SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ

INSTITUTO DE TECNOLOGIA

FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL FEC/ITEC/UFPa

GRUPO DE ANÁLISE EXPERIMENTAL DE ESTRUTURAS E MATERIAIS

Prof. Dr. Alcebíades Negrão Macêdo

1 Estados Limites Últimos devido ao Momento Fletor

a) Flexão Simples Reta

-NBR 7190/97 recomenda que se adote para o vão teórico (L) o menor dos

valores apresentados a seguir:

-Para as peças de madeira submetidas a momento fletor devem ser feitas

as seguintes verificações de segurança:

cm. 10 quemaior acréscimo doconsideran

se não mas vão,do meio no seção da altura da acrescido livre vãoo -

apoios; dos eixos entre distância

L

d,0c

c

sd

d,cf

W

M

d,0t

t

sd

d,tf

W

M

c,d e t,d - tensões atuantes de cálculo nas bordas comprida e tracionada da seção considerada, conforme fig. 1.

e módulos de resistência da seção transversal da peça:

I - o momento de inércia.fcd e ftd - são as resistências de cálculo à compressão e à tração.

Figura 1 - Flexão

c

c y

IW

t

t yI

W

d,cd,t

Ct

Ct

Ct

WW

y

I

y

I

yy

Seção retangular

b) Flexão Simples Oblíqua

-Verificação feita para as seções submetidas a um momento fletor cujo plano de

ação não contém um dos seus eixos principais de inércia.

Mx,d e My,d - tensões máximas devidas as componentes de flexão.

fwd - a resistência de cálculo (tração ou à compressão).

kM - coeficiente de forma geométrica da seção considerada:

* Retangular: kM = 0,5

*Outras seções: kM = 1,0

1f

σk

f

σ

wd

dMy,

M

wd

dMx,

1f

σ

f

σk

wd

dMy,

wd

dMx,

M

c) Estado Limite Último de Instabilidade Lateral

- Deve ser verificada por teoria com validade comprovada

experimentalmente;

- A NBR 7190/97 não apresenta nenhum critério comprovado

experimentalmente;

- No caso de vigas de seção retangular pode-se dispensar esta

verificação quando:

• Os apoios de extremidade da viga impedirem a rotação de suas seções

extremas em torno do eixo longitudinal da peça;

• Existir um conjunto de elementos de travamento ao longo do

comprimento L da viga, afastados de uma distância L1;

• Atender a condição:

d0cM

ef,0c

0

1

b f

E

b

L

•L1 - distância entre os elementos de travamento

•b - largura da seção transversal da viga.

•M - coeficiente de correção, expresso por:

•h - altura da seção transversal da viga.

•E - coeficiente de correção.

•wc - coeficiente de ponderação de resistência à compressão (1,4).

•*Para wc = 1,4 e E = 4, a NBR 7190/97 fornece os valores de M:

2

1

2

3

wc

E

M

63,0bh

bh

26,0

1

bh / bh /

Para também se dispensa a verificação do estado limite último de

instabilidade lateral, desde que sejam satisfeitas as exigências da flexão

simples reta, com:

0b λλ

Mb

ef,0c

cd

E

2 Estados Limites Últimos para Solicitações Tangenciais

 2.1 Estado Limite Último para Esforço Cortante na Flexão Simples Reta

 A condição de segurança em relação às tensões cisalhantes é:

d - máxima tensão de cisalhamento atuando no ponto mais solicitado da peça

fv0,d - a resistência ao cisalhamento paralelo às fibras.

Para seção retangular de largura b e altura h, d é expresso por:

Vd - esforço cortante de cálculo

*A NBR 7190/97 apresenta considerações especiais no caso do cisalhamento,

variando com o tipo de carregamento e com a variação da seção transversal.

bh

V

2

3d

d

d,0vdf

a) Cargas concentradas próximo à região dos apoios

- Seções próximas aos apoios, os esforços de cisalhamento podem ser reduzidos até

a distância de 2h. Assim, o cálculo de d utiliza um valor reduzido:

onde: a - distância do ponto de aplicação da carga ao eixo do apoio.

b) Vigas entalhadas

- Em vigas cuja seção transversal sofra bruscas variações decorrentes de entalhes,

deve ser feita a majoração dos valores de d, levando-se em consideração a relação

(h/h1).

onde: h1 - altura da seção enfraquecida.

h/h1 - fator de amplificação para d .

h/h1 4/3.

h2

aVV

red

11

d

d h

h

bh

V

2

3h1

hh1

h

1a Situação: h1 > 0,75 h

FIGURA – Variação de seção (Fonte: NBR 7190/97).

2a Situação: h1 < 0,75 h

- Nesta situação a NBR 7190/97 recomenda a utilização de parafusos verticais

dimensionados à tração axial obtida pela totalidade do esforço cisalhante a ser

transmitido;

- Ou adotar variações de seção através do emprego de mísulas cujo comprimento seja

maior ou igual a três vezes a altura do entalhe, respeitando o limite h/h1 2.

FIGURA – Utilização de parafusos verticais ou mísula (Fonte: NBR 7190/97).

h1h

h1h

hh1 h

3(h-h )

1

1

h

2.2) Estado Limite Último para Esforço Cortante na Flexão Oblíqua

- Recomenda-se, neste caso, determinar para o mesmo ponto as tensões

cisalhantes para cada componente de esforço cortante Vdx e Vdy, de acordo

com fórmula de Zuravischi, calculando em seguida a tensão tangencial

resultante:

tI

SV

y

ydx

dx

2

dy

2

dxd

hb

V

2

3dx

dx

hb

V

23 dy

dy

- Seção Retangular

tI

SV

x

xdy

dy

3 Estados Limites de Utilização

3.1 Estados limites de deformações

a) Deformações limites para as construções correntes

- É verificado o estado limite de deformações excessivas que possam afetar a

utilização normal da construção ou seu aspecto estético.

- Para as ações permanentes, as flechas podem ser compensadas por contra-

flechas, dadas na construção.

- A flecha efetiva obtida com a combinação de ações deve atender as seguintes

limitações:

* No caso de flexão oblíqua, permite-se atender os limites anteriores para cada plano

de flexão isoladamente.

balanço do ocompriment do

100

1

vão do 200

1

df

b) Deformações limites para a construção com materiais frágeis não

estruturais

É verificado o estado limite de deformações que possam causar danos aos

materiais frágeis não estruturais ligados a estrutura. Nesta situação, as

flechas totais incluindo o efeito da fluência, tem seus valores limitados por:

-As flechas correspondentes apenas às ações variáveis tem seus limites

fixados em:

balanço do ocompriment do

175

1

vão do350

1

f

cm 1,5

balanço do ocompriment do 150

1

vão do 300

1

f

c) Deformações limites para construções especiais

-Estas deformações têm seus limites estabelecidos pelo proprietário da

construção ou por normas especiais referentes às mesmas.

3.2 Estados Limites de Vibrações

- Devem ser evitadas as vibrações excessivas nas estruturas através das

disposições construtivas adequadas, de modo a assegurar o conforto e a

segurança dos usuários.

- Em estruturas regularmente utilizadas, tais como pisos de residências e de

escritórios, deve ser obedecido o limite de freqüência natural de vibração

8Hz.

- Em construções correntes, tal condição é satisfeita se a aplicação do

carregamento correspondente à combinação de curta duração resultar

numa flecha 1,5cm.

Exemplo 1 – Flexao simples reta

a) MLC em piso de Bibliotecab) G = 550daN/mc) S = 350daN/md) Q = 300daN/me) Dicotiledônea (Amb. Seco)f) L = 30m; L1 = 6mg) b = 30cm; h = x10cm e cf = 8cmSolução

-Resistências e rigidez de cálculo.

Kmod = Kmod1.Kmod2.Kmod3 = 0,7.1,0.1,0 =0,7

fc0,d = Kmod.fc0,k / wc = 0,7.40 / 1,4 = 20MPa = 200daN/cm²

fv0,d = Kmod.fv0,k / wv = 0,7.6 / 1,8 = 2,33MPa = 23,3daN/cm²

Ec0,ef = Kmod.Ec0,m = 0,7.19.500 = 13.650MPa = 136.500daN/cm²-Solicitações de cálculo.

n

1i

m

2jk,Qjj0k,1QQk,GiGd

FFFF

m/daN582.1)3508,0300(4,15504,1)SQ(Gq

m/daN596.1)3008,0350(4,15504,1)QS(Gq

S,0QGd

Q,0QGd

daN940.232

30596.1

2

LqV

cmdaN10179550mdaN550.1798

30596.1

8

LqM

d

sd

2

22

d

sd

-Condição de Segurança (momento).

W = bh²/6 = 30h²/6 = 5h²d,0c

sd

d,td,cf

W

M

cm134h200h5

²101795502

)adotado(cm140h

-Condição de Segurança (instabilidade).

d0cM

ef,0c

0

1

b f

E

b

L

I = bh³/12 = 30.140³/12 = 6.860.000cm4

55,17

63,030

140

30140

4,1

4

26,0

1

63,0bh

bh

26,0

1

2

1

23

2

1

23

wc

E

M

9,382055,17

650.13

f

E20

30

600

b

L

d0cM

ef,0c

0

1

b

ok

-Condição de Segurança (Cortante).

²cm/daN55,814030

940.23

2

3

bh

V

2

3d

d

d,0vd

f

²cm/daN3,23f²cm/daN55,8d,0vd ok

-Estados Limites de Utilização (longa duração - estruturas correntes).

m

1jk,Qjj2

n

1ik,Giutil,d

FFF

m/daN9403006,03506,0550QSGqQ,2S,2d

cm6,10000.860.6500.136384

300040,95

IE384

Lq5f

4

ef,0c

4

d

d

cm15200

3000200

Lfcm60,286,10cfff

limdef,d OK!

Exemplo 2 – Flexão Simples Oblíqua

a) MLC (Conífera C30)

b) G = 140daN/m (vertical)

c) P = 80daN (vertical)

d) Q = 40daN/m (plano do telhado)

e) Ambiente Seco

f) L = 4m; L1 = 2m

g) b = 15cm; h = 40cm

A = 15.40 = 600cm²

Ix=bh³/12 = 15.40³/12 = 80.000cm4

Iy=b³h/12 = 15³.40/12 = 11.250cm4

Wx=bh²/6 = 15.40²/6 = 4.000cm³

Wy=b²h/6 = 15².40/6 = 1.500cm³-Resistências e rigidez de cálculo.

Kmod = Kmod1.Kmod2.Kmod3 = 0,7.1,0.1,0 =0,7

fc0,d = Kmod.fc0,k / wc = 0,7.30 / 1,4 = 15MPa = 150daN/cm²

fv0,d = Kmod.fv0,k / wv = 0,7.6 / 1,8 = 2,33MPa = 23,3daN/cm²

Ec0,ef = Kmod.Ec0,m = 0,7.14.500 = 10.150MPa = 101.500daN/cm²

-Solicitações de cálculo.

n

1i

m

2jk,Qjj0k,1QQk,GiGd

FFFF

= 80dan.m

- x-x.

mdaN7,487M

)805,05,72(4,12543,1M

)MM(MM

d,x

d,x

Q,xQ,0P,xQG,xGd,x

mdaN8,454M

)5,724,08075.0(4,12543,1M

)MM75,0(MM

d,x

d,x

P,xP,0Q,xQG,xGd,x

daN95,436V

)805,025,36(4,12543,1V

)VV(VV

d,y

d,y

Q,yQ,0P,yQG,yGd,y

daN5,434V

)25,364,08075.0(4,12543,1V

)MV75,0(VV

d,y

d,y

P,yP,0Q,yQG,yGd,y

-Solicitações de cálculo.

n

1i

m

2jk,Qjj0k,1QQk,GiGd

FFFF

= 80dan.m

- y-y.

mdaN12,201M

81,334,13,1183,1M

MMM

d,y

d,y

P,yQG,yGd,y

daN45,177V

9,164,13,1183,1V

VVV

d,x

d,x

P,xQG,xGd,x

-Condição de segurança (momentos).

1f

σk

f

σ

wd

dMy,

M

wd

dMx,

1f

σ

f

σk

wd

dMy,

wd

dMx,

M

1f

σk

f

σ

dc0,

dMy,

M

dc0,

dMx,

1f

σ

f

σk

dc0,

dMy,

dc0,

dMx,

M

²cm

daN19,12

000.4

770.48

W

Mσ

x

d,x

dMx,

²cm

daN41,13

500.1

112.20

W

Mσ

y

d,y

dMy,

1126,0150

13,415,0

150

12,19 113,0

150

13,41

150

12,195,0 OK!

-Condição de Segurança (instabilidade).

d0cM

ef,0c

0

1

b f

E

b

L

68,10

63,01540

1540

4,1

4

26,0

1

63,0bh

bh

26,0

1

2

1

2

3

2

1

2

3

wc

E

M

36,631568,10

150.10

f

E3,13

15

200

b

L

d0cM

ef,0c

0

1

b

OK!

-Condição de Segurança (Cortante).

²cm/daN44,04015

45,177

2

3

bh

V

2

3 d,x

d,x

d,0vdf

²cm/daN3,23f²cm/daN85,0d,0vd

²cm/daN73,04015

95,436

2

3

bh

V

2

3 d,y

d,y

²cm/daN85,073,044,0 222

d,y

2

d,xd

OK!

-Estados Limites de Utilização (longa duração - estruturas correntes).

m

1jk,Qjj2

n

1ik,Giutil,d

FFF

cm052,0000.80500.101384

400269,15

IE384

L)25cos(G5f

4

xef,0c

4o

G,x

0 e 2,0Q2P2

- x-x. Q,xQ2P,xP2G,xd,xffff

cm012,0000.80500.10148

4005,72

IE48

L)25cos(Pf

3

xef,0c

3o

P,x

cm2200

Lfcm544,0012,02,0052,0fff

limP,xP2G,xd,x OK!

cm173,0250.11500.101384

4005917,05

IE384

L)25(senG5f

4

yef,0c

4o

G,y

- y-y. P,xP2G,yd,yfff

cm04,0250.11500.10148

40081,33

IE48

L)25(senPf

3

yef,0c

3o

P,y

cm2200

Lfcm18,004,02,0173,0fff

limP,yP2G,yd,y OK!