FLEXAO SIMPLES Tabelas

FLEXO SIMPLES NA RUNA: TABELAS CAPTULO 8Libnio M. Pinheiro, Cassiane D. Muzardo, Sandro P. Santos 27 maio 2003

FLEXO SIMPLES NA RUNA: TABELAS O emprego de tabelas facilita muito o clculo de flexo simples em seo retangular. Neste captulo ser revisto o equacionamento na flexo simples, com o objetivo de mostrar a obteno dos coeficientes utilizados nas tabelas, alm de mostrar o uso dessas tabelas.

8.1

EQUAES DE EQUILBRIO Para o dimensionamento de peas na flexo simples, considera-se que as

barras que constituem a armadura esto agrupadas, e se encontram concentradas no centro de gravidade dessas barras.b d' R's A's h d Md Rc

c = 3,5 'sx

cdy = 0,8x

As

s

s

Figura 8.1 - Resistncias e deformaes na seo

Do equilbrio de foras e de momentos (Figura 8.1), tem-se que: Rc + Rs Rs = 0 Md = f . Mk = Rc . (d - y/2) + Rs . (d - d)

USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas

Flexo simples na runa: tabelas

As resultantes no concreto e nas armaduras podem ser dadas por: Rc = b y cd = b . 0,8 . 0,85fcd = 0,68 bd x fcd Rs = As s Rs = As s Do diagrama retangular de tenso no concreto, tem-se que: y = 0,8x d y/2 = d (1 - 0,8x/2d) = d (1 - 0,4x) Substituindo-se esses valores nas equaes de equilbrio, obtm-se: 0,68 bd x fcd + As s - As s = 0 Md = 0,68 bd x fcd (1 - 0,4x) + As s (d d) (1) (2)

8.1.1

Armadura Simples No caso de armadura simples, considera-se As = 0; portanto, as equaes

(1) e (2) se reduzem a: 0,68 bd x fcd - As s = 0 Md = 0,68 bd x fcd (1 - 0,4 x) (1) (2)

8.1.2

Armadura Dupla Para armadura dupla tem-se As 0, sendo vlidas as equaes (1) e (2). Quando, por razes construtivas, se tem uma pea cuja seo no pode ser

aumentada, e seu dimensionamento no possvel nos domnios 2 e 3, resultando portanto no domnio 4, torna-se necessria a utilizao de armadura dupla, uma parte da qual se posiciona na zona tracionada, e outra parte, na zona comprimida da pea. Para o clculo dessa armadura, limita-se o valor de x em x34 e calcula-se o momento fletor mximo (M1) que a pea resistiria com armadura simples. Com este valor calcula-se a correspondente rea de ao tracionado (As1).8.2



Como este valor do momento (M1) ultrapassado, calcula-se uma seo fictcia com armadura dupla e sem concreto, parte comprimida e parte tracionada, para resistir o restante do momento (M2), obtendo-se a parcela As2 da armadura tracionada e a armadura As comprimida. No final, somam-se as duas armaduras tracionadas, calculadas separadamente.

8.2

EQUAES DE COMPATIBILIDADE Para a resoluo das equaes de equilbrio de foras e de momentos,

necessita-se de equaes que relacionem a posio da linha neutra e as deformaes no ao e no concreto. Tais relaes podem ser obtidas com base na Figura 8.2.d'

c 'sx d

sFigura 8.2 Deformaes no concreto e no ao

c s 's = = x (d x ) ( x d ' )

c s 's = = x (1 x ) ( x d' / d) x = s = 's = c c + s c (1 x ) x c ( x d' / d ) x8.3

(3) (3a) (3b) (3c)



8.3

TABELAS PARA ARMADURA SIMPLES Para facilitar o clculo feito manualmente, pode-se desenvolver tabelas com

coeficientes que reduziro o tempo gasto no dimensionamento. Esses coeficientes sero vistos a seguir.

8.3.1

Coeficiente kc Por definio:

kc =

bd 2 Md

Da equao (2), tem-se que:

kc =

bd 2 1 = M d 0 ,68 x f cd ( 1 0 ,4 x )

kc = f (x , fcd), onde fcd = fck / c

8.3.2

Coeficiente ks Este coeficiente definido pela expresso:

ks =

Asd Md

Da equao (1) obtm-se que: 0,68 bd x fcd = As s. Substituindo na equao (2), tem-se: Md = As s d (1 0,4x) A partir desta equao, define-se o coeficiente ks :ks = As d 1 = M d s ( 1 0 ,4 x )

ks = f (x , s); nos domnios 2 e 3, tem-se s = fyd . Os valores de kc e de ks encontram-se na Tabela 1.1 (PINHEIRO, 1993).8.4



8.4

TABELAS PARA ARMADURA DUPLA Assim como para armadura simples, tambm foram desenvolvidas tabelas

para facilitar o clculo de sees com armadura dupla.

b d' A's h d As

Seo 1

Seo 2

A's

A s1

+A s2

d - d'

Md

=

M1

+

M2

Figura 8.3 Decomposio da seo para clculo com armadura dupla

De acordo com a decomposio da seo (figura 8.3), tem-se: Seo 1: Resiste ao momento mximo com armadura simples. M1 = bd / kclim, em que kclim o valor de kc para x = x34 As1 = kslim M1 / d Seo 2: Seo sem concreto que resiste ao momento restante. M 2 = M d M1 M2 = As2 fyd (d d) = As s (d d)

8.4.1

Coeficiente ks2 Da equao de equilbrio da seo 2, resulta:A s2 = 1 M2 f yd d d'8.5



Fazendo k s2 =

1 , tem-se: f yd

A s2 = k s2

M2 d d'

ks2 = f (fyd)

8.4.2

Coeficiente ks De modo anlogo ao do item anterior, obtm-se:

A's =

1 M2 's d d ' 1 , tem-se: 's

Fazendo k's =

A's = k 's

M2 d d'

ks = f (s) = f1 (fyd, s) = f2 (fyd, d/h)

8.4.3

Armadura Total Os coeficientes ks2 e ks podem ser obtidos na Tabela 1.2 (PINHEIRO, 1993). Armadura tracionada: Armadura comprimida: As = As1 + As2 As

8.5

EXEMPLOS A seguir apresentam-se alguns exemplos sobre o clculo de flexo

simples.

8.6



8.5.1

EXEMPLO 1 Calcular a rea de ao (As) para uma seo retangular. Dados: Concreto classe C25 Ao CA-50 b = 30 cm h = 45 cm Mk = 170 kN.m h d = 3 cm

Soluo: d = 45 3 = 42 cm kc = bd = 30 . 42 _ = 2,2 ks = 0,028 - Tabela 1.1 (PINHEIRO, 1993) Md 1,4 . 17000 ks = As d Md As = 0,028 . 1,4 . 17000 / 42 As = 15,87 cm

8.5.2

EXEMPLO 2 Dimensionar a seo do exemplo anterior para Mk = 315 kN.m e armadura

dupla. Dados: d = 3 cm

x = x348.7



M1 =

bd 2 30 42 2 = = 29400kN.cm k c lim 1,8

(Tabela 1.1, PINHEIRO, 1993)

A s1 = k s

M1 29400 = 0,031 = 21,70cm 2 d 42

M2 = Md M1 = 1,4 . 31500 29400 = 14700 kN.cm

As2 = k s2

M2 14700 = 0,023 = 8,67cm 2 d d' 42 3

(Tabela 1.2, PINHEIRO, 1993)

d' 3 = = 0,067 => k 's = 0,023 => A' s = 8,67cm 2 (Tabela 1.2, PINHEIRO, 1993) h 45As = As1 + As2 = 21,70 + 8,67 = 30,37 cm As : 6 25 (Ase = 30 cm) 8 22,2 (Ase = 31,04 cm) As : 2 25 (Ase = 10 cm) 3 20 (Ase = 9,45 cm) 2 camadas 2 camadas

Soluo adotada (Figura 8.4):

Figura 8.4 Detalhamento da seo retangular 8.8

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