5 Flexão de Vigas

Tradução e adaptação: Victor Franco

Ref.: Mechanics of Materials, Beer, Johnston & DeWolf – McGraw-Hill.

Mechanics of Materials, R. Hibbeler, Pearsons Education.

Mecânica dos Materiais

5 - 2

Introdução

• Vigas – elementos estruturais que suportam

forças transversais

• As forças transversais podem ser concentradas

ou distribuídas

• As forças aplicadas dão origem a forças internas

que consistem em:

• Força de corte: Esforço transverso V

• Momento flector M

5 - 3

Introdução

Vigas estaticamente determinadas e

estaticamente indeterminadas

5 - 4

Diagramas de Esforço Transverso e Momento Flector

• Para a determinação das tensões normais e

de corte, máximas, é necessário identificar

os locais onde ocorrem o momento flector

máximo e o esforço transverso máximo.

• Convenções para os esforços

transversos V e V’ e momentos

flectores M e M’

5 - 5

Convenção de sinais do Esforço Transverso e

do Momento Flector (resumo)

Convenção de sinais para

o Momento Flector M

e para o Esforço

Transverso V

Forças transversais

Momentos flectores

positivo negativo

5 - 6

Exemplo 5.1

Para a viga e carregamentos ilustrados,

desenhar o diagrama de esforço transverso e

momentos flectores e determinar a tensão

normal máxima devido a flexão.

5 - 7

Exemplo 5.1 (cont.)

kN14kN460;0 DBBy RRMF

• Seccionar a viga, imediatamente à esquerda ou

à direita das forças concentradas e, aplicar as

equações de equilibrio aos corpos livres

individuais:

00,0kN200

kN200kN200

111

11

dirA

y

MMxMxM

VVF

mkN505.2,0kN200

kN200kN200

222

22

esqB

y

MMxMxM

VVF

057kN,14

mkN2855kN,14

mkN2855kN,26

mkN5052kN,26

66

55

44

33

esq

C

C

B

MM.xV

MM.xV

MM.xV

MM.xV

dir

esq

dir

• Equilíbrio global:

x

5 - 8

Exemplo 5.1 (cont.)

• Identificar o esforço tranverso

máximo e o momento flector máximo:

mkN50kN26 maxmax BMMV

• Calcular a tensão normal máxima:

36

3

max

36

2

612

61

m1033.833

mN1050

m1033.833

m250.0m080.0

S

M

hbS

B

Pa100.60 6max

5 - 9

Relações entre Forças, Esforço transverso e Momento Flector

xwV

xwVVVFy

0:0

D

C

x

xCD dxwVV

wdx

dV

• Relação entre a força distribuída e o

esforço transverso:

xxwVM

xxwxVMMMMC

)(

02

:0

21

D

C

x

x

CD dxVMM

Vdx

dM

• Relação entre esforço transverso e

momento flector:

5 - 10

Exemplo 5.5

Desenhar os diagramas de esforço

transverso e momento flector para

a viga representada.

5 - 11

Exemplo 5.5 (cont.)

• Equilibrio global da viga para calcular as

reacções em C:

330

0

021

021

021

021

aLawMM

aLawM

awRRawF

CCC

CCy

• Aplicar a relação entre esforço transverso e a

força distribuída e desenhar o diagrama de

esforço transverso:

O resultado em C é compatível com o

equilibrio global.

wawV

a

xxwdx

a

xwVV

B

aa

AB

curva da abaixoarea

21

021

0

2

0

0

0

5 - 12

Exemplo 5.5 (cont.)

• Aplicar a relação entre o momento flector e o

esforço transverso e desenhar o diagrama de

momento flector:

203

1

0

32

00

2

0622

awM

a

xxwdx

a

xxwMM

B

aa

AB

323 0

061

021

021

aL

waaLawM

aLawdxawMM

C

L

aCB

O resultado em C é compatível com o

equilibrio global.

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5 - 14

5 - 15

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5 - 17

5 - 18

5 - 19

5 - 20

5 - 21

5 - 22

5 - 23

5 - 24

Exemplo 5.4

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5 - 26

Projecto de Vigas em Flexão

• Escolher o perfil cuja secção garanta o módulo de

resistência à flexão superior ou igual a .

• Calcular a tensão normal máxima que ocorre onde o

momento flector é máximo:

fW

M

I

cMmaxmax

max

• A tensão normal máxima não deverá ultrapassar a tensão

admissível para o material em causa:

admf

adm

MW

max

min

max

minfW

5 - 27

Exemplo 5.8

Uma viga em aço simplesmente

apoiada suporta os carregamentos

ilustrados. Sabendo que a tensão

admissível para o material é 160 MPa

seleccionar o perfil HEB que deverá ser

usado em segurança.

/m

5 - 28

Exemplo 5.8 (cont.)

• Reacções em A e D:

kN0.52

kN50kN60kN0.580

kN0.58

m4kN50m5.1kN60m50

y

yy

A

A

AF

D

DM

• Diagrama de esforço transverso:

kN58

kN8

kN0.52

D

B

yA

V

V

AV

• O momento flector máximo ocorre

onde V = 0 ou x = 2.6 m.

kN.m6.67

,max

EAVcurvaabaixoareaM

5 - 29

Exemplo 5.8 (cont.)

• Determinar o módulo de resistência à flexão

mínimo:

3336

max

min

mm105.422m105.422

MPa160

mkN6.67

adm

f

MW

• Escolha do perfil HEB: HEB-180

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5 - 31

Tensões de corte devidas ao esforço transverso

5 - 32

Tensões de corte devidas ao esforço transverso

5 - 33

Tensões de corte devidas ao esforço transverso

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byh

byh

yh

yAyQ

2

2

42

1

222

1''

22

33

22

4

6

12

1

42

1

yh

hb

V

bbh

byh

V

tI

QV

Tensão de corte:

1º momento de área:

A

V

hb

V

hb

hV

2

3

2

3

4

6

3

2

max

Para a secção rectangular, a

tensão de corte máxima ocorre

em y=0:

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5 - 36

Secções normalizadas: IPE, HEA, HEB, etc.

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Alma Banzos

5 - 38

tI

QV

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5 - 40

5 - 41

5 - 42