciocnio. Se onmero insistir em lhe dizer coisas absurdas, considere apossibilidade de que aquilo que voc esperava no ser realmente oque acontece na prtica.


Verso preliminar25 de maro de 2002

Notas de Aula de Fsica

01. MEDIO ..................................................................................................................... 2ALGUMAS UNIDADES FUNDAMENTAIS: ................................................................................... 2ALGUMAS UNIDADES DERIVADAS: ......................................................................................... 2O MUNDO DA FSICA ........................................................................................................... 3AS DIVISES DA FSICA ....................................................................................................... 4COMO RESOLVER PROBLEMAS DE FSICA .............................................................................. 5

Prof. Romero Tavares da Silva

Cap 01 [email protected] 2

01. Medio

Para expressar quantitativamente uma lei fsica necessitamos de um sistema deunidades. Do mesmo modo, para medir uma grandeza fsica necessrio definir a priori aunidade na qual esta grandeza ser medida.

Existe uma enorme quantidade de grandezas fsicas, mas apenas algumas soconsideradas fundamentais, sendo as demais derivadas delas. Tempo (segundo), espao(metro), massa(quilograma) e carga eltrica(Coulomb) so exemplos de unidades funda-mentais. Velocidade (metro/segundo), acelerao (metro/segundo2) e fora (quilogra-ma.metro/segundo2) so exemplos de unidades derivadas.

Por razes histricas, o tempo foi a primeira quantidade a ser mensurada. Esteconceito surge a partir da durao do dia, da presena da luminosidade do Sol; e a suaausncia: a noite.

Com a evoluo da humanidade e com os deslocamentos das comunidades surgeo conceito de distncia, de comprimento, de temperatura e etc.

A partir da necessidade de quantificar as mercadorias para troca surge o conceitode peso, e mais tarde a noo de massa.

Outras grandezas surgem com o avanar da tecnologia e o desenvolvimento domtodo cientfico tais como presso, intensidade luminosa, potncia, carga eltrica, cor-rente eltrica, campo eletromagntico, calor especfico, entropia e etc.

De certo modo, cada cultura tecnolgica autnoma desenvolveu um prprio siste-ma de unidades. Mas a interao entre as sociedades, de certo modo imps que existisseuma uniformizao para que as trocas acontecessem de modo transparente e inteligvelpata as partes. A Inglaterra medieval era praticamente isolada comercialmente do restoda Europa e isso contribuiu para que l se estabelecesse um sistema de unidades dife-rente do restante: polegada, p, milha, libra e etc.

Algumas unidades fundamentais:Grandeza Sistema Internacional - SI CGS

Comprimento Metro - m Centmetro - cmTempo Segundo - s Segundo - sMassa Quilograma - kg Grama - s

Carga eltrica Coulomb - C

Algumas unidades derivadas:Grandeza Sistema Internacional - SI CGSVelocidade m/s cm/sAcelerao m/s2 cm/s2

Fora kg.m/s2 = Newton g.cm/s2 = DinaEnergia kg.m2/s2 = Joule g.cm2/s2 = Erg



O mundo da Fsica

A curiosidade do homem pode ser compreendida de vrias maneiras: alguns dizemque vem de uma necessidade de sobrevivncia, outros dizem que uma forma de prazerou, ainda, no pensamento religioso, que uma forma de conhecer a Deus. Mas uma coi-sa no podemos negar: o homem curioso!

- Por que as coisas caem?- O Sol uma bola de fogo?- A Terra est parada? E a Lua, como ela fica l em cima?- Quando comeou o tempo?- Como surge o pensamento?- Como surgiu a vida? Existe vida depois da morte?

Essas so perguntas que o homem vem se fazendo h muito tempo. Algumas sabe-mos responder, outras no. Algumas tm mais de uma resposta, a diferena est no m-todo usado para respond-las. Alguns mtodos permitem conhecer o mundo que nos cer-ca, outros nos levam a iluses sobre este mundo. Observe estes casos:

HORSCOPOA Lua energiza seu signo apesar deestar em fase com Saturno com o qualapresenta tenso. Voc deve aprovei-tar as vibraes de mercrio que com-pleta hoje seu ciclo. Assim, curta hojeos seus amigos.Nmero de sorte 23.

ESPELHO, ESPELHO MEUVOC SABIA?Para vermos inteiramente nosso rostonum espelho plano suficiente que eletenha metade do tamanho (altura) dorosto. Tente observar este fato.

Os trechos escritos nos quadros acima poderiam ser encontrados num jornal oufalados pela televiso. Freqentemente encontramos frases que propem, sugerem, oumesmo ordenam que faamos, ou no faamos, certas coisas: No fume no elevador.Lei Municipal nmero tal. Essa afirmao tenta nos dizer que se fumarmos no elevadorestaremos sujeitos s penas da tal lei.

Voltemos aos quadros. O primeiro nos diz algumas coisas a respeito da situaodos astros em que podemos, ou no, acreditar. Mais ainda, nos fala para curtir os nos-sos amigos, o que bom, e, indiretamente, prope que joguemos no nmero 23. Dentrodo quadro encontramos palavras que parecem cientficas: energizar, vibrao. O textousa essa linguagem para tentar nos convencer de que tudo que foi escrito verdade. Masos horscopos so produtos da Astrologia que no uma cincia. Suas definies noso exatas e variam de astrlogo para astrlogo. Na verdade o que foi dito a opinio dequem fez o horscopo e o astrlogo pode, ou no, acertar as suas previses. No segundoquadro estamos no campo da cincia. Ele procura nos descrever um. Se uma pessoa, emqualquer lugar do mundo, seguir as instrues e se olhar num espelho que tenha, pelomenos, metade da altura do seu rosto, conseguir ver o rosto por inteiro. No estamosmais diante de uma opinio, mas sim de um fato, que pode ser verificado.

Devemos ouvir o que as pessoas tm a dizer, porm devemos ser capazes de jul-gar o que foi dito. No porque saiu no jornal ou deu na TV que verdade! Por outrolado, devemos ter cuidado, pois julgar no discordar de tudo, o importante fazer per-



guntas, ter curiosidade e ir em busca dos fatos e suas explicaes. A cincia e seusmtodos podem nos ajudar a responder muitas perguntas, a tomar posies e a fazer jul-gamentos.

Curso de Fsica do 2 grau - Captulo 1Telecurso 2000

As divises da Fsica

A Fsica estuda vrios tipos de fenmenos da Natureza. Para facilitar o seu estudocostuma-se dividi-la. At o incio do sculo as principais partes da Fsica eram: a Mecni-ca, a Termodinmica e o Eletromagnetismo.

No sculo XX, a partir de grandes descobertas, surgiram novos ramos, entre eles:Fsica Atmica e Nuclear Fsica Atmica e Nuclear Fsica Atmica e Nuclear Fsica At-mica e Nuclear Fsica Atmica e Nuclear, Mecnica Quntica Mecnica Quntica Mecni-ca Quntica Mecnica Quntica Mecnica Quntica, Relatividade. Os novos conceitosintroduzidos neste sculo provocaram uma verdadeira revoluo na Fsica. Hoje comumtambm dividir a Fsica em Clssica (antes de 1900) e Moderna (aps 1900).

O quadro a seguir mostra algumas perguntas que podem surgir no nosso dia-a-dia,e identifica qual o ramo da Fsica que trata de respond-las.

PERGUNTAS QUEM RESPONDE ALGUNS CONCEITOS- Por que somos jogados parafrente do nibus quando ele freiabruscamente?- Por que nos dias de chuva mais difcil freiar um automvel?- Como um navio consegue boiar?

MECNICA ForaEspaoInrciaTempoVelocidadeMassaAceleraoEnergiaDensidade

- Como funciona um termmetro?- Por que o congelador fica naparte superior da geladeira?- O que ocorre com a naftalina,que some do fundo da gaveta?

TERMODINMICA CalorEnergia trmicaPressoVolumeDilataoTemperaturaMudanas de estado

- Como vemos os objetos?- Como os culos ajudam a melho-rar a viso?- Como se forma a nossa imagemnum espelho?

PTICA Raio de luzReflexoRefraoLentesEspelhos



- O que a corrente eltrica?- Como funciona um chuveiro el-trico?- Para que serve um fusvel?

ELETROMAGNETISMO Carga eltricaCorrente eltricaCampos eltricosCampos magnticosOndas eletromagnticas

- O que , de fato, a luz?- O que compe todas as coisas?- O que so microondas?

FSICA ATMICAFSICANUCLEAR

tomosNcleosFtonsEltrons

Curso de Fsica do 2 grau - Captulo 1Telecurso 2000


1 ETAPA: LER O PROBLEMA: preciso saber ler, quer dizer, ser capaz de imaginar acena que o enunciado descreve. Nem sempre entendemos tudo o que est escrito, maspodemos estar atentos aos detalhes para "visualizar" corretamente o que se est dizendo.

2 ETAPA: FAZER UM ESQUEMA: Fazer um esquema ou desenho simples da situaoajuda a visualiz-la e a resolv-la. Procure indicar em seus esquemas informaes bsi-cas como o sentido e os valores envolvidos. Preste ateno que uma frase como "dar r"indica o sentido do movimento do objeto em questo.

3 ETAPA: MONTE AS EQUAES E FAA AS CONTAS: Uma equao s faz sentidose voc sabe o que ela significa. Sabemos que possvel resolver a nossa questo por-que h a conservao da quantidade movimento total de um sistema. Quer dizer, a somadas quantidades de movimento antes e depois do choque dever ter o mesmo valor. Comisso, voc consegue montar as contas.

4 ETAPA: INTERPRETE OS VALORES. (A ETAPA MAIS IMPORTANTE!) Muito bem,voc achou um nmero! Mas ainda no resolveu o problema. No queremos saber so-mente o nmero, mas tambm o que aconteceu. O nmero deve nos dizer isso. Olhandopara ele voc deve ser capaz de chegar a alguma concluso. DESCONFIE DOSNMEROS!!! Existe uma coisa que se chama erro nas contas, que pode nos levar a re-sultados errados. Pense bem no que o nmero est lhe dizendo e avalie se uma coisarazovel. Se achar que h um erro, confira suas contas e o seu raciocnio. Se o nmeroinsistir em lhe dizer coisas absurdas, considere a possibilidade de que aquilo que vocesperava no ser realmente o que acontece na prtica.


Verso preliminar6 de setembro de 2002


02. VETORES E ESCALARES........................................................................................... 2UM POUCO DE TRIGONOMETRIA............................................................................................ 2MTODO GEOMTRICO........................................................................................................ 2MTODO ANALTICO ............................................................................................................ 3MULTIPLICAO DE VETORES............................................................................................... 3

Multiplicao de um vetor por um escalar..................................................................... 4Produto escalar ............................................................................................................. 4Produto vetorial ............................................................................................................. 5

SOLUO DE ALGUNS PROBLEMAS ....................................................................................... 702 .................................................................................................................................. 706 .................................................................................................................................. 732 .................................................................................................................................. 839 .................................................................................................................................. 845 .................................................................................................................................. 946 .................................................................................................................................. 947 ................................................................................................................................ 1051 ................................................................................................................................ 10



02. Vetores e escalares

Algumas grandezas fsicas ficam completamente definidas quando informamos umnmero e uma unidade. Quando dizemos que a temperatura de uma pessoa 370C ainformao est completa. A temperatura uma grandeza escalar. Se dissermos que avelocidade de um automvel de 50km/h no definimos completamente a informao.No foi dito em que direo e sentido esse corpo se movimentava. A necessidade dessainformao complementar - direo e sentido - caracteriza a velocidade como um vetor.

Os vetores so representados por setas, e costuma-se representar um vetor commdulo maior que outro por uma seta de tamanho maior. Usamos basicamente de doismodos de representar os vetores, o mtodo geomtrico e o mtodo analtico.

Um pouco de trigonometria

Vamos considerar um tringulo retngulo com hipote-nusa a e catetos b e c respectivamente. O teorema dePitgoras diz que:

a2 = b2 + c2

As funes seno e cosseno so definidas como:

cossen ==ac

sencos ==ab

E do Teorema de Pitgoras, encontramos que:

1cossen 22 =+

sencoscottan

cossen

====

ac

c a

b

Mtodo geomtrico

No mtodo geomtrico, a visualizao dos vetores fica mais bvia, mas no ade-quado para a operaes com diversos vetores. A fora uma grandeza vetorial.Quando consideramos duas foras atuandosobre um dado corpo, o efeito resultante serigual atuao de uma nica fora que sejaa soma vetorial das duas foras menciona-das. A soma desses dois vetores pode serefetuada usando-se a regra do paralelogra-mo.

Mtodo geomtrico

a!

b!

c!

a!

b!

bac!!!

+=



Mtodo analtico

O mtodo analtico consiste basicamente em definir um sistema de coordenadascartesianas e decompor os vetores segundo as suas componentes nestes eixos.

Vamos considerar um sistema de coordenadasbidimensional, definido pelos eixos x e y , comomostrados na figura ao lado. O vetor a

! tem compo-

nentes cartesianas ax e ay que tem a forma:

ax = a . cosay = a . sen

Ou de maneira inversa:

22yx aaa +=

x

y

aa

=tan

y

a!

ay ax x

Uma maneira de representar vetores atravs de suas componentes num dadosistema de coordenadas, como foi antecipado na figura anterior. Desse modo:

yx ajaia +=!

onde jei so vetores unitrios (ou versores) que apontam nas direes dos eixos xe y respectivamente e tm mdulos iguais a um.

A soma de dois vetores ser ento definida como:

( ) ( )yyxxyx

yx

bajbaicbjbib

eajaia

ondebac +++=

+=

+=

+=

!

!

!

!!"

ou seja:

+=

+=

+=

yyy

xxx

yx

bace

bacondecjcic

!

Multiplicao de vetores

As operaes com vetores so utilizadas de maneira muito ampla na Fsica, paraexpressar as relaes que existem entre as diversas grandezas.



Multiplicao de um vetor por um escalar

Sejam dois vetores a!

e b!

e um escalar k. Defi-nimos a multiplicao mencionada como:

akb!!

=

O vetor ak!

tem a mesma direo do vetor a!

. Termesmo sentido se k for positivo e sentido contrrio sek for negativo.

a!

ak!

Produto escalar

Define-se o produto escalar de dois vetores a!

eb!

como a operao:

cosabba =!!

onde o ngulo formado pelos dois vetores.

a!

b!

Podemos dizer que o produto escalar de dois vetores igual ao mdulo do primeirovezes a componente do segundo no eixo determinado pelo primeiro, ou vice-versa. Issopode-se resumir na propriedade :

abba!!!!=

Uma aplicao do produto escalar a definio de trabalho W executado por umafora constante que atua ao longo de um percurso d:

cos. FddFW ==!!

Usando o conceito de vetor unitrio encontramos que:

10cos 0 == iiii

1 = jj1 = kk

e de modo equivalente:090cos 0 == jiji

0 = ki0 = kj

z

k i j y

x

Podemos utilizar a decomposio de um vetor segundo as suas componentes car-tesianas e definir o produto escalar:



zyx akajaia ++=!

zyx bkbjbib ++=!

( ) ( )zyxzyx bkbjbiakajaiba ++++= !!e portanto:

zzyyxx babababa ++=!!

Fica fcil perceber que:

2222zyx aaaaaa ++==

!!

Como cosbaba =!!

, temos que baba!!

.cos = , e assim poderemos calcular o

ngulo entre os dois vetores, em funo de suas componentes cartesianas:

222222cos

zyxzyx

zzyyxx

bbbaaa

bababa

++++

++=

Produto vetorial

Define-se o produto vetorial de dois vetores a!

eb!

como a operao:

bac!!!

=

e mdulo c definido como:

senbac =

onde c!

um vetor perpendicular ao plano defino pe-los vetores a

! e b

! e o ngulo formado por esses

dois ltimos dois vetores.

c!

b!

a!

Uma aplicao do produto vetorial a definio da fora F!

que atua em uma car-ga eltrica q que penetra com velocidade v

! numa regio que existe um campo magnti-

co B!

:BvqF!!!

=

ou ainda:F = q v B sen



Usando a definio de produto vetorial, encon-tramos que:

ijkji ==jkikj ==

kijik ==

0 === kkjjii

z

k i j y

x

De modo genrico, podemos definir o produto vetorial como:

( ) ( )zyxzyx bkbjbiakajaibac ++++== !!!e usando os resultados dos produtos vetoriais entre os vetores unitrios, encontramosque:

( ) ( ) ( )xyyxzxxzyzzy babakbabajbabaic ++= !

Usando as propriedades de matrizes, encontramos que o produto vetorial pode serexpresso como o determinante da matriz definida a seguir:

==

zyx

zyx

bbbaaakji

bac

!!!



Soluo de alguns problemas

Captulo 3 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edio

02 Quais so as propriedades dos vetores a!

e b!

tais que:a) cba

!!!=+ e a + b = c

Temos que: ( ) ( ) babbaababacc !!!!!!!!!!!! ++=++= 2ou seja:

cos2222 abbac ++=

Para que c = a + b necessrio que = 0 pois

c2 = a2 + b2 + 2ab = (a + b)2

Portanto ba!!

c!

b!

a

!

a!

b!

b) baba!!!!

=+

Da equao acima, temos que:

002 ==+= bbbbaa!!!!!!

c) 222 cbaecba =+=+!!!

Comocos2222 abbac ++= ,

para quec2 = a2 + b2 + 2ab = (a + b)2

devemos ter

2 = portanto ba

!!

b!

a!


06O vetor a

! tem mdulo de 3 unidades e est dirigido para Leste. O vetor b

! est diri-

gido para 350 a Oeste do Norte e tem mdulo 4 unidades. Construa os diagramasvetoriais para a

! + b

! e b

! - a

! . Estime o mdulo e a orientao dos vetores

a!

+ b!

e a!

- b!

a partir desse diagramas.

+=

=

yx

x

bjbib

aia

!

!

====

===

==

27,335cos4cos29,235sen4sen

3

0

0

bbbb

aa

y

x

x

y

b!

Oeste Leste

a!

x



a)

+=

+=+=

yyy

xxx

bacbac

bac!!!

cx = 3 - 2,29 = 0,71

cy = 3,27

34,322 =+= yx ccc

b)

=

=

=

yyy

xxx

abdabd

abd!!!

dx = -2,29 - 3 = -5,29

dy = 3,27

21,622 =+= yx ddd


32Prove que dois vetores devem ter o mesmo mdulo para que sua soma seja perpen-dicular sua diferena.

( ) ( ) babababa ===+ 022!!!!


39 Mostre que num sistema de coordenadas destrgiro:

1 === kkjjiie

0 === ikkjji

A definio de produto escalar tal que: cosbaba =!!

, onde o ngulo formadopelos vetores. Logo:

11.1.10cos 0 === iiiie

00.1.190cos 0 === jiji

Os outros itens seguem-se como extenso desses anteriores.




45A soma de trs vetores igual a zero, como mostra afigura. Calcule:

c

! b

!

a

!

a) ?= ba!!

02

cos == baba!!

b) ca!! = - a c cos = -a c (a/c) = - a2

c) cb!! = - b c cos = - b c (b/c) = - b2

Podemos concluir que:

0=++ bac!!!

0=++ acbccc!!!!!!

logo:c2 = a2 + b2


46 Para o problema anterior, calcule:

a) = ba!!

?

Suponhamos que o eixo z seja perpendicular ao pla-no definido pelos vetores a

! e b

! .

= ba!!

z a b sen(/2) = z a b

b!

a

!

b) = ca!!

?

= ca!!

a c sen= ca

!!(- z) a c sen = - z a c (b/c) = - z a b

a

!

c!

c)= cb

!!?

= cb!!

b c sen

= cb!!

z b c sen = z b c (a/c)= cb

!!z a b

b!

c!




47 Produto escalar em funo das coordenadas: Suponha que dois vetores sejamrepresentados em termos das coordenadas como:

zyx akajaia ++=!

e zyx bkbjbib ++=!

mostre que:zzyyxx babababa ++=

!!

Por definio temos que:

= ba!! ( )++ zyx akajai ( )zyx bkbjbi ++

Usando os resultados do problema 39, resolvido anteriormente, temos a respostapedida.

zzyyxx babababa ++=!!


51 Dois vetores so dados por jia 53 +=!

e jib 42 +=!

. Calcule:a) ba

!! =?

ba!!

= ( ) kkkji

22.54.3

042053

==

b) ba!! =?

ba!! = 3.2 + 5.4 = 26

c) ( ) bba !!! + =?( ) bba !!! + = ( ) ( )jiji 4295 ++ = 5.2 + 9.4 = 46



03. MOVIMENTO RETILNEO............................................................................................ 2POSIO E DESLOCAMENTO ................................................................................................ 2VELOCIDADE MDIA E VELOCIDADE ESCALAR MDIA ............................................................... 3VELOCIDADE INSTANTNEA E VELOCIDADE ESCALAR .............................................................. 3ACELERAO ..................................................................................................................... 4ACELERAO CONSTANTE - UM CASO ESPECIAL .................................................................... 4

Exemplo: ....................................................................................................................... 6ACELERAO DE QUEDA LIVRE............................................................................................. 7SOLUO DE ALGUNS PROBLEMAS ....................................................................................... 8

15 .................................................................................................................................. 819 ................................................................................................................................ 1034 ................................................................................................................................ 1138 ................................................................................................................................ 1141 ................................................................................................................................ 1143 ................................................................................................................................ 1245 ................................................................................................................................ 1254 ................................................................................................................................ 1357 ................................................................................................................................ 1461 ................................................................................................................................ 1469 ................................................................................................................................ 1578 ................................................................................................................................ 1579 ................................................................................................................................ 1682 ................................................................................................................................ 17



03. Movimento retilneo

Vivemos num mundo que tem com uma das principais caracterstica o movimento.Mesmo corpos que aparentemente esto em repouso, s esto neste estado em relaoa um certo referencial. Quando estamos deitados em nossa cama, tudo nossa volta pa-rece estar em repouso. E de fato, tudo est em repouso em relao ao nosso corpo. Masno est em repouso em relao Lua, ou ao Sol. Se estivssemos deitado em umacama de um vago de um trem dormitrio, todos os objetos do quarto ainda nos pareceri-am parados, apesar desse conjunto se mover em relao aos trilhos. Da concluirmos quemovimento (ou repouso) uma caracterstica de um corpo em relao a um certo referen-cial especfico

Quando um objeto real est em movimento, alm de sua translao ele tambmpode tanto girar quanto oscilar. Se fssemos sempre considerar essas caractersticas, omovimento de um corpo seria sempre um fenmeno bastante complicado de se estudar.Acontece, que em diversas situaes o fenmeno mais importante a translao. Dessemodo, sem incorrer em grande erro, podemos isolar este tipo movimento e estud-locomo o nico existente.

Devemos ainda considerar que corpos que apresentam apenas o movimento detranslao podem ser estudados como partculas, porque todas as partes do corpo comesse movimento descrevero a mesma trajetria.

Num estgio inicial, o estudo ainda pode ser mais simplificado porque matemati-camente, uma partcula tratada como um ponto, um objeto sem dimenses, de tal ma-neira que rotaes e vibraes no estaro envolvidas em seu movimento.

Em resumo: vamos tratar como pontos materiais (ou partculas) os corpos que te-nham apenas movimento de translao, e o caso mais simples ser quando ele apresen-tar um movimento retilneo.

Posio e deslocamento

A localizao de uma partcula fundamentalpara a anlise do seu movimento. O seu movimento completamente conhecido se a sua posio noespao conhecida em todos os instantes.

P Q xi xf

Vamos considerar que esse movimentocomponha-se de uma trajetria retilnea que temcomo posio inicial o ponto P com coordenada xino instante ti e posio final com coordenada xfno instante tf . O deslocamento x uma medida da dife-rena entre as posies inicial xi que a partculaocupou e a sua posio final xf

x = xi - xfe o intervalo de tempo expresso como:

t = tf - ti

x Q xf

xi P

ti tf t



medida que o intervalo de tempo t diminui o ponto Q se aproxima do ponto P,na figura anterior. No limite quando t 0 , quando o ponto Q tende ao ponto P , a retaque os une passa a coincidir com a prpria tangente curva no ponto Q , ou sejav = tan . Assim, a velocidade instantnea em um dado ponto do grfico espao versustempo a tangente curva neste ponto especfico.

Velocidade mdia e velocidade escalar mdia

A velocidade de uma partcula a razo segundo a qual a sua posio varia com otempo. Podemos analisar um movimento de diversas maneiras, dependendo da sofistica-o dos nossos instrumentos de medida.

A velocidade escalar mdia definida como a razo entre a distncia percorrida eo tempo gasto no percurso:

tpercorridadistnciav

=

Se uma viagem entre duas cidades distantes de 120km durou 1,5h ns dizemosque o percurso foi vencido com uma velocidade escalar mdia de 80km/h . Na vida coti-diana essa informao suficiente para descrever uma viagem.

J a velocidade mdia definida como a razo entre o deslocamento e o temponecessrio para esse evento.

txv

=

Para calcularmos a velocidade mdia da viagem entre as duas cidades, devera-mos saber a distncia em linha reta entre elas. Essa distncia seria o deslocamento,que foi definido anteriormente.

No movimento unidimensional percurso e deslocamento so conceitos pratica-mente idnticos, de modo que s existir uma diferena marcante entre as velocidadesmdia e escalar mdia nos movimentos bidimensional ou tridimensional. Percurso adistncia percorrida por uma partcula num certo intervalo de tempo; enquanto que deslo-camento a diferena entre as posies inicial e final da partcula no intervalo de tempoconsiderado.

Velocidade instantnea e velocidade escalar

A velocidade instantnea v nos d informaes sobre o que est acontecendonum dado momento.

Ela definida como:

dtdx

txLimv

t=

= 0



Como foi mencionado, a velocidade mdia representa o que aconteceu entre o in-cio e o fim de uma viagem. J a velocidade instantnea em um dado momento representao que aconteceu naquele momento. Colecionando as velocidades instantneas de cadaum dos momentos temos uma informao completa de como variou a velocidade ao longode toda viagem.

A velocidade escalar o mdulo da velocidade a velocidade sem qualquer indi-cao de direo e sentido.

No movimento retilneo e uniforme a partcula se move com velocidade constante. A suacaracterstica que a velocidade em qualquer instante igual velocidade mdia. Por-tanto a equao que define este tipo de movimento :

X = v t

Acelerao

A acelerao de uma partcula a razo segundo a qual a sua velocidade variacom o tempo. Ela nos d informaes de como a velocidade est aumentando ou dimi-nuindo medida que o corpo se movimenta.

Para analisar a variao da velocidade durante um certo intervalo de tempo t nsdefinimos a acelerao mdia deste intervalo como:

tv

ttvv

aif

if

=

=

Quando queremos saber o valor da acelerao em cada instante do intervalo con-siderado, deveremos calcular a acelerao instantnea:

dtdv

tva Lim

t=

=

0

Quando um corpo em movimento est aumentando a sua velocidade temos que asua acelerao ser positiva pois:

Vf > vi v = vf - vi > 0 0

=

tva

Se o corpo estiver diminuindo a sua velocidade a sua acelerao ser negativa.

Acelerao constante - um caso especial

O exemplo anterior do movimento de um automvel que varia a sua velocidade uma situao tpica de translao com acelerao constante em alguns trechos e nula emoutros.

Vamos considerar o movimento com velocidade constante de uma partcula, entreum instante inicial t0 e um instante posterior t . No instante inicial t0 a partcula se



encontrava na posio inicial x0 com velocidade inicial v0 e no instante t ela se encon-trava na posio x com velocidade v .

A velocidade mdia da partcula neste intervalo entre t0 e t dada por:

20

0

0 vvttxx

v +=

=

onde a ltima igualdade vlida apenas para movimentos com acelerao constante,como esse caso especfico.

Podemos colocar as equaes anteriores com a seguinte forma que define x :

( ) ( )00000 2 ttvv

xttvxx

++=+=

Como a acelerao constante, podemos usar a definio de acelerao mdiaque a prpria acelerao constante neste caso presente:

0

0

ttvv

aa

==

ou seja:( )00 ttavv +=

ou ainda

( )avv

tt 00

=

Usando este valor de v na equao que define x , encontraremos:

( )[ ]

++

+=22

000

000

ttttav

ttvxx

e rearrumando os vrios termos teremos:

( ) ( )20000 21 ttattvxx ++=

Usando o valor de ( t - t0 ) na equao que define x encontraremos:

++=

avvvv

xx 000 2ou seja:

=

avv

xx2

20

2

0

e finalmente:( )0202 2 xxavv +=



Se estivssemos considerando um movimento tridimensional, com aceleraoconstante nas trs direes, poderamos estender facilmente os resultados anteriorespara as seguintes equaes vetoriais:

( )

+=

+=

++=

020

20

200

2

21

rravvtavv

tatvrr

!!!

!!!

!!!!

onde fizemos o instante inicial t0 = 0 . A ltima equao conhecida como equao deTorricelli.

Exemplo:Um motorista viaja ao longo de uma estrada reta desenvolvendo uma velocidade

de 15m/s quando resolve aument-la para 35m/s usando uma acelerao constante de4m/s2 . Permanece 10s com essa velocidade, quando resolve diminui-la para 5m/susando uma acelerao constante de 10m/s2 .

Trace os grficos de x versus t , v versus t e a versus t para o todo o movimentomencionado.

0

100

200

300

400

500

600

700

0 5 10 15 20 25 30 35

t

x

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 5 10 15 20 25 30 35

t

v

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

0 5 10 15 20 25 30 35

t

a



Tabela associada ao exemplo:

Intervalo Acelerao Velocidade Espao0 5s Nula Constante Reta ascendente

5s 10s Positiva Reta ascendente Parbola com concavidadevoltada para cima

10s 20s Nula Constante Reta ascendente20s 23s Negativa Reta descendente Parbola com concavidade

voltada para baixo> 23s Nula Constante Reta ascendente

Acelerao de queda livre

Podemos particularizar o conjunto de equaes vetoriais anteriormente deduzidas,para a situao do movimento de queda livre.

Para todos os efeitos prticos, um corpo que cai prximo Terra, se comportacomo se a superfcie fosse plana e a acelerao da gravidade g fosse constante. Iremosusar valor de g =9,8m/s2 , e considerar o eixo z apontando para cima da superifcie daTerra.

Para a acelerao, temos que:

gkga ==!!

Para o espao percorrido, temos que:

( ) 200 21 tgktvkzkzk ++=

z

g!

2

2

00

gttvzz +=

Para a velocidade desenvolvida pela partcula, temos que:

( )tgkvkvk 0 +=ou seja:

v = v0 - gt

e tambm: ( ) ( )0202 2 zkzkgkvv +=( )0202 2 zzgvv =

Esta ltima equao conhecida como equao de Torricelli.





15 Dois trens trafegam, no mesmo trilho, um em direo ao outro, cada um com umavelocidade escalar de 30km/h . Quando esto a 60km de distncia um do outro, umpssaro, que voa a 60km/h , parte da frente de um trem para o outro. Alcanando ooutro trem ele volta para o primeiro, e assim por diante. (No temos idia da razo docomportamento deste pssaro.)

Vamos considerar d = 60km e d1 a distncia que o trem da direita viajaenquanto o pssaro decola dele e atinge o tem da esquerda e t1 o tempo gastonesta primeira viagem.. A velocidade de cada trem v = 30km/h e a velocidadedo pssaro vp = 60km/h .

Para a primeira viagem do pssaro, temos: d

D1 d1

d = D1 + d1 = vpt1 + vt1 = ( vp + v )t1 pvv

dt+

= 1

Para a segunda viagem, temos:

d2 D2

d = 2d1 + ( d2 + D2 ) = 2vt1 + ( vpt2 + vt2 )

( )

+=

+==+

ppp vv

vdvv

dvdvtdvvt 2122 12

+

+=

pp vvv

vvdt 212

+=

pvvvtt 2112

Para a terceira viagem, temos

D3 d3

d = 2d1 + 2d2 + ( d3 + D3 )



d3 + D3 = d - 2d1 - 2d2 vt3 + vpt3 = d - 2vt1 - 2vt2

ppppp vvvt

vvvtt

vvvt

vvvt

vvdt

+

+=

+

+

+= 211213 2222

ou ainda

ppp vvvtt

vvvt

vvvtt

+=

+

+= 22213 22

21

ou seja:

+=

pvvvtt 2123

Por outro lado, j mostramos que:

+=

pvvvtt 2112

min4032

603060

1 ==+

=

+= h

vvdt

p

Podemos inferir ento que:

+=

pNN vv

vtt 211

ou seja:1

1

21

+=

N

pN vv

vtt

Conclumos que tN o ene-simo termo de uma progresso geomtrica cujo

primeiro termo a1 = t1 = 40min e razo 31

321

603030.2121 ==+

=

+=

pvvvq .

a) Quantas viagens o pssaro faz de um trem para o outro, at a coliso?

As viagens do pssaro ficaro cada vez com um percurso menor at tornarem-seinfinitesimais, por isso sero necessrias um nmero infinito de viagens de umtrem para o outro.

b) Qual a distncia total percorrida pelo pssaro?

O tempo necessrio para o percurso ser a soma dos termos da progresso:

( )qqaS

N

=

111

e quando |q| < 1 e N tende a infinito:



vd

vvv

vvd

vvv

t

vvv

tq

aS pp

p

p

22221 111

=

+

+=

+

=

+

=

=

ou seja

hv

dt 130.2

602

===

Dp = vpt = 60km/h . 1h = 60km

Uma forma direta de resolver este problema, mas que no entanto perde-se todo odetalhamento dos acontecimentos, calcular o tempo necessrio para a colisodos dois trens:

d = ( v + v ) t = 2vt hv

dt 130.2

602

===

Esse tempo t aquele que o pssaro tem para as suas viagens, logo a distnciapercorrida ser:

Dp = vp t = 60km


19 Qual a posio final de um corredor,cujo grfico velocidade x tempo dado pela figura ao lado, 16 segun-dos aps ter comeado a correr?

A distncia percorrida por uma part-cula a rea abaixo da curva numgrfico v versus t . Podemos de-monstrar a afirmao anterior devrios modos, por exemplo:

Mtodo 1:

rea = == fi

f

i

t

t

x

xdtvdxd

d = rea = A1 + A2 + A3 + A4

onde A1 a rea do tringulo que tem como base (0-2), A2 a rea do retnguloque tem com base (2-10) , A3 a rea do paralelogramo que tem como base (10-12) e A4 a rea do retngulo que tem como base (11-16).

( ) ( ) ( ) ( ) ( )444242218882

21 xxxxxd +

+++=

d = 100m

0

2

4

6

8

10

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

t(s)

v(m

/s)



Mtodo 2: Usar as equaes da cinemtica diretamente para cada percurso, e cal-cular as distncias correspondentes.


34A cabea de uma cascavel pode acelerar 50m/s2 no instante do ataque. Se um car-ro, partindo do repouso, tambm pudesse imprimir essa acelerao, em quanto tem-po atingiria a velocidade de 100km/h ?

v = 100km/h =s

m36001010

32 27m/s

v = v0 + at ; 2/50/27smsm

avt ==

t = 0,54s


38 Um jumbo precisa atingir uma velocidade de 360km/h para decolar. Supondo que aacelerao da aeronave seja constante e que a pista seja de 1,8km , qual o valormnimo desta acelerao?

v2 = (v0)2 + 2ad a = v2/2dv = 360km/hd = 1,8kmv0 = 0

a = 36000 km/h2 = 2,7 m/s2

se g = 9,8m/s2 teremos a = 0,27 g


41 Um carro a 97km/h freiado e pra em 43m .a) Qual o mdulo da acelerao (na verdade, da desacelerao) em unidades SI e

em unidades g ? Suponha que a acelerao constante.

v2 = (v0)2 - 2ad a = (v0)2/2d = 8,28m/s2

Se g = 9,8m/s2 temos que a = 0,84 g

v0 = 96km/h = 26,7 m/sd = 43mv = 0

b) Qual o tempo de frenagem? Se o seu tempo de reao treao , para freiar de400ms , a quantos "tempos de reao" corresponde o tempo de frenagem?

v = v0 - at t = v0/a ou seja: t = 3,22s

treao = 400ms = 400 . 10-3s = 0,4s

T = t + treao

T= 3,62s




43 Em uma estrada seca, um carro com pneus em bom estado capaz de freiar comuma desacelerao de 4,92m/s2 (suponha constante).

a) Viajando inicialmente a 24,6ms , em quanto tempo esse carro conseguir parar?

v = v0 - at t = v0/a = 24,6/4,92

t = 5s

a = 4,92m/s2v0 = 24,6 m/sv = 0

b) Que distncia percorre nesse tempo?

v2 = (v0)2 - 2ad d = (v0)2/2a = (24,6)2/(2.4,92)

d = 61,5mc) Faa os grficos x versus t e v versus t para a desacelerao.

x(t) = 24,6t - 2,46t2 em metros v(t) = 24,6 - 4,92t em m/s


45 Os freios de um carro so capazes de produzir uma desacelerao de 5,2m/s2.a) Se voc est dirigindo a 140km/h e avista, de repente, um posto policial, qual o

tempo mnimo necessrio para reduzir a velocidade at o limite permitido de80km/h ?

v = v0 - at

t = (v0 - v)/a = 16,8/5,2

t=3,2s

v0 = 140km/h = 39,2m/sv = 80km/h = 22,4m/sa = 5,2m/s2

0

10

20

3040

50

60

70

0 1 2 3 4 5 6t

x(t)

0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4 5 6

t

v(t)



b) Trace o grfico x versus t e v versus t para esta desacelerao.Consideramos que at o instante t = 5s o carro vinha desenvolvendo a veloci-dade de 39,2m/s , quando comeou a freiar at 3,2s mais tarde, quando passoua desenvolver a velocidade de 22,4m/s .

O grfico x versus t umareta para 0 < t < 5s ,

uma parbola com concavi-dade para baixo para 5s < t < 8,2s

e volta a ser uma reta para t > 8,2s .

Nestes intervalos temos res-pectivamente: movimentouniforme, movimento unifor-memente acelerado e nova-mente movimento uniforme.


54 Quando a luz verde de um sinal de trnsito acende, um carro parte com aceleraoconstante a = 2,2m/s2 . No mesmo instante, um caminho, com velocidade constantede 9,5m/s , ultrapassa o automvel.

a) A que distncia, aps o sinal, o automvel ultrapassar o caminho?

Automvel

x = at2/2

Caminho

X = V t

No instante t = tE o automvel vaialcanar o caminho, logo:

xE = XE

2,25,9.22

2

2

===aVtVtat EEE

tE = 8,6s

XE = V tE = 9,5.8,6 = 81,7m.Curva azul = X = Caminho

Curva vermelha = x = Automvel

0

20

40

60

80

100

120

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10t

050

100150200250300350400450

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14t

x(t)

05

1015202530354045

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14t

v(t)



b) Qual a velocidade do carro nesse instante?

vE = v0 + a tE = 2,2 + 8,6

vE = 18,9m/s


57 Dois trens, em movimento retilneo, viajam na mesma direo e em sentidos opostos,um a 72km/h e o outro a 144km/h . Quando esto a 950m um do outro, os maqui-nistas se avistam e aplicam os freios. Determine se haver coliso, sabendo-se que adesacelerao em cada um dos trens de 1,0m/s2 .

Vamos chamar x e X as distncias que cada trem per-correr antes de parar. Neste instante teremos v = V =0.

v2 = (v0)2 - 2ax x = (v0)2/2a

V2 = (V0)2 - 2aX X = (V0)2/2a

v0 = 72km/h = 20m/sV0 = 144km/h = 40m/sd = 950ma = 1m/s2

A distncia D necessria para os dois trens pararem D = x + X

maVv

D 10002

20

20

=

+=

Como essa distncia D maior que a distncia d disponvel, acontecer a colisoentre os dois trens.


61 Considere que a chuva cai de uma nuvem, 1700m acima da superfcie da Terra. Sedesconsiderarmos a resistncia do ar, com que velocidade as gotas de chuva atingi-riam o solo? Seria seguro caminhar ao ar livre num temporal?

v2 = (v0)2 + 2ah = 2gh

1700.8,9.22 == ghv =182,5m/s

v = 657km/h

v0 = 0a = g = 9,8m/s2h = 1700m

Velocidade

0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10t



Decididamente no seria seguro caminhar ao ar livre num temporal com gotas alcan-ando a superfcie da terra com esta velocidade.


69 Um objeto largado de uma ponte 45m acima da gua. O objeto cai dentro de umbarco que se desloca com velocidade constante e estava a 12m do ponto de im-pacto no instante em que o objeto foi solto.Qual a velocidade do barco?

h

d

h = 45mv0 = 0d = 12m

2

22

22 Vgdh

Vdttgh

vtd==

=

=

smh

gdV /9,345.28,912

2===

V = 14,1km/h


78 Do cano de um chuveiro, a gua pinga no cho, 200cm abaixo. As gotas caem emintervalos regulares, e a primeira gota bate no cho, no instante em que a quarta gotacomea a cair. Determine as posies da segunda e terceira gotas, no instante emque a primeira gota bate no cho.

Seja ti o tempo de vo da i-sima gota:

2

21

1

gthh ==

2

22

2

gth =

2

23

3

gth =

4

3

2 h

1



Como existe um intervalo t entre cada gota, temos que t1 = 3t ; t2 = 2t e t3 = t .Logo

( )( ) mhht

ttt

hh

98

94

94

32

122

2

21

22

1

2===

==

( )( ) mhht

ttt

hh

92

91

91

3 1322

21

23

1

3===

==


79 Uma bola de chumbo deixada cair de um trampolim localizado a 5,2m acima dasuperfcie de um lago. A bola bate na gua com uma certa velocidade e afunda coma mesma velocidade constante. Ele chegar ao fundo 4,8s aps ter sido largada.a) Qual a profundidade do lago?

h1 = 5,2m

t = t1 + t2 = 4,8s

ghtgth 11

21

1

22

==

t1 = 1,03s e t2 = 3,77s

smghvghvv /09,1022 11120

21 ==+=

h2 = v1 t2 = 38,06m

v0 h1

v1

h2

v2

b) Qual a velocidade mdia da bola?

smtthh

tempoespao

txv /01,9

8,406,382,5

21

21=

+=

+

+==

=

c) Suponha que toda gua do lago seja drenada. A bola atirada do trampolim, enovamente chega ao fundo do lago 4,8s depois. Qual a velocidade inicial dabola?Vamos considerar V0 a nova velocidade inicial:

smgtthVgttVh /60,1552,2392,7

22 02

0 ===+=

Na equao acima o sinal de g positivo significando que o referencialpositivo foi tomado como apontando para baixo. Desse modo, como V0 calcula-do negativo, a bola foi lanada para cima.



0 < t < 1,03s

O movimento da bola dechumbo de queda livre,portanto a curva no grficoy versus t ser uma par-bola e a curva no grfico vversus t ser uma reta in-clinada em relao hori-zontal.

t > 1,03s

O movimento da bola dechumbo de retilneo euniforme, portanto a curvano grfico y versus t seruma reta inclinada em rela-o horizontal e a curvano grfico v versus t seruma reta paralela hori-zontal.


82 Uma pedra largada de uma ponte a 43m acima da superfcie da gua. Outra pe-dra atirada para baixo 1s aps a primeira pedra cair. Ambas chegam na gua aomesmo tempo.

a) Qual era a velocidade inicial da segunda pedra?

h = 44mt = 1st2 = t1 - t

ssghtgth 399,22

2 121 ===

O tempo gasto pela segunda pedra ser:

2 1 v0

h

t2 = t1 - t = 2sLogo:

222

20

22

20

gtthv

gttvh =+=

v0 = 12,2m/s

05

101520253035404550

0 1 2 3 4 5t

y

0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3 4 5t

v



b) Faa o grfico da velocidade versus tempo para cada pedra, considerando t = 0o instante em que a primeira pedra foi largada.

Curvas das velocidade:

Vermelho = primeira pedra

Marrom = segunda pedra

Curvas das distncias:

Vermelho = primeira pedra

Marrom = segunda pedra

05

101520

2530

3540

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5t

01020304050607080

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4t



04. MOVIMENTO EM DUAS E TRS DIMENSES .......................................................... 2POSIO E DESLOCAMENTO ................................................................................................ 2VELOCIDADE MDIA E VELOCIDADE INSTANTNEA .................................................................. 2ACELERAO MDIA E ACELERAO INSTANTNEA ................................................................ 3MOVIMENTO NUM PLANO COM ACELERAO CONSTANTE........................................................ 4MOVIMENTO DE PROJTEIS.................................................................................................. 4

Tiro de gran alcance ..................................................................................................... 7MOVIMENTO CIRCULAR E UNIFORME ..................................................................................... 8MOVIMENTO RELATIVO ...................................................................................................... 10

Coger con la mano una bala disparada! ..................................................................... 10SOLUO DE ALGUNS PROBLEMAS ..................................................................................... 11

"19" ............................................................................................................................. 1122 ................................................................................................................................ 1130 ................................................................................................................................ 1241 ................................................................................................................................ 1347 ................................................................................................................................ 1449 ................................................................................................................................ 1572 ................................................................................................................................ 1580 ................................................................................................................................ 1683 ................................................................................................................................ 1788 ................................................................................................................................ 17



04. Movimento em duas e trs dimenses

A nossa experincia cotidiana est repleta de exemplos de movimentos bi e tridi-mensionais. Podemos at dizer que so raras as situaes com movimentos unidimensi-onais. Quando samos de nossa cama para a sala, certamente usamos um movimentobidimensional ao chegar at a porta e caminhando pelo corredor para atingir a sala. Numautomvel em movimento, alm do movimento bidimensional, segundo os pontos carde-ais, as estradas tm elevaes e baixios, de modo que percorremos um caminho tridi-mensional.

Posio e deslocamento

Vamos considerar um sistema de coor-denadas x-y para analisar o movimento deuma partcula do ponto inicial P ocupado noinstante ti at o ponto final Q ocupado noinstante tf . A ponto inicial P localizado pelo vetorposio ir

! e o ponto final Q localizado

pelo vetor posio fr!

. O vetor deslocamento definido por:

if rrr!!!

=

y

P

ir!

r!

Q fr

!

xOnde

fiii zkyjxir ++=!

ffff zkyjxir ++=!

zkyjxir ++= !

Velocidade mdia e velocidade instantnea

A velocidade pode ser entendida como a variao no tempo do vetor deslocamen-to.

Definimos a velocidade mdia em duas ou trs dimenses fazendo uma extensoda definio usada para o movimento retilneo, ou seja:

if

if

ttrr

trv

=

=

!!!!

ou ainda:

tzk

tyj

txiv

+

+

=!



A velocidade instantnea definida como:

dtrdv

trLim

t

!!

!==

0

e em coordenadas cartesianas:

tzk

tyj

txiv LimLimLim

ttt

+

+

=

000

!

dtdzk

dtdyj

dtdxiv ++=

!

ou seja:zyx vkvjviv ++=

!

Acelerao mdia e acelerao instantnea

Quando uma partcula se move comvelocidade iv

! no instante ti e com velocida-

de fv!

no instante tf , definimos a sua acele-rao mdia como:

tv

ttvv

aif

if

=

=

!!!!

A acelerao instantnea definidacomo:

dtvda

tvLim

t

!!

!==

0

y

P iv

!

Q

x fv

!

e em coordenadas cartesianas:

tvk

tv

jt

via zt

y

t

x

tLimLimLim

+

+

=

000

!

dtdv

kdt

dvj

dtdv

ia zyx ++=!

ou seja:zyx akajaia ++=

!



Movimento num plano com acelerao constante

Vamos considerar que a partcula se mova no plano x-y com acelerao cons-tante. Para um movimento nesse plano teremos:

+=

+=

+=

yx

yx

ajaiavjvivyjxir

!

!

!

e considerando que a acelerao constante teremos as equaes para o movimentosegundo o eixo x:

( ) ( )20000 21 ttattvxx xx ++=

( )00 ttavv xxx +=( )0202 2 xxavv xxx +=

e as equaes para o movimento segundo o eixo y :

( ) ( )20000 21 ttattvyy yy ++=

( )00 ttavv yyy +=( )0202 2 yyavv yyy +=

As equaes anteriores podem ser sintetizadas nas formas vetoriais:

200 2

1 tatvrr!!!!

++=

tavv!!!

+= 0( )0202 2 rravv !!! +=

Movimento de projteis

O movimento dos projteis uma situao onde uma partcula se move num plano,com movimento de acelerao constante em uma direo e movimento de velocidadeconstante em outra direo.

Vamos considerar que ax = 0 e que ay = - g , e desse modo, as equaes paraesse movimento sero para o eixo x:

tvxx x00 = (1)



e para o eixo y:2

00 21 tgtvyy y = (2)

tgvv yy = 0 (3)

( )20202 2 yygvv yy = (4)Considerando x0 = yo = 0 , na equao (1), temos

xvxt0

=

usando esse resultado na equao (2), temos:

2

000 2

=

xxy v

xgvxvy

ou seja2

200

0

2x

vgx

vv

yxx

y

=

A equao anterior do tipo:

y = b x - c x2

Se completarmos os quadrados na equao anterior, teremos:

22

24

=

cbxc

cby

Essa a equao de uma parbola com a concavidade voltada para baixo, e temcomo coordenadas do ponto de altura mxima:

=

=

cby

cbx

M

M

4

2

2

Considerando que:

=

=

000

000

sen

cos

vv

vv

y

x

encontramos que:



=

=

gvy

gvx

M

M

2sen

22sen

022

0

020

Como a parbola uma curva simtrica, a distncia percorrida ao longo do eixo x ,tambm conhecida como alcance R tem o valor R = 2 xM , ou seja:

gvR 0

20 2sen

=

com a mesma velocidade inicial e para ngulos de 300 , 450 e 600 .

Da trigonometria, podemos encontrar que quando dois ngulos diferentes tm omesmo seno, a soma desses ngulos deve ser igual a 1800 , ou seja:

2 + 2 = 1800 + = 900 = 900 - ou seja, dois lanamentos cujos ngulo somam 900 tm o mesmo alcance, como mostraa figura anterior para os ngulos 300 e 600 . Podemos mostrar, ento, que o alcancemximo obtido quando o ngulo de lanamento vale 450 , como mostra a terceira curvada figura anterior.

Uma anlise mais realista do movimento dos projteis dever levar em conta o seuatrito com o ar. Essa fora de atrito considerada como uma funo da velocidade. Numcaso mais simples, se a fora de atrito for considerada proporcional velocidade de des-locamento, ns podemos avaliar os seus efeitos no movimento dos projteis no grfico aseguir.

L a n a m e n to e m v r io s n g u lo s

0

0 ,5

1

1 ,5

2

2 ,5

3

3 ,5

4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1x

y



para os mesmos ngulos e velocidades iniciais da figura anterior.

Tiro de gran alcance

Al final de la primera guerra mundial (1918), cuando los xitos de la aviacinfrancesa e inglesa dieron fin a las incursiones areas enemigas, la artillera alemana pusoen prctica, por primera vez en la historia, el bombardeo de ciudades enemigas situadas ams de cien kilmetros de distancia. El estado mayor alemn decidi emplear este nuevoprocedimiento para batir la capital francesa, la cual se encontraba a ms de 110 km delfrente. Hasta entonces nadie haba probado este procedimiento. Los propios artillerosalemanes lo descubrieron casualmente. Ocurri esto al disparar un can de gran calibrecon un gran ngulo de elevacin. Inesperadamente, sus proyectiles alcanzaron 40 km, enlugar de los 20 calculados. Result, que estos proyectiles, al ser disparados hacia arribacon mucha inclinacin y gran velocidad inicial, alcanzaron las altas capas de la atmsfera,en las cuales, debido al enrarecimiento, la resistencia del aire es insignificante. En estemedio poco resistente es donde el proyectil recorri la mayor parte de su trayectoria,despus de lo cual cay casi verticalmente a tierra.

La figura muestra claramente la gran variacin que experimentan las trayectoriasde los proyectiles al cambiar el ngulo de elevacin. Esta observacin sirvi de base a losalemanes para proyectar un can de gran alcance, para bombardear Pars desde unadistancia de 115 km. Este can termin de fabricarse con xito, y durante el verano de1918 lanz sobre Pars ms de trescientos proyectiles. He aqu lo que despus se supode este can. Consista en un enorme tubo de acero de 34 m de largo y un metro degrueso. El espesor de las paredes de la recmara era de 40 cm. Pesa ba en total 750 t.Sus proyectiles tenan un metro de largo y 21 cm de grueso, y pesaban 120 kg. Su cargarequera 150 kg de plvora y desarrollaba una presin de 5 000 atmsferas, la cualdisparaba el proyectil con una velocidad inicial de 2 000 m/seg. El fuego se haca con unngulo de elevacin de 52' y el proyectil describa un enorme arco, cuyo vrtice o puntoculminante se encontraba a 40 km de altura sobre la tierra, es decir, bien entrado en laestratosfera. Este proyectil tardaba en recorrer los 115 km, que mediaban entre elemplazamiento del can y Pars, 3,5 minutos, de los cuales, 2 minutos volaba por laestratosfera. Estas eran las caractersticas del primer can de ultralargo alcance,antecesor de la moderna artillera de este gnero.

L a n a m e n to d e p r o j te i s c o n si d e r a n d o o a tr i to

0

0 ,5

1

1 ,5

2

2 ,5

3

3 ,5

4

0 0 ,5 1 1 ,5 2 2 ,5 3 3 ,5 4 4 ,5 5x

y



Cuando mayor sea la velocidad inicial de la bala (o del proyectil), tanto mayor serla resistencia del aire. El aumento de esta resistencia no es proporcional al de lavelocidad, sino ms rpido, es decir, proporcional al cuadrado, al cubo y a potencias anmayores del aumento de la velocidad, segn el valor que sta alcance.

Fsica Recreativa - Yakov Perelman

Movimento circular e uniforme

Se um corpo est se movimentando em crculos com velocidade constante em m-dulo, ele necessariamente estar sob a ao de uma fora. Essa fora F

! pode ter as

mais diversas origens: gravitacional, eltrica, magntica, e etc. Mas algumas grandezasligadas a esse movimento esto relacionadas do seguinte modo:

RvaondeamF

2

==

onde m a massa do corpo, R o raio da rbita e v asua velocidade. A velocidade pode ser definida como:

RwRfTRv === 22

F!

v!

onde T o perodo, f a frequncia, e w a frequncia angular. A unidade de T segun-do, a unidade de f 1/segundo = Hertz, e a unidade de w radiano/segundo. Dessemodo, a frequncia angular tem como unidade natural o radiano/segundo, mas pode serexpressa em rotaes/minuto:

min260

2111 rot

segrot

segrad

==

Por exemplo, qual deve ser a velocidade angular, em rotaes por minuto, que umcorpo deve girar para que a sua acelerao seja 50 vezes a acelerao da gravidade?

gRvgm

RvmF 5050

22

===

mas, como vimos anteriormente v = wR, logo:

segradR

gwgRw /50502 ==

e finalizando:

min/50260 rot

Rgw

=



onde g = 9,8 m/s2 e R o raio da rbita do corpo, ou o raio de centrifugao.

Para deduzir a equao da acelerao usada inicialmente, vamos considerar quenum dado instante o corpo est no ponto P com velocidade v

! e que um intervalo de

tempo t posterior esteja no ponto Q com velocidade seja v!

, de modo que essasduas velocidades tenham o mesmo mdulo v .

P v

!

Q v

!

v!

v!

v!

r s r

A variao do vetor velocidade dado por vvv!!!

= , e vamos considerar como o ngulo formado pelos vetores v

! e v

! . Esse tringulo formado pelos vetores mencio-

nados issceles j que os vetores v!

e v!

tm mesmo mdulo. Podemos definir umoutro tringulo issceles formado pela reta que une o centro do tringulo ao ponto P ,pela reta que une o centro deste mesmo tringulo ao ponto Q e pela corda s que uneos pontos P e Q . Esses dois tringulos so equivalentes pois os lados iguais fazem en-tre si o mesmo ngulo .

A equivalncia entre os tringulos expressa pela equao:

rs

vv=

A trajetria do corpo em movimento circular , naturalmente, ao longo da curva, eno ao longo da corda s , mas para um intervalo de tempo t pequeno, podemos apro-ximar a corda pela curva. O comprimento da curva a considerar o espao percorridopelo corpo com velocidade constante, ou seja :

curva = v tlogo

corda = s v tportanto

rv

tv

rtv

vv 2

No limite quando t 0 a aproximao da corda pela curva torna-se uma igual-dade:

rv

tva Lim

t

2

0=

=



Vale a pena enfatizar que a direo da acelerao perpendicular ao vetor veloci-dade. Deve-se notar, portanto, que no necessrio existir movimento na direo daacelerao.

Movimento relativo

Os resultados da observao de um evento dependem do referencial usado peloobservador. Um acontecimento que ocorre no interior de um vago de um trem tem umaaparncia para observadores fixos no interior desse trem e uma outra aparncia diferentepara observadores fixos nos trilhos.

Vamos considerar dois referenciais S e S , considerando que S move-se com veloci-dade constante u

! em relao a S .

Um evento que localizado noreferencial S pelo vetor posio r

! ,

ser localizado no referencial S pelovetor posio r

! esses dois vetores

esto relacionados do seguinte modo:

turr!!!

+=

A velocidade com que um dadocorpo se move medida de maneiradiferente por cada um desses referen-ciais.

y y

A

r!

r!

tu!

x x

Se para um observador no referencial S a velocidade v!

, para um outro obser-vador no referencial S a velocidade v

! . Encontramos a maneira como essas veloci-

dades esto relacionadas derivando a relao entre os vetores posio:

uvvudtrd

dtrd !!!!

!"

+=+=

Coger con la mano una bala disparada!

Durante la primera guerra mundial, segn informacin de prensa, a un aviadorfrancs lo ocurri un caso extraordinario. Cuando iba volando a dos kilmetros de altura,este aviador se dio cuenta que junto a su cara se mova una cosa pequea. Pens quesera algn insecto, y, haciendo un gil movimiento con la mano, lo cogi. Cul sera susorpresa cuando comprendi, que lo que acababa de cazar era... una bala de fusilalemana! Verdad que esto recuerda los cuentos del legendario barn Mnchhausen, quetambin asegur haber cogido una bala de can con las manos?

No obstante, esta noticia sobre el piloto que cogi la bala, no tiene nada deimposible. Las balas no se mueven durante todo el tiempo con la velocidad inicial de 800-900 m por segundo, sino que, debido a la resistencia del aire, van cada vez ms despacioy al final de su trayectoria, pero antes de empezar a caer, recorren solamente 40 m por



segundo. Esta era una velocidad factible para los aeroplanos de entonces. Porconsiguiente, la bala y el aeroplano podan volar a una misma velocidad, en un momentodado, y, en estas condiciones, aqulla resultara inmvil o casi inmvil con relacin alpiloto. Es decir, ste podra cogerla fcilmente con la mano, sobre todo con guante(porque las balas se calientan mucho al rozar con el aire).

Fsica Recreativa - Yakov Perelman


Captulo 4 - Halliday, Resnick e Walker - Edio antiga

"19" Um malabarista consegue manter simultaneamente cinco bolas no ar, todas atin-gindo uma altura mxima de 3m .Encontre o intervalo de tempo entre duas bolas que chegam s suas mos. Consi-dere que os intervalos so os mesmos para todas as bolas.

Vamos considerar t o tempo necessrio para que uma bola atinja a altura mximade h = 3m . Logo T = 2t o tempo que cada bola permanece no ar at cair devolta nas mos do malabarista.

Se tivssemos apenas duas bolas, jogaramos a primeira bola e aps T/2 jogara-mos a segunda bola.

Como temos cinco bolas, jogaramos a primeira, aps T/5 jogaramos a segunda,aps T/5 jogaramos a terceira, aps T/5 jogaramos a quarta e finalmente apsT/5 jogaramos a quinta bola. A seguir pegaramos a primeira que permaneceu5T/5 no ar. Vamos chamar de t o intervalo entre a chegada de duas bolas, logo:

52

5tTt ==

Considerando que o tempo de descida o mesmo que o de subida, soltando umada bolas ela ter um movimento tal que:

ght

ghtgth 2

522

2

2

=== = 0,31s


22 Um projtil atirado horizontalmente de uma arma que est 45m acima de um soloplano. A velocidade na sada do cano 250m/s .

a) Por quanto tempo o projtil permanece no ar?



0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120x

y

h = 45mv0x = 250m/sv0y = 0

2

2

00

gttvyy y =

ou seja:

2

2gth =

sght 03,32 ==

b) A que distncia da arma, na horizontal, ele cai ao solo?

mghvtvd xx 5,757

200 ===

c) Qual o mdulo da componente vertical da velocidade, no instante em que atingeo solo?

vy = v0y - gt = - gt = - 10.3,03 = -30,3m/s

smvvv yx /82,25122=+=


30 Uma pedra lanada para o alto de um penhasco de altura h , com uma velocidadeinicial de 42m/s e uma ngulo de 600 , acima da horizontal. A pedra cai 5,5s apso lanamento. Calcule:a) Calcule a altura h do penhasco.

v0 = 42m/s0 = 600t = 5,5s

v0y = v0 sen600 = 36,37m/sv0x = v0 cos600 = 21m/s

2

2

00

gttvyy y =

ou seja:

20

2

0

gttvh y =

H h

05

101520253035404550

0 100 200 300 400 500 600 700 800x

y



0

2

4

6

8

10

12

14

0 2 4 6 8 10 12 14x

y

Usando os valores das variveis, encontramos a altura do penhasco:

h = 51,81m

b) A velocidade da pedra imediatamente antes do impacto no penhasco.

vy = v0y - gt vy = - 17,53m/s

vx = v0x = 21m/s

( ) smjiv /53,1721 =!c) A altura mxima H acima do nvel do solo.

Na posio da altura mxima a componente vertical da velocidade ser nula:

mg

vHgHvv yyyH 48,672

02202

02

====

Poderamos ainda calcular quanto tempo T foi necessrio para o projtil chegarat a altura mxima e qual o valor da componente xH :

sg

vTgTvv yyHy 71,30

00 ====

xH = v0x T = 77,91m


41Com que velocidade inicial umjogador de basquete deve lanara bola, num ngulo de 0 = 550acima da horizontal, para fazer acesta, conforme a figura ao lado?

0

y

y0

0 = 550y0 = 7ps = 2,1my = 10ps = 3 mx0 = 0x = 14ps = 4,26m ( )

=

=

=

=

020

20

2

00

00

2

2

yygvvgtvv

gttvyy

tvxx

yy

yy

y

x



Da primeira equao da esquerda encontramos que t = x / v0x , e aplicamos esseresultado na segunda equao:

2

0000 2

=

xxy v

xgvxvyy =

022

0

2

00

00

cos2cossen

vxg

vv

x

ou seja:

( )[ ]00022

20 tancos2 yyx

gxv

=

= 52,17

v0 = 7,22m/s


47 Uma bola rola, horizontalmente, do alto de uma escadaria com velocidade inicial de1,5m/s . Os degraus tm 20cm de altura por 20cm de largura. Em qual degrau abola bate primeiro?

h = d = 0,2mv0x = 1,5m/s0 = 00v0y = 0

yreta = - x

( ) ( )2

200

0 cos2tan x

vgxy bola

=

2202

xvgy bola

=

Ns iremos determinar o degrau onde a bola vai bater primeiro, encontrandoo ponto onde a reta cruza com a parbola, num ponto xE , onde:

2202

EE xvgx

= ou seja:

gv

xE202

= = 0,45m

Essa distncia xE ser equivalente ao n-simo degrau, onde:

ghv

nnhgv 20

20 22

== = 2,29 30 degrau

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

00 0,2 0,4 0,6

x

Y




49 Um avio mergulhando num ngulo de 530 com a vertical a uma altitude de 730mlana um projtil, que bate no solo 5s depois de ser lanado.

a) Qual a velocidade do avio?

( )tvhgttv y 002

0 cos2==

00 cos

2

tgth

v

= = 201,88m/s

b) Que distncia o projtil per-correu, horizontalmente, du-rante o seu vo?

14,806sen 000 === tvtvd x

c) Quais eram as componentes horizontal e vertical de sua velocidade no instanteem que caiu no solo?

000 senvvv xx == = 161,22m/s

gtvgtvv yy == 000 cos = -121,49 - 49,00 = 170,49m/s


72 Uma pedra, presa a um cordo de 1,5m de comprimento, girada por um menino,fazendo um crculo horizontal a 2m acima do solo.Quando o cordo arrebenta, a pedra lanada horizontalmente, caindo ao solo 10madiante. Qual era a acelerao centrpeta da pedra enquanto estava em movimentocircular?

y0 = h = 1,5my = 0r = 1mx0 = 0x = d = 9m

( )

=

=

=

=

020

20

2

00

00

2

2

yygvvgtvv

gttvyy

tvxx

yy

yy

y

x

0

0,5

1

1,5

2

0 2 4 6 8 10x

y

0



Usando o conjunto de equaes acima para esses problema, encontramos a veloci-dade de lanamento da pedra:

====

=

hgdv

vd

ghtgth

tvdx

x

x

22

20

0

20

= 16,26m/s

Mas enquanto a pedra estava presa, ela descrevia um movimento circular e uniformecom acelerao dada por:

rhgd

rv

a x2

220== = 264,38m/s2 = 26,97g


80 A neve cai, verticalmente, com uma velocidade constante de 8m/s . O motorista deum carro, viajando em linha reta numa estrada com uma velocidade de 50km/h , vos flocos de neve carem formando um ngulo com a vertical. Qual o valor deste n-gulo?

v = 8m/su = 50km/h = 13,89m/s

+=

+=

uvvturr!!!

!!!

v!

v !

v!

u!

u!

Onde v!

a velocidade da neve caindo observada em um referencial fixo na estra-da, u

! a velocidade do referencial mvel em relao estrada e v

! a velocida-

de da neve caindo observada pelo referencial mvel. Em termos vetoriais, teremos:

uvv!!!

+=

Como neste caso especfico os vetores v!

e u!

formam um ngulo reto:

22 uvv += = 16,02m/s

vu

=tan =1,73 = 600




83 Um trem viaja em direo ao sul a 30m/s (em relao ao solo), sob uma chuva queest caindo, tambm em direo ao sul, sob a ao do vento. As trajetrias das gotasde chuva formam um ngulo de 220 com a vertical, conforme registrado por um ob-servador parado no solo. Entretanto, um observador no trem v as gotas caremexatamente na vertical.Determine a velocidade da chuva em relao ao solo.

= 220u = 30m/s

uvv!!!

+=logo

sensen uvvu == = 80,08m/s

v!

v !

v!

u

!

u!


88 Uma mulher pode remar um bote a 6,4km/h , em gua parada.

a) Se ela atravessar um rio com uma correnteza de 3,2km/h , em que direo deveaprumar o bote, para alcanar o local diretamente oposto ao seu ponto de parti-da?

vb = 6,4km/hvr = 3,2km/h

0605,04,62,3cos ===

=

b

r

v

v bv

! bv

!

rv!

b) Se o rio tiver 6,4km de largura, quanto tempo levar para atravess-lo?

l = 6,4kmvb = vb sen

l = vb t

0' 60sen.4,64,6

sen===

bb vl

vlt = 1,15h = 1h 09min

c) Suponha que, em vez de atravessar o rio, ela reme 3,2km rio abaixo, e depoisvolte ao ponto de partida. Qual o tempo gasto nesse percurso?


Cap 04 [email protected]

d = 3,2km

As velocidades contra a correnteza Vabe a favor da correnteza Vba so defini-das como:

Vab = vb- vrVba = vb + vr

B A

Como os movimentos tm velocidades constantes:

d = Vab tab e d = Vba tba onde t = tab + tba

( )22'

2'2

rb

b

baab

baab

baab vvdv

VVVVd

Vd

Vdt

=

+=+= = 1,34h

d) Quanto tempo levaria se tivesse remado 3,2km rio acima e, depois, voltasse aoponto de partida?

O mesmo do item anterior

e) Em que direo deveria aprumar o barco, se quisesse atravessar o rio o maiscurto intervalo de tempo possvel? Qual seria esse tempo?

l = 6,4kmvb = 6,4km/hvr = 3,2km/h

d = vb t

onde d a distncia a ser percorridapelo barco na travessia do rio. bv

! bv

!

rv

!

Por equivalncia entre os tringulos, podemos mostrar que:

tvd

vl

bb

==sen'

Para calcular o extremo (mnimo, neste caso) do tempo em relao ao ninclinao do barco teremos:

20

sencos

2'

=== Mbvl

ddt

dn18

gulo de

l



05. LEIS DE NEWTON ....................................................................................................... 2ONDE ESTO AS FORAS?................................................................................................... 2PRIMEIRA LEI DE NEWTON................................................................................................... 3SEGUNDA LEI DE NEWTON .................................................................................................. 3TERCEIRA LEI DE NEWTON .................................................................................................. 4APLICAES DAS LEIS DE NEWTON...................................................................................... 4

Exemplo 5-6 .................................................................................................................. 4Exemplo 5-8 .................................................................................................................. 6Exemplo 5-9 .................................................................................................................. 7Exemplo 5-10................................................................................................................ 7Exemplo 5-11................................................................................................................ 8

SOLUO DE ALGUNS PROBLEMAS ....................................................................................... 916 .................................................................................................................................. 940 .................................................................................................................................. 945 ................................................................................................................................ 1049 ................................................................................................................................ 1157 ................................................................................................................................ 1258 ................................................................................................................................ 1363 ................................................................................................................................ 1470 ................................................................................................................................ 15



05. Leis de Newton

No nosso dia a dia encontramos objetos que se movem e outros que permanecemem repouso

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Fisica Geral - Excelente Para Engenharia